Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais

1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física3. Definição de constantes elásticas

3.1 Módulo de Young3.2 Lei de Hook3.3 Efeito de Poisson3.4 Módulo de corte (distorção)3.5 Módulo de volume

4. Definições ligadas ao comportamento do material5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear

5.1 Lei de Hook generalizada5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade

6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas7. Estados planos8. Carga de temperatura

8.1 Carga de temperatura em estados planos9. Materiais ortotrópicos10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral

10.1 Cedência10.2 Modelos para o cálculo

3 Equações de equilíbrio6 Equações deformações - deslocamento

uT

Resumo dos Capítulos 3-4:

Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes

u,, O MC exibe devido às solicitações:

A ligação que falta são as equações que relacionam e

Chamam-se Equações constitutivas (6):

é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC

1. Justificação da existência das relações constitutivas

Faltam 6 equaçõesNão há dependência da resposta do MC do tipo do material

0f

Ensaio uniaxialTracção de uma barra

Limite de linearidade

análise geometricamente linear

Análise linear

análise fisicamente linear

Pode-se usar o princípio de sobreposição

2. Linearidade física

Rotura

Cedência

Estudos que abrangem apenas a parteinicial do gráfico, onde a relação entrea tensão e a deformação é linear

Carregamento 1 111 u,, Carregamento 2 222 u,,

α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2)

212121 uu,,

Usa-se tensão nominal, ou sejaa força aplicada sobre a área dasecção transversal inicial

Extensão na direcçãoda carga aplicada

tgE

declive inicial do gráfico tensão - deformaçãomódulo de elasticidade: E = tgα

unidade: Pa, GPa=109Pa

Thomas Young (1773-1829)

3. Definição de constantes elásticas

3.1 Módulo de Young

E tangente inicial

E tangente

E secante inicial

E secante

Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade

secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos

de tensão e de deformação

3.3 Efeito de Poisson

L

Lx

h

hz

x

y

x

z

: coeficiente ou número de Poisson (sem unidade)

Δh: variação da altura < 0

F

LL

h x

z

h

ΔL: variação do comprimento > 0

b

hL

3.2 Lei de Hooke

E

razão negativaextensão na direcção transversal à força aplicada

extensão na direcção da força aplicada

Robert Hooke(1635-1703)

Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

2/1,0 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível

h

uxy

Lb

Fxy

xy

xyG

F

x

y u

h

3.4 Módulo de corte (distorção)

E, , G, K: constantes elásticas do material

b

hL

Assume-se a distribuição uniforme

mmV K

13

3.5 Módulo de volume

4. Definições ligadas ao comportamento do material

Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço)

Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço)

Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos

Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos

(GPa)

Módulo de “bulk” K (GPa)

Ensaio de distorção

tgG

A isotropia implica ainda que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem

5.1 Lei de Hook generalizada

D

C 1CD

Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidadesão compostas por números (parâmetros de material) sem dependênciado estado actual de tensão ou deformação

[C]: matriz de rigidez de material

[D]: matriz de flexibilidade de material

[C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem

Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6)

5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear

A homogeneidade implica que os parâmetros de materialnão dependem da posição

A isotropia implica que os parâmetros de materialnão dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial

Pode-se provar que duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico

2/1;1

12

EG Condição necessária e suficiente de isotropia

5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade

Escolha mais comum em engenharia: ,E

E, , G, K: constantes elásticas do material

213

EK Consequência da lei constitutiva

Os princípios energéticos implicam, que os módulos tem que ser positivos

2/1;0

2

1

C0

0CC

2

1

D0

0DD

1

1

1

E

1D1

100

010

001

G

1D2

1

1

1

211

EC1

100

010

001

GC2

2

2

2

C1

,Constantes de Lamé

G

211

E

Gabriel Lamé, 1795-1870

Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé

parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volumeparte desviatórica das tensões e das deformações :

altera-se forma em volume inalterado

3/G4K3/G2K3/G2K

3/G2K3/G4K3/G2K

3/G2K3/G2K3/G4K

C1

Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7)

