um curso de cálculo - parte 2 (até a pág....

Um Curso de Calculo - Parte 2

(ate a pag. 42)

por Luıs Gustavo Doninelli Mendes12

1Professor Adjunto do Departamento de Matematica da UFRGS2A Parte 2 cobre a Segunda Area de MAT 01109. Esta Versao ainda vai receber

adicoes, da pag. 42 em diante, por isso sugiro nao imprimı-la ainda.

Indice da Parte 2

Capıtulo 1. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 51. O cosseno como derivada do seno 52. Leis de Hooke com e sem atrito 7

Capıtulo 2. Inducao Matematica e a derivada de xn, ∀n ∈ N. 111. Princıpio de inducao matematica 112. Derivada do Produto 133. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N 14

Capıtulo 3. Derivada da composicao de funcoes 151. Regra da composta ou da cadeia 152. A Derivada do quociente 19

Capıtulo 4. Funcoes inversas e suas derivadas 211. Derivada de y =

√x 22

2. Derivada da “funcao”x1

n , de xmn e de x

−mn 23

3. Derivada do arcoseno 244. Derivada do arcotangente 265. Existe uma funcao f 6≡ 0 que seja imune a derivacao ? 28

Capıtulo 5. Integracao, Primeiro Teorema Fundamental,logaritmo e e exponencial 31

1. Primeira Versao do Primeiro Teorema fundamental doCalculo 35

2. Integral e o Primeiro Teorema fundamental 373. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 394. ln(x

mn ) = m

n· ln(x) 39

Capıtulo 6. Calculo de areas via o Segundo Teorema Fundamental 411. Segundo Teorema Fundamental do Calculo 412. Regioes ilimitadas com area finita 423. Series harmonica, k-harmonicas e geometrica 424. Integracao por partes 42

Capıtulo 7. A exponencial, sua equacao diferencial e aplicacoes 431. Propriedades da exponencial 432. Sequencias que tendem a e 433. Juros compostos discreta e continuamente 43

3

4 INDICE DA PARTE 2

4. A equacao diferencial do decaimento radioativo - idade defosseis, rochas, esqueletos 43

Capıtulo 8. Aplicacao a biologia: O expoente 3/4 rege a vida 45

CAPıTULO 1

Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke

1. O cosseno como derivada do seno

Como em toda boa novela, no final descobrimos que fulano e filho debeltrano (quase sempre seu inimigo ...). Nesta Secao vamos descobrirque o cosseno e derivada do seno !

A derivada do seno em θ = 0 foi vista: sin′(0) = 1 (Secao 5 doCapıtulo 5 da Parte 1).

Ou seja, sin′(0) = cos(0). Sera que isso e uma coincidencia apenas?Ou sera que sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R ?

Vamos por um grafico abaixo do outro e ver se sao os graficos saocoerentes com o que aprendemos no Capıtulo 7 da Parte 1, sobre comoa derivada determina o comportamento de uma funcao.

1

0

0,5

-0,5

-1

x

653 420 1

Figura: O grafico de y = sin(θ) (vermelho) e y = cos(θ) (verde) para θ ∈ [0, 2π].

Observe que:

• em θ = π2≈ 1.6 o seno tem seu maximo e nesse ponto θ = π

2o

cosseno se anula, passando de positivo para negativo.• em θ = π ≈ 3.1 o cosseno tem seu mınimo −1 e nesse ponto

θ = π a inclinacao do grafico do seno parece ser −1. Ademais,as inclinacoes do grafico do seno vinham ficando mais negativasdesde π

2e a partir de θ = π vao ficando menos negativas.

• em θ = 3π2

≈ 4.7 o cosseno se anula, passando de negativo apositivo e em θ = 3π

2o seno tem seu mınimo.

• por ultimo, onde o cosseno e positivo (negativo) o seno e cres-cente (decrescente).

5

1. O COSSENO COMO DERIVADA DO SENO 6

Todas essas observacoes sao coerentes com o que aprendemos nofinal da Parte 1 e de fato:

Afirmacao 1.1.

sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R.

Demonstracao.

Comeco com a definicao de derivada em algum θ0 fixado e uso depoisa formula de seno de uma soma:

sin′(θ0) = limθ→0

sin(θ0 + θ) − sin(θ0)

θ=

= limθ→0

sin(θ0) cos(θ) + cos(θ0) sin(θ) − sin(θ0)

θ.

Para poder continuar, agora vou usar o limite

limθ→0

sin(θ)

θ= 1

provado na Secao 5 do Capıtulo 5 da Parte 1 e um limite tao funda-mental quanto este:

limθ→0

cos(θ) − 1

θ= 0,

cuja prova omito por brevidade.Entao as propriedades de limites de somas e produtos (Secao 4 do

Capıtulo 3 da Parte 1) permitem que re-escreva o de acima como:

sin′(θ0) = limθ→0

[sin(θ0) ·(cos(θ) − 1)

θ+ cos(θ0) ·

sin(θ)

θ] =

= sin(θ0) · limθ→0

(cos(θ) − 1)

θ+ cos(θ0) · lim

θ→0

sin(θ)

θ=

= sin(θ0) · 0 + cos(θ0) · 1 = cos(θ0),

como querıamos. �

Um complemento:A Figura a seguir exibe os graficos de

f1(θ) =sin(θ)

θ, para θ 6= 0 e f1(0) := 1

e de

f2(θ) =cos(θ) − 1

θ, para θ 6= 0 e f2(0) := 0

CAPITULO 1. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS

DE HOOKE 7(note que defino separadamente os valores para θ = 0, para que asfuncoes resultantes sejam contınuas).

0,8

0

0,4

2-0,4

x

31-1 0-2-3

Figura: O graficos de y = f1(θ) (vermelho) e y = f2(θ) (verde) para θ ∈ [−π, π].

Afirmacao 1.2.

cos′(θ) = − sin(θ), ∀θ ∈ R.

Demonstracao. Seguindo as mesmas etapas da prova anterior,obtemos:

cos′(θ0) = limθ→0

cos(θ0 + θ) − cos(θ0)

θ=

= limθ→0

cos(θ0) cos(θ) − sin(θ0) sin(θ) − cos(θ0)

θ=

= cos(θ0) · limθ→0

(cos(θ) − 1)

θ− sin(θ0) · lim

θ→0

sin(θ)

θ=

= cos(θ0) · 0 − sin(θ0) · 1 = − sin(θ0).


2. Leis de Hooke com e sem atrito

A lei de Hooke diz que a forca que um objeto sofre quando se esticauma mola presa a ele e do tipo

F = −kf(x)

onde k > 0 e uma constante e f(x) e a posicao do objeto (veja a Figuraa seguir). O sinal negativo significa que a forca e no sentido oposto dodeslocamento. Se ignora o atrito entre o objeto e a superfıcie nessaformulacao da lei.

2. LEIS DE HOOKE COM E SEM ATRITO 8

F

Se tomamos a forca F como sendo o produto de massa m pelaaceleracao f ′′(x) entao a lei de Hooke e da forma

mf ′′(x) = −kf(x).

Para simplificar facamos m = k = 1. Entao

Afirmacao 1.3. As funcoes f(x) = a · cos(x) + b sin(x) satifazema lei f ′′(x) = −f(x), ∀x ∈ R. Ademais sao periodicas de perıodo 2π etem f(0) = a e f ′(0) = b.

Demonstracao. Como o seno e o cosseno tem perıodo 2π essasfuncoes tambem tem esse perıodo. Pela derivada da soma e de seno ecosseno, obtemos

f ′′(x) = (f ′(x))′ = (a(− sin(x)) + b cos(x))′ =

= −a cos(x) − b sin(x) = −f(x).

Ademais, f(0) = acos(0) = a e f ′(0) = b cos(0) = b.�

Se pode provar que essas sao as unicas funcoes satisfazendo f ′′(x) =−f(x) ∀x e f(0) = a e f ′(0) = b. Portanto, na ausencia de atrito, aposicao f(0) e a velocidade inicial f ′(0) determinam que o objeto oscilepara para sempre.

