o uso de analogias, alegorias e metÁforas no ensino...

UFRGS- UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ROSÂNGELA DA SILVA VIEIRA

O USO DE ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO

ENSINO DOS NÚMEROS INTEIROS

Porto Alegre

2008/02




Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em Matemática, como requisito parcial a aprovação da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Orientadora: Profª Drª Vera Clotilde Vanzetto Garcia

Porto Alegre

2008/02




Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em Matemática, como requisito parcial a aprovação da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Data de aprovação:

Banca Examinadora:

______________________________________

Francisco Egger Moellwald

_____________________________________

Lúcia Helena Marques Carrasco

AGRADECIMENTOS

Meus sinceros agradecimentos...

... à profª Drª Vera Clotilde Vanzetto Garcia, orientadora, que me

guiou com total dedicação e me ajudou a desenvolver este trabalho;

... à Deus, pois, sem sua proteção nada teria sido possível.

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo sobre o uso de analogias, alegorias e metáforas no ensino dos números inteiros. O objetivo é refletir sobre a experiência didática, realizada em 2006/01 na disciplina de laboratório de ensino-aprendizagem em matemática I, apresentando e comparando diferentes recursos de linguagem utilizados no ensino dos números inteiros e salientando os mais adequados dentre eles. Foram consultados vários autores e foi realizado um estudo sobre a importância deste assunto no ensino; analisados seis livros didáticos de 6ª série do ensino fundamental a fim de obter uma pequena amostragem de como aparecem esses recursos nos livros; e estudado um pouco da história dos números inteiros, a fim de identificar metáforas. Constatou-se que o uso dos recursos de linguagem é estudado em várias ciências e constitui um fator importante no processo de ensino aprendizagem, pois permite uma aproximação entre dois mundos, um conhecido e o outro, desconhecido. Percebeu-se que é preciso tomar cuidado quanto à escolha desses recursos, pois cada um serve a diferentes objetivos e tem deficiências em outros. Nem todos os recursos de linguagem são recomendáveis para serem utilizados no ensino dos números inteiros, pois podem causar confusões nos alunos.

Palavras chave: Analogias, alegorias e metáforas; ensino – aprendizagem; recursos de linguagem.

ABSTRACT

This paper presents a study about the uses of analogies, allegories and metaphors in the teaching of integer numbers. The purpose is to reflect about a didactical experience, developed in the year 2006 in the Laboratório de Ensino-aprendizagem em Matemática I course, presenting and comparing different resources used in the process of teaching integers emphasizing the most suitable process. It were consulted many authors and executed a study about the importance of this matter in the teaching process; it was analyzed six books from 6th grade of fundamental school intending to obtain a little sample of how these tools appear. The history of integer numbers was studied to find out metaphors. It was confirmed that the use of different resources is studied in many sciences and constitute an important factor in teaching and learning process because it allows proximity between two different worlds, a unknown one and a known one. It was realized that is necessary to pay attention about the choice of these resources because they suit for some purposes and lack for others. Not all resources are good to teach integer numbers, some of them can be more confusing than helpful.

Keywords: Analogies, allegories and metaphors; teaching and learning process; language

resources.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Quadro 1 - Especificação e definição da linguagem matemática utilizada na pesquisa dos livros didáticos..................................... 36-37

Quadro 2 - Analogias encontradas no ensino dos números inteiros............................................................................................. 38-39

Quadro 3 - Metáforas encontradas no ensino dos números inteiros............................................................................................. 39-40

Quadro 4 - Alegorias encontradas no ensino dos números

inteiros............................................................................................. 40-41

Quadro 5 - Para quais conceitos as analogias são adequadas

ou inadequadas?.................................................................................... 42

Quadro 6 - Para quais conceitos as alegorias são adequadas ou inadequadas?.................................................................................... 43-44

Quadro 7 - Para quais conceitos as metáforas são adequadas ou inadequadas?.................................................................................... 44-45

Quadro 8 - Diferentes metáforas para o número zero, para o número

negativo (- n) e para o número positivo (+ n).................................. 45-46

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 10 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................... 13

1.1 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA.13 2 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS UTILIZADAS NA PRÁTICA DE 2006/01 ................................................................................................................................... 211

2.1 METÁFORA COM O VARAL ILUSTRATIVO ....................................................... 222

2.2 ANALOGIA E METÁFORAS COM A IMAGEM NO ESPELHO ............................ 22

2.3 ANALOGIA E METÁFORAS COM O NÍVEL DA ÁGUA ...................................... 222

2.4 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS TEMPERAURAS ....................................... 23

2.5 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS ALTURAS DOS PRÉDIOS (ELEVADOR)... ...................................................................................................................... 23

2.6 ALEGORIA E METÁFORAS COM CARTÕES DE DUAS CORES DIFERENTES... .................................................................................................................... 244

2.7 ALEGORIA E METÁFORAS COM O JOGO DA RETA ........................................ 244

2.8 REFLEXÕES SOBRE OS RECURSOS UTILIZADOS NA PRÁTICA DE 2006/01 ... .................................................................................................................................................. 25 3 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS ENCONTRADAS NOS LIVROS DIDÁTICOS PARA O ENSINO DE NÚMEROS INTEIROS ........................................ 277

3.1 LEVANTAMENTO DESCRITIVO DOS LIVROS DIDÁTICOS ............................ 322

3.1.1 Alegoria e metáforas com o Mundo das Pistas de Corrida de Carros.................... 322

3.1.2 Alegoria e metáforas com o Jogo de Objetos (fichas/bolinhas/cartas) de Duas Cores.. ...................................................................................................................................... 33

3.1.3 Analogia e metáforas com Fuso Horário ................................................................... 333

3.1.4 Analogia e metáforas com Dinheiro ............................................................................. 33

3.1.5 Analogia e metáforas com Balança de Comida por Quilo ....................................... 344

3.2 REFLEXÃO SOBRE NOVAS ANALOGIAS E ALEGORIAS ENCONTRADAS NOS LIVROS DIDÁTICOS ................................................................................................ 344 4 IDENTIFICAÇÃO DAS LÍNGUAGENS MATEMÁTICAS E RECURSOS DE LINGUAGEM ENCONTRADOS ...................................................................................... 366 5 METÁFORAS PRESENTES NA HISTÓRIA DOS NÚMEROS INTEIROS ............ 488 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 51 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 54

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INTRODUÇÃO

Na disciplina Laboratório de Prática de Ensino-aprendizagem em Matemática I, em

2006/01, participamos – professora orientadora e um grupo de quatro colegas – de uma

experiência didática visando o ensino dos Números Inteiros com crianças de 6ª série, do nível

fundamental, na Escola Estadual de Ensino Fundamental Alcebíades Azeredo dos Santos,

localizada na cidade de Viamão.

O objetivo maior era a introdução aos números negativos, com apresentação do

conjunto dos inteiros, relação de ordem e operação de adição neste conjunto.

O planejamento incluiu objetos concretos para auxílio visual (varal, termômetro e

garrafas com líquido); objetos manipulativos (cartões) e jogos (reta numerada com dados e

cartões). Nas explicações orais, muitas vezes utilizamos linguagem figurada: o número

negativo é a imagem do positivo, num espelho colocado no zero; o positivo fica à direita e o

negativo fica à esquerda; o positivo está acima e o negativo está abaixo; e outras.

Achei a experiência interessante pela variedade de estratégias que nosso grupo

preparou em cada uma dessas etapas. Dando início a este trabalho, identifico entre tais

estratégias, recursos de linguagem: “analogias”, “alegorias” e “metáforas”. Pretendo

apresentar e comparar diferentes recursos de linguagem utilizados no ensino dos números

inteiros e salientar os mais adequados entre eles.

Qual é a importância dos recursos de linguagem no ensino de Matemática? Como são

definidos os diferentes recursos? Existem metáforas/analogias mais adequadas que outras para

o ensino de determinado conteúdo? Quais seriam as mais adequadas no ensino dos números

inteiros?

É importante aproximar o discurso do professor e o universo cultural dos alunos, assim

como estabelecer relações entre novos domínios de aprendizagem e assuntos familiares aos

11

estudantes. É por esta razão que os recursos de linguagem, que podemos considerar como

estratégias didáticas, podem ter um papel motivador e contribuir para a melhoria do ensino de

matemática. Parece-me que é usual, para os professores, fazer relações com o cotidiano

usando recursos de linguagem, mas acredito que eles não percebam as diferenças entre eles e

o potencial de cada um deles.

Os autores que consultei definem analogias, alegorias e metáforas e indicam que estas

formas extrapolaram o campo da linguagem, visto que também estão presentes em textos não

literários, informativos, científicos e didáticos. Ocupam espaço importante no processo de

ensino-aprendizagem, facilitando os procedimentos heurísticos e cognitivos.

O uso destas formas permite reconhecer os elementos que fazem parte da cultura dos

estudantes, auxiliando o trabalho da escola de apropriar-se do universo de significados dos

alunos e estabelecer uma lógica em comum, que favoreça o diálogo pedagógico. Com isso,

pode-se afirmar que o estudo sistemático de diversas formas de linguagens é de extrema

importância no campo da Educação Matemática. Em especial, para a formação de professores,

pois é proveitoso prepará-los para que explorem esses recursos em toda sua potencialidade.

