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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
KELEN LUZIA CEMIN
ENSINO DE COMBINATÓRIA:
PROBLEMAS DE DIVISÃO, TEORIA DE VERGNAUD E METODOLOGIA DA
ENGENHARIA DIDÁTICA
Porto Alegre, 2008
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Kelen Luzia Cemin
ENSINO DE COMBINATÓRIA:
PROBLEMAS DE DIVISÃO, TEORIA DE VERGNAUD E METODOLOGIA DA
ENGENHARIA DIDÁTICA
Trabalho de conclusão de curso de graduação apresentado ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Prof. Dr. Vera Clotilde Garcia Carneiro
Porto Alegre, 2008
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Kelen Luzia Cemin
ENSINO DE COMBINATÓRIA:
PROBLEMAS DE DIVISÃO, TEORIA DE VERGNAUD E METODOLOGIA DA
ENGENHARIA DIDÁTICA
Trabalho de conclusão de curso de graduação apresentado ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientadora: Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia Carneiro.
Aprovado em 03/12/08
Banca Examinadora:
_________________________________________________________
Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia Carneiro – Orientadora – Professora do
Instituto de Matemática da UFRGS
________________________________________________________
Prof. Dr. Eduardo Henrique Brietzke – UFRGS - Professor do Instituto
de Matemática da UFRGS
________________________________________________________
Prof. Dra. Maria Alice Gravina – UFRGS - Professora do Instituto de
Matemática da UFRGS
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RESUMO
Este trabalho tem como tema o ensino de Análise Combinatória e aborda a resolução de problemas nessa área. A revisão bibliográfica mostrou que muitas pesquisas relacionadas ao Princípio Multiplicativo já foram produzidas, mas poucas abordam a divisão. Nesse sentido, o enfoque de nossa pesquisa é a divisão na Combinatória e nossa questão norteadora gira em torno dos problemas de Combinatória que necessitam de uma divisão para serem solucionados. O trabalho é desenvolvido com a metodologia da Engenharia Didática e seu fundamento encontra-se na teoria dos campos conceituais de Gérard Vergnaud, abrangendo conceitos do campo da multiplicação – onde estão incluídas as divisões. Os principais conceitos envolvidos ao longo do trabalho são os de esquema e divisão por quotas. Desenvolvemos análises em nível didático, epistemológico e cognitivo. Em nível didático, buscamos as justificativas dadas para a divisão nos livros didáticos e identificamos um conhecido chavão: “dividimos porque a ordem não importa”. Em nível epistemológico, estudamos a teoria de Vergnaud, onde encontramos a divisão por quotas, base de nossa proposta. Em nível cognitivo, investigamos os principais erros cometidos por alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS e as principais justificativas utilizadas para explicar a divisão nos problemas de Combinatória. Buscamos os esquemas de resolução desses alunos e de livros didáticos e, como proposta didática, propomos um esquema de resolução, baseado na divisão por quotas de Vergnaud, que abrange toda uma gama de problemas de Combinatória que envolvem a divisão. Tal esquema nos parece satisfatório para solucionar problemas deste tipo e para justificar a necessidade da divisão, sem ter de recorrer ao uso de fórmulas, como as de permutação com repetição ou combinação. Ele foi proposto aos alunos da Licenciatura em Matemática da UFRGS e, por eles, validado.
PALAVRAS-CHAVE: Combinatória, problemas, divisão, Vergnaud, esquema.
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ABSTRACT
This paper has as subject the teaching of Combinatorial Analysis and approaches the solving problems at this area. The bibliographical review showed that a lot of researches related to the Multiplicative Principle have already been produced, but just a few approaches the division. Accordingly, our research’s focus is the division at Combinatorial and our guiding question revolves around the Combinatorial problems that need a division to be solved. The paper is developed with the methodology of Didactic Engineering and its foundation is on the Vergnaud’s conceptual field theory, covering concepts from the multiplicative field – where the divisions are included. The main concepts involved through the paper are the schemes and the measurement division. We’ve developed analysis in didactic, epistemological and cognitive levels. In a didactic level, we’ve sought the reasons given to the division on the didactic books and identified a known cliché: “we divide it because the order is not important.” In a epistemological level, we’ve studied the Vergnaud’s theory, where we’ve found the measurement division, the basis of our proposal. In a cognitive level, we’ve investigated the main mistakes made by the students from the UFRGS' mathematics major course and the main reasons they give to explain the divisions on the Combinatorial problems. We’ve sought these students’ solving schemes and the didactic books’ schemes. As a didactic proposal, we’ve proposed a solving scheme based on the Vergnaud’s measurement division that covers a range of Combinatorial problems that involve the division. Such scheme seems to be satisfactory to resolve this kind of problem and to justify the need of the division, without having to resort to the use of formulas, as the ones from permutation with repetitions or combination. It has been proposed to the students and validated by them. KEYWORDS: Combinatorial, problems, division, Vergnaud, scheme.
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LISTA DE QUADROS
1 - Aplicações do Esquema – Problema da Palavra COISA................................................ 45
2 - Classes da palavra BAIO................................................................................................ 46
3 - Aplicações do Esquema – Problemas das Palavras COISA e BAIO............................. 79
4 - Classes da Palavra BAIO................................................................................................ 80
5 - Classes da Palavra COISA............................................................................................. 80
6 - Aplicações do Esquema – Problema da Roda com 4 Crianças...................................... 82
7 - Aplicações do Esquema – Problema dos Algarismos Ímpares em Ordem Crescente.. 83
8 - Aplicações do Esquema – Problema das Comissões..................................................... 84
9 - Aplicações do Esquema – Problema dos Algarismos 1,1,1,2,3,4.................................. 85
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LISTA DE FIGURAS
1 - Resoluções de um dos alunos da proposta – Problema das Rodas e Problema dos Ímpares
em Ordem Crescente............................................................................................................ 86
2 - Resolução de um dos Alunos da Proposta – Problema dos Algarismos 1,1,1,2,3,4 ..... 87
3 - Resolução do aluno A – Problema do Primeiro Momento da Proposta......................... 88
4 - Resolução do aluno B - Problema do Primeiro Momento da Proposta.......................... 89
5 - Resolução do aluno C – Problemas do Primeiro Momento da Proposta....................... 90
6 - Resolução do aluno B - Problemas do Primeiro Momento da Proposta........................ 91
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SUMÁRIO
1. Introdução ................................................................................................................... 9
2. Revisão Bibliográfica .................................................................................................. 11
3. Engenharia Didática .................................................................................................. 14
3.1 Análises Prévias ........................................................................................................ 15
3.1.1 Análise em Nível Epistemológico ............................................................................ 15
3.1.2 Análise em Nível Didático ....................................................................................... 18
3.1.3 Análise em Nível Cognitivo ..................................................................................... 24
3.1.3.1 Esquemas Encontrados na Resolução de Problemas ................................................. 27
4. Constrangimentos para Melhoria do Ensino/Aprendizagem de Combinatória ........... 37
5. Concepção e Análise a priori: Escolhas Didáticas Globais ........................................ 39
6. A Experimentação ..................................................................................................... 41
6.1 O Argumento para a Divisão ..................................................................................... 41
6.2 Hipóteses .................................................................................................................. 42
6.3 A Proposta Didática ................................................................................................. 42
7. Relato da Experimentação e Análise da Produção dos Alunos durante a Experiência
Didática ................................................................................................................................ 47
8. Considerações Finais ................................................................................................ 52
9. Nota Pessoal ............................................................................................................. 55
Referências ........................................................................................................................... 57
Bibliografia Recomendada ................................................................................................... 58
APÊNDICE A – Engenharia Didática ................................................................................. 59
APÊNDICE B – Sobre Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais .............................. 63
APÊNDICE C – Problemas Propostos no Primeiro Momento da Proposta ...................... 74
9
APÊNDICE D - Aplicações do Esquema ............................................................................ 78
ANEXO A – Resoluções de Alguns Problemas dos Segundo e Terceiro Momentos da
Proposta ................................................................................................................................ 85
ANEXO B – Problemas do Primeiro Momento solucionados após Exposição do Novo
Esquema .............................................................................................................................. 88
1 Introdução
Escolho como tema de pesquisa o ensino da Análise Combinatória. O interesse nesse
assunto vem de minhas experiências como aluna na educação básica e principalmente como
aluna da graduação.
Ao estudar o conteúdo de Combinatória, no ensino médio, foram-me apresentadas
fórmulas de permutações, combinações e arranjos as quais eu entendia até chegar o momento
em que me eram apresentados diversos exercícios. A grande dificuldade era identificar a que
deveria ser usada para a resolução daquele exercício.
Ao chegar ao quinto semestre da Licenciatura em Matemática, cursei a disciplina
denominada Combinatória I e aprendi aqueles mesmos conceitos de permutações, arranjos e
combinações a partir do ponto de vista da resolução de problemas com ênfase no processo
multiplicativo e no raciocínio combinatório.
Com essa experiência, passei a refletir sobre as diferentes práticas que os professores
adotam ao trabalhar com tal conteúdo e questionei-me: como o ensino de Combinatória é feito
usualmente? Quais são as principais dificuldades de aprendizagem? Quais as possíveis
maneiras de se abordar, explicar e justificar problemas-chave.
O ensino tradicional de Combinatória, aquele ao qual referi minhas experiências,
como estudante no Ensino Médio, pode ser modificado e aperfeiçoado. Os exercícios que
muitos professores – e também livros didáticos – apresentam junto ao ensino da Combinatória
têm caráter manipulativo e de memorização, na medida em que exigem pouca necessidade de
pensar e muita aplicação direta de fórmulas. A Combinatória é, a meu ver, o único conteúdo
matemático ensinado nas escolas que exige raciocínio, além de interpretação, compreensão do
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enunciado e elaboração de estratégias para atacar problemas, os quais são muito mais
interessantes quando relacionados ao cotidiano do aluno, ou seja, quando têm utilidade na
vida prática.
A contagem, um dos objetivos da área, permite o desenvolvimento de um novo pensar
matemático, o raciocínio combinatório, que não se desenvolve quando a Combinatória é
apresentada ao aluno como uma lista de fórmulas que parecem solucionar todos os problemas.
Ele é desenvolvido quando se aprende a interpretar a questão dada, a procurar possíveis
soluções, a justificá-las e, por fim, a decidir a melhor maneira de resolver o problema dado.
O ensino de Combinatória que experimentei como aluna da graduação na
universidade, com ênfase no princípio multiplicativo e na resolução de problemas, é sugerido
nos Parâmetros Curriculares Nacionais de 1998, que também enfatizam a importância dos
problemas vinculados à realidade do aluno e a menor exploração que deve ser dada às
fórmulas.
As discussões no campo da Educação Matemática no Brasil nos levam a refletir sobre
nossas práticas e experiências a fim de adequar nosso trabalho como professores às novas
tendências que podem transformar o ensino - neste caso, da Análise Combinatória - em
aprendizagem significativa, que possibilite o raciocínio. Nesse sentido, quero dar minha
contribuição estudando teorias, investigando as dúvidas que tive e as falas dos meus colegas,
para buscar maior compreensão sobre o tema. Quero, com isso, trazer um produto para os
professores que sirva, pelo menos, como uma oportunidade de reflexão a respeito de sua
própria prática no ensino, a fim de procurar novas abordagens mais adequadas à formação de
seus alunos.
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2 Revisão Bibliográfica
O tema de pesquisa sobre o ensino de Combinatória com ênfase no princípio
multiplicativo e na resolução de problemas vem sendo alvo de estudo de muitas teses em
diferentes áreas. Dessa forma, pode-se notar o quão importante é o assunto e como muitos
professores e acadêmicos estão preocupados com as questões que o circundam.
A relevância de um ensino voltado à resolução de problemas mostra-se em diversos
trabalhos, não só vinculada ao ensino de Combinatória, mas a diversos outros aspectos da
matemática e de outras ciências.
Alguns autores preocupam-se em avaliar as condições dos alunos e/ou professores no
que se refere ao ensino através da Resolução de Problemas, outros buscam apresentar
diferentes abordagens deste ensino e outros tentam, ainda, justificar a importância e
necessidade desta metodologia de ensino nas salas de aula. Rodrigues (1992), por exemplo,
aborda a Resolução de Problemas como uma estratégia para o incentivo e desenvolvimento da
criatividade nos alunos e, ao final do trabalho, apresenta uma proposta de ensino com base
nessa estratégia. Gazire (1988) aborda os aspectos históricos da Resolução de Problemas e
apresenta perspectivas dessa prática para a Educação Matemática.
George Polya é um dos autores mais pesquisados e citados nos trabalhos e publicações
desta área. Dante (2000) é outro autor que muito investiga tal área, tendo publicado diversos
artigos e orientado outros tantos.
Além da Resolução de Problemas, outro enfoque de minha pesquisa está relacionado
ao Princípio Multiplicativo, que também tem sido bastante estudado por pesquisadores.
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Dornelas (2004a) discute a Resolução de Problemas em Análise Combinatória
observando alunos de ensino médio em uma pesquisa de campo. Ele aplica questionários a
esses alunos identificando, posteriormente, os principais erros cometidos. Um dos erros
citados está vinculado ao desconhecimento do Princípio Multiplicativo. Em suas
considerações finais, cita que o desconhecimento desse Princípio explica boa parte dos erros e
fracassos dos alunos na resolução de problemas de Combinatória.
Sturm (1999) investiga o ensino de Combinatória e acredita que esse ensino deve-se
dar através da resolução de problemas, sendo as fórmulas apenas conseqüências e não seu
ponto de partida. O Princípio Multiplicativo também faz parte de seu trabalho que visa
favorecer a compreensão do funcionamento, da “potencialidade” e das aplicações do Princípio
Multiplicativo.
Dornelas (2004b), em sua dissertação de mestrado, trabalha com um grupo de 12
alunos, procurando fazer com que desenvolvam as idéias subjacentes ao Princípio
Multiplicativo. Ao final, reforça a sugestão de tal Princípio como um recurso didático a ser
usado na Resolução de Problemas.
Essas e muitas outras publicações sobre esse tema podem ser encontradas. Depois de
ampla revisão bibliográfica, percebi que muitos estudos focalizam o Princípio Multiplicativo,
mas poucos tratam dos problemas que envolvem divisão. Dessa forma, decidimos
desenvolver um estudo buscando investigar as possíveis maneiras de explicar e justificar
problemas-chave que envolvem a operação de divisão.
Dornelas (2004b), em uma das tabelas de seu trabalho, que identifica e quantifica os
tipos de erros cometidos pelos alunos, apresenta um item relativo ao fato de os alunos não
darem atenção à importância da ordem dos elementos, o que interfere na produção de
agrupamentos distintos. Esta mesma tabela mostra que 20,04% dos erros cometidos pelos
alunos foram em decorrência desta questão.
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Roa, Batanero, Godino e Cañizares (1996) realizaram um estudo na área do ensino de
Combinatória com 4 estudantes de Licenciatura em Matemática que foram selecionados por
obterem os melhores resultados ao resolverem 13 problemas de Combinatória. Uma das
características que foi analisada para destacar estes 4 estudantes dentre os outros (em um total
de 29 estudantes) foi a compreensão da importância ou não da ordem dos elementos para a
resolução dos problemas. Da mesma forma, os estudantes classificados como os piores foram
os que não atentavam para a relevância da ordem.
A bibliografia existente sobre o tema aponta para a necessidade da compreensão do
processo da divisão nos problemas de Combinatória, da sua relação com o Princípio
Multiplicativo e da sua vinculação com a compreensão da importância da ordem dos
elementos que entram na contagem.
Neste cenário, a questão norteadora desta pesquisa pode ser enunciada: Como explicar
de maneira compreensível que em alguns problemas de Combinatória é necessário dividir e
em outros não? De outro modo, como justificar a divisão?
