universidade federal fluminense liliane ribas da …trabalho de conclusão de curso subme-tido ao...
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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
LILIANE RIBAS DA SILVA
A EXPLORAÇÃO DE SOFTWARES GRATUITOS EM PROL DE UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DA MATEMÁTICA
Niterói
2016
LILIANE RIBAS DA SILVA
A EXPLORAÇÃO DE SOFTWARES GRATUITOS EM PROL DE UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DA MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso subme-
tido ao Curso de Tecnologia em Siste-
mas de Computação da Universidade
Federal Fluminense como requisito par-
cial para obtenção do título de Tecnólo-
go em Sistemas de Computação.
Orientadora:
Profª Dsc. Juliana M. N. Silva Zamith
NITERÓI
2016
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
S586 Silva, Liliane Ribas da
A exploração de softwares gratuitos em prol de uma
aprendizagem significativa da matemática / Liliane Ribas da Silva.
– Niterói, RJ : [s.n.], 2016.
57 f.
Projeto Final (Tecnólogo em Sistemas de Computação) –
Universidade Federal Fluminense, 2016.
Orientador: Juliana M. N. Silva Zamith.
1. Software. 2. Ensino de matemática. 3. Ensino-aprendizagem.
4. Ensino Auxiliador por computador. I. Título.
CDD 005.3
LILIANE RIBAS DA SILVA
A EXPLORAÇÃO DE SOFTWARES GRATUITOS EM PROL DE UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DA MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso subme-
tido ao Curso de Tecnologia em Siste-
mas de Computação da Universidade
Federal Fluminense como requisito par-
cial para obtenção do título de Tecnólo-
go em Sistemas de Computação.
Niterói, 01 de Julho de 2016.
Banca Examinadora:
_________________________________________
Profa. Juliana M. N. Silva Zamith, Dsc. – Orientadora
UFF – Universidade Federal Fluminense
_________________________________________
Profa. Renata Capua, Msc. – Avaliadora
UFF – Universidade Federal Fluminense
Dedico este trabalho a minha família por to-
da ajuda e compreensão.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ser sempre o meu grande aju-
dador.
A todos os meus familiares especialmente
minha mãe por todo empenho e colaboração
e meu marido pela compreensão e auxílio.
A minha colega de curso Norma pelo incenti-
vo e troca de experiências.
A tutora Camila por toda ajuda, orientação e
estímulo durante o curso.
“Direi do Senhor: Ele é o meu Deus, o meu
refúgio, a minha fortaleza, e nele confiarei.”
Salmo 91:2
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo propor o uso de softwares educacionais gratuitos como instrumentos pedagógicos no processo de aprendizagem, de maneira que es-sa inserção ajude o professor a promover uma aprendizagem significativa da mate-mática. Descreve pontos importantes a serem considerados quanto à questão da metodologia, não adianta termos vários recursos, mas continuarmos com a mesma metodologia. Traz uma série de sugestões de jogos e softwares que podem ajudar no desenvolvimento da inteligência lógico-matemática. Mostra como construir um tangram com os alunos usando o software Régua e Compasso e apresenta algumas alternativas para o uso tangram construído. Palavras-chave: Softwares matemáticos, inteligência lógico-matemática, aprendiza-gem significativa.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Tela Inicial do Objeto de Aprendizagem sobre Arranjos ............................ 23
Figura 2: Tela com uma situação do cotidiano envolvendo Arranjos ........................ 24
Figura 3: Solução gráfica do sistema linear gerado no Graphmatica ........................ 27
Figura 4: Gráficos gerados usando o Winplot. .......................................................... 28
Figura 5: Vértices marcados usando a opção ponto (x,y) do Winplot.........................29
Figura 6: Gráfico gerado usando o Winplot ............................................................... 30
Figura 7: Tabuleiros do jogo Cinco em Linhas .......................................................... 33
Figura 8: Cartelas do Jogo Quatro em Linhas ........................................................... 34
Figura 9: Peças de um dominó de multiplicação ....................................................... 35
Figura 10: Peças de um dominó de frações. ............................................................. 35
Figura 11: Peças de um dominó de sólidos geométricos .......................................... 36
Figura 12: Exemplo de um trangram ......................................................................... 36
Figura 13: Figuras para montar com as peças do tangram. ...................................... 37
Figura 14: Exemplo de uma história montada com o tangram. ................................. 37
Figura 15: Peças de um dominó de tangram e frações. ............................................ 38
Figura 16: Quebra-cabeça em formato de hexágono. ............................................... 38
Figura 17: Exemplo de sudoku de nível fácil. ............................................................ 39
Figura 18: Exemplo de sequência numérica . ........................................................... 40
Figura 19: Figura que representa um padrão numérico. ........................................... 40
Figura 20: Figura para ser completada seguindo padrão numérico. ......................... 40
Figura 21: Exemplo de sequência de figuras. ........................................................... 41
Figura 22: Opções de figuras que completam uma sequência ................................. 41
Figura 23: Exemplo de enigma com padrões numéricos. ......................................... 41
Figura 24: Tela inicial do jogo Travessia. .................................................................. 42
Figura 25: Tela inicial do software Régua e Compasso. ........................................... 44
Figura 26: Sistema de rotação e translação. ............................................................. 45
Figura 27: Tela de edição de reta, semi-reta e segmento ......................................... 47
Figura 28: Construção do tangram molde ................................................................ 48
Figura 29: Construção do primeiro triângulo maior. .................................................. 49
Figura 30: Construção do segundo triângulo maior. .................................................. 50
Figura 31: Construção dos triângulos menores ......................................................... 50
Figura 32: Construção do triângulo médio ................................................................ 51
Figura 33: Construção do quadrado. ......................................................................... 52
Figura 34: Construção dos dois primeiros lados do paralelogramo ........................... 53
Figura 35: Construção dos outros dois lados do paralelogramo ............................... 53
Figura 36: Construção final do paralelogramo........................................................... 54
Figura 37: Exemplo de atividade montada com o tangram construído ...................... 55
Figura 38: Exemplo de uma história montada com peças do tangram ...................... 56
Figura 39: Exemplo de uma história montada com peças do tangram ...................... 56
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Exemplos de softwares do tipo exercício e prática. ................................... 21
Tabela 2: Listas de softwares educacionais para o ensino da matemática.............. 26
SUMÁRIO
RESUMO..................................................................................................................... 7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES .......................................................................................... 8
LISTA DE TABELAS ................................................................................................. 10
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 12
2 REFLEXÕES QUANTO ÀS NOVAS FORMAS PARA PROMOVER A APRENDI-
ZAGEM SIGNIFICATIVA DA MATEMÁTICA USANDO NOVAS TECNOLOGIAS....14
3 OS SOFTWARES EDUCATIVOS GRATUITOS COMO PROCEDIMENTO ME-
TODOLÓGICO MEDIADOR PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA...........................19
3.1 EXEMPLOS DE ATIVIDADES COM SOFTWARES GRATUITOS ...... 27
4 OS JOGOS MATEMÁTICOS: INSTRUMENTOS QUE DESENVOLVEM A INTE-
LIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA...........................................................................31
5 CONSTRUÇÃO DE UM TANGRAM MANIPULÁVEL NO SOFTWARE RÉGUA E
COMPASSO...............................................................................................................44
5.1 EXEMPLOS DE ATIVIDADES QUE PODEM SER MONTADAS COM O
TANGRAM..................................................................................................................54
CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ............................................................. 57
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 58
1 INTRODUÇÃO
Informática e educação, devem se aliar? Ainda não se tem uma resposta
concreta para essa pergunta, apesar de muito se discutir sobre ela. Nesta perspecti-
va, este trabalho segue com o objetivo de discutir as possibilidades interativas dos
diversos usos da tecnologia em favor da educação, em especial no ensino da mate-
mática. A matemática tem sido uma disciplina que assusta parte dos discentes, a
memorização de fórmulas e os exercícios repetitivos favorecem a desmotivação dos
alunos na aprendizagem da mesma.
Faz-se necessário que o professor consiga novas técnicas para tornar
a aprendizagem da matemática mais significativa. Para ser significativa, é necessá-
rio que a aprendizagem envolva raciocínio, análise, e a interpretação correta através
do relacionamento de ideias com o cotidiano do aluno.
