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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Eduardo Santos Vaz

PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES COM SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO: um estudo

da Ponte Browniana na redução do erro

Rio de Janeiro

2013

2

Eduardo Santos Vaz

PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES COM SIMULAÇÃO DE MONTE

CARLO - UM ESTUDO DA PONTE BROWNIANA NA REDUÇÃO DO

ERRO

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em

Administração, Instituto COPPEAD de

Administração, Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre.

Aprovada por:

_________________________________________

Prof. Eduardo Saliby, Ph. D. – Orientador

(COPPEAD/UFRJ)

_________________________________________

Prof. Vicente Antonio de Castro Ferreira, D.Sc.

(COPPEAD/UFRJ)

_________________________________________

Prof. Gastão Coelho Gomes, D.Sc.

(IM/UFRJ)

Rio de Janeiro

2013

3

Vaz, Eduardo Santos.

Precificação de opções de Monte Carlo: um estudo da Ponte

Browniana na redução do erro. / Eduardo Santos Vaz. -- Rio de

Janeiro: UFRJ, 2013.

72 f.: il.; 30 cm.

Orientador: Eduardo Saliby.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2013.

1.Finanças. 2. Administração – Teses. I. Saliby, Eduardo.

II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD

de Administração. III. Título.

5

Dedico este trabalho a meus pais,

Paulo César e Alzira, e a meu filho

Guilherme

6

Agradeço ao Professor Eduardo Saliby

pela orientação neste trabalho e

motivação nos momentos mais difíceis.

7

“Eu, a Sabedoria, sou vizinha da sagacidade, e tenho o

conhecimento e a reflexão. Temer a Javé é odiar o mal.

Por isso, eu detesto o orgulho e a soberba, o mau

comportamento e a boca falsa. Eu possuo o conselho e o

bom senso; a inteligência e a fortaleza me pertencem. É

através de mim que os reis governam e os príncipes

decretam leis justas. Através de mim, os chefes

governam e os nobres dão sentenças justas. Eu amo os

que me amam, e os que me procuram me encontrarão.

Comigo estão a riqueza e a honra, a prosperidade e a

justiça. O meu fruto vale mais do que ouro puro, e a

minha renda vale mais do que prata de lei. Eu caminho

pela trilha da justiça, e ando pelas veredas do direito,

para levar riquezas aos que me amam e encher os seus

cofres.”

Bíblia Sagrada, Provérbios 8:12-21

8

RESUMO

Vaz, Eduardo Santos. Precificação de opções com simulação de Monte Carlo :

um estudo da Ponte Browniana na redução do erro. Dissertação (Mestrado em

Administração de Empresas) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto

COPPEAD de Administração. Rio de Janeiro, 2013.

A Simulação de Monte Carlo é uma ferramenta utilizada para a precificação de

Opções complexas ou dependentes do caminho percorrido pelo Ativo referenciado. Sua

limitação está no erro e na precisão da estimativa produzida. Desta forma o presente

estudo busca comparar o impacto da utilização da trajetória por Ponte Browniana,

alternativamente à trajetória Incremental, na redução do erro e no aumento da precisão

das estimativas produzidas. Foram considerados 3 métodos amostrais: Amostragem

Descritiva, Hipercubo Latino e Amostragem Aleatória Simples. Foram calculadas

estimativas para Opções Asiáticas Geométricas, Asiáticas Aritméticas, Lookback e

Européias. As comparações entre os métodos ocorreram principalmente com as Opções

Geométricas. Os resultados do estudo indicam que a utilização da Ponte Browniana tem

um impacto significativo na redução do erro, obtendo-se o menor erro com Amostragem

Descritiva. Quanto à precisão a amostragem por Hipercubo Latino com trajetória

Incremental apresentou o melhor resultado, mas logo em seguida aparece a Amostragem

Descritiva com Ponte Browniana.

Palavras- Chave: Ponte Browniana. Simulação. Monte Carlo. Amostragem Descritiva.

Opções Asiáticas Geométricas.

9

ABSTRACT

Vaz, Eduardo Santos. Precificação de opções com simulação de Monte Carlo :

um estudo da Ponte Browniana na redução do erro. Dissertação (Mestrado em

Administração de Empresas) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto

COPPEAD de Administração. Rio de Janeiro, 2013.

The Monte Carlo simulation is a tool used for pricing complex options or path-

dependent of the referenced assets. Its limitation is in error and the accuracy of the

estimate produced. Thus, the present study seeks to compare the impact of using a

trajectory of Brownian Bridge, instead of the Incremental trajectory, measuring the

effects in the error reduction and at the precision of the estimates produced. We

considered three sampling methods: Descriptive Sampling, Latin Hypercube Sampling

and Simple Random Sampling. Estimates were calculated for options Asian Geometric,

Asian Arithmetic, Lookback and European. The comparisons between the methods

occurred mainly with Asian Geometric options. The results of the study indicate that the

use of the Brownian Bridge has a significant impact on error reduction, yielding the

smallest error with Descriptive Sampling. For accuracy Latin Hypercube sampling with

Incremental trajectory showed the best result, but Descriptive Sampling with Brownian

Bridge appears close.

Keywords: Brownian Bridge. Simulation. Monte Carlo. Descriptive Sampling. Asian

Geometric Options

10

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Geração de valores através da Ponte Browniana . Fonte: Gouvêa (2008) ............................. 36

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Taxa anual de crescimento 1995-2007, Derivativos x Ações x Renda Fixa. Fonte: Deutsche

Borse AG (2008) .......................................................................................................................... ......... 17

Gráfico 2: Comparativo entre os desvios-padrão do ativo variando Δt. Fonte: Hull (2009) ................. 21

Gráfico 3: Comparativo entre os processos Wiener Básico e Wiener Generalizado com apenas uma

trajetória. Fonte: Hull (2009) ................................................................................................................ 22

Gráfico 4: Processo de Wiener Básico com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) .......................... 23

Gráfico 5: Processo de Wiener Generalizado com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) ................ 23

Gráfico 6: Processo de Itô ou MGB com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) ................................ 25

Gráfico 7: Geração dos valores ε, a partir dos valores aleatórios. Fonte: Autor .................................... 29

Gráfico 8: Distribuição de freqüências valores aleatórios (0,1) Teórica x Empírica . Fonte: Autor ..... 31

Gráfico 9: Distribuição de freqüências valores ε Teórica x Empírica . Fonte: Autor ........................... 32

Gráfico 10: Cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética, k=45, 16 Dimensões.

Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 41


Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 42

Gráfico 12: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16 Dimensões. Fonte: Autor ... 43

Gráfico 13: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128 Dimensões. Fonte: Autor . 43

11

Gráfico 14: Cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16 Dimensões. Fonte:

Autor .................................................................................................................................................... 44


Autor ................................................................................................................................ .................... 45

Gráfico 16: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor ................ 46



Gráfico 19: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor ...... 49



LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Quadro de classes de freqüências dos 500 valores aletoriamente gerados no Excel. Fonte:

Autor ...................................................................................................................................................... 30

Quadro 2: Quadro de valores teóricos de Opções calculadas por Black-Scholes ................................. 38

Quadro 3: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética,

k=45, 16 Dimensões. Fonte: Autor ....................................................................................................... 41


k=45, 128 Dimensões. Fonte: Autor ..................................................................................................... 42

Quadro 5: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16

Dimensões. Fonte: Autor ...................................................................................................................... 43


Dimensões. Fonte: Autor ...................................................................................................................... 44

Quadro 7: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16

Dimensões. Fonte: Autor ..................................................................................................................... 44

12

Quadro 8: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício,

128 Dimensões. Fonte: Autor .............................................................................................................. 45

Quadro 9 Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:

Autor ................................................................................................................................ ..................... 46

Quadro 10: Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=50, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:

Autor ..................................................................................................................................................... 47


Autor ..................................................................................................................................................... 48

Quadro 12: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128..

Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 49

Quadro 13: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=50, passos= 16, 32,64 e 128.

Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 50

Quadro 14: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128.

Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 51

Quadro 15: Cinco menores valores de Erro para K=45, 50 e 55. Fonte: Autor ................................... 53

Quadro 16: Valores médios (passos e amostragem) dos Erros para K=45,50 e 55. Fonte: Autor ........ 53

Quadro 17: Valores de precisão da AD com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K . Fonte:

Autor ..................................................................................................................................................... 54

Quadro 18: Valores de precisão da HCL com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K. Fonte:

Autor .................................................................................................................................................... 55

Quadro 19: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=45. Fonte: Autor ...................... 55



Quadro 22: Valores médios (passos e amostragem) de precisão das trajetórias. Fonte: Autor ........... 56

13

Quadro 23: Ganhos de Precisão dos modelos ao se variar de 16 passos para 128 passos, K=45,50 e 55.

Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 57

Quadro 24: Perda de precisão dos modelos ao se variar o K de 45 para 55, com passos = 16, 32, 64 e 128.

Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 58

14

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AAS - Amostragem Aleatória Simples

HCL - Amostragem por Hipercubo Latino

AD - Amostragem Descritiva

Incr. - Incremental

BB - Ponte Browniana ou Brownian Bridge

INCR AAS - Amostragem Aleatória Simples com trajetória incremental

INCR HCL - Amostragem por Hipercubo latino com trajetória incremental

INCR AAD - Amostragem Descritiva com trajetória incremental

BB HCL - Amostragem por Hipercubo Latino com Brownian Bridge

BB AD - Amostragem Descritiva com Brownian Bridge

S0 - preço inicial do ativo

ST - preço final do ativo

t - tempo

σ - volatilidade do ativo

Rf - taxa livre de risco

μ - taxa de retorno do Ativo

K - preço de exercício da opção.

