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VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE CORREÇÃO
PARA LÍQUIDOS VISCOSOS EM BOMBAS CENTRÍFUGAS
Rodrigo Alfredo Oliveira Jaime
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Reinaldo de Falco
Rio de Janeiro
Dezembro 2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE CORREÇÃO
PARA LÍQUIDOS VISCOSOS EM BOMBAS CENTRÍFUGAS
Rodrigo Alfredo Oliveira Jaime
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRA MECÂNICA.
Examinada por:
______________________________________
Prof. Reinaldo de Falco, Eng.
______________________________________
Prof. Fábio Luiz Zamberlan, D.Sc.
______________________________________
Prof. Ricardo Eduardo Musafir, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2018
Jaime, Rodrigo Alfredo Oliveira
Validação de métodos de obtenção de fatores de correção para
líquidos viscosos em bombas centrífugas / Rodrigo Alfredo Oliveira
Jaime – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2018.
X, 73 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Reinaldo de Falco
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Mecânica, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 72 – 73.
1. Introdução 2. Revisão bibliográfica 3. Desenvolvimento dos
métodos 4. Validação e comparação de resultados 5. Considerações
finais I. de Falco, Reinaldo. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.
Validação de métodos de obtenção de fatores de correção para
líquidos viscosos em bombas centrífugas
Agradecimentos
Agradeço a meus pais, Marcia e Alfredo, e também à minha avó Célia, a quem
também dedico este trabalho, pelos ensinamentos e pelo apoio incondicional em
todos os momentos da minha vida.
Agradeço ao Prof Reinaldo de Falco pela disponibilidade, excelente orientação e
suporte imprescindíveis para a conclusão deste trabalho.
Agradeço a minha irmã Andréa, meu cunhado Chen e meu amigo Saulo pelo
apoio prestado durante a elaboração deste trabalho.
Agradeço a Gunnar Hole pelo material, apoio e sugestões.
Agradeço aos professores Fábio Zamberlan e Ricardo Musafir, por terem aceito
o convite para compor a banca.
Agradeço a familiares e amigos que sempre estiveram presentes nos momentos
bons e ruins.
i
ii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheira Mecânica.
VALIDAÇÃO DE MÉTODOS DE OBTENÇÃO DE FATORES DE CORREÇÃO
PARA LÍQUIDOS VISCOSOS EM BOMBAS CENTRÍFUGAS
Rodrigo Alfredo Oliveira Jaime
Dezembro/2018
Orientador: Reinaldo de Falco
Curso: Engenharia Mecânica
O objetivo deste trabalho é revisar o método proposto pelo Hydraulic Institute utilizando a
carta de correção, propor um método automatizado de determinação dos fatores utilizando
essa carta e comparar resultados obtidos de dois métodos alternativos. As curvas
características de bombas centrífugas são levantadas, usualmente, a partir de testes com
água. Para muitas aplicações, essas curvas podem ser utilizadas sem grandes problemas para
outros fluidos de diferentes viscosidades e densidades. Para altos valores de viscosidade do
fluido, no entanto, as curvas características não refletem o real comportamento de operação
da bomba. Para ajustar essas curvas, fatores de correção são aplicados para corrigir os
valores originais. O método tradicional é utilizar a carta de correção disponibilizada pelo
Hydraulic Institute para determinar os referidos fatores de correção. Outros dois métodos
alternativos foram considerados para comparação, tomando como referência os resultados
obtidos da carta de correção. Foi desenvolvido um método automatizado que reproduz o
algoritmo manual da carta de correção. Esse método foi desenvolvido para se obter um
volume grande de resultados a partir da carta de correção, que serviram como parâmetro
para a comparação com os resultados obtidos dos métodos alternativos apresentados.
Palavras-chave: bombas centrífugas, fatores de correção, fluidos viscosos, Hydraulic Institute,
carta de correção
iii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Engineer.
VALIDATION METHOD FOR OBTAINING VISCOUS LIQUIDS CORRECTION FACTORS IN CENTRIFUGAL PUMPS
Rodrigo Alfredo Oliveira Jaime
December/2018
Advisor: Reinaldo de Falco
Department: Mechanical Engineering
The aim of this paper is to provide a review for Hydraulic Institute proposed correction chart
utilization, offering an automated method for determining those factors based on the chart
and compare the results of two alternative methods. The typical centrifugal pumps curves
have been usually raised based on tests with water. For most applications, those curves may
be used without any major problems for other fluids of different viscosities and densities. For
higher fluid viscosity, the curve characteristics don't accurately reflect the real effects during
pump operation, though in order to adjust those curves, correction factors are applied for
obtaining the original values. The traditional method consists in the use of the Hydraulic
Institute performance correction chart for that determination. Two other alternative methods
have been considered for comparison by taking as a reference the results obtained from the
correction chart. An automatic calculation method has been developed to be able to
reproduce the manual algorithm from the correction chart. That method has been developed
in order to obtain a substantial body of results based on the correction chart, which is held as
parameter for comparison with the results obtained from the alternative methods presented.
Keywords: centrifugal pumps, correction factors, viscous fluids, Hydraulic Institute, correction
chart
Lista de Figuras
Figura 1.1: Bancada de testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Figura 1.2: Curva característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Figura 1.3: Curvas corrigidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Figura 2.1: Carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 2.2: Seleção de imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 2.3: Definição da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 2.4: Definição de valores na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 2.5: Definição de limite do eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 2.6: Definição de limite do eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 2.7: Marcação de pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 2.8: Exportação de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 2.9: Gráfico com dados de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 2.10: Aplicação no software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 3.1: Eixos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 3.2: Correspondência entre Q e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 3.3: Marcação de pontos nas retas ascendentes . . . . . . . . . . . . . 20
iv
Figura 3.4: Marcação de pontos nas retas descendentes . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 3.5: Marcação de pontos nas curvas superiores . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 3.6: Algoritmo de automatização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 4.1: Curva de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 4.2: Curva de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 4.3: Curva de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 4.4: Curva de correção - CH08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 4.5: Curva de correção - CH10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 4.6: Curva de correção - CH12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 4.7: Erros percentuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 4.8: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 4.9: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 4.10: Curvas de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 4.11: Curvas de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 4.12: Curvas de correção - CH08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 4.13: Curvas de correção - CH10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 4.14: Curvas de correção - CH12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 4.15: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 4.16: Curvas de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 4.17: Curvas de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 4.18: Curvas de correção - CH08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 4.19: Curvas de correção - CH10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
v
Figura 4.20: Curvas de correção - CH12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 4.21: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 4.22: Curvas de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 4.23: Curvas de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 4.24: Curvas de correção - CH08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 4.25: Curvas de correção - CH10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 4.26: Curvas de correção - CH12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 4.27: Curvas de correção - CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 4.28: Curvas de correção - CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 4.29: Curvas de correção - CH06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 4.30: Curvas de correção - CH08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 4.31: Curvas de correção - CH10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 4.32: Curvas de correção - CH12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 4.33: Curvas de CH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
vi
Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Dados de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tabela 2.2: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tabela 2.3: Validação dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tabela 3.1: Relação entre x e Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Tabela 3.2: Coeficientes de interpolação linear entre x e Q . . . . . . . . . . . 23
Tabela 3.3: Coeficientes de retas ascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tabela 3.4: Coeficientes de retas descendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tabela 3.5: Coeficientes de interpolação linear entre B e H . . . . . . . . . . . 27
Tabela 3.6: Coeficientes de interpolação linear entre D e V . . . . . . . . . . . 28
Tabela 3.7: Coeficientes de interpolação linear de CE . . . . . . . . . . . . . . 31
Tabela 3.8: Coeficientes de interpolação linear de CQ . . . . . . . . . . . . . . 32
Tabela 3.9: Coeficientes de interpolação linear de CH12 . . . . . . . . . . . . 33
Tabela 3.10: Coeficientes de interpolação linear de CH10 . . . . . . . . . . . . 34
Tabela 3.11: Coeficientes de interpolação linear de CH08 . . . . . . . . . . . . 35
Tabela 3.12: Coeficientes de interpolação linear de CH06 . . . . . . . . . . . . 36
Tabela 3.13: Coeficientes dos polinômios de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vii
Tabela 4.1: Leitura direta da carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tabela 4.2: Fatores calculados pelo método por pontos . . . . . . . . . . . . . 44
Tabela 4.3: Diferenças de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tabela 4.4: Erros percentuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tabela 4.5: Valores de dados de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tabela 4.6: Recorte da tabela de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
viii
Sumário
Agradecimentos i
Resumo ii
Abstract iii
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas vii
1 Introdução 1
2 Revisão bibliográfica 5
2.1 Carta de correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Software Pega Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Desenvolvimento dos métodos 18
3.1 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ix
3.1.1 Descrição do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Determinação das equações das curvas . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2.1 Curvas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2.2 Curvas superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Algoritmo de automatização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Validação e comparação de resultados 43
4.1 Validação do método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Comparação com métodos alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Comparação com método do polinômio de Hole . . . . . . . . 48
4.2.2 Comparação com método HI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Considerações finais 69
5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Referências 72
A Scripts em VBA 74
A.1 Método por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A.2 Método do polinômio de Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.3 Método TR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
x
Capítulo 1
Introdução
Bombas centrífugas possuem curvas características fornecidas pelos seus fabrican-
tes. As curvas características das bombas são obtidas através de testes em bancada
de ensaio que, usualmente, dispõe dos elementos indicados na Figura 1.1 [3].
1. Equipamento para variação de rotação da bomba
2. Válvula para ajustar vazão de fluido bombeado
3. Medidores de vazão, potência e rotação
Figura 1.1: Bancada de testes
2
O objetivo desse ensaio é levantar as curvas características da bomba, que re-
lacionam potência, eficiência e altura manométrica (head) com a vazão, para cada
rotação.
Dessa forma, as curvas obtidas tem o aspecto indicado na Figura 1.2 [8].
Figura 1.2: Curva característica
Todos os testes realizados para levantar essas curvas são feitos, usualmente, com
água e, em grande parte dos casos, podem ser aplicadas sem grandes alterações,
para outros fluidos. No entanto, à medida que a viscosidade do fluido utilizado
na operação da bomba aumenta, a aplicação dessas curvas começa a ficar menos
representativa.
Assim, faz-se necessário corrigir essas curvas quando se utilizam fluidos com alta
viscosidade. O procedimento padrão para levantar as curvas corrigidas é tomar
quatro pontos da curva característica da bomba e calcular os valores corrigidos para
o fluido viscoso.
3
Os quatro pontos tomados correspondem aos valores de 60%, 80%, 100% e 120%
da vazão corresponde ao BEP (best efficient point), que é o ponto de máxima efici-
ência, conforme ilustrado na Figura 1.3 [1].
Figura 1.3: Curvas corrigidas
Para calcular os valores corrigidos para o líquido viscoso, são utilizados fatores
de correção, definidos da seguinte forma:
CE =ηviscηBEP
CQ =Qvisc
QBEP
CH =Hvisc
HBEP
As grandezas ηBEP , QBEP e HBEP são os valores de eficiência, vazão e head no
BEP e ηvisc, Qvisc e Hvisc são valores corrigidos para o fluido viscoso.
4
Assim, os valores corrigidos podem ser obtidos simplesmente multiplicando os
fatores de correção pelos valores originais da curva característica:
ηvisc = CE × ηBEP
Qvisc = CQ×QBEP
Hvisc = CH ×HBEP
Esses fatores são multiplicados nos quatro pontos indicados anteriormente, cor-
respondentes a 60%, 80%, 100% e 120% da vazão do BEP.
Os fatores de correção da eficiência e vazão são os mesmos em todos os quatro
pontos, porém os do head mudam para cada ponto, ou seja:
Hvisc,0.6 = CH06× (0, 6×Hop)
Hvisc,0.8 = CH08× (0, 8×Hop)
Hvisc,1.0 = CH10× (1, 0×Hop)
Hvisc,1.2 = CH12× (1, 2×Hop)
Assim sendo, o próximo passo é determinar esses coeficientes. O objetivo deste
trabalho é apresentar, propor, revisar e validar métodos para determinação dos
fatores de correção para líquidos viscosos.
