método dos deslocamentos -...

Anhanguera-Uniderp Engenharia Civil Hiperestática

Método dos Deslocamentos 1/21 profwillian.com

Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere

todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.

1)

A

4,8 m

C

12 kN/m

3,2 m

B

2)

A B C

12 kN/m

D

4,2 m 4,8 m 5,4 m

3)

A B C

10,8 kN/m

D

3,5 m 3,5 m 4,5 m 3,5 m

E

Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os trechos têm

inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.

4)

A

4,6 m

C

10,8 kN/m

3,4 m

B EI 2EI

5)

A B C

9,6 kN/m

D

4,5 m 4,5 m 6,0 m

3EI EI EI

6)

A B C

8,0 kN/m

D E

4,0 m 3,5 m 4,0 m 3,5 m

2EI EI EI 2EI





7)

A

4,5 m

C

8 kN/m

3,5 m

B

6 kN/m

8)

A

4,0 m

C

8 kN/m

4,0 m

B

6 kN/m

9)

A B C

6 kN/m

D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

6 kN/m

10)

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

6 kN/m

11)

A B C D E

4,0 m 3,5 m 4,0 m 3,5 m

6 kN/m 6 kN/m 8 kN/m 8 kN/m

12)

A B C D E

4,0 m 3,5 m 4,0 m 3,5 m

6 kN/m 8 kN/m





13)

A C

3,5 m

B

8 kN

2,5 m 1,5 m

14)

A C

2 m

B

8 kN 8 kN

2 m 2 m 2 m

15)

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

21,6 kN 3 m

16)

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

21,6 kN 3 m

21,6 kN 3 m

17)

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

20 kN 2,5 m

20 kN 2,5 m

20 kN 2,5 m

18)

A B C D E

4 m 4 m 4 m 4 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m



Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo, com forças

concentradas e distribuídas. Os trechos têm inércias, EI, distintas e apoios de primeiro, segundo e terceiro

gêneros. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.

19)

A 4,73 m

C

9,08 kN/m

3,42 m

B EI 2EI

20)

A

4,0 m

C

8 kN/m

4,0 m

B

6 kN/m

EI 2EI

21)

A B C D

4,5 m 4,5 m 6,0 m

3EI EI EI

6 kN/m 6 kN/m 27 kN 3 m

22)

A B C D E

4,0 m 3,5 m 4,0 m 3,5 m

2EI 2EI EI 3EI

6 kN/m 15 kN 2 m

15 kN 2 m

23)

A B C D E

4 m 4 m 4 m 4 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m

15 kN 2 m

2EI EI EI 2EI

6 kN/m



1) Utilize o Método dos deslocamentos

para encontrar as reações de apoio da viga

vista ao lado. Considere todos os trechos

com a mesma inércia EI. Trace, também, os

diagramas de esforços solicitantes.

A

4,8 m

C

12 kN/m

3,2 m

B

Solução:

1- Sistema Principal

A

L2=4,8 m

B C

L1=3,2 m

1

1

1 2

2- Efeitos no sistema principal

B C

q

1

A

10

1 2

Carregamento

Externo

q

1

V0A

M0B1

V0B1

q

2

V0C

M0B2

V0B2

Barra 1:

0,248

qL5V

4,148

qL3V

36,158

qLM

11B

0

1A

0

2

11B

0

Barra 2:

56,348

qLM

2

22B

0

0,368

qL5V 2

2B0

6,218

qL3V 2

C0

Temos então: 2,1956,3436,15MM 2B0

1B0

10



B C A

11

1 2 1

1 Rotação 1

1

V1A

M1B1

V1B1

1

2

V1C

M1B2

V1B2

EI293,0L

EI3V

EI293,0L

EI3V

EI9375,0L

EI3M

2

1

1B1

2

1

A1

1

1B1

EI625,0L

EI3M

1

2B1

EI130,0L

EI3V

2

1

2B1

EI130,0L

EI3V

2

1

C1

Temos então: EI5625,1EI)625,09375,0(MM 2B1

1B1

11

3- Cálculo da incógnita 1:

Da equação de compatibilidade vem que:

288,12EI5625,1

2,190

11

10

111110

4- Cálculos das reações de apoio

kN2,23)EI130,0(EI

288,126,21VVV

kN0,62)EI130,0EI293,0(EI

288,123624VVVVV

kN8,10)EI293,0(EI

288,124,14VVV

1

C1

0

CC

1

2B

1

1B1

0

2B

0

1BB

1

A1

o

AA

A

4,8 m

C

12 kN/m

3,2 m

B

10,8 kN 62,0 kN 23,2 kN



5- Equações de esforços solicitantes

Equações de Esforços Cortantes (Origem de x em A)

x128,10qxV)x(V A1

x128,10)x(V1 ............................................................ m2,3x0

0,62x128,10VqxV)x(V BA2

x128,72)x(V2 ............................................................ m0,8x2,3

Equações de Esforços Momentos Fletores (Origem de x em A)

2

x12x8,10

2

xqxV)x(M

22

A1

2

1 x6x8,10)x(M ......................................................... m2,3x0

2,3x0,622

x12x8,102,3xV

2

xqxV)x(M

2

B

2

A2

4,198x6x8,72)x(M 2

2 ............................................ m0,8x2,3

6- Diagramas de esforços solicitantes

Cortantes

Momentos fletores

0,90 m 2,30 m 2,87 m 1,93 m



2) Utilize o Método dos

deslocamentos para encontrar as

reações de apoio da viga vista ao

lado. Considere todos os trechos

com a mesma inércia EI. Trace,

também, os diagramas de esforços

solicitantes.

A B C

12 kN/m

D

4,2 m 4,8 m 5,4 m

Solução:


A

L3=4,2 m L2=5,4 m

B C D

L1=4,8 m

1 2

1 2

1 2 3


B C D

q

20

1 2

A

10

1 2 3

Carregamento

Externo

q

1

V0A

M0B1

V0B1

q

2

M0B2 M0

C2

V0B2 V0

C2

q

3

V0D

M0C3

V0C3

Barra 1:

56,348

qLM

2

11B

0

60,218

qL3V 1

A0

00,368

qL5V 1

1B0

Barra 2:

16,2912

qLM

2

22B

0

16,2912

qLM

2

22C

0

4,322

qLV 2

2B0

4,322

qLV 2

2C0

Barra 3:

46,268

qLM

2

33C

0

50,318

qL5V 3

3C0

90,188

qL3V 3

D0

Temos então: 40,5MM 2B0

1B0

10

70,2MM 3C0

2C0

20



B C

D

21

A

11

1 2 3 1 2

1 Rotação 1

1

V1

A

M1

B1

V1

B1

1

2

M1B2

M1

C2

V1

B2 V1

C2

1

3

V1

D

M1

C3

V1

C3

EI13021,0L

EI3V

EI13021,0L

EI3V

EI625,0L

EI3M

2

1

1B1

2

1

A1

1

1B1

EI20576,0L

EI6V

EI20576,0L

EI6V

EI37037,0L

EI2M

EI74074,0L

EI4M

2

2

2C1

2

2

2B1

2

2C1

2

2B1

0V

0V

0M

D1

3C1

3C1

Temos então: EI36574,1MM 2B1

1B1

11

EI37037,0MM 3C1

2C1

21

1

B C D

22

A

12

1 3 2 1

2

Rotação 2

1

V2

A

M2

B1

V2

B1

2

M2B2 M2

C2

V2B2 V2

C2

1

3

V2D

M2C3

V2C3

1

0V

0V

0M

1B2

A2

1B2

EI20576,0L

EI6V

EI20576,0L

EI6V

EI74074,0L

EI4M

EI37037,0L

EI2M

2

2

2C2

2

2

2B2

2

2C2

2

2B2

EI17007,0L

EI3V

EI17007,0L

EI3V

EI71429,0L

EI3M

2

3

D2

2

3

3C2

3

3C2




1B2

12

EI45503,1MM 3C2

2C2

22

3- Cálculos das incógnitas 1 e 2 :

Das equações de compatibilidade vem que:

20

10

2

1

2221

1211

7,2

4,5

45503,137037,0

37037,036574,1EI

2

1

EI

1

9122,0

7065,3

2

1


kN745,18EI17007,0EI

9122,00

EI

7065,39,18V

VVVV

kN105,63EI17007,0EI20576,0EI

9122,00EI20576,0

EI

7065,35,314,32V

VVVVVVV

kN868,68EI20576,00EI

9122,0EI20576,0EI130021,0

EI

7065,34,3236V

VVVVVVV

kN083,220EI

9122,0EI13021,0

EI

7065,36,21V

VVVV

D

2

D2

1

D1

0

DD

C

2

3C

2

2C2

1

3C

1

2C1

0

3C

0

2CC

B

2

2B

2

1B2

1

2B

1

1B1

0

2B

0

1BB

A

2

A2

1

A1

o

AA

A

4,2 m

B C

12 kN/m

D

4,8 m

22,1 kN 68,9 kN 63,1 kN 18,7 kN

5,4 m

-----Deslocamentos----- --Reações de apoio--

no Vertical Rotação Força M.fletor

1 -0.00000000 -29.50126713 22.0826 0.0000

2 -0.00000000 3.70653426 68.8677 0.0000

3 -0.00000000 0.91215492 63.1048 0.0000

4 -0.00000000 18.06592254 18.7449 0.0000





x12083,22qxV)x(V A1

x12083,22)x(V1 ........................................................ m8,4x0

868,68x12083,22VqxV)x(V BA2

x12951,90)x(V2 ........................................................ m2,10x8,4

105,63868,68x12083,22VVqxV)x(V CBA3

x12056,154)x(V3 ...................................................... m4,14x2,10


2

x12x083,22

2

xqxV)x(M

22

A1

2

1 x6x083,22)x(M ..................................................... m8,4x0

8,4x868,682

x12x083,228,4xV

2

xqxV)x(M

2

B

2

A2

5664,330x6x951,90)x(M 2

2 .................................. m2,10x8,4

2,10x105,638,4x868,682

x12x083,222,10xV8,4xV

2

xqxV)x(M

2

CB

2

A3

2374,974x6x056,154)x(M 2

3 ................................ m4,14x2,10


Cortantes

Momentos fletores

1,84 m 2,96 m 2,78 m 2,62 m 2,64 m 1,56 m



3) -----Deslocamentos----- --Reações de apoio--


1 -0.00000000 -8.49625493 13.6114 0.0000

2 -0.00000000 -2.30124014 49.3604 0.0000

3 -0.00000000 5.24371125 42.8127 0.0000

4 -0.00000000 -4.25445321 40.9986 0.0000

5 -0.00000000 11.77410161 15.2169 0.0000



1 -0.00000000 -5.88003158 12.2319 0.0000

2 -0.00000000 -5.92673684 53.8575 0.0000

3 -0.00000000 13.91366842 20.3105 0.0000





1 -0.00000000 -16.87500000 15.8000 0.0000

2 -0.00000000 -2.70000000 56.2000 0.0000

3 -0.00000000 2.70000000 56.2000 0.0000

4 -0.00000000 16.87500000 15.8000 0.0000



1 -0.00000000 -7.42291667 10.6357 0.0000

2 -0.00000000 0.55416667 33.7799 0.0000

3 -0.00000000 0.00000000 31.1688 0.0000

4 -0.00000000 -0.55416667 33.7799 0.0000

5 -0.00000000 7.42291667 10.6357 0.0000





1 -0.00000000 -6.18196615 10.0279 0.0000

2 -0.00000000 -1.92773438 34.5615 0.0000

3 -0.00000000 12.35449219 10.4106 0.0000

8)