Na figura a seguir note que nao so a posicao f(0) e relevante, masque tambem a inclinacao f ′(0) determina o tipo de oscilacao que havera.

-2

2

1

-1

0

x

6210 4 53

Figura: Graficos de y = a sin(θ) + b cos(θ) para alguns a, b e θ ∈ [0, 2π].

CAPITULO 1. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS

DE HOOKE 9

Claro que na realidade fısica sempre ha algum atrito entre o objetoe a superfıcie e sabemos que com o tempo o objeto para. Uma lei deHooke mais realista levaria em conta o atrito que surge com o desloca-mento do objeto, ou seja, dependente da velocidade f ′(x) do objeto eseria do tipo

f ′′(x) = −f(x) − kf ′(x).

Na Figura a seguir ponho uma funcao satisfazendo f ′′(x) = −f(x) aolado de uma funcao satisfazendo f ′′(x) = −f(x) − 0.1 · f ′(x). Umafuncao deste ultimo tipo envolve senos e cossenos e a funcao exponen-cial, que veremos mais adiante.

0,5

1

0

-1

-0,5

x

353025150 10 205

Figura: Funcoes satisfazendo a lei de Hooke sem atrito (vermelho) e com atrito (verde).

E se o atrito for maior, por exemplo, em f ′′(x) = −f(x)−0.3 ·f ′(x),entao nesse caso o objeto vai parar bem mais rapido, como na Figuraa seguir:

1

0

0,5

-0,5

-1

x

0 355 3010 15 2520

Figura: Funcoes satisfazendo a lei de Hooke sem atrito (vermelho) e com muito atrito (verde).

CAPıTULO 2

Inducao Matematica e a derivada de xn, ∀n ∈ N.

Ja vimos na Primeira parte do Curso que a derivada de f(x) = 1 =x0 e f ′(x) = 0, que a de f(x) = x = x1 e f ′(x) = 1 = 1x0, que a def(x) = x2 e f ′(x) = 2x1 e ate mesmo que a de f(x) = x4 e f ′(x) = 4x3.

Ou seja, nos sentimos motivados a conjecturar que ∀n ∈ N, f(x) =xn tem f ′(x) = nxn−1.

Como podemos provar isso, se nao podemos percorrer todos os Nat-urais ? Isso se faz atraves do princıpio de inducao matematica.

1. Princıpio de inducao matematica

Em geral a palavra inducao e usada nas ciencias experimentaispara referir ao processo pelo qual alguem tenta concluir apos um certonumero de evidencias que certo fenomeno valera sempre (ou qual aprobabilidade disso ocorrer).

Ja em matematica o significado e o seguinte: quando queremosprovar uma certa propriedade para todo n ∈ N, o que fazemos e:

• prova-la para n = 1,• supo-la valida ate n − 1 e• prova-la para o proximo natural, ou seja, para n.

(A etapa em que supomos a propriedade valida ate n − 1 e chamadade hipotese de inducao).

Se conseguimos fazer essa ultıma etapa, a propriedade vale paratodo n ∈ N. A validade deste princıpio esta ligada a propria natureza(axiomas) dos numeros Naturais.

Vejamos tres exemplos bonitos, que serao uteis mais adiante naSecao sobre Areas sob graficos:

Afirmacao 2.1. ∀n ∈ N:i) 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n = (n+1)·n

2.

ii) (1 + 2 + . . . + (n − 1) + n)2 = 13 + 23 + . . . + (n − 1)3 + n3.

iii) 12 + 22 + . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)6

Demonstracao.

Prova de i): Para n = 1 a formula diz simplesmente 1 = 2·12

o quee obvio.

A hipotese de inducao e

1 + 2 + . . . + (n − 1) =((n − 1) + 1) · (n − 1)

2=

n(n − 1)

2.

11

1. PRINCIPIO DE INDUCAO MATEMATICA 12

De agora em diante temos que fazer algo para mostrar quanto vale1 + 2 + . . . + (n − 1) + n. Ora

1 + 2 + . . . + (n − 1) + n = (1 + 2 + . . . + (n − 1)) + n =

=n(n − 1)

2+ n =

n(n − 1) + 2n

2=

=(n + 1) · n

2,

como querıamos.Prova de ii): Para n = 1 a formula diz simplesmente que 12 = 13 o

que e obvio. Faco a hipotese de inducao:

(1 + 2 + . . . + (n− 2) + (n− 1))2 = 13 + 23 + . . . + (n− 2)3 + (n− 1)3,

e quero saber se vale tambem:

(1 + 2 + . . . + (n − 1) + n)2 = 13 + 23 + . . . + (n − 1)3 + n3.

Agora vamos ter que fazer algo, trabalhar um pouco. Escrevo pelobinomio:

(1+2+. . .+(n−1)+n)2 = (1+2+. . .+(n−1))2+2·(1+2+. . .+(n−1))·n+n2

e para continuar uso a hipotese de inducao:

(1+2+. . .+(n−1)+n)2 = 13+23+. . .+(n−1)3+2·(1+2+. . .+(n−1))·n+n2.

Para terminar onde gostaria, preciso ver que

2 · (1 + 2 + . . . + (n − 1)) · n + n2 = n3.

Mas posso usar a parte i) ja provada para qualquer n, mesmo que daforma n − 1, obtendo:

(1 + 2 + . . . + (n − 1)) =n · (n − 1)

2,

e portanto:

2 · (1 + 2 + . . . + (n − 1)) · n + n2 = (n · (n − 1)) · n + n2 =

= n3,

como precisavamos.

Prova de iii): para n = 1 a formula esta correta 1 = 1(1+1)(2+1)6

.suponha valida ate n − 1 e faco:

12 + 22 + . . . (n − 1)2 + n2 =(n − 1)(n − 1 + 1)(2n − 2 + 1)

6+ n2 =

=2n3 − 3n2 + n

6+ n2 =

=2n3 − 3n2 + n + 6n2

6=

2n3 + 3n2 + n

6=

n(n + 1)(2n + 1)

6,

como querıamos.

CAPITULO 2. INDUCAO MATEMATICA E A DERIVADA DE

XN , ∀N ∈ N. 13

�

2. Derivada do Produto

Voltemos ao problema original: como derivar f(x) = xn ? Paran = 1 ja sabemos que a formula x′ = 1x0 esta ok.

Gostariamos de supor a formula ate n− 1 e prova-la entao para n,de acordo com o princıpio de inducao.

Mas quando escrevo xn e tento relaciona-lo com xn−1 so consigoimaginar a seguinte relacao:

xn = x · xn−1.

Quando for derivar o lado esquerdo dessa expressao terei que derivar,no lado direito, um produto de funcoes.

Como faze-lo ? Certamente a derivada do produto nao e o produtodas derivadas, pois (x2)′ 6= x′ · x′ = 1 · 1.

Por isso precisamos de:

Teorema 2.1. Sejam f(x) e g(x) duas funcoes derivaveis commesmo domınio de definicao. Entao a funcao produto (f · g)(x) :=f(x) · g(x) tambem e derivavel e

(f · g)′(x) := f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

Demonstracao.

Seja x e considere a definicao de derivada:

(f · g)′(x) = limh→0

f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)

h.

Agora vou fazer um truque, para fazer aparecer f ′(x) e g′(x) nessaestoria. Escrevo

f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x) =

= f(x + h)g(x + h)−f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h)︸︷︷︸

0

−f(x)g(x) =

= (f(x + h) − f(x)) · g(x + h) + f(x) · (g(x + h) − g(x)).

Portanto atraves deste truque obtemos que

(f ·g)′(x) = limh→0

[(f(x + h) − f(x))

h·g(x+h)+f(x)

(g(x + h) − g(x))

h].