Os métodos serão apresentados a seguir nos próximos capítulos.
Capítulo 2
Revisão bibliográfica
2.1 Carta de correção
O método clássico para obtenção dos fatores de correção para líquidos viscosos
é a utilização da carta de correção disponibilizada pelo Hydraulic Institute. Essa
carta foi obtida pelo Hydraulic Institute a partir de testes com grande número de
bombas diferentes.
A carta de correção utilizada está ilustrada na Figura 2.1 [2].
2.1. CARTA DE CORREÇÃO 7
Adotemos as seguintes nomenclaturas: as seis curvas mostradas na parte superior
da carta são chamadas de curvas superiores ou curvas de correção. As demais são
chamadas curvas auxiliares ou curvas inferiores. Cada uma das curvas superiores
está associada a um fator de correção de vazão, head e rendimento.
As curvas inferiores podem ser separadas em dois grupos: retas ascendentes e
retas descendentes, conforme suas declividades.
Este método requer três dados de entrada: vazão (Q), head (H) e viscosidade
(V).
As retas ascendentes estão associadas a valores de head (ft), indicados na carta.
As retas descendentes, por sua vez, estão relacionadas a valores de viscosidade (cst),
também indicados na carta. Por fim, o eixo horizontal representa a vazão (gpm).
Todas as unidades estão no sistema USCS (United States customary system) e
possuem a seguinte correspondência com o sistema métrico:
1gpm = 0, 227m3/h
1ft = 0, 305m
1cst = 10−6m2/s
Para determinar os fatores de correção para esses dados de entrada, é feito o
seguinte procedimento:
1. Entrar com o valor da vazão (Q) no eixo horizontal
2. Subir verticalmente até a curva do head desejado (H)
3. Deslocar horizontalmente até a curva da viscosidade desejada (V)
4. Subir verticalmente e interceptar as curvas de correção
Esse processo está ilustrado na carta de correção com a linha tracejada, para os
seguintes valores:
2.2. MÉTODO POR PONTOS 8
Q=750 gpm
H=100 ft
V=220 cst
Pelo fato de esse método ser manual, existem incertezas associadas a interpo-
lações visuais de valores nas curvas e ao grau de paralelismo das retas auxiliares
traçadas.
A fim de automatizar esse método, foi desenvolvido o método por pontos, que
será abordado a seguir.
2.2 Método por pontos
O método por pontos é a automatização do método utilizado pela carta de cor-
reção. Para isso, foram determinadas as equações de todas as curvas presentes na
carta e todos os passos que envolvem desenvolvimento geométrico (traçar retas ver-
ticais e horizontais) são substituídos por um desenvolvimento algébrico, utilizando
essas equações.
Para determinar as equações das curvas, foram marcados diversos pontos sobre
elas e foram feitas interpolações lineares. A marcação dos pontos foi feita utilizando-
se o software Pega Ponto.
2.2.1 Software Pega Ponto
O software Pega Ponto, desenvolvido por Jackson Araujo de Oliveira et al no
Programa de Engenharia Química COPPE/UFRJ [7], tem como objetivo determinar
as coordenadas de pontos demarcados sobre uma imagem digitalizada.
Isso se torna especialmente útil quando se dispõe apenas da imagem de um
gráfico. Através do software, é possível definir uma origem dos eixos coordenados
e delimitar os eixos horizontal e vertical. A partir de então, marcam-se os pontos
sobre a curva desejada. Como os eixos estão definidos, o software identifica as
2.2. MÉTODO POR PONTOS 9
coordenadas dos pontos demarcados. Os resultados são exportados em formato
.txt. Neste trabalho, foi utilizada a versão 1.0, de outubro de 2005.
A fim de ilustrar o funcionamento dessa ferramenta, mostremos um exemplo,
tirado do guia de usuário oficial do Pega Ponto [6].
Ao abrir a tela inicial do software, cola-se a imagem desejada.
Figura 2.2: Seleção de imagem
Os próximos passos são definir a posição da origem dos eixos e os limites de cada
um. Ao clicar no botão “origin” no menu, habilita-se a função de localizar a origem,
bastando clicar na posição desejada:
2.2. MÉTODO POR PONTOS 10
Figura 2.3: Definição da origem
Uma vez localizada a origem, abre-se uma janela automaticamente para inserir
os valores iniciais dos eixos na origem:
Figura 2.4: Definição de valores na origem
De modo análogo, e seguindo os botões na barra de menu, clica-se em “x axis”
para definir o limite superior do eixo x:
2.2. MÉTODO POR PONTOS 11
Figura 2.5: Definição de limite do eixo x
Nesse momento, também é possível definir se o eixo é linear ou logarítmico. Para
o eixo y, o processo é o mesmo:
Figura 2.6: Definição de limite do eixo y
Uma vez definidos os eixos, todos os pontos estão mapeados, bastando marcar
aqueles sobre a curva de interesse.
2.2. MÉTODO POR PONTOS 12
Figura 2.7: Marcação de pontos
É possível adicionar mais de uma curva caso seja necessário, bastando clicar no
botão “add curve” para marcar os novos pontos.
Finalizada a etapa de marcação dos pontos, pode-se exportar os dados em “export
data”. Os pontos são exportados em formato .txt, conforme o exemplo:
Figura 2.8: Exportação de dados
Dessa forma, o software mostra-se bastante útil para determinar pontos sobre
curvas de gráficos disponíveis em imagens digitalizadas, como é o caso das curvas
na carta de correção.
A fim de validar a resolução e acurácia dos resultados, foi feito um teste com
2.2. MÉTODO POR PONTOS 13
valores conhecidos. Montou-se uma tabela com um conjunto de pontos e plotou-se
um gráfico.
Tabela 2.1: Dados de validação
x y
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9
6 11
7 17
8 19
9 23
10 25
2.2. MÉTODO POR PONTOS 14
Figura 2.9: Gráfico com dados de validação
Copiando essa imagem e seguindo os passos demonstrados anteriormente para
exportar os dados do Pega Ponto, foram feitas as seguintes marcações:
Figura 2.10: Aplicação no software
2.2. MÉTODO POR PONTOS 15
Exportando os dados, foram obtidos os seguintes valores indicados na Tabela
2.2.
Tabela 2.2: Resultados
x y
1,01 0,99
2,01 2,97
3,00 4,95
3,99 7,01
5,01 8,98
6,00 10,96
7,02 16,98
8,01 18,96
9,02 23,00
10,01 24,98
Ao colocarmos os valores reais e os obtidos lado a lado, é possível determinar o
erro percentual e absoluto de cada um, conforme a Tabela 2.3.
Tabela 2.3: Validação dos resultados
x y xobtido yobtido xerro,abs yerro,abs xerro,rel yerro,rel
1 1 1,01 0,99 0,01 -0,01 0,6% -1,0%
2 3 2,01 2,97 0,01 -0,03 0,6% -1,0%
3 5 3,00 4,95 0,00 -0,05 0,0% -1,0%
4 7 3,99 7,01 -0,01 0,01 -0,3% 0,1%
5 9 5,01 8,98 0,01 -0,02 0,2% -0,2%
6 11 6,00 10,96 0,00 -0,04 0,0% -0,3%
7 17 7,02 16,98 0,02 -0,02 0,3% -0,1%
8 19 8,01 18,96 0,01 -0,04 0,2% -0,2%
9 23 9,02 23,00 0,02 0,00 0,2% 0,0%
10 25 10,01 24,98 0,01 -0,02 0,1% -0,1%
2.3. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 16
Os erros absolutos e relativos foram calculados da seguinte maneira:
EAx = xcalculado − xreal
ERx =xcalculado − xreal
xreal
EAy = ycalculado − yreal
ERy =ycalculado − yreal
yreal
Nota-se que o erro absoluto médio de x e y são, respectivamente, 0,01 e -0,02,
correspondendo a erros percentuais máximos de até 1%.
Portanto, os resultados obtidos do software são confiáveis e podem ser utilizados
para os fins dedicados neste trabalho.
O método por pontos será validado comparando resultados obtidos manualmente
e servirá como parâmetro para a comparação dos outros dois métodos alternativos
que serão apresentados a seguir.
2.3 Método do polinômio de Hole
Este método está descrito no artigo Fluid Viscosity Effects on Centrifugal Pumps
[4] e consiste em determinar um parâmetro auxiliar, chamado de pseudocapacity, que
é utilizado como argumento em polinômios de grau 5 para o cálculo dos fatores de
correção. Os dados de entrada, assim como no método da carta de correção, são
a vazão Q, head H e viscosidade V. Esse método será referido como método do
polinômio de Hole.
2.4 Método HI
Este método foi proposto pelo Hydraulic Institute no technical report ISO/TR
17766 [5], intitulado Centrifugal pumps handling viscous liquids – performance cor-
rections.
2.4. MÉTODO HI 17
Este método propõe calcular um parâmetro auxiliar B e seguir uma série de
cálculos para cada fator de correção. Os dados de entrada para este método são a
vazão Q, head H, viscosidade V e também a rotação N. Este método será referido
como método HI (Hydraulic Institute).
Todos os métodos podem ser automatizados através de scripts e pode-se de-
senvolver uma ferramenta que calcule os fatores de correção dados os valores de
entrada.
A única ferramenta online [9] aberta ao púlbico encontrada que se propõe a esse
fim não está em funcionamento e não expõe o método utilizado para a obtenção dos
resultados.
Serão apresentados, a seguir, os desenvolvimentos de cada um dos métodos des-
critos.
Capítulo 3
Desenvolvimento dos métodos
3.1 Método por pontos
3.1.1 Descrição do método
O método por pontos é desenvolvido em duas etapas: determinar as equações
das curvas presentes na carta e, a partir dessas equações, criar um algoritmo que
reproduz os processos manuais.
Abordemos essas duas etapas nos próximos tópicos.
3.1.2 Determinação das equações das curvas
3.1.2.1 Curvas inferiores
A primeira etapa consiste em determinar as equações das curvas presentes na
carta. Iniciemos pelas curvas inferiores.
Note-se que os eixos horizontal e vertical da carta nessa região não são lineares.
Consideremos, portanto, eixos auxiliares x e y, conforme indicados na Figura 3.1.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 19
Figura 3.1: Eixos auxiliares
Observe que, definindo o eixo x dessa forma, é possível estabelecer uma corres-
pondência com a vazão:
Figura 3.2: Correspondência entre Q e x
Com esses eixos definidos, foi utilizado o software Pega Ponto para marcar e
coletar os pontos sobre as curvas conforme as imagens seguintes.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 20
Figura 3.3: Marcação de pontos nas retas ascendentes
Figura 3.4: Marcação de pontos nas retas descendentes
Uma vez marcados e coletados todos os pontos, foram feitas interpolações lineares
para todas as curvas. Como usaremos o eixo linear auxiliar x para definirmos as
3.1. MÉTODO POR PONTOS 21
equações das curvas, faz-se necessário estabelecer uma relação entre x e Q.
Como sabemos, a priori que os extremos correspondem, respectivamente a x=0
quando Q=100 e x=100 quando Q=10000, podemos definir esses pontos dessa forma
e estabelecer a seguinte correspondência entre x e Q:
Tabela 3.1: Relação entre x e Q
Q x
100 0,00
150 9,04
200 15,45
300 24,06
400 30,25
500 35,11
600 38,87
700 42,30
800 45,37
900 47,79
1000 50,21
1500 59,06
2000 65,30
3000 74,21
4000 80,48
5000 85,18
6000 89,25
7000 92,67
8000 95,49
9000 98,13
10000 100,00
3.1. MÉTODO POR PONTOS 22
Dessa forma, temos uma relação para esses 21 pontos de Q. Para os valores
intermediários, são feitas interpolações lineares, da seguinte forma:
x = α1 ×Q+ β1
Em que α1 e β1 variam para cada intervalo e são definidos da seguinte forma:
supondo dois pontos consecutivos (xi, Qi) e (xi+1, Qi+1), usando uma interpolação
linear simples, é possível determinar os coeficientes:
α1 =xi+1 − xi
Qi+1 −Qi
β1 = xi − α1 ×Qi
Efetuando esses cálculos, encontram-se os valores indicados na Tabela 3.2.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 23
Tabela 3.2: Coeficientes de interpolação linear entre x e Q
Q x α1 β1
100 0,00 0,181 -18,07
150 9,04 0,128 -10,19
200 15,45 0,086 -1,79
300 24,06 0,062 5,50
400 30,25 0,049 10,8
500 35,11 0,038 16,32
600 38,87 0,034 18,28
700 42,30 0,031 20,83
800 45,37 0,024 26,03
900 47,79 0,024 26,03
1000 50,21 0,018 32,50
1500 59,06 0,012 40,34
2000 65,30 0,009 47,49
3000 74,21 0,006 55,37
4000 80,48 0,005 61,71
5000 85,18 0,004 64,82
6000 89,25 0,003 68,75
7000 92,67 0,003 72,89
8000 95,49 0,003 74,42
9000 98,13 0,002 81,28
10000 100,00
Assim, qualquer valor de x pode ser determinado dado o valor de Q. Estabelecida
a relação entre x e Q, analisemos as equações obtidas das curvas da carta.
