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v. 2, n. 2 - dez. 2013

ISSN 2316-9664

Sumário

Uma ferramenta para o estudo local de curvas e superfícies singulares no espaço

Euclidiano Alex Paulo Francisco, Luciana de Fátima Martins 2

Algumas considerações sobre homotopia e homologia Jessica Cristina Rossinati Rodrigues da Costa, Maria Gorete Carreira Andrade 18

Método primal-dual de pontos interiores em problemas de despacho econômico e

ambiental Larissa Tebaldi de Oliveira, Amélia di Lorena Stanzani, Antonio Roberto Balbo 32

Ensino de geometria espacial na licenciatura em matemática: uma proposta de trabalho

com grupos colaborativos Emília de Mendonça Rosa Marques, Valter Locci 45

O espaço das ordens de um corpo Clotilzio Moreira dos Santos 51

Análise de temperaturas em uma barra uniforme de aço-carbono com o método explícito Jorge Corrêa de Araújo, Rosa García Márquez 58

A geometria da esponja de Menger Andréa Cristina Prokopczyk Arita, Flávia Souza Machado da Silva, Laura Rezzieri

Gambera 70

Uma curva elíptica sobre F23 Jaime Edmundo Apaza Rodriguez 78

Os modelos de crescimento populacional de Malthus e Verhulst - uma motivação

para o ensino de logaritmos e exponenciais Robinson Tavoni, Renata Zotin G. de Oliveira 86

Estimando os limites inferiores e superiores do erro residual da solução numérica

de um modelo ADR Alessandro Firmiano, Maria L. Pizarro, João Paulo Martins, Edson Wendland 100

Aplicando o jogo "avançando com o resto" no ensino de matemática Ana Beatriz Alves Ribeiro da Silva, Cristiane Alexandra Lázaro, Laís Fernanda Macedo

Rosa, Tatiana Miguel Rodrigues 109

Sobre a compacidade lógica e topológica Hércules de Araujo Feitosa, Mauri Cunha do Nascimento, Marcelo Reicher Soares 118

Jogos no Ensino de Matemática: experiências com o "fecha a caixa" Cristiane Alexandra Lázaro, Gustavo Chaves Tanaka, Tatiana Miguel Rodrigues 127

Uma ferramenta para o estudo local de curvas esuperfıcies singulares no espaco Euclidiano∗

Alex Paulo Francisco †

Resumo

O objetivo deste trabalho e aplicar uma classica ferramenta da Teoria de Sin-gularidades, a saber, desdobramentos de funcoes reais, no estudo da estrutura localde alguns subconjuntos do espaco Euclidiano.

Palavras Chave: Geometria diferencial, singularidades, desdobramentos, conjuntobifurcacao, conjunto discriminante.

Introducao

Considere uma funcao F : R × Rr → R suave. Considerando F como uma famıliade funcoes a r-parametros, chamada de desdobramento de uma determinada funcaopertencente a famılia dada, a existencia de desdobramentos com a propriedade deserem “versais”e um dos resultados centrais da Teoria de Singularidades. A grossomodo, um desdobramento versal de uma funcao real g contem todas as funcoesproximas a g. Reconhecer desdobramentos versais e importante para estudar pro-priedades de subconjuntos do espaco de parametros que sao preservadas por difeo-morfismos. O principal objetivo deste trabalho e apresentar fundamentos basicossobre desdobramentos de funcoes reais e algumas de suas aplicacoes ao estudo daestrutura local de curvas e superfıcies.

Sabemos que, na vizinhanca de pontos regulares de curvas e superfıcies, estassao difeomorfas a retas ou a planos, respectivamente. Portanto, a questao queresta analisar e quanto a estrutura local em pontos singulares, ou seja, em pontosonde nao temos bem definido a reta tangente ou o plano tangente. Por exem-plo, a curva α(t) = (t3, t2) nao e regular em t = 0 (Figura 1, esquerda), e a su-perfıcie parametrizada por f(x, y) = (x, y2, y3) (Figura 1, direita), nao e regular em(x, 0); x ∈ R, a primeira chamada cuspide ordinaria, e a segunda cuspidal edge.

A organizacao deste trabalho e como segue: Nas duas primeiras secoes apresen-tamos os principais resultados sobre desdobramentos p-versais e versais. A diferencabasica na definicao entre eles e a existencia de uma funcao constante. Associado adesdobramentos p-versais temos os conjuntos singular e bifurcacao e, associado adesdobramentos versais, temos os conjuntos zero e discriminante. Os conjuntos sin-gular (no caso p-versal) e zero (no caso versal) sao variedades diferenciaveis suaves,de mesma dimensao que o espaco de parametros. Ja o mesmo nao ocorre para os

∗Este trabalho e parte da dissertacao de mestrado do primeiro autor, bolsista PICME-CAPES, orien-tado pelo segundo autor.

†E-mails: alexpf [email protected] e [email protected]. Departamento de Matematica, Ins-tituto de Biociencias, Letras e Ciencias Exatas, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Sao Josedo Rio Preto, SP, Brazil.

FRANCISCO, A. P.; MARTINS, L. F. Uma ferramenta para o estudo local de curvas e superfícies singulares no espaço Euclidiano.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664apflfm0217 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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2

Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 2-17, dez. 2013.

Luciana de Fatima Martins†

C.Q.D. -

Figura 1: Cuspide ordinaria (esquerda) e cuspidal edge (direita).

conjuntos bifurcacao e discriminante. Estes desempenham papel cruscial no estudode propriedades de subconjuntos do espaco de parametros que sao preservadas pordifeomorfismos, o que e apresentado na terceira secao deste trabalho. Veremos, porexemplo, que a evoluta de uma curva regular e, na vizinhanca de um ponto singular(que e vertice ordinario da curva dada), o conjunto bifurcacao de um desdobra-mento e, como consequencia de resultados que veremos, e difeomorfa a uma cuspideordinaria. Alem da evoluta de uma curva plana, tambem apresentamos o estudo dacurva e da supefıcie paralela associadas a uma curva plana. Varios outros conjuntospodem ser estudados com a mesma tecnica, como por exemplo, a ortotomica, acurva dual de uma curva plana, a superfıcie dual e a tangente desenvolvıvel de umacurva no espaco, o envelope das retas tangentes, entre outros. As demonstracoesdos resultados enunciados nas duas primeiras secoes sao omitidas por serem longase tecnicas, mas encontram-se nas referencias citadas ou, com todos os seus detalhes,na dissertacao de mestrado do primeiro autor.

A referencia principal deste estudo e o livro de J. W. Bruce e P. J. Giblin([4]) e outras referencias consultadas estao citadas na bibliografia. Os resultadosque enunciamos estao no livro [4], ou como proposicao/teorema, ou como exercıcioproposto. Acreditamos que nossa maior contribuicao na elaboracao deste trabalhoe apresentar ao leitor um texto em portugues e rico em detalhes.

No que segue, a notacao F : R × Rr, (t0, x0) → R significa que F esta definidaem uma vizinhanca de (t0, x0) em R × Rr e dizemos que F e um desdobramento ar parametros de f = Fx0 , onde Fx0(t) = F (t, x0). Por exemplo, um desdobramentopara a funcao f(t) = t5 pode ser dado pela famılia de funcoes a 3 parametrosF (t, a, b, c) = t5 + at3 + bt2 + ct, onde f e obtida tomando a = b = c = 0.

1 Desdobramentos p-versais

Definicao 1 Seja G : R × Rs, (t0, y0) → R um desdobramento a s-parametros dafuncao g = Gy0. Considere

a : R× Rr, (t0, x0) → R, onde a(t, x0) = tb : Rr, x0 → Rs, y0, onde b(x0) = y0c : Rr, x0 → R

,

em que a, b e c sao suaves. Entao o desdobramento F : R × Rr, (t0, x0) → R dafuncao f(t) = g(t) + c(x0) dado por

F (t, x) = G(a(t, x), b(x)) + c(x)

e dito p-induzido de G. Se todo desdobramento de g e p-induzido de G, dizemosque G e um desdobramento p-versal de g em t0.



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3

Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 2-17, dez. 2013.C.Q.D. -

Exemplo 2 Sejam g(t) = t3, G : R × R, (0, 0) → R um desdobramento a 1-parametro de g, dado por G(t, x1) = t3 + x1t, e H : R × R2, (0, 0) → R um desdo-bramento a 2-parametros de g dado por H(t, x1, x2) = t3 + x1t + x2t

2. Afirmamosque G e p-induzido de H e H e p-induzido de G.

De fato, observe que G(t, x1) = H(t, x1, 0). Assim, tomandoa : R× R, (0, 0) → R, dado por a(t, x1) = tb : R, 0 → R2, 0, dado por b(x1) = (x1, 0)c : R, 0 → R, dado por c(x1) = 0

,

obtemos G(t, x1) = H(a(t, x1), b(x1))+c(x1), de onde concluımos que G e p-induzidode H. Mostremos agora que H e p-induzido de G.

Podemos eliminar o termo t2 obtendo:

H(t− 1

3x2, x1, x2) = G(t, x1 −

1

3x22) +

2

27x32 −

1

3x1x2

e, assim, H(t, x1, x2) = G(t+13x2, x1−

13x

22)+

227x

32−1

3x1x2 = G(a(t, x1, x2), b(x1, x2))+c(x1, x2), onde

a : R× R2, (0, 0) → R, dado por a(t, x1, x2) = t+ 13x2

b : R2, 0 → R, 0, dado por b(x1, x2) = x1 − 13x

22

c : R2, 0 → R, dado por c(x1, x2) =227x

32 − 1

3x1x2

.

Portanto, H e p-induzido de G.

Observacao 3 Seja g : R, 0 → R suave e sejam F , G e H desdobramentos de gem t0. A partir da definicao, podemos mostrar que:

(a) Se F e p-induzido de G e G e p-induzido de H, entao F e p-induzido de H.

(b) Se G e desdobramento p-versal de g em t0 e G e p-induzido de H, entao H edesdobramento p-versal de g em t0.

No que segue neste artigo, denotamos por g(t) = ±tk+1, se g(t) = tk+1 paratodo t, ou g(t) = −tk+1 para todo t. O teorema a seguir e fundamental para asaplicacoes que veremos. Sua demonstracao para o caso em que os desdobramentossao analıticos pode ser encontrada em [4], ou em [1], para o caso geral.

Teorema 4 ([4], p. 137) Seja g : R, 0 → R dada por g(t) = ±tk+1. Entao odesdobramento G : R× Rk−1, (0, 0) → R de g em 0 dado por

G(t, x) = ±tk+1 + xk−1tk−1 + ...+ x2t

2 + x1t

e p-versal.

Exemplo 5 Seja H : R×Rk, (0, 0) → R, dado por H(t, x) = tk+1+xktk+ ...+x1t,

desdobramento de g : R, 0 → R dada por g(t) = tk+1. Mostremos que H e umdesdobramento p-versal de g em 0.

Seja G : R×Rk−1, (0, 0) → R o desdobramento p-versal de g dado no Teorema 4,ou seja, G(t, x) = tk+1 + xk−1t

k−1 + ...+ x2t2 + x1t. Mostremos que G e p-induzido

de H.Note que G(t, x1, ..., xk−1) = H(t, x1, ..., xk−1, 0). Logo, considerando

a : R× Rk−1, (0, 0) → R, dada por a(t, x1, ..., xk−1) = tb : Rk−1, 0 → Rk, 0, dada por b(x1, ..., xk−1) = (x1, ..., xk−1, 0)c : Rk−1, 0 → R, dada por c(x1, ...xk−1) = 0

,



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4


obtemosG(t, x) = H(a(t, x), b(x)) + c(x),

ou seja, G e p-induzido de H.Como G e desdobramento p-versal de g em 0 e G e p-induzido de H, pela Ob-

servacao 3(b), concluımos que H e desdobramento p-versal de g em 0.

Note que, seguindo a definicao de desdobramento p-versal, e difıcil decidir seum dado desdobramento e ou nao p-versal. Desse modo, necessitamos de condicoes(criterios) que nos digam quando um desdobramento e p-versal ou nao. A seguirenunciamos um criterio bastante util, que sera fundamental para as aplicacoes queveremos.

Uma funcao suave f : R, t0 → R tem singularidade do tipo Ak em t0, parak ≥ 1, se f (p)(t0) = 0 para p = 1, 2, ..., k e f (k+1)(t0) = 0. Por exemplo, a funcaof(t) = tk+1 tem singularidade do tipo Ak em t0 = 0. Veremos neste trabalho que otipo de singularidade de uma funcao real e fundamental para o estudo da geometriade certas curvas e superfıcies na vizinhanca de um ponto regular.

Sejam g : R → R e t0 ∈ R. O k-jato de g em t0 e, por definicao, o polinomio emt de grau ≤ k, dado por

jkg(t0) =dg

dt(t0)t+

d2g

dt2(t0)

t2

2!+

+...+dk−1g

dtk−1(t0)

tk−1

(k − 1)!.

Teorema 6 ([4], p. 140) (Criterio) Seja F : R× Rr, (t0, x0) → R desdobramentode f : R, t0 → R, onde f tem singularidade do tipo Ak (k ≥ 1) em t0. Suponhamosque

jk−1(∂F

∂xi(t, x0))(t0) = α1it+ α2it

2 + ...+ α(k−1)itk−1,

para i = 1, ..., r. Entao F e p-versal se, e somente se, a matriz dos coeficientes(αji)(k−1)×r tem rank k − 1 (isso requer que k − 1 ≤ r).

Exemplo 7 Seja F (t, x) = t4+x1t3+x2t

2+x3t desdobramento a 3-parametros deg(t) = t4 em t0 = 0. Como g tem singularidade do tipo A3 em 0,

j2(∂F

∂x1(t, 0))(0) = 0; j2(

∂F

∂x2(t, 0))(0) = t2; j2(

∂F

∂x3(t, 0))(0) = t

e j2( ∂F∂xi(t, 0))(0) = α1it + α2it

2, i = 1, 2, 3, entao a matriz (αji) dada no Teorema6 e [

0 0 10 1 0

],

a qual possui rank 2. Segue, portanto, que F e um desdobramento p-versal de f emt0 = 0.

Consideremos agora o desdobramento a 2-parametros de g em 0 dado por F (t, x) =t4 + x1x2t

2 + x2t. Como

j2(∂F

∂x1(t, 0))(0) = 0; j2(

∂F

∂x2(t, 0))(0) = t

e j2( ∂F∂xi(t, 0))(0) = α1it+ α2it

2, i = 1, 2, entao a matriz (αji) e dada por[0 10 0

],

a qual possui rank 1. Portanto, F nao e desdobramento p-versal de f em t0 = 0.



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5


Note que, se r ≥ k−1, entao sempre existe uma escolha adequada dos αji tais quea matriz dada no Teorema 6 tenha rank igual k−1, obtendo assim um desdobramentop-versal. Observamos tambem que se r < k − 1, entao nao existe desdobramentop-versal, pois a matriz nao tera rank k − 1. Assim, um desdobramento p-versalcom o menor numero de parametros para ±tk+1 e o dado pelo Teorema 4, o qualchamamos de desdobramento miniversal.

1.1 Conjunto singular e conjunto bifurcacao

Definicao 8 Seja F : R × Rr, (t0, x0) → R um desdobramento de f = Fx0. Oconjunto singular SF de F e o conjunto dos pontos (t, x) tais que Fx tem singu-laridade em t, ou seja,

SF = (t, x) ∈ R× Rr;∂F

∂t(t, x) = 0.

O conjunto bifurcacao de F e o conjunto

BF = x ∈ Rr; ∃t ∈ R, onde∂F

∂t(t, x) =

∂2F

∂t2(t, x) = 0,

o t que existe e dito correspondente a x.

Exemplo 9 Seja G(t, x1) = t3 + x1t desdobramento miniversal de t3. Fazendo oscalculos obtemos SG = (t,−3t2), t ∈ R e B = 0. Ver Figura 2.

t

x

x

S

B

1

1

Figura 2: Conjunto singular e bifurcacao de G(t, x1) = t3 + x1t.

Exemplo 10 Seja F (t, x1, x2) =14 t

4+ 12x1t

2+x2t desdobramento de 14 t

4. ObtemosSF = (t, x1, x2); t3 + x1t+ x2 = 0 e BF = (x1, x2) ∈ R2; 4x31 + 27x22 = 0 e umacuspide. Ver Figura 3.

t

x

x

x

x

1

1

2

2

S

B

Figura 3: Conjunto singular e bifurcacao de F (t, x1, x2) =14 t

4 + 12x1t

2 + x2t.



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6


Os conjuntos singulares dos desdobramentos dos exemplos acima sao variedadessuaves. A proposicao a seguir diz que, se (t0, x0) ∈ SF entao, numa vizinhancade (t0, x0) (supondo f = Fx0), isto e sempre valido, supondo o desdobramento serp-versal. Sua demonstracao pode ser feita facilmente a partir das definicoes.

Proposicao 11 ([4], p. 143) Seja F : R × Rr, (t0, x0) → R um desdobramentop-versal de f = Fx0 em t0. Se (t0, x0) ∈ SF , entao existe uma vizinhanca U de(t0, x0) em R× Rr tal que SF ∩ U e uma r-variedade suave.

Veremos a seguir que o conjunto bifurcacao de qualquer desdobramento p-versala r-parametros de uma singularidade Ak e localmente o mesmo, a menos de difeo-morfismo, o mesmo valendo para o conjunto singular.

Considere F e f como na proposicao acima e G um desdobramento p-versal ar-parametros de g = Gu0 em t1. Suponha que f e g tem singularidade Ak, k ≥ 1,em t0 e t1, respectivamente. Entao (t0, x0) ∈ SF e (t1, u1) ∈ SG. Pela proposicaoanterior, existem vizinhancas U de (t0, x0) e V de (t1, u1) em R×Rr tais que SF ∩Ue SG ∩ V sao r-variedades parametrizadas.

Proposicao 12 ([4], p. 143 ou [1], p. 123) (Unicidade dos conjuntos singulare bifurcacao) Com as notacoes acima, as vizinhancas U e V podem ser escolhidastais que exista um difeomorfismo ϕ : U → V de forma que ϕ(t, x) = (a(t, x), b(x))onde a(t0, x0) = t1, b(x0) = u1 e

(i) ϕ(SF ∩ U) = SG ∩ V ;

(ii) b e um difeomorfismo de π(U) a π(V ), onde π e a projecao no espaco dosparametros, e b(BF ∩ π(U)) = BG ∩ π(V ).

Como BF e BG sao localmente difeomorfos, para F e G desdobramentos p-versaisa r-parametros de funcoes tendo singularidade do tipo Ak, entao, para estudarmospropriedades do conjunto bifurcacao de um desdobramento p-versal de uma funcaoreal com singularidade do tipo Ak, as quais sao preservadas por difeomorfismos,basta estudarmos BF sendo F desdobramento p-versal de tk+1. E claro que devemostomar r ≥ k − 1.

Exemplo 13 Desdobramentos p-versais de uma singularidade A2 (r ≥ 1)Para r = 1, como k = 2, tomamos f(t) = t3 e F (t, x) = t3 + xt. Os conjuntossingular e bifurcacao estao dados no Exemplo 9. Para r > 1 basta tomarmos F :R × Rr, (0, 0) → R dado por F (t, x) = t3 + x1t, o qual independe dos parametrosx2, ..., xr. Entao BF = BF×Rr−1 = 0×Rr−1. Assim, o conjunto bifurcacao de umdesdobramento p-versal a r-parametros de uma singularidade A2 e localmente umespaco linear de dimensao r − 1 em Rr e, portanto, e localmente difeomorfo a uma(r − 1)-variedade suave em Rr. A Figura 4 mostra a estrutura local dos conjuntosSF e BF de uma singularidade A2 com r = 1, 2, 3 (no caso r = 3 o conjunto SF naoe representado na figura por ser um subconjunto de R4).

Exemplo 14 Desdobramentos p-versais de uma singularidade A3 (r ≥ 2)Para r = 2, como k = 3, tomamos f(t) = t4 e F o desdobramento p-versal dadono Exemplo 10. Os conjuntos singular e bifurcacao sao dados naquele exemplo.Para r = 3, de modo analogo ao feito no exemplo anterior, podemos concluir que oconjunto bifurcacao e uma superfıcie chamada cuspidal edge (isto e, difeomorfa aoconjunto (x, y, z) ∈ R3; 4x3 + 27y2 = 0). A Figura 5 mostra as estruturas locaisde SF e BF de uma singularidade A3 com r = 2, 3 (no caso r = 3 o conjunto SF

nao e representado na figura por ser um subconjunto de R4).



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7


tt

x x

x

x

x

x

x

x

x

r = 1 r = 2

r = 3

SS

B

B

B

1

1 1

1 1

2

2

2

3

Figura 4: Conjunto singular e bifurcacao de uma singularidade A2.

t

x

x

1

2

B

r = 3

t

x

x

x

x

1

1

2

2

S

B

r = 2

Figura 5: Conjunto singular e birfucacao de uma singularidade A3.

Exemplo 15 Desdobramentos p-versais de uma singularidade A4 (r ≥ 3)Considere F : R× Rr, (0, 0) → R o desdobramento p-versal de f(t) = 1

5 t5 dado por

F (t, x) = 15 t

5 + x1t +12x2t

2 + 13x3t

3. Entao o conjunto bifurcacao e BF = x ∈Rr;∃t; t4 + x1 + x2t + x3t

2 = 4t3 + x2 + 2x3t = 0. Para r = 3 esse conjunto echamado de rabo de andorinha e e dado na Figura 6.

t

x

x

1

2

B

Figura 6: Conjunto bifurcacao de uma singularidade A4 (rabo de andorinha).



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8


2 Desdobramentos versais

Os resultados anteriores sao adaptados para o caso versal como segue.

Definicao 16 Seja G : R× Rs, (t0, y0) → R um desdobramento a s-parametros dafuncao g = Gy0. Considere

a : R× Rr, (t0, x0) → R, onde a(t, x0) = tb : Rr, x0 → Rs, y0, onde b(x0) = y0

,

em que a e b sao suaves. Entao o desdobramento F : R×Rr, (t0, x0) → R de g dadopor

F (t, x) = G(a(t, x), b(x))

e dito induzido de G. Se G e tal que todo desdobramento de g e induzido de G,entao G e chamado desdobramento versal de g em t0.

Teorema 17 ([4], p. 149) Seja g : R, 0 → R dada por g(t) = ±tk+1. Entao odesdobramento G : R× Rk, (0, 0) → R dado por

G(t, x) = ±tk+1 + xktk−1 + ...+ x2t+ x1

e um desdobramento versal de g em 0.

Teorema 18 ([4], p. 149) Seja F : R × Rr, (t0, x0) → R desdobramento de f :R, t0 → R, onde f tem singularidade do tipo Ak (k ≥ 1) em t0. Suponhamosque ∂F

∂xi(t0, x0) + jk−1( ∂F∂xi

(t, x0))(t0) = α0i + α1it + α2it2 + ... + α(k−1)it

k−1, parai = 1, ..., r. Entao F e versal se, e somente se, a matriz dos coeficientes (αji)(k)×r

tem rank k (isso requer que k ≤ r).

Exemplo 19 Consideremos o desdobramento a 4-parametros de f(t) = t4 em t0 =0 dado por F (t, x) = t4 + x1t

3 + x2t2 + x3t+ x4. Como f tem singularidade do tipo

A3 em 0,

∂F

∂x1(0, 0) + j2(

∂F

∂x1(t, 0))(0) = 0 ;

∂F

∂x2(0, 0) + j2(

∂F

∂x2(t, 0))(0) = t2;

∂F

∂x3(0, 0) + j2(

∂F

∂x3(t, 0))(0) = t ;

∂F

∂x4(0, 0) + j2(

∂F

∂x4(t, 0))(0) = 1

e ∂F∂xi

(0, 0) + j2( ∂F∂xi(t, 0))(0) = α0i + α1it+ α2it

2, i = 1, 2, 3, 4, entao a matriz (αji)dada no Teorema 18 e 0 0 0 1

0 0 1 00 1 0 0

,

a qual possui rank 3. Portanto, pelo Teorema 18, concluımos que F e um desdobra-mento versal de f em t0 = 0.

2.1 Conjunto zero e discriminante

Definicao 20 Seja F : R × Rr, (t0, x0) → R um desdobramento de f = Fx0. Oconjunto zero de F e o conjunto

MF = (t, x) ∈ R× Rr;F (t, x) = 0,

e o conjunto discriminante de F e o conjunto

DF = x ∈ Rr; ∃t ∈ R, onde F (t, x) =∂F

∂t(t, x) = 0.



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9


Proposicao 21 ([4], p. 150) Seja F um desdobramento versal a r-parametros def = Fx0 em t0. Se (t0, x0) ∈ MF entao existe uma vizinhanca U de (t0, x0) emR× Rr tal que MF ∩ U e uma r-variedade suave.

Considere F e f como na proposicao acima e G um desdobramento versal ar-parametros de g = Gu1 em t1, onde f e g tem singularidades Ak em t0 e t1,respectivamente. Se (t0, x0) ∈ MF e (t1, u1) ∈ MG entao, pela proposicao anteriorexistem vizinhancas U de (t0, x0) e V de (t1, u1) em R × Rr tais que MF ∩ U eMG ∩ V sao r-variedades suaves.

Proposicao 22 ([4], p. 150) (Unicidade dos conjuntos zero e discrimi-nante) Com as notacoes acima, as vizinhancas U e V podem ser escolhidas taisque existe um difeomorfismo ϕ : U → V dado por ϕ(t, x) = (a(t, x), b(x)), coma(t0, x0) = t1, b(x0) = u1 e

(i) ϕ(MF ∩ U) = MG ∩ V ;

(ii) b e um difeomorfismo de π(U) a π(V ), onde π e a projecao no espaco dosparametros, e b(DF ∩ π(U)) = DG ∩ π(V ).

Assim, como os conjuntos discriminantes de F e G sao localmente difeomorfos,para F e G desdobramentos versais a r-parametros de funcoes tendo singularidadedo tipo Ak, entao, para estudarmos propriedades do conjunto discriminante de umdesdobramento versal de uma funcao real com singularidade do tipo Ak, as quaissao preservadas por difeomorfismos, basta estudarmos DF , sendo F desdobramentoversal de tk+1.

Vejamos alguns exemplos. Note que agora requer-se que k ≤ r.

Exemplo 23 Desdobramentos versais de uma singularidade A1 (r ≥ 1)Seja F : R×Rr, (0, 0) → R o desdobramento versal de f(t) = t2 dado por F (t, x) =t2 + x1. Entao, os conjuntos discriminante DF sao os conjuntos bifurcacao de umasingularidade A2. Para r = 1 um ponto em R, para r = 2 uma reta em R2, parar = 3 um plano em R3 (ver Figura 4).

Exemplo 24 Desdobramentos versais de uma singularidade A2 (r ≥ 2)Seja F : R×Rr, (0, 0) → R o desdobramento versal de f(t) = t3 dado por F (t, x) =t3+x1+x2t. Entao, os conjuntos discriminante DF sao os conjuntos bifurcacao deuma singularidade A3. Para r = 2, uma cuspide em R2, para r = 3, uma cuspidaledge em R3 (ver Figura 5).

Exemplo 25 Desdobramentos versais de uma singularidade A3 (r ≥ 3)Seja F : R×Rr, (0, 0) → R o desdobramento versal de f(t) = t4 dado por F (t, x) =t4 + x1 + x2t + x3t

2. Entao, os conjuntos discriminante DF sao os conjuntos bi-furcacao de uma singularidade A4. Para r = 3 e a superfıcie rabo de andorinha emR3 (ver Figura 6).

3 Aplicacoes

Veremos nesta secao aplicacoes da teoria de desdobramentos no estudo da estruturalocal de alguns subconjuntos do espaco Euclidiano. Para tanto, encontramos umdesdobramento p-versal apropriado (resp., versal) cujo conjunto bifurcacao (resp.,discriminante) e o conjunto que queremos estudar. Dessa forma, encontrando adimensao do espaco de parametros e as condicoes para a funcao desdobrada ter sin-gularidade do tipo Ak, obtemos que o conjunto em questao e localmente difeomorfo



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a um daqueles apresentados nos Exemplos 13, 14 e 15 (respectivamente, Exemplos23, 24 e 25).

Denotamos o vetor tangente unitario em t de uma curva regular por T (t), ovetor normal por N(t) e por κ sua funcao curvatura.

3.1 Evoluta de uma curva plana

Seja γ : I → R2 uma curva regular com curvatura κ nao nula. Um ponto x de R2 edito centro de curvatura de γ em t se

x = γ(t) +1

κ(t)N(t).

O lugar geometrico dos centros de curvatura de γ e conhecido como evoluta de γ.Para propriedades de evolutas ver, por exemplo, [4, 6]. Dado t0 ∈ I temos:

(i) γ(t0) e dito vertice ordinario se, e somente se, κ(t0) = 0, κ′(t0) = 0 e κ′′(t0) =0;

(ii) γ(t0) e dito vertice maior se, e somente se, κ(t0) = 0, κ′(t0) = 0 e κ′′(t0) = 0;

(iii) γ(t0) e dito inflexao ordinaria se, e somente se, κ(t0) = 0 e κ′(t0) = 0;

(iv) γ(t0) e dito inflexao maior se, e somente se, κ(t0) = 0 e κ′(t0) = 0.

Podemos mostrar facilmente que a evoluta de γ e uma curva regular em t0 se,e somente, κ′(t0) = 0, ou seja, fora de vertices e de inflexoes maiores. Assim, foradesses pontos, a evoluta e localmente difeomorfa a um segmento de reta. Portanto,resta estudar a geometria local da evoluta nos pontos onde ela deixa de ser umacurva regular.

Na Figura 7 apresentamos uma elipse, a qual possui quatro vertices ordinarios,sua evoluta, possuindo quatro cuspides ordinarias, uma parabola, com um verticeordinario, e sua evoluta, com uma cuspide ordinaria. As cuspides sao pontos cor-respondentes aos vertices da curva. Sera que isso sempre ocorre? A resposta paraessa questao e dada na Proposicao 26.

Figura 7: Elipse, parabola e suas evolutas.

Seja γ : I → R2 parametrizada por comprimento de arco e consideremos aseguinte aplicacao:

F : I × R2 → RF (t, x) = (γ(t)− x)(γ(t)− x), (3.1.1)

conhecida como famılia de funcoes distancia ao quadrado de γ. Para cada x0 ∈ R2,F e um desdobramento a 2-parametros de f = Fx0 . Encontremos condicoes para fter singularidade A2 e A3 em t0. Em (t, x), temos:



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∂F

∂t= 0 ⇔ x = γ(t) + λN(t), para algum λ ∈ R;

∂F

∂t=

∂2F

∂t2= 0 ⇔ κ(t) = 0 e x = γ(t) +

1

κ(t)N(t);

∂F

∂t=

∂2F

∂t2=

∂3F

∂t3= 0 ⇔ κ(t) = 0 , x = γ(t) +

1

κ(t)N(t) e κ′(t) = 0.

Portanto, f tem singularidade A2 em t0 se, e somente se, x0 e centro de curvaturaem t0 e κ′(t0) = 0, isto e, γ(t0) nao e um vertice. Ainda mais, podemos verificarque f tem singularidade A3 em t0 se, e somente se, x0 e centro de curvatura em t0,κ′(t0) = 0 e κ′′(t0) = 0, o que implica que γ(t0) e um vertice ordinario.

Verifiquemos se F e desdobramento p-versal quando f tem singularidades A2

ou A3 em t0. Para existir um desdobramento p-versal temos que ter r ≥ k − 1.Como r = 2, devemos ter, portanto, k ≤ 3. Logo nao precisamos nos preocuparcom k ≥ 4, pois em tal situacao a funcao nunca sera desdobrada p-versalmente a2-parametros.

Suponhamos γ(t) = (X(t), Y (t)). Assim, F (t, x) = (X(t)− x1)2 + (Y (t)− x2)

2

e, alem disso,

j2(∂F

∂x1(t, x0))(t0) = −2(tX ′(t0) +

1

2t2X ′′(t0))

e

j2(∂F

∂x2(t, x0))(t0) = −2(tY ′(t0) +

1

2t2Y ′′(t0)).

Portanto, se f tem singularidade A2 em t0, a matriz dada no Teorema 6 e(−2X ′(t0) −2Y ′(t0)

)que tem rank 1, ja que γ e regular. Portanto, F e p-versal.

Se f tem singularidade A3 em t0, a matriz dada no Teorema 6 e(−2X ′(t0) −2Y ′(t0)−X ′′(t0) −Y ′′(t0)

)que e invertıvel, ja que o determinante e κ(t0), que e nao nulo, concluindo assimque F e um desdobramento p-versal de f = Fx0 .

Encontremos o conjunto singular e bifurcacao de F . Dos calculos das derivadasde F com relacao a t feitos acima, concluımos que conjunto singular e

SF = (t, γ(t) + λN(t)), λ ∈ R

e o conjunto bifurcacao e

BF = x ∈ R2; ∃t ∈ I; x = γ(t) +1

κ(t)N(t)

o qual e a evoluta de γ.Como aplicacao do estudo que fizemos, temos o seguinte resultado. Recordamos

que uma cuspide ordinaria em R2 e uma curva difeomorfa a (t2, t3).

Proposicao 26 ([4], p. 161) Seja γ : I → R2 uma curva parametrizada regularcom curvatura nao nula e x um ponto da evoluta de γ correspondente ao valor deparametro t. Entao, localmente em x, a evoluta e

(i) difeomorfa a uma reta em R2, se a curva nao possui um vertice em t;



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(ii) difeomorfa a uma cuspide ordinaria em R2, se a curva tem um vertice or-dinario em t.

Demonstracao: Podemos supor γ parametrizada por comprimento de arco. Seja Fa famılia de funcoes distancia ao quadrado dada na equacao (3.1.1) e x ∈ R2 pontoda evoluta de γ em t.

Suponhamos que γ(t) nao e um vertice. Entao f = Fx tem singularidade A2 emt. Como F e desdobramento p-versal de f , segue da Proposicao 12 que o conjuntobifurcacao de F (e, portanto, a evoluta de γ) e localmente difeomorfo ao conjuntobifurcacao de um desdobramento p-versal de g(t) = t3, a qual e uma reta em R2

(conforme Exemplo 13).Se γ(t) e um vertice ordinario, entao f = Fx tem singularidade A3 em t e, com

os mesmos argumentos anteriores, tomando g(t) = t4 e o Exemplo 14, concluımosque a evoluta de γ e localmente difeomorfa a uma cuspide ordinaria em R2. 2

Observamos que em um vertice de ordem maior nao podemos deduzir nada como metodo acima. No entanto, genericamente, todo vertice e ordinario (ver [4], pag.235, ou [2, 3] para propriedades genericas de curvas planas e espaciais).

3.2 Paralelas de uma curva plana

Sejam γ : I → R2 uma curva parametrizada regular e d um numero real fixado. Acurva α : I → R2 definida por α(t) = γ(t) + dN(t) e chamada paralela a γ a umadistancia d.

Podemos mostrar facilmente que α e regular em t se, e somente se, α(t) nao ecentro de curvatura de γ em t, ou seja, nao pertence a evoluta de γ em t (ver Figura8). Portanto, para concluirmos sobre a geometria local de α basta estudarmos navizinhanca de centros de curvatura de γ. Para propriedades de paralelas, ver [4, 6].

Figura 8: Paralelas e evoluta da parabola

Para provarmos a proposicao que enunciaremos usamos o Teorema de Sard, oqual recordamos seu enunciado abaixo. Para sua demonstracao recomendamos [7]ou [8].

Teorema 27 (Sard) Seja f : U ⊂ Rn → Rp uma aplicacao suave, sendo U umaberto de Rn. Entao o conjunto dos valores crıticos de f tem medida nula.

Proposicao 28 ([4], p. 168) Seja γ : I → R2 uma curva parametrizada regular.



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13


(i) Se γ nao tem um vertice em t, entao a paralela a γ pelo centro de curvaturaem t tem uma cuspide ordinaria nesse ponto.

(ii) A paralela a γ a uma distancia d, para quase todo d, tem somente singulari-dades cuspides ordinarias.

Demonstracao: (i) Podemos supor γ parametrizada por comprimento de arco. SejaF : I × R2 → R dado por

F (t, x) = (x− γ(t))(x− γ(t))− r2,

onde r > 0.Calculando a derivada de F em relacao a t, concluımos que o conjunto discrimi-

nante de F eDF = x ∈ R2;x = γ(t)± rN(t),

sendo, portanto, a uniao das paralelas a γ a uma distancia r e −r.Encontremos condicoes para a funcao desdobrada f = Fx ter singularidade A2

em t, sendo este valor de parametro correspondente a x ∈ DF . Sejam x0 ∈ DF e t0correspondente a x0. Temos:

∂2F

∂t2(t0, x0) = 0 ⇔ x0 = γ(t0) +

1

κ(t0)N(t0) e r =

1

|κ(t0)|,

sendo, portanto, essas as condicoes para Fx0 ter singularidade A≥2 em t0.Calculando a terceira derivada de F em relacao a t e supondo que Fx0 tem

singularidade A≥2 em t0, temos

∂2F

∂t2(t0, x0) = −2

κ′(t0)

κ(t0)= 0 ⇔ κ′(t0) = 0.

Concluımos assim que Fx0 tem singularidade A2 em t0 se, e somente se, x0 =γ(t0)± 1

κ(t0)N(t0), r = 1

|κ(t0)| e κ′(t0) = 0.Supondo que Fx0 tem singularidade A2 em t0, mostremos agora que F e desdo-

bramento versal de Fx0 . Considere γ(t) = (X(t), Y (t)) e x = (x1, x2). Desse modo,podemos escrever F da seguinte forma: F (t, x1, x2) = (x1−X(t))2+(x2−Y (t))2−r2.Calculando as derivadas de F em relacao a x1 e x2, obtemos

∂F

∂x1(t, x) = 2(x1 −X(t));

∂F

∂x2(t, x) = 2(x2 − Y (t)).

Assim, supondo x0 = (a, b), a matriz dada no Teorema 18 e(2(a−X(t0)) 2(b− Y (t0))−2X ′(t0) −2Y ′(t0)

),

cujo determinante e igual a 4(x0 − γ(t0))N(t0) = ± 4κ(t0)

= 0 uma vez que f = Fx0

tem singularidade A2 em t0. Portanto, F e desdobramento versal de f = Fx0 em t0.Consequentemente, usando a Proposicao 22 e o Exemplo 24, concluımos que em

tais condicoes (x0 e centro de curvatura e κ′(t0) = 0) o conjunto discriminante deF tem uma cuspide ordinaria em x0, ou seja, a paralela de γ (DF ), que passa pelocentro de curvatura em t0 (x0), tem uma cuspide ordinaria em tal ponto, desde queγ nao possua um vertice em t0.