Mas limh→0 g(x + h) = g(x) pela continuidade de g e

limh→0

f(x + h) − f(x)

h= f ′(x) e lim

h→0

g(x + h) − g(x)

h= g′(x),

portanto juntando isso (e lembrando que o produto de limites e o limitedo produto):

(f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3. DERIVADAS DE X−N , ∀N ∈ N 14

�

Agora estamos em condicoes de terminar a prova de que

(xn)′ = nxn−1.

Pra n = 1 vale, suponho valida ate n − 1.Escrevo xn = x · xn−1 e aplico o teorema da derivada do produto:

(x · xn−1)′ = 1 · xn−1 + x · (xn−1)′=

= xn−1 + x · (n − 1) · xn−1−1 =

= xn−1 + (n − 1) · xn−1 =

= n · xn−1.

3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N

Se define x−n := 1xn , ∀n ∈ N, onde claramente x 6= 0.

Com essa definicao se obtem:

x−n · xn =1

n· n = 1

e portanto x−n · xn = xn−n.Queremos derivar essas funcoes x−n, e novamente o faremos via a

inducao matematica.Vimos a derivada de f(x) = x−1 = 1

x, x 6= 0 diretamente pela

definicao, na Parte 1 deste Curso. Como um Exercıcio, vejamos agoracomo re-obter a derivada de x−1 = 1

xusando a regra da derivada do

produto.Escrevo a identidade para x 6= 0:

1 = x−1 · xe derivo. A esquerda na identidade obtenho 0 e a direita a regra doproduto da:

0 = (x−1)′ · x + x−1 · 1,ou seja (x−1)′ = − 1

x2 = −x−2.Ou seja, que vale (x−1)′ = −1 · x−1−1.Suponha provada a formula ate n − 1 > 1: ou seja, que a derivada

de x−(n−1) e

−(n − 1) · x−(n−1)−1 = −(n − 1) · x−n.

Entao escrevo x−n = x−(n−1) · x−1 e pela derivada do produto:

(x−n)′ = (x−(n−1))′ · x−1 + x−(n−1) · (−x−2) =

= −(n − 1) · x−n · x−1 − x−(n−1)−2 =

= −(n − 1) · x−n−1 − x−n−1 = −n · x−n−1,

como querıamos.

CAPıTULO 3

Derivada da composicao de funcoes

A composicao de funcoes simples produzindo funcoes complicadase o analogo matematico da composicao de processos simples que pro-duzem efeitos complicados na natureza, nas reacoes quımicas, nos pro-cessos biologicos, etc.

Daı a importancia de sabermos derivar composicoes.

1. Regra da composta ou da cadeia

A palavra que costuma se usar regra cadeia poderia ser substituıdapelo sinonimo regra da corrente, pois uma corrente e algo feito de elossimples.

A regra de derivacao da funcao composta combina as derivadas decada constituinte da corrente de um modo bem determinado, comoveremos.

Antes de enuncia-la em geral, considero algumas composicoes es-pecıficas, que nos ajudarao a entender a regra geral.

Considere as funcoes fn(x) := n·x, com n ∈ N fixado, g(x) = sin(x)e as compostas (g◦fn)(x) = sin( n·x ). Suponha que fazemos a restricaog : [0, 2π] → R. Entao quando x percorre [0, 2π] o parametro z := n · xpercorre n vezes esse intervalo. Ou seja que o grafico da a funcaosin( n · x ) e formado por n copias do grafico do seno, claro que maiscomprimidas. Abaixo pot o seno e sin(3x):

1

0

x

0,5

621 53

-1

-0,540

Figura: Grafico de y = sin(x) (vermelho) e de y = sin(3x) (verde) para x ∈ [0, 2pi].Como vimos na Parte 1 deste Curso o cosseno e a derivada do seno:

onde o cosseno e positivo (negativo) o seno e crescente (decrescente),onde o cosseno se anula o seno tem seus maximos ou mınimos, etc. Ora,

15

1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 16

a funcao cos(nx) satisfaz qualitativamente todas essas exigencias, ouseja, se comporta qualitativamente como se fosse a derivada de sin(nx).Ou seja, como fizemos na Parte 1 deste curso, onde os graficos de f ′ ef eram corretos apenas qualitativamente.

Veja isso na proxima Figura, com n = 3:

1

0

0,5

-0,5

x

21,50,5 10

-1

Figura: Grafico de y = sin(3x) (vermelho) e de y = cos(3x) (verde) para x ∈ [0, 2π].

Mas o que esta Figura nao tem de quantitativamente correto e ofato de que para que sin(3x) faca 3 vezes o que o seno usual faz quandox percorre [0, 2π], sin(3x) tem que ser mais rapido que o seno usual.Ou seja, em cada ponto as inclinacoes das tangentes de sin(3x) saomaiores que as do seno usual. Quanto maiores? Exatamente 3 vezesmaiores.

Por isso a derivada de sin(3x) quantitativamente correta nao ecos(3x) mas sim:

sin(3x)′ = 3 cos(3x)

e mais em geral:

sin(nx)′ = n cos(nx)

Mostro isso na Figura a seguir:

3

1

-3

2

0

-2

-1x

1,510,50 2

Figura: Grafico de y = sin(3x) (vermelho) e de sua derivada (verde) para x ∈ [0, 2pi].Agora consider uma outra composicao: f(x) = x2 e g(x) = sin(x),

ou seja (g ◦ f)(x) = sin(x2). A diferenca para o exemplo anterior,sin(3x) e que a medida que x se aproxima de 2π x2 cresce cada vezmais rapido e a funcao sin(x2) faz aquilo que o seno faz em cada vezmenores intervalos, como mostra a figura a seguir:

CAPITULO 3. DERIVADA DA COMPOSICAO DE FUNCOES 17

1

0

0,5

6-0,5 x

53 4

-1

0 1 2

Figura: Grafico de y = sin(x) (vermelho) e de y = sin(x2) (verde) para x ∈ [0, 2pi].Qualitativamente falando, cos(x2) se comporta como esperamos da

derivada de sin(x2):

1

0

0,5

6-0,5 x

53

-1

0 1 2 4

Figura: Grafico de y = sin(x2) (vermelho) e de y = cos(x2) (verde) para x ∈ [0, 2π].

De novo, o que esta quantitativamente errado: as inclinacoes dografico de y = sin(x2) estao ficando cada vez maiores quando x seaproxima de 2π. De quanto precisamos multiplicar a funcao qualitati-vamente correta da derivada para termos uma funcao quntitativamenteexata da derivada ? A resposta como vermos e: precisamos multiplicarpela funcao 2x ! Ou seja, para cada x > 0 a correcao muda nesteexemplo:

A Figura a seguir superpoe os graficos y = sin(x2) e de sua derivada,que veremos e cos(x2) · 2x, e, ademais da os graficos de y = 2x ey = −2x. Essas retas passam pelos pontos de maximo e mınimo locaisda derivada.

1. REGRA DA COMPOSTA OU DA CADEIA 18

10

0

5

-5

-10

x

630 21 54

Figura: y = sin(x2) (vermelho), sua derivada (verde), y = 2x e y = −2x, para x ∈ [0, 2pi].O Teorema a seguir generaliza essas observacoes:

Teorema 3.1. Sejam f : I → J e g : K → L funcoes definidas emintervalos, com a imagem J de f contida no domınio K de g, J ⊂ K.Se f e g sao serivaveis entao a funcao composta (g ◦ f) : I → L,definida por (g ◦ f)(x) := g(f(x)) tambem e derivavel e ademais:

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).

A prova e tecnica, prefiro tirar consequencias.A primeira consequencia e que se pode derivar um numero qualquer

de composicoes. Por exemplo, para tres funcoes podemos afirmar:

Afirmacao 3.1. Sejam f : I → J , g : K → L e h : M → N , comJ ⊂ K e L ⊂ M . Se f, g, h sao derivaveis, entao a funcao composta(h ◦ g ◦ f) : I → L, definida por (h ◦ g ◦ f)(x) := h(g(f(x))) e derivavele ademais:

(h ◦ g ◦ f)′(x) = h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).

