UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 10 Valores Esperados

1

2

A função de onda 𝛙(x,t) contém toda a informação sobre o comportamento de uma partícula.

𝛙(x,t) pode ser obtida a partir da equação de Schrödinger independente do tempo.

Resta ainda saber como podemos extrair a informação do sistema a partir da função de onda 𝛙(x,t).

Obter informações sobre: - posição, - momento, - energia, - e outras grandezas que caracterizam o movimento das partículas.

Suponha que preparamos vários sistemas idênticos (por exemplo, átomos de hidrogénio com o elétron no estado fundamental).

Se medimos a posição da partícula, a probabilidade de a probabilidade de encontrá-la entre x e x+dx é:

P(x,t) dx = 𝛙*(x,t)𝛙(x,t)dx

Se realizarmos uma série de medidas desses sistemas, no mesmo instante de tempo t, obteremos diferentes valores da posição x.

A média desses valores é:

Em mecânica quântica, este valor médio é denominado valor esperado da coordenada.

3

Valor esperado da posição

hxi =Z 1

0xP (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)x (x, t)dx

4

O valor esperado de qualquer função pode ser calculado da mesma forma:

Mesmo pode ser feito para uma função que dependa explicitamente do tempo, pois todas as medidas são realizadas no mesmo instante de tempo t:

hx2i =Z 1

0x2P (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)x2 (x, t)dx

hf(x)i =Z 1

0f(x)P (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)f(x) (x, t)dx

hf(x, t)i =Z 1

0f(x, t)P (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)f(x, t) (x, t)dx

5

O valor esperado do momento p de uma partícula é:

Para calcular a integral anterior, precisamos escrever p em função de x e t.

No entanto, lembremos que pelo princípio de incerteza não é possível determinar x e p simultaneamente → não é possível escrever p=p(x,t); não há trajetórias em Física Quântica.

Para encontrar a uma relação entre x e p vamos considerar uma onda senoidal:

Valor esperado do momento

hpi =Z 1

0pP (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)p (x, t)dx

(x, t) = ei(kx�!t)

6

Derivamos em relação a x:

Portanto (usando –i = 1/i) temos:

Em Física Quântica, a variável dinâmica p é representada por um operador diferencial:

Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal. No entanto, a relação é válida em geral.

@ (x, t)

@x=

@ei(kx�!t)

@x= ikei(kx�!t) = i

p

~

p (x, t) = �i~ @

@x (x, t)

p = �i~ @

@x

7

Agora podemos calcular o valor esperado do momento:

hpi =Z 1

0 ⇤(x, t)[p (x, t)]dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)

�i~ @

@x (x, t)

�dx

8

O valor esperado da energia E de uma partícula é:

Para obter E em função de x e t, vamos considerar novamente uma onda senoidal:

Derivamos em relação a t:

Valor esperado da energia

(x, t) = ei(kx�!t)

hEi =Z 1

0E P (x, t)dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)E (x, t)dx

@ (x, t)

@t=

@ei(kx�!t)

@t= �i!ei(kx�!t) = �i

E

~

9

Portanto (usando –i = 1/i) temos:

A variável dinâmica E é representada pelo operador diferencial:

Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal, mas a relação é válida em geral.

O valor esperado da energia é:

E (x, t) = i~ @

@t (x, t)

E = i~ @

@t

10

Agora podemos calcular o valor esperado do momento:

hEi =Z 1

0 ⇤(x, t)[E (x, t)]dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)

i~ @

@t (x, t)

�dx

11

A função de onda de uma partícula livre é:

onde A é uma constante.

1) Onde está localizada uma partícula livre?

Para determinar a localização da partícula calculamos a densidade de probabilidade:

Como P(x, t) = A*A é uma constante para todo x, existe a mesma probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço. Em outras palavras, a partículas livre está "deslocalizada".

Valores esperados para a partícula livre

(x, t) = Aei(kx�!t)

P (x, t) = ⇤(x, t) (x, t) = A⇤e�i(kx�!t)Aei(kx�!t) = A⇤A

12

2) Valor esperado do momento:

O valor esperado do momento de uma partícula livre é ℏk.

Temos assim, ∆x=∞ e ∆p=0, em concordância com o princípio de incerteza de Heisenberg.

hpi =Z 1

0 ⇤(x, t)[p (x, t)]dx =

Z 1

0 ⇤(x, t)

�i~ @

@x (x, t)

�dx

=

Z 1

0A⇤e�i(kx�!t)

�i~ @

@xAei(kx�!t)

�dx

=

Z 1

0A⇤e�i(kx�!t)(�i~)(ik)Aei(kx�!t)dx

= ~kZ 1

0 ⇤(x, t) (x, t)dx = ~k

13

Encontre os valores de expectação <p> e <p2> para função de onda do estado fundamental de uma partícula em um poço de potencial infinito.

A parte espacial da função de onda de uma partícula no estado fundamental de um poço infinito é:

No cálculo dos valores de expectação podemos ignorar a parte temporal da função de onda 𝜙(t) = exp(-iEt/ℏ) já que se anula ao fazermos 𝜙*𝜙.