O uso de softwares educacionais pode contribuir no processo de uma
aprendizagem significativa onde o aluno além de compreender deve “saber fazer”, o
que remete ao “saber pensar” matematicamente. As técnicas de ensino que atual-
mente podem ser exploradas com o principal objetivo de interpretar e compreender
os mais diversos fenômenos do cotidiano; e se utilizadas de maneira criativa, moti-
vadora e eficaz, elas podem proporcionar diversos benefícios, como por exemplo,
motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para futuras profissões, desen-
volvimento do raciocínio, desenvolvimento do aluno como cidadão, compreensão do
papel sócio-cultural da matemática, tornando a disciplina mais acessível e agradá-
vel.
O presente trabalho será dividido em quatro capítulos iniciando do capítu-
lo dois que tem por objetivo discutir a inserção de novas tecnologias no ensino da
matemática para incentivar os alunos e promover uma aprendizagem significativa.
O terceiro capítulo tem o propósito de mostrar como os softwares mate-
máticos gratuitos podem auxiliar o ensino da matemática podendo ser usados de di-
13
versas formas e para trabalhar com vários conteúdos. A primeira seção desse capí-
tulo exemplifica o uso de softwares através de atividades.
O quarto capítulo trata de como desenvolver a inteligência lógico-
matemática usando atividades e jogos que podem ter o formato manual ou digital.
Traz uma série de sugestões para ser trabalhada com a finalidade de desenvolver
essa inteligência, pois acredita-se que seu desenvolvimento esteja intimamente liga-
do ao desempenho da disciplina de matemática.
O quinto capítulo mostra detalhadamente a construção de um tangram no
software Régua e Compasso. As peças desse tangram são construídas sobre um
sistema que permite a sua manipulação para realização de algumas atividades. A
seção desse capítulo elucida algumas dessas atividades.
Por fim tem-se a conclusão do trabalho e as possibilidades de trabalhos
futuros.
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2 REFLEXÕES QUANTO ÀS NOVAS FORMAS PARA PROMOVER A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DA MATEMÁTICA USANDO NOVAS TECNOLOGIAS
A inclusão do computador na educação tem sido tema de muitos debates
e pesquisas nas últimas três décadas no Brasil, segundo BORBA & PENTEADO,
2003; p.11. Ao longo desse período muito se discutiu sobre os benefícios que os re-
cursos tecnológicos podem trazer para aprendizagem e os defensores dessa aplica-
ção têm aumentado a cada dia.
Na área da educação matemática, os esforços para provar que o compu-
tador é um aliado são ainda maiores, pois essa ferramenta pode ser de grande ajuda
no ensino de conteúdos complicados e abstratos, com os quais os alunos têm muita
dificuldade. Diante desse grande desafio que o ensino da matemática se tornou são
necessárias algumas reflexões em relação à didática nas aulas dessa disciplina.
Por outro lado, tem havido, mais recentemente, argumentos que apontam "o computador" como a solução para os problemas educacionais. Embora nem sempre seja feita a pergunta: "qual é o problema?" ou "qual é o problema para o qual o computador é a resposta?" Em particular, essa pergunta tam-bém faz sentido na educação matemática [BORBA & PENTEADO, 2003; p.11].
A inserção de novas tecnologias educacionais torna-se plenamente justifi-
cável à medida que são utilizadas dentro de uma proposta de trabalho que tenha por
objetivo incentivar o ensino e promover a aprendizagem significativa. Os computado-
res, os softwares, as mídias e a internet introduzem mudanças significativas no am-
biente escolar: interferem nas formas de aprender, no processo cognitivo, nas apre-
ensões, percepção e compreensão do mundo pelo educando.
Pensar numa nova concepção de ensino ou numa nova estrutura organi-
zacional para a escola e a sala de aula, incorporando os recursos das novas tecno-
logias de informação e novas estruturas de atividades que englobam dinamização e
aprendizagem requer: conhecimento dos diversos recursos disponíveis, conheci-
mento da própria realidade e das reais necessidades em termos de estruturação e
adaptação do espaço escolar. Uma clara percepção para definição dos objetivos
educacionais que se deseja atingir. O reconhecimento da necessidade de um plane-
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jamento estratégico capaz de alavancar as mudanças necessárias e, sobretudo,
uma avaliação do significado e possível alcance da proposta que investe no para-
digma de uma educação centrada na aprendizagem significativa. “A aprendizagem
significativa é o processo pelo qual uma nova informação se relaciona de maneira
não arbitrária e substantiva à estrutura cognitiva do aprendiz” (ANTUNES, 2003; p
15).
Segundo Antunes para promover uma aprendizagem significativa o pro-
fessor precisa basear suas explicações nos saberes que os alunos possuem, fazen-
do com os mesmos um link para o assunto que está sendo ensinado.
Desta forma o professor atual tem como tarefa principal transformar as in-
formações que os alunos possuem em conhecimento. A reflexão quanto a essa nova
prática representa de forma sintetizada um fato de grande importância no processo
de ensino e aprendizagem. Com base nesta questão pode-se verificar a necessida-
de da utilização de recursos motivadores, que valorize a aprendizagem concreta e
efetiva, por exemplo, usar textos atuais para se trabalhar fatos históricos, as neces-
sidades do dia-a-dia devem gerar situações problemas para se trabalhar cálculos
entre outros.
O ensino visa à aprendizagem e a aprendizagem não é apenas um proces-so de aquisição de conhecimentos, conteúdos ou informações. As informa-ções são importantes, mas precisam ser processadas, a fim de se tornarem significativas para a vida das pessoas. A aprendizagem é um processo de aquisição e assimilação, mais ou menos consciente, de novos padrões e novas formas de perceber, ser, pensar e agir. (PILETTI, 2004, p. 31)
Em outras palavras, os novos conhecimentos que se adquirem relacio-
nam-se com o conhecimento prévio que o educando possui, possibilitando a signifi-
cação, pois no processo de aprendizagem com as características citadas o educan-
do estabelece a familiarização das informações. Pode-se dizer que a aprendizagem
significativa está intimamente relacionada com um método motivacional, pois para
que alguém aprenda é necessário que ele queira aprender. Ninguém consegue en-
sinar nada a uma pessoa que não quer aprender. Por isso é muito importante que o
professor saiba motivar os seus alunos.
Ao enfocar a questão que envolve a incorporação e utilização de novas
tecnologias e outros instrumentos de aprendizagem na escola, necessariamente,
precisa-se pensar no processo de ensino-aprendizagem, identificando o professor e
o aluno como sujeitos deste processo. Acredita-se ser essencial que a escola adote
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atualmente uma nova estrutura organizacional capaz de implementar, assimilar, utili-
zar e promover aplicações mais adequadas dos novos recursos, que esta estabele-
ça formas de pensar e agir que possam estar em sinergia com os novos avanços no
mundo educacional.
Existem muitos recursos tecnológicos que podem ser inseridos na apren-
dizagem escolar, cabe ao professor analisar de acordo com a sua turma e as neces-
sidades que esta apresenta e procurar inserir no seu dia-a-dia o que melhor leve
seus alunos a desenvolverem uma aprendizagem significativa. Considerando sem-
pre que esses recursos precisam atuar como meio para a aprendizagem dos conte-
údos curriculares e extracurriculares, possibilitando a interação e o aprimoramento
das habilidades, podendo dessa forma estimular as inteligências múltiplas.
Os variados usos das técnicas não estão dissociados dos meios culturais
nos quais elas encontram-se inseridas. Isso significa que é preciso, sempre que
abordar a questão, compreender o contexto, analisá-la sob o aspecto das várias di-
mensões e possibilidades que dela possam desprender; é preciso considerar, por
exemplo, a amplitude das inúmeras significações que a produção do conhecimento
possa ter para um determinado grupo, para uma determinada cultura, num determi-
nado momento histórico.