Demonstracao. De fato, associo h ◦ g ◦ f = h ◦ (g ◦ f) e uso oTeorema 3.1 duas vezes:

(h ◦ (g ◦ f))′(x) = h′(g(f(x))) · (g ◦ f)′(x) =

= h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f ′(x).

�

No Capıtulo 4 sobre funcoes inversas vamos dar aplicacoes impor-tantes da derivada da composta.

Vejamos agora alguns exemplos simples:

• f = sin(x), g = x2, entao (g ◦ f)′ = 2 · (sin(x)) · cos(x)• f = cos(x), g = x2, (g ◦ f)′ = 2 · (cos(x)) · (− sin(x)) =−2 · cos(x) · sin(x).

CAPITULO 3. DERIVADA DA COMPOSICAO DE FUNCOES 19

• como consequencia desse dois itens e da derivada da soma:

(sin(x)2 + cos(x)2)′ = 2 · sin(x) · cos(x) − 2 · cos(x) · sin(x) ≡ 0,

o que e natural ja que sin(x)2 + cos(x)2 ≡ 1.• f(x) = x2 e g(x) = sin(x), entao (g ◦ f)′(x) = cos(x2) · 2 · x.

2. A Derivada do quociente

Agora uma aplicacao da regra da composta aos quocientes de funcoes:

Afirmacao 3.2. Sejam f e g funcoes derivaveis com g nunca nula.Entao

(f(x)

g(x))′(x) =

f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)

g2(x).

Em particular:

(1

g)′(x) = − g′(x)

g2(x).

Demonstracao.

Vou escrever primeiro

f(x)

g(x)= f(x) · 1

g(x)

e derivar esse produto:

(f(x)

g(x))′(x) = f ′(x) · 1

g(x)+ f(x) · ( 1

g(x))′(x),

Agora olho 1g(x)

como a composicao de duas funcoes f1(x) = g(x) e

f2(x) = 1x

= x−1:1

g(x)= (f2 ◦ f1)(x).

Ja sabemos derivar f2(x) = 1x

= x−1, de fato: f ′2(x) = − 1

x2 = −x−2.Entao a regra da composta da:

(1

g(x))′(x) = (f2 ◦ f1)

′(x) =

= f ′2(f1(x)) · f ′

1(x) =

= − 1

g2(x)· g′(x).

Junto tudo:

(f(x)

g(x))′(x) = f ′(x) · 1

g(x)+ f(x) · ( 1

g(x))′(x) =

= f ′(x) · 1

g(x)+ f(x) · (− 1

g2(x)· g′(x)) =

=f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)

g2(x),

2. A DERIVADA DO QUOCIENTE 20


Exemplos:

• Funcoes racionais sao quocientes de polinomios f

g. Onde g nao

se anula, a formula da Afirmacao 3.2 nos diz como deriva-las.• A tangente e um quociente de funcoes derivaveis tan(x) =

sin(x)cos(x)

. Onde o cosseno nao se anula podemos deriva-la obtendo:

tan(x) =cos(x) · cos(x) − sin(x) · (− sin(x))

cos2(x)=

=1

cos2(x).

Entao claramente tan′(0) = 1cos2(0)

= 1 e

limxրπ

2

tan′(x) = limxւ−π

2

tan′(x) = +∞.

A seguir plotei os graficos da tangente e de sua derivadarestritas ao intervalo (−1, 1). Nao pude usar um intervalo maisparecido com o domınio (−π

2, π

2) porque os valores da tangente

ficam muito grande em modulo.

-1

3

1

2

0

-1

x

10,50-0,5

Figura: A funcao tangente (vermelho) e sua derivada (verde) restritas a (−1, 1).

CAPıTULO 4

Funcoes inversas e suas derivadas

Vimos na Secao 1.2 do Capıtulo 5 da Parte 1, que quando referidosao mesmo sistema cartesiano os graficos de y = f(x) e de sua inversay = f−1(x) , entao elas se relacionam por uma reflexao na diagonaly = x.

Logo uma reta tangente ao grafico y = f(x) de coeficiente angulara = B/A 6= 0 se transforma numa reta tangente ao grafico refletido,mas agora de coeficiente angular 1

a= A/B (ja que os acrescimos na

coordenada x e y que definem A e B ficam invertidos quando refletimosna diagonal). Ilustro isso nas Figura a seguir:

1

0,6

-0,2

0,8

0,4

-0,4

x

0,80,60,400

0,2

0,2

Figura: Reflexao na diagonal de um grafico e de sua reta tangente

Quero motivar com isso o seguinte fato:

Teorema 4.1. Seja y = f(x) derivavel com f ′(x) 6= 0 e com umafuncao inversa f−1(x) tambem derivavel. Entao:

f−1′(x) =1

f ′(f−1(x)).

Demonstracao. Considero a composicao entre f e g = f−1, queresulta em uma anular o efeito da outra:

(f ◦ f−1)(x) ≡ x.

Entao o Teorema 3.1 da:

(f ◦ f−1)′(x) = f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x).

21

1. DERIVADA DE Y =√

X 22

Mas por outro lado:1 ≡ (f ◦ f−1)′(x)

pois (f ◦ f−1)(x) ≡ x. Asim que:

1 ≡ f ′(f−1(x)) · (f−1)′(x),

de onde

(f 1)′(x) =

1

f ′(f−1(x)).

�

1. Derivada de y =√

x

Vejamos o que e a derivada de y =√

x de dois modos distintos,um pela definicao e outro lembrando que

√:R>0 → R>0 e a inversa de

y = x2 : R>0 → R>0.Pela definicao temos:

√x′(x) := lim

h→0

√x + h −√

x

he para x > 0 e h com |h| suficientemente pequeno para que x + h > 0,escrevo:

limh→0

√x + h −√

x

h= lim

h→0

√x + h −√

x

h·√

x + h +√

x√x + h +

√x.

Agora uso que (� + △) · (� −△) = �2 −△2, para obter que:

√x′(x) = lim

h→0

x + h − x

h · (√

x + h +√

x)=

= limh→0

1√x + h +

√x.

E agora uso a continuidade de y =√

x (por ser inversa de funcaocontınua definida num intervalo) para fazer:

√x′(x) = lim

h→0

1√x + h +

√x

=1

2 · √x.

Observe que

limxց0

1

2 · √x= +∞

o que diz que o grafico de y =√

x fica vertical na origem.Agora quero comparar esse resultado com o que obtemos pelo Teo-

rema 4.1 sobre a derivada da inversa.Seja f : R>0 → R>0 dada por f(x) = x2 e sua inversa f−1(x) =

√x.

Como f ′(x) = 2x, entao

f ′(√

x) = 2 · √x

CAPITULO 4. FUNCOES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 23

e portanto pelo Teo 4.1:

√x ′(x) =

1

2 · √x,

como querıamos.

2. Derivada da “funcao”x1

n , de xmn e de x

−mn

Seja a funcao f(x) = xn. Se n e par, precisamos restringir f a umsemi-eixo para termos uma funcao inversa f−1 (uma raız n-esima).

Com essa ressalva, considere g = f−1 a inversa de f(x) = xn. Ouseja g(f(x)) = x.

A notacao usual para g(x) e g(x) = x1

n , feita d eproposito a quevalha

g(f(x)) = (xn)1

n = x = xnn .

Afirmacao 4.1. Considere a funcao x1

n , para n ∈ N, (com aressalva acima). Entao para x 6= 0 vale que

(x1

n )′(x) =

1

nx

1

n−1.

Demonstracao.

O Teorema 4.1 diz que para x 6= 0, combinado com a derivada dexn, da:

(x1

n )′=

1

n · (x 1

n )n−1 .