(ii) Seja α : I → R2 a paralela de γ a uma distancia d e seja A o conjunto detodos d ∈ R, tais que d = 0 e 1

d nao e valor crıtico da funcao curvatura de γ. PeloTeorema de Sard, R−A tem medida nula.



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14


Seja d ∈ A. Para concluir a proposicao basta mostrarmos que a paralela a γ quedista d, tem somente cuspides ordinarias.

Se 1/d pertence a imagem de κ, ou seja, se existe t0 ∈ I tal que κ(t0) =1d entao

κ′(t0) = 0, ou seja, γ nao tem um vertice em t0. Logo, pelo item (i), a paralela a γque dista d = 1

κ(t0)tem uma cuspide ordinaria em x = γ(t) + dN(t).

Se 1/d nao pertence a imagem de κ, ou seja, se d = 1κ(t) para todo t ∈ I, entao

α′(t) = T (t) + dN ′(t) = (1− dκ(t))T (t) = 0, ou seja, a paralela a γ que dista d naotem nenhuma singularidade. 2

3.3 Superfıcie paralela de uma curva plana

Seja γ : I → R2 uma curva parametrizada regular com curvatura nao nula. Chamamosde superfıcie paralela de γ ao subconjunto S de R3 dado por

S = (x, r) ∈ R2 × R∗+; ∃t ∈ I tal que x = γ(t)± rN(t).

Logo, S consiste de todas as curvas paralelas a γ empilhadas na forma de umaou duas superfıcies em R3. Se (x, r) ∈ S e t e tal que x = γ(t)± rN(t), dizemos quet e correspondente a (x, r). A Figura 9 mostra o cırculo unitario e algumas paralelas(a esquerda), e sua superfıcie paralela S (a direita).

Figura 9: O cırculo unitario e a sua superfıcie paralela S

Com as notacoes acima, temos:

Proposicao 29 ([4], p. 169) Sejam (x, r) ∈ S e t correspondente a (x, r). EntaoS e, numa vizinhanca de (x, r), difeomorfo a:

(i) um plano, se x nao e centro de curvatura de γ em t;

(ii) uma cuspidal edge, se x e centro de curvatura em t, r = 1|κ(t)| e γ nao tem

vertice em t;

(iii) um rabo de andorinha, se x e centro de curvatura em t, r = 1|κ(t)| e γ tem um

vertice ordinario em t.

Demonstracao: Consideremos a aplicacao G : I × R2 × R∗+ → R dado por

G(t, x, r) = (x− γ(t))(x− γ(t))− r2.

Podemos mostrar facilmente que o conjunto discriminante de G e a superfıcieparalela S de γ. Procuramos por condicoes para que a funcao desdobrada g = G(x,r)

tenha singularidade A1, A2 ou A3 em t.Sejam (x0, r0) ∈ DG e t0 correspondente a (x0, r0). Entao, para g = G(x0,r0),

podemos mostrar que:

• g tem singularidade A1 em t0 se, e somente se, x0 = γ(t0)+λN(t0) e λ = 1κ(t0)

;



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15


• g tem singularidade A2 em t0 se, e somente se, x0 = γ(t0)− 1κ(t0)

N(t0), κ′(t0) =

0 e r0 =1

|κ(t0)| ;

• g tem singularidade A≥3 em t0 se, e somente se, x0 = γ(t0) − 1κ(t0)

N(t0),

κ′(t0) = 0, κ′′(t0) = 0 e r0 =1

|κ(t0)| .

Encontremos condicoes para G ser desdobramento versal de g em cada um doscasos de singularidade de g em t0. Para isso, considere γ(t) = (X(t), Y (t)), x =(x1, x2) e x0 = (a, b). Logo, G(t, x1, x2, r) = (x1 −X(t))2 + (x2 − Y (t))2 − r2.

Em (t, x1, x2, r), temos:

∂G

∂x1= 2(x1 −X(t));

∂G

∂x2= 2(x2 − Y (t));

∂G

∂r= −2r.

Se g tem singularidade A1 em t0, entao a matriz dada no Teorema 18 e(2(a−X(t0)) 2(b− Y (t0)) −2r0

),

a qual tem o menor −2r0 nao nulo, ja que r0 = 0. Portanto, G e desdobramentoversal de g em t0.

Se g tem singularidade A2 em t0, entao a matriz dada no Teorema 18 e(2(a−X(t0)) 2(b− Y (t0)) −2r0

2X ′(t0) 2Y ′(t0) 0

),

a qual tem a submatriz de ordem 2(2(a−X(t0)) 2(b− Y (t0))

2X ′(t0) 2Y ′(t0)

)com determinante nao nulo, como feito na demonstracao da Proposicao 28. Por-tanto, G e desdobramento versal de g em t0.

Se g tem singularidade A3 em t0, entao a matriz dada no Teorema 18 e 2(a−X(t0)) 2(b− Y (t0)) −2r02X ′(t0) 2Y ′(t0) 0X ′′(t0) Y ′′(t0) 0

,

cujo determinante e

4r0(−X ′(t0)Y′′(t0) + Y ′(t0)X

′′(t0)) = 4r0T (t0)N′(t0) = −4r0κ(t0) = 0.

Portanto, G e desdobramento versal de g em t0.Consequentemente, o resultado segue da Proposicao 22 e dos Exemplos 23, 24 e

25. 2

Observamos que podemos definir a superfıcie paralela de uma superfıcie regularde maneira similar a definicao para curvas e estudar sua estrutura local usando omesmo raciocınio que feito acima. Ver [5].

Referencias

[1] BROCKER, Th. e LANDER, L., Differentiable Germs and Catastrophes, Lon-don Math. Soc. Lecture Note Series, 17, cambridge University Press, 1975.



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[2] BRUCE, J. W., Isotopies of generic plane curves, Glasgow Math. J., 24 (1983)195-206.

[3] BRUCE, J. W. e GIBLIN, P. J., Generic isotopies of space curves, GlasgowMath. J., 29 (1987) 41-63.

[4] BRUCE, J. W. e GIBLIN, P. J., Curves and Singularities: a geometrical in-troduction to singularity theory. 2nd. ed. Cambridge University Press, 1992.

[5] FUKUI, T. e HASEGAWA, M., Singularities of parallel surfaces. Preprint 2012.

[6] GIBSON, C. G., Elementary Geometry of Differentiable Curves: an Under-graduate Introduction, Cambridge University Press, 2001.

[7] HIRSCH, M. W., Differential Topology, Graduate Texts in Math. 33, Springer-Verlag, New York, 1976.

[8] MILNOR, J. W., Topology from the Differentiable Viewpoint, The UniversityPress of Virginia, Charlottesville, 1965.



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Algumas consideracoes sobre homotopia∗

Jessica Cristina Rossinati Rodrigues da Costa †

Maria Gorete Carreira Andrade ‡

Resumo

A Topologia Algebrica pode, intuitivamente, ser definida como sendo oestudo de tecnicas para conseguir, atraves de funtores, imagens algebricas de espacostopologicos. Geralmente, estas imagens sao grupos e as funcoes contınuasentre os espacos topologicos sao projetadas sobre homomorfismos entre grupos.Ou seja, dado um espaco topologico X associamos a ele um grupo G(X) e dadauma funcao contınua f : X → Y associamos a essa funcao um homomorfismo degrupos G(f) : G(X) → G(Y ) satisfazendo algumas propriedades funtoriais. Comisso, pode-se resolver problemas da Topologia atraves da Algebra. Neste trabalho,apresentamos algumas consideracoes sobre dois dos principais funtores da Topolo-gia Algebrica, o grupo fundamental π1(X) e a homologia singular H∗(X). Antesde dar as definicoes formais, apresentamos uma ideia intuitiva sobre o que me-dem, em termos topologicos, esses dois funtores. Depois de apresentarmos a ideiaintuitiva, formalizaremos as definicoes e apresentaremos alguns resultados sobreestes grupos, dentre eles o Teorema de Hurewicz, que relaciona π1(X) e H1(X), cujasdemonstracoes podem ser encontradas nas referencias. Apresentamos tambemalguns exemplos e aplicacoes dos resultados.

Palavras Chave: Homologia Singular, Grupo fundamental, Teorema de Hurewicz.

Introducao

Um dos mais simples e mais importantes funtores da Topologia Algebrica eo grupo fundamental, denotado por π1(X,x0), o qual cria uma imagem algebricado espaco de lacos (caminhos fechados) em um espaco X, baseados em um pontox0 ∈ X, usando a ideia de homotopia de caminhos. Quando o espaco X e conexo porcaminhos esse grupo e denotado simplesmente por π1(X).

O grupo fundamental π1(X, x0) e especialmente util quando estudamos espacosde dimensao baixa. Em vista disso, necessitamos de uma ferramenta para lidar comespacos com dimensoes mais altas. Existem grupos definidos de maneira similarao grupo fundamental, chamados grupos de homotopia superiores e denotados por

∗Este trabalho e resultante do projeto de iniciacao cientıfica financiado pela FAPESP, Processo no

2011/21268-6, sob orientacao da Profa. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade.†E.mail: [email protected] - Aluna do curso de bacharelado em Matematica, IBILCE-

UNESP-S.J.Rio Preto-SP-Brasil.‡E.mail: [email protected] - Departamento de Matematica - IBILCE-UNESP-S.J.Rio Preto-SP-

Brasil.

COSTA, J. C. R.; ANDRADE, M. G. C. Algumas considerações sobre homotopia e homologia.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664jcrrcmgca1831 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 18-31, dez. 2013.C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de

e homologia

πn(X, x0) que podem ser usados para tratar espacos de dimensoes maiores. Maseles sao extremamente difıceis de calcular. Felizmente, existe uma alternativa maisfacil de computar: os grupos de homologia Hn(X).

Existem diversas maneiras de se calcular grupos de homologia. Por exemplo,usando, quando possıvel, triangulacoes do espaco (obtendo os grupos de homologiasimplicial) ou, tambem quando possıvel, usando decomposicoes celulares do espaco(obtendo os grupos de homologia celular). Mais geralmente, para se calcular osgrupos de homologia, podemos trabalhar com funcoes contınuas definidas emcertos subespacos do Rn, chamados de simplexos padrao, com contradomınio X,obtendo, atraves dessas funcoes, os grupos de homologia singular, que de certaforma, generaliza os outros dois tipos de grupos de homologia citados.

Neste trabalho, apresentamos na secao 1, de forma intuitiva, uma ideia da homo-topia e do grupo fundamental. Na secao 2 tratamos de forma heurıstica o que vema ser a homologia de um espaco X. Veremos que esses grupos estao relacionadoscom o numero de “buracos”n-dimensionais de X, n ≥ 1. Na secao 3 formalizamosas definicoes desses grupos e na secao 4 apresentamos alguns resultados bastanteimportantes da teoria, dentre eles o Teorema de Hurewicz, que fornece uma relacaoentre π1(X) e H1(X).

Observamos que, intuitivamente, dizer que um espaco X tem um buracon-dimensional e dizer que X possui alguma imagem de uma esfera Sn dada poruma aplicacao contınua f : Sn → X, que nao pode ser deformada em um ponto.

Observamos tambem que, este trabalho nao tem como proposito demonstrarresultados que se encontram nas referencias. Assim vamos omitir a maioria dasdemonstracoes. O objetivo principal deste trabalho e apresentar ao leitor umaideia do que vem a ser a homotopia (em termos de homotopia de caminhos) ea homologia (principalmente o grupo H1(X)), mostrando algumas similaridades ediferencas entre as duas teorias.

1 A ideia da homotopia em termos do grupo

fundamental

O grupo fundamental de um espaco X, denotado por π1(X, x0), pode ser definidode modo que seus elementos sao lacos (caminhos fechados) em X, comecando eterminando em um determinado ponto base fixo x0 ∈ X, mas dois tais lacos saovistos como determinando o mesmo elemento do grupo fundamental se um laco podeser deformado continuamente no outro dentro do espaco X.

Se X e conexo por caminhos e todo laco em X pode ser deformado continua-mente em um ponto, dizemos que X e simplesmente conexo, e neste caso o grupofundamental π1(X,x0) e trivial. Exemplos de espacos simplesmente conexos sao oespaco Rn e a esfera Sn, n > 1.



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O grupo fundamental mede o quao longe um espaco esta de ser simplesmenteconexo. Se um laco nao pode ser deformado continuamente em um ponto e porqueha um “buraco”atrapalhando. O grupo fundamental mede, de certa forma, o com-portamento desses buracos, que chamamos de buracos 1-dimensionais.

Se a e um laco baseado em x0, o elemento do grupo fundamental (ou seja aclasse dessse laco) sera denotado por [a].

Por exemplo, considere a circunferencia S1. Atraves de um ponto x0 ∈ S1,obtemos lacos baseados em x0, no sentido anti-horario, sobre a circunferencia. Sejaα a classe do laco a que da exatamente uma volta na circunferencia. Se um laco bnao completar uma volta podemos “deformar”continuamente este laco no proprioponto base, ou seja, [b] = [x0] = 1 = α0.

Agora, todo laco que der uma volta e menos que duas, pode ser deformadocontinuamente no laco a que da uma unica volta. Essa classe de lacos e α = α1.Podemos aplicar o raciocınio inumeras vezes, encontrando as classes α2, α3,... eassim por diante. Para lacos com sentido negativo, ou seja, sentido horario ,definimos novas classes de equivalencia α−1, α−2,... de modo analogo ao vistoanteriormente. Sendo assim, podemos concluir intuitivamente que

π1(S1) = ..., α−3, α−2, α−1, α0, α, α2, α3, ... = αn|n ∈ Z ' Z.

Num outro exemplo, considere o espaco X formado por duas circunferencias Ae B tangentes, sendo x0 o ponto de intersecao dessas duas circunferencias. Seja ao laco que percorre uma unica vez a circunferencia A e seja b o laco que percorreuma unica vez a circunferencia B.

Considere α = [a] e β = [b]. Usando o mesmo raciocınio anterior, cada produto depotencias de a e b (de acordo com o numero de voltas na circunferencia) forneceum elemento distinto de π1(X). Por exemplo, o produto a3.b2.a−2.b e o laco que datres voltas ao redor de A, duas voltas ao redor de B, duas voltas em A no sentidooposto e finalmente uma volta em B. Temos α3.β2.α−2.β = [a3.b2.a−2.b] ∈ π1(X).

O conjunto de todas as sequencias como esta, consistindo de potencias de α e β(e denominadas palavras) forma um grupo nao abeliano usualmente denotado porZ ∗ Z e chamado de grupo livre com dois geradores α e β.

Dos exemplos apresentados, verificamos que o numero de geradores do grupofundamental esta relacionado ao numero de buracos 1-dimensionais de X. Porexemplo, o espaco Rn e a esfera Sn, n > 1 nao tem buracos 1-dimensionais e assim



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π1(Rn) = π1(Sn) = 1. O cırculo unitario S1 tem um buraco 1-dimensional e istoe refletido no fato que o grupo fundamental de S1 tem um gerador. Ja a figura oitotem dois buracos 1-dimensionais e o grupo fundamental tem dois geradores.

2 A ideia da homologia

A motivacao original para definir grupos de homologia e observar que espacostopologicos (em particular variedades) sao distinguidos pelos seus “buracos”n-dimensionais. Em termos heurısticos, o tamanho e a estrutura de Hn(X) nosda informacao sobre o numero e o tipo de buracos n-dimensionais em X.

Para definir os grupos de homologia usamos aplicacoes contınuas, cuja imagemesta em X, definidas em um subespaco do Rn, denotado por σn que e homeomorfoa In, onde I e o intervalo [0,1] da reta. Essas aplicacoes φ : σn → X sao chamadasde n-simplexos singulares.

Por exemplo, seja X o espaco formado de tres caminhos a, b e c ligando osvertices x e y, conforme mostra a figura.

Podemos obter outros caminhos em X fazendo justaposicao dos caminhos a, b e ccom os caminhos inversos −a, −b e −c. Um caminho (1-simplexo) que sai de umvertice e no final volta no mesmo vertice e chamado de 1-ciclo. Por exemplo: a− be c − b sao 1-ciclos. Todo 1-ciclo que nao e bordo (fronteira) de um subespaco dedimensao 2 (que podemos chamar de 2-simplexo ou de uma combinacao linear de2-simplexos), fornece um elemento nao nulo em homologia. Isto significa que o1-ciclo circunda um “buraco” 1-dimensional do espaco.

No espaco em questao temos dois 1-ciclos que sao geradores de H1(X). Ouseja, H1(X) =< a − b, c − b >' Z ⊕ Z. Entao, H1(X) tem 2 geradores e X tem2 buracos 1-dimensionais. Como nao ha buracos n-dimensionais, n ≥ 2, temosHn(X) = 0, n ≥ 2.

Considere agora o seguinte espaco X dado pela figura:

x

y

a b cσ



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Neste espaco temos um 1-ciclo z = (c− b) que nao e bordo e assim fornece umgerador em H1(X). O 1-ciclo (a − b) e bordo do 2-simplexo σ. Assim esse ciclofornece a classe nula em H1(X) e temos H1(X) =< c− b >' Z. Como X nao temburacos de dimensoes maiores, temos Hn(X) = 0, n ≥ 2.

Seguindo essa ideia da homologia medir, de certo modo, o “numero deburacos” n-dimensionais de X, considerando agora a esfera S2 vemos que o unicoburaco que esse espaco possui e um “buraco”2-dimensional e assim temos H2(S2) =Z e Hk(S2) = 0 para k 6= 2, k > 1.

Agora, se considerarmos o toro T2,

vemos que este espaco possui dois “buracos” 1-dimensionais, determinados peloscaminhos α e β e um “buraco” 2-dimensional (a parte interna, que e oca, dotoro). Assim, pode-se concluir intuitivamente que, H1(T2) = Z⊕ Z, H2(T2) = Z eHk(T2) = 0 para k > 2.

3 Formalizando as definicoes

3.1 O grupo Fundamental

Nesta secao formalizamos a definicao do grupo fundamental de um espaco X.Para maiores detalhes ver [1] e [4].

Definicao 1 Um caminho em X e uma aplicacao contınua α : I → X, onde Idenota o intervalo [0, 1] da reta. Os pontos α(0) = x0 e α(1) = x1 sao chamadosde ponto final e ponto inicial do caminho, respectivamente. Se α : I → X e umcaminho com α(0) = α(1) = x0 dizemos que α e um laco baseado em x0.

Definicao 2 Sejam α e β caminhos em X tais que α(0) = x0, α(1) = β(0) = x1

e β(1) = x2. O caminho produto α ∗ β e o caminho definido por α ∗ β : I → X talque:

(α ∗ β)(t) =

α(2t), se 0 ≤ t ≤ 12

β(2t− 1), se 12 ≤ t ≤ 1

Definicao 3 Dois caminhos α, β : I → X com mesmo ponto inicial x0 e mesmoponto final x1 sao homotopicos (notacao: ∼) se existe uma funcao contınuaH : I × I → X tal que

H(t, 0) = α(t); H(t, 1) = β(t), ∀t ∈ IH(0, s) = x0; H(1, s) = x1,∀s ∈ I



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22


s

t

I Ix

x0

x1

a(t)

b(t)

H(t,s)H

Observacao 1 (i) A relacao de homotopia de caminhos e uma relacao de equivalenciae denotamos por [α] a classe de homotopia de um caminho α : I → X. Assim,

[α] = β : I → X|β ∼ α.(ii) Na figura abaixo, α pode ser deformado continuamente em γ, mas α nao podeser deformado continuamente em β.

x0

a

x1

b

g

A IR2

Sejam Ω(X,x0) = α : I → X | α e um laco baseado em x0 e π1(X, x0) =Ω(X,x0)/ ∼ = [α] | α e um laco baseado em x0.

Dados [α], [β] elementos de π1(X,x0), definimos em π1(X, x0) a operacao

[α].[β] := [α ∗ β].

Essa operacao fornece uma estrutura de grupo em π1(X,x0) (ver [1]). O elementoneutro de π1(X, x0) e a classe de homotopia do caminho constante em x0, denotadopor 1 = [cx0 ] e o inverso de um elemento [α] ∈ π1(X,x0) e a classe [α]−1 = [α−1],onde α−1 : I → X, definido por α−1(t) = α(1− t), e o caminho inverso de α.

O grupo π1(X, x0) e chamado de grupo fundamental de X com pontobase x0.

Observacao 2 Geralmente, o grupo fundamental e um grupo nao abeliano.

Se o espaco topologico X e conexo por caminhos, o grupo fundamental independedo ponto base considerado, como mostra o seguinte resultado.

Teorema 1 (Independencia do Ponto Base) Sejam X um espaco conexo porcaminhos e x0, x1 ∈ X. Entao, π1(X, x0) e isomorfo a π1(X,x1). Neste caso,denotamos π1(X, x0) simplesmente por π1(X).

Demonstracao: Ver por exemplo [1], Proposicao 2.10. 2

Definicao 4 Seja h : X → Y uma aplicacao contınua com h(x0) = y0 e sejaα : I → X um laco baseado em x0. O caminho h α : I → Y e um laco baseadoem y0. Definimos h# : π1(X, x0) → π1(Y, y0) por h#([α]) = [h α]. A aplicacao h#

esta bem definida e e um homomorfismo chamado de homomorfismo induzidopor h, relativo ao ponto base x0.

O calculo explıcito do grupo fundamental nao e simples e requer ferramentaspoderosas, como por exemplo o Teorema de Van-Kampem, o qual nao trataremosaqui. Apenas usando a ideia intuitiva vista na secao 2, temos os seguintes exemplos:



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Exemplo 1 (a) Se X e um espaco com um unico ponto entao π1(X) = 1.(b) Considere o espaco Rn, n ≥ 1. Temos π1(Rn) = 1.(c) Considere a esfera Sn. Temos π1(Sn) =

Z se n = 1,1 se n > 1.

(d) Se X e a uniao de duas circunferencias tangentes, ou seja, a figura oito, entaoπ1(X) = Z ∗ Z.

3.2 Os grupos de Homologia Singular

Nesta secao apresentamos a definicao dos grupos de homologia singular. Paramaiores detalhes ver [3].

Seja p um inteiro positivo e considere o subespaco de Rp+1 dado por

σp = (t0, t1, ..., tp) ∈ Rp+1 |∑

ti = 1 e ti ≥ 0 ∀i.

O subconjunto σp e chamado de p-simplexo padrao do Rp+1 com vertices

x0 = (1, 0, ..., 0), x1 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., xp = (0, ..., 0, 1).

e ordem natural.

Definicao 5 Seja X um espaco topologico. Um p-simplexo singular em X e umafuncao contınua φp : σp → X , sendo σp o p-simplexo padrao.

Exemplo 2 Um 0-simplexo singular

φ0 : σ0 = 1 → X

e uma aplicacao constante. Para cada ponto de X temos um 0-simplexo singular.Assim, podemos identificar os 0-simplexos singulares com suas imagens que saopontos de X.

Considere agora um 1-simplexo singular

φ1 : σ1 → X.

Como σ1 ' [0, 1] ⊂ R, podemos identificar os 1-simplexos singulares em X com oscaminhos em X.

Definicao 6 Seja i ∈ N com 0 ≤ i ≤ p. A i-esima face de um p-simplexo padrao eo conjunto

(t0, t1, ..., tp) ∈ σp | ti = 0que pode ser visto com um (p-1)-simplexo padrao. A aplicacao F i

p : σp−1 → σp

definida por F ip(x0, ...xp−1) = (x0, ..., xi−1, 0, xi, ..., xp−1) e a inclusao da i-esima

face em σp.

Definicao 7 Seja φ : σp → X um p-simplexo singular. Denotemos por φ(i) acomposta φ F i

p. φ(i) : σp−1 → X e um (p-1)-simplexo singular chamado dei-esima face do p-simplexo singular φ.

Definicao 8 Seja X um espaco topologico, definimos Sn(X) como sendo o grupoabeliano livre gerado pelos n-simplexos singulares de X. Um elemento c de Sn(X)e chamado de n-cadeia singular de X e tem a forma c =

∑

φ

nφ.φ, onde nφ e um

inteiro, igual a zero para todo, exceto para um numero finito de φ′s.



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Observacao 3 O grupo abeliano livre Sn(X) e isomorfo a uma soma direta decopias de Z. Isto e, para cada n ∈ N,

Sn(X) =⊕

φ

< φ >'⊕

φ

Z.

Definicao 9 Seja ∂p : Sp(X) → Sp−1(X) definido nos geradores por

∂p(φ) =p∑

i=0

(−1)iφ(i) =p∑

i=0

(−1)i(φ F ip)

nos geradores e estendido por linearidade. A aplicacao ∂p e um homomorfismochamado de operador bordo.

Exemplo 3 Se φ e um 1-simplexo entao, como visto anteriormente, φ pode servisto como um caminho ligando os pontos φ(1, 0) = x0 e φ(0, 1) = x1. Daı ∂1(φ) =x1 − x0. Se x0 = x1 entao φ pode ser identificado com um laco em X e ∂1(φ) =x0 − x0 = 0.

Podemos construir entao uma sequencia

S∗(X) : . . .∂p+1→ Sp(X)

∂p→ . . .∂1→ S0(X) ∂0→ 0 (∗).

Pode-se mostrar que para cada p > 0 tem-se ∂p−1 ∂p = 0 e assim Im∂p+1 ⊂ ker ∂p.A sequencia (∗) e chamada de complexo de cadeias singulares associado ao espaco X.

Definicao 10 Dizemos que um elemento c ∈ Sn(X) e um n-ciclo se ∂n(c) = 0 eum elemento d ∈ Sn(X) e um n-bordo se existe e ∈ Sn+1(X) tal que d = ∂n+1(e).O grupo abelianos Zn(X) := Ker∂n = c ∈ Sn(X) | c e um n-ciclo e chamado degrupo dos n-ciclos de X e o grupo Bn(X) := Im∂n+1 =d ∈ Sn(X) | d e um n-bordo e chamado de grupo dos n-bordos de X.

Definicao 11 Seja X um espaco topologico. Com as notacoes anteriores, paracada n ∈ N o grupo quociente

Hn(X) :=ker ∂n

Im∂n+1=

Zn(X)Bn(X)

e chamado de n-esimo grupo de homologia singular de X.

Observacao 4 (i) Hn(X) e um grupo abeliano que mede intuitivamente os n-ciclosem X que nao sao n-bordos. O elemento neutro de Hn(X) sera denotado por 0.(ii) Um elemento de Hn(X) e a classe de homologia de um n-ciclo c ∈ Sn(X),denotada por c.

Considere agora um espaco conexo por caminhos. Como quaisquer dois pontosde X (0-simplexos singulares) sao ligados por um caminho (1-simplexo singular),pode-se mostrar o seguinte resultado:

Teorema 2 Se X e um espaco topologico conexo por caminhos, entao H0(X) ≈ Z.



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Demonstracao: Ver [3], Proposicao 1.4. 2

Sejam f : X → Y e uma funcao contınua e φ um p-simplexo singular de X.Definimos um p-simplexo singular f](φ) em Y por f](φ) = fo φ. Para cada n, istose estende de maneira unica para um homomorfismo f] : Sn(X) −→ Sn(Y ) definidopor f](

∑

φ

nφ.φ)0 =∑

φ

nφ.(f φ). Considere o diagrama:

Sn(X)f] //

∂X

²²

Sn(Y )

∂Y

²²Sn−1(X)

f]

// Sn−1(Y )

Temos ∂Yi (f φ) = f (∂X

i (φ)) e assim f](Zp(X)) ⊂ Zp(Y ) e f](Bp(X)) ⊂ Bp(Y ).Nessas condicoes temos a seguinte definicao:

Definicao 12 Seja f : X → Y e uma funcao contınua. Para cada p ∈ Z, aaplicacao f∗p : Hp(X) −→ Hp(Y ), definida nos p-ciclos por f∗p(c) = f](c) e chamadade homomorfismo induzido por f em Hp.

Assim como no caso do grupo fundamental, para se computar os grupos dehomologia singular de um espaco X sao necessarias ferramentas, tais como oTeorema de Mayer-Vietoris, que nao trataremos aqui. De acordo com as ideiasintuitivas sobre os grupos de homologia apresentadas na secao 3 e usando tambemo Teorema 2, temos os seguintes exemplos.

Exemplo 4 (a) Se X e um espaco com um unico ponto entao

Hk(X) =

Z, se k = 0;0, se k 6= 0.

(b) Considere a esfera Sn. Temos

Hk(Sn) =

Z, se k = 0, n;0, se k 6= 0, n.

(c) Considere o toro T2.

Hk( T2) =

Z, se k = 0, 2;Z⊕ Z se k = 1;0 se k > 2.

4 Invariancia homotopica e topologica e a

relacao entre π1 e H1

Nesta secao veremos que o grupo fundamental e os grupos de homologia saoinvariantes homotopicos (e consequentemente topologicos). Tambem estudaremosa relacao entre o grupo fundamental π1(X) e o grupo de homologia H1(X). Comisso, podemos observar melhor algumas similaridades e diferencas entre esses grupos.Maiores detalhes podem ser encontrados em [1] ou [4].



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4.1 Invariancia homotopica e topologica

Primeiramente, recordemos algumas definicoes.

Definicao 13 Sejam f, g : X → Y aplicacoes contınuas. Dizemos que f ehomotopica a g (denotamos por f ∼ g) se existe uma aplicacao contınuaF : X × I −→ Y tal que F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x), ∀x ∈ X onde I = [0, 1].A relacao ∼ e uma relacao de equivalencia.

Definicao 14 Uma aplicacao contınua f : X → Y e chamada de equivalencia dehomotopia se existe uma aplicacao contınua g : Y → X tal que g f e homotopicaa identidade iX de X e f g e homotopica a identidade iY de Y. A aplicacao ge chamada de inversa homotopica para a aplicacao f. Se existir uma equivalenciade homotopia entre X e Y dizemos que X e Y tem o mesmo tipo de homotopia edenotamos por X ≡ Y .

Observacao 5 (i) Se f : X → Y e um homeomorfismo (X ≈ Y ) entao e claro quef e uma equivalencia de homotopia. Assim, espacos homeomorfos tem o mesmotipo de homotopia.(ii) Dizer que X ≡ Y e dizer que X pode ser deformado continuamente em Y ou Ypode ser deformado continuamente em X.

O proximo resultado mostra que o grupo fundamental e os grupos de homologiasao invariantes homotopicos e consequentemente topologicos.

Teorema 3 Sejam X e Y espacos topologicos conexos por caminhos. Se X tem omesmo tipo de homotopia de Y (em particular se sao homeomorfos), entao(i) π1(X) ' π1(Y );(ii) Hn(X) ' Hn(Y ), ∀n ≥ 0.

Demonstracao:(i) Ver [1], Teorema 5.9.(ii) Ver [3], Proposicao 1.11. 2

Corolario 1 Se X e um espaco contratil, isto e, um espaco conexo por caminhosque tem o mesmo tipo de homotopia que o espaco com um unico ponto, entao(i) π1(X) = 1.(ii) Hn(X) = 0, ∀n ≥ 1. 2

Exemplo 5 Segue do Corolario anterior que os espacos contrateis Rn eDn = (x1, . . . xn) ∈ Rn | (x2

1 + · · ·x2n ≤ 1, n ≥ 1, tem grupo fundamental e

grupos de homologia triviais.

O grupo fundamental e os grupos de homologia podem ser uteis para sedecidir se dois espacos nao sao homeomorfos. E claro que existem outrosinvariantes topologicos que fornecem esse tipo de informacao. Por exemplo, paramostrar que R nao e homeomorfo a Rn, n > 1, basta observar que R − 0 edesconexo e Rn − 0 e conexo. Mas em dimensoes maiores, muitas vezes naopodemos usar esse raciocınio. Vejamos um exemplo.

Exemplo 6 Se n > 2 que R2 nao e homeomorfo a Rn.De fato, se R2 ≈ Rn, terıamos R2 − 0 ≈ Rn − 0 e assim

π1(R2 − 0) ' π1(Rn − 0). (∗)COSTA, J. C. R.; ANDRADE, M. G. C. Algumas considerações sobre homotopia e homologia.


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Mas, pode-se mostrar que, para todo m ∈ N, m ≥ 1, Rm − 0 ≡ Sm−1. Logo, de(∗), temos

Z = π1(S1) ' π1(Sn−1) = 1o que nos da uma contradicao.

Observe que nao podemos usar o mesmo raciocınio do exemplo anterior com ogrupo fundamental se, em lugar do R2, considerassemos Rm, com m 6= n, m > 2pois, π1(Sm) = 1 para m > 1. Mas podemos usar os grupos de homologia, comomostra o proximo exemplo.

Exemplo 7 Se m 6= n, m, n > 1 entao Rm nao e homeomorfo a Rn.Para ver isso vamos supor m > n e que esses espacos sao homeomorfos. Daı,

Rm − 0 ≈ Rn − 0 e assim

Hm(Rm − 0) ' Hm(Rn − 0).

Usando o Exemplo 4 (b), e novamente o fato que, para todo m ∈ N, m ≥ 1,Rm − 0 ≡ Sm−1, temos

Z = Hm(Sm) ' Hm(Sn) = 0,

o que nos fornece uma contradicao.

Os dois exemplos anteriores mostram que para n > 1, ha diferencas sobre asinformacoes que os grupos π1 e Hn fornecem. Mas e se n = 1, sera que ha algumarelacao entre o tipo de informacao fornecida por π1 e H1? A resposta esta naproxima subsecao.

4.2 A relacao entre π1 e H1

Primeiramente faremos algumas consideracoes cujos detalhes podem ser encon-trados em [2].

Sejam X um espaco topologico e p um ponto de X. Considereφ : I = [0, 1] → X um laco baseado em p e [φ] a classe de homotopia de φ emπ1(X, p).

Podemos tambem considerar φ como um 1-simplexo singular em S1(X). Comoφ e um laco temos ∂1(φ) = 0, e assim φ e um ciclo. Seja φ a classe de homologia de

φ em H1(X) =Z1(X)B1(X)

.

Se φ e γ sao lacos em X baseados em p (1-ciclos) entao sao validas as seguintesafirmacoes:

(i) Se φ ∼ γ entao φ = γ. Em particular, se φ e homotopico a um caminho constante,entao φ = 0.(ii) φ ∗ γ = φ + γ.(iv) Se φ−1 e o caminho inverso de φ entao φ−1 = −φ.

Usando (i) temos bem definida uma aplicacao

h : π1(X, p) → H1(X)

dada por por h([φ]) = φ, para todo [φ] ∈ π1(X, p) que e um homomorfismo pois,por (ii), temos,

h([φ].[γ]) = h([φ ∗ γ]) = φ ∗ γ = φ + γ = h([φ]) + h([γ]).



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Suponha agora que X e um espaco conexo por caminhos e seja π′1(X) =[π1(X), π1(X)] o subgrupo comutador de π1(X). O grupo quociente π1(X)/π′1(X)e chamado de abelianizacao de π1(X) e sera denotado por π1(X)ab. Considere aaplicacao projecao natural ρ : π1(X) → π1(X)ab, definida por ρ([φ]) = [φ]π′1(X) e odiagrama

π1(X)

ρ

²²

h // H1(X)

π1(X)ab

h

99ssssssssss

Temos bem definida uma aplicacao induzida por h,

h : π1(X)ab → H1(X) dada por h(ρ([γ])) = h([γ]).

Para cada c ∈ H1(X) temos c =k∑

i=1

niai em Z1(X) e podemos ver cada ai como

um caminho comecando no ponto xi−1 e terminando em xi. Como X e conexo porcaminhos, existem caminhos bi ligando xi a p, i = 0, ..., k.

Considere os lacos b−1i−1 ∗ ai ∗ bi, i = 1, ..., k.

Temos entao

h(ρ([(b−10 ∗ a1 ∗ b1)n1 ∗ (b−1

1 ∗ a2 ∗ b2)n2 ∗ ... ∗ (b−1k−1 ∗ ak ∗ bk)nk ])) =

[ k∑

i=1

niai

]= [c]

e assim, h e epimorfismo. Pode-se mostrar tambem que h e um monomorfismo.

Essas consideracoes nos dao uma idea da demonstracao do seguinte resultado:

Teorema 4 (Teorema de Hurewicz): Seja X um espaco topologico conexo porcaminhos e p ∈ X. A aplicacao h : π1(X, p) → H1(X) definida por h([φ]) = φe um epimorfismo e Ker(h) = [π1(X), π1(X)]. Assim, temos bem definido umisomorfismo h : π1(X, p)ab → H1(X) dado por h([φ]π1(X)′) = h([φ]). Assim,

H1(X) ' π1(X)[π1(X), π1(X)]

= π1(X)ab.

Demonstracao: Para detalhes, ver [2], Teorema 2.A.1. 2

Observacao 6 O isomorfismo h : π1(X)ab → H1(X) e chamado de isomorfismode Hurewicz.

Se soubermos o grupo fundamental de um espaco X conexo por caminhos podemos,atraves do isomorfismo de Hurewicz, obter H1(X).



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Exemplo 8 Considere a esfera Sn, n ≥ 1. Entao

π1(Sn) =Z se n = 11 se n > 1

e H1(Sn) =Z se n = 10 se n 6= 1.

Exemplo 9 Considere o toro T2. Entao π1(T2) = H1(T2) = Z⊕ Z.

Exemplo 10 Se X e a figura-oito (uniao de dois circulos tangentes em um ponto)entao

π1(X) = Z ∗ Z e H1(X) = π1(X)ab = Z⊕ Z.

O proximo exemplo mostra que os homorfismos induzidos por uma aplicacaocontınua de Y em X nos grupos π1 e H1 podem ter propriedades distintas.

Exemplo 11 Seja X = T 2−D o toro menos um disco aberto e seja Y = ∂D, comomostra a figura.

Entao, π1(X) '< [α] > ∗ < [β] >= Z∗Z. Isto segue do fato que X tem o mesmotipo de homotopia da “Figura 8”. Para visualizar isto geometricamente, considere ofato de que o toro pode ser obtido de uma regiao quadrangular identificado os ladosopostos e assim obtemos a figura abaixo:

Considere j : Y → X a aplicacao inclusao de Y em X. Vamos determinar oshomomorfismos induzidos j# em π1 e j∗ em H1.

Seja c : I → Y o laco padrao em Y ≈ S1, que tambem pode ser visto como um1-ciclo. Geometricamente temos:

Pode-se mostrar que j c ∼ α ∗ β ∗ α−1 ∗ β−1 em X.Vamos determinar o homomorfismo induzido

j# : π1(Y ) → π1(X).



