Desvendando a questão 10 (letra b) da página 11

Entre os números de 1 a 30, quantos não são nem múltiplos de três e nem múltiplos de 5?

R E S O L U Ç Ã O:

O total de números de 1 a 30 é: n = 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1-Vamos chamar os múltiplos de três de M(3):

M(3) = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} n1 = 10

2-Vamos chamar os múltiplos de cinco de M(5):

M(5) = {5,10,15,20,25,30} n2 = 6

3-E os múltiplos de quinze de M(15):

M(15) = {15,30} n3 = 2

Inicialmente vamos circular os M(3) de azul, os M(5) de vermelho e os M(15) de verde

Observe que existem 16 números não circulados, portanto é a resposta da questão!

Porém se formos fazer a conta:

T = 30 – 10 -6, teremos como resposta T = 14! ERRADOIsso acontece porque os múltiplos de 15 são ao mesmo tempo múltiplos de 3 e de 5 também. Mmc(3,5) = 15.

M(3) = { 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30}

M(5) = { 5 10 15 20 25 30 }

M(15) = { 15 30 }

Moral da história: os múltiplos de 15 que são também múltiplos de 3 e de 5 também, foram descontados duas vezes (para os M(3) e para os M(5)) e só deveriam ser descontados uma única vez. Por isso temos que devolvê-lo, ou seja, somar mais 2 no final da conta!

T = 30 – 10 -6 + 2 , resposta T = 16! CERTO

Sistematizando:

T = (total de números) – M(3) – M(5) + M(15)

Ou ainda

T = n – n1 – n2 + n3

T = 30 – 10 – 6 + 2 T = 16

Lembrete: lembre de usar a fórmula do termo geral para

achar o valor de n! an = a1 + ( n – 1) R