De aı em diante basta fazer algumas manipulacoes (usando (x1

n )k =

xkn ):

x1

n

′=

1

n· 1

xn−1

n

=1

n· x−n−1

n = .

=1

n· x 1−n

n =1

n· x 1

n−1.

�

Podemos agora derivar funcoes do tipo xmn com m,n ∈ N usando

as regras da composta e da inversa, pois

xmn = (x

1

n )m.

Entao pelo Teorema 3.1 (a regra da composta) e o que ja sabemos

para x1

n :

(x1

n )m′

= m · (x 1

n )m−1 · ( 1

n· x 1

n−1) =

=m

n· xm−1

n · x 1

n−1 =

m

n· xm

n−1

3. DERIVADA DO ARCOSENO 24

Para podermos derivar funcoes do tipo x−mn com m,n ∈ N podemos

escrever x−mn = 1

xmn

e usar o que sabemos de quocientes e de xmn :

(1

xmn

)′=

−mnx

mn−1

x2mn

= −m

n· xm

n−1− 2m

n =

−m

n· x−m

n−1.

Qual o sentido de dizermos que em geral se f(x) = xα entao f ′(x) =αxα−1 ?

E se α 6∈ Q? Por exemplo α =√

2 ou α = π? Apos darmos umsentido a essa expressao (e precisaremos da funcao exponencial paraisso), sera que essa funcao e derivavel ? Sera que sua derivada tambeme α · xα−1 ? Voltaremos...

3. Derivada do arcoseno

E claro que o seno visto como funcao periodica sin : R → R oumesmo visto em sin : [0, 2π] → R nao tem uma funcao inversa.

Mas sua restricao sin : (−π2, π

2) → (−1, 1) mostrada na Figura a

seguir sim tem funcao inversa ! De fato, nessa regiao (−π2, π

2) o seno

e uma funcao injetora, pois sua derivada sin′(x) = cos(x) e semprepositiva em (−π

2, π

2), logo sin(x) e estritamente crescente e portanto

uma funcao injetora.

0,5

1

-0,5

0

-1

x

1,510,50-0,5-1,5 -1

Figura: Restricao do seno ao intervalo ((−π2, π

2).

A inversa de sin : (−π2, π

2) → R e chamada de arco seno no sentido

de que para um valor dado sin(θ) em (−1, 1) ela diz de que arco θ

ele proveio. E denotada arcsin. Guardaremos o sımbolo sin(x)−1 paradenotar 1

sin(x).


1

1,5

0

0,5

-0,5

-1

-1,5

x

10,50-0,5-1

Figura: Grafico de arcoseno, domınio (−1, 1) e imagem (−π2, π

2).

Como explicado na parte 1 do Curso, o arcoseno e contınuo. Masvamos assumir ate que seja derivavel, para calcularmos sua derivada.

Por analogia com o que acontecia com o seno, sera que a derivadado arcosseno e o arcocosseno ? Veremos que nao, nada disso !

Quando referimos uma funcao y = f(x) e sua inversa ao mesmo sis-tema cartesiano, estamos fazendo os graficos de y = f(x) e y = f−1(x),como fizemos nas figuras acima. Mas e claro que sempre podemospensar em em x, que e o input de f−1(x), como sendo um ouput da f .

Afirmacao 4.2. A derivada de arcsin : (−1, 1) → (−π2, π

2) e

arcsin′(x) = 1√1−x2

.

Demonstracao. Pelo Teorema 4.1

arcsin′(x) =1

sin′(arcsin(x)).

Mas ja sabemos que a derivada do seno e o cosseno, logo:

arcsin′(x) =1

cos(arcsin(x)).

Agora uso a relacao trigonometrica

cos2(arcsin(x)) + sin2(arcsin(x)) ≡ 1

e

sin2(arcsin(x)) = ( sin(arcsin(x) )2 = x2

para obter:

cos2(arcsin(x)) = 1 − x2,

e como cos(arcsin(x)) > 0 quando arcsin(x) ∈ (−π2, π

2) entao obtenho:

cos(arcsin(x)) = +√

1 − x2

e portanto

arcsin′(x) =1√

1 − x2,


4. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 26

Note que a funcao 1√1−x2

para x ∈ (−1, 1) e sempre positiva, vale 1

na origem e tem

limxր1

1√1 − x2

= +∞, e limxց1

1√1 − x2

= +∞.

Tudo isso se ve na figura abaixo, onde plotei o arcoseno e suaderivada, para x ∈ [−0.95, 0.95] (nao posso me aproximar demais de−1 ou de 1 se nao o grafico fica muito alto !)

3

1

2

0

-1

x

0,4 0,80-0,8-0,4

Figura: Grafico de y = arcsin(x) (vermelho) e de sua derivada y = 1√1−x2

(verde).

Essa figura e tao parecida (qualitativamente) com a que ja vimosno Capıtulo anterior da funcao y = tan(x) e sua derivada que resolviplota-las juntas, para que o leitor possa fazer comparacoes:

2

0

1

-1

0,8

x

-0,8-0,4 0,40

Figura: y = tan(x) (vermelho), sua derivada (verde), y = arcsin(x) (amarelo) esua derivada (azul) restritas a (−0.9, 0.9).

4. Derivada do arcotangente

Como tan′(x) = 1cos2(x)

> 0 se x ∈ (−π2, π

2) entao a funcao tangente e

estritamente crfecente, logo injetora, logo tem inversa denotada arctan :R → (−π

2, π

2).

Afirmacao 4.3.

arctan′(x) =1

1 + x2, ∀x ∈ R.


Demonstracao.

Pelo Teorema 4.1 e pela derivada da funcao tan(x):

arctan′(x) =1

tan′(arctan(x))=

=11

cos2(arctan(x))

=

= cos2(arctan(x)).

Agora arctan(x) e um arco/angulo e portanto vale:

sin2(arctan(x)) + cos2(arctan(x)) = 1

e daı dividindo por cos2(arctan(x)) temos:

sin2(arctan(x))

cos2(arctan(x))+ 1 =

1

cos2(arctan(x))

ou seja

tan2(arctan(x)) + 1 =1

cos2(arctan(x)),

e como

tan2(arctan(x)) = (tan(arctan(x)))2 = x2,

x2 + 1 =1

cos2(arctan(x))

quer dizer:

cos2(arctan(x)) =1

1 + x2

Logo

arctan′(x) =1

1 + x2.

�

1

0

0,5

-0,5

-1x

2-2 31-3 -1 0

Figura: A funcao arcotangente (vermelho) e sua derivada (verde) restritas a (−4, 4)

5. EXISTE UMA FUNCAO F 6≡ 0 QUE SEJA IMUNE A

DERIVACAO ? 28

5. Existe uma funcao f 6≡ 0 que seja imune a derivacao ?

Exceto pela funcao f ≡ 0, todas as funcoes que vimos ate agoramudam ao serem derivadas (os polinomios perdem grau, etc). Comopoderıamos criar uma funcao f(x) imune a derivada ? Ou seja, com

f ′(x) = f(x) ?

Imagine que tivessemos uma funcao f : R> 0 → R com

f ′(x) =1

x.

Entao f ′(x) > 0 ∀x ∈ R> 0 e daı f(x) e estritamente crescente. Logof−1 : R → R>0 existiria e se fosse derivavel, pelo Teorema 4.1 daderivada da inversa, terıamos:

(f−1)′(x) =

1

f ′(f−1(x))=

=1

( 1f−1(x)

)=

= f−1(x).

Ou seja (f−1)′= f−1: voila a funcao imunizada.

Ou seja a sonhada funcao imune sera a inversa daquela f(x) quetem f ′(x) = 1

x.

Mas sera que ja nao temos uma funcao com f ′(x) = 1x

em nossalista de funcoes ja conhecidas ?

Se quisessemos ao inves de f ′(x) = x−1 algo do tipo f ′(x) = x−k,k 6= 1, bastaria tomar

f(x) =1

−k + 1· x−k+1

e pelo que ja aprendemos f ′(x) = x−k. Mas, justamente, nao podemosescrever 1

−k+1se k = 1.

