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ANÁLISE DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA FÍSICA OU GEO~TRICA
Hierônimo Santos Souza
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE
PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM CifNCIAS (M.Sc.).
Aprovada por:
Pr6. Sergio Fernandes Villaça
(Presidente)
..--.___ -~"-------+-------"'--~
s dos San tos /
Prof. Humberto Lima Soriano
RIO DE JANEIRO, R.J. - BRASIL
DEZEMBRO DE 1978
i
SOUZA, HIERÔNIMO SANTOS
Análise de Placas Circulares com Ortotropia
Física ou Geométrica. [Rio de Janeiro[, 1978.
X, 216 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., En
genharia Civil, 1978).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janei
ro - COPPE
1. Placas I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
ii
A meu pai, com saudades:
e à minha mãe., com carinho.
iii
. AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Sergio Fernandes Villaça, pela dedicada
e valiosa orientação do trabalho.
Ao Prof. Paulo Alcantara Gomes, pela idéia ini·ci
al da tese.
Aos Profs. Antonio Marmo de Oliveira e José Ber
nardo Ortiz Monteiro, da Universidade de Taubaté, pelos conheci
mentos transmitidos no período de graduação.
Pelo mesmo·. motivo, aos professores da COPPE /
UFRJ, durante os cursos de pós-graduação.
Ao CNPq e à CNEN, pelo auxílio financeiro.
à Enise, minha mulher, pela colaboração e incen
tivo tantas vezes demonstrados.
Ao amigo 11enato Di Thomazo, pela excelente con -
fecção dos desenhos.
A tantas outras pessoas que, de outras formas
prestaram sua contribuição.
,
iv
RESUMO :
O objetivo deste trabalho é a análise. estrutural
da flexão de placas circulares com ortotropia física ou georrétri
ca. No primeiro caso a placa possui espessura uniforme e seu ma
terial apresenta diferentes propriedades segundo as direções ra
dial e circunferencial; no segundo, a placa isótropa é enrijeci
da por um conjunto de nervuras U11iformemente distribuídas nas
direções citadas, que lhe conferem características de estrutura
ortótropa.
Para cada caso sao instituídas as equações dife
renciais de equilíbrio em termos dos deslocamentos do plano mé -
dio da placa e suas soluções gerais são obtidas por meio de se -
ries. Resultados analíticos dessas teorias são apresentados pa
ra diversas combinações de carregamento e condições de contorno
usuais em placas circulares ou anulares.
Apresentam-se também, métodos aproximados~ para
análise de placas nervuradas, e seus resultados conparados com
as soluções da teoria desenvolvida.
V
ABSTRACT
The purpose of this work is the structural
analysis of circular plates with physical or geometrical ortho
tropy. In· the former, the plate has uniform thickness and its
material has different elastic properties in the radial and
circunferential directions; in the latter, the isotropic plate
is stiffenned with uniformily spaced radial and circunferential
ribs.
For each case, the equilibrium differential
equations are derived in terms of the middle surface displace -
ments, and their general solutions are found by series. Closed
form solutions for several combinations of usual load and boundary
conditions are given in detail.
Some approximations to the theory of stiffened
plates are presented,and their results are compared to the
solutions of the theoretical developement.
vi
SIMBOLOGIA
CAP!TULO II
r, e, z - coordenadas cilíndricas
ªr' cr8 , ªz - tensões normais paralelas às direções ·de coordenadas
'ar' 'ze' 'rz - tensões tangenciais paralelas às direções de coor
denadas
Er' E8 , Ez - deformações normais
Yer' Yze' Yrz - deformações angulares
u, v, w - deslocamentos nas direções r, e e z respectivamente
Er' E9 , Ez - módulos de elasticidade do material ortótropo
, i,j = r,8,z - coeficientes de Poisson do material ortótropo
Gra' Gaz' Grz - módulos de cisalhamento
Pr, P9 , Pz - forças de superfície
l, m, n - co-senos diretores da normal à superfície
Ü, v, w - deslocamentos prescritos no contorno
CAP!TULOS III E IV
a, b - raios externo e interno da placa circular, respectivarrente
h - espessura
Qr, Q8 - esforços cortantes por unidade de comprimento
Vr' v9 - reações de apoio por unidade de corrprimento
Mr' M8 - momentos fletores por unidade de comprirrento
Mre, Mar - momentos torsores por unidade de comprimento
q (r, e) - carregarrento externo distribuído
w - flechas
<f,r' <fie - declividades da superfície fletida
vr, v 9 - coeficientes de Po:l.:sson
I - momento de inércia da placa por unidade de comprimento
vii
ªr' B9 - rigidezes fle.xionais da placa ortótropa
ªre, ªer - rigide zes torcionais da placa ortótropa
H - rigidez torcional efetiva
a, B, ó, II - parâmetros adimensionais associados às rigidezes da
placa ortótropa
Lr' L9 , Lre - operadores diferenciais
Ài - raízes da equação característica
' m - índice contador da ordem dos'harmônicos
Cim - constantes de integração dos deslocamentos w
Wm - coeficientes das séries trigonorrétricas, dependentes da va-
riâvel r somente
F - função de tensões
E, v - constantes elâsticas de material isótropo
Fij - funções iniciais de influência
CAP!TULOS V E VI
a, h - raio e altura da placa isótropa
E, v - constantes elâsticas da placa isótropa
br' b 9 - espaçamento eixo a eixo entre nervuras contíguas nas ·di
reções radial e circunferencial respectivamente
hr' h 9 - alturas das nervuras
tr' t 9 - larguras das nervuras
Ar' A9 - áre.as unitárias das nervuras
Er' E9 - módulos de elasticidade das nervuras
er' e 9 - excentricidades das nervuras
ºr' o 9 - rigidezes extensionais unitárias da placa nervurada
ªr' B9 - rigidezes flexionais unitárias da placa nervurada
D, B - rigidezes extensional e flexional unitárias da placa isó
tropa
Nr' N9 , Nre - esforços de membrana
viii
u, v, w - deslocamentos do plano rrédio da placa isótropa
Lr' La, Lre
x, a, S, Kr
operadores diferenciais
parâmetros adimensionais que relacionam propried~
des físicas e georrétricas das seções transversais
da placa nervurada
Ài' µi - raízes das equações características
K, L - constantes associadas às raízes Ài e µi
m - Índice contador da ordem dos harmônicos
d1 , d 2 , f, n - parâmetros adimensionais associados com o cisa
lhamente e à torção da placa isótropa
y, ô - parâmetros adimensionais que relacionam rigidezes da pla
ca nervurada com as da placa isótropa
e. - constantes de integração dos deslocamentos u, v e w im
n. , 1;. - fatores de multiplicidade entre as constantes de inte im i m
graçao
es, Ds, Bs grandezas referentes aos enrijecedores somante
x1 , a1 , Si - parâmetros adimensionais assoei ados com estas gran
dezas
!AI - matriz dos coeficientes do sistema de equaçoes diferenci -
ais
p coordenada radial adimensional
e: relação entre raios interno e externo da placa circular
ix
· ·tNDICE
CAPtTULO I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO II - EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE
LINEAR EM COORDENADAS CILiNDRICAS
2.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2 - Estado de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 - Estado de Deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 - Lei de Hooke Generalizada
2.5 - Condições de Contorno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO III - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA
F!SICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 2 - Hipóteses da Teoria
3.3 - Forças e Momentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. 4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa
3.5 - 'Relações Deformação-Deslocamento
3.6 - Relações Tensão-Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 7 - Expressões Esforço 'Resultante - Flech.a
3.8 - Equação Diferencial da Placa
........
3. 9 - Rigidez Torcional Efetiva
3.10- Condições de Contorno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11- Solução Geral da Equação Diferencial
3.12- Equação Diferencial das Chapas com Ort0tropia
Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO IV - APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CON
DIÇÕES DE CONTORNO - ORTOTROPIA FtSICA
i
4
4
5
6
8
11
13
13
14
15
17
20
21
24
25
27
30
32
38
42
X
4 .1 - Introdução
4. 2 - Flexão Axissinétri ca
4.3 - Flexão Assinétrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
83
4. 4 - Chapas Sujeitas a Pressões Radialmente Simétricas 96
CAPITULO V - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEO
fil:TRICA
5.1 - Introdução
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.................................... 5. 2 - Considerações Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 3 - Definições Físicas e Geonétricas
5. 4 - Instituição das Equações de Equilíbrio
5.5 - Soluções Axissimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 - Soluções Não.-Axissinétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 - Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO VI - APLICAÇÕES A CASOS COMUNS DE CARREGAMENTO
101\
100
103
106
111
122
135
145
E CONDIÇÕES DE CONTORNO (ORTOTROPIA GEOfil:TRICA) 147
6.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 - Flexão Axissinétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 - Flexão Não-Axissimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO VII - APROXIMAÇÕES DA TEORIA DE PLACAS". CIRCULARES
147
147
181
COM ORTOTROPIA GEOME!TRICA •••••••••••••• 189
7.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 - Aproximação por uma Equação de 4~ Ordem - Tipo Or
trotopia Física
CAPITULO VIII - CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APfNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
191
207
209
213
1
CAP!TULO I
INTRODUÇÃO
A utilização de. estruturas laminares planas em
certos setores da construção civil, aeronáutica e naval, e~ge ,
na maioria das vezes, a preservaçao de um de seus lados como su
perfície plana que irá receber as solicitações de serviço, tais
como os casos de pisos, pontes, cascos de navio, fuselagens de
avião, etc. Quando se requer da estrutura maior rigidez e esta
bilidade sem o aumento proporcional da sua espessura, o nervura
mento excêntrico é uma prática que produz bons resultados, pois
lhe confere as características estruturais desejadas com um in -
cremento relativamente pequeno dó seu peso próprio. O enrijeci
mento de placas segundo direções perpendiculares leva ao estudo
d~ placas ortótropas.
Uma placa é considerada ortótropa quando aprese!!.
ta propriedades de rigidez diferentes em direções ortogonais pa
ralelas ao seu plano médio. Este fato, de um modo geral, ocorre
nas seguintes situações: a) a placa tem espessura uniforme e a
variação se dá nas propriedades elásticas do material constituin
te; a esse tipo diz-se que contém ortotropia física ou natural;
b) a placa é construída com material de propriedades elásticas· u
niformes e a variação se dá nas propriedades geométricas da se -
ção transversal; neste caso diz-se que possui ortotropia geomé -
trica ou construtiva.
2
O início do desenvolvimento teórico da flexão
de placas com ortotropia física se deve a M. T. Huber25
que a PªE.
tir de 1914 idealizou este modelo estrutural para o cálculo de
placas retangulares de concreto armado, com nervuras excêntricas
no seu plano médio e uniformemente dispostas em direções parale
las a seus lados.
Pflüger26 em 1947 foi o primeiro a estudar rig~
rasamente o problema, ao considetar as deformações do plano mé -
dia da placa e o cisalhamento delas decorrentes por efeito da
excentricidade das nervuras, detalhe não considerado por Huber
Depois dele, pode-se citar, entre outros,
27 28 11 12 ks , Giencke , Massonnet , Clifton e
os trabalhos de Tren -
Troitsky6 , que contri-
bUÍram na formação da teoria considerada exata das placas excen
tricamente enrijecidas.
Neste trabalho, objetiva-se o estudo da flexão,
no domínio de pequenos deslocamentos, das placas circulares com
ortotropia cilíndrica, as quais apresentam diferentes valores de
rigidez segundo as direções de coordenadas polares: raios e cir
cunferências concêntricas.
No Capítulo II é feito um resumo das equaçoes bá
sicas da teoria da elasticidade linear em coordenadas cilíndri -
cas. Nos Capítulos III e IV apresentam-se a teor±a da flexão de
placas circulares com ortotropia física e resultados anafíticos
para casos clássicos de carregarrento e condições de contorno. '
No Capítulo V desenvolve-se a teoria da flexão
3
de placas circulares com: eririjecedores excêntricos ao seu plano
médio, tendo por base os trabalhos citados anteriormente que re
latam o assunto detalhadamente para placas de forma retangular
No Capítulo VI procurou-se soluções analíticas para a maioria
dos casos comuns de carregamento e condições de contorno aborda
dos no Capítulo IV.
Finalrrente no Capítulo VII , estuda-se a viabi1i
dade de aplicar em placas circulares, as aproximações das equa
çoes da teoria de placas nervuradas por uma equação tipo Huber,
onde se procura substituir a placa isótropa com propriedades ge~
métricas descontínuas por uma placa ortótropa equivalente de
propriedades geométricas contínuas.
4
CAPITULO II
EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE LINEAR
EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
2.1 - INTRODUÇÃO
No estudo das tensões e deformações decorren
tes da flexão de placas circulares possuindo ortotropia física
ou geométrica, utiliza-se a teoria da elasticidade linear equa
cionada em coordenadas cilíndricas. Apresentamos a seguir um
resumo desta teoria tendo por base o trabalho de Lekhnitskii1 •
O comportamento estrutural de um sólicb elásti
co sujei to à açao de forças externas e devencb cumprir no con
torno certas condições de deslocamento, se define em termos de
sua configuração de deformações e tensões internas resultantes.
As grandezas relacionadas a estes estados são referidas a um
sistema de coordenadas cilíndricas (r,e,z) como o da fig. 2.1 ,
sendo o ângulo e medido a partir de um eixo x arbitrário.
º'==--------,~-----__._,..X -~:::·.:::::_~;·· -------.... !,. !""-:' ,;----
'·-.,, 1
r
z
F IG-2.1
5
2.2 - ESTADO DE TENSÕES
O estado de tensões num ponto genérico P (r,
e,z) em equilíbrio no interior do corpo, é definido pelas com
ponentes de tensão atuantes em 3 facetas perpendiculares as
direçiíes coordenadas, (fig. 2.1) ,que constituem o tensor
cr r Tre
Ter cr e ( 2 .1)
Tzr ''ze
simétrico devido à lei de reciprocidade de tensões cisalhantes:
I i,j=r,e,z
Considerando a variação de tensões sobre um e
!emento infinitesimal de volume r dr de dz , e estabelecendo
.o equilíbrio na posição indeformada (válido para pequenos desl~
camentos), as equações diferenciais do equilíbrio, na ausência
de forças de massa, se escrevem:
= o
il Tre 1 "a e il Tez T re ãr"" + - ãe + ~ + 2 = o ( 2. 2 J r r
ilTrz 1 a Tez il C/ Trz ãr"" + - ã'e"" +
__ z + -- = o r az r
6
2.3 - ESTADO DE DEFORMAÇÕES
O estado de deformações na vizinhança de um
ponto qualquer, é definido pelo tensor
·1 1 Er 2 Yre 2 Yrz
1 1 ( 2. 3) 2 Yer E6 2 Yez
1 1 2 Yzr 2Yze Ez
também simétrico. O vetor deslocamento entre a posição inicial
indeformada e a posição final tem as componentes u,v e w ,re.!!_
pecti vamente nas direções r, e e z.
As relações deformação-deslocamento, no caso
linear, sao:
au av V + 1 au Er = Yre = ãr - - - ãê ar r r
= 1 av + u = aw + au ( 2. 4 l E6 - as Yrz ãr r r az
aw av 1 aw Ez = ãz Yez = -+ as az r
Na figura 2.2 é esquematizada a geometria de
deformaç3es com pequenos deslocamentos que ocorre no plano re,
onde se pmcura realçar a influência dos deslocamentos radiais
sobre as deformações tangenciais e a mtação de corpo rígido do
elemento que deve ser excluída da variação angular total.
7
>v v + 00 rde+ude
o' FIG-2.2
A continuidade dos deslocamentos imp:ie que
as deformações satisfaçam as seguintes equações de compatibili
dade:
2 e!. r
2 .a .E 6 2(-araz
1 r2
1 2 r
=
=
=
2 1 a Y ez r "'"a._.z-::-a-::-e-
2 1 a Yre - + r arae
a a · ·a · 1 · Y r z · .y e z _r_a_e (- r ae + ar
1 2 r
(2.5)
y -ª-<~) az r
2 ayre + -r az
1 · a · ·Y·e z + r ããc~,
8
2. 4 - LEI DE HOOKE GENERALTZ:ADA :
O material é considerado homogêneo e segue a
lei de Hooke, em cujas relações constitutivas as deformações sao
funções algébricas lineares das tensões e vice-versa; esta line
aridade física, juntamente com a hipÓtese de pequenos desloca -
mentos, garantem a validade do princípio de superposição de efei
tos.
As equaçoes da lei de Hooke em coordenadas ci
líndricas, no caso mais geral de sólido anisótropo sem nenhuma
simetria elástica, podem ser colocadas na seguinte forma:
{E} = IAI {a}
Er ª11 ª12 ~3 ª14 ª15 ª16- ªr
Ee ª22 ª23 ª24 ª25 ª26 ªe
Ez ª33 ª34 ª35 ª36 ªz =
Yre SIM. ª44 ª45 ª46 're
Yez ª55 ª56 'ez
Yrz ª66 'rz
(2.6)
onde JAJ é a matriz elástica, simétrica por considerações de
energia e com 21 elementos indep~ndentes.
O principal caso de anisotropia cilíndrica ,
de especial interesse em nosso estudo, denomina-se Ortotropia
Cilíndrica. t definida2
quando as constantes elásticas que
9
caracterizam o ma teria!, independem da distância radial r e
pernanecem invariantes sob as seguintes transformações de coor
denadas: uma rotação ao redor do eixo z, uma translação do
eixo z e finalmente uma inversão desse eixo (z e chamado ei
xo de ortotropia do sistema). Estas transformações significam
que em cada p:>nto do sólido existem 3 planos ortogonais de sime
tria elástica· dos quais um oontém o ei:xo de ortotropia e ou -
tro é normal a ele.
Na fig. 2.3, estão representados alguns ele
mentos de volume no interior de um sólido ortótropo, que possu
em propriedades elásticas semelhantes e o seu sistema de refe -
rência.
O cs-c--.-----------,1-------'-Xc.
~ '
e
FIG-2.3
10
A mudança de sinal nas tensões cisalhantes
com um giro de 180° em relação a um plano normal, nos mostra
que alguns elementos da matriz [Aj devem se anular de rrodo a
satisfazer a simetria elástica. De maneira geral, conclui-se
que: os alongamentos não dependem das tensões cisalhantes e as
variações angulares dependem somente das correspondentes ten -
sões de cisalhamento. Dessa forma, as relações constitutivas
simplificam-se, restando somente 9 constantes elásticas indepe~
dentes.
A lei de Hooke, escrita com notação mais fami
liar ao engenheiro, assume então o aspecto:
1 \) re "rz
E - E -r E E r e z o
"er 1 "e z E8 - ~ ~ ~ r z
= "zr "z e 1
Ez ~ - ç E r z
1 Yre ~ re
o 1
Yez Gez
1 Yrz ~ rz
( 2. 7)
onde Er , E8 e Ez sao os m5dulos de elasticidade nas direções
r, e e z ; "ij e o coeficiente de Poisson que caracteriza uma
deformação na direção i quando uma tensão normal é aplicada
na direção j , i,j=r,e,z; e Gra' G8z e Grz são os nódulos
11
de cisalhamento entre as dire<;,iies r e e , eez e rez.
Da simetria da matriz, tenos as relações:
"re Er = "Sr Ee
"rz E = "zr E ( 2. 8 l r z
"ez ES = "z e Ez
As condi<;,iies de o rtotropia cil Índrica se al t~
rarn para pontos situacbs próxinos à origem do sisterra de coor
denadas. A origem, por definição de coordenada polar (r,e) e
um ponto de irradiação onde todas as direções do plano conver
gem, e as direções radial e tangencial se confundem; logo, ne -
cessariamente, tem-se uma minúscula região isótropa no plano re.
Corro o rraterial do sólido é considerado contÍnl.D e homogêneo,f~
ca constatada a possível singularidade física do tipo de ortro
topia em questão.
2.5 - CONDIÇÕES DE CONTORNO
Sobre a superfície externa do sólido podem e
xistir diversos tipos de condições de contorno. Geralmente, do
ponto de vista teórico, se divide a superfície em duas regiões
distintas: s cr que é a parte do contorno onde se prescrevem
as forças externas e Su que é a parcela onde se tem os deslo
camentos conhecidos, de modo que a superfície total do contorno
.s = ser + su
12
a) de forças
O equilíbrio de um ponto situado sobre S e a
verificado pelas equaçoes:
T n rz
(2. 9)
nas quais: Pr' P 8 e P2
sao as componente.s da força externa
por unidade de área segundo as direções coordenadas; l,m e n
sao os co-senos diretores da normal à superfície pelo ponto de
aplicação da força; e ªr' a 8 , etc sao as componentes do ten
sor de tensões no ponto considerado.
b) de deslocamentos
-sobre su : u = u (2.10) -
V = V
- - conhecidos. w = w u , V e w
13
· CAPfTULO TII
FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES· COM ORTOTROPIA FfSTCA
3 .1 - INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, trataremos da flexão de pla -
cas circulares com espessura invariável, no domínio de pequenos
deslocamentos, e nas quais as propriedades elásticas do materi
al são diferentes segundo as direções de coordenadas polares,
raios e circunferências concêntricas, embora permaneçam consta~
tes ao longo de cada uma dessas famílias de curvas. A este ti
po de placas, diz-se que apresentam ortotropia cilíndrica físi
ca ou natural.
Peças estruturais que podem ter esse comporta
menta, sao por exemplo3 : discos de madeira possuindo fibras an~
lares dispostas com uma certa regularidade; placas obtidas jus
tapondo-se lâminas finas de aço que são curvadas e nonolitica -
mente fixadas a um núcleo central; placas de concreto armado com
diferentes percentagens de armaduras nas seções radial e tan -
gencial, etc.
Adota-se o sistema de coordenadas cilíndricas
nostrado na fig. 3.1, com sua origem coincidindo com o centro da
placa e com o plano polar re coincidindo com o plano médio da
mesma.
14
o,,__~----11------e ,
J ___ ,__ ____ --, X h -- ---- _______ ,_ __ ___, .. ·r-::_
a
z
3. 2 - HIPÕTESES DA TEORIA
FIG-3.1
A teoria clássica de placas delgadas se fun
damenta em hipóteses simplificadoras e limitações feitas às e
quaçoes da teoria da elasticidade tridimensional resumidas no
Capítulo II, levando-se em conta principalmente a forma de es -
trutura laminar,onde duas dimensões são bastante predominantes
sobre a terceira.
As hipÓteses básicas podem ser referidas qu~
to a:
1 - Material - O material da placa é perfeitamente elástico
contínu:, e honogêneo, obedecendo à lei de Hooke generalizada
Não atuam forças de massa.
2 - Geometria - A espessura h é constante e pequena em rela -
çao ao raio a , bem cono as maiores flechas w obtidas pelo
plano médio são pequenas quando comparadas com a espessura h
15
3 - Cbmportamento estrutural (Kirchhoff)
a) Não há deformação no plano médio durante a flexão ,
transformando-se ele numa superfície neutra defletida. Esta con
sideração implica em que o carregamento externo seja normalmen
te aplicado e que os suportes sejam liberados aos deslocamentos
horizontais, de nodo a evitar esforços de membrana.
b) Segmentos retos e normais ao plano médio indeformado
permanecem retos e normais à superfície média após a aplicação
das cargas. Esta hipótese traduz que as deformações angulares
transversais ao plano da placa são desprezadas: Yrz=y 8~;;o. A
validade da hipÓtese diminui acentuadamente com o aumento da es
pessura e em regiões de brusca variação do esforço cortante.
c) Tensões normais cr z sao desprezíveis em comparaçao com
as derrais: - o • Esta hipótese não é verificada em região
onde se tem carga concentrada.
Cbmentários sobre estas hipóteses sao bem de-
4 talhados no livIO de Pane .
3.3 -· FORÇAS E MOMENTOS
As placas, quando solicitadas sob as condições
do í tem 3. 2 , apresentam uma configuração de tensões resul tan -
tes como a indicada no elemento da fig. 3.2.
X o .------r--~
, e ' '
z
' ' '
16
(í g
h 2
__t,_ 2
FIG-3. 2
A distribuição dessas tensões na espessura
da placa tem uma analogia com as tensões, em vigas, de Bernoulli
devido à semelhança na hipótese de seções planas durante a de -
formação, sendo a diferença básica o carácter bidimensional da
placa e a consequente resistência a esforços de torção.
