equações constitutivas ortótropas para a modelagem de ... · como uma casca isótropa de pequena...
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FERNANDO ROGÉRIO GONÇALVES
Equações constitutivas ortótropas para a modelagem de
membranas: teoria e implementação em elementos finitos.
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia.
São Paulo 2012
FERNANDO ROGÉRIO GONÇALVES
Equações constitutivas ortótropas para a modelagem de
membranas: teoria e implementação em elementos finitos.
Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia.
Área de Concentração: Engenharia de Estruturas
Orientador: Professor Dr. Eduardo M. B. Campello
São Paulo 2012
i
Aos Meus pais Maria Rosa e
Luiz Carlos e aos meus
Sobrinhos Aliny e Alexandre.
ii
Agradecimentos:
Ao Professor Eduardo Campello pela valiosa orientação durante o desenvolvimento desse trabalho.
Ao Professor Paulo M. Pimenta, pela acolhida ao grupo e por sugestões sobre o trabalho.
Ao Professor Ruy M. Pauletti, pelas sugestões referentes a minha pesquisa.
Aos meus pais Maria Rosa e Luiz Carlos e todos meus familiares, em especial agradeço (in memoriam) a minha tia Ana Panhota, a minha avó Beth e ao meu avô Domingos.
Aos amigos: Ana Gabi, Cleiton, Lilian, Gervásio, Érika, Edward, Wandla, Rodrigo agradeço pela compreensão por minha ausência nos últimos três anos.
Aos amigos: Renata Uchôa, Guilherme Neves, Juliana Turri, Ana Cristina, Sílvia, Cesar, Natan, Raquel, Dina, Márcio Santos, Janaína Pitteri sempre presentes em minhas lembranças.
Aos amigos da Poli: Augusto, Fábio, Mauro, Fernando Piva, Solange, Luciano.
Aos amigos do CAM: Alexandre (Tikine), Fúlvio, Renato, Ricardo (Salada), Daniel Chu, Sílvio, pela amizade alguns a mais de 25 anos.
Aos amigos: Manoel Marto, Jackson, Beth e Edely pelo apoio nos últimos anos.
Ao amigo Laílson, sua mãe Tiana e suas filhas Maria Luiza e Maria Fernanda.
A minha grande amiga Paulinha Yorozuya.
Aos meus amigos e vizinhos:Valadão, Neusa, Marina e Marcelo.
A minha prima Cristiane e meu afilhado Guilherme.
Aos amigos e compadres Luciana Lion e Ricardo, a Gabi, ao meu afilhado Felipe, e a toda turma Leila, Giovana, Luiz, Letícia, Soraia e Irani.
A Grande Família do JAC/AADP: Leonardo Lago, Paulo Nigro, Jorge Costa, Eduardo Simões, Alexandre Beletti (Higuita), Marcelo Rassy, Henrique (e Mônica), Marco Brasiel (Maguinho), Marina Lima, Kamila, Evandro, Nádia Ota e Cinthia.
Aos amigos da pós-graduação e outros laboratórios: Igor Pierin, Márcia Sato, Rodrigo, Érika Uagaia, Luís Bitencourt, Diogo, Ladislao, Plínio, Nicolau, Ricardo Oliveira, Ana Carolina e Luciana Kataoka.
A Jô, Adilson, Ramos, Guilherme em especial aos meus sobrinhos Aliny e Alexandre.
Agradeço ainda ao CNPq pelo suporte financeiro.
iii
ÍNDICE
RESUMO ................................................................................................................................... v
ABSTRACT .............................................................................................................................. vi
1. Introdução ........................................................................................................................... 1
1.1. Estado da arte ............................................................................................................... 2
1.2. Objetivos ...................................................................................................................... 4
1.3. Notação utilizada ......................................................................................................... 4
2. Formulação de casca com implementação em elementos finitos ........................................ 6
2.1. Cinemática ................................................................................................................... 6
2.2. Estática ....................................................................................................................... 12
2.3. Equilíbrio ................................................................................................................... 17
2.4. Discretização em elementos finitos ........................................................................... 20
3. Descrição do Material ....................................................................................................... 25
3.1. Configuração e composição do material .................................................................... 26
3.2. Comportamento mecânico do tecido ......................................................................... 28
3.3. Idealização ................................................................................................................. 29
3.4. Modelos constitutivos propostos ............................................................................... 30
3.4.1. Modelo Constitutivo de Oliveira-Pimenta [5] e [8] ........................................... 32
3.4.2. Modelo constitutivo de Saint-Venant ( Raible [28] e [33]) ................................ 41
4. Calibração dos parâmetros materiais dos modelos constitutivos propostos ..................... 48
4.1. Calibração do modelo constitutivo de o Oliveira-Pimenta utilizando uma membrana
composta de fibras de poliéster revestida por PVC .............................................................. 51
4.2. Calibração do modelo constitutivo ortótropo de Saint-Venant utilizando uma
membrana composta de fibras de poliéster revestida por PVC ............................................ 54
5. Exemplos numéricos ......................................................................................................... 56
5.1. Membrana quadrada (modelo constitutivo de Oliveira-Pimenta) .............................. 56
5.2. Membrana quadrada (modelo constitutivo ortótropo de Saint-Venant-Pimenta) ...... 62
iv
6. Conclusões ........................................................................................................................ 68
Anexo A .................................................................................................................................... 71
Anexo B .................................................................................................................................. 103
7. Referências Bibliográficas .............................................................................................. 121
v
RESUMO
O emprego das estruturas de membrana é cada dia mais frequente em edificações de
relevância civil e arquitetônica, em especial para a cobertura de grandes vãos. Sua
aplicabilidade, contudo, vai além da construção civil, sendo igualmente importante nas
indústrias das engenharias mecânica, naval, oceânica, aeroespacial e biomédica: aeronaves,
satélites, paraquedas, airbags, velas de embarcações, moinhos de vento e até aplicações
biomecânicas com tecidos humanos ou artificiais utilizam a tecnologia das estruturas de
membrana.
O comportamento mecânico de grande parte das membranas estruturais pode ser idealizado
como uma casca isótropa de pequena espessura reforçada por uma membrana ortótropa.
O objetivo desta pesquisa de mestrado é dar continuidade aos estudos referentes às teorias de
casca geometricamente exatas desenvolvidas por [1], [2], [3] e [4], e sua generalização para o
âmbito das membranas iniciada em [5]. Pretende-se contribuir, principalmente, para o
desenvolvimento de equações constitutivas ortótropas consistentes para grandes deformações,
apresentar uma metodologia para calibração dos parâmetros materiais destas equações
constitutivas e para a análise de estabilidade com vistas ao estudo do fenômeno do
enrugamento.
vi
ABSTRACT
The use of membrane structures is becoming increasingly common in buildings of
architectural and civil engineering importance, especially to cover large spans. Its
applicability, however, goes beyond the construction industry being equally important in the
industries of mechanical, naval, ocean, aerospace and biomedical engineering: aircraft,
satellites, parachutes, airbags, sails of boats, windmills and even biomechanical applications
with human and artificial tissues use the technology of membrane structures.
The mechanical behavior of most structural membranes can be idealized as an isotropic thin
shell reinforced by an orthotropic membrane.
The objective of this work is to continue the studies on the geometrically exact shell theories
developed by [1], [2] , [3] and [4] and its generalization to the scope of the membranes
initially studied by [5]. It aims intended to contribute mainly to the development of consistent
orthotropic constitutive equations for large deformations, to present a methodology for the
calibration of the material parameters in those constitutive relations and for the stability
analysis in order to study the phenomenon of wrinkling.
1
1. Introdução
Uma membrana estrutural é um elemento superficial que resiste aos carregamentos externos
desenvolvendo tensões normais e de cisalhamento, as quais atuam nos planos tangentes à sua
superfície em cada ponto de seu domínio.
Conforme [6], uma estrutura de membrana é aquela em que a membrana constitui dos pontos
de vista arquitetônico e estrutural, a parte principal do sistema. Neste caso, todos os demais
elementos estruturais, tais como mastros, masteletes, estais e cabos, estarão dispostos no
sistema a fim de que a membrana:
tenha uma configuração geométrica próxima àquela definida na intenção arquitetônica;
desempenhe a função para a qual foi concebida (em geral, cobrir grandes áreas livres);
seja estável;
resista aos carregamentos externos, sejam eles estáticos ou dinâmicos.
O uso das estruturas de membrana tem sido cada vez mais frequente em obras de relevância
civil e arquitetônica, em especial nas coberturas para grandes vãos. Para [7] seu emprego vai
além, como por exemplo: em aplicações de aeronaves e naves espaciais, paraquedas, airbags
de automóveis, velas de embarcações, moinhos de vento e tecidos humanos.
Segundo [8] o desenvolvimento de novos materiais aliado ao aumento das possibilidades de
se projetar, proporcionado pelas simulações computacionais, são fortemente responsáveis pelo
atual cenário das estruturas de membrana na construção civil.
No âmbito da simulação computacional uma área de importância fundamental é a
representação do material que compõe a estrutura. Para que isso aconteça da forma mais
realista possível é necessário compreender o mecanismo de resistência deste material.
Uma membrana estrutural consiste de uma rede fina de fibras revestida por finas coberturas
nas suas superfícies inferior e superior. Tais fibras são geralmente tecidas em duas direções
ortogonais, e por este motivo as características ortótropas estão presentes em seu
comportamento mecânico.
Vale destacar, que a formulação proposta neste trabalho pode não ser adequada a aplicações
arquitetônicas de membrana, pois na busca de uma intensão arquitetônica, a colagem dos
diversos padrões de corte, que apresentaram direções diferentes, provocará perda da
2
ortotropia. Por outro lado, para aplicações que requerem precisão geométrica, como por
exemplo, em aplicações aeroespaciais, o tratamento adequado da ortotropia assim como do
enrugamento, se tornam essenciais.
1.1. Estado da arte
Na obra de Itskov e Basar (1999) [9] e Itskov (2001) [10] um modelo constitutivo ortótropo
hiperelástico foi desenvolvido para a simulação numérica do reforço com fibras de borracha
em tecidos biológicos. O modelo usa uma extensão não linear ortótropa do material de Saint
Venant-Kirchhoff descrevendo as direções principais dos materiais por uma função tensorial
isótropa acoplada com os tensores estruturais correspondentes. Lürding (2001) [11]
desenvolve com base na função isótropa de energia de deformação do material (dada como
uma função exponencial em termos dos invariantes principais), uma extensão para o caso
transversalmente isótropo e ortótropo.
A motivação para os trabalhos de Bonet e Burton (1998) [12], Weiss et al. (1996) [13] e
Holzapfel et al. (2000) [14] é a modelagem de processos de grandes deformação em
materiais biológicos. Um modelo constitutivo hiperelástico transversalmente isótropo para o
caso de grandes deformações é desenvolvido por Bonet e Burton (1998) [12].
Weiss et al. (1996) [13] também apresentam um modelo constitutivo isótropo, onde o foco
está na incompressibilidade.
Para a simulação das paredes arteriais, um modelo de material constitutivo ortótropo novo é
desenvolvido por Holzapfel et al. (2000) [14], em que cada camada da artéria é modelada
como um material reforçado por fibra. Os invariantes com respeito a várias direções
preferenciais são aditivamente dissociados, o que significa que o modelo proposto pode ser
considerado como uma sobreposição de diferentes modelos de materiais transversalmente
isótropos. Uma visão geral e estudo comparativo dos vários modelos mecânicos para
aplicações em sistemas biomecânicos também está incluso neste trabalho.
Um modelo para materiais transversalmente isótropos quase incompressíveis é proposto por
Rüter e Stein (2000). [15] Eles também desenvolveram um estimador de erro para a medição
do erro de discretização dentro do método dos elementos finitos.
3
Com base nos trabalho de Spencer (1984) [16] e Boehler (1987) [17] uma função de energia
de deformação para materiais ortótropos não lineares é proposta por Raible et al. (2000) [18]
e Reese et al. (2001) [19]. A formulação é incluída em um elemento contínuo especial (ver
Reese (2000) [20] e Wriggers (2008)) [21]. Para identificar as propriedades específicas de
ortotropia são feitas investigações em micro escala para o material do tecido e as conclusões
são introduzidas diretamente na descrição macroscópica do material.
Com base na teoria dos invariantes, Schröder e Neff (2002) [22] desenvolvem uma
metodologia para obter funções de energia livre, que automaticamente preenchem as
condições de poli convexidade no sentido de Ball (1977) [23], a fim de garantir solução única.
As funções de energia livre e a funções de anisótropas de tensão são representados por
funções tensoriais isótropas a valores escalares e tensoriais, respectivamente. Equações
constitutivas transversalmente isótropas e ortótropas são dadas em uma estrutura aditiva, onde
os termos individuais atendem a priori a condição poli convexidade.
No nível de estruturas reais, rugas são instabilidades locais visíveis em membranas devido à
compressão local. Para descrever esse efeito, vários estudos são baseados na introdução de
uma variável cinemática adicional que mapeia a região enrugada em uma chamada
"configuração média". Roddeman (1987) [24] formula várias condições para a classificação
das regiões enrugadas e mostra que esta abordagem pode ser aplicada a deformações finitas e
modelos de materiais anisótropos. Taenzer (1997) utiliza a abordagem de Roddeman para
desenvolver uma formulação robusta de elementos finitos. Schoop et al. (2002) [25] apresenta
uma formulação alternativa à abordagem de Roddeman resultando em equações não lineares
mais simples. Baseando-se nas condições de enrugamento de Roddeman, Ziegler (2001)
desenvolve um algoritmo análogo à elasto-plasticidade de divisão aditiva com pequenas
deformações para calcular as deformações de enrugamento. Como o algoritmo requer que as
tensões e as deformações principais tenham direções idênticas, é aplicável apenas a materiais
isotrópicos.