No caso das retas ascendentes e descendentes, foi utilizado o método dos mínimos
quadrados para determinar as suas equações.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 24
As retas ascendentes são definidas da seguinte forma:
y = Ax+B
As retas descendentes, por sua vez, da forma:
y = Cx+D
Os coeficientes angulares A e C são constantes, uma vez que tanto as retas
ascendentes como descendentes são paralelas entre si. O coeficiente linear B é função
do head H. Analogamente, o coeficiente linear D é função da viscosidade V.
Aplicando o método dos mínimos quadrados nos pontos obtidos das curvas as-
cendentes, encontram-se os seguintes coeficientes:
Tabela 3.3: Coeficientes de retas ascendentes
A B H
0,557 8,54 15
0,555 10,45 20
0,560 12,53 30
0,558 14,47 40
0,557 17,05 60
0,556 18,84 80
0,557 20,21 100
0,557 22,64 150
0,558 24,41 200
0,557 27,02 300
0,558 28,67 400
0,559 31,08 600
Fazendo o mesmo para as retas descendentes, encontram-se os resultados indi-
cados na Tabela 3.4.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 25
Tabela 3.4: Coeficientes de retas descendentes
C D V
-2,28 78,33 4
-2,29 100,14 10
-2,28 109,72 15
-2,31 117,21 20
-2,30 128,39 32
-2,30 135,76 43
-2,30 146,19 65
-2,30 153,48 88
-2,29 162,93 132
-2,28 169,74 176
-2,29 175,49 220
-2,28 184,83 330
-2,28 192,19 440
-2,28 202,46 660
-2,28 209,58 880
-2,28 219,30 1320
-2,28 226,87 1760
-2,27 231,54 2200
-2,27 241,20 3300
Note que tanto as retas ascendentes como descendentes são visivelmente parale-
las. Portanto, os valores dos coeficientes A e C podem ser considerados constantes.
Tomando a média e desvio padrão dos resultados obtidos, encontram-se os se-
guintes valores:
A = 0, 557± 0, 001
3.1. MÉTODO POR PONTOS 26
C = −2, 29± 0, 01
Dessa forma, pode-se definir A e C como a média dos valores, obtidos, isto é:
A = 0, 557
C = −2, 29
Os outros coeficientes, B e D vão depender, respectivamente, dos valores do head
e viscosidade. No entanto, esses valores só estão disponíveis para alguns valores de
H e V.
Novamente, usaremos interpolações lineares das seguintes formas:
B = α2 ×H + β2
D = α3 × V + β3
Calculando esses coeficientes de modo análogo ao que foi feito para a relação
entre x e Q, encontram-se os resultados indicados na Tabela 3.5.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 27
Tabela 3.5: Coeficientes de interpolação linear entre B e H
H B α2 β2
15 8,54 0,381 2,82
20 10,45 0,208 6,28
30 12,53 0,194 6,71
40 14,47 0,129 9,32
60 17,05 0,090 11,67
80 18,84 0,068 13,36
100 20,21 0,049 15,34
150 22,64 0,035 17,35
200 24,41 0,026 19,18
300 27,02 0,016 22,08
400 28,67 0,012 23,85
600 31,08
3.1. MÉTODO POR PONTOS 28
Tabela 3.6: Coeficientes de interpolação linear entre D e V
V D α3 β3
4 78,33 3,634 63,79
10 100,14 1,916 80,97
15 109,72 1,499 87,24
20 117,21 0,932 98,58
32 128,39 0,670 106,96
43 135,76 0,474 115,37
65 146,19 0,317 125,56
88 153,48 0,215 134,60
132 162,93 0,155 142,48
176 169,74 0,131 146,73
220 175,49 0,085 156,82
330 184,83 0,067 162,78
440 192,19 0,047 171,63
660 202,46 0,032 181,10
880 209,58 0,022 190,14
1320 219,3 0,017 196,61
1760 226,87 0,011 208,17
2200 231,54 0,009 212,21
3300 241,20
Assim, para quaisquer valores de H e V, é possível determinar B e D e determinar
os coeficientes das retas:
y = Ax+B
y = Cx+D
3.1. MÉTODO POR PONTOS 29
3.1.2.2 Curvas superiores
Analisemos, agora, como foram obtidas as equações das curvas de correção. Essas
curvas não são lineares, como as curvas inferiores. Portanto, em vez de fazer um
ajuste pelo método dos mínimos quadrados, foram definidas aproximações lineares
a cada dois pontos marcados nos gráficos. Isto é, foram definidos os coeficientes
das retas que unem dois pontos consecutivos, de modo análogo ao que foi feito
anteriormente.
Para isso, foram marcados pontos suficientes para que essas aproximações sejam
próximas das curvas, conforme a Figura 3.5.
Figura 3.5: Marcação de pontos nas curvas superiores
As equações das curvas foram definidas da seguinte forma:
CE = αCEx+ βCE
CQ = αCQx+ βCQ
CH06 = αCH06x+ βCH06
CH08 = αCH08x+ βCH08
3.1. MÉTODO POR PONTOS 30
CH10 = αCH10x+ βCH10
CH12 = αCH12x+ βCH12
Os coeficientes de cada fator foram determinados e estão indicados nas tabelas
a seguir.
3.1. MÉTODO POR PONTOS 31
Tabela 3.7: Coeficientes de interpolação linear de CE
x CE αCE βCE
9,20 100,00 -0,29 102,63
11,70 99,29 -0,20 101,66
14,04 98,81 -0,30 103,09
17,63 97,63 -0,43 105,29
21,84 95,73 -0,41 104,59
26,21 93,59 -0,70 112,01
30,27 90,98 -0,82 115,77
34,01 88,13 -0,76 114,02
37,44 85,28 -0,83 116,33
40,87 82,43 -0,76 113,52
45,09 78,87 -1,06 126,88
48,21 75,55 -1,01 124,45
51,48 71,99 -1,52 150,31
54,29 67,95 -1,35 141,42
57,10 64,15 -1,69 160,70
59,91 59,64 -1,96 176,88
62,09 55,37 -2,17 190,23
64,43 50,62 -1,90 173,19
65,68 48,25 -2,17 191,03
66,77 45,88 -2,28 198,25
68,02 43,03 -2,17 190,90
69,11 40,65 -2,28 198,42
70,36 37,80 -1,96 175,43
71,45 35,67 -2,79 235,06
72,39 33,06 -2,17 190,42
73,48 30,68 -2,09 184,41
74,73 28,07 -2,39 206,75
75,82 25,46 -2,79 236,96
76,76 22,85 -2,54 217,52
78,16 19,29
3.1. MÉTODO POR PONTOS 32
Tabela 3.8: Coeficientes de interpolação linear de CQ
x CQ αCQ βCQ
39,00 99,53 0,00 99,53
40,41 99,53 -0,14 105,11
42,12 99,29 -0,17 106,43
43,53 99,05 -0,15 105,66
45,09 98,81 -0,15 105,66
46,65 98,58 -0,25 110,41
48,52 98,10 -0,30 112,87
50,08 97,63 -0,34 114,57
53,20 96,44 -0,41 118,51
54,91 95,73 -0,38 116,61
56,79 95,02 -0,68 133,44
58,19 94,07 -0,83 142,35
59,91 92,64 -0,76 138,22
63,03 90,03 -1,01 154,00
64,43 88,61 -1,18 164,83
65,84 86,94 -1,30 172,86
68,18 83,38 -1,52 187,14
69,27 81,72 -1,96 217,21
70,36 79,59 -1,52 186,67
71,45 77,92 -1,96 217,75
72,54 75,79 -1,71 199,95
73,79 73,65 -1,96 218,06
74,88 71,51 -2,17 234,31
75,98 69,14 -2,28 242,52
76,91 67,00 -2,17 234,21
78,00 64,63 -2,54 262,47
80,19 60,12 -2,39 251,92
81,28 57,51 -2,54 263,57
82,22 55,13 -2,74 280,38
83,00 53,00
3.1. MÉTODO POR PONTOS 33
Tabela 3.9: Coeficientes de interpolação linear de CH12
x CH12 αCH12 βCH12
15,76 100,00 -0,16 102,46
24,34 98,66 -0,15 102,42
30,42 97,72 -0,20 103,90
35,10 96,77 -0,23 104,99
39,16 95,82 -0,26 106,19
42,75 94,87 -0,34 109,33
45,55 93,92 -0,38 111,26
48,05 92,97 -0,30 107,55
50,39 92,26 -0,24 104,19
52,42 91,78 -0,47 116,33
54,45 90,83 -0,51 118,52
56,79 89,64 -0,47 116,49
59,28 88,46 -0,59 123,25
61,31 87,27 -0,76 133,85
63,49 85,61 -0,82 137,58
65,52 83,95 -0,83 138,55
67,24 82,52 -1,06 154,07
68,80 80,86 -1,22 164,65
70,36 78,96 -1,06 153,83
71,92 77,30 -1,18 162,33
73,32 75,64 -1,35 174,87
74,73 73,74 -1,22 164,75
76,29 71,84 -1,22 164,75
77,85 69,94 -1,37 176,73
79,41 67,80 -1,51 188,06
80,66 65,91 -1,35 175,06
82,06 64,01
3.1. MÉTODO POR PONTOS 34
Tabela 3.10: Coeficientes de interpolação linear de CH10
x CH10 αCH10 βCH10
24,34 99,61 -0,08 101,65
15,76 100,33 -0,13 102,37
30,42 98,43 -0,10 101,45
35,26 97,95 -0,18 104,37
39,16 97,24 -0,20 104,99
42,75 96,53 -0,34 110,99
45,55 95,58 -0,28 108,54
48,05 94,87 -0,21 104,73
50,39 94,39 -0,23 106,07
52,42 93,92 -0,36 112,53
54,45 93,20 -0,28 108,69
56,94 92,49 -0,41 115,61
59,28 91,54 -0,58 126,03
61,31 90,36 -0,67 131,36
63,81 88,69 -0,76 137,09
65,68 87,27 -0,83 141,62
67,39 85,85 -0,92 147,63
68,95 84,42 -1,06 157,80
70,52 82,76 -1,22 168,64
72,08 80,86 -1,18 166,08
73,48 79,20 -0,85 141,48
74,88 78,01 -1,35 179,35
76,29 76,11 -1,22 169,02
77,85 74,21 -1,22 169,02
79,41 72,31 -1,24 170,87
81,12 70,18 -1,39 182,69
82,84 67,80
3.1. MÉTODO POR PONTOS 35
Tabela 3.11: Coeficientes de interpolação linear de CH08
x CH08 αCH08 βCH08
15,91 100,00 -0,02 100,28
24,34 99,85 -0,12 102,69
30,42 99,14 -0,15 103,61
35,26 98,43 -0,12 102,77
39,16 97,95 -0,13 103,08
42,75 97,48 -0,25 108,29
45,55 96,77 -0,18 105,02
48,21 96,29 -0,22 106,66
50,39 95,82 -0,12 101,78
52,42 95,58 -0,24 107,99
54,45 95,10 -0,28 110,59
56,94 94,39 -0,41 117,51
59,28 93,44 -0,35 114,19
61,31 92,73 -0,48 121,95
63,81 91,54 -0,76 139,94
65,68 90,12 -0,76 140,29
67,55 88,69 -0,91 150,18
69,11 87,27 -0,91 150,18
70,67 85,85 -0,92 150,63
72,23 84,42 -1,18 169,82
73,64 82,76 -1,01 157,23
75,04 81,34 -1,07 161,67
76,60 79,67 -1,35 183,33
78,00 77,77 -1,18 169,00
79,41 76,11 -1,18 169,00
80,81 74,45 -1,37 185,31
82,37 72,31
3.1. MÉTODO POR PONTOS 36
Tabela 3.12: Coeficientes de interpolação linear de CH06
x CH06 αCH06 βCH06
15,91 100,00 0,01 99,83
24,34 100,09 -0,08 102,01
30,42 99,61 -0,05 101,06
35,26 99,38 -0,12 103,72
39,16 98,90 -0,13 104,03
42,75 98,43 -0,09 102,08
45,55 98,19 -0,19 106,77
48,05 97,72 -0,10 102,65
50,39 97,48 -0,24 109,41
52,42 97,00 -0,23 109,15
54,45 96,53 -0,19 107,00
56,94 96,05 -0,30 113,33
59,28 95,34 -0,33 114,61
61,47 94,63 -0,41 119,57
63,81 93,68 -0,64 134,24
65,68 92,49 -0,58 130,71
67,71 91,31 -0,92 153,37
69,27 89,88 -0,61 132,06
70,83 88,93 -0,91 153,40
72,39 87,51 -0,82 146,76
74,42 85,85 -1,22 176,48
75,97 83,95 -1,02 161,33
77,38 82,52 -1,11 168,20
79,09 80,62 -0,97 157,13
80,81 78,96 -1,33 186,45
82,06 77,30
3.1. MÉTODO POR PONTOS 37
Algumas observações:
1. Quando x é menor que o primeiro valor indicado em cada tabela, o fator é
igual à unidade, conforme pode se ver nos gráficos.