Este trabalho propõe um estudo de como os recursos tecnológicos podem
ser utilizados efetivamente na melhoria do processo de ensino e aprendizagem. A
humanidade caminha para uma nova fase de convergência e integração das mídias,
tudo começa a integrar-se e relacionar-se, todos podem ser produtores e consumi-
dores de informação. A digitalização traz a multiplicação de possibilidades de esco-
lha, de interação. A mobilidade e a velocidade em que se propagam as informações
promove libertação dos espaços e tempos rígidos, previsíveis, determinados.
O mundo físico se reproduz em plataformas digitais e todos os serviços
começam a ser realizados física ou virtualmente. Há um diálogo crescente, muito
novo e rico entre o mundo físico e o chamado mundo digital, com suas múltiplas ati-
vidades de pesquisa, lazer, de relacionamento e outros serviços e possibilidades de
integração entre ambos, que impactam profundamente a educação escolar e as for-
mas de ensinar e aprender. Fazendo uso destes recursos do mundo tecnológico, os
docentes, ou melhor, a escola, pode através de métodos e procedimentos, criar uma
situação favorável à aprendizagem significativa.
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O aluno não é uma caixinha vazia onde o professor deve depositar infor-
mações, ele é um ser que possui outros aspectos além do intelectual e estes podem
influenciar diretamente em seu desenvolvimento escolar, desta forma o professor e
também a escola deve contribuir para o desenvolvimento físico, emocional, social e
intelectual de forma integral.
Para manter seus alunos motivados o professor precisa de algo que atraia
a atenção deles para o assunto abordado. Deve fornecer a cada aluno formas de
estabelecer e alcançar seus próprios objetivos, favorecendo a avaliação constante.
E ainda promover discussões e debates sobre o progresso alcançado.
O professor que se importa em motivar seus alunos deve seguir os se-
guintes princípios: atrair a atenção dos alunos; dar a cada aluno a possibilidade de
estabelecer e alcançar seus próprios objetivos; favorecer a avaliação constante, pe-
los próprios alunos, dos progressos alcançados e possibilitar discussões e debates
A relação professor aluno precisa ser dinâmica, enquanto ensina o professor tam-
bém aprende com o aluno.
É necessário que professor e aluno se relacionem como pessoas a fim
de facilitar o processo de aprendizagem. Para que essa realidade seja possível, o
docente tem que se preparar para essa transformação, tem que se interar da reali-
dade que o cerca fazendo cursos, pesquisando, analisando, e sobre tudo estabele-
cendo uma boa metodologia. "A prática docente crítica, implicante do pensar certo,
envolve o movimento dinâmico, dialético, entre o fazer e o pensar sobre o fazer”
(FREIRE, 2002, p. 43).
Nesse contexto a atuação do professor não deve ser apenas de um
transmissor de informação e sim de um mediador das interações entre professor-
aluno-computador. Conforme a afirmação de Freire (2007, p. 22) “... ensinar não é
transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para sua própria produção ou a
sua construção”. O professor precisa despertar no aluno a curiosidade, a busca do
conhecimento, a necessidade de aprender de forma crítica para isso necessita estar
ligado com o cotidiano e a vida do aluno onde segue de forma colaborativa o de-
senvolvimento das suas habilidades. “O educador democrático não pode negar-se o
dever de, na sua prática reforçar a capacidade critica do educando, sua curiosidade,
sua insubmissão” (Freire, 2007, p. 26). Freire defende ainda que a escola não só
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respeite os saberes dos alunos, mas debata com eles a razão de ser desses sabe-
res, a realidade, que deve ser associada ao conteúdo que se está ensinando.
Com base nessas práticas deve-se refletir como os alunos aprendem
matemática e quais métodos de ensino são mais eficazes, sabendo que a interação
entre aluno, professor e conhecimento configura um papel ativo na busca do saber.
A matemática precisa ser vista como uma ciência em constante construção que tem
contribuído para solução de problemas científicos e tecnológicos. O pensamento
matemático expresso por meio de uma linguagem específica tem sido privilégio de
poucos, no entanto acredita-se que cabe a escola torná-la acessível a todos. A
importância do acesso a esse conhecimento está relacionada à inserção das
pessoas ao mundo de trabalho, ao mundo das relações e da cultura. Nesse aspecto
a matemática, é de grande auxilio em desenvolver metodologia que enfatizem a
construção de estratégia, a comprovação e a justificativa de resultados, a
criatividade e a autonomia na própria capacidade de buscar soluções.
A dificuldade encontrada pelos alunos na aprendizagem da matemática
passa por muitos fatores e é muito comum encontrarmos educadores tentando
encontrar o culpado. O problema existe e vem aumentando a cada ano, então já é
tempo de correr contra o tempo colocando em prática ideias que podem fazer a
diferença na prática do ensino da matemática. Para tal a partir de agora o presente
trabalho trará sugestões de jogos e atividades usando softwares que poderão
auxiliar no ensino de alguns conteúdos matemáticos tornando-os mais acessíveis
aos alunos.
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3 OS SOFTWARES EDUCATIVOS GRATUITOS COMO PROCEDI-MENTO METODOLÓGICO MEDIADOR PARA O ENSINO DA MA-TEMÁTICA
Tendo em mente todas as reflexões abordadas no capítulo dois, esse ca-
pítulo propõe a inserção dos softwares educativos nas aulas de matemática, pois o
uso destes recursos representa uma forma de dinamização no ensino e motivação
pela aprendizagem da matemática.
Entendemos que uma nova mídia, como a informática abre possibilidade de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma res-sonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conheci-mento. (BORBA e PENTEADO, 2003, pag. 45)
A produção de conhecimentos é diretamente ligada à ação, é o ato de cri-
ação em si. Então, não é possível, de fato falar em produção quando a ação é equi-
vocadamente confundida com a preparação. A utilização de softwares educativos
dentro da escola deve acontecer de modo que tal conquista possa representar uma
verdadeira inovação ao ensino. E não, meramente, mais uma fugaz tentativa de fa-
zer diferente sem que este possa mesmo contribuir para uma aprendizagem efetiva.
...essa prática pedagógica estimula a utilização de problemas abertos, de formulação de conjecturas em que a sistematização só se dá como coroa-mento de uma processo de investigação por parte do estudante (e,muitas, do próprio professor). Dessa, forma, busca-se superar práticas antigas com a chegada desse novo ator informático. (BORBA e PENTEADO, 2003, pag. 45)
Se um educador acredita que o verdadeiro sentido do ensinar está ligado
às reais necessidades do aprendiz. Que precisa utilizar o produto de sua aprendiza-
gem direta em situações-problema, experimentando e tendo a oportunidade de en-
contrar suas próprias respostas. Então, é necessário pensar numa melhor forma de
aproveitamento dos softwares no processo de aprendizagem.
O que se pretende ao sugerir o uso dos softwares é tentar diminuir as dificul-
dades do ensino da matemática. Segundo Machado (1987) essa dificuldade se dá
pelo fato de que essa ciência é considerada o lugar das abstrações, enfatizando-se
seus aspectos formais e se afastando da realidade tanto do aluno como do profes-
sor. O uso dos softwares pode ser um importante aliado no desenvolvimento cogniti-
vo dos alunos permitindo que os mesmos estabeleçam uma ponte entre conceitos
matemáticos e a realidade. Além disto, pode contribuir para que o aluno se motive a
fazer atividades que o leve a investigar, experimentar, interpretar, visualizar, induzir,
20
conjecturar, abstrair, generalizar e demonstrar, deixando de ser agente passivo no
processo de aprendizagem.
Para uma ampliação do nosso horizonte de trabalho, nele inserindo novos ins-
trumentos pedagógicos, faz-se necessário conhecer melhor esses suportes educati-
vos, ponderar sobre as vantagens e desvantagens que ora pode-se obter de um ou
outro recurso, relacionando-as logicamente com os objetivos e metas que se deseja
atingir. Para que a inclusão dos softwares seja realmente um benefício para o pro-
cesso de ensino-aprendizagem da matemática o docente precisa considerar a ne-
cessidade de se aperfeiçoar continuamente, buscando a melhor maneira de incluir
os softwares em suas práticas pedagógicas. Aprofundar seus conhecimentos sobre
os softwares educativos é um excelente começo. Para o uso de um recurso digital é
preciso que se tenha domínio e conhecimento sobre o mesmo, dessa forma deve-se
entender os objetivos que nortearam sua criação.