Para criarmos essa desejada funcao com f ′(x) = 1x

precisaremos seuma fabrica de funcoes, chamada de Integral Indefinida, que veremosno proximo Capıtulo.

Assim como vimos que ha leis fısicas importantes modeladas a partirda propriedade f ′′(x) = −f(x) do seno e do cosseno, ha processos muitoimportantes modelados matematicamente pela relacao:

f ′(x) = f(x).

Essa relacao entre a derivada e a funcao diz por exemplo que quantomais f(x) fica positivo mais aumenta sua velocidade. E a modelagemde algum processo que tem um crescimento extraordinario.

Por exemplo, f(x) pode ser uma populacao em um certo tempo, eque quanto mais elementos tem mais cruzamentos efetua, aumentandoa populacao, e assim por diante. Ou por exemplo uma dıvida, sobre


a qual incidem juros que aumentam a dıvida e sobre ela mais jurosincidem, assim por diante.

5.1. Quantas funcoes sao imunes a derivacao ?Acima propusemos um metodo para criar uma funcao imune a

derivacao (como inversa de uma outa funcao tambem misteriosa) Chamemosnossa funcao imune f1(x) (com f ′

1(x) = f1(x) ∀x portanto).Ssuponhamos por um momento que f1(x) nunca se anula (sera ver-

dade!).Sera que ha alguma outra funcao f2(x) com f ′

2(x) = f2(x) ∀x,bem diferente da nossa f1(x) e que quem sabe sera criada por umoutro metodo completamente diferente desse nosso? A resposta e queessencialmente nao !

E o argumento e o seguinte. Suponha outra f2(x) com f ′2(x) = f2(x)

∀x e defina:f2(x)

f1(x).

Entao a derivada do quociente da:

(f2(x)

f1(x))′(x) =

f ′2(x) · f1(x) − f2(x) · f ′

1(x)

f 21 (x)

=

f2(x) · f1(x) − f2(x) · f1(x)

f 21 (x)

=

=0

f 21 (x)

≡ 0.

Mas entao pela Parte 1 do Curso concluımos que

f2(x)

f1(x)≡ C

onde C e uma constante. Dito de outro modo f2(x) = C · f1(x) ou sejaque f2 e apenas f1 multiplicada por uma constante.

Note que se C = 0 entao f2(x) ≡ 0 e imune a derivacao.

CAPıTULO 5

Integracao, Primeiro Teorema Fundamental,logaritmo e e exponencial

0.2. Area sob um grafico.Dado um grafico de uma funcao contınua y = f(x) ≥ 0 quero

entender qual a Area compreendida sob esse grafico e acima do eixo x,da vertical x = a ate a vertical x = b.

Se y = f(x) = ax+b e uma reta tudo ok, ja sabemos o que sao areasde trinangulos, retangulo, trapezios, etc. Mas e se y = f(x) nao foruma reta ? Se f(x) nao e a equacao de uma reta, vemos que realmenteprecisamos definir de maneira matematicamente correta a intuicao quetemos de que ha uma figura sob esse grafico e que ela tem uma certaarea.

A ideia de Bernard Riemann (que remonta a Arquimedes) e de irsubdividindo o domınio da f e colocando lado a lado retangulos sob ografico (vou chama-los de retangulos justapostos sob o grafico). A somadas areas desses retangulos e menor que a area buscada, mas a medidaque se refina a subdivisao do domınio a soma de areas dos retangulosjustapostos sob o grafico se aproxima de um certo valor.

Figura: Cinco retangulos sob o grafico, de mesma largura (1/5 do intervalo).

31

32

Figura: 12 retangulos sob o grafico, de mesma largura ( 112

do intervalo).

Figura: 24 retangulos sob o grafico, de mesma largura ( 124

do intervalo).Nem precisam ter os retangulos a mesma largura, como nas Figuras;

basta que o maximo das larguras dos retangulos tenda a zero a medidaque refinamos as escolhas dos retangulos.

Isso parece ainda um pouco vago, mas na Secao seguinte faremosalguns Exemplos explıcitos, onde fazemos a particao da base ficar cadavez mais fina e obtemos via um limite um valor bem determinando,que sera a area. E possıvel provar um teorema geral do seguinte tipo:

Afirmacao 5.1. (B. Riemann)1 Seja f : [a, b] → R, f(x) ≥0 contınua.2 Entao a soma das areas de retangulos justapostos sobo grafico tende a um certo numero bem definido, quando a larguramaxima dos retangulos tende a zero.

Esse numero e por definicao a Area sob o grafico de f , de a ate b,denotada por Af,a(b).

0.3. Qual funcao descreve as Areas sob graficos? Dado umafuncao y = f(x) nao-negativa, fixado um ponto inicial a de seu domıniodefinimos acima a area sob seu grafico ate b.

Vamos agora fixar a e mudar o nome de b, passando a chamar-seagora x para significar que vamos variar o b.

Entao a area sob o grafico vira uma nova funcao Af,a(x), que para

cada valor de x da um resultado de Area.Qual e essa funcao A(x)? E que propriedades ela tem?Certamente e uma funcao crescente, sera que Af,a(x) e contınua?

Sera que ela e derivavel ?Com o que sabemos do colegio, so consigo ver dois tipos de exemplos

simples de f , onde responderıamos facilmente sobre Af,a(x):

• Exemplo 1 : Se y = C ≥ 0 e constante e a = 0, entao AC,0(x)e a area de um retangulo de largura x e altura C; portantoessa area e dada pela funcao AC,0(x) = C · x.

1Observo desde ja que se pode dar versoes bem mais fortes desse teorema deRiemann.

2Note que se f nao fosse contınua, quem sabe f nao tivesse maximo global em[a, b] e a figura sob seu grafico fosse infinitamente alta. Nesse caso a area poderia serinfinita, nao ser um numero determinando. Mas sendo f contınua e [a, b] intervalofechado limitado entao ela tem um maximo global

CAPITULO 5. INTEGRACAO, PRIMEIRO TEOREMA

FUNDAMENTAL, LOGARITMO E E EXPONENCIAL 33

• Exemplo 2 : Se y = Cx e a = 0 entao ACx,a(x) e a area de umtriangulo de largura x e altura Cx, portanto essa area e dadapela funcao ACx,a(x) = x·C·x

2= Cx2

2.

Com o que sabemos do colegio nao conseguimos prever que acontececom a area de 0 ate x sob o grafico, se o grafico fosse o de y = C · x2.Mas com o que ja aprendemos neste Curso sim podemos !

• Exemplo 3: Seja y = C · x2, C ≥ 0, a = 0 eescolha um x,0 < x.

Considere a soma de areas dos seguinte retangulos sob ografico de y = C · x2: particione o intervalo [0, x] em n inter-valos de mesmo tamanho:

[0, x] = [0,x

n] ∪ [

x

n,2x

n] ∪ . . . ∪ [

(n − 1)x

n,nx

n].

Tome como primeiro retangulo sob o grafico o retangulo debase [x

n, 2x

n] e altura C(x

n)2, o segundo retangulo de base [2x

n, 3x

n]

e altura C(2x

n)2 e assim ate o (n−1)-esimo retangulo, cuja base

e [ (n−1)xn

, nx

n] e altura C((n − 1)x

n)2.

Como esses retangulos estao sob o grafico, a soma de suasareas e menor que a area real sob o grafico.

Mas se fazemos n cada vez maior, a soma de area deretangulos vai tender a area real, que queremos conhecer.

De fato, dado n ∈ N, a soma das areas dauqeles (n − 1)retangulos e:

x

n· C · x2

n2+

x

n· C · 22x2

n2+ . . . +

x

n· C · (n − 1)2x2

n2=

= C · x

n· x2

n2· [12 + 22 + . . . (n − 1)2].