Os objetivos deste trabalho consistem em:

1. Aprofundar leituras sobre ensino por analogias, metáforas e alegorias;

2. Identificar metáforas presentes na história dos números inteiros;

3. Listar, refletir sobre, analisar e comparar diferentes analogias, metáforas e

alegorias utilizadas no ensino dos números inteiros;

4. Refletir sobre a importância deste trabalho na minha formação;

Este trabalho, ao apresentar analogias, alegorias e metáforas utilizadas como recursos

didáticos no ensino dos números inteiros, estrutura-se de acordo com a seguinte ordenação. O

primeiro item traz uma síntese de estudos realizados sobre o uso de analogias, alegorias e

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metáforas no ensino da matemática e sobre a importância desses recursos. O segundo faz uma

breve descrição sobre as analogias, alegorias e metáforas utilizadas na prática de 2006/01,

comparando-as e salientando as mais adequadas dentre elas. O terceiro traz uma descrição

sobre as analogias, alegorias e metáforas encontradas em alguns livros didáticos de 6ª série do

ensino fundamental. O quarto apresenta quadros demonstrativos sobre todos os recursos de

linguagem encontrados durante o trabalho. O quinto apresenta a identificação de metáforas

presentes na história dos números inteiros. O sexto apresenta uma conclusão a partir de

reflexões sobre este trabalho e seu significado para minha formação.

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1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

As metáforas, analogias e alegorias são consideradas estratégias didáticas

fundamentais no ensino e na aprendizagem das ciências. Elas oferecem condições para

construir, ilustrar ou compreender um domínio científico desconhecido dos alunos a partir de

um domínio familiar a eles, com base na exploração de atributos/relações comuns e não

comuns de ambos os domínios, alvo e análogo. Foram encontradas obras a respeito, tratando

do ensino da Física e da Biologia. Destacamos aquelas dedicadas ao ensino da Matemática.

1.1 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Muitos pesquisadores (Carvalho, 2007; Frant, Acevedo e Font, 2005; Lellis, 2002;

Vereza, 2007) citam a obra de Lakoff e Nunez (2000) como marcante para as relações entre

metáfora e ensino. Para estes autores, a matemática é uma ciência construída pelo ser humano,

e sua origem deve ser investigada nos processos cognitivos cotidianos, dentre eles os

esquemas das imagens e o pensamento metafórico. Tais processos oferecem uma explicação

sobre como a construção de objetos matemáticos está apoiada na maneira como o sujeito se

relaciona com os objetos da vida cotidiana, sejam tais objetos físicos ou lingüísticos. Com

essa teoria, as metáforas deixaram de ser figuras decorativas, passando a integrar os sistemas

conceituais.

Lellis (2002) explica que essa é uma teoria cognitivista, que vem conduzindo

investigações sobre a gênese das idéias matemáticas. Pesquisadores têm apresentado

evidências de que muitos objetos matemáticos nascem como metáforas de experiências do

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cotidiano, sendo refinados evolutivamente pela cultura. Exemplos seriam: a teoria dos

conjuntos, que se originou da relação continente-conteúdo; a noção de número que se

originou da contagem; a noção de número negativo, que tem origem na idéia de dívida.

O estudo desenvolvido por Oliveira (2005) identifica e analisa diversas linguagens

matemáticas presentes em livros didáticos e utiliza a metodologia de ensino com analogias

MECA para testar o potencial da balança de dois pratos, como veículo para a compreensão do

conceito de equação matemática. Ao analisar várias coleções de livros didáticos ela mostra

quadros comparativos entre conteúdos de matemática e linguagens utilizadas, sem destacar o

conteúdo de números inteiros. Conclui que as analogias e metáforas são importantes recursos

didáticos, entretanto sua utilização é pouco explorada e não há relações entre as

analogias/metáforas e o conteúdo abordado nos livros didáticos analisados.

A autora define vários recursos de linguagem, mas dentre eles citaremos as definições

de metáfora, analogia e alegoria. Define metáfora como termo de origem grega que significa

mudança, transposição. É uma comparação implícita entre dois elementos, sendo um dos

elementos considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o outro

elemento, considerado desconhecido. Expressar-se por metáforas consiste em usar certas

palavras em lugar de outras, porque a imaginação estabelece uma semelhança entre ambas: é a

transferência de uma palavra para um âmbito semântico que não é o do objeto que ela

designa. Esta transferência surpreende e pode causar uma mudança de concepções sobre o

objeto alvo, favorecendo a aprendizagem. Por exemplo: “Minha vida vai dar uma guinada de

1800”.

Tomemos como exemplo um número negativo, uma abstração matemática, um novo

conceito desconhecido para a criança. Podemos dizer a ela que “número negativo é uma

dívida” ou um débito e que “número positivo é ter dinheiro”, ter saldo. Na verdade, o número

negativo é utilizado para representar uma dívida, mas a idéia de dívida é muito mais antiga do

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que a existência do número e faz parte do mundo concreto e da realidade da criança. Podemos

também recorrer às transações com dinheiro: no mundo das compras e vendas, o número

positivo é o “troco” e o número negativo é a “falta”. A metáfora faz parte do nosso cotidiano,

é um recurso de linguagem que utilizamos para explicar fatos do dia-a-dia.

Para Oliveira (2005), analogia é uma comparação explícita entre dois elementos,

sendo um dos elementos considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o

outro elemento, considerado desconhecido. Esta comparação busca salientar semelhanças nas

relações entre os objetos de dois mundos.

As analogias facilitam a compreensão de significados. No cotidiano, utilizamos

analogias para explicar ou identificar alguma coisa, com expressões do tipo: parece com; é

como se fosse; imagine que; suponha que. Como no caso da comparação do mapa de uma

cidade com o plano cartesiano. Ex: “imagine que a cidade é quadriculada, e as ruas se

cruzam, como as retas verticais e horizontais do plano cartesiano.”

No nosso caso, por exemplo, os números negativos podem ser considerados como

imagens, num espelho fictício, dos números positivos, ordenados sobre uma “reta”, de acordo

com a relação de ordem dos naturais. Considerando o espelho como sendo o zero podemos

supor que os números negativos são imagens dos números positivos, utilizando a idéia de

simetria. Esta comparação favorece a relação de ordem e a posição dos números negativos na

reta.

Segundo Oliveira (2005), alegorias são expressões lúdicas ou artísticas utilizadas para

representar conteúdos didáticos, cujos elementos concretos são representações do objeto

matemático. Exemplo são os quebra-cabeças e os jogos matemáticos em geral.

No nosso caso, comparamos o domínio abstrato dos números inteiros com o domínio

concreto de um jogo constituído por caminhos desenhados num tabuleiro, cujas casas são

numeradas de maneira semelhante à reta numerada. O jogo é desenvolvido a partir de

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“passos” marcados com fichinhas. Deste modo, um número positivo pode ser a posição ou o

número de passos a ser dado. Estamos desenvolvendo os conceitos de número cardinal e de

número ordinal a partir das semelhanças entre os dois mundos. Por seu lado, um número

negativo pode ser a posição ou o número de passos a ser dado, no sentido contrário ao

crescimento da numeração, na reta.

Machado (1991) destaca e diferencia metáfora, alegoria e modelo, sem definir

analogia. Considera os recursos de linguagem como instrumentos essenciais para os que se

dedicam à matemática, sobretudo ao seu ensino.

Sua definição de metáfora é muito semelhante à anterior. Para ele metáfora consiste

em dar a uma coisa o nome de outra coisa, produzindo-se como que uma transferência de

significados, com base em alguma semelhança. Trata-se de estabelecer pontes entre diferentes

contextos, buscando relações estruturais que subjazem, a despeito da distinção dos

significados.

Ele define alegoria como uma construção que tem metáforas como tijolos. Trata-se da

produção de uma significação figurada com as características de uma metáfora continuada ou

de uma cadeia de metáforas. Além disso, aproxima as noções de alegoria, analogia e modelo,

lembrando que todas desempenham funções similares às da metáfora.

Define modelo no caso em que as metáforas podem apoiar-se em sistemas de

deduções especialmente construídas, assim como em lugares comuns aceitos. Os cientistas,

por exemplo, utilizaram a reta numérica dos números reais para criar artefatos como o

termômetro, elevadores e medidores de altitudes. Na sala de aula utilizamos esses artefatos

como objeto de partida para a compreensão da reta numérica e dos números com sinal. O

termômetro, por exemplo, serve como um modelo concreto, real, para a reta numérica – ainda

desconhecida - mas podemos também utilizá-lo para fazer uma analogia com os números

positivos e negativos, posicionando-os como na reta, pois existem temperaturas altas (acima

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do zero) e temperaturas baixas (abaixo do zero). Neste caso, o termômetro foi usado como um

modelo de ensino, objeto que possibilita criar a idéia abstrata desejada, por analogia.

Machado (1991) cita uma história como exemplo de alegoria, cuja meta é a

compreensão das propriedades operatórias com potências e logaritmos, mas uma parte da

história serve de alegoria para os números inteiros. Trata-se de uma história chamada O

mágico logarítmico. O mágico manda em tudo, controlando todo o dinheiro das pessoas, e

mora em um palácio, numa cidade em que as pessoas são divididas em pobres e ricas. Do lado

pobre, mais distante do palácio, as casas são numeradas com números negativos. A casa

seguinte à casa-zero tem o número -1, e assim por diante. Já as casas do lado rico são

numeradas com números positivos e são mais próximas do palácio. Aqui são identificadas

metáforas como: pobreza é negativo; riqueza é positivo. O autor salienta que este é um

exemplo totalmente inadequado de alegoria, pois o uso pedagógico desta historinha pode ter

efeitos sociais e psicológicos indesejáveis.