15

LISTA DE FÓRMULAS

dz = ε * √ ........…Movimento Browniano ou Processo de Wiener Básico

dx = adt + bdz ......... Processo de Wiener Generalizado (a e b constantes)

dS/S = µ.dt + σ.dz ......... Retorno de um ativo ao longo do tempo

dx = a(x,t)dt + b(x,t) dz .... Movimento Geométrico Browniano ou Processo de Itô

dS = µ.S. dt + σ. S .dz .....Valor de um ativo ao longo do tempo

dlnS= (µ - /2).dt + . Logaritmo natural do Valor de um ativo ao longo do tempo

S T= S0 * µ √ .............................................................

Valor de um ativo ao longo do tempo (derivado da fórmula do Logaritmo natural do

Valor de um Ativo ao longo do tempo)

16

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 17

2 OPÇÕES X AÇÕES ................................................................................................................ 19

2.1 EFICIÊNCIA FRACA DE MERCADO .......................................................................... 19

2.2 PROCESSO ESTOCÁSTICO DE MARKOV ............................................................................. 19

2.3 PROCESSO DE WIENER OU MOVIMENTO BROWNIANO ..................................... 20

2.4 PROCESSO DE WIENER GENERALIZADO (A E B CONSTANTES) ....................... 21

2.5 RETORNO DE UMA AÇÃO E PROCESSO DE WIENER ............................................ 23

2.6 PROCESSO DE ITÔ, LEMA DE ITÔ E MOVIMENTO GEOMÉTRICO BROWNIANO

................................................................................................................................................. 24

2.7 Rf x - FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES , E RISK NEUTRAL VALUATION .... 26

3 MÉTODO DE MONTE CARLO ............................................................................................. 27

3.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO ........................................................................................... 27

3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM ............................................................................................ 29

3.3 ERRO DAS ESTIMATIVAS E CONVERGÊNCIA ........................................................ 33

4 PONTE BROWNIANA X ANÁLISE INCREMENTAL ........................................................ 34

4.1 OPÇÕES EUROPÉIAS..................................................................................................... 34

4.2 OPÇÕES ASIÁTICAS ...................................................................................................... 34

4.3 PONTE BROWNIANA .................................................................................................... 35

5 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS ................................................................................... 38

6 RESULTADOS ........................................................................................................................ 41

6.1 CONCENTRAÇÃO DAS HIERARQUIAS ..................................................................... 41

6.2 ERRO E PRECISÃO ........................................................................................................ 45

7 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................................. 52

7.1 CONCENTRAÇÃO DE HIERARQUIAS ........................................................................ 52

7.2 ERRO E PRECISÃO ........................................................................................................ 52

8 CONCLUSÕES ....................................................................................................................... 59

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 61

10 APÊNDICE ............................................................................................................................ 62

17

1 INTRODUÇÃO

Derivativos são instrumentos financeiros que permitem tanto fazer “hedge” (reduzir

risco) contra incertezas sobre o preço do ativo, como especular (aumentar risco) ou

arbitrar (risco zero) sobre o preço do mesmo ativo, dependendo do perfil e das

necessidades do investidor.

De acordo com LIM (2012), citando Paul Wilmott, PhD em matemática aplicada por

Oxford, o mercado de derivativos pode ser mensurado como algo próximo a 20 vezes o

Produto Mundial Bruto, ou seja, de acordo com a estimativa do FMI para 2012 de um

Produto Mundial Bruto de US$ 71,5 trilhões, estamos falando de um mercado global

de derivativos de US$ 1,4 quatrilhão. Isso é possível pois o mesmo ativo pode estar

referenciado a vários derivativos. Além disso é um mercado que cresce muito mais que

o mercado de ações e de renda fixa (vide figura abaixo), com taxa anual de crescimento

de 24%, enquanto o mercado de ações cresceu em torno de 11%, no período de 1995 a

2007.

Gráfico 1: Taxa anual de crescimento 1995-2007, Derivativos x Ações x Renda Fixa. Fonte: Deutsche

Borse AG (2008)

Os derivativos podem se dividir principalmente entre: Mercado a Termo; Mercado

Futuro e Opções. Neste estudo iremos tratar apenas de Opções.

18

De acordo com Hull (2009), a determinação do preço das Opções pode ser realizada

através de 4 técnicas principais:

1 – Analítica, principalmente através da fórmula de Black-Scholes

2 – Árvore Binomial, que mapeia os “paths” possíveis do ativo. Por exemplo,

uma árvore binomial com 30 “steps” produz algo em torno de 1 bilhão de

“paths”. Utilizada principalmente nos casos em que decisões devem ser

realizadas antes da maturidade.

3 – Monte Carlo, que simula os preços do ativo, de acordo com modelos

estocásticos. Utilizada principalmente nos casos em que o valor da opção

depende da história do ativo (pex. Opções asiáticas aritméticas) ou nos casos em

que mais de 2 ativos, com movimentos aleatórios, estão relacionados ao preço

final da opção ( pex. “basket options”).

4 – Método das Diferenças finitas, soluciona iterativamente a equação

diferencial do derivativo. Utilizada similarmente à Árvore Binomial.

De acordo com Glasserman (2004), a utilização da precificação de derivativos pelo

método de Monte Carlo se torna mais necessária nos seguintes casos:

- A dinâmica do preço do Ativo relacionado ao derivativo é suficientemente complexa;

- A precificação do derivativo depende do “caminho” percorrido pelo Ativo;

- A quantidade de Ativos referenciada pelo derivativo é maior do que dois ou três.

Devido ao aumento de complexidade dos derivativos, decorrente da própria dinâmica

de criação dos derivativos, o método de Monte Carlo deverá se tornar cada vez mais

necessário na precificação de opções complexas. Some-se a isto o constante aumento na

capacidade computacional, que favorece a utilização do método de Monte Carlo.

Um dos principais fatores limitadores da utilização do método de Monte Carlo é o

tempo computacional utilizado. De forma geral para se obter um resultado satisfatório

utilizando a simulação de Monte Carlo é necessária a realização de N simulações, dado

que a redução do erro-padrão do resultado final é diretamente proporcional a 1/ √ ,

devido ao teorema do Limite Central. Ou seja para reduzir o erro-padrão pela metade é

necessário aumentar N em 4 vezes. Uma forma de reduzir a quantidade de simulações, e

por conseguinte o tempo de máquina, é através da redução da variância sem aumentar a

quantidade de simulações (ou amostras).

A utilização da Ponte Browniana para a geração dos valores de um ativo S qualquer ao

longo do tempo é uma forma para reduzir esta variância. Neste estudo iremos realizar

experimentos com a Ponte Browniana e seus efeitos na redução da variância

19

2 OPÇÕES X AÇÕES

O preço final de uma opção européia, no seu vencimento, decorre apenas de dois

fatores: o preço final do ativo (S) e o preço de exercício (K).

A opção pode ser uma “call” ou uma “put”. Sendo uma call, direito de compra, seu

valor, no vencimento, é igual a máx (S-K;0) e sendo uma put, direito de venda, seu

valor é igual a máx (K-S;0).

A dificuldade na determinação do preço da opção européia acontece quando se está em

um tempo t anterior ao seu vencimento. Como não sabemos o valor futuro do ativo, não

podemos calcular de forma simples o valor atual da opção.

No método de Monte Carlo, podemos calcular o valor da opção através da simulação de

vários valores para o ativo até o prazo de vencimento da opção. Neste tempo t no

vencimento da opção calculamos o valor da opção utilizando a fórmula máx (S-K;0).

Repetimos este cálculo para muitos valores e chegamos ao valor da opção calculando a

média dos valores obtidos.

Contudo, para chegar no valor da opção através do Método de Monte Carlo, precisamos

calcular o valor do ativo ao longo do tempo, conforme veremos a seguir.

2.1 EFICIÊNCIA FRACA DE MERCADO

A eficiência fraca de mercado pressupõe que o preço atual de um ativo contém toda a

informação decorrente do preços passados. Ou seja não é possível prever o preço futuro

do ativo baseado em preços passados. A competição dos agentes no mercado acionário é

que garante esta imprevisibilidade, pois caso houvesse um padrão passado que pudesse

determinar o preço futuro do ativo, vários dos agentes negociariam da mesma forma,

fazendo que o padrão desaparecesse. Vale notar que se o ativo em questão tem pouca

competição, ou seja baixa liquidez, é mais difícil garantir a eficiência fraca de mercado.

Considerando que o ativo tem alta liquidez, podemos considerar a eficiência fraca de

mercado, e desta forma o preço futuro do ativo não tem nenhuma relação com os preços

passados do ativo.

2.2 PROCESSO ESTOCÁSTICO DE MARKOV

Um processo aleatório, ou estocástico, se caracteriza pela aleatoriedade do valor da

variável ao longo do tempo. Já um processo determinístico sempre produzirá o mesmo

valor da variável ao longo do tempo, dada as mesmas condições iniciais.

20

Um processo estocástico de Markov é um processo estocástico específico onde apenas o

valor presente da variável em questão é relevante para prever seu valor futuro.

Num cenário de “eficiência fraca de mercado” podemos considerar que o preço de um

ativo ao longo do tempo obedece um processo estocástico de Markov.

2.3 PROCESSO DE WIENER OU MOVIMENTO BROWNIANO

De acordo com Hull (2009), um processo de Wiener, ou Movimento Browniano, é um

tipo particular de processo de Markov com distribuição Normal de média=0 e taxa de

variancia=1,0 por período de tempo T considerado.

Sendo z a variável que obedece um processo de Wiener, teremos as seguintes

propriedades:

√ ; onde tem distribuição Normal (0,1) e t é o tempo.

2 – os valores de para quaisquer dois intervalos de tempo diferentes, são

independentes.