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Temos π1(Y ) =< [c] >' Z. Assim,

j#([c]) = [j c] = [α ∗ β ∗ α−1 ∗ β−1] = [α][β][α]−1[β]−1

que e um elemento nao trivial em π1(X) '< [α] > ∗ < [β] >= Z ∗ Z.

Segue disto que j# e um monomorfismo.

Para a homologia temos H1(X) =< c >' Z e H1(X) =< α > ⊕ < β >' Z⊕Z.Considere o homomorfismo induzido em H1,

j∗ : H1(Y ) → H1(X).

Como c e um 1-simplexo singular que e um 1-ciclo, j c e um 1-ciclo ej c ∼ α ∗ β ∗ α−1 ∗ β−1 segue que

j c = α ∗ β ∗ α−1 ∗ β−1 = α + β − α− β = 0.

Assim,j∗(c) = j c = 0.

Daı, j∗ e o homomorfismo nulo.

Observacao 7 O grupo fundamental, π1(X), por ser uma ferramenta da teoriade homotopia, tem um apelo mais geometrico que o grupo H1(X), que faz uso daAlgebra Homologica para ser definido. No entanto, como o grupo H1(X) e abeliano,o que geralmente nao acontece com π1(X), ele torna-se mais facil de lidar. Apesarda relacao entre π1(X) e H1(X) e de que aparentemente eles fornecem resultadossimilares sobre o espaco topologico X, ha diferencas claras entre as informacoesfornecidas por esses grupos quando se trabalha, por exemplo, com espacos de re-cobrimento (e a relacao do grupo fundamental com o grupo das transformacoes derecobrimento), teoria de nos, espacos de Eilenberg-Maclane, dentre outros assuntos.

Referencias

[1] Andrade, Maria Gorete C., Fanti, Ermınia L. C.; Grupo Fundamental - umavisao geometrica, Notas de Seminarios, Departamento de Matematica-IBILCE-Unesp, Sao Jose do Rio Preto, 1996.

[2] Hatcher, Allen; Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

[3] Vick, James W.; Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Aca-demic Press, 1973.

[4] Croom, Fred H.; Basic Concepts of Algebraic Topology , New York : Springer-Verlag, 1978.



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31


Metodo Primal-Dual de Pontos Interiores em

Problemas de Despacho Economico e Ambiental ∗

Larissa Tebaldi de Oliveira †

Amelia di Lorena Stanzani ‡

Antonio Roberto Balbo §

Resumo

Este artigo traz os resultados obtidos atraves do estudo e da aplicacao do Metodo

Primal-Dual Previsor-Corretor de Pontos Interiores para Problema de Programacao

Quadratica convexa a um Problema de Despacho Economico (PDE) e a um Pro-

blema Multiobjetivo de Despacho Economico e Ambiental (DEA). O primeiro pro-

blema busca determinar a solucao otima aproximada, minimizando os custos dos

combustıveis empregados na geracao termoeletrica de energia e satisfazendo as res-

tricoes operacionais. Ja o segundo e solucionado atraves do Metodo da Soma Pon-

derada, que apresenta um balanceamento entre o problema de otimizacao dos custos

e o problema de emissao de poluentes. Ao final do artigo, um algoritmo para cada

problema e proposto e implementado computacionalmente utilizando o software

Borland C++ Builder 6.0. Os testes foram realizados utilizando um PDE de 13 ge-

radores e um DEA de 06 geradores e os resultados obtidos demonstram a eficiencia

dos metodos quando comparados a outros encontrados na literatura.

Palavras Chave: Otimizacao, Metodo de Ponto Interior Primal-Dual, Metodo

Previsor-Corretor, Despacho Economico, Despacho Ambiental.

Introducao

Dentre os problemas de otimizacao nao-linear encontrados na Engenharia Eletrica

destacam-se aqueles chamados de Problemas de Despacho Economico (PDE’s) e

Problemas de Despacho Ambiental (PDA’s), ambos inseridos na area de sistemas

de geracao de energia. Os PDE’s procuram otimizar o processo de alocacao da

∗Trabalho realizado durante o perıodo de Iniciacao Cientıfica com apoio financeiro PIBIC/CNPq†Email: [email protected]. Programa de Pos-Graduacao em Ciencias de Computacao e Matematica

Computacional, ICMC/USP, Sao Carlos, SP‡Email: [email protected]. Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica, FEB/Unesp, Bauru, SP§Email: [email protected]. Departamentoo de Matematica, FC/UNESP, Bauru, SP

OLIVEIRA, L. T.; STANZANI, A. L.; BALBO, A. R. Método primal-dual de pontos interiores em problemas de despacho econômico e

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664ltoalsarb3244 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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32

C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 32-44, dez. 2013.ambiental.

demanda de energia eletrica entre as unidades geradoras disponıveis, minimizando

uma funcao quadratica relativa ao custo de geracao e satisfazendo algumas restricoes

operacionais relativas a demanda e aos limites mınimos e maximos de geracao de

cada unidade geradora. O PDA atende as mesmas restricoes do PDE, mas possui o

objetivo de minimizar a emissao de poluentes na natureza. O PDE e PDA podem

ser formulados a fim de minimizar uma funcao objetivo quadratica, de minimizacao

de custos ou de minimizacao de emissao de poluentes, desta forma, os PDE’s e

PDA’s podem ser tratados como Problemas de Programacao Quadratica (PPQ’s)

com restricoes de igualdade e variaveis canalizadas.

O nosso primeiro objetivo foi estudar um metodo Primal-Dual de Pontos Inte-

riores (PDPI) a fim de utiliza-lo na determinacao das solucoes otimas aproximadas

do PDE em destaque. Propomos para isso, um metodo Primal-Dual de Pontos In-

teriores que foi definido utilizando-se de procedimentos baseados na funcao barreira

logarıtmica definida em [2] e [3]. Este metodo e variante do algoritmo de trans-

formacao projetiva de Karmarkar [4] e foi tambem analisado e apresentado em [11],

que realizou a sua extensao para PPQ’s e Programacao Nao-Linear (PPNL) con-

vexo.

A inclusao do procedimento previsor-corretor no metodo foi feita baseando-se em

[5], e tambem pode ser encontrada em [11]. A partir desse metodo formulamos um

algoritmo que foi implementado computacionalmente utilizando o software Borland

C++ Builder 6.0 e testado utilizando um PDE de 13 geradores.

O nosso segundo objetivo foi determinar solucoes eficientes para um problema

multiobjetivo de Despacho Economico e Ambiental (DEA), atraves do Metodo da

Soma Ponderada definido em [6]. Neste metodo a funcao custo e a funcao ambiental

sao combinadas em uma unica funcao objetivo com diferentes pesos. Logo, o DEA

e modelado atraves de um PPQ com restricoes de igualdade e variaveis canalizadas

e resolvido atraves do metodo primal-dual de pontos interiores associado ao metodo

da soma ponderada, o qual e uma estrategia utilizada para a resolucao de problemas

multiobjetivo.

A implementacao computacional deste algoritmo tambem foi realizada utilizando

o software Borland C++ Builder 6.0 e o mesmo foi testado utilizando um DEA de

06 geradores.

Na pratica, estes metodos tem se mostrado eficientes para determinar solucoes

aproximadas e consistentes de PPQ’s e PPNL’s, pois os resultados obtidos demons-

traram a eficiencia do metodo quando comparado com outros metodos encontrados

na literatura.

O artigo esta organizado na seguinte maneira: na Secao 1 sao apresentadas as

formulacoes dos problema em destaque e que serao abordados ao longo do artigo,

o Problema de Despacho Economico (PDE) e o Problema de Despacho Economico

e Ambiental (DEA). A Secao 2 apresenta o conteudo teorico necessario para o

desenvolvimento e obtencao dos algoritmos que serao apresentados na Secao 3. A

Secao 4 traz os resultados obtidos atraves da implementacao computacional de tais

algoritmos e por fim, na Secao 5 fazemos algumas conclusoes quanto ao desempenho



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33


dos metodos apresentados.

1 Conceitos Preliminares

Utilizaremos esta secao para apresentar os problemas em destaque neste artigo cujos

algoritmos propostos para sua resolucao serao apresentados na Secao 3.

1.1 Problema de Despacho Economico

Os Problemas de Despacho Economico, PDE’s, sao problemas encontrados dentro

da Engenharia Eletrica, na area de Sistemas de Energia, e tem por objetivo a oti-

mizacao da alocacao da demanda de energia entre as unidades geradoras disponıveis

satisfazendo suas restricoes operacionais compostas de restricoes de igualdade rela-

tivas ao atendimento da demanda de mercado e variaveis canalizadas relativas aos

limites mınimo e maximo de geracao, minimizando uma funcao quadratica associada

aos custos dos combustıveis empregados na geracao termoeletrica de energia.

Utilizaremos neste artigo o modelo de otimizacao para o PDE, desconsiderando-

se o efeito de ponto de valvula, apresentado por [10], definido por:

min Fe(Pk) =n∑k=1

akP2k + bkPk + ck

s.a :n∑k=1

Pk = PD + PL,

Pmink ≤ Pk ≤ Pmaxk , k = 1, · · · , n,

(1.1)

onde, Fe e a funcao custo total, e ak, bk, e ck sao os coeficientes da funcao custo.

Pk corresponde as potencias de operacao das unidades geradoras; PD e o valor

da demanda de energia; PL e o valor das perdas na transmissao; Pmink e Pmaxk sao,

respectivamente, os limites operacionais inferiores e superiores de saıda das unidades

de geracao termoeletrica.

1.2 Problema de Despacho Ambiental

Durante muito tempo a geracao termoeletrica de energia considerou apenas as

condicoes economicas do sistema como argumentos para suas escolhas, nao le-

vando em conta os aspectos ambientais envolvidos, contribuindo para a elevacao

da poluicao atmosferica. Cada quilowatt produzido esta associado a uma taxa de

emissao atraves de um fator de emissao, que e obtido pela relacao emissao de polu-

ente/energia produzida ou combustıvel consumido, expresso em kg por unidade de

energia.

Ao longo dos anos, estudos surgiram a fim de criarem estrategias para minimizar

os efeitos causados ao meio ambiente. A unica tecnica que nao requer modificacoes

no sistema de geracao e aquela que sugere incluir as emissoes na estrategia de

despacho, sendo esta conhecida como Despacho Ambiental. A modelagem da funcao



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34


emissao do Despacho Ambiental, Fa, considera a relacao entre a quantidade de cada

poluente e a saıda de potencia da unidade, ou seja, o modelo da funcao emissao

depende, entre outras coisas, do tipo da emissao. O modelo de otimizacao para o

Despacho Ambiental apresentado por [1] e definido por:

min Fak(Pk) =

n∑k=1

AkP2k +BkPk + Ck, (1.2)

onde, Fak(Pk) representa a emissao de cada unidade geradora; Ak, Bk, e Ck sao

os coeficientes da funcao emissao e Pk corresponde as potencias de operacao das

unidades geradoras. As emissoes totais correspondem ao somatorio das emissoes de

cada unidade geradora, ou seja:

Fa =n∑i=1

Fai(Pi). (1.3)

1.3 Problema Multiobjetivo de Despacho Economico e

Ambiental

Os Problemas de Despacho Economico (PDE) e os Problemas de Despacho Am-

biental (PDA) sao problemas que se destacam dentre os problemas de otimizacao

restritos nao-lineares encontrados na Engenharia Eletrica. Contudo, ate recente-

mente, a maioria dos problemas de despacho era formulada a fim de minimizar uma

funcao objetivo simples, minimizando custos ou minimizando emissao de poluentes.

Porem, os custos e as emissoes de poluentes podem ser combinados com diferentes

pesos em uma unica funcao objetivo. A essa estrategia e dado o nome de Despa-

cho Economico e Ambiental (DEA), caracterizando um problema multiobjetivo. O

modelo de otimizacao multiobjetivo DEA e definido por:

min Fe(Pk);Fa(Pk)

s.a :n∑k=1

Pk = PD + PL,

Pmink ≤ Pk ≤ Pmaxk , k = 1, · · · , n,

(1.4)

onde, Fe(Pk) =∑n

k=1 akP2k + bkPk + ck e a funcao de custos total relativa ao PDE

e Fa(Pk) =∑n

k=1AkP2k +BkPk + Ck e a funcao emissao total relativa ao PDA.

O DEA (1.4) e modelado neste trabalho atraves da estrategia de soma ponde-

rada, que explora o problema mono-objetivo, definido a seguir:

min βFe(Pk) + (1− β)Fa(Pk)

s.a :

n∑k=1

Pk = PD + PL,

Pmink ≤ Pk ≤ Pmaxk , k = 1, · · · , n,

(1.5)

onde β ∈ [0, 1].



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35


2 Problemas de Programacao Quadratica com

restricoes lineares de igualdade e variaveis ca-

nalizadas

Definiremos o Problema de Programacao Quadratica, PPQ, primal da seguinte

forma: seja Qe ∈ Rnxn uma matriz semi-definida positiva, A ∈ Rmxn, be, w ∈ Rm e

x, ce, u, l, z , r, s, f, b ∈ Rn, temos que o PPQ com restricoes lineares de igualdade e

variaveis canalizadas sera

min1

2xtQex+ btex+ ce

s.a : Ax = b,

x+ z = u,

x− r = l,

(2.1)

onde r ≥ 0, z ≥ 0 sao as variaveis primais de excesso e folga, respectivamente.

A concepcao de dualidade tambem e aplicada aos problemas de minimizacao de

funcoes quadraticas, sendo ela apresentada da seguinte forma:

max − 1

2xtQex+ btw − utf + lts

s.a : −Qex+Atw + s− f = be,(2.2)

onde s ≥ 0, f ≥ 0; w, s e f sao as variaveis duais do problema.

Para um escalar µ ≥ 0, pode-se incorporar a (2.1) uma funcao barreira lo-

garıtmica resultando no seguinte PPNL Primal-Dual irrestrito, o qual e definido

a partir da funcao Lagrangiana Barreira Logarıtmica Lµ(x, z, r, w, s, f) e converge

para a solucao do PPQ restrito:

minLµ(x, z, r, w, s, f) =1

2xtQex+ btex+ ce + wt(b−Ax) + f t(x+ z − u)

+ st(l + r − x)− µn∑j=1

ln(rj)− µn∑j=1

ln(zj).(2.3)

Consideraremos, juntamente com (2.3), as seguintes condicoes de KKT:

Ax = b, (Factibilidade Primal)

x+ z = u,

x− r = l,

− (Qex+ be) +Atw + s− f = 0, (Factibilidade Dual)

ZFe− µe = 0, (Folgas Complementares)

RSe− µe = 0, (Folgas Complementares)

(2.4)

onde R, S, Z e F sao matrizes diagonais com, respectivamente, ri, si, zi e fi como

elementos diagonais e e = (1, 1, · · · , 1)t.



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36


Definindo os novos pontos como:

x = xk + αkpdxk, r = rk + αkpdr

k,

z = zk + αkpdzk, s = sk + αkdds

k,

f = fk + αkddfk, w = wk + αkddw

k,

(2.5)

conseguimos determinar as direcoes de busca primais drk, dzk, dxk e duais, dfk,

dsk, dwk, atraves de uma pequena perturbacao nas variaveis presentes nas condicoes

(2.4); os tamanhos de passo primal αkp e dual αkd, obtidos pelas condicoes de fronteira

do problema e reduzidos por um multiplicador α=0.995 para garantir que o ponto

continue interior a regiao; os criterios de otimalidade e os novos pontos, que serao:

xk+1 = x, rk+1 = r, zk+1 = z, sk+1 = s, fk+1 = f e wk+1 = w.

O passo previsor do metodo e obtido quando consideramos os termos de primeira

ordem e eliminamos os termos de segunda ordem das equacoes : ZFe − µe = 0 e

RSe−µe = 0, presentes apos uma atualizacao realizada nestas equacoes, utilizando

as novas solucoes definidas em (2.5). O passo corretor e obtido quando passamos a

considerar os termos de segunda ordem obtidos em ZFe− µe = 0 e RSe− µe = 0

com a atualizacao feita.

Um algoritmo foi proposto para esse metodo e esta apresentado em na Secao

3.1. Sua implementacao foi feita utilizando o software Borland C++ Builder 6.0 e

os testes foram realizados utilizando um PDE que esta descrito na Secao 4.1.

Para a segunda parte desde artigo, que consiste na resulucao de um DEA mul-

tiobjetivo, precisamos adaptar os resultados ate agora apresentados para o caso de

PPQ multiobjetivo. Baseando-se no Metodo Primal-Dual de Pontos Interiores para

PPQ’s proposto em [9] e [11], realizamos sua extensao para PPQ’s multiobjetivos

com variaveis canalizadas e restricoes de igualdade que considera a soma ponde-

rada de funcoes objetivo. O modelo e apresentado a seguir atraves de um PPNL

Primal-Dual irrestrito, o qual e definido a partir da funcao Lagrangiana Barreira

Logarıtmica Lµ(x, z, r, w, s, f), e converge para a solucao do PPQ multiobjetivo

restrito.

Seja Qe, Qa ∈ Rnxn matrizes semi-definidas positivas, A ∈ Rmxn, be, ba, w ∈Rm e x, ce, ca, u, l, z, r, s, f, b ∈ Rn, minimizar o PPQ multiobjetivo com variaveis

canalizadas e restricoes de igualdade sera equivalente a:

minLµ(x, z, r, w, s, f) =β(1

2xtQex+ btex+ ce) + (1− β)(

1

2xtQax+ btax+ ca)

+ wt(b−Ax) + f t(x+ z − u) + st(l + r − x)

− µn∑j=1

ln(rj)− µn∑j=1

ln(zj),

(2.6)

onde s ≥ 0, f ≥ 0; r e z sao as variaveis primais de excesso e folga, respectivamente,

w, s e f sao as variaveis duais do problema, 0 ≤ β ≤ 1, e µ > 0 e o parametro

de barreira ou parametro de centragem. Sao consideradas as mesmas condicoes

de KKT apresentadas em (2.4), porem com a seguinte alteracao da condicao de



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37


factibilidade dual:

−β(Qexk + be) +Atwk + sk − fk − (1− β)(Qax

k + ba) = 0. (2.7)

De modo semelhante ao que ja fizemos para o caso mono-objetivo, conseguimos

determinar as direcoes de busca primais e duais, drk, dzk, dxk, dfk, dsk, dwk; os

tamanhos de passo primal αkp e dual αkd; os criterios de otimalidade e os novos pontos:

xk+1, rk+1, zk+1, sk+1, fk+1 e wk+1. Na Secao 3.2 apresentamos o algoritmo desse

metodo, implementado utilizando o software Borland C++ Builder 6.0, que sera

utilizado na resolucao de um DEA descrito na Secao 4.2.

3 Metodos Primal-Dual Previsor-Corretor de

Pontos Interiores para PPQ’s

Conforme ja mencionado, esta secao contem dois algoritmos Primal-Dual Previsor-

Corretor (PCPD) de Pontos Interiores para PPQ’s com variaveis canalizadas e res-

tricoes de igualdade propostos para a resulucao de PDE’s e DEA’s, respectivamente,

apresentados a seguir:

3.1 Algoritmo Primal-Dual Previsor-Corretor de Pon-

tos Interiores para PPQ’s com variaveis canalizadas e

restricoes de igualdade

Passo 1 (Inicializacao): Fixar k = 0 e escolher x0, s0, w0 e f0 factıveis. Alem

disso, escolher ε1, ε2 e ε3, como tres numeros positivos suficientemente pequenos e

0 < α < 1, como uma constante positiva. Calcular r0 = x0 − l e z0 = u − x0.

Usualmente α = 0.995.

Passo 2 (Calculos intermediarios - Previsor): Calcular Hk = (R−1k Sk +

Z−1k Fk+Qe); t

k3 = xk−rk− l; tk2 = u−xk−zk; pk = −R−1

k (vk+Sktk3)+Z−1

k (Fktk2−

qk); tk = Axk − b; uk1 = −Qexk − be + Atwk + sk − fk; qk = µk − (zk)tfk; vk =

µk − (rk)tsk.

Passo 3 (Teste de otimalidade): Se||Axk − b||||b||+ 1

≤ ε1,||uk1||

||Qexk + be||+ 1≤ ε2,

l ≤ xk ≤ u, sk ≥ 0, fk ≥ 0; (rk)tsk ≤ ε3 e (zk)tfk ≤ ε3 entao PARE, pois, xk, wk, sk

e fk sao solucoes otimas aproximada do problema (2.3). Caso contrario, va para o

passo seguinte.

Passo 4 (Calculo das direcoes): Calcular dwk = (AH−1k At)−1(AH−1

k (−pk −uk1) − tk); dxk = H−1

k (Atdwk + pk + uk1); drk = dxk + tk3; dzk = tk2 − dxk; dfk =

Z−1k (qk − Fkdzk); dsk = R−1

k (vk − Skdrk).Passo 5 (Calculos intermediario - Corretor): Calcular qk = µk − (zk)tfk −dfkdzk; vk = µk− (rk)tsk− drkdsk utilizando as direcoes drk, dzk, dsk, dfk determi-

nadas no passo 4; atualizar pk = −R−1k (Skt

k3 + vk+) + Z−1

k (Fktk2 − qk); e recalcular

as direcoes dwk, dxk, drk, dzk, dsk, dfk analogamente ao passo 4.



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38


Passo 6 (Teste de ilimitariedade): Se drk, dzk, dsk, dfk > 0 entao PARE, pois,

o problema e ilimitado. Se drk = dzk = dsk = dfk = 0 entao PARE tambem,

pois rk, zk, sk e fk sao solucoes otimas do primal e do dual, respectivamente. Caso

contrario, va para o passo 6.

Passo 7 (Comprimento do passo): Calcular αk1 = min

−αrkidrki

/drki > 0

; αk2 =

min

−αzkidzki

/dzki > 0

; αk3 = min

−αskidski

/dski > 0

; αk4 = min

−αfkidfki

/dfki > 0

;

em que, i = 1, 2, · · · , n e αk5 = − [(dxk)t(Qexk + be)]

[(dxk)tQedxk], onde 0 < α < 1. Determinar

αkp = minαk1 , αk2 , αk5 , 1 e αkd = minαk3 , αk4 , 1.Passo 8 (Determinar uma nova solucao): Executar a translacao: xk+1 = xk +

αkpdxk; rk+1 = rk+αkpdr

k; zk+1 = zk+αkpdzk; sk+1 = sk+αkdds

k; fk+1 = fk+αkddfk;

wk+1 = wk + αkddwk; µk+1 = γ(

µ1k + µ2k2

), onde µ1k =(rk)tsk

n; µ2k =

(zk)tfk

ne faca

k = k + 1.

Passo 9: Refazer os passos 3, 4, 5, 6 e 7, e voltar ao passo 2.

3.2 Algoritmo Primal-Dual Previsor-Corretor de Pon-

tos Interiores para PPQ’s multiobjetivos com variaveis

canalizadas e restricoes de igualdade

O algoritmo e proposto de forma analoga aquele definido na Secao 3.1, considerando-

se apenas as alteracoes que ocorrem no Passo 2 e no Passo 5, os quais sao expressos

por:

Passo 2 (Calculos intermediarios - Previsor): Calcular Hk = (R−1k Sk +

Z−1k Fk + βQe + (1 − β)Qa); t

k3 = xk − rk − l; tk2 = u − xk − zk; pk = −R−1

k (vk +

Sktk3) +Z−1

k (Fktk2 − qk); tk = Axk− b; uk1 = −β(Qex

k + be) +Atwk + sk− fk− (1−β)(Qax

k + ba); qk = µk − (zk)tfk; vk = µk − (rk)tsk.

Passo 5 (Calculos intermediario - Corretor): Calcular qk = µk − (zk)tfk −dfkdzk; vk = µk− (rk)tsk− drkdsk utilizando as direcoes drk, dzk, dsk, dfk determi-

nadas no passo 4; atualizar pk = −R−1k (Skt

k3 + vk) +Z−1

k (Fktk2 − qk); e recalcular as

direcoes dwk, dxk, drk, dzk, dsk, dfk analogamente ao passo 4 definido na Secao 3.1.

4 Aplicacao dos metodos e resultados

Os algoritmos apresentados nas Secoes 3.1 e 3.2 foram implementados computaci-

onalmente atraves do software Borland C++ Builder 6.0. Testes foram realizados

utilizando-se um PDE de 13 geradores e um DEA de 06 geradores, encontrados na

Engenharia Eletrica e definidos em [7], [8] e [9].



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39


4.1 Problema de Despacho Economico

O algoritmo proposto na Secao 3.1 foi aplicado a um PDE de 13 geradores, cujas

caracterısticas sao apresentadas na tabela da Fig. 1.

Figura 1: Tabela com as caracterısticas do PDE de 13 geradores.

O metodo foi inicializado com os seguintes pontos: x0 =(660, 320, 330, 150,

140, 155, 165, 150, 140, 70, 80, 75, 85), w0 = 0, f0 =(30, 30, 30, 30, 30, 30, 30,

30, 30, 30, 30, 30, 30) e s0 =(38.4696, 38.4584, 38.4696, 38.7120, 38.6472, 38.7444,

38.8092, 38.7120, 38.6472, 38.9976, 39.0544, 39.0260, 39.0828) e os seguintes dados

A =(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), b = PD + PL = 2520, onde PD = 2520 e

o valor da demanda e PL = 0, ou seja, desconsideram-se as perdas de transmissao.

As tolerancias sao dadas por ε1 = 10−5, ε2 = 10−3 e ε3 = 10−4 e α = 0, 995. Os

resultados obtidos pelo metodo foram encontrados na 10a iteracao de acordo com a

tabela da Fig. 2.

Figura 2: Tabela com resultados do PDE de 13 geradores.



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40


A tabela da Fig. 3 apresenta os valores da funcao objetivo encontradas pelos

metodos: Primal-Dual Previsor-Corretor (PDPC) desenvolvido nesse trabalho, pelo

Algoritmo Genetico Coevolutivo (AGHCOE) encontrado em [8], pelo Algoritmo

Cultural (AC) encontrado em [7] e pelo metodo Primal-Dual com busca unidimen-

sional (PDBU) visto em [9].

Figura 3: Tabela com valores das funcoes objetivo do PDE de 13 geradores.

Observa-se que os metodos PDPC e PDBU obtiveram as solucoes otimas globais

do PDE com 13 geradores, as quais foram determinadas com uma melhor precisao,

10−5, pelo metodo PDPC, implementado em linguagem C/C++, em relacao ao

metodo PDBU, 10−3, implementado em Pascal 7.0. O PDPC tambem possui um

desempenho computacional mais robusto que o PDBU, gastando apenas milesimos

de segundo para obter a solucao otima global, enquanto que PDBU gasta na casa

de centesimos de segundo para o mesmo feito.

4.2 Problema Multiobjetivo de Despacho Economico e

Ambiental

O algoritmo desenvolvido na Secao 3.2 foi implementado computacionalmente utili-

zando o software Borland C++ Builder 6.0 e aplicado a um modelo de 06 geradores

encontrado em [7], [8] e [9]. As caracterısticas desse problema sao apresentadas na

tabela da Fig. 4.

Figura 4: Tabela com as caracterısticas do DEA de 06 geradores.

O metodo foi inicializado com os pontos: x0=(33, 34, 88, 88, 131, 126), w0=(0) e

f0=(1, 1, 1, 1, 1, 1) As tolerancias sao dadas por ε1 = 10−3, ε2 = 10−2 e ε3 = 10−3

e α = 0.99. Os resultados obtidos sao apresentados na tabela da Fig. 5.



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41


Figura 5: Tabela com os resultados do DEA de 06 geradores.

A tabela da Fig. 6 apresenta os resultados encontrados pelos mesmos metodos

citados na Secao 4.1. Todos eles foram adaptados ao caso multiobjetivo DEA e

resolvido utilizando a estrategia da soma ponderada.

Figura 6: Tabela com valores obtidos para as funcoes economica e ambiental.

Da mesma forma que nos teste realizados com PDE, o PDPC tambem apresen-

tou um desempenho computacional mais robusto que o PDBU, gastando tambem

milesimos de segundo para obter as solucoes otimas, enquanto que PDBU gasta

na casa de centesimos de segundo. Alem disso, seus resultados sao melhores que

aqueles obtidos pelos algoritmos geneticos apresentados na tabela da Fig. 6.

Note que, para cada valor de β considerado nas Fig. 5 e 6, os valores obtidos,

respectivamente, para a funcao economica Fe e para a funcao emissao Fa, nao sao

os valores mınimos para ambas as funcoes separadamente, pois estas tem objetivos

conflitantes. Podemos notar melhor isso nos graficos das Fig. 7 e 8 onde, a medida

que β aumenta a funcao economica sofre um decrescimo (passa-se a priorizar sua

minimizacao) enquanto que a funcao ambiental sofre um acrescimo (priorizamos

menos sua minimizacao). Isso ocorre porque, conforme o modelo apresentado em

(1.5), ponderamos mais a funcao economica e menos a funcao ambiental a medida

que β aumenta seu valor.

Como ja mencionado, os resultados apresentados na Fig. 5 nao sao os valores

mınimos para ambas as funcoes separadamente, porem minimizam a funcao soma



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Figura 7: Grafico de valores das funcoes economica versus valores de beta.

Figura 8: Grafico de valores das funcoes ambiental versus valores de beta.

ponderada total apresentada na Equacao 1.5, para cada valor de β considerado.

5 Conclusoes

As implementacoes computacionais dos metodos apresentados nas Secoes 3.1 e 3.2

realizadas em C++ mostraram-se robustas, e as aplicacoes destes metodos ao PDE

com 13 geradores e DEA de 06 geradores foram realizadas com sucesso onde, o tempo

computacional de execucao foi pequeno e desprezado e os resultados encontrados

quando comparados aqueles encontrados em [7], [8] e [9], demonstraram a eficiencia



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do metodo citado na resolucao destes problemas.

De acordo com os resultados obtidos e apresentados na Secao 4 deste artigo,

o metodo PDPC e um metodo eficiente e robusto para a resolucao dos modelos

destacados de PDE e multiobjetivo de DEA.

6 Agradecimentos

O primeiro autor agradece a PIBIC/CNPq pela bolsa de iniciacao cientifica conce-

dida. O segundo autor agradece a CAPES pela bolsa de mestrado concedida.

Referencias

[1] El-Hawary M.E., El-Hawary F., Mbamalu G. A. N. (1992). NOx emission per-

formance models in electric power system. Canadian Conference on Electrical

and Computer Engineering, vol II, p. MA 8.11.1, 1992.

[2] Fiacco A. V., McCormick G. P. (1968). Nonlinear programming: sequential

unconstrained minimization techniques, New York, John Wiley & Sons, 1968.

[3] Frisch, K. R. The Logarithmic Potential Method of Convex Programming. Uni-

versity Institute of Economics (manuscript), Oslo, Norway, 1955.

[4] Karmarkar, N. A new polynomial time algorithm for linear programming, Com-

binatoria 4, 373-395, 1984.

[5] Lustig, I.J. , Marsten, R. E. and Shanno, D. F. On Implementing Mehrota’s

Predictor-Corrector Interior Point Method for Linear Programming, SIAM

Journal on Optimization, vol. 2, pp. 435-449, 1995.

[6] Miettinem, K.; Nonlinear multiobjective Optimization. Boston: Kluwer. 1999

[7] Rodrigues, N. M.. Um algoritmo cultural para problemas de despacho de energia

eletrica, Dissertacao de Mestrado, Universidade Estadual de Maringa, Maringa

- Pr, 2007.

[8] Samed, M. M. A. Um Algoritmo Genetico Hibrido Co-Evolutivo para Resol-

ver Problemas de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto. De Engenharia

Quımica, Agosto de 2004, 167 p.

[9] Souza, M. A. S. Investigacao e Aplicacao de Metodos Primal - Dual de Pontos

Interiores em Problemas de Despacho Economico e Ambiental, Dissertacao de

Mestrado, FC/UNESP, Bauru, 2010.

[10] Steinberg, M. J. C. and Smith, T. H. Economic Loading of Power and Eletric

Systems, MacGraw-Hill, 1943.

[11] Wright, S. J. Primal-Dual Interior Point Methods, SIAM Journal, 289-304,

1997.



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Ensino de Geometria Espacial na Licenciatura em Matemática: Uma Proposta de Trabalho com Grupos Colaborativos

Emília de Mendonça Rosa Marques

Valter Locci

Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP E-mail: e [email protected] [email protected]

Resumo: Apresenta-se neste trabalho experiências obtidas através de 06 (seis) anos consecutivos de trabalho com a disciplina de Geometria Espacial em turmas de formação inicial de professores de matemática. A proposta de trabalho em grupos colaborativos se justifica pela necessidade atual de os professores em atividade utilizarem essa poderosa ferramenta como facilitadora da aprendizagem pessoal e dos estudantes sob sua orientação. Os alunos das várias turmas foram desafiados à tarefa de apresentarem, ao final da disciplina (semestre), um trabalho contendo: material escrito (capa, formatação, desenvolvimento do tema, cálculos, desenhos, resultados e referências), material concreto produzido com canudos e fitilho (sólidos construídos: acabamento, uniformização, montagem e medidas) e apresentação oral do grupo (arquivos de programas de apresentação). A metodologia proposta para a realização dessa tarefa em todas as turmas foi de grupos colaborativos, com em média 05 (cinco) alunos cada. Para a 1ª turma foi proposta a construção de “esqueletos” dos poliedros de Platão, com a maior aresta (canudinho) fixada. Cada grupo deveria observar uma propriedade dentre as seguintes: sólidos com a mesma área total; com o mesmo volume; com uma mesma esfera inscrita e com uma mesma esfera circunscrita. Todo material coletado dos grupos (escrito, construído ou digital/apresentação oral), está sendo devidamente catalogado, para então ser disponibilizado no Laboratório de Ensino de Matemática do referido curso. Os trabalhos propostos posteriormente foram gradativamente sendo mais desafiadores. O último trabalho proposto (2012) teve o seguinte tema: Poliedros Arquimedianos ou semirregulares. Introdução O curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências da UNESP/Bauru tem a incumbência de formar o professor de Matemática para o exercício do magistério nas séries finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Teve início em 1988 e no ano de 2005 passou por um processo de reestruturação, no qual uma nova disciplina chamada de Geometria Espacial foi alocada na grade curricular do 3º termo (1º semestre do segundo ano). Tal disciplina foi oferecida ao curso pela 1ª vez no primeiro semestre de 2007, tendo como ementa os seguintes tópicos: prismas, paralelepípedos, pirâmides, cilindros, cones, troncos de pirâmide e de cones, esfera e suas partes, e inscrição e circunscrição de sólidos. A disciplina objetiva a construção correta dos conceitos e propriedades de Geometria Métrica Espacial, bem como a criação, e ou adaptação, de estratégias e materiais didáticos, que potencializem seu ensino nos níveis Fundamental e Médio. A metodologia proposta envolve: a) Utilização de sólidos geométricos concretos no desenvolvimento dos conceitos e propriedades, dando enfoque na instrumentalização para o ensino; b) Resolução de exercícios; c) Discussão da apresentação desse conteúdo nos livros-textos usualmente propostos na Educação Básica; d) Discussão de artigos científicos envolvendo conceitos de Geometria Espacial da Revista do Professor de Matemática; e) Trabalhos desenvolvidos em grupos. Neste contexto, nos anos de 2007 a 2012, o desenvolvimento de uma proposta de trabalho através de grupos colaborativos com as turmas da disciplina de Geometria Espacial proporcionou-nos as experiências relatadas neste trabalho. Metodologia Paralelamente ao trabalho realizado em sala de aula, através de aulas expositivas, proposição de problemas [1] e [2], utilização de software geométrico para construção de figuras e manipulação de material concreto, durante os anos de 2007 a 2012, propôs-se para cada uma

MARQUES, E. M. R.; LOCCI, V. Ensino de geometria espacial na licenciatura em matemática: uma proposta de trabalho com grupos

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664emrmvl4550 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 45-50, dez. 2013.colaborativos.

das turmas, no início de cada semestre, uma tarefa a ser desenvolvida em grupos colaborativos [3] com o objetivo de trabalhar algum tema da Geometria Espacial numa abordagem envolvendo práticas teóricas, concretas, virtuais e expositivas, explicitadas nas seguintes etapas exigidas: 1ª) entrega de um trabalho escrito contendo definições e desenvolvimento algébrico; 2ª) uso de algum software para construção das figuras utilizadas no trabalho escrito; 3ª) entrega de sólidos concretos construídos com canudos e 4ª) apresentação oral em sala de aula do trabalho realizado pelos grupos. Cabe destacar que inserido aos conteúdos geométricos da disciplina está também a aprendizagem e utilização do software Wingeom [7] na construção de figuras planas e espaciais, como exemplificado na Figura 1. O software é de domínio público e tem sido trabalhado através de aulas práticas no Laboratório Didático de Informática, utilizando-se de objetos de aprendizagem desenvolvidos para esse fim, cujo conteúdo versa sobre Geometria Plana (conteúdo anteriormente trabalhado). Desta forma os estudantes aprendem o software e revisam conceitos imprescindíveis para a Geometria Espacial, tais como: ponto, reta, segmento, ângulo, triângulo, pontos notáveis num triângulo, circunferência, inscrição e circunscrição de polígonos. Os objetos de aprendizagem são os mesmos para todos os grupos colaborativos formados em cada turma. Essa tarefa inicial proporciona a integração do grupo, o evidenciar do líder natural e a divisão de tarefas. O produto dessa tarefa é um trabalho escrito, que após ser corrigido é devolvido ao grupo para que este possa trabalhar as correções e sugestões apontadas na avaliação. Naturalmente esse primeiro trabalho serve como referência inicial para os grupos quanto aos quesitos necessários à apresentação de um trabalho científico, tais como: formatação, desenvolvimento do assunto, explicitação dos resultados e conclusões. Na construção dos sólidos com materiais concretos, considerando-se as variáveis, preço, facilidade de manipulação, acabamento, armazenamento e durabilidade, dá-se preferência aos canudos e fitilhos, conforme Kaleff [4]. Outros artigos da Revista do Professor de Matemática [5] e [6], dentre outros que tratam de temas da Geometria Espacial, são indicados como referência para os grupos, no desenvolvimento do raciocínio matemático a ser utilizado na abordagem dos temas propostos para cada grupo.