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3 Engenharia Didática
Engenharia Didática é um termo que foi criado na França (década de 80) e que é
inspirado na atividade do engenheiro. Tal relação é feita quando ponderamos sobre:
I) o sólido conhecimento que é exigido nas produções do engenheiro e que também se faz
necessário para o pesquisador;
II) os problemas de caráter prático a serem enfrentados e que não são facilmente resolvidos
com teoria prévia. Não havendo uma teoria na qual buscar solução, é necessário criar uma
nova teoria, reinventar ou ampliar alguma já existente. O mesmo acontece no trabalho do
pesquisador, que busca soluções e/ou aprimoramentos para dificuldades que percebe em seu
trabalho, por exemplo, como professor.
O termo tem dois sentidos: é uma metodologia de pesquisa fundamentada em
experiências de sala de aula e também pode ser entendido como a proposta de ensino que é
desenvolvida a partir dos resultados da pesquisa realizada.
Na junção do conhecimento teórico com o prático, constrõem-se novos produtos
didáticos. Este é o referencial da Engenharia Didática. A valorização da prática do professor
aparece como conscientização de que teorias que não são desenvolvidas em sala de aula são
insuficientes para as transformações buscadas nos sistemas de ensino mais tradicionais.
Segundo Artigue (1996), uma Engenharia Didática compreende as fases:
1) análises prévias;
2) concepção e análise a priori de experiências didático-pedagógicas a serem desenvolvidas
na sala de aula de Matemática;
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3) implementação da experiência;
4) análise a posteriori e validação da experiência.
No APÊNDICE A, encontra-se um resumo do nosso estudo a respeito da Engenharia
Didática.
3. 1. Análises Prévias
3.1.1 Análise em Nível Epistemológico
A análise em nível epistemológico dos problemas de Combinatória trata do
conhecimento necessário para resolvê-los: as quatro operações da aritmética. Resolver um
problema envolve decidir se é necessário dividi-lo em casos – processo aditivo –, descartar
casos – subtração – encadear decisões sucessivas – processo multiplicativo – ou verificar que
existem objetos que devem ser identificados para entrarem apenas uma vez na contagem –
divisão.
O que sabemos sobre o conhecimento das quatro operações? No APÊNDICE B, faço
um resumo da Teoria dos Campos Conceituais, do psicólogo francês Gérard Vergnaud a partir
do texto de Moreira (2002), explicando o que vem a ser campo conceitual, conceito, esquema,
invariantes e representações. Neste momento, quero destacar os diferentes significados
atribuídos à multiplicação e à divisão, de acordo com esta teoria, para tratar da epistemologia
associada aos problemas de Combinatória.
Ao tratar das quatro operações, nas séries iniciais, apresentamos problemas. Com os
mesmos elementos de um problema, podemos ter diferentes enunciados, ou seja, a incógnita
do problema pode estar em diferentes lugares, apesar de os elementos serem os mesmos.
Quanto mais variações de enunciados e problemas os alunos conhecerem, mais eles ampliarão
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a compreensão das operações e maior será o número de estratégias em que poderão pensar
para atacar problemas, inclusive os de Combinatória.
Até a 5ª série do Ensino Fundamental, é importante que sejam trabalhados três
conceitos do campo da multiplicação: a proporcionalidade, a organização retangular e a
combinatória. No que tange à combinatória, sua inserção já no Ensino Fundamental pode ser
feita adaptando-a de maneira que seja acessível aos alunos dessa fase, como no seguinte
problema, por exemplo:
Joana tem 2 saias e 4 blusas diferentes. De quantas maneiras ela pode se vestir com
estas roupas? Outra possibilidade: Joana pode se vestir de 8 maneiras diferentes. Se ela tem 2
saias, quantas blusas ela tem?
Com estas categorias propostas por Vergnaud, é possível trabalhar as operações de
multiplicação e divisão já no início do Ensino Fundamental.
Uma das idéias da teoria de Vergnaud diz que temos um aglomerado de saberes, uma
espécie de rede que se reestrutura cada vez que aprendemos um novo conceito ou adquirimos
novos conhecimentos. Nesse sentido, as relações entre as operações devem ser aproveitadas
para que sejam trabalhadas paralelamente. Saber realizar contas sem entendê-las não traz
muitos benefícios. Isso nos remete à questão de aprender Combinatória com base no Princípio
Multiplicativo e não em simples aplicação de fórmulas. Nem sempre sabemos que fórmula
deve ser usada, o que é análogo a não saber que conta realizar, em séries mais iniciais.
As duas subdivisões dos problemas de divisão, categorizadas por Vergnaud e que
interessam ao meu trabalho são: a divisão por partição (partitive division) e a divisão por
quotas (measurement division).
Segundo Selva (1998), nos problemas de partição, temos uma determinada quantidade
(o todo) e o número de partes em que queremos dividir este todo. O que queremos encontrar
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é, então, o tamanho de cada parte (o número de elementos de cada parte). Vejamos um
exemplo:
Maria fez 15 doces para dividir igualmente em três bandejas. Quantos doces serão
colocados em cada bandeja?
Nos problemas de divisão por quotas, temos uma quantidade inicial que será dividida
em quotas já estabelecidas (tamanho das partes). O quociente que iremos encontrar é o
número de conjuntos, o número de “pacotes” em que iremos acomodar esse tamanho, o
número de partes. Segue um exemplo:
Maria fez 15 doces e quer arrumá-los de forma a ficarem três doces em cada bandeja.
De quantas bandejas ela vai precisar?
Ainda que tenhamos os mesmos dados nos dois tipos de problema, não podemos
considerá-los iguais ou de mesma natureza.
Selva (1998) afirma que os problemas de partição são mais fáceis do que os de quotas.
Uma das razões para que isso ocorra, é o fato de que antes mesmo de a criança ser instruída
com o conceito de divisão, ela adquire a noção de divisão do todo em partes iguais no meio
social. A forma de raciocínio exigida na divisão por quotas é menos usual nas experiências
sociais da criança, inclusive no contexto escolar. É interessante relatar que, ao trabalhar com
alunos do Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS, presenciamos uma situação que
demonstra tal dificuldade. Propomos a um desses alunos a questão: se temos 150 copos e
queremos arrumá-los de forma a ficarem três copos em cada bandeja, de quantas bandejas
vamos precisar? e ele não soube responder, ou seja, um aluno de um curso de graduação em
matemática não percebeu que apenas uma divisão seria necessária para a resolução do
problema. Sua resposta: “Mas aí é muito difícil, dá muito trabalho saber de quantas bandejas
vamos precisar, muitas contas.” demonstra sua falta de compreensão da divisão por quotas.
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A idéia de partição antecede a idéia de quota. A autora realizou um estudo a respeito
das concepções de crianças, com e sem instrução de divisão, acerca de seu conceito e
percebeu que aquelas que conseguiam definir a divisão com concepções matemáticas
precisas, o faziam com um conceito relacionado à partição e, raramente, à divisão por quotas.
Seu estudo mostra também que, embora o significado matemático da divisão por partição
fosse importante, seu conhecimento não foi suficiente para o acerto dos problemas que foram
propostos (que eram de partição e de quotas). Pode-se concluir que as escolas, os livros e os
professores não dão a devida importância a estes dois significados da divisão, isso quando
abordam os dois significados, pois muitos deles sequer têm conhecimento sobre as diferenças
entre os problemas de partição e de quotas.
Essa é uma das razões pelas quais há tanta dificuldade no ensino de Combinatória, na
resolução de problemas com divisão. Como demonstro, a seguir, o raciocínio exigido na
divisão por quotas está por trás destes problemas. Como ele não foi anteriormente construído
e não é natural no meio social, é difícil justificar a divisão. O que ocorre é uma automatização
das contas – buscando as fórmulas de Combinação ou de Permutação com repetição – sem
entender o porquê de ser exatamente aquela conta que deve ser feita.
3.1.2 Análise em Nível Didático
A revisão bibliográfica reforça a sugestão da utilização do Princípio Multiplicativo
como um recurso didático a ser usado na Resolução de Problemas de Combinatória, mas
pouco é dito sobre sugestões para o ensino dos problemas que exigem divisão.
Analisamos os livros mais utilizados no Curso de Licenciatura:
1. Lima, Elon L.; Carvalho, Paulo. C. P.; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto
C. A Matemática do Ensino Médio, volume 2. Sociedade Brasileira de Matemática, RJ, 2006.
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2. Morgado, Augusto C; Carvalho, João B. P.; Carvalho, Paulo. C. P.; Fernandez,
Pedro. Análise Combinatória e Probabilidade. Sociedade Brasileira de Matemática, RJ, 2006.
3. Santos, J. P. O.; Mello, M. P.; Murari, I. T. C. Introdução à análise
combinatória. 3ª edição, editora Unicamp, SP, 2002.
A intenção foi investigar como é feita a abordagem do tema em pauta, a Análise
Combinatória, buscando principalmente as justificativas dadas à divisão nos problemas que
dela necessitam.
Iniciemos com a análise do livro 1 e façamos isso com alguns exemplos resolvidos
pelos autores:
Exemplo 1 (permutações e combinações – capítulo 4)
Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO?
Solução dos autores:
Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8!. Como as três letras O são iguais,
quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que
aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 8! tenhamos
contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar
as letras O entre si.
A resposta é 8! ÷ 3! = 6720.
Vemos que na explicação dada à divisão, os autores enfatizam o fato de que a
permutação de letras iguais gera o mesmo anagrama. Objetos (anagramas, neste caso) iguais
são contados n! vezes; n! é precisamente o número de objetos (anagramas) iguais entre si e
resulta da permutação dos elementos (letras) que formam cada objeto (anagrama): as três
letras O são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um
anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes ... na contagem de 8! contamos o
mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes.
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Desenvolvimento parecido aparece na resolução dos problemas de combinação, como
mostra o próximo exemplo:
Exemplo 2 (permutações e combinações – capítulo 4)
De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos?
Solução dos autores:
Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos em fila; os primeiros 5 formam o
grupo de 5 e os 3 últimos formam o grupo de 3.
Há 8! modos de colocar os objetos em fila. Entretanto, note que as filas abcde | fgh e
badce| ghf são filas diferentes e geram a mesma divisão em grupos. Cada divisão em grupos
foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo. Há 5!3! modos de
arrumar os objetos em cada grupo. Cada divisão em grupos foi contada 5!3! vezes.
A resposta é 8! ÷ (5!3!) = 56
Os autores repetem o argumento anterior. Filas iguais são contadas K vezes, K é
precisamente o número de filas iguais entre si e resulta da permutação dos elementos (objetos)
que formam cada fila: filas diferentes e geram a mesma divisão em grupos. Cada divisão em
grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo. Há 5!3!
modos de arrumar os objetos em cada grupo. Cada divisão em grupos foi contada 5!3! vezes.
Após alguns exemplos como estes resolvidos, o livro propõe um conjunto de 40
exercícios a serem feitos pelos leitores interessados, e é nestes problemas que encontramos
alguns pontos não tão bem esclarecidos quanto à divisão. Após os 40 exercícios, há uma lista
de sugestões para suas resoluções. Vejamos a seguir:
Exercício 1 (permutações e combinações – capítulo 4)
De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, todos de alturas
diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente
de alturas?
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Este é um tipo de problema que necessita de uma divisão para que se chegue à solução
correta. Ele carrega consigo certa dificuldade de resolução, justamente pelo fato de que o
argumento anterior não é válido. A divisão não é feita porque objetos (filas) iguais são
contados K vezes, sendo K o número de filas iguais entre si que resulta da permutação dos
elementos (pessoas) que formam cada fila. O problema é outro: existem alguns tipos de trocas
de lugares que não podem ser feitas. É necessário respeitar uma ordem. Quando procuramos
no livro a sugestão dada a este exercício, não a encontramos.
Façamos agora similar análise para o livro 2.
Encontramos um exercício semelhante ao colocado no exercício 1 anterior, no qual há
a necessidade de uma divisão e, encontramos também, sua resolução.
Exemplo 1 (combinações e permutações – capítulo 2)
De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada?
Solução dos autores:
A divisão pode ser feita colocando as 8 pessoas em fila e dividindo-as de modo que
um dos grupos seja formado pelas 4 primeiras pessoas e o outro pelas 4 últimas. Como há 8!
modos de colocar as pessoas em fila, a resposta parece ser 8!
Entretanto, consideremos a divisão abcd / efgh. Ela é idêntica à divisão efgh / abcd
(os grupos formados são os mesmos: um grupo é {a, b, c, d} e o outro é {e, f, g, h}). Não
obstante, na nossa contagem de 8!, essas divisões foram contadas como se fossem distintas.
Além disso, divisões como abcd / efgh e cadb / efgh, que diferem pela ordem dos elementos
em cada grupo, apesar de idênticas foram contadas como se fossem distintas. Cada divisão
foi contada 2. 4!. 4! vezes (2 por causa da ordem dos grupos; 4! por causa da ordem dos
elementos no 1° grupo e 4! por causa da ordem dos elementos no 2° grupo).
Se contamos 8! divisões e cada divisão foi contada 2.4!.4! vezes, o números de
divisões é 8! ÷ (2.4!.4!) = 35.
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Notamos que o livro repete o raciocínio já encontrado, enfatizando ainda mais a
semelhança dos elementos devido à ordem. A divisão é feita porque objetos (grupos) iguais
são contados K vezes, sendo K o número de filas iguais entre si que resulta da permutação dos
elementos (pessoas) que formam cada grupo: abcd / efgh e cadb / efgh, que diferem pela
ordem dos elementos em cada grupo, apesar de idênticas foram contadas como se fossem
distintas.
As justificativas dadas às divisões em problemas de permutações com repetição,
permutações circulares e combinações são idênticas às fornecidas no livro 1 de nossa análise.
É como se repetissem o chavão: divide-se porque, em cada grupo, a mudança da “ordem não
importa”.
Encontramos um problema interessante para nosso trabalho, pois enfoca problemas
com divisão pouco usuais:
Exercício 1 (combinações e permutações – capítulo 2)
Quantas são as permutações dos números (1, 2, ..., 10) nas quais o 5 está situado à direita do
2 e à esquerda do 3, embora não necessariamente em lugares consecutivos?
Solução dos autores:
Há 10! permutações, que se dividem em 3! = 6 classes, conforme a ordem em que se
apresentam os algarismos 2, 3 e 5, uma das quais é a classe correspondente à ordem
desejada, 253. Como as classes são de igual tamanho, há, em cada uma delas, 1/6 do total de
permutações. A resposta é 10! ÷ 6 = 604.800.
Aqui, a divisão não se justifica pela semelhança dos objetos, não cabe dizer que os
objetos estão sendo contados várias vezes, como se fossem diferentes, apesar de serem
idênticos. Não cabe o argumento padrão: A divisão é feita porque objetos (permutações)
iguais são contados K vezes, sendo K o número de permutações iguais entre si que resulta da
permutação dos elementos (números) que formam cada permutação. A justificativa do autor é
23
bastante similar à proposta que iremos desenvolver. A divisão por 6 ocorre porque existem “6
classes, conforme a ordem em que se apresentam os algarismos 2, 3 e 5, uma das quais é a
classe correspondente à ordem desejada, 253. Como as classes são de igual tamanho, há, em
cada uma delas, 1/6 do total de permutações. Isto é, em cada classe os elementos são
distintos, mas apenas um deles pode ser computado no cálculo. A divisão por 6 corresponde
ao raciocínio de divisão por quotas.
Para a análise do terceiro livro (livro 3), utilizaremos o seguinte exemplo:
Exemplo 1 (Princípios aditivo e multiplicativo – capítulo 2)
De quantos modos podemos repartir 8 brinquedos diferentes entre três garotos, sendo que os
dois mais velhos recebam 3 brinquedos cada e o mais novo receba 2 brinquedos?
Solução dos autores:
Distribuição dos brinquedos para o primeiro garoto: C83 = 8! ÷ (3!5!)
Distribuição dos brinquedos para o segundo garoto: C53 = 5! ÷ (3!2!)
Distribuição dos brinquedos para o terceiro garoto: C22 = 2! ÷ (2!0!)