Os softwares educativos têm como principal objetivo auxiliar a aprendizagem
podendo direcionar o aluno para uma aprendizagem algorítmica ou heurística. Em
um software de aprendizagem algorítmica foca-se na transmissão de conhecimentos
do sujeito que domina o saber para aquele que quer aprender. O desenvolvedor de
um software no modelo algorítmico tem o papel de programar uma sequência de ins-
truções planejadas para levar o educando ao conhecimento. Já em um software ori-
entado pelo modelo de aprendizagem heurística o aspecto predominante é a apren-
dizagem experimental ou por descobrimento, devendo o software criar um ambiente
rico em situações que o aluno deve explorar e construir conhecimentos por si mes-
mo.
Para garantir um bom trabalho com softwares é importante conhecer o objeti-
vo de cada tipo de software fazendo uma análise para selecionar o que melhor se
adapta às metas de sua aula. Segundo Gomes e Padovani (2005) para uma avalia-
ção eficaz de softwares é preciso considerar as classificações de softwares educati-
vos, que podem ser feitas de acordo com os seus objetivos pedagógicos que os se-
param em: tutoriais, aplicativos, de programação, exercícios e prática, multimídia e
internet, simulação e jogos. De acordo com o nível de aprendizagem, que os classi-
ficam como sequencial, relacional ou criativo. Ou ainda de acordo com a liberdade
de criação de situações pelos professores.
21
Nos softwares do tipo tutoriais o contato do aluno com o computador se res-
tringe a leitura de textos ou visualização de vídeos ou animações com reduzida inte-
ratividade. A informação é apresentada sob uma sequência didática pré-
estabelecida, apesar de o aprendiz poder selecionar informações dentro das bases
de dados. O computador assume uma postura de máquina de ensino com o objetivo
de apresentar informações ou conceitos novos ao aluno, unindo-se a aulas, livros,
filmes, etc.; ensinar e controlar o progresso de aprendizagem fazendo uma série de
perguntas, com uma faixa limitada de respostas possíveis. Esse mecanismo serve
como apoio ou reforço para aulas, como preparação ou revisão de conteúdos, entre
outros aspectos.
Os aplicativos são programas comuns usados no dia-a-dia que não foram cri-
ados com a finalidade educacional, porém podem ser explorados para auxiliar o en-
sino-aprendizagem. São eles processadores de texto, planilhas eletrônicas e geren-
ciadores de banco de dados. Um exemplo é a aplicação do excel para construção de
gráficos e tabelas nas aulas de matemática.
Os softwares de programação são ambientes que permitem que o aluno pro-
grame o computador, exigindo que o mesmo processe as informações e as trans-
forme em conhecimento. Tal tarefa exige do educando conceitos estratégicos base-
ados em resolução de problemas. O software S-LOGO é um exemplo dessa modali-
dade e pode ser usado no ensino da geometria.
Os tipificados como exercícios e prática são aqueles usados para memorizar
a informação praticando o conteúdo que está sendo trabalhado. São ambientes de
atividades que desafiam os alunos e só permitem que os mesmos avancem de nível
se forem bem sucedidos. A Tabela 1 apresenta alguns softwares gratuitos de exer-
cício e prática encontrados na internet.
Nome Site Objetivo Nível de Difi-
culdade
Tabuada
do Dino
http://www.escolagames.co
m.br/jogos/tabuadaDino
Memorizar tabuada Ensino Funda-
mental I
Dividindo
a Pizza
http://www.escolagames.co
m.br/jogos/dividindoPizza
Praticar operações
com frações
Ensino Funda-
mental I
Jogo da http://revistaescola.abril.com Praticar as quatro Ensino Funda-
22
Memória
.br/fundamental-1/jogo-
memoria-matematica-
subtracao-base-10-
637050.shtml
operações básicas.
Estimular a memori-
zação
mental I
Labirinto
da Tabua-
da
http://revistaescola.abril.com
.br/swf/jogos/exibi-
jogo.shtml?209_tabuada-
2.swf
Praticar multiplica-
ção e múltiplos.
Ensino Funda-
mental II
Enigma
das Fra-
ções
http://revistaescola.abril.com
.br/matematica/pratica-
pedagogica/enigma-fracoes-
424205.shtml
Resolver enigmas
envolvendo frações
Ensino Funda-
mental II
Jogo de
Somar
http://www.atividadesdemat
ematica.com/jogos-de-
adicao-e-subtracao/jogo-de-
somar
Fazer soma de ma-
neira rápida.
Ensino Funda-
mental I
Calcula-
dora que-
brada
http://www.atividadesdemat
ematica.com/jogos-de-
adicao-e-subtracao/jogo-de-
matematica-calculadora-
quebrada
Desenvolver o raci-
ocínio lógico.
Praticar operações
básicas.
Ensino Médio
Os Misté-
rios do
Egito
https://dl.dropboxuserconten
t.com/u/72279655/equacaod
o1grau/2.html
Praticar resolução
de equações do
primeiro grau
Ensino Funda-
mental II
Jogo de
Bilhar
http://rived.mec.gov.br/ativid
ades/matematica/mundo_tri
gonome-
tria/aplicacoes/sinuca.html
Praticar a resolução
de problemas envol-
vendo seno, cosse-
no e tangente de um
ângulo.
Ensino Médio
Tabela 1: Exemplos de softwares do tipo exercício e prática
As multimídias prontas e a internet são fonte de informações para o educan-
do, onde não existe construção ou avaliação da aprendizagem. Existe também a
23
possibilidade de construção de multimídias exigindo que o aluno faça uma seleção
de informações em diferentes fontes e organize os resultados obtidos. Para aplica-
ção desse item pode ser solicitado aos alunos um vídeo sobre, por exemplo, o Teo-
rema de Pitágoras, para tal tarefa será necessário uma pesquisa e muita criativida-
de.
Os softwares de simulação possuem ambientes que representam ou mode-
lam objetos, fenômenos ou sistemas reais. Reproduzem situações cotidianas explo-
rando as capacidades dinâmicas do computador. Permite que o aluno vivencie expe-
riências com a aplicação dos conteúdos e conheça algumas atividades onde eles
são utilizados . Nas simulações interativas o aprendiz pode alterar um modelo crian-
do hipóteses, fazendo testes e análise dos resultados. Já nas simulações estáticas o
aluno apenas pode ver os fenômenos. O site RIVED – Rede Internacional Virtual de
Educação é um banco que disponibiliza objetos de aprendizagem gratuitamente, a
Figura 1 mostra a tela principal de um software de simulação que trabalha com ar-
ranjos e a Figura 2 apresenta a página de uma situação problema envolvendo arran-
jos.
Figura 1: Tela Inicial do Objeto de Aprendizagem
24
Figura 2: Tela com situação do cotidiano envolvendo Arranjos
Os jogos são softwares com ambientes dinâmicos e desafiadores criados com
intuito de motivar o discente. Nessa perspectiva o aluno pode competir com o com-
putador ou com o colega desenvolvendo raciocínio lógico e estratégico. Em alguns
jogos é preciso utilizar conhecimento prévio e traçar estratégias para vencer.
Quanto à classificação por níveis de aprendizagem os softwares sequenciais
são aqueles que se preocupam em transmitir a informação de maneira estática sem
participação do aluno. Nos softwares relacionais a atenção é voltada para o aprendiz
e a aprendizagem acontece através da interação com o computador. Já os criativos
possibilitam a interação entre pessoas e tecnologias compartilhando objetivos co-
muns, promovendo uma postura participativa no aluno.
Os softwares também devem ser analisados sobre aspectos técnicos: facili-
dade de manuseio, aspectos gráficos e sonoros, possibilidade de utilização do mou-
se e teclado, disponibilidade para diferentes sistemas operacionais como o Win-
dows, Linux, MacOS, etc. Não existem softwares perfeitos, com certeza em todos
eles se encontrará um ou mais pontos negativos, novamente cabe fazer uma análise
dos prós e contras. Feita a escolha do software o professor não precisa ser tornar
expert para sua utilização com os alunos, é preciso uma boa familiarização e objeti-
25
vos bem definidos, porém é bom salientar que haverá troca de experiências e ambas
as partes aprenderão.