Desta forma tem distribuição Normal com:

Média: E ( ) = E ( √ ) = √ . E ( )= 0;

Variância: Var ( ) = Var ( √ )= . Var ( )= =

Desvio Padrão: = √ = √

Ao somarmos duas distribuições normais independentes (períodos de tempo

sucessivos), a nova média será a soma das médias (que será igual a zero, já que a média

de cada uma é zero) e a nova variância será a soma das variâncias (que será igual ao

total). Por outro lado o desvio padrão será a raiz quadrada da soma das variâncias,

e não a soma dos desvios padrões, ou seja a raiz quadrada do tempo total.

Por exemplo, se = 49 meses, o desvio padrão será igual a 7; se somarmos dois

períodos iguais, teremos uma variância = 98 (49+49), mas o desvio padrão não será a

soma dos dp = 14 (7+7), mas sim será igual a 9,9 (√ ).

Na prática isso pode ser observado na figura abaixo de valores do ativo ao longo do

tempo, onde por exemplo para relativamente grandes, o valor do DP em relação ao

considerado é bem menor do que o DP relativo a bem pequenos.

21

Gráfico 2: Comparativo entre os desvios-padrão do ativo variando Δt. Fonte: Hull (2009)

2.4 PROCESSO DE WIENER GENERALIZADO (A E B CONSTANTES)

Um processo de Wiener generalizado possui uma taxa de crescimento constante

“a”(“drift”) diferente de zero, e taxa de variância constante “b”; já no Wiener básico

a=0 e b=1.

Fórmula Geral Wiener generalizado ( -->> 0): dx = adt + bdz ; onde x é a variável

que obedece um processo de Wiener generalizado, a é a taxa de crescimento, t é tempo,

b é a taxa de variância (que no processo de Wiener básico era igual a 1,0) e z obedece

um processo de Wiener básico.

22


Média: E ( ) = a √

Variância: Var ( ) = b2

Desvio Padrão: = √ =b √

Segue abaixo um gráfico comparando um processo de Wiener básico e um

generalizado, considerando apenas um caminho:

Gráfico 3: Comparativo entre os processos Wiener Básico e Wiener Generalizado com apenas uma

trajetória. Fonte: Hull (2009)

Segue abaixo um gráfico de Wiener básico e um gráfico de Wiener generalizado,

considerando vários caminhos:

23

Gráfico 4: Processo de Wiener Básico com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)

Gráfico 5: Processo de Wiener Generalizado com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)

2.5 RETORNO DE UMA AÇÃO E PROCESSO DE WIENER

O retorno de um ativo ( ) obedece um processo de Wiener generalizado, com

“drift” (a) constante e igual a µ (retorno esperado) e a taxa de variância (b) constante e

igual a σ.

dS/S = µ.dt + σ.dz.


24

Média: E ( ) = µ √

Variância: Var ( ) = σ 2

Desvio Padrão: = √ = σ √

Na sua forma discreta, e passando S para o lado direito da equação, a fórmula fica igual

a:

= µ.S. t + σ. S. ξ.√ .

Com esta fórmula podemos calcular os valor do ativo S ao longo do tempo na simulação

de Monte Carlo.

Contudo, de acordo com Hull, para efeito do cálculo da simulação dos valores de S, é

mais acurado utilizar LnS ao invés de S. Para esta troca é necessário o Lema de Itô.

2.6 PROCESSO DE ITÔ, LEMA DE ITÔ E MOVIMENTO GEOMÉTRICO

BROWNIANO

Um processo de Itô é um processo de Wiener generalizado, onde os parâmetros a e b

variam com o valor da própria variável de Wiener e com o tempo.

Fórmula Geral Itô: dx = a(x,t)dt + b(x,t) dz

Sendo que tem distribuição Log-Normal.

Conforme vimos anteriormente um modelo razoável para simular o retorno de um ativo

S ao longo do tempo é:

dS/S = µ.dt + σ.dz,

Passando S para o lado direito da equação teremos a fórmula geral para o preço de

um ativo ao longo do tempo:

dS = µ.S. dt + σ. S .dz, com µ e σ constantes,

Este modelo segue um processo de Itô específico, conhecido como Movimento

Geométrico Browniano (MGB), visto que a e b variam com S e t, sendo que a = µ.S e b

= σ. S.

Segue abaixo um gráfico de uma variável que obedece um MGB, para vários caminhos:

25

Gráfico 6: Processo de Itô ou MGB com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)

Se S obedece um processo de Itô, e sendo G uma função de S e de t (ou seja, valor de

uma opção), teremos pelo Lema de Itô que:

dG = (

. )dt +

. σ. S. dz.

Sendo G = lnS teremos:

= -1/ .

E fazendo as substituições acima no lema de Itô para G teremos:

dlnS= ( - /2).dt + .

(A fórmula acima tem distribuição Normal com média = (µ - /2) e desvio padrão =

√ . Logo se LnS tem distribuição Normal, S terá distribuição Log-Normal)

Para tempos discretos teremos:

ln S(t+ ) – ln S(t) = - /2). + √ ; multiplicando por ,

S T= S0 * √ ;

que será a fórmula utilizada para os valores do ativo S ao longo do tempo na Simulação

de Monte Carlo (exceto pelo valor ) .

Conforme veremos a seguir o valor poderá ser substituído por Rf, taxa livre de risco,

simplificando enormemente os cálculos do valor das opções.

26

2.7 Rf x - FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES , E RISK NEUTRAL VALUATION

De acordo com Hull (2009), um princípio fundamental para a precificação de opções é a

consideração que tudo acontece em um mundo indiferente ao risco. Neste mundo os

investidores não requerem retorno adicional para riscos maiores. Desta forma podemos

adotar Rf, taxa livre de Risco, para em todos os ativos, o que simplifica enormemente

o cálculo dos derivativos.

Este princípio pode ser verificado na fórmula de Black-Scholes para precificação de

opções, onde , a taxa de retorno requerida pelo investidor, não faz parte dela. As

variáveis presentes na fórmula de Black-Scholes são cinco:

S0 (preço inicial do ativo);

t (tempo);

σ (volatilidade do ativo);

Rf (taxa livre de risco);

K (preço de exercício da opção).

Desta forma na fórmula utilizada para os valores do ativo S ao longo do tempo na

Simulação de Monte Carlo substituiremos o valor de por Rf, ficando a fórmula

alterada para:

S T= S0 * √ ;

Repare que os valores simulados para o ativo S não correspondem à um mundo real

que leva em conta o Risco. Logo são valores que não correspondem à provável

evolução dos valores do ativo S no mundo real, pois não leva em conta o retorno

requerido para o risco do ativo, que deve variar de acordo com o Beta do ativo (modelo

CAPM).

Contudo apesar dos valores de S não refletirem a realidade, os valores da opção

associada ao ativo S refletem a realidade, pois conforme explicado anteriormente os

valores da opção independem do tipo de mundo (relacionado ao risco x retorno)

adotado.

27

3 MÉTODO DE MONTE CARLO

3.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO

De acordo com Gouvêa (2008), o método de Monte Carlo permite simular o resultado

de uma função Y= f(x1, x2, x3, x4, ... , xk, ..., xT), onde xk são as variáveis aleatórias

de entrada, com distribuições de probabilidades definidas pelo modelo.

Para o experimento em questão, Y = Valor da Opção Asiática Aritmética = máximo

(0, ̅ –K), onde ̅ = Média Aritmética dos valores da ação no tempo (S0, S1, S2, S3, ...,

Sk, ..., ST) e K é preço de Exercício para exercer a opção. Iremos calcular também

variações de Y, por exemplo com ̅ sendo a média geométrica (Opção Asiática

Geométrica), ou Y = máximo (0, Smáx–K) (Opção Look Back), etc.

A quantidade de resultados obtidos para Y será definida pelo tamanho NxM de

simulações e corridas. Cada resultado obtido para Y é comumente chamado de

simulação. Neste estudo em particular foi adotado N=2000 simulações, com isto

teremos 2000 valores gerados para Y. O conjunto das N simulações é comumente

chamada de corrida. Foram rodadas 35 corridas, logo M= 35 corridas, calculando 35

médias para Y. Comumente utiliza-se 30 corridas ou mais para minimizar o erro. Neste

experimento com 35 corridas de 2000 simulações, obtivemos o cálculo final para Y

sendo a média de 35 médias (corridas) de 2000 valores (simulações)..

Desta forma para cada corrida com N simulações, teremos uma matriz U de valores

aleatórios, N por T, variando de 0 a 1. T é a dimensão do modelo simulado. No caso

de Opções, T é a quantidade de passos utilizados na trajetória do ativo, ou seja quantas

vezes durante o tempo total até o vencimento da Opção calcularemos o valor do Ativo.

A função inversa da distribuição acumulada prevista para o modelo, no caso

distribuição Normal (0,1), gerará uma matriz S, N por T, representando N valores

para S, com dimensão T. Neste experimento quanto maior a quantidade de

considerados, ou seja quanto menor o considerado, maior a dimensão do modelo.

Por exemplo se considerarmos N= 10 simulações com T = 1 ano e = 1/15 ano,

teremos uma matriz U de valores aleatórios, 10 por 15. Neste caso a dimensão do

modelo é de 15.

28

U =

Por conseguinte teremos uma matriz S, 10 por 15, com valores gerados, por dimensão,

de acordo com a distribuição adotada pelo modelo (no caso estudado distribuição

Normal (0,1)):

S =

A fórmula geral adotada neste experimento para calcular os si,j, numa trajetória

Incremental, é:

Si,j= Si,j-1 * √ ; onde é a variável aleatória do modelo com

distribuição normal (0,1).