Liu et al. (2000) [26] apresenta sua abordagem para o tratamento do enrugamento. As rugas
são resolvidas em detalhes quanto ao comprimento de onda, número e amplitude da onda com
base em duas análises: a primeira é uma análise grosseira que objetiva localizar regiões da
membrana que possam estar tensionadas, folgadas ou enrugadas. Na segunda etapa, com base
na suposição de rugas sinusoidais, uma analise mais refinada determina rugas físicas com
base em informações das tensões principais e deformações obtidas pela análise grosseira.
4
Oliveira (2006) [5], simula o comportamento mecânico dos tecidos estruturais idealizando-os
como uma casca fina isótropa reforçada por uma membrana ortótropa, utilizando a teoria de
cascas geometricamente exata desenvolvida por Pimenta (1993) [1] e discretizando os
modelos com o elemento finito T6-3i desenvolvido por Campello et al (2003) [4].
Chivante (2009) [27], estuda diferentes métodos de modelagem para materiais típicos de
estruturas retesadas, com ênfase nos modelos ortótropos representados por um funcional de
energia de deformação hiperelástico.
1.2. Objetivos
Aproveitando-se das formulações de cascas e membranas desenvolvidas em [1,3,4,5],
pretende-se fundamentalmente estender os modelos existentes para incorporar leis
constitutivas ortótropas que se adequem aos materiais efetivamente utilizados na confecção
das membranas, capazes de representar o seu comportamento macroestrutural de maneira
mais apropriada. São apresentadas em detalhes a dedução das expressões que constitui a
matriz das contribuições constitutivas da parcela das equações constitutivas referentes a
ortotropia. Pretende-se também, apresentar uma metodologia para calibração de modelos
constitutivos ortótropos utilizando dados experimentais de teste de tração biaxial de
membranas reais empregadas em projetos de engenharia e iniciar o estudo da analise de
instabilidade visando o fenômeno no enrugamento.
1.3. Notação utilizada
Com relação à notação utilizada, ao longo de todo o trabalho letras minúsculas ou gregas em
itálico ( ), ,..., , ,...a b a b representam grandezas escalares, ao passo que as correspondentes em
negrito ( ), ,..., , ,...a b a b denotam vetores. Letras maiúsculas latinas ou gregas em negrito-
itálico ( ), ,...A B expressam tensores de segunda ordem no espaço Euclidiano tridimensional.
Vetores e matrizes construídos com componentes tensoriais (por exemplo, para fins
computacionais) são expressos por letras latinas em negrito não itálico ( ), ,..., , ,...A B a b .
5
Adota-se ainda a convenção de somatório sobre índices repetidos, estando subentendido que
estes tomam valores entre { }1,2 para letras gregas ou entre { }1,2,3 para letras latinas.
2. F
Casc
carre
cisalh
A teo
imple
finita
prim
camp
Neste
propo
A for
2.1. C
Para
uma
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plano
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cas são es
egamentos e
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a seguir foi
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} 1 2 3, ,r r re e e
ana, posicio
a Figura 1.
tica da casca e
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neste traba
e [4]. É cin
grandezas e
a-Kirchhoff,
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ção de espe
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, e impõe e
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[2] e [4].
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rada de [2]).
6
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6
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o
o
e
e
e
7
O campo vetorial ( )1 2ˆ , ,x x z=x x descreve a posição dos pontos materiais na configuração de
referência, dado por:
r= + ax z , (2.1)
onde
ra ax= ez (2.2)
define um ponto sobre o plano médio e
3r rz=a e (2.3)
é o vetor diretor neste ponto, normal ao plano médio, sendo ,b tH h hz é ùÎ = -ê úë û a coordenada
ao longo da espessura b th h h= + .
A base ortonormal local na configuração deformada { } 1 2 3, ,e e e é obtida pela aplicação de
uma rotação promovida pelo tensor de rotação Q à base definida na configuração de
referência, de modo que, ri i=e Qe . Essa rotação sobre a base { }rie é genérica, de modo que
o plano definido pelos vetores ea não é necessariamente tangente à superfície média
deformada e 3e não é obrigatoriamente ortogonal à mesma. Em outras palavras: a hipótese de
Reissner-Mindlin é válida para o diretor ra .
O vetor x , que representa a posição dos pontos materiais na configuração deformada, é
expresso por
= +x z a , (2.4)
onde ( )1 2ˆ ,x x=z z descreve a posição de um ponto sobre a superfície média e a representa
o vetor diretor neste ponto, obtido por através de
8
r=a Qa . (2.5)
Diz-se que o vetor r T=v Q v é o equivalente retrorrotacionado de r=v Qv , para qualquer
par de vetores 3, r Îv v . O índice “r” significa que se trata de uma grandeza
retrorrotacionada para configuração de referência.
A substituição da equação (2.3) em (2.5) resulta que 3z=a e , de onde se observa que 3e
está alinhado com a e magnitude do diretor é preservada durante o movimento, desta forma
não sendo permitida a deformação da espessura no modelo adotado.
O tensor das rotações Q pode ser expresso em função do vetor das rotações q utilizando a
formula de Euler-Rodrigues
21 2( ) ( )h hq q= + +Q I Q Q (2.6)
onde
( )
( )
( )
( componentes de ),
, ,
e
1 1 2 2 3 3
2
1 2 2
3 2
3 1
2 1
sensen 1 2( ) ( )2
2
0
Skew 0 .
0
r r ri
h h
q q q q
q q qq q
q qq qq q
= + +
= = =
é ù-ê úê ú= = -ê úê ú-ê úë û
e e eq q
q
Q q
(2.7)
O deslocamento dos pontos sobre o plano médio da casca é dado pelo vetor
= -u z z (2.8)
As componentes de u e q no sistema cartesiano global constituem os seis graus-de-liberdade
do modelo.
9
Da equação (2.4) obtém-se o vetor posição x na configuração deformada, que derivado em
relação ao vetor posição x na configuração de referência resulta no gradiente da deformação
que pode ser escrito, fazendo uso da notação ( ) ( ),
/ aax· = ¶ · ¶ e ( ) ( ) / z¢· = ¶ · ¶ , por
( )
( )
,
3
, , 3T
r r
r r
r
a
aa
a a a
a a a
x z¶ ¶ ¶
= = Ä + Ķ ¶ ¶
¢= + Ä + Ä
= + Ä +
x x xF e e
z Q Q a e e
K a e Q
x
h
(2.9)
onde
e , ,T
a a a a a= - =z e K Q Qh (2.10)
podem ser entendidos como deformações generalizadas das seções transversais, com
, ,r
a a a= +z u e . As deformações de membrana são representadas pelas componentes de ah
nas direções be , enquanto o cisalhamento transversal pela componente em 3e . Os tensores
aK são antissimétricos e descrevem a as rotações específicas do diretor, com seus vetores
axiais designados por ( )axiala a= Kk . É possível demonstrar que
,a a= ,k Gq (2.11)
com
22 3( ) ( )h hq q= + +IG Q Q (2.12)
onde
( ) ( )13 2
1 hh
q
-= . (2.13)
10
Observe que as propriedades T T T= =Q QG G G e T T= =Q Q Q QG G G valem para G .
Retrorrotacionando as deformações de membrana e as rotações específicas do diretor para a
configuração de referência, encontram-se
e,
, .
r T T r
r T T
a a a a
a a a
= = -
= =
Q Q z e
Q
h h
k k G q (2.14)
Lembrando que para um tensor antissimétrico Y qualquer e seu respectivo vetor axial y a
propriedade = ´Yb y b é verdadeira, e substituindo os resultados de (2.14) em (2.9), obtém-
se a expressão
( )r r r ra a a
é ù= + + ´ Äê úë ûF Q I a eh k , (2.15)
e definindo
r r r ra a a= + ´ag h k , (2.16)
Obtém-se
( )r ra a= + ÄF Q I eg . (2.17)
Com esse resultado, F pode ser reescrito com
r=F QF , (2.18)
O tensor rF é expresso por
r r ra a= + ÄF I eg . (2.19)
11
Utilizando a notação ( )·
para indicar diferenciação no tempo e aplicando essa operação sobre
a equação (2.18), resulta no gradiente das velocidades:
( )
( )
,
r r
T r r
r r
a a
a a
= +
= + Ä
= + Ä
F QF QF
QQ F Q e
F Q e
g
W g
(2.20)
onde o tensor antissimétrico T= QQW representa a velocidade angular do diretor e apresenta
vetor axial ( )axial=w W , e de modo análogo à equação (2.11) é expresso por
=w Gq . (2.21)
Para o cálculo da equação (2.20) faz-se necessário conhecer as derivadas temporais rag que
podem ser expressas por
r r r ra a a= + ´ag h k . (2.22)
As derivadas rah e r
ak são conseguidas promovendo a diferenciação temporal de (2.14).
Derivando a expressão (2.14)1 referente ao termo rah e lembrando que T = -W W , tem-se
( )
( ) ( )
( )
,
, , , ,
, , , ,
, ,
r T T T T
T T T
T
a a a a a
a a a a
a a
= + = +
= + = - ´
= +
Q z Q z Q QQ z u
Q u z Q u z
Q u Z
h
W Gq
Gq
(2.23)
onde ( ), Skewa =Z w .
12
Para obtenção do termo rak , lembrando que vale a identidade ,a a a a= - +W K WK K W ,
ver [2], de onde decorre
, ,a a a a a a= ´ = + ´w k - w k k w w k . (2.24)
Diferenciando (2.14)2 no tempo, e usando (2.24)2 juntamente com a propriedade
T T= -Q Q W (que decorre de T T= - = QQW W ), encontra-se a expressão
,r Ta a= Qk w , (2.25)
e levando em conta (2.21), obtém-se
( ), ,r Ta a a= +Qk G q Gq . (2.26)
Calculando as derivadas em relação aos parâmetros ax do tensor G utilizando a equação
(2.12), e após algumas manipulações algébricas, chega-se
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ,
, 2 , 3 , ,
24 , 5 ,
h h
h h
a a a a
a a
q q
q q
= + + +
+ ⋅ + ⋅
G Q QQ Q Q
q q Q q q Q
(2.27)
onde ( ), ,Skewa a=Q q e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e 1 2 2 3
4 52 2
2 3h h h hh h
q q q qq q
q q
- -= = . (2.28)
2.2. Estática
O primeiro tensor das tensões de Piola-Kirchhoff P é representado por
13
,ri i= ÄP et (2.29)
onde os vetores-colunas it representam as tensões na configuração deformada que podem ser
expressas em função de rit , suas equivalentes retrorrotacionadas por unidade de área da
configuração de referência e atuam em planos dos quais as normais nesta configuração são
dadas por rie , pela relação ri i= Qt t , obtendo-se então
,r r ri i= Ä =P Q e QPt (2.30)
onde rP é o equivalente de P retrorrotacionado para a configuração de referência.
Ao se introduzir as hipóteses de estado plano de tensões em P , estes vetores passam a ser
designados pro it e rit , respectivamente, do qual falaremos no capítulo 3.
Usando os tensores energeticamente conjugados P e F , a potência dos esforços internos por
unidade de volume de referência vale
( ) ( )
( ) ( )
.
: :
: :
r r r ri i
T r r r ri i
r r
a a
a a
a a
é ù é ù= Ä + Äê ú ê úë û ë û
= + Ä Ä
= ⋅
P F Q e F Q e
P F Q Q e e
t W g
W t g
t g
(2.31)
O termo : : 0T= =P F PFW W , decorre do balanço do momento angular, ou segunda
equação local do movimento. Note que a potência associada a 3rt é nula devido a hipótese de
diretor com magnitude constante. Substituindo (2.22) em (2.31), tem-se
( ): r r r r ra a a a= ⋅ + ´ ⋅P F at h t k , (2.32)
e realizando a integração ao longo da espessura, obtém-se
: r r r r
Hd a a a az = ⋅ + ⋅ò P F n mh k (2.33)
14
onde
e r r r r r
H Hd da a a az z= = ´ò òn m at t . (2.34)
Os vetores ran representam as forças generalizadas retrorrotacionadas atuantes na seção
transversal com normal rae , e r
am os momentos generalizados retrorrotacionados na mesma
seção, todos por unidade de comprimento da configuração de referência. O emprego do termo
generalizado foi utilizado para diferenciar dos esforços ran e r
am de seus equivalentes na
configuração deformada,
e ,r ra a a a= =n Q n m Q m (2.35)
que são os esforços verdadeiros que atuam nas seções transversais da casca.
Note que os vetores rat , r
at , rag , r
an , ram , r
ah e rak têm na base { }rie as mesmas
componentes que at , at , ag , an , am , ah e ak na base { }ie . Os primeiros são
grandezas objetivas (não são afetados por movimentos superpostos de corpo rígido).