A Tabela 2 apresenta uma lista de softwares que podem ser usados para o
ensino da matemática. Destaca informações importantes a respeito do software, se
é livre, gratuito, código aberto. A plataforma exigida para sua instalação, o conteúdo
que cada um deles abrange e uma breve descrição sobre as tarefas que podem ser
realizadas com o software.
26
Tabela 2: Listas de softwares educacionais para o ensino da matemática
27
3.1 EXEMPLOS DE ATIVIDADES COM SOFTWARES GRATUITOS
Nesta tarefa o professor deve propor aos alunos que analisem grafica-
mente sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas utilizando um software
mais geométrico. A partir da análise dessas representações classifiquem os siste-
mas, fazendo a associação com relação a posições relativas entre retas no plano, e
planos no espaço. Feito isso, utilizando um software mais algébrico, os alunos de-
vem mostrar que existem condições algébricas que asseguram cada uma das repre-
sentações.
Para a resolução dessa atividade foram usados os softwares Graphmatica
que pode ser baixado na página http://www.graphmatica.com. E o Maxima disponí-
vel no endereço http://maxima.sourceforge.net. Pois dentre os softwares gratuitos
que atendem o requisito solicitado na atividade eles apresentam interface simples o
que facilita o uso com os alunos. São fáceis de baixar e instalar. Possuem bons tuto-
riais de fácil acesso na internet.
Sistema de equações:
Figura 3: Solução gráfica do sistema linear gerado no Graphmatica
28
Importante levar o aluno a perceber que no gráfico da Figura 3 as retas
são paralelas, ou seja, não existem pontos em comum entre elas. Logo não há solu-
ção para o sistema.
Mostrar para o aluno que a situação analisada através do gráfico da figura
3 se confirma quando é feita a solução algébrica usando o software Maxima:
(%i1) solve([4*x+2*y=4,2*x+y=5],[x,y]);
(%o1) []
Daí conclui-se que o sistema é impossível. Logo S =
Outra atividade que pode ser feita com os alunos usando um software ge-
ométrico de escolha do professor, é sugerir que construam gráficos que representam
a variação do polinômio do tipo y = x2 + bx + 3, variando o valor do coeficiente “b”.
Sugestão: use os valores abaixo para o coeficiente “b” e façam os gráficos sem apa-
gar o anterior.
1) f(x) = x2 + 4x + 3
2) f(x) = x2 + 3x + 3
3) f(x) = x2 + 2x + 3
4) f(x) = x2 + 1x + 3
5) f(x) = x2 – 1x + 3
6) f(x) = x2 – 2x + 3
7) f(x) = x2 – 3x + 3
8) f(x) = x2 – 4x + 3
Verifique que os coeficientes “a” e “c” são mantidos constantes e somente
o coeficiente “b” da função f(x) = ax2 +bx + c sofre variação.
x
y
Figura 4: Gráficos gerados usando o Winplot
29
Observe os gráficos construídos e responda:
a) Calcule os vértices das parábolas em seguida marque-os nos gráficos.
Observação: Importante mostrar aos alunos qual a ferramenta do software deve ser
usada para essa tarefa.
Figura 5: Vértices marcados usando a opção ponto (x,y) do Winplot
Observação: O Professor deve ficar atento à realização desse item para evitar que
erros de cálculo dos vértices não atrapalhem a análise dos alunos.
b) A variação do coeficiente “b” provoca um movimento do vértice da parábola. O
que podemos descrever a respeito do deslocamento do vértice?
c) Generalize a função que descreve o deslocamento do vértice da parábola do tipo
y = ax2 + bx + c, quando variamos o coeficiente “b” e os coeficientes “a” e “c” são
mantidos fixos.
Observação: Uma maneira de realizar essa tarefa é usar dois dos pontos por onde
o gráfico que representa a função passa, ou seja, os vértices já calculados. Lem-
brando que o coeficiente “c” é igual a três, pois é o ponto onde a função a ser des-
coberta corta o eixo y. Monta-se o sistema e calcula-se o valor do coeficiente “a” e
do coeficiente “b”.
d) Construa o gráfico dessa função sem apagar os demais.
30
x
y
Figura 6: Gráfico gerado usando o Winplot
Para verificação dos vértices o professor pode sugerir aos alunos que
marquem as interseções da última parábola construída com as demais.
Essa atividade é uma adaptação da atividade sugerida no livro BORBA &
PENTEADO, 2003; p.39. O software Winplot foi escolhido para construção dos gráfi-
cos dessa atividade por ser um software fácil de usar, sua instalação é rápida e tem
versão em português, pontos essenciais a serem considerados na escolha de um
software. Além disso, possui ferramentas que incrementam o trabalho a ser realiza-
do com os alunos. O download desse software pode ser feito no site
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.
31
4 OS JOGOS MATEMÁTICOS: INSTRUMENTOS QUE DESENVOL-VEM A INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA
Antunes define a inteligência logico-matemática como a “capacidade de
discernimento para padrões lógico e símbolos numéricos ou gráficos, e a facilidade
de lidar com cadeias de pensamentos lógicos.” (2006 p.18). Essa inteligência per-
tence às chamadas inteligências múltiplas, teoria desenvolvida pelo psicólogo Ho-
ward Gardner que contradiz a existência de uma única inteligência afirmando existir
oito. São elas: inteligência linguística, espacial, interpessoal, lógico-matemática, in-
trapessoal, naturalista, sonora e cinestésico-corporal. De acordo com esta teoria um
indivíduo pode ter um pouco de cada uma delas ou ter uma delas que se destaca
mais que as outras. Gardner afirma ainda que as pessoas podem desenvolver as
inteligências ao longo da vida, basta serem estimuladas da maneira correta.
Portanto o ideal seria que a escola reconhecesse e estimulasse todas as
inteligências humanas, a fim de formar cidadãos críticos e bem sucedidos.
Parece-me, porém, estar cada vez mais difícil negar a convicção de que há pelo menos algumas inteligências, que estas são relativamente independen-tes umas das outras e que podem ser modeladas e combinadas numa mul-tiplicidade de maneiras adaptativas por indivíduos e culturas. "( GARDNER, 1994 p.7).
Antunes defende que estimular os alunos com atividades e jogos que en-
volvam estratégias, percepção, atenção e movimento é uma prática extremamente
válida como estímulo da inteligência lógico-matemática. Os jogos inseridos nas au-
las de matemática ajudam os alunos a adquirirem mecanismos para lidar com os co-
nhecimentos lógicos, fazendo ponte com as situações cotidianas, desenvolvendo o
raciocínio e as habilidades dedutivas e estimativas.
Os estímulos para o desenvolvimento desta inteligência estruturam no
aluno novas formas de raciocinar e uma percepção apurada dos elementos matemá-
ticos que envolvem ação sobre o meio ambiente, representam a ampliação de solu-
ções frente a situações problemas com base no entendimento lógico.
Acredita-se que o desenvolvimento da capacidade lógico-matemática nos
estudantes esteja diretamente ligado ao aprendizado da disciplina. Para Antunes
(2006) este tipo de inteligência tem forte influência sobre a compreensão dos ele-
mentos da linguagem algébrica e numérica. E o desenvolvimento da inteligência ló-
gico-matemática não constitui um privilégio apenas desta disciplina em si, mas sim
32
para a resolução de problemas, simples ou complexos, de outras disciplinas e do
cotidiano.
Sob essa perspectiva este capítulo traz sugestões para o professor que
tem interesse de desenvolver um trabalho diferenciado inserindo em sua prática pe-
dagógica atividades e jogos que estimulam o desenvolvimento da inteligência lógico-
matemática.
O uso de jogos nas aulas de matemática implica uma mudança significativa no processo ensino aprendizagem. O trabalho bem planejado e orientado auxilia o desenvolvimento das habilidades como: levantamento de hipóte-ses, busca de suposição, reflexão, argumentação, entre outros que estão di-retamente ligados ao desenvolvimento do raciocínio lógico. (SMOLE, 2007 apud MANSANO, 2012 p.209)
De acordo com os PCNS, os jogos têm como objetivo ajudar os alunos a
identificar os conhecimentos matemáticos como um dos meios para o conhecimento
do mundo, transformar os domínios numéricos e geométricos abstratos em percep-
ções, resolver problemas e desenvolver formas de raciocínio, processos de indução
e dedução e exploração das habilidades dedutivas e estimativas.