Figura 1: Poliedros de Platão construídos no Wingeom

Descrição das Propostas trabalhadas no período A primeira turma (2007) era constituída de 26 alunos, os quais foram distribuídos em 4 grupos. A tarefa desafiadora proposta foi de construir “os maiores” poliedros de Platão possíveis com canudinhos e fita de acordo com o que se solicitou para cada grupo: G1 – sólidos com a mesma área lateral (total); G2 – sólidos com o mesmo volume; G3 – sólidos inscritíveis em uma esfera; G4 – sólidos circunscritíveis a uma esfera. Na tentativa de que os alunos estivessem o mais confortável possível, do ponto de vista emocional, proximidade geográfica e nível de desenvolvimento cognitivo, não se colocou aos alunos restrição quanto a quantidade de alunos por grupo. Assim foram compostos os quatro grupos com 6, 5, 8 e 7 alunos, respectivamente. Os grupos deveriam entregar um trabalho escrito com os cálculos e estes, juntamente com os trabalhos manuais, foram avaliados segundo critérios explicitados verbalmente pelo docente. Todos os trabalhos escritos apresentaram os cálculos corretos e de forma sucinta, sendo dois deles digitados e outros dois manuscritos. Os



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trabalhos manuais foram confeccionados com bastante qualidade e suas dimensões se mostraram adequadas para auxiliar os grupos, em sala de aula, no desenvolvimento do raciocínio para deduzir as fórmulas necessárias. Entretanto considerando a dificuldade de armazenamento destes, ficou evidenciada a necessidade de reduzir seus tamanhos na próxima proposta, conforme a Figura 2. O envolvimento dos alunos nas discussões em sala de aula motivou para a turma seguinte o acréscimo da exigência de apresentação oral dos trabalhos. Em 2008, a turma estava constituída de 29 alunos, os quais iniciaram a disciplina trazendo a expectativa da “tarefa desafiadora para os grupos colaborativos”. Foram então distribuídos em grupos como no ano anterior, sendo que estes ficaram com 4, 8, 8 e 9 alunos respectivamente. Desta vez a tarefa se constituiu na construção com canudinhos e fitilhos dos “esqueletos” dos poliedros de Platão, tendo a maior aresta (canudinho) comprimento igual a 10 cm. Na avaliação dos trabalhos, após a análise crítica e conjunta, realizada ao final de todas as atividades do semestre, observou-se a necessidade de que esses critérios estivessem explícitos no enunciado da tarefa, de modo claro. Considerando a discrepância na quantidade de alunos por grupo vivenciada nesta turma, para o ano seguinte, foi decidido fixar o número mínimo e máximo de elementos por grupo. A Figura 3 exemplifica dois trabalhos desta turma.

Figura 2: Trabalho de 2007 Figura 3: Parte dos trabalhos de 2008 Em 2009, os 36 alunos foram distribuídos em 6 grupos de 6 ou 7 alunos cada e realizaram a tarefa seguinte. Construir os sólidos (“esqueletos”) especificados abaixo com canudinhos e fitilho (ou cordão), tendo a maior aresta (canudinho) comprimento igual a 20 cm (opção de 16 cm também), de acordo com o que se pede para cada grupo: a) Cinco pirâmides regulares eqüiláteras (inscritas em cones eqüiláteros), tendo o polígono da base n lados, onde n= 3, 4, 5, 6 e 8: G1 – pirâmides inscritas a uma mesma esfera; G2 – pirâmides circunscritas a uma mesma esfera. b) Os cinco poliedros de Platão: G3 – sólidos com o mesmo volume. G4 – sólidos com uma mesma esfera inscrita. G5 – sólidos com uma mesma esfera circunscrita. G6 – sólidos com a mesma área (superfície total) e inscrever em cada um deles o seu dual. Após uma análise crítica e conjunta dos envolvidos na tarefa proposta para essa turma, considerando os resultados obtidos, as dificuldades e facilidades encontradas e os benefícios de aprendizagem obtidos pelos estudantes dessa turma, evidenciou-se a conveniência do aumento na valorização (nota) desse trabalho. Também se observou a necessidade de melhorar a formatação da proposta para a turma seguinte. A Figura 4 apresenta os sólidos do grupo 6. Em 2010, a turma possuía apenas 20 alunos. A proposta da tarefa desafiadora para essa turma manteve o tema, mas acrescentou um item de construção de poliedros com esferas tangentes às arestas e introduziu uma 5ª etapa solicitando o planejamento, redação e proposição de um tema de Geometria Espacial que fosse adequado à execução pelas próximas turmas da disciplina. A proposição desta nova etapa visou maior participação dos alunos na discussão dos



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temas, visão global dos conteúdos da disciplina e diversificação de temas. A proposta explicitou também condições mais rigorosas sobre a formação dos grupos, a construção dos sólidos, a elaboração das figuras e a apresentação oral do trabalho. Tema da tarefa: Poliedros de Platão. Desenvolvimento: a) Alunos divididos em 5 grupos com no mínimo 4 integrantes cada. b) Cada grupo abordará o tema para uma classe específica de sólidos, sendo que as classes, sorteadas entre os grupos, são constituídas dos Poliedros de Platão com mesmo (a): G1 – volume; G2 – esfera inscrita; G3 – esfera circunscrita; G4 – esfera tangente às arestas; G5 – área (superfície total) e poliedro dual inscrito em cada um deles. c) Cada grupo deve realizar a tarefa em cinco etapas: 1ª) Elaborar um material escrito conforme a classe sorteada, apresentando o tema, a classe específica e os cálculos realizados que demonstrem a pertinência de cada sólido a essa classe. 2ª) Executar a construção dos sólidos (“esqueletos”) com canudinhos e fitilho (cordão ou linha de nylon), tendo a maior aresta (canudinho) comprimento igual a 20 cm (opção de 16 cm também). 3ª) Utilizar um software (Wingeom, por exemplo) para elaboração das imagens (com possibilidade de animações) utilizadas no trabalho escrito. 4ª) Realizar (e assistir) a apresentação do trabalho desenvolvido pelo grupo. As apresentações serão realizadas na ordem crescente dos números dos grupos. A duração das apresentações será de 20 minutos por grupo, com mais 5 minutos para questionamentos da platéia. 5ª) Planejar, redigir e fazer uma proposta de trabalho sobre algum tema de Geometria Espacial, preferencialmente envolvendo abordagens teórica, concreta e virtual, para ser executado pela próxima turma da disciplina. Avaliação dos Trabalhos (itens a serem considerados): a) Trabalho Escrito: capa, formatação, desenvolvimento do tema, cálculos, desenhos, resultados, referências. b) Construção dos Sólidos: acabamento, uniformização, montagem, medidas. c) Apresentação do Trabalho: recursos utilizados, animação, domínio do tema, clareza, precisão, divisão das tarefas, participação dos membros do grupo. Os cinco grupos apresentaram propostas inovadoras, sendo duas bem fundamentadas e estruturadas, uma sem detalhamentos, uma inadequada ao contexto e outra inconsistente. A Figura 5 apresenta alguns dos sólidos produzidos pelos estudantes dessa turma.

Figura 4: Trabalho de 2009 Figura 5: Trabalho de 2010 No ano de 2011, o trabalho estava consolidado e as turmas se mostravam motivadas desde a inscrição na disciplina, o que ficou comprovado pelo aumento significativo de alunos inscritos (33 alunos distribuídos em 6 grupos). O novo tema proposto, adequado de propostas das turmas anteriores, era inovador, mais desafiador e de confecção muito mais trabalhosa. Desta forma cada grupo passou a abordar apenas dois poliedros. Tema da tarefa: Poliedros de Kleper-Poisont: pequeno dodecaedro estrelado, grande dodecaedro estrelado, grande dodecaedro e grande icosaedro.



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Desenvolvimento: a) Alunos distribuídos em 6 grupos com no mínimo 5 integrantes cada (e no máximo 6). b) Tema específico: G1 – grande dodecaedro estrelado e pequeno dodecaedro estrelado com mesma área. G2 – grande dodecaedro estrelado e pequeno dodecaedro estrelado com mesma esfera circunscrita. G3 – grande dodecaedro estrelado e pequeno dodecaedro estrelado com mesmo volume. G4 – grande dodecaedro e grande icosaedro com mesma área. G5 – grande dodecaedro e grande icosaedro com mesma esfera circunscrita. G6 – grande dodecaedro e grande icosaedro com mesmo volume. Com a inovação do tema, devido à maior complexidade do assunto e ao maior número de alunos e grupos, as apresentações foram realizadas em dois dias. Apesar da maior dificuldade na confecção dos sólidos, estes ficaram muito bem montados e acabados, como exemplificado nas Figuras 6 e 7.

Figura 6: Trabalho de 2011 Figura 7: Trabalho de 2011 Em 2012, 28 alunos distribuídos em 5 grupos, receberam a tarefa descrita a seguir. Tema da tarefa: Poliedros Arquimedianos ou semirregulares. Desenvolvimento: a) Alunos distribuídos em 5 grupos com no mínimo 5 integrantes cada (e no máximo 6). b) Tema específico: G1–Tetraedro truncado, Cuboctaedro, Cubo truncado e Octaedro truncado, com mesmo volume. G2 – Rombicuboctaedro e Cuboctaedro truncado, com mesmo volume. G3 – Cosidodecaedro, Dodecaedro truncado e Icosaedro truncado, com mesma área. G4 – Rombicosidodecaedro e Icosidodecaedro truncado, com mesma área. G5 – Cubo snub e Icosidodecaedro snub, com mesma área. Novamente, pelos mesmos motivos anteriores, as apresentações foram realizadas em dois dias. Da mesma forma, apesar da dificuldade de confecção dos sólidos propostos, os trabalhos ficaram muito bem montados e acabados, conforme exemplificado nas Figuras 8 e 9. Desta vez todos os grupos apresentaram propostas de trabalho adequadas e consistentes.

Figura 8: Trabalho de 2012 Figura 9: Parte dos trabalhos de 2012



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Resultados Os grupos colaborativos se mostraram muito adequados às tarefas propostas, a participação muito ativa dos alunos da disciplina, tanto em sala de aula, quanto nas reuniões para desenvolvimento dos trabalhos se evidenciou fortemente. Os alunos aprenderam efetivamente a utilizar um software para construção de figuras geométricas e treinaram o desenvolvimento de raciocínio colaborativo em grupo, utilizando o material concreto na dedução algébrica dos resultados e vice-versa. Aprenderam efetivamente a produzir um texto científico e didático, planejaram e construíram material didático concreto de apoio ao texto para uso no Laboratório Didático de Matemática do curso, como exemplificado nas Figuras 10 e 11, e obtiveram, alguns pela primeira vez, a experiência de realizar uma apresentação oral de trabalho. As últimas turmas mostraram um grande amadurecimento no processo de aquisição dos conteúdos. Percebeu-se então que a consolidação da proposta de tarefas desafiadoras proporcionou grande amadurecimento dos estudantes.

Figura 10: Parte dos trabalhos de 2008-2009 Figura 11: Trabalhos de 2011 Referências [1] Carvalho, P. C. P. “Introdução à Geometria Espacial”. Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: SBM, 1999. [2] Dolce, O. e Pompeo, J. N. “Geometria Espacial, Posição e Métrica”, 5ª Ed., Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, V. 10. São Paulo: Atual, 1998. [3] Gama, R. P. “Desenvolvimento profissional com apoio de grupos colaborativos: o caso de professores de matemática em início de carreira”. Tese de Doutorado em Educação Matemática - Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, 2007. [4] Kaleff, A. M. e Rei, D. M. “Varetas, canudos, arestas e sólidos geométricos”, Revista do Professor de Matemática, Nº.28, Rio de Janeiro: SBM [5] Pedone, N. M. D. “Poliedros de Platão”, Revista do Professor de Matemática, Nº.15, Rio de Janeiro: SBM. [6] Saraiva, J. C. V. “O poliedro regular de maior volume”, Revista do Professor de Matemática, Nº.49, Rio de Janeiro: SBM. [7] Wingeom (1.01M) for Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7. Disponível em: < http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 15 jun. 2013.



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O espaco das Ordens de um Corpo∗

Clotilzio Moreira dos Santos †

Resumo

O objetivo deste trabalho e exibir corpos com infinitas ordens e exibir uma es-trutura topologica ao conjunto das ordens de um corpo. Como cada ordem em umcorpo esta associada de modo unico a um subgrupo de ındice dois do grupo multi-plicativo do corpo, ela fica associada, de modo natural, com uma funcao de F \ 0em ±1, (onde F e o corpo em questao). Assim uma ordem e um elemento doproduto cartesiano Πx∈F ±1x. Usando a topologia produto, sera provado que oconjunto das ordens e um espaco booleano, isto e, um espaco topologico de Haus-dorff, compacto e totalmente desconexo.

Palavras Chave: Ordens, Extensoes de ordens, Corpo formalmente real

Introducao

O famoso teorema de Ernst Zermelo diz que todo conjunto pode ser bem ordenado.No entanto, para uma ordem sobre um corpo, exige-se um pouco mais dela: queseja compatıvel com as operacoes do corpo. Aı nem todos os corpos sao ordena-dos, a menos que o considere apenas como conjunto. Neste artigo comecaremosdescrevendo rapidamente ordens sobre conjuntos. A secao (1) trata de ordens sobrecorpos e a identificacao dela com um subconjunto especial do corpo em questao.Este subconjunto (dito ordem sobre o corpo, ou do corpo) junto com as pre-ordensserao importantes ferramentas e constituirao um caminho a seguir para se estenderordens a uma extensao quadratica do corpo. Usando extensoes de corpos, na secao3.2, exibiremos um corpo com um conjunto infinito e nao enumeravel de ordens.Na ultima secao daremos uma estrutura topologica ao conjunto das ordens de umcorpo, provando que ela e booleana, ou seja, um espaco de Hausdorff, compacto etotalmente desconexo. Usaremos a nomenclatura de [2].

Comecaremos com a seguinte definicao e exemplos

Definicao 1 Se E e um conjunto nao vazio, uma relacao binaria R ⊂ E × E euma relacao de ordem (parcial) sobre E se R e reflexiva, anti-simetrica e transitiva.

Notacao: Se (x, y) ∈ R e usual escrever xRy. E neste caso, em geral, denota-sepor x ¹ y (x precede y). Caso contrario, x 6¹ y. O par (E,¹) e dito um conjunto(parcialmente) ordenado.

∗Trabalho realizado como parte de pesquisa sobre extensoes de ordens sobre corpos†Email: [email protected]. Departamento de Matematica do Instituto de Biociencias, Letras eCiencias Exatas da Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho

SANTOS, C. M. O espaço das ordens de um corpo.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664cms5157 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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dez. 2013.C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 51-57,

Observacao 2 E facil ver que se ¹ e uma ordem sobre um conjunto E entao arelacao inversa a qual denotaremos por º (sucede) tambem e uma relacao de ordemsobre E. Assim as ordens sobre um conjunto E ocorrem aos pares, se a ordem edistinta da ordem igualdade.

Exemplos:(a) R e ordenado pelas relacoes de ordens usuais ≤ (menor ou igual) e sua inversa

≥ (maior ou igual).(b) O conjunto dos numeros complexos C = a + bi, a, b ∈ R e ordenado

pelas ordens:a + bi ¹1 c + di quando a ≤ c e b ≤ d e tambem pora + bi ¹2 c + di quando ou bem a < c ou bem a = c e b ≤ d e suas

inversas.A segunda ordem e dita ordem lexicografica em C e, sua inversa e dita ordem

lexicografica inversa.

1 Ordens em um Corpo

Denotemos por F grupo multiplicativo dos elementos nao-nulos de F.Um quadrado do corpo F e um elemento y = x2, com x ∈ F. Por exemplo, todo

numero real positivo e um quadrado. Vamos denotar por F 2 o subconjunto de F :x2, x ∈ F e F 2 =: x2, x ∈ F. Assim R2 = x ∈ R, x ≥ 0. Usaremos aindaas notacoes

σ(F ) = x21 + x2

2 + · · ·+ x2n, xi ∈ F, n ∈ N, n > 0 e σ(F ) = σ(F )\0.

Exemplos:(a) σ(R) = x ∈ R, x ≥ 0.(b) Seja Z7 o corpo das classes de restos modulo 7. Entao σ(Z7) = Z7.De fato, cada elemento de Z7 e um quadrado, ou soma de dois quadrados. Ve-

jamos: 0 = 02, 1 = 12

, 2 = 32, 3 = 32 + 12

, 4 = 22, 5 = 22 + 12

, 6 = 32 + 22.

(c) Usando o fato de que todo numero inteiro positivo e soma de quatro quadra-dos (veja Teorema 7.F de [3]), vem que todo numero racional positivo e soma dequatro quadrados. De fato, se a

b ∈ Q, entao ab = ab

b2e ab ∈ Z. Assim, se a/b

e positivo, ou seja, se ab ≥ 0 vem que ab e soma de quatro quadrados em Q. Em

particular, σ(Q) = x ∈ Q, x ≥ 0.Proposicao 3 Seja F um corpo. Entao σ(F ) e um subgrupo multiplicativo de F .

Demonstracao: De fato, se x =∑

i x2i , y =

∑j y2

j ∈ σ(F ), entao x.y =∑

i,j(xi.yj)2 ∈ σ(F ) e x−1 =1x

=x

x2=

∑

i

(xi

x

)2 ∈ σ(F ). Disto o resultado

segue. 2

Definicao 4 Um corpo F e dito formalmente real se −1 /∈ σ(F ).

Em particular um corpo formalmente real tem caracterıstica zero. De fato, seF nao tem caracterıstica zero, entao F tem caracterıstica p, onde p e um inteiropositivo e primo. Logo F contem Zp e, portanto, 0 = p.1F . Segue-se que −1F =(p− 1).1F ∈ σ(F ), o que e absurdo.

Fecharemos a proxima secao com o teorema de Artin Schreier que afirma queum corpo F e formalmente real se, e somente se, F possui pelo menos uma ordem.

O metodo mais rapido de fazer isto e usando pre-ordens, mas antes vamos vero que vem a ser ordem em um corpo, e isto e um pouco diferente de ordens sobreconjuntos.



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Definicao 5 Uma ordem sobre um corpo F e uma relacao binaria ¹ que e reflexiva,anti-simetrica, transitiva e total (isto e: para todos x, y ∈ F, ou bem x ¹ y ou bemy ¹ x). Alem disso, sobre um corpo, exige que a relacao seja compatıvel com asoperacoes do corpo, ou seja:

x ¹ y =⇒ x + z ¹ y + z, ∀x, y, z ∈ F.

x ¹ y =⇒ x.z ¹ y.z, ∀x, y, z ∈ F, com 0 ¹ z.

Proposicao 6 Um corpo F e ordenado se, e somente se, existe um subconjunto Pde F com as seguintes propriedades:

(i) P + P ⊂ P, (ii) P.P ⊂ P, (iii) F = P ∪ (−P ),(iv) P ∩ (−P ) = 0, onde −P =: −x | x ∈ P.Este subconjunto P de F e dito conjunto dos elementos positivos da ordem.

Demonstracao: De fato; se ¹ e uma ordem sobre F tome P =: x ∈ F | 0 ¹x. E facil a verificacao de que este subconjunto de F satisfaz as quatro propriedadesacima. Reciprocamente, se existe um subconjunto P de F que satisfaz as quatropropriedades acima, defina a relacao sobre F : xRy se y − x ∈ P. Tambem e facilverificar que esta relacao e uma ordem total sobre F compatıvel com as operacoesde F. O conjunto dos elementos positivos desta ordem e exatamente P, pois 0 ¹ yse, e somente se, y − 0 ∈ P. 2

Observacao 7 (a) E facil demonstrar que a tecnica usada na demonstracao daProposicao 6, nos da uma correspondencia “um a um” entre ordens sobre um corpoF e subconjuntos P de F com as propriedades citadas na Proposicao 6. Assim, deagora em diante tambem diremos que P e uma ordem de F (ou sobre F ) e, comisto estamos nos referindo a ordem ¹ sobre F tal que P = x ∈ F | 0 ¹ x.

(b) σ(F ) ⊂ P.De fato, como P e fechado para adicao por (i), basta provar que F 2 ⊂ P. Como

P e tambem fechado para a multiplicacao por (ii), se x ∈ P entao x2 ∈ P. E caso,−x ∈ P entao x2 = (−x)2 ∈ P. Portanto, em qualquer caso (x ∈ P ou −x ∈ P )temos x2 ∈ P. Como F = P

⋃(−P ), temos F 2 ⊂ P.

(c) −1 /∈ P.De fato, se −1 ∈ P entao por definicao 1 ∈ −P. Mas como 1 e um quadrado e

quadrados estao contidos em P, segue que 1 ∈ P ∩ (−P ) = 0, absurdo.(d) Assim, o corpo C nao pode ser ordenado, pois −1 = i2. Tambem, vimos

depois da Definicao 4 que −1 ∈ σ(F ), se a caracterıstica de F e p > 0. Logo, por(b) e (c) corpos de caracterıstica p > 0 nao sao ordenados.

2 Pre-Ordens

O principal resultado desta secao e o lema da extensao que sera muito util paraextensoes de ordens.

Definicao 8 Uma pre-ordem sobre um corpo F e um subconjunto T de F quesatisfaz: (v) T + T ⊂ T, (vi) T.T ⊂ T, (vii) F 2 ⊂ T e (viii) −1 /∈ T.

Note que, por definicao e pela observacao 7, toda ordem e uma pre-ordem.

Proposicao 9 Seja T uma pre-ordem de um corpo F. Entao(a) σ(F ) ⊂ T, (b) T ∩ (−T ) = 0, (c) T := T\0 e um subgrupo de F .



________________________________________________________________________

53


Demonstracao: (a) Segue facilmente dos itens (v) e (vii) da definicao e usandoinducao em n para x =

∑nj=1 x2

j ∈ σ(F ).(b) Seja y ∈ T ∩ (−T ). Entao y = −x, x, y ∈ T. Como F 2 ⊂ T, temos

−1 = (y/x) = xy( 1x2 ) ∈ T, (se x 6= 0). Absurdo. Logo y = x = 0.

(c) Sejam x, y ∈ T . Por (vi) e (vii) xy e(

1y

)2 ∈ T . Novamente por (vi) xy−1 =

xy.(

1y

)2 ∈ T . 2

Em geral o ındice [F : T ] e maior ou igual a 2. Gostarıamos que fosse 2, ouseja, gostarıamos que T fosse uma ordem. O seguinte lema garante que podemosestender uma pre-ordem ate obter uma ordem.

Lema 10 Lema da ExtensaoSejam T uma pre-ordem sobre um corpo F e a ∈ F\T. Entao T ′ := T − aT

(onde T − aT = t1 − at2, t1, t2 ∈ T) e uma pre-ordem sobre F que contem Te −a.

Demonstracao: Desde que 0, 1 ∈ T, claramente T ′ contem T e −a. Agora,sejam x = t1 − at2, y = t3 − at4 em T ′, (onde ti ∈ T ). Entao:

x + y = (t1 + t3)− a(t2 + t4) ∈ T ′ e xy = (t1t3 + a2t2t4)− a(t2t3 + t1t4) ∈ T ′.Tambem, F 2 ⊂ T ⊂ T ′ e resta mostrar que −1 /∈ T ′.

Se −1 ∈ T ′ entao −1 = t1 − at2, ti ∈ T. Se t2 6= 0 entao a =1 + t1

t2∈ T,

contrario a hipotese. Entao t2 = 0 e obtemos −1 = t1 ∈ T, outra contradicao.Portanto −1 /∈ T ′. 2

Corolario 11 Seja T uma pre-ordem sobre F. Entao(1) T e uma ordem sobre F se, e somente se, T e uma pre-ordem maximal (no

sentido de inclusao de conjuntos).(2) T ⊂ P para alguma ordem P de F.

Demonstracao: (1) suponha que T e uma ordem sobre F. Segue da definicaoque [F : T ] = 2. Como ordens sao pre-ordens segue que T e uma pre-ordem maximal.Reciprocamente, se T e uma pre-ordem entao por definicao valem os itens (i) e (ii) daProposicao 6. Pela Proposicao 9(b) o item (iv) da Proposicao 6 tambem e satisfeitoe resta provar o item (iii) da Proposicao 6, ou seja, provar que F = T

⋃(−T ). Para

cada a ∈ F, se a /∈ T pelo Lema da Extensao T ′ = T −aT e uma pre-ordem. ComoT ′ 6= F (Definicao 8(viii)), por hipotese T ′ = T. Logo −a ∈ T. Isto mostra queF = T

⋃(−T ). Isto conclui a demonstracao de (1).

(2) Como T e uma pre-ordem de F o conjunto S := T ⊂ F, T : pre-ordem enao-vazio. Ordenemos S pela inclusao de conjuntos. Se U e uma cadeia em S entao⋃

T∈U T ∈ S. Isto segue do fato de que todos elementos de U sao comparaveis, ouseja, se T1, T2 ∈ U entao T1 ⊂ T2 ou T2 ⊂ T1. Assim,

⋃T∈U T e uma cota superior

para U. Pelo Lema de Zorn ([4] 3.11) S tem um elemento maximal, digamos T0.Entao T0 satisfaz os itens da Definicao 8. Para demonstrar que T0 e uma ordem,tendo em vista a Proposicao 9(b), basta demonstrar que F = T0

⋃(−T0). Seja

a ∈ F \ T0. Pelo Lema da Extensao T ′ = T0 − aT0 e uma pre-ordem que contemT0. Com T ′ 6= F (vide Definicao 8(viii)) e T0 e maximal vem que T0 = T ′. Logo−a ∈ T0. Isto mostra que F = T0

⋃(−T0). Assim T0 e uma ordem que contem T. 2

Teorema 12 Artin-Schreier ([2], Capıtulo viii, Corolario 1.10)Um corpo F e formalmente real se, e somente se, σ(F ) e uma pre-ordem sobre

F, se, e somente se, F possui pelo menos uma ordem.



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54


Demonstracao: σ(F ) contem F 2 e e fechado para adicao e multiplicacao.Logo, se F e formalmente real entao −1 /∈ σ(F ).

Se σ(F ) e uma pre-ordem, pelo ıtem (2) do Corolario 11, σ(F ) esta contidoem uma ordem P . Portanto F possui uma ordem. Finalmente, se F possui umaordem P entao −1 /∈ P (senao P ∩ (−P ) 6= 0). Como P contem σ(F ) vem que−1 /∈ σ(F ). Logo F e formalmente real. 2

3 Extensoes de Ordens

3.1 Extensoes Quadraticas

Posso dizer que −√2 e positivo em alguma ordem? O uso frequente de tomarmossempre a funcao real

√x como tendo imagem em R+ reforca a ideia de que

√2

sempre e positiva. Mas, isto nao e sempre verdade. Temos pelo menos tres modosde construir extensoes quadraticas de Q, mas todas isomorfas.

De forma geral, seja p um numero inteiro, primo e positivo. Seja Q(√

p) :=a + b

√p, a, b ∈ Q ⊂ R, de modo natural. Podemos verificar que Q(

√p) e um

subcorpo de R.Seja F o corpo Q[X]/〈X2−p〉, ou seja, F = a+bx, onde a = a+〈X2−p〉, b =

b + 〈X2 − p〉 e x = X + 〈X2 − p〉, a, b ∈ Q. Como x2 = p, entao por definicao,x =

√p ∈ F (ou x = −√p ∈ F).

Outro modo e ver√

p como sendo (0, 1) ∈ Q × Q, desde que se considera asoperacoes em K := Q×Q do seguinte modo:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b).(c, d) = (ac + pbd, ad + bc).

Assim K e um corpo onde 1K = (1, 0), e se (a, b) 6= (0, 0) entao

(a, b)−1 =( a

a2 − pb2,− b

a2 − pb2

).

Desde que Q e isomorfo a Q× 0 e (0, 1)2 = (p, 0) ≡ p, entao√

p = (0, 1) em K.Agora e facil verificar que f : K → Q(

√p) definida por f(a, b) = a + b

√p e

g : F→ Q(√

p), definida por g(a + bx) = a + b√

p sao isomorfismos de corpos.

3.2 Extensoes de Ordens

Definicao 13 Sejam F e K corpos tais que F ⊃ K e P1 uma ordem de F. P1 edita uma extensao a F de uma ordem P sobre K se P = K ∩ P1.

Teorema 14 Sejam K um corpo ordenado por uma ordem P e F = K(√

d) umaextensao quadratica de K. Existe uma extensao de P a F se, e somente se, d ∈ P.

Demonstracao: Consideremos S := ∑xiy2i , xi ∈ P, yi ∈ F.

A verificacao de que S e fechado para adicao e multiplicacao e contem todos osquadrados de F e bem simples. Verifiquem que −1 /∈ S, por reducao ao absurdo.

Se −1 =∑

xi(αi + βi

√d)2 entao

−1 =∑

xi(α2i + β2

i d) e 0 =∑

(2xiαiβi

√d).

Logo, por hipotese, −1 ∈ P, uma contradicao. Pela Definicao 8, S e uma pre-ordemde F. Do item (2) do Corolario 11, F possui uma ordem.

Reciprocamente, se existe uma extensao P1 de P a F, entao d = (√

d)2 ∈ K∩P1 =P. 2



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55


Observacao 15 A extensao da ordem P de K ao corpo F = K(√

d) fica determi-nado por P e pela escolha de

√d sendo positivo ou negativo na ordem P1. Assim

temos duas extensoes de P a F.Para o caso

√d positivo temos:

x, y ≥ 0 =⇒ x + y√

d ≥ 0 e x, y ≤ 0 =⇒ x + y√

d ≤ 0,Usando 0 ≤ x ≤ y =⇒ x2 ≤ y2 temosx ≥ 0 > y =⇒

(x + y

√d > 0 ⇐⇒ x > −y

√d ⇐⇒ x2 > y2d ⇐⇒ (

xy

)2> d

)e

y ≥ 0 > x =⇒(x + y

√d > 0 ⇐⇒ y

√d > −x ⇐⇒ y2d > x2 ⇐⇒ ( y

x

)2> 1

d

).

Para√

d < 0 o raciocınio e analogo.

Exemplo de um corpo com um conjunto nao enumeravel de ordens.Considere p1 = 2, p2 = 3, . . . , pi, . . . primos positivos de Z e Fi = Fi−1(

√pi) =

Q(√

2,√

3, . . . ,√

pi), i > 0, onde F0 = Q. Desde que F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fi ⊂ · · ·vem que F =

⋃i≥0 Fi = Q(

√2,√

3,√

5, . . .) e um corpo.Denote por X(F ) o conjunto de todas as ordens de F. Para p > 0 um numero

primo em Z, ja vimos que existem duas ordens sobre Q(√

p) que estendem a ordemoriginal ≤ de Q. Assim existem quatro ordens sobre Q(

√p,

√q) (p e q primos

positivos em Z) que estendem a ordem original de Q, etc. Cada ordem de Ffica determinada quando se especifica que

√p e positivo ou negativo (ou seja: tem

sinal 1 ou -1). Denotemos o produto cartesiano de infinitos fatores de −1, 1 por∏∞−1, 1 e definimos ϕ : X(F ) −→ ∏∞−1, 1, por: ϕ(¹) = (a1, a2, a3, . . .),onde ai = 1 se

√pi e positivo na ordem ¹ e ai = −1, caso contrario, (pi e o i-esimo

primo). Entao ϕ e uma bijecao e como∏∞−1, 1 nao e enumeravel, temos que

X(F ) nao e enumeravel. Outras propriedades de X(F ) podem ser vistas em [1],secao 2.

4 O Espaco das Ordens de um Corpo

O conjunto das ordens de um corpo F sera denotado por XK , ou seja, XF := P |P ordem de F

Toda ordem P define uma funcao sinal, signP : F −→ ±1, signP (x) = 1, sex ∈ P e −1, se x ∈ −P.

Para cada x ∈ F , temos um conjunto ±1x o x-esimo fator do produto carte-siano Πx∈F ±1x ≡ f : F −→ ±1. Este conjunto sera denotado simplesmentepor ΠF ±1 Ele e conjunto de todas aplicacoes f : F −→ ±1.

Como P e completamente determinado por signP , temos uma injecao XF emΠF ±1. Assim podemos ver XF como um subconjunto proprio de ΠF ±1, poisexiste f ∈ ΠF ±1, tal que f(1) = f(−1) = 1 e portanto, esta funcao nao corre-sponde a uma ordem P sobre F.

Tomemos ±1 com a topologia discreta e ΠF ±1 com a topologia produto,isto e a topologia menos fina que torna as projecoes Πa : ΠF → ±1, a ∈ F ,contınuas. Como ±1 e um espaco de Hausdorff e compacto, pelo Teorema deTychonoff (veja [4], Teorema 12.9), temos que ΠF ±1 e Hausdorff e compacto.

O subconjunto XF de ΠF ±1 dotado da topologia induzida e chamado espacodas ordens de F. A topologia em XF e chamada Topologia de Harrison.

Lembremos que um subconjunto B de abertos de um espaco topologico X echamado sub-base se todo aberto de X pode ser expresso como uniao de intersecoesfinitas de elementos de B. A topologia em ΠF ±1 e definida tomando a seguinte



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56


sub-base:Π−1

a (ε) = H(a, ε) = f : F −→ ±1 | f(a) = εonde a ∈ F , ε = ±1 e Πa : Π±1 −→ ±1 e a projecao sobre o a-esimo fator.

Como a seguinte uniao e disjunta:Π±1 = H(a, ε) ∪H(a,−ε)

os conjuntos H(a, ε) sao abertos e fechados.Um espaco topologico X e chamado totalmente desconexo se quaisquer dois

pontos distintos p e q podem ser separados por uma desconexao G1 e G2 de X, istoe: existem abertos disjuntos G1, G2 tais que p ∈ G1, q ∈ G2. Alem disso G1 eG2 e uma desconexao para X, isto e: X = G1 ∪ G2. Assim se f, g ∈ ΠF ±1e f 6= g, entao existe a ∈ F tal que ε = f(a) 6= g(a). Logo f e g sao separadospela desconexao H(a, ε) e H(a,−ε). Assim ΠF ±1 e um espaco booleano, isto e,Hausdorff, compacto e totalmente desconexo.

Resta provar que XF e compacto e isto segue do famoso Teorema de Tychonoff([4], Capıtulo 12): “ Produto cartesiano de espaco compacto com a topologia pro-duto, e compacto”.

Como XF e um subconjunto de ΠF ±1, basta mostrar que XF e fechado emΠF ±1, pois subconjuntos fechados tem as propriedades hereditarias (ou herdamas propriedades: Hausdorff e conexidade).

Teorema 16 XF e um subconjunto fechado de ΠF ±1. Assim, XF e um espacobooleano com a respectiva topologia induzida.

Demonstracao: Mostremos que XC

Fe aberto. Tome a aplicacao s : F −→ ±1

que nao e definida por uma ordem. Dessa forma, pela Proposicao 6, pelo menosuma das seguintes condicoes ocorre:

(1) s−1(1) + s−1(1) 6= s−1(1)(2) s−1(1)s−1(1) 6= s−1(1) (3) s−1(1) ∪ s−1(−1) 6= FConsideremos que ocorre (1), entao a, b ∈ s−1(1) implica que a + b = c /∈ s−1(1)

e daı, s ∈ H(a, 1)∩H(b, 1)∩H(c,−1). Mas (H(a, 1)∩H(b, 1)∩H(c,−1))∩XF = Øpois se P ∈ XF , sign(a) = sign(b) = 1 entao sign(c) = 1, contradicao.

Se ocorre (2) ou (3) o raciocınio e analogo. 2

Referencias

[1] CRAVEN, T. C. The Boolean Space of Orderings of a Field, T.A.M.S. vol. 209,225-235, 1975.

[2] LAM, T.Y. Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studiesin Mathematics, vol.67, American Mathematical society, Providence, RhodeIsland, 2005.

[3] HERSTEIN, I. Topicos de Algebra, Editora Polıgono, Sao Paulo, 1970.

[4] SEYMOUR, L.Topologia Geral, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, colecaoSchaum, Sao Paulo, 1973.



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57


Análise de Temperaturas em uma Barra

Uniforme de Aço-Carbono com o Método

Explícito

Jorge Corrêa de Araújo1

Rosa García Márquez2

Resumo

Nesse trabalho é desenvolvida uma solução numérica por diferenças finitas com

o método explícito para a condução de calor em regime transiente de temperatura em

uma barra de aço-carbono unidimensional com condições de Robin. A solução analítica

foi obtida formalmente pelo método de separação de variáveis. Os resultados das

simulações mostraram que a solução numérica de fácil implementação é concordante

com a solução analítica.

Palavras Chave: Método Explícito, Solução Analítica; Calor Unidimensional.

Introdução

É bem conhecido da engenharia de materiais que durante a fabricação e o

processamento dos aços laminados o tratamento térmico pode alterar as propriedades

intrínsecas destes materiais como, por exemplo, o desempenho elétrico, mecânico e de

resistência à corrosão ([3,12]). Quando uma liga de ferro com carbono é aquecida e

esfriada repentinamente, ela se torna extremamente dura e recebe o nome de aço.

Alguns tipos de aço são classificados de acordo com a concentração de carbono (baixo,

médio ou elevado teor de carbono). O aço-carbono é um aço que emana suas

propriedades físicas tais como dureza e resistência tendo por isso, diversas aplicações na

ARAÚJO, J. C.; MÁRQUEZ, R. G. Análise de temperaturas em uma barra uniforme de aço-carbono com o método explícito.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664jcargm5869 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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58


indústria tais como: produção de arames, pregos, tubos, painéis de automóveis, etc.

(veja Sanderson et al. [9], Callister [3]).

As equações diferenciais que governam os problemas físicos de transferência de calor

em regime transiente ou não, têm soluções analíticas, caso existam, em geral muito

complicadas (Sanderson et. al [9], Silva Neto et al. [10], e Maliska [5]). Atualmente

devido ao bom desempenho dos computadores modernos, as soluções numéricas são

amplamente utilizadas por diversos pesquisadores em detrimento da busca pela solução

analítica.

1 Formulação do problema

Os resfriamentos forçados de ligas de aço de forma controlada permitem à predição

local da temperatura em cada ponto da amostra material de modo a garantir as

propriedades desejáveis para uso industrial.

Nesse trabalho é apresentada detalhadamente a conhecida solução analítica para o

problema da condução de calor em uma barra homogênea unidimensional com condição

de Robin (3o tipo) nas extremidades ([2,4]). Também uma solução numérica na forma

explícita usando o método das diferenças finitas ([1,8]) foi utilizada para a

representação da temperatura. Os resultados obtidos com as diferentes aproximações

ficaram em boa concordância.