6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas

mVm K3K

Outra possível composição do bloco 1C

Partes volúmicas

Soma das primeiras 3 equações

zyxzyx K3

Com as componentes do slideanterior pode se justificar

a fórmula do K

211

1EK3

213

EK

3

2G2K zyx

zyxx

Componentes diagonais

G2Partes desviatóricas

mxmx G2

mxmx G2K3

Componentes fora de diagonal

xyxyxy GG2

3G2

3K3 zyx

xzyx

x

zyxx 3/G2K3/G2K3/G4K

queremos provar

relação verídica, prova está finalizada

G2

:

K:3

2m

mmT

Invariante, dobro da energia de deformação

Multiplicação “:“ significa “produto interno” entre matrizes

0

0

0

0

0

0K3

1

2

2

2G2

1

0

0

0

0

0

0

2

2

2m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

T

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

T

m

m

m

xy

xz

yz

mz

my

mx

A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero

03 mzyxm o que também é fácil de mostrar, como

As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partesvolúmicas e desviatóricas

T

Demonstração

Tensão plana 0,0,0 yzxzz

Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa(2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões)

redD

1

1

1

ED

2

1red

1 yxyxz 1E

(invariante)

Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z”a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos

7. Estados planos

1redD

xy

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

0

0

0

G/100000

0G/10000

00G/1000

000E/1E/E/

000E/E/1E/

000E/E/E/1

Apenas índices x, y e xy

0yzxz

red1D

red2D

Deformação plana 0,0,0 yzxzz Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens

(invariante)

Estados planos não correspondem um a outro !!!

redC

11

11

E

1C

21red

1

yxyxz 211

E

1redC

0yzxz

8. Carga de temperatura

Afecta apenas componentes normais TLL

Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1

Variação de temperatura inifin TTT

T,111

1 D

T,111

1 C

T,111

T,111

1

21

EC

211

1EC

Apenas componentes normais

z

y

x1

z

y

x1

T

T

T

Tz

Ty

Tx

T,1

T,1111D

TT,1 T,T,T Extensão térmica

TT 0,0,0,T,T,T Deformação térmica

8.1 Carga de temperatura em estados planos

T

TD 1red

11Tensão plana

T

T

1

ED

T

T1

1

ED 11red

1211red

11

T1

1

1

TT1

E

1

ET

1

E

1

E

E

TE

yx

yx2yx2

yxz

y

x1

y

x1

1

1

E

1Dred

1

1

1

1

ED

2

1red

1

Redução de 3D

T

T

21

EC 11red

1

TE

T21

ET1

1E

1T1

1E

1

211

ET

21

E

211

E

yx

yx

2

yx

2

yxz

Deformação plana

T

T

21

EC 1red

11

Redução de 3D

T

T1C

T

T

11

E

1

21

EC

11red1

211red

11

11

11

E

1C

21red

1

Existem 3 direcções principais de ortotropia

direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação

para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetrosas componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero

zy

yz

x

xz

z

zy

yx

xy

z

zx

y

yx

x

1

E

1

EE

EE

1

E

EEE

1

D

xy

xz

yz

2

G

100

0G

10

00G

1

D y

yx

x

xy

EE

jiii

jj

ij

De simetria

Carga na direcção i

-matriz de rigidez pela inversão-ambas sempre positivamente definidas

9. Materiais ortotrópicos

Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia

Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga

Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações

C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes

10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral

Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas

descarga linear

tE E tangente inicial

e parte elástica

Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas

Lei reversível com histerésis, c. elástico com

atrito interno

p

parte plástica, permanente

10.1 Cedência transição entre o comportamento reversível e irreversível

Menos rígido após a cedência

Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência

endurecimentoMais rígido após a cedência

enfraquecimento,amaciamento,amolecimentoplasticidade

perfeita

Y

Y

Y

incompressibilidade após Y

10.2 Modelos para o cálculo

C. rígido perfeitamente plástico

C. elasto-perfeitamente plástico

C. elasto-plástico com endurecimento

YY 0,Y

1,Y