O uso de jogos conhecidos e relativamente fáceis pode aguçar o interes-
se do aluno. Como exemplo, o popular jogo da velha pode ser usado para estimular
o raciocínio lógico, a atenção, criação de estratégia e a memorização. Esse jogo
também é chamado de jogo do galo, e é fácil encontrar versões digitais dele na in-
ternet para jogar gratuitamente.
É possível fazer uma variação desse jogo para desafiar ainda mais os
alunos. O tabuleiro usado é o padrão do jogo da velha, mas os alunos recebem nú-
meros de 1 a 9 para colocarem no tabuleiro. Um dos participantes fica com os 4 nú-
meros pares e outro com os 5 números ímpares. E vão colocando os seus números
alternadamente no tabuleiro. Vence o primeiro a formar uma linha, coluna ou diago-
nal cuja soma seja igual a 15. Uma fila pode conter tanto números ímpares quanto
pares.
Há ainda outro desafio envolvendo o jogo da velha que é colocar os nú-
meros 1 a 9 dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de jogo da velha, de maneira
que a soma dos 3 algarismos de qualquer linha, coluna ou diagonal resulte 15. En-
volve concentração, raciocínio lógico e estratégia. Como existe mais de uma respos-
ta é interessante pedir para os alunos mostrarem as respostas alcançadas.
33
Outro jogo capaz de estimular habilidades que compõem a inteligência ló-
gico-matemática é o quatro em linha. O tabuleiro para um jogo tradicional é uma ma-
lha quadriculada de 8 por 8, as peças tem duas cores e só podem ser colocados na
última linha ou em cima de outras peças. Ganha quem colocar quatro peças da
mesma cor numa linha contínua vertical, horizontal ou diagonal. Esse jogo pode ser
comprado, confeccionado com os alunos ou encontrado na internet para jogar onli-
ne. Envolve raciocínio lógico, estratégia e muita concentração.
Existe uma versão desse jogo usando multiplicação, recebe o nome de
cinco em linha, o objetivo é marcar cinco números seguidos do tabuleiro maior, em
qualquer direção (horizontal, vertical, diagonal). O professor distribui 20 marcadores
para cada dupla e dois tabuleiros um maio e outro menor conforme mostra a Figura
7. A primeira dupla a jogar escolhe dois números do tabuleiro menor mostrando-os à
dupla adversária. Calculam, dizendo em voz alta, o produto dos números escolhidos,
procuram este valor no tabuleiro maior e colocam sobre ele um de seus marcadores.
O marcador não pode ser retirado, ou mudado de casa em nenhuma hipótese. Se a
dupla na sua vez errar ou fizer um produto que já está coberto perde a vez. Ganha o
jogo o primeiro jogador que conseguir cobrir cinco números seguidos do tabuleiro
maior, em qualquer direção. Se nenhum jogador conseguir colocar cinco fichas em
linha e o tabuleiro ficar completo, ganha o jogo o que tiver colocado mais marcado-
res no tabuleiro. Além de desenvolver o raciocínio lógico, criação de estratégia e a
concentração exercita a tabuada de multiplicação.
Figura 7: Tabuleiros do jogo Cinco em Linhas
34
O mesmo jogo pode ser usado para trabalhar outros conteúdos como so-
ma, subtração, divisão, entre outros. Na Figura 8 segue um exemplo de cartelas pa-
ra se trabalhar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.). O jogador na sua vez escolhe um
número da cartela A e outro da cartela B, calcula o m.m.c. e marca o resultado na
cartela C. Se não tiver o resultado na cartela C ou já estiver marcado o jogador per-
de a vez. Ganha quem marcar quatro números seguidos em linha, coluna ou diago-
nal. Se nenhum jogador conseguir, vence quem marcar mais números.
Figura 8: Cartelas do Jogo Quatro em Linhas
O jogo dos sete erros é um jogo simples que pode ter níveis de dificulda-
de diferente, porém é capaz de estimular a concentração e observação dos alunos.
O dominó é outro jogo muito conhecido que em sua forma original já trabalha conhe-
cimentos matemáticos, principalmente se o aluno quiser traçar estratégias para ven-
cer. Existem várias versões desse jogo para trabalhar conteúdos matemáticos: na
Figura 9 tem-se um modelo que trabalha a multiplicação, a Figura 10 mostra um
exemplo de dominó usado para trabalhar frações, a geometria também pode ser tra-
balhada em dominós como o que a Figura 11 ilustra.
35
Figura 9: Peças de um dominó de multiplicação
Figura 10: Peças de um dominó de frações
36
Figura 11: Peças de um dominó de sólidos geométricos
O tangram é um quebra cabeça chinês milenar que pode ser usado para
trabalhar conceitos de figuras geométricas e suas propriedades, frações, área, perí-
metro. Estimulando o raciocínio lógico, a criatividade e a concentração. Existem mais
de um tipo de tangram o oval, o circular, o coração partido e vários outros, porém
vamos focar apenas no tradicional ou clássico mostrado na Figura 12. A primeira ati-
vidade que se pode fazer com o tangram é a sua construção com os alunos, enfo-
cando conteúdos como propriedades de um quadrado, diagonal de um quadrado,
ponto médio, retas paralelas e perpendiculares, etc.
Figura 12- Exemplo de um trangram
37
Outra atividade comum quando se trabalha com tangram é pedir que os
alunos montem figuras como as que aparecem na Figura 13, usando as suas peças.
Figura 13: Figuras para montar com as peças do tangram
A Figura 14 mostra um trecho de uma história montada usando figuras
construídas com o tangram, uma atividade que o professor tem a opção de promo-
ver com os alunos, podendo fazer um trabalho interdisciplinar com a língua portu-
guesa e artes.
Figura 14: Exemplo de uma história montada com o tangram
38
Um exemplo de atividade com o tangram para trabalhar frações é o domi-
nó mostrado na Figura 15. Ele trabalha frações usando figuras de tamanho diferen-
tes, então é preciso conhecer o conceito de frações equivalente e ter raciocínio rápi-
do para vencer o jogo.
Figura 15- Peças de um dominó de tangram e frações
O hexágono como mostra a figura 16 é outro quebra cabeça cuja monta-
gem exige muita concentração e domínio da forma geométrica. Desenvolve o racio-
cínio lógico e a dedução matemática.
Figura 16: Quebra-cabeça em formato de hexágono
39
O sudoku é outro jogo que trabalha competências e habilidades que for-
mam a inteligência lógico-matemática. Sua desafiante estrutura permite que os alu-
nos desenvolvam estratégias e o pensamento lógico. Possui níveis que estimulam
cada vez mais os jogadores e suas versões digitais podem ser usadas até mesmo
no celular. É muito encontrado em revistas e jornais, a Figura 17 traz um modelo de
sudoku de nível fácil.
Figura 17- Exemplo de sudoku de nível fácil
O xadrez é uma opção de jogo que pode ser inserido nas aulas de mate-
mática para desenvolver habilidades como: a concentração, atenção, paciência,
análise e síntese, imaginação, criatividade, organização nos estudos, entre outras.
Como é um jogo muito complexo o professor precisa ponderar se sua aplicação trará
ou não benefícios aos alunos.
Segundo alguns neurocientista o nosso cérebro precisa de exercício as-
sim como o corpo. Exercitar o cérebro é uma forma de melhorar o raciocínio lógico, e
a capacidade de pensamento rápido e estruturado. As atividades que desenvolvem
a capacidade de reconhecer padrões são excelentes para estimular a inteligência
lógica-matemática e exercitar a mente. Seguem alguns exemplos dessas atividades:
40
Descubra o segredo da sequência ilustrada na Figura 18 e escreva os
números que faltam:
Figura 18: Exemplo de sequência numérica
Nos esquemas da Figura 19, o número central é o resultado de uma operação en-
tre os números que o cercam.