Tabela 1: Propriedades da barra fina de aço-carbono

Parâmetros do Processo Notação Valores

Comprimento da barra L 0,02 m

Temperatura Inicial )(xf C0300

Temperatura ambiente TA C035

Difusividade térmica sm /108,18 26

Coeficiente de condutividade

térmica

k CmW o/9,63

Coeficiente de troca térmica h CmWo2/100

Consideraremos que as superfícies laterais da barra encontram-se isoladas. Será

admitido também que as seções retas são tão pequenas que a temperatura em cada ponto

seja uniforme. Repentinamente, as extremidades ficam sujeitas a convecção com



________________________________________________________________________

59


coeficiente de troca térmica h com temperatura do fluido igual a temperatura ambiente,

isto é, Af TT (Fig.1).

Figura 1: Barra uniforme de aço-carbono com convecção nas extremidades

Se ),( txT representa a temperatura da barra em cada ponto x e temperatura t, a variação

da temperatura ao longo da barra em regime transiente (Boyce DiPrima [2], Davis [4],

Menzala [6]) é governada pela equação diferencial parcial dada por

),(1

),(2

2

txt

Ttx

x

T

, Lx 0 e 0t (1)

A distribuição da temperatura está sujeita as seguintes condições:

ATtThtx

Tk

),0(),0( , 0t (1a)

ATtLThtLx

Tk

),(),( , 0t (1b)

)()0,( xfxT , Lx 0 (1c)

As condições (1a) e (1b) são conhecidas como condições de Robin (3o tipo).

2 Formulação analítica

O tratamento que será aqui desenvolvido na formulação analítica é baseada no

desenvolvimento proposto por Boyce e DiPrima [2] para o mesmo problema só que

usando somente a condição de Dirichlet (1o tipo) que utiliza temperaturas pré-fixadas

nas extremidades da barra enquanto o problema proposto nesse estudo utiliza a

condição de Robin (3o tipo) que é a troca de calor por convecção nas extremidades da

barra.

T(x,t)

x=0 x=L/2 x=L



________________________________________________________________________

60


As condições (1a) e (1b) não são necessariamente homogêneas, portanto uma nova

temperatura que mede o excesso da temperatura ambiente é definida por

LTtxTtx ),(),( (1d)

de modo que a equação (1) combinada com as condições de contorno (1a) e (1b)

reescrevem-se como na forma de equações homogêneas

),(1

),(2

2

txt

txx

, Lx 0 , 0t (2)

0),0(),0(

tht

xk

, 0t (2a)

0),(),(

tlhtl

xk

, 0t (2b)

Txfx )(0, , 0t (2c)

Para resolver a equação (2) será aplicado o método de separação de variáveis ([2], [6] e

[11]) que consiste em assumir que a temperatura ),( tx pode ser representada como um

produto de uma função de posição )(xW com outra função de temperatura )(t , isto é,

)()(),( txWtx (3)

Da equação (3) resultam

)()(),(2

2

2

2

txdx

Wdtx

x

(4)

)()(),( tdt

dxWtx

t

(5)

Substituindo as equações (4 e 5) na equação (2) e separando as variáveis tem-se

dt

td

tdx

xWd

xW

)(

)(

11)(

)(

12

2

(5a)

A igualdade da equação (5a) é verdadeira se ambos os lados são iguais a uma mesma

constante de separação . O sinal negativo para a constante de separação é para

assegurar o decaimento de )(t com o tempo t como será visto mais adiante. Da equação

(5a) resultam duas equações diferenciais ordinárias



________________________________________________________________________

61


0)()(2

2

xWxdx

Wd (6)

0)()(

ttdt

d (7)

Portanto a constante está associada a um problema de autovalor de funções. A solução

da equação (7) mostra que tet2

)( com 2 . Das equações (2a e 3) tem-se

0)()()()(

txhWtdx

xdWk (8)

A solução geral da equação (6) é dada por

xcxsencxW cos)( 21 (9)

Substituindo a equação (9) na equação (8) obtém-se a equação

0)(cos)()cos( 2121 txcxsenchtxsencxck (10)

Que deve ser válida para todo x. Desde que 0)( t para todo t a equação (10) no ponto

x=0, fica da forma

021 hckc (11)

O que mostra que a constante 1c é proporcional a k

hH e 2c é proporcional a .

Novamente usando o fato de que 0)( t , a equação (8) pode ser posta na forma

)()(

xhWdx

xdWk (11a)

Usando a proporcionalidade das constantes 21 e cc as autofunções da equação (6) dadas

pela equação (9) podem ser postas na forma

xxHsenxW cos)( (12)

Logo o objetivo é determinar para a determinação de )(xX . Combinando as equações

(11a e 12) em Lx tem-se

0coscos 2 LLHsenhLsenLHk (13)

LHk

HkhLsen

cos

2

(14)

Multiplicando e dividindo o lado direito da equação (14) pelo fator k

1 resulta na

equação



________________________________________________________________________

62


LH

HLsen

cos

222

(15)

A qual pode ser colocada na forma

22

2tan

H

HL

(16)

A equação (16) é transcendental, não podendo ser resolvida analiticamente. Nesse caso,

soluções numéricas podem ser obtidas dos zeros ( n ) da função

22

2tan

H

HL

n

nnn

(17)

Desde que tet2

)( segue da equação (3) que

t

nnnexWtx

)(, (18)

Onde )(xWn são as autofunções dadas pela por xxsenHxW nnnn cos)( ,

associadas aos autovalores n . Pode ser mostrado de forma direta que as funções

txn , satisfazem as equações (2-2a-2b). Logo, usando o princípio da superposição das

soluções, a solução completa tx, é dada por

)(,1

xWectx n

t

nn

(19)

Das equações (2c e 19)

)()(0,1

xWcxFx nn

(20)

A equação (12) mostra que )(xWn é uma combinação linear de senos e cossenos logo

os coeficientes nc são coeficientes de Fourier para )(xf periódica de período L2 . Isto é,

dxxWxFN

c n

L

n )()(1

0

(21)

onde TxfxF )()(

2

2)(

2

0

2 HHLdxxWN n

L

n

(22)

Substituindo as equações (21-22) na equação (19) e usando o fato de que

TT tem-se finalmente a expressão da solução analítica



________________________________________________________________________

63


dxxWxFxWeHHL

TtxT n

L

n

t

n

A )()()(2

12,

01

2

2

(23)

3 Formulação numérica

O método das diferenças finitas que utilizaremos nesse estudo é dado na forma

explícita. A vantagem é a facilidade de programação e a desvantagem é que essa

formulação é condicionalmente estável, isto é, deverá existir uma relação entre as

larguras das malhas espacial e temporal. Será usado o esquema de diferenças avançadas

no tempo na primeira derivada da equação (1) e centradas na posição para a derivada

segunda da equação (1). Desse modo tem-se

t

TT

t

Tn

i

n

i

n

i

1

(24)

2

11

2

2 2

2

1

x

TTT

x

Tn

i

n

i

n

i

n

i

(25)

Substituindo as equações (24-25) na equação (1) resulta a formulação explícita

n

i

n

i

n

i

n

i rTTrrTT 11

1 )21(

(26)

onde 2x

tr

, 11 Ni . O método é condicionalmente estável se 2

1r .

A Fig.2 mostra a molécula de cálculo com diferença avançada no tempo e centrada na

posição i e avançada no tempo n.

Figura 2: Malha computacional e molécula de cálculo com formulação explícita

Para esse problema foram usadas as condições de balanço de energia proposto por

Osizik [7] nos extremos da barra sujeito as condições convectivas como

n

t

1

1

n

iT 1n

iT 1

1

n

iT

n

iT 1 n

iT n

iT 1



________________________________________________________________________

64


A

nn xTk

hT

xk

hT 1

1

1

0

1

1, 0x (27)

LxxTk

hT

xk

hT A

n

N

n

N

,

1

1 1

1

1 (28)

4 Resultados

As simulações numéricas consideraram inicialmente a barra de aço-carbono de

comprimento L = 0,02 m subdividida em 5 e 10 subintervalos igualmente espaçados

tem-se,

No primeiro caso 004,05 Lx , 40,0t e 47.0r .

No segundo caso 002,010 Lx , 085.0t e 399.0r .

Considerando, 5649,1k

hH , 6108,18 , 300)( xf e definindo

22

2tan)(

H

HL

na equação (16), podemos observar na Fig. 3 que )( admite cinco raízes no intervalo

[0, 220]. Então considerando as aproximações iniciais 300,15010, o

3

o

2

o

1 ,

450o

4 e 600o

5 , e utilizando o método iterativo de Newton ( 810 ) (Ruggiero

et. al [8]) obtemos as raízes: 112,47724201 , 0696357,1582 , 6566114,3143 ,

5707548,4714 e 56750030,6285 .



________________________________________________________________________

65


Figura 3. Gráfico da função no intervalo de ]700,0[ radianos para a localização

de raízes 5

1n .

Considerando os primeiros cinco termos da série na equação (23), temos a descrição da

temperatura ),( txT em cada ponto da barra.

A Fig. 4 mostra que a solução numérica com 004,05 Lx para descrever o

decaimento da temperatura na extremidade da barra não está em concordância com a

solução analítica ao longo do tempo, enquanto usando uma malha mais fina

( 002,010 Lx ) nota-se uma menor dissipação entre as soluções numérica e a

analítica.

Figura 4. Gráfico do perfil de temperaturas em 004,0x m com o tempo de 1000 s

O objetivo com esses parâmetros foi testar o progresso da solução numérica quando o

refinamento da malha foi duplicado. As comparações foram realizadas nos pontos



________________________________________________________________________

66


4..1, ixiPi , isto é, nos pontos 5Lxi ,

54

53

52 e , LLL . Para a solução analítica a

série dada pela equação (26) utilizou 15 termos.

Na Fig. 5, pode ser notado um maior resfriamento na extremidade da barra em relação

ao meio da barra. Observa-se claramente que o perfil das curvas de temperaturas nesses

pontos confirma a distribuição na barra, onde existe uma maior temperatura. De fato,

após 20 segundos, 7987701,285)20,(4

LT , 7987701,285)20,(4

3 LT e

287622,286)20,(2

LT (oC), entretanto após 2000s (33,3 minutos) as temperaturas

nesses pontos são menos diferençadas 76304384,35)2000,()2000,(4

34

LL TT e

76453115,35)2000,(2

LT (oC), e estão próximas à temperatura ambiente, como era de

se esperar. A dissipação de calor com as condições dadas mostram que as temperaturas

decaem mais rapidamente nos extremos da barra (em forma simétrica) já que a

superfície lateral está termicamente isolada e o material é homogêneo.

Figura 5. Perfil das curvas de temperaturas ),( xT após 5, 10, 20, 40 e 55 segundos.

Observa-se que a temperatura é menor nos extremos da barra e diminui em forma

simétrica em relação ao meio da barra, onde a temperatura é levemente maior.

4 Conclusões

O problema de transferência de calor em uma barra de aço-carbono em regime

transiente com condições de Robin foi resolvido analiticamente de modo formal pelo

método de separação de variáveis. Uma solução numérica foi proposta envolvendo o



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67


esquema de diferenças finitas com o método explícito. Esse método, embora de fácil

programação, tem um elevado esforço computacional além de ter a desvantagem de ser

condicionalmente estável. O método numérico mostrou-se adequado para uma

comparação com os resultados obtidos com a solução analítica desenvolvida.

Os perfis de temperaturas analisados em diferentes pontos da barra mostram um

pequeno acréscimo da temperatura na região central, ),(),(22

txTtT LL para todo

[,0]2Lx e 0t . Também a simetria da distribuição de temperatura em relação a essa

região central pode ser observada.

Este trabalho pode ser aplicado a um estudo similar, ao substituir a função f(x) dada na

tabela 1, por qualquer outra função de temperatura.

Referências

[1] ARAÚJO, J.C., MÁRQUEZ, R.G. Distribuição de Temperaturas em uma Barra

Uniforme de Aço-Carbono com o Método de Crank-Nicolson. Cadernos do IME. Série

Matemática – Vol 24 (impresso)/Vol 6 (online) – Dez. 2012. Disponível em:

<http://magnum.ime.uerj.br/cadernos_mat/>

[2] BOYCE, W. E; DiPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas

de Valores de Contorno. 6a Edição. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A., (1999).

[3] CALLISTER, W. D. Ciência e Engenharia de Materiais uma Introdução. 5a edição.

LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., São Paulo, (2002).

[4] DAVIS, H. F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover Publications, Inc.

New York, (1963).

[5] MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e

Coordenadas Generalizadas. 1 Edição. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e

Científicos. Editora S.A., (1985).

[6] MENZALA, G. P., Introdução ás Equações Diferenciais Parciais. 11o Colóquio

Brasileiro de Matemática. Poços de Caldas, Impa. (1977).

[7] OZISIK, M. N. Heat Transfer A Basic Approach. MacGraw-Hill Book Company.,

(1985).



________________________________________________________________________

68


http://magnum.ime.uerj.br/cadernos_mat/

[8] RUGGIERO M. G. E LOPES V. L. Cálculo Numérico. Aspectos teóricos e

computacionais. 3a edição. Ed. Pearson, (1996).

[9] SANDERSON, L.G., ARAÚJO J.C. et al. Simulações do resfriamento de Chapas de

aço em laminação controlada, Matéria, Vol. 9, N.1 43-54, (2004).

[10] SILVA NETO, A. J.; VASCONCELLOS, J.F.V. Uma introdução aos Métodos de

Diferenças Finitas e Volumes Finitos com Aplicações em Transferência de Calor e

Massa, LEMA, IPRJ, Nova Friburgo, RJ, (2002).

[11] www.ime.uerj.br/~calculo/LivroV/edp.pdf (Apostila de Equações Diferenciais

Parciais) (Acesso em nov. 2012).

[12] www.revistadoaco.com.br/estimativa-das-propriedades-mecanicas-de-barras-de-

aco-carbono-pela-composicao-quimica/ (Acesso em: nov. 2012).



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A geometria da Esponja de Menger

Andrea Cristina Prokopczyk Arita ∗

Flavia Souza Machado da Silva †

Laura Rezzieri Gambera ‡

Resumo

Neste trabalho estudaremos algumas propriedades geometricas do fractal “Es-ponja de Menger”, que e um objeto matematico construıdo atraves de um processorecursivo infinito que o torna auto-semelhante. Alem disso, a dimensao de umfractal nao e necessariamente um numero inteiro, diferentemente do que ocorre comos objetos da Geometria Euclidiana. Mais ainda, a Esponja possui area infinita evolume nulo, fatos que demonstraremos ao longo deste texto.

Palavras Chave: Esponja de Menger, fractal, dimensao fracionaria, area, volume.

Introducao

Na constituicao do nosso mundo, muitas formas da natureza, como por exemplo,a costa de alguns paıses, algumas plantas, rios, montanhas e cordilheiras, possuemem sua forma componentes irregulares. Simplifica-las para figuras da geometriaeuclidiana, como pontos, segmentos, triangulos, cubos etc., seria muito inadequado.Contudo, muitas dessas formas podem ser recriadas por meio de regras simples deconstrucao geometrica, gerando estruturas de complexidade admiravel que recebemo nome de fractais.

Em particular, neste trabalho, estudaremos o fractal “Esponja de Menger”, quefoi apresentado pela primeira vez pelo matematico austrıaco Karl Menger (1902-1985), no ano de 1926, enquanto ele explorava o conceito de dimensao topologica.Este objeto matematico e um exemplo classico de um fractal construıdo a partirde uma figura em tres dimensoes e, na verdade, nada mais e do que uma extensaotridimensional do Conjunto de Cantor e do Carpete de Sierpinski.

Por se tratar de um fractal, a auto-semelhanca e a complexidade infinita saoduas caracterısticas principais da Esponja de Menger. A auto-semelhanca significaque o objeto pode ser dividido em varias partes, cada uma das quais semelhante aoobjeto original. A complexidade infinita refere-se ao fato de que o processo de sua

∗Email: [email protected]. Departamento de Matematica, Universidade Estadual PaulistaJulio de Mesquita Filho - Sao Jose do Rio Preto - SP†Email: [email protected]. Departamento de Matematica, Universidade Estadual Paulista Juliode Mesquita Filho - Sao Jose do Rio Preto - SP

‡Email: [email protected]. Curso de Licenciatura em Matematica, bolsista PET/MEC, Uni-versidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho - Sao Jose do Rio Preto - SP

ARITA, A. C. P.; SILVA, F. S. M.; GAMBERA, L. R. A geometria da esponja de Menger.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664acpafsmslrg7077 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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construcao e recursivo e dispoe de um numero infinito de procedimentos a seremexecutados.

Alem disso, a Esponja possui dimensao fracionaria, entre 2 e 3, dando a ideia deum objeto geometrico que nao e plano, nem tridimensional. Outro fato interessantee que este fractal possui o seguinte paradoxo: ser um objeto geometrico com areainfinita e volume nulo.

Com relacao a literatura referente a este assunto, o paradoxo acima e bem co-nhecido, bem como o calculo da dimensao e do volume da Esponja, veja, por exem-plo, [1, 4]. Todavia, do que e de nosso conhecimento, um estudo detalhado sobre ocalculo de sua area nao e apresentado. Na verdade, em [4] e apresentado um calculopara esta area porem, esse calculo nao leva em consideracao as perdas de area queocorrem em cada estagio. Este fato foi a principal motivacao para o desenvolvi-mento deste trabalho, que esta dividido em 4 secoes. Na primeira, apresentamosa construcao da Esponja de Menger, destacando algumas propriedades que seraousadas posteriormente. Na secao 2, deduzimos, a partir da geometria euclidiana, oconceito de dimensao e entao, calculamos a dimensao da Esponja. Ja nas secoes 3e 4 apresentamos, respectivamente, os calculos de sua area e volume.

1 Construcao

A Esponja de Menger e construıda a partir de um cubo atraves do seguinteprocesso recursivo:

1. Tome um cubo qualquer (Figura 1(a)).

2. Divida cada face do cubo em 9 quadrados. Desse modo o cubo inicial ficasubdividido em 27 cubos menores.

3. Remova o cubo localizado no meio de cada face e o cubo central, deixandoapenas 20 cubos restantes (Figura 1(b)). Este e o primeiro nıvel da Esponjade Menger.

4. Repita os passos 2 e 3 para cada um dos 20 pequenos cubos restantes do nıvelanterior. Assim, obtemos o segundo nıvel da Esponja (Figura 1(c)).

Note que, neste nıvel, estamos dividindo cada um dos 20 cubos do nıvel anteriorem outros 20 cubos menores, obtendo no final 202 cubos.

5. A Esponja de Menger e o limite deste processo depois de um numero infinitode iteracoes.

(a) (b) (c)

Figura 1: Esponja de Menger nıvel 0 ao nıvel 2.



________________________________________________________________________

71


Observe que se n e o numero de iteracoes realizadas no cubo inicial, o numero decubos aumenta 20n. Assim, podemos contar, em cada nıvel, quantos sao os cubosremovidos e restantes, como mostra a Tabela 1 a seguir.

Nıvel 0 1 2 3 · · · n

Cubos removidos 0 7 7× 20 7× 202 · · · 7× 20n−1

Cubos restantes 1 = 200 201 202 203 · · · 20n

Tabela 1: Contagem por nıvel dos cubos da Esponja de Menger.

2 Dimensao fractal

O conceito de dimensao foi utilizado na primeira definicao de fractal, dadapor Mandelbrot. Para ele, um fractal e um conjunto para o qual a dimensao deHausdorff-Besicovitch excede estritamente sua dimensao topologica. Porem, essadefinicao nao agradou muitos matematicos, inclusive o proprio Mandelbrot, porser muito restritiva. Assim, passou-se a definir um fractal em termos de outraspropriedades.

Contudo, a dimensao de um fractal, que representa o grau de ocupacao de sua es-trutura no espaco que a contem, ainda e algo intrigante, pois nao se trata necessaria-mente de um numero inteiro, como ocorre com os objetos da geometria euclidiana.Mas como calcular a dimensao de um fractal?

Para entendermos este calculo, vamos, primeiramente, estudar a dimensao defiguras ja conhecidas. Por exemplo, sabemos que a dimensao de uma reta e 1, adimensao de um quadrado e 2 e a dimensao de um cubo, 3. Alem disso, essas tresfiguras da geometria euclidiana possuem a propriedade de auto-semelhanca, isto e,cada uma pode ser dividida em figuras menores, porem, similares a inicial, comoexemplificado na Figura 2.

Figura 2: Segmento de reta, quadrado e cubo divididos em figuras menores,similares a inicial.

Observe que o segmento de reta foi dividido em 5 partes iguais, o quadrado em 9e o cubo em 8, sendo cada uma dessas partes similar a figura inicial. Mais ainda, aomultiplicarmos cada parte do segmento por 5, obtemos o segmento inicial. Assim,dizemos que o fator de aumento para o segmento e 5. O mesmo acontece com oquadrado, onde o fator de aumento e 3, e com o cubo, com fator de aumento 2.

Dessa forma, obtemos a seguinte relacao:

(i) No segmento, o numero de partes e 5, que podemos escrever como 5 = 51,onde 5 e o fator de aumento e 1 e a dimensao do segmento.

(ii) No quadrado, o numero de partes e 9, que escrevemos na forma 9 = 32, onde3 e o fator de aumento e 2 e a dimensao do quadrado.



________________________________________________________________________

72


(iii) No cubo, o numero de partes e 8, que e descrito por 8 = 23, onde 2 e o fatorde aumento e 3 e a dimensao do quadrado.

Em geral, o numero n de partes de uma figura que possui a propriedade deauto-semelhanca e dado por

n = mD,

ondem e o fator de aumento eD e a dimensao da figura inicial. Logo, para obtermosa dimensao de uma figura qualquer, basta encontrarmos o valor de D que aparecena expressao acima. Para isso, precisamos aplicar a funcao logaritmo em ambos oslados da igualdade. Portanto, segue que

D =log n

logm,

onde n e o numero de partes em que foi dividida a figura e m e o fator de aumento.Esta definicao pode ser facilmente aplicada a fractais que sao obtidos por meio

de um processo iterativo, como no caso da Esponja de Menger. Neste caso, usandoa Tabela 1, nota-se que, no primeiro nıvel, a figura inicial foi dividida em 20 partes,sendo que cada uma delas deve ser multiplicada por 3 para se tornar igual ao cuboinicial. Entao, a dimensao da Esponja e

D =log 20

log 3=

1, 30103

0, 47712≈ 2, 73.

Logo, podemos entender este objeto matematico como estando entre um ele-mento do plano, cuja dimensao e 2, e um objeto do espaco, cuja dimensao e 3.

Observamos ainda que se fizermos o calculo da dimensao da Esponja usando osdados de qualquer outro nıvel de sua construcao, o valor obtido sera o mesmo.

3 Calculando a area

Nesta secao vamos calcular a area da Esponja de Menger. Note que, por ser umfractal obtido por um processo infinito, sua area sera o limite, quando n tender aoinfinito, da area obtida em sua n-esima etapa de construcao. Assim, para obtermosa area da Esponja, precisamos calcular a area na n-esima etapa de sua construcaoe entao tomarmos o limite com n tendendo ao infinito.

Pela maneira como a Esponja de Menger e construıda podemos observar que aarea em cada nıvel de seu processo de construcao depende da area do nıvel anterior,o que nos fornece um processo recursivo. Alem disso, a figura obtida em cada nıvel ecomposta por varios quadrados de mesma area, sendo que a area de cada quadrado

e1

9da area do quadrado obtido no nıvel anterior. Dessa forma, para calcularmos

a area no nıvel n, precisamos encontrar a quantidade de quadrados que sao obtidosneste nıvel, o que faremos com o auxılio da Tabela 1 da Secao 1.

Denotemos por An e qn a area e o numero de quadrados obtidos na n-esimaetapa de construcao da Esponja, respectivamente.

Na etapa inicial, quando n = 0, temos um cubo formado por 6 quadrados, quesao suas faces. Logo, q0 = 6, como ilustrado na Figura 3.

Supondo que a area de cada um desses quadrados seja igual a A, segue que aarea no nıvel 0 e dada por

A0 = q0A = 6A.



________________________________________________________________________

73


Figura 3: Esponja de Menger nıvel 0.

Na primeira etapa da construcao da Esponja, com n = 1, sao retirados os cuboslocalizados no meio de cada face e o cubo central, como podemos ver na Figura 4.Assim, para cada um dos quadrados que formam as faces do cubo inicial temos 8novos quadrados.


Alem disso, observe que ao serem retirados os cubos centrais de cada face obte-mos 6 “tuneis”, o que gera um aumento no numero de quadrados. Na Figura 5 apre-sentamos um corte no nıvel 1 da construcao da Esponja de Menger para auxiliar avisualizacao dos “tuneis” e dos quadrados ganhos, sendo que estamos considerandopara nosso calculo somente os quadrados coloridos de amarelo.

Figura 5: Corte do nıvel 1 da Esponja de Menger.

Dessa forma, segue que cada “tunel” e formado por 4 quadrados, que determinamsuas laterais, “piso” e “teto”, gerando um acrescimo total de 6 · 4 = 24 quadrados.Logo, o numero de quadrados obtidos no nıvel 1 e dado por

q1 = q0 · 8 + 1 · 24 = 6 · 8 + 200 · 24.

Note ainda que, pela forma como sao realizados os passos 2 e 3 da construcao

da Esponja, cada um dos quadrados formados no nıvel 1 tem area igual a1

9A.

Portanto, na primeira etapa de construcao da Esponja de Menger a area e dada por

A1 = q11

9A = 6 ·

(8

9

)1

A+24

9

(20

9

)0

A.



________________________________________________________________________

74


Vejamos agora qual e a area na segunda etapa. Neste caso, para cada quadradoobtido no nıvel anterior temos 8 novos quadrados e para cada um dos 20 cubosrestantes no nıvel 1 aparecem mais 24 quadrados, referentes aos “tuneis” formadosnesta etapa, como ilustrado nas Figuras 6 e 7.


Figura 7: Corte do nıvel 2 da Esponja de Menger.

Logo, o numero de quadrados obtidos no nıvel 2 e dado por

q2 = q1 · 8 + 20 · 24 = 6 · 82 + 200 · 24 · 8 + 201 · 24.

Observe ainda que cada quadrado obtido no nıvel 2 tem area igual1

92A. Por-

tanto, a area no nıvel 2 e dada por

A2 = q21

92A = 6 ·

(8

9

)2

A+200 · 24

9

(8

9

)1

A+24

9

(20

9

)1

A.

Raciocinando de modo analogo as etapas anteriores, analisemos a area obtidano terceiro nıvel da construcao da Esponja. Neste caso, cada quadrado obtido tem

area igual1

93A e o numero de quadrados e

q3 = q2 · 8 + 202 · 24 = 6 · 83 + 200 · 24 · 82 + 201 · 24 · 8 + 202 · 24.

Portanto, a area no nıvel 3 e dada por

A3 = q31

93A = 6 ·

(8

9

)3

A+200 · 24

9

(8

9

)2

A+201 · 24

92

(8

9

)1

A+24

9

(20

9

)2

A.

Procedendo de maneira recursiva, obtemos que o numero de quadrados obtidosno nıvel n e dado por

qn = qn−1 · 8 + 20n−1 · 24= 6 · 8n + 200 · 24 · 8n−1 + 201 · 24 · 8n−2 + . . .+ 20n−2 · 24 · 8 + 20n−1 · 24



________________________________________________________________________

75


e a area no nıvel n e dada por

An = qn1

9nA

= 6 ·(8

9

)n

A+200 · 24

9

(8

9

)n−1

A+201 · 24

92

(8

9

)n−2

A+ . . .+

+20n−2 · 24

9n−1·(8

9

)1

+24

9

(20

9

)n−1

A.

Por fim, para calcularmos a area da Esponja, note que

24

9

(20

9

)n−1

A < An

e

limn→∞

24

9

(20

9

)n−1

A =24

9A lim

n→∞

(20

9

)n−1

= ∞,

pois20

9> 1.

Portanto, a area da Esponja de Menger e igual a

limn→∞

An = ∞,

ou seja, a area da Esponja e infinita.

4 Calculando o volume

Nesta secao iremos calcular o volume da Esponja de Menger. Neste caso, assimcomo no calculo da area, o volume sera o limite, quando n tender ao infinito, dovolume da figura obtida na n-esima etapa de sua construcao.

Denotemos por V e Vn o volume do cubo inicial e o volume no n-esimo nıvel deconstrucao, respectivamente.

No nıvel 1, dividimos nosso cubo inicial em 27 cubos menores, com volume igual

a1

27V cada, e perdemos 7 desses cubos. Desse modo, o volume obtido e

V1 = V − 7 · 1

27V =

20

27V.

No nıvel 2, sao removidos 7 × 20 cubos, sendo que cada um deles tem volume

igual a1

27

(1

27V

). Entao, o volume total e

V2 = V1 − 7 · 20(

1

27

)2

V =20

27V − 7 · 20

(1

27

)2

V =

(20

27

)2

V.

Repetindo este raciocınio, no nıvel n, retiramos 7× 20n−1 cubos, cada um deles

tendo volume igual a

(1

27

)n

V . Logo, o volume total no nıvel n e

Vn =

(20

27

)n−1

V − 7 · 20n−1

(1

27

)n

V =

(20

27

)n

V.

Portanto, o volume da Esponja de Menger e igual a

limn→∞

[(20

27

)n

V

]= V lim

n→∞

(20

27

)n

= 0,

pois20

27< 1. Isto e, a Esponja tem volume nulo.



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76


Referencias

[1] BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal, Belo Horizonte:Autentica, (2005).

[2] BARNSLEY, M. F. Fractals everywhere, Academic Press Professional, (1993).

[3] JANOS, M. Geometria fractal, Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna Ltda,(2008).

[4] ASSIS, T. A.; MIRANDA, J. G. V.; MOTA, F. B.; ANDRADE, R. F. S.;CASTILHO, C. M. C. Geometria fractal: propriedades e caracterısticas defractais ideais, Rev. Bras. Ens. Fis., 30, no. 2, 2304, (2008).



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Uma Curva Elıptica sobre F23

Jaime Edmundo Apaza Rodriguez ∗

Departamento de Matematica, UNESP, Ilha Solteira

Resumo

Neste trabalho apresentamos um modelo de Curva Elıptica definida sobre umCorpo Primo. Nas primeiras secoes fazemos um estudo preliminar das CurvasElıpticas e Corpos Finitos, em especial os Corpos de Galois, onde sao definidas asoperacoes de adicao na curva elıptica em cada caso (dependendo da caracterısticado corpo em questao). Na ultima secao apresentamos um modelo de Curva Elıpticadefinida sobre F23.

Palavras Chave: Curva Elıptica, Corpo Finito, Corpo Primo, Equacao de Wei-erstrass, caracterıstica de um corpo.

1 Introducao

A Teoria das Curvas Elıpticas e um dos mais belos assuntos da Matematica e temaplicacoes em diversas areas, como por exemplo em, Geometria Diferencial (Su-perfıcies Mınimas), Teoria dos Numeros (ultimo Teorema de Fermat, Teorema deWiles-Taylor), Geometria Algebrica sobre Corpos Finitos (Teorema de Hasse-Weil,Hipotese de Riemann) e Criptografia (senhas, autenticacoes, assinaturas digitais,etc.)

As curvas elıpticas se definem mediante equacoes cubicas (polinomios de grau3). Tem sido usadas para provar o ultimo Teorema de Fermat e se empregamtambem em Criptografia e em Fatoracao de Inteiros. Estas curvas nao sao elipses.As curvas elıpticas sao “regulares” ou “nao-singulares”, o que significa que naotem “cuspides” nem auto-interseccoes, e pode-se definir uma operacao binaria noconjunto de seus pontos de uma maneira geometrica natural, o que fornece a esteconjunto uma estrutura de grupo abeliano.

As curvas elıpticas podem definir-se sobre qualquer corpo K. Se a caracterısticade K nao e nem 2 nem 3, entao toda curva elıptica sobre K pode-se escrever naforma

y2 = x3 + ax+ b,

onde a e b sao elementos de K, com = 4a3+27b2 = 0 (discriminante nao-nulo), demodo que o polinomio x3+ax+b nao tenha nenhuma raiz dupla. Se a caracterısticafor 2 ou 3 sera necessario considerar mais termos na equacao acima.

Normalmente se define uma curva algebrica como o conjunto de todos os pontos(x, y) que satisfazem a equacao acima dada, tais que x e y sejam elementos do fecho

∗Email: [email protected]

RODRIGUES, J. E. A. Uma curva elíptica sobre F .

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664jear7885 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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dez. 2013.C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 78-85,23

algebrico do corpo K. Os pontos da curva cujas coordenadas pertencam ambas a Kse chamam pontos K-racionais. Se adicionarmos um ponto “ao infinito”, obteremosa versao projetiva de tal curva. A condicao sobre os coeficientes do polinomio quedefine a curva ( = 0) e equivalente a nao existencia de pontos singulares da curva.O ponto no infinito e o unico na curva elıptica, que e um ponto de inflexao e nao eponto singular. Portanto o genero da curva e um.

Se temos dois pontos da curva, P e Q entao podemos descrever, de formaunıvoca, um terceiro ponto R, que seja a interseccao da curva com a linha quepassa pelos dois pontos P e Q. Se a linha e tangente a curva em um ponto, entaoesse ponto contara duas vezes; e se a linha e paralela ao eixo y, definimos o terceiroponto como o ponto “no infinito”. Entao justamente uma de tais condicoes sera aque cumpra qualquer par de pontos de uma curva elıptica.

2 Curvas Elıpticas

Definicao 2.1 Uma Curva Elıptica E, definida sobre um corpo arbitrario K, e umacurva projetiva plana, nao singular, de grau 3 sobre K, com um ponto K-racionalO (com coordenadas em K) sobre a curva E.

Tal curva pode ser descrita pela chamada forma de Weierstrass, em coordenadashomogeneas x, y, z:

E : y2z + a1xyz + a3yz2 = x3 + a2x

2z + a4xz2 + a6z

3,

onde a1, · · · , a6 ∈ K, com discriminante = 0.Este discriminante e uma expressao polinomica nos coeficientes a1, · · · , a6. A

restricao = 0 e necessaria e suficiente para que E seja nao-singular. A curvaE tem exatamente um K-racional ponto no ”infinito” (0 : 1 : 0), obtido fazendoz = 0 na equacao acima. Este ponto faz o papel da origem. Algumas vezes e precisodestacar o corpo K na definicao da curva elıptica, denotando isto por E/K.

Em geral estaremos interessados na parte afim da curva E, ou seja, quandoz = 0. Assim temos

E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6.

Para corpos K com caracterıstica maior do que 2, pode-se transformar a forma deWeierstrass, por meio da mudanca de coordenadas:

x = x+a21 + 4a2

12, y = y +

a12x+

a32,

para a forma afim E : y2 = x3 + ax + b, onde a, b ∈ K, tal que o discriminante = 4a3 + 27b2 = 0. Esta forma e tambem conhecida como a forma curta deWeierstrass e e usada algumas vezes.

Observacao 2.1 Para aplicacoes praticas, corpos finitos do tipo K = GF (2m) =F2m sao muito importantes. Para curvas elıpticas sobre este tipo de corpos, a teoriaacima mencionada deve ser modificada ligeramente.

Em 1955, Yutaka Taniyama respondeu algumas questoes sobre acerca de curvaselıpticas da forma y2 = x3 + ax+ b, onde a e b sao constantes. Em 1971, Ives Helle-gourach estudou a aplicacao das curvas elıpticas para resolver o ultimo Teorema deFermat. As curvas elıpticas tambem podem ser vistas nas construcoes matematicas



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da Teoria dos Numeros e Geometria Algebrica, as quais tem encontrado numerosasaplicacoes criptograficas nos ultimos anos.

O criptossistema com curvas elıpticas (ECC) e relativamente novo. O ECC foiintroduzido pela primeira vez porMiller e independentemente por Klobitz ao redor de1980 e hoje tem evoluido para se tornar um sistema criptografico maturo. O ECC,desde o seu inicio, foi proposto como uma alternativa a sistemas de chave publica taiscomo o DH, DSA, RSA e ElGamal. Isto se deve ao fato de que as curvas elıpticasnao introduzem novos algoritmos criptograficos, mas elas permitem implementaralgoritmos ja existentes. Desta forma, as variantes de esquemas ja existentes podemser planejados de modo que a sua seguranca dependa de um problema subjacentede dificil solucao.

3 Corpos Finitos

Uma curva elıptica pode ser definida sobre qualquer corpo (por exemplo, reais,racionais, complexos, etc). No entanto, curvas elıpticas usadas em criptografia saoprincipalmente definidas sobre corpos finitos.

Um corpo e uma estrutura algebrica em que a adicao, a subtracao, a multi-plicacao e a divisao sao bem-definidas. Os corpos sao importantes objetos de estudona algebra visto que constituem uma generalizacao util de sistemas numericos, comoos numeros racionais, os numeros reais e os numeros complexos. Em particular, asregras usuais de associatividade, comutatividade e distributividade valem.

Sistemas criptograficos ou criptossistemas com curvas elıpticas, definidas sobrecorpos finitos, baseiam sua seguranca na versao elıptica do problema do logaritmodiscreto (DLP), chamado de Problema do Logaritmo Discreto de Curva Elıptica(ECDLP). Aqui, o corpo subjacente dos inteiros, modulo um primo p, e substituıdopelo grupo de pontos de uma curva elıptica definida sobre um corpo finito. Dadoque o problema ECDLP e significativamente mais difıcil do que o problema DLP,mesmo um sofisticado hacker requeriria um alto poder computacional e alguns anospara poder quebrar o criptossistema. A implementacao da criptografia com curvaselıpticas requer de varias escolhas tais como, o tipo de corpo finito, o algoritmo paraimplementar a operacao no grupo de pontos da curva elıptica e os protocolos paracurvas elıpticas que influenciam a performance da ECC. As curvas elıpticas tem semostrado extremamente uteis em uma variedade de aplicacoes, incluindo testes deprimalidade e fatoracao inteira.

Critpossistemas com curvas elıpticas tambem incluem distribuicao de chaves,algoritmos de criptografia e assinatura digital. O algoritmo de distribuicao de chavese usado para compartilhar uma chave secreta; ja o algoritmo de criptografia permiteuma comunicacao confidencial e os algoritmos de assinatura digital sao usados paraautenticar o signatario e validar a integridade da mensagem.

Definicao 3.1 Um corpo finito consiste de um conjunto finito F de elementos juntocom a descricao de duas operacoes, adicao e multiplicacao, de modo que todo ele-mento nao nulo possua inverso multiplicativo.

Corpos finitos tambem sao chamados corpos de Galois em honra ao matematicofrances Evariste Galois.