Neste ponto, é conveniente agrupar as grandezas da seção transversal nos três vetores abaixo
, e 1 1
2 2
r rr r
r r
é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú= = =ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úë ûë û ë û
ud
s es e
qs e (2.36)
tal que
e .r r
r rr ra a
a aa a
é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úë û ë û
n
m
hs e
k (2.37)
Com auxílio destes vetores a expressão (2.33) pode ser reescrita como
: r r
Hdz = ⋅ò P F s e , (2.38)
15
e com auxílio das expressões (2.23) e (2.26), a derivada temporal re é dada por
( )( )( )( )
.
1 ,1 ,1
1 1 ,1 ,1
2 2 ,2 ,2
2 ,2 ,2
r T
r r Tr
r r T
r T
é ù é ù+ê ú ê úê ú ê úé ù +ê ú ê úê ú= = =ê ú ê úê ú +ê ú ê úê úë û ê ú ê úê ú ê ú+ë û ë û
Q u Z
Q
Q u Z
Q
h Gq
e k G q Gqe
e h Gq
k G q Gq
(2.39)
Utilizando os operadores
e = ,
1
,1
1,1
,22
,2
2
T T
T T
T T
T T
x
x
x
x
é ù¶ê úê ú¶ê úê ú¶é ùê úê úê ú¶ê úê úê ú ¶= ê úê úê úê ú ¶ê úê úê úê ú ¶ê úë ûê ú¶ê úê úê úë û
Q Q
Q Q
Q Q
Q Q
I O
O O O Z G O IO G O O G
Y D I OO O O Z G
O O O G GO I
O I
(2.40)
é possível reescrever a expressão (2.39) como
r = de YD . (2.41)
Integrando a equação (2.38) no domínio W , obtém-se a potência dos esforços internos, dada
por
.
int :H
r r
r
P d d
d
d
W
W
W
z W
W
W
=
= ⋅
= ⋅
ò ò
ò
ò
P F
d
s e
s YD
(2.42)
A potência dos esforços externos pode ser definida por
16
( ) extt t b b
HP d d
Wz W= ⋅ + ⋅ + ⋅ò òt x t x b x , (2.43)
onde tt e bt são respectivamente os vetores das forças externas distribuídas que atuam nas
superfícies de topo e de fundo da casca, por unidade de ária da configuração de referência, e o
vetor b as forças externas distribuídas no volume de referência. Por diferenciação no tempo
de (2.4), obtém-se
( )
.
r
r r
⋅
= + = +
= + = +
= + = + ´
x z a u Qa
u Qa u Qa
u a u a
W
W w
(2.44)
Note-se em (2.43) que t t= + ´x u aw e b b= + ´x u aw . Substituindo (2.21) em (2.44),
e o resultado desta operação em (2.43), chega-se a
( )extTP d
WW= ⋅ + ⋅ò n u mG q , (2.45)
onde
e
t b
H
t t b b
H
d
d
z
z
= + +
= ´ + ´ + ´
ò
ò
n t t b
m a t a t a b
(2.46)
são respectivamente as resultantes externas de força e momento, ambos por unidade de área
da configuração de referência. Definindo
T
é ùê ú= ê úê úë û
nq
mG, (2.47)
tem-se
17
.extP dW
W= ⋅ò q d (2.48)
O vetor
T= mm G (2.49)
que aparece em (2.45), é denominado de pseudo-momento externo distribuído, em oposição
aos momentos externos verdadeiros m . O pseudo-momento m é quem está energeticamente
conjugado com as rotações q .
2.3. Equilíbrio
Inicialmente considere que os campos u e q satisfazem as condições de contorno essenciais
na fronteira do plano médio da casca. Sejam os campos virtuais de deslocamentos e rotações
representados respectivamente por du e dq , definidos sobre o plano 2W Ì da
configuração de referência. Com esses campos se constrói T
d d dé ù= ê úë ûd u q . Procedendo de
modo análogo ao utilizado para obter a expressão (2.42), referente à potência dos esforços
internos, pode-se escrever o trabalho virtual dos esforços internos como
int ,r r rW d dW W
d d W d W= ⋅ = ⋅ò ò ds e s YD (2.50)
onde
rd d= de YD (2.51)
é obtido de modo equivalente a (2.41). O trabalho virtual dos esforços externos é obtido
semelhante a (2.48), isto é,
extW dW
d d W= ⋅ò q d , (2.52)
18
de maneira que o equilíbrio estático da casca com condições de contorno essenciais nas
fronteiras pode ser formulado na forma fraca por meio do teorema dos trabalhos virtuais:
, | em int ext 0 ,W W Wd d d d d G= - = " =d d o (2.53)
sendo G a fronteira de W . Substituindo (2.50) e (2.52) em (2.53), tem-se
( ) ( )
( )
.
, , , ,
0
r r
r T r T
T
W d d
d
d
W W
a a a a a aW
W
d d W d W
d d d d W
d d W
= ⋅ - ⋅
é ù= ⋅ + + ⋅ + +ê úë û
- ⋅ + ⋅ =
ò ò
ò
ò
q d
n Q u Z m Q
n u m
s e
G q G q G q
G q
(2.54)
Integrando por partes os termos com ,adu e ( ),a
dG q , e utilizando o lema fundamental do
cálculo variacional, obtêm-se as seguintes equações locais do equilíbrio:
,
, ,
a a
a a a a
+ =
+ ´ + =
n n o
m z n m o
(2.55)
Pode-se entender o trabalho virtual Wd na equação (2.53) como um funcional dos campos d
e dd , sendo linear em relação a dd . Sua derivada de Gateaux em relação a d , segundo uma
variação d*d pertencente ao mesmo espaço de dd , resulta no operador tangente:
( ) ( )
( )
( )
,
r r
T r
T r T r
T r rT r
r
W d
d
d
d
W
W
W
W
d d d d d W
d d d W
d d d d d W
d d d d d W
* *
*
* * *
* * *
é ù= ⋅ - ⋅ê úë û
é ù= ⋅ - ⋅ê úë û
é ù= + ⋅ - ⋅ê úë û
éæ ö ù¶ ¶ ¶÷çê ú÷= + ⋅ - ⋅ç ÷çê ú÷ç ¶ ¶¶è øë û
ò
ò
ò
ò
q d
d q d
d q d
qd d d d
d d
s e
Y s D
Y s Y s D
Y s sY e D
e
(2.56)
19
que depois de alguma álgebra pode-se escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
W d
d dW
W W
d d d d W
d d W d d W
* *
* *
= ⋅ +
+ ⋅ - ⋅òò ò
d D d
d G d d L d
YD YD
D D D (2.57)
As matrizes D ,G e L são dadas por
,
1 1 1 1
1 1 2 2
1 1 1 1
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1
1
2
r r r r
r r r r
r r r r
r r r r r
r r r rr
r r r r
r r r r
r r r r
u
u
q
q q
¢
¢
¢
é ù¶ ¶ ¶ ¶ê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ê úê ú
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ê ú= = ê ú¶ ¶ ¶ ¶ê ú¶
ê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ê úê ú¶ ¶ ¶ ¶ë û
=
n n n n
m m m m
Dn n n n
m m m m
O O O O G
O O O O G
G O O O O G
h k h k
s h k h ke
h k h k
h k h k
e
2
1 1 2 2 1 2
,
u u
q
q q
q qq q qq qq qq
¢
¢ ¢ ¢ ¢
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê ú+ê úë û
é ù¶ ¶ê ú¶ ê ú¶ ¶= = ê ú¶ ¶¶ ê úê úë ¶ ¶ û
O O O O G
G G G G G G
n nq uLd
u
qm m
q
(2.58)
As matrizes D , G e L representam respectivamente as contribuições constitutivas,
geométricas dos esforços internos e geométricas dos esforços externos. As submatrizes de G
são encontradas em [2] e foram primeiramente publicadas em [1]. Para campos u e q
quaisquer, G é sempre simétrico. As submatrizes L dependem do caráter dos esforços
externos, conforme (2.58)3.
O operador tangente (2.57) é uma forma bilinear de dd e d*d , e como T=G G , resultará
simétrico se D e L também forem simétricos, isto é, sempre que a lei constitutiva presumir a
20
existência de um potencial, como é o caso dos materiais hiperelásticos, e o carregamento for
conservativo.
Introduzindo os tensores tangentes
,r
rra
abb
¶=
¶C
t
g
(2.59)
e com a ajuda das derivadas
e ,r r
rr r
g ggb gb
b b
d d¶ ¶
= = -¶ ¶
I Ag g
h k (2.60)
onde abd é o delta de Kronecker e ( )Skewr r=A a , as submatrizes de D , fazendo uso da
regra da cadeia, podem ser expressas por
,
,
e
.
rr
r H
rr r
r H
rr r
r H
rr r r
r H
d
d
d
d
aab
b
aab
b
aab
b
aab
b
z
z
z
z
¶=
¶
¶= -
¶
¶=
¶
¶= -
¶
ò
ò
ò
ò
nC
nC A
mA C
mA C A
h
k
h
k
(2.61)
2.4. Discretização em elementos finitos
Diante de uma formulação de casca consistente, se faz necessário neste ponto do trabalho
utilizar um método matemático que possa ser implementado numericamente, e propicie a
resolução de problemas que admitam ser modelados por esse tipo de concepção estrutural.
Este
admi
O el
indef
Defin
Cons
os n
deslo
interp
Seja
As fu
trabalho re
itindo a pres
lemento fin
formada e n
nine-se ip
struído dest
nós e rotaç
ocamentos
poladas por
A a área to
unções de in
ealizou-se
sença de nã
nito consid
numerado co
Figu
( 1,..., 6i =
, i i=p u
ta forma, o
ção apenas
é feita po
r funções lin
otal do elem
nterpolação
utilizando
ão linearidad
derado será
onforme Fig
ra 2: Elemento
)6 como o v
se 1,2i =
elemento a
nos nós
or funções
neares a par
mento triang
de u podem
o método
de geométri
triangular
gura 2.
o triangular de
vetor dos gr
ou 2, 3,
apresenta gr
localizados
s quadrátic
rtir dos nós
gular e (iA
m ser expre
dos elemen
ica e materi
de seis n
e seis nós (Cam
raus de liber
ii
i
é ùê ú= ê úê úë û
up
q
raus de libe
s no meio
cas comple
intermediár
( 1, 2, 3i =
essas por
ntos finitos
al nos mode
nós, plano
mpello, 2005).
rdade do nó
, se i =
erdade de de
dos lados.
etas, enqua
rios.
)3 as áreas i
para impl
elos.
em sua co
ó i , de mod
4,5,6.
deslocament
. A interp
anto as ro
indicadas n
21
lementação,
onfiguração
o que
(2.62)
to em todos
olação dos
tações são
na Figura 2.
1
,
o
)
s
s
o
.
22
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
com , ,
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 1 2
5 2 3
6 3 1
2 1
2 1
2 1
4
4
4
1, 2, 3
u
u
u
u
u
u
ii
N L L
N L L
N L L
N L L
N L L
N L L
AL i
A
= -
= -
= -
=
=
=
= =
(2.63)
em coordenadas cartesianas iL pode ser escrito como:
( ) , , , com
,
,
,
,
,
.
1 2 3 3 2
1 2 3
1 3 2
2 3 1 1 3
2 3 1
2 1 3
3 1 2 2 1
3 1 2
3 2 1
11 2 3
2
,
,
,
i i i iL a b x c y iA
a x y x y
b y y
c x x
a x y x y
b y y
c x x
a x y x y
b y y
c x x
= + + =
= -
= -
= -
= -
= -
= -
= -
= -
= -
(2.64)
As funções de interpolação de q são dadas por:
23
,
e
.
4 3
5 1
6 2
1 2
1 2
1 2
N L
N L
N L
q
q
q
= -
= -
= -
(2.65)
O elemento com tal configuração é chamado T6-3i. Note que a ausência dos graus de
liberdade q nos vértices do elemento o torna incompatível em relação ao campo de rotações.
Conforme [2], nenhum outro recurso do método dos elementos finitos foi utilizado para sua
construção e o travamento numérico não é observado devido à incompatibilidade de q e à
interpolação quadrática de u tornarem o elemento suficientemente flexível.
Conforme Oliveira [5],
“Como membranas apresentam espessuras muito pequenas, o T6-3i é
um elemento finito exatamente adequado para a análise desses
materiais, já que o travamento – dificuldade do elemento de reproduzir
estados de flexão pura sem desenvolver deformações de membrana ou
de cortante – não se manifesta.”
Definindo p como o vetor que agrupa os graus de liberdade nodais do T6-3i, e escrevendo
,
1
2
6
é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û
p
pp
p
(2.66)
os campos de deslocamentos e rotações em seu interior são obtidos pela equação
,= Nd p (2.67)
onde
24
1 2 3 4 5 6
4 5 6
u u u u u uN N N N N N
N N Nq q q
é ùê ú= ê úê úë û
NI I I I O I O I O
O O O O I O I O I (2.68)
é a matriz de interpolação. Fazendo a substituição de (2.67) na expressão de trabalhos virtuais
(2.50) e (2.52), e realizando a discretização do domínio eW W= È , obtém-se o vetor eP dos
esforços nodais desbalanceados
( ) ,e
T r Te d
WWé ù= -ê ú
ë ûòP N N qYD s (2.69)
onde eW representa o domínio do elemento. A matriz de rigidez é obtida diferenciando (2.69)
em relação a p . Desta operação resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) .e
T T Te d
WWé ù= + -ê ú
ë ûòK N N N N N ND G LYD YD D D (2.70)
Devido ao modelo de casca utilizado não apresentar nenhuma rigidez associada à rotação do
diretor em torno de seu próprio eixo (drilling), que corresponde no sistema local à terceira
componente de q , assim como realizado em [2], apenas para evitar que eK resulte singular,
adota-se localmente na equação constitutiva uma rigidez fictícia de 3Eh (sendo E o módulo
de elasticidade e h a espessura da casca). Este valor é da ordem da rigidez à flexão o que
garante o bom condicionamento das matrizes.