Pelo principio multiplicativo teremos C83 . C5
3 . C22 = 8! ÷ [(3!)².2!]
Este último quociente também pode ser visto como o número de maneiras de
ordenarmos os 8 brinquedos (8!) desprezando a ordenação dos 3 primeiros brinquedos dados
ao primeiro garoto, dos 3 seguintes dados ao segundo e dos 2 últimos dados ao terceiro
garoto.
Para exemplificar, vamos denominar cada brinquedo por uma das letras: A, B, C, D,
E, F, G, H. Consideremos CABEDFGH, uma dentre as 8! permutações. Nesta permutação,
vamos fazer a separação: [CAB] [EDF] [GH]. Como a ordem das letras (brinquedos) não
importa, devemos dividir pela permutação do número de letras que compõem cada grupo,
isto é, devemos dividir por 3!3!2!.
24
Como são 8! permutações e devemos dividir cada uma delas por (3!)² . 2!, teremos 8!
÷ [(3!)².2!] maneiras diferentes de repartir estes 8 brinquedos diferentes entre os 3 garotos,
de modo que os dois mais velhos recebam 3 brinquedos cada e o mais novo 2.
É possível notar que a frase “dividimos porque a ordem não importa” aparece nesta
resolução: como a ordem das letras (brinquedos) não importa, devemos dividir pela
permutação do número de letras que compõem cada grupo, isto é, devemos dividir por
3!3!2!. Os autores não enfatizam que a ordem das letras não importa porque estamos
formando classes de objetos idênticos.
Ao realizar tal revisão, nestes livros e em outros de nosso conhecimento, percebemos
que a explicação geralmente usada é a mesma: é necessário dividir quando a ordem dos
elementos não é importante. Alguns livros trazem esta explicação, utilizando outros termos;
outros a trazem e procuram mostrar as razões da divisão.
Muitos professores usam o argumento “a ordem não importa”, para seus leitores e
alunos, sem refletir sobre o quanto é difícil compreender o porquê da divisão. Se alguns
objetos devem ser retirados do total, por que não utilizar a subtração, por exemplo? A
subtração também é uma ferramenta para retirar da contagem os grupos, conjuntos,
anagramas, etc., que não nos interessam.
Da forma como tal explicação é feita, a maioria dos alunos apenas retém consigo a
informação de que é necessário fazer uma divisão. Porém, a simples memorização, sem a
compreensão do porquê de tal operação, não permite que o sujeito entenda o processo e, dessa
forma, ele não desenvolve o raciocínio que é necessário para resolver um problema de
combinação ou de permutação com repetição.
3.1.3 Análise em Nível Cognitivo
25
Este trabalho tem a intenção de contribuir para a formação de professores de
Matemática. Pensando nisso, para desenvolver o estudo em nível cognitivo, propusemos, a
dois grupos de alunos do Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS, duas coleções de
problemas de Combinatória. O primeiro grupo estava no quinto semestre do curso e nem
todos os alunos cursaram a disciplina de Combinatória. Receberam três coleções de
problemas: a Coleção A traz problemas que podem ser resolvidos bastando a aplicação de
uma fórmula, a Coleção B traz problemas que envolvem apenas o princípio multiplicativo e
não podem ser resolvidos com mera aplicação de fórmulas e a Coleção C traz problemas que
envolvem multiplicação, análise da ordem dos agrupamentos e divisão, e também não podem
ser resolvidos com aplicação de fórmulas.
O segundo grupo inclui alunos de sétimo semestre e todos já passaram pela disciplina
de Combinatória. Receberam uma única e curta coleção de problemas. Todos esses problemas
podem ser encontrados no APÊNDICE C. O trabalho de análise cognitiva e também a
aplicação da proposta foram feitos com os alunos do grupo do 5° semestre. O grupo do 7°
semestre serviu apenas de reforço e complementação para nossa análise em nível cognitivo e,
por isso, há essa distinção entre os problemas dos dois grupos de alunos, principalmente em
relação à quantidade.
Esta coleta de informações teve como objetivo investigar os principais erros cometidos
pelos alunos e as principais justificativas utilizadas para explicar a resolução de problemas
que envolvem divisão.
A análise de erros seguiu as categorias de Dornelas (2004a). O autor discute a
Resolução de Problemas em Análise Combinatória investigando alunos de ensino médio em
uma pesquisa de campo. Com um questionário aplicado aos alunos, avalia de forma
metodológica como eles procedem na resolução de alguns problemas de Combinatória,
identificando seus principais erros:
26
1. Desconhecimento do Princípio Multiplicativo; também conhecido como Princípio
Fundamental da contagem.
2. Conhecimento do Princípio Multiplicativo; mas, não havendo sua utilização em
situações possíveis e adequadas ou mobilizá-lo de forma errônea ou incompleta.
3. Não atentar para o fato de que a ordem dos elementos nos agrupamentos a serem
formados poderá produzir agrupamentos distintos.
4. Não possuir habilidades no desenvolvimento de diferentes estratégias de resolução.
5. Incompreensão do enunciado da situação-problema apresentada.
6. Uso indiscriminado de fórmulas, provocando, em muitos casos, uma utilização
incorreta das mesmas, por desconhecimento da distinção básica entre arranjos e combinações.
A estes 6 tipos de erros categorizados por Dornelas (2004a), acrescentamos:
7. Atentar para a relevância da ordem dos elementos nos agrupamentos a serem
formados, mas realizar a divisão de forma errônea ou incompleta.
Nas análises, os erros do tipo 1 e 6 não foram encontrados, o que mostra que nas
universidades (ou pelo menos na Universidade Federal do Rio Grande do Sul) tem havido
uma preocupação em enfatizar o Princípio Multiplicativo em detrimento do uso de fórmulas
no ensino/aprendizagem de Combinatória.
O primeiro grupo (com alunos de 5º semestre) demonstrou outros erros. Com relação
ao erro tipo 3, sobre a questão da ordem, os alunos não atentaram para o fato de: 1) ao tratar
de comissões, não podemos contar os elementos como se estivessem em fila1; 2) a permutação
das cadeiras vazias gera o mesmo agrupamento2.
1 Em uma classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas, com 2 homens e 3 mulheres podem ser formadas? 2 Há 15 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido senta separado de sua mulher?
27
É importante destacar que todos os alunos mostraram dificuldades na busca e
desenvolvimento de diferentes estratégias de resolução, quando encontraram problemas que
envolvem divisão, como os da coleção C. Não houve acertos e foram poucas as tentativas.
Houve muitos casos de incompreensão do enunciado. Um exemplo está na tentativa de
resolução do problema A53, quando um aluno interpretou que a letra b deveria aparecer, no
mínimo, 2 vezes.
Com relação ao erro tipo 7, encontramos exemplos como a tentativa de resolução do
problema B24. O aluno separou a palavra PARAGUAIO em 2 blocos (PAR) e (AGUAIO),
resultando 7!3!, porém, no momento de realizar a divisão, pensando em três letras A
repetidas, dividiu o resultado encontrado por 3!, onde na verdade, deveria ser 2!. .
Esta primeira análise justificou a proposta didática que fez refletir sobre as razões de
multiplicar e dividir, oferecendo argumentos concretos.
33.1.3.1 Esquemas Encontrados na Resolução de Problemas
Antes de iniciar esta seção, alertamos que nem todos os problemas solucionados pelos
alunos que são apresentados neste trabalho estão corretos. Para evitar qualquer dúvida,
colocamos as soluções corretas dos problemas no APÊNDICE C.
Na primeira coleta de dados, com alunos de 5º semestre, encontramos esquemas de
representação para problemas com multiplicação, porém nenhum problema com divisão foi
resolvido.
• Encontramos três esquemas de resolução, quando aplicado o princípio
multiplicativo:
3 Temos 6 vagas para distribuir as letras a e b, com repetição, sabendo que b ocupa 2 vagas. De quantos modos pode-se fazer esta distribuição? 4 Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO em que P, A e R permanecem juntas, não necessariamente nessa ordem?
28
1) Esquema que utiliza traços ( _ _ _ _ ) nas posições dos elementos e que fala em
“vagas”. Cada traço é considerado uma vaga que é preenchida com a quantidade de
elementos que podem ocupar tal vaga, de acordo com as restrições do problema.
2) Esquema descritivo, que se utiliza de palavras para explicar e entender como são os
passos a serem desenvolvidos até se chegar ao resultado final.
3) Esquema em que se formam blocos que unem objetos que devem ficar juntos na
contagem.
Resolução do problema A35:
No problema A3, os alunos utilizam o esquema descritivo para explicar a resposta.
“Como a palavra tem 8 letras, temos que permutá-las e dividir o resultado pelo
fatorial das letras que se repetem.
8! ÷ 2! 2!”
Resolução do problema A46:
Neste caso, utilizam a descrição e o esquema dos traços.
“Para que o último algarismo seja par, o último algarismo é obrigado a ser par, logo
há 3 possibilidades (2, 4, 6) para o último algarismo, e para os 4 algarismos restantes temos
7 possibilidades com a possibilidade de repetição: 7 . 7 . 7 . 7 . 3 = 7203 ”
Resolução do problema B37:
Nesse problema, os alunos utilizam o esquema dos traços como auxílio visual e a
explicação da resposta é feita através do esquema descritivo.
“A1 A2 _ _ _ _ _ _ _ _ Temos que permutar o número de alunos e multiplicar por 2
cada aluno, já que há 2 possibilidades de eles estarem na fotografia. 210.10! ”
Resolução do problema C38: 5 Quantos são os anagramas das palavras ENUMERAR? 6 Quantos números pares de 5 algarismos podemos construir com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? 7 Dez alunos são convidados a tirar uma fotografia, podendo ficar em pé ou ajoelhados, mas mantendo-se em linha, lado a lado. De quantos modos eles podem tirar essa fotografia?
29
Foi utilizado o esquema dos traços, onde 5 grupos de 2 traços ficavam juntos
(representando um casal) e 5 grupos de 1 traço representavam as cadeiras sozinhas.
Além disso, o esquema da descrição e dos blocos também esteve presente neste
problema.
“Considere cada casal um bloco e permute como se fosse 10 cadeiras (5 duplas e 5
simples). Isso resulta em 10 fatorial, porém em cada cadeira dupla temos duas
possibilidades, portanto multiplicamos cada casal por 2, obtendo no fim 25.10! ”
Houve erro, pois as cadeiras vazias são iguais e a divisão se faz necessária.
Resolução do problema A69:
Neste problema, foram utilizados os esquemas 1 e 2.
“Como cada comissão deve ter 2 homens, para a 1º vaga temos 7 possibilidades e
para a 2º vaga temos 6 possibilidades. As outras 3 vagas devem ser ocupadas por mulheres.
Assim, temos 5 possibilidades para a 3º vaga, 4 possibilidades para a 4º vaga e 3
possibilidades para a 5º vaga. Portanto, temos 7.6.5.4.3 = 2520 possibilidades de
comissões.”
Resolução do problema B210:
“Da mesma forma que no item anterior, P, A, R formam um grupo que se desloca no
anagrama. Primeiro, permutando, P, A, R, temos 3! possibilidades. Depois permutamos as
outras 6 letras mais o grupo (P,A,R), ou seja, temos (6+1)! = 7! possibilidades. Porém, a
letra A se repete 3 vezes. Assim, fazendo 7!.3! contamos o mesmo anagrama três vezes, pois a
permutação dos A’s em um anagrama não altera este. Portanto, temos (7!.3!) ÷ 3! = 7!
anagramas possíveis da palavra PARAGUAIO com P, A, R juntas.”
8 Há 15 cadeiras em fila.De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido senta separado de sua mulher? 9 Em uma classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas, com 2 homens e 3 mulheres, podem ser formadas? 10 Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO em que P, A e R permanecem juntas, não necessariamente nessa ordem?
30
Esta resolução mostra noções muito confusas: multiplicar por quê? Dividir por quê?
Parece que a primeira pergunta consiste em investigar com cuidado aquilo que queremos
contar.
Após análise dos esquemas encontrados nas soluções dos alunos, algumas perguntas
surgem:
1) Algum esquema se repete várias vezes?
É possível observar que os esquemas foram bastante similares e bastante usados em
todas as soluções. O esquema – que nomeamos descritivo – parece facilitar o entendimento e
acompanhamento do processo a ser feito para que cheguem à solução. Os esquemas das vagas
e dos blocos parecem ser um auxílio visual ao problema e também foram largamente
utilizados.
2) Os alunos que acertaram algum problema que envolve divisão deram que tipo de
justificativa?
O problema A3 foi o único, envolvendo divisão, que foi corretamente resolvido. O
argumento dado (que pode ser visto na análise acima) diz que se deve “dividir pelo fatorial
das letras que se repetem.”. Tal resposta vem, provavelmente, das explicações encontradas
em livros didáticos, e que muitos professores dão a seus alunos quando explicam a
permutação com repetição. De outra forma, essa resposta pode ter sido facilmente encontrada
por ser um clássico e, provavelmente, já ter sido resolvido alguma vez. A conhecida fórmula
para permutação com repetição facilitou tal resolução. O problema B2 envolve divisão e um
dos grupos justificou: “Porém, a letra A se repete 3 vezes. Assim, fazendo 7!.3! contamos o
mesmo anagrama três vezes, pois a permutação dos A’s em um anagrama não altera este.”
Em outros problemas que exigem divisão, quando houve tentativas, não houve a
percepção de que ela era necessária.
31
Concluímos que os alunos deste grupo demonstram dificuldades nos problemas com
divisão e, quando os enfrentam e reconhecem a necessidade desta operação, argumentam de
dois modos: a) relembrando fórmulas (permutação com repetição, por exemplo); b) referindo-
se à igualdade de objetos, que são contados mais de uma vez.
O segundo grupo de alunos (com alunos de 7° semestre) foi solicitado a responder
uma pequena lista de problemas, divididos em três classes: a) exigência apenas da
multiplicação em problemas clássicos de arranjo e permutação; b) exigência da divisão em
problemas clássicos de combinação e de permutação com repetição; c) exigência de divisão
num problema não classificado entre os conceitos conhecidos.
O principal objetivo, da análise das respostas, consistiu em identificar e descrever
diferentes justificativas para a resolução, especialmente para as divisões. Escolhemos três
respostas.
Resolução do problema D1, item a11
Esquema Aluno 1
“Fixar os números 1 e 2. Sobram três algarismos (3, 4 e 5) que não podem ser usados
juntos, o que resulta um total de três números. Fixar os números 1 e 3. De modo análogo,
total de três números. Fixando o número 1, podemos fixar quatro candidatos na segunda casa
(já fixamos 2 e 3). Como cada candidato gera três números, só fixando 1 temos um total de
12 números. Sem perda de generalidade, podemos fixar na primeira casa 2, 3, 4 e 5... Cada
fixo nos confere 12 números. Havendo cinco possibilidades para a primeira casa fixa, temos
um total de 60 números. Este é um exemplo motivador para demonstração da fórmula do
arranjo, onde a ordem importa e nem todos os elementos são elencados ao mesmo tempo.”
Esquema Aluno 2 e Aluno 3
11 Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule os números que podem ser formados: a) com 3 algarismos diferentes.
32
“Com 3 algarismos diferentes: 5.4.3 = 60”
Resolução do problema D1, item b12
Esquema Aluno 1
“Aqui, funciona exatamente o mesmo modo, mas a única diferença é que fixando os
quatro primeiros candidatos, sobra apenas um número. Fixando os três primeiros, sobram
dois números. Fixando os dois primeiros, sobram três números....
Fixando o primeiro número, sobram quatro números. Exemplo motivador para a
demonstração da fórmula de permutação onde todos os elementos são usados ao mesmo
tempo. (Um caso particular da fórmula de arranjo do tipo An,n).”
Esquema Aluno 2 e Aluno 3
“5! = 120”
Resolução do problema D1, item c13 (PROBLEMA TESTE)
Esquema Aluno 1
“Aqui nós temos a resposta da fórmula acima com algumas restrições.