De nodo geral temos: tensões normas ªr e ªe
com variação linear em z originando os momentos flet:ores Mr
e Me ; tensões cisalhantes Trz e Tez com variação parabólica
em z causando os cortantes Qr e Qe e finalmente as tensões
cisalhantes Tre e Ter com variação linear em z dando origem
aos rromentos de torção Mre e Mer •
A distribuição de tensões e os esforços resul
tantes sao esquematizados nas figuras 3.3 e 3.4. Os esforços
são grandezas uni tá rias (por unidade de comprimento) e estão o
rientados positivamente segundo a convençao adotada por Szilard5 .
17
o ', X
z
o X ' ' ' ' e ' '
' ' ' ' ' ' '
z
3. 4 - EQUIL1BRIO DE UM ELEMENTO DE PLACA
-~
h 2
h 2
FIG-3.3
h -2
h -2
FIG-3.4
Considerando as variações dos esforços solici
tantes sobre um elemento infinitesimal de placa (r dr de h),
fig. 3.5, p:>denos formular as seguintes equações de equilíbrio:
a) Equilíbrio Vertical de Forças
O carregamento distribuído q (r, e) pode ser
considerado constante e uniforme sobre a área elementar, então:
(Q + r
18
+ q(r,e)r dr de = O
desprezando os infinitésirros de ordem superior,ª equação, se sim
plifica:
( 3 .1)
b) Equilíbrio de M:>mentos na Direção Ridial
'lbrrando corro referência o lado A 'B' , e ain-
da os resultados da geometria diferencial :sen d2e -
de -cos 2 = 1 , terros:
de 7 ;
~ + (M + aMe de •rde)dr + Me dr 2 e rãe rde)dr 2 + Qr rdr de =
= o
que se resume em:
aM aM M -M Q = ___E + ~ + r e
r ar rae r ( 3. 2)
19
'
z
Oe M9r
O ªº'dr r+ ar
dMrs Mre+ã"r dr
FIG-3.5
c) Equilíbrio de Momentos na ·oireção Tangencial
Relacionando-se agora ao lado AA', temos:
ílMre "Tr'"") (r+dr) de -
- M dr de (M + er 2 - er rde)dr de Q d de T + e r r = o
que se reduz para
( 3. 3)
A equaçao (3.1), escrita em termos dos momentos,
tem o aspecto:
íl2 (ar2
+ 2 íl) M + (l r ílr r r
= -q (r, 6)
1 a - - -)M = r ar -e
( 3. 4)
20
Nas equaçoes definidas acima, podemos ainda con
siderar que a reciprocidade das tensões cisalhantes: Tre = Ter'
quando elas são distribuídas em uma altura constante, nos forne
ce:
M = M re er (3.5)
3.5 - RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO
Os deslocamentos provenientes da flexão que ocoE
remem um ponto P distante de z do plano médio, são obtidos
diretamente da hipótese 3b.
·- F IG-3.6
Considerando a fig. 3.6a, e a geometria de pequ~
nos deslocamentos, podemos supor que a declividade da superfí -
cie w(r,8) na direção radial é aproximadamente:
21
<!>r tg <!>r aw - = ar
= aw ( 3. 6) u - z ar
<l>r -
<l>r u = sen = z
Analogamente, da fig. 3.6b, temos:
( 3. 7)
Com esses deslocamentos substitu{dos em (2.4),
calculamos as deformações em termos da flecha:
= - z
z (.! aw 2 - + ..l.. a w) ( 3. 8) e:e = ar r r 2 ae
2
Yre = 1 a2w -2z(- -r arae
- ....!. aw, r2 ae
3.6 - RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
A lei de Hooke para sólidos apresentando ortotro
pia cil{ndrica, definida no Capitulo II, e simplificada pelas
hipóteses que consideram -Y = y = cr O • rz ez z Este comporta -
mente bidimensional de tensões permite também reduzir os subs
critos:
Com estas simplificações, (2.7) se resume em:
22
. 1 - .v e o Er (J E E6 r r
\) 1
E6 = -~ o cr e ( 3. 9) Er E6
o o 1 Yre G
T re
ou na forma inversa:
E v6Er r o (J
1-vrve 1-v v Er r r e
vrEe Ee o (3.10) cr e = E6 1-vr"e 1-vrve
T re o o G Yre
A simetria da matriz dos coeficientes em (3.9)
ou (3.10), conduz à relação:
( 3 .11)
Obtemos as tensões em função das flechas, substi
tuindo-se ( 3. 8) em (3.10):
Erz [ a
2w + 1 a2w 1 aw>J crr = "e <2 -2 + 1-v v ar2 r ar r e r ae
(3.12)
= - 2Gz
23
As tensões T e rz 'ez nao aparecem na expre~
sao da lei de Hooke devido à simpli fie ação: Yrz = Yez = o ; p~
dem ser obtidas das equaçoes de equilíbrio (2. 2):
1 ª·'·re +---r a e
=
Agora, derivando (3.12), substituindo e inte
grando as equaçoes acirra em z ,tendo em vista que para
: , =, = O , encontramos: rz ez
1 2 = 2<z -
3 (~
ar 3 + !.
r
+ _!_ awl 2 ar r
+ (2G + v
6E
r l 1-v V r e
+ (2G + v E
6 r ) 1-v V r e
3 ..!.... ~) r 3 ae 3 +
+
(3.13)
24
3. 7 - EXPRESSÕES ESFORÇO RESULTANTE-'FLECHA
Os rromentos e forças cortantes sao calcula -
dos por integração das tensões sobre a espessura da placa:
f h/2 f h/2 T e M = cr r z dz Mre = Mer = z dz
r -h/2 r -h/2
Me = f h/2 cr e z dz (3.14)
-h/2
f h/2 fh/2 Qr = T z dz ºe = Te dz
-h/2 r -h/2 z
Antes de efetuarmos as integrações (3.14), é
razoável definir as constantes que representam as rijezas da pl~
ca ortótropa:
fh/2
I = z 2 dz
=
-h/2
Erl 1-V V 1
r e
momento de inércia por unida-
de de comprimento em relação ao
plano médio
rigidez flexional nas di
reções radial e circunferen
cial respectivamente
rigidez à torção
rigidez torcional efetiva
25
Integrando (3.14) com o auxílio de (3.12) e
(3.13), e utilizando as constantes definidas acima, tenos a for
ma final dos esforços solicitantes:
= -B r
Me = -B [ !. aw + e r ar
= _ IB (33w + L r ar3
3.8 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA
aw ãr +
+ H
(3.15)
A equaçao diferencial que governa as flechas
do plano médio de uma placa com ortotropia cilíndrica, pode ser
obtida,por exemplo, substituindo-se os esforcps cortantes de
(3.15) na equação de equilíbrio vertical de forças (3.1 l.
Feitas as substituig:5es e derivag:5es necessá-
26
rias, tem-se finalmente a equaçao.:
B [a4w r[ar4
res diferenciais:
1 = r2
1 ~ r
+
= q (r, e)
( 3 .16)
Designarem::>s por Lr , L6
e Lre os operacb -
1 r3
1 a ~ãr r
(3.17)
logo, 17 4 = Lr + 2Lre + L6 , que é o conhecido · operacbr bi
harmônico em coordenadas polares.
A equaçao (3.16) é equivalente à equaçao de
Huber em coordenadas cartesianas, aplicável em placas retangul~
res. A transformação pode ser feita através do artifício: qua~
do r+w, ar+ ax e rae + ay ; e com a correspondente troca
de Índices, tem::>s:
27
+ 2H = q(x,y) (3.18)
Com (3.17), escrevemos (3.16) de urna forma mais
simples:
(3.19)
que se reduz ao caso isótropo quando:
ou
v4 (w) = g(r,e) B
2 12(1-v)
3.9 - RIGIDEZ TORCIONAL EFETIVA
Ao resolvermos um problema de placa ortótropa,
é necessário conhecer os valores dos coeficientes Br,Be e H
Dos materiais ortótropos, geralmente se conhecem Er' E8 , "r e
"e , que sao obtidos por testes unidimensionais de laboratório;
o valor do módulo de cisalharnento G é usualmente incógnito,te~
do em vista exigir testes mais laboriosos para sua obtenção.
O método analltico para determinação da rigi -
f 4,6 - -dez torcional e etiva , e baseado em urna analogia com a torçao
de placas isótropas, devendo ser levado em conta o seu gênero a
proximativo; em aplicações onde se requer maior precisão, reco -
mendam-se verificações experirnentais7 •8
28
O momento torsor atuante em urna placa isótro
pa, é definido por:
Mre = -(1-v)B( 1 aw ) ?ãã
onde B é a rigidez flexional da placa e " é o coeficiente
de Poisson.
O momento correspondente na placa ortótropa
tem o valor:
..!.. aw) r2 ae
A torção de urna placa ortótropa depende da ri
gidez que ela apresenta nas direções de ortotropia, parecendo e~
tão razoável trocar os valores de "e B na expressão de materi
al isótropo, pela média geométrica dos valores apresentados pelo
material ortótropo.
Então,
e a rigidez torcional efetiva fica:
, ou
De (3.11),
Be V = V e r Br
,
que,substituido na expressao acima, nos fornece:
29
(3.20)
Da mesma maneira, pode-se definir o módulo de
cisalhamento:
E G = 2(1+v) = (3.21)
Em placas de concreto diferentemente armadas
nas direções de ortotropia, Timoshenko9 aponta os seguintes valo
res de rigidezes:
onde Ec' "c
E s n =
Ec
I ....
[r + (n-1) rJ
(3.22)
módulo de elasticidade e coeficiente de Pois
son do concreto
módulo de elasticidade do aço
momento de inércia unitário da seçao da placa
em relação ao plano neutro
momentos de inércia unitários das seçoes de
armadura nas direções radial e tangencial em
relação ao plano neutro.
30
3.10 - CONDIÇÕES DE CONTORNO
A resolução da equaçao (3.16) requer que sejam
prescritas condições no contorno da placa. Pela hipótese dos
"segmentos normais", verifica-se que para definir as deformações
em um ponto qualquer da superf!cie média situada no contorno, na
ausência de forças de membrana, são necessários 2 parâmetros geo . -
métricos: uma rotação :; e uma translação vertical w. Essas
condições geométricas têm suas equivalentes condições estáti-
cas, em termos de forças e momentos, segundo o esquema da fig.3-7.
4rJ---~ - r ____ --- ... _ ·------ - ------
; ---1 ---:w ' :----
r::: o
CONDIÇÕES GEOMÉTRICAS CONDIÇÕES ESTÁTICAS
FIG-3.7
A condição estática correspondendo à rotação aw ar é o momento fletor Mr i entretanto para o deslocamento w
existe uma aglutinação entre as condições estáticas de esforço
cortante Qr e momento torsor Mre • Esse fato deve-se à falta
de consideração da deformação cisalhante
nada levaria a um problema de integração
Yrz a de 6-
i uma teoria refi
ordem, prescreven-
do 3 condições geométricas no bordo e compat!vel portanto ao con
torno estático.
31
Kirchhoff propôs equacionar o equilibrio exis
tente na fronteira através da urna equivalência mecânica entre fo~
ças e momentos distribuidos em espaços unitários, conforme a fig,
3.8.
z
vr Q + = r
ê válido:
ve = ºª +
(Mre+aMre) rde / r ,il8
( M· •Me,) er+ar dr
A expressao
aMre
rae
das reaçoes
Para placas em forma de
aMer ar
M_n~rde
FIG-3.8
de apoio fica sendo:
(3.23)
setor, analogamente
(3.24)
e no canto formado entre o contorno circular e o bordo reto tem
se urna reação concentrada de intensidade igual a 2Mre
Os casos mais usuais de condições de bordo em
placas circulares de raio a sao:
em r=a
rigidamente engastada : w = o aw ãr = o
32
simplesmente apoiada:
Contorno carregado
com forças ou moment2s de intensidade F e M:
w = o
M = O r
Mr =
Qr +
M
aM re m- = F
3.11 - SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
A solução da equaçao
(3.25)
como sempre, consiste em uma superposição de soluções w=wp+wh,
onde wh é a solução complementar correspondendo à flexão da
placa descarregada em sua superfície e solicitada no seu contor
no; enquanto que wp é a solução particular correspondendo às
flechas provenientes do carregamento distribuído q(r,e).
A) Solução da Equação Homogênea
A equação bi-harmônica homogênea v4 (w) = O
tem sua solução conhecida desde há muito tempo; Timoshenko9 cita
em referência que em 1862, Clebsch se utilizou das seguintes sé
ries infinitas para estudar placas isótropas circulares:
(3.26)
onde w0 , Wm e Wm sao funções somente da variável r. Dessa
maneira, consegue-se separar as variáveis e constituir equações
33
diferenciais ordinárias tipo equidimensional ou de Euler para os
éoeficientes das séries.
Em nosso estudo, estamos particularmente inte
ressados em placas cujo contorno circular é completo, de maneira
que sempre poderemos colocar o carregamento simetricamente em re
lação à variável e , bastando-nos reter os termos em co-seno5 •
Em placas em forma de setor circular, a falta de simetria requer
soluções em série de senos. As expressões de Wm e Wm sao simi
lares, a menos evidentemente das constantes de integração.
Então, tomando-se wh =
lução, na qual aplicando-se os operadores
1 Wm cos me como so m=O (3.17) e indicando a
ordem das derivadas em r por superescritos linha (','',''',etc),
obtemos :
I Íw~v + ~ wi:i • ;i cos m=O L r J
"' t 2 2 2 wJ Lre(wh)= l m W'' + m W' m (3.27) 2 ....,. -.,. cos me m m m=O r r r
"' t 1 1 4 2 Le(wh) = l 2 W'' +
r3 W' + cm -2m iwJ cos me , m m r4 m m=O r
que, substituídas em (3.19), nos dão uma equaçao independente
de e :
2 2m H+Be
+ ( )W' + r3 m
= o (3.28)
e
34
Definindo as constantes adimensionais:
H ó =
Br , (3.29)
a equaçao (3.28) em sua forma normal se escreve:
(3.30)
Esta equaçao apresenta as seguintes soluções:
a) m = O
wh = w0 independe de e e representa a solu
çao dos problemas axissimétricos.
= o (3. 31)
As soluções da equaçao de Euler têm a forma 4 l , onde os sao as raízes da equaçao carac-
i=l terística associada, que para este caso é:
(3.32)
cujas raízes sao facilmente identificáveis e valem: O, 2, 1+re
e 1-re-
Denominando , temos
(3.33)
35
O caso particular de placa isótropa é obtido
com a= 1
(3.34)
b) m> 1
Novamente as soluções sao da forma
4
l , e a equação característica obtida de (3.30) i=l
é:
4 3 2 2 2 r,4 2 ] l -41 +(5-2m 6-Bll -2(1-2m &-B)l+~ 8-2m (8+6) = o
(3. 35)
Utilizaremos ainda, algumas constantes auxilia
res:
2 K = l-2m 6-8 (3.36)
4 2 L = m B-2m (B+&) , que simplificam (3.35) em:
= o , logo
2
K + = o
2
Resolvendo-se novamente a equaçao do 29 grau,
encontramos todos os li.
36
À = 1 +
Chamando de:
b = 1~-K+/ K2
-4L m
1:-K-/ K2-4L
c = m ,
as quatro raízes sao: l+bm, l+cm, 1-bm e 1-cm
- para m=l
e
c = O 1
: K = 1-2ô-B K-1 L =
L = -2ô-B
K2-4L = K2-4K+4 = (2-K) 2
Substituindo-se em (3.37):
= ./ 1+2ô+B
,
b 1 é sempre real e a solução para o 19 harmônico fica:
w = e l+b1 + e r 1 ""b1 r + e 1 1 11 r 21 + c31 41 r n r
para m>l :
(3.37)
( 3. 38)
bm e cm serao reais desde que os parâmetros
que definem a ortotropia B e 8 não se afastem muito da unida
de ou da situação isôtropa. Eles poderão assumir valores compl~
xos10
quando houver um forte enrijecimento somente em uma das
direções, situação esta que não apresenta interesse prático e
37
que deixaremos de considerar.
As flechas correspondentes aos harmônicos de
maior ordem ficam:
e l+bm 1-b rl+cm + e 1-c = lm r + C2m r m + c3m 4m r m
(3.39)
No caso isótropo: 8 = 5 = 1
bm = m+l
cm = m-1
wl = c11 r3 + c21
-1 r + c3lr + C41 r ln r
(3.40)
2+m -m r m + 2-m w = clm r + c2m r + c3m c4m r m
B) Solução Particular
A solução particular wp da equaçao (3.19)
pode ser obtida representando-se o carregamento prescrito q(r,e)
em uma série infinita de termos em co-seno:
onde
m
q(r,e) = l Qm cos me ItFl
Q é uma função sô de m
(3.41)
r •
A equaçao (3.30) nao homogénea, toma a forma:
38
que tem solução por métodos usuais de cálculo: coeficientes a de
terminar, variação de parâmetros, etc.
Para o caso usual de carregamento uniformemen
te distribuído com intensidade q0
reduz em:
r 4 w'V + 2r3 W''' - B1r 2 w•• - r w•l o o ~ o oJ
na qual, experimentando a solução na forma
gualando os coeficientes, obtemos
,.-.,.......= 8B (9-o2) r
quando B = 1
=
Br = B , temos a situação isótropa:
4 r qo -B- (3.43)
r
, e i-
(3.44)
,
e quando B=9 , isto é, B = 9B e r ,uma forte ortotropia na dir~
ção tangencial, ocorre uma indeterminação que deve ser levantada
no limite juntamente com a solução complementar.
3.12 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS CHAPAS COM ORTOTROPIA POLAR
Neste item, deduziremos a equaçao diferencial
do estado plano de tensões para aplicação em chapas com ortotro
pia polar, mostrando a analogia existente entre essa equação de
finida pela função de tensões no plano e a equação homogênea da
flexão de placas.
As hipóteses simplificadoras sao as mesmas do
39
Item 3.2 , com exceçao evidente da que diz que a superficie mé
dia permanece indeformada. Na situação presente tanto o plano
médio como os paralelos a ele, são solicitados nela:a tensões
renresentadas na Fig, 3.9,
que satisfazem as
= 1 aF + ªr r ar
a 2F ªe = ;;z
h 2
...h 2
FIG-3.9 •
As tensões dadas pela função de Airy F {r, e) ,
equaçoes de equi1Ibrio no plano, se escrevem:
1 a2
F
?~
{3.45)
1 aF ?ãã
Sob as mesmas simplificações: {az=Yrz=Yez~O),
a lei de Hooke se representa pelas equações:
40
ºr ve Er = E -·r ºe
r e
ºe V r E8 =
Ee -
Er ºr
ou, em termos de F:
1 2 V
e!. aF (a F) r .E0 =
Ee - Er -+ ;7 r ar
1 ( 1 aF 1 a 2F Yra = G - r 'ãr"ããl ~ãã
ve
Ee
1 a2F ~ ;?")
(3.46)
(3.47)
Para eliminarmos as deformações e constituir -
mos uma única equaçao em F, lançamos mão da equação de compat!
bilidade de deformações no plano re, a primeira das expressoes
(2.5). Substituindo-se (3.47) nesta equação, encontramos, após
derivações e simplificações:
1 a4F 3 1 vr (~
a4F 1 a3F + ~ a F) Ee
(-:---i + 2(2G - -) ar2ae 2 -, +
r~ E ar r r r ara e
4 1 4 2 a2F 1 a2F 1 aF) + 1 a F) + ( 1 a F + = o ;r ;?° E ;r ;;,r ;r ;?° - -"7 ~ + :? ar r r ar
(3.48)
Multiplicando-se esta equaçao por E8 e ainda
41
com os operadores definidos anteriormente, temos:
eram:
s =
ô =
outra li =
= o (3.49)
As constantes definidas na equaçao da flexão
B8 E8 =
Br Er
H Br
"rB8+2GI E8 + 2G . definindo = = "r Er Er '
agora uma B r Ee 2G ...,.. + -"'" Er
, a constante que multiplica fica sen
do (li-ô) , daí:
(3. 50)
Comparando esta equaçao com a equaçao homogê -
nea da flexão de placas com ortotropia (3.19), podemos observar
que F e wh têm soluções muito parecidas; no caso assimétrico
bastando trocar ô por (li-ô) nas soluções apresentadas, enqua~
to que no caso simétrico, F e wh são de forma idêntica.
Também devem ser estabelecidas condições de co~
torno na solução de (3.50), em termos de forças ou de deslocamen
tos.
42
CAPfTULO IV
APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO
ORTOTROPIA FfSICA
4.1 - INTRODUÇÃO
A seguir apresentam-se algumas aplicações práti -
cas da teoria desenvolvida no Capítulo III, para placas com con-
torno circular completo e podendo possuir um furo concêntrico '
vinculadas de diversos modos e submetidas a diferentes tipos
de carregamento.
Primeiro enfocamos detalhadamente problemas rela
tivos à flexão axissimêtrica, depois abordamos alguns casos sim
ples de flexão não simêtrica e por Último, aproveitando a analo
gia existente entre a equação da flexão com a equaçao do estado
plano de tensões, apresentamos a solução de uma chapa circular
ortótropa sob uma distribuição de pressoes radialmente uniforme.
4.2 - FLEXÃO AXISSIMÉTRICA
As flechas e esforços solicitantes que ocorrem em
placas circulares sujeitas a carregamento e contorno axissimêtri
cos, independem da coordenada angular e , e por isso seu esqu~
ma estrutural é definido apenas por um corte diametral como o da
Fig. 4 .1 .
A expressao de w em função da coordenada radial
e dada por:
43
w = w e + e 2 + e l+a + e 1-a p + 10 20r 30r 40r
onde depende do carregamento distribuído Wp ~
parâmetro que define a ortotropia: a· = / ~ Br
c30 e c40 são calculadas através de condições
métricas impostas ao contorno.
CORTE AA
( 4 .1)
q (r) -, . a. e o
e clO' c20'
estáticas ou ge~
FIIG-4.1
Os esforços solicitantes por unidade de compri -
mento, definidos em (3.15), se simplificam para:
M r = - B r
= - B ( r
3 d w + dr
3 1 dw
2 dr r
( 4. 2)
44
A tabela 4.1, representada a seguir, é bastante
útil ao se formular as condições de contorno e escrever as ex
pressoes dos resultados, sem recorrer a repetitivas derivações
de w ela mostra as funções envolvidas em casos simétricos
em termos das constantes de integração e de um carregamento uni
formemente distribu{do q 0 .
Apresentaremos casos de flexão a. axissimétrica, s~
gundo os sub-Itens desenvolvidos a seguir:
A) PLACAS COMPLETAS
As placas circulares completas apresentam a de -
clividade da superficie e o esforço cortante nulos no centro de
vido à simetria; da tabela 4.1, a parte referente às condições
de bordo dessas funções sao dadas por:
w' 2c 20 r + a -a = (l+a) c
30r + (1-a) c
40r
e
Qr -2
c20 (l-a2 ) =
Br r
o parâmetro a e sempre positivo, logo em r=O
para que tenhamos valores finitos:
( 4. 3)
A condição de cortante nulo na origem tem uma
exceçao para cargas concentradas que proporcionam uma desconti
nuidade indeterminada para esse esforço no ponto de aplicação da
carga; neste caso, a constante c20 é obtida pelo equil{brio
de forças verticais em um contorno circular de raio r arbitrá
rio:
cio C20 C30 c40 qo
8 (9-c/)Br
1 r2 rl+a 1-a 4 w r r
w' - 2r (l+ct)rª (1-a)r -a 4r3
l\fBr -2(l+v8) a-1 -a-1 -4(3+v8)r2 - -(l+ct) (a+v8)r (1-a) (a-v9)r
Me/Br 2 2 a-1 2 -a-1 2 2 - -2(1+vr)ct -(l+a) (l+ctvr)ct r - (1-a) (1-av ) a r -4 (1+3vr) a r r
2 2 y'Br
-2(1-a) - - - -4 (9-a ) r r
Tabela 4-1
46
c20 2 p = -2 r (1-a )Br = - --2llr
p
2 411(1-a )B r
( 4. 4)
Feitas estas considerações,calcularemos as cons
tantes c10 e c30 e apresentaremos um formulário de flechas e
esforços resultantes, nos seguintes casos clássicos:
a) Placa circular apoiada, sob a açao do momento M0 uniforme
mente distribuído na borda externa.
