Fenômenos de TransporteAula- Equação da energia para regime permanente

Professor: Gustavo Si lva

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IntroduçãoComo já visto, através da equação da continuidade é possível realizar o balanço das vazões em massa entre seções de entrada ou saída de um escoamento em regime permanente. Sabemos que a energia não pode ser criada nem destruída, e sim transformada, assim é possível através da equação da energia fazer o balanço das energias, da mesma forma como é feito para as massas.

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Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido

a) Energia potencial (Ep):

É a energia associada à sua posição no campo da gravidade em relação a um determinado plano horizontal de referência.

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[1]

Enegia potencial (Ep)𝐸𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 = 𝐺 ∙ 𝑧

Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido

b) Energia cinética (Ec):

É associada ao movimento do fluido.

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[1]

Enegia cinética (Ec)

𝐸𝑐 =𝑚 ∙ 𝑣2

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Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido

c) Energia de pressão (Epr):

Corresponde a energia que o fluído possui devido a pressão que atua no escoamento do fluido.

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[1]

Enegia de pressão (Epr)

𝐸𝑝𝑟 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑉

𝑑𝐸𝑝𝑟 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑝 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑉

Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido

d) Energia mecânica total do fluido (E):

É a soma de todas as energias mecânicas.

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Energia mecânica total do fluido (E) 𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑟

𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 +𝑚 ∙ 𝑣2

2+ 𝑝 ∙ 𝑑𝑉

Equação de BernoulliA equação de Bernoulli admite diversas hipóteses simplificadoras, porém para chegarmos na equação geral da energia é importante compreendermos a equação simplificada.

As hipóteses adotadas são:

a) regime permanente;

b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Ou seja, não existe fornecimento ou retirada de energia do fluído por meio de bombas ou turbinas;

c) sem perda de energia por atrito;

d) propriedades uniformes nas seções;

e) fluido incompressível;

f) sem troca de calor.

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Equação de BernoulliCom as hipóteses b, c e f temos que não existe fornecimento ou perda de energia no sistema.

Para seção 1 temos:

Para seção 2 temos:

Como a energia permanece inalterada, temos que:

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𝑑𝐸1 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +𝑑𝑚1 ∙ 𝑣1

2

2+ 𝑝1𝑑𝑉1

𝑑𝐸2 = 𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2

2

2+ 𝑝2𝑑𝑉2

𝑑𝐸1 = 𝑑𝐸2 𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2

2

2+ 𝑝2𝑑𝑉2 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +

𝑑𝑚1 ∙ 𝑣12

2+ 𝑝1𝑑𝑉1

[1]

Equação de BernoulliComo 𝜌 =

𝑑𝑚

𝑑𝑉, temos que dV =

𝑑𝑚

𝜌

Sabemos que 𝜌1 = 𝜌2 pois o fluido é incompressível, também sabemos que 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 pois se trata de regime permanente.

Dividindo a equação por 𝑔 obtemos a equação de Bernoulli.

Onde H é a energia total por unidade de peso ou carga total.

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𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2

2

2+𝑝2𝜌2𝑑𝑚2 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +

𝑑𝑚1 ∙ 𝑣12

2+𝑝1𝜌1𝑑𝑚1

𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑣22

2+𝑝2𝜌= 𝑔 ∙ 𝑧1 +

𝑣12

2+𝑝1𝜌

𝑧2 +𝑣22

2𝑔+𝑝2𝛾= 𝑧1 +

𝑣12

2𝑔+𝑝1𝛾

𝐻2 = 𝐻1

A unidade de medida de energia é o Joule

𝐽 = 𝑁 ∙ 𝑚 =𝑘𝑔 ∙ 𝑚2

𝑠2

Como 𝐻 =𝐽

𝑁, temos que 𝐻[𝑚]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Equação da energiae presença de uma máquina

Como vimos, uma máquina pode retirar ou fornecer energia ao fluido. É chamando de “bomba” qualquer máquina que forneça energia e “turbina”, qualquer máquina que retire energia do sistema.