1 -0.00000000 -25.00000000 13.5000 0.0000

2 -0.00000000 18.75000000 16.5000 0.0000

3 -0.00000000 -18.75000000 16.5000 0.0000

4 -0.00000000 25.00000000 13.5000 0.0000



1 0.00000000 6.25000000 -1.5000 0.0000

2 -0.00000000 -12.50000000 16.5000 0.0000

3 -0.00000000 12.50000000 16.5000 0.0000

4 0.00000000 -6.25000000 -1.5000 0.0000





1 -0.00000000 -8.99994353 9.3750 0.0000

2 -0.00000000 1.99988705 29.6456 0.0000

3 -0.00000000 0.08370747 24.1442 0.0000

4 -0.00000000 -2.31099816 29.7693 0.0000

5 -0.00000000 8.30133242 11.0660 0.0000



1 -0.00000000 -12.89030072 12.8339 0.0000

2 -0.00000000 4.44726811 34.8432 0.0000

3 -0.00000000 -1.02324227 23.8027 0.0000

4 -0.00000000 -0.36393477 25.5561 0.0000

5 -0.00000000 5.54134239 7.9641 0.0000



1 0.00000000 1.60416667 -0.7857 0.0000

2 -0.00000000 -3.20833333 4.4732 0.0000

3 -0.00000000 6.29166667 4.3125 0.0000



1 -0.00000000 -4.00000000 2.5000 0.0000

2 -0.00000000 0.00000000 11.0000 0.0000

3 -0.00000000 4.00000000 2.5000 0.0000



1 -0.00000000 -2.01600000 0.4838 0.0000

2 0.00000000 4.03200000 -2.9030 0.0000

3 -0.00000000 -14.11200000 12.9946 0.0000

4 -0.00000000 26.49600000 11.0246 0.0000



16) Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio da viga vista abaixo.

Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços

solicitantes.

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

21,6 kN 3 m

21,6 kN 3 m

Solução:


A

L3=5 m L2=5 m

B C D

L1=5 m

1 2

1 2

1 2 3


B C D

q

20

1 2

A

10

1 2 3

Carregamento

Externo

P P

P

1

V0A

M0B1

V0B1

a b

2

M0B2 M0

C2

V0B2 V0

C2

P a b

3

V0D

M0C3

V0C3

Barra 1:

736,20)aL(L2

PabM 12

1

1B0

4928,4)aL(L2

Pab

L

PbV 13

11

A0

1072,17)aL(L2

Pab

L

PaV 13

11

1B0

Barra 2:

368,10L

PabM

2

2

2

2B0

552,15L

bPaM

2

2

2

2C0

603,7aabLL

bPV 22

23

2

22B

0

997,13aabLL

bPV 22

23

2

22C

0

Barra 3:

0M 3C0

0V 3C0

0V D0

Temos então: 3680,10MM 2B0

1B0

10

5520,15MM 3C0

2C0

20



B C

D

21

A

11

1 2 3 1 2

1 Rotação 1

1

V1

A

M1

B1

V1

B1

1

2

M1B2

M1C2

V1B2 V

1C2

1

3

V1

D

M1

C3

V1

C3

EI120,0L

EI3V

EI120,0L

EI3V

EI600,0L

EI3M

2

1

1B1

2

1

A1

1

1B1

EI240,0L

EI6V

EI240,0L

EI6V

EI400,0L

EI2M

EI800,0L

EI4M

2

2

2C1

2

2

2B1

2

2C1

2

2B1

0V

0V

0M

D1

3C1

3C1


1B1

11

EI400,0MM 3C1

2C1

21

1

B C D

22

A

12

1 3 2 1

2

Rotação 2

1

V2

A

M2

B1

V2

B1

2

M2B2 M2

C2

V2B2 V2

C2

1

3

V2D

M2C3

V2C3

1

0V

0V

0M

1B2

A2

1B2

EI240,0L

EI6V

EI240,0L

EI6V

EI800,0L

EI4M

EI400,0L

EI2M

2

2

2C2

2

2

2B2

2

2C2

2

2B2

EI120,0L

EI3V

EI120,0L

EI3V

EI600,0L

EI3M

2

3

D2

2

3

3C2

3

3C2




1B2

12

EI400,1MM 3C2

2C2

22

3- Cálculos das incógnitas 1 e 2 :

Das equações de compatibilidade vem que:

20

10

2

1

2221

1211

552,15

368,10

400,1400,0

400,0400,1EI

2

1

EI

1

792,9

608,4

2

1


kN1750,1EI120,0EI

792,90

EI

608,40V

VVVV

kN7158,11EI120,0EI240,0EI

792,90EI240,0

EI

608,40997,13V

VVVVVVV

kN6134,27EI240,00EI

792,9EI240,0EI120,0

EI

608,4603,71072,17V

VVVVVVV

kN0458,50EI

792,9EI120,0

EI

608,44928,4V

VVVV

D

2

D2

1

D1

0

DD

C

2

3C

2

2C2

1

3C

1

2C1

0

3C

0

2CC

B

2

2B

2

1B2

1

2B

1

1B1

0

2B

0

1BB

A

2

A2

1

A1

o

AA

A B C D

5,0 m 5,0 m 5,0 m

21,6 kN 3 m

21,6 kN 3 m

5,05 kN 27,61 kN 11,72 kN 1,18 kN

-----Deslocamentos----- --Reações de apoio--


1 -0.00000000 -15.26400000 5.0458 0.0000

2 -0.00000000 4.60800000 27.6134 0.0000

3 -0.00000000 9.79200000 11.7158 0.0000

4 0.00000000 -4.89600000 -1.1750 0.0000





A1 V)x(V

0458,5)x(V1 ................................................................. m0,3x0

6,210458,56,21V)x(V A2

5542,16)x(V2 ............................................................ m0,5x0,3 6134,276,210458,5V6,21V)x(V BA3

0592,11)x(V3 ............................................................... m0,8x0,5 6,216134,276,210458,56,21V6,21V)x(V BA4

5408,10)x(V4 ............................................................ m0,10x0,8

7158,116,216134,276,210458,5V6,21V6,21V)x(V CBA5

175,1)x(V5 ................................................................... m0,15x0,10


xV)x(M A1

x0458,5)x(M1 ............................................................. m0,3x0

3x6,21x0458,53x6,21xV)x(M A2

8,64x5542,16)x(M 2 .............................................. m0,5x0,3 5x6134,273x6,21x0458,55xV3x6,21xV)x(M BA3

267,73x0592,11)x(M3 ............................................. m0,8x0,5 8x6,215x6134,273x6,21x0458,58x6,215xV3x6,21xV)x(M BA4

533,99x5408,10)x(M 4 .......................................... m0,10x0,8

10x7158,118x6,215x6134,273x6,21x0458,5

10xV8x6,215xV3x6,21xV)x(M CBA5

625,17x175,1)x(M5 .................................................. m0,15x0,10


Cortantes

Momentos fletores





1 -0.00000000 -18.75000000 7.0000 0.0000

2 -0.00000000 6.25000000 23.0000 0.0000

3 -0.00000000 -6.25000000 23.0000 0.0000

4 -0.00000000 18.75000000 7.0000 0.0000



1 -0.00000000 -8.57142857 5.0893 0.0000

2 -0.00000000 2.14285714 18.2143 0.0000

3 -0.00000000 0.00000000 13.3929 0.0000

4 -0.00000000 -2.14285714 18.2143 0.0000

5 -0.00000000 8.57142857 5.0893 0.0000



1 -0.00000000 -0.00000000 12.0461 4.8823

2 -0.00000000 -6.78521642 44.0305 0.0000

3 -0.00000000 13.40177757 17.9253 0.0000



1 -0.00000000 -8.24242424 9.0909 0.0000

2 -0.00000000 0.48484848 31.2727 0.0000

3 -0.00000000 0.00000000 15.6364 -10.1818





1 -0.00000000 -9.87187500 9.6750 0.0000

2 -0.00000000 -3.03750000 30.8250 0.0000

3 -0.00000000 3.03750000 30.8250 0.0000

4 -0.00000000 9.87187500 9.6750 0.0000



1 -0.00000000 -0.00000000 5.9159 5.5244

2 -0.00000000 0.02481548 16.4294 0.0000

3 -0.00000000 -0.23105272 19.8676 0.0000

4 -0.00000000 0.42029874 22.6988 0.0000

5 -0.00000000 0.00000000 10.0883 -5.6447



1 -0.00000000 -0.00000000 19.5000 15.5000

2 -0.00000000 0.00000000 39.0000 0.0000

3 -0.00000000 -0.00000000 39.0000 0.0000

4 -0.00000000 -0.00000000 39.0000 0.0000

5 -0.00000000 0.00000000 19.5000 -15.5000

método dos deslocamentos -...

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