O autor defende o uso dos recursos de linguagem no ensino, pois considera que a

permanente associação entre o sentido literal e o figurado é o motor dos processos criativos

nas ciências e na matemática, como na língua.

Duarte (2005) faz um estudo de várias definições de analogia e de metáfora, e

demonstra que, apesar das diferenças, em todas as definições se reconhece que a analogia

envolve o estabelecimento de comparações ou relações entre o conhecido e o pouco

conhecido ou desconhecido.

Arruda (1993) afirma que o papel central da metáfora na aquisição do conhecimento

novo, assim como modelos e analogias, consiste em providenciar uma ponte racional entre o

conhecido e o radicalmente desconhecido. Analogias são consideradas metáforas estendidas e

têm a mesma função: permitir que domínios separados sejam postos em relação cognoscitiva.

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Machado (1995) observa que a presença do sentido figurado exerce relevantes funções

no desempenho de tarefas docentes. A metáfora aproxima dois contextos, um que se apresenta

mais familiar e outro que se afigura como o novo. O que se busca é explicar o que é

inacessível à experiência direta, relações que precisam ser instauradas pela imaginação.

As analogias são veículos para o raciocínio matemático. Ao dizer que “número

negativo corresponde a uma dívida e número positivo corresponde a saldo”, abre-se o

caminho para buscar todas as comparações possíveis entre o mundo abstrato dos números e o

mundo concreto do dinheiro. O raciocínio por analogia proporciona a transferência das

estruturas de um sistema - considerado o veículo, no caso o mundo do dinheiro - para atingir

outro sistema – considerado o alvo, o mundo dos números.

Quando o objetivo é compreender, fazer-se compreender e comunicar algo, pode-se

constatar sucesso na utilização de analogias, alegorias ou metáforas. É uma forma de

aproximar o discurso do professor e o universo cultural dos alunos, assim como de estabelecer

relações entre novos domínios de aprendizagem e instâncias familiares aos estudantes.

Um dos aspectos favoráveis ao uso das analogias é o papel do professor como

mediador junto ao aluno, à turma e aos grupos, para a busca de significados aos novos

conteúdos. A partir das experiências do aluno, do seu cotidiano e de seus conhecimentos

prévios, é possível estabelecer analogias que favoreçam o sentido real e o verdadeiro

significado daquilo que é ensinado em sala de aula. A analogia assume um papel motivador

no ensino de Matemática.

O uso de analogias, alegorias e metáforas pode facilitar a compreensão do abstrato, ao

apontar semelhanças com o mundo real; permitir certa visualização do abstrato; promover o

interesse e a motivação pelo novo tema e pode também permitir a percepção das concepções

prévias que podem ser obstáculos para a aprendizagem de conceitos novos.

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Como lembra Duit (apud NAGEM, CAVALHAES E DIAS, 2001), que as analogias

são valiosas ferramentas para mudanças conceituais, pois, quanto ao mérito, o uso de

analogias pode:

1. Abrir novas perspectivas e promover mudanças conceituais;

2. Facilitar a compreensão do abstrato, ao apontar semelhanças com o mundo

real;

3. Promover o interesse e a motivação dos alunos pelo novo tema;

4. Conscientizar o professor da importância das concepções prévias dos seus

alunos.

Por outro lado, o uso de analogias no ensino também tem limitações, pois, segundo

Duit (apud PÁDUA E NAGEM, 2001), a analogia pode não surtir o efeito esperado, podendo

vir a se constituir em uma “faca de dois gumes”, ou seja, os conceitos prévios mal aprendidos

podem gerar alguns obstáculos difíceis de serem transpostos. Pensando nisto, o recurso ao

raciocínio por analogias deve ser sempre guiado pelo professor, pois a transferência de

conhecimento deve ser natural. Deve-se ter certeza de que os alunos compreenderam

totalmente a analogia ou que esta seja realmente familiar para os alunos, pois apesar de

algumas áreas do conteúdo científico serem consideradas similares, podendo ser utilizadas

como análogas, elas podem ser vistas como totalmente distintas pelos estudantes.

Neste trabalho, seguimos as definições de Oliveira (2005), diferenciando metáfora,

alegoria e analogia, aceitando a estrita relação entre elas, como os demais autores sugerem.

Metáfora é uma relação implícita entre dois mundos, que não necessita de explicação;

analogia é uma relação explícita e bem explicada; alegoria é uma expressão lúdica utilizada

para representar conteúdos didáticos

Diante dos resultados da revisão bibliográfica, torna-se mais instigante estudar sobre o

uso de analogias, alegorias e metáforas e outros recursos de linguagem no ensino dos números

20

inteiros. Por um lado fica demonstrada a importância do tema e, por outro, evidencia-se que

ainda não há um trabalho específico para esse conteúdo matemático.

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2 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS UTILIZADAS NA PRÁTICA DE

2006/01

Em 2006/01 nós – professora orientadora e um grupo de quatro alunos – realizamos

diferentes etapas de um plano de trabalho para o ensino dos números inteiros em uma turma

de 6ª série durante duas horas-aula, na Escola Estadual de Ensino Fundamental Alcebíades

Azeredo dos Santos, localizada na cidade de Viamão. As crianças não conheciam o conteúdo

de números inteiros e durante a prática nós trabalhamos com os conceitos de número oposto,

número zero, número positivo e negativo, posição dos números inteiros na reta, relação de

ordem dos números inteiros e conceito de adição e subtração dos números inteiros.

Outros grupos da disciplina de Laboratório começaram a aula com uma atividade de

compra e venda, os alunos receberam cartões que representavam dinheiro e compravam

pacotinhos cujo valor estava assinalado no invólucro. O objetivo era introduzir números com

sinal envolvendo troco ou dívida. Quando o “dinheiro” é suficiente para efetuar a compra, o

aluno facilmente calcula o troco e recebe um cartão com sinal +; quando o “dinheiro” é

insuficiente para efetuar a compra, o aluno facilmente calcula o que falta e recebe um cartão

com sinal - para indicar sua dívida. Os alunos guardaram os cartões para a atividade do varal.

Nós não introduzimos os números inteiros com essa atividade, começamos a aula com o varal

ilustrativo, mas posteriormente chegamos à conclusão que a atividade de compra e venda

poderia facilitar melhor o entendimento dos alunos com relação aos números com sinais.

Diferentes recursos de linguagem foram utilizados na nossa prática de laboratório

para a introdução desses conceitos e estão descritos abaixo:

22

2.1 METÁFORA COM O VARAL ILUSTRATIVO

Este foi um modelo utilizado para representar a reta e para construirmos os números

inteiros com a participação dos alunos. Pode-se pensar na metáfora “a reta numérica é

semelhante a um varal”.

2.2 ANALOGIA E METÁFORAS COM A IMAGEM NO ESPELHO

Os números negativos podem ser identificados como imagens, num espelho fictício,

dos números positivos, ordenados sobre uma “reta”, de acordo com a relação de ordem dos

naturais. Considerando o espelho como sendo o zero podemos supor que os números

negativos são imagens dos números positivos, utilizando a idéia de simetria. Nesta analogia,

temos duas metáforas, “na reta, número negativo é a imagem no espelho do número positivo”

e “zero é o espelho”.

2.3 ANALOGIA E METÁFORAS COM O NÍVEL DA ÁGUA

Utilizamos a garrafa para dar início à idéia de reta numérica. Um número inteiro

corresponde ao nível de água numa garrafa. Inicialmente, a água está num nível indicado por

zero. Tirando água, o nível fica negativo, abaixo do zero. Colocando água, o nível fica

23

positivo, acima do zero. A analogia foi complementada com outra (analogias múltiplas),

considerando-se o nível das terras que estão acima ou abaixo do nível do mar. Metáforas:

“número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número abaixo do

zero” e “zero é o nível de referência”.

2.4 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS TEMPERATURAS

Neste caso, o termômetro dá início à idéia de reta numérica. Utilizamos este modelo

para fazer uma analogia com o mundo das temperaturas, ou seja, um número inteiro com sinal

corresponde ao número que indica temperaturas, num termômetro. Temos ali números

positivos que correspondem a temperaturas maiores do que zero e números negativos que

correspondem a temperaturas menores do que zero. Metáforas semelhantes às anteriores:

“número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número abaixo do

zero” e “zero é o nível de referência”.

2.5 ANALOGIA E METÁFORAS COM AS ALTURAS DOS PRÉDIOS (ELEVADOR)

Neste caso, o elevador dá início à idéia de reta numérica. O andar térreo de um edifício

corresponde ao número zero. Os andares acima do térreo correspondem aos números positivos

e os andares abaixo do térreo correspondem aos números negativos. Metáforas semelhantes às

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anteriores: “número positivo é um número acima do zero”, “número negativo é um número

abaixo do zero” e “zero é o nível de referência (o térreo)”.