Cada um dos números possuem três possibilidades (o 1 nas três primeiras, o 2 nas três do
meio e o 3 nas três últimas). Então, vamos calcular as "impossibilidades" e subtrair de P5.
São seis impossibilidades ao todo (1 na quarta casa, 1 na quinta, 2 na primeira, etc). Cada
possibilidade envolve permutações de quatro elementos, então teremos: 4P4.
Até aqui a resposta fica: P5 - 4P4. As três casas centrais podem ser ocupadas pelos números
1, 2 e 3, mas se eles ocuparem das formas 132, 213, 231, 312 e 321, então dá bode...
Subtraímos 5P2. Resultado: P5 - 4P4 - 5P2.”
Esquema Aluno 2 12 Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule os números que podem ser formados: a) com 5 algarismos diferentes. 13 Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule os números que podem ser formados: a) com 5 algarismos diferentes, de modo que 1, 2 e 3 permaneçam nesta ordem, mas não necessariamente juntos.
33
Caso 1 – 1 na primeira casa 1 _ _ _ _
Subcaso 1 – 2 na segunda casa P3 = 6
Subcaso 2 – 2 na terceira casa 1 _ 2 _ _ 2.2 = 4
Subcaso 3 – 2 na quarta casa 2
Caso 2 – 1 na segunda casa _ 1 _ _ _
Subcaso 1 – 2 na terceira casa _ 1 2 _ _ 2.2 = 4
Subcaso 2 – 2 na quarta casa 2
Subcaso 3 – 2 na quarta casa 2
Caso 3 – 1 na terceira casa 2
Total: 6+4+2+2+2 = 20 possibilidades.”
Esquema Aluno 3
“_ 1 _ 2 _ 3 _
Fixando 1,2,3 nesta ordem, encontramos entre eles 4 vagas que podem (ou não) ser
ocupadas pelos números 4 e 5.
Primeiro escolho uma vaga para o 4. O número de escolhas é C4,1 = 4
Por exemplo: _ 1_ 2 _4 _ 3 _ Sobram 5 vagas para o 5.
Depois calculo para o 5: C5,1
Total = 20 possibilidades”
Resolução do problema D214
Esquema Aluno 1
“Chamaremos de "a" um elemento que "abrace" três algarismos distintos entre 1 e 5.
Como "a" pode assumir mais de um valor (123, 124, etc), para cada valor de "a" sobram dois
elementos (que chamaremos de "b" e "c": os algarismos não abraçados por "a"). Então,
14 Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule quantos conjuntos diferentes podem ser formados com 3 algarismos diferentes.
34
nosso novo conjunto será: abc. Considerando a ordem dos elementos relevantes, teremos P3
para cada valor de "a". Como a ordem não importa, estamos contando 6 vezes a mesma
coisa, então vamos dividir P3 por 6 = 1. O número de possibilidades para "a”.
Considerando a ordem relevante, temos pelo exercício 1a, A5,3 = 60. Mas como a ordem não
importa, para cada valor de "a", temos P3 combinações "iguais", portanto dividiremos A5,3 /
P3, ou seja: n! / (p! (n-p)!), ou seja C5,3: a fórmula da combinação.”
Esquema Aluno 2 e Aluno 3
“C5,3 = 5.4.3/6 = 10
Devemos dividir por 6, que é igual à permutação de 3, pois, considerando a resposta
obtida no problema D1 a), em que calculamos os números de 3 dígitos diferentes que podem
ser escritos com os algarismos dados, o que difere agora é que a ordem não importa e, por
exemplo, com os números 123 poderíamos gerar 6 números diferentes, conforme D1 a) que
equivale a somente um grupo neste problema. Por isso, cada um terá sido contado seis
vezes.”
Resolução do problema D315
Esquema Aluno 1
“Se os dígitos fossem distintos, pelos itens acima a resposta seria P5, mas trocar de
lugar um zero com o outro produzirá o mesmo número, ou seja, cada combinação distinta
fornecerá P3 combinações iguais....Então: P5/P3.”
Esquema Aluno 2
“P5,3 = 20
Dividimos por 3! porque os 0’s são iguais e estaremos contando 6 vezes o mesmo
número, considerando a permutação destes 0’s.”
15 Utilizando todos os algarismos do número 12000, calcule quantos números diferentes com 5 algarismos podem ser formados.
35
Esquema aluno 3
“_ _ _ _ _
Na primeira vaga não pode ter 0. Então: 2.4.3.2.1 = 48
Total: 48 possibilidades”
Comparando os argumentos utilizados nos problemas clássicos propostos na
Combinatória (D1a, D1b , D2 e D3 ), os esquemas envolvem os conceitos e fórmulas
conhecidos de arranjo sem repetição, permutação, combinação e permutação com repetição,
com erros que indicam a falta de necessidade de pensar. Ao reconhecer um problema
conhecido, não é mais necessário pensar sobre ele. É só buscar uma atitude, um esquema, já
construído. Estes problemas, muito simples, foram propostos exatamente com este objetivo:
identificar e descrever esquemas de resolução vinculados às fórmulas.
No problema D1c) – acima –, que escolhemos para PROBLEMA TESTE, pois é o
único que envolve divisão, mas não está entre os clássicos, nenhum aluno identificou a
divisão: o resultado mais simples esperado é 5!/3!. O aluno 1 explica sua solução recorrendo a
sucessivas subtrações: “Então, vamos calcular as "impossibilidades" e subtrair de P5”. O
aluno 2 faz a contagem dos elementos, dividindo o problema em pequenos casos. E se o
problema fosse a respeito dos números de 1 a 20?
O aluno 3 recorre a um bom argumento, um diagrama que permite encontrar vagas
para os números 4 e 5 e a aplicação (desnecessária, pois a resposta é visual) da fórmula de
Combinação. Neste raciocínio, não é necessário dividir, mas como a estratégia está muito
ligada à visualização, talvez aparecessem problemas se lidássemos com mais números.
Para estes alunos, divisões são feitas quando eles recorrem às expressões conhecidas
de Combinação e Permutação com repetição. As justificativas sempre envolvem ordem e
igualdade, como nas seguintes justificativas:
36
“Como a ordem não importa, estamos contando 6 vezes a mesma coisa, então vamos
dividir P3 por 6 = 1”.
“Mas trocar de lugar um zero com o outro produzirá o mesmo número, ou seja, cada
combinação distinta fornecerá P3 combinações iguais... Então: P5/P3”.
Concluímos que os alunos deste grupo demonstram mais familiaridade com os
problemas com divisão do que o primeiro e têm mais criatividade na busca de estratégias de
resolução. Apesar disso, ainda têm dificuldades na divisão: às vezes não a reconhecem como
uma possível solução, mas conseguem inventar outros caminhos. Com relação aos
argumentos, quando reconhecem a necessidade da divisão, repetem os chavões: a)
relembrando fórmulas (permutação com repetição, por exemplo); b) referindo-se à igualdade
de objetos, que são contados mais de uma vez; c) repetindo que “a ordem não importa”.
37
4 Constrangimentos para Melhoria do Ensino/Aprendizagem de Combinatória
Como constatamos que o ensino usual de Combinatória está centrado nas fórmulas e
que as pesquisas demonstram preocupação especial com o Princípio Multiplicativo, parece
natural delinear o objeto desta engenharia: estudar a viabilidade de uma abordagem mais
satisfatória para a resolução de problemas que envolvem divisão, identificando e descrevendo
os constrangimentos que se opõem à melhoria do ensino, neste quadro. Buscamos, nas
análises prévias, as razões da manutenção do ensino usual predominante, listando os
constrangimentos que dificultam a mudança de estado. Pela modificação de pelo menos um
destes constrangimentos, pode-se ter o sistema estabilizado em outro ponto de equilíbrio que
se julga mais satisfatório.
Neste caso, podemos resumir os principais constrangimentos responsáveis pela
tradição do ensino de Combinatória, em três níveis:
1. Nível epistemológico – a resolução de problemas de Combinatória é fundamentada no
conhecimento das quatro operações com números inteiros e, com relação à divisão,
exige o conhecimento das questões de divisão por quotas. Este tipo de conhecimento é
38
pouco explorado nas séries iniciais, sendo difícil, mesmo para alunos das demais
séries.
2. Nível didático – a) aos professores parece que é suficiente e satisfatório ensinar as
fórmulas; b) a ênfase das propostas inovadoras está no Princípio Multiplicativo; c) os
problemas que envolvem divisão e que recebem atenção caracterizam-se pela
identificação de objetos devido a sua semelhança – dividir, pois estes objetos, por
serem idênticos, estão sendo contados várias vezes; d) existem problemas que
envolvem divisão, são propostos nos livros didáticos, mas poucas vezes são
explicados.
3. Nível cognitivo – a) existe dificuldade cognitiva na resolução de problemas de
Combinatória, destacando-se a dificuldade de compreensão do texto e da solicitação
que está sendo feita; b) o desconhecimento do Princípio Multiplicativo e o fato de não
ser dada atenção/importância à ordem dos elementos nos agrupamentos, que pode ou
não distingui-los entre si;
39
5 Concepção e Análise a priori: Escolhas Didáticas Globais
O termo Engenharia Didática tem duplo sentido:
1) é um referencial para pesquisa, um conjunto de etapas a serem seguidas pelo professor
pesquisador que o leva a elaborar uma proposta de ensino inovadora e bem justificada;
2) é proposta de ensino elaborada, que pode ser denominada de Engenharia didática, ou
apenas Engenharia.
Para a escolha global – que compõe a análise a priori da Engenharia Didática –,
elaboramos uma proposta didática para ser aplicada com alunos do Curso de Licenciatura em
Matemática da UFRGS, do 5º semestre, entre os quais alguns já cursaram a disciplina
Combinatória. O foco da proposta é propor novas formas de argumentação para resolver
problemas que envolvem divisão. A base teórica da proposta está na Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud e o resumo do nosso estudo está no APÊNDICE B.
A Engenharia Didática enquanto referencial para pesquisa permite ao professor revisar
e melhorar as soluções intuitivas que ele poderia dar para certo problema de ensino. Neste
trabalho, começamos a pensar na questão do ensino de Combinatória em nível médio,
40
relacionado com o uso de “fórmulas” para propor os modos de pensar relacionados com o
Princípio Multiplicativo.
Seguindo os passos da Engenharia Didática – revisão bibliográfica e análises prévias –
passamos a analisar o problema com outro olhar. Nos cursos de formação de professores,
como o Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS, e nas publicações mais recentes
para o ensino de Matemática, o Princípio Multiplicativo tem sido enfatizado. Por outro lado,
os problemas que exigem divisão não têm tido o mesmo tratamento e não estão recebendo a
mesma atenção. Nossa atenção voltou-se para esses problemas e, ao mesmo, para o ensino de
Combinatória para futuros professores.
Planejamos, então, uma proposta didática para ser desenvolvida com um grupo de
alunos da Licenciatura em Matemática da UFRGS, desenvolvida como pesquisa e como
experiência de ensino:
Como pesquisa, o objetivo é identificar e descrever diferentes esquemas16 utilizados
pelos alunos na resolução de problemas. Os alunos muitas vezes resolvem problemas usando
“esquemas” que podem até conduzi-los a uma solução satisfatória para certa situação, mas
que não funcionam para outra ligeiramente diferente da primeira. Isso ocorre porque tais
conhecimentos não são científicos e tampouco constituem um esquema de assimilação que
possa ser aplicado a uma ampla classe de situações.
Como ensino, os objetivos da proposta consistem em:
a) mostrar que as fórmulas são insuficientes para resolver certa classe de
problemas, justificando a necessidade de desligar-se das fórmulas;
b) mostrar a importância da análise da ordem dos elementos nos agrupamentos;
c) propor um esquema de resolução baseada no conceito de divisão por quotas,
que atinge uma ampla classe de problemas que necessitam da divisão;
16 Segundo Vergnaud, uma atitude que envolve representações e justificativas utilizadas frente a um problema.
41
6 A Experimentação
6. 1 O Argumento para a Divisão
O esquema de resolução a ser proposto baseia-se nas análises realizadas.
Nos problemas que envolvem combinações ou permutações com repetição, a análise
dos livros didáticos demonstra que a divisão é necessária e é explicada com um argumento
relacionado com a ordem e a contagem de agrupamentos iguais.
É usual encontrar o seguinte argumento: a divisão é feita porque objetos (permutações)
iguais são contados várias vezes. Ou este: dividimos porque a ordem não importa. Como a
ordem dos elementos que formam cada objeto não importa, devemos dividir pela permutação
do número de elementos que compõem cada objeto.
Vamos nos referir a estes argumentos com o chavão: “a ordem não importa”.
O argumento “a ordem não importa” é geral? Pode ser aplicado a todos os problemas
de divisão? Por exemplo, os seguintes problemas: Podem ser explicados do mesmo modo?
Quantos anagramas diferentes podem se formar, a partir da palavra COISA, de tal
modo que as vogais OIA permaneçam nesta ordem?
42
Quantas números diferentes, com 5 algarismos, pode-se fazer com os algarismos 1, 2,
3, 4, 5, de modo que os algarismos pares permaneçam em ordem crescente?
Quantas rodas diferentes podem se formar, a partir de uma roda com 4 crianças que se
dão as mãos?
Nos dois problemas iniciais é até possível utilizar o argumento de que a “ordem não
importa” se convencermos o aluno de que, nestes casos, OIA ou os algarismos pares
poderiam ser substituídos por um só número ou letra. Deste modo, o problema pode ser
resolvido com o raciocínio da permutação com repetição.
No caso das rodas, o problema é separado dos demais, nos livros didáticos, e recebe
um tratamento especial, sendo denominado permutação circular.
A idéia é desenvolver um outro argumento que:
1) atribui especial importância à ordem dos elementos, nos agrupamentos; relaciona este
raciocínio com a necessidade da divisão e explicita e utiliza a divisão com o
significado da divisão por quotas (proposto por Vergnaud);
2) desenvolve um raciocínio mais amplo, que pode ser aplicado a uma grande família de
problemas que requerem divisão;
3) pode substituir a justificativa usual para estes problemas – “dividir porque a ordem
não importa” – que é útil sob certas condições, mas pode ser substituída por outra mais
abstrata e geral;
4) dá sentido à divisão.
6. 2 Hipóteses
Antes da aplicação da ação didática, sabendo da dificuldade dos alunos em resolver
problemas com divisão, tínhamos alguns pressupostos:
43
a) o esquema seria esclarecedor para os problemas de divisão, abrindo caminho para
a reflexão a respeito e para formulação de novos esquemas e novos argumentos;
b) a atividade possibilitaria um momento de reflexão sobre problemas de
Combinatória, sem a formalidade da sala de aula da disciplina regular, proveitoso e
necessário, na formação de professores.
6. 3 A Proposta Didática
Um problema de Combinatória pede a contagem de objetos/agrupamentos diferentes,
construídos de acordo com certas regras.
Os objetos podem ser: palavras construídas com letras dadas, números construídos
com algarismos dados, grupos formados com pessoas, conjuntos formados com objetos
variados, etc. Ou seja, estes objetos são obtidos a partir de um conjunto básico de elementos
que são agrupados entre si, seguindo regras.
Dado um problema de combinatória ou ele é resolvido diretamente pelo Principio
Multiplicativo ou ele apresenta condições que exigem outras operações. Neste caso não
vamos analisar problemas que necessitam de adição ou subtração, pois consideramos que são
redutíveis a problemas menores, com multiplicação e divisão.