Mo Mo
r:--~ a j
FIG-4.2
A ausência de carga distribuída anula wp, e com
(4.3) a expressao das flechas fica:
w = e + e rl+a 10 30
- condições de contorno em r=a
w = o
M = M r O
;
1-a a
( 4. 5)
47
- flechas e esforços solicitantes:
MO 2 a
Pl+cx) w = (1 -(l+cx) (cx+v 6) B r
Mr MO cx-1 = p
( 4. 6)
Me ex MO cx-1 = p
Qr o r = p = a
b) Placa circular engastada, submetida a um carregamento unifor
memente distribuído q 0
1 qo
f 1 )1)11) 1111111111111, . 1 o 1
FIG-4.3
As flechas obtidas com este tipo de carregamento
sao dadas por:
qo r4 w = ---"~--
8(9-cx2) Br
l+cx r
- condições de bordo engastado em r=a
4 l+cx qo a
ºW = o o = cio+ c30 a + 2 8(9-cx )B 3 r
w' = o o = c 30 (1+cx)aª + 4qoa
2 8(9-cx) B r
2 8 (9-a )B r
3-a l+a
. '
48
- flechas e esforços resultantes:
2 2(9-a )
2 2(9-a)
I r
p = a
3-a -4q a . o 2 8 (9-a ) B
r
3-a J + l+a
1 l+a ( 4. 7)
( 4. 8)
c) Placa circular apoiada, submetida a um carregamento uniforme
mente distribuído q 0
A solução para este caso pode ser obtida por s~
perposição das soluções a) e b) , segundo o esquema da
onde o momento de engastamento dado por (4.8) é Ma= -
Ma Mo M M
1nnn!Inin[, =~iuuiiinnn~ + ~~º __ __,.j
Fig.4.4 qoa2
2 (3+a) •
FIG-4.4 .
49
Somando-se as expressoes correspondentes nos 2
casos, obtém-se para a placa apoiada:
w = 2 8(9-a )B
r
2 2(9-a)
2
[
,
4(3+"8)
[ a-1 2 J p - p
(3+v8
) (l+avr)
(a+v8
)
r p = a
l+a p +
(3-a) ( 4+a+v 8 ) J (l+a) (a+v
8)
( 4. 9)
Nas figuras 4.5 e 4.6 temos os gráficos que re
presentam a variação de flechas e momentos fletores (4.9) com a
coordenada adimensionalizada p , para diversos valores de enr~
jecimento (a) e não se levando em conta o efeito de Poisson. No
ta-se claramente pela Fig. 4. 6 que os momentos Mr e M8 nas
proximidades do centro da placa, convergem para valores nulos ai
infinitos, conforme a seja maior ou menor que l; esta singul~
ridade será analisada no sub-ítem B.
o º·ºº
0,.10
0,20
w
0,30
01 2
50
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 P=....!.
a 0,8 0,9 1,0
FIG-4.5
0,60
0,40
º·ºº º·º 0,1
0,60
0,40
0,20
º·ºº 0,1
51
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
,· ' •
O; 7 O,B 0,9 1,0 f
/
0,2 0,3 o,4 o,5 o,6 0,1 o,e o,9 1,0
f
FIG-4.6
52
d) Placa circular engastada, sob açao. de carga centrada
1 o
FIG-4.7
A expressão que define o campo de flechas, ten
do em vista (4.4) e a ausência de carregamento distribuído, é
dada por:
w = 2 411(1-a )Br
+ e e l+a 10 + 30 r
- condições de bordo engastado em r=a
Pa 2
w = o o = + 2 411 (1-a ) Br
+ ClO
2Pa w' o o + (l+a) c 30 = = 2 411(1-a )B r
Pa 2 1..:a
clO = C30 = -2 ; 411(1-a )Br l+a
- flechas e esforços resultantes
Pa2
[ 2 2 w = 411(1-a 2JB P - l+a
r
p 2 211(1-a )
l+a + 1-a J P l+a
c30 al+a
a a
2Pal-a 1
2 l+a 411 (1-a ) B r (4.10)
(4 .11)
=
2 211 (1-a )
p - 2rrr
53
r p =
a
e) Placa circular apoiada, sob a açao de carga centrada
Analogamente, poderemos obter as soluções supeE_
pondo-se os casos a) e d)
w =
M = r
Me =
=
Pa2
2 411(1-a )Br
p (l+v e) 2 211(1-a)
Pa 2 [l:ve 2 211(1-a)
p - 2rrr , p =
[Pa-1_ 1 ]
a-1 ' J p - (l+v ) . r
r a
B) CORREÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES NO CENTRO DA PLACA
(4.12)
De acordo com o que foi mostrado no Capítulo II,
a ortotropia cilíndrica não pode existir na origem do sistema ée
coordenadas (centro da placa), que é um ponto isótropo devido à
coincidência das direções principais da ortotropia. A esta sin
gularidade física, corresponde uma singularidade matemática, ma
nifesta em termo das expressões dos monentos fletores Mr e Me,
54
que em r=O assumem valores O ou= conforme o parâmetro a
seja maior ou menor que 1 (ver fórmulas dos esforços de a) a
té e) e a Fig. 4.6).
- 19 Faremos a correçao desses momentos, introdu -
zindo na região central um pequeno disco isótropo de raio b e
altura h com constantes elásticas E e v, em substituição ao
núcleo que apresenta a ortotropia alterada. Este disco deve ser
monoliticamente ligado ao restante da placa, devendo se verifi
car as condições de continuidade de forças e deslocanentos em
r=b
O subscrito i indica as grandezas referentes
à parte isótropa, como no esquema da Fig. 4.8.
~ 1 5 E ,V Ç~'.E,%.
t-----~ÚMl'J;H----t 1 b 1 1 v.; 'w
1
dw;_dw -a-;- -c1r
FIG-4.8
:E; feita em seguida, a correçao dos momentos nos
casos a), b) e d) ; para os casos c) e e) pode-se aplicar,
como fizemos anteriornente, o princípio da superposição.
55
ã) Placa circular apoiada, sob a açao de momento M0 uniforme
mente distribuido na borda externa
1 1
M I Mo 1 ' ~ ht= c--~--i~ISO-TR-OP0_
1)
Là -t----1U 1 o 1
FIG-4,9
As equaçoes que representam as flechas nas regi -
oes de placa isótropa e ortótropa são definidas por:
r < b
r > b e r2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + c40 r (4.13)
O esforço cortante e nulo em toda a placa; então
da Tabela 4.1:
c20 2 = - 2 (1-a )Br , donde = o r
As constantes que interessam no cálculo dos mome~
tos fletores sao: b 20 , c 30 e c 40 ; que são explicitadas pelas
seguintes condições:
- de continuidade em r=b w' - w' i -
( 4 .14)
- de extremidade em r=a M = M r O
Antes de escrevermos (4.14) em função de (4.13) ,
introduzimos as seguintes constantes auxiliares adimensionais:
C3 = (l+a) ba-l
C4 = (1-a)b-a-l
B2 2 B = b20 M o
onde B Eh 3
= 2 12(1-v)
5,;
B r
c30 MO
B r
M0
c30 (4.15)
e
é
b E: = -a
a rigidez flexional do disco isótropo.
Fazendo uso dessas constantes e de (4.13), as con
dições (4.14) se escrevem:
l+ct E:
das quais obtém-se:
-K C3 = 2
K2 (a+v 9 Je: 1-a - K1 (a-v9 )e:
-K C4 = 1
K2 (a+v 9 J e: 1-a - K (a-v )e: 1 e
onde:
Kl (l + B (l+v) = V9 B r
K2 V9 + B (l+v) = (l -
B r
= -1
l+ct (4.16)
l+ct
(4.17)
57
Dessa forma, colocamos os momentos fletores em
para r < b (4.18)
para r > b
r , p = a
Nota-se que quando a placa é inteiramente isótro
pa ou totalmente ortótropa, K1=0 e as soluções retomam as já
conhecidas formas.
Na Fig. 4.10 , apresenta-se um gráfico com os mo
mentos fletores na direção radial corrigidos para diferentes va-
!ores de o.. Adotou-se B = B e r v ="e= o,3 com o objet.!_
vo de simplificar K1 e K2 , e que o raio do disco isótropo é a
décima parte do raio da placa e:=0,1.
Mr !1 1 1 -,1 1 Mo 11 1 p 1 i' 1
1 1\ 1 1 4,0
3,0
2p
,,o
11
1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \
o<_= 1.0
I
., /
,',,,,,,."
\
1
1 1 1 1 1 \ 1 \ <::>(=07
' '
---- -------------
Mo
M~ ( .6 LJ
SOLUÇÃO DA TEORIA
SOLUÇÃO CORRIGIDA
-------- --------------------
o,o -F-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,:1 0,6 0,7 0,8 0,9 r
f''a 1,0
FIG-4.10
VI O)
59
b) Placa circular engastada, submetida a carregamento uniforme -
mente distribuído q 0
w =
1 1 qo
FIG-4.11
As flechas nos dois intervalos sao dadas por:
2 8 (9-a ) Br
O valor do esforço cortante em r=b e b -q --o 2
,
que deve ser verificado com qualquer dos dois campos de flecha;
recorrendo a Tabela 4.1, tiramos:
logo = o
As condições de continuidade sao as mesmas doca-
so anterior: wr = wi
se w' = O •
e Mri = Mr; enquanto que em r=a tem-
As constantes auxiliares no caso de carga distri-
buída sao postas na forma:
60
c3 = (l+ex) bex- 3
c30 B (4.19) 4qo
r
C4 (l-ex)b-ex- 3
c40 B b = e E = 4qo
r a
Equacionando-se as condições de continuidade e
contorno com o auxílio de (4.19), obtém-se:
das
onde
3+v B2 (l+v) + 64 =
1 = 2 8 (9-ex )
quais tiramos:
[ 2 -ex-3
J r. = -3+ex +4v 8-4K 2E
-3 2 2ex 32 (9-ex ) (Kl E +K2)
[ 2 ex-3
c4 3+ex +4v 8-4K1 E J
= 32 (9-ex2 ) (Kl E 2ex+K2)
B2 B
[c3+c4] 1 = - 64 B r
novamente
Kl = ex + B (l+v) Ve B r
K2 ex - V + B (l+v) = e Br
2ex E
3+Ve 2 8(9-ex)
Assim, os momentos ficam determinados por:
(4.20)
61
r < b
(4.21)
r > b
1+3vr 2 J + 2 p
8(9-a)
r p =
a
d) Placa circular engastada, sob a açao de carga centrada
p.
FIG- 4.12
Sob esse tipo de solicitação, as flechas sao de -
finidas pelas expressoes:
e r 2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + C40 r
quer um dos
62
O esforço cortante em
p w é igual a - 2 ílb
r=b calculado com qual -
Primeiro equacionando na parte isótropa, temos:
p - 2ílb =
agora pelo lado ortótropo:
p - 2ílb
e = - 2 ...lQ B (1-a2 ) b r
p = 8ITB
p 2
4ll(l-a )Br
As constantes auxiliares para o caso de carga con
centrada tomam a forma:
2ITB r p
a-1 c30
(l+a)b
2l1Br -a-1 P c40 (1-alb , E: =
b a
(4.22)
As condições de continuidade e de contorno sao as
mesmas do caso anterior, e podem ser equacionadas por:
B + l + 2 ln b = 2
4
(3+v)+2 ln b(l+v) B2 (l+v) + 4
1 = - l+a2
63
que, depois de resolvidas, resultam:
(4.23)
B2 B
[ ~ + C3 + C4 J - 1+2 ln b = B 4 r 1-cx
onde:
B Kl = cx+v - B(l+v> e r
B K2 = cx-v + BCl+v) e r
K3 = l+v - BB (l+v) e r
Após o cálculo das constantes, podemos escrever
as expressoes dos momentos corrigidos:
r < b Mr = - 8~ [<3+v)+4B2 (l+v)+2 (l+v) ln r]
Me = - :II [(1+3v)+4B2 (l+v)+2 (l+v) ln ~ (4.24)
r > b
Pcx 2
Me = 2IT
r p = a
64
C) PLACAS COM FURO CONCtNTRICO
As placas circulares possuindo furo concêntrico
nao apresentam condições de simetria imediatas na determinação
de c 20 e c 40 ,como acontece com as placas completas; de maneira
geral teremos 4 equações algébricas, 2 referentes à borda inte
rior e 2 referentes ao contorno exterior, que nos permite expl!
Dois casos de carregamento axissimétrico têm es
pecial importância no estudo das placas anulares.
a) Placa anular simplemente apoiada,submetida a momentos unifor
memente distribuidos: M1 na borda interna livre e M2 na per!
feria.
A solução geral para as flechas e:
2 l+a 1-a w = clO + c20 r + c30 r + c40 r
- condições de contorno:
em r=b
= o (como em toda placa) - 2
FIG-4.13
65
em r=a
o o clO + C30 al+cx +
C40 1-cx
w = = a
M2 cx-1 -cx-1 M = M2 = (l+cx) (cx+v
8)a c
30-(1-cx) (a-v
8)a c 40 r Br
que nos dá:
2 [ (M2-Ml tl+cx) tl-cx (M2-Ml tl-cx) tl+cx j a cio =
B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v8
) + (1-cx) (cx+v8
) r
c30 -1
(M2-Ml tl+cx) bl-cx =
B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v0
) r
(M2-Mltl-cx)bl+cx (4.25)
c40 -1 =
B (tl-cx_tl+cx) (1-cx) (a-v8
) r
onde
b E: = -a
- flechas e esforços resultantes:
Cl Mé = -(---a-1---cx-=--~l-+-cx-)
t -e
Q = o r , r p = a
(4.26)
Quando M =O 1
66
e b+O (E+O) ; (4.26) levadas ao li
mite retornam ao caso de placas completas com momentos M2 dis -
tribu!dos na borda externa.
b) Placa anular simplesmente apoiada, submetida a carga linear
Q0
uniformemente distribuída na borda livre
F IG-4.14
A solução geral das flechas novamente se escreve:
r 2 l+a 1-a w = clO + C20 + C30 r + C40 r
- condições de contorno:
em r=b
e Qr = -oo - ºº = - 2 ..2Q.(l-a2 )B .
b r
o o a-1 Mr = = 2c20 (l+val + (l+a) (a+va) b c 30- (1-a) (a-vai ·
-a-1 ·b C40
em r=a
o o ClO + c20 2
+ C30 l+a 1-a
w = = a a + C40 a
M o o a-1 = = 2c 20 11+val+(l+a) (a+valª c 30-(1-a) (a-vai· r
. -a-1 C40 a
mos:
c20 =
C30 =
C40 =
67
Resolvendo o sistema e fazendo b E = -a
encontra
(l+v6
) (e: 2-e:1-ªl (l+v6
)
2 (1-cx )Br
+ ----'---(l+cx) (cx+v
6) (e: 1 -ª-e:l+cx) (1-cx) (cx-v
6)
ºob 2
2(1-cx )Br
Q0
b ( 1 +v 6 l ( E l+cx -1) 2 ( 1-cx l+cx) (l+cx) (cx+v 6 ) (1-cx )Br E -e:
Q0b(l+v6 l (El-cx - 1) 2 ( 1-cx l+cx) (1-cx) (cx-v 6) (1-a. )Br E - E
b 1-cx
bl+cx
( 2 1 +ex) J E -e: ~
( 1-cx l+cx) E -e:
( 4. 27)
- flechas e esforços resultantes
2 (l+v6
) 2 1-a. Q
0ba [1 2
E -e: l+ w =
(1-a.2)Br 2(1-p ) + 1-cx l+a. (l-p ª) +
(l+a.) (cx+v 6 ) E -e:
(l+v6
) 2 l+a.
(l _ Pl-cx) J E - E + 1-cx l+cx (4.28)
(1-a.) (a.-v6
) E - E
ºob (l+v 6 ) [ 1 +
2 1-cx cx-1 2 l+cx P -cx-1 J M = E -e; E -e:
r (1-a.2) 1-cx l+a. p 1-cx l+a E -e: E -e:
ººb ~ (l+vr) 2 1-cx a-1 2 l+cx
Me = (l+v 6 )cx + E -e: + E -e:
2 1-a. l+cx p 1-cx l+cx ( 1-cx ) (l+v
6) E -e: E -e:
p -cx-1 J Qr
b r = -Qo r p = a
f; 8
Se na primeira das expressoes (4.28), fizermos
p = 21Tb
e levarmos ao limite com c-+-0 , obtemos:
Pa2 w = ------2
41!(1-a )Br
l+a (1-a) (a+v 8+2) J p +
(l+a) (a+v 8) (l+a) (a+v8
)
que é o caso de placa completa sob a açao de uma carga P cen -
trada.
Foi dito anteriormente que estes casos eram impoE
tantes pois se a eles combinamos os casos resolvidos no sub-Íta~
de placas completas, poderemos resolver uma extensa lista de pl~
cas anulares submetidas a carregamento axissimétrico (Ver Timo -
shenko9).
Como exemplo poderíamos calcular uma placa anular
apoiada, sujeita a carregamento distribuído q 0 segundo o esqu~
ma de superposição da Fig. 4.15, onde Q 0 e M1 são obtidos de
(4.9) invertendo-se os sinais:
l}UUH
2 q0
a (3+v8
) e
2 (9-a2 ) ( 2 a-1) e -e ;
b E: = ã
, , ~º 'Lº 1 Qo I Qo :
: OIIIII1 = lUl+UlU+lUJOUJl + 1~'; M( 1
t= ~F o 1 1 o 1 ~ o 1
FIG -4.15
69
D) LIMITAÇÕES DA TEORIA
Na bibliografia técnica, pouca referência se tem
sobre dados experimentais das constantes elásticas em materiais
que possuem ortotropia física. Entretanto, Carrier3
ao analisar
placas circulares com esse tipo de material, verificou que certos
valores assumidos pelo coeficiente de Poisson poderiam causar va
lores infinitos para os momentos fletores. Essa anomalia o le
vou a propor restrições de caráter empírico, baseadas na hipÓte
se de que certas propriedades constatadas em materiais isótro -
pos devam continuar a se verificar em materiais ortótropos.
De acordo com esta analogia, parece claro que um
elemento de sólido ortótropo sujeito a tensões de tração deva au
mentar de volume, consequentemente a variação volumétrica unitá
ria do elemento é positiva:
> o (4.29)
quando as tensões de tração sao d.o tipo ºr, de acordo com a
lei de Hooke (2,7), pode-se escrever:
1 o (- -r Er
"er Er
> o
e quando são do tipo ºe
> o
Multiplicando-se (4.30) e (4.31) por
respectivamente, temos:
E r
ºr e
( 4. 30)
(4.31)
70
1-v -v er zr > o "er + "zr < 1
(4.32)
1 - "re - "ze > 0 "re + "ze < 1
Continuando com as deduções lógicas, nao parece
claro que uma tração aplicada em uma direção corresponda a um a
largamento na direção perpendicular à primeira; isto significa
que os números que representam o coeficiente de Poisson devem ser
- - . - 20 todos positivos,embora consideraçoes teoricas da Termodinamica
admitam valores negativos. Sendo assim,os números que interessam
à teoria das placas devem satisfazer:
"er = "r < 1
( 4. 33) 2 < 1 "re = v e = a. "r
Com o intuito de mostrar o efeito dos coeficien -
tes de Póisson sobre os esforços solicitantes em placas com orto
tropia física, na Fig. 4.16 apresentam-se gráficos momento de en
gaste x coeficiente de enrijecimento (a.) para os casos b) e d)
do sub-item A, tomando-se os seguintes valores para os coefici
entes 3 :
para a.< 1 "r = 0,5
0,5 2 "e = a.
( 4. 34)
"r = 0,5 -2-para a.> 1 a.
"e = 0,5
de modo que eles sempre permanecem menores do que 1 independente
mente de a.
71
Os momentos radiais no engaste nao sao função de
vr e v 9 , e apresentam curvas contfnuas. Com os momentos tange~
ciais, tem-se um ponto anguloso em a=l que é o limite das vari
ações (4.34); a linha tracejada representa os valores que esses
momentos assumiriam se a primeira formação dos coeficientes fos
se mantida para a>l .
0,200
0,100
1.000
-M P/2lf
0,500
I I
1,0
I I
I I
72
/ /
I I I
I I
/ I
/ I
/ /
2,0
/ /
I I
/
I I
I
I I
I I
I I
I I
I I
!,O
qo
d!rTTJlTTlllITTHTllll~ 41' 1 o 1
Mr
Me
4,0
Mr
Me
~~:__------;-,_----2,e,---i;Í3,o,-:o.:::~ 44.0
o,oooop 1p 2·° FIG-4.16
73
E) m:TODO DAS FUNÇÕES INICIAIS
O cálculo de flechas e esforços solicitantes em
placas circulares possuindo um furo concêntrico ou sujeitas a
um carregamento descontinuo a partir de uma coordenada radial in
termediária, como nos esquemas da Fig. 4.17, apresenta um desen
volvimento analítico bastante laborioso. Nas primeiras, se faz
necessário satisfazer condições de contorno tanto na borda exter
na como na· interna; nas Últimas, devemos propor dois conjuntos
de soluções, um para cada região de carregamento e efetuar a co~
patibilização de flechas, rotações, momentos fletores e forças
cortantes no ponto de transição das cargas.
jJ)lbíl~ '
1 1 :~Qo 1~ r O 1
FIG-4.17
t vantajoso então, em situações práticas, lançar
mao da técnica empregada por Marguerre14 ou Bryant21 , na qual se
utilizam das funções w , <Pr dw = dr , definidas na coor
denada radial de interesse do problema (r=b) e designadas por wb,
<f,b, ~ e Qb, como as constantes de integração na solução da equ~
çao diferencial das placas circulares. Esse método, haseado fun
damentalmente no princípio de superposição, permite que as cons
tantes adquiram imediato significado físico e que o cálculo se
74
restrinja as condições de contorno na periferia (r=a).
A solução para as flechas, em problemas axissimé-
-tricos, como temos escrito frequentemente e:
que deve agora ser colocada sob a forma:
(4.35)
Utilizaremos em nossos cálculos, somente o caso
de carga constante uniformemente distribuida, que é a mais comum.
Chamando a ordenada de carga que porventura exista em r=b de
qb, podemos escrever:
e a expressao (4.35) é definida na sua forma final:
(4.36)
De maneira análoga, as outras grandezas que inte
ressam à análise estrutural da placa são dadas pela Tabela 4.2
75
w
q
Tabela 4.2
na qual as funções contidas nos quadros hachureados têm valor nu
lo, como será mostrado adiante.