Desta forma podemos considerar que a simulação gera primeiramente os valores da

matriz U, por dimensão, com limites entre (0 e 1), uniformemente distribuídos, e

posteriormente gera os valores da matriz S, por dimensão, com 99,99% dos valores para

entre (-3,87, e +3,87), normalmente distribuídos (multiplicados em seguida pelas

constantes da fórmula).

u1,1 u1,2 u1, … u1,15

u2,1 u2,2 u2, … u2,15

u...,1 u...,2 u i,j u...,15

u10,1 u10,2 u10, … u10,15

s1,1 s1,2 s1, … s1,15

s2,1 s2,2 s2, … s2,15

s...,1 s...,2 s..., … s...,15

s10,1 s10,2 s10, … s10,15

29

3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM

O Método de Monte Carlo, de uma forma geral, prevê a simulação de valores amostrais

de entrada de acordo com a distribuição de probabilidades prevista pela modelagem do

problema. No caso estudado a distribuição de probabilidades dos dados de entrada

prevista pelo modelo é a distribuição Normal (0,1).

Na figura abaixo está representada esta correspondência entre os valores aleatórios

gerados para a matriz U ( através de uma distribuição Uniforme (0,1)) e os valores

aleatórios gerados para a matriz Y ( através de uma distribuição Normal (0,1))

Gráfico 7: Geração dos valores ε, a partir dos valores aleatórios. Fonte: Autor

A forma de geração dos valores da matriz U, determina as diferenças entre as técnicas

de Amostragem Aleatória Simples, Hipercubo Latino e Amostragem Descritiva

adotadas neste experimento.

Neste experimento iremos utilizar o software @Risk da Palisade v5.7, que

disponibiliza apenas dois tipos de amostragem: Amostragem Aleatória Simples e

Hipercubo Latino.

Conforme Saliby (2001), a Amostragem por Hipercubo Latino é similar à Amostragem

Descritiva, podendo esta última ser considerada um caso limite do Hipercubo Latino.

30

Desta forma detalharemos a seguir apenas a Amostragem Aleatória Simples e a

Amostragem Descritiva.

Amostragem Aleatória Simples:

Neste caso a geração dos valores da matriz U é totalmente aleatória e reiniciada a cada

geração de um u (i,j).

Para exemplificar consideremos 500 simulações de uma variável aleatória Y com

distribuição Normal (0,1) geradas em planilha Excel.

Neste caso a variável aleatória tem apenas uma dimensão, então teremos uma Matriz U

de 500 linhas e apenas uma coluna.. Os valores foram gerados no Excel, utilizando a

função @Aleatório, que gera um valor aleatório com distribuição Uniforme entre 0 e 1.

Segue abaixo um quadro de classes de freqüências dos valores gerados:

Quadro 1: Quadro de classes de freqüências dos 500 valores aletoriamente gerados no Excel. Fonte:

Autor

31

Como os valores são aleatórios, a distribuição reproduzida não é idêntica à teórica. A

média Teórica de uma distribuição Uniforme (0,1) é igual a 0,5. Neste caso a simulação

gerou 500 valores cuja média é igual a 0,47960. É importante ressaltar que os 500

valores foram gerados em uma sequência completamente aleatória.

Segue abaixo o gráfico da distribuição de freqüências dos valores gerados comparado

com a distribuição de freqüências da distribuição Uniforme (0,1):

Gráfico 8: Distribuição de freqüências valores aleatórios (0,1) Teórica x Empírica . Fonte: Autor

De acordo com a teoria da Probabilidades a distribuição empírica se aproxima cada vez

mais da Teórica a medida que aumentamos a quantidade de simulações. Daí a

necessidade de aumentarmos a quantidade de simulações no Método de Monte Carlo

com amostragem aleatória simples para reduzirmos o erro dos valores.

Ainda utilizando o Excel, a partir dados gerados acima para a Matriz U, utilizamos a

função @inv.norm e geramos 500 valores com distribuição Normal (0,1). Contudo

como os dados de entrada (Matriz U) não reproduziam perfeitamente uma distribuição

Uniforme, os valores gerados para Y não reproduzirão perfeitamente uma distribuição

Normal. Segue abaixo o gráfico de distribuição de freqüências dos valores Y gerados

comparado com a distribuição de freqüências da distribuição Normal (0,1):

32

Gráfico 9: Distribuição de freqüências valores ε Teórica x Empírica . Fonte: Autor

Este resultado vai ao encontro da argumentação de Saliby (1990) em relação à

Amostragem Aleatória Simples.

De acordo com Saliby (1990), na Amostragem Aleatória Simples há duas fontes de

variabilidade: o conjunto de valores e a sequência destes valores. Ocorre que na

maioria dos casos de simulação de Monte Carlo os valores da amostra já tem uma

distribuição conhecida e desta forma o conjunto de valores a ser gerado deve reproduzir

esta distribuição, sendo desnecessário gerar uma aleatoriedade no conjunto de valores.

Esta desnecessária aleatoriedade no conjunto de valores fica bem explicada em Saliby

(2001):

Contudo em muitas aplicações de Monte Carlo, as amostras são obtidas, por

hipótese, de distribuições já conhecidas e, nestes casos, o propósito

fundamental das amostragens é simular certo comportamento aleatório e não

realizar inferências sobre a população analisada.

Utilizar a amostragem aleatória simples com este propósito causa uma

imprecisão desnecessária à distribuição da população estudada, elevando a

variância dos estimadores simulados.

Amostragem Descritiva

Ainda de acordo com Saliby (1990) na Amostragem Descritiva temos apenas uma fonte

de variabilidade, que é a sequência dos valores gerados. Desta forma a geração dos

valores por dimensão da Matriz U será determinada de acordo com o tamanho N da

Amostra, obtendo-se N valores eqüidistantes no espaço amostral (0,1). Por conseguinte,

para cada dimensão da matriz S teremos valores obedecendo uma distribuição

conforme previsto pelo modelo. Não há necessidade de adicionar aleatoriedade na

geração do conjunto de valores, dado que o modelo já prevê a existência de uma

33

distribuição de probabilidades na geração destes valores. Contudo a sequência destes

valores será aleatória imprimindo o padrão aleatório necessário ao modelo.

Utilizando este conceito para os 500 valores gerados anteriormente, teremos um

conjunto de valores da Matriz U que corresponde perfeitamente à distribuição Uniforme

e por conseqüência um conjunto de valores da Matriz Y que corresponde perfeitamente

à distribuição Normal. Contudo a sequência destes 500 valores será totalmente aleatória.

Para realizarmos a simulação com Amostragem Descritiva no @Risk utilizaremos o

seguinte artifício:

1 - Dividiremos o espaço amostral (0,1) pelo número N do tamanho da amostra,

gerando N intervalos de u equiprováveis e utilizando o ponto médio dos N

intervalos;

2 – Calcularemos a função inversa da Normal (0,1) para os valores de u;

3 – Utilizaremos a distribuição “Duniform”, que é uma distribuição Uniforme

Discreta cujos valores equiprováveis serão os N valores da função inversa da

Normal(0,1) , e amostragem HipercuboLatino;

4 – Obteremos desta forma, para cada dimensão, N valores obedecendo a

distribuição Normal (0,1), variando apenas o seqüenciamento destes N valores

nas N corridas ao longo das dimensões do modelo.

3.3 ERRO DAS ESTIMATIVAS E CONVERGÊNCIA

Como Yfinal é uma estimativa não-viesada do valor correto associado ao problema que

chamaremos de Ψ, o erro associado ao valor de Yfinal, I Yfinal - Ψ I , será o desvio

padrão calculado entre os valores de Y para cada simulação.

A taxa de convergência do erro de Yfinal, I Yfinal - Ψ I , será da ordem (1/ √ , pois

pelo teorema do limite central temos que a distribuição de Yfinal converge para uma

distribuição Normal (Ψ , σ2

/N).

34

4 PONTE BROWNIANA X ANÁLISE INCREMENTAL

A determinação dos valores do ativo ao longo do tempo é calculada pela fórmula

anteriormente descrita:

S T= S0 * √ ; onde

S0 é o valor inicial do ativo,

Rf é a taxa livre de Risco,

é a volatilidade calculada para o ativo,

t é a unidade de tempo adotada e,

é a variável aleatória do modelo com distribuição normal (0,1).

4.1 OPÇÕES EUROPÉIAS

No caso do cálculo das Opções Européias, onde importa apenas o valor final do ativo,

não há diferença de importância entre os valores calculados para o ativo ao longo do

tempo (ou seja entre as dimensões do modelo de simulação).

O valor final do ativo pode ser reescrito da seguinte forma:

S T= S0 * (

) √

;

Desta forma verifica-se a falta de hierarquia entre as dimensões do modelo.

4.2 OPÇÕES ASIÁTICAS

No caso do cálculo das Opções Asiáticas (Média Aritmética ou Geométrica), onde

importa o valor do ativo em cada ponto da trajetória, há diferença de importância entre

os valores calculados para o ativo ao longo do tempo (ou seja entre as dimensões do

modelo de simulação).

Utilizando o caso da Opção Asiática Aritmética temos o cálculo final da opção dado

por:

S* = 1/T * (S1+S2+S3+...+ST)

35

Conforme Gouvêa (2008), se agruparmos as constantes da fórmula da seguinte forma:

a = (

) e b = √

teremos os seguintes valores para o Ativo S ao longo do tempo:

S1= S0 *

S2= S0 *

E assim por diante.

Reescrevendo a fórmula do cálculo final da Opção Asiática Aritmética, utilizando estas

simplificações para o cálculo do ativo ao longo do tempo, e derivando parcialmente este

valor em relação a cada choque ( , verifica-se que :

>=

Ou seja os primeiros valores de S tem maior peso no valor final de S* que os valores

seguintes. Existe neste caso uma hierarquia entre as dimensões do modelo da seguinte

forma:

S1>S2>S3>S...>ST .