Um problema que exige dividir o resultado de uma multiplicação inicial está sugerindo
um duplo trabalho:
1) definir A, o grande conjunto de objetos que seriam contados no problema, caso
não houvesse restrições e calcular M, o número de objetos de A, aplicando o princípio
multiplicativo;
2) estudar exemplos de objetos de A e verificar que nem todos cumprem as exigências
do problema e portanto, nem todos entram na contagem final;
44
3) perceber que X, um objeto de A que cumpre as condições do problema encobre ou
representa uma classe de objetos que não podem ser contados, mas que pertencem ao grande
conjunto inicial. Estes objetos são obtidos a partir de X por uma operação combinatória (na
maioria das vezes, permutação, mas não sempre, como no caso das rodas). Definir, desta
maneira, classes de objetos que só podem ser contados uma vez, estabelecendo uma partição
de A em classes (ou quotas) e calcular N, o número de objetos de cada classe;
4) a solução do problema consiste em descobrir em quantas classes o conjunto A está
sendo repartido e a pergunta final é: em quantas classes de N elementos pode-se dividir o
conjunto A, que tem M elementos? A resposta é M ÷ N. Aí aparece a divisão.
Neste raciocínio, entra:
1) a compreensão das informações dadas no problema para dar exemplos, definir
o conjunto A (o que queremos contar?) e definir classes em A (o que está sendo contado, mas
não obedece ao problema?);
2) a compreensão do princípio multiplicativo para calcular o número de elementos
de A e de cada classe (afinal, por que multiplicar?);
3) o conceito de “divisão por quotas”: em quantas classes com N objetos pode-se
dividir um grande grupo com M objetos? (Afinal, por que dividir?).
Exemplos de aplicações do novo esquema:
Quantos anagramas diferentes podem se formar, a partir da palavra COISA, de tal modo que
as vogais OIA permaneçam nesta ordem?
1) definir o grande conjunto A de
objetos que seriam contados no problema,
caso não houvesse restrições e calcular o
número M de objetos de A aplicando o
princípio multiplicativo;
O conjunto A é o das permutações
das letras da palavra COISA.
M = 5!
(em outros problemas poderia ser
um arranjo)
45
2) estudar exemplos de objetos de
A e verificar que nem todos cumprem
com as exigências do problema e,
portanto, nem todos entram na contagem
final;
COISA entra na contagem
CIOSA não entra na contagem
3) perceber que um objeto X que
cumpre as condições do problema encobre
ou representa uma classe de objetos que
não podem ser contados, que pertencem a
A e que são obtidos a partir de X por uma
operação combinatória (permutação, por
exemplo). Definir, desta maneira, classes
de objetos que só podem ser contados uma
vez, estabelecendo uma partição de A em
classes e calcular o número de objetos de
cada classe;
COISA representa uma classe de
palavras que tem as consoantes nesta
ordem e posição C - - S - e as vogais em
qualquer ordem.
A classe da palavra COISA é
obtida pela permutação das três vogais,
portanto, tem N = 3! objetos.
Cada palavra permitida (OIACS,
SOIAC, SCOIA, por exemplo) gera uma
classe composta por palavras que não
entram na contagem e que derivam da
palavra inicial, sendo obtidas do mesmo
modo, permutando as três vogais e
mantendo fixas as consoantes
4) a solução do problema consiste
em descobrir em quantas classes o
conjunto A está sendo repartido; a
pergunta final é: em quantas classes de N
elementos pode-se dividir o conjunto A,
que tem M elementos? A resposta é M/N.
Aí aparece a divisão. Os objetos de uma
mesma classe não entram na contagem
porque não obedecem às condições do
problema ou não diferem entre si.
O conjunto A tem 5! elementos e
está dividido em classes com 3! elementos
em cada uma.
Em quantas classes pode-se dividir
o conjunto A?
5!/3! = 20 classes.
Quantos anagramas diferentes
podem se formar, a partir da palavra
COISA, de tal modo que as vogais OIA
5! / 3! = 20 anagramas
46
permaneçam nesta ordem?
Quadro 1 – Aplicações do Esquema – Problema da Palavra COISA
Um problema semelhante ao anterior, com número menor de letras, pode dar um
exemplo pictórico do que é a divisão por classes:
Quantos anagramas diferentes podem se formar, a partir da palavra BAIO, de tal modo que as
vogais AIO permaneçam nesta ordem?
Número de todas as permutações possíveis: 4! = 24
A palavra BAIO entra na contagem e representa e gera uma classe de objetos que não
entram. A classe é formada a partir das permutações das vogais A,I, O, mantendo B na
primeira posição.
Cada classe assim formada tem 3! = 6 elementos.
Resultado: existem apenas 4 anagramas nas condições do problema.
Pode-se mostrar com uma tabela.
Na primeira linha estão os anagramas quer podem ser contados, pois obedecem às
condições do problema. Cada um deles encabeça uma coluna formada pelos objetos da classe
que ele representa: objetos que não podem entrar na contagem.
CLASSE 1 CLASSE 2 CLASSE 3 CLASSE 4
BAIO ABIO AIBO AIOB
BAOI ABOI AOBI AOIB
BIAO IBOA IOBA IOAB
BOIA OBIA OIBA OIAB
BIOA IBOA IOBA IOAB
BOAI OBAI OABI OAIB
Quadro 2 – Classes da Palavra BAIO
47
A tabela 6x4 mostra as 24 permutações possíveis. Cada coluna é uma classe com 6
permutações. Dividindo 24 permutações em classes de 6, obtém-se 4 classes, representadas
pelas únicas 4 permutações que satisfazem às condições do problema.
Ver outros problemas no APÊNDICE D.
7 Relato da Experimentação e Análise da Produção dos Alunos durante a Experiência
Didática
A experimentação foi realizada em três momentos. O primeiro serviu de base para
fazermos a análise em nível cognitivo. Esse momento teve duração de 4 horas e buscou
investigar os principais erros cometidos pelos alunos e as principais justificativas utilizadas
para explicar a resolução de problemas que envolvem divisão. As análises de tais erros e
justificativas encontram-se no item 3.1.3, constituindo uma das análises da engenharia
didática. Também neste primeiro momento, buscamos esquemas de resolução de problemas,
descritos no item 6.
Os segundo e terceiro momentos, juntos, tiveram duração de quatro horas e foram
desenvolvidos com 8 alunos do 5° semestre do curso de Licenciatura em Matemática da
UFRGS. Alguns desses já haviam cursado a disciplina Combinatória, outros não. Tais
momentos consistiram na apresentação da proposta didática de resolução de problemas
(momento 2), com posterior resolução de problemas (momento 3).
No momento 2, apresentei a estes 8 alunos nossa proposta – descrita no item anterior –
explicando nosso esquema através do exemplo: Quantos anagramas diferentes podem se
formar, a partir da palavra COISA, de tal modo que as vogais OIA permaneçam nesta ordem?
48
Os alunos mostraram interesse e participaram, lançando dúvidas quanto ao entendimento do
esquema proposto.
Os alunos receberam um conjunto com 5 folhas (APÊNDICE D – Aplicações do
Esquema). Na primeira, constava o exemplo citado no parágrafo anterior. Na segunda, duas
tabelas para que os alunos completassem com as permutações das palavras que compõem
cada classe. As últimas três folhas propunham 4 problemas a serem resolvidos pelos alunos,
após exposição do novo esquema de resolução.
No terceiro momento, logo após nossa exposição, permitimos que os alunos
trabalhassem nos outros problemas propostos. Todos eles foram solucionados corretamente e
os alunos procuraram utilizar o novo esquema aprendido. No ANEXO A, é possível
acompanhar duas resoluções feitas por dois alunos.
Além de propor estes quatro outros problemas que compunham a folha entregue aos
alunos, retomamos os problemas que haviam sido propostos no momento 1, fazendo pequenas
modificações, quando convenientes, a fim de adequá-los à possibilidade de utilização do novo
esquema. A idéia era corrigir problemas e superar dificuldades. Nesse sentido, propomos aos
alunos que pensassem novamente naqueles problemas que não haviam sido solucionados ou
que foram feitos incorretamente, tendo agora um novo esquema conhecido. Os alunos
repensaram os problemas e puderam utilizar essa nova ferramenta nas resoluções. No
ANEXO B, colocamos uma cópia de algumas dessas resoluções, com as devidas adequações.
O documento 1 ilustra duas resoluções dadas para o problema quantos números podemos
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que o 1 venha sempre antes do 2 e o 2
venha sempre antes do 3?, semelhante ao nosso PROBLEMA TESTE. Eles aplicam a
proposta da divisão por classes. O documento 2 ilustra outras resoluções de problemas
também propostos no momento 1.
49
Lembremos que anteriormente nenhum aluno havia resolvido corretamente estes
problemas. Após a experiência, os alunos mostraram-se satisfeitos com os resultados obtidos
e com a, enfim, compreensão daqueles problemas e de suas resoluções.
Coletamos observações e sugestões dos alunos, durante a aula. Algumas são reforço
para a idéia:
“ Gostei da aula. Só agora entendi a divisão” (Aluno 1).
“A aula serviu para repensar sobre o que eu faço em Combinatória” (Aluno 2).
“ Entendi agora o porquê da divisão. Antes eu só tinha decorado” (Aluno 3).
“Gostei da aula! O estudo do porquê se divide!” (Aluno 3).
Outras mostram a reflexão a respeito dos problemas de divisão e a formulação de
novos esquemas:
Fala do aluno: “Não vou seguir esta forma, mas ela me ajudou a criar outra”.
Este aluno acompanhou a resolução dos problemas no quadro, refletiu sobre outros
problemas e criou uma justificativa sua. Acompanhemos o problema, nossa proposta e a
conclusão do aluno:
Problema: “Quantos anagramas diferentes pode-se formar com as letras da palavra COISA,
de tal modo que as vogais permaneçam nesta ordem”
Nossa proposta: “COISA representa uma classe de palavras que tem as consoantes
nesta ordem e posição C - - S - e as vogais em qualquer ordem. A classe da palavra COISA é
obtida pela permutação das três vogais, portanto tem N = 3! objetos. Cada palavra permitida
(OIACS, SOIAC, SCOIA, SOCIA, por exemplo) gera uma classe composta por palavras que
não entram na contagem e que derivam da palavra inicial, sendo obtidas do mesmo modo,
permutando as três vogais e mantendo fixas as consoantes. O conjunto A tem 5! elementos e
está dividido em classes com 3! elementos em cada uma. Em quantas classes de 3! elementos
pode-se dividir o conjunto A? 5!/3! = 20 classes.”
50
Conclusão do aluno: “Então é simples. Só pensa no C e no S. O restante fica com as
vogais.
Primeiro escolhe uma vaga para o C: tem 5.
Depois uma vaga para o S: tem 4
A resposta é 4.5 = 20.”
Pedimos que aplicasse em outro problema:
Problema: Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO em que as vogais ficam em
ordem alfabética?
Aluno: “Queremos as vogais na ordem AAAIOU. Então esquece as vogais e escolhe
lugares para as consoantes: PRG: 9.8.7. Esta é a resposta.”
Nossa proposta: O número total das permutações é 9!. Estamos considerando as letras
A indexadas: PA1RA2GUA3IO. Este número é dividido pelo número de objetos que
pertencem a uma mesma classe.
Por exemplo: A1A2A3IOU representa a classe de todas as permutações possíveis de se
obter com as 6 letras, ou seja, 6!. A resposta é o número de classes de 6! elementos em que se
divide um conjunto maior com 9! elementos: 9! ÷ 6! = 9.8.7.
Para um problema com permutações com repetição, as soluções seriam:
Problema: Quantos números diferentes podem ser formados com os algarismos do número
123444?
Resposta clássica:
Nosso esquema: Tomamos todas as permutações possíveis: 6!. Cada elemento
representa uma classe de elementos equivalentes (as permutações do algarismo 4 indexado),
com 3! elementos. A resposta é o número de classes existentes:
51
Aluno: “Esquece os números 4. Escolhe lugar para o 1, 2 e 3. Dá 6.5.4 lugares. Para
cada escolha, o que sobra é do 4.”
O esquema do aluno não exige a divisão e vale para um grande número de situações,
embora para algumas não se adapte, como no caso do problema clássico da Combinação.
Exemplo de problema de Combinação: Com 5 pessoas (A,B,C,D,E), quantos grupos de 3
pessoas podem ser formados?
De acordo com nosso esquema, a resposta seria: número total dos arranjos 5.4.3 = 60
dividido pelo número de objetos que pertencem a uma mesma classe. Por exemplo: ABC
representa todas as permutações possíveis que podem ser obtidas com as 3 pessoas. Assim
vemos que, ao contar todas os 60 arranjos, estamos incluindo ABC e todas as suas
permutações, ou seja, 3! = 6. A resposta é o número de classes existentes: 60 ÷ 6 = 10.
Este foi um importante achado. Os alunos demonstraram que o esquema faz com que
se entendam as razões de dividir e que, por isso, permite outros raciocínios.
A produção dos alunos e suas observações, contribuições e novas idéias, validam
nossas hipóteses: o esquema proposto foi esclarecedor para os problemas de divisão, abrindo
caminho para reflexão a respeito e para formulação de novos esquemas e novos argumentos.
A atividade possibilitou um momento de reflexão sobre problemas de Combinatória, sem a
formalidade da sala de aula da disciplina regular, proveitoso e necessário, na formação de
professores.
Sobre a validade da proposta, consideramos que ela cumpriu com seus objetivos.
Como ação de formação de professores, foi uma oportunidade para os alunos – licenciandos –
verem que as fórmulas são insuficientes para resolver certa classe de problemas, justificando,
assim, a necessidade de desligar-se delas; mostrou a importância da análise da ordem dos
elementos nos agrupamentos; colocou sob análise um esquema de resolução, baseado no
conceito de divisão por quotas, que atinge uma ampla classe de problemas que necessitam da
52
divisão e que explica as razões dessa divisão. O esquema provê uma argumentação mais
satisfatória do que aquelas presentes no ensino usual e abre caminho para a produção pessoal
de novos esquemas.
8 Considerações Finais
Este trabalho inicia com uma pergunta: Como explicar de maneira compreensível que
em alguns problemas de Combinatória é necessário dividir e em outros não? De outro modo,
como justificar a divisão? Para responder essa questão, fomos estudar o que a produção
teórica recente em Educação Matemática informa sobre os problemas que envolvem divisão.
Neste estudo, encontramos dois significados para a divisão, explicados por Vergnaud.
De acordo com Vergnaud, é importante que, já no Ensino Fundamental, sejam
trabalhados três conceitos do campo da multiplicação: a proporcionalidade, a organização
retangular e a combinatória. Em relação à Combinatória, um problema do tipo: Joana pode se
vestir de 8 maneiras diferentes. Se ela tem 2 saias, quantas blusas ela tem? faz parte de tal
classificação e envolve apenas uma divisão para ser solucionado.
Além destas três categorizações de conceitos no campo da multiplicação, verificamos
na teoria de Vergnaud, também estudada por Selva (1998), outras duas categorias,
estreitamente relacionadas à divisão e que foram interessantes a este trabalho. São duas
subdivisões dos problemas de divisão (que, lembremos, estão inseridos no campo conceitual
53
da multiplicação): a divisão por partição (partitive division) e a divisão por quotas
(measurement division).
Ao estudar Selva (1998), vimos que os problemas de divisão por quotas são
considerados mais difíceis, além de serem menos usuais no meio social da criança. Nós
mesmas pudemos sentir tal dificuldade ao trabalhar com os alunos participantes da
apresentação da proposta didática deste trabalho.
Após este estudo, percebemos que problemas como o nosso PROBLEMA-TESTE
(quantos números podem ser formados com os dígitos 12345, de tal modo que 1, 2 e 3
permaneçam nesta ordem, não necessariamente juntos?) ou o problema da palavra COISA
(quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras da palavra COISA, de
modo que as vogais O, I, A permaneçam nesta ordem, não necessariamente juntas?) são
resolvidos com uma divisão por quotas. Divide-se o total de agrupamentos encontrados (5! =
120) por classes de objetos (de 3! = 6 objetos). Em cada classe de objetos, apenas um pode ser
contado. Dividindo 120 objetos em classes de 6 objetos, quantas classes obtemos?.
Respondendo a essa pergunta, solucionamos os dois problemas.