Os Fij são denominados na literatura referida a
cima por "beginning or starting functions", sendo que o seu va -
lor é determinado por:
Fii(b) = 1
F .. (b) = O 1J
a) cálculo dos F .. 1J
'
(4.37)
i;,!j
Utilizaremos a Tabela 4.1 para formar diretamente
os sistemas de equaçoes que verificam (4.37).
j=l
wb = 1
"'b = Mb = Qb = qb = o
7,:,
2 c20 2 o o Qb = (1-a ) Br = c20 =
b
cio+ e bl+a +
C40 1-a
1 wb = b = 30
a -a <Pb = (l+a)c30 b + (1-a)c40 b = O
!~ a-1 -a-1
o = (l+a) (a+v6)c 30 b - (1-a) (a-v
6)c40 b =
donde obtém-se:
(4.38)
e a partir destas, as funções iniciais:
w = Fll = 1
<Pr = F21 = o
M = F31 r = o (4. 39)
Qr = F41 = o
q = F51 = o
j=2
<Pb = 1
wb = Mb = Qb = qb = o
e Qb = 2 ...2Q.(l-a 2 )B = o
b r
ClO + l+a 1-a
wb = C30 b + C40 b = o
<Pb (l+a)c30
bª + -a 1 = (1-a)c
40 b =
a-1 (1-a) (a-v6)c
40 b-a-1
~ = (l+a) (a+v8
) c30
b - = o
77
constantes:
ClO
b (1+v 6) c20 = o = - 2 1-a
a-v a+v 6 e -a = b = C30 2a (l+a)
C40 2a (1-o.)
funções iniciais:
</ir 1
[ (l -o.J = F22 = 2a. (a.-v6)p +(a+v 6 )p
M 8
r 2 2 ~ a.-1 -a-1] = F32 = - -(a -v ) p - p r 20.b e
q = F52 = O
j=3
~=l
e Qb = 2 ...1.Q. (1-a2) B = b r
wb = clO + e bl+a + 30
o
C40 b
r p = b
1-a =
c20
o
o. -a <f,b = (l+a)c30 b + (1-a)c40 b = O
=
(4.40)
bª
(4.41)
o
78
constantes:
elo -b2
c20 = o = 2 Br(l-a)
-b 1-a bl+a = = C30
2a(l+a)Br C40
2a(l-a)Br
funções iniciais:
2 2a (1-a ) Br
[ l+a 1-a J 2a+(l-a)p -(l+a)p
cpr F23 -b
[ (l -a_J = = 2aBr
p - p
1 M = F33 =-r 2a
Q = F = O ·r 43
q = F53 = O
j=4
Qb = 1
wb = c/Jb = Mb
2 c20
Qb = - """"jj"""
[ a-1 (a+v8
)p +
= qb = o
2 (1-a ) Br
r p = b
= 1
(a-v8
) p -a-~
wh = ClO + c20 b2 + c30
bl+a + C40 bl-a
c/Jb 2C20 b + c 30 c1+a)bª + -a = c40
(1-a)b =
= o
o
(4 .42)
(4.43)
constantes:
b3 e = ---=--
lO 2(1-a2 )B r
b2-a e 3 o = ---"---=2--
2 a (1-a )Br
funções iniciais:
Fl4 = b3
w = 2 2a(l-a )Br
-b2 = =
[ a -
-b 2 2(1-a )B r
2 + l+a ap p
(l+a)pª +
(4 .44)
- Pl-a J
(1-a)p <Pr F24 2 2a(l-a )Br
[ 2ap - -~
Mr F34 b [ a-1 = = 2a (l+v 8)-(l+a) (a+v 8 ) p -(1-a) (a-v 8 ) · 2 2a(l-a)
. P -a-1 J (4.45)
Qr F44 1 = = -p
q = F54 = o r p = b
j=S
qb = 1
wb = <Pb = ~ = Qb = o
80
e + ~ Qb = 2 ..1Q(l-n2 )B = o b r 2
2 + e bl+n + e bl-n + . b4
wb = ClO + C2ob = 30 40 2
Ct cj>b = 2c20b + c 30 (1+alb +
constantes:
b4 e = --...,,.--
10 8(1-n2)B r
b3-n (3+n) 2 2 2et(9-n ) (1-n )Br
funções iniciais:
8(9-n )Br
-a b3 c 40 (1-n)b +
2(9-n2)Br
-bJ+n (3-n) C40 = ---2;;--------::2c-
2et(9-n l (1-n )Br
b4 ~ 2 2 2 l+et 2 2 et(9-n )-2n(9-n )p +4(3+et)p
=
8a (1-n ) (9-n ) B r
( 1-n 2 ~ - 4 3-n)p +a(l-n )p J
o
o
(4 .46)
81
Mr = F35 = 2 2 2a (1-a ) (9-a )
r: 2 a-1 Lª (.9-a ) (l+v 6)- (l+a) (3+a) (a+v 9 ) p -
-a-1 2 2] -(1-a) (3-a) (a-v6 ) p -a (1-a l (3+v 6 ) p (4.47)
Qr = F 45 = ~ [ ! - p J
q = Fss = 1 r
p = b
As funções iniciais nao nulas da Tabela 4-2 sao
listadas no Jlpêndi ce.
b) Exerrq;>los de aplicação
b-1
FIG-4.18
Os esforços que atuam em r=b e que serao usa-
dos como constantes de integração são ~ e Qb assim o carrq;>o
de flechas nos 2 intervalos pode ser obtido da Tabela 4-2:
para b < r < c
e
para c < r < a
Obs.: F14 que multiplica P deve ser tomada na nova coordena -
da inicial, isto é, trocando-se b por c no formulário do Apê~
dice, e por isso usamos a barra para distinguí-la.
As constantes Mi, e ~ que definem as flechas
nos dois intervalos, bem como todos os esforços solicitantes,são
calculadas pelas condiççes em r=a:
w = o
M = O r Mi,F 33 (a) + %F 34 (a) + q0F 35 (a) - PF 34 (a) = O
logo:
% p [ F34F13 - F14F33 J [ F35F13 F15F33 J = - q F34F13 - F14F33 r=a O F34F13 F14F33
r=a
Mi, p [ F14F34 - F14F34 J [F15F34 F14F35 J =
F14F33 r:aqO F34F13 F34Fl3 - F14F33 r=a
b-2
FIG -4.19
Neste caso de placa completa com descontinuida
de de carregamento, temos as seguintes expressões para as fle -
chas:
para para
r < b
r > b
+ e l+n 30 r
+ e l+n 30r
83
As constantes c10 e c 30 sao eJeI>licitadas pe -
las condições de contorno em r=a:
w=O
· dw dr= o
4.3 - FLEXÃO ASSI~TRICA
Nesse Item, consideraremos as placas circulares
que estão submetidas a um estado de carregamento que nao apre -
senta simetria de revolução em torno do eixo de coordenadas z.
Nesta situação, as flechas do plano médio podem ser colocadas
sob a forma:
w = wp + "ti + I wm cos m8 m=l
onde:
wo = clO + C2or2 + C3orl+a + C4orl-a
e para m > 2
com
a Be
ó ·H
= Br
e = B r
K = 1 - 2m2o - a
L = m4a - 2m2 (,s+al
(4.48)
(4.49)
( 4. 50)
84
a = re bm = /2-K+/ K2-4L
2
bl = ,I 2-K cm = /2-K-/ K2-4L
2
Os esforços solicitantes em função de w sao de
finidos em (3.15).
Apresentamos a seguir a solução da placa com uma
carga concentrada em uma posição arbitrária22 , e a da placa soli
citada por um carregamento com variação linear, sendo que esta
necessita apenas do 19 harmônico da série (4.48) e tem uma solu
ção particular razoavelmente simples (Ver Timoshenko 9).
-a) Placa circular engastada, sujeita a açao de carga concentrada
em posição qualquer
-------/ ' / ' /
' / \ I 'B X 1 o 1 1 • /, 1 1 \ 1 r / J
' 1 / ! ' -...__J_ ......
/
1
p
º...__I -b~ª-1 ª-----J
FIG -4.20
Ile acordo com o proposto no Capítulo III, a solu
85
çao (4. 4 8) é válida quando o eixo polar Ox, origem da coordena
da angular e , passar pelo ponto de aplicação da carga.
O problema apresenta 2 canpos de flecha distin
tos, que sao separados pela circunferência de raio b - Fig.4.20.
para r > b
m
com w0 e wm definidos por (4.49).
para r < b , temos expressoes análogas que distinguiremos por
um asterisco:
W* = W* + o m
}: w; cos m0 m=l
Esta região contém a origem; então para que te
nhamos flechas, monentos e forças cortantes finitas em r=O , é
necessário eliminar algumas constantes:
c~o = C40 = o
c~l = C41 = o
m>2 c~m = c4m = o
logo: ., = Cio + Cjo l+a r
( 4. 51) -W* 1 = Ci1
rl+b1 + Cjl r
m>2 ,W* 'm = Cim
rl+bm + C* 3m rl+cm
Dessa maneira, para cada valor de m temos 6
constantes a determinar: 4 para a parte externa e 2 para a in -
P6
terna à circunferência de raio b. As condições para determi -
naçao dessas constantes são. postas da seguinte maneira:
- bordo engastado em r = a
w = o
aw - = o ar
- continuidade de forças e deslocamentos em r = b
onde
de flechas: w = w*
de rotações : aw ar = aw*
ar
de momentos fletores desde que
não atuem momentos externos:
de forças cortantes no ponto
de aplicação da carga: Q - Q* = -P r r
p . -p
pode ser representada pela série: llb
Cálculo dos wm
1) m = o
+ C20 2 l+cx
+ C40 1-cx Wo = ClO r + C30 r r
w* * * l+cx = ClO + C30 r o
( 1 + 2
( 4. 52)
As forças cortantes sao obtidas substituindo-se
estas expressões em (3.15):
· c20 2 Qr = -2 ~(1-a )B r r
Q* = o r
87
Equacionando as condições (4. 52) temos:
em r=a
w = o
· ·aw ãr = o
em r=b
w = w*
· ·aw ãr
· ·aw* = o = ãr
Q - Q* r r
C20 =
C3Q = -
. ·p = - Tnli
Resolvendo-se o sistema, obtém-se as constantes:
Pa2
[ (l-a)-2El+a J 41! (1-a)Br --'-=-..::.1.:...+_a..::...::.--
p 2
41! (1-a ) Br
1-a [ l+a J Pa 2a+ (1-a) E 2
41la (1-a )B l+a r
* ClO =
* c30 =
Então:
2 4Jla(l-a )Br
Pa 2
2 41l (1-a ) Br
Pbl-a 2
4 lla (1-a ) Br
88
[ l+a + E2 J (1-a) -2E
l+Cl
~ 1-a l+a J E (l+a)-2a-E (1-a) (l+a) El-a
Pa 2
2 41l (1-a ) B r
{ (1-a)-2El+a + p2
l+Cl
,
l+a + E pl-a}
Cl
(4.53)
b E = a
(4.54)
Wõ = Pa2
{ (1-a)-2El+a + E2 1 [2+El+a (l~a)j Pl+a + - l+a
l+Cl
1-a l+a + _E __ p } Cl
p = r a
Quando b+O (E+O), w0 representa a solução p~
ra carga concêntrica, expressão (4.11):
[ 1-a + 2 __ 2_ l+a J l+a P l+a P
2) m=l
wl = e l+b1 + llr
e r 1 -b1 21 + c 31r + c
41r ln r
W* e* l+b1 + * 1 = 11 r c3lr
89
As forças cortantes nesse caso sao dadas por:
( B+o) r 2 c41 } cose
As condições (4.52) agora se escrevem:
em r=a
w = o
aw ãr = o
em r=b
w = w*
aw ar = aw*
ãr
* ·p Qr - Qr = - Ilb cose
(C 31-c~1 )b+c41b ln b=
= o
+ c41 (1 + ln b) = O
+
= o
= p
IlbBr
90
donde se obtém as constantes:
logo:
Pa
Pb
IIB b2
r 1
1. l+b .:l LE 1 - E+ b 1 E ln~
, b E = -a
(4.55)
[ b1 l+b1 b1 1-b b1 l (2-E )p -E p 1+2(E -l)p-2blp ln Pj
Wi =
r p = a
3) m>2
w = e l+bm + e 1-bm + e rl+cm + e 1-cm m lmr 2mr 3m 4mr
(4.56)
E]
91
W* = * rl+bm + e* rl+cm m clm 3m
As forças cortantes sao dadas por:
com:
b2 13 2 m2 (13+ô)
Al = - - m ô + m l+b m
A2 = b2 - 13 + m2 ô + m2 (S-ô) m 1-b m
e~ 8 2 m2 (B+ô)
A3 = - - m ô + l+c m
A4 2 13 + m2ô +
m2 (B-ô) = cm -1-c m
- condições:
em r=a
w = o e l+bm + lmª
e al-bm + 2m
e l+cm + 3mª
e al-cm 4m = o
aw ar = 0 +
9?.
em r=b
w = w* (C -e* )bl+bm + e bl-bm + (C -e* )bl+cm + lm lm 2m 3m 3m
= o
(l+b) (C -e* )bbm + (1-b )C b-bm + (l+cm) (c3
m-m lm lm m 2m
-e* )bem+ (1-c )C b-cm = O 3m m 4m
= p
- Ilb cos me
constantes:
P b2 a-bm-1 [ 2Ecm-l -
b -1 (bm+cm>] clm
E m =
211B (b2-c2) (b -e ) b m r m m m m
2 -e -1 [ 2Ebm-l -
e -1 (bm+cm)] c3m =
p b a m E m 2 2 211B (b -e ) (b -e ) e r m m m m m
c2m = P b2 bbm-1
211B b (b2-c2) (4.57) r m m m
93
c4m =
* P b2 a-bm-1 [ C -1 Ebm-l (b +c l
clni = 2 2 2c m - b m m
2TIBr(bm-cm) (bm-cm) m
-b -1 (bm -cm)J
E m b m
* P b2 a-cm-1
[2cbm-l_ c -1 -cm-1 E m
c3m = 2 2 (bm+cm) + E
2TIBr(bm-cm) (bm-cm) cm c m
· (b -c >] m m
b E = a
2 [ Ebro (b + >] l+bm w = P b { 2ccm ~
+ m 2TIBrc(b;-c;> (bm-cm)
m cm P m
1-b (b -c ) p m m m +
(= . -bm J - _c_(b -c ) ·
bm m m
(b +c l + _c~-(b -c) Pl+cm} -cm J m m c m m
m (4.58)
r p = a
94
Os valores de w e w* m m
decrescem rapidamente
com o aumento de m, sendo preciso, portanto, poucos termos da
série (4.48) para se obter uma boa aproximação dos resultados.
b) Placa circular engastada, sob açao de carregamento com var·ia
ção linear
formação:
q (r, e)
cular é da forma
º~~--1---~X~ •
' : ' ' 1 1
' ' 1 ' 1 ' 1 1 1 ,rQo.L.COS-8
l l )~- o
~~" º1 a 1
FIG-4.21
O carregamento distribuído tem a seguinte lei de
Sob esta distribuição de carga, a solução parti
w = A r 5 cose p , onde a constante A e de-
terminada substituindo-se esta expressão na equação (3.16) e
igualando-se os coeficientes de termos correspondentes.
95.
Feito isto, encontramos:
A =
q0
r 5 cose e a s9lução particular: wp = ~~~~~~~~
16 d Br a , d= 15-28-S.
A solução 9omplementar é inteiramente definida
pelo harmônico de primeira ordem:
• cose
onde, para que nao haja valores indeterminados no centro, nova
mente temos:
Assim, a solução geral para as flechas tem por
expressao:
onde as constantes c 11 e c 31 sao determinadas pelas condições
de bordo engastado:
em r=a:
w = a
aw ar= 0
que nos fornecem:
4 qo a
16dB r
5qo a 3
16dB r
+ e l+b1 + 11 ª c31 a = o
+ ( b1 l+b1 )c11 a + C31 = o
4qo 4 . -l-b1 a
c11 a =
16dBr bl (4.59)
qo ª3 ( 4-bl) c31 =
16dB bl r
e a partir destas, as flechas e esforços resultantes:
w = cose
cose
Bre 3 b 1-1 (p + p )sen e (4.60)
r p =
a
4.4 - CHAPAS SUJEITAS A PRESSÕES RADIALMENTE SIM!1:TRICAS
O equilíbrio das chapas que possuem ortotropia
polar é verificado pela equação:
= o (4.61)
cuja solução é dada por:
F e e 2 C l+a C rl-a = 10 + 20r + 30r + 40 (4 .62)
onde a= /5: Er
e F é a função de tensões no plano re , ca-
racterizada por satisfazer:
1 dF ªr = r ãr
d 2F (4.63)
ªe = dr2
As deformações em termos do deslocamento radial
u sao:
du Er = ãr
( 4. 64) u
E8 = -r
ou ainda pela lei de Hooke:
ªr "e Er = -
Ee ªe E r (4.65)
ªe "r E8 = Ee
- E a r r
Com esses dados, podemos apresentar a solução
do problema clássico de Lamé, ou seja, de um anel uniformairente
comprimido por pressões p 1 e p 2 nos contornos interno e exter
no respectivairente, como mostra a Fig. 4.22.
98
F I G-4.22
Tendo em vista (4.63), c 10 nao interessa ao cál
culo das tensões e c 20 deve se anular para não causar valores
múltiplos para o deslocamento em um mesmo ponto13 Assim, (4.62)
se reduz a :
l+a 1-a F = C30 r + C40 r
As condições de contorno sao fixadas por:
em r=b a-1 -a-1 = c 30 (l+a)b + c 40 (1-a)b
em r=a
donde se obtém:
l+a P1 e -p2 1-a
C30 = a 2a (1-c ) (l+a) (4.66)
1-a P1 e -p2 l+a ·b
c40 = a , e = --2a a (1-c ) (1-a)
as tensões
l+a P1 E -p2 a-1
crr = p
1-E 2 (l
(18 = (l [
e o deslocamento radial:
u =
l+a ) E -p2
1 2a -E
+
a-1 p
99
P1 ,E 1-a -p2 -a-1
-2a p
1-E
_P~l~E~~-~-2 P-a-l 1-a J l-E-2a
(l (1-a" )p -r
(4.67)
Quando a chapa é completa e existe somente a
compressao p 2 , os resultados de (4.67) se reduzem para:
b -,. o
P1 =
crr =
cr e =
u = -
(E -,. O)
o
a-1 -p2 p
a-1 -p2a p
ªª (1-a"r)p 2 p Ee
(l
I r
p = a
(4. 68)
Novamente as fórmulas (4.68) constatam uma sin
gularidade matemática para r=O, que como sabemos, é um ponto
de singularidade da ortotropia polar. De maneira análoga, po -
der-se-ia corrigir esta singularidade introduzindo-se um disco
isótropo em substituição à região alterada da ortotropia, e fa
zendo a compatibilização de tensões e deformações ao longo da
circunferência que limita as duas espécies de material.
100
CAPfTULO V
FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEOMtTRICA
5.1 - INTRODUÇÃO
Neste capítulo estudaremos a flexão com peque
nos deslocamentos de placas circulares possuindo ortotropia geo
métrica ou construtiva. Esta espécie de ortotropia é caracteri
zada quando a placa apresenta propriedades de forma~ diferentes
e descontínuas nas direções radial e circunferencial, o que, in
dependentemente da isotropia do material, lhe confere diferentes
rijezas nestas direções.
O modelo estrutural em questão, conhecido pe
lo nome de placa enrijecida (stiffened plate), é um conjunto for
mado por uma placa circular isótropa de espessura constante mo
nolíticamente ligada a uma grelha polar - nervuras uniformemente
distribuídas segundo raios e circunferências concêntricas, sendo
que estas nervuras podem ser construídas com material diferente
do da placa e estarem anexadas excentricamente em relação ao seu
plano médio.
As placas com enrijecedores, geralmente sao u
tilizadas como elementos de estruturas onde se requer maior rig~
dez ou estabilidade, sem aumento acentuado do peso próprio e de
maneira que um dos seus lados continue com a função de superfí
cie continua e portante , por exemplo 6 em: pisos de edifício,
101
pontes curvas, fuselagens de avião, cascos de navio, etc.
O cálculo dessas peças tem sido feito nas Últi
mas décadas por um modo aproximado, utilizando-se da equaçao de ·a 4- ordem (3 .16) , análoga a de Huber, onde se procura substituir
a ortotropia da estrutura (forma descontínua) por uma hipotética
ortotropia do material (forma contínua), através de processos não
muito rigorosos de equivalência elástica.
Atualmente, a equaçao (3.16) é considerada cor
reta para a condição de ortotropia física ou quando os enrijece
dores são dispostos simetricamente em relação ao plano médio da
placa. Quando os enrijecedores são excêntricos, dois problemas
dificultam a determinação das rigidezes equivalentes: primeiro,
é a posição da superfície neutra,que agora além da geometria das
seções transversais, depende dos esforços resultantes que sao,
a priori, incógnitos; segundo, que a falta de simetria em relação
ao plano médio induz a ação de tensões cisalhantes neste plano
que não são consideradas na teoria clássica da flexão de placas.
Esse capítulo tem por finalidade desenvolver a
teoria considerada rigorosa de placas circulares enrijecidas,te~
do por base os trabalhos de Trotsky6 , Massonnet11 e Clifton12 ,
que abordam o assunto detalhadamente para placas retangulares.
Tomaremos o plano médio da placa isótropa como
superfície de referência, plano z=O; o sentido positivo de
z é considerado para baixo ,e as direções de coordenadas r e
e paralelas as duas famílias de nervuras, fig. 5.la. Os com-
102
ponentes do deslocamento de um ponto do plano médio, segundo
r, e e z sao designados por u, v, e w. (Obs.: Quando no texto
nos referimos a plano médio, estaremos tratando do plano médio
da placa isótropa, ao qual é fixado o sistema de coordenadas)
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1 1
1 1 ,1 1 11 1 1 f 1 1 1 11 1
r
X
•
;;-r-1 li 1 1 1 1 1 1 1
·+ - -_- -Of, - - - -,-~X-
o
z a)
_JL_jl_ ---------
~
b)
e)
ENRIJECEDOR SIMÉTRICO
ENRIJ ECEDOR
EXCÊNTRICO
FIG- 5 .1
103
5.2 - CONSIDERAÇÕES BÃSICAS
O desenvolvimento da teoria é possível se os
enrijecedores forem uniformemente distribuídos e pouco espaça -
dos entre si, de modo a conferir urna razoável homogeneidade ao
conjunto. Esta consideração é importante tendo em vista que
o equilíbrio é estabelecido sobre um elemento suposto infinite
sirnal da placa nervurada (Ver Fig. 5.5).
O espaçamento entre as nervuras não deve ser
maior que a largura efetiva da seção transversal b < b (Fig. e
5.lc). Esta restrição visa manter as tensões proporcionais à
distância do eixo neutro, em pontos da placa afastados da nervu
13 ra Se não for possível atender a esta condição, as fórmulas
continuam válidas desde que se faça o coeficiente de Poisson da
placa nulo e que se tome somente a seção transversal efetiva P!
ra o cálculo da rigidez.
Os enrijecedores, em cada direção, podem ter s~
çao arbitrária, repetida em intervalos iguais. Entretanto, pa
ra que obtenhamos equações diferenciais de equilíbrio a coefi·c:!:_
entes constantes, as rigide zes por unidade de comprirrento devem
ser constantes nas direções da ortotropia; dessa maneira, o en
rijecimento radial deve possuir a propriedade de variar em tarna
nho ou em número com o aumento do raio14 Tornando-se por base
nervuras de forma retangular, que sao as mais comuns, o parâme
tro que normalmente se faz variar é a largura, tendo em vista
que sua rigidez flexional depende da altura ao cubo.
104
No caso de estruturas compostas, por exemplo,
de placa de concreto armado e nervuras metálicas, o conjunto de
ve funcionar monoliticamente, devendo-se evitar os movimentos re
lativos entre as faces dos elementos, através de conectores rígi
- - . 15 dos que resistem as tensoes de cisalhamento ; estes conectores
não sao considerados na estimativa da resistência do conjunto.
Feitas estas considerações iniciais, apresent!.
mos as hipóteses sob as quais instituiremos as equaçoes que go -
vernam os deslocamentos da placa enrijecida, a maioria das quais
aceitas na teoria clássica de placas delgadas:
1) os materiais que compoem a placa e nervuras sao isótro
pos e obedecem à lei de Hooke.
2) as cargas externas são aplicadas normalmente ao plano
médio.
3) as deformações decorrentes da flexão seguem a hipótese
de Kirchhoff, na qual segmentos retos e normais ao plano médio
indeformado permanecem retos e normais à superfície defletida:
Yrz = Yez =O·
4) as tensões normais perpendiculares ao plano médio são
desprezíveis frente às demais; (1 ; o z
5) as flechas w de pontos pertencentes ao plano médio da
placa são pequenas em comparação com sua altura h.
1 - d h. - 1- . 11 A em essas ipoteses c assicas, Massonnet
ao analisar placas retangulares, sugeriu as seguintes que conti
nuam válidas em placas circulares:
6) os esforços cisalhantes paralelos ao plano médio atuam
105
exclusivamente na placa isótropa. Esta hipótese é melhor verif,!.
cada quando a altura das nervuras é relativamente pequena.
7) a espessura total da placa enrijecida, medida da face
superior da placa isótropa até a base inferior da nervura de mai
or altura, é pequena em relação ao seu raio a
Ao avaliar a resistência à torção do conjunto,
Massonnet supôs que a placa isótropa pode ser considerada desli
gada dos enrijeoedores e que estes seguem a torção uniforrre de
Saint-Venant ( o efeito da junção em placas retangulares foi es-16 tudado por Jackson ). Entretanto, nosso modelo apresenta as
vigas radiais com
dequadas portanto
seção variável e as demais com eixo curvo, ina
- - 13 a torçao de Saint-Venant • Adotaremos o
conoeito simplificador de Clifton12 , para nervuras cheias e es -
beltas de baixa rigidez à torção (torsionally soft), sendo que
a placa absorve integralmente os momentos volventes (fig. 5.2).