4.3 PONTE BROWNIANA

De acordo com Gouvêa (2008), a ponte Browniana é um artifício de geração das

trajetórias do ativo utilizado para concentrar a hierarquia das dimensões em apenas

algumas dimensões. Combinada com uma técnica amostral (no caso estudado AAS,

Hiercubo Latino ou AD) que apresente hierarquia entre as dimensões, o resultado do

erro deverá ser minimizado.

Ainda conforme Gouvêa (2008), normalmente na literatura, a ponte browniana é

utilizada com as técnicas amostrais de Sobol e Quasi-Monte Carlo, que não

abordaremos neste estudo.

Carvalho (2006) realizou estudo sobre Ponte Browniana onde compara os métodos

amostrais AAS, Sobol e AD com trajetória incremental e com Ponte Browniana.

Contudo nesta comparação não houve variação da quantidade de passos da trajetória.

36

Esta variação foi realizada apenas para AAS incremental, obtendo uma melhor precisão

dos valores obtidos ao aumentar o número de passos e consequentemente se aproximar

do modelo teórico (contínuo).

De acordo com Carvalho (2006) todos os métodos obtiveram bons resultados quanto à

precisão dos valores obtidos, contudo SOBOL com Ponte Browniana apresentou uma

taxa de convergência muito superior aos demais métodos.

No presente estudo avaliaremos o impacto da Ponte Browniana com a utilização de

Hipercubo Latino e Amostragem Descritiva, variando a quantidade de passos da

trajetória.

Na figura abaixo é demonstrada geração de trajetória através de Ponte Browniana para

um modelo com dimensão 16:

Figura 1: Geração de valores através da Ponte Browniana . Fonte: Gouvêa (2008)

De acordo com a figura acima, após a geração do valor final da trajetória S16, os pontos

seguintes serão os pontos médios entres os maiores espaços restantes. Desta forma o

ponto S8 é gerado, pois trata-se do ponto médio entre S0 e S16. Após a geração do

ponto médio S8, existe a opção de se gerar ou S4 (ponto médio entre S0 e S8) ou se

gerar S12 (ponto médio entre S8 e S16). Podemos considerar que S4 e S12 fazem parte

do mesmo ciclo de pontos médios. Segundo Gouvêa (2008) o ponto S12, à direita de

S8, tem maior importância no resultado final que o ponto S4, por isto deve ser gerado

primeiramente Com isto ao se gerar o ponto S4 e fechar o ciclo de pontos médios

representado por S12 e S4, abre-se um novo ciclo de pontos médios representados por

37

S14 (ponto médio entre S16 e S12) , S10 (ponto médio entre S8 e S12), S6 (ponto

médio entre S4 e S8) e S2 (ponto médio entre S0 e S4). Conforme explicado por

Gouvêa (2008) deve-se gerar primeiramente o ponto mais à direita da trajetória que é o

ponto S14, e em seguida geram-se os pontos médios mais à direita do mesmo ciclo de

pontos médios, que são os pontos S10, depois S6 e depois S2, fechando este ciclo de

pontos médios. O ponto médio seguinte S15 obedece a mesma regra utilizada ao se

gerar S14. E assim sucessivamente.

Os valores da trajetória na Ponte Browniana serão calculados de acordo com as

fórmulas a seguir e na ordem indicada:

1 - S0 = S0

2 - ST = valor final do ativo = S T= S0 * √

E considerando tt como ponto médio entre ts e tu teremos para os demais pontos da

trajetória:

St (valor entre Ss e Su ) = √ * (

) √

, deduzido a partir das

fórmulas abaixo de Gouvêa(2008):

Bt = Ln (St)

e

Bt = {(tu-tt)Bs + (tt-ts)*Bu }/{tu-ts} + √

σ * zt, onde :

tt = (tu+ts)/2 (ponto médio entre ts e tu);

zt = √

Por exemplo considerando σ= 40% ao ano; T =63 dias = 0,25ano; ∆t = T/8=7,87 dias

=0,0313 ano , 4=0,8, 2=1,2; 6=-0,4, 1=-0,2; S0 = 50; S8 =63, teremos:

S4 = raiz (50 x 63) * exp ((0,4/2)*raiz((8-0)*0,0313)*0,8) = 60,8; entre S0 e S8;

S2 = raiz (50 x 60,8) * exp ((0,4/2)*raiz((4-0)*0,0313)*1,2) = 60,0; entre S0 e S4;

S6 = raiz (60,8 * 63) * exp ((0,4/2)*raiz((8-4)*0,0313)*-0,4) = 60,16; entre S4 e S8;

S1 = raiz (50 * 60) * exp ((0,4/2)*raiz((2-0)*0,0313)*-0,2) = 54,23; entre S0 e S2;

E assim sucessivamente.

38

5 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS

Os experimentos foram realizados no software @Risk da Palisade versão 5.7.

Podemos dividir os experimentos em duas partes:

1ª parte – Concentração das Hierarquias;

2ª parte – Verificação do erro e da precisão da estimativa.

Nas duas partes foram calculados os valores das seguintes Opções:

- Aritmética

- Aritmética (com técnica de redução de variância – variável de Controle)

- Geométrica

- Lookback Flutuante

- Lookback

- Européia

Para o cálculo foram adotadas as seguintes condições:

S0 = 50;

σ= 40% ao ano;

T = 0,25 ano ou 63 dias úteis;

Rf = 10% ao ano;

K = 45 (In The Money); 50 (At The Money); 55 (On The Money)

Os valores teóricos, de acordo com a fórmula de Black-Scholes, obtidos para os

parâmetros acima foram:

Tipo de Opção k=45 k=50 k=55

Geométrica 5,77925 2,48715 0,78281

Européia 7,55838 4,58146 2,55833

LookBack 13,09515 8,21860 4,51510

LookBack

Flutuante 8,037120

Quadro 2: Quadro de valores teóricos de Opções calculadas por Black-Scholes

39

Além disso foram calculadas simulações para trajetórias construídas com variações no

número de passos:

16 passos (∆t = T/16 = 3,94 dias);

32 passos (∆t = T/32 = 1,97 dias);

64 passos (∆t = T/64 = 0,98 dias);

128 passos (∆t = T/128 = 0,49 dias).

As variações de técnicas de Amostragem foram limitadas a três:

Amostragem Aleatória Simples (AAS)

Amostragem por Hipercubo Latino (HCL)

Amostragem Descritiva (AD)

As variações de geração de trajetórias foram limitadas a duas:

Incremental (Incr.)

Ponte Browniana ou Brownian Bridge (BB)

Desta forma obtemos 5 tipos de Amostragem-Trajetórias nas Simulaçôes:

Amostragem Aleatória Simples com trajetória incremental (INCR AAS)

Amostragem por Hipercubo latino com trajetória incremental (INCR HCL)

Amostragem Descritiva com trajetória incremental (INCR AAD)

Amostragem por Hipercubo Latino com Brownian Bridge (BB HCL)

Amostragem Descritiva com Brownian Bridge (BB AD)

Não utilizamos a Amostragem Aleatória Simples com Brownian Bridge, visto que não

há nenhuma vantagem, neste caso, da concentração de hierarquias das dimensões.

Experimento 1ª parte:

Neste caso foram comparados os resultados obtidos de correlação entre o valor do ativo

obtido para a dimensão e o valor final do ativo, para cada dimensão, entre os modelos

de simulação.

Desta forma foi possível verificar a diferença na magnitude da concentração de

hierarquias entre os modelos.

Foram realizadas 2000 simulações e 10 corridas para cada estimativa obtida. Foram

simulados os valores das 5 amostragens-trajetórias para 16 passos e 128 passos.

40

Experimento 2ª parte:

Erro das Estimativas

Para cada um dos 5 modelos de amostragem-trajetória foram realizadas 35 corridas com

2000 simulações cada.

Para a verificação dos erros das estimativas foi utilizado o Desvio Padrão calculado

entre as 35 corridas realizadas.

Precisão das Estimativas

Para o cálculo da precisão dos resultados em relação aos valores teóricos, calculamos o

erro absoluto % entre a estimativa obtida e o respectivo valor teórico.

41

6 RESULTADOS

6.1 CONCENTRAÇÃO DAS HIERARQUIAS

Abaixo estão listados os gráficos, por modelo de simulação, dos Valores de

Correlação x Dimensões (passos da trajetória). Como as dimensões que concentram

as maiores correlações variam de modelo para modelo, listamos as dimensões com os

maiores valores de correlação abaixo dos gráficos. Foram calculadas as correlações para

os valores simulados de Opção Aritmética (k=45), Média Aritmética e Probabilidade de

Exercício. Sendo que para cada um destes valores calculamos os valores de correlação

com 16 passos e com 128 passos.


Fonte: Autor

BB AD BB HCL INCR AD INCR HCL INCR AAS

1 16 / Z 16 / Z 1 / Z 1 / Z 1 / Z 2 8 / Z 8 / Z 2 / Z 2 / Z 2 / Z 3 12 / Z 12 / Z 3 / Z 3 / Z 3 / Z 4 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z

5 10 / Z 10 / Z 5 / Z 5 / Z 5 / Z

42


k=45, 16 Dimensões. Fonte: Autor


Fonte: Autor

BB AD BB HCL INCR AD

INCR HCL

INCR AAS

1 128 / Z 128 / Z 4 / Z 1 / Z 3 / Z

2 64 / Z 64 / Z 8 / Z 2 / Z 9 / Z

3 96 / Z 96 / Z 10 / Z 5 / Z 8 / Z

4 32 / Z 32 / Z 2 / Z 25 / Z 2 / Z

5 48 / Z 16 / Z 9 / Z 12 / Z 1 / Z


k=45, 128 Dimensões. Fonte: Autor

43

Gráfico 12: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16 Dimensões. Fonte: Autor


1 16 / Z 16 / Z 1 / Z 1 / Z 1 / Z

2 8 / Z 8 / Z 2 / Z 2 / Z 2 / Z

3 12 / Z 12 / Z 3 / Z 3 / Z 3 / Z

4 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z

5 10 / Z 10 / Z 5 / Z 5 / Z 5 / Z


Dimensões. Fonte: Autor

Gráfico 13: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128 Dimensões. Fonte: Autor

44


1 128 / Z 128 / Z 4 / Z 1 / Z 3 / Z 2 64 / Z 64 / Z 8 / Z 2 / Z 9 / Z

3 96 / Z 96 / Z 10 / Z 5 / Z 8 / Z

4 32 / Z 32 / Z 2 / Z 25 / Z 2 / Z

5 48 / Z 16 / Z 9 / Z 12 / Z 1 / Z




Autor

Quadro 7: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16


45


Autor

Quadro 8: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício,

128 Dimensões. Fonte: Autor

No apêndice estão listados os valores obtidos para as outras variáveis do modelo.

