3.6 Correlação e Densidade EspectralA correlação concentra-se em médias temporais e sinais de energia ou de potência.

Correlação de Sinais de Potência

Seja v(t) um sinal de potência, embora não necessariamente periódico.

A única hipótese que deve ser satisfeita é que possua uma potência média bem definida:

Média temporal

A operação de média temporal é interpretada de forma geral como

onde z(t) é uma função arbitrária do tempo.

Propriedades:

• Conjugado

• Delay

• Linearidade

Produto escalar

Se v(t) e w(t) são sinais de potência, a média v(t)w*(t) é chamado produto escalar de v(t) e w(t),sendo denotada por v(t),w(t) , ou, simplesmente v,w .

Propriedades:

• Existe um elemento nulo θ tal que

• Conjugado

• Multiplicação por escalares , α e β escalares

• Produto escalar de somas

O produto escalar é um número, possivelmente complexo, que serve como uma medida da similaridade entre dois sinais.

Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grandeSinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0

0, =θv

*,, vwwv =

wvwv ,*, αββα =

ywxwyvxvyxwv ,,,,, +++=++

Exemplo: Outra condição na qual v(t),w(t)=0 é“Quando as funções v(t) e w(t) reais possuem simetria oposta, isto é, quando uma é par e outra é ímpar.”

Prova:

Se v(−t) = v(t) e w(− t) = − w(t) , e, substituindo λ por −t na primeira integral dλ =−dt λ = ±Τ/2 → , vem :

#

+== −

∞→−

∞→dttwtvdttwtv

Tdwv

Twv

T

TT

T

TT

)(*)()(*)(1lim)(*)(1lim,2/

0

0

2/

2/

2/

λλλ

2/Tt =

0)(*)()(*)(1lim

)(*)()](*)[(1lim)(*)()(*)(1lim,

2/

0

2/

0

2/

0

0

2/

2/

0

0

2/

=

+−=

+−−=

+−−−=

∞→

−∞→∞→

dttwtvdttwtvT

dttwtvdttwtvT

dttwtvdttwtvT

wv

TT

T

T

TT

T

TT

Funções ortogonais vn(t) e vm(t) são tais que:

e assim:

ou seja, o produto escalar de funções ortogonais é nulo.

_______________________________________________________

=≠

=2

1constante,se

se0)()(

t

tmn KmnK

mndftvtv

=≠

=mnK

mnvv mn se

se0,

Desigualdade de Schwarz

Dadas as funções complexas v(t) e w(t) demonstra-se que:

a qual relaciona o produto escalar v(t),w(t) = v(t)w*(t) com as potências dos sinais, Pv e Pw.________________________________________________________Prova: Para provar a desigualdade emprega-se a função auxiliar

cuja potência média é:

o qual é sempre positivo (ver 3.6-1), e na qual foi usada a propriedade de linearidade (3.6-2c).

Da propriedade do conjugado (3.6-2a), se f=a* v(t)w*(t) , então, f*=a v*(t)w(t), e assim,f+f* = 2Re{f}, e portanto,

Pz

na qual aplicou-se (3.6-1) para as potências médias Pv e Pw, as quais são puramente reais.

continua...

__________________________________________________

Escolhendo-se arbitrariamente:

resulta:

Portanto,

a partir da qual se atinge a desigualdade de Schwarz:

____________________________A igualdade ocorre quando v(t) e w(t) são proporcionais (similares), v(t)=a w(t):

, (de 3.6-1), e

Por outro lado, se v(t) e w(t) forem ortogonais, então #

ww Ptwtv

aP

twtva

)()(