Nossa posição,ao adotar tal medida, foi basea
da em 2 fatores: primeiro que a maioria dos problemas referentes
a placas de contorno circular completo são axissimétricos e in -
dependem da rigidez torcional da placa; segundo que, se pudermos
a posteriori estimar a rigidez torcional unitária dos enrijeoed~
res, tanto o desenvolvimento quanto os resultados continuam váli
dos, bastando-se apenas acrescentar valores constantes às rigid~
zes consideradas.
106
~Mt'Mp ~Mt'Mp+Me
+--- .-- 4---- +--
- --:-==~==!! i i bp
i t t... ••
ENRIJECEDOR COM POUCA . RESISTENCIA À TO RCÃO
.ENRIJECEOOR COM BOA
RESISTÊNCIA À TORCÃO
,·
FIG-5.2
8) Na avaliação dos momentos de torção, a placa é imagina
da como sendo desligada do sistema de enrijecimento, sendo a con
tribuição dos enrijecedores considerâda pequena (torsionally
soft).
5.3 ~ DEFINIÇÕES F!SICAS E GEO~TRICAS
Neste ítem sao apresentadas as expressoes das
constantes que representam as rigidezes e excentricidades da
placa nervurada, calculadas em função das propriedades elásticas
e geométricas dos seus componentes.
Designal!Ds por:
E, v m:5dulo de elasticidade e coeficiente de lbisson
da placa isótropa
h . . . . . espessura da placa isótropa
br,be ••• espaçamento ei.xo a ei.xo entre nervuras contíguas
nas direções r e e
1117
Er,Ee • • • nódulo de elasticidade dos enrijeceà>res
FIG-5.3
A) Rigidezes Extensionais Unitárias
- da placa iSÓtropa D Eh. = ::------2" 1-v
(5.1)
D = J; J E (z) r br
- da placa nervurada dAr
( 5. 2)
ºe = 1 JÍl E (z) be e
Obs: As notações Jb e Jb representam integrais estendidas por
r e toda a área da seção transversal de largura br e b 0 respectiva-
mente, cJ + J). E(z) deve sert:rocaà> por ~napa:ccela p s 1-v
108
da integral referente à placa e por Er' E8 (ou E), na parcela
referente aos enrijececbres; dAr e dA8
são as áreas elementa
res.
B) Excentricidades das Nervuras
= fbrE(z)z dAr
erDr = 1
Ib E(z)z dA er ou
br f E (z) r
dAr r br
(5. 3)
f E (z) z dA8 b
e 1 f E (z) ee = J E (z)
ou ee0 e = be
z dA8
dA8 be
b,e
Essas excentricidades representam a distância
entre o plano z=O e o "centro de elasticidade" ou baricentro
ajustacb das seções transversais (denominação empregada por
Marguerre14 em virtude da analogia com o centro de gravidade ,ao
substituímos E (z) pela densidade p (z) nas expressões acirra).
c) Rigidezes Flexionais Unitárias
- da placa isótropa B = 2 12(1-\1 ) (5.4)
- da placa nervurada em relação ao centro de elasticidade
em cada direção:
1 = br
E (z) (z-e ) 2dA r r
( 5. 5)
1 = be
f E(z) (z-e 8)2
dA8
be
109
Pelo teorema dos eims paralelos, as rigide -
zes flexionais da placa nervurada em relação ao plano médio, se
escrevem:
Br + 2
ºr 1
J b E (z) z2dAr er =
br r
ªe + 2
ºe 1 J E(z)z
2dA8 ee =
be be
D) Rigidezes Torcionais Unitárias
- da placa isótropa: B = 2 12(1-v)
(5.6)
- da placa nervurada: corro ficou estabelecido nas hipót~
ses simplificadoras, a rigidez torcional efetiva da placa nerv~
rada é igual à da placa isótropa: H = B Entretanto, se pu -
dermos estinar a resistência torcional das nervu:cas e denominá
las por Bre e Ber , a resistência torcional efetiva do conjun
to fica:
(5.7) 2
A seguir apresenta-se um formulário das rigi
dezes e excentricidades pa:ca nervuras com seção transversal re
tangular, conforme os dados da fig. 5-4.
110
~---1---.
h. le•
-te
FIG-5.4
As grandezas tr e br variam com a distância
mdial, enquanto que a relação entre elas, tr/br' é una constan
te.
e
a)
analogamente:
b)
D - ~ + EeAe ª-1- ,: -v
1 = 6r 0 r [Jh/2 E
I=";i2" z b r dz
-h/2
ErAr h+h = r
er 2
Eh + ErAr ::----1 1-v
áreas unitárias das nervuras
( 5. 8)
analogamente
c)
EeAe ee =
Eh + ::-z 1-v
B +e 2D r r r = 1
111
. h+h 6
2
EeAe
Eh 3 =---,,_....-+EA
12 (1-v 2 ) r r
analogamente:
5.4 - INSTITUIÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILfBRIO
A) Equilíbrio de um Elemento de Placa
(5. 9)
(5.10)
<l:>nsideramos na fig. 5.5, um elemento de pla
ca nervurada e a variação infinitesimal oos esforços solicitan
tes que atuam sobre o plano médio, quanoo o elemento é sujeito
a um carregamento externo distribuíoo q(r,e).
z Me+11Me rde
r~e N +)N0 rde
8 r~e
M dM9r rde er+ ,ia ,a
Qe+7drd
Jl2
Ner+ "'bNgr rdQ ,,.
N '.Nr dr r+;,,
N + 'liNr dr re õr
FIG-5.5
A presença de enrijecedores assimétricos induz
a presença de um esta à) de forças membranais no plano médio ,que
se equilibram quando as relações abaixo forem satisfeitas:
= o
= o (5.11)
= o
O equilíbrio vertical de forças, em ternos dos
110mentos, é representam pela equação (3.4):
ª2 (-:---! ar
113
1 a 2
<2 ""."":2 r aa 1 a )M = r ar a
= -q(r,a) (5.12)
A hipÓtese na qual a placa isótropa absorve !_
soladamente os norrentos de torção, implica na relação: Mr 9=M9r ,
que juntamente com a Última (5.11): Nra= N9r , resumem as eq~
ç,5es fundamentais do equi1Ibrio em:
3Nr 3N +~
N -N r a + = o ãr raa r
aN 9 aNra N ra raa + a'r + 2 -- = o r
c-2! + l 2..)M + ar" r ar r
1 a2 1 a 2 (r ara a + 2 ãã)Mra r
B) Relações Defumação-Deslocamento
1 ª2 + <2-
r aa2
= -q(r,a)
( 5 .13)
1 a - -)M = r ar a
Aos deslocarrentos horizontais de i:ontos quaisquer
da placa nervuz:ada, denominarenos uz = u(r,a,z) e vz=(r,a,z).
Os deslocamentos de pontos situados no plano médio, serão refe
riébs por u = u(r,a,o) e v = v(r,a,o).
A hipÓtese de Kirchhoff permite relacionar es
tes deslocamentos a través de:
uz = u - z aw ãr (5.14)
vz = V z aw - r ãã
114
As defumações de placa nervurada em função
dos deslocarrentos do plano médio, são dadas p:>r:
au = ar - z
1 av u l z e!. aw 2 z + z av
+ u + l a w) (5.15) E8 = ãe - = - ãã - -r r r r r ar ~~
1 auz avz V 1 au av l a2w 1 aw) z V Yre = ãe + ãr- = ãã + ar - 2z(- -- -r r r r r arae zãã r
----------- ------ - -12--t:::::::::J-
h,
<L--i _____ -- - ------,, L_ ___ ...:_ _ __,_ __ 1--_J,_ ---- ---- ------- --- -- - -
DISTRIBUlrÃo DAS DEFORMAÇÕES NORMAIS
FIG-5.6
O eixi:Y neutro da seçao transversal em cada di
reçao é defini<b na p:>sição abaixo ao plano médio, onde as de for
mames decorrentes da aç· ão,: das fo:r,ças Nr e N8
(au e !. av + ~) r- ar r a e r '
se cancelam as defumações provenientes da açao <bs llOmentos
1 aw 1 a2w J e z (- ãr + 2 -:-:zl • Fica claro que a p:>sição
r . r ae
do eixo é,a priori, incógnita, p:>is além das propriedades elásti
cas e geométricas da seção, necessita-se do valor dos deslocarren
tos ainda desconhecidos, i;ara localizá-lo.
115
c) Relaçxies Tensão-Deformação
- para a placa isótror,a:
(5.16)
Tre = G Yre E
G = 2 (l+v)
- pa:ra os enrijecedores:
(5.17)
= o
Em tenros dos deslocamentos, estas relaçxies fi
cam :
- pa:ra placa isótropa:
2 E [ au · :a
3·ri J ªr = :----2" { ar - z
1-v
2 _ z(!. aw +_!_a w>]}
r ar r2 38
2
ªe = ...!_ { [3V + :!!. - Z (!_ ~ l-v~ rae r r ar
2 1 a wJ [ªu + z ~~+"a - z r ae r
2 a w]} ~
(5.18)
T = re E íl au · av
2 ü+vl { Lr ae + ãr · vl íl · a2w 1 awl
- rJ - 2z Lr ãrae - 2 ã"ãJ } r
116
- para os enrijecedores:
2
ªr = E ( ~ - z a w l r ar ~
[~ 1 aw 1 av u ªe = Ee ãã + z(- ar + 2 r r r
're
.___,_ -- __________ ..._ _ __..,._ E ~' ,-~· -E Z d~
'~
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS (j,
2 a w1 ~
D) Expressões dos Esforços S;>licitantes
J (5.19)
F IG-5. 7
As forças e I!Onentos que atuam no plano médio,
sao obtid:>s por integração das tensões sobre a área da seção trans
versal.
1 = br
1 = be
(5.20a)
1 = br
z dA r
117
1 Me= b-
8
e .de aco rà:> com as restric;pes da teoria:
Jh/Z T dz
re -h/2
dAr = Jh/2 Tre z dz
-h/2
(5.20b)
Começando pela força Nr , substituindo(S.18)
e (5.19) em (5.20a) e expandindo a integral, temos:
1 = o; {J E Jãu _ z a2wJ+
r=vZ '!} r :--Z p or Ü 2 J 1 av u 1 aw 1 a w
V - - + - - Z (- - + -.. --..-) }dA + r ae r r ar rL aeL r
+ f E [ au - z a 2w J dA } r ar ~ r s or
reagrupando convenientemente:
Nr = [ b~ f b E (z)dAr J :~ - [~r f b E (z) zdArJ ::~ +
r r
[ Jh/2
+ -h/2 l~v2 dz J v (~ :: + ~)
As expressoes entre colchetes já sao conheci -
das de ( 5 .1) , ( 5. 2) e ( 5. 3) , logo:
118 •
a2wJ [1· av ~ + "º - - + ílr r ae ~] (5.21)
analogamente para N8
N8 = [!. ~ + u 0 e r ae r · 1 ·aw · ·1 · ·a 2w J
- e (- - + _,,. __,,,.) + e r ar r" ae"
(5.22)
e para Nre
Jh/2 · 1 ·a 2w 1-v E { e!. ~ + ílv V Nre = -r~ ar - -) - 2z (r ílríl 8
-h/2 1-v r ae r
1 aw - 2 -) }dz r ae
ou
Nre D ~ au + ílv - ~] = (1-v)'! ar r ae
(5. 23)
Procedendo de modo semelhante com os momentos,
e começando por
1 = ~
Reagrupando:
au = ar
M , r .
E :--z 1-v
"e!. ~ + r ar
u - -r (1 aw + z --r ar
+ I E Gªº - z r ar s
119
Os termos entre colchetes podem novamente ser
reconhecidos de (5.3), (5.4) e (5.6), que nos fornece:
= -B r · 1· ·aw
- vB(- -r ar
Analogamente para Me
para
ou
Me = -B e!. aw e r ar
Mre ternos:
Mre Jh/2 (1-v) E = 2 :--! -h/2
1-v
G ª2w Mre = -(1-v)B - ~ -r arae
Liau + e D - -r r ar
2
er ~-rz]
(5. 24)
- vB
(5.25)
· 1 a 2w [e!.~+
av V
ar - -) - 2z(r ã'rãã r ae r
1 aw J - -z ãã) z dz r
1 awd (5.26) -z r ªª
As forças cortantes podem ser calculadas pelas
equaçoes (3.2) e (3.3), nas quais substituindo-se os momentos e
realizando as derivações e simplificações necessárias, obtém-se:
B("i° r
1 - ""'!
r
2 !. a w)+(B +e2D ) ( 1 aw + 1 r;? e ee ;zar?
. ·u + -zl (5.27)
r
2 Q
8 = - (B t~/o l (_!_ L!!__ +
8 8 8 r 2 ara e
E) Equações Básicas
120
·1 - B(r
1 a2v + ee 0 e <2 --2 +
r ae _!_ au) r 2 ae
+
(5. 28)
De posse das expressoes dos esforços solicitan
tes em função dos deslocamentos, e das equações de equilíbrio
em termos dos esforços solicitantes, a substituição das primei
ras nas últimas nos fornece o sistema de equações diferenciais
parciais que governam os deslocamentos (u,v,w) na flexão de pl~
cas circulares com enrijeoedores excêntricos ao seu plano médio.
D [(a2
u + !_ au) _ e (a3w + !_ a
2w;l _ D ic..!.. av + ..!!..) _
r ar2 r ar r ar3 r ar2J ªLr2 ae r2
_ e (_!_ ~ + _!_ a2w)l + D (1 ) 11 a
2v l O
e r2 ar r3 ae2J 2 +v ty arãeJ + 2 (1-v) - __2! ll ª2
r 2 ae 2
D [e_!. a2v + e r2 ae2
..!.. ~) 2 ae r
1 a3v - e D (- - -
e e r3 ae3
+
_ _!_ av] = 0 r2 ae
(5.29)
1 a2w 1 a
3w J + D ~ a
2u J - ee <2 ara e + 3 --3> 2 (l+v) r arae +
r r ae
D ~2
1 av 2 (1-v) ~ + r ãr -
ar2 .:!_ +
2 ..!.. a~ 2 ae = o (5. 30) r r
2 2 2-..!!) -r ar2
..!..~+ 13
u) = q(r,e) 2 ar
r r
(5.31)
121
onde Lr' Lre e L8 sao os operadores diferenciais definidos em
(3.17).
Para fazermos a transformação em coordenadas cart~
sianas, novamente utilizamos o artificio: r-+«> , ·ílr + ílx e ríl6 +
+ íly ; e com a troca de Indices vem:
4 íl : + 2B ílx
~ c1+v> t!;;i]+ ~c1-v> r::tJ = o
~(l+v)
- e D X X
a3v - e D ~- = q(x,y) Y Y ay3
(5.32)
(5.33)
(5.34)
Este sistema de equaçoes foi inicialmente formula
do por Pfluger em 1947, ao analisar problemas de flexão e insta
bilidade de placas retangulares nervuradas, o qual agora foi a
presentado segundo nomenclatura proposta por Massonnet11
122
5.5 - SOLUÇÕES AXISSif1tTRICAS
Primeiro procuraremos soluções do sistema (5.29),
(5.30), (5.31), considerando as placas que apresentam simetria
de revolução com relação ao eixo z, onde tanto o carregamento
externo como os esforços e deslocamentos resultantes independem
da coordenada angular e.
As derivadas na variável r sao representadas
por Índices linha (','',''' etc) e as equações neste caso ficam:
v'' + 1 V' - 1 V = 0 r r2
-e D (- 1 u' + 1 e e r2 r3
u) - e D (u'''+ l u'') = r r r
(5.35)
(5.36)
q (r) (5.37)
A equaçao homogênea (5.36) apresenta somente so
luções triviais para o deslocamento tangencial v, pois não e
xistem cargas externas que provoquem a torção da placa ao redor
do eixo z de simetria17 e nem condições de bordo favoráveis a
esse deslocamento.
123
A) Determinação do Deslocamento u
Como primeiro passo para encontrar a solução ge -
ral do deslocamento radial, procuraremos eliminar w das equa -
ções (5.35) e (5.37), começando por reescrevê-las sob a forma:
onde
1 e D (w' ' ' + - w' ' ) -r r r
w''')+(B9+e~D 9)(- \w'' + r
= D (u" + 1 u') - De(u2> r r r
F2 (q,u)
(5.38)
1 w') = F 2 (q,u) r3
1 r2
u' +
(5.39)
1 r3 u)
Agora fazemos a mudança de variável:
calculamos as derivadas necessárias:
z = w' r , e
w' = rz
w'' = rz' + z
w' ' ' = rz' ' + 2z'
•V w = rz' ' ' + 3 z' • (5.40)
Substituindo-se (5.40) em (5.38), encontramos:
e D (rz'' + 3z' + ~) - e D (~) = F (u) r r r e e r 1 (5.41)
Multiplicando-se as equaçoes (5.41) por r e de
pois derivando a primeira delas,vem:
124
[r F1 (u)] ' (5.42)
(B +e 2o) (r2z•' '+Srz' '+4z')+(B +e 2D·) (-z') = [rF2 (q,ul] r r r · e e e
da primeira:
2 . [rF
1 (u)]'
(r z' ''+5rz' '+4z') =
que substituído na segunda, dá:
2 ~sºe Ba+e;D8~ [ J B +e2
D ~ ~, (B +e D l ~0- - 2 z' = rF 2 (q,u) -( r ~ r) rF1 (u)
r r r e B +e O er r r r r r r
(5.43)
Desenvolvendo o 29 membro de (5.43) com o auxílio
de (5.39), obtemos:
B .. B -te2
D = - ..E(ru'''+2u'')+D ( r r r -e 8 e D r r r
1 - ~ u) + rq r
e ) c!.u' -e r
(5.44)
A fim de facilitar o desenvolvirrento algébrico,
utilizaremos a seguinte notação auxiliar que será abandonada pos
teriormente:
e = l /
G e Br
= er
B +e 2D H = e 0 ( r r r
8 erDr
- e ) 8
2 . B8+e8D~
- B +e2D r r r
(5.45)
125
Tendo em vista (5.45) e (5.44), podemos escrever
(5.43) sob a forma:
z' =-G(ru"' +2u") +H·(.!.u• -r ·1 ~ u) + Crq r
(5.46)
• ·a Elevando-se as derivações até 3- ordem:
z' •
z 1 1 1
= -G(ru'V+3u'' ')+H(.!. u' 'r u' +
u'' +
2 """'! u) r
+ C(rq'+q)
6
~ u' - 6
~ u) +e (rq' '+2q')
Estas expressoes, substituídas em qualquer uma
das equações (5.42), fornecem uma equação diferencial ordinária
na variável u somante:
V . ·:9 u + r
u'V + Í, . H . l.:-9 - G -
= ~ [q li + f q' + (9
u''' -2- +
r
(5.47)
A esta altura do desenvolvirento, se faz necessá
rio instituir constantes definitivas que figurarão nos resulta -
dos. Efetuando os cálculos a partir de (5.45), designamos por:
1 erG
0e 1 erDr G
(5.48)
=
12fi
com os fatores adimensionais:
ºe 2 2D ee . a Be+ee 0 e
Kr · e.r r
(5.49) X = ' a = ºr ' = B +e2D ' = ,r-er r r r r
A equação (5.47) pode então ser escrita de modo
mais conveniente por:
+ 7r4q• + (9-xa)r3~ (5.50)
que é uma equaçao ordinária tipo Euler, cuja solução geral é da-
da por u = ' depende do carregamento q(r) e
é da forma:
5
~= ~ i=l '
sendo. os Ãi raízes da equaçao característica obtida da substi -
tuição desta expressão em (5.50) homogênea:
(5.51)
J,=l é um valor que satisfaz (5.51), podendo-se escrever portan
to:
da qual se obtém as ráizes restantes:
À = + /K+/ K2-4L
- 2
Agora,
b = / K+/ K2-4L
2
designando por
(5.52)
(5.53)
127
c = / (5.54) e
as raizes todas ficam: 1, b, -b, c, -c •
Consideraremos em nosso trabalho, somente os ca
sos nos quais estes números assumem valores reais. Isto sempre
ocorre quando não se tem uma ortotropia muito desproporcionada,
e os parâmetros (5.49) não se afastam muito da unidade. Esta si
tuação corresponde à maioria dos casos práticos.
O deslocamento radial é definido por:
(5.55)
B) Determinação da flecha w
O encaminhamento utilizado para se eliminar w
no Item anterior é repetido, passo a passo, quando eliminamos u
e constituimos uma equaçao em w somente. A única diferença es
tá na troca de variável, que desta feita deve ser u z = - • r
Então, reproduzindo~se o processo algébrico de
(5.42) a (5.50) com a nova mudança de variável, encontramos fi -
nalmente:
(5.56)
A versao homogênea de (5.56) tem sua solução no
J28
aspecto habitual às equaçoes tipo Euler:
6 w = h l E
µi i r , com os µi raízes da equaçao caracterís
i=l
tica correspondente:
{5. 5 7)
As raízes O e 2 sao facilmente obtidas por ins
peçao, e o polinômio obtido da divisão por µ e (µ-2) -e:
(5. 58)
que ainda pode ser simplificada em:
(5.59)
Assim, resolvendo-se duas vezes a equaçao quadrá
tica obtemos todas as raízes:
µ = 1 + (5.60)
Comparando-se (5.53) com (5.60), temos a relação
entre as raízes das equações características, para os deslocamen
tos u e w
(5.61)
A solução geral das flechas fica então definida
por:
(5.62)
J 29
C) Multiplicidade entre as constantes de integração
Como ficou demonstrado nos sub-ítens anteriores,
as expressoes que definem os deslocarrentos são bastante pareci -
das:
5
l i=l
(5.63)
5
l i=l
com:
Àl = 1 / / I<2-4L K +
b = Àz = b 2.
À3 = -b e
À4 / K - / K2-4L = c c =
2
À5 = -c
X = a = ; a = e
Entretanto, nao existem 11 constantes de integr~
çao independentes a serem levantadas pelas condições de contorno.
A teoria de equações diferenciais18 nos diz que o sistema (5.35),
(5.37), só comporta 6 constantes independentes, e as constantes
Fi são proporcionais às Ei.
13fl
Por exemplo, propondo a relação Fi = jiEi , e
com (5. 6 3) , substituídos em (5. 35) , calculamos o fator de multi
plicidade:
ou
j -i -
ainda:
ji = e
eror[Ãf+ÀD - eeDe (Ãi+l)
D À~ - D r 1. e
[ 3 2
- xa(l+Ãi)J Oi+Ài) r À~ - a
].
(5.64)
= e ni r (5.65)
Observando o segundo membro da equaçao (5.50) ,
notamos que a solução particular up contém a constante multi
plicativa er que pode ser posta em evidência: desse modo, a
forma definitiva das soluções gerais dos deslocamentos fica:
u =
w = w + p
5 l
i=l
5 À. J + l n. Ei r
1
i=l l.
D) Caso particular
(5.66)
Uma situação de bastante interesse na flexão a
xissimétrica de placas circulares com enrijecedores excêntri -
cos ao seu plano médio, é aquela em que as propriedades de rig!.
dez sao as mesmas nas direções principais da ortotropia, poden
do-se dizer a grosso modo que se trata de uma placa isótropa
com características geométricas descontínuas.
Neste caso: ,
131
logo, as constantes que definem a ortotropia: x, ~ e B , sao u
nitárias, o que resulta K=2 , L=l e portanto b = c = 1 Des
se modo, configura-se uma multiplicidade tripla nas raízes das
equaçoes características (5.51) e (5.57). Isto nos sugere ten
tar reduzir em 2 unidades a ordem das equações (5.50) e (5.56),
como mostraremos a seguir.
O sistema de equaçoes neste caso se resume em:
1 ·u (u' ' + - u' - 2 )
r r - e (w' ' ' + !. w' ' r r
1 ') 2w r
= o (5.67)
(B +e 2D ) (w'V+ ~ w'' ,_ r r r r
·1 '' + 2w . 1 ') 3w 2
- e D Cu'' ' + u' ' -r r r r r
. 1 2 r
u' + ·1 3 u) = r
q (r) (5.68)
Multiplicando-se (5.67) por r , depois derivan
do e finalmente dividindo-se por r, obtemos:
2 (u' ' ' + u 1
' -r u1 + 1
3 u) r
- e (w i v +· ~ w i i i
r r ·1 11 +
- r2 w
+-\ w') = O (5.69) ~
De (5.68) e (5.69), tem-se as equaçoes procura -
das:
2 + 2r u 1 1
- ru' + u = er
(5. 70)
4 •v 3 2 r w + 2r w' ' ' - r w' ' + rw'
Esta Última equaçao equivaleria à fle.xão de uma
placa circular isótropa, de espessura constante e rigidez fle -
xional B ' r .
