cap. 5. comportamento mecânico dos materiais · cap. 5. comportamento mecânico dos materiais 1....

Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais

1. Justificação da existência das relações constitutivas

2. Linearidade física

3. Definição de constantes elásticas 3.1 Módulo de Young

3.2 Lei de Hook

3.3 Efeito de Poisson

3.4 Módulo de corte (distorção)

3.5 Módulo de volume

4. Definições ligadas ao comportamento do material

5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear

5.1 Lei de Hook generalizada

5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade

6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas

7. Estados planos

8. Carga de temperatura

8.1 Carga de temperatura em estados planos

9. Materiais ortotrópicos

10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral 10.1 Cedência

10.2 Modelos para o cálculo


3 Equações de equilíbrio 6 Equações deformações - deslocamento

uT

Resumo dos Capítulos 3-4:

Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes

u,, O MC exibe devido às solicitações:

A ligação que falta são as equações que relacionam e

Chamam-se Equações constitutivas (6):

é necessário definir os parâmetros que caracterizam o comportamento do MC

1. Justificação da existência das relações constitutivas

Faltam 6 equações

Falta dependência da resposta do MC do tipo do material

0 f +


Ensaio uniaxial

Tracção de uma barra

Limite de linearidade

análise geometricamente linear

Análise linear

análise fisicamente linear

Pode-se usar o princípio de sobreposição

2. Linearidade física

Rotura

Cedência

Estudos que abrangem apenas a parte

inicial do gráfico, onde a relação entre

a tensão e a deformação é linear

Carregamento 1 111 u,, Carregamento 2

222 u,,

α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2)

212121 uu,, +++

Usa-se tensão nominal, ou seja

a força aplicada sobre a área da

secção transversal inicial

Extensão na direcção

da carga aplicada

tgE


declive inicial do gráfico tensão - deformação

módulo de elasticidade: E = tgα

unidade: Pa, GPa=109Pa

Thomas Young (1773-1829)

3. Definição de constantes elásticas

3.1 Módulo de Young

E tangente inicial

E tangente

E secante inicial

E secante

Análise fisicamente não-linear:

módulos de elasticidade

secantes ou tangentes usam-se

juntamente com os incrementos

de tensão e de deformação


3.3 Efeito de Poisson

L

Lx

h

hz

x

y

x

z

: coeficiente ou número de Poisson (sem unidade)

Δh: variação da altura < 0

F

LL

h x

z

h

ΔL: variação do comprimento > 0

b

hL

3.2 Lei de Hooke

E

razão negativa extensão na direcção transversal à força aplicada

extensão na direcção da força aplicada

Robert Hooke

(1635-1703)

Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

2/1,0 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível


Cargas estaticamente equivalentes

Princípio de Saint-Vénant

Os efeitos locais na zona de aplicação de

cargas diminuem rapidamente com a

distância, por isso as cargas aplicadas na

realidade podem ser substituídas pelas

cargas estaticamente equivalentes

cargas cujas resultantes (força e binário)

são iguais na secção transversal de aplicação

Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas

P 4/P 2/P 2/PA/Pp

Distribuição da tensão normal uniforme

Adhémar Jean Claude Barré

de Saint-Venant, 1797 - 1886


h

uxy

Lb

Fxy

xy

xyG

F

x

y u

h

3.4 Módulo de corte (distorção)

E, , G, K: constantes elásticas do material

b

hL

Assume-se a distribuição uniforme

mmVK

13

3.5 Módulo de volume

4. Definições ligadas ao comportamento do material

Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço)

Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço)

Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos

Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos

(GPa)

Módulo de “bulk” K (GPa)

Ensaio de distorção

tgG


A isotropia implica ainda que as direcções principais

das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem

5.1 Lei de Hook generalizada

D

C 1

CD

Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidade

são compostas por números (parâmetros de material) sem dependência

do estado actual de tensão ou deformação

[C]: matriz de rigidez de material

[D]: matriz de flexibilidade de material

[C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem

Devido às simetrias podem-se escrever

na forma matricial (6,6)

5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear

A homogeneidade implica que os parâmetros de material

não dependem da posição

A isotropia implica que os parâmetros de material

não dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial


Pode-se provar que duas constantes elásticas

são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico

2/1;1

+

12

EG Condição necessária e suficiente de isotropia

5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade

Escolha mais comum em engenharia: ,E

E, , G, K: constantes elásticas do material

213

EK Consequência da lei constitutiva

Os princípios energéticos implicam,

que os módulos tem que ser positivos 2/1;0


2

1

C0

0CC

2

1

D0

0DD

1

1

1

E

1D

1

100

010

001

G

1D

2

+

1

1

1

211

EC

1

100

010

001

GC2

+

+

+

2

2

2

C1

,Constantes de Lamé

G +

211

E

Gabriel Lamé, 1795-1870

Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé


parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volume

parte desviatórica das tensões e das deformações :

altera-se forma em volume inalterado

+

+

+

3/G4K3/G2K3/G2K

3/G2K3/G4K3/G2K

3/G2K3/G2K3/G4K

C1

Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7)