Fomos mais além, na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, e aprendemos
que, na resolução de problemas, os sujeitos desenvolvem esquemas – modos de agir que
incluem representações variadas. Muitas vezes, os alunos utilizam esquemas que resolvem um
tipo de problema e não conseguem resolver outro, ligeiramente diferente. Utilizam-se de
conhecimentos que não constituem um esquema de assimilação que pode ser aplicado a uma
ampla classe de situações – um dos objetivos de nossa proposta.
Ao analisar livros didáticos, entendemos esta realidade. O esquema usual para resolver
problemas que envolvem divisão, na combinatória, envolve a noção de igualdade entre
objetos: objetos (anagramas, filas, grupos) iguais são contados K vezes, então é preciso
dividir o resultado por K. K é precisamente o número de objetos iguais entre si e resulta da
54
permutação dos elementos (letras, pessoas) que formam cada objeto. Percebemos que este
esquema de resolução não é satisfatório para os problemas acima – PROBLEMA TESTE e
PROBLEMA DA COISA –, pois, neste caso, a permutação das letras não forma objetos
iguais, como no argumento acima, mas sim, diferentes. A divisão necessita de outro
argumento. É necessário criar um esquema para este tipo de problema, um esquema mais
geral que dê conta de uma classe mais ampla de problemas.
Dentro deste contexto, surge nossa proposta: um esquema que utiliza a idéia da divisão
por quotas. A proposta foi experimentada com um grupo de alunos do Curso de Licenciatura
em Matemática da UFRGS. Verificamos suas dificuldades ao resolver problemas e a
insuficiência de seus esquemas.
Após a experimentação, a opinião unânime é de que ela esclarece as razões da divisão
para uma grande família de problemas, justificando, inclusive, as clássicas fórmulas de
Combinação, Permutação Circular e Permutação com repetição. E por esclarecer as razões da
divisão, amplia o saber do aluno, visto que agora, ao resolver um problema, ele percebe mais
facilmente a necessidade da divisão, a compreende e, por fim, a realiza de maneira correta.
O mérito da proposta é ser formadora: o esquema exige a análise cuidadosa do
problema – afinal, o que estamos contando?. Assim, os problemas dão sentido ao conceito de
contagem e o esquema novo dá sentido às situações da Combinatória, comprovando a teoria
de Vergnaud: esquemas dando sentido às situações, situações dando sentido ao conceito e
esquemas mobilizando um conjunto de representações. Este novo esquema rompe com o
chavão “divide-se porque a ordem não importa” e sugere outro modo de pensar, mais geral e
mais abstrato.
Existem muitos outros esquemas para resolver os problemas de Combinatória. Temos
certeza de que se os problemas que compõem este trabalho forem propostos para cinco
professores do Curso de Licenciatura, teremos cinco esquemas diferentes de resolução.
55
Estamos propondo mais um esquema: um que, para nós, parece satisfatório para solucionar
uma grande gama de situações e que, após experimentação, foi confirmado e validado pelos
que nela foram envolvidos.
O mérito deste trabalho consiste em vincular a construção pessoal de um esquema de
resolução de problemas com uma teoria da Educação Matemática, que o justifica e
fundamenta, mostrando o papel do estudo teórico na prática docente. Teoria e prática, quando
vinculadas, têm potencial para contribuir na melhoria do ensino, o que vem a ser uma das
tarefas do professor-pesquisador.
9 Nota Pessoal
Finalizando este trabalho, reflito sobre o conhecimento e a experiência que adquiri.
Desenvolver um trabalho de pesquisa proporciona ao pesquisador ampliar suas redes de
conhecimento em diversos sentidos. No meu caso, o desenvolvimento deste trabalho, em
todas as suas etapas, me proporcionou aprender sobre pesquisa, Educação Matemática e sobre
a própria matemática.
Em relação à pesquisa, lembro-me das palavras de minha orientadora (professora da
disciplina Pesquisa em Educação Matemática), quando disse que uma boa maneira de se
aprender a fazer pesquisa é fazendo. A partir dessa disciplina, passei a trilhar cada passo
necessário à construção de uma pesquisa – desta pesquisa, em especial – e, com isso, pude
entender o processo pelo qual ela se desenvolve, especialmente com base em uma engenharia
didática.
Escolhido o tema da Combinatória (tema pelo qual tenho bastante interesse e que se
relaciona com tendências na área de Educação Matemática) e justificada tal escolha, vem o
próximo passo. A revisão bibliográfica me proporcionou aprender um pouco mais sobre as
56
tendências de estudo na área da Educação Matemática e, em especial, na área da
Combinatória. Na busca por trabalhos já desenvolvidos, deparei-me com uma grande
quantidade deles, muitos abordando minha idéia inicial, ligada ao princípio multiplicativo.
Isto me proporcionou aprender sem ter de, de fato, desenvolvê-la, podendo, assim, modificá-
la de modo a ampliar ainda mais meu conhecimento sobre o assunto e construir um produto
final que vai além daquilo que já foi feito, oferecendo contribuições para a área.
Em relação à Educação Matemática, conhecer e estudar a teoria dos campos
conceituais de Gérard Vergnaud, referencial teórico de meu trabalho, foi uma excelente
oportunidade de aprendizado. Mais do que estudar tal teoria, relacionar e adaptar as idéias de
Vergnaud à pesquisa e à Combinatória proporcionou-me maior compreensão do meu trabalho,
justificando-o e embasando- o.
As análises dos livros didáticos e das resoluções de problemas feitas pelos alunos
participantes da proposta e que compuseram as análises prévias, em nível didático e cognitivo,
deste trabalho, fizeram-me repensar antigos problemas de Combinatória com diferentes
esquemas de resolução, ampliando meu entendimento sobre eles. Tal ampliação também é
devida ao esquema que propomos no trabalho, que esclareceu as dúvidas, não só dos alunos
envolvidos na proposta, mas também as minhas.
Finalmente, posso afirmar que aprendi a desenvolver uma pesquisa, a buscar dados,
estudar, justificar, expor hipóteses, analisar resultados, validar, entre outras coisas que,
unidas, formaram um produto final. Este, responde às minhas dúvidas iniciais, e poderá ser
um aliado para o professor que busca apoio em materiais já experimentados e validados para
renovar e inovar suas aulas.
A validade desta pesquisa em minha formação se dá pelo conhecimento que
experimentei ao longo de sua criação e que poderei aproveitar quando atuando como
professora. Mais do que isso, acredito que seu resultado tem potencial para facilitar o
57
entendimento de muito problemas de Matemática, que há muito são considerados difíceis
pelos alunos, especialmente os de Combinatória que envolvem divisão.
Referências
ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, Jean. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget. Horizontes Pedagógicos, 1996, p.193-217. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998. 148p. CARNEIRO, Vera Clotilde Garcia. Engenharia didática: um referencial para ação investigativa e para formação de professores de Matemática. Zetetike, Campinas-UNICAMP, v. 13, n. 23, 2005, p. 85-118. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2000. DORNELAS, A.C.B. Resolução de Problemas em Análise Combinatória: Um Enfoque Voltado para Alunos e Professores do Ensino Médio. Universidade Federal Rural de Pernambuco. Recife, 2004a.
______. O princípio multiplicativo como recurso didático para a resolução de problemas de contagem. Dissertação (Mestrado em Ensino da Ciências) – Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2004b.
58
GAZIRE, Eliane Scheid. Perspectivas da Resolução de Problemas em Educação Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Rio Claro, 1988.
LIMA, Elon L.; CARVALHO, Paulo. C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio, volume 2. Sociedade Brasileira de Matemática, RJ, 2006. MOREIRA, M.A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências, v.7, n.1, 2002. MORGADO, Augusto C; CARVALHO, João B. P.; CARVALHO, Paulo. C. P.; Fernandez, Pedro. Análise Combinatória e Probabilidade. Sociedade Brasileira de Matemática, RJ, 2006. ROA, R.; BATANERO, C.; GODINO, J. D. & CAÑIZARES, M. J. (1996). Estrategias en la resolución de problemas combinatorios por estudiantes con preparación matemática avanzada. Epsilon, 36,433-446. RODRIGUES, V. Resolução de Problemas como Estratégia para Incentivar e Desenvolver Criatividade dos Alunos na Prática Educativa Matemática. Dissertação de Mestrado. UNESP, Rio Claro, 1992.
SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à análise combinatória. 3ª edição, editora Unicamp, SP, 2002. SELVA, A. C. V. Resolução de problemas de divisão com crianças pequenas: estratégias X recursos utilizados. In: 21ªReunião Anual da Associação nacional de Pós-Graduação em Educação (ANPEd), 1998, Caxambu. Resumos 21ªReunião Anual da Associação nacional de Pós-Graduação em Educação (ANPEd), 1998. v. 1. p. 195-195. STURM, Wilton. As Possibilidades de um Ensino de Análise Combinatória sob uma abordagem alternativa. Dissertação de Mestrado. Faculdade de Educação. Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, 1999.
Bibliografia Recomendada
59
LAUTERT, S. L.; SPINILLO, A. G. As Relações entre o Desempenho em Problemas de Divisão e as Concepções de Crianças Sobre a Divisão. Universidade Federal de Pernambuco. Psicologia: Teoria e Pesquisa. Set-Dez 2002, Vol. 18 n. 3, p. 237-246. GURGEL, Thaís. De vezes e de Dividir. Encarte Especial Matemática. Nova Escola. CHAHON, M. Metacognição e Resolução de Problemas Aritméticos Verbais: teoria e implicações pedagógicas. Revista do Departamento de Psicologia (UFF), v. 18, p. 163-176, 2006.
APÊNDICE A - Engenharia Didática
I. O tema e o Campo de Ação:
Esta etapa inclui a escolha do tema da pesquisa e as justificativas para tal escolha.
O tema deve ser “um conjunto de saberes que se ofereça como um recorte coerente da
Matemática escolar, importante e auto-suficiente em si mesmo, adequado para uma ação de
engenharia” (CARNEIRO, 2005).
As justificativas para a escolha do tema podem estar na relevância do ensino do
conteúdo, em dificuldades encontradas em seu ensino, em uma dificuldade que foi vivenciada
ou presenciada como aluno, acadêmico ou mesmo professor, ou algo que tenha partido de
uma experiência prática em sala de aula.
II. Análises Prévias
Nesta etapa das análises prévias, é feito um estudo sobre o modo como vem sendo
realizado o ensino habitual do conteúdo/tema escolhido, para que mais tarde seja proposta
60
uma intervenção neste modelo existente. O objetivo é aperfeiçoá-lo, adaptá-lo ou reorganizá-
lo de uma maneira que pareça mais conveniente ao professor/pesquisador.
Tais análises são divididas em três níveis:
1. Epistemológico: associado ao estudo da construção e evolução do conhecimento a ser
pesquisado.
2. Didático: associado ao estudo dos métodos pelos quais esse conhecimento vem sendo
abordado; análise do funcionamento do sistema de ensino.
3. Cognitivo: associado ao estudo das dificuldades de aprendizagem dos alunos com
relação a esse conhecimento; dificuldades e obstáculos que surgem ao longo da
construção do conhecimento.
Nas análises prévias também buscamos entender quais aspectos do ensino atual
podem/devem ser mantidos, quais poderiam/deveriam ser alterados para tornar o estudo deste
conhecimento epistemologicamente e/ou cognitivamente mais satisfatório e quais os
constrangimentos que impedem/dificultam tais mudanças.
III. Análise a priori da Experiência Didático-Pedagógica e Concepção
Nesta etapa, descrevemos nossas escolhas em dois âmbitos: um global, onde
explicamos nossa proposta didática e explicitamos nossos objetivos, e outro local, onde
detalhamos esta proposta, explicitando os recursos a serem utilizados, o público e o tempo de
duração da proposta.
IV. Hipóteses
Ao elaborarmos nossa proposta nas escolhas globais e locais, formulamos hipóteses
sobre o raciocínio e o comportamento dos alunos frente a essa proposta. Essas hipóteses serão
61
comparadas com os resultados finais, após a aplicação da proposta e irão constar na validação
da Engenharia. As decisões tomadas para a criação da proposta ocorrem simultaneamente à
formulação dessas hipóteses, que interferem diretamente no tipo de escolha que é tomada para
a Engenharia. Após delinearmos o Plano de Ação, ficam explícitas as hipóteses que o
pesquisador tem de antemão, com relação aos resultados que imagina verificar. Após a
experimentação, voltamos às nossas hipóteses para verificar o que, de fato, funcionou e quais
hipóteses são válidas.
V. Experimentação
Nesta etapa, descreve-se como ocorreu a aplicação da proposta didática, como ela foi
ministrada, de que forma se deu a participação do público e que tipo de material pôde ser
coletado para posterior análise.
VI. Análise a posteriori
Na Engenharia Didática, “a validação é essencialmente interna, fundada no confronto
entre a análise a priori e a análise a posteriori”. (Artigue, 1996, p. 197). Neste confronto,
analisa-se aquilo que foi considerado como hipótese pelo pesquisador e o que foi validado ou
não com a experiência.
VII.Validação da Engenharia
Na validação é feita a análise e comparação das hipóteses em relação às questões
centrais do trabalho, ou seja, compara-se aquilo que era pensado anteriormente com aquilo
que foi formulado como hipótese e com aquilo que pode ser observado durante a
experimentação. Explicitam-se as hipóteses que foram verificadas como válidas e sugerem-se
modificações para aquelas que não foram.
62
A invalidação de uma hipótese não implica a invalidação da Engenharia, ao contrário,
a partir da verificação da não validade de uma hipótese, o professor/pesquisador sugere algum
tipo de reformulação, refletindo ainda mais sobre a proposta de sua pesquisa e, aumentando
assim, seu conhecimento sobre o tema.
Na validação da Engenharia ainda são feitas considerações sobre a reprodutibilidade
da Engenharia. Nestas considerações podem ser sugeridas novas idéias a cerca do tema da
pesquisa realizada. Também podem ser dadas sugestões para que outro pesquisador
interessado na temática possa dar continuação a ela.
Com a Engenharia Didática a ser proposta, não se almeja encontrar a verdade sobre
algum método de ensino, ou seja, não se busca um método infalível que seja aplicável a todas
as situações possíveis e útil para todas as pessoas, mas sim, procura-se uma maneira que,
talvez, seja produtiva e eficaz para um certo grupo de pessoas.
63
APÊNDICE B - Sobre Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais
Nesta seção, iremos expor alguns conceitos da teoria dos campos conceituais do
pesquisador francês Gérard Vergnaud, diretor do Centro Nacional de Pesquisa Científica. Este
texto resume um artigo do Professor Marco Antonio Moreira, com o título A Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud, o Ensino de Ciências e a Pesquisa nesta Área
(MOREIRA, 2002). Estudamos e resumimos ou transcrevemos idéias do artigo e, por isso,
não faço citações com referências bibliográficas.
Para Vergnaud, todo conhecimento está organizado em campos conceituais e sua
teoria dos campos conceituais é uma teoria psicológica do processo de desenvolvimento da
conceitualização do real.
Primeiramente, iremos definir o que é um campo conceitual. Campo conceitual,
definido de uma maneira mais abrangente, é um conjunto informal e heterogêneo de
problemas, conceitos, relações, situações, estruturas, conteúdos e operações do pensamento,
conectados e entrelaçados uns aos outros. Uma segunda definição dada por Vergnaud diz que
um campo conceitual é um conjunto de situações cujo domínio requer, por sua vez, o domínio
de vários conceitos de naturezas distintas. Campo conceitual ainda pode ser visto como “um
conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e
representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados”.
64
O processo de obter o domínio de um campo conceitual e apropriar-se de todas as
propriedades de um conceito ocorre ao longo de um vasto período de tempo, podendo
estender-se por muitos anos. As dificuldades conceituais não devem ser contornadas, mas sim
superadas a partir de seu enfrentamento, assim que são identificadas. Este é um processo
gradual que não ocorre subitamente.
Os estudos de Vergnaud são mais centrados nos campos conceituais aditivo (que
envolve também a subtração) e multiplicativo (que envolve a divisão), mas a teoria dos
campos conceituais também trata de áreas como a Física, a Biologia e a História.