Sabe-se que existe um corpo finito contendo q elementos se, e somente se, qe potencia de um numero primo. Alem disso, tem-se que para cada tal q existeprecisamente um corpo finito. O corpo finito contendo q elementos e denotado porFq.



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Nestas notas usaremos unicamente dois tipos de corpos finitos Fq: Corpos finitoscom q = p, sendo p um numero primo ımpar (Corpos Primos) e corpos finitos comq = 2m, para algum m ∈ N, sob a operacao binaria (Corpos Binarios). A ordem deum corpo finito e o seu numero de elementos. Existe um corpo finito de ordem qse, e somente se, q e potencia de um primo.

Se somamos a identidade multiplicativa 1 a si mesma em F e nunca da zero,dizemos que F tem caracterıstica zero; neste caso F contem uma copia do corpo dosnumeros racionais. Caso contrario, existe um numero primo p tal que 1+1+· · ·+1 =0 (p vezes) e p e a caracterıstica do corpo. Neste caso F contem uma copia do corpoZ/pZ ∼= Zp, que e chamado de seu corpo primo.

Se q = pm, onde p e um numero primo e m inteiro positivo, entao p e a carac-terıstica de Fp e m e dito de grau da extensao Fp de F.

A maioria das normas que especificam as tecnicas da criptografia com curvaselıpticas restringem a ordem do corpo finito subjacente a ser primo ımpar (q = p)ou uma potencia de 2 (q = 2m). Este estudo descreve os elementos, operacoes eimplementacao do corpo finito Fp, enquanto que os elementos e as operacoes emF2m podem ser encontrados em outro lugar.

Seja p um numero primo. O corpo finito Fp, chamado de corpo primo, estaformado pelo conjunto de inteiros 0, 1, 2, · · · , p − 1 junto as seguintes operacoesaritmeticas:

(1) Adicao: Se a e b ∈ Fp, entao a + b = r, onde r e o resto da divisao de a + bpor p, com 0 ≤ r ≤ p− 1. Esta operacao e conhecida como adicao modulo p.

(2) Multiplicacao: Se a e b ∈ Fp, entao a · b = s, onde s e o resto da divisao dea · b por p, com 0 ≤ s ≤ p− 1. Esta operacao e conhecida como multiplicacaomodulo p.

(3) Inversao: Se a e um elemento nao-nulo de Fp, o inverso de a, modulo p,denotado por a−1, e o unico inteiro c ∈ Fp para o qual vale que a · c = 1.

4 Corpos de Galois

A principal razao para o atrativo dos sistemas ECC e o fato de que nao existe qual-quer algoritmo sub-exponencial conhecido que resolva adequadamente o problemado logaritmo discreto na curva escolhida. Isto significa que parametros significa-tivamente pequenos podem ser usados no ECC comparados com outros sistemascompetitivos tais como RSA, DH e DSA. Isto ajuda a ter tamanhos de chaves me-nores e, portanto, calculos mais rapidos.

Definicao 4.1 Um grupo de curva elıptica sobre o Corpo de Galois Ep(a, b), ondep > 3 e primo, e o conjunto de solucoes ou pontos P = (x, y) tal que (x, y) ∈ Ep(a, b)que satisfaz a equacao

y2 = x3 + ax+ b (mod p),

para 0 ≤ x < p, junto com o ponto extra O, chamado de ponto no infinito.

Para um ponto dado P = (xp, yp), temos que xp, yp sao as coordenadas de P . Onumero de pontos em Ep(a, b) e denotado por |Ep(a, b)|.

O resultado a seguir (Teorema de Hasse) estabelece uma importante cota para onumero de pontos de uma Curva Elıptica.

Teorema 4.1p+ 1− 2

√p ≤ |Ep(a, b)| ≤ p+ 1 + 2

√p.



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As constantes a e b sao inteiros nao-negativos menores que o numero primo p esatisfazem a equacao

= 4a3 + 27b2 = 0(mod p).

Para cada valor de x, e preciso determinar se e ou nao um resıduo quadratico.Se for o caso, entao ha dois valores no grupo elıptico. Se nao for, entao o ponto naoesta no grupo elıptico Ep(a, b).

Vamos explicar primeiro porque os coeficientes do polinomio cubico na equacaoy2 = x3 + ax + b devem satisfazer a condicao = 4a3 + 27b2 = 0 (mod p).Observemos que

=(a3

)3+

(b

2

)2

=4a3 + 27b2

4× 27

e o discriminante do polinomio cubico f(x) = x3+ax+b. Se = 0 entao a equacaof(x) = 0 tem, pelo menos, uma raiz dupla e entao o ponto P0 = (x, 0) esta sobre acurva E. Para F (x, y) = y2 − x3 − ax− b, este ponto satisfaz

∂F

∂y|P0 = 0,

∂F

∂x|P0 = 0.

Isto significa que P0 e um ponto singular no qual nao ha uma definicao de retatangente real e, assim, Ep(a, b) nao pode ser um grupo.

Curvas elıpticas definidas sobre corpos finitos GF (2m), de caracterıstica 2, osquais tem 2m elementos, tambem tem sido construidas e estao sendo padronizadaspara seu uso no ECC como alternativa para as curvas elıpticas sobre corpos finitosprimos.

5 Adicao em Curvas Elıpticas

Existe uma regra chamada Regra da Corda-Tangente para somar dois pontos sobreuma curva elıptica E(Fp) de modo a obter um terceiro ponto. Junto a esta operacaode adicao, o conjunto de pontos E(Fp) forma um grupo, tendo o elemento O comoidentidade. Este e o grupo usado para a construcao de criptossistemas com curvaselıpticas.

(1) Se a caracterıstica de Fq e maior do que 3, a curva elıptica tem a forma

E : y2 = x3 + ax+ b,

onde a, b ∈ Fq, com 4a3 + 27b2 = 0, junto com o ponto especial O. Sabemosque E e um grupo abeliano, sendo o ponto O o elemento identidade.

Formulas de adicao: Seja P = (x1, y1) ∈ E. Entao −P = (x1,−y1). SeQ = (x2, y2) ∈ E, Q = −P , entao P +Q = (x3, y3), onde

x3 = λ2 − x1 − x2, y3 = λ(x1 − x3)− y1,

sendo

λ =

y2 − y1x2 − x1

, se P = Q

3x21 + a

2y1, se P = Q



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(2) Se a caracterıstica de Fq e 2, temos dois tipos de curvas elıpticas:

2a) Uma curva elıptica E sobre Fq, cuja equacao e E : y2 + cy = x3 + ax+ b,onde a, b, c ∈ Fq, c = 0, junto com o ponto especial O.

Formulas de adicao: Seja P = (x1, y1) ∈ E. Entao −P = (x1, y1 + c). SeQ = (x2, y2) ∈ E, Q = −P , entao P +Q = (x3, y3), onde

x3 =

(y1 + y2x1 + x2

)2 + x1 + x2, se P = Q

x41 + a2

c2, se P = Q

e

y3 =

(y1 + y2x1 + x2

)(x1 + x3) + y1 + c, se P = Q

(x21 + a

c)(x1 + x3) + y1 + c, se P = Q

2b) Uma curva elıptica E sobre Fq, cuja equacao e E : y2+xy = x3+ ax2+ b,onde a, b ∈ Fq, b = 0, junto com o ponto especial O.

Formulas de adicao: Seja P = (x1, y1) ∈ E. Entao −P = (x1, y1 + x1). SeQ = (x2, y2) ∈ E, Q = −P , entao P +Q = (x3, y3), onde

x3 =

(y1 + y2x1 + x2

)2 +y1 + y2x1 + x2

+ x1 + x2 + a, se P = Q

x21 +b

x21, se P = Q

e

y3 =

(y1 + y2x1 + x2

)(x1 + x3) + x3 + y1, se P = Q

x21 +

(x1 +

y1x1

)x3 + x3, se P = Q

6 A Curva Elıptica sobre F23

Consideremos o primo p = 23 e a curva elıptica E : y2 = x3 + x+ 4 definida sobreF23. Verificamos que

4a3 + 27b2 = 436(mod 23) = 22 = 0,

e assim E e uma curva elıptica. Agora determinamos o conjunto dos resıduosquadraticos, Q23, do conjunto reduzido de resıduos Z23 = 1, 2, 3, · · · , 21, 22. Te-mos que o conjunto Q23, contendo (p− 1)/2 = 11 resıduos quadraticos, e

Q23 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.



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Agora, para 0 ≤ x < p, calculamos y2 = x3+x+4(mod 23) e verificamos se y2 estaou nao no conjunto Q23 (tabelas 1 e 2 a seguir).

Tabela 1: Resıduos Quadraticos de Q23

x2(mod p) (p− x)2(mod p) =

12(mod 23) 222(mod 23) 1

22(mod 23) 212(mod 23) 4

32(mod 23) 202(mod 23) 9

42(mod 23) 192(mod 23) 16

52(mod 23) 182(mod 23) 2

62(mod 23) 172(mod 23) 13

72(mod 23) 162(mod 23) 3

82(mod 23) 152(mod 23) 18

92(mod 23) 142(mod 23) 12

102(mod 23) 132(mod 23) 8

112(mod 23) 122(mod 23) 6

Tabela 2: Resıduos Quadraticos de Q23 e suas raızes

x y2 y2 ∈ Q23 y1 y20 4 sim 2 21

1 6 sim 11 12

2 14 nao

3 11 nao

4 3 sim 7 16

5 19 nao

6 19 nao

7 9 sim 3 20

8 18 sim 8 15

9 6 sim 11 12

10 2 sim 5 18

11 12 sim 9 14

12 19 nao

13 6 sim 11 12

14 2 sim 5 18

15 13 sim 6 17

16 22 nao

17 12 sim 9 14

18 12 sim 9 14

19 5 nao

20 20 nao

21 17 nao

22 2 sim 5 18

Portanto os pontos em Ep(a, b) sao, o ponto no infinito O e os pontos:

(0, 2), (0, 21), (1, 11), (1, 12), (4, 7), (4, 16), (7, 3), (7, 20), (8, 8), (8, 15),

(9, 11), (9, 12), (10, 5), (10, 18), (11, 9), (11, 14), (13, 11), (13, 12), (14, 5),

(14, 18), (15, 6), (15, 17), (17, 9), (17, 14), (18, 9), (18, 14), (22, 5), (22, 18).



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Observacao 6.1 Na pratica, o numero primo p e escolhido de modo a ser muitogrande. Tomemos, por exemplo, um grupo grande de pontos com o numero primo

p = 6, 227, 101, 735, 386, 680, 763, 835, 789, 423, 207,

666, 416, 083, 908, 700, 390, 324, 961, 279.

Existe uma curva definida sobre este espaco da forma E : y2 = x3 + ax +b (mod p), onde a e b sao dois numeros grandes cuidadosamente escolhidos demodo que a curva nao seja fraca e que 4a3 + 27b2 = 0(mod p). Esta curva contemexatamente N pontos, onde

N = 6, 227, 101, 735, 386, 680, 763, 835, 789, 423,

337, 720, 473, 986, 773, 608, 255, 189, 015, 329.

Estes pontos formam um grupo, de acordo com a regra anterior, que e ideal parao algoritmo Diffie-Hellman de curva elıptica. Computadores modernos nao temproblemas em lidar com numeros deste tamanho, que na verdade sao muito menoresque aqueles usados nos tradicionais criptossistemas DH e RSA. Se consideramos onumero p como binario, observa-se que ele tem a forma especial, p = 2192− 264− 1,o que torna o calculo mais facil. E interessante observar que p e N sao muito“proximos” um do outro, relativamente falando, pois eles diferem apenas na metadede seus bits. A teoria das Curvas Elıpticas ja previa isto.

Referencias

[1] J. A. Buchmann. Introducao a Criptografia. Berkeley, Sao Paulo, 2002.

[2] N. Koblitz. A Course in Number Theory and Cryptography. Springer-Verlag,New York, 1994.

[3] N. Koblitz, A. Menezes and S. Vanstone. The State of Elliptic Curve Crypto-graphy, Designs, Codes and Cryptography. 19, 173-193 (2000).

[4] K. Rabah. Theory and Implementation of Elliptic Curve Cryptography. Journalof Applied Sciences 5(4); 604-633, 2005.

[5] N. Torii and K. Yokoyama. Fujitsu Sci. Tech. J.. 36, 2, pp. 140 - 146 (2000).



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Os modelos de crescimento populacional deMalthus e Verhulst - uma motivacao para o

ensino de logaritmos e exponenciais

Robinson Tavoni ∗

Renata Zotin G. de Oliveira †

Resumo

Na Educacao Basica o ensino de funcoes exponenciais e logarıtmicas e umgrande obstaculo aos alunos e professores tanto pela complexidade do conteudocomo pela pouca habilidade no estudo de aplicacoes relacionadas com o tema, comoemprestimos a taxa de juros compostos, crescimento de uma populacao, absorcaode remedios, etc.

Com a finalidade de apresentar o ensino de funcoes exponenciais e logarıtmicasaos alunos da Educacao Basica a partir de um problema contextualizado, esco-lhemos o estudo dos modelos de Malthus e Verhulst, a partir do software sobreCrescimento Populacional da colecao M3− Matematica Multimıdia, que tem comoautores Samuel Rocha de Oliveira e Leonardo Barrichello (UNICAMP). Acrescen-tamos comentarios que podem dar subsıdios ao professor, durante a execucao dasatividades. E, em seguida, sugerimos uma atividade extra para ser trabalhada vi-sando contemplar o conteudo abordado pelo software e tambem colocar os alunoscomo protagonistas do aprendizado. Essa atividade pode ser adaptada para escolasque trabalham projetos ou Pre-Iniciacao Cientıfica.

Palavras Chave: Modelagem Matematica, Crescimento Populacional, Funcao Ex-ponencial, Funcao Logarıtmica.

Introducao

Logaritmos e exponenciais podem ser identificados em situacoes do dia-a-dia taiscomo: crescimento populacional, financiamento de um carro ou casa, absorcao deum remedio, datacao por carbono, resfriamento de um corpo, etc. Na EducacaoBasica, na maioria das vezes, sao ensinados de maneira tecnica e as aplicacoes sao“consequencias”. Nem sempre e possıvel perceber, por exemplo, que “os logarit-mos foram criados como instrumento para tornar mais simples calculos aritmeticoscomplicados. Posteriormente verificou-se que a importancia dos logaritmos na Ma-tematica e nas Ciencias em geral era bem maior do que se pensava” ([7]).

Em Lima ([7])a definicao de logaritmo natural e dada atraves da area de umafaixa de hiperbole, bem como a demonstracao de algumas propriedades. Alem disso,o conceito de funcao exponencial e introduzido posteriormente, diferentemente do

∗Email: rob [email protected] - PROFMAT - UNESP/RC†Email: [email protected] - Departamento de Matematica, UNESP/RC

TAVONI, R.; OLIVEIRA, R. Z. G. Os modelos de crescimento populacional de Malthus e Verhulst - uma motivação para o ensino de

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664rtrzgo8699 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 86-99, dez. 2013.logaritmos e exponenciais.

que acontece na maioria dos livros didaticos. No livro de Dante [5] e feito umcomentario sobre essa abordagem via area de uma faixa de hiperbole somente nofinal do capıtulo sobre logaritmos. Em outros livros didaticos em geral e apresentadoum problema de motivacao para o ensino de exponenciais e na sequencia o conteudoe desenvolvido.

O intuito desse trabalho e dar suporte suficiente ao professor de Matematicada Educacao Basica para que trabalhe exponenciais e logaritmos de maneira dife-rente em relacao aos livros didaticos, usando um software como motivacao para odesenvolvimento do conteudo matematico.

Apresentamos o software “Crescimento Populacional” da UNICAMP - M3 - Ma-tematica e Multimıdia [12], bem como uma sugestao de atividades para o estudode exponenciais e logaritmos. Segundo o site(http://www.m3.ime.unicamp.br/) dapropria colecao do M3 - Matematica Multimıdia, a proposta nasceu de uma cha-mada de Edital do MEC e MCT para o desenvolvimento e producao de recursoseducacionais em mıdias digitais no ano de 2007 e todos os recursos foram desenvol-vidos durante aproximadamente quatro anos. Dois arquivos estao disponıveis: umcom o pacote completo e outro com a versao para internet; um guia para o pro-fessor que contem recomendacoes metodologicas e alguns aprofundamentos teoricostambem estao presentes. E importante ressaltar que este trabalho faz parte dadissertacao do primeiro autor, junto ao PROFMAT - UNESP - Rio Claro.

Antes de descrevermos as atividades propostas, apresentamos um resumo dosdois modelos citados.

Modelo de Malthus

Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos e do economista inglesThomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupoe que ataxa segundo a qual a populacao de um paıs cresce em um determinado instante eproporcional a populacao total do paıs naquele instante. Matematicamente, se P (t)e a populacao total no instante t, entao, o modelo contınuo de Malthus e:

dP

dt= kP,

onde k e uma constante de proporcionalidade (nesse caso k > 0). Esse modelo eutilizado no crescimento de pequenas populacoes em um curto intervalo de tempo,como por exemplo crescimento de bacterias, pois nao leva em conta muitos fatoresque podem influenciar a populacao tanto em seu crescimento quanto em seu declınio.

Sabendo-se que uma certa populacao cresce segundo o modelo malthusiano eP (0) = P0, entao:

P = P0ekt.

O modelo discreto de Malthus e dado por P (t+1)−P (t) = αP (t). Se P (0) = P0

temosP (t) = (1 + α)tP0.

Modelo de Verhulst

Verhulst foi um matematico belga que introduziu a equacao de crescimento logısticoonde a populacao cresce ate um limite maximo sustentavel, isto e, ela tende a se es-



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tabilizar. O modelo de Verhulst e, essencialmente, o modelo de Malthus modificadodP

dt= rP (1− P

P∞)

P (0) = P0, r > 0,(0.0.1)

onde a populacao tende a sua capacidade maxima P −→ P∞, quando t −→ ∞.Resolvendo a equacao (0.0.1) pelo Metodo de Separacao de Variaveis temos:

P (t) =P0P∞

(P∞ − P0)e−rt + P0.

1 Metodologia/Desenvolvimento

O estudo, com o software, tem inıcio com uma atividade do modelo de Malthus.Apresentaremos a atividade e, na sequencia, a sugestao da intervencao do professor,de modo que o aluno possa chegar a resposta correta.

1.1 Modelo de Malthus

Atividade 1

Uma especie de bacteria de nome “Escherichia coli”, responsavel por mais de 50%dos casos de intoxicacao alimentar, possui uma taxa de crescimento populacionalde 80% a cada 30 minutos sob condicoes ambientais ideais. Assim, supondo umapopulacao inicial de 100 mil dessas bacterias, responda as questoes abaixo.

Questao 1: Quantas bacterias essa populacao tera depois de:A) 30 minutos?Resolucao: 30 minutos e o primeiro perıodo de crescimento e a populacao inicial e

de 100 mil bacterias. Se P (t) e a populacao no instante t, temos P (0) = 100000. Sa-bemos que o crescimento em determinado perıodo e a populacao do perıodo anteriormais 80% dessa populacao. Assim temos a equacao: P (n+1) = P (n)+0, 8P (n) =⇒P (n + 1) = 1, 8P (n). Como queremos calcular a populacao depois do primeiroperıodo:

P (1) = 1, 8P (0) = 1, 8.100000 = 180000.

B) Uma hora?Resolucao: Uma hora equivale ao segundo perıodo de crescimento, pois a cada

30 minutos a colonia de bacteria cresce 80%. Ou seja:

P (n+ 1) = 1, 8P (n)⇒ P (2) = 1, 8P (1) = 1, 8.180000 = 324000.

C) Uma hora e meia ?Resolucao: Uma hora e meia equivale a 3 perıodos. Entao:

P (n+ 1) = 1, 8P (n)⇒ P (3) = 1, 8P (2) = 1, 8.324000 = 583200.

O aluno coloca as respostas em cada item e os corrige; os pontos correspondentesno grafico de P como funcao de t sao plotados.

No rodape da pagina contem a seguinte informacao: “Note que para calcularo numero de bacterias de cada perıodo de meia hora foi necessario multiplicar apopulacao do perıodo anterior por 1, 8, ou seja, 1+80%.”. Da forma como propostoneste trabalho o professor orienta os alunos de modo a tirarem essa conclusao. Afinal



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Figura 1: Imagem da primeira questao do software.

nosso objetivo e que o aluno construa um raciocınio matematico e o professor comomediador ajude-o a resolver as equacoes de diferencas sem conhece-las.

Questao 2: Qual e a expressao que fornece o numero de indivıduos dessa po-pulacao de bacterias em funcao do numero n de perıodos de 30 minutos?

Resolucao: Com a orientacao do exercıcio anterior, podemos fazer:

P (n+ 1) = 1, 8P (n)

P (1) = 1, 8P (0)

P (2) = 1, 8P (1) = 1, 8.(1, 8)P (0) = (1, 8)2P (0)

P (3) = 1, 8.P (2) = 1, 8.(1, 8)2P (0) = (1, 8)3P (0)

P (4) = 1, 8.P (3) = 1, 8.(1, 8)3P (0) = (1, 8)4P (0)

P (5) = 1, 8.P (4) = 1, 8.(1, 8)4P (0) = (1, 8)5P (0)

...

P (n) = (1, 8)nP (0)

E, como sabemos que P(0) = 100000, portanto: P (n) = 100000.(1, 8)n.Vale salientar novamente que e de extrema importancia a construcao dessa

funcao e com a orientacao do professor fazer o aluno calcular P (0), P (1), P (2),P (3), ... ate que entenda a regularidade e obtenha a funcao.

Na Questao 3 e dada a curva obtida com a expressao encontrada no exercıcioanterior. Devemos observar que a mesma e pontilhada e que foi tracada atravesda uniao dos pontos encontrados na Questao 1. O fato dela ser pontilhada e quese trata de uma funcao discreta, que cada perıodo representa um intervalo de 30minutos.

Nessa atividade o software permite que faca o perıodo variar 0,1 unidade e efornecido a populacao naquele perıodo. A pergunta do item “A” e quanto valeP (5) em milhares, ou seja, o exercıcio pede qual a populacao, em milhares, daqui5 perıodos. Novamente o professor deve intervir na atividade e explicar que cada



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Figura 2: Grafico da primeira questao.

Figura 3: Imagem da questao 2 do Modelo de Malthus.

perıodo e de 30 minutos, entao a populacao que o grafico nos fornecera sera paraum perıodo de 150 minutos (2 horas e meia).

Na atividade da Questao 4 e pedido o momento (perıodo) que a populacao dabacteria atingira um determinado valor. O aluno, provavelmente, fara as unida-des do perıodo variarem e analisara a populacao, porem o grafico varia de 0,1 em0,1 unidade e apenas consegue um valor aproximado para as populacoes pedidas.No item “A” desta atividade, por exemplo, e perguntado o momento em que a po-pulacao atingira, aproximadamente, 600 mil e como resposta o software aceita tanto3 perıodos (583 mil bacterias) como 3,1 perıodos (populacao de 619 mil bacterias).Nos itens seguintes a questao e calcular daqui a quantos perıodos a populacao au-mentara 500 mil, ou seja, atingira 1,1 milhao de bacterias e depois 1,6 milhao debacterias e no final e levantado a questao de que mesmo permanecendo constantea quantidade de novos indivıduos da populacao o perıodo para que isso aconteca ecada vez menor. Os alunos ja devem ter percebido isso pelo grafico: a funcao crescea uma taxa crescente.

Na Quinta Questao, ao inves de fazer a populacao aumentar o numero de in-



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Figura 4: Grafico da populacao em funcao do tempo - modelo de Malthus.

divıduos somando um valor constante, e pedido para que multiplique por um valorconstante, que nesse caso e o 4. O primeiro item da questao e para calcular daquiquanto tempo a populacao quadruplicaria a populacao inicial e depois quadruplica-ria novamente e novamente. Os alunos devem utilizar o grafico e a ferramenta delede variar de 0,1 em 0,1 unidade o perıodo, encontrando assim as respostas para essesitens que ficariam entre 2,3; 2,4 ou 2,5. Ao final da atividade ha a conclusao: “Per-ceba que os intervalos de tempo necessarios para que a populacao quadruplicassede tamanho foram aproximadamente iguais. Essa e uma caracterıstica importantedo tipo de funcao que voce encontrou para descrever o modelo de crescimento po-pulacional de Malthus (funcao exponencial).”

E por ultimo, para finalizar a analise do modelo de Malthus o aluno deveracalcular a taxa de crescimento populacional relativo no instante n, R(n), definidapor:

R(n) =P (n+ 1)− P (n)

P (n).

O professor, nessa Sexta Questao, devera ficar atento quanto a interpretacao daequacao acima e ajudar os alunos. Por exemplo, no item “B”, pede para calcularR(2), pela equacao e pelo grafico temos:

R(2) =P (3)− P (2)

P (2)=

583, 2− 324

324= 0, 8.

E concluı-se: “Note que o valor que voce obteve pra taxa de crescimento foi apro-ximadamente igual nos tres casos anteriores. Essa e uma caracterıstica muito im-portante do modelo de crescimento populacional de Malthus: a taxa de crescimentopopulacional e constante.”



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91


Apos essa analise, do modelo de crescimento de Malthus o professor pode apro-veitar o momento para introduzir o conceito de logaritmo, com o seguinte questio-namento: quanto tempo levara para a populacao dessa bacteria atingir o valor de324 mil indivıduos? A resposta pode ser dada pela primeira atividade que pediao numero de indivıduos apos 1 hora ou analisando o grafico. Entretanto, agora,o professor pode pedir para os alunos realizarem essa atividade analiticamente, ouseja, introduzindo equacoes exponenciais. E qual sera o tempo para a populacaoatingir aproximadamente 435 mil bacterias? Os alunos perceberao que dentro de2 a 3 perıodos (de 1 hora a 1 hora e meia) esse numero sera atingido, entretantonao conseguem resolver analiticamente. Nesse momento o professor como mediadorpode introduzir o conceito de logaritmo.

Para atingir 435 mil bacteria teriamos P (n) = 435000, ou seja,

100000.(1, 8)n = 435000.

Aplicando-se logaritmo em ambos lados da equacao e utilizando as propriedadestemos:

log(1, 8)n = log4, 35,

n.log(1, 8) = log4, 35 =⇒ n =log4, 35

log1, 8.

E com o auxılio de uma calculadora cientıfica obtemos que n = 2, 5 perıodos, ouseja, 1 hora e 15 minutos.

No guia do professor o tempo estimado para essa atividade e uma aula dupla.Entretanto, com a introducao de logaritmo (definicao, propriedades e aplicacoes)deve-se gastar maior tempo o que nao deixa de ser vantajoso.

1.2 Crescimento Populacional - Modelo de Verhulst

Na introducao e citada a diferenca entre os modelos de crescimento populacional deMalthus e Verhulst. No modelo de Malthus a populacao cresce indefinidamente ecada vez mais rapido enquanto no Modelo de Verhulst a populacao cresce cada vezcom taxas menores tendendo a um valor limite.

No modelo de Malthus calculamos a taxa de crescimento populacional relativo

em um instante n definida por R(n) =P (n+ 1)− P (n)

P (n)e o resultado de R(n) era

constante para qualquer n. Entretanto, no modelo de Verhulst temos que R(n) naoe constante.

Atividade 2

Antes de iniciar a atividade e explicado que o tamanho das populacoes das bacteriasanalisadas para esse modelo foi determinado em laboratorio e pode ser visualizadopor meio de um grafico de R(n) em funcao de P (n).(ver Figura 5).

A Questao 1 consiste em aproximar os pontos dados por uma reta com um errode no maximo 0,05. O aluno devera movimentar a reta em azul o mais proximode todos os pontos de modo que o erro acusado no software seja menor ou igualao pedido. Essa atividade e denominada “Ajuste de Curva” que nao e tratado noEnsino Medio, mas que o professor como mediador deve citar.

O erro obtido por essa curva e, por exemplo, de 0,0352 e a reta e y = −0, 0009x+0, 654, onde o y representa o R(n) (taxa de crescimento populacional) e o x repre-senta o tamanho da populacao P (n). E com base nisso e possıvel fazer previsoespara o numero de bacterias.



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92


Figura 5: Grafico de R(n) em funcao de P (n).

Na Questao 2 e dado um grafico que relaciona R(n) com P (n) e alguns pontos.Reproduzindo a atividade:

A) Use o grafico ao lado para obter o valor de R(4), sabendo que P (4) = 289.Para resolver essa questao basta mover a marca azul ate obter um valor aproximadoda populacao de 289 mil. E a resposta sera uma taxa de crescimento entre 0,39 e0,42.

B)Use o valor de R(4) e P(4) para calcular P(5).

Solucao. No item anterior temos que P(4)=289 e R(4)= 0,4 (qualquer valor

entre 0,39 e 0,42), substituindo em R(n) =P (n+ 1)− P (n)

P (n)temos:

R(4) =P (5)− P (4)

P (4)⇒ P (5) = 1, 4P (4) = 404, 6

Portanto, a populacao sera uma quantia proxima a 404,6.

C) Use o grafico, ao lado, e a resposta do item anterior para obter o valor deR(5).Solucao. O aluno devera localizar o marcador em um valor da populacao proximode 404,6. e encontrara, aproximadamente, R(5) = 0, 32.

D) Use o valor de R(5) para calcular P(6).

Solucao. No item anterior temos que P (5) = 404, 6 e R(5) = 0, 32, substituindo



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93


em

R(n) =P (n+ 1)− P (n)

P (n),

temos:

R(5) =P (6)− P (5)

P (5)⇒ P (6) = 1, 32.P (5) = 534, 1.

E assim vemos que a populacao sempre cresce, mas cada vez com uma taxa R(n)menor.

Figura 6: Imagem da tela da atividade 2 do modelo de Verhulst.

Nas duas proximas Questoes e utilizado o procedimento anterior, entretanto, essecalculo nao e necessario pois ja e dado no proprio grafico. Na Terceira Questao epedido para calcular P (n) e R(n) para alguns n e cada vez que a populacao aumentaa sua taxa de crescimento se aproxima de zero. E na Questao 4 pergunta-se qualo valor de P (n) quando R(n) = 0, que pelo grafico e 800 e esse valor e o limite queo ambiente suporta. Diferentemente do modelo de Malthus que a populacao crescesem limite.

E na ultima tela do software e feito o grafico da populacao em funcao do tempoe discutido que diferentemente do modelo de Malthus que aumenta a taxa crescenteo modelo de Verhulst ate certo ponto aumenta a taxa crescente e depois aumentaa taxa decrescente. No caso analisado ate n = 5 aumenta a taxa crescente e aposdisso aumenta a taxa cada vez menor ate aproximar de um valor limite que no casoe 800 mil bacterias. A seguir, apresentamos a imagem da tela com o grafico.

Durante a execucao das atividades propostas pode-se observar que o software ede facil utilizacao e um bom preparo do professor e fundamental para que o alunopossa explora-lo de forma adequada, permitindo que atraves das intervencoes, oconteudo possa ser introduzido de forma natural.



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Figura 7: Ultima tela do software - populacao em funcao do tempo.

2 Proposta de Atividade Extra

Para a motivacao dos alunos e aplicacao do que foi trabalhado no software, traba-lharemos uma atividade de coleta de dados e aplicacao dos modelos. Essa atividadee bastante interessante para escolas que trabalham com projetos, pois atraves delapodemos explicar funcoes exponenciais, logarıtmicas, ajustes de curvas, funcao po-linomial do primeiro grau, matrizes, determinantes e resolucao de sistemas lineares.

Dada uma tabela do censo brasileiro nos ultimos anos vamos compara-la com omodelo de Malthus e Verhulst. Essa tabela pode ser trazida pelo professor com dadosdo IBGE ou pelos proprios alunos. Uma opcao tambem e os alunos se dividirem emgrupos e trabalharem com tabelas diferentes: um grupo com a populacao brasileira,outro com a populacao do seu estado, outro da sua cidade e comparar qual modelose aproxima mais. Aqui estamos comparando os modelos com dados do CensoBrasileiro.

Essa atividade foi adaptada do livro “Equacoes diferenciais ordinarias: Umcurso introdutorio”, de Bassanezi ([2]). A questao sobre o Modelo de Verhulst euma indicacao para atividade adicional e nao consta no livro citado.

Primeiramente vamos comparar com o modelo de Malthus.Calcule a taxa de crescimento da populacao brasileira, considerando-a constante

a cada ano, no perıodo de 1940 a 1991, conforme tabela do censo demografico.

Resolucao. Sabemos que R(n) =P (n+ 1)− P (n)

P (n), chamamos a taxa de cresci-

mento populacional de R(n) = α, n em anos, entao:

P (n+ 1)− P (n) = αP (n)⇒ P (n+ 1) = (1 + α)P (n).

Consideramos a Populacao em 1940 como a populacao inicial, ou seja, P (0) = P0.Daı temos:

P (1) = (1 + α)P (0) = (1 + α)P0

P (2) = (1 + α)P (1) = (1 + α)(1 + α)P0 = (1 + α)2P0



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95


Perıodo censo demografico

1940 41,236

1950 51,944

1960 70,992

1970 93,191

1980 119,003

1991 146,825

1996 156,804

Tabela 1: Censo demografico da populacao brasileira em milhoes

P (3) = (1 + α)P (2) = (1 + α)(1 + α)2P0 = (1 + α)3P0

P (4) = (1 + α)P (3) = (1 + α)(1 + α)3P0 = (1 + α)4P0

...

P (n) = (1 + α)nP0

Como o perıodo e de 51 anos, entao n = 51 e a populacao em 1940 (inicial) eP0 = 41, 236 e a populacao 51 anos depois, em 1950, e P (51) = 146, 825 , isto e:

P (n) = 41, 236(1 + α)n

P (51) = 41, 23.(1 + α)51 ⇒ 146, 825 = 41, 236(1 + α)51 ⇒ (1 + α)51 =146, 825

41, 236

1 + α = 51

√146, 825

41, 236⇒ α = 0, 02521 = 2, 5%.

Pelo modelo de crescimento populacional discreto de Malthus, sabemos que o cres-cimento e constante, ou seja, a populacao brasileira cresceu 2,5% ao ano.

Considerando a taxa encontrada no exercıcio anterior constante, calcule a po-pulacao brasileira no ano de 1950, 1960, 1970, 1980, 1991 e 1996.

Resolucao. Encontramos a formula para a populacao brasileira

P (n) = 41, 236(1, 025)n,

em milhoes, e n o tempo decorrido desde 1940 em anos.Para calcular a populacao em 1960, basta fazer n = 10.

P (10) = 41, 236(1, 025)10 = 52, 786.

Para calcular a populacao em 1960, basta fazer n = 20.

P (20) = 41, 236(1, 025)20 = 67, 570.


P (30) = 41, 236(1, 025)30 = 86, 495.


P (40) = 41, 236(1, 025)40 = 110, 721.



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96



P (51) = 41, 236(1, 025)51 = 145, 276.


P (56) = 41, 236(1, 025)56 = 164, 366.

Observando a nova tabela temos:

Perıodo censo demografico mod. discreto Malthus Erro

1940 41,236 41,236 -

1950 51,944 52,786 1,6%

1960 70,992 67,570 - 4,8%

1970 93,191 86,495 - 7,2%

1980 119,003 110,721 - 6,9%

1991 146,825 145,276 - 1%

1996 156,804 164,366 4,8%

Tabela 2: Censo demografico x modelo de Malthus, em milhoes.

Considerar a taxa de crescimento media constante nao foi um bom artifıcio, poisa populacao em 1996 foi supervalorizada.

Podemos aqui ajustar o modelo discreto de Malthus para o modelo contınuo.Consideremos os modelos abaixo:Modelo Discreto: P (n) = (1 + α)nP0 = P0(1, 025)n.Modelo Contınuo: P (n) = P0e

β.n.Assim temos:

P0.(1, 025)n = P0eβ.n ⇒ (1, 025)n = eβ.n,

ln(1, 025)n = lneβ.n ⇒ n.ln(1, 025) = β.n.lne⇒ β = ln1, 025,

∴ β = 0, 025.

Como P (0) = 41, 23, entao: P (n) = 41, 23e0,025.n.Comentario: O professor com um dado mais recente do censo pode levar os

alunos a calcularem a populacao seguindo a taxa constante e compararem com onumero real de indivıduos da populacao brasileira e perceberao que se continuarusando esse modelo a populacao ira aumentar indefinidamente.

Agora faremos uma previsao da populacao brasileira usando o Modelo de Verhulstcomo foi feito na atividade do software.

Inicialmente, calcularemos a taxa de crescimento populacional (α) em cadaperıodo da tabela ate 1996.

Entre 1940 e 1950 temos:

α1 = 10

√51, 944

41, 236− 1 = 0, 023.

Entre 1950 e 1960 temos:

α2 = 10

√70, 992

51, 944− 1 = 0, 032.



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97


Entre 1960 e 1970, temos:

α3 = 10

√93, 139

70, 992− 1 = 0, 027.


α4 = 10

√119, 003

93, 139− 1 = 0, 025.


α5 = 11

√146, 825

119, 003− 1 = 0, 019.


α5 = 5

√156, 804

146, 825− 1 = 0, 013.

Os proximos calculos realizados aqui sao apenas para aprofundar o assunto parao professor. Aproximaremos por uma reta a taxa de crescimento da populacao emfuncao da propria populacao em cada ano n a partir de 1940.

Portanto temos os pontos:

P (n) α P (n)2 P (n).α

51,944 0,023 2703,4 1,19

70,992 0,032 5039,9 2,27

93,139 0,027 8674,9 2,51

119,003 0,025 14161,7 2,97

146,822 0,019 21556,7 2,79

156,804 0,013 24587,5 2,04∑638,754 0,139 76724,1 13,77

Resolvendo o sistema abaixo e encontrando os coeficientes a1 e a2, por ajuste decurvas, aproximamos a funcao para R(n) = a1.P (n) + a2.(

76724, 1 638, 754638, 754 6

)×(a1a2

)=

(13, 770, 139

)

Assim temos: R(n) = −0, 00013P (n) + 0, 036564 e para calcular o limite dapopulacao brasileira basta fazermos R(n) = 0, ou seja, a populacao atingira nomaximo, aproximadamante, 281 milhoes de habitantes.

O professor pode falar sobre ajustes de curvas, sendo que a reta que melhorrepresenta e R(n) = −0, 00013.P (n) + 0, 036564. Como nao convem estudar esseassunto no Ensino Medio, o professor apenas apresenta as matrizes e o aluno calculasem mostrar o metodo em si.