Figura 19: Figura que representa um padrão numérico
Descubra qual é essa operação e complete o esquema da Figura 20 com o número
que falta.
Figura 20: Figura para ser completada seguindo padrão numérico
Observe a sequência da Figura 21:
41
Figura 21: Exemplo de sequência de figuras
Qual dos elementos da Figura 22 completa essa sequência?
Figura 22: Opções de figuras que completam uma sequência
A Figura 23 apresenta um enigma com padrões numéricos. Para soluci-
oná-lo o aluno precisa observar as operações que são feitas nos primeiros círculos
e efetuá-las com o número do último círculo.
Figura 23: Exemplo de enigma com padrões numéricos
42
Os enigmas também são atividades que desenvolvem o raciocínio lógico e despertam o interesse dos alunos. Principalmente se eles puderem fazer testes e visualizar os resultados como acontece no problema que recebe o nome de jogo tra-vessia, mas na verdade é um típico problema de lógica na versão digital. Para resol-vê-lo o aluno precisa atravessar todos para a outra margem do rio seguindo a risca as orientações dadas.
Figura 24: Tela inicial do jogo Travessia
A Figura 24 mostra a tela inicial do jogo e as suas regras. Esta tarefa
permite que o aluno desenvolva o raciocínio lógico, a formulação de hipóteses, a
organização do pensamento e a concentração.
À medida que o trabalho com esses jogos forem evoluindo é interessan-
te introduzir problemas de lógica sem a sua representação para trabalhar a imagi-
nação do aluno. Permitindo que eles desenvolvam algum tipo de representação
que os ajudem nos testes para encontrar a solução do problema.
Problema de lógica de nível muito fácil: Temos cinco casas.
Na primeira casa mora o padeiro;
Ao lado do padeiro mora o eletricista;
O eletricista conversa muito com o engenheiro que mora na últi-
ma casa;
O engenheiro é amigo do contador que é vizinho do eletricista;
43
Entre o contador e o engenheiro mora o professor.
Quem mora na quarta casa?
Problema de lógica de nível difícil: Carlos, Luís e Paulo são casados
com Lúcia, Maria e Patrícia, não necessariamente nesta ordem. Um dos maridos é
advogado, outro é engenheiro e outro, médico. Com base nas dicas abaixo, tente
descobrir a profissão de cada um e o nome de suas respectivas esposas.
1. O médico é casado com Maria.
2. Paulo é advogado.
3. Patrícia não é casada com Paulo.
4. Carlos não é médico.
44
5 CONSTRUÇÃO DE UM TANGRAM MANIPULÁVEL NO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
O Régua e Compasso é um software de geometria dinâmica desenvolvido
em 1999, por René Grothmann, professor da Universidade Católica de Berlim, na
Alemanha. Está disponível gratuitamente na internet, podendo ser instalado em
qualquer computador independente do sistema operacional. O programa tem quatro
áreas principais: a primeira é o menu principal, a segunda a barra de ferramentas, a
terceira a área de trabalho e a última a área de dicas e ajuda . A Figura 25 mostra a
tela inicial do software Régua e Compasso com destaque para as principais áreas.
Figura 25: Tela inicial do software Régua e Compasso
Esse software é de fácil manuseio, ao passar o mouse sobre as ferramen-
tas aparecem suas funcionalidades. Seguindo estas informações e as orientações
da barra de dicas e ajuda, o aluno poderá fazer construções de figuras geométricas
das mais simples as mais complexas. Após construir uma figura é possível movi-
mentar os seus pontos sem que as relações geométricas sejam alteradas, o que
45
permite que o aluno possa testar suas hipóteses sem perder tempo com construções
repetitivas.
O objetivo da construção do tangram com os alunos é motivá-los a explo-
rarem o Régua e Compasso construindo as figuras geométricas testando e investi-
gando as suas propriedades. Permitir que conheçam as relações de construção do
sistema de rotação e translação. Incentivá-los a testar sua criatividade e raciocínio
lógico na montagem das tarefas com quebra-cabeça que construíram.
Para construir o tangram no Régua e Compasso todas as figuras do que-
bra cabeça precisam ser construídas sobre um sistema de rotação e translação, este
sistema possibilitará a movimentação e a rotação das peças. Esse sistema é com-
posto por uma circunferência de raio fixo e uma reta que passa pelo centro dessa
circunferência e por um ponto pertencente a ela, a Figura 26 apresenta a construção
desse sistema. Selecionando a ferramenta mover ponto, é possível mover essa
construção clicando no ponto vermelho e ao clicar no ponto azul pode-se rotacioná-
la.
Figura 26: Sistema de rotação e translação
O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por sete peças: um qua-
drado, um paralelogramo, um triângulo médio, dois triângulos pequenos e dois triân-
gulos grandes; estas sete peças formam um quadrado. Para iniciar as construções
46
das peças é preciso construir um tangram simples que servirá de molde para as ou-
tras construções. Durante essa construção pode-se trabalhar ou relembrar várias de-
finições conforme mostra o passo-a-passo a seguir:
1º Passo – Construção do quadrado base para o tangram explorando su-
as propriedades e a definição de perpendiculares :
Traçar um segmento AB de 5 cm aproximadamente usando a ferramenta
segmento . Em seguida traçar duas perpendiculares ao segmento AB, uma
passando por A e outra por B. Com a ferramenta compasso traçar duas circun-
ferências de raio igual ao segmento AB, uma com centro em A e a outra com centro
em B. Marcar os pontos de interseção das circunferências com as perpendiculares,
usando a ferramenta ponto para definir os pontos C e D. Traçar os seguimentos
AC, CD e BD. Para finalizar o quadrado selecione a ferramenta polígonos e clique
nos pontos ABCD.
Use a ferramenta para esconder as circunferências e as retas, para
limpar a construção. Selecionando a ferramenta vão aparecer os pontos que po-
dem ser movidos, peça que os alunos movam os pontos e percebam que as proprie-
dades do quadrado não se alteram. Lembrando que as propriedades do quadrado
são ângulos retos e lados iguais. Para se certificar que a medida dos lados é a
mesma basta clicar com o botão esquerdo do mouse sobre o segmento e aparecerá
uma tela com as suas informações, faça isso sobre os quatro segmentos para com-
provar. Na Figura 27 tem-se a janela que aparece ao clicar sobre o segmento BD,
essa janela também permite fazer algumas alterações como nome, cor, espessura
entre outras.
47
Figura 27: Tela de edição de reta, semi-reta e segmento
2º Passo – Dividir o quadrado nas sete figuras geométricas que compõem
o tangram explorando os conceitos de diagonal, de ponto médio e as propriedades
das figuras geométricas que o compõem.
Traçar a diagonal do quadrado usando a ferramenta segmento , obter o
ponto médio da diagonal selecionando a ferramenta ponto médio e clicando so-
be os pontos C e B, dê a ele o nome de ponto E. Para nomear um ponto deve-se cli-
car com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto, ao abrir a janela de edição de
ponto altere o seu nome e clique no botão para que o nome apareça.
Em seguida trace outros quatro pontos médios entre os pontos C e E, E e
B, C e D e entre B e D nomeando-os de F, G, H e J respectivamente. Ligue os pon-
tos A e E, F e H e os pontos H e J, usando a ferramenta segmento. Trace o ponto
médio entre os pontos H e J nomeando-o ponto K. Por fim trace os segmentos entre
E e K e entre G e K. Pronto, o tangram de molde foi construído como apresentado
na Figura 28.
48
Figura 28: Construção do tangram molde
Nesse momento solicite que os alunos classifiquem os triângulos quanto
aos lados para que eles percebam que todos eles são isósceles, lembrando que um
triângulo isósceles é aquele que possui dois lados iguais e um diferente. Se for opor-
tuno, o professor pode falar de semelhança de triângulos, pois eles são triângulos
semelhantes. Sugira que os alunos movimentem os pontos e observem que as figu-
ras não se alteram.