132
= q(:r) -ç
As soluções co~lementares de (5. 70) sao defini-
das por:
Í, -1 J uh= er LF1r + F2r + F3r ln r
e (5.71) 2 2
wh = E1 r + E2 + E3 r ln r+ E4 ln r
Como sabemos, as constantes independentes sao so
mente 6; daí, substituindo-se (5. 71) em (5.67), obtemos a rela-
Logo, as soluções gerais dos deslocanentos se es
crevem:
(5.72)
Observ.: No caso geral de enrijecinento, estávamos interessados
em relacionar grandezas referentes às direções de ortotropia e
mostrar a influência desses faton!s sobre o co~ortamento estr~
tural do conjunto placas+ vigas como um todo, tanto que as ri
gidezes foram definidas por integração na seção transversal com
pleta.
Neste caso particular, aqueles faton!s sao todos
unitários e talvez seja interessante, na análise dos resultados,
considerar separadamente as grandezas relativas à placa e nervu
ras e depois relacioná-las de modo a mostrar somente o efeito do
enrijecinento transversal da placa isótropa.
133
Faremos a definição desses parâmetros, de acordo
com a Fig. 5.8, e utilizando o subscrito s para nos referirmos
a grandezas relativas às nervuras:
A s
ºs
B s
= h+h r z-
. hrtr = ,ç
= EAs
h 3t = E r r
n1Ç
. . .
br
----- ---- ----jh •,
hr =he
.!r..- la br - be
FIG -5.8
distància do plano médio ao centro de grav~
dade das nervuras
área unitária dos enrijecedores
rigidez extensional dos enrijecedores
rigidez flexional dos enrijecedores
representam o
são definidos novos fatores adimensionais, que
enrijecimento transversal da placa isótropa:
Ds ª1 = o
.B s ai = T (5.73)
= es
X. n 1
onde:
134
D · Eh
= :-7 1-v
B · EhJ
= 2 12(1-v)
Com essa nomenclatura, as rigidezes e exoentrici
dades definidas anterionnente ficam:
h+h r
2 = e
s (5.74)
(5.75)
A rigidez flexional em relação .ao plano médio é:
Br + e2
D = B + B + e2o r r s s s
daí tiramos:
= B + Bs + e2
D s s
ou desenvolvendo:
2 = B(l +si+ 12xi
a. _1_) l+ai
(5.76)
(5.77)
135
5.6 - SOLUÇÕES NÃO-AXISSim:TRICAS
O sistema de equaçoes diferenciais parciais (5.
29), (5.30) e (5.31), contrariamente à sua versão em coordena -
das cartesianas (5.32), (5.33) e (5.34), não apresenta simetria
no posicionamento de variáveis e de derivações; este fato torna
bastante complicado qualquer processo de eliminação de variáveis,
por exemplo quando se deseja eliminar u e v e obter uma equação
diferencial parcial de a! ordem em w somente.
Entretanto, por outro caminho, tentaremos local~
zar as soluções gerais de u, v e w , utilizando-se de séries har
mônicas infinitas que nos permitem separar as variáveis indepen
dentes r e e •
As soluções recomendadas tém a forma:
"' u = I Um cos me
m=l
"' V = I vm sen me
m=l (5. 78)
"' w = 2 w cos me
m=l m
e para o carregamento distribuído:
"' q (r, e) = 2 ~ cos me
m=l (5. 79)
nas quais Um, Vm, Wm e~ sao funções exclusivamente de r.
Porém, antes de efetuarmos as substituições, é
bom notar que nossa experiência com soluções axissimêtricas nos
13~
permite prever que os Wm seja polinômios em r de um grau mai
or que Um e Vm
va variável:
Então, valendo-nos disso, definiremos uma no-
(5. 80)
a ser utilizada nas operaçoes algébricas.
Ao escrevermos as equaçoes, utilizaremos as nota
çoes:
D o1 = '! (l+v) e ; e as derivadas em r re
presentadas por Índice linha (', ' ', ' ' ', etc).
Substituindo-se as séries (5.78) e (5.79) junta-
-mente com (5.80), nas equaçoes (5.29), (5.30) e (5.31), obtemos
o seguinte sistema de equaçoes diferenciais para os Um' Vm e
wm
D (U' '+ !, u•·J r m r m
- 4e D W'' -r r m
U' ·m -mDl r
V' m --r
w• m (2e D -e D )-r r e s
2 · wm - e D Cm -1).....,.
s s r" r
+ D (V'' + l V') -2 m r m
= o
-eD(rW''')r r m
= o (5.81)
w• ·m + mee 0 e r
(5.82)
-eDU''' r r m
u 1 1 .. m - 2e D -r r r
137
U' .. m + ee0 e z
r
=
w 1 •
m r
w• m 2 r
V' ·m 2+ r
+
(5. 83)
Agora é feita a troca da variável independente ,
para equações do tipo Euler que permite torná-las com coefici
entes constantes:
t = ln r (5.84)
Efetuando a troca, operando e simplificando, po-
demos escrever o sistema em forma matricial, onde denotamos o
operador diferencial d ã1: = T
ª11 ª12 ª13 u o m
ª21 ª22 ª23 vm = o (5.85)
ª31 ª32 ª33 w e3tC\n(t) m
na qual os elementos da matriz IAI sao:
D T2 - 2 ª11 = (De+m D2l r
ª12 = m[o1T - (D 8+D2)]
-erDrT3 2 2
ª13 = - e D T + e 8D8T - Cm -1 )e 808 r r
138
ª21 = -m[D1T + co 8+o2 J]
D T2
-2
ª22 = CD2+m ºe> 2
ª23 = .m eeºe 2
[T- Cm -1)] C5. 86)
-e D T3 + 2 2
ª31 = e D T + e 8D8T + (m -l)e8
o 8 r r r r
[T + 2
ª32 = m eeºe Cm -1 J]
ª33 = (B +e 2D ) T4 - [CBr+e;orJ+CB8+e~D 8 ) + 2m2B] T2 r r r +
+ Cm2-1) 2 (B e 2
+ eeoe>
Da teoria de sistemas de equações diferenciais18
a coeficientes constantes, temos que é possível trabalhar com
as derivações como se fossem polinômios em T e que são váli -
das as seguintes relações entre determinantes:
ª12 ª13
ª22 ª23
ª11 ª13 (5.87)
ª21 ª23
ª11 ª12
ª21 ª22
A) Soluções Complerrentares
As soluções nao triviais do sistema homogêneo
sao obtidas quando o determinante da matriz IAI for nulo qual
quer que seja o valor de m :
139
(5. 88)
Expandindo-se o determinante e simplificando-o
de forma conveniente, a Última das equações (5.88) se escreve:
Os coeficientes P1 , P2 , P3 e P 4 dependem das
características elásticas e geométricas da placa nervurada e
do Índice contador dos harmônicos m ;foram definidos de modo a
enquadrar todas as constantes adimensionais utilizadas no item
anterior, posto que esse é o caso mais geral e deve abranger to
das as soluções axissimétricas.
2 2r 2 2 2 2 2] P3 = -(l+Kr) (m -1) La(l+a+2m !l)+aU+a)+fm ae+fm a(d2-d1 ) +
[ 2 2 2 22 2 2 2 2] + Kr 2(m -1) xa(l+xa)+fm (xa) (m -1) -fm (xa) d1 (m -1)
com as constantes definidas no problema simétrico:
ºe 2 e 2D . ee
a 8 e+ee0 e
Kr r r
X = ; a = = B +e2o e = ~ er Dr r r r r
140
e mais as referentes à torção e ao cisalhamento do plano médio
da placa isótropa:
d2 º2
= Dr
f 1 = d2
D (l+v) 2D r
D (1-v) = 2D r
e íl =
(5.91)
B
B +e2D r r r
A equaçao característica associada a (5.89) tem
por expressao:
(5.92)
que é uma equaçao algébrica bi-quártica com as raízes:
que, dentro daquele campo de ortotropia "bem-comportada" a que
temos nos referido, são todos números reais.
Desse modo, a solução de (5.89) leva a forma:
4
l i=l
ou ainda de (5.84):
4 l IE.
i=l L'. im
analogamente:
4 ~ U = l F. hm i=l irn
(5.93)
J.41
e 4 í
i=l
B) Casos particulares na variação de m
a) m=O
Se fizermos m=O nas séries (5. 78) retornamos
ao caso axissimétrico, os coeficientes da equação característ~
ca (5.92) se reduzem a:
pl = - (l+K ) (2+a+Bl + K [2 (l+xal] r r
p2 = (l+Kr) [(a+a)+(l+a) (l+Bl] - Kr[l+(xa)2
+4xa] (5. 94)
P3 = - (l+Krl [a (l+B) +B (l+al] + Kr[2xa (l+xal]
P4 (l+Kr)aB -2
= Kr(xa)
Por inspeção, verifica-se uma dupla multiplicid~
de com as raízes + 1 ; assim, (5.92) pode ser decomposto em:
as constantes entre colchetes já sao conhecidas e valem K e L
respectivamente; então, as raízes todas são:
142
/ + À3 + K+/ K2-4L + b (5.95) = 2 -
/ + À4 + K-/K2-4L
+ c = 2 =
Observe-se que as soluções encontradas sao as
rresmas obtidas com uma equação de 6~ ordem, a menos evidentemen
te dos termos com multiplicidade. Explica-se que estes termos
são representados em equações tipo Euler acompanhados por ln r,
2 (ln r) , etc ; e que devem ser eliminados ao se aplicarem condi
ções de contorno com simetria de revolução.
b) m=l
Quando m=l, os coeficientes (5.90) sao dados
por:
pl
p2
=
=
- (l+Kr) [ (2+a+S+2íl) +f (d~-di) +fa] +Kr [2 (l+xa) +fa]
(l+Kr) { (1+8+2íl) [1+a+f (d~-dil +fa]} - Kr{l+ (xa) 2
+
+ f[a+(xa)2]-2fd1xa}
e a equaçao característica se reduz para:
cujas raízes sao:
(5.96)
143
·+ Àz = + o -·+ À3 = +
/ -P1+/ Pi-4P2 = :!:. bl (5.97) - - 2
+ À4 = + /-P1-/Pf-4P2 = + cl - - 2 -
C) Multiplicidade entre as constantes de integração
As expressoes de whm , uhm e vhm (5. 93) sao
obtidas do nesmo determinante, ficando claro que elas são múl -
tiplas entre si, existindo sonente 8 constantes de integração
independentes.
Então podemos escrever as relações
(5. 98)
i=l, ••• ,4
Com (5.93) e (5.98) substituídos nas equaçoes
(5.81) e (5.82), calculamos os fatores de multiplicidade:
j. =e [dzÃi-(d2+ma~ [Ãf +Àf-xaÃi + (m2-l)xa]-m
2xa [d1 Ãi- (a+d2) J [>.1- (m
2-1)]
im r
ou
(5.99)
144
ou
= (5.100)
Dessa forma, as soluções complementares têm o as
pecto:
4
[ ill vhm = e r
4
whm = l (Eim i=l
(çim E. im
À" r l.
À" r i
-À· J + n(i+4)m E(i+4)m r 1
>
+ ç (i+4 )m E (i+4 )m r ) -Ài J
rl+Ài + 1-Ài E(i+4)mr )
D) Soluções particulares
(5.101)
O primeiro passo ao se procurar soluções particu
lares dos deslocamentos é expandir o carregamento distribuído em
uma série infinita em co-senos do tipo:
., q(r,8) = }: ~(r) cos ma
m=l (5.102)
tendo-se ~ ( t)
Depois faz-se a troca de variáveis: r=et, ob
Essa função deve ser empregada no segundo mem
bro das equações (5.87), que desenvolvidas assumem a forma:
145
5 4 2 3r; 2 2 2 ]2 {T +T -(l+xa+m fa)T -Ll-(m -l)xa+m fa-m fxad1 T
1. 2 2 J 2 2 3t - i_,ca(m -1) (l+m fd1 ) T+(m -1) xa}~(t)e (5.103)
1. 2 ] 2 2 3t + i_,ca(m -1) (l+fd1 ) T-xa(m -1) }~(t)e (5.104)
1 = Br
Nota-se , como era de se prever, que para m=O,
a solução particular do deslocamento tangencial é nula.
As soluções particulares de um , Vm e wm sao
obtidas das equações acima, pelos métodos usuais já citados ante
riormente: coeficientes a determinar, variação dos parâmetros,
etc: e depois retorna-se à variável original com t = ln r.
5.7 - CONDIÇÕES DE CONTORNO
As condições de contorno a se verificarem na al
tura do plano médio da placa isótropa, são praticamente as mes -
mas já definidas em placas com altura constante no ítem 3.10:
pois a hipótese básica de Kirchhoff das "seções planas" permane
ceu inalterada. A diferença em termos de condições de contorno
entre os dois tipos de placa se deve ao fato de que o plano mé -
146
dia na situação atual é deformado, devendo-se então prescrever
na periferia, forças Nr ou Nre, ou deslocanentos u e v •
As grandezas geométricas que podem ser fixadas
- aw no contorno sao: ãr, w, u e v , enquanto que as grandezas aM
8
es-
táticas a elas equivalentes sao: = Q + r r rae e
Dessa maneira, no caso·, mais•.geral, devem ser e
liminadas 8 constantes de integração equacionando-se 4 das condi
ções acima em cada bordo (no caso de placas completas, o centro
e uma região de contorno). Nos problemas axissimétricos, tem-se
6 constantes de integração a serem obtidas com 3 condições em ca
da bordo (v = Nre = O).
147
CAPÍTULO VI
APLICAÇÕES A CASOS COMUNS DE CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO
(ORTOTROPIA GEOM1':TRICA)
6.1 - INTRODUÇÃO
Neste capítulo, tentaremos reproduzir a maioria
das aplicações clássicas efetuadas no Capítulo IV para a situa
çao de placas com ortotropia geométrica. Como sempre ocorre,da
maior facilidade de se obterem resultados analíticos, a flexão
axissimétrica terá o maior número de exemplos, sendo dada espe
cial ênfase ao caso particular que apresenta as nervuras com
mesmas propriedades geométricas nas direções da ortotropia.
6.2 - FLEXÃO AXISSIM1':TRICA
1 - CASO PARTICULAR - propriedades idênticas nas duas direções
er = ee
Dr = De
Br = Be
Consideraremos somente o carregamento distribuí
do, quando existir, constante e de intensidade q 0 • Dessa for
ma, as soluções para os deslocamentos do plano médio, dadas em
(5. SD) sao:
14P
q r3 -1 + 2E3 r ln r J u = e [ l~B + F1r + F2r r r
4 (6 .1)
qor E1r 2
+ E2 + E3 2 ln~r + E4 ln r w = + r
64Br
Os esforços solicitantes, escritos de forma co~
veniente para a manipulação das equações a serem formadas pelas
condições de contorno, se seguem:
u' y(-)
er - yw' ' +
1 · u \1 (- -)
r er
1 u = y (- -) r er
·1 - y (- w 1) +
r u'
\1 (-) er
-ô (1 +K ) w " - v e!. w' ) + r r
-ô (l+K ) e!. w') r r - VW
1 1 + ôK (!. ~) r r e r
-ô(l+K) (w"' + 1 w" -r r 1 1) 2w + ôK Í_!__(u" + l
r Ler . r
com as constantes:
ºr Y = o
ô . Br
= T
Kr = e 2D r r
~
r
(6.2)
u'- ~>] r
( 6. 3)
Com o intuito de facilitar o equacionamento das
condições de bordo, colocamos na Tabela 6.1 os esforços solici
tantes e deslocamentos escritos em função das constantes de in
tegração a serem pesquisadas em cada caso.
Tabela 6.1
qo El E2 E3 E4 Fl F2 64Bõ
u 4r 3 2r ln r 1 - - - r -
er r
w 4 2 1 2 ln r ln r -r r r -
W' 4r3 2r r (1+2 ln r) 1 - -- r
N r 2 ··~ 1
lerD 4vr -2y - -(y-2v ln rl ( y+v l - z!y-v) r r
Na 2 -~ (y+v l 1
erD 12vr -2y - -(y-2v ln r) 2 (y-v)
r r
Mr 2 -[ó(3+K )+v +
~[ó (l+Krl-v] ·1
-4(3ó+v)r -2 [ ó (l+Kr)+ - r
óKr óKr B - ln r] -2 +2(ó+v) +v l r r
.
Me -4(ó+3v)r 2 -2 [ó (l+Kr)+ -[ó (l+Kr)+3v - -\[ó (l+Kr)-v] óKr
1 óKr B - + 2
+v l +2(ó+v)ln rl r r
Qr -32óKr
4ó - - -B - - - -r
150
D:! modo análogo ao que foi feito no Capítulo IV,
apresentamos a seguir o cálculo das constantes de integração e
as expressões de esforços e deslocamentos para casos clássicos
de carreganento e condições de contorno.
A) Placas Conpletas
.As placas circulares sem orifício concêntrico
têm seu cálculo sinplificado pelas condições de sinetria em r=O:
u = w' = Qr = O Então, da Tabela 6.1, temos:
e os deslocamentos proveniente~ da açao de um carregamento uni
formemente distribuído se reduzem a:
3 qor
u = er(I'6"B'! + F1r)
w =
4 qor
64Bô
(6. 4)
Se a placa estiver sob a açao de uma carga P
concentrada em r=O , a constante E3 e determinada pelo equilí
brio de forças verticais:
8IlBô
e os deslocamentos assunem o aspecto:
u = er [ 4:Bô r ln r + Fl ,r l
(6. 5)
p 2 ln .r + E1 2
+ Ez w = r r 8IlBô ·
151
As constantes F1 , E1 e E2 sao determinadas p~
las condições de contorno em r=a. Fixaremos uma condição de
bordo que será suposta válida sempre: Nr = O ; esta imposição
visa liberar o apoio aos deslocamentos horizontais, de modo que
a placa obtenha as flechas mais desfavoráveis e para se evitar
esforços externos no plano médio que possam conduzir à não line
aridade geométrica do problema.
e
q ( r)
N1 = O
- - -------- -1----
A
Fl ~ El = -y+v
Fl = 2y E + - l y+v
r : o
condição Nr = o em
2 4 \) qoa --- , no caso y+v 64Bõ
P (y-2v "ln a)
811Bõ y+v
FIG-6.1
r = a , corresponde a:
de carga distribuída
no caso de carga centra da -
a) Placa circular apoiada,sob a açao do momento M0 uniforme -
mente distribuído na periferia
~º----~ o
1
FIG-6.2
152
Os deslocamentos na ausência de carga distribuí
da sao dados por:
u = er F1 r
2 w = E1 r + E2
condições em r = a
o E1
a 2
w =
Nr = o Fl =
+ E2 = o
~E y+v 1
Mr MO MO
-2 [ó (l+Kr)+v]E1 = a=
- constantes:
E = -1 Mo y+v 2B '(õ+v) (y+v)+vóK ·
r
MO y
B (ó+v)fy+v)+vóK r
+
- deslocamentos e esforços resultantes:
MO u= ae - Y P - B r -(y+v) (ó+v)+vóK •
y+v (y+v) (,f+v)+vê5K
r
,
r
2 (l-p )
P =' E a
óKrFl
(6. 6)
( 6. 7)
153
b) Placa circular engastada, submetida a um carregamento unifor
memente distribuído q 0
condições em
w = o
Nr = o
w' = o
- constantes: 2 2q0a El = - 64B<I
4 qoa 64B<I
~lllUllllllUlllll~ 1 ° 1
'FIG-6. 3
r = a
4
o qoa
E1a 2 + Ez = 64Bó +
2
Fl ~E V qoa
= - y+v 16Bó y+v 1
2
o qoa
2E1a = 16Bó +
( 6. 8)
154
- deslocamentos e esforços solicitantes:
u = ª3 qo er
16Bô
4
3 ( p - p)
qoa (p2_11
2 w = 64Bô
Nr = 3~ 'i ô qo cK12cp2-11
Ne = 3 ver 'i -ô- qo <*>2(3p2-11
2
Mr qoa
= - ITõ
2
Me qoa
= - I6"6"
[(3ô+v)p2
[c11+3v) p2
-
p ,
(ô+v)J
(ô+vl]
r p =
a
(6.9)
c) Placa circular apoiada, submetida a um carregamento uniforme
mente distribuído q0
1 Qo
~-D u 111 11 u n II 1I!L 1
a
FIG-6.4
- condições em r = a
w = o
F =3..r_E 1 y+v 1
155
- constantes:
4
E2 qoa
= b4B6
2
Fl qoa
= - I"i>B6
(3ó.+v t (y+vJ+vóKr
(ó+v) (y+v)+vóK r
(Sô+v) (y+v)+vóKr
(ó+v) (y+v)+vóK r
y(3ó+v)+v(ó+v)+vóKr
(ó+v) (y+v) vóK r
- deslocarrentos e esforços:
u = 3
er qo a
16Bó
y(3ô+v)+v(ô+v)+vóK r ( ô+v) (y+v) +vóK r
(6.10)
4
[ (3ó+v) (y+v)+vóKr (Só+v} (y+v)+vóKr ] qoa 4 2 w = p - 2p + 64Bó (ó+v) (y+v)+vóK (ó+v) (y+v)+vóK
r r
3 Nr = 4
ver a 2 2 -ó- qo <fil (p - 11
2 (3ó+v) (p -1)
[ ( ô+3v) p2
- (3ó+v) J
, r p =
a
(6.11)
Na Fig. 6.5, sao representados os gráficos de
flechas e deslocamentos radiais máximos, onde fizemos
·h ( rl t n e ao espaçamen o parâmetros relativos à altura
nervuras.
variar os .. tr <-,,-> das
r
156
As flechas diminuem rapidanente com o awrento
da altura e com a diminuição do espaçamento ent·re nervuras, i~
to é, com o grau de enrijecimento da placa isótropa e tendem a
um valor constante a partir de um eh:) que talvez contrarie as
hipóteses simplificadoras da teoria.
Os deslocamentos radiais awrentam rapidanente ,
quase que proporcionalmente ao aurrento da altura das nervuras e
depois coneçam a diminuir sob uma variação qualquer, dando - nos
um forte indício de que a hipótese das "seções planas" não seja
muito bem satisfeita para valores grandes de hr
4,00
Wmdx. 4
<lo0/648
3PO
2,00
1,00
0,00 . 0,0
0.10
-Uma'x.
q0o3h/l 68
0,05
0,5 1,0
157
t,,o,so
1,5 2,0
Ir b,1,00
!,: , 0,50 br
.!r., O 20 br '
.!r_o 10 b - '
..!r., 1.00 br
2,5 3P hr 3,5 4,0 h
Qo
,111111 lllifl º 1 w
Wmóx. -Umdx.