2.6 ALEGORIA E METÁFORAS COM CARTÕES DE DUAS CORES DIFERENTES

Um número inteiro corresponde a um cartão. Números opostos têm cores diferentes e

a regra afirma que eles se anulam, um a um. A adição dos inteiros é feita por comparação dos

cartões de cores diferentes e por anulação. Metáforas: “número inteiro positivo é um objeto da

cor X”, “número inteiro negativo é um objeto da cor Y”, “zero é nada” e “zero é o resultado

da soma de objetos de cores diferentes”.

2.7 ALEGORIA E METÁFORAS COM O JOGO DA RETA

Um número inteiro tem duplo sentido. 1) Indica uma caminhada com certo número de

passos, sobre um caminho dado, sempre iniciando no zero. O número positivo corresponde a

caminhadas num sentido pré-estabelecido e o número negativo corresponde a caminhadas no

sentido oposto, ou seja, número positivo corresponde a caminhadas para a direita e número

negativo corresponde a caminhadas para a esquerda, do zero. Metáforas: “número positivo

“anda” para a direita”, “número negativo “anda” para a esquerda” e “zero é o ponto de

partida”. 2) Indica uma posição, à direita ou à esquerda do zero. Metáforas: “número positivo

fica à direita” e “número negativo fica à esquerda” e “zero é o ponto de referência”.

25

2.8 REFLEXÕES SOBRE OS RECURSOS UTILIZADOS NA PRÁTICA 2006/01

Segundo Duit (apud PÁDUA E NAGEM, 2001), o uso de analogias no ensino abre

possibilidades, mas também tem limitações. Uma analogia muitas vezes não se sustenta sobre

uma semelhança total entre os dois domínios comparados e as diferenças podem induzir os

estudantes a desenvolver concepções errôneas. Ou ainda, os estudantes podem deter

concepções equivocadas sobre o domínio analógico, que serão transferidas para o novo

conhecimento.

Fizemos uma análise, baseada na nossa prática, dos exemplos anteriores, e concluímos

que existem alguns domínios analógicos adequados e outros inadequados para determinados

conceitos-chave na aprendizagem dos números inteiros.

1) Noção de número com sinal, positivo e negativo: todos os exemplos

anteriores são bons domínios analógicos.

2) Noção do número zero: tem bons domínios em todos os exemplos anteriores,

exceto na analogia das temperaturas, pois neste caso a temperatura zero não seria uma

temperatura neutra, ela é considerada uma temperatura baixa.

3) Relação de ordem: tem um bom domínio para a analogia no mundo das

alturas e níveis de água. As crianças identificam com muita naturalidade as idéias de mais

alto, mais cheio e maior. A noção prévia de “ser maior ou ser menor” coincide, nas crianças

de 11-13 anos, com “ser mais alto” ou “ter mais água”. As demais analogias não são

adequadas para este conceito, por exemplo, no caso da analogia com temperaturas, as crianças

comparam os números com expressões do tipo “mais frio ou mais quente”. Estes casos são

exemplos de analogias com limitações devido ao tipo de conhecimento prévio que o aluno

desta faixa etária detém sobre o domínio que foi considerado conhecido. As crianças não têm

26

familiaridade com a comparação de temperaturas, mas têm noção de comparação entre alturas

e entre quantidades. A partir deste conhecimento prévio pode-se preparar analogias, desde que

se ache um acordo sobre o significado do zero. Para aperfeiçoar a analogia da relação de

ordem com altura é preciso uma metáfora para o zero: zero é o ponto de início, a altura inicial,

a altura de referência. Foi também bem sucedida a analogia do espelho. As crianças já

conheciam a relação de ordem entre os números naturais. Visualizando-os sobre uma reta

numerada, concluíram que, ao comparar dois números inteiros positivos, aquele que está mais

longe do zero é o maior. A idéia de um espelho colocado sobre o zero faz com que as crianças

associem número negativo com reflexo, com imagem espelhada. Para elas, tudo o que se vê

no espelho, se vê ao contrário. Assim, ao comparar dois números negativos, aquele que está

mais longe do zero é o menor.

4) Noção de oposto de um número inteiro: o melhor recurso foi a alegoria dos

cartões de duas cores diferentes, pois foi utilizada a idéia que números opostos têm cores

diferentes e a regra utilizada afirma que eles se anulam, um a um.

5) Noção de posição na reta numérica de um número inteiro: tem um bom

domínio de analogia no modelo do varal e também nas demais analogias descritas, pois todos

demonstram, na vida real, a existência da reta numérica.

6) Noção de adição com números inteiros: o melhor recurso foi a alegoria do

jogo da reta, atribuindo-se metáforas para os sinais e para o zero: positivo é andar para a

direita, negativo é andar para a esquerda; zero é o ponto de partida. A adição de dois números

inteiros coincide com o andar tantos passos para um lado ou outro, partindo do zero,

considerado como ponto de origem do movimento. Deste modo, podemos concluir que: A +

(-A) = 0; 0+A = A, para qualquer inteiro A.

27

3 ANALOGIAS, ALEGORIAS E METÁFORAS ENCONTRADAS NOS LIVROS

DIDÁTICOS PARA O ENSINO DE NÚMEROS INTEIROS

Foram analisados seis livros didáticos de 6ª série do Ensino Fundamental a fim de

obter uma pequena amostragem sobre como as analogias, alegorias e as metáforas estão sendo

utilizadas no ensino dos Números Inteiros. Em todos os livros são enfatizados vários

exemplos, sem serem explicitadas as relações entre esses recursos e o conteúdo abordado.

No livro “Matemática na medida certa1” os números inteiros são introduzidos através

de analogias como: temperatura, altitude e dinheiro. Os autores iniciam afirmando que

existem números positivos e números negativos e que eles são úteis para expressar medidas,

como por exemplo, as de temperatura. Após, citam que existem altitudes maiores e menores

que zero, dando exemplos de cidades nessas condições. Com relação ao dinheiro eles dão um

exemplo de uma pessoa que tem cheque especial e sua conta pode ficar com saldo positivo ou

negativo, e que isso pode ser resumido à expressão matemática 300 - 360 = -60. Em seguida,

é dado um exemplo de alegoria onde há um desenho de pista de corrida de fórmula 1. Há um

carro e um rapaz fora da pista com uma placa que contem duas indicações: -12 e +10 e é dito

que esta placa foi mostrada para um piloto de fórmula 1, numa corrida em que ele estava em

2º lugar. A indicação +10 indica que ele está 10 segundos à frente do 3º colocado, a indicação

-12, que ele está 12 segundos atrás do 1º colocado. Em seguida é apresentado o conjunto dos

números inteiros e uma atividade de jogo, “Subindo no Tobogã”, que é identificada com a

alegoria do jogo dos passos. Aparecem novas metáforas: “a faixa zero é o começo do jogo”,

“positivo é subir”, “negativo é descer”. Após, há muitos exercícios relacionados com as três

analogias iniciais.

1 JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa. São Paulo: Scipione, 1995.

28

A relação de ordem é abordada através de módulo (distância) e da analogia com

temperaturas e a adição é abordada através da analogia do dinheiro. Utiliza-se também a

alegoria do jogo das bolinhas. Uma bolinha branca será uma unidade positiva e uma bolinha

preta será uma unidade negativa. Juntas, uma unidade positiva e uma unidade negativa se

anulam. Metáfora: “bolinha branca é positivo e bolinha preta é negativo”. Com relação à

abordagem da adição com dinheiro são dados exemplos no comércio.

No segundo livro, “Matemática: idéias e desafios2”, o início se dá com um breve relato

sobre a história dos números inteiros, onde podemos destacar a analogia com o dinheiro

ligada ao comércio. Após, as autoras destacam a analogia com a temperatura, levando em

conta que as temperaturas são consideradas em relação a 0°C, por exemplo, +10°C acima de

zero e -3°C abaixo de zero. Em seguida aparecem as analogias com o dinheiro, referentes à

crédito e débito, e a analogia com o Fuso horário. Diferenças de horários são ocasionadas pela

localização de cada cidade em relação a uma referência. Assim, São Paulo está no fuso -3 (3

horas a oeste da zero hora(Londres)) e Tóquio no fuso +9 (9 horas a leste da zero hora

(Londres)). Aqui também temos a metáfora “Londres é o ponto zero”. Em seguida há uma

lista de exercícios onde podemos encontrar analogias com dinheiro, altitude e temperatura.

Após, é citado que os números inteiros são a ampliação dos números naturais e que foram

criados para calcular diferenças.

O livro contém uma leitura complementar explicando o que são os Fusos Horários e

um exercício com uma tabela indicando a diferença entre o horário local de várias cidades

com relação à Brasília, conforme o fuso horário. A relação de ordem é abordada através da

representação na reta de temperaturas, onde se questiona qual a mais baixa. Em seguida há

vários exercícios questionando quem é maior ou menor, representação na reta e adição através

de problemas.

2 MORI, Iracema; ONAGA, Dulce. Matemática: Idéias e Desafios. São Paulo: Saraiva, 1996.

29

No capítulo sobre adições é encontrada a alegoria com fichas (semelhante à alegoria

com bolinhas): fichas azuis adicionam valores positivos e fichas vermelhas adicionam valores

negativos.

No terceiro livro, “Matemática3”, os nomes dados aos números inteiros são: números

negativos e números positivos. No início encontra-se a analogia com dinheiro, através de um

extrato bancário onde se explica que neste caso o número negativo surgiu de uma subtração.