6.2 ERRO E PRECISÃO

Erro das Estimativas

Para cada um dos 5 modelos de amostragem-trajetória foram realizadas 35 simulações

com 2000 corridas cada.

Para a verificação dos erros das estimativas foi utilizado o Desvio Padrão calculado

entre as 35 Simulações realizadas.

Seguem abaixo os gráficos e valores do Desvio Padrão x Quantidade de passos para a

Opção Asiática Geométrica, comparando os 5 tipos de amostragem-trajetória utilizadas.

46

Gráfico 16: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor

Valores ordenados em ordem crescente do erro :

Quadro 9 Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:

Autor

47



Autor

48



Autor

Precisão das Estimativas

Para o cálculo da precisão dos resultados em relação aos valores teóricos, calculamos o

erro absoluto % entre a estimativa obtida e o respectivo valor teórico.

49

Seguem abaixo os valores e gráficos obtidos no caso da Opção Asiática Geométrica.

Gráfico 19: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor

Quadro 12: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128..

Fonte: Autor

50


Quadro 13: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=50, passos= 16, 32,64 e 128.

Fonte: Autor

51


Quadro 14: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128.

Fonte: Autor

Os resultados das outras Opções estão disponíveis no Apêndice.

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

16 32 64 128

Precisão K=55

BB AD

BB HCL

Incr AD

Incr HCL

Incr AAS

52

7 ANÁLISE DOS RESULTADOS

7.1 CONCENTRAÇÃO DE HIERARQUIAS

Comparando-se os resultados obtidos para os valores da Opção Geométrica (k=45),

Média Aritmética e Probabilidade do Exercício, verifica-se claramente que a utilização

da Ponte Browniana, no lugar do método Incremental, favorece a concentração das

hierarquias em poucas Dimensões.

Praticamente a totalidade dos impactos das Dimensões no resultado final está

concentrada nos 4 primeiros passos da Ponte Browniana, ou seja, ZT; ZT/2 ; ZT3/4. e ZT1/4.,

sendo que corrZT>> corrZT/2 >>corrZT3/4 ≅ corrZT1/4.

Não foi verificado impacto na concentração das hierarquias ao se variar o número de

passos de 16 para 128.

7.2 ERRO E PRECISÃO

Erro da Estimativa:

Analisando o resultado da Opção Asiática Geométrica observa-se uma redução

significativa do erro ao se utilizar a Ponte Browniana.

Além disso ao se utilizar a Amostragem Descritiva com Ponte Browniana (BB AD)

obtém-se uma pequena vantagem na redução do erro em relação ao Hipercubo Latino

com Ponte Browniana (BB HCL). Contudo para os todos os K os menores valores de

53

erro foram do BB AD. Seguem abaixo os 5 menores erros para cada K:

Quadro 15: Cinco menores valores de Erro para K=45, 50 e 55. Fonte: Autor

Calculando o erro médio obtido para os 2 modelos (AD e HCL) com ponte browniana,

os outros 2 modelos (AD e HCL) com trajetória incremental, e o AAS, obtemos os

seguintes valores:

BB / Incr. BB / AAS

K BB Incr. AAS Redução% Redução%

45 0,02068788

0,03120314

0,11352964 34% 82%

50 0,02739169

0,04339076

0,07942275 37% 66%

55

0,02314921

0,03651895

0,04405289 37% 47%

Quadro 16: Valores médios (passos e amostragem) dos Erros para K=45,50 e 55. Fonte: Autor

Variação do número de passos:

Não há significativas variações do erro ao se variar o número de passos, no caso de

utilização da Ponte Browniana ou Incremental (exceto AAS).

54

Por outro lado ao se utilizar AAS verifica-se um claro aumento do erro ao se aumentar o

número de passos. Quanto maior o número de passos maior a propagação do erro da

AAS.

Variação de preço de exercício (K):

Não há significativas variações do erro ao se variar o valor de K, no caso de utilização

da Ponte Browniana ou Incremental (exceto AAS).

Por outro lado ao se utilizar AAS verifica-se uma clara redução do erro ao se aumentar

o valor de K.O menor Desvio Padrão do AAS é obtido com K=55, para todos os

números de passos. Mesmo assim o Desvio Padrão do AAS se mantém superior ao da

Ponte Browniana ou Incremental em K=55, para todos os números de passos.

Precisão da Estimativa:

Comparando os dois modelos de amostragem, AD e HCL, para os quais variamos as

trajetórias, ou com BB, ou com Incremental, verificamos comportamentos distintos na

precisão das estimativas.

No caso de AD verifica-se que com 16 passos a precisão é melhor com a trajetória

Incremental. Contudo com 128 passos a trajetória BB passa a retornar uma precisão

melhor que a Incremental. E a precisão com 128 passos é melhor do que com 16 passos

nos dois casos. Na tabela abaixo os valores estão destacados:

Quadro 17: Valores de precisão da AD com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K . Fonte:

Autor

No caso de HCL verifica-se contrariamente que com 16 passos a precisão é melhor com

a trajetória BB (exceto para K=55). Contudo com 128 passos a trajetória Incremental

passa a retornar uma precisão melhor que a BB. E a precisão com 128 passos é melhor

do que com 16 passos nos dois casos. Na tabela abaixo os valores estão destacados:

55

Quadro 18: Valores de precisão da HCL com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K. Fonte:

Autor

Comparando-se os os 5 modelos, apenas para os 128 passos, onde se obteve de forma

geral as melhores precisões, temos os melhores resultados para INCR. HCL e em

seguida para BBAD, conforme pode ser verificado nas tabelas abaixo.

K=45

Quadro 19: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=45. Fonte: Autor

K=50


56

K=55


A Ponte Browniana obteve em média (passos e amostragem) resultados mais precisos

que a trajetória Incremental e o AAS. Observou-se uma baixa precisão (5,05%) do

modelo BBAD com K=55 e apenas 16 passos, mas ao se utilizar 128 passos o BBAD

obtém uma das melhores precisões (0,36%) para K=55. Calculando a precisão média

obtida para os 2 modelos com ponte browniana, os mesmos 2 modelos com trajetória

incremental, e o AAS, obtemos os seguintes valores:

K BB INCR AAS

45 0,23% 0,26% 0,32%

50 0,67% 0,90% 0,86%

55 1,79% 2,00% 1,77% Quadro 22: Valores médios (passos e amostragem) de precisão das trajetórias. Fonte: Autor

Variação do número de passos:

K=45

Todos os modelos observaram uma maior precisão com 128 passos comparados a 16

passos. As maiores precisões obtidas para cada modelo foram com 128 passos, exceto a

AAS com 32 passos.

A Amostragem Descritiva apresentou melhora de precisão

K=50



AAS com 64 passos.

K=55

57



AAS e BB AD com 64 passos.

Conforme pode se verificar na tabela baixo, todos os modelos obtiveram ganho de

precisão ao aumentar o número de passos de 16 para 128. Contudo o pior ganho

observado com este aumento do número de passos foi com o AAS.

K=45 K=50 K=55

Tipo de média Passos Precisão Precisão Precisão BB AD 16 0,60% 1,94% 5,05% BB AD 128 0,08% 0,09% 0,36% Ganho Precisão 86,83% 95,57% 92,78% 91,73%

BB HCL 16 0,44% 1,42% 3,57% BB HCL 128 0,10% 0,21% 0,30% Ganho Precisão 77,65% 85,07% 91,68% 84,80%

Incr AAS 16 0,63% 2,02% 4,40% Incr AAS 128 0,41% 0,77% 1,33% Ganho Precisão 34,71% 62,15% 69,71% 55,52%

Incr AD 16 0,50% 1,76% 3,96% Incr AD 128 0,14% 0,38% 0,91% Ganho Precisão 71,45% 78,48% 77,02% 75,65%

Incr HCL 16 0,53% 1,76% 3,53% Incr HCL 128 0,01% 0,13% 0,16%

98,79% 92,51% 95,57% 95,62%

Quadro 23: Ganhos de Precisão dos modelos ao se variar de 16 passos para 128 passos, K=45,50 e 55.

Fonte: Autor

Variação de preço de exercício (K):

Em todos os passos e em todos os modelos houve redução da precisão com o aumento

do preço de exercício.

K=45 K=55

Tipo de média Passos Precisão Precisão

Redução

Precisão

BB AD 16 0,60% 5,05% 4,45%

BB AD 32 0,22% 2,01% 1,79%

BB AD 64 0,13% 0,29% 0,16%

BB AD 128 0,08% 0,36% 0,29%

BB HCL 16 0,44% 3,57% 3,13%

BB HCL 32 0,13% 1,57% 1,44%

58

BB HCL 64 0,13% 1,19% 1,06%

BB HCL 128 0,10% 0,30% 0,20%

Incr AAS 16 0,63% 4,40% 3,77%

Incr AAS 32 0,00% 1,09% 1,08%

Incr AAS 64 0,23% 0,24% 0,01%

Incr AAS 128 0,41% 1,33% 0,92%

Incr AD 16 0,50% 3,96% 3,47%

Incr AD 32 0,22% 1,58% 1,35%

Incr AD 64 0,19% 1,88% 1,68%

Incr AD 128 0,14% 0,91% 0,77%

Incr HCL 16 0,53% 3,53% 3,01%

Incr HCL 32 0,35% 3,43% 3,07%

Incr HCL 64 0,14% 0,56% 0,42%

Incr HCL 128 0,01% 0,16% 0,15% Quadro 24: Perda de precisão dos modelos ao se variar o K de 45 para 55, com passos = 16, 32, 64 e 128.

