vibrações e dinâmica das máquinas aula -...
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Vibrações e Dinâmica das MáquinasAula - Cinemática
Professor: Gustavo Si lva
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Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido
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•1. Movimento de um corpo rígido;
•2. Translação;
•3. Rotação em torno de um eixo fixo;
1.Movimento de umcorpo rígido
3
Mo
vim
ento
Pla
no
Translação
Translação retilínea
Translação curvilíneaRotação em torno
de um eixo fixo
Movimento plano geral
1.1.TranslaçãoA trajetória de translação ocorre quando uma linha
qualquer sobre o corpo estudado permanece paralela à mesma linha quando o corpo estava em sua posição inicial. Este movimento pode ser retilíneo ou curvilíneo, como mostrado na figura ao lado.
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..
.
..
.
..
...
.
Trajetória de translação (retilínea e curvilínea)
1.1.Translação•Posição: As posições dos pontos A e B, posicionados sobre o corpo, podem ser descritas através dos vetores de posição rA e rB, que iniciam no ponto O do sistema de coordenadas fixo x, y. Porém estas posições podem ser descritas utilizando-se o sistema de coordenadas de translação x’, y’. Este sistema de coordenadas está fixo no ponto A do corpo, e através dele pode-se descrever a posição de B através do vetor rB/A ( descreve a posição B do pondo de vista de A).
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𝑟𝐵 = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵/𝐴
. .
.
O
y
xSistema de coordenadas fixo
A
Y
X Sistema de coordenadas de
translação
B
[1.1]
1.1.Translação•Velocidade: Derivando a equação 1.1 em relação ao tempo, temos que:
Nesta equação, VA e VB são velocidades absolutas e são medidos em relação aos eixos x, y.
Como a intensidade e a direção do vetor rB/A são
constantes, a parcela 𝑑𝑟𝐵/𝐴
𝑑𝑡na equação 1.2 é nula.
Assim,
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𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 +𝑑𝑟𝐵/𝐴
𝑑𝑡
. .
.
O
y
xSistema de coordenadas fixo
A
Y
X Sistema de coordenadas de
translação
B
[1.2]
𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 [1.3]
1.1.Translação•Aceleração: Derivando a equação 1.3 em relação ao tempo, temos que:
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𝑎𝐵 = 𝑎𝐴
. .
.
O
y
xSistema de coordenadas fixo
A
Y
X Sistema de coordenadas de
translação
B
[1.4]
1.2.RotaçãoNeste movimento, todas as partículas do corpo analisado
realizam uma trajetória circular, exceto as partículas que encontram-se no eixo de giro do corpo. A figura ao lado mostra um ponto preto que se move ao longo do círculo vermelho.
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Rotação em torno de um eixo fixo
..
1.2.Rotação•Posição angular: Note na figura ao lado que a posição de r é descrita através do ângulo θ.
•Variação angular: O deslocamento angular pode ser descrita como sendo um diferencial dθ, podendo ser medida em graus, radianos ou revoluções.
•Velocidade angular: A velocidade angular ω (ômega) é a taxa temporal de variação na posição angular e é medida em rad/s,
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[1]
ω =𝑑θ
𝑑𝑡[1.5]
1.2.Rotação•Aceleração angular: A taxa temporal de variação velocidade angular é chamada de aceleração angular. O símbolo para esta grandeza é o α(alfa),
A aceleração angular possui a mesma direção de ω, porém pode ter o sentido oposto, dependendo de ω está aumentando ou diminuindo.
Das equações 1.5 e 1.6 temos,
10
[1]
α =𝑑ω𝑑𝑡
=𝑑²θ
𝑑𝑡²[1.6]
α dθ = ω 𝑑ω [1.7]
1.2.Rotação•Aceleração angular constante: Se considerarmos a aceleração constante e integrarmos as equações 1.5, 1.6 e 1.7, temos,
ω=ω0 + α𝑐 𝑡
θ = θ0 + ω0 𝑡 +1
2α𝑐 𝑡
2
ω2 = ω02 + 2 α𝑐 (θ − θ0)
11
[1]
1.2.Rotação
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[1]
•Movimento do ponto P: A posição é definida pelo vetor posição r, onde 𝑑𝑠 = 𝑟𝑑𝜃.
• Velocidade: Dividindo a equação 𝑑𝑠 = 𝑟𝑑𝜃 por 𝑑𝑡,𝑣 = ω r
.O P.
v
1.2.Rotação
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[1]
•Movimento do ponto P:
• Aceleração: possui as componentes normais (an) e tangenciais (at),
𝒂𝒕 representa a taxa temporal de variação na intensidade da velocidade escalar. Se a velocidade está aumentando, então 𝑎𝑡 atua na mesma direção que v; se está diminuindo, então 𝑎𝑡 atua na direção oposta de v; se a velocidade é constante, então 𝑎𝑡 é zero.
𝑎𝑛 = ω² r
𝑎𝑡 = α r
.O P.
at
an
1.2.Rotação
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[1]
•Movimento do ponto P:
• Aceleração: possui as componentes normais (an) e tangenciais(at),
𝒂𝒏 representa a taxa temporal de variação na direção da velocidade. A direção de 𝑎𝑛 é sempre para O.
𝑎𝑛 = ω² r
𝑎𝑡 = α r
.O P.
at
an
Problema 1
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[1]
Problema 2
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[1]
Problema 3
17
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Problema 4
18
[1]
Problema 5
19
[1]
Problema 6
20
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Problema 7
21
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Problema 8
22
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Problema 9
23
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Problema 10
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Problema 11
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[1]
Problema 12
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[1]
Bibliografia Básica •R. C. Hibbler. Dinâmica mecânica para engenharia. São Paulo: Pearson, 10 ed.
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