2. O valor máximo válido de x é x = 78, 159, que é o valor máximo disponível do
fator CE. Não faz sentido extrapolar valores não indicados na carta já que esse
fator está em torno de 0,2, que já é um valor extremamente baixo e associado
a um nível considerável de incerteza
Isto posto, todas as equações das curvas presentes na carta de correção estão defi-
nidas. Podemos passar para a segunda etapa, que é o desenvolvimento do algoritmo
de automatização.
3.1.3 Algoritmo de automatização
A automatização será feita seguindo as seguintes etapas:
1. Determinar x1 correspondente à vazão Q desejada:
x1 = α1 ×Q+ β1
2. Determinar B e D correspondentes aos valores de H e V desejados:
B = α2 ×H + β2
D = α3 × V + β3
3. Determinar y1 correspondente à reta ascendente:
y1 = Ax1 +B
4. Igualar y1 = y2, que corresponde a deslocar horizontalmente da curva de head
para a curva de viscosidade, determinando x2:
3.1. MÉTODO POR PONTOS 38
y1 = y2
y1 = Cx2 +D
x2 =y1 −D
C
5. Calcular os fatores de correção em x2:
CE = αCEx2 + βCE
CQ = αCQx2 + βCQ
CH06 = αCH06x2 + βCH06
CH08 = αCH08x2 + βCH08
CH10 = αCH10x2 + βCH10
CH12 = αCH12x2 + βCH12
3.1. MÉTODO POR PONTOS 39
Graficamente:
Figura 3.6: Algoritmo de automatização
Resumidamente, o algoritmo do método por pontos é o seguinte:
Dados Q,H e V, calculam-se x1, B e D:
x1 = α1 ×Q+ β1
B = α2 ×H + β2
D = α3 × V + β3
A partir desses valores calculados, calcula-se x2:
3.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 40
y1 = Ax1 +B
x2 =y1 −D
C
Calcular os coeficientes em x2:
CE = αCEx2 + βCE
CQ = αCQx2 + βCQ
CH06 = αCH06x2 + βCH06
CH08 = αCH08x2 + βCH08
CH10 = αCH10x2 + βCH10
CH12 = αCH12x2 + βCH12
Foi desenvolvido um script em VBA conforme indicado no Anexo A.1.
3.2 Método do polinômio de Hole
O método define o parâmetro pseudocapacity da seguinte forma:
P = 1, 95× V 0,5× (0, 04739×H0,25476
×Q0,5)−0,5
onde:
V é a viscosidade do fludo em cst
H é o head no BEP, medido em ft
Q é a vazão no BEP, medido em gpm Definido o parâmetro P, cada fator de
3.3. MÉTODO HI 41
correção é calculado através de um polinômio de grau 5:
Cx = Dx1 +Dx2P +Dx3P2 +Dx4P
3 +Dx5P4 +Dx6P
5
Os coeficientes para cada fator estão indicados na tabela
Tabela 3.13: Coeficientes dos polinômios de Hole
Fator Dx1 Dx2 Dx3 Dx4 Dx5 Dx6
CE 1,0522 -3,512E-02 -9,0394E-04 2,2218E-04 -1,1986E-05 1,9895E-07
CQ 0,9873 9,019E-03 -1,6233E-03 7,7233E-05 -2,0528E-06 2,1009E-08
CH06 1,0103 -4,6061E-03 2,4091E-04 -1,6912E-05 3,2459E-07 -1,6611E-09
CH08 1,0167 -8,3641E-03 5,1288E-04 -2,9941E-05 6,1644E-07 -4,0487E-09
CH10 1,0045 -2,664E-03 -6,8292E-04 4,9706E-05 -1,6522E-06 1,9172E-08
CH12 1,0175 -7,8654E-03 -5,6018E-04 5,4967E-05 -1,9035E-06 2,1615E-08
Foi desenvolvido um script em VBA conforme indicado no Anexo A.2.
Dessa forma, com os mesmos dados de entrada (vazão, head e viscosidade),
encontram-se os fatores de correção de viscosidade.
3.3 Método HI
Por fim, o método indicado pelo Hydraulic Institue na ISO/TR 1776/2005, pro-
põe um novo algoritmo.
O primeiro passo consiste em determinar o parâmetro auxiliar B, definido da
seguinte maneira:
B = 26, 6×V 0,5 ×H0,0625
Q0,375 ×N0,25
onde:
3.3. MÉTODO HI 42
V é a viscosidade do fludo em cst
H é o head no BEP, medido em ft
Q é a vazão no BEP, medido em gpm
N é a rotação em rpm
Se B ≥ 40, os resultados obtidos apresentarão alto grau de incerteza e devem,
portanto, ser evitados.
Se, por outro lado, B ≤ 1, um método alternativo é apresentado. Porém, esse
método requer mais dados de cada bomba em particular e não será tratado neste
trabalho.
Portanto, para que o método possa ser aplicado, o fator B deve satisfazer a
seguinte condição:
1 < B < 40
Definido o fator B, os coeficientes de correção são calculados da seguinte forma:
CQ = 2, 71−0,165×(log10 B)3,15
CH = 1− (1− CQ)× (Q
QBEP
)0,75
CE = B−0,0547×B0,69
onde Q/QBEP são as frações da vazão no BEP: 0, 6, 0, 8, 1, 0 e 1, 2.
Foi desenvolvido um script em VBA conforme indicado no Anexo A.3.
Capítulo 4
Validação e comparação de
resultados
Os objetivos deste capítulo são os seguintes:
1. Validar o método por pontos, comparando resultados obtidos manualmente
com os resultados obtidos pelo método
2. Comparar resultados dos métodos alternativos tomando como referência o mé-
todo por pontos
4.1 Validação do método por pontos
O método por pontos nada mais é do que a automatização do método manual
utilizando a carta de correção. Os processos utilizados são os mesmos. Porém, é
necessário validar o método para assegurar que os resultados obtidos são suficiente-
mente próximos aos resultados obtidos pela leitura direta da carta.
Para validar o método, foram tomados dez conjuntos de valores de Q,H e V,
procurando variar entre valores mais elevados e mais baixos dos fatores de entrada
e de correção.
Os resultados obtidos da leitura direta da carta foram os seguintes:
4.1. VALIDAÇÃO DO MÉTODO POR PONTOS 44
Tabela 4.1: Leitura direta da carta de correção
Q H V CE CQ CH06 CH08 CH10 CH12
800 400 10 0,97 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99
5000 400 65 0,91 1,00 1,00 0,99 0,98 0,97
2000 20 32 0,87 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96
5000 60 132 0,81 1,00 0,99 0,98 0,96 0,95
7000 80 330 0,74 0,98 0,97 0,96 0,94 0,92
500 300 220 0,66 0,95 0,97 0,95 0,93 0,90
3000 200 660 0,60 0,93 0,95 0,93 0,91 0,88
9000 300 3300 0,40 0,81 0,90 0,87 0,83 0,80
400 400 880 0,36 0,79 0,89 0,86 0,83 0,78
4000 600 3300 0,34 0,77 0,88 0,84 0,81 0,77
Os resultados obtidos dos mesmos valores pelo método por pontos são os seguin-
tes:
Tabela 4.2: Fatores calculados pelo método por pontos
Q H V CE CQ CH06 CH08 CH10 CH12
800 400 10 0,97 1,00 1,00 0,00 1,00 0,99
5000 400 65 0,91 1,00 0,00 0,99 0,98 0,98
2000 20 32 0,87 1,00 0,99 0,98 0,98 0,97
5000 60 132 0,81 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95
7000 80 330 0,74 0,98 0,98 0,96 0,94 0,92
500 300 220 0,65 0,95 0,96 0,95 0,93 0,90
3000 200 660 0,60 0,93 0,95 0,93 0,91 0,88
9000 300 3300 0,39 0,81 0,90 0,87 0,84 0,80
400 400 880 0,35 0,78 0,88 0,85 0,81 0,78
4000 600 3300 0,34 0,76 0,88 0,84 0,81 0,77
4.1. VALIDAÇÃO DO MÉTODO POR PONTOS 45
A tabela seguinte mostra os resultados da diferença dos resultados obtidos pelos
dois métodos:
Cmanual − CPP
onde Cmanual é o fator obtido pela leitura direta da carta e CPP é o fator obtido
pelo método por pontos.
Tabela 4.3: Diferenças de resultados
Q H V CE CQ CH06 CH08 CH10 CH12
800 400 10 0,005 0,000 0,000 0,001 0,000 -0,003
5000 400 65 0,003 0,000 0,004 -0,001 -0,004 -0,007
2000 20 32 0,001 0,000 -0,003 -0,004 -0,009 -0,006
5000 60 132 0,002 0,009 0,006 0,006 -0,004 0,002
7000 80 330 0,002 0,003 -0,005 0,001 -0,005 -0,004
500 300 220 0,008 -0,002 0,008 0,004 0,003 0,001
3000 200 660 0,000 0,002 -0,002 -0,003 -0,003 -0,002
9000 300 3300 0,006 0,000 0,004 0,002 -0,007 0,002
400 400 880 0,009 0,015 0,008 0,010 0,016 0,004
4000 600 3300 0,004 0,005 0,003 -0,005 0,003 0,000
A diferença média é de 0,001 e a maior diferença, em valor absoluto é de apenas
0,016, o que é uma margem bastante aceitável.
O erro percentual entre os resultados dos dois métodos foi definido da seguinte
forma:
e =Cmanual − CPP
Cmanual
Calculando os erros percentuais de todos os fatores, encontram-se os seguintes
resultados:
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 46
Tabela 4.4: Erros percentuais
Q H V CE CQ CH06 CH08 CH10 CH12
800 400 10 0,5% 0,0% 0,0% 0,1% 0,0% -0,3%
5000 400 65 0,3% 0,0% 0,4% -0,1% -0,4% -0,7%
2000 20 32 0,1% 0,0% -0,3% -0,4% -0,9% -0,7%
5000 60 132 0,2% 0,9% 0,6% 0,6% -0,5% 0,2%
7000 80 330 0,3% 0,3% -0,5% 0,1% -0,5% -0,4%
500 300 220 1,1% -0,2% 0,9% 0,4% 0,4% 0,1%
3000 200 660 0,1% 0,2% -0,2% -0,3% -0,3% -0,2%
9000 300 3300 1,5% 0,1% 0,4% 0,3% -0,8% 0,2%
400 400 880 2,4% 1,8% 0,9% 1,2% 1,9% 0,5%
4000 600 3300 1,1% 0,7% 0,3% -0,6% 0,3% 0,0%
O valor máximo do erro percentual é de 2,4% e isso só acontece porque os valores
dos fatores são relativamente baixos: 0,35 e 0,36.