O campo conceitual das estruturas multiplicativas – que interessa a nosso trabalho – é
o campo que abrange todas as situações que podem ser analisadas como problemas de
proporções, simples ou não, que necessitam de uma multiplicação, de uma divisão ou de uma
combinação das duas operações.
Vergnaud reconhece o significado da teoria desenvolvida por Piaget e destaca,
principalmente, os conceitos de adaptação, desequilibração e reequilibração. Além desses, o
conceito introduzido por Piaget que mais interessa a Vergnaud é o de esquema, que mais
adiante, veremos ser de fundamental relevância na teoria de Vergnaud.
Apesar de Vergnaud ser seguidor das idéias de Piaget, sua teoria dos campos
conceituais também tem vinculo com as idéias de Vygotsky, o que é verificado na
importância dada à interação social e à linguagem, por exemplo, em sua teoria. Além disso,
Vergnaud manifesta traços das idéias de Vygotsky ao considerar o professor como importante
mediador ao longo do processo em que o aluno irá desenvolver maior domínio de um campo
conceitual.
Na teoria dos campos conceituais, existem alguns conceitos principais, como o de
esquema, situação, invariante operatório e o conceito de conceito, que iremos expor com mais
detalhes agora.
65
Conceitos
Conceito é definido por Vergnaud como um tripleto de três conjuntos C = (S, I, R),
onde: S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I é um conjunto de
invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais repousa a operacionalidade do
conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de
invariantes que podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as
situações do primeiro conjunto; R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem
natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e
representar esses invariantes e, conseqüentemente, representar as situações e os
procedimentos para lidar com elas.
Para estudar o desenvolvimento de um conceito e sua utilização ao longo do processo
de aprendizagem, ou ao longo da sua própria utilização, é necessário considerar esses três
conjuntos simultaneamente.
Trazendo este conceito para a Combinatória, podemos pensar no conceito como sendo
a contagem. O conjunto de situações que dá sentido a ele (S) seriam os problemas de
contagem. O conjunto de invariantes operatórios (I) seriam os processos de multiplicação e
divisão envolvidos na resolução dos problemas. As representações simbólicas (R) seriam
todos os tipos de linguagens utilizadas para explicar o processo pelo qual é resolvido um
problema, como, por exemplo, o uso de diagramas de árvores, de sentenças formais do tipo “a
ordem não importa”, criação de um esquema com tracinhos, indicando as vagas disponíveis
para agrupar elementos ou ainda a separação dos objetos a serem contados em classes
mostradas com diagramas.
São as situações que tornam os conceitos significativos, já que o núcleo do
desenvolvimento cognitivo é a contextualização. Dessa forma, a principal entrada de um
66
campo conceitual são as situações e não os conceitos. Um conjunto de situações pode, então,
ser outra definição de campo conceitual.
Situações
Vergnaud define situação como uma tarefa, e toda situação complexa pode ser vista
como uma junção ou combinação de tarefas. Dessa forma, é importante que se conheçam as
naturezas e as dificuldades próprias de cada tarefa.
Em cada campo conceitual é possível encontrar uma enorme variedade de situações, e
são as situações que o aluno irá encontrar que irão modelar e contribuir para o
desenvolvimento de seus conhecimentos com respeito a esse campo conceitual. Como dito
anteriormente, são as situações que dão sentido ao conceito, sendo assim, um conceito irá se
tornar significativo através dessa variedade de situações existentes em cada campo.
O sentido não está nas situações, propriamente ditas, mas na relação do sujeito com
elas e com os significantes (conjunto de representações simbólicas). De fato, são os
comportamentos que as situações ou os significantes provocam nos sujeitos (esquemas) que
definem e formam o sentido dessa situação ou desse significante para o indivíduo.
No caso da Combinatória, podem-se identificar duas famílias de situações: a que
envolve apenas multiplicação e a que exige, também, divisão. Não estamos esquecendo a
importância da adição e da subtração, mas percebemos que problemas que exigem essas
operações, na verdade, podem ser separados em casos que se reduzem a problemas de
multiplicação e/ou divisão.
Vimos o que é um campo conceitual e chegamos ao conceito de conceito. Sendo as
situações aquilo que dá sentido ao conceito, estudamos as situações e, sendo os esquemas
aquilo que dá sentido a uma situação, veremos agora o que são esses esquemas.
67
Esquemas
Esquema é definido por Vergnaud como a organização invariante do comportamento
para uma determinada classe de situações. É também a organização da conduta do sujeito para
certa classe de situações. Segundo o autor, é nos esquemas do sujeito que devem ser
procurados e pesquisados os elementos cognitivos que fazem com que suas ações sejam
operatórias e invariantes.
Piaget definiu esquema com o intuito de abranger todas as formas de organização das
habilidades sensório-motoras e também das intelectuais. Todo esquema contém regras, e as
ações que o esquema e essas regras geram dependem dos parâmetros da situação. Ou seja, um
esquema não é um modo de agir que serve para todas as situações. Apesar disso ele é amplo,
universal e eficiente para todo um conjunto de situações, gerando diferentes seqüências de
ações (sobre um dado problema, por exemplo) e diferentes formas de coletar informações,
dependendo das características da situação que se tem. É preciso entender que no esquema o
que é invariante é a forma como o indivíduo organiza seu comportamento, e não o próprio
comportamento.
Existem alguns nomes que classificam certos tipos de esquemas. Quando em
Combinatória, ou em outro conteúdo qualquer do campo multiplicativo, por exemplo,
fazemos diagramas ou gráficos, estamos usando um esquema perceptivo-gestual. Nesta
mesma denominação enquadra-se o esquema de contar objetos (contagem). Outro tipo de
esquema, o esquema verbal, está relacionado a fazer um discurso, por exemplo. Além da fala
e dos gráficos e diagramas, os esquemas podem, ainda, ser representados pela escrita ou por
fórmulas.
Vergnaud considera que o desenvolvimento cognitivo deve-se, principalmente, ao
desenvolvimento de um grande conjunto, de uma grande gama de esquemas. Acredita então,
68
que nessa interação esquema-situação, o sujeito se depara com uma situação – e lembramos
que situação define uma tarefa – e precisa buscar um de seus esquemas para resolvê-la.
Quanto mais esquemas o sujeito tiver desenvolvido, mais fácil será encontrar aquele que
melhor irá atender às necessidades daquela situação. Assim acontece na Combinatória, por
exemplo, o aluno depara-se com um problema e precisa buscar ferramentas, precisa buscar
um esquema que o resolva. Nesse sentido, é possível ver a educação como a fonte que irá
ajudar o aluno a desenvolver essa gama de esquemas de que ele irá precisar ao longo de sua
vida escolar. Mais do que isso, é possível ver no papel do professor atos mediadores que
possam prover situações frutíferas a seus alunos.
Esquema vincula a conduta e a representação: a relação entre situações e esquemas é a
fonte primária da representação (e, portanto, da conceitualização). Ao enfrentar uma situação
conhecida, o sujeito evoca um esquema de resolução (um comportamento), que inclui regras
de ação e exige algum tipo de representação. O sujeito pode utilizar então, um conjunto de
representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.)
que podem ser usadas para indicar e representar os comportamentos invariantes e para
representar as situações e os procedimentos para lidar com elas.
Vergnaud distingue duas classes de situações:
• Aquelas em que o sujeito dispõe das competências que são necessárias para tratar
de uma dada situação, ou seja, para uma mesma classe de situações, o sujeito é capaz de
organizar suas ações com um só esquema.
• Aquelas em que o sujeito não dispõe das competências necessárias, levando algum
tempo para refletir sobre a situação, explorá-la e fazer algumas tentativas que, muitas vezes,
conduzem ao fracasso. Nesta classe, o sujeito não tem claro em sua mente qual esquema é
eficiente para a situação posta e utiliza-se de vários esquemas, buscando, em um jogo de
tentativas, encontrar um que sirva para seu objetivo.
69
Em nosso trabalho, apresentamos diferentes problemas de Combinatória para alunos da
Licenciatura em matemática da UFRGS. Percebemos, no primeiro momento, que muitos
alunos não sabiam resolver os problemas propostos. Discutiram em grupo alguns esquemas
possíveis que poderiam solucionar o problema e, por fim, registraram aquele que lhes parecia
mais pertinente. No segundo momento do trabalho, após termos exposto uma proposta para
esquema de resolução, alguns ainda hesitaram, questionando se não poderiam resolver de
outra maneira (com outro esquema). Obviamente, dissemos que sim - cada um deve utilizar o
esquema que lhe parece mais razoável - e ao questionarmos estes alunos sobre qual a
estratégia (esquema) que pensavam utilizar, não sabiam responder tal pergunta, prontamente.
Estes alunos buscavam antigos esquemas, mas, muitas vezes, ainda estavam confusos mesmo
quanto a eles, utilizando um esquema menos apropriado para a situação, ou utilizando-o de
maneira errônea.
Esquema pode ser pensado como uma categoria de pensamento que é considerada
pertinente. É nisso, por exemplo, que consiste o esquema que propomos neste trabalho:
partindo de todas as permutações possíveis, identificamos as que são equivalentes, separamo-
las em classes e fazemos a divisão apropriada, ou seja, estamos partindo do pressuposto de
que este esquema é válido como categoria de pensamento.
Um esquema não é, de fato, um teorema ou um conceito científico, a menos que se
torne explícito. No âmbito da ciência, os teoremas e os conceitos existentes, assim o são, por
serem explícitos e, assim, poderem ser discutidos com respeito a sua relevância e veracidade.
Esquemas podem, ao longo do tempo, se tornar conceitos ou teoremas, deixando de ficar
apenas imersos em ações, passando a ser explícitos e podendo, então, serem discutidos e
comunicados a outros.
Ao lidarmos com uma situação, as ações que serão desenvolvidas dependem dos
esquemas que desenvolvemos e também da identificação dos elementos que são pertinentes à
70
resolução do problema ou da situação. A maioria dos esquemas utilizados permanece
implícita, mas com a intervenção do ensino, poderia tornar-se explícita. Como dito
anteriormente, o ensino tem a função de colaborar na construção dos esquemas e, mais ainda,
na construção dos teoremas e conceitos explícitos, cientificamente aceitos, partindo daquilo
que já está implícito no aluno.
A escola, segundo Vergnaud, tem maior estima pelo conhecimento explícito e
subestima, ou até desvaloriza, aquele que é implícito. Porém, a maior parte da atividade
mental dos sujeitos é constituída de esquemas com componentes largamente implícitos, ou
seja, há muito de implícito nos esquemas e isso não pode ser desvalorizado no aluno. O
ensino tem o papel de contribuir nessa transformação do conhecimento implícito do aluno no
explícito, sem jamais desvalorizá-lo.
A perspectiva dos campos conceituais de Vergnaud não pretende ser substitutiva, mas
sim progressiva, no sentido da transformação e aprimoramento do conhecimento implícito
que, progressivamente, evolui para o explícito.
Vergnaud e a Resolução de Problemas
Na teoria dos campos conceituais de Vergnaud, vimos que situação tem o significado
de tarefa, mas também podemos entender situação como um problema, pelo menos, no âmbito
das ciências, como a matemática. O próprio Vergnaud, em trabalhos anteriores aos que tratam
da teoria que estamos abordando, diz que os conceitos são desenvolvidos através da resolução
de problemas, e que esse desenvolvimento é lento.
A resolução de problemas é essencial para a contextualização, mas, como salienta
Vergnaud, um problema é um problema para um sujeito se tiver conceitos que o torne capaz
de ser visto, verdadeiramente, como um problema para ele.
71
O que trouxemos em nossa proposta é um esquema que pensamos ser eficiente para
resolver uma ampla classe situações, os problemas de Combinatória/contagem que envolvem
a divisão. Vergnaud afirma que, no momento em que um indivíduo desenvolve um esquema
para resolução de uma classe de problemas, esta classe deixa de ter um caráter problemático,
mas as competências que ele desenvolveu o fazem considerar novos problemas, que são, de
fato, problemas para ele.
No nosso caso, iniciamos uma seqüência didática para desenvolver uma proposta de
esquema, com problemas muito simples, possíveis de serem solucionados pela contagem.
Num segundo momento, são resolvidos novos problemas que são, de fato, problemas,
resolvidos com o mesmo esquema.
Vergnaud não concorda com a idéia de muitos professores que crêem que o ensino se
dá por meio de clara e organizada apresentação formal de conceitos e teoremas. Para ele, isso
é uma ilusão e são as situações de resolução de problemas que contribuem para que o aluno
desenvolva conceitos e os torne significativos. Vergnaud não nega a importância do
formalismo, apenas entende que, inicialmente, os alunos ainda estão longe dele.
Representações
Sobre as representações, Vergnaud vê conceitos e símbolos como duas faces de uma
mesma moeda, ou seja, considera que a melhor forma de se avaliar a aquisição de conceitos
está vinculada à habilidade de resolver situações (que também podemos pensar como
problemas). Apesar disso, as simbolizações empregadas para tanto são de grande auxílio. Da
mesma forma que existem problemas mais acessíveis ou com maior facilidade de serem
solucionados do que outros, existem procedimentos (esquemas) mais pertinentes ou eficientes
72
do que outros e, dependendo da situação, existem representações simbólicas mais adequadas
ou mais eficazes do que outras.
Em trabalhos mais recentes, Vergnaud cita teorias de representações, afirmando que,
para serem consideradas úteis, tais teorias devem conter a idéia de que as representações
devem possibilitar antecipações e inferências sobre as situações postas, de modo a gerar
algum efeito positivo ou evitar um negativo.
A progressiva construção de representações irá, então, colaborar na construção do
conhecimento, estando, assim, conceitos e representações bastante intrincados. Nos problemas
de contagem em Combinatória, por exemplo, os diagramas de árvores ou as representações
por classes em tabelas serão úteis na medida em que possibilitarão inferências nas soluções
buscadas, além de serem colaboradores na construção ou compreensão dos conceitos
envolvidos.
Teoria dos Campos Conceituais como Referencial para Pesquisas
Vergnaud, falando sobre a utilização de sua teoria como fonte de pesquisa, esclarece
os passos a serem realizados para tanto. Uma pesquisa com tal referencial irá envolver a
identificação e classificação de situações e a coleta de dados sobre os procedimentos e
estratégias que os alunos utilizam para expressar seu raciocínio. O ciclo da pesquisa inicia
com a identificação de esquemas e prossegue com a produção de material e experimentação
com os estudantes. O ciclo é, então, completado com a observação e análise dessa
experimentação com posterior construção de representações simbólicas. Depois deste ciclo,
aparecem outros que buscam melhorar os anteriores.
É possível perceber que o estudo da aquisição de um campo conceitual sugere análise
de diferentes classes de problemas que podem ser propostos aos alunos. Sugere, também, o
estudo de diferentes estratégias e representações simbólicas utilizadas pelos
73
alunos/aprendizes. Vergnaud afirma que é tarefa essencial do pesquisador entender por que e
quando certas representações simbólicas são ou podem ser úteis e quando deveriam ou
poderiam ser substituídas por outra talvez mais eficiente, mais abstrata ou mais geral.
Na resolução de problemas, uma pesquisa pode, por exemplo, analisar as dificuldades
dos alunos em relação aos invariantes operatórios. Nossa pesquisa – que tem foco na
Combinatória –, por exemplo, analisa diferentes esquemas e observa como os alunos lidam
com os invariantes operatórios – multiplicação e divisão – a fim de resolverem os problemas.
Muitas vezes, os alunos utilizam esquemas satisfatórios para resolver certas situações
(problemas) que não são tão eficazes em outras, ainda que estas sejam ligeiramente diferentes
da primeira.
Nesse sentido, planejamos uma proposta de ensino, seguindo os passos sugeridos
anteriormente, buscando identificar esquemas e compreender quais os ganhos e quais as
desvantagens que certos esquemas podem trazer para a resolução de problemas em
Combinatória. Buscamos, também, propor um esquema de resolução de problemas mais geral,
que pode ser aplicado a toda uma classe de problemas.