Os vetores dos esforços nodais desbalanceados (2.69) e a matriz de rigidez (2.70) são
calculados com três pontos de integração sobre eW , situados no meio das arestas dos
elementos e coincidentes com os nós 4, 5 e 6 do elemento. Ao longo da espessura, foram
utilizados três pontos de Gauss para integração de (2.34) e (2.61).
25
3. Descrição do Material
Uma membrana estrutural consiste basicamente de um tecido ou uma rede fina de fibras
revestida por finas coberturas, nas suas superfícies inferior e superior, em geral de resina
polimérica. Tais fibras são tecidas em duas direções ortogonais, como mostra a Figura 3, e
por este motivo características ortótropas estão presentes em seu comportamento mecânico.
Figura 3: Estrutura de um tecido ortótropo revestido por rezina polimérica.
Neste capítulo será apresentada uma breve caracterização da mesoestrutura do material, que
possibilita compreensão qualitativa do comportamento mecânico dos tecidos estruturais. A
descrição macroestrutural será realizada pela elaboração de modelos constitutivos que
pretendem representar o comportamento ortótropo deste tipo de material.
3.1.
Os te
[28].
Mate
lamin
carbo
pode
polié
frequ
Vant
são a
Fibr
1
2
Configur
ecidos estru
Várias con
eriais como
nados. Para
ono, fibra d
em ser fun
éster, politet
uentemente
tagens e des
apresentada
ras:
1.) Compos
umidade
são infla
2.) Fibras d
custo é m
módulo d
ração e co
uturais pode
nfigurações
Figura 4: C
o poliéster e
a as fibras, p
de vinil (Vi
didos em
trafluoretile
utilizados p
svantagens p
s a seguir, c
stos de poli
e, luz solar
amáveis e m
de poliéster
maior que o
de elasticid
omposição
m ser mont
e tipologias
Configurações
e etileno-te
podem ser u
inylon) e a
laminados
eno (PTFE
para a cama
para alguns
conforme de
iamida (Nyl
e oxidação
mais suscetív
r (Trevira, T
o nylon; são
ade mais el
o do mater
tados de for
s são possív
de tecidos estr
etrafluoretile
usados fios
aramidas (K
termoplást
ou teflon),
ada de reves
s dos materi
escrito por
lon): estes
afetam sua
veis à ação d
Terylene, D
o impermeá
levado que o
rial
ma a manip
veis, a Figur
ruturais (figur
eno (ETFE)
de poliéste
Kevlar). Alé
icos para r
cloreto de p
stimento [28
iais citados
[5], [29] , [
tecidos apre
as proprieda
da umidade
Dacron): são
veis e resist
os do Nylon
pular suas pr
ra 4 mostra
ra retirada de [
) são tipica
er, Nylon, fi
ém desses m
reforço. Re
polivinila (P
8] , [29] e [3
nesses itens
30] e [31].
esentam alta
ades mecâni
que os teci
o um pouco
tentes às in
n; são inflam
ropriedades
a delas.
[28]).
amente utili
ibra de vidr
materiais, fi
esinas polim
PVC) e bor
30].
s, para fibra
a recuperaç
icas (envelh
idos como o
o mais resist
ntempéries;
máveis.
26
s mecânicas
izados para
ro, fibras de
ios de aços
méricas de
rrachas, são
as e resinas,
ção elástica;
hecimento);
o poliéster.
tentes e seu
apresentam
6
s
a
e
s
e
o
,
;
;
u
m
27
3.) Fibra de Vidro (Fiberglass): apresenta alta resistência à tração e ao fogo; seu módulo
de elasticidade é bastante elevado quando comparado ao de outros tipos de tecido; são
translúcidos e bastante flexíveis; por outro lado não aceitam costuras e possuem baixa
resistência à abrasão.
4.) Compostos de fibra de vinil (Vinylon): apresentam resistências próximas aos tecidos
de fibra de vidro, quando recoberto por Hypalon (tipo de borracha sintética); quando o
cobrimento for de PVC, a resistência é mais baixa, comparável ao poliéster do tipo
(Trevira); apresenta baixo custo.
Revestimento (resinas poliméricas):
1.) PVC (cloreto de polivinila): sensível a intempéries; apresenta baixa elasticidade;
quando transparente a vida útil é reduzida; rígidos em clima frio.
2.) Composto de borracha sintética (Polietileno e Clorosulfanato, Hypalon ou
policloroprene, Neoprene): revestimentos de Hypalon são resistentes à ação de
ácidos, oxidação, ozônio, calor e luz; apresenta boas propriedades mecânicas com
excelente resistência à abrasão; baixa absorção de água; boa retenção das cores de
pigmentação; baixo custo; pouca resistência a baixas temperaturas;
3.) Politerafluoretileno (PTFE – nome comercial: Teflon): duráveis e altamente
resistentes à tração; impermeáveis; misturado a aditivos aumenta sua flexibilidade e
resistência à abrasão.
4.) Silicone: excelente resistência a ação de raios UV, alta flexibilidade; resistência ao
fogo; alta resistência à tração.
Destacam-se entre as principais composições de membranas estruturais:
1.) Poliéster revestido com PVC: vida útil de 15 a 20 anos; não propaga chamas.
2.) Fibra de vidro revestido com Teflon: vida útil em torno de 30 anos; translúcido; não
combustível.
3.) Fibra de vidro revestida com Silicone: mais flexível que o teflon; apresenta elevada
translucidez, que proporciona aproveitamento de iluminação natural.
28
3.2. Comportamento mecânico do tecido
As fibras, que compõem o tecido, estão diretamente relacionadas ao comportamento mecânico
das membranas estruturais. Conforme [5] e [8], as fibras são comumente tecidas em duas
direções ortogonais entre si, o que introduz no material, do ponto de vista macroscópico, um
comportamento mecânico tipicamente ortótropo.
Durante o processo de fiação do tecido, em uma das direções, denominada urdume ou
urdidura (warp), os fios são mantidos numa posição retilínea e num estado retesado. Enquanto
isso, de acordo com [32], os fios da outra direção, denominada de trama (weft ou fill), são
passados alternadamente por cima e por baixo de cada fio do urdume, apresentando, portanto,
uma ondulação mais acentuada que estes últimos fios. O urdume acaba por ondular-se, porém
em menor grau do que a trama, em decorrência da interação entre os fios, como pode ser
observado na Figura 5.
Figura 5: Comportamento do tecido (figura adaptada de [28]).
Observa-se na Figura 5 que a direção do urdume apresenta maior rigidez à tração que a da
trama. Isto ocorre devido ao fato de que os fios do urdume, na configuração livre de tração,
apresentam ondulação muito baixa quando comparados com os fios da trama. Note que,
tracionando um tecido igualmente nas duas direções, o aumento da ondulação do urdume
reflete a grande influência das interações com os fios da trama e pode gerar tensões de
compressão naquela direção, caso a trama apresente grandes deformações. Já o revestimento
polimérico fornece pequena rigidez à compressão, flexão e ao cisalhamento transversal [5].
A pequena rigidez fornecida pelo revestimento desempenha papel fundamental na obtenção
do equilíbrio em estruturas que apresentem flexão ou enrugamento da membrana estrutural. A
flexibilidade desses materiais aliado ao surgimento de pequenas tensões de compressão,
proporciona como resposta estrutural surgimento de dobras e rugas.
3.3.
Este
na Fi
é ide
ortót
apres
defor
reves
Neste
comp
adici
A dis
do te
Idealizaç
trabalho se
igura 6,
ealizada com
tropa e de
sentado na
rmação espe
stimento isó
e modelo,
pressão, à fl
ional, em ge
stribuição c
ecido e reve
ão
gue a ideali
Figu
mo a superp
e um reves
Figura 7. E
ecífica em d
ótropo.
Fi
o revestim
lexão e ao c
eral elevada
contínua das
stimento, ta
ização prop
ura 6: Direções
posição de e
stimento q
Essa superp
duas parcela
igura 7: Idealiz
mento polim
cisalhament
a. Estas são
s fibras, com
ambém são
posta por [5]
s de ortotropia
efeitos de um
que funcion
posição se
as distintas,
zação do tecido
mérico contr
to, enquanto
as hipótese
m seção tran
hipóteses le
], na qual a
a (figura adapt
m tecido qu
na como u
dá pela dec
, uma refere
o (figura retira
ribui com u
o o tecido or
s básicas as
nsversal e ri
evadas em c
membrana
tada de [33])
ue funciona
uma casca
composição
ente ao tecid
ada de [5])
uma pequen
rtótropo com
ssumidas ne
igidez idênt
conta nessa
estrutural, a
a como uma
fina isótr
o aditiva da
do ortótropo
na rigidez
m uma rigid
essa idealiza
tica e a perf
idealização
29
apresentada
a membrana
opa, como
energia de
o e outra ao
à tração, à
dez à tração
ação.
feita adesão
o.
9
a
a
o
e
o
à
o
o
30
3.4. Modelos constitutivos propostos
Os tecidos revestidos por resina polimérica apresentam comportamento mecânico complexo.
Sendo assim, fatores como plasticidade, viscosidade, relaxação e envelhecimento poderiam
ser levados em consideração para uma melhor representação do comportamento mecânico do
material.
Neste trabalho, optou-se por simplificação, utilizar apenas modelos constitutivos referentes a
materiais hiperelásticos.
Segundo Pimenta [34], pode-se definir um material hiperelástico como:
“Um material é dito hiperelástico se existir uma função escalar ( )y E ,
denominada energia de deformação específica, que serve de potencial
para as tensões tal que y¶
=¶
SE
.”
Nesse caso, S é o segundo tensor das tensões de Piola-Kircchoff e E o tensor das
deformações de Green. Estas grandezas são energeticamente conjugadas e equações
constitutivas formuladas a partir destas, respeitam os princípios da objetividade, ou seja, as
forças internas não são afetadas por movimentos superpostos de corpo rígido [34].
Levando em conta a idealização proposta no item 3.3, a energia de deformação específica será
expressa por
.iso ortoy y y= + (3.1)
Como consequência da decomposição da energia de deformação específica, decorre que
e
,
iso orto
iso orto
= +
= +
S S S
P P P
(3.2)
onde =P FS é o primeiro tensor das tensões de Piola-Kirchhoff.
Lembrando de (2.29) e (2.30), pode-se escrever
31
e
.
,
iso
orto
r ri i
r riso ii
r rorto ii
= Ä
= Ä
= Ä
P Q e
P Q e
P Q e
t
t
t
(3.3)
E, a partir de (3.3), tem-se
( ) ,iso orto
r r r r ri i ii i
= Ä = + ÄP Q e Q et t t (3.4)
resultando portanto em
.iso orto
r r ri i i
= +t t t (3.5)
Esse resultado significa que os vetores de tensão totais podem ser obtidos por uma simples
soma das suas contribuições isótropa e ortótropa.
Uma consequência imediata de (3.5) é que os esforços internos atuantes nas seções
transversais, dados por (2.34), podem ser escritos como
e .r r r r riso orto isoa a a a a= + =n n n m m (3.6)
E a matriz dos módulos constitutivos de rigidez tangente (dada por (2.58)1) como
.iso orto= +D D D (3.7)
A seguir, apresentaremos dois modelos constitutivos formulados a partir desse
equacionamento. No primeiro a energia de deformação específica foi proposta por Oliveira e
Pimenta em [5] e no segundo foi proposta por Raible em [28].
32
3.4.1. ModeloConstitutivodeOliveira‐Pimenta[5]e[8]
Parcela isótropa:
A parcela isótropa considerará uma energia de deformação isótropa proposta por Simo-Ciarlet
em [35,36]. A energia de deformação específica proposta é expressa como uma função dos
invariantes do tensor das deformações de Cauchy-Green, dado por
,T=C F F (3.8)
para o qual os invariante adotados são:
,
e
.
1
22
:
:
det
I
I
J
=
=
=
I C
I C
F
(3.9)
A energia de deformação é definida por
( ) ( ) ( )21 1
1 1 1, 1 ln 3 2 ln ,
2 2 2iso I J J J I Jy l mé ùê ú= - - + - -ê úë û
(3.10)
onde l e m são constantes generalizadas de Lamé generalizadas, que em função do módulo
de elasticidade E e do coeficiente de Poisson n são dadas por:
( )( ) ( )
e .1 1 2 2 1
E Enl m
n n n= =
+ - + (3.11)
O segundo tensor de Piola-Kirchhoff para a parte isótropa é dado então por
1
1
2 2 .iso iso iso isoiso
I J
I J
y y y yæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷= = = +ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øS
E C C C (3.12)
33
Utilizando a relação iso iso=P FS , e em seguida obtendo o equivalente retrorrotacionado
para configuração de referência risoP juntamente com a imposição de estado plano de tensão
( )33 3 3 0rt = ⋅ =Pe e , é possível chegar a (ver [4] para detalhes)
( ) ( )( )
( )( ) ( )
e22 11 22
1 21 12 21
13
12 12 21
2 11 22 11
23
1
1 ,
riso
riso
mJ g m g gmJg m g g
mg
mJg m g gmJ g m g g
mg
é ù+ + -ê úê ú= - + -ê úê úê úë û
é ù- + -ê úê ú= + + -ê úê úê úë û
t
t
(3.13)
onde ijg são as componentes do vetor de deformação rg (vide equação (2.16)) e
( ) ( )
( )( )
e3
3
11 22 12 21
1 2 1
2
1 1 .