Portanto, o método por pontos reproduz com fidelidade os resultados obtidos
pela leitura direta da carta de correção.
4.2 Comparação com métodos alternativos
Foram considerados os seguintes valores de Q,H e V para comparar os resultados
dos métodos:
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 47
Tabela 4.5: Valores de dados de entrada
Q H V
100 15 10
200 20 15
300 30 20
400 40 32
500 50 43
600 60 65
700 70 88
800 80 132
900 90 176
1000 100 220
1500 150 330
2000 200 440
3000 250 660
4000 300 880
5000 350 1079
6000 400 1320
7000 450 1760
8000 500 2200
9000 550 2589
10000 600 3300
Sendo 20 valores para cada grandeza, totalizam-se 8000 combinações possíveis.
Para cada linha foram calculados os fatores de correção pelos seguintes métodos:
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 48
1. Método por pontos
2. Método do polinômio
3. Método HI com N=1150 rpm
4. Método HI com N=1750 rpm
5. Método HI com N=3550 rpm
6. Método HI com N=5450 rpm
Foi montada uma tabela com os valores de Q,H e V e foram calculados os fatores
de correção indicados acima, além do valor de x2 para cada combinação de Q,H e
V.
Algumas combinações de Q,H e V geraram resultados inválidos no método por
pontos, quando x2 > 78, 159 e no método HI, quando B ≤ 1 ou B ≥ 40. O método
do polinômio não indicou nenhuma restrição.
Os resultados inválidos foram descartados. Com o conjunto de dados restantes,
foi possível fazer a comparação de resultados obtidos através de cada método.
A seguir, serão feitas as comparações de resultados de cada fator para cada
método.
4.2.1 Comparação com método do polinômio de Hole
Cada valor de x2, definido no método por pontos, está associado a um vetor
(Q,H, V ). Os resultados obtidos pelos dois métodos foram plotados ao longo do
eixo auxiliar x.
O erro percentual foi definido da seguinte forma:
e =CPOL − CPP
CPOL
onde CPP é o valor do fator calculado pelo método por pontos e CPOL é o valor
do fator calculado pelo método do polinômio.
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 49
Os resultados estão indicados nas figuras que seguem.
Figura 4.1: Curva de correção - CE
Figura 4.2: Curva de correção - CQ
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 50
Figura 4.3: Curva de correção - CH06
Figura 4.4: Curva de correção - CH08
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 51
Figura 4.5: Curva de correção - CH10
Figura 4.6: Curva de correção - CH12
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 52
É possível perceber que todas as curvas obtidas pelo método do polinômio exceto
a de CE estão bem próximas das curvas de correção do método por pontos, apenas
se distanciando um pouco mais para valores extremos de x2.
A curva de CE, no entanto, começar a divergir antes e apresenta grandes diver-
gências. Plotando os gráficos dos erros percentuais entre os fatores calculados pelos
dois métodos, encontra-se o seguinte resultado:
Figura 4.7: Erros percentuais
Claramente, a curva de CE é a que apresenta as maiores divergências, chegando a
mais de 80%. As demais curvas apresentam erro percentual máximo de 6% em valor
absoluto. Isso indica que o método do polinômio só é aplicável até um determinado
limite de x2.
Definindo o valor absoluto limite de 6% para a curva do fator CE, encontra-se
a condição de que x2 < 65, 12, pois a partir desse valor de x2, os erros ultrapassam
6%. Portanto, o método do polinômio é aplicável até o limite de x2 = 65, 12.
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 53
4.2.2 Comparação com método HI
Seguindo o mesmo procedimento de plotar as curvas de correção contra o eixo
auxiliar x, encontra-se o seguinte resultado para as curvas de CE com N=1750 rpm:
Figura 4.8: Curvas de correção - CE
Note que, diferentemente dos outros dois métodos, o resultado obtido quando se
plota CE contra x2 não é uma curva, mas uma região. O mesmo comportamento
ocorre para os demais fatores e rotações.
Isso acontece porque pequenas variações de x2 geram grandes variações nos fa-
tores de correção calculados pelo método HI. Isso porque pequena variação de x2
pode significar um salto significativo de vazão, head ou viscosidade e, da forma que
o método está definido, isso acaba por não delimitar uma única curva bem compor-
tada.
Um exemplo disso pode ser percebido em um recorte da tabela dos dados obtidos
calculando os fatores de CE através do método por pontos, polinômio de Hole e HI
com N = 1750rpm:
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 54
Tabela 4.6: Recorte da tabela de resultados
Q H V x2 CEPP CEPOL CE1750
100 450 176 61,339 0,568 0,564 0,404
4000 400 1079 61,344 0,568 0,564 0,588
9000 80 1079 61,345 0,568 0,562 0,721
600 150 330 61,370 0,568 0,560 0,567
5000 40 660 61,373 0,568 0,566 0,741
8000 100 1079 61,388 0,567 0,562 0,704
300 50 176 61,388 0,567 0,560 0,611
4000 60 660 61,390 0,567 0,565 0,709
8000 50 880 61,412 0,567 0,567 0,747
600 500 440 61,421 0,567 0,565 0,485
Comparando as duas colunas de CE calculados pelo método por pontos e pelo
método HI para N=1750 rpm, nota-se que os valores oscilam e variam significativa-
mente para pequenas variações de x2. Essas pequenas variações de x2, no entanto,
implicam em grandes variações de Q,H e V.
Comparando a primeira e segunda linha da tabela, por exemplo, nota-se que
Q varia de 100 para 4000 gpm e V, de 176 para 1079 cst. Esses saltos são muito
grandes e esse método é sensível a isso.
Não será possível, portanto, comparar os resultados via curvas de correção plota-
das ao longo do eixo auxiliar x. Em vez disso, uma forma de avaliar o comportamento
dos fatores de correção calculados é fixar valores de Q e H e analisar a curva de Cx
versus V para todas as rotações.
Essa análise será feita para cada fator, escolhendo dois valores de Q e H e fazendo
todas as combinações possíveis entre eles.
Os valores escolhidos para Q e H são os seguintes:
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 55
1. Q = 300 gpm e H = 50ft
2. Q = 300 gpm e H = 600 ft
3. Q=10000 gpm e H = 600 ft
4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft
Os resultados para cada escolha de valores estão indicados a seguir:
1. Q = 300 gpm e H = 50ft
Figura 4.9: Curvas de correção - CE
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 56
Figura 4.10: Curvas de correção - CQ
Figura 4.11: Curvas de correção - CH06
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 57
Figura 4.12: Curvas de correção - CH08
Figura 4.13: Curvas de correção - CH10
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 58
Figura 4.14: Curvas de correção - CH12
2. Q = 300 gpm e H = 600 ft
Figura 4.15: Curvas de correção - CE
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 59
Figura 4.16: Curvas de correção - CQ
Figura 4.17: Curvas de correção - CH06
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 60
Figura 4.18: Curvas de correção - CH08
Figura 4.19: Curvas de correção - CH10
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 61
Figura 4.20: Curvas de correção - CH12
3. Q=10000 gpm e H = 600 ft
Figura 4.21: Curvas de correção - CE
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 62
Figura 4.22: Curvas de correção - CQ
Figura 4.23: Curvas de correção - CH06
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 63
Figura 4.24: Curvas de correção - CH08
Figura 4.25: Curvas de correção - CH10
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 64
Figura 4.26: Curvas de correção - CH12
4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft
Figura 4.27: Curvas de correção - CE
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 65
Figura 4.28: Curvas de correção - CQ
Figura 4.29: Curvas de correção - CH06
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 66
Figura 4.30: Curvas de correção - CH08
Figura 4.31: Curvas de correção - CH10
4.2. COMPARAÇÃO COM MÉTODOS ALTERNATIVOS 67
Figura 4.32: Curvas de correção - CH12
Uma observação quanto aos resultados obtidos pelo método HI: assim como
observado nos dois métodos anteriores, as curvas de correção do head seguem o
seguinte padrão:
CH06 > CH08 > CH10 > CH12
De modo análogo, se fixarmos valores de Q, H e N, as curvas de correção obtidas
através do método HI revelam o mesmo comportamento. Tomando Q = 300 gpm,
H = 600 ft e N = 1150 rpm, encontra-se o resultado indicado na Figura 4.33.
Capítulo 5
Considerações finais
5.1 Conclusões
Após analisar os resultados obtidos de todos os métodos apresentados, algumas
conclusões podem ser tiradas relativas aos seguintes tópicos:
1. Validação do método por pontos
2. Comparação de resultados com método do polinômio de Hole
3. Comparação de resultados com método HI
Antes de analisar cada caso, algumas observações relativas a todos os métodos
são válidas:
1. Para Q e H baixos, os fatores de correção são mais altos (correções menores)
2. Para Q e H altos, os fatores de correção são mais baixos (correções maiores)
3. Em todos os métodos, as maiores correções são do fator CE
4. As correções de CH são maiores quanto maior a fração da vazão do BEP, isto
é:
CH06 > CH08 > CH10 > CH12
5.1. CONCLUSÕES 70
Passemos, agora, para a análise de cada método.
O método por pontos cumpriu seu objetivo e reflete com muita acurácia os
resultados da carta de correção, sendo um uma automatização do método manual
de leitura da carta de correção. Sendo assim, esse método pode ser utilizado como
o método de referência para a comparação de resultados dos métodos alternativos.
O método do polinômio apresentou uma grande correlação com os resultados do
método por pontos, ficando todas as curvas de correção muito próximas. As maiores
divergências acontecem para valores mais elevados de viscosidade, o que é razoável,
uma vez que as incertezas aumentam à medida que o fator de correção diminui.
A correlação menos favorável foi a do fator CE, onde se verificou que, a partir
de certo ponto, a curva do polinômio não apresentava um comportamento coerente
e, portanto, não era mais válida.
Tirando esses casos, todos os demais pontos apresentaram resultados muito si-
milares com erro percentual máximo de 6%.
Para fazer as comparações de resultados, foram utilizados valores fixados de Q
e H:
1. Q = 300 gpm e H = 50ft
2. Q = 300 gpm e H = 600 ft
3. Q=10000 gpm e H = 600 ft
4. Q = 10000 gpm e H = 50 ft
Comparando as curvas do método por pontos com as curvas do método HI, os
seguintes padrões foram observados:
Quando Q = 300 gpm e H = 600 ft, as curvas do método por pontos são sempre
superiores às curvas do método HI. Isso indica que para valores altos de H e baixos
de Q, o método HI sugere correções maiores, pois os fatores são mais baixos.
5.2. TRABALHOS FUTUROS 71
Da mesma, forma, quando Q= 10000 gpm e H = 50 ft, as curvas do método por
pontos são sempre inferiores às curvas do método HI. Isso mostra que para valores
baixos de H e altos de Q, o método HI sugere correções menores.
As demais combinações não revelam um padrão definido, ficando as curvas do
método por pontos ora mais próximas a uma curva de determinado N, ora atraves-
sando essas curvas.
O padrão que se mantém dos demais métodos é que as correções de CH são
maiores quanto maior for a fração da vazão do BEP:
CH06 > CH08 > CH10 > CH12
Os resultados obtidos por esse método não refletem exatamente os da carta de
correção pois leva em consideração um fator de entrada a mais, que é a rotação da
bomba. Isso sugere que os resultados obtidos são mais precisos, sabendo-se esse fator,
enquanto que os resultados da carta são mais genéricos para quaisquer rotações.
Dessa forma, sendo conhecida a rotação da bomba, o método HI deve ser uti-
lizado. Caso contrário, o método da carta de correção deve ser aplicado, pois o
método do polinômio de Hole apresenta resultados muito próximos mas tem uma
limitação do fator CE. Para grandes volumes de dados, pode-se utilizar o método
por pontos, que é uma automatização da leitura da carta.