No item iii) da Afirmacao 2.1 vimos a formula:

12 + 22 + . . . + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6, ∀n ∈ N,

que da quando aplicada ao nosso n − 1:

12 + 22 + . . . + (n − 1)2 =(n − 1)(n − 1 + 1)(2(n − 1) + 1)

6=

=(n − 1)n(2n − 1)

6=

=2n3 − 3n2 + n

6, ∀n ∈ N.

Ora, entao a soma de areas dos (n − 1) retangulos e de fato:

C · x

n· x2

n2· 2n3 − 3n2 + n

6= Cx3 2n3 − 3n2 + n

6n3.

34

Mas pelo que ja vimos na Parte 1 (ja que C e x nao mudamcom n):

limn→+∞

Cx3 2n3 − 3n2 + n

6n3= Cx3 1

3=

Cx3

3.

Entao e ACx2,0(x) = Cx3

3.

• Exemplo 4: Seja y = C ·x3, C ≥ 0. Considere a soma de areasdos seguinte retangulos sob o grafico de y = C · x3: particioneo intervalo [0, x] em n intervalos de mesmo tamanho:

[0, x] = [0,x

n] ∪ [

x

n,2x

n] ∪ . . . ∪ [

(n − 1)x

n,nx

n].

Tome como primeiro retangulo sob o grafico o retangulo debase [x

n, 2x

n] e altura C(x

n)3, o segundo retangulo de base [2x

n, 3x

n]

e altura C(2x

n)3 e assim ate o (n−1)-esimo retangulo, cuja base

e [ (n−1)xn

, nx

n] e altura C((n − 1)x

n)3.

Dado n ∈ N, a soma das areas desses (n− 1) retangulos e:

x

n· C · x3

n3+

x

n· C · 23x3

n3+ . . . +

x

n· C · (n − 1)3x3

n3=

= C · x

n· x3

n3· [13 + 23 + . . . (n − 1)3].

Os itens i) e ii) da Afirmacao 2.1 dao juntos a formula:

13 + 23 + . . . + n3 = (n(n + 1)

2)2, ) ∀n ∈ N,

que da quando aplicada ao nosso n − 1:

13 + 23 + . . . + (n − 1)3 =(n − 1)2(n)2

4=

n4 − 2n3 + n2

4, ∀n ∈ N.

Ora, entao a soma de areas dos (n − 1) retangulos e de fato:

C · x

n· x3

n3· n4 − 2n3 + n2

4= Cx3 · n4 − 2n3 + n2

4n4.

Mas pelo que ja vimos na Parte 1 (ja que C e x nao mudamcom n):

limn→+∞

Cx3 · n4 − 2n3 + n2

4n4=

Cx4

4.

Entao ACx3,0(x) = Cx4

4.

• Exemplo 5) Tambem podemos combinar dois Exemplos desses,por exemplo perguntar pela area sob o grafico de y = C1x

2 +C2x

3, C1, C2 ≥ 0 de 0 ate x.A soma de area de retangulos sera:

x

n· (C1

x2

n2+ C2

x3

n3) + . . . +

x

n· (C1

(n − 1)2x2

n2+ C2

(n − 1)3x3

n3) =



= C1x3

n3· (12 + 22 + . . . + (n − 1)2) + C2

x4

n4· (13 + 23 + . . . + (n − 1)3),

e pelo que vimos nos dois exemplos anteriores 3),4) (e pelolimite de somas):

limn→+∞

C1x3

n3·(12 +22 + . . .+(n−1)2)+C2

x4

n4·(13 +23 + . . .+(n−1)3) =

= C1x3

3+ C2

x4

4.

Nos 5 Exemplos acima ha, digamos assim, uma coincidencia notavel:

A Area como funcao de x e uma funcao derivavel e ademais aderivada da Area e a funcao de partida

A(x) = Cx ⇒ A′(x) = C, A(x) =Cx2

2⇒ A′(x) = Cx,

A(x) =Cx3

3⇒ A′(x) = Cx2, A(x) =

Cx4

4⇒ A′(x) = Cx3.

A(x) =C1x

3

3+

C2x4

4⇒ A′(x) = C1x

2 + C2x3.

Como veremos isso nao e uma coincidencia ! O fato geral por trasdisso, de que derivando a funcao Area sob o grafico voltamos na funcaoque da o grafico, sera o Primeiro Teorema Fundamental do Calculo.

E de fato e a chave para se calcular areas sob graficos incrivelmentecomplicados (no Segundo Teorema fundamental do Calculo).

1. Primeira Versao do Primeiro Teorema fundamental doCalculo

A princıpio nao sabemos muito sobre o grafico de Af,a(x), porem oproximo teorema vai nos dizer muito.

Para demonstrarmos o Teorema, comeco com uma Afirmacao, ilustradana figura que segue:

Afirmacao 5.2. Suponha f : [a, b] → R e contınua e f(x) ≥ 0.Tome x ∈ [a, b) e h > 0 suficientemente pequeno para que x + h ∈

[a, b]. Entao:

Af,x(x + h) = f(ξ) · h,

para algum ponto ξ ∈ [x, x + h].

1. PRIMEIRA VERSAO DO PRIMEIRO TEOREMA

FUNDAMENTAL DO CALCULO 36

m_f

M_f

f ( )ξ

Figura: A area sob o grafico e igual a do retangulo de altura f(ξ), mf < f(ξ) < Mf

Demonstracao.

Comeco observando que, dado o h > 0, o valor Af,x(h) tem queestar entre:

mf · h ≤ Af,x(x + h) ≤ Mf · honde mf · h e a Area de uma retangulo com base h e altura mf (o

mınimo de f em [x, x + h]) e Mf · h e a Area de uma retangulo combase h e altura Mf (o maximo de f em [x, x + h]).

Divido por h > 0:

mf ≤ Af,x(x + h)

h≤ Mf ,

e portantoAf,x(x+h)

he um valor intermediario da f : [a, b] → R, um

valor entre seu mınimo e seu maximo.Logo pelo T.V.I. existe ξ ∈ [x, x + h] tal que

Af,x(x + h)

h= f(ξ),

logo Af,x(x + h) = f(ξ) · h.�

O Teorema a seguir diz que sempre a derivada da funcao que medeareas sob um grafico e a funcao original que da o grafico.

Tambem pode ser lido assim: a operacao de derivar cancela o efeitoda operacao de tomar area sob o grafico:

Teorema 5.1. (Primeira versao)Seja f : [a, b] → R contınua, f ≥ 0 e x ∈ [a, b). Entao

A′f,a(x) = f(x).

Demonstracao. Uso primeiro a definicao de derivada em x ∈[a, b]:

A′f,a(x) = lim

h→0

Af,a(x + h) − Af,a(x)

h.



Em seguida, a aditividade da Area:

Af,a(x + h) = Af,a(x) + Af,x(x + h)

portanto

A′f,a(x) = lim

h→0

Af,a(x) + Af,x(x + h) − Af,a(x)

h=

= limh→0

Af,x(x + h)

h.

Agora uso a Afirmacao 5.2 acima, de que

Af,x(x + h) = f(ξ) · h,

onde ξ ∈ [x, h]. Entao juntando tudo:

A′f,a(x) = lim

h→0

Af,x(h)

x + h=

limh→0

f(ξ) · hh

=

= limh→0

f(ξ).

Para terminar basta ver que

limh→0

f(ξ) = f(x).

Mas quando h tende a zero, ξ ∈ [x, x + h] tende a x.Logo f(ξ) tende a f(x), porque f e contınua.

�

2. Integral e o Primeiro Teorema fundamental

Ate aqui so falamos de funcoes contınuas que sao f ≥ 0, pois que-riamos falar de areas sob seu grafico e acima do eixo dos x.

Mas e claro que se f < 0 na regiao [a, b] faz sentido definir a area daregiao compreendida entre o eixo dos x e seu grafico, que denotaremosainda por Af,a(b).