J J
J J
J
l mJ
l m
g g g g
- + -=
+
= + + +
(3.14)
A partir de (3.13) é possível obter, para a parte isótropa, as forças e momentos generalizados
risoan e r
isoam de (3.6), que atuam na seção transversal de normal rae , e deste último a matriz
isoD de (3.7). Suas expressões foram desenvolvidas pela primeira vez em [4] e serão omitidos
por questão de simplicidade.
Parcela ortótropa:
A parcela ortótropa afeta exclusivamente as deformações de membrana do gradiente da
deformação. Dessa forma, é conveniente expressar F (ou equivalente , rF , ver (2.18)) e
apenas com estas deformações. Sendo assim, este será expresso por
,11 21
12 22
1 0
1 0
0 0 1
r
h hh h
é ù+ê úê ú= +ê úê úê úë û
F (3.15)
34
onde abh são as componentes do vetor rah definido em (2.14)1.
Lembrando que TT r r=C F F = F F e que ( )1
2= -E C I , o tensor das deformações de
Green, resulta em
( )
( )
( ) ( )
com
,
e
.
11 12
21 22
2 211 11 12
2 222 22 21
12 21 11 21 22 12
0
0
0 0 0
11 1
2
11 1
2
11 1
2
E E
E E
E
E
E E
h h
h h
h h h h
é ùê úê ú= ê úê úê úë û
é ù= + + -ê úë û
é ù= + + -ê úë û
é ù= = + + +ë û
E
(3.16)
A energia de deformação específica (por unidade de volume) ortótropa ortoy pode ser escrita
em função da energia de deformação por unidade de área ˆortoy , da seguinte forma
,1 ˆ
orto ortohy y= (3.17)
com h representando a espessura da membrana na configuração indeformada e que
permanecerá constante. Como consequência,
e .1 1ˆ ˆ
orto orto orto ortoh h= =S S P P (3.18)
Sejam as direções locais de ortotropia, na configuração de referência, dada pelos versores 1rh
(direção do urdume) e 2rh (direção da trama), de modo que 1 2 0r r⋅ =h h . É possível definir os
chamados tensores estruturais aH (vide por exemplo [28]), da seguinte forma
35
.r ra a a= ÄH h h (3.19)
A função energia de deformação ortótropa por unidade de área pode ser escrita em função de
quatro invariantes nas direções da ortotropia ( )11 12 21 22ˆ , , ,orto orto I I I Iy y= , sendo eles:
e
,
11 1
12 2
221 1
222 2
:
:
:
:
I
I
I
I
=
=
=
=
H E,
H E,
H E
H E
(3.20)
que podem ser reescritos da seguinte forma
e
11 11
12 22
2 221 11 12
2 222 22 12.
I E
I E
I E E
I E E
=
=
= +
= +
,
,
(3.21)
Com auxílio de
e ,1 2I Ia aa a a
¶ ¶= = +
¶ ¶H H E EH
E E (3.22)
o tensor ˆortoS é então dado por
( ).1 2
ˆ ˆˆ orto ortoorto I Ia a a
a a
y y¶ ¶= + +
¶ ¶S H H E EH (3.23)
36
A função de energia de deformação ortótropa por unidade de área, proposta por [5] e [8] e
adotado aqui, é a seguinte:
( ) ( )( )
( )
2 211 12 21 22 11 12 11 12
4 3 2 2 3 411 11 12 11 12 11 12 11
21 22
ˆ , , ,
,
orto I I I I aI bI cI I
hI kI I lI I mI I nI
I I
y
m
= + + +
+ + + + + +
+ + (3.24)
com a , b , c , h , k , l , m , n e m sendo os parâmetros do material. Nesse caso, o tensor
ˆortoS pode ser reescrito como
( )ˆ ,orto a a a aj m= + +S H H E EH (3.25)
onde
e
.
3 2 2 31 11 12 11 11 12 11 12 12
3 2 2 32 12 11 11 11 12 11 12 12
2 4 3 2
2 2 3 4
aI cI hI kI I lI I mI
bI cI kI lI I mI I nI
j
j
= + + + + +
= + + + + +
(3.26)
O primeiro tensor das tensões de Piola-Kirchhoff, por sua vez, é obtido via ˆ ˆôrto ôrto=P FS ,e
seus vetores-coluna resultam em
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
e
21 11 11 21 11 21 12 22
21 1 11 12 22 11 21 22 12
2
2 12 21 11 21 22 11 122
2 2 12 22 21 12 11 12 22
2 1 1 11
2 1 1 1
0
2 1 1 11
2 1 1 1
0
rorto
rorto
I
Ih
I
Ih
j m h mh h mh h h
j m h m h h h m h h
j m h m h h m h h h
j m h mh h h mh h
é ù+ + + + + +ê úê úê ú= + + + + + +ê úê úê úë û
é ù+ + + + + +ê úê úê ú= + + + + + +êêêë û
t
t .úúú
(3.27)
37
Recorrendo a (2.34)1, encontra-se as forças generalizadas retrorrotacionadas atuantes na
seção transversal de normal rae , da parcela ortótropa, dadas por
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
e
.
21 11 11 21 11 21 12 22
21 1 11 12 22 11 21 22 12
2
2 12 21 11 21 22 11 122
2 2 12 22 21 12 11 12 22
2 1 1 1
2 1 1 1
0
2 1 1 1
2 1 1 1
0
rorto
rorto
I
I
I
I
j m h mh h mh h h
j m h m h h h m h h
j m h m h h m h h h
j m h mh h h mh h
é ù+ + + + + +ê úê úê ú= + + + + + +ê úê úê úë û
é ù+ + + + + +ê úê úê ú= + + + + + +ê úê úê úë û
n
n
(3.28)
A resultante total das forças e momentos generalizados (retrorrotacionados) que atuam na
seção transversal de normal rae , finalmente é dada por:
e .r r r r riso orto isoa a a a a= + =n n n m m (3.29)
As expressões de risoan não foram apresentadas aqui, mas podem ser encontradas em [4].
Vale ressaltar que a parcela ortótropa não contribui em ram .
A matriz dos módulos constitutivos de rigidez tangente da parcela ortótropa é calculada a
partir de (2.58)1 e vale:
= .
1 1
11 121 2
21 222 2
1 2
r rorto ortor r
orto orto
orto r rorto ortoorto orto
r r
hh hh
hh hh
é ù¶ ¶ê úê ú é ù¶ ¶ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú= ê ú ê ú¶ ¶ê ú ê úê ú ê ú
¶ ¶ê ú ê úë ûê úê úë û
n nO O
D O D O
O O O O O O O OD
D O D On nO O
O O O O
O O O O
h h
h h
(3.30)
onde
38
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
11 12
1 1111
1 11 12
1 1
21 22
1 1112
2 21 22
0
0 ,
0 0 0
0
0
0 0 0
r rorto orto
r r
r rrorto ortoorto
orto r r r
r rorto orto
r r
r rrorto ortoorto
orto r r r
n n
n n
n n
n n
hh
hh
h h
h h
h h
h h
é ù¶ ¶ê úê úê ú¶ ¶ê úê ú¶ ¶¶ ê ú= = ê ú¶ ¶ ¶ê úê úê úê úê úê úë û
é ¶ ¶
¶ ¶¶ ¶¶
= =¶ ¶ ¶
nD
nD
h
h
e
1 1
2 2
1 1
2 2
11 12
2 2221
1 11 12
2 2
21 22
222
2
,
0
0
0 0 0
0
r rorto orto
r r
r rrorto ortoorto
orto r r r
r rorto orto
r r
rorto
orto r
n n
n n
n n
n
hh
hh
h h
h h
h h
ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
é ù¶ ¶ê úê úê ú¶ ¶ê úê ú¶ ¶¶ ê ú= = ê ú¶ ¶ ¶ê úê úê úê úê úê úë û
¶ ¶
¶ ¶¶¶
= =¶
nD
nD
h
h2 22 2
21 22
0 .
0 0 0
r rorto orto
r r
n
h h
é ùê úê úê úê úê ú¶ê úê ú¶ ¶ê úê úê úê úê úê úë û
(3.31)
As expressões explícitas dessas submatrizes são:
39
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2
1 2111 11 1 11 21
11 11
1 112 11 21 22
12 12
1 111 12 21 22
11 11
1 11
12 12
2 1 1 2 ,
2 1 1 ,
2 1 1 ,
2
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
nI
n
n
n
jm h h j m mh
h h
jmh h mh h
h h
jm h h mh h
h h
jmh
h h
¶ é ù¶ê ú= + + + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ ¶= +
¶ ¶( ) ( )22 12 1 11 222 1 ,Ih j m m h
é ùê ú + + + +ê úê úë û
(3.32)
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
1
1
2
2
1 111 21 11 12 22
21 21
1 122 12 21
22 22
1 112 11 22
21 21
1 112 11
22 22
1 2 1 1 ,
1 ,
1 1 ,
1
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
n
n
n
n
jh mh h mh h
h h
jh mh h
h h
jh m h h
h h
jh m h h
h h
¶ é ù¶ê ú= + + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + +ê ú¶ ¶ê úë û( )21 22 122 1 ,m h h+ +
(3.33)
40
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
1
1
2
2
2 221 21 11 12 22
11 11
2 221 22 11 22
12 12
2 222 21 12
11 11
2 222
12 12
2 1 1 ,
1 1 1 ,
1 ,
1 1
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
n
n
n
n
jh mh h mh h
h h
jh h m h h
h h
jh mh h
h h
jh m
h h
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + +ê ú¶ ¶ê úë û( ) ( )11 21 22 122 1 ,h h m h h+ + +
(3.34)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2
22 221 21 2 12 11
21 21
2 222 21 11 12
22 22
2 221 22 12 11
21 21
2 22
22 22
2 2 1 ,
2 1 1 ,
2 1 1 ,
2 1
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
rorto
r r
nI
n
n
n
jmh h j m m h
h h
jm h h m h h
h h
jmh h mh h
h h
jm h
h h
¶ é ù¶ê ú= + + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ é ù¶ê ú= + + + +ê ú¶ ¶ê úë û
¶ ¶= + +
¶ ¶( ) ( ) ( ) 2
2 22 2 12 121 2 ,Ih j m mhé ùê ú + + + +ê úê úë û
(3.35)
onde as derivadas r
g
ab
j
h
¶
¶ que aparecem em (3.32), (3.33), (3.34) e (3.35) são dadas por:
41
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2111 11 12 12 11
11
2111 11 12 12 12
12
2 2111 11 12 12 21
21
2 2111 11 12 12 22
22
2 2211 11 12 12 11
11
2
12
2 12 6 2 1
2 12 6 2
3 4 3
3 4 3 1
3 4 3 1
3
r
r
r
r
r
r
a hI kI I lI
a hI kI I lI
c kI lI I mI
c kI lI I mI
c kI lI I mI
c
jh
h
jh
h
jh
h
jh
h
jh
h
j
h
¶= + + + +
¶
¶= + + +
¶
¶= + + +
¶
¶= + + + +
¶
¶= + + + +
¶
¶= +
¶( )
( )
( )( )
2 211 11 12 12 12
2 2211 11 12 12 21
21
2 2211 11 12 12 22
21
4 3
2 2 6 12
2 2 6 12 1
r
r
kI lI I mI
b lI mI I nI
b lI mI I nI
h
jh
h
jh
h
+ +
¶= + + +
¶
¶= + + + +
¶
(3.36)
Finalmente a matriz “total” dos módulos constitutivos de rigidez tangente é total é finalmente
dada por:
.iso orto= +D D D (3.37)
onde mais uma vez remete-se a [4] para expressão de isoD .
3.4.2. ModeloconstitutivodeSaint‐Venant(Raible[28]e[33])
Esse modelo faz uma generalização da equação constitutiva isótropa de Saint Venant, a qual
relaciona linearmente o Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff S com o Tensor das
Deformações de Green-Lagrange E , para um material ortótropo. Segundo [28], foi sugerida
42
por [37], fazendo a adaptação da função de energia específica com comportamento linear para
o caso de comportamento não linear através da substituição do tensor das pequenas
deformações e pelo tensorE . Expressando E em função do Tensor das Deformações de
Cauchy-Green C , os invariantes envolvidos para o caso não linear serão:
e2 3 2 21 1 2 2 .tr tr tr tr tr tr trC, C , C , H C, H C , H C H C (3.38)
Os tensores C e aH são os mesmos definidos no item 3.4.1.
