Vetor definido por dois pontos

ngulo de Dois Vetores

O ngulo entre os vetores no nulos u e v o ngulo formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O, onde u = e v = e 0 Se u // v e u e v tm o mesmo sentido, ento = 0. Se u // v e u e v tm sentidos contrrios ento = .

Vetor Definido por Dois Pontos

Consideremos o vetor v = de origem no ponto A = (x1, y1, z1) e extremidade e B = (x2, y2, z2). As componentes de v so dadas por (x2 x1, y2 y1, z2 z1), isto , v = (x2 x1, y2 y1, z2 z1). Por exemplo, se v = , com A = (3, -2, 3) e B = (5, -6, 8), ento v = B A = (2, -4, 5).

Paralelismo de Dois Vetores

Os vetores u =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) so paralelos quando existe um nmero real k tal que u = kv, isto , (x1, y1, z1) = k(x2, y2, z2), ou seja, (x1, y1, z1) = (kx2, ky2, kz2). Por exemplo, u = (6, 8, 2) e v = (-3, -4, -1) so paralelos, pois u = (-2)v.

Produto Escalar

Denomina-se produto escalar de dois vetores u =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), e se representa por u . v, ao nmero realu . v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Exemplos

1. Se u = (6, 8, 2) e v = (-3, -4, -1), tem-seu . v = 6(-3) +8(-4) + 2(-1) = -522. Dados os vetores u = (-3, 7, 3/2), v = (8, -2, 2), determinara)(u + v) . u b)u . u + v . u

Propriedades do Produto Escalar

Para quaisquer vetores u, v e w e o nmero real , verifica-se que1. u . v = v . u2. u . (v + w) = u . v + u . w3. (u . v) = (u) . v = u . (v)4. u . u > 0 e u . u = 0, se u = (0, 0, 0)5. u . u = |u|2 6. | u + v|2 = |u|2 + 2u . v + |v|27. | u - v|2 = |u|2 - 2u . v + |v|28. (Interpretao Geomtrica do Produto Escalar). Se u e v so no nulos e o ngulo entre eles, ento u . v = | u | |v| cos 9. |u . v| |u| |v| (Desigualdade de Schwarz)10. |u + v| |u| + |v| (Desigualdade Triangular)11. Dois vetores so ortogonais se, e somente se, u . v = 0 (condio de ortogonalidade

Lei dos Cossenos a2 = b2 + c2 - 2bc . cosAb2 = a2 + c2 - 2ac . cos B c2 = a2 + b2 - 2ab . cos CLEI DOS SENOS

a/senA = b/senB = c/senC