V=0,3
ODO+-~~-,.-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
º·º 0,5 1,0 1,5 2P 2,5 3P .t;(- 3,5 4D
FIG-6.5
158
d) Placa circular engastada, sob a açao de carga centrada
p u= e ( -- r ln r + F 1 r )
r 41!B6
o
P 2 2 w = -- r ln r + E1 r + E2 81!B6
condições em r = a
o p 2 ln a+ E1 2
+ Ez = a a 81!B6
w = o
Fl ~E p (y
= +--1 y+v
o p = -- a(l w' = O
81!B6
- constantes:
E = - P (1 + 2 ln a) l 161!B6
p à2
161!B6
p --ln a 41!B6
- deslocamentos e esforços:
P a e u = r P ln P
41!B6
P a 2 2 p 2 a w = p ln p + 81!B6 161!B6
81!B6
+ 2 ln
2 (1-p )
- 2v ln a)
y+v
a) + 2El a
FIG-6.6
(6.12)
159
Nr = 3ve
r P ~
ln p (6.13)
Ne = N r
Mr p
[ô + (ô+,,Jln p J = -411 ô
Me = p
[" + (ó+") ln p J - --411 ó
Qr p 1 r = - ' p =
211a p a
e) Placa circular apoiada, sob a açao de carga centrada
LS
lp
z a·
1
FIG-6.7
- condições em r = a
w = o
= o
- Constantes:
E = - p l l611Bó
2 o Pa l = -- n
811Bó
2y E + Fl = - 1 y+"
a+ E1
p
811Bó
2 + E2 a
(y-2" ln a)
y+"
_P_[o(3+K J+,,+2(ó+,,Jln 8JIBó r
- F óK 1 r
[
3ô(y+,,)+,,(óKr+y+")
ô(y+,,J+,,(ôKr+y+") + 2 ln a ]
a] -
Pa 2
161IBô
160
l 3ô(y+v)+v(ôKr+y+v) l ô(y+v)+v(ôKr+y+v)
__ P~ [----ô~y ___ _
41IBô ô(y+v)+v(ôKr+y+v) + ln a J
- deslocamentos e esforços:
u =
w =
Nr =
M = r
Me =
Qr =
Pa
4IIBô P ln P - Pa
41IBô p
ô(y+v)+v(ôK +y+v) r
Pa2
161IBô l 2 3ô(y+v)+v(ôKr+y+v) 2P ln P + ----------
ô(y+v)+v(ôKr+y+v)
Ne 3 ver
P ln p = h 2 ô
p ( ô+v) ln p - --
4II ô
p [(ô+v) ln p
ô2
(vKr +y+v)-v2
( ôKr +y+v) "J - --
4Ilô ô(y+v)+v(ôKr+y+v)
p 1 r - -- p = 2Ila p a
( 6 .14)
(6.15)
No gráfico da Fig. 6.8 é mostrado o resultado de
uma comparaçao feita entre as flechas máximas da placa nervura
da (ws) com as da placa de espessura uniforme (wu)' de mesmo ra.io,
material e volume. Foram calculados vários casos de geometria
da placa nervurada (tr br
e hr 11) , e verificou-se que esta aprese~
ta melhores respostas ou menores flechas para situações de enri
jecimento médio. Para grandes espaçamentos entre nervuras , que
161
conferem à estrutura pequeno enrijecimento (tr << 0,10), arebr
lação wu Ws
decresce bastante; para espaçamentos muito pequenos
que correspondem a um forte enrijecimento, a resposta da placa
nervurada chega a ser pior que a da placa de espessura uniforme
de mesmo volume.
tros geométricos
Desse
tr br e
modo, conclui-se que variando os parâm~
hr ti , pode-se chegar a situações de o-
timização onde se tem menores flechas e maior economia do mate
rial.
5,0 r Wu Ws
4,0
3,0
!r_, O 20 ---- br '
2,0
-------------f,,0,30 1,0
FIG-6.8
11>2
Quando se deseja utilizar os resultados de a)
até e) no cálculo de placas isótropas de altura constante h
e raio a, basta eliminar as nervuras:
B) Placas Anulares
y = ô = 1 e e =K =O. r r
A utilização das funções iniciais de uma coord~
nada radial intermediária, no caso de placas com furo concêntri
coou sujeitas a um carregamento descontinuo, se apresenta bas
tante razoável, pois a prescrição de 3 condições de contorno por
bordo ou a compatibilização de forças e deslocamentos em ponto
de transição de carregamento implicará em desenvolvimentos alg~
bricos deveras extenuantes.
O objetivo é escrever os deslocamentos e esfor
ços solicitantes variáveis em r em termos de deslocamentos e
esforços solicitantes constantes definidos na coordenada inici
al de interesse no problema. No caso presente de placas nervu
radas, além das 4 constantes que figuraram no cálculo das pla -
cas de espessura uniforme (wb, <j,b' 1-\ e Qb), deve-se completar
as 6 constantes com as grandezas que atuam no plano médio: u e
Nr (ub e Nb) , Fig. 6.9. As soluções particulares serão previs
tas quando existir um carregamento uniformemente distribu!do a
tuando a partir de r=b e com intensidade qb
As flechas,segundo esta nótação, se escrevem:
'* 1
1
1
1
1
1
1
1. 1
1
1
163
Mb
FIG-6.9
De maneira análoga, as principais grandezas de
problemas axissimétricos são colocadas na Tabela 6.2.
wb <l>b ~ oh qb uh Nb
w(r) Fll Fl2 Fl3 Fl4 Fl5 Fl6 Fl7
w' (r) v;q~ // 21· '/ F22 F23 F24 F25 F26 F27
Mr(r) ~ij~ //~31 / F32 F33 F34 F35 F36 F37
Qr (r) fr{{~ 0//~ :42 '/'.'. 0:/// /F43// F44 F45
~(// './,F 46 (
%/// /;470
q (r) 0'l'~ //51· ~//j'/
/,520 ~(~ 53 / ~//0
/;54 // F55 ~/// /;56/j
h/// /~50
u (r) »//0 /;61 /j F62 F63 F64 F65 F66 F67
Nr (r) h/% /~71 // F72 F73 F74 F75 F76 F77
Tabela 6.2
Os quadros hachureados equivalem a funções nu -
las. As funções Fij sao definidas por:
Fii(b) = 1
F .. (b) = O 1]
i -/ j
164
Tem-se ao todo um conjunto de 7 sistemas de 6
equaçoes algébricas cada um, diretamente formados,como o fize -
mos no Capitulo IV,a partir da Tabela 6.1. Como não há dificul
dades em se obter os sistemas e para não tornar a leitura muito
tediosa, nos eximiremos de escrevê-los e mostrar suas soluções.
Os resultados finais das funções iniciais são apresentados no A
pêndice .
Para se utilizar estas funções no cálculo de
placas isótropas de espessura constante, deve-se fazer as trans
formações com:
e = K = O r r e y =.ó= 1 , e como ub = Nb = O , ne -
cessita-se apenas do quadro 5x5 da Tabela 6.2 .
Exemplos:
a)
Para r < b, os deslocaemntos são definidos por:
FIG-6.10
Para r > b, com as funções iniciais correspondentes, tem-se:
u = er F1r - P F64 (r)
2 w = E1r + E2 - P F14 (r)
As condições de contorno em r = a sao:
w = o
w' = O
donde obtém-se:
p = 2a F24(a)
p
y+v
165
Com estas constantes na Tabela 6.1, tem-se to -
dos os deslocamentos e esforços procurados.
b)
glllUl 1 q
i 111lll1,l 0
r º 1
FIG-6.11
O bordo livre em r = b está sujeito ã rotação
~b e aos deslocamentos ub e wb; com estes dados, da Tabela
6 ,; 2 podemos escrever:
As condições de bordo em r = a se traduzem nas
equaçoes:
w = o
166
Resolvendo-se o sistema, encontra-se o valor de
ub, wb e $b, e novamente com o auxílio da Tablea 6.2, calcu -
lam-se todas as grandezas procuradas.
2 - CASO GERAL
As equaçoes (5.50) e (5.56), que regem os deslo
camentos do plano médio no caso geral de flexão axissimétrica,
quando q(r) = q 0 , assumem o aspecto:
=
= 4 (9-a)r
onde as constantes têm para valores:
K = (l+Kr) (a+B)-2Krxa ºe com a = D 2 r
L = (l+Kr) aB - Kr(xa) 2
B = Be+eeºe
B +e 2D r r r
=
(6.17)
X = ee e r
e 2D e K = r r
r B r
1~7
- Soluções Particulares:
Experimentando soluções particulares da forma
e
dão:
er(9-xa) A = __ _;:__ _____ _
2Br (81-9K+L)
que substituídos em (6.17)
e (9-a) B = _ __,..::_,;;:;.,.. __ _
8B (81-9K+L) r
nos
Escreveremos as soluções particulares sob aspe~
to mais conveniente, definindo 2 coeficientes adimensionais:
9-a
8(81-9K+L)
(6.18)
'I' = 4 (9-xa)
(9-a)
então:
e 3 'I'
w up = er B qo r
r (6.19)
e 4 w w = qo r p B r
- Soluções Complementares:
uh = e lirl
Tli Ei rÀi l r
(6.20)
5 l+À· wh = l E. r i + E6
i=l 1
com:
Àl = 1 , À2 = b À3 = -b
e
lfl8
b / K+/ K2-4L = À~ 2
- XCl
(l+Ài) l.
ni =
/ K-/ K2-4L À. - (l l.
c = 2
Estas fórmulas podem ainda ser particularizadas
para 2 casos especiais de enrijecimento:
a) enrijecedores radiais somente: ee = o
De = D
B8 = B
X = 0 B B =
B +e 2D r r r
e 2D K
r r = r B r
b) enrijecedores circunferenciais somente: = o
X = e um parâmetro que vem sempre multiplicado por
ÓU 2 sendo diviso por deve er e
' que a zero r
ser evitada.
2
s Be+eeDe
K o = ' = B r
Listamos a seguir os esforços solicitantes, co
locados de maneira conveniente para se processar as derivações
dos deslocamentos:
M r B =
r
Ma =
Br
169
' \! - l' 'U + - (- -)
y r er
1 u a (- -) r er
·l \! "U' xa (- w' ) + ( - ) r y er
e!. w • > u'
- (1 +K )w' ' \) + K ( - i r r r er
-S(l+K )(!,w') r r - " (w' ' ) i + xa K (!, ~) r r er
- (l+K ) (w' ' ' + !_ w' ') r r
(6. 21)
(u" + !.u' )r
( u ) ?
Podemos agora experimentar a consistência das so
luções, provando que o esforço cortante nas placas circulares
sem orifício concêntrico independe das condições de contorno e é
estaticamente determinado pelo carregamento externo.
Efetuando as derivações necessárias em (6.19) e
(6. 20) e substituindo na última das expressões (6. 21), encontra
mos:
- (l+c) (l+Kr) (c2-a)Jrc-
2 + E4 [nsKr(c 2-xa)-(l+c) (l+Kr) (c
2-a)J·
·r-c-2 (6. 22)
170
Iniciamos desenvolvendo o termo que multiplica
de (6. 20):
2 n
2 = (l+b)
(b -xa) 2 b -a
que substituído em (6.23) resulta:
(l+b) 2 b -a
ou ainda:
[ 2 2 2 2] (l+Kr) (b -a) (b -B)-Kr(b -xa)
(l+b) [ 4 2 2 4 2 2 2 J 2 (l+Kr) (b -b B-b a+aB) - Kr(b -2b xa+x a)
b -a
reagrupando:
que é igual a :
(6. 23)
;
,
(l2
+b) ~b 4 - Kb 2 + L] 1 t d . t (6 20) ~ , que se anu a en o em vis a • • b -a
De maneira análoga, as constantes que multipli
cam E3
, E4 e E5
também se anulam.
de (6.18):
'I' = 4 (9-xa) 9-a
4C
·a Agora trabalhando com a 1- parcela:
( 6. 24)
, que juntamente com (6. 24) resulta:
· · w [ 2] - , ,9:_0
q 0r (l+Kr) (9-a) (9-B)-Kr(9-xa) ; desenvolvendo:
171
4Cw 2 q r { (l+K ) [81-9 (a+B)+aB] - K [Bl-18xa- (xa) J} , ou ainda
9-a O r r
De (6.18):
(9-a)
8(81-9K+L)
qor , logo a 1~ parcela do cortante e: - ~
2-
A 2~ parcela vai depender somente da existência
de carga centrada ou de carregamento linear anularmente distri-
buído; de outra maneira, a condição de cortante nulo em
por simetria implicará na nulidade da constante E1
.
r = O
Na Tabela 6.3, a seguir, sao relacionados os
deslocamentos e esforços resultantes com as constantes a serem
explicitadas pelas condições de bordo.
17?
e w BqO El E2 E3 E4 E5 E6
r
u 'l'r3 b -b e -e n1r n 2r n3r T14r T15r -
er
4 2 l+b 1-b rl+c 1-c 1 w r r r r r
w' 4r3 2r (l+b) rb -b (l+c)rc (1-c) r -e (1-b)r -
N 2 e/> rb-1 -b-1 c-1 -c-1 r
c/>11 <l>15r erDr <Pior <l>13r cf>14r -
12
N6 2 <1>21
b-1 -b-1 c-1 -c-1
erDr <l>2or <l>22r <l>23r <l>24r <l>25r -
M 2 b-1 -b-1 c-1 -c-1 r <l>3or <1>31 c/>32r <1>33r <l>34r <P35r -
Br
Me 2 <1>41
b-1 -b-1 c-1 -c-1 <l>4or c/>42r <l>43r <l>44r <P45r -
B r
Qr <l>sor
1
!\ <Psi r - - - - -
Tabela 6.3
onde os e/> sao definidos por:
1>10 = 'I' (3 + v/y) - 12
1>11 = Tl1 ( 1 + v/y) 2
1>12 = Tl 2 ( b + v/y) - b (l+b)
<1>13 = -[n3
(b - v/y) - b(l-b)]
<1>14 = T14(C + v/y) - e (l+c)
<P15 = - [n 5 (e - v/y) - c(l+c)]
173
<l>20 = '11 (a + 3vly) - 4xa
<l>21 = n1 Ca + vly) - 2xa
<l>22 = n 2 (a + b vly) - xa (l+b)
<l>23 = n 3 (a - b vly) xa(l-b)
<l>24 = T14 (a + e vly) xa(l+c)
<l>25 = n (a - e vly) xa(l-c) 5
<l>30 = 3Kr ('11-4) 4(3+ vlô)
<l>31 = Kr(n1-2) - 2 (1 + vi ô)
<l>32 = Krb[n 2-(l+b)J (l+b) (b + vló)
<l>33 = -{Krb [n 3- (1-b) J - (1-b) (b - vlô)} (6. 25)
<l>34 = Krc[n 4-(l+c) J - (l+c) (e + vi ô)
<l>35 = -{K c[n -(1-cl] - (1-c) (e -vlô)} r 4
<l>40 = Kr (xa'P-4 S) - 4(S + 3 vlô)
<l>41 = Kr(n 1xa 2Sl - 2(S + vi ô)
<l>42 = Kr[n2xa (l+bl S] (l+b) (8 + b vi ô)
<l>43 = K [n xa - (1-b) S] - (1-b) ((:l b vi ô) r 3
<l>44 = K [n xa - (l+cl S] - (l+c) (8 + e vi ô) r 4
cj, 45 = Kr[n 5xa (1-cl8] -· (1-c) (8 - e vi ô)
<l>50 = _ 4(81-9K+L)
(9-a)
<l>51 = n1Kr(l-xa) - 2 (l+K ) (1-8) r
174
farece-nos evidente que nao há interesse prático
em se resolver grande número de exemplos na forma literal, em
termos dos parâmetros cj, que dependem da geometria e das propri
edades elásticas da placa nervurada. Assim, tendo em vista alg~
mas aplicações numéricas que faremos adiante, ater-nos-emas so -
mente a 2 casos de carregamento e condições de contorno clássi -
cos.
a) Placa circular apoiada, sob a açao de momentos M0 uniforme
mente distribuídos na borda externa
(:_º -~~ a. 1
FIG-6.12·
A ausência de carreganento distribuído e as con
dições de simetria em r = O , reduzem as eJq>ressões dos desloca
mentas em:
W = E l+b + E l+c E 2r 4r + 6
- condições em r = a
w o o = E2 l+b
+ E4 l+c
+ E6 = a a
Mr MO MO
cj,32 E2 b-1 + cj,34 E4
c-1 = Br
= a a
Nr = o o = cj,12 E2 b-1
+ cj,14 E4 c-1 a a
175
- constantes :
nas quais: 4>14 L2 = __ ___e::._ __ _
4>124>34 - 4>144>32
4>12
- deslocamentos e esforços resultantes:
u = -
2 Moa l+b
w = ~ [L2 (1-p ) r
Nr . MO
Kr 4>12 b-1 Pc-1) = L2 (p -
er
Na . MO L . b-1
4>24 c-1 = - e Kr ($22 2 p - L4 p )
r
Mr = -Mo(4>32
Ma = -Mo<4>42
Q = o r
L2 b-1 p
L2 p b-1
P = E a
4>34 L4 c-1 - p )
4>44· L4 c-1 - p )
(6.26)
(6.27)
(6. 28)
176
A fim de mostrar o efeito da ortotropia geoné -
trica sobre a distribuição de esforços solicitantes em placas
circulares, na Fig. 6.13 temos a distribuição de momentos flete
res na direção radial. Considerou-se somente o enrijecimento ta
circunferencial com o espaçamento entre nervuras fixo <s:- = O, 20 l 8
e altura das nervuras variável.
De modo análogo à ortotropia física, o centro da
placa é um ponto de singularidade da ortotropia, sendo que. os mo
mentes tendem a zero ou infinito conforme b e c sejam maiores
ou menores que 1 •
he = 1 O
0,5 h . Mo Mo
r_ ~ E o
1
1~·., 0,20
he i,•2.0 V =0 13
FIG-6.13
177
b) Placa circular apoiada, submã!tida a carregamã!nto uniformã!mã!n
te distribuído q 0
1 %
JJII111111 lUllllU[ - 1 a -1
FIG-6.14
OS deslocamã!ntos para este caso sao definidos
por:
w =
- condições em r =a:
o cw 4
+ E2 l+b
+ E4 al+c + E6 = a qoa a
r w = o
e 2 b-1 E ac-1 o c/>30 w
+ c/>32 E2 + c/>34 = B qoa a 4 r
e 2 b-1 c-1 o c/>10 w
+ c/>12 E2 + c/>34 E4 = a qoa a a r
- constantes:
E4 .. cw 3-c
M4 = - qo a ( 6. 29) Br 4
E6 cw qoa
(M2 - M4 1) = -B- -r
]78
onde:
M2 iP34<P10 - <P14<P30
= iP32<P12 - <P14 lJ>32
M4 = <P32<P10 - <P12<P30
<P32<P12 - <P14<P32
- deslocamentos e esforços resultantes:
u = e r
C K w r
, r p =
a
( 6. 30)
( 6. 31)
Na Fig. 6.15 sao representadas as curvas deva
riação das flechas e desloca11Entos radiais máximos, considerando
a placa enrijecida somente com nervuras radiais para diversas si
- d . (hr tr) tuaçoes e geometria n e n r
4.00
3.00
2.00
1.00
0,100
-Umóx.
qcifh/168
0,050
º·º 0.5 1,0
0,0 0,5 1,0
}."?O
.!t.., O 05 br '
.!r:..=o 10 br '
..!L, O 20 br '
..!r.,o 50 b '
1,5 2,0 2,5
t i= 1.00
1,5 2,0 2,5 3,0
4,0
..!L..o 05 br - '
hr 4 3,5 ,o h
FIG-6.15
180
Com o objetivo de mostrar o rendimento em termos
de resposta estrutural que a placa isótropa adquire quando é en-
rijecida, na Fig. 6.16 é apresentada a relação w t max
.. r espaçamento ·e-- = wmax nervurada, quando fixamos o
h . r riamos a altura das nervuras (11)
mente:
br para 3 situações
A nervuras distribuídas nas 2 direções
isótropo /
0,20) e va-
de enrijeci-
B - nervuras distribuídas na direção circunferencial somente
e nervuras distribuídas na direção radial somente
Verifica-se que as nervuras circunferenciais têm
contribuição preponderante na rigidez do conjunto placa + nervu-
ras.
40 Wisot.
w.
30
20
10
O 0,0 1,0
~:0,20
2,0 3,0 1!'..r1 4,0 h
FIG-6.16
181
6.3 - FLEXÃO NÃO-AXISSmTRICA
Para exemplificar as deduções teóricas da flexão
assimétrica de placas circulares com enrijecedores excêntricos
ao seu plano médio, desenvolvidas em (5 .• 6), efetuaremos o cálculo
de uma placa circular engastada na periferia e sujeita à ação do
carregamento:
·r q(r,8) = q 0 (ã) cose , Fig. 6.17. Sob esta carga, os des-
locamentos do plano médio são completamente determinados pelo haE
mônico de 1~ ordem (m = 1) nas séries (5. 78), podendo assim se
rem apresentados resultados mais simplificados, sem a perda da
generalidade do método de se procurar soluções não simétricas.
O,.__ __ ___, __ ~X
• 1
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , ;:QoL.COS8 : : o ' 1
' :~º ~:
0 1,
FIG -6.17
182
Os deslocamentos do plano médio quando m = 1,
sao definidos por:
u =
V =
w
w w=r
=
º1 (r) cos e
v1 (r) sen e (6.32)
w1 crl cos e , onde w e a flecha adimensional
e o carregamento: q(r,e) = o1 (r) cose
As funções u1 , v1 e w1 , na variável t ( t =
ln r) sao calculadas pela integração das equações (5.87):
[ 5 4 3 2] 3t T +T -(l+xa+fa)T - (l+fa-fxa d1 )T e Q1 (t)
[fd1T4 + (l+fa+fd1-fxa)T3 +(1+fa-fd1xa)T 2Je3t Q1 (t)
(6.33)
onde denota-se os operadores diferenciais:
e ( 6. 34)
e os coeficientes:
p 2 = (l+Kr) { (1+8+2íl) [1+a+f (d~-df) +fa J }-Kr {1+ (xa) 2+f [a+ (xa)
2]
- 2fd1xa}
com as constantes definidas pelas propriedades da placa nervura
da:
e = = D (l+v) dl íl = B
a
a) Soluções Complementares:
183
D(l-v) d2 = 1 f =
d2
As soluções das equaçoes (6.33) homogêneas, sao
as expressoes (5,101), escritas já na variável original r:
4 = er{ l
i=l
4
l i=l
4
Ài -Ài <n11 E11 r + n(i+4)1 E(i+4)1 r )}
Ài -Ài (~il Eil r + ~(i+4)1 E(i+4)1 r )}
l i=l
i+Ài 1-Ài (Eil r + E(i+4)1 r )
sendo os Ài raizes da equaçao algébrica caracteristica:
+ Àl = o -+ À2 = o / -pl+/ pf-4P2
bl = + À3 = ± bl -
/-pl-/ pf-4P2 + À4 = ± cl cl = - 2
(6.35)
(6.36)
Os fatores de multiplicidade entre as constan -
tes de integração têm por expressão:
184
· Xi[d2X~-'(a+d2)] [À~+Ài-xa] .-xa [d1 Ài- (a+d2)]
2 · 2 2 2 · 2] [d 2Ài- (a+d2) J [Ài- (a+d2) J + [d1 Ài- (a+d 2)
(6.37)
e
Considerando que Àl = À2 = o , as equaçoes ( 6.
35) se reduzem tendo em vista (6.37):
r = O
whl = Ell r + E2 r ln r + E31 rl+b1
+ E41 rl+c1 + E r 51 ln r 2+
+ E61 3 rl-b1 + E81
l-c1 r ln r + E71 r
uhl = er[ n31 E31 rbl + n41 E41 c1
r + n31 E71 r -b1 +
+ n41 E81 r-c1J (6.38)
vhl = er[i:;31 E31 rbl + i:;41 E41 rCl + l'.;31 E71 r -b1 +
+ i:;41 E81 r-c1J
Agora considerando que b1 e c1 > O , e que em
aw devemos ter u, v e ar finitos, temos: E21 = E51 =
e (6.38) se resume em:
185
whl = Ell r + E l+b1 +
31 r E l+c1
41 r
uhl = er[n31 E31 rbl + n41 E41 rc1J (6.39)
vhl = er [ç31 E31 b1
r + ç41 E41 r c1J
b) Soluções particulares:
As soluções particulares de (6.33) sao da forma:
UPl = A e4t
V B 4t (6.40) = e Pl
WPl e 4t = e
Substituindo (6.40) em (6.33) e comparando os
coeficientes das exponenciais de mesma ordem, obtemos as soluções
que depois
UPl =
V = Pl
w = Pl
com:
de retornarem à
e qo 4 r cu 16Br
r a
e qo 4 r e 16Br
r a V
1 qo e rs
16Br a w
75-4xa-5fa+fxctdl
256+16p1+p2
variável
5+5fct+20fd1-4fxa-fxad1
256+16p1+p2
r , se escrevem:
(6.41)
(6.42)
186
Somando-se as soluções particulares com as com
plementares, obtemos a forma final dos deslocamentos:
e (6. 43)
r 5 + E r + E l+b1 + E rl+c1l cose 11 31 r 41
Antes de formularmos as condições de contorno,
é necessário calcular o esforço normal Nr
N r erDr
= ~2
w [ 1 ª + _yv er ( - ar2 av + E. ) J rae r
Dr y = n
(6 .44)
efetuando as derivações e operando, obtemos:
com:
. .Nr erDr = { X + E X b1-l + E X 01-l } e
q 31 31 r 41 41 r cos
X = 4Cu - 20C + ~ (Cu + e l q w y V
X31 = bl n31 - bl (l+b1l + ~ Cn31 + 1;31> (6.45) y
X41 cl n41 - cl (l+cl) + V Cn41 + i;;41 l = -y
As condições em r = a sao:
w = o .. qo e 4 + E + E l+b1 + E al+c1 = o ~ w ª 11 ª 31 ª 41
5 .. ·aw o
. qo ª3 + Ell + ar= I'bB cw
r 2
Nr o . qo·ª
= I'bB xq + E31 X31 r
donde se obtém:
com:
N31
e
N41
16Br
= qoa3
16Br
= c1 xq -4cwx41
clX31-blX41
= b1 xq-4cwx31
clX31-blX41
e finalmante os deslocamantos:
3 erqoa
(Cup4 N31 u = - Tl31 16Br
e q· ª3 r O (CV
4 V = p - 1;31 N31
16B r
w =
187
(l+bl )E31 abl+ E41 (l+c1lacl = o
b1-l + E ª 41 X41 a
c1-l = o
pbl + Tl41 N41
pbl + 1;41 N41
r p = a
pCl) cos e
pcl) sen e
(6.46)
(6.47)
(6.48)
188
Na Fig. 6.18, é mostrada a distribuição de desl~
camentos transversais sob o raio de coordenada o e = o , para a
situação de nervuramento com propriedades idênticas nas direções
radial e circunferencial. Verifica-se que para este tipo de car
regamento anti-simétrico, o enrijecimento não produz grandes re
duções nas deflexões da placa isótropa; adotou-se um espaçamento .tr
entre nervuras fixo E"'""= 0,10 e variamos a altura das nervuras
~, as quais para val~res menores que 3 apresentam resultados
mui to próximos da placa isótropa de espessura h sem nervuramen
to.