Fonte: Autor

59

8 CONCLUSÕES

Erro:

Os resultados apresentados confirmam a redução do erro ao se utilizar a Ponte

Browniana em conjunto com as Amostragens Descritiva e Hipercubo Latino. O menor

erro apresentado foi com o modelo BB AD, vindo em seguida BB HCL.

No experimento realizado obtivemos uma redução do erro da ordem de 35% ao se

utilizar Ponte Browniana no lugar da trajetória Incremental, mantendo-se os métodos

amostrais AD e HCL.

Esta redução é ainda maior ao se comparar com o modelo de trajetória Incremental com

AAS, chegando a 82% de redução para um K=45.

Esta redução do erro ao se mudar a trajetória do ativo de Incremental para Ponte

Browniana é devido ao fato de que estas amostragens obtém vantagem da concentração

de hierarquias em apenas algumas dimensões. Desta forma utilizando-se as mesmas

Amostragens, mas variando apenas a trajetória do ativo de Incremental para a Ponte

Browniana,obtém-se uma significativa redução do erro.

No caso da Ponte Browniana observou-se uma concentração das hierarquias nos 4

primeiros passos gerados: ZT; ZT/2 ; ZT3/4. e ZT1/4, sendo que corrZT>> corrZT/2

>>corrZT3/4 ≅ corrZT1/4.

Precisão:

Os modelos mais precisos foram o Incr. HCL e o BB AD.

Houve ganho de precisão ao se mudar da trajetória Incremental para a BB, no caso de

AD. Já no caso de HCL ocorreu o contrário.

Em relação à precisão dos valores obtidos, a Ponte Browniana obteve, em média,valores

de precisão melhores que a trajetória Incremental e a AAS.

Observou-se uma clara deterioração da precisão das estimativas obtidas com o aumento

do K para todos os modelos e quantidade de passos.

Em contrapartida observou-se uma clara melhora dos valores de precisão com o

aumento dos passos da trajetória, para todos os modelos e todos os K, ao se comparar a

precisão com 128 passos contra 16 passos. Este resultado corrobora com o encontrado

por Carvalho (2006) apenas para o AAS com Opções Asiáticas geométricas (p.61).

Contudo, comparado com os outros modelos, o AAS obteve o menor ganho de precisão

com o aumento do número de passos, sugerindo um menor ganho deste modelo ao se

60

aumentar o número de passos. Incr HCL e BB AD obtiveram os maiores ganhos de

precisão com o aumento do número de passos.

Em estudos futuros seria interessante verificar como se comportaria o erro e a precisão

das estimativas, introduzindo-se a variação do tamanho da amostra, conforme realizado

por Carvalho (2006), mas mantendo a variação do número de passos conforme realizado

neste trabalho.

61

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARVALHO, João Luís Barbosa (2006).Comparação de Métodos Amostrais Contemporâneos

em Simulação Monte Carlo: Aplicação e Precificação de Opções. Tese Mestrado. Coppead-

UFRJ.

CHARNES, John M.(2000).Using Simulation for Option Pricing. 2000 Winter Simulation

Conference.

GLASSERMAN, Paul. (2004). Monte Carlo Methods In Financial Engineering. Springer: New

York.

GOUVÊA, Sérgio Luiz Medeiros Proença. (2008). Controle Multi-dimensional em Simulação

Monte Carlo: Propostas para a Combinação de Amostragem Descritiva com Técnicas Quasi-

Monte Carlo em Problemas de Apreçamento de Opções. Tese Doutorado. Coppead-UFRJ.

HULL, J. (2009). Options, Futures and other Derivatives. New York: Prentice-Hall, 7th Edition

LIM, Thiang Cheng; JESSICA, Xiu Yun Lim; GAN, Sewei.(2012). Derivatives Market in

China. International Journal of Management Sciences and Business Research, Vol.1, Issue 11.

MARINS, Jaqueline Terra Moura; SANTOS, Joséte Florencio dos; SALIBY, Eduardo.

(2003).Aplicação de Técnicas de Redução de Variãncia para Estimação do prêmio de Opções de

Compra do tipo Asiática.

PACATI, Claudio (2011). Brownian Motion and Geometric Brownian Motion, Graphical

Representations. University of Minnesota.

SALIBY, Eduardo. (1990). Descriptive Sampling: A Better Approach to Monte Carlo

Simulation. Journal of Operational Research Society Vol. 41, No 12, pp 1133-1142.

SALIBY, Eduardo; CARVALHO, João Luís Barbosa; WANKE, Peter F.. (2007). Precificação

de Opções com Simulação Monte Carlo: Uma avaliação de diferentes métodos amostrais e de

modelagem. XXXIX SBPO.

SALIBY, Eduardo; GOUVÊA, Sérgio Luiz Medeiros Proença; MARINS, Jaqueline Terra

Moura. (2007). Amostragem Descritiva No Apreçamento De Opções Européias Através De

Simulação Monte Carlo: O Efeito Da Dimensionalidade E Da Probabilidade De Exercício No

Ganho De Precisão. Pesquisa Operacional, v.27, n.1, p. 1-13.

SALIBY, Eduardo ; MOREIRA, Flavio Filgueiras Pacheco. (2001). Estudo Comparativo dos

Métodos de Quasi-Monte Carlo, Amostragem Descritiva, Hipercubo Latino e Monte Carlo

Clássico na Análise de Risco. I Encontro Brasileiro de Finanças-EAESP.

The Global Derivatives Market. An Introduction. (2008) . White Paper. Frankfurt: Deutsche

Borse AG. (http://www.math.nyu.edu/faculty/avellane/global_derivatives_market.pdf)

http://www.math.nyu.edu/faculty/avellane/global_derivatives_market.pdf

62

10 APÊNDICE

APÊNDICE 1 -RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES PARA VÁRIOS TIPOS DE

OPÇÕES, CONSIDERANDO : A ESTIMATIVA DE VALOR DA OPÇÃO, O ERRO

DA ESTIMATIVA E A PROBABILIDADE DE EXERCÍCIO DA OPÇÃO.

73

APÊNDICE 2 - RESULTADO DAS SIMULAÇÕES PARA O VALOR DE

CORRELAÇÃO DAS : OPÇÃO ARITMÉTICA (K=55), MÉDIA ARITMÉTICA E

PROBABILIDADE DE EXERCÍCIO DA OPÇÃO. NO MODELO BB AD COM 128

PASSOS.