Após, encontramos exemplos da utilidade dos números negativos, como nos termômetros,

onde temos a analogia com a temperatura. A relação de ordem é fruto de uma analogia com a

escala do termômetro. Nos exercícios encontra-se a analogia com a altura dos prédios, há um

desenho de um painel de elevador e de um prédio com dois andares de subsolo, térreo, três

andares de escritórios e um de chefia e pergunta-se o andar que corresponde ao botão 0 e ao

botão -2. A adição é abordada através da analogia com o dinheiro em diversas situações do

comércio. Cabe destacar que em alguns exercícios há gráficos no plano cartesiano indicando

lucros e prejuízos. Em alguns exercícios também se encontra a alegoria com as fichas e a

metáfora “ficha branca é ponto positivo e ficha azul é ponto negativo”.

No quarto livro, “Matemática hoje é feita assim4”, o autor começa contando a história

da conta do banco de um senhor e explica que cada vez que ele fica devendo para o banco sua

conta fica negativa, chegando à conclusão que conta negativa significa menor do que zero.

Identificamos a analogia com o dinheiro, presente nesse exemplo. Após, é feito um breve

relato sobre a história dos números negativos e são dados vários exemplos sobre temperaturas.

Neles identificamos a analogia com as temperaturas, com muitas ilustrações, analogia com a

altura dos prédios, identificadas com um painel de elevador. Temos também alegorias com

jogos: vence quem faz mais pontos ficando com saldo positivo e perde quem faz menos

pontos ficando com saldo negativo. Também é dado um exemplo de jogos de campeonatos de

3 IMENES,Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 4 BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2002.

30

futebol. Aqui surgem metáforas: “positivo é vencer”, “negativo é perder”. Em seguida

identificamos a analogia com altitudes, com ilustrações. Também há um exemplo de analogia

com restaurantes de comida “por quilo” em que a balança registra o ‘peso’ do prato em

números negativos para o cliente não pagar o ‘peso’. Cabe destacar que são utilizadas

calculadoras para representar os números negativos, em um exemplo e um exercício. Nos

exercícios, aparece a maioria das analogias citadas acima e há muitos só com expressões

matemáticas. Na representação dos números inteiros é encontrada a metáfora “distância entre

um número inteiro e seu vizinho é um passo” e a relação de ordem e simetria entre eles é feita

através de módulo (distância). A adição é abordada através da analogia com o dinheiro. Em

seguida é encontrada a alegoria andando sobre a reta que é semelhante à alegoria do jogo dos

passos, com novas metáforas: “ sinal + é andar para frente”, isto é, para a direita, e o “sinal – é

andar para trás”, isto é, para a esquerda. É interessante ressaltar que o autor relata que, para os

egípcios, o símbolo para indicar a adição era um desenho parecido com duas perninhas

andando para frente, para a subtração duas perninhas andando para trás.

No quinto livro, “Educação Matemática5”, os números negativos são citados em três

capítulos diferenciados chamados de: Abaixo de zero, Débitos e Créditos e Novas

Descobertas sobre números negativos. Na apresentação do primeiro capítulo são citados

exemplos de situações que aparecem no dia-a-dia e um breve relato da história dos números

inteiros, e são encontradas analogias como: a altura dos prédios, citando o painel do elevador,

com dinheiro, citando saldos bancários, e com temperaturas citando os termômetros. O

conteúdo começa com atividades de resolução de problemas e nelas são encontradas as

analogias citadas acima e, em um exercício, temos a analogia com o fuso horário. A relação

de ordem é abordada através da analogia com temperaturas.

5 PIRES,Célia Carolino; CURI, Eda; PIETROPAOLO, Ruy. Educação Matemática. São Paulo: Atual, 2002.

31

Na apresentação do segundo capítulo ocorre um breve relato da história dos números

inteiros através das operações comerciais, destacando principalmente a analogia com o

dinheiro, ganho ou perda de quantidades. O conteúdo também começa com atividades de

resolução de problemas e as linguagens encontradas são: alegoria do jogo, ganho ou perda de

pontos; analogia do dinheiro com alguns exercícios contendo gráficos no plano cartesiano,

visando lucros e prejuízos; analogia com as temperaturas; e a alegoria com flechas (flecha

azul significa deslocamento para a esquerda, sendo negativo, e flecha verde significa

deslocamento para a direita, sendo positivo). Metáforas aparecem: “positivo é ganho”,

“negativo é perda”.

Na apresentação do terceiro ocorre mais um comentário sobre a história dos números

inteiros, destacando que a concepção do número negativo está ligada a um interesse de caráter

matemático. O restante do capítulo trata de vários problemas e curiosidades, onde são

encontradas analogias com o dinheiro e a alegoria do jogo das cartas (em que cada carta

vermelha vale 5 pontos negativos e cada carta preta vale 5 pontos positivos, cada jogador

retira três cartas e determina seu número de pontos).

No sexto livro, “Matemática para todos6”, os números inteiros são introduzidos através

de exemplos de analogias como: temperaturas, altitudes e dinheiro. É dado o exemplo de um

termômetro no interior de uma geladeira, um desenho no plano cartesiano onde o ponto de

referência é o nível do mar, que é zero metro, e um exemplo de cálculo de contabilidade com

saldo negativo. A relação de ordem é abordada através da analogia com temperaturas. Nos

exercícios, encontram-se a analogia com a altura dos prédios e a alegoria com as fichas,

ambas iguais aos exemplos do 3º livro e as três analogias citadas acima. A adição é abordada

através da analogia com o dinheiro, com exemplos no comércio.

6 IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, 2002.

32

3.1 LEVANTAMENTO DESCRITIVO DOS LIVROS DIDÁTICOS

No levantamento descritivo destes livros didáticos pude perceber a importância das

analogias no ensino de números inteiros, diferentemente de outros conteúdos como, por

exemplo, os números irracionais. Será possível explicar a forte presença dos recursos de

linguagem no ensino dos inteiros?

Os livros apresentam uma abordagem semelhante, com pequenas variações com

relação às analogias, alegorias e metáforas de números inteiros. Em todos os livros foram

encontradas as analogias do dinheiro, da temperatura e da altitude. Já às metáforas explícitas

foram muito poucas.

Neste levantamento descritivo encontramos algumas analogias e alegorias diferentes

daquelas já descritas na prática. Vejamos abaixo:

3.1.1 Alegoria e metáforas com o Mundo das Pistas de Corrida de Carros

É dado um exemplo onde há um desenho de pista de corrida de fórmula 1, há um carro

e um rapaz fora da pista com uma placa que continha duas indicações; -12 e +10: a indicação

+10 indica que um carro está 10 segundos à frente do 3º colocado e a indicação -12, que ele

está 12 segundos atrás do 1º colocado. Metáforas: um número inteiro positivo (+n)

corresponde a estar na frente, com n segundos de vantagem, e um número inteiro negativo (-

n) corresponde a estar atrás com n segundos de desvantagem.

33

3.1.2 Alegoria e metáforas com o Jogo de Objetos (fichas/bolinhas/cartas) de Duas

Cores

Um número inteiro corresponde a um objeto. Números opostos têm cores diferentes e

a regra do jogo afirma que eles se anulam, um a um. A adição dos inteiros é feita por

comparação dos objetos de cores diferentes e por anulação. Metáforas: “número inteiro

positivo é um objeto da cor X” e “número inteiro negativo é um objeto da cor Y”, “zero é

nada” e “zero é nulo”.

3.1.3 Analogia e metáforas com Fuso Horário

É estudado o sistema geográfico de fusos horários, localizando o fuso “0” no

meridiano de Londres, como sendo o número zero. As cidades à direita ou à esquerda deste

meridiano têm fusos positivo ou negativo. Metáforas: “número inteiro positivo é um fuso

horário positivo”, “número inteiro negativo corresponde a um fuso horário negativo” e

“Londres é o ponto zero” ou “ o zero é Londres”.

3.1.4 Analogia e metáforas com Dinheiro

Número zero significa ter uma conta bancária zerada, sem dinheiro, nula. Número

negativo é equivalente a uma dívida ou um débito (- n) e “número positivo” corresponde a ter

34

dinheiro, ter crédito, ter saldo (+ n). Conta negativa significa ter saldo menor do que zero, ou

seja, - n = - (+n). Metáforas: “zero é não ter dinheiro”, “zero é nada”, “número negativo é

dívida”, “número positivo é saldo”.

3.1.5 Analogia e metáforas com Balança de Comida por Quilo

A balança registra o peso do prato em números negativos para o cliente não pagar o

peso do prato. Metáfora: “peso do prato na balança é um número negativo”

3.2 REFLEXÃO SOBRE NOVAS ANALOGIAS E ALEGORIAS ENCONTRADAS

NOS LIVROS DIDÁTICOS

O domínio da alegoria com o mundo das pistas de corrida, e o domínio das analogias

com a balança de comida por quilo e o fuso horário são interessantes pela sua originalidade e

por estabelecerem vínculos com o cotidiano, mas parecem só serem adequados para dar uma

introdução para a existência dos negativos e para diferenciação com os positivos. Outros

conceitos, tais como relação de ordem e operações, não podem ser relacionados a estes

domínios.