P:--fr, 8=0º
º·º 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 06 07 08 09 1 O º·ººº r-~--~--~-~--..i..._ _ __;•.__ _ __;_• _ _:;_• =--=:.:.·::____,~·=--
0.010
Wqoo4
~
0.020
~:7 h
,, b/0, IO
\/ '0,3
FIG-6.18
189
CAP!TULO VII
APROXIMAÇÕES DA TEORIA DE PLACAS CIRCULARES
COM ORTOTROPIA GEOMJ;':TRICA
7. 1 - INTRODUÇÃO
Em situações práticas da engenharia, uma placa
circular ortótropa é definida como aquela que possui diferentes
rigidezes à flexão B = EI e à extensão D = EA , segundo duas
direções ortogonais privilegiadas: raios e circunferéncias concén
tricas. Disso resulta que, de uma maneira geral, poderemos nos
deparar com duas espécies principais de ortotropia: a) variação
nas propriedades elásticas do material E 'I Es , com geometria· u r -
niforme I e A constantes; b) variação nas propriedades georrétri
cas da seção transversal Ir ,f Is e Ar ,f As, com material de
propriedades uniformes E constante. A primeira foi assunto dos
Capítulos III e IV e denomina-se ortotropia física ou natural, e!:
quanto que a última foi tratada nos Capítulos V e VI e é conheci
da por ortotropia georrétrica ou construtiva.
O grau de dificuldades analíticas que é requeri
do nas soluções desses 2 tipos de placa, é bastante diferenciado
como ficou evidente nas demonstrações teóricas. Sendo assim tor
na-se interessante, em projetos onde a precisão dos resultados
ou a economia não é fator preponderante, estudar-se a viabilidade
de substituir em termos de cálculo, a placa nervurada por uma e -
quivalente de espessura uniforme. Como se verificou no Capítulo
III , esta lida com uma única equaçao a derivadas parciais de
190
·a 4- ordem, com solução. mais simples e aplicações razoavelmente co
nhecidas da bibliografia técnica1
'3
'22
Encaminharemos o problema tentando transformar
para placas circulares, os estudos e aproximações realizados pa
ra placas retangulares, conforme descrição de Massonnet11
Como por diversas vezes, recorreremos ao siste
ma (5.29), (5.30) e (5.31), achamos conveniente reescrevê-lo:
1 au - -) -r ar · a
3w · 1 a2
w l e (--.,. + - ---,,.) -r ar" r ar"
0e [(~ ~ + u2> r r
0 [(l a2v+·l au) -e (l a
2w + l a3w>]
e ;z ã7 7 ãã e ;z ã""m" ? ã'ã1" 2
+ D (a V + 2 ã7
l élv ~ + ..!,. ~u6
) = 0 r élr - " " o r r
2
2 + D (!_ a u )
l r ãrãe
(7.1)
+
(7. 2)
· · l a3v - e D (......,. __,,. -
6 6 r" ae" l Ô V + 7 ãr"ãé
· l élv ? ãã +
· 1 au 1 2 élr + """"! u) = q(r,6) r r
( 7. 3)
onde:
º1 = D (l+v) º2 D (1-v)
2 = 2
Lr . é) 4
+ 2 é) 3 = ã;-r rã;! (7.4)
. · 1 ª4 Lre = ....,,. -.,.-.,..
r" ar2ae 2
.. 1 · . ª4 Le = ~ ae4 +
191
· · 1 · ·a 2
+~~
1 · · a ~ ar
7.2 - APROXIMAÇÃO POR UMA EQUAÇÃO DE 4~ ORDEM - TIPO ORTOTROPIA
F1SICA
A) Placas com enrijecedores simetricamente distribuídos em rela
çao ao seu plano médio
Esta é a única situação que o sistema de equaçoes
acima pode ser corretamente reduzido a uma única equação de
ordem tipo (3.16).Então vejamos: assumindo que e = e = O r e
·a 4-
, a
simetria da estrutura garante que as tensões de cisalhamento no
plano médio são nulas e que por efeito da flexão ele permanecerá
indeformado. Desse modo, as conponentes das deformações no pla
no médio são todas nulas:
, e as equaçoes (7 .1)
e (7.2) são identicamente satisfeitas, enquanto que (7.3) resul
ta em:
(7. 5)
No caso de placa e nervuras isótropas com cons -
tantes E e v, os coeficientes de (7.5), segundo a nomenclatura
da Fig. (7.1), são definidos por:
192
2 E . h2 . hrh hr2
B = B + A <T + -Z + -3-l r r
. h2 . h.8h . h2
Be = B + 2 E Ae <4 + -r + ªi (7.6) 3
B Eh
3 A
. t~r Ae =
teha = =~ e
~ 12 (1-v 2 ) ,
r r
F IG-7.1
1()3
B) Placas com enrijecedores excentricamente distribuídos em re·la
çao ao seu plano médio
Começamos, tendo em vista fazer uma ressalva so
bre a validade das aproximações, rearrumando as equações (7.1) e
(7. 2) :
2 D { 1 a V + ª?~
a3w = e D (--..- + r r ar.,
2 D ( 1 a u 2?~
+ !.r ~r - ..Y,. + .!,.. ~) dr r" r" d8
1 av 2ãã> r
+
(7. 7)
{7. 8)
Multiplicando (7. 7) por r , derivando em r e
depois dividindo novamente por r ; também derivando (7.8) em a
e depois dividindo por r , obtemos:
e
+ 1 ~
1 - D {-1 r
a4w = e D (--.- + r r ar"
1 a2w
- e D {2 :--2' -a ar ar
1 aw + ~ ar
. 2 + D (1 ~
ª ? arae
1 av + 1 au 1 ~ ãã ? ar - r3 u > -
. 1 - D {-
2 r2 1 · ·a 2v · 1 av> --z--+,-r arae r aa
{7.9)
· · 1· · ·a·3u - 01 {:-,e 2>
r" araa ·
· 194
· · 1 · ·,/v +z--r arae
· 1 · ·av · 1 · ·a 2u ? ãã +? ã?)
(7.10)
as quais, substituídas em (7.3), nos fornecem:
· 1 · a2w 1 aw + 1 a3w 2
2 a wl + eree0 e <2 :--7 3 3 arae
2 -ar ~ã? r ar r r +
1 a2
v 1 av + 1 au 1 + (ee-e )D0(2 -- 2-- 3 u) ?ãã r ar
+ r r arae r
+ e º1 (.!. 3 1 a3u 1 a2u
2 1 av) + d V ) + erD2 <2
1 a V + r r ar2ae arae 2 - ~ã? '? arae ?ãã r
1 3 1 a3v 2 1 a 2u 1 ÔV) + ee0 1 <-, ô u ) + e0D2 (r +~~+ =
a rae 2 ar2ae ~ã?- ?ãã r r arae
= q (r, e l (7.11)
Evidentemente, esta é uma equaçao longe de se p~
recer com a equaçao que domina as flechas na flexão de placas ron
ortotropia física. Entretanto, no caso particular em que as ex
centricidades das nervuras são iguais nas direções r e e: e r =e 0 ,
temos uma equação mais próxima:
= q (r, e)
+ 1 · a3u --)-? arae 2 -
(7.12)
Esta é a equaçao (3.16) afetada pelo termo:
, pois
195
A expressão entre parêntesis pode ser colocada
em função da deformação angular proveniente das forças cisalhan
tes no plano, médio da placa:
haja visto que:
. 1 dU élv Yre = r TI'+ ar V
r
arae
·a Então, o termo que corrige a equaçao de 4- ordem
para a flexão de placas com enrijecedores excêntricos ao seu pl~
no médio é: 2
[ ~ él (r Yra>J r aras
(7.13)
Considerando que a intensidade do cisalharrento
pode variar de ponto a ponto na placa isótropa, bem como depende
do tipo de carregarrento e das condições de contorno, conclui- se
que nao se pode estimar corretarrente valores constantes para cor
rigir as rigidezes flexionais Br e B9 e a torcional B , e a
inda que não existe uma placa com nervuras excêntricas, rigores~
rrente equivalente a uma placa ortótropa de espessura constante.
Feita essa ressalva, passamos a descrever as a
proximações viáveis dentro de certos limites, para o caso parti
cular er = e 9 , e dando o norre dos autores que as introduziram
no estudo de placas retangulares.
ll l'proximação de Huber
O conceito mais primitivo de aproximação seria
imaginar, em analogia com a teoria de placas delgadas de espess~
ra constante, que a placa isótropa não se deforma ao cisalhamen
to de seu plano médio. Assim ela imporá este plano como superff
cie neutra da placa nervurada: u = v = O
A equação (7. 3) se reduz a
(7.14)
Esta aproximação é bastante grosseira pois supe
restima as rigidezes flexionais e subestima a rigidez torcional.
Huber, ao contrário, supôs que a placa isótropa
nao oferece nenhuma resistência ao cisalhamento em seu plano mé-
dio: D = O (D1 = D2 = O) •
Dessa maneira, as equaçoes (7.1) e (7.2) se resu
mem:
[ 1 av u
0 a <"""7 ãã + """7> r r
(7 .15)
= o
Os deslocamentos propostos por Huber sao:
(7.16)
)97
Note-se que estes valores, apesar de satisfaze -
remas equaçoes acima, foram obtidos abandonando-se constantes
de integração que possam existir, o que se aceita pelo caracter
aproximativo da dedução.
De (7.16) em (7.3), obtém-se a equaçao de Huber:
(7.17)
Ela contém valores melhores que (7 .14) para as
rigidezes flexionais porém contínua subestimando a rigidez tor -
cional.
2 - .Aproximação de Giencke
A realidade é urna situação intermediária, no sen
tido de que os deslocamentos u e v do plano médio da placa isó
tropa são maiores que zero e menores que (7 .16).
Giencke, na tentativa de se aproximar dessa situ
açao, propos se utilizar dos deslocamentos de Huber, desde que
a placa isótropa mantivesse a sua resisténcia ao cisalhamento D.
As deformações normais do plano médio, supondo
os deslocamentos (7.16) sao:
· ·au =
a2w e: = ar er ã? r (7 .18)
1· ílv u · 1 ·aw · 1 · ·a·2w e:e = r ãã + = e (- - + ;z ~) r r r ílr
Estas se relacionam com as deformações angulares
pela equaçao de compatibilidade:
198
a2.cr .Yre l 2
e: e l 2
.a.e: . 1 1 . a .(r · 1 · ·ª· .e:r 1 + r (7.19) 2 = - 2 7 - ---arae r ar r ar r r
ou em termos de w
2 a4w 1 a (r Yrel . 1 1 a3w 2
2er 1 a wl (7.20) 7 = <2
ar2ae2 -...,.
arae 2 + ara e r r ~aa7
Substituindo-se (7.20) em (7.12), encontramos a
equaçao de Giencke:
(7. 21)
Verifica-se que as rigidezes flexionais de Gien
cke são as mesmas das de Huber, enquanto que sua rigidez torcio
nal é acrescida pelo efeito da excentricidade das nervuras.
Massonnet, no sentido de melhorar a fórmula de
Giencke por aproximações sucessivas , ao invés de utilizar os des
locamentos de Huber diretamente na obtenção das deformações, u
sou-os indiretamente, definindo as deformações normais através
das equações (7.15).
Então, com aw u = er ar e , nos ter
mos que nao envolvem as deformações normais de (7.15), tem-se:
2 D (d u +
r ar2
e
2 =eD(l~
r 8 ;z- arae 1 - e D(r r
+
(7. 22)
199
Integrando a segunda das (7. 22) em a , a menos
de uma constante:
· · 1· ·av · · u "? ãã + "? = er
D· 1 ·a2w J -(- :-zl (7. 23)
ou
ºe r ar
Agora substituindo (7.23) na primeira das (7.22):
2 .E..c! a w + Dr r;?
A integração em r , novamente desprezando-se u
ma constante, fornece:
(7.24)
Logo, as deformações normais podem ser escritas
por:
dU [ ô2w D e! aw + 1 a
2w>J Er = ôr = er o ar 2
r r ôr "?;? (7.25)
1 ÔV [(! ÔW + 2
( ô 2w l] u + = er 1 ô w) D
Ea = r ãe ºa r r ar '? ã? ã'?
Finalmente com estes valores na equaçao de comp!:!_
tibilidade das deformações (7.19), encontra-se:
(7.26)
A equação sugerida por Massonnet e determinada
com (7.26) em (7.12) é:
2 2 . e.rP --)
Pe
200
L6
(wl = q (r,6)
(7. 27)
Considerando que, certas configurações geométr~
cas da placa nervurada podem levar a coeficientes de rigidez fle
xional negativos, o que caracterizaria um absurdo, Massonnet con
cl ui u que o processo de aproximar as de formações por derivadas CE
ordem superior não é convergente. Assim, (7. 27) poderá ser uti
lizada somente se seus resultados não divergirem muito dos de
(7.21).
As hipóteses de Huber depreciam o estado de ten
soes membranais a que está sujei to o plano médio da placa isótr~
pa, enquanto que as de Giencke proporcionam as seguintes forças:
N6
= V D (au) = ar
(1-v) D
(7.28)
1 ·a 2w · · 1 · ·aw e (- :--7 - 2 ,,.,,.)
r r ar r dU
Verificando o equilíbrio pelas equaçoes:
obtém-se:
· · 1 · ·a 3w D (-..,-
r" arae 2
= o
= o
· · 1 · a·2w - j :-:7l = o
r aa (7.29)
201
= o
que satisfazem sorrente quando er = O , o que contradiz a premi~
sa básica de enrijecedores excêntricos.
Em casos de flexão axissinétrica, a equaçao de
Huber coincide com a de Giencke e os deslocarrentos do plano ué -
dio da placa isótropa são definidos por:
dw u = er dr
e
enquanto que a de Massonnet se resurre em:
dw u = e -r dr
2 D2 (B - e -) r r 0 8
e2 D2 _r_)
ºr
(7. 30)
( 7. 31)
= q (r)
Como referência de outros tipos de aproximação u
tilizados em placas retangulares nervuradas, poderíamos citar N!._
23 24 shino e Cusens • Os dois propõem estimar as rigidezes fle-
xional e torcional da placa nervurada, fazendo o equilíbrio glo
bal de forças da seção transversal e calculando os morrentes que
atuam no plano nédio da placa isótropa, que é comparado com os
morrentes equivalentes em uma placa ortótropa de espessura uni fo!:_
rre. Talvez motivados no sentido de compensar as aproximações das
equações, eles adotam posições mais rigorosas ao formular as hi
póteses básicas como: relações tensão-deformação considerando o
estado bidirrensional de tensões nas regiões de interseção de
nervuras e a interação placa-enrijecedores na estimativa da re
sistência à torção do conjunto.
202
Em seguida, apresentam-se alguns gráficos com a
distribuição. de flechas em placas circulares nervuradas calcula
das pelas equações da teoria desenvolvida no Capítulo V e com as
equações das aproximações relatadas acima.
Consideraremos os casos em que placa e nervuras
são construídas com o rresmo material, e as propriedades das se -
ções transversais são equivalentes nas direções radial e circun
ferencial. Desse modo, a condição de validade das aproximações ,
er = e 0 , é satisfeita e todos os parârretros necessários ao cál
culo podem ser colocados em função do espaçarrento e da altura dos tr hr
enrijecedores (b e 0 ) , conforme as expressões (5. 73) e (5. r
77).
De acordo com os exemplos de a) até d), pode-se
concluir que as aproximações apresentam resultados compatíveis e
dependem, além da georretria da estrutura, fundarrentalrrente do
tipo de carregarrento a que está sujei ta. De maneira geral, as
flechas obtidas pela teoria são rrenores que as flechas obtidas
por aproximações. A equação de Massonnet é a que pareceu mais
desfavorável, sendo que no caso de flexão não-axissimétrica, exe!:!!
plo d), levou a resultados absurdos como flechas negativas no en
gaste.
w
0,0
º·ºº 0,1
.-·
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
--::--.:-:-..:.::-..:..---- .,;::,-;~-~--·-·-·-~-- -;:;;- -- ---- ~· ----- ~·~---- ::;;..-· -:..--· --------· -----· -----· ----------·
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0,25
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HUBER· GIENCKE
MASSONNET
0,9 1,0
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N o w
P= ~
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 O 7 0,8 O 9 1,0 o,oo-t----~--~---~---~---~--~---~---~---~-~--
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- --TEORIA
-·- GIENCKE
--- HUBER
d-
FIG-7.5
"' o
"'
207
CAP!TULO VIII
CONCLUSÕES
Do exposto nos capítulos precedentes e da bibli~
grafia pesquisada, pode-se concluir que as soluções analíticas
para placas circulares com ortotropia física podem ser obtidas
sem grande dificuldade para os casos em que se encontram solu -
ções para placas isótropas. teve-se, entretanto, observar cri t~
riosanente o problema da determinação experimental de certas pr~
priedades físicas do material, tais como o efeito do coeficiente
de Poisson e a rigidez torcional efetiva, que podem conduzir a
erros ou indeterminações de resultados teóricos 3.
No que se refere à ortotropia geométrica, os de
senvolvimentos realizados permitem a análise de placas circula -
res nervuradas, para os casos axissimétricos clássicos, fornecen
do resultados que, dentro das limitações admitidas, usuais para
estruturas nervuradas, podem ser considerados aceitáveis. Entre
tanto, seriam de interesse estudos experimentais com o objetivo
de determinar a validade das hipóteses da distribuição de tensões
e deformações na laje e nas nervuras.
Nos casos de flexão dependente da coordenada an
gular e , a hipótese de que os enrijecedores não contribuem na
resistência à torção da seção, certanente superestima as deforma
ções e os esforços solicitantes encontrados. No sentido de esti
mar valores para a rigidez torcional dos enri jecedores, por méto
dos diferentes da teoria clássica de Saint-Venant, recomendam-se
pesquisas mais apuradas, as quais situam-se fora do escopo des-
20P
te trabalho introdutório.
Conforme citado no Capítulo VI, o estudo do pro
blema pode ser conduzido para a otimização do nervuranento, no
que se refere à relação entre o consumo de material e a rigidez
da estrutura e à geonetria de enrijecinento a ser utilizado para
cada tipo de carreganento e condições de contorno em questão.
Este trabalho pode ter prosseguinento nediante o
exane, entre outros, dos seguintes tÓpicos importantes:
a) estudo experinental da rigidez torcional do conjunto la -
je-nervuras (sendo algumas vigas de eixo curvo e outras de seção
variável).
b) generalização do problema para análise dinàmica de placas
ne rvuradas.
c) estudo de placas em forma de setor de coroa circular, te~
do em vista aplicação em estruturas de pontes e viadutos curvos.
d) associação com cascas cilíndricas, objetivando possíveis
utilizações em reservatórios, torres, vasos de contenção de rea
tores nucleares, etc.
209
· REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS
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211
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212
29 - Gravina, P. - "Bei trag zur The.orie und Berechnung van
zellenfonning und drehsyrnmetrisch ausgestei fen Kreisplatten "
IABSE Publications, Vol. 26, 1966, pg. 169.
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35 - Ribeiro, J.B. - "Placa Circular Ortótropa" - Seminário
COPPE/UFRJ, 1971.
213
. APfNDICE
FUNÇÕES INICIAIS - Fij
A) ORTOTROPIA F!SICA - a=
b2 = - ---'-~--
2a(l-a2)B r
b3 2 2a (1-a )B r
b4 FlS = ---~----2 2 8a(l-a) (9-a )B r
b
2aBr
, ·r p = b
t. 2 2 2 l+a La(9-a )-2a(9-a )p +4(3+a)p
- 4(3-a)p1-ª+a(l-a2 )p4J
b2 = - --~--2
2a(l-a )Br 2ap - (l+a)p + (1-a)p [ a -aJ
b3 F25 = ---~----2 2 2a(l-a )(9-a )B r
2ab
[-a(9-a2 )p+(l+a) (3+a)pª-(1-a) (3-a)p-ª+
+ a (1-a1P 3]
~14
f 2 a-1 r(9-a) (l+v8)-(l+a) (3+a) (a+v8 )p -
-a-1 2 2] - (1-a) (3-a) (a-v8 )p -a(l-a) (3+v8 )p
F44 ·1
= p
b ·1 p) F45 = 2 (- -p
F55 = 1
B) ORTOTROPIA GEO~TRICA - CASO PARTICULAR : er = ea
ºr = ºa
Br = ªa
B D e2
D ô r r K r r r = B , y = o , = -B- , p = õ r r
F12 = ~ [<o-v) p2-(õ-v)+2 (õ+v)ln p]
(1-p 2 + 2 ln p) 4ôB
b3 2 p2 ln p - ln p) F14 = (p - 1 -4ôB
FlS . b4
(p 4 + 4p 2 - 8p 2 ln p - 4 ln p - 5) = 64ôB
vbK 2 Fl6
r (1 + 2 ln p) =-- - p 4ery
215
b2
K -1 Fl 7
r (p -= p ) 4eryD
F22 1
[<ô-v)p + ( ô+v) p -l J --2ô
·b -1 p) F23 = (p -2óB
F24 = b2
(p -1 - 2p ln p) p
4ôB
F25 = · 4b 3
(2p ln p + -1 p3) -- p -64ôB
F26 = -. V .Kr
(p p-1) -2ery
bK p-1)
F27 = r (p -2eryD
= ~ [ô2
(l+K )-v2] (p-
2 - 1)
2bó r
F 34 = 4: [<ó-v) (l-p-
2) + 2(ô+v)ln p]
b2
16ô [
2 -2 J (3ó+v)p + (ó-v)p - 4(ó+v)ln p - 4ó = -
BK 2 -2 F36
r = (yô+v ) (1-p ) 2bery
VBKr -2 F37 = (p -1)
2yerD
F44 = p -1
· b 1 = - 2 (p - p- )
= . erb ( P - P -1 l 2ôB
216
e b 2
,,; ~ (p - p-l - 2p ln p) 4ôB
e b 3 · · r -1
= - - (p 16ôB
3 + 4p ln p - p l
y-v(l+K) r F 6 6 = ___ ..:;_ 2y
p + y+v (l+K ) r
2y
b (l+Kr) = (p - p-1)
2yD
erD 2 -2 = - (yô+v ) (p - 1) 2bô
verD (p-2 - -- - 1)
2ôB
verDb _ 2 = (1 - p - 2 ln p) 4ôB
-1 p
verb2
D = - ~~- (4 ln p + p-2 - p2 )
16ôB
· D [ 2 =- y 2by
y+v(l+Kr) y-v(l+Krl F 77 = ----'--- + ___ ..:;_
2y 2y
-2 p