Parcela isótropa
A parcela isótropa considera o material hiperelástico isótropo de Saint-Venant, cuja função
energia de deformação específica é dada por
( ) ( )2 21 1tr 3 tr 2 tr 3
8 4isoy l m= - + - +C C C (3.39)
onde l em são as constantes de Lamé.
O segundo tensor de Piola Kirchhoff para a parte isótropa é obtido análogo a (3.12),
resultando em:
( ) ( )12 tr 3
2iso
iso
yl m
¶= = - + -
¶S C C I
C. (3.40)
Utilizando a relação iso iso=P FS e em seguida obtendo o equivalente retrorrotacionado para
configuração de referência risoP , juntamente com a imposição de estado plano de tensão
( )33 3 3 0r rS = ⋅ =e Se , é possível chegar em (ver [4] para detalhes):
43
( )
( )
( )
e
11 11 22 3 3 21 12
1 22 12 12 11 22 3 3
13 13 11 3 3 23 12
11 1
2
11 2
21
2 12
12 2
2
2 1
riso
riso
E E E E
E E E E
E E
E
a a
a a
a a
g n g g mg
m g g n g g
mg mg g g mg
m g
é æ æ öö ù÷÷ç çê ú+ + - +÷÷ç ç ÷÷÷÷ç çê úè è øøê úæ æ ööê ú÷÷ç ç= + + + - ÷÷ê úç ç ÷÷÷÷ç çê úè è øøê úæ öê ú÷ç+ - +÷çê ú÷÷çè øê úë û
+
=
t
t ( )
2 21 22 11 3 3
22 22 11 3 3 12 12
23 23 22 3 3 13 12
1
21
1 2 .2
12 2
2
E E E
E E E E
E E
a a
a a
a a
g n g g
g n g g mg
mg mg g g mg
é æ æ ööù÷÷ç çê ú+ + - ÷÷ç ç ÷÷÷÷ç çê úè è øøê úæ æ ööê ú÷÷ç ç+ + - +÷÷ê úç ç ÷÷÷÷ç çê úè è øøê úæ öê ú÷ç+ - +÷çê ú÷÷çè øê úë û
(3.41)
onde
( )
( )
( )
( )
,
e
3 3
3 33 3
2
33 33
2
1 2
1,
21
121
1 1 ,2
E
E
E
E
ab ab ba ag bg a b
a a
m ln
n l m
g g g g g g
g g
g
= =- +
= + + +
= +
é ù= + -ê úë û
(3.42)
com
33 3 32 1
1 1 .1 2aa ab ab a a
ng g g g g g
n
æ ö÷ç= - + - -÷ç ÷÷ç- è ø (3.43)
A partir de (3.41) é possível obter, para a parte isótropa, as forças e momentos generalizados
risoan e r
isoam , respectivamente, e destes último a matriz isoD . Novamente, por questão de
simplicidade, suas expressões não serão apresentadas aqui, mas podem ser encontradas em
[4].
44
Parcela ortótropa:
Como já dito, a parcela ortótropa afeta exclusivamente as deformações de membrana do
gradiente das deformações. Desta forma, é conveniente expressar, F ou rF , o tensor das
deformações de Green-Lagrange, a energia de deformação específica ortótropa e os tensores
de Piola Kirchhoff pelas equações (3.15), (3.16), (3.17) e (3.18) respectivamente.
Neste caso, a função energia de deformação específica para a ortotropia é dada por (vide
[28,37])
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 1 1 2 2 2
2 21 1 1 1 2 2 2 2
2 21 1 1 2 2 2
12 1 1 2 2
1ˆ tr tr tr 34
1tr 2 tr tr tr 2 tr tr
2
1 1tr tr tr tr
8 8
1tr tr tr tr ,
4
ortoy a a
m m
b b
b
é ù= - + - - +ë û
é ù+ - + + - + +ê úë û
+ - + - +
+ - -
H C H H C H C
H C H C H H C H C H
H C H H C H
H C H H C H
(3.44)
onde as constantes 1a , 2a , 1m , 2m , 1b , 2b e 12b são parâmetros do material.
O correspondente segundo tensor das tensões Piola-Kirchhoff, resulta em:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
+
+
+ .
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
12 1 2 2 1 1 2
ˆ 2
1 1tr 3 tr tr
2 4
2 2
1 1tr tr tr tr
2 2
1tr tr tr tr
2
ortoorto
y
a a a a
m m
b b
b
¶= =
¶
é ù= + - + - + -ë û
+ - + + - +
- + - +
é ù- + -ë û
SC
H H C H C H H C H I +
H C CH H H C CH H
H C H H H C H H
H H C H H C H H
(3.45)
45
O primeiro tensor das tensões de Piola-Kirchhoff é obtido via ˆ ˆôrto ôrto=P FS , e seus vetores-
coluna resultam
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
e
1 1 1 11 1 2 12 22 11 1 2 12 21
1 1 2 12 22 1 1 1 11 1 2 12 22 12
1 2 12 11 1 2 12 11 2 2 2 22 12
2 1 2 12 11
2 4 (1 ) 21
2 (1 ) 2 4
0
2 (1 ) 2 41
rorto
rorto
E E E
E E Eh
E E E
Eh
a m b a a b h m m h
m m h a m b a a b h
m m h a a b a m b h
a a b
é ùé ù+ + + + + + + +ë ûê úê úé ù= + + + + + + + +ê úë ûê úê úë û
é ù+ + + + + + + +ë û= + + +
t
t ( ) ( ) ( )2 2 2 22 22 1 2 12 212 4 1 2 .
0
E Ea m b h m m h
é ùê úê úé ù+ + + + +ê úë ûê úê úë û
(3.46)
Novamente, recorrendo a (2.34)1, encontram-se as forças generalizadas retrorrotacionadas
atuantes na seção transversal de normal rae , da parcela ortótropa, dadas por
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
e
1 1 1 11 1 2 12 22 11 1 2 12 21
1 1 2 12 22 1 1 1 11 1 2 12 22 12
1 2 12 11 1 2 12 11 2 2 2 22 12
2 1 2 12 11 2
2 4 (1 ) 2
2 (1 ) 2 4
0
2 (1 ) 2 4
2
rorto
rorto
E E E
E E E
E E E
E
a m b a a b h m m h
m m h a m b a a b h
m m h a a b a m b h
a a b a
é ùé ù+ + + + + + + +ë ûê úê úé ù= + + + + + + + +ê úë ûê úê úë û
é ù+ + + + + + + +ë û= + + + +
n
n ( ) ( ) ( )2 2 22 22 1 2 12 214 1 2 .
0
E Em b h m m h
é ùê úê úé ù+ + + +ê úë ûê úê úë û
(3.47)
A resultante total das forças e momentos generalizados (retrorrotacionados), são obtidas de
forma análoga a (3.29), lembrando que a parcela ortótropa não contribui em ram .
A matriz dos módulos constitutivos de rigidez tangente da parcela ortótropa é obtida
analogamente a (3.30) e (3.31). Suas submatrizes são constituídas pelas seguintes expressões
explicitas:
46
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2
11 1 1 11 1 2 12 22
11
1
12
1
11
11 1 1 11 1 2 12 22
12
2 4 ,
0,
0,
2 4 ,
rorto
r
rorto
r
rorto
r
rorto
r
nE E
n
n
nE E
a m b a a bh
h
h
a m b a a bh
¶= + + + + +
¶
¶=
¶
¶=
¶
¶= + + + + +
¶
(3.48)
( )
( )
1
1
2
2
11 2 12
21
1
22
1
21
11 2 12
22
2
0,
0,
2 ,
rorto
r
rorto
r
rorto
r
rorto
r
nE
n
n
nE
m mh
h
h
m mh
¶= +
¶
¶=
¶
¶=
¶
¶= +
¶
(3.49)
( )
( )
1
1
2
2
21 2 12
11
2
12
2
11
21 2 12
12
2
0,
0,
2 ,
rorto
r
rorto
r
rorto
r
rorto
r
nE
n
n
nE
m mh
h
h
m mh
¶= +
¶
¶=
¶
¶=
¶
¶= +
¶
(3.50)
47
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2
21 2 12 11 2 2 2 22
21
2
22
2
21
21 2 12 11 2 2 2 22
22
2 4 ,
0,
0,
2 4 ,
rorto
r
rorto
r
rorto
r
rorto
r
nE E
n
n
nE E
a a b a m bh
h
h
a a b a m bh
¶= + + + + +
¶
¶=
¶
¶=
¶
¶= + + + + +
¶
(3.51)
Finalmente matriz total dos módulos constitutivos de rigidez tangente pode ser obtida
analogamente a (3.37).
48
4. Calibração dos parâmetros materiais dos modelos constitutivos
propostos
Os modelos constitutivos propostos no item 3.4, foram implementados no programa PEFSYS.
O PEFSYS é um programa de elementos finitos, implementado em linguagem Fortran 90,
para análise não linear de sólidos e estruturas, desenvolvido na Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo, pelos professores Paulo de Mattos Pimenta, Ruy Marcelo de
Oliveira Pauletti e Eduardo de Morais Barreto Campello. Como pré-processador e pós-
processador é utilizado o programa GID desenvolvido pelo CIMNE (Centro Internacional de
Métodos Numéricos en Ingeniería) da Universidade Politécnica da Catalunha.
A calibração dos parâmetros materiais presentes na idealização do item 3.4 será realizada
utilizando dados obtidos em ensaios físicos de tração biaxial de membranas, disponíveis na
literatura, em corpos de prova cruciformes. A Figura 8 detalha as dimensões dos corpos de
prova ensaiados, os carregamentos aplicados, as condições de contornos e o modelo
computacional utilizado para efetuar as calibrações.
Figura 8: Teste de tração biaxial (figura adaptada de [8]).
0.16
7 m
0.15
0 m
0.16
7 m
0.167 m0.150 m0.167 m
SYMMETRY
WARP
WE
FT
F1
F2
Point A
E = 0.2 GPa
h = 0.5 mm
= 0.3
x
y
q2
q2
q1
q1
Além
deslo
apres
No p
comp
[38].
2q v
direç
se es
resul
Note
estira
por l
Leva
m das cond
ocamentos t
sentará rota
presente trab
posta por fi
O ensaio b
versus defor
ção do urdu
sses carrega
ltados estão
Fi
e que no e
amento. O e
1aal = +
ando em con
ições de co
transversais
ação, ou seja
balho, que
ibras de po
biaxial de [3
rmação 2 p
ume (direção
amentos em
apresentad
igura 9: Curva
eixo das o
estiramento
aae , onde l
nsideração a
ontorno apr
s ao plano d
a, =Q I .
os dados ut
oliéster reve
38] fornece
para carrega
o 1 ) da tram
m três razõ
dos Figura 9
as experimenta
ordenadas
está diretam
aal são os e
a hipótese q
resentadas n
do corpo de
tilizados pa
estidas por
apenas as
amentos apl
ma (direção
ões diferent
9 a seguir.
ais: Carregame
dos gráfico
mente relac
estiramentos
que =Q I
na figura F
e prova são
ara a calibra
PVC, obtid
curvas 1q v
icados nas
o 2). Os en
es: 1 2:q q
ento x Estiram
os apresen
cionado com
s e aae as d
na equação
Figura 8, fo
nulos, dest
ação referem
dos nos catá
versus defor
direções 1
saios foram
1 : 1= , 1q
mento (Shelter-
tados Figu
m a deforma
deformaçõe
o (2.14)1 obt
oi consider
ta forma o
m-se a uma
álogos de p
rmação na d
e 2 simult
m realizados
1 2: 1 :q =
-Rite) [38].
ura 9, refe
ação linear,
es lineares.
teremos:
49
ado que os
diretor não
a membrana
produtos de
direção 1 e
taneamente:
s aplicando-
2 e , e os
erem-se ao
sendo dado
9
s
o
a
e
e
:
-
s
o
o
50
111 11
1, , ,
222 22
2
r
r r r r
r
u
ua a a a a a a
h ex
h ex
ì ¶ïï = =ïï ¶ï= - = + - = íï ¶ï = =ïï ¶ïî
z e u e e uh , (4.1)
ou seja, as deformações de membrana raah equivalem as deformações lineares aae . Sendo
assim, os valores porcentuais referentes ao estiramento nas curvas da Figura 9, são as
parcelas das deformações lineares na expressão do estiramento.
O modelo matemático utilizado para calibração dos parâmetros materiais é semelhante ao
utilizado em [27].
O objetivo da calibração é obter os parâmetros materiais (coeficientes dos polinômios das
funções de energia de deformação específica) do modelo constitutivo que melhor aproximam
as curvas experimentais.
Primeiramente, escolhidos os k pontos das curvas experimentais que serão ajustados,
calculam-se os resíduos para as curvas 1 1q deformação´ e 2 2q deformação´ , que serão
dados por:
e
( ) ( )( ) ( ) ( )
1,2,..., 1,2,
r k r kk k r r r r kiso iso k orto orto k iso orto
pontos
r q q n n
k n
a aa a a a a a a a a
a
= - ⋅ - ⋅ = - -
= =
n e n e
(4.2)
onde ( )kra é o resíduo no k-ésimo ponto na direção a , qa é o valor do carregamento
experimental na direção a no k-ésimo ponto, ( )r kison
aa e ( )r korton
aa são respectivamente as
componentes dos esforços internos risoan e r
ortoan na direção a no k-ésimo ponto.