Já o domínio de analogia com o mundo do dinheiro é adequado para o conceito de

adição e subtração, número zero, número oposto, número negativo e positivo, porém não é

adequada para o conceito de relação de ordem dos números inteiros, pois os alunos falam em

“dívida maior ou dívida menor”

35

O domínio de alegorias com jogo de comparação e anulação de objetos com cores

diferentes é adequado para desenvolver três competências: a adição de inteiros, oposto de

um número inteiro e a fluência em escrever os números com sinal, dando-lhes significado.

Está relacionado com o domínio do dinheiro, pois traz em si a idéia de ganho, perda, ter mais

ou ter menos. Porém é preciso ter cuidado, pois este jogo não é adequado para trabalhar com

a multiplicação. Com este objetivo, é preciso recorrer ao jogo da reta. Observamos que a

maioria dos livros utiliza para a relação de ordem, analogia com as temperaturas, que, na

nossa prática mostrou-se inadequada.

36

4 IDENTIFICAÇÃO DAS LINGUAGENS MATEMÁTICAS E RECURSOS DE LINGUAGEM ENCONTRADOS

A identificação das linguagens matemáticas referentes às analogias, metáforas e

alegorias encontradas nos livros analisados, baseou-se nas elaborações dos autores

pesquisados neste trabalho. Para facilitar a classificação dessas linguagens, utilizamos

definições que resumem a essência do pensamento de OLIVEIRA (2005), de MACHADO

(1991) e as definições contidas no Dicionário Aurélio FERREIRA (2004) reformulando-as

sem distorcer ou modificar seu significado original.

As definições utilizadas são descritas a seguir no quadro que elaboramos.

QUADRO 1 Especificação e definição da linguagem matemática

utilizada na pesquisa dos livros didáticos

LINGUAGENS DEFINIÇÃO EXEMPLO

METÁFORAS

Comparação implícita entre dois elementos. Relação de semelhança subentendida entre o

sentido próprio e o figurado. Consiste em dar a uma coisa o

nome de outra coisa, estabelecendo pontes entre

diferentes contextos. Parte-se do pressuposto de que um dos elementos é considerado familiar, a partir do qual

buscam-se semelhanças com o outro elemento, considerado

desconhecido.

Comparação entre o mundo abstrato dos números e o mundo concreto do dinheiro.

Ex: 1) “número negativo

é dívida e número positivo é saldo”.

Ex: 2) “número negativo é a imagem no espelho do

número positivo”.

37

ALEGORIAS

Exposição de um pensamento sob forma figurada, ficção que representa uma coisa

para dar idéia de outra. Seqüência de metáforas que significam uma

coisa nas palavras e outra no sentido. Expressão lúdica ou

artística utilizada para representar conteúdos didáticos. Os elementos

concretos são representações do objeto matemático.

Exemplos:

Ex: 1) jogo do tobogã:

“a faixa zero é o começo do jogo”, “positivo é subir”,

“negativo é descer”.

Ex: 2) Historinha de um piloto em uma pista de corrida: A indicação +10 indica que o

piloto está 10 segundos à frente do 3º colocado; a indicação -12, que ele está 12 segundos atrás do

1º colocado.

ANALOGIAS

Comparação explícita entre dois elementos. Utilizamos

analogias para explicar ou identificar alguma coisa, com

expressões do tipo: parece com; é como se fosse; imagine que;

suponha que. Analogia envolve o estabelecimento de comparações ou relações, entre o conhecido e o

pouco conhecido ou desconhecido. Parte-se do pressuposto de que um dos

elementos é considerado familiar, a partir do qual buscam-se semelhanças com o outro

elemento, considerado desconhecido.

Ex: 1) “número negativo” é equivalente a uma dívida ou um

débito e “número positivo” corresponde a ter dinheiro, ter saldo. A adição de um número

positivo e um negativo é análoga à operação bancária de operar

com débitos e saldos.

Ex: 2) Suponha que escolhamos uma certa altura de uma garrafa

para ser o nível de referência para medir a água. Um número inteiro corresponde ao nível de água numa garrafa, acima ou

abaixo do zero.

Ao nos referirmos aos livros didáticos analisados usaremos a notação abaixo:

Livro 1- JAKUBOVIC, José / LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa.São

Paulo: Scipione, 1995.

Livro 2 - MORI, Iracema / ONAGA, Dulce. Matemática: Idéias e Desafios.São Paulo:

Saraiva, 1996.

Livro 3 - IMENES,Luiz Márcio / LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione,

1997.

38

Livro 4 - BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2002.

Livro 5 -PIRES,Célia Carolino / CURI, Eda / PIETROPAOLO, Ruy. Educação

Matemática. São Paulo: Atual, 2002.

Livro 6 - IMENES, Luiz Márcio / LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São

Paulo: Scipione, 2002.

QUADRO 2 Analogias encontradas no ensino dos números inteiros

Analogia Exemplo Encontrada em

Dinheiro

Número zero significa ter uma conta bancária zerada, sem dinheiro, nula. “Número negativo” é

equivalente a uma dívida ou um débito (- n) e “número positivo” corresponde a ter dinheiro, ter saldo (+ n). Conta

negativa significa ter saldo menor do que zero, ou seja, - n = - (+n).

Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6

Imagem no espelho

Imagine que sobre o zero da reta dos números naturais, tenha um espelho. “número negativo é como se

fosse a imagem no espelho do número positivo”. Prática 2006/01

Temperaturas

Examine um termômetro. O zero do termômetro corresponde à temperatura em que a água congela. Um número inteiro com sinal corresponde às temperaturas

acima ou abaixo de zero.


Prática 2006/01

Nível da água

Suponha que escolhamos uma certa altura de uma garrafa para ser o nível de referência para medir a água. Um número inteiro corresponde ao nível de água numa

garrafa, acima ou abaixo do zero.

Prática 2006/01

Altura dos prédios

(Elevador)

Imagine que o andar térreo de um edifício corresponda ao número zero, na lista de andares de um

prédio. Um número inteiro corresponde a andares acima ou abaixo do andar térreo.

Livro 3 Livro 4 Livro 5 Livro 6

Prática 2006/01

Altitudes

É intuitivo escolher o nível do mar como referência para as altitudes das cidades. Se o nível do mar

corresponde ao número zero, os números positivos correspondem a altitudes de c idades maiores e menores

que zero.

Livro 1 Livro2 Livro 3 Livro 4 Livro 5

39

Livro 6

Fuso horário

Examine o globo terrestre. O meridiano de Greenwich foi escolhido para ser o fuso horário de

referência, o zero. Um número inteiro corresponde a diferenças de horários, ocasionados pela localização de

cada cidade, a Leste ou a Oeste, desta referência.

Livro 2 Livro 5

Balança de comida “por

quilo”.

A balança registra o peso do prato em números negativos para o cliente não pagar o peso do prato.

Livro 4

QUADRO 3 Metáforas encontradas no ensino dos números inteiros (explícitas e implícitas)

Metáforas Encontrada em

“Zero é o ponto de partida” “Zero é o espelho”

“Zero é nada” “Zero é nulo”

“Número negativo é a imagem no espelho do número positivo”.

“Positivo é andar para frente” “Negativo é andar para trás”

Prática 2006/01

“Zero é não ter dinheiro” “Número positivo é saldo”

“Número negativo é dívida”


“Zero é o começo do jogo” “Positivo é subir”

“Negativo é descer”

Livro 1

“Positivo é ganhar” “Negativo é perder”

Livro 5

“Número positivo é estar num nível acima” “Número negativo é estar num nível abaixo”


Prática 2006/01

40

“Número positivo é andar para direita” “Número negativo é andar para esquerda”

“Zero é o início do jogo ”

Livro 4 Prática 2006/01

“Número positivo é estar à direita do zero”. “Número negativo é estar à esquerda do zero”.

“Londres é o ponto zero”

Livro 2 Livro 5

“Número inteiro negativo é um objeto da cor y” “Número inteiro positivo é um objeto da cor x”

Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 5 Livro 6

Prática 2006/01 “Distância entre um número inteiro e seu vizinho é um

passo” Livro 4

“Número negativo é pobreza e número positivo é riqueza”.

Artigo de Machado (1991)

QUADRO 4 Alegorias encontradas no ensino dos números inteiros

Alegorias Explicação Encontrada em

Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas) de

duas cores

Um número inteiro corresponde a um objeto. Números opostos têm cores diferentes e a regra do jogo afirma que

elas se anulam, uma a uma. A adição dos inteiros é feita por comparação dos

objetos de cores diferentes e por anulação.

Livro 1 Livro2 Livro 3 Livro 5 Livro 6

Prática 2006/01 Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando

sobre a Reta.

Sinal (+) vai significar andar para frente, isto é, para a direita, e o sinal (-) andar para trás, isto é, para a esquerda.

Livro 1 Livro 4

Prática 2006/01

Flechas

Suponha que a flecha azul signifique deslocamento para a esquerda e este corresponda a um número negativo; e

que a flecha verde signifique deslocamento para a direita e este

corresponda a um número sendo positivo

Livro 5

Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de

pontos.

Vence quem faz mais pontos ficando com saldo positivo de gols e perde quem faz menos pontos ficando com saldo

negativo.

Livro 4 Livro 5

Jogo das Cartas.

Cada carta vermelha vale 5 pontos negativos e cada carta preta vale 5 pontos

Livro 5

41

positivos, cada jogador retira três cartas e determina seu número de pontos.