3º Passo: Construção dos triângulos maiores:
Construa o sistema de rotação e translação como foi mostrado anterior-
mente, a circunferência deve ter um raio fixo de 0,5 cm. Em seguida construa outra
circunferência um pouco maior, com o mesmo centro que a primeira e um ponto per-
tencente a reta, com a ferramenta circunferência , depois usando a ferramenta
compasso meça o segmento AB e construa uma circunferência de raio igual a AB
com centro no ponto de interseção da segunda circunferência com a reta. Mova esse
ponto de forma que a segunda circunferência cresça e tenha dois pontos de interse-
49
ção com a terceira circunferência. Trace um segmento de reta unindo este ponto a
uma das interseções entre as circunferências.
Esconda as duas últimas circunferências e a reta, ficando apenas a cir-
cunferência menor e o segmento de reta na construção. Usando o compasso, meça
o lado BE do triângulo ABE e construa uma circunferência com centro em uma das
extremidades do segmento, em seguida meça o lado AE e construa outra circunfe-
rência com centro na outra extremidade do segmento. Trace um segmento ligando
as extremidades do segmento com a interseção das circunferências formando um
triângulo. Use a ferramenta triângulo e clique nos três pontos para finalizar a
construção. Esconda as circunferências de forma a permanecer somente o triângulo
sem os pontos dos vértices e os pontos vermelho e azul como aparece na Figura 29.
Figura 29: Construção do primeiro triângulo maior
Repita todo o 3º passo para construir o segundo triângulo maior conforme
mostra a Figura 30.
50
Figura 30: Construção do segundo triângulo maior
4º Passo – Construção dos triângulos menores:
A construção dos triângulos menores é igual à construção dos triângulos
maiores, então repita duas vezes o terceiro passo lembrando que as medidas serão
tiradas dos triângulos CFH e EKG. É importante observar que a primeira medida a
ser feita com o compasso deve ser da hipotenusa dos triângulos, ou seja, do maior
lado. A Figura 31 mostra os triângulos prontos.
Figura 31: Construção dos triângulos menores
51
5º Passo – Construção do triângulo médio
Novamente deve-se repetir o terceiro passo usando as medidas do triân-
gulo HDJ para construção do triângulo médio acrescentado na Figura 32.
Figura 32: Construção do triângulo médio
6º Passo – Construção do quadrado:
Depois de construir o sistema de rotação e translação, trace uma circunfe-
rência de mesmo centro e um pouco maior que a primeira que tenha um ponto per-
tencente à reta já construída. Em seguida meça o lado do quadrado com o compas-
so e trace uma terceira circunferência com centro no ponto da segunda circunferên-
cia pertencente à reta. Construa um segmento para unir o centro da terceira circun-
ferência com a interseção entre ela e a segunda circunferência. Usando a ferramen-
ta reta perpendicular trace duas perpendiculares a esse segmento passando por su-
as extremidades. Com o compasso meça o lado do quadrado e construa uma circun-
ferência com centro em uma das extremidades do segmento, trace um segmento do
centro da circunferência até a interseção entre a reta perpendicular e a circunferên-
cia. Trace uma reta perpendicular a esse último segmento construído para fechar o
quadrado e una os pontos de interseção com um segmento. Para finalizar use a fer-
ramenta polígono sobre o quadrado. Apague todos os objetos construídos deixando
apenas o quadrado e os dois pontos como aparece na Figura 33.
52
Figura 33: Construção do quadrado
7º Passo – Construção do paralelogramo:
Após repetir os passos para construção do sistema de rotação e transla-
ção, construa uma circunferência um pouco maior concêntrica com a primeira que
tenha um ponto pertencente à reta. Em seguida meça a maior diagonal (BK) do pa-
ralelogramo e trace uma terceira circunferência com centro no ponto de interseção
entre a segunda circunferência e a reta. Marque o ponto de interseção da reta com a
terceira circunferência. Meça o lado BG com o compasso e construa uma quarta cir-
cunferência concêntrica com a terceira. Meça o lado GK e trace uma quinta circunfe-
rência com centro no ponto comum entre a terceira circunferência e a reta. Use a fer-
ramenta segmento e ligue os centros das últimas circunferências construídas com
uma de suas interseções como pode ser visto na Figura 34.
53
Figura 34: Construção dos dois primeiros lados do paralelogramo
Meça o segmento KJ e construa uma circunferência com centro no ponto
mais abaixo na construção, e com a medida do segmento BJ construa outra circun-
ferência com centro no ponto mais alto da construção. Em seguida ligue os seus
centros com o seu ponto de interseção da direita para obter a construção mostrada
na Figura 35.
Figura 35: Construção dos outros dois lados do paralelogramo
54
Para finalizar o paralelogramo use a ferramenta polígonos. Apague as cir-
cunferências, reta e pontos deixando apenas o paralelogramo e os dois pontos in-
ternos. A Figura 36 mostra o tangram completo.
Figura 36: Construção final do paralelogramo
Permita que os alunos mudem as cores das figuras e pontos como dese-
jarem. Com o tagram pronto o professor pode usar a opção arquivo selecionar salvar
como e mudar o nome para salvar uma cópia do arquivo. Nesse novo arquivo pode-
rá fazer alterações para montar atividades. O tangram que serviu de molde para as
construções não pode ser apagado, pois está vinculado com as peças. Ele deve ser
escondido para construção de novas figuras
5.1 EXEMPLOS DE ATIVIDADES QUE PODEM SER MONTADAS COM O TAN-GRAM
A Figura 37 apresenta um exemplo de atividade que pode ser montada
com o tangram construído. Para elaborar essa atividade é preciso montar a figura
com as peças, em seguida utilize o menu opções selecione a imagem de fundo, nas
opções que aparecerá selecione usar construção atual como plano de fundo. Retire
as peças e perceberá que ficou a cópia no plano de fundo. Selecione a ferramenta
polígonos e contorne a figura, depois volte ao menu e selecione a opção apagar a
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imagem de fundo. Usando a ferramenta texto escreva as orientações para a ati-
vidade.
Figura 37: Exemplo de atividade montada com o tangram construído
Nas Figuras 38 e 39 tem-se uma pequena história feita com figuras mon-
tadas com peças do tangram. Nessa atividade é interessante deixar que os alunos
usem a criatividade.
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Figura 38: Exemplo de uma história montada com peças do tangram
Figura 39: Exemplo de uma história montada com peças do tangram
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CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
As novas tecnologias da informação e comunicação, com seu poder
multiplicador e sua aplicabilidade a todas as tarefas humanas, não fogem de seu
caráter pedagógico, inferindo aos docentes grande responsabilidade e
posicionamento crítico, a fim de promover uma aprendizagem significativa dos
alunos.
Tal complexidade quanto à docência parece se agravar quando se trata
de lecionar matemática, a aprendizagem lógico-matemática vem se apresentando
cada vez mais defasada, talvez possamos atribuir essa defasagem a forma
mecânica e sem significado que a matemática é ensinada nas escolas.
Desta forma conclui-se que grande é a responsabilidade do educador
matemático diante do desafio de fazer algo para mudar essa realidade, acredita-se
que o caminho de uma mudança é a inserção das novas tecnologias no ensino da
matemática, pois com este recurso o professor possibilitará que os alunos participem
de um processo de construção do conhecimento.
A atividade proposta neste trabalho de utilização do software Régua e
Compasso para a construção do tangram é a demonstração do quanto dinamizadas
podem ser as aulas de matemática, aliadas a praticidade tornando-as funcionais.
As atividades sugeridas com a construção do tangram promovem aos
alunos, além da familiarização com o software, a identificação de elementos
geométricos, assim como estimula a imaginação do educando.
O conteúdo apresentado neste trabalho estrutura-se em torno de três
“pilares”: apresentação, reflexão e prospectiva. Iniciamos o percurso com o pilar de
apresentação das possibilidades do uso do computador nos contextos de ensino e
aprendizagem, apresentando uma das várias formas de se trabalhar com um
software de geometria dinâmica caracterizando a aprendizagem significativa da
matemática, o segundo pilar é dedicado á reflexão em torno da trajetória e evolução
das atividades a serem trabalhadas. O final da trajetória coincide com um pilar
dedicado à prospectiva, no qual olharemos para o futuro das utilizações desses
recursos tecnológicos, que tendem a ser mais constantes e edificados em propostas
concretas e eficientes como aqui sugeridas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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