5.2 Trabalhos futuros
A fim de se obter uma expressão analítica mais enxuta, sugere-se que as interpo-
lações lineares obtidas pelo método por pontos sejam substituídas por interpolações
logarítmicas.
Uma vez criado o algoritmo de automatização com qualquer um dos métodos
apresentados, pode-se criar uma ferramenta em que, dada a curva característica da
bomba, determine a curva corrigida para o fluido viscoso.
Referências
[1] Dacanal, G. C. Impacto da viscosidade do fluido na curva Q x
H. <http://sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5817712/LOQ4015/
Fator_Viscosidade_Curva_QxH.pdf>, Acesso em Novembro de 2018.
[2] de Mattos, E. E., e de Falco, R. Bombas industriais, 2 ed. Interciência,
1998.
[3] de Moraes Franklin, E. Obtenção da curva característica de uma
bomba centrífuga. <http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM886/Exp6_
bomba_centrif.pdf>, Acesso em Novembro de 2018.
[4] Hole, G. Fluid viscosity effects on centrifugal pumps. Pumps and Systems
Magazine.
[5] Hydraulic Institute. Technical Report ISO/TR 17766:2005. In Centrifugal
pumps handling viscous liquids - Performance corrections.
[6] J.A. Oliveira, R. G., e Pinto, J. Pega ponto version 1.0. In The user’s
guide.
[7] J.A. Oliveira, R. G. e. J. P. Pega ponto versão 1.0. <https://sites.
google.com/site/lemnufabc/home/agenda>, Acesso em Novembro de 2018.
[8] [email protected]. Ingeniería mecánica: Curvas características de una
bomba centrífuga (ii). <https://areamecanica.wordpress.com/2011/06/16/
ingenieria-mecanica-curvas-caracteristicas-de-una-bomba-centrifuga-ii/>,
Acesso em Novembro de 2018.
REFERÊNCIAS 73
[9] Page, E. Viscosity corrections. <http://www.engineeringpage.com/
calculators/pumps/viscosity_correction.html>, Acesso em Novembro de
2018.
Apêndice A
Scripts em VBA
A.1 Método por pontos
1 A = 0.557
2 C = -2.29
3
4 Select Case Q
5 Case 100 To 150
6 alpha1 = 0.180708
7 beta1 = -18.0708
8 Case 150 To 200
9 alpha1 = 0.128192
10 beta1 = -10.1934
11 Case 200 To 300
12 alpha1 = 8.61900000000001E-02
13 beta1 = -1.79300000000002
14 Case 300 To 400
15 alpha1 = 6.18799999999999E-02
16 beta1 = 5.5
17 Case 400 To 500
18 alpha1 = 0.04862
19 beta1 = 10.804
20 Case 500 To 600
21 alpha1 = 0.03758
22 beta1 = 16.324
23 Case 600 To 700
24 alpha1 = 0.03432
25 beta1 = 18.28
26 Case 700 To 800
27 alpha1 = 3.06800000000001E-02
A.1. MÉTODO POR PONTOS 75
28 beta1 = 20.828
29 Case 800 To 900
30 alpha1 = 2.41799999999999E-02
31 beta1 = 26.028
32 Case 900 To 1000
33 alpha1 = 0.02418
34 beta1 = 26.028
35 Case 1000 To 1500
36 alpha1 = 0.017706
37 beta1 = 32.502
38 Case 1500 To 2000
39 alpha1 = 0.012482
40 beta1 = 40.338
41 Case 2000 To 3000
42 alpha1 = 8.90500000000002E-03
43 beta1 = 47.492
44 Case 3000 To 4000
45 alpha1 = 6.27781818181818E-03
46 beta1 = 55.3735454545455
47 Case 4000 To 5000
48 alpha1 = 4.6941818181818E-03
49 beta1 = 61.708090909091
50 Case 5000 To 6000
51 alpha1 = 4.07260000000001E-03
52 beta1 = 64.816
53 Case 6000 To 7000
54 alpha1 = 3.41640000000001E-03
55 beta1 = 68.7532
56 Case 7000 To 8000
57 alpha1 = 2.82533333333332E-03
58 beta1 = 72.8906666666668
59 Case 8000 To 9000
60 alpha1 = 2.63466666666669E-03
61 beta1 = 74.416
62 Case 9000 To 10000
63 alpha1 = 1.87199999999999E-03
64 beta1 = 81.28
65 End Select
66
67 Select Case H
68 Case 15 To 20
69 alpha2 = 0.381460872756945
70 beta2 = 2.81781605328121
71 Case 20 To 30
72 alpha2 = 0.208459582419617
73 beta2 = 6.27784186002776
74 Case 30 To 40
A.1. MÉTODO POR PONTOS 76
75 alpha2 = 0.194057768674827
76 beta2 = 6.70989627237147
77 Case 40 To 60
78 alpha2 = 0.12875411598523
79 beta2 = 9.32204237995535
80 Case 60 To 80
81 alpha2 = 0.089686295422672
82 beta2 = 11.6661116137088
83 Case 80 To 100
84 alpha2 = 6.84874158847123E-02
85 beta2 = 13.3620219767456
86 Case 100 To 150
87 alpha2 = 0.048678322636899
88 beta2 = 15.3429313015269
89 Case 150 To 200
90 alpha2 = 3.53103198155457E-02
91 beta2 = 17.3481317247299
92 Case 200 To 300
93 alpha2 = 2.61343508483731E-02
94 beta2 = 19.1833255181644
95 Case 300 To 400
96 alpha2 = 1.64829095249606E-02
97 beta2 = 22.0787579151882
98 Case 400 To 600
99 alpha2 = 1.20644174500386E-02
100 beta2 = 23.846154745157
101 End Select
102
103 Select Case V
104 Case 4 To 10
105 alpha3 = 3.63419539457546
106 beta3 = 63.7936835281681
107 Case 10 To 15
108 alpha3 = 1.91639652062703
109 beta3 = 80.9716722676524
110 Case 15 To 20
111 alpha3 = 1.49856405081207
112 beta3 = 87.2391593148768
113 Case 20 To 32
114 alpha3 = 0.931563298103309
115 beta3 = 98.579174369052
116 Case 32 To 43
117 alpha3 = 0.669693778122882
118 beta3 = 106.958999008426
119 Case 43 To 65
120 alpha3 = 0.474093903992365
121 beta3 = 115.369793596038
A.1. MÉTODO POR PONTOS 77
122 Case 65 To 88
123 alpha3 = 0.317285237852013
124 beta3 = 125.562356895161
125 Case 88 To 132
126 alpha3 = 0.214605946137101
127 beta3 = 134.598134566073
128 Case 132 To 176
129 alpha3 = 0.154915483168894
130 beta3 = 142.477275677876
131 Case 176 To 220
132 alpha3 = 0.130731199454566
133 beta3 = 146.733709611598
134 Case 220 To 330
135 alpha3 = 8.48931678332548E-02
136 beta3 = 156.818076568287
137 Case 330 To 440
138 alpha3 = 6.68401942511878E-02
139 beta3 = 162.775557850369
140 Case 440 To 660
141 alpha3 = 4.67072497754585E-02
142 beta3 = 171.63405341969
143 Case 660 To 880
144 alpha3 = 3.23697297472245E-02
145 beta3 = 181.096816638324
146 Case 880 To 1320
147 alpha3 = 2.20934680827986E-02
148 beta3 = 190.139926903019
149 Case 1320 To 1760
150 alpha3 = 1.71909761147528E-02
151 beta3 = 196.611216300839
152 Case 1760 To 2200
153 alpha3 = 1.06214492820454E-02
154 beta3 = 208.173583526404
155 Case 2200 To 3300
156 alpha3 = 8.78486504393302E-03
157 beta3 = 212.214068850251
158 End Select
159
160 x1 = alpha1 * Q + beta1
161 B = alpha2 * H + beta2
162 D = alpha3 * V + beta3
163
164 y1 = A * x1 + B
165 x2 = (y1 - D) / C
166
167 If x2 >= 0 And x2 <= 78.159 Then
168
A.1. MÉTODO POR PONTOS 78
169 Select Case x2
170 Case 0 To 9.2044
171 alpha_CE = 0
172 beta_CE = 100
173 Case 9.2044 To 11.7
174 alpha_CE = -0.285302131751885
175 beta_CE = 102.626034941497
176 Case 11.7 To 14.041
177 alpha_CE = -0.202904741563432
178 beta_CE = 101.661985476292
179 Case 14.041 To 15.601
180 alpha_CE = -0.304487179487185
181 beta_CE = 103.08830448718
182 Case 15.601 To 17.629
183 alpha_CE = -0.351084812623269
184 beta_CE = 103.815274161736
185 Case 17.629 To 19.813
186 alpha_CE = -0.434523809523809
187 beta_CE = 105.286220238095
188 Case 19.813 To 21.841
189 alpha_CE = -0.468441814595662
190 beta_CE = 105.958237672584
191 Case 21.841 To 24.181
192 alpha_CE = -0.405982905982907
193 beta_CE = 104.594072649573
194 Case 24.181 To 26.209
195 alpha_CE = -0.584812623274166
196 beta_CE = 108.918354043393
197 Case 26.209 To 28.237
198 alpha_CE = -0.70266272189349
199 beta_CE = 112.007087278106
200 Case 28.237 To 30.265
201 alpha_CE = -0.585305719921103
202 beta_CE = 108.693277613412
203 Case 30.265 To 32.293
204 alpha_CE = -0.819033530571993
205 beta_CE = 115.767049802761
206 Case 32.293 To 34.009
207 alpha_CE = -0.69172494172494
208 beta_CE = 111.655873543123
209 Case 34.009 To 35.881
210 alpha_CE = -0.761217948717947
211 beta_CE = 114.019261217949
212 Case 35.881 To 37.441
213 alpha_CE = -0.912820512820516
214 beta_CE = 119.458912820513
215 Case 37.441 To 39.158
A.1. MÉTODO POR PONTOS 79
216 alpha_CE = -0.829353523587649
217 beta_CE = 116.333825276645
218 Case 39.158 To 40.874
219 alpha_CE = -0.830419580419578
220 beta_CE = 116.37556993007
221 Case 40.874 To 43.058
222 alpha_CE = -0.760531135531137
223 beta_CE = 113.5189496337
224 Case 43.058 To 45.086
225 alpha_CE = -0.936883629191325
226 beta_CE = 121.11233530572
227 Case 45.086 To 46.646
228 alpha_CE = -1.06474358974359
229 beta_CE = 126.877029487179
230 Case 46.646 To 48.206
231 alpha_CE = -1.06538461538461
232 beta_CE = 126.90693076923
233 Case 48.206 To 50.078
234 alpha_CE = -1.01442307692308
235 beta_CE = 124.450278846154
236 Case 50.078 To 51.482
237 alpha_CE = -1.18376068376069
238 beta_CE = 132.930367521368
239 Case 51.482 To 52.886
240 alpha_CE = -1.52136752136751
241 beta_CE = 150.311042735042
242 Case 52.886 To 54.29
243 alpha_CE = -1.35256410256411
244 beta_CE = 141.383705128205
245 Case 54.29 To 55.694
246 alpha_CE = -1.35327635327635
247 beta_CE = 141.422373219373
248 Case 55.694 To 57.098
249 alpha_CE = -1.35256410256411
250 beta_CE = 141.382705128205
251 Case 57.098 To 58.502
252 alpha_CE = -1.69088319088318
253 beta_CE = 160.700048433048
254 Case 58.502 To 59.906
255 alpha_CE = -1.52136752136753
256 beta_CE = 150.783042735043
257 Case 59.906 To 60.998
258 alpha_CE = -1.95695970695971