E importante ressaltar que cabe ao professor decidir o momento mais adequadopara introduzir os conceitos, propriedades e exercıcios de fixacao da teoria.

3 Consideracoes Finais

Esperamos profundamente que esse trabalho possa contribuir para o ensino signi-ficativo de logaritmo e exponencial. Apresentamos dois problemas de crescimento



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populacional: um resolvido pelo modelo de Malthus e outro por Verhulst. A par-tir deles sao introduzidos os conceitos, propriedades, analise, graficos e conclusoes.Temos o anseio de que, partindo de um problema e da necessidade de resolver essasituacao, podemos mostrar a necessidade de aprender esses conteudos do EnsinoMedio trazendo a relacao entre eles, sem utilizar ferramentas decoradas e prontas esim construir juntamente com os alunos essas ferramentas.

Tambem e necessario que o professor tenha uma boa formacao em conceitosbasicos de equacoes de diferencas e equacoes diferenciais, embora esses conteudosnao sejam objeto de estudo no ensino medio. Essa formacao permitira uma boaintervencao do professor durante o desenvolvimento das atividades do software,permitindo que se fale de equacoes de diferencas, por exemplo, de modo natural.Para maiores estudos consultar [9].

Esse material pode contribuir para o professor, principalmente nas escolas quetrabalham com projetos, pois alem de desenvolver a atividade do software apre-sentamos uma proposta de trabalho com pesquisa e previsao do crescimento dapopulacao de sua cidade ou estado.

Referencias

[1] Arenales, S. e Darezzo, A.: Calculo numerico: aprendizagem com apoio desoftware, Sao Paulo: Thomson Learning, 2008.

[2] Bassanezi, R. C.: Equacoes diferenciais ordinarias: Um curso introdutorio,Colecao BC&T - UFABC Textos Didaticos.

[3] Bassanezi, R. C.: Ensino-aprendizagem com Modelagem Matematica, EditoraContexto, Sao Paulo , 2002.

[4] Boyce, W.E. e Diprima, R.C..: Equacoes Diferenciais Elementares e Problemasde Contorno, Rio de Janeiro , vol. 2, LTC, 2009.

[5] Dante, L. R.: Matematica: contexto e Aplicacoes, Volume 1, Editora Atica,Sao Paulo, 2010.

[6] Guidorizzi, H.L.: Um Curso de Calculo, Rio de Janeiro , vol. 4, 5aed. LTC,2004.

[7] Lima, E.L: Logaritmos, SBM, Rio de Janeiro, 1985.

[8] Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E., Morgado, A. C.: Matematica doensino medio, Volume 1, 9a edicao, SBM, Rio de Janeiro, 2006.

[9] Tavoni, R. Os modelos de crescimento populacional de Malthus e Verhulst -uma motivacao para o ensino de logaritmos e exponenciais . 21 de agosto de2013. 70 paginas. Dissertacao (Mestrado em Matematica - PROFMAT) - IGCE- UNESP - Rio Claro.

[10] Sandefur, J. T.: Discrete Dynamical Systems - Theory and applications, Ox-ford: Clarendon Press, 1990.

[11] Zill, Dennis G.: Equacoes Diferenciais com Aplicacoes em Modelagem,traducao da 9a edicao norte-americana , vol. 9, 2aed.Cengage Learning, 2011.

[12] Disponıvel em http://www.m3.ime.unicamp.br/ - ultimo acesso em26/05/2013.



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Estimando os Limites Inferiores e Superiores do Erro Residual da Solução Numérica de um

Modelo ADR

Alessandro Firmiano*

João Paulo Martins†

Resumo

Um estimador de erro eficiente inclui uma predição muito próxima do erro real,

mesmo quando a solução analítica é desconhecida para a maioria dos problemas da

Engenharia. A confiabilidade do estimador surge com a existência de limites inferiores

e superiores do erro estimado quando viabilizados por implementação computacional.

Neste trabalho, através da disponibilização dos valores dos erros residuais e dos erros

reais da solução numérica do transporte do contaminante 90Sr em meio poroso

saturado, são apresentadas certas constantes e tais que: ≤ ≤ . Os

valores desses limites tornam-se otimizados conforme são empregados estratégias de

deformação ou estratégias de refinamento adaptativo sobre a malha inicial de elementos

finitos.

Palavras chave: Estimador Residual, Equação de Advecção-Dispersão-Reação, Meio

Poroso Saturado, Índice de Eficiência, Código Java, Método dos Elementos Finitos.

Introdução

Resultados computacionais, mesmo quando obtidos de um apropriado modelo

matemático que caracteriza um fenômeno físico de interesse, não estão inumes aos erros

numéricos inseridos pelos processos de discretização. Equações diferenciais parciais ou

equações integrais quando são manipuladas por dispositivos digitais perdem

informações, uma vez que as aproximações numéricas diferem do modelo contínuo.

* E-mail: [email protected] Academia da Força Aérea-AFA, Pirassununga-SP. † E-mail: [email protected] Depto de Hidráulica e Saneamento, SHS/EESC/USP, São Carlos-SP.

FIRMIANO, A. et al. Estimando os limites inferiores e superiores do erro residual da solução numérica de um modelo ADR.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664afmlpjpmew100109 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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100


Maria L. Pizarro

Edson Wendland

Estes erros de aproximação, quando ultrapassam certa magnitude, invalidam a

predição numérica do modelo matemático. Embora ocorram com frequência, os erros de

aproximação difíceis de identificar e de avaliar com medidas intuitivas ou heurísticas.

Nos últimos 20 anos, teorias matemáticas e procedimentos computacionais foram

desenvolvidos para estimar o erro de aproximação em soluções numéricas dos

problemas de valores iniciais e de fronteiras em diversas áreas da Engenharia. Neste

cenário surgem técnicas e demonstrações matemáticas para fundamentar os chamados

estimadores de erro a posteriori.

As análises destes estimadores, baseadas em informações obtidas no pós-

processamento das soluções numéricas, fornecem limites superiores e inferiores do erro

de aproximação em uma norma apropriada. Assim, se o erro estimado pode ser

controlado, é possível melhorar a qualidade da solução numérica ou pela modificação

da malha que representa o domínio, ou pelo aumento da ordem da função de

aproximação, ou otimização do passo de tempo ou por outro processo do algoritmo

numérico capaz de reduzir o erro. Segundo GRÄTSCH e BATHE (2005), o maior requisito

de um estimador para aproximar ou limitar o erro real , é a existência de

constantes positivas e tais que ≤ ≤ . Assim, se o erro real for

pequeno, então a desigualdade ≤ implicará que o estimador será um valor

pequeno, pois a constante possui um valor não muito grande. Inversamente, se a

estimativa for um valor pequeno, então a desigualdade ≤ implicará que o

erro real também será pequeno, pois a constante possui um valor não muito

pequeno. As desigualdades ≤ ≤ ainda representam uma estimativa do

erro no sentido global e indicam o intervalo que contém o erro total sobre um domínio

computacional ODEN (2002).

Neste trabalho são obtidos os limites superiores e inferiores do indicador elemento

residual do estimador de erro da equação parabólica (1), que descreve os fenômenos de

advecção-dispersão-reação (ADR) em meio poroso saturado, considerando o transporte

em regime de pequena advecção, conforme descrito em [6].

O modelo matemático que descreve o transporte de contaminantes em água

subterrânea, considerando = (, ) a concentração do poluente, é dado por:



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101


(1)

sendo Ω ⊂ IR2 o domínio poligonal limitado e com fronteira Lipschitz Γ consistindo de

duas partes disjuntas, ΓD a fronteira de Dirichlet e ΓN a fronteira de Neumann, tais que

Ω=Γ∪Γ ND . O tempo final T é arbitrário, no entanto, precisa ser especificado. A

matriz de dispersão é continuamente diferenciável e simétrica, uniformemente

definida positiva e uniformemente isotrópica. E ainda, o campo de velocidades é

continuamente diferenciável e o termo de reação λ é uma função escalar contínua e não-

negativa [11].

Esses modelos computacionais que implementam a migração de soluto em meio

poroso saturado surgem constantemente em publicações científicas ([4],[5],[8] e [12])

devido à suma importância dada à compreensão e previsão do transporte de

constituintes dissolvidos em água subterrânea.

1 Um Estimador Residual Espacial e a Solução Analítica

Em situações em que na equação (1) o termo advectivo é dominante sobre o termo

dispersivo, o método residual apresenta-se como a técnica apropriada para obter

estimativas a posteriori do erro da solução numérica da equação de transporte de

contaminantes [6]. Nesse método residual, a contribuição de cada elemento K da

triangulação T, para a estimativa do erro espacial da malha é obtida pelo indicador:

( ) ( )( ) ( )11

11

11

11

)1()1(

))1((1

−−

−−

−−

−−

−+−−+∇⋅−

−+∇+−−=

nnnnnn

nnnnn

nK

nnnn

nnnn

CCCC

CCDdivCCfR

TTTT

TTTTI

θθλθθ

θθτ

v (2)

A norma L2 do indicador elemento residual (2), implementada em linguagem

JAVA , foi determinada utilizando os pontos de Gauss do elemento quadrilátero

delimitado pelas clássicas funções Lagrangianas ( )( )wwuu jjj −−=Φ 114

1 [7] em

( )

Ω=Γ=∇⋅Γ=

Ω=+∇⋅+∇−∂

em

],0( x sobre

],0( x sobre

],0( x em

0CC

TgC

TCC

TfCCCdivC

N

DD

t

Dn

vD λ



________________________________________________________________________

102


coordenadas locais ( )wu, . Desta forma, um estimador de erro espacial a posteriori e

com características residuais, para a equação parabólica (1), será dado por:

2

1

2

)(2

2

= ∑∈TK

KLKK Rαη (3)

sendo = ℎ , a função de ponderação; hK o diâmetro do elemento K e

o menor autovalor da matriz . A constante ≥ 0 é tal que ! − #$ ≥ .

Visando uma comparação entra a solução numérica da equação do transporte (1) e

a correspondente solução analítica 2D disponível na literatura (p. ex. [14]), algumas

hipóteses sobre o aquífero em estudo precisam ser consideradas, entre elas:

• o aquífero de extensão infinita tem contaminação não pontual de comprimento

finito;

• a densidade e a viscosidade do fluido são constantes;

• o contaminante está sujeito a transformação química de primeira ordem;

• o fluxo uniforme ocorre na direção x com velocidade constante v e

• os coeficientes de dispersão longitudinal e transversal (Dx, Dy) são constantes.

As condições iniciais e de contorno para obter a solução analítica do transporte de

contaminantes em aquíferos, que obedecem às considerações acima, são dadas por:

C = C0, x = 0 e Y1 < y < Y2

C = 0, x = 0 e y < Y1 ou y > Y2

∞==∂∂= x

x

CC ,0 ,0

±∞==∂∂= y

y

CC ,0 ,0

sendo Y1 a ordenada do limite inferior da fonte de contaminante em x = 0 e

Y2 a ordenada do limite superior da fonte de contaminante em x = 0.

Assim, segundo WEXLER (1992) a solução analítica 2D é expressa por:

( ) dZDZ

yYerfc

DZ

yYerfce

Ze

D

xCtyxC

t

yy

ZD

xZ

D

v

D

vx

x

xxx ∫

−−

−=

−

+−

41

4

24

2

02

22

144

3

20

22

1,,

λ

π (4)

O termo referente à integral da solução acima é aproximado, no código JAVA , pela

implementação da fórmula de translação Gauss-Legendre [9].



________________________________________________________________________

103


2 Resultados e discussão Para a verificação dos limites do estimador de erro residual para a equação do

transporte de contaminantes, é implementada uma fonte não pontual contendo o

elemento reativo 90Sr (estrôncio-90) que migra facilmente de um armazenamento de

resíduos radioativos para um aquífero confinado. As variáveis do modelo de transporte

implementadas no código JAVA são as apresentadas na tabela 1 e a solução numérica é

comparada com a solução analítica (4).

Tabela 1 – Variáveis do transporte de 90Sr em aquífero confinado, adaptadas de WEXLER (1992). VARIÁVEL DESCRIÇÃO INPUT DOS DADOS

Velocidade uniforme (m/dia)

Velocidade real do fluxo de água subterrânea na direção horizontal.

double Vx = 1.0; // velocidade em x double Vy = 0.0; // velocidade em y

Dispersividade longitudinal (m)

Estima a dispersão longitudinal Dx =αxVx em função da pluma.

double longiDisp = 100.0; // de 0.1m a 100m - (Kumar, 2009)

Dispersividade transversal (m)

Estima a dispersão transversal Dy =αyVx em função da pluma.

double transDisp = 20.0;

Porosidade efetiva

Define a porosidade efetiva. double poro = 0.15; // porosity

Frente de contaminante (m)

Implementa a concentração na fronteira de Dirichlet de 150m.

int Ymed = 3; // nós acima e abaixo da contaminação pontual.

Concentração de 90Sr (mg/L)

Concentração constante estimada na fonte de 100 mg/L.

double solute = 100.0;

Decaimento de 1 a ordem (1/dia)

Escalar que implementa o termo de decaimento de 1ª ordem do 90Sr.

double reaction = 0.0000678; // tempo de meia vida do 90Sr = 28 anos

Coeficiente theta

Escalar da discretização temporal.

double theta = 1.0/2.0; // método de Crank-Nicolson-Galerkin

Solução Analítica Variável booleana para comparar a solução numérica com a analítica.

boolean AnalyticalSolution = true; // solução 2D de Wexler 1992

package org.arena.water.gwfem2d.transport2D

As dimensões do domínio computacional retangular são 1000m de comprimento

por 800m de largura. A malha inicial foi dividida de forma que os 1024 elementos

retangulares sobreponham os 1089 nós igualmente espaçados na direção x e na direção

y. A figura 1 compara a frente de contaminação obtida pela solução analítica com a

respectiva solução numérica, ambas implementadas no mesmo código JAVA .

A técnica empregada na solução numérica para evitar o surgimento de

concentrações negativas e oscilações espúrias foi o esquema Symmetrical Streamline

Stabilization (S3) [13]. A discretização temporal da equação (1) foi obtida pelo popular

método de Crank-Nicolson [2].



________________________________________________________________________

104


(a) solução analítica de

FIGURA 1 – Comparação entre a solução analítica (a) e(b) do transporte do

Através da disponibilização

erros reais da solução numérica do transporte do

os passos de tempo, determina

A figura 2 apresenta o erro residual fornec

pela norma euclidiana do erro real. Verifica

para todos os passos de tempo da simulação numérica, enquanto que o limite s

aplica-se a partir do 40º passo de tempo. Para limitar superiormente os passos de tempo

anteriores ao 40º, basta aumentar o valor da constante

FIGURA 2 – Visualização dos limites inferiores do estimador de erro residual em malha grosseira

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40

Err

o N

um

éri

co

solução analítica de Wexler (1992) (b) solução numérica do código

Comparação entre a solução analítica (a) e a solução numérica(b) do transporte do 90Sr em aquífero confinado no instante t = 800

Através da disponibilização computacional dos valores dos erros residuais e dos

erros reais da solução numérica do transporte do 90Sr, para a malha original e em todos

os passos de tempo, determina-se as constantes = 1,7 e 4,0, tais que:

2 apresenta o erro residual fornecido pelo estimador espacial (3)

pela norma euclidiana do erro real. Verifica-se que o limite inferior

para todos os passos de tempo da simulação numérica, enquanto que o limite s

se a partir do 40º passo de tempo. Para limitar superiormente os passos de tempo

anteriores ao 40º, basta aumentar o valor da constante .

Visualização dos limites inferiores (, )* e superiores +estimador de erro residual em malha grosseira

0,8-1

0,6-0,8

0,4-0,6

0,2-0,4

0-0,2

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

No. de passos de tempo de 10 dias [

Limites Superiores e Inferiores do

Estimador em malha grosseira

solução numérica do código JAVA

a solução numérica

= 800d

dos valores dos erros residuais e dos

Sr, para a malha original e em todos

, tais que:

(5)

ido pelo estimador espacial (3) limitado

se que o limite inferior 1,7 é válido

para todos os passos de tempo da simulação numérica, enquanto que o limite superior

se a partir do 40º passo de tempo. Para limitar superiormente os passos de tempo

+, ,*

0,8-1

0,6-0,8

0,4-0,6

0,2-0,4

0-0,2

170 180 190 200

No. de passos de tempo de 10 dias [d]

Erro Residual

Limite Inferior

Limite Superior



________________________________________________________________________

105


As desigualdades (5) mostram que o erro residual tende a zero na mesma taxa de

convergência em que o erro real tende a zero, e que na simulação do transporte do 90Sr,

o índice de eficiência, conforme [10], é limitado por 0,47,1 ≤=≤e

E f

η a partir do 40º

passo de tempo.

Em uma segunda análise é feita uma reorganização dos nós da malha inicial em

uma estratégia que concentra os nós disponíveis junto à frente de contaminação. Nesta

nova malha deformada os limites superiores e inferiores do erro residual estimado,

conforme apresentado na figura 3, obedecem às desigualdades:

2,0 (6)

FIGURA 3 – Obtenção dos limites inferiores (, ,* e superiores ., ,* do

estimador de erro residual em malha deformada

Desta forma, verifica-se que para limitar o erro residual, a partir do 40º passo de

tempo, é necessário constantes = 1,0 e = 2,0, que determinam um intervalo de

amplitude 1,0. Isto representa uma melhora de 57%, se comparado ao intervalo de

amplitude 2,3 para limitar, a partir do 40º passo de tempo, o erro residual estimado na

malha original. O índice de eficiência do estimador residual na malha deformada passa

a ser limitado por 0,20,1 ≤≤ fE a partir do 40º passo de tempo.

Numa terceira estratégia, um elemento da malha deformada será refinado se o seu

resíduo superar, em uma determinada porcentagem /, o valor do erro máximo obtido

sobre todos os elementos dessa malha. O valor do parâmetro /, geralmente indicada

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Err

o N

um

éri

co



Estimador em malha deformada

Erro Residual

Limite inferior

Limite Superior



________________________________________________________________________

106


pelo usuário do código, é considerado neste trabalho como sendo / 0,5, uma escolha

popular e bem estabelecida [11].

Sendo a malha deformada uma malha estruturada e com elementos quadriláteros,

o elemento marcado para o refinamento será subdividido horizontalmente em dois

elementos congruentes. Para evitar nós de enforcamento1, os elementos vizinhos da

esquerda e da direita também serão refinados.

Nesta última estratégia verifica-se que o erro residual é limitado pela

desigualdade:

0,55 ≤ ≤ 0,90 (7)

a figura 4 apresenta o estimador residual limitado pelo erro real da malha deformada

combinada com a uma estratégia de refinamento adaptativo.

FIGURA 4 – Obtenção dos limites inferiores ,, 22* e superiores ,, 3,* do estimador de erro

residual em malha deformada combinada com estratégia de refinamento

Desta forma, para limitar o erro residual a partir do 40º passo de tempo, é

necessário um intervalo de amplitude 0,35, o que corresponde a uma melhora de 85% se

comparado com a amplitude encontrada para limitar o erro residual na malha original. E

ainda, o índice de eficiência do estimador residual espacial na malha deformada com

refinamento passa a ser limitado por 90,055,0 ≤≤ fE , a partir do 40º passo de tempo.

1 Do inglês hanging nodes. Um nó será considerado de enforcamento se na malha existir pelo menos um elemento, tal que o nó pertence ao interior de uma aresta de K, mas não é vértice do elemento K.

0

5

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Err

o N

um

éri

co



Estimador em malha deformada

e refinamento

Erro residual

Limite inferior

Limite superior



________________________________________________________________________

107


3 Conclusão

Foram obtidas constantes específicas e como limites inferiores e superiores

para um estimador de erro a posteriori da solução numérica do transporte do

contaminante 90Sr em água subterrânea. A disponibilização do erro real foi

realizada através de um código JAVA que determina a solução numérica do modelo ADR

em regime predominantemente advectivo e depois compara com a respectiva solução

analítica [14] numa implementação que considerou o campo de velocidades uniforme

num meio isotrópico e homogêneo.

Sobre malha grosseira, em malha deformada ou em malha com refinamento

adaptativo, o estimador de erro residual foi limitado inferior e superiormente pela

norma euclidiana do erro real , estabelecendo-se a seguinte desigualdade:

para todos os passos de tempo 4 ≥ 45.

Com a reorganização dos nós da malha inicial em uma estratégia que concentra os

nós disponíveis com aproximação maior na frente de contaminação, o estimador

residual apresentou uma diminuição de 57% na amplitude do intervalo (, ) formado

pelas constantes positivas que limitam o erro residual na desigualdade indicada acima. E

quando essa estratégia foi combinada com a do refinamento adaptativo com parâmetro

/ = 0,5, o estimador residual corresponde com uma diminuição de 85% na amplitude

do intervalo (, ) para limitar o erro residual na malha.

Desta forma, verifica-se que o erro residual estimado tende à zero na mesma taxa

de convergência em que o erro real tende à zero. Este fato observado fornece ao

estimador residual características confiáveis quando empregado nas soluções

numéricas dos modelos ADR.

Referências

[1] AKRIVIS G., Makridakis C., Nochetto R. A posteriori error estimates for the

Crank-Nicolson method for parabolic equations, Mathematics of Computation, vol

75, pp 511-531, (2006).



________________________________________________________________________

108


[2] DONEA J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems, John Wiley &

Sons, 2004.

[3] GRÄTSCH T., Bathe K. J. A posteriori error estimation techniques in practical

finite element analysis, Computers and Structures 83, pg 235-265, (2005).

[4] HOSSAIN M. A., Miah A. S. Crank-Nicolson-Galerkin model for transport in

groundwater: Refined criteria for accuracy, Applied Mathematics and

Computation, 105: 173-181, (1999).

[5] HUANG Q, Huang G., Zang H. A finite element solution for the fractional

advection-dispersion equation, Advances in Water Resources; 31 : 1578-1589,

(2008).

[6] JESUS A. F. Um Estimador de Erro a posteriori para a Equação do Transporte de

Contaminantes em Regime de Pequena Advecção, 150 f. Tese (Doutorado) – Escola

de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2010.

[7] KRESIC N., Hydrogeology and Groundwater Modeling, CC Press 2nd. ed, 2006.

[8] KUMAR B. P., Dodagoudar G. R, Two-dimensional modeling of contaminant

transport trough saturated porous media using the radial point interpolation

method (RPIM), Hydrogeology Journal, 16:1497-1505, (2008).

[9] MATHEWS J., Numerical Methods Using Matlab, Prentice Hall, NJ, USA, 2004.

[10] ODEN J. T. A Posteriori Error Estimation, Verification and Validation in

Computational Solid Mechanics, Hans Maier, ASME/USACM Standards, 2002.

[11] VERFÜRT R., Adaptive Finite Element Methods, Lecture Notes Winter Term

2007/08 Fakultät fur Mathematik, Ruhr-Universität Bochum, Deutschland, 2008.

[12] SOREK S. Two-dimensional adaptive eulerian-lagrangian method for mass

transport with spatial velocity distribution, Transport in Porous Media, 3: 473-489,

(1988).

[13] WENDLAND E. A symmetrical streamline stabilization scheme for high advective

transport, Inter Journal for Analytical and Num Methods in Geomechanics, 24(1), p.

29-45 (2000).

[14] WEXLER E. Applications of Hydraulics Analytical Solutions for One-, Two- and

Three-Dimensional solute Transport in Groundwater Systems with Uniform Flow –

Chapter B7 Techniques of Water-Resources Investigations of the USGS, Denver

USA, 1992.



________________________________________________________________________

109


*Este trabalho é resultante do projeto de Extensão “Ensinando matemática através de

Jogos, modelos geométricos e informática”, financiado pela PROEX. †

E-mail:

[email protected], [email protected], docentes do Departamento de

Matemática-UNESP-Bauru/SP

¹ E-mail: [email protected], [email protected], alunas do

Curso de Licenciatura em Matemática-UNESP-Bauru/SP, sendo a última bolsista do

projeto “Ensinando Matemática através de Jogos, Modelos Geométricos e Informática”

Aplicando o Jogo “Avançando com o resto” no

Ensino de Matemática *

Ana Beatriz Alves Ribeiro da Silva¹

Cristiane Alexandra Lázaro †

Laís Fernanda Macedo Rosa¹

Tatiana Miguel Rodrigues †

Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP

17033-360, Bauru, SP

Resumo

Como é conhecido pela maioria, infelizmente, o ensino de matemática vem enfrentando

muitas dificuldades. Cerca o ensino dessa disciplina mitos, preconceitos, que fazem

com que o estudante, muitas vezes, já chegue à escola com medo das aulas de

matemática. Por outro lado, ainda perdura em muitas escolas um ensino focado na

reprodução e não na construção do conhecimento, apesar de alguns professores

buscarem alternativas para tornarem as aulas mais atrativas, priorizando atividades

interessantes e motivadoras.

O famoso livro didático e os caderninhos de apoio enviados pela secretaria do estado da

educação ainda continuam sendo os principais recursos disponíveis na sala de aula. Os

exercícios e listas, muitas vezes considerados intermináveis, buscam sem sucesso fixar

um conhecimento que muitas vezes não foram se quer apropriado pelos alunos.

Diante do exposto faz-se necessário pensar em transformações no ensino de matemática

que ultrapassem a simples reprodução de exercícios e permitam tanto para o professor,

quanto para o aluno um ensino mais atraente e desafiador e principalmente repleto de

SILVA, A. B. A. R. et al. Aplicando o jogo "avançando com o resto" no ensino de matemática.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664abarscallfmrtmr110117 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

________________________________________________________________________

110


significados. Dessa forma, este estudo tem como objetivo mostrar ao aluno, a partir dos

jogos matemáticos, a diversão e, também, a superação, possibilitando a construção de

aprendizagens significativas.

Palavras Chave: Jogos, ensino, resto, números.

Introdução

Quando pensamos em jogos, as primeiras coisas que surgem à mente são

disputa, competição e diversão. Claro que estas sensações são muito importantes.

Entretanto, quando o objetivo está focado na aprendizagem é preciso que sejam

superadas estas sensações, é preciso ir além, possibilitando aos alunos a apropriação de

novos conhecimentos associados aos que eles já possuem.

Segundo Selva & Camargo (2009), o jogo é um processo, no qual o aluno

necessita de conhecimentos prévios, interpretação de regras e raciocínio, o que

representa constantes desafios, pois a cada nova jogada são abertos espaços para a

elaboração de novas estratégias, desencadeando situações problemas que, ao serem

resolvidas, permitem a evolução do pensamento abstrato para o conhecimento efetivo,

construído durante as atividades.

As dificuldades manifestadas na aprendizagem da disciplina de matemática estão

intimamente ligadas à necessidade de novas práticas pedagógicas que colaborem com o

professor, a fim de auxiliar seus alunos a aprender.

Conforme explica Grando (2004) podemos utilizar o jogo para facilitar a

aprendizagem de estruturas matemáticas, principalmente as mais difíceis do aluno

assimilar.

Ao jogar com os colegas o aluno faz negociações, ouve a opinião dos outros,

argumenta, o que torna possível estruturar seu raciocínio.

Ao longo do projeto “Ensinando Matemática através de jogos, modelos

geométricos e informática”, o jogo “Avançando com o resto” foi aplicado em diversas

escolas, com alunos de todos os anos do ensino fundamental, além de 1° e 2° ano do

ensino médio. Em consequência da diversidade de escolas e turmas trabalhadas, tivemos



________________________________________________________________________

111


um respaldo claro, que nos mostrou a importância dos jogos no ensino de matemática,

que vai muito além do papel motivador que a disputa em um jogo já traz consigo.

A aplicação dos jogos em sala de aula pretende ser mais um recurso

metodológico para promover a aprendizagem matemática. O jogo “Avançando com o

resto” foi elaborado pelos alunos da Universidade Estadual Paulista, em colaboração

com seus professores. Sete escolas foram escolhidas para a aplicação, sendo seis escolas

públicas e uma particular. A aplicação dos jogos nestas escolas foi realizada pelos

alunos bolsistas/voluntários responsáveis pelo seu desenvolvimento bem como pelo

professores de matemática responsáveis pela sala selecionada para aplicação.

1 O jogo “Avançando com o resto”

1.1 Descrição

Podemos descrever o jogo “avançando com o resto” da seguinte forma: é um jogo

direcionado teoricamente a alunos dos anos iniciais do ensino fundamental, mas devido

ao cenário atual de sala de aula foi aplicado até nos anos finais do ensino. Para que tudo

ocorra bem com o jogo, é necessário que os alunos já tenham se apropriado dos

conhecimentos da multiplicação e da divisão.

O material usado para o jogo consiste de um tabuleiro, como apresentado na figura a

seguir, que pode ser confeccionado em EVA, dois dados de seis faces, e dois

marcadores (um para cada jogador). Esse marcador será colocado sobre a casa que o

jogador for avançar. Pode ser jogado em equipe ou individual. Após o professor

explicar as regras do jogo, um aluno joga o dado, verifica se o número sorteado é

divisível pelo número que está no tabuleiro. Caso seja divisível, não sobrará resto e o

aluno não moverá seu marcador. Caso tenha resto, ele avançará a quantidade de casas

referente a este.



________________________________________________________________________

112


AVANÇANDO COM O RESTO

1.2 Objetivo do jogo

Chegar em primeiro lugar ao espaço com a palavra FIM, trabalhando com divisão e

classe de restos.

1.3 Material

Tabuleiro como na figura acima e um dado de 6 faces.

1.4 Regras

Conforme Borim (2004)

1. Duas equipes jogam alternadamente. Cada equipe movimenta a sua ficha

colocada, inicialmente, na casa de número 39.

2. Cada equipe, na sua vez, joga o dado e faz uma divisão onde:

• O dividendo é o número da casa onde sua ficha está;

• O divisor é o número de pontos obtidos no dado.



________________________________________________________________________

113


3. Em seguida, calcula o resultado da divisão e movimenta sua ficha o número de

casas igual ao resto da divisão.

4. A equipe deverá obter um resto que faça chegar exatamente à casa marcada FIM

sem ultrapassá-la, mas se isso não for possível, ela perde a vez de jogar e fica no

mesmo lugar.

5. Vence a equipe que chegar primeiro ao espaço com a palavra FIM.

2 Experiências com aplicações do Jogo “Avançando com o

resto”

A seguir exemplificamos, com alguns fragmentos, as conversas entre os alunos

durante a aplicação dos jogos nas diversas escolas. Optamos por aplicar este jogo com

alunos do 7 ° ano:

Aluno A: Eu não sei divisão!

Aluno B: Pode resolver com o celular?

Aluno A: Como é que faz mesmo?

Aluno B: Mas no celular não aparece resto?!

Aluno B: Eu não lembro da tabuada.

Aluno A: É difícil!

Essa situação se repetiu em diversos momentos nas sete escolas em que

apresentamos o projeto. Foi possível perceber que os alunos tiveram dificuldades em

jogar porque não sabiam tabuada. A professora desta turma explicou que poucos

conseguem desenvolver os exercícios propostos nas aulas sem a ajuda da tabuada.

Percebemos que por alguns momentos o jogo perdeu o encanto, a falta do conhecimento

em relação a tabuada tornou-se um entrave para a realização do jogo. Assim, para que o

jogo prosseguisse e os alunos não ficassem chateados, resolvemos deixá-los utilizar a

tabuada que todos tinham colada no final do caderno.

Em uma outra escola que visitamos a experiência foi muito boa também, os

alunos estavam bastante motivados pois o professor da sala faz parte da equipe que

elaborou os jogos. Dividimos as equipes em grupos de quatro alunos.



________________________________________________________________________

114


Aluno A: Faz figa, tomara que não precise fazer conta difícil.

Aluno B: Torce aí gente

Aluno C: Agora é nossa vez eu sou bom hein.

Aluno C: Consegui, anda até aqui

Aluno D: Aeeeee!

Prosseguimos jogando por quase quarenta minutos, no final da aula o professor

acalmou os alunos que queriam continuar jogando. Propôs uma atividade competitiva

entre meninos e meninas, valendo um ponto a mais na média para quem conseguisse

desenvolver.

Aluno 1: É a sua vez

Aluno 2: Não posso tirar o número 3, porque não terá resto

Aluno 1: Vai lá vamos ver se você sai logo da primeira casa

Aluno 2: Ai consegui, vou fazer a divisão para ver quantas casas vou andar.

Aluno 1: Até que enfim

O nível dos alunos dessa turma era muito bom então, rapidamente, eles

conseguiram jogar duas partidas durante uma aula.

Aluno 3: Quanto saiu no dado que eu não vi?

Aluno 4: Saiu o número 5, vou fazer a divisão.

Aluno 3: Cuidado esta perto do zero, terá que voltar ao começo do jogo se cair

nesta casa

Aluno 4: Ufa, essa foi por pouco

Essa turma também demonstrou estar bastante motivada em se divertir com o

jogo, a maioria dos alunos já havia se apropriado do conceito de divisão, o que

favoreceu o desenvolvimento do jogo.

Professora: Quem está na frente?

Aluno 5: Estamos empatadas professora

Aluno 6: É a minha vez agora, vou passar na frente

Nessa turma percebe-se que a competição é bastante acirrada, pois, demonstrou

em seus diálogos a necessidade de vencer o jogo, embora tenha ficado claro que

dominavam o conteúdo.

Aluno 7: Quanto é mesmo 6x6?

Aluno 8: Eu acho que é 36



________________________________________________________________________

115


Aluno 7: Vou ter que fazer as contas para verificar

Aluno 8: Vamos lá, eu te ajudo

Esta equipe demonstra perceber que o trabalho colaborativo surte efeito. Os

alunos se ajudam mutuamente resolvendo a situação problema com o objetivo de

finalizar a partida.

Foi aplicado, para dar suporte a experiência do projeto “Ensinando Matemática

através de Jogos”, um questionário com perguntas gerais já que, além do jogo em

questão, outros jogos também foram expostos.

Dentre as turmas que responderam o questionário nas diferentes escolas foi

possível perceber que especificamente o jogo “Avançando com o resto” contribuiu com

a aprendizagem dos alunos de diversas formas conforme os fragmentos das respostas

dos alunos a seguir:

“Sim, o jogo avançando com o resto contribuiu com a nossa aprendizagem, pois

usamos a divisão e multiplicação como nossa aliada...”

“eu e meus amigos, não era muito bom em divisão e agora a gente aprendeu

melhor...”

“Gostamos do jogo andando com o resto, por que aprendemos muito mais fácil a

conta do que com a aula comum...”

“Sim, por que algumas pessoas do grupo não sabia fazer divisão de dois número

na chave...”

Durante a aplicação foi possível observar as reações dos alunos, a interação com

os colegas e com os professores, as intervenções feitas pelos aplicadores sempre que os

alunos tinham dúvidas, as orientações feitas pelo professor da classe.

Além disto, tivemos uma resposta muito positiva com os alunos, alguns chegaram a

pedir que voltássemos outras vezes com mais jogos do tipo. Em algumas escolas

voltamos com o “Avançando com o resto” e muitos já estavam operando muito bem e

até conseguiram brincar com jogos mais complexos que antes não gostavam ou não

sabiam o conteúdo do jogo.



________________________________________________________________________

116


3 Conclusão

Podemos concluir, após a apresentação do jogo “Avançando com o resto” em

algumas escolas, que o jogo como instrumento pedagógico constitui-se em um

importante aliado uma vez que o aluno é levado a refletir, a trocar com o grupo, a

construir seu próprio conhecimento, superando suas dificuldades. O trabalho do

professor fica mais dinâmico. Foi possível perceber que as propostas de atividades que

envolvem jogos desafiam os alunos sendo, dessa forma, um importante recurso didático,

possibilitando diagnosticar o que o aluno não sabe, ampliar o leque de conceitos que ele

já possui, como também para ajudar a fixar conceitos. É preciso ressaltar ainda que a

cooperação entre os alunos durante a realização do jogo foi grande. Os alunos davam

palpites, incentivavam os colegas para que a partida fosse até o final.

Em todas as escolas em que foram aplicados os jogos foi muito gratificante

perceber que o jogo proporcionou novos conhecimentos, colaboração entre os alunos,

motivação para participação, competitividade e muita diversão e o que foi mais

importante diagnosticou entraves na aprendizagem que precisam ser retomados para que

os alunos avancem.

Enfim, ficou nítido para os participantes dessa experiência que os jogos

matemáticos, além de favorecem a aprendizagem podem também tornar as aulas mais

dinâmicas, participativas, envolventes e principalmente, prazerosas.

Referências

[1] BORIM, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de

matemática, 5ª edição. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004, 100p.

[2] GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo:

Paulus, 2004.

[3] SELVA, R. K e CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a

construção do conhecimento. X Encontro Gaúcho de educação matemática. Ihui/RS,

2009. Disponível em

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_4.pdf, acesso em 28

de Outubro de 2013.



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http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_4.pdf

Sobre a compacidade logica e topologica

Hercules de Araujo FeitosaMauri Cunha do Nascimento

Marcelo Reicher Soares ∗

Resumo

Os ambientes da Logica e da Topologia tem a compacidade como uma propri-edade importante. Nos dois diferentes contextos as nocoes de compacidade saodiversas. Na logica, dizemos que um conjunto de formulas ∆ e compacto quandoa existencia de modelo para todo subconjunto finito de ∆ implica que tambem ∆tem modelo. A logica e compacta, se o conjunto de suas formulas validas e com-pacto. Na topologia, um conjunto A e compacto, caso qualquer cobertura de A porabertos admita uma subcobertura finita. Neste trabalho, mostramos uma maneirade relacionar tais nocoes de compacidade.

Palavras Chave: Logica, Topologia, Compacidade, Modelo de valoracoes.

Introducao

Sao muitas as interacoes entre Logica e Topologia. Nestas notas, trataremos es-pecificamente da propriedade da compacidade, tratada tanto no contexto da Logicacomo da Topologia. Os enunciados nos dois contextos trazem alguma semelhanca,mas nao sao coincidentes.

No contexto logico, temos a seguinte caracterizacao. Seja L um sistema logicoe ∆ ⊆ For(L) um conjunto qualquer de formulas de L. Um modelo para ∆ euma estrutura matematica que torna valida cada elemento de ∆. O conjunto ∆ ecompacto se a existencia de modelo para cada subconjunto finito ∆0 ⊆ ∆ implicana existencia de modelo para o conjunto ∆. A recıproca deste resultado e imediata,pois se um conjunto qualquer ∆ tem modelo, entao este mesmo modelo valida todasas suas formulas, as quais podem estar reunidas em quaisquer subconjuntos de ∆.O sistema logico L e compacto se todo ∆ ⊆ For(L) e compacto.