Historinha do piloto em uma pista de corrida de carros.

A indicação +10 indica que o piloto está 10 segundos à frente do 3º

colocado; a indicação -12, que ele está 12 segundos atrás do 1º colocado.

Livro 1

História do mágico logarítmico

Pessoas são divididas em pobres e ricas. Do lado pobre, mais distante do palácio, as casas são numeradas com números negativos. A casa seguinte à

casa- zero tem o número -1, e assim por diante. Já as casas do lado rico são

numeradas com números positivos e são mais próximas do palácio.

Artigo a alegoria em matemática (Nilson

José Machado).

Com base em Duit (apud PÁDUA, 2001), que nos alerta quanto ao uso inadequado das

analogias para alguns conceitos, construiremos um quadro e definiremos para quais conceitos,

trabalhados na prática de 2006/01, as analogias, alegorias e metáforas encontradas são

adequadas ou inadequadas. Os conceitos trabalhados na prática de 2006/01 foram:

• Conceito de número oposto;

• Conceito do número zero;

• Conceito de número negativo e positivo;

• Conceito da posição dos números inteiros na reta;

• Conceito da relação de ordem dos números inteiros;

• Conceito de adição e subtração dos números inteiros.

Elaboramos um quadro classificando os recursos de linguagem como adequados e

inadequados, considerando nossas experiências pessoais na prática. Mas, é preciso deixar

claro que esta classificação é muito pessoal, pois o professor, no seu importante papel de

mediador, pode esclarecer muito bem estes recursos de linguagem tornando-os positivos,

adequados e úteis para a aprendizagem.

42

QUADRO 5 Para quais conceitos as analogias são adequadas ou inadequadas?

Analogia Adequada Inadequada

Dinheiro

- Conceito de adição e subtração dos números inteiros;

- Conceito do número zero;

- Conceito de número oposto; - Conceito de número negativo e

positivo.

- Conceito da relação de ordem dos números inteiros.

Imagem no espelho

- Conceito de número oposto; - Conceito de número negativo e

positivo. -Conceito da posição dos números inteiros na reta;

- Conceito do número zero.

-Conceito da relação de ordem dos números inteiros;

-Conceito de adição e subtração dos números inteiros.

Temperaturas

- Conceito de número negativo e positivo;

- Conceito da posição dos números inteiros na reta.

- Conceito de número oposto; -Conceito da relação de ordem

dos números inteiros; -Conceito de adição e subtração

dos números inteiros.

Nível da água


- Conceito da relação de ordem dos números inteiros;


- Conceito de adição e subtração dos números inteiros.

Elevador


-Conceito da relação de ordem dos números inteiros;


- Conceito de adição e subtração dos números inteiros;

Altitudes





Fuso horário


- Conceito do número zero; -Conceito da posição dos números inteiros na reta.


-Conceito de adição e subtração dos números inteiros.

Balança de comida “por quilo”.





43

QUADRO 6 Para quais conceitos as alegorias são adequadas ou inadequadas?

Alegoria Adequada Inadequada

Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas) de

duas cores.

- Conceito de adição e subtração dos números

inteiros; - Conceito de número

oposto. - Conceito do número

zero; - Conceito de número negativo e positivo;

- Conceito da relação de ordem dos números

inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.

Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando

sobre a Reta.


inteiros; - Conceito de número negativo e positivo;

- Conceito de número oposto;


-Conceito da posição dos números inteiros na reta.


inteiros;

Flechas


inteiros; - Conceito de número negativo e positivo;

- Conceito de número oposto;



inteiros; -Conceito da

posição dos números inteiros na reta.

Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de pontos.

- Conceito de número negativo e positivo; - Conceito de adição e subtração dos números inteiros; - Conceito do número zero.

- Conceito da relação de ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.

Jogo das Cartas.

- Conceito de número negativo e positivo; - Conceito de número oposto; - Conceito de adição e subtração dos números inteiros;

- Conceito da relação de ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta.

Historinha do piloto em uma - Conceito de número - Conceito da relação de

44

pista de corrida de carros. negativo e positivo;

ordem dos números inteiros; - Conceito da posição dos números inteiros na reta. - Conceito de adição e subtração dos números inteiros.






inteiros; - Conceito de adição e subtração dos números

inteiros.

QUADRO 7 Para quais conceitos as metáforas são adequadas ou inadequadas?

Metáfora Adequada Inadequada

“Zero é o térreo” “Zero é o nível do mar”

“Zero é o começo do jogo” “Zero é o ponto de referência”

“Positivo é subir” “Positivo é estar acima do zero”

“Negativo é descer” “Negativo é estar abaixo do

zero”

- Conceito do número zero; - Conceito de número negativo e positivo;

-Conceito da posição dos números inteiros na reta.



oposto. - Conceito da relação de

ordem dos números inteiros;

“Zero é nada” “Zero é nulo”

“Zero é não ter dinheiro” “Número positivo é saldo”

“Número negativo é dívida”

Conceito do número zero. Conceito de adição e

subtração dos números inteiros;

Conceito de número

oposto. - Conceito de número negativo e positivo;



“Zero é o ponto de partida” “Positivo é andar para direita” “Positivo é estar à direita do

zero” “Positivo é andar para frente”

“Negativo é andar para esquerda”

“Negativo é estar à esquerda do

Conceito do número zero. Conceito de adição e

subtração dos números inteiros;

Conceito de número oposto.


45

zero” “Negativo é andar para trás”

- Conceito da posição dos números inteiros na reta. -Conceito da relação de


“Zero é o espelho” “Número negativo é a imagem

no espelho do número positivo”.

-Conceito do número zero. - Conceito de número negativo e positivo;

- Conceito de número oposto.



inteiros; -Conceito da relação de


“Negativo é pobreza e positivo é riqueza”




oposto. -Conceito da relação de


Dentre as várias leituras feitas podemos concluir que as analogias e alegorias são

metáforas estendidas, portanto desempenham a mesma função, ou seja, permitem que

domínios separados sejam postos em relação. Então é possível analisar as diferentes alegorias

e analogias encontradas buscando as diferentes metáforas para o número zero, para o número

negativo (- n) e para o número positivo (+ n). O objetivo é mostrar a variedade de significados

que atravessam o ensino, sem que o professor perceba, sendo que muitos deles não são

apropriados para a matemática abstrata.

QUADRO 8

Diferentes metáforas para o número zero, para o número negativo (- n) e para o número positivo (+ n).

Analogias ou Alegorias

Metáforas para o Zero

Metáforas para o número negativo

(- n)

Metáforas para o número positivo

(+ n)

Dinheiro “Zero é não ter

dinheiro”. “Zero é nada”.

“Número negativo é dívida”.

“Número positivo é saldo”.

46

Imagem no espelho “Zero é o espelho”.

“Número negativo é a imagem no espelho

do número positivo”.

“Número positivo é a imagem no espelho

do número negativo”.

Temperaturas

“O zero do termômetro é a temperatura em

que a água congela”.

“Número negativo é temperatura abaixo

de zero”.

“Número positivo é temperatura acima

de zero”

Nível da água “Zero é o ponto de

referência”. “Número negativo é

estar abaixo do zero”. “Número positivo é

estar acima do zero”.

Elevador “Zero é o andar

térreo”.

“Números negativos são os andares do

subsolo”.

“Números positivos são os andares acima

do térreo”

Altitudes “Zero é o nível do

mar”.

“Números negativos são as cidades abaixo

do nível do mar”.

“Números positivos são as cidades acima

do nível do mar”.

Fuso horário “Londres é o ponto

zero”.

“Um número inteiro negativo corresponde

a um fuso horário negativo”.

“Um número inteiro positivo corresponde

a um fuso horário positivo”.

Balança de comida “por quilo”.

“Zero é nada” “Peso do prato na

balança é um número negativo”

“Peso da comida é um número positivo”

Jogo de objetos: (fichas/bolinhas/cartas)

de duas cores.

“Zero é quando objetos de duas

cores diferentes se anulam”.

“Objeto com uma cor x é um número

negativo”.

“Objeto com uma cor y é um número

positivo”.

Jogo “Subindo no Tobogã”, Jogo dos passos e Andando

sobre a Reta.

“Zero é ponto de partida”.

“Zero é o começo do jogo”.

“Negativo é descer”. “Negativo é estar à

esquerda”. “Negativo é andar

para trás”.

“Positivo é subir”. “Positivo é estar à

direita”. “Positivo é andar

para frente”.

Flechas “Zero é nulo” “Flecha com uma cor y anda para esquerda,

sentido negativo”

“Flecha com uma cor x anda para direita, sentido

positivo” Jogos de campeonatos de futebol e jogos em geral que envolvam ganho ou perda de

pontos.

“Zero é o começo do jogo”.

“Número negativo é gol perdido”.

“Número positivo é gol marcado”.

Historinha do piloto em uma pista de corrida de carros.

“Zero é ponto de partida”.

“Número negativo é o piloto estar à trás”.

“Número positivo é o piloto estar a

47

frente”.


“Zero é o ponto de referência”

“Pobre é casa com número negativo”

“Rico é casa com número positivo”.

48

5 METÁFORAS PRESENTES NA HISTÓRIA DOS NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros foram criados através da álgebra. Inicialmente eles eram aceitos

como “artifícios para o cálculo”, não existiam como algo real e concreto, pois a idéia de

número daquela época estava associada à quantidade de grandeza.