Sem entrar em detalhes que tornariam pesado o texto do Curso,vou introduzir agora uma operacao chamada integral definida de f dea ate b, de uma funcao f contınua definida em [a, b] denotada:

∫ b

a

f(x)dx

que tem as seguintes propriedades3:

• se f ≥ 0 entao∫ b

af(x)dx = Af,a(b).

3que devem ser aceitas aqui como verdades/axiomas, mas que se pode justificarnos cursos mais avancados

2. INTEGRAL E O PRIMEIRO TEOREMA FUNDAMENTAL 38

• se f < 0 entao∫ b

af(x)dx = −Af,a(b), onde esta area Af,a(b)

e compreendida entre o eixo dos x e o grafico.•

∫ c

cf(x)dx = 0 para qualquer c ∈ [a, b].

• se escolhemos c com a < c < b entao vale∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

•∫ a

bf(x)dx = −

∫ b

af(x)dx.

Exemplo: Chamo a atencao que quando tivermos∫ b

af(x)dx = 0

isto nao dira em geral que f ≡ 0. Por exemplo se tomo [a, b] = [0, 2π]e f(x) = sin(x), entao o fato que veremos a seguir:

∫ 2π

0

sin(x)dx = 0

significa que a area sob o grafico do seno, de [0, π], e a mesma area daregiao sobre o grafico, de [π, 2π].

Por ultimo, se f e g sao contınuas e definidas em [a, b] vamos ter aseguinte propriedade:

• se c1, c2 ∈ R,∫ b

a(c1f(x)+c2g(x))dx =

∫ b

ac1f(x)dx+

∫ b

ac2g(x)dx.

(esse item e facil de comprovar se c1, c2 ≥ 0 e f ≥ 0, g ≥ 0, para afuncao que da as areas Ac1f+c2g,a(b), como vimos num exemplo acima.)

Mas chamos a atencao que em geral :∫ b

a

f(x) · g(x)dx 6=∫ b

a

f(x)dx ·∫ b

a

g(x)dx,

o que se ve comparando areas Ax2,0(x) = x3

3com o produto de areas

Ax,0(x) · Ax,0(x) = x2

2· x2

2.

Veremos mais tarde uma tecnica para fazer as∫ b

a

f(x) · g(x)dx

chamada it integracao por partes.O Teorema 5.1 que vimos acima, tem uma versao mais geral que

usa, ao inves de Af,a(x), a nocao de∫ x

af(t)dt4 (chamada de integral

indefinida, por depender x).

Teorema 5.2. (Primeiro Teorema fundamental do Calculo)Seja f : [a, b] → R contınua e x ∈ [a, b]. Entao

(

∫ x

a

f(t)dt )′(x) = f(x).

4Note que usei t em f(t)dt para deixar x indicando o ponto escolhido



3. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial

Definicao 5.1. Considere a funcao

f : R>0 → R>0, f(x) =1

x.

A funcao de R>0 → R dada por

ln(x) :=

∫ x

1

1

xdx

e o logaritmo natural de x.

Observe que:

• ln(1) = 0• se 1 < x entao ln(x) = A 1

x,1(x) > 0.

• se x < 1 entao∫ x

1

1

xdx = −

∫ 1

x

1

xdx

e∫ 1

x1xdx = A 1

x,x(1) > 0 e uma area. Logo ln(x) < 0 se

0 < x < 1.• como ln′(x) = 1

x> 0, trata-se de uma funcao estritamente

crescente.

Entao∫ x

11xdx tem a propriedade de que (

∫ x

11xdx)′(x) = 1

xpelo

Primeiro Teorema fundamental. A importancia dessa funcao ja foidiscutida, pois sua inversa e entao imune as derivacoes. Denoto suainversa de R → R>0 por exp(y):

exp(ln(x))) = x, ∀x ∈ R>0.

Em particular o numero exp(1) sera denotado por e, ou seja ln(e) =ln(exp(1)) = 1.

4. ln(xmn ) = m

n· ln(x)

A propriedade a seguir faz o logaritmo muito util para lidar comquantidades que crescem muito, por exemplo a massa de um animal,que cresce na ordem de 107 de um rato ate uma baleia.

Vamos provar que

Afirmacao 5.3. ∀m,n ∈ N e ∀x ∈ R>0 ,

ln(xmn ) =

m

n· ln(x).

Demonstracao. Considero a funcao diferenca:

φ(x) = ln(xmn ) − m

n· ln(x).

Gostarıamos de provar que φ(x) ≡ 0.Sejamos modestos, provando primeiro que φ(x) ≡ C.Para isso derivamos φ(x), para ver se φ′(x) ≡ 0.

4. LN(XMN ) = M

N· LN(X) 40

Pelas regras de derivacao do logarimo, da composta e da diferencade funcoes:

φ′(x) =1

xmn

· (mn

· xmn−1) − m

n· 1

x=

≡ 0.

Ou seja, que φ(x) ≡ C. Qual o valor de C ? Se avalio φ(x) no unicoponto facil de avaliar x = 1 obtenho:

φ(1) = ln(1mn ) − m

nln(1) = 0,

logo φ ≡ 0 o que querıamos. �

4.1. ln(|x|) e sua derivada. Note que ln(|x|) faz sentido paratodo x 6= 0. Esta funcao sera muito util na resolucao de equacoesdiferenciais, devido a:

Afirmacao 5.4.

( ln(|x|) )′ =1

x, ∀x 6= 0.

Demonstracao.

De fato, se x > 0 ja sabemos que ln′(x) = 1x

pelo Primeiro TeoremaFundametal do Calculo.

Se x < 0, entao |x| := −x e temos pela regra da composta

(ln(−x))′ =1

(−x)· (−1) =

1

x, onde − 1 = (−x)′,

como querıamos.�

CAPıTULO 6

Calculo de areas via o Segundo TeoremaFundamental

1. Segundo Teorema Fundamental do Calculo

Teorema 6.1. Seja f : [a, b] → R contınua. Entao∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a),

onde F (x) e qualquer funcao com

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Ou seja,dito de outro modo∫ b

a

F ′(x)dx = F (b) − F (a).

Essa funcao F com F ′(x) = f(x) ∀x e chamada de primitiva da f .

Demonstracao.

Tome uma F (x) com F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b] (nao importa comose achou).

Agora lembre que o Primeiro Teorema Fundamental 5.2 diz que afuncao G(x) :=

∫ x

af(x)dx tem

G′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

EntaoF ′(x) = G′(x), ∀x ∈ [a, b],

o que diz queF (x) = G(x) + C, ∀x ∈ [a, b],

pelo Teorema Fundamental das Equacoes diferenciais (ver Capıtulo 7da Parte 1 deste Curso). em particular:

F (b) = G(b) + C.

Mas que constante C e essa ? Temos que G(a) =∫ a

af(x)dx = 0, logo

F (a) = 0 + C,

ou seja C = −F (a) e

F (b) = G(b) − F (a)

41

4. INTEGRACAO POR PARTES 42

e portanto:

G(b) :=

∫ b

a

f(x)dx = F (b) − F (a),

como querıamos.�

Exemplo: Agora podemos justificar que∫ 2π

0

sin(x)dx = 0,

pois pelo Teroema 6.1:∫ 2π

0

sin(x)dx = − cos(2π) − (− cos(0)) = −1 + 1 = 0.

2. Regioes ilimitadas com area finita

3. Series harmonica, k-harmonicas e geometrica

4. Integracao por partes

CAPıTULO 7

A exponencial, sua equacao diferencial e aplicacoes

1. Propriedades da exponencial

2. Sequencias que tendem a e

3. Juros compostos discreta e continuamente

4. A equacao diferencial do decaimento radioativo - idade defosseis, rochas, esqueletos

43

CAPıTULO 8

Aplicacao a biologia: O expoente 3/4 rege a vida

45

um curso de cálculo - parte 2 (até a pág....

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