259 beta_CE = 176.877628205128
260 Case 60.998 To 62.09
261 alpha_CE = -1.95604395604394
262 beta_CE = 176.821769230768
A.1. MÉTODO POR PONTOS 80
263 Case 62.09 To 63.183
264 alpha_CE = -2.17200365965234
265 beta_CE = 190.230707227814
266 Case 63.183 To 64.431
267 alpha_CE = -1.9022435897436
268 beta_CE = 173.18645673077
269 Case 64.431 To 65.679
270 alpha_CE = -1.90224358974358
271 beta_CE = 173.186456730769
272 Case 65.679 To 66.771
273 alpha_CE = -2.17399267399268
274 beta_CE = 191.034664835165
275 Case 66.771 To 68.019
276 alpha_CE = -2.28205128205127
277 beta_CE = 198.249846153846
278 Case 68.019 To 69.111
279 alpha_CE = -2.17399267399268
280 beta_CE = 190.899807692308
281 Case 69.111 To 70.359
282 alpha_CE = -2.28285256410258
283 beta_CE = 198.423223557693
284 Case 70.359 To 71.451
285 alpha_CE = -1.95604395604396
286 beta_CE = 175.429296703297
287 Case 71.451 To 72.387
288 alpha_CE = -2.79059829059827
289 beta_CE = 235.059038461537
290 Case 72.387 To 73.479
291 alpha_CE = -2.17399267399268
292 beta_CE = 190.424807692308
293 Case 73.479 To 74.727
294 alpha_CE = -2.09214743589743
295 beta_CE = 184.410901442307
296 Case 74.727 To 75.819
297 alpha_CE = -2.39102564102564
298 beta_CE = 206.745173076923
299 Case 75.819 To 76.755
300 alpha_CE = -2.78952991452994
301 beta_CE = 236.959368589745
302 Case 76.755 To 78.159
303 alpha_CE = -2.53632478632477
304 beta_CE = 217.524608974357
305 End Select
306
307 Select Case x2
308 Case 0 To 39.002
309 alpha_CQ = 0
A.1. MÉTODO POR PONTOS 81
310 beta_CQ = 100
311 Case 39.002 To 40.406
312 alpha_CQ = 0
313 beta_CQ = 99.525
314 Case 40.406 To 42.122
315 alpha_CQ = -0.138111888111893
316 beta_CQ = 105.105548951049
317 Case 42.122 To 43.526
318 alpha_CQ = -0.169515669515669
319 beta_CQ = 106.428339031339
320 Case 43.526 To 45.086
321 alpha_CQ = -0.151923076923074
322 beta_CQ = 105.662603846154
323 Case 45.086 To 46.646
324 alpha_CQ = -0.151923076923082
325 beta_CQ = 105.662603846154
326 Case 46.646 To 48.518
327 alpha_CQ = -0.253739316239313
328 beta_CQ = 110.411924145299
329 Case 48.518 To 50.078
330 alpha_CQ = -0.304487179487175
331 beta_CQ = 112.874108974359
332 Case 50.078 To 51.482
333 alpha_CQ = -0.338319088319095
334 beta_CQ = 114.568343304844
335 Case 51.482 To 53.198
336 alpha_CQ = -0.414918414918417
337 beta_CQ = 118.51182983683
338 Case 53.198 To 54.914
339 alpha_CQ = -0.414918414918408
340 beta_CQ = 118.511829836829
341 Case 54.914 To 56.786
342 alpha_CQ = -0.380341880341882
343 beta_CQ = 116.613094017094
344 Case 56.786 To 58.19
345 alpha_CQ = -0.67663817663818
346 beta_CQ = 133.438575498576
347 Case 58.19 To 59.906
348 alpha_CQ = -0.829836829836825
349 beta_CQ = 142.353205128205
350 Case 59.906 To 61.466
351 alpha_CQ = -0.760897435897442
352 beta_CQ = 138.223321794872
353 Case 61.466 To 63.027
354 alpha_CQ = -0.912235746316459
355 beta_CQ = 147.525482383087
356 Case 63.027 To 64.431
A.1. MÉTODO POR PONTOS 82
357 alpha_CQ = -1.01495726495727
358 beta_CQ = 153.999711538462
359 Case 64.431 To 65.835
360 alpha_CQ = -1.18304843304844
361 beta_CQ = 164.829993589744
362 Case 65.835 To 66.927
363 alpha_CQ = -1.30494505494504
364 beta_CQ = 172.855057692307
365 Case 66.927 To 68.175
366 alpha_CQ = -1.71153846153848
367 beta_CQ = 200.067134615386
368 Case 68.175 To 69.267
369 alpha_CQ = -1.52197802197802
370 beta_CQ = 187.143851648351
371 Case 69.267 To 70.359
372 alpha_CQ = -1.95604395604397
373 beta_CQ = 217.210296703297
374 Case 70.359 To 71.451
375 alpha_CQ = -1.52197802197802
376 beta_CQ = 186.669851648351
377 Case 71.451 To 72.543
378 alpha_CQ = -1.95695970695968
379 beta_CQ = 217.749728021976
380 Case 72.543 To 73.791
381 alpha_CQ = -1.71153846153847
382 beta_CQ = 199.946134615385
383 Case 73.791 To 74.883
384 alpha_CQ = -1.95695970695971
385 beta_CQ = 218.056013736264
386 Case 74.883 To 75.975
387 alpha_CQ = -2.17399267399268
388 beta_CQ = 234.308093406594
389 Case 75.975 To 76.911
390 alpha_CQ = -2.28205128205126
391 beta_CQ = 242.517846153844
392 Case 76.911 To 78.003
393 alpha_CQ = -2.17399267399267
394 beta_CQ = 234.20695054945
395 Case 78.003 To 78.939
396 alpha_CQ = -2.53632478632481
397 beta_CQ = 262.469942307694
398 Case 78.939 To 80.187
399 alpha_CQ = -1.71153846153846
400 beta_CQ = 197.362134615384
401 Case 80.187 To 81.279
402 alpha_CQ = -2.3919413919414
403 beta_CQ = 251.921604395605
A.1. MÉTODO POR PONTOS 83
404 Case 81.279 To 82.215
405 alpha_CQ = -2.53525641025639
406 beta_CQ = 263.570105769229
407 Case 82.215 To 82.995
408 alpha_CQ = -2.73974358974359
409 beta_CQ = 280.382019230769
410 End Select
411
412 Select Case x2
413 Case 0 To 15.757
414 alpha_CH12 = 0
415 beta_CH12 = 100
416 Case 15.757 To 24.337
417 alpha_CH12 = -0.156177156177157
418 beta_CH12 = 102.460883449883
419 Case 24.337 To 30.421
420 alpha_CH12 = -0.154503616042077
421 beta_CH12 = 102.420154503616
422 Case 30.421 To 35.101
423 alpha_CH12 = -0.202991452991451
424 beta_CH12 = 103.895202991453
425 Case 35.101 To 39.158
426 alpha_CH12 = -0.234163174759679
427 beta_CH12 = 104.989361597239
428 Case 39.158 To 42.746
429 alpha_CH12 = -0.264771460423631
430 beta_CH12 = 106.187920847269
431 Case 42.746 To 45.554
432 alpha_CH12 = -0.338319088319094
433 beta_CH12 = 109.331787749288
434 Case 45.554 To 48.05
435 alpha_CH12 = -0.380608974358971
436 beta_CH12 = 111.258261217949
437 Case 48.05 To 50.39
438 alpha_CH12 = -0.303418803418806
439 beta_CH12 = 107.549273504274
440 Case 50.39 To 52.418
441 alpha_CH12 = -0.236686390532539
442 beta_CH12 = 104.186627218935
443 Case 52.418 To 54.446
444 alpha_CH12 = -0.468441814595655
445 beta_CH12 = 116.334783037475
446 Case 54.446 To 56.786
447 alpha_CH12 = -0.508547008547019
448 beta_CH12 = 118.518350427351
449 Case 56.786 To 59.282
450 alpha_CH12 = -0.472756410256403
A.1. MÉTODO POR PONTOS 84
451 beta_CH12 = 116.48594551282
452 Case 59.282 To 61.31
453 alpha_CH12 = -0.58678500986193
454 beta_CH12 = 123.245788954635
455 Case 61.31 To 63.495
456 alpha_CH12 = -0.759725400457666
457 beta_CH12 = 133.84876430206
458 Case 63.495 To 65.523
459 alpha_CH12 = -0.818540433925062
460 beta_CH12 = 137.583224852072
461 Case 65.523 To 67.239
462 alpha_CH12 = -0.833333333333317
463 beta_CH12 = 138.552499999999
464 Case 67.239 To 68.799
465 alpha_CH12 = -1.06410256410256
466 beta_CH12 = 154.069192307692
467 Case 68.799 To 70.359
468 alpha_CH12 = -1.21794871794873
469 beta_CH12 = 164.653653846155
470 Case 70.359 To 71.919
471 alpha_CH12 = -1.06410256410257
472 beta_CH12 = 153.829192307693
473 Case 71.919 To 73.323
474 alpha_CH12 = -1.18233618233618
475 beta_CH12 = 162.332435897436
476 Case 73.323 To 74.727
477 alpha_CH12 = -1.35327635327635
478 beta_CH12 = 174.866282051282
479 Case 74.727 To 76.287
480 alpha_CH12 = -1.21794871794871
481 beta_CH12 = 164.753653846153
482 Case 76.287 To 77.847
483 alpha_CH12 = -1.21794871794873
484 beta_CH12 = 164.753653846155
485 Case 77.847 To 79.407
486 alpha_CH12 = -1.37179487179487
487 beta_CH12 = 176.730115384615
488 Case 79.407 To 80.655
489 alpha_CH12 = -1.51442307692307
490 beta_CH12 = 188.05579326923
491 Case 80.655 To 82.059
492 alpha_CH12 = -1.35327635327635
493 beta_CH12 = 175.058504273504
494 End Select
495
496 Select Case x2
497 Case 0 To 24.337
A.1. MÉTODO POR PONTOS 85
498 alpha_CH10 = 0
499 beta_CH10 = 100
500 Case 24.337 To 15.757
501 alpha_CH10 = -8.39160839160838E-02
502 beta_CH10 = 101.652265734266
503 Case 15.757 To 30.421
504 alpha_CH10 = -0.129569012547736
505 beta_CH10 = 102.371618930715
506 Case 30.421 To 35.257
507 alpha_CH10 = -9.92555831265547E-02
508 beta_CH10 = 101.449454094293
509 Case 35.257 To 39.158
510 alpha_CH10 = -0.182004614201481
511 beta_CH10 = 104.366936682902
512 Case 39.158 To 42.746
513 alpha_CH10 = -0.197881828316613
514 beta_CH10 = 104.988656633222
515 Case 42.746 To 45.554
516 alpha_CH10 = -0.338319088319084
517 beta_CH10 = 110.991787749288
518 Case 45.554 To 48.05
519 alpha_CH10 = -0.284455128205132
520 beta_CH10 = 108.538068910257
521 Case 48.05 To 50.39
522 alpha_CH10 = -0.205128205128213
523 beta_CH10 = 104.726410256411
524 Case 50.39 To 52.418
525 alpha_CH10 = -0.231755424063116
526 beta_CH10 = 106.06815581854
527 Case 52.418 To 54.446
528 alpha_CH10 = -0.355029585798816
529 beta_CH10 = 112.529940828402
530 Case 54.446 To 56.942
531 alpha_CH10 = -0.28445512820512
532 beta_CH10 = 108.687443910256
533 Case 56.942 To 59.282
534 alpha_CH10 = -0.405982905982914
535 beta_CH10 = 115.607478632479
536 Case 59.282 To 61.31
537 alpha_CH10 = -0.581854043392493
538 beta_CH10 = 126.033471400394
539 Case 61.31 To 63.807
540 alpha_CH10 = -0.668802563075697
541 beta_CH10 = 131.364285142171