Tínhamos que 𝐻1 = 𝐻2 para casos onde não haviam máquinas. Porém se houver uma bomba entre as seções 1 e 2, então temos que 𝐻1 < 𝐻2 pois a bomba acrescentou energia ao fluido, logo 𝐻1 + 𝐻𝐵 = 𝐻2, onde 𝐻𝐵 é denominado de carga manométrica da bomba. Da mesma forma, se houver uma turbina entre as seções 1 e 2 temos que 𝐻1 > 𝐻2, logo 𝐻1 − 𝐻𝑇 = 𝐻2, onde 𝐻𝑇 é denominado de carga manométrica da turbina.

Como queremos uma equação geral, adotaremos 𝐻𝑀 para carga manométrica da máquina(𝐻𝑀=𝐻𝐵 ou 𝐻𝑀=-𝐻𝑇).

Acrescentando 𝐻𝑀 a equação passa a ser:

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𝑧1 +𝑣12

2𝑔+𝑝1𝛾+ 𝐻𝑀 = 𝑧2 +

𝑣22

2𝑔+𝑝2𝛾

Potência da máquina e noção de rendimento

Antes de tudo, definiremos ‘potência do fluido’. Potência pode ser definida como sendo energia mecânica por unidade de tempo e é representada por N:

Onde N é a potência do fluido.

A potência retirada ou fornecida ao fluido por uma máquina pode ser calculada como:

Porém a potência retirada ou fornecida ao fluido não é igual a potência da máquina, isto ocorre devido as perdas que ocorrem principalmente devido a atritos.

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N=𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎

𝑝𝑒𝑠𝑜×𝑝𝑒𝑠𝑜

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝐻𝑄𝐺 = 𝐻𝛾𝑄

N= 𝐻𝑀𝛾𝑄

Potência da máquina e noção de rendimento

Para bombas temos:

Como a potência da bomba não é igual a potência recebida pelo fluido, temos que o rendimento da bomba é dado por:

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η𝐵 =𝑁

𝑁𝐵

[1]

Potência da máquina e noção de rendimento

Para turbinas temos:

O rendimento da turbina é dado por:

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η𝑇 =𝑁𝑇𝑁

[1]

Exercício

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[1]

Equação da energia para fluido real

Retirando a hipótese de fluido ideal iremos considerar os atritos internos no escoamento do fluido. Considerando fluido ideal em um sistema sem bomba ou turbina, tínhamos que 𝐻1 = 𝐻2, porém considerando a perda de energia por unidade de peso (𝐻𝑝1,2) temos que 𝐻1 = 𝐻2 +𝐻𝑝1,2 . Por fim considerando a presença de uma máquina temos:

E a potência dissipada:

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𝐻1+ 𝐻𝑀= 𝐻2 + 𝐻𝑝1,2

𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝐻𝑝1,2𝛾𝑄

[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Equação da energia paradiversas entradas e saídas.

Até o momento, nos balanços de energia tínhamos apenas umas entrada e uma saída, porém caso tivermos múltiplas entradas e múltiplas saídas não podemos utilizar a equação utilizada até o momento. Mantendo as hipóteses da equação de Bernoulli, temos que a energia que entra no sistema deve ser igual a energia que sai do sistema no mesmo intervalo de tempo:

Dividendo a equação por unidade de tempo, temos:

Energia por unidade de tempo é potência:

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𝑒𝐸 =

𝑠𝐸

𝑒𝑁 =

𝑠𝑁 𝑜𝑢

𝑒𝛾𝑄𝐻 =

𝑠𝛾𝑄𝐻

𝑒𝐸/𝑡 =

𝑠𝐸 /𝑡

[1]

Equação da energia para diversas entradas e saídas.

No caso de considerarmos a presença de uma máquina e de perdas por atrito, temos:

Onde 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝛾𝑄𝐻𝑝

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𝑒𝛾𝑄𝐻 + 𝑁 =

𝑠𝛾𝑄𝐻 + 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠

[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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[1]

Exercício

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Bibliografia

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[1] Brunetti, Franco, Mecânica dos fluidos, Editora Pearson Prentice Hall, 409 p. : São Paulo il. c2005