Segundo Medeiros e Medeiros (1992), embora influenciados pela álgebra de Diofanto,

os hindus, diferentemente dos gregos, fizeram uso dos números negativos, atribuindo-lhes o

significado de um débito. Na verdade eles formularam as operações aritméticas sobre os

números negativos com esta aplicação em mente.

Os gregos, como não conseguiam representar os números negativos graficamente, pois

sua ênfase era a geometria, não aceitavam os números negativos. Segundo Medeiros e

Medeiros (1992), a polêmica sobre a visualização dos negativos como verdadeiros números

estava presa ao critério de aceitação de novas idéias como boa matemática. Tal critério, de

tradição grega, exigia para os negativos uma representação geométrica como a dos positivos

de contagens ou medições. Exigia-se um modelo concreto do qual a nova idéia pudesse se

constituir numa metáfora. A visão dos negativos como débitos, apesar de útil, parecia

insatisfatória e não preenchia o requisito matemático da necessidade da metáfora. Embora

compreensíveis como símbolos no papel, desafiavam diagramas, gravuras, ou metáforas

adequadas para explicá-los em termos da experiência comum. As dificuldades eram ainda

maiores quando se tentava visualizar as regras dos sinais nos termos geométricos exigidos.

Foram os hindus os primeiros a conceberem o conceito de número negativo. Os

árabes, mesmo tendo o conhecimento dos números negativos, os ignoravam, pensando que

estes eram imaginação dos hindus.

A introdução dos negativos nas representações coordenadas é obra dos sucessores de

Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665). Mesmo após a representação dos negativos

49

como pontos de uma reta orientada, a polêmica sobre a aceitação dos negativos continuou em

pleno vigor. Em particular, a dificuldade em construir metáforas para as regras dos sinais

continuava a jogar um papel decisivo nessa aceitação.

“Euler fixou-se na antiga metáfora não geométrica hindu para explicar a operação de

subtrair – b como sendo o mesmo que somar b, visto que, segundo ele, cancelar um débito

significa o mesmo que dar um presente”. (MEDEIROS E MEDEIROS, pg.55, 1992).

Segundo Medeiros e Medeiros (1992), a superação dessa polêmica exigiria uma

mudança total nos critérios de aceitação dos negativos, com o abandono da necessidade da

metáfora e a adoção de novos critérios baseados na estruturação dos negativos enquanto um

sistema numérico. Isso viria a se constituir numa mudança radical de ponto de vista, numa

autêntica revolução que só viria a se operar em pleno decorrer do século XIX com a

fundamentação dos números.

Segundo Gonzalez et al. (1990), Alberto Girard (1590-1639) foi o primeiro

matemático a reconhecer explicitamente a utilidade algébrica de se admitir raízes negativas

como soluções gerais de equações. Foi no século XIX que os números negativos foram

finalmente legitimados na obra do matemático Herman Hankel (1893-1873).

De acordo com Medeiros e Medeiros (1992), levou muito tempo para que os

matemáticos percebessem que a “regra de sinais” junto com outras definições não poderiam

ser provadas. Elas são criadas por nós com o objetivo de obter liberdade de operação, ao

mesmo tempo em que preservam as leis fundamentais da aritmética. O que pode e deve ser

provado é apenas que; com base nessas definições, as leis comutativa, associativa e

distributiva da aritmética são preservadas.

É essa mudança radical no que exige uma aceitação dos negativos que estabelece a

diferença marcante entre a atitude dos matemáticos antes e depois da fundamentação da

matemática. O novo ponto de vista adotado rompe a tradição de que os negativos são apenas

50

meros símbolos. Estabelece um corte na busca da metáfora e coloca a questão da forma e da

estrutura lógica como um novo ideal a ser perseguido.

A história do conceito de número inteiro mostra a importância das metáforas na

construção da matemática. A origem dos números negativos está ligada a uma metáfora: o

significado de um débito. Mas os gregos exigiam um modelo concreto para esses novos

números, que não estavam relacionados com contagem ou medida. Com o tempo, a reta

numérica passa a ser modelo geométrico dos números positivos e negativos e se constitui

numa metáfora: os números negativos e positivos são pontos da reta. Mesmo após a aceitação

desta reta, a polêmica sobre a aceitação dos negativos continuou em pleno vigor, devido à

dificuldade em construir metáforas para as regras dos sinais. Euler criou uma metáfora

salvadora: a operação de subtrair – b é o mesmo que somar b, pois cancelar um débito

significa o mesmo que dar um presente.

A superação da polêmica7 deu-se com o abandono da necessidade da metáfora e a

adoção de novos critérios baseados na estruturação dos negativos enquanto um sistema

numérico. Ou seja, a matemática formal, teórica, é criada com o afastamento das metáforas,

mas, como vimos, no processo de ensino e aprendizagem há uma volta às origens, uma busca

por novas metáforas.

7 Não queremos, com este trabalho, dar a entender que a linguagem matemática formal é “pura”, por estar isenta de recursos de linguagem. É preciso lembrar que mesmo esta linguagem é permeada por metáforas. Por exemplo, quando associamos reta e conjunto numérico, e dizemos que “um número é um ponto da reta”, temos uma metáfora.

51

CONSIDERAÇÕES FINAIS PESSOAIS

Neste trabalho parti de minha prática didática na disciplina de Laboratório de Prática

de Ensino-Aprendizagem em Matemática I em 2006/01 para investigar o uso de recursos de

linguagem no ensino dos números inteiros. Foram abordadas diferentes analogias, alegorias e

metáforas e foi feito um levantamento descritivo das mesmas e de sua importância para o

ensino de matemática. Também fiz um levantamento descritivo análogo em livros didáticos

de 6ª série do ensino fundamental e um breve estudo sobre a história dos números inteiros.

Aprendi sobre analogias, alegorias e metáforas e sua importância para o ensino da

matemática. Elas podem ser utilizadas como recurso didático para facilitar a compreensão do

abstrato e promover o entusiasmo dos alunos. Mas, para resultar em uma efetiva

aprendizagem, é preciso cuidado ao explorar elementos que reconhecidamente são parte da

cultura dos estudantes. Uma sugestão é buscar, nos próprios alunos, os conhecimentos

implícitos que possuem das situações de seu dia-a-dia, caso contrário, eles poderão apresentar

dificuldades em entender as analogias propostas, mesmo aquelas que, aparentemente, sejam

de domínio do senso comum.

Fiquei muito surpresa ao descobrir que na própria história dos números inteiros estão

as metáforas. Principalmente na comparação com o mundo do dinheiro, onde temos os

números negativos como débitos. Assim, podemos dizer que no processo de ensino e

aprendizagem há uma volta às origens.

Dei-me conta de que é preciso ter consciência ao escolher analogias, pois cada uma

serve a diferentes objetivos e tem deficiências em outros. Nem todas as analogias são boas

para serem utilizadas no ensino dos números inteiros, como por exemplo, as analogias que

pretendem explicar a relação de ordem, usando termômetros e temperaturas. As crianças de 6ª

52

série não têm familiaridade com a comparação de temperaturas – dizem que +5 é mais quente

e -5 é mais frio, ou que -7 é maior do que -5, porque é mais frio -, ou com a comparação de

saldos bancários – dizem que -7 é maior do que -5, porque a dívida é maior . A relação de

ordem tem um bom domínio para a analogia no mundo das alturas e níveis de água, pois as

crianças têm noção de comparação entre alturas e entre quantidades. Elas identificam com

muita naturalidade as idéias de mais alto, mais cheio e maior. A noção prévia de “ser maior ou

ser menor” coincide, nas crianças de 11-13 anos, com “ser mais alto”.

Percebi que os melhores recursos para se pensar no conceito abstrato dos inteiros são o

mundo do dinheiro e o jogo da reta, pois sugerem as noções de oposto de um número positivo,

de elemento neutro e de adição.

Percebi também as falhas nos livros didáticos. Os autores, em geral, iniciam o

conteúdo com as mesmas analogias e exemplos e não deixam explícitas as relações

estabelecidas com o conteúdo abordado. O conteúdo torna-se repetitivo e não há muita

novidade. Parece que, para os autores, o importante é fazer relações com o cotidiano e para

isso deve-se recorrer a todas as analogias possíveis, sem dar-se conta das diferenças entre elas

e do potencial ou da deficiência de cada uma. Talvez os autores não saibam que estão fazendo

analogias.

As analogias, alegorias e metáforas são importantes recursos didáticos. Entretanto, não

são empregadas de forma sistemática, nem seu potencial cognitivo é bem explorado na

construção do conhecimento.

Seria proveitoso que autores e professores conhecessem seus sentidos mais amplos e

profundos, para que os alunos se beneficiem das diversas possibilidades abertas pela

utilização desses recursos no processo de ensino-aprendizagem.

Este trabalho foi bastante importante para a minha formação, pois além de aprender

sobre recursos de linguagem e seu aproveitamento no ensino dos números inteiros, pude

53

perceber que podemos explorar tais recursos didáticos em quase todos os conteúdos de

matemática. Assim, o ensino torna-se mais instigante tanto para o professor quanto para os

alunos, pois o conhecimento desses é aproveitado para promover uma melhor aprendizagem.

54

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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o uso de analogias, alegorias e metÁforas no ensino...

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