542 Case 63.807 To 65.679
543 alpha_CH10 = -0.758547008547002
544 beta_CH10 = 137.090608974359
A.1. MÉTODO POR PONTOS 86
545 Case 65.679 To 67.395
546 alpha_CH10 = -0.82750582750584
547 beta_CH10 = 141.619755244756
548 Case 67.395 To 68.955
549 alpha_CH10 = -0.91666666666667
550 beta_CH10 = 147.62875
551 Case 68.955 To 70.515
552 alpha_CH10 = -1.06410256410256
553 beta_CH10 = 157.795192307692
554 Case 70.515 To 72.075
555 alpha_CH10 = -1.2179487179487
556 beta_CH10 = 168.643653846153
557 Case 72.075 To 73.479
558 alpha_CH10 = -1.1823361823362
559 beta_CH10 = 166.076880341882
560 Case 73.479 To 74.883
561 alpha_CH10 = -0.847578347578348
562 beta_CH10 = 141.479209401709
563 Case 74.883 To 76.287
564 alpha_CH10 = -1.35327635327634
565 beta_CH10 = 179.347393162392
566 Case 76.287 To 77.847
567 alpha_CH10 = -1.21794871794873
568 beta_CH10 = 169.023653846155
569 Case 77.847 To 79.407
570 alpha_CH10 = -1.21794871794871
571 beta_CH10 = 169.023653846153
572 Case 79.407 To 81.123
573 alpha_CH10 = -1.24125874125873
574 beta_CH10 = 170.874632867132
575 Case 81.123 To 82.839
576 alpha_CH10 = -1.3869463869464
577 beta_CH10 = 182.693251748253
578 End Select
579
580 Select Case x2
581 Case 0 To 15.913
582 alpha_CH08 = 0
583 beta_CH08 = 100
584 Case 15.913 To 24.337
585 alpha_CH08 = -1.78062678062685E-02
586 beta_CH08 = 100.283351139601
587 Case 24.337 To 30.421
588 alpha_CH08 = -0.116699539776464
589 beta_CH08 = 102.69011669954
590 Case 30.421 To 35.257
591 alpha_CH08 = -0.146815550041352
A.1. MÉTODO POR PONTOS 87
592 beta_CH08 = 103.606275847808
593 Case 35.257 To 39.158
594 alpha_CH08 = -0.123045372981291
595 beta_CH08 = 102.768210715201
596 Case 39.158 To 42.746
597 alpha_CH08 = -0.130992196209587
598 beta_CH08 = 103.079392419175
599 Case 42.746 To 45.554
600 alpha_CH08 = -0.252849002848996
601 beta_CH08 = 108.288283475783
602 Case 45.554 To 48.206
603 alpha_CH08 = -0.180995475113129
604 beta_CH08 = 105.015067873303
605 Case 48.206 To 50.39
606 alpha_CH08 = -0.215201465201465
607 beta_CH08 = 106.664001831502
608 Case 50.39 To 52.418
609 alpha_CH08 = -0.118343195266263
610 beta_CH08 = 101.783313609467
611 Case 52.418 To 54.446
612 alpha_CH08 = -0.236686390532553
613 beta_CH08 = 107.986627218935
614 Case 54.446 To 56.942
615 alpha_CH08 = -0.284455128205131
616 beta_CH08 = 110.587443910257
617 Case 56.942 To 59.282
618 alpha_CH08 = -0.405982905982902
619 beta_CH08 = 117.507478632478
620 Case 59.282 To 61.31
621 alpha_CH08 = -0.350098619329391
622 beta_CH08 = 114.194546351085
623 Case 61.31 To 63.807
624 alpha_CH08 = -0.476571886263515
625 beta_CH08 = 121.948622346816
626 Case 63.807 To 65.679
627 alpha_CH08 = -0.758547008547002
628 beta_CH08 = 139.940608974359
629 Case 65.679 To 67.551
630 alpha_CH08 = -0.763888888888893
631 beta_CH08 = 140.291458333334
632 Case 67.551 To 69.111
633 alpha_CH08 = -0.910256410256401
634 beta_CH08 = 150.17873076923
635 Case 69.111 To 70.671
636 alpha_CH08 = -0.910256410256419
637 beta_CH08 = 150.178730769231
638 Case 70.671 To 72.231
A.1. MÉTODO POR PONTOS 88
639 alpha_CH08 = -0.916666666666678
640 beta_CH08 = 150.631750000001
641 Case 72.231 To 73.635
642 alpha_CH08 = -1.18233618233617
643 beta_CH08 = 169.821324786324
644 Case 73.635 To 75.039
645 alpha_CH08 = -1.01139601139601
646 beta_CH08 = 157.234145299145
647 Case 75.039 To 76.599
648 alpha_CH08 = -1.07051282051283
649 beta_CH08 = 161.670211538462
650 Case 76.599 To 78.003
651 alpha_CH08 = -1.35327635327635
652 beta_CH08 = 183.329615384615
653 Case 78.003 To 79.407
654 alpha_CH08 = -1.18233618233618
655 beta_CH08 = 169.995769230769
656 Case 79.407 To 80.811
657 alpha_CH08 = -1.18233618233617
658 beta_CH08 = 169.995769230768
659 Case 80.811 To 82.371
660 alpha_CH08 = -1.37179487179488
661 beta_CH08 = 185.306115384616
662 End Select
663
664 Select Case x2
665 Case 0 To 15.913
666 alpha_CH06 = 0
667 beta_CH06 = 100
668 Case 15.913 To 24.337
669 alpha_CH06 = 1.06837606837611E-02
670 beta_CH06 = 99.8299893162393
671 Case 24.337 To 30.421
672 alpha_CH06 = -7.88954635108464E-02
673 beta_CH06 = 102.010078895463
674 Case 30.421 To 35.257
675 alpha_CH06 = -4.75599669148094E-02
676 beta_CH06 = 101.056821753515
677 Case 35.257 To 39.158
678 alpha_CH06 = -0.123045372981284
679 beta_CH06 = 103.718210715201
680 Case 39.158 To 42.746
681 alpha_CH06 = -0.130992196209587
682 beta_CH06 = 104.029392419175
683 Case 42.746 To 45.554
684 alpha_CH06 = -8.54700854700887E-02
685 beta_CH06 = 102.083504273504
A.1. MÉTODO POR PONTOS 89
686 Case 45.554 To 48.05
687 alpha_CH06 = -0.188301282051282
688 beta_CH06 = 106.767876602564
689 Case 48.05 To 50.39
690 alpha_CH06 = -0.102564102564106
691 beta_CH06 = 102.648205128205
692 Case 50.39 To 52.418
693 alpha_CH06 = -0.236686390532539
694 beta_CH06 = 109.406627218935
695 Case 52.418 To 54.446
696 alpha_CH06 = -0.231755424063116
697 beta_CH06 = 109.14815581854
698 Case 54.446 To 56.942
699 alpha_CH06 = -0.192307692307688
700 beta_CH06 = 107.000384615384
701 Case 56.942 To 59.282
702 alpha_CH06 = -0.303418803418807
703 beta_CH06 = 113.327273504274
704 Case 59.282 To 61.466
705 alpha_CH06 = -0.325091575091578
706 beta_CH06 = 114.612078754579
707 Case 61.466 To 63.807
708 alpha_CH06 = -0.405809483126864
709 beta_CH06 = 119.573485689876
710 Case 63.807 To 65.679
711 alpha_CH06 = -0.63568376068376
712 beta_CH06 = 134.241073717949
713 Case 65.679 To 67.707
714 alpha_CH06 = -0.581854043392511
715 beta_CH06 = 130.705591715977
716 Case 67.707 To 69.267
717 alpha_CH06 = -0.91666666666667
718 beta_CH06 = 153.37475
719 Case 69.267 To 70.827
720 alpha_CH06 = -0.608974358974351
721 beta_CH06 = 132.061826923076
722 Case 70.827 To 72.387
723 alpha_CH06 = -0.910256410256419
724 beta_CH06 = 153.400730769231
725 Case 72.387 To 74.415
726 alpha_CH06 = -0.818540433925045
727 beta_CH06 = 146.761686390532
728 Case 74.415 To 75.975
729 alpha_CH06 = -1.21794871794873
730 beta_CH06 = 176.483653846155
731 Case 75.975 To 77.379
732 alpha_CH06 = -1.0185185185185
A.1. MÉTODO POR PONTOS 90
733 beta_CH06 = 161.331944444443
734 Case 77.379 To 79.095
735 alpha_CH06 = -1.10722610722611
736 beta_CH06 = 168.19604895105
737 Case 79.095 To 80.811
738 alpha_CH06 = -0.967365967365961
739 beta_CH06 = 157.133811188811
740 Case 80.811 To 82.059
741 alpha_CH06 = -1.33012820512822
742 beta_CH06 = 186.448990384617
743 End Select
744
745 CE = (alpha_CE * x2 + beta_CE) / 100
746 CQ = (alpha_CQ * x2 + beta_CQ) / 100
747 CH06 = (alpha_CH06 * x2 + beta_CH06) / 100
748 CH08 = (alpha_CH08 * x2 + beta_CH08) / 100
749 CH10 = (alpha_CH10 * x2 + beta_CH10) / 100
750 CH12 = (alpha_CH12 * x2 + beta_CH12) / 100
751
752 End If
A.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 91
A.2 Método do polinômio de Hole
1 P = 1.95 * (V) ^ 0.5 * (0.04739 * (H) ^ (0.25746) * (Q) ^ (0.5)) ^ (-0.5)
2
3 DE1 = 1.0522
4 DE2 = -0.03512
5 DE3 = -0.00090394
6 DE4 = 0.00022218
7 DE5 = -0.000011986
8 DE6 = 0.00000019895
9
10 DQ1 = 0.9873
11 DQ2 = 0.009019
12 DQ3 = -0.0016233
13 DQ4 = 0.000077233
14 DQ5 = -0.0000020528
15 DQ6 = 0.000000021009
16
17 DH06_1 = 1.0103
18 DH06_2 = -0.0046061
19 DH06_3 = 0.00024091
20 DH06_4 = -0.000016912
21 DH06_5 = 0.00000032459
22 DH06_6 = -0.0000000016611
23
24 DH08_1 = 1.0167
25 DH08_2 = -0.0083641
26 DH08_3 = 0.00051288
27 DH08_4 = -0.000029941
28 DH08_5 = 0.00000061644
29 DH08_6 = -0.0000000040487
30
31 D_H10_1 = 1.0045
32 DH10_2 = -0.002664
33 DH10_3 = -0.00068292
34 DH10_4 = 0.000049706
35 DH10_5 = -0.0000016522
36 DH10_6 = 0.000000019172
37
38 DH12_1 = 1.0175
39 DH12_2 = -0.0078654
40 DH12_3 = -0.00056018
41 DH12_4 = 0.000054967
42 DH12_5 = -0.0000019035
43 DH12_6 = 0.000000021615
44
A.2. MÉTODO DO POLINÔMIO DE HOLE 92
45 CE = DE1 + DE2 * P + DE3 * P ^ 2 + DE4 * P ^ 3 + DE5 * P ^ 4 + DE6 * P ^ 5
46 CQ = DQ1 + DQ2 * P + DQ3 * P ^ 2 + DQ4 * P ^ 3 + DQ5 * P ^ 4 + DQ6 * P ^ 5
47
48 CH06 = DH06_1 + DH06_2 * P + DH06_3 * P ^ 2 + DH06_4 * P ^ 3 + DH06_5 * P ^ 4 + DH06_6 * P ^ 5
49 CH08 = DH08_1 + DH08_2 * P + DH08_3 * P ^ 2 + DH08_4 * P ^ 3 + DH08_5 * P ^ 4 + DH08_6 * P ^ 5
50 CH10 = DH10_1 + DH10_2 * P + DH10_3 * P ^ 2 + DH10_4 * P ^ 3 + DH10_5 * P ^ 4 + DH10_6 * P ^ 5
51 CH12 = DH12_1 + DH12_2 * P + DH12_3 * P ^ 2 + DH12_4 * P ^ 3 + DH12_5 * P ^ 4 + DH12_6 * P ^ 5
A.3. MÉTODO TR 93
A.3 Método TR
1 B = 26.6 * V ^ (0.5) * H ^ (0.0625) / (Q ^ (0.375) * N ^ (0.25))
2
3 If B > 1 And B < 40 Then
4
5 CE = B ^ (-0.0547 * B ^ 0.69)
6 CQ = 2.71 ^ (-0.165 * (Log(1.0 * B1) / Log(10)) ^ 3.15)
7 CH06 = 1 - (1 - CQ) * (0.6) ^ (0.75)
8 CH08 = 1 - (1 - CQ) * (0.8) ^ (0.75)
9 CH10 = 1 - (1 - CQ) * (1.0) ^ (0.75)
10 CH12 = 1 - (1 - CQ) * (1.2) ^ (0.75)
11
12 End If