6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas

mVm K3K

Outra possível composição do bloco 1C

Partes volúmicas

Soma das primeiras 3 equações

zyxzyx K3 ++++

Com as componentes do slide

anterior pode se justificar

a fórmula do K

+

++

211

1EK3

213

EK


+++

3

2G2K

zyx

zyxx

Componentes diagonais

G2Partes desviatóricas

mxmx G2

mxmx G2K3

Componentes fora de diagonal

xyxyxy GG2

+++

++

3G2

3K3

zyx

x

zyx

x

zyxx 3/G2K3/G2K3/G4K +++

queremos provar

relação verídica, prova está finalizada


G2

:

K:3

2

mmm

T +

+

Invariante, dobro da energia de deformação

Multiplicação “:“ significa “produto interno” entre matrizes

+

+

+

+

0

0

0

0

0

0K3

1

2

2

2G2

1

0

0

0

0

0

0

2

2

2

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

T

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

T

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero

03 mzyxm ++o que também é fácil de mostrar, como

As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partes

volúmicas e desviatóricas

T

Demonstração


Tensão plana 0,0,0 yzxzz

Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa

(2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões)

redD

1

1

1

ED

2

1red

1 yxyxz

1E+

+

(invariante)

Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z”

a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos

7. Estados planos

1redD

xy

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

0

0

0

G/100000

0G/10000

00G/1000

000E/1E/E/

000E/E/1E/

000E/E/E/1

Apenas índices x, y e xy

0yzxz

red

1D

red

2D


Deformação plana 0,0,0 yzxzz

Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens

(invariante)

Estados planos não correspondem um a outro !!!

redC

11

11

E

1C

21red

1

yxyxz

211

E++

+

1redC

0yzxz

8. Carga de temperatura

Afecta apenas componentes normais TLL

Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1

Variação de temperatura inifin TTT


T,11

1

1 D +

T,11

1

1 C

T,11

1

T,11

1

1

21

EC

211

1EC

+

++

Apenas componentes normais

z

y

x

1

z

y

x

1

T

T

T

T

z

T

y

T

x

T,1

T,111

1D

TT,1 T,T,T Extensão térmica

TT 0,0,0,T,T,T Deformação térmica


8.1 Carga de temperatura em estados planos

+

T

TD 1red

1

1Tensão plana

+

T

T

1

ED

T

T1

1

ED 11red

12

11red

1

1

T1

1

1

TT1

E

1

ET

1

E

1

E

E

TE

yx

yx2yx2

yxz

+++

+

+

+

+

++

y

x1

y

x1

1

1

E

1Dred

1

1

1

1

ED

2

1red

1

Redução de 3D


+

T

T

21

EC 11red

1

TE

T21

ET1

1E

1T1

1E

1

211

ET

21

E

211

E

yx

yx

2

yx

2

yxz

+

++

+

+++

+

+

+

Deformação plana

T

T

21

EC 1red

1

1Redução de 3D

++

+

T

T1C

T

T

11

E

1

21

EC

11red

1

211red

1

1

11

11

E

1C

21red

1


Existem 3 direcções principais de ortotropia

direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação

para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros

as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial

os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero

zy

yz

x

xz

z

zy

yx

xy

z

zx

y

yx

x

1

E

1

EE

EE

1

E

EEE

1

D

xy

xz

yz

2

G

100

0G

10

00G

1

Dy

yx

x

xy

EE

jiii

jj

ij

De simetria

Carga na direcção i

-matriz de rigidez pela inversão

-ambas sempre positivamente definidas

9. Materiais ortotrópicos

Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia


Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga

Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações

permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações

C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes

10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral

Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas

descarga linear

tE E tangente inicial

e parte elástica

Os estados das tensões e

das deformações não

dependem da história da

aplicação das cargas

Lei reversível com

histerésis, c. elástico com

atrito interno

p

parte plástica, permanente


10.1 Cedência transição entre o comportamento reversível e irreversível

Menos rígido após a cedência

Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência

endurecimento

Mais rígido após a cedência

enfraquecimento,

amaciamento,

amolecimento plasticidade

perfeita

Y

Y

Y

incompressibilidade após Y

10.2 Modelos para o cálculo

C. rígido perfeitamente

plástico

C. elasto-perfeitamente

plástico

C. elasto-plástico

com endurecimento

Y

Y 0,Y

1,Y

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