Portanto, temos

Valores esperados para a partícula no poço infinito

6-2 The Infinite Square Well 243

Just as in the case of the standing-wave function for the vibrating string, we can con-sider this stationary-state wave function to be the superposition of a wave traveling to the right (first term in brackets) and a wave of the same frequency and amplitude trav-eling to the left (second term in brackets).

EXAMPLE 6-2 An Electron in a Wire An electron moving in a thin metal wire is a reasonable approximation of a particle in a one-dimensional infinite well. The poten-tial inside the wire is constant on average but rises sharply at each end. Suppose the electron is in a wire 1.0 cm long. (a) Compute the ground-state energy for the electron. (b) If the electron’s energy is equal to the average kinetic energy of the molecules in a gas at T � 300 K, about 0.03 eV, what is the electron’s quantum number n?

SOLUTION 1. For question (a), the ground-state energy is given by Equation 6-25:

E1 �P262

2mL2

�P2�1.055 � 10�34 J � s�2�2� �9.11 � 10�31 kg� �10�2 m�2

� 6.03 � 10�34 J � 3.80 � 10�15 eV

2. For question (b), the electron’s quantum number is given by Equation 6-24:

En � n2 E1

3. Solving Equation 6-24 for n and substituting En � 0.03 eV and E1 from above yields

n2 �En

E1 or

n � �En

E1� � 0.03 eV

3.80 � 10�15 eV

� 2.81 � 106

Remarks: The value of E1 computed above is not only far below the limit of mea-surability, but also smaller than the uncertainty in the energy of an electron con-fined into 1 cm.

EXAMPLE 6-3 Calculating Probabilities Suppose that the electron in Exam-ple 6-2 could be “seen” while in its ground state. (a) What would be the prob-ability of finding it somewhere in the region 0 � x � L�4? (b) What would be the probability of finding it in a very narrow region $�x � 0.01L wide centered at x � 5L�8?

SOLUTION(a) The wave function for the n � 1 level, the ground state, is given by Equation 6-32 as

C1�x� � � 2L

sin PxL

TIPLER_06_229-276hr.indd 243 8/22/11 11:57 AM

6-4 Expectation Values and Operators 251

�p� � )� @

� @

#4 6i ��x5# dx 6-48

Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @

� @

#4 6i ��x5 4 6i

��x5# dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite

square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:

pop �6i ��x 6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)

SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have

�p� � )L

04� 2

L sin

nxL5 4 6

i ��x5 4� 2

L sin

nxL5 dx

�6i 2L

P

L )L

0 sin

PxL

cos PxL

dx � 0

The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.

Similarly, since

6i ��x4 6i

��x5C � �62

�2C

�x2 � �624 � P2

L2� 2L

sin PxL5

� � 62P2

L2 C

we have �p2� �62P2

L2 )L

0CC dx �

62P2

L2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:

4 12m5p2

op C�x� � V�x�C�x� � EC�x� 6-50

TIPLER_06_229-276hr.indd 251 8/22/11 11:57 AM

O resultado anterior é fácil de entender. Existe a mesma probabilidade de que a partícula esteja se movimentando para esquerda ou para direita, portanto, o valor de expectação do momento é zero.

Para obter <p2> precisamos aplicar duas vezes o operador –iℏ∂/∂x ou

equivalentemente (ℏ/i) ∂/∂x:

Assim, obtemos:

6-4 Expectation Values and Operators 251

�p� � )� @

� @

#4 6i ��x5# dx 6-48

Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @

� @

#4 6i ��x 5 4 6i

��x5# dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite

square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:

pop �6i ��x 6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)

SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have

�p� � )L

04� 2

L sin

nxL5 4 6

i ��x5 4� 2

L sin

nxL5 dx

�6i 2L

P

L )L

0 sin

PxL

cos PxL

dx � 0

The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.

Similarly, since

6i ��x4 6i

��x5C � �62

�2C

�x2 � �624 � P2

L2� 2L

sin PxL5

� � 62P2

L2 C

we have �p2� �62P2

L2 )L

0CC dx �

62P2

L2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:

4 12m5p2

op C�x� � V�x�C�x� � EC�x� 6-50

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6-4 Expectation Values and Operators 251

�p� � )� @

� @

#4 6i ��x5# dx 6-48

Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @

� @

#4 6i ��x 5 4 6i

��x 5# dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite

square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:

pop �6i ��x 6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)

SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have

�p� � )L

04� 2

L sin

nxL5 4 6

i ��x5 4� 2

L sin

nxL5 dx

�6i 2L

P

L )L

0 sin

PxL

cos PxL

dx � 0

The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.

Similarly, since

6i ��x 4 6i

��x5C � �62

�2C

�x2 � �624 � P2

L2� 2L

sin PxL5

� � 62P2

L2 C

we have �p2� �62P2

L2 )L

0CC dx �

62P2

L2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:

4 12m5p2

op C�x� � V�x�C�x� � EC�x� 6-50

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