Finalizamos concluindo que a teoria dos campos conceituais de Gérard Vergnaud é um
referente teórico para pesquisas na área de educação. É teoria útil na análise das dificuldades
dos alunos na resolução de problemas e, uma vez identificadas estas dificuldades, fornece
subsídios para um delineamento de estratégias que colaboram para uma progressiva superação
dessas dificuldades, isto é, para o progressivo, porém lento, domínio dos campos conceituais
envolvidos.
74
APÊNDICE C – Problemas Propostos no Primeiro Momento da Proposta
• Grupo de alunos do 5° semestre
Coleção A
A1. De quantos modos diferentes pode-se distribuir 4 pessoas...
a) Em dois grupos de 2 pessoas;
b) Em dois grupos com 3 pessoas e 1 pessoa, respectivamente.
A2. Quantos são os anagramas da palavra COPACABANA?
A3. Quantos são os anagramas das palavras ENUMERAR?
A4. Quantos números pares com cinco algarismos podemos construir com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
A5. Temos 6 vagas para distribuir as letras a e b, com repetição, sabendo que b ocupa 2 vagas.
De quantos modos pode-se fazer esta distribuição?
75
A6. Em uma classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas, com 2
homens e 3 mulheres, podem ser formadas? Combinação de 7 homens 2 a 2 e combinação de
5 mulheres 3 a 3: 210
Coleção B
B1. Uma classe tem A meninas e B meninos. De quantas formas eles podem ser postos em
fila, se as meninas ficam juntas?
(B+1)! A!
B2. Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO em que P, A e R permanecem
juntas, não necessariamente nessa ordem?
B3. Dez alunos são convidados a tirar uma fotografia, podendo ficar em pé ou ajoelhados,
mas mantendo-se em linha, lado a lado. De quantos modos eles podem tirar essa fotografia?
10!
B4. Há 5 livros diferentes de matemática, 6 livros diferentes de inglês e 10 livros diferentes de
português. De quantas maneiras podemos arrumar esses livros numa estante, de modo que os
livros de cada assunto fiquem juntos? 5!5!10!3!
B5. Quantas permutações pode-se fazer com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que:
a) 1 e 2 fiquem juntos; 6! 2
b) 1 e 2 fiquem juntos nesta ordem; 6!
c) Os números pares fiquem juntos; 5!3!
d) Os números pares fiquem juntos em ordem crescente. 5!
76
Coleção C
C1. Quantas permutações pode-se fazer com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que:
a) 1 e 2 fiquem nesta ordem;
b) Os pares fiquem em ordem crescente;
c) Os pares e ímpares fiquem intercalados, um ímpar ao lado de um par.
Fixa os 4 ímpares. Sobram 3 vagas para os 3 pares. Permuta-se os pares e os ímpares: 3!4!
d) Dois números pares não fiquem lado a lado.
Escolher entre 5 vagas, lugares para os 3 pares e permutá-los: 5!/2! = 10. Permutar os 4
ímpares: 4! = 24. Resposta: 240
C2. Quantos números podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que o 1
venha sempre antes do 2 e o 2 venha sempre antes do 3?
C3. Há 15 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se
nenhum marido senta separado de sua mulher?
C4. Uma classe tem A meninas e B meninos. De quantas formas eles podem ser postos em
fila, se as meninas devem ficar em ordem crescente de altura (e suas alturas são diferentes) e
os meninos ficam separados uns dos outros?
Escolher entre A+1 vagas, lugares para os B meninos e permutá-los. Necessariamente B<A.
Combinação de A+1, B a B, e permutação de B. Resposta: (A+1)!/ (A+1-B)!
C5. Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO em que as vogais ficam em ordem
alfabética?
77
• Grupo de alunos do 7° semestre
D1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule os números que podem ser formados:
a) Com 3 algarismos diferentes; 5.4.3
b) Com 5 algarismos diferentes; 5!
c) Com 5 algarismos diferentes, de modo que 1, 2 e 3 permaneçam nessa ordem, mas não
necessariamente juntos.
D2. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, calcule quantos conjuntos diferentes podem ser
formados com 3 algarismos.
D3. Utilizando todos os algarismos do número 12000, calcule quantos números diferentes
com 5 algarismos podem ser formados.
78
APÊNDICE D - Aplicações do Esquema
1) calcular o número total de
objetos que seriam contados
no problema, caso não
houvesse restrições.
COISA
Total de objetos: 5!
BAIO
Total de objetos: 4! = 24
2) estudar exemplos de
objetos e verificar que nem
todos cumprem com as
exigências do problema e
portanto, nem todos entram na
contagem final.
COISA entra na
contagem
CIOSA não entra na
contagem
BAIO entra na contagem BIAO não entra (NÃO SEGUE A REGRA)
3) perceber que um objeto X
que cumpre as condições do
problema encobre ou
representa uma classe de
objetos que não podem ser
contados.
Estes formam uma classe de
objetos em que apenas um
entra na contagem. Quantos
objetos há em cada classe?
COISA representa uma
classe de palavras que tem as
consoantes nesta ordem e
posição C - - S - e as vogais
em qualquer ordem.
A classe da palavra
COISA é obtida pela
permutação das três vogais,
portanto tem 3! objetos.
Cada palavra permitida
(OIACS, SOIAC, SCOIA, por
exemplo) gera uma classe
BAIO representa uma classe
de palavras formada a partir
das permutações das vogais A,
I, O que tem B na primeira
posição. Portanto, cada classe
tem 3! = 6 elementos
(permutações de A, I, O)
Cada palavra permitida gera
uma classe composta por
palavras que não entram na
contagem e que derivam da
79
composta por palavras que
não entram na contagem e que
derivam da palavra inicial,
sendo obtidas do mesmo
modo, permutando as três
vogais e mantendo fixas as
consoantes.
palavra inicial, sendo obtidas
do mesmo modo, permutando
as três vogais e mantendo fixa
a consoante B.
4) Cada classe é associada a
um só objeto. Quantas classes
existem? Essa é a solução do
problema.
O conjunto total de objetos
tem 5! elementos e está
dividido em classes com 3!
elementos.
Em quantas classes
pode-se dividir o conjunto
total?
5!/3! = 20 classes.
O conjunto total tem 4!
elementos e está dividido em
classes com 3! elementos em
cada uma.
Em quantas classes de
3! elementos pode-se dividir o
conjunto total?
4!/3! = 4 classes.
Para a coluna 2 (COISA):
Quantos anagramas diferentes
podem se formar, a partir da
palavra COISA, de tal modo
que as vogais O, I, A
permaneçam nesta ordem?
Para a coluna 3 (BAIO):
Quantos anagramas diferentes
podem se formar, a partir da
palavra BAIO, de tal modo
que as vogais A, I, O
permaneçam nesta ordem?
5! / 3! = 20 anagramas.
4!/3! = 4 anagramas.
Quadro 3 – Aplicações do Esquema – Problemas das Palavras COISA e BAIO
A seguinte tabela apresenta, na primeira linha, os anagramas do problema anterior (da
palavra baio) que podem ser contados, pois obedecem às condições do problema. Cada um
80
deles encabeça uma coluna formada pelos objetos da classe que ele representa: objetos que
não podem entrar na contagem.
CLASSE 1 CLASSE 2 CLASSE 3 CLASSE 4
BAIO ABIO AIBO AIOB
BAOI ABOI AOBI AOIB
BIAO IBOA IOBA IOAB
BOIA OBIA OIBA OIAB
BIOA IBOA IOBA IOAB
BOAI OBAI OABI OAIB
Quadro 4 – Classes da Palavra BAIO
A próxima tabela apresenta as classes referentes ao problema da palavra COISA. Os
anagramas em negrito são os representantes de cada classe que entram na contagem por
obedecerem às condições do problema. Os anagramas que não entram na contagem, por serem
muitos, não foram colocados. Eles foram deixados em branco e propostos aos alunos como
atividade.
CLASSE 1 COISA CLASSE 2 OISCA CLASSE 3 SOICA CLASSE 4 OSCIA CLASSE 5 OCSIA CLASSE 6 CSOIA CLASSE 7 SCOIA CLASSE 8 OSIAC CLASSE 9 OSICA CLASSE 10 OIACS CLASSE 11 OIASC
81
CLASSE 12 OCISA CLASSE 13 COIAS CLASSE 14 SOIAC CLASSE 15 COSIA CLASSE 16 SOCIA CLASSE 17 OICAS CLASSE 18 OISAC CLASSE 19 OCIAS CLASSE 20 OICSA
Quadro 5 – Classes da Palavra COISA
Estes dois primeiros problemas (das palavras COISA e BAIO) foram resolvidos para
os alunos. As seguintes tabelas mostram os problemas que a eles foram propostos. Os
diagramas estavam em branco, para serem preenchidos durante a exposição.
Quantas rodas diferentes podem se formar, a partir de uma roda com 4 crianças que se
dão as mãos?
1) calcular o número total de objetos
que seriam contados no problema, caso
não houvesse restrições.
Total de objetos: P4 = 4!
82
2) estudar exemplos de objetos e
verificar que nem todos cumprem com
as exigências do problema e portanto,
nem todos entram na contagem final.
Permutação: BCDA
B C
A D
Permutação: ABCD
A B
D C
Ambas representam rodas iguais. Pode-se contar
a primeira roda, mas não se pode contar a
segunda porque NÃO SÃO DIFERENTES.
3) perceber que um objeto X que
cumpre as condições do problema
encobre ou representa uma classe de
objetos que não podem ser contados.
Estes formam uma classe de objetos em
que apenas um entra na contagem.
Quantos objetos há em cada classe?
Para cada roda, existem 4 rodas iguais, que
correspondem ao giro das crianças, sem soltarem
as mãos.
No caso acima, se indicarmos o ponto inicial da
primeira roda na parte superior da tabela,
teremos 4 rodas iguais, a medida que as 4
diferentes crianças giram e vão ocupando aquela
posição:
BCDA; ABCD; DABC; CDAB
Esta classe de objetos tem 4 elementos, que
corresponde ao número de crianças na roda.
83
4) Cada classe é associada a um só
objeto. Quantas classes existem? Essa é
a solução do problema.
Em quantas classes de 4 elementos pode-se
dividir o conjunto total, que tem 4! elementos?
4!/4 = 3!
Quantas rodas diferentes podem se
formar, a partir de uma roda com 4
crianças que se dão as mãos?
Podem se formar 6 rodas diferentes com 4
crianças.
Quadro 6 – Aplicações do Esquema – Problema da Roda com 4 Crianças
Quantos números diferentes de 5 algarismos pode-se fazer com os algarismos 1, 2,
3, 4 e 5 de modo que os algarismos ímpares permaneçam em ordem crescente?
1) calcular o número total de
objetos que seriam contados no problema,
caso não houvesse restrições.
Sem restrições: permutação de 5
elementos:
5!
2) estudar exemplos de objetos e verificar
que nem todos cumprem com as
exigências do problema e portanto, nem
todos entram na contagem final.
12345 entra na contagem
12543 não entra
3) perceber que um objeto X que cumpre
as condições do problema encobre ou
representa uma classe de objetos que não
podem ser contados.
Estes formam uma classe de objetos em
que apenas um entra na contagem.
Quantos objetos há em cada classe?
12345 representa uma classe de números que
tem os pares nesta ordem e posição - 2 - 4 - e
os ímpares em qualquer ordem.
A classe de cada número que satisfaz as
condições do problema é obtida pela
permutação dos números ímpares e, portanto,
tem 3! = 6 objetos.
4) Cada classe é associada a um só objeto.
Quantas classes existem? Essa é a solução
Existem 5!/3! = 20 classes e, portanto,
84
do problema.
20 números.
Quadro 7 – Aplicações do Esquema – Problema dos Algarismos Ímpares em Ordem Crescente
Podemos mostrar que o mesmo raciocínio serve para resolver os problemas clássicos
de Combinação ou de Permutação com repetição:
Quantas comissões diferentes, com 3 pessoas, podem ser formadas a partir de um
conjunto de 5 pessoas?
1) calcular o número total de objetos que
seriam contados no problema, caso não
houvesse restrições.
Total de objetos
5.4.3 = 60
2) estudar exemplos de objetos e verificar
que nem todos cumprem com as
exigências do problema e portanto, nem
todos entram na contagem final.
ABC é um grupo de pessoas que entra na
contagem, mas CBA é um grupo igual a
ABC que não cumpre a exigência de ser
DIFERENTE.
3) perceber que um objeto X que cumpre
as condições do problema encobre ou
representa uma classe de objetos que não
podem ser contados.
Estes formam uma classe de objetos em
que apenas um entra na contagem.
Quantos objetos há em cada classe?
ABC representa e gera uma classe de
objetos que não podem ser contados por
serem iguais. Esta classe resulta da
permutação dos 3 elementos de ABC.
O número de objetos de cada classe é:
3! = 6 elementos
4) Cada classe é associada a um só objeto.
Em quantas classes de 6 elementos
85
Quantas classes existem? Essa é a solução
do problema.
podemos dividir o conjunto inicial que
tem 60 elementos?
60÷6 = 10 ou
5! ÷ 2!3! = 10
Quadro 8 – Aplicações do Esquema – Problema das Comissões
Quantas números diferentes, com 6 algarismos, pode-se fazer com os algarismos
1,1,1,2,3,4 ?
1) calcular o número total de objetos que
seriam contados no problema, caso não
houvesse restrições.
Total de objetos: 6!
2) estudar exemplos de objetos e verificar
que nem todos cumprem com as
exigências do problema e portanto, nem
todos entram na contagem final.
111234
111234
Ambos representam números iguais.
Podemos contar o primeiro, mas não o
segundo porque NÃO SÃO
DIFERENTES.
3) perceber que um objeto X que cumpre
as condições do problema encobre ou
representa uma classe de objetos que não
podem ser contados.
Estes formam uma classe de objetos em
que apenas um entra na contagem.
Quantos objetos há em cada classe?
111234 representa e gera uma classe de
objetos que não podem ser contados por
serem iguais. Esta classe resulta da
permutação dos 3 elementos 111.
O número de objetos de cada classe é 3!
86
4) Cada classe é associada a um só objeto.
Quantas classes existem? Essa é a solução
do problema.
Em quantas classes de 3! podemos dividir
o conjunto com 6! elementos?
6!/3!
Quadro 9 – Aplicações do Esquema – Problema dos Algarismos 1,1,1,2,3,4
ANEXO A – Resoluções de Alguns Problemas dos Segundo e Terceiro Momentos
da Proposta
• Dois problemas resolvidos por um dos alunos participantes da proposta:
87
Figura 1 - Resoluções de um dos alunos da proposta – Problema das Rodas e Problema dos Ímpares em
Ordem Crescente
88
• Problema resolvido por outro aluno, também presente na exposição de nosso esquema:
Figura 2 - Resolução de um dos Alunos da Proposta – Problema dos Algarismos 1,1,1,2,3,4
89
ANEXO B - Problemas do Primeiro Momento solucionados após Exposição do Novo
Esquema
• Documento 1
Problema:
Quantos números podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que o 1 venha
sempre antes do 2 e o 2 venha sempre antes do 3?
RESOLUÇÃO DO ALUNO A:
Figura 3 – Resolução do aluno A – Problema do Primeiro Momento da Proposta
RESOLUÇÃO DO ALUNO B:
90
Figura 4 – Resolução do aluno B - Problema do Primeiro Momento da Proposta
• Documento 2
Problemas:
1) Em uma classe há 10 meninas e 7 meninos. De quantas formas eles podem ser
postos em fila, se as meninas ficam em ordem crescente de altura?
2) Quantas permutações pode-se fazer com os algarismos 1234567, de modo que os
números pares fiquem em ordem crescente?
RESOLUÇÃO DO ALUNO C:
91
Figura 5 - Resolução do aluno C – Problemas do Primeiro Momento da Proposta
RESOLUÇÃO DO ALUNO B:
92
Figura 6 – Resolução do aluno B - Problemas do Primeiro Momento da Proposta