Note que as componentes ( )r kison
aa e ( )r korton
aa de risoan e r
ortoan são funções das deformações de
membrana rh (vide suas expressões no item 3.4), também conhecidos nas curvas
experimentais.
A soma dos resíduos quadráticos é dada por:
51
( ) ( )2 2( ) ( )1 2
1
pontosnk k
k
S r r=
é ùê ú= +ê úë û
å (4.3)
onde S é a soma dos resíduos quadráticos que será a função objetivo a ser minimizada
visando a obtenção dos parâmetros materiais que melhor ajustam a função.
Para a minimização da função S , será utilizado o algoritmo GRG2 (Gradientes Reduzidos
Generalizados), implementado no SOLVER do software Excel 2010. Este algoritmo foi
desenvolvido por Leon Ladson, da Universidade do Texas em Austin e Allan Waren, da
Universidade Estadual de Cleveland [39], com a finalidade de resolver problemas de
programação não linear. Maiores informações sobre este algoritmo podem ser encontradas em
[40].
Observa-se que através da minimização serão obtidos apenas os parâmetros materiais
referentes à parcela ortótropa, sendo previamente arbitrados os parâmetros E e n (ou seus
correspondentes parâmetros de Lamé).
Apesar de ser possível determinar, via minimização, também os parâmetros da parcela
isótropa, optou-se pela estratégia de fixar tais parâmetros em valores arbitrários, objetivando
ter um controle parcial da calibração. Além disso, diminui a sensibilidade das variáveis no
problema de minimização.
Levando em conta as considerações acima, optou-se pela estratégia de calibrar os parâmetros
ortótropos utilizando diferentes valores fixos ( ),i jE n , com o intuito de investigar aqueles que
melhor se ajustam aos dados experimentais.
4.1. Calibração do modelo constitutivo de o Oliveira-Pimenta utilizando uma
membrana composta de fibras de poliéster revestida por PVC
Neste seção, será feita a calibração da equação constitutiva de Oliveira-Pimenta utilizando o
material de [38].
O teste biaxial foi computacionalmente simulado conforme ilustrado na Figura 8, levando em
conta a simetria do modelo. A malha utilizada é apresentada nesta figura, a qual é composta
por 384 elementos finitos do tipo T6-3i. A membrana estudada tem espessura de 0,50 mm
52
(sugerida em [5,8]). Neste teste biaxial, as deformações 11h e 22h componentes de rah para
cada carregamento foram medidas no ponto A conforme ilustrado na Figura 8
Seguindo a estratégia descrita anteriormente, utilizou-se para a calibração do material,
diferentes valores fixos para o modulo de elasticidade e para o coeficiente de Poisson parcela
isótropa { } 3 3 3 4 5 6 7 81 10 , 2 10 , 5 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10E = ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ todos
em 2/N m e { } 0,00, 0,15, 0,30, 0,45n = . Os resultados obtidos em cada um desses casos
são apresentados no Anexo A.
Os melhores resultados, no sentido de se ter curvas mais aderentes as curvas experimentais,
ocorre para valores de 7 21 10 /E N m= ´ para quaisquer valores de n . Nesse caso, os
valores resultantes dos parâmetros da parcela ortótropa e as curvas carregamento versus
deformação correspondente para cada razão de carregamento estão apresentados na Figura 10
a seguir.
Figura 10: Resultaddos da calibraçção obtida parra 1 1E = ´ N/m - 7 210 n
0, 00= (Ma
aterial de Oliv
53
veira-Pimenta)
3
54
Analisando as curvas do Anexo A, observa-se que as curvas com razão de carregamento 1:1
não são totalmente ajustadas para valores de módulo de elasticidade inferiores a
N/m7 21 10E = ´ . Ainda observando a curva com razão de carregamento 1:1, quando é
adotado N/m8 21 10E = ´ , nota-se que a curva gerada pelo PEFSYS inicia uma perda de
aderência em relação às curvas experimentais.
Outro fato importante é a influência praticamente nula do coeficiente de Poisson n no ajuste
das curvas. Desta forma, para esse material, pode-se adotá-lo nulo. Os parâmetros do modelo
ortótropo estão cumprindo o papel de representar o efeito Poison neste caso.
4.2. Calibração do modelo constitutivo ortótropo de Saint-Venant utilizando
uma membrana composta de fibras de poliéster revestida por PVC
Nesta seção será feita a calibração da equação constitutiva de Saint-Venant utilizando o
mesmo material da seção anterior, isto é, [38], cujo comportamento é representado pelas
curvas da Figura 9.
Seguindo a mesma estratégia de fixar valore de E e n , variando-os conforme
{ } 3 3 3 4 5 6 7 81 10 , 2 10 , 5 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10 , 1 10E = ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ valores em
2/N m e { } 0,00, 0,15, 0,30, 0,45n = , obteve-se os resultados apresentados no Anexo B.
Nota-se que os melhores resultados no sentido de ter curvas mais aderentes, ocorreu para
7 23,75 10 /E N m= ´ e 0,45n = . Os valores resultantes dos parâmetros da parte
ortótropa, nesse caso, e as curvas carregamento versus deformação correspondente, estão
apresentados na Figura 11 a seguir.
Fiigura 11: Resuultados da cali
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ibração obtidaa para 3E =Venant
3,750E+07
0,45
4,724E+07
1,508E+07
1,109E+08
4,807E+07
2,752E+07
1,187E+07
‐8,956E+0
Parâmetr
N/73,75 10´t).
7
7
7
8
7
7
7
06
ros
/m - 2 0n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
0, 45 (Material
²]
]
]
]
]
]
]
]
55
l de Saint-
5
5. E
5.1. M
Utiliz
ao m
Figu
urdum
Para
dos e
finito
como
exist
carre
O en
imple
possi
imple
estad
atrav
Exemplos
Membran
zando os pa
material apr
ura 12, cons
me já a segu
as situaçõe
elementos d
os do tipo T
o o real car
tem pequen
egamento de
nrugamento
ementação
ibilitar a ob
ementado n
dos de enru
vés da utiliz
numérico
na quadrad
arâmetros ca
esentado na
siderando d
unda a traçã
es analisada
da aresta on
T6-31, total
rregamento
as forças tr
e tração, qu
é um fenô
de um m
btenção das
no PEFSYS
ugamento é
ação de forç
os
da (model
alibrados pa
a Figura 9
duas situaçõ
ão ocorre na
Figur
a utilizou-se
nde ocorre a
lizando 477
aplicado n
ransversais
e tem a funç
ômeno de in
método da c
trajetórias d
S nenhum m
provocand
ças muito p
lo constitu
ara o model
9 analisou-s
ões: a prime
a direção da
ra 12: Membra
e 1,00 kN p
a tração. O
73 nós. A F
nos nós que
ao plano da
ção de indu
nstabilidade
continuação
de equilíbrio
método da
do uma pert
pequenas co
utivo de O
lo constituti
se o compo
eira a tração
as fibras da
ana quadrada.
para as forç
modelo foi
Figura 13 r
totalizam a
a membrana
uzir o enrug
e e para trat
o, como p
o do model
continuação
turbação tra
mparadas c
Oliveira-Pi
ivo de Olive
ortamento d
o ocorre na
trama.
ças de traçã
i discretizad
representa a
a força de t
a, cada forç
amento da m
tar esse fen
or exemplo
o. Até este p
o. Uma for
ansversal ao
om o carreg
imenta)
eira-Piment
do modelo
a direção da
ão distribuíd
do por 2316
a malha uti
tração. Vale
ça na ordem
membrana.
nômeno é n
o, o arc-le
ponto do tr
rma de obte
o plano da
gamento de56
ta, referente
descrito na
as fibras do
das nos nós
6 elementos
ilizada bem
e notar que
m de 1% do
necessário a
ength, para
abalho, não
er possíveis
membrana
e tração. 6
e
a
o
s
s
m
e
o
a
a
o
s
a
57
Figura 13: Malha e carregamento aplicado na membrana.
Após o processamento no programa PEFSYS obteve-se as configurações deformadas
apresentadas na Figura 14.
Os deslocamentos transversais ao plano da membrana podem ser observados na Figura 15 e
os deslocamentos horizontais na Figura 16. Analisando as duas figuras, percebe-se que a
direção do urdume é mais rígida que a direção da trama, como era esperado, pois as fibras na
direção do trama que partem de uma situação mais ondulada e quando tracionada tem mais a
se retificar. Quanto a amplitude das rugas, a trama por se esticar mais na direção horizontal,
apresentará rugas com amplitude menores que as que surgem quando o tracionamento é
realizado na direção do urdume
A Figura 17 mostra que as regiões com maiores tensões normais na horizontal são as que
apresentam maior deformação, como era esperado. Na Figura 18, observa-se diversos pontos
de compressão na região do enrugamento. Estas tensões surgem da interação entre as fibras e
colaboram para formação de rugas.
58
(a)
(b)
Figura 14: Configuração deformada com tração na direção:(a) urdume; (b) trama.
59
(a)
(b)
Figura 15: Deslocamentos transversais ao plano da membrana com tração na direção: (a) urdume; (b) trama.
60
(a)
(b)
Figura 16: Deslocamentos horizontais com tração na direção: (a) urdume; (b) trama.
61
(a)
(b)
Figura 17:Tensões normais na direção horizontal com tração na direção: (a)urdume; (b) trama.
62
(a)
(b)
Figura 18: Tensões normais na direção vertical com tração na direção: (a)urdume; (b) trama.
5.2. Membrana quadrada (modelo constitutivo ortótropo de Saint-Venant-
Pimenta)
Utilizando os parâmetros calibrados para o modelo constitutivo ortótropo de Saint-Venant,
referente ao material apresentado na Figura 9, simulou-se o mesmo modelo realizado na
seção (5.1), com a diferença que o carregamento de tração utilizado neste caso foi 0,60 kN ,
63
visto que a utilização do carregamento de 1,00 kN apresentou grande dificuldade para
finalização da simulação. Como é sabido, o modelo constitutivo de Saint-Venant não é poli-
convexo, desta forma só serve para o caso de pequenas deformações, podendo ter sido este o
motivo da dificuldade de finalização da simulação.
Após o processamento no programa PEFSYS obteve-se as configurações deformadas
apresentadas na Figura 19.
(a)
(b)
Figura 19: Configuração deformada com tração na direção:(a) urdume; (b) trama.
64
Os deslocamentos transversais ao plano da membrana aparecem na Figura 20 e os
deslocamentos horizontais na Figura 21. Novamente mostrando que a tração na direção do
urdume apresenta-se mais rígida e suas rugas com maior amplitude.
(a)
(b)
Figura 20: Deslocamentos transversais ao plano da membrana com tração na direção: (a) urdume; (b) trama.
65
(a)
(b)
Figura 21: Deslocamentos horizontais com tração na direção: (a) urdume; (b) trama
A Figura 22 apresenta as tensões normais na direção horizontal, mostrando que as tensões se
uniformizam na região central da membrana devido as baixas deformações que ocorrem nessa
região. A região das extremidades da membrana, apresentam deformações maiores.
66
(a)
(b)
Figura 22: Tensões normais na direção horizontal com tração na direção: (a)urdume; (b) trama.
Na Figura 23, observa-se diversos pontos de compressão na região do enrugamento. Estas
tensões surgem da interação entre as fibras e colaboram para formação de rugas.
67
(a)
(b)
Figura 23: Tensões normais na direção vertical com tração na direção: (a)urdume; (b) trama.
68
6. Conclusões
Neste trabalho, utilizou-se de uma cinemática de uma teoria de casca geometricamente exata
desenvolvida em [1,2,4] e posteriormente generalizada em [5] para descrever o
comportamento mecânico de membranas que é idealizado como a superposição de efeitos de
uma casca isótropa de pequena espessura com o reforço de um tecido ortótropo.
Os modelos constitutivos, estudados neste trabalho, são hiperelásticos e a energia de
deformação específica é decomposta aditivamente em uma parcela isótropa e outra ortótropa.
A parte isótropa contribui com rigidez a tração, compressão, flexão e cisalhamento enquanto a
parte ortótropa é responsável por uma rigidez adicional a tração na direção das fibras do
tecido, direções estas expressas pelos tensores estruturais apresentados na equação (3.19).
Dois modelos constitutivos com características ortótropas foram utilizados neste trabalho:
modelo de Oliveira-Pimenta [5,8] e modelo de Saint-Venant [28,33]. A primeira utiliza para a
parte isótropa a função energia de deformação específica de Simo-Ciarlet e para parte
ortótropa a função de energia de deformação específica é dada por um polinômio onde as
variáveis são invariantes do tensor das deformações de Green-Lagrange E nas direções de
ortotropia. Já para o modelo de Saint-Venant, a parte isótropa é representada pela função
energia de deformação específica de Saint-Venant e a parte ortótropa por um polinômio
formado por invariantes do tensor das deformações de Cauchy-Green C nas direções de
ortotropia.
Para os dois modelos estudados, foram obtidos a partir de suas respectivas funções energia de
deformação específica os tensores das tensões de Piola-Kirchhoff S e P , retrorrotacionando
P para a configuração de referência foi obtido rP e através de sua decomposição espectral
obteve-se os vetores-colunas rat que representam as tensões nas seções transversais com
normal rae e a partir destas tensões encontrou-se as forças e momentos generalizados
respectivamente ran e r
am nestas seções, e destas finalmente obteve-se a matriz dos módulos
constitutivos de rigidez tangente D . Devido todas as grandezas apresentadas serem obtidas a
partir da função energia de deformação específica e lembrando que esta pode ser decompostas
aditivamente em uma parcela isótropa e outra ortótropa, temos como consequência estas
grandezas também podem ser decompostas aditivamente em uma parcela isótropa e outra
ortótropa.