Por outro lado, no contexto topologico, se (E, T ) e um espaco topologico eA ⊆ E, entao A e compacto quando para toda cobertura de A por conjuntos abertosde (E, T ), pode-se encontrar um subcobertura finita para A.

A meta deste artigo e estabelecer um vınculo entre estes dois conceitos de com-pacidade, no contexto da logica proposicional classica.

∗Email: [email protected]. Departamento de Matematica, Faculdade de Ciencias, UNESP.

FEITOSA, H. A; NASCIMENTO, M. C.; SOARES, M. R. Sobre a compacidade lógica e topológica.

DOI: 10.21167/cqdvol2201323169664mrshafmcn118126 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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1 Elementos de topologia

Nesta secao apresentamos algumas definicoes e caracterizacoes de carater to-pologico, que podem ser vistas em [3], [6], [7] e [9]. Apresentamos apenas o ne-cessario para os resultados centrais, que estao nas secoes seguintes.

Definicao 1 Seja E um conjunto nao vazio. Uma topologia sobre E e um conjuntoT ⊆ P(E) tal que:

(i) ∅ ∈ T e E ∈ T ;(ii) se B1, B2, ..., Bn ∈ T , entao B1 ∩ ... ∩Bn ∈ T ;(iii) se Ai : i ∈ I ⊆ T , entao ∪Ai ∈ T .

O par (E, T ) e um espaco topologico.

Por questao de simplicidade de notacao, em geral, quando nao ha duvida quantoa topologia T considerada, podemos denotar o espaco topologico (E, T ) apenas porE.

Definicao 2 Os elementos de T sao os abertos de (E, T ). Um subconjunto B ⊆ Ee fechado em (E, T ) se o seu complementar e um aberto, isto e, se BC ∈ T .

Para descrevermos todos os abertos de um espaco topologico (E, T ) nao preci-samos, necessariamente, de todos os elementos de T . Assim e que temos a definicaode base.

Definicao 3 Dado um espaco topologico (E, T ), uma base para a topologia T e umsubconjunto B ⊆ T tal que para qualquer aberto A ⊆ E, tem-se A = ∪Ai, com i ∈ Ie Ai ∈ B.

Proposicao 4 Seja E um conjunto nao vazio. Dada uma colecao B de subconjun-tos de E, se as seguinte condicoes sao validas:

(i) E = ∪A : A ∈ B e(ii) se x ∈ A∩B, para A,B ∈ B, entao existe C ∈ B tal que x ∈ C ⊂ A∩B;

entao B e uma base de uma topologia sobre E.

Na proposicao acima, a topologia a ser considerada e aquela formada por unioesarbitrarias de elementos de B mais o conjunto vazio.

Proposicao 5 Se (E, T ) e um espaco topologico e B e uma base para este espacotopologico, entao sao validas as condicoes:

(i) E = ∪A : A ∈ B;(ii) se x ∈ A∩B, com A,B ∈ B, entao existe C ∈ B tal que x ∈ C ⊂ A∩B.

Definicao 6 Sejam (E, T ) um espaco topologico e A ⊆ E.(i) Uma cobertura de A e um conjunto C de subconjuntos de E tal que A ⊆ ∪C.(ii) A cobertura C e uma cobertura de A por abertos, se cada elemento de C

e um aberto.(iii) Uma subcobertura da cobertura C de A e qualquer subconjunto de C que

ainda e cobertura de A.(iv) A cobertura C e finita se ela tem um numero finito de elementos.

Definicao 7 Seja (E, T ) um espaco topologico. Um conjunto A ⊆ E e compactose toda cobertura de A por abertos admite uma subcobertura finita.

Espacos metricos sao exemplos simples e imediatos de espacos topologicos.



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Definicao 8 Um espaco metrico e um par (M,d), em que M e um conjunto naovazio e d e uma funcao d : M × M → R que associa a cada par de elementosx, y ∈M um numero real d(x, y), de maneira que, para todos x, y, z ∈M valem:

(i) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0⇔ x = y;(ii) d(x, y) = d(y, x);(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

A funcao d e denominada metrica e o numero real d(x, y) e a distancia entre x e y.

Como para os espacos topologicos, quando nao ha duvida quanto a metrica dem questao, podemos denotar o espaco metrico (M,d) apenas por M .

Definicao 9 Sejam (M,d) um espaco metrico, a ∈ M e 0 < r ∈ R. Uma bolaaberta de centro a e raio r e o conjunto Br(a) = x ∈M : d(x, a) < r, e uma bolafechada e o conjunto Br[a] = x ∈M : d(x, a) ≤ r.

Definicao 10 Seja (M,d) um espaco metrico. Um subconjunto A ⊆M e aberto separa todo a ∈ A, existe um numero real positivo r tal que Br(a) ⊆ A.

Lema 11 Sejam (M,d) um espaco metrico e A ⊆M . Entao o conjunto A e abertoem (M,d) se, e somente se, A e uma uniao de bolas abertas Br(a) ⊆ A, com a ∈ A.

Definicao 12 Um conjunto B ⊆M e fechado se o seu complementar BC e aberto.

Lema 13 Seja (M,d) um espaco metrico. Entao:(i) ∅ e M sao abertos;(ii) Se A1 e A2 sao abertos, entao A1 ∩A2 e aberto;(iii) Se Aii∈I e um conjunto de abertos, entao ∪i∈IAi tambem e um aberto.

Teorema 14 Se (M,d) e um espaco metrico, entao M e um espaco topologico e oconjunto das bolas abertas determina uma base para sua topologia.

Segue do ultimo teorema que as definicoes de cobertura e compacidade paraespacos topologicos continuam validas para espacos metricos.

Definicao 15 Sejam (M,d) um espaco metrico, A ⊆ M e b ∈ M . O elementob ∈ M e um ponto de acumulacao de A se para toda bola aberta Br(b) tem-se(Br(b)− b) ∩A 6= ∅.

Proposicao 16 Seja (M,d) um espaco metrico. Se b ∈ M e um ponto de acu-mulacao de A ⊆M , entao para todo aberto B que contem b, o conjunto (B−b)∩Ae infinito.

Definicao 17 Uma sequencia (xn) do espaco metrico (M,d) e convergente se existea ∈M tal que lim

n→∞xn = a.

Definicao 18 Seja (xn) uma sequencia definida em um espaco metrico (M,d). Asequencia (xn) e de Cauchy se para todo ε > 0, existe k ∈ N, tal que para todosn,m ≥ k, tem-se d(xn, xm) < ε.

Definicao 19 Um espaco metrico (M,d) e Cauchy-completo quando nele toda sequenciade Cauchy e convergente.

Definicao 20 Seja (M,d) um espaco metrico e A ⊆M . O diametro de A, denotadopor diam(A), e definido por diam(A) = supd(x, y) : x, y ∈ A.



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Definicao 21 Seja (M,d) um espaco metrico e A ⊆ M . O conjunto A e limitadose o seu diametro e finito.

Definicao 22 Um espaco metrico (M,d) e totalmente limitado quando, para cadaε > 0, pode-se exprimir M = S1 ∪ ... ∪ Sn, em que cada Si tem diametro menor doque ε.

Assim, um espaco metrico (M,d) e totalmente limitado se, e somente se, paracada ε > 0, existe um numero finito de bolas abertas de raio ε que cobrem M . Ouainda, para que o espaco metrico (M,d) seja totalmente limitado, e necessario esuficiente que, dado ε > 0 arbitrario, exista um numero finito de pontos a1, ..., an ∈M de maneira que todo ponto x ∈M dista menos que ε de algum dos ai.

Teorema 23 Seja (M,d) um espaco metrico. As seguintes afirmacoes sao equiva-lentes:

(i) (M,d) e compacto;(ii) todo subconjunto infinito de M possui um ponto de acumulacao;(iii) toda sequencia em M possui uma subsequencia convergente;(iv) (M,d) e completo e totalmente limitado.

Definicao 24 Sejam A um conjunto dado e (Bi)i∈I uma famılia de subconjuntosde A. A famılia (Bi)i∈I tem a propriedade da interseccao finita (pif) se, para todosubconjunto finito J ⊆ I, tem-se ∩j∈J(Bj) 6= ∅.

Proposicao 25 Um espaco metrico (M,d) e compacto se, e somente se, todafamılia de fechados (Bi)i∈I de M com a propriedade da interseccao finita e talque ∩i∈I(Bi) 6= ∅.

2 Espaco de modelos da logica proposicional

classica

Nesta secao tratamos de um espaco de modelos do calculo proposicional classicodado pelas valoracoes booleanas. Nocoes de logica classica podem ser encontradasem [1], [4], [5], [8] e [9].

Maiores detalhes sobre uma formalizacao da logica proposicional classica emPortugues podem ser encontrados em [5].

A logica proposicional classica, denotada por L, e determinada sobre a linguagemproposicional L = p1, p2, ...,¬,→, ), ( . O conjunto das variaveis proposicionais deL e denotado por V ar(L) = p1, p2, ....

Definicao 26 O conjunto das formulas de L, denotado por For(L), e definidorecursivamente por:

(i) os elementos de V ar(L) sao formulas. Sao as formulas atomicas de L;(ii) se ϕ e ψ sao formulas, entao ¬ϕ e ϕ→ ψ sao formulas;(iii) apenas as expressoes, sequencias finitas de sımbolos, dadas nos itens (i)

e (ii) sao formulas.

Agora podemos dizer quais sao as formulas verdadeiras ou validas de L.

Definicao 27 Uma valoracao restrita e uma funcao v : V ar(L)→ 0, 1.



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Definicao 28 Uma valoracao v para o conjunto das formulas For(L) e uma ex-tensao indutiva de v dada por:

v : For(L)→ 0, 1(i) v(pi) = v(pi), se pi ∈ V ar(L);(ii) v(¬ϕ) = 0⇔ v(ϕ) = 1;(iii) v(ϕ→ ψ) = 0⇔ v(ϕ) = 1 and v(ψ) = 0.

Cada valoracao v e unicamente estendida a partir de uma valoracao restrita v.Quando v(ϕ) = 1, entende-se que a formula ϕ e verdadeira segundo a valoracaorestrita v ou, univocamente, segundo a valoracao v.

Tambem, cada valoracao v : For(L) → 0, 1 e a funcao caracterıstica do con-junto A = ϕ ∈ For(L) : v(ϕ) = 1. Como a extensao de v a partir de v eunica, podemos construir este conjunto de formulas verdadeiras segundo v a partirde Av = p ∈ V ar(L) : v(p) = 1. Ou seja, o subconjunto Av ⊆ V ar(L) determinaunivocamente o conjunto A ⊆ For(L).

Definicao 29 Um modelo em L e um conjunto de variaveis Av = p ∈ V ar(L) :v(p) = 1, determinado por alguma valoracao v.

Denotamos o conjunto dos modelos em L por Mod(L) e, assim, Mod(L) =P(V ar(L)).

Definicao 30 A relacao de satisfacao de um modelo A para uma formula ϕ ∈For(L), denotada por A ϕ, e recursivamente definida:

(i) se ϕ e p, entao A ϕ⇔ ϕ ∈ A;(ii) se ϕ e ¬ψ, entao A ϕ⇔ A 2 ψ;(iii) se ϕ e ψ → σ, entao A ϕ⇔ A 2 ψ ou A σ.

Quando A ϕ, dizemos que o modelo A satisfaz a formula ϕ ou e um modelode ϕ.

Definicao 31 Um modelo A satisfaz Γ ⊆ For(L), se A ϕ, para toda ϕ ∈ Γ.

Agora definimos quais sao as formulas validas da logica L.

Definicao 32 Uma formula ϕ ∈ For(L) e uma tautologia (ou e valida) se A ϕ,para todo modelo A, ou de modo equivalente, se para toda valoracao v, v(ϕ) = 1.

Assim, as formulas da logica proposicional classica que sao validas sao aquelassatisfeitas por toda e qualquer valoracao v.

Definicao 33 A altura de uma formula e definida recursivamente por:(i) h(p) = 0, para p ∈ V ar(L);(ii) h(¬ϕ) = h(ϕ);(iii) h(ϕ→ ψ) = h(ϕ) + h(ψ) + 1.

Definicao 34 Seja p1, p2, ..., pn, ... uma enumeracao das variaveis proposicionaisde L, isto e, uma enumeracao do conjunto V ar(L). Define-se o conjunto Forn por:

Forn = ϕ ∈ For(L) : ϕ(p1, ..., pk), 1 ≤ k ≤ n e 0 ≤ h(ϕ) ≤ n.

Segue da definicao acima que ∅ = For0 ⊆ For1 ⊆ ... ⊆ Forn ⊆ ....

Definicao 35 Dois modelos A,B sao elementarmente equivalentes se satisfazemexatamente as mesmas formulas, isto e, A ≡ B ⇔ para toda ψ ∈ For(L),A ψ ⇔B ψ.



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Definicao 36 Dois modelos A,B sao n equivalentes se satisfazem exatamente asmesmas formulas de Forn, isto e, A ≡n B ⇔ para toda ψ ∈ Forn,A ψ ⇔ B ψ.

Assim, A ≡ B, se e somente se, para toda variavel pi, pi ∈ A ⇔ pi ∈ B e,tambem, A ≡n B, se e somente se, para todo i ∈ 1, 2, . . . , n, pi ∈ A ⇔ pi ∈ B.Para quaisquer dois modelos A e B vale A ≡0 B

Lema 37 (i) Para cada n ∈ N, a relacao A ≡n B e uma relacao de equivalencia;(ii) Se A ≡n B, entao, para todo i ≤ n, pi ∈ A se, e somente se, pi ∈ B;(iii) A ≡n B ⇒ A ≡m B, para todo m ∈ N tal que m ≤ n;(iv) A ≡ B se, e somente se, para todo n ∈ N, vale A ≡n B. Assim, se

A ≡ B, entao A = B.

3 Uma metrica para o espaco de modelos

A partir das valoracoes booleanas, definimos um espaco metrico sobre os mode-los de L, e, desse modo, caracterizamos um ambiente topologico, que na proximasecao permitira o vınculo entre os dois conceitos de compacidade tratados no texto.Seguimos sugestao de [2] para uma metrica entre estruturas de primeira ordem e de[10].

Definicao 38 A distancia entre dois modelos A,B ∈Mod(L) e definida por:d(A,B) = inf 1

n+1 : A ≡n B.

Lema 39 (i) d(A,B) = 1n ⇔ A ≡m B, para todo m ∈ N, com m < n, e A 6≡n B;

(ii) d(A, C) ≤ maximo d(A,B), d(B, C);(iii) Se d(A,B) 6= d(B, C), entao d(A, C) = maximo d(A,B), d(B, C).

Demonstracao: (i) Segue imediato da definicao.(ii) Sejam d(A,B) = 1

n e d(B, C) = 1m . Podemos supor, sem perda de generali-

dade, que m ≤ n (⇒ 1n ≤

1m). De (i) segue que, para todo t < minm,n = m,

A ≡t B e B ≡t C. Logo, para todo t < m, A ≡t C e, por (i), d(A, C) ≤ 1m =

max 1n ,1m = maxd(A,B), d(B, C).

(iii) Em (ii), se m < n, suponhamos que d(A, C) < maximo d(A,B), d(B, C)= 1

m . Como d(B,A) = d(A,B) = 1n < 1

m , entao por (ii), d(B, C) ≤ maximod(B,A), d(A, C) < 1

m = d(B, C), o que e um absurdo. Logo, d(A, C) = maximod(A,B), d(B, C).

Proposicao 40 A funcao d : Mod(L) × Mod(L) → R e uma metrica e, dessemodo, (Mod(L), d) e um espaco metrico.Demonstracao: (i) Segundo a definicao da funcao d, segue que d(A,B) ≥ 0. DoLema 37, tem-se que d(A,B) = 0 see, para todo n ∈ N, A ≡n B, isto e, A ≡ B e,portanto, A = B.

(ii) d(A,B) = inf 1n+1 : A ≡n B = inf 1

n+1 : B ≡n A = d(B,A).(iii) Segue do lema anterior que d(A, C) ≤ d(A,B) + d(B, C).

Uma bola aberta em (Mod(L), d) e um subconjunto de Mod(L) da seguinteforma:

B 1r+1

(A) = B ∈Mod(L) : d(A,B) <1

r + 1, r ∈ N.

Assim, B 1r+1

(A) = B ∈ Mod(L) : A ≡r B = B ∈ Mod(L) : para toda ψ ∈Forr,A ψ ⇔ B ψ.



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Proposicao 41 Dado ϕ ∈ For(L), cada conjunto Vϕ = B ∈ Mod(L) : B ϕ eum aberto de (Mod(L), d).Demonstracao: Sejam A ∈ Vϕ e n ∈ N tais que ϕ ∈ Forn. Se B ∈ B 1

n+1(A),

entao d(A,B) < 1n+1 . Logo, B ≡n A, ou seja, B ϕ. Portanto, B 1

n+1(A) ⊆ Vϕ.

Assim, Vϕ e um aberto.

Proposicao 42 A famılia Vϕ : ϕ ∈ For(L) constitui uma base de conjuntosabertos e fechados para a topologia (Mod(L), d).Demonstracao: Mostraremos que as condicoes da Proposicao 4 sao satisfeitas.Inicialmente, observemos que Vϕ∧ψ = Vϕ ∩ Vψ e V¬ϕ = (Vϕ)C .

Certamente Mod(L) = ∪Vϕ : ϕ ∈ For(L).Agora, se A ∈ Vϕ ∩ Vψ, entao A ϕ e A ψ. Para σ = ϕ ∧ ψ, tem-se que

A σ, portanto, A ∈ Vσ. Alem disso, se B ∈ Vσ, entao B σ e, daı, B ϕ eB ψ, isto e, B ∈ Vϕ ∩ Vψ. Portanto, Vσ ⊆ Vϕ ∩ Vψ.

Resta verificar que cada Vϕ e fechado. (Vϕ)C = A ∈Mod(L) : A 2 ϕ = A ∈Mod(L) : A ¬ϕ = V¬ϕ, que e um aberto.

4 Uma demonstracao topologica da compaci-

dade da logica proposicional classica

A partir dos aspectos topologicos do espaco de modelos de L, daremos umademonstracao nossa de que a logica L e compacta.

Teorema 43 O espaco metrico (Mod(L), d) e Cauchy-completo.Demonstracao: Seja (Ai)i∈N uma sequencia de Cauchy em (Mod(L), d). Cons-truiremos uma sequencia de modelos (Bn)n∈N e uma sequencia (kn)n∈N de maneiraque:B0 = ∅; e para inteiros 0 < i ≤ j, valem (∗): ki ≤ kj, Bi ⊆ Bj ⊆ V ar(L) e,

para todo i ≥ kn, Ai ≡n Bn.Para n = 1, como (Ai)i∈N e uma sequencia de Cauchy, existe k1 ∈ N tal que

para todo i ≥ k1, d(Ai,Ak1) ≤ 1n+1 = 1

2 . Logo, para todo i ≥ k1, Ai ≡1 Ak1 e,portanto, p1 ∈ Ai ⇔ p1 ∈ Ak1.

Definimos B1 =

B0 se p1 /∈ Ak1B0 ∪ p1 se p1 ∈ Ak1

.

Assim, para todo i ≥ k1, Ai ≡1 B1.Consideramos n > 1 e que foram construıdos as sequencias (km)1≤m≤n−1 e

(Bm)1≤m≤n−1 que satisfazem as condicoes (∗).Como (Ai)i∈N e uma sequencia de Cauchy, existe kn ∈ N tal que para todo

i ≥ kn, d(Ai,Akn) ≤ 1n+1 . Considerando kn ≥ kn−1, entao (km)1≤m≤n satisfaz a

condicao correspondente de (∗). Como d(Ai,Akn) ≤ 1n+1 , Ai ≡n Akn e, portanto,

pn ∈ Ai ⇔ pn ∈ Akn.

Definimos Bn =

Bn−1 se pn /∈ AknBn−1 ∪ pn se pn ∈ Akn

.

Se i ≥ kn, entao i ≥ kn−1. Por (∗), como i ≥ kn−1, Ai ≡n−1 Bn−1 e, comopn ∈ Ai ⇔ pn ∈ Bn, entao Ai ≡n Bn.

Assim, construımos as sequencia (Bn) e (kn), com n ∈ N, que satisfazem ascondicoes (∗).

Seja B = ∪Bn : n ∈ N. Como para cada n, Bn ⊂ V ar(L), entao B ⊆ V ar(L)e, portanto, B e um modelo. Mostraremos, agora, que a sequencia de Cauchy (Ai),para i ∈ N, converge para B ∈Mod(L).



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Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que 1n+1 < ε. Da construcao de B e dos Bn,

temos que B ≡2n+1 B2n+1 e, desse modo, d(B,B2n+1) ≤ 12n+2 . Tambem, para i ≥

k2n+1, Ai ≡2n+1 B2n+1 e, portanto, d(Ai,B2n+1) ≤ 12n+2 . Assim, para i ≥ k2n+1,

d(Ai,B) ≤ d(Ai,B2n+1) + d(B,B2n+1) ≤ 12n+2 + 1

2n+2 = 1n+1 < ε.

Portanto, o espaco metrico (Mod(L), d) e Cauchy-completo.

Teorema 44 O espaco (Mod(L), d) e totalmente limitado.Demonstracao: Dado ε > 0, tomemos n ∈ N tal que 1

n+1 < ε. Como, para cadai ∈ 1, 2, . . . , 2n, existe uma funcao wi : p1, p2, . . . , pn → 0, 1, entao tomemosAi ∈Mod(L) tal que pj ∈ Ai ⇔ j ≤ n e wi(pj) = 1. Para cada A ∈Mod(L), existei ∈ 1, 2, . . . , 2n tal que A ∩ p1, p2, . . . , pn = Ai. Logo, A ≡n Ai e, portanto,d(A,Ai) < 1

n+1 < ε, ou seja, A ∈ Bε(Ai).Assim, Mod(L) =

⋃2n

i=1Bε(Ai), ou seja, (Mod(L), d) e totalmente limitado.

Teorema 45 O espaco (Mod(L), d) e compacto.Demonstracao: Segundo o Teorema 44, (Mod(L), d) e totalmente limitado e peloTeorema 43 e Cauchy-completo. Dessa maneira, segundo o Teorema 23, o espaco(Mod(L), d) e compacto.

Para relembrar, temos as seguintes definicoes:

(1) Uma logica L e compacta se, e somente se, dado qualquer ∆ ⊆ For(L) setodo subconjunto finito de ∆ tem modelo, entao tambem o conjunto ∆ tem modelo.

(2) (M,d) e compacto se, e somente se, toda famılia de fechados (Bi)i∈I de Mcom a propriedade da interseccao finita e tal que ∩i∈I(Bi) 6= ∅.

Teorema 46 A logica L e compacta se, e somente se, o espaco (Mod(L), d) ecompacto.Demonstracao: (⇒) Consideremos a logica L compacta e Fii∈I uma famılia defechados de Mod(L) com a pif (propriedade da interseccao finita).

Como Vϕ : ϕ ∈ For(L) e uma base para a topologia de Mod(L), entao, paracada i ∈ I, existe Ji tal que FCi = ∪j∈JiVϕij . Logo, Fi = ∩j∈JiV C

ϕije, portanto,

∩i∈IFi = ∩i∈I ∩j∈Ji V Cϕij

.Sejam Σ = ¬ϕij : i ∈ I, j ∈ Ji e ∆ um subconjunto finito de Σ, digamos,

∆ = ¬ϕij : i ∈ K, j ∈ Ki, para K ⊆ I, Ki ⊆ Ji e K,Ki finitos.Como Fii∈I possui a pif, entao ∩i∈KFi 6= ∅. Daı, ∩i∈KFi = ∩i∈K ∩j∈Ji V C

ϕij⊆

∩i∈K ∩j∈Ki VCϕij

e, portanto, existe um modelo A ∈ ∩i∈K ∩j∈Ki VCϕij

.Dessa maneira, todo subconjunto finito de Σ possui um modelo e, como a logica

L e compacta, entao Σ possui um modelo B, ou seja, para todos i ∈ I e j ∈ Ji,B ¬ϕij e, portanto, B ∈ V C

ϕij, para todos i e j. Logo, B ∈ ∩i∈I ∩j∈Ji V C

ϕij= ∩i∈IFi

e, portanto, ∩i∈IFi 6= ∅.Mostramos com isso, que todo conjunto de fechados com a pif possui interseccao

nao vazia. Logo, pela Proposicao 25, (Mod(L), d) e um espaco compacto.(⇐) Sejam (Mod(L), d) um espaco compacto e Σ = ϕi : i ∈ I ⊆ For(L) tal

que todo subconjunto finito seu possua modelo.Como para cada K finito, K ⊆ I, ϕi : i ∈ K possui um modelo B, entao

B ϕi, para todo i ∈ K e, portanto, B ∈ ∩i∈KVϕi. Assim, Vϕi : i ∈ I tem apif e, pela Proposicao 42, e uma famılia de fechados. Entao, como (Mod(L), d) eum espaco compacto, segue que ∩i∈IVϕi 6= ∅, ou seja, existe um modelo B tal queB ϕi, para todo i ∈ I. Assim, Σ possui um modelo e, portanto, a logica L ecompacta.



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Corolario 47 A logica L e compacta.Demonstracao: E consequencia do Teorema 46 e do Teorema 45.

Por outro lado, em [5] temos uma demonstracao de que L e compacta e, dessemodo, de acordo com o Teorema 46 terıamos uma demonstracao alternativa de queo espaco (Mod(L), d) e compacto.

5 Consideracoes finais

Com estes resultados observamos uma ıntima relacao entre Logica e Topologia.Mostramos que as propriedades da compacidade logica e topologica garantem uma aoutra. Usualmente, a compacidade e obtida apos uma demonstracao da adequacao(correcao e completude) forte. Uma consequencia imediata destes resultados e quepodemos obter a compacidade sem apelo a adequacao e, desse modo, verificamosque adequacao e compacidade sao propriedades logicas independentes.

A reflexao seguinte e para verificar o que precisamos para a obtencao dos resul-tados destas notas e como eles podem ser aplicados a outros sistemas logicos, natu-ralmente proposicionais, porem distintos da logica classica. Mais especificamente,sera que esta demonstracao se aplica diretamente a logicas modais Booleanas? Ea sistemas logicos nao Booleanos como os intuicionistas, multivalorados e fuzzy?Quais mudancas sobre a definicao dos espacos de modelos seriam convenientes parase correlacionar a compacidade topologica de tais sistemas e a compacidade logica,se possıvel?

Referencias

[1] BELL, J. L.; MACHOVER, M. A course in mathematical logic. Amsterdam:North-Holland, 1977.

[2] CIFUENTES, J. C.; SETTE, A. M.; MUNDICI, D. Cauchy Completeness inElementary Logic. The Journal of Symbolic Logic, v. 61, n. 4, p. 1153-1157,1996.

[3] DUGUNDJI, J. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966.

[4] ENDERTON, H. B. A mathematical introduction to logic. San Diego: AcademicPress, 1972.

[5] FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L. Um preludio a logica. Sao Paulo: EditoraUNESP, 2005.

[6] LIMA, E. L. Elementos de topologia geral. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2009.(Textos Universitarios)

[7] LOIBEL, G. F. Introducao a topologia. Sao Paulo: Editora UNESP, 2007.

[8] MENDELSON, E. Introduction to mathematical logic. Princeton: D. Van Nos-trand, 1964.

[9] RASIOWA, H.; SIKORSKI, R. The mathematics of metamathematics. Secondedition revised. Warszawa: PWN, 1968.

[10] SETTE, A. M. Logica. Campinas: UNICAMP, 1993. (Notas de aulas)

[11] SETTE, A. M.; CIFUENTES, J. C. Compactification of L(Q). Synthese, v.125, n. 1/2, p. 247-252, 2000.



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*Este trabalho é resultante do projeto de Extensão “Ensinando matemática através de

Jogos, modelos geométricos e informática”, financiado pela PROEX. †

E-mail:

[email protected], [email protected], docentes do Departamento de

Matemática-UNESP-Bauru/SP

¹ E-mail: [email protected], aluno do Curso de Licenciatura em Matemática-

UNESP-Bauru/SP, bolsista do projeto “Ensinando Matemática através de Jogos,

Modelos Geométricos e Informática”

Jogos no Ensino de Matemática: experiências

com o “fecha a caixa” *

Cristiane Alexandra Lázaro †

Gustavo Chaves Tanaka ¹

Tatiana Miguel Rodrigues †

Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP

17033-360, Bauru, SP

Resumo

Apresentamos neste trabalho experiências obtidas na aplicação de um dos jogos

desenvolvidos como parte do projeto de Extensão “Ensinado Matemática através de

Jogos, Modelos Geométricos e Informática”, o qual tem como objetivo desenvolver

entre os alunos do ensino fundamental e médio o estímulo pelo interesse em Matemática

e o aprimoramento de seus conhecimentos nesta área, o que é propiciado através do

contato com problemas desafiantes e da interação com outros colegas e docentes,

despertando o gosto e interesse pela investigação matemática, através dos jogos,

modelos geométricos e softwares.

O “Ensinando Matemática através de jogos, modelos geométricos e informática” conta

com a colaboração de 3 docentes do departamento de Matemática da UNESP-Bauru e

envolve a cidade de Bauru com várias escolas públicas de ensino médio, participando as

três séries deste nível.

Um dos objetivos dos departamentos de Matemática das universidades brasileiras é

estimular o interesse dos graduandos ingressantes pelo raciocínio lógico. Outro ângulo é

buscar meios de incentivo para alunos e professores, na tentativa de colaborar para a

melhoria do quadro brasileiro que se coloca. Com este projeto estamos estimulando o

LÁZARO, C. A.; TANAKA, G. C.; RODRIGUES, T. M. Jogos no Ensino de Matemática: experiências com o "fecha a caixa".

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664calgcttmr127132 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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gosto pela Matemática, propiciando uma maior interação professor / aluno, e

promovendo uma aproximação comunidade / universidade, fazendo com que o aluno

tenha uma nova visão da Matemática através dos jogos. Assim, de forma lúdica,

estamos fazendo com que este aluno pense nos conceitos aprendidos na sala de aula,

questione a lógica usada para fazer o pensamento, fazendo com que este estudante crie

conexões entre as várias áreas da matemática. Dentre os jogos aplicados, o “fecha a

caixa” tem nos proporcionado atingir este objetivo, como apresentamos no decorrer do

nosso texto.

Palavras Chave: Jogos, ensino, números.

Introdução

Com o sistema de ensino atual e as várias metodologias de ensinar matemática,

podemos dizer que não basta o aluno aprender por aprender e depois esquecer, como

vem acontecendo. Para muitos o ensino tradicional de matemática ainda é aceito, mas,

nos dias de hoje, não se pode afirmar que a mecanização da matemática é suficiente.

Daí a pergunta, com tanta tecnologia e formas diversas de entretenimento, como fazer

para que os alunos se interessem por matemática? Há muitas respostas para essa

pergunta, uma delas seria trabalhar com a matemática de maneira divertida e prazerosa,

mas como? Utilizar jogos matemáticos que atendam a maioria dos níveis de ensino

parecer ser uma ótima forma, pois atinge tanto os alunos quanto a comunidade e os

professores.

Jogos que envolvem matemática são importantes não só para a aprendizagem,

mas também para quebrar alguns preconceitos existentes, talvez culturais, sobre a

matemática, que muitas vezes é causada pelos próprios professores, família e colegas.

Com estes, podemos ensinar matemática e desenvolver o raciocínio lógico, estimular o

pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas.

Jogos do tipo: dominó das quatro cores, palavras-cruzadas, jogo da velha,

avançando com o resto, cinco em linha, mancala, fecha a caixa (onde trabalhamos com

adição ou multiplicação), entre outros, são recursos pedagógicos aparentemente eficazes

para construção do conhecimento. Segundo Vygotsky, o brinquedo estimula curiosidade



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e autoconfiança, proporcionando desenvolvimento da aprendizagem, do pensamento, da

concentração e da atenção.

Utilizamos vários jogos nas escolas públicas de Bauru, estado de São Paulo,

como forma de experiência e resposta dos alunos perante os jogos. Vamos relatar um

pouco sobre o jogo Fecha a Caixa (com a operação adição).

1 O jogo “Fecha a Caixa”

1.1 Descrição

O Fecha a Caixa é um jogo de dados muito antigo, de origem inglesa, que foi usado

como passatempo por marinheiros da Normandia, cerca de 200 anos atrás.

Por não ser muito difícil de jogar e de confeccionar, os marinheiros passavam o

tempo jogando e desenvolvendo estratégias de jogo, as quais envolviam muita

matemática e raciocínio lógico.

O jogo “Fecha a Caixa” pode ser jogado de diversas maneiras, uma delas é a da

Adição, a qual escolhemos trabalhar. O tabuleiro também tem várias versões, ele pode

ser feito com E.V.A. e os números de 1 até 10 a caneta, usando 20 marcadores no

mínimo, papelão e tampinhas de caixa de leite ou um tabuleiro pronto feito de madeira

com um campo para jogar os dados, como os exemplos apresentados nas figuras abaixo:

Esse jogo é recomendado para turmas que ainda não dominam cálculos simples

de memória e deve ser jogado com certa frequência, mas pode ser aplicado em qualquer

nível de ensino. Como escolhemos o Fecha a Caixa Adição, o intuito do jogo é fixar a



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operação de soma, além de desenvolver o cálculo mental e memorização, também faz

com que o aluno interaja com seus colegas e tenha uma visão diferente da que o ensino

tradicional de matemática passa para eles.

O jogo envolve raciocínio lógico e alguns conceitos matemáticos, como por

exemplo:

1. Diferentes possibilidades de adição para obter o mesmo resultado.

2. Agrupamentos para adicionar mais de uma parcela (associatividade)

1.2 Objetivo do jogo

O objetivo do jogo é fechar todas as “casas” do tabuleiro.

Há um momento do jogo em que a soma dos valores obtidos nos dados não

correspondem às duas caixas restantes. O último a fechar as duas ganha o jogo.

1.3 Regras

1. Distribuir o material entre as duas equipes,

2. Decidir qual das equipes iniciará o jogo,

3. O jogador lança os dois dados e soma os valores obtidos,

4. O jogador poderá fechar duas casas cuja soma dê o mesmo resultado (por

exemplo, o jogador obteve “6” e “2”, o mesmo pode fechar as combinações “1”

e “7”, “2” e “6”, “3” e “5”).

5. Se a soma resultante já foi obtida em lançamentos anteriores, o jogador passa a

vez.

2 Experiências com aplicações do Jogo “Fecha a Caixa”

Fomos a várias escolas públicas e a uma escola particular de Bauru, para

desenvolver o jogo no segundo ciclo do ensino fundamental. A primeira reação dos

alunos, ao ver o jogo, foi boa. Para eles, seria novidade esse jogo.

No começo, quando falamos que trabalhamos com matemática, os alunos pensaram

que seria difícil e chato, mas quando viram o tabuleiro do fecha caixa tiveram outra

impressão, a curiosidade de saber como jogar foi notável, pois o tabuleiro chamou a

atenção de todos os alunos, e foi assim na maioria das escolas visitadas.

Fizemos, sempre, dois grupos de alunos ou um contra outro, mas não há problema

jogar com mais de dois, ficou: grupo A contra grupo B.



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2.1 Casos interessantes observados no desenvolvimento do jogo

Primeiro caso: grupo A jogou os dados e deu 1 e 3, como só há uma possibilidade

de soma, o próprio 1 e 3, que dê 4, eles não precisaram pensar muito, teve grupos que

ficaram em dúvida, mas na maior parte dos grupos o raciocínio foi rápido.

Segundo caso: agora o grupo B lançou os dados e obteve 1 e 2 também, sendo assim

tiveram que passar a vez para o grupo A, não pelo fato de que o resultado foi o mesmo

mas por não haver outra combinação de soma possível para 3 no tabuleiro, como a

quantidade de caixas fechadas por grupo é irrelevante, não se preocuparam muito com

isso.

Terceiro caso: infelizmente, tiveram alunos que não sabiam somar nem mesmo com

o algoritmo da soma ensinado na escola, daí vem a parte em que os próprios colegas se

propõem a ajudar ensinando, além de ser um belo sinal de companheirismo, o aluno,

que se propõem a ajudar o outro, começa a perceber que está entendendo o conteúdo,

sentindo-se, muitas vezes, motivado a estudar e saber mais matemática.

Quarto caso: final do jogo, as únicas caixas abertas são 7, 8 e 9. Como diz a regra, o

primeiro a fechar duas a duas ao mesmo tempo, ganha. É a vez do grupo A lançar os

dados. Este grupo conseguiu 8 como resultado, logo passou a vez. O grupo B, que

obteve 10, também passa a vez. Depois de algumas vezes jogando os dados eles

percebem que será impossível fechar 7, 8 e 9, pois a soma deles, dois a dois, ultrapassa

a soma máxima dos dados, que é 12. Com isso começaram, nas próximas jogadas, a

fazerem estratégias que evitem chegar à esta situação.

Esses tipos de situações foram importantes, pois houve interação entre os alunos,

desafiando-os a pensarem em estratégias para ganhar, e, o mais importante, houve um

debate entre os alunos/jogadores sobre os conteúdos de matemática envolvidos.

Além disto, tivemos uma resposta muito positiva com os alunos, alguns chegaram a

pedir que voltássemos outras vezes com mais jogos do tipo. Em algumas escolas

voltamos com o “fecha a caixa” e muitos já estavam operando muito bem e até

conseguiram brincar com jogos mais complexos que antes não gostavam ou não sabiam

o conteúdo do jogo.



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3 Conclusão

Trabalhar com jogos em geral é muito divertido e estimulante, tanto para os

professores quanto para os alunos, ou seja, para a escola em geral. No entanto, há de se

tomar muito cuidado para que os jogos não tragam consequências negativas ou

confusão na sala de aula, já que o objetivo não é o de vencer, mas sim compreender

cada jogo e seu conteúdo matemático. O fecha caixa é um ótimo jogo educativo, por ter

uma flexibilidade de público.

Tivemos uma resposta muito positiva com os alunos, alguns chegaram pedir que

voltássemos com mais frequência, os professores até mesmo sugeriram que os jogos

fossem parte da metodologia da escola.

Referências

[1] BORIM, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de

matemática, 5ª edição. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2004, 100p.

[2] GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo:

Paulus, 2004.

[3] SELVA, R. K e CAMARGO, M. O jogo matemático como recurso para a

construção do conhecimento. X Encontro Gaúcho de educação matemática. Ihui/RS,

2009.

[4] http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-

no-ensino-de-matematica/



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http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/

http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/

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