Valores de Correlação para o Modelo BB AD com 128 passos

Passo da trajetória

Simula!E23 Aritmética / PV Call (Sim.1) Coef. De Correlação

Simula!C19 Média Aritmética / K=55 (Sim.1) Coef. De Correlação

Simula!H23 Aritmética / Prob Exerc (Sim.1) Coef. De Correlação

128 / Z 0,852 0,856 0,566

64 / Z 0,415 0,418 0,293

96 / Z 0,154 0,156 0,105

32 / Z 0,143 0,145 0,099

48 / Z 0,056 0,056 0,044

112 / Z 0,055 0,056 0,050

80 / Z 0,047 0,047 0,030

16 / Z 0,045 0,045 0,031

120 / Z 0,022 0,022 0,020

42 / Z 0,020 0,021 0,016

12 / Z 0,019 0,019 0,020

40 / Z 0,016 0,016 0,018

104 / Z 0,016 0,016 0,009

28 / Z 0,015 0,015 0,011

116 / Z 0,015 0,016 0,009

24 / Z 0,015 0,015 0,010

103 / Z 0,014 0,015 0,012

43 / Z 0,014 0,014 0,013

124 / Z 0,014 0,014 0,016

92 / Z 0,014 0,014 0,006

97 / Z 0,014 0,014 0,010

52 / Z 0,014 0,014 0,012

72 / Z 0,013 0,012 0,002

8 / Z 0,012 0,012 0,012

61 / Z 0,012 0,013 0,009

70 / Z 0,012 0,012 0,006

74 / Z 0,012 0,012 0,011

74

63 / Z 0,012 0,012 0,007

88 / Z 0,011 0,011 0,010

68 / Z 0,011 0,011 0,009

73 / Z 0,011 0,011 0,002

21 / Z 0,010 0,011 0,002

84 / Z 0,010 0,010 0,006

85 / Z 0,010 0,010 0,010

6 / Z 0,009 0,009 0,002

125 / Z 0,009 0,009 0,015

111 / Z 0,009 0,009 0,007

60 / Z 0,008 0,007 0,005

91 / Z 0,008 0,008 0,005

94 / Z 0,007 0,008 0,006

119 / Z 0,007 0,007 - 0,001

99 / Z 0,007 0,007 0,006

127 / Z 0,007 0,007 - 0,012

51 / Z 0,007 0,007 0,006

5 / Z 0,007 0,008 0,010

35 / Z 0,007 0,007 0,008

56 / Z 0,006 0,007 0,008

27 / Z 0,006 0,006 - 0,002

93 / Z 0,006 0,007 0,000

79 / Z 0,006 0,006 0,005

30 / Z 0,006 0,006 0,002

50 / Z 0,006 0,006 - 0,001

98 / Z 0,006 0,005 0,003

33 / Z 0,006 0,005 - 0,003

2 / Z 0,006 0,005 0,006

55 / Z 0,006 0,005 0,003

46 / Z 0,006 0,007 0,004

83 / Z 0,005 0,005 0,005

95 / Z 0,005 0,005 - 0,003

36 / Z 0,005 0,005 - 0,008

78 / Z 0,005 0,004 0,003

113 / Z 0,004 0,004 0,010

76 / Z 0,004 0,004 - 0,004

66 / Z 0,004 0,004 - 0,005

108 / Z 0,004 0,004 0,002

123 / Z 0,004 0,004 0,014

110 / Z 0,004 0,004 0,007

118 / Z 0,004 0,004 0,000

18 / Z 0,004 0,004 - 0,002

45 / Z 0,003 0,004 0,007

100 / Z 0,003 0,003 0,005

29 / Z 0,003 0,003 - 0,001

75

7 / Z 0,003 0,002 - 0,004

86 / Z 0,002 0,002 0,006

109 / Z 0,002 0,002 0,002

75 / Z 0,002 0,002 0,010

62 / Z 0,002 0,002 - 0,012

34 / Z 0,001 0,001 0,003

115 / Z 0,001 0,002 0,000

53 / Z 0,001 0,000 - 0,001

57 / Z 0,001 0,000 - 0,003

87 / Z 0,001 0,001 0,011

20 / Z 0,000 0,001 0,006

3 / Z 0,000 - 0,001 - 0,002

67 / Z - 0,000 - 0,000 0,001

41 / Z - 0,001 - 0,000 0,002

101 / Z - 0,001 - 0,001 - 0,001

11 / Z - 0,001 - 0,001 0,006

105 / Z - 0,002 - 0,001 - 0,005

89 / Z - 0,002 - 0,002 0,006

1 / Z - 0,002 - 0,002 - 0,011

4 / Z - 0,002 - 0,003 - 0,002

114 / Z - 0,002 - 0,002 - 0,003

23 / Z - 0,002 - 0,002 0,000

77 / Z - 0,002 - 0,002 0,003

26 / Z - 0,002 - 0,002 0,008

54 / Z - 0,003 - 0,002 0,007

44 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,000

71 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,005

107 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,005

59 / Z - 0,003 - 0,004 - 0,004

31 / Z - 0,004 - 0,003 0,001

13 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,006

122 / Z - 0,004 - 0,003 - 0,003

90 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,001

38 / Z - 0,004 - 0,004 0,001

17 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,012

25 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,002

58 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,006

49 / Z - 0,005 - 0,006 0,002

121 / Z - 0,005 - 0,005 - 0,007

82 / Z - 0,005 - 0,005 0,004

9 / Z - 0,005 - 0,005 - 0,003

37 / Z - 0,005 - 0,006 - 0,004

102 / Z - 0,006 - 0,006 - 0,004

126 / Z - 0,006 - 0,006 0,002

10 / Z - 0,007 - 0,006 0,004

76

69 / Z - 0,008 - 0,008 - 0,006

15 / Z - 0,008 - 0,008 0,003

81 / Z - 0,008 - 0,008 - 0,002

14 / Z - 0,009 - 0,009 - 0,003

22 / Z - 0,009 - 0,009 0,001

19 / Z - 0,009 - 0,008 - 0,002

65 / Z - 0,009 - 0,009 - 0,009

39 / Z - 0,010 - 0,010 0,001

117 / Z - 0,011 - 0,011 - 0,008

47 / Z - 0,014 - 0,015 - 0,004

106 / Z - 0,018 - 0,018 - 0,016

9.3 – Resultado das Simulações para o valor de Correlação das : Opção Aritmética (k=55),

Média Aritmética e Probabilidade de Exercício da Opção. No Modelo Incr. AD com 128 passos.

Valores de Correlação para o Modelo Incr. AD com 128 passos

Passo da trajetória

Simula!E23 Aritmética / PV Call (Sim.1) Coef. De Correlação

Simula!C19 Média Aritmética / K=55 (Sim.1) Coef. De Correlação

Simula!H23 Aritmética / Prob Exerc (Sim.1) Coef. De Correlação

4 / Z 0,149 0,151 0,101

8 / Z 0,147 0,149 0,110

10 / Z 0,147 0,148 0,104

2 / Z 0,147 0,149 0,101

9 / Z 0,144 0,145 0,090

1 / Z 0,143 0,144 0,102

6 / Z 0,140 0,142 0,098

14 / Z 0,139 0,141 0,103

3 / Z 0,138 0,140 0,102

12 / Z 0,137 0,137 0,100

19 / Z 0,135 0,136 0,099

5 / Z 0,135 0,137 0,102

15 / Z 0,134 0,135 0,095

11 / Z 0,133 0,134 0,086

7 / Z 0,129 0,131 0,092

77

13 / Z 0,129 0,131 0,084

31 / Z 0,125 0,127 0,087

17 / Z 0,125 0,126 0,094

18 / Z 0,123 0,125 0,090

22 / Z 0,123 0,124 0,085

16 / Z 0,122 0,124 0,077

34 / Z 0,121 0,122 0,094

20 / Z 0,117 0,118 0,077

25 / Z 0,116 0,117 0,078

23 / Z 0,116 0,118 0,076

21 / Z 0,115 0,117 0,079

29 / Z 0,113 0,113 0,077

35 / Z 0,113 0,113 0,083

24 / Z 0,112 0,114 0,084

30 / Z 0,111 0,113 0,071

41 / Z 0,109 0,109 0,074

26 / Z 0,108 0,108 0,084

44 / Z 0,107 0,108 0,069

33 / Z 0,106 0,108 0,065

36 / Z 0,105 0,107 0,084

40 / Z 0,105 0,105 0,074

37 / Z 0,105 0,105 0,082

28 / Z 0,102 0,102 0,071

32 / Z 0,100 0,100 0,075

52 / Z 0,099 0,100 0,069

43 / Z 0,097 0,098 0,067

38 / Z 0,096 0,097 0,070

48 / Z 0,096 0,097 0,060

47 / Z 0,095 0,096 0,068

27 / Z 0,095 0,096 0,071

53 / Z 0,094 0,095 0,071

46 / Z 0,093 0,094 0,056

42 / Z 0,092 0,093 0,060

45 / Z 0,091 0,092 0,060

58 / Z 0,090 0,091 0,063

51 / Z 0,090 0,091 0,065

50 / Z 0,089 0,090 0,064

61 / Z 0,088 0,088 0,063

39 / Z 0,087 0,088 0,055

62 / Z 0,087 0,088 0,054

54 / Z 0,085 0,086 0,060

70 / Z 0,081 0,082 0,057

60 / Z 0,081 0,081 0,058

63 / Z 0,079 0,079 0,046

59 / Z 0,077 0,077 0,058

78

49 / Z 0,076 0,078 0,062

68 / Z 0,074 0,074 0,058

64 / Z 0,074 0,076 0,061

65 / Z 0,074 0,074 0,041

55 / Z 0,074 0,075 0,055

56 / Z 0,071 0,072 0,044

67 / Z 0,068 0,069 0,036

71 / Z 0,067 0,068 0,036

57 / Z 0,066 0,067 0,050

78 / Z 0,064 0,065 0,046

75 / Z 0,063 0,064 0,043

79 / Z 0,062 0,063 0,041

73 / Z 0,062 0,063 0,048

74 / Z 0,059 0,060 0,039

72 / Z 0,058 0,058 0,044

91 / Z 0,058 0,059 0,037

77 / Z 0,057 0,058 0,034

80 / Z 0,057 0,057 0,045

66 / Z 0,056 0,058 0,036

82 / Z 0,055 0,056 0,035

85 / Z 0,054 0,054 0,039

81 / Z 0,053 0,053 0,037

86 / Z 0,051 0,052 0,037

76 / Z 0,051 0,052 0,033

69 / Z 0,050 0,051 0,043

83 / Z 0,050 0,050 0,041

89 / Z 0,048 0,049 0,030

90 / Z 0,047 0,047 0,031

93 / Z 0,047 0,046 0,030

87 / Z 0,045 0,046 0,032

84 / Z 0,044 0,045 0,026

88 / Z 0,042 0,042 0,027

95 / Z 0,040 0,040 0,027

92 / Z 0,038 0,039 0,028

94 / Z 0,036 0,036 0,015

103 / Z 0,036 0,036 0,020

98 / Z 0,034 0,035 0,027

99 / Z 0,034 0,034 0,022

104 / Z 0,032 0,033 0,021

102 / Z 0,032 0,033 0,014

97 / Z 0,031 0,032 0,024

96 / Z 0,031 0,032 0,024

108 / Z 0,029 0,029 0,014

100 / Z 0,029 0,029 0,019

107 / Z 0,024 0,024 0,014

79

111 / Z 0,024 0,025 0,014

105 / Z 0,023 0,024 0,015

106 / Z 0,020 0,020 0,015

101 / Z 0,020 0,019 0,016

118 / Z 0,019 0,019 0,011

119 / Z 0,019 0,019 0,017

117 / Z 0,018 0,019 0,012

110 / Z 0,018 0,018 0,011

125 / Z 0,018 0,018 0,011

112 / Z 0,018 0,019 0,009

114 / Z 0,016 0,016 0,015

120 / Z 0,014 0,014 0,008

113 / Z 0,014 0,014 0,005

109 / Z 0,013 0,013 0,010

121 / Z 0,012 0,011 0,013

124 / Z 0,010 0,010 0,008

116 / Z 0,009 0,009 0,015

115 / Z 0,006 0,007 - 0,002

122 / Z 0,005 0,005 0,006

123 / Z 0,003 0,005 0,007

128 / Z 0,001 - 0,000 - 0,015

126 / Z - - 0,000 - 0,005

127 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,003

universidade federal do rio de janeiro · quadro 7: dimensões referentes aos cinco maiores valores...

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