69
Os modelos constitutivos foram implementados dentro do programa de elementos finitos
PEFSYS e os modelos físicos foram discretizados utilizando o elemento finito T6-3i que é
um elemento triangular de seis nós puro em deslocamento, que garante as propriedades de
convergência e estabilidade, e com ausência nos vértices dos graus de liberdades referente à
rotação, o que o torna incompatível em relação ao campo de rotações. O travamento numérico
não é observado visto que a incompatibilidade das rotações e a interpolação quadrática dos
deslocamentos tornam o T6-3i suficientemente flexíveis o que torna desnecessário a
utilização de técnicas como por exemplo integração reduzida, AES e ANS para evitar o
travamento do elemento.
Após a implementação dos modelos constitutivos ortótropos no PEFSYS tornou-se necessário
a calibração dos dois modelos. Para isso foi escolhido uma membrana de poliéster revestida
por PVC [38] cujo comportamento mecânico está representado na Figura 9. A calibração foi
feita fixando valores de E e n da parte isótropa e os coeficientes dos polinômios da parte
ortótropa foram obtidos através da minimização da soma dos resíduos quadráticos ( )kra .
Procedendo desta forma, os melhores resultados para calibração do modelo de Oliveira-
Pimenta foram alcançados fixando 7 21 10 /E N m= ´ e 0,00n = cujos parâmetros
materiais da parcela ortótropa são apresentados na Figura 10. Para o modelo de Saint-Venant
os melhores resultados de calibração foram obtidos fixando 7 23,75 10 /E N m= ´ e
0, 45n = , para estes valores os parâmetros materiais são apresentados na Figura 11 .
Para o modelo de Oliveira-Pimenta, observou-se que para o material calibrado, o coeficiente
de Poisson não apresentou influência nos resultados. Observou-se ainda que a curva de
carregamento com razão 1:1 não é perfeitamente aderida para valores de modulo de
elasticidade equivalente inferiores a 7 21 10 /E N m= ´ . Além disso, para valores superiores
a 7 21 10 /E N m= ´ , as curvas calibradas, através da simulação utilizando o PEFSYS, que
representam comportamento mecânico do material começam perder aderência das curvas
experimentais, mostrando que a partir desse valor a parcela isótropa começa a superar o
domínio da parcela ortótropa no comportamento mecânico do material.
Já o modelo de Saint-Venant, as curvas de calibração não apresenta uma aderência tão boa em
relação aos dados experimentais, mas considerando a ordem de grandeza das deformações,
consegue representar o comportamento mecânico da membrana calibrada.
70
Em relação aos exemplos numéricos, é essencial para o tratamento do enrugamento a
implementação de um método da continuação para uma análise mais criteriosa. O artificio de
induzir a formação de ruga não é uma forma adequada de tratar o problema de instabilidade.
Talvez, se a geração das perturbações fosse condicionada a uma análise prévia de autovalores,
conhecer iam-se os graus de liberdade que se instabilizariam, podendo as imperfeições ser
aplicadas nesses pontos, melhorando a configuração deformada. Porém, a utilização deste
artificio serviu para observar qualitativamente os efeitos devido a interação das fibras da
membrana, mostrando que os modelos constitutivos conseguem representar este
comportamento.
No geral, tanto o modelo de elementos finitos adotado para analise da membrana, a
idealização dos modelos constitutivos e a metodologia de calibração adotada foram
satisfatórias para obtenção dos resultados finais apresentados nesta dissertação.
Sugestões para futuros trabalhos
Segue algumas sugestões para estudos futuros:
1. Influência da ortotropia no enrugamento de membranas; 2. Estudo da poli convexidade das funções energia de deformação da parcela ortótropa; 3. Busca de configurações enrugadas utilizando métodos de continuação como, por
exemplo, arc-length ou controle de deslocamentos. 4. Aplicações de membranas ortótropas em biomecânica; 5. Interação fluido-estrutura em membranas. 6. Verificar se o problema do enrugamento pode ser tratado como um problema
dinâmico. 7. Utilizar algoritmos genéticos para calibrar equações constitutivas ortótropas.
AAnexo A
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 24: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,00
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m - 3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
0, 00n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
711
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
2,000E+0
0,00
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
722
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 25: Calibraação 2E = ´
5,000E+0
0,00
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
tros
- 0, 00n =
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
m²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
733
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 26: Calibraação 5E = ´
1,000E+0
0,00
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
04
05
04
04
07
+07
07
+06
06
tros
- 0, 00n =
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
m²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
744
Figu
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 27: Calibra
ura 28: Calibra
ação 1E = ´
ação 1E = ´
1,000E+0
0,00
2,134E+0
6,981E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -4 210´
N/m -5 210´
05
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 00n =
0, 00n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
755
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 29: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,00
2,132E+0
6,960E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,544E+0
Parâmet
N/m -6 210´
06
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
0, 00n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
766
Figuura 30: Calibraação 1E = ´ N/m -7 210´
- 0, 00n =
777
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 31: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,00
1,895E+0
4,627E+0
3,768E+0
2,542E+0
‐8,747E+
6,432E+0
‐3,290E+
2,695E+0
Parâmet
N/m -8 210´
08
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 00n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
788
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 32: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,15
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
799
Figu
E
nu
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 33: Calibraação 2E = ´
2,000E+0
0,15
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
800
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 34: Calibraação 5E = ´
5,000E+0
0,15
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
811
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 35: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,15
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -4 210´
04
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
822
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 36: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,15
2,134E+0
6,981E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -5 210´
05
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
833
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 37: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,15
2,132E+0
6,959E+0
3,805E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,544E+0
Parâmet
N/m -6 210´
06
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
844
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 38: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,15
2,110E+0
6,743E+0
3,733E+0
2,517E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,330E+
2,558E+0
Parâmet
N/m -7 210´
07
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0,15n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
855
Figuura 39: Calibraação 1E = ´ N/m -8 210´
- 0,15n =
866
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 40: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,30
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
877
Figuura 41: Calibraação 2E = ´ N/m -3 210´
- 0, 30n =
888
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 42: Calibraação 5E = ´
5,000E+0
0,30
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
899
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 43: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,30
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -4 210´
04
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
900
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 44: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,30
2,134E+0
6,981E+0
3,812E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -5 210´
05
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
911
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 45: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,30
2,131E+0
6,958E+0
3,797E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,335E+
2,544E+0
Parâmet
N/m -6 210´
06
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
922
Figuura 46: Calibraação 1E = ´ N/m -7 210´
- 0, 30n =
933
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 47: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,30
1,874E+0
4,417E+0
2,163E+0
2,544E+0
‐8,735E+
6,443E+0
‐3,195E+
2,726E+0
Parâmet
N/m -8 210´
08
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 30n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
944
Figuura 48: Calibraação 1E = ´ N/m -3 210´
- 0, 45n =
955
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 49: Calibraação 2E = ´
2,000E+0
0,45
2,134E+0
6,983E+0
3,813E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -3 210´
03
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
- 0, 45n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
966
Figuura 50: Calibraação 5E = ´ N/m -3 210´
- 0, 45n =
977
Figuura 51: Calibraação 5E = ´ N/m -4 210´
- 0, 45n =
988
Figu
E
a
b
c
h
k
l
m
n
ura 52: Calibraação 1E = ´
1,000E+0
0,45
2,134E+0
6,980E+0
3,811E+0
2,515E+0
‐8,743E+
6,427E+0
‐3,336E+
2,542E+0
Parâmet
N/m -5 210´
05
05
04
04
07
+07
07
+06
06
ros
0, 45n =
[N/m²]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
[N/m]
]
999
Figuura 53: Calibraação 1E = ´ N/m -6 210´
0, 45n =
1000
Figuura 54: Calibraação 1E = ´ N/m -7 210´
- 0, 45n =
1011
Figuura 55: Calibraação 1E = ´ N/m -8 210´
- 0, 45n =
1022
AAnexo B
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 56: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,00
8,811E+
5,610E+
1,252E+
6,215E+
3,113E+
1,579E+
2,553E+
Parâmet
N/m -3 210´
+03
0
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1033
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 57: Calibraação 2E = ´
2,000E+
0,000E+
8,872E+
5,608E+
1,249E+
6,229E+
3,105E+
1,524E+
2,494E+
Parâmet
N/m -3 210´
+03
+00
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1044
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 58: Calibraação 5E = ´
5,000E+
0,00
8,836E+
5,617E+
1,250E+
6,227E+
3,141E+
1,515E+
2,521E+
Parâmet
N/m -3 210´
+03
0
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1055
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 59: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,00
8,797E+
5,615E+
1,254E+
6,204E+
3,067E+
1,609E+
2,563E+
Parâmet
N/m -4 210´
+04
0
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1066
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 60: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,00
8,770E+
5,698E+
1,253E+
6,184E+
3,132E+
1,513E+
2,506E+
Parâmet
N/m -5 210´
+05
0
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1077
Figuura 61: Calibraação 1E = ´ N/m -5 210´
0, 00n =
1088
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 62: Calibra
ação 1E = ´
1,000E+
0,000E+
8,790E+
5,597E+
1,227E+
5,985E+
3,152E+
1,522E+
2,587E+
Parâmet
N/m -7 210´
+07
+00
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 00n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1099
Figuura 63: Calibraação 1E = ´ N/m -8 210´
- 0, 00n =
1100
111
As séries de calibrações para 0,15n = , 0, 30n = repetem os resultados apresentados para a
série gerada com 0, 00n = . Utilizando 0, 45n = , a série continua repetindo os resultados
das séries anteriores, exceto para N/m8 21 10E = ´ . Observe a seguir os resultados das três
ultimas calibrações desta série:
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 64: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,45
8,711E+
5,549E+
1,248E+
6,156E+
3,086E+
1,556E+
2,404E+
Parâmetr
N/m -6 210´
+06
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
]
]
]
]
]
]
]
1122
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 65: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,45
7,750E+
4,500E+
1,211E+
5,870E+
3,065E+
1,384E+
1,621E+
Parâmet
N/m -7 210´
+07
5
+07
+07
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1133
Figu
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
ura 66: Calibraação 1E = ´
1,000E+
0,45
‐2,172E+
‐5,321E+
8,762E+
2,436E+
2,170E+
6,229E+
‐6,567E+
Parâmet
N/m -8 210´
+08
+07
+07
+07
+07
+07
+06
+07
ros
- 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1144
115
Observando no Anexo B as três últimas calibrações para 0, 45n = , pode-se notar que, até as
curvas obtidas com N/m7 21 10E = ´ , não houve alteração significativa e o comportamento
obtido não está de acordo com os dados experimentais. Já para N/m8 21 10E = ´ ocorreu
uma alteração brusca no comportamento. Desta forma, tornou-se necessário uma averiguação
mais cautelosa no intervalo entre N/m7 21 10E = ´ e N/m8 21 10E = ´ , refinando este
intervalo. O novos valores de módulo de elasticidade utilizados para o refinamento foram
{ }, , , , N/m7 22, 50 3,75 5, 00 6,25 7,50 10E = ´ , 0, 45n = , cujos resultados também se
encontram no Anexo B.
Figura
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
a 67: Calibraçãão 2,50E =
2,500E+07
0,45
6,066E+07
2,892E+07
1,157E+08
5,268E+07
2,904E+07
1,317E+07
2,577E+06
Parâmetr
N/m7 20 10´
7
7
7
8
7
7
7
6
ros
- 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
5
²]
]
]
]
]
]
]
]
1166
Figura
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
a 68: Calibraçãão 3,75E =
3,750E+07
0,45
4,724E+07
1,508E+07
1,109E+08
4,807E+07
2,752E+07
1,187E+07
‐8,956E+0
Parâmetr
N/m7 25 10´
7
7
7
8
7
7
7
06
ros
- 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
²]
]
]
]
]
]
]
]
1177
Figura
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
a 69: Calibraçãão 5, 00E =
5,000E+
0,45
3,332E+
1,487E+
1,064E+
4,344E+
2,608E+
1,016E+
‐2,024E+
Parâmet
N/m7 20 10´
+07
5
+07
+06
+08
+07
+07
+07
+07
ros
- 2 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
5
²]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
m]
1188
Figura
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
a 70: Calibraçãão 6,25E =
6,250E+07
0,45
1,940E+07
‐1,217E+0
1,017E+08
3,857E+07
2,533E+07
9,544E+06
‐3,145E+0
Parâmetr
N/m7 25 10´
7
7
07
8
7
7
6
07
ros
- 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
5
²]
]
]
]
]
]
]
]
1199
Figura
E
n
a1
a2
m1
m2
b1
b2
b12
a 71: Calibraçã
ão 7,50E =
7,500E+07
0,45
5,370E+06
‐2,567E+0
9,714E+07
3,380E+07
2,425E+07
8,240E+06
‐4,271E+0
Parâmetr
N/m7 20 10´
7
6
07
7
7
7
6
07
ros
- 2 0, 45n =
[N/m²
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
[N/m
5
²]
]
]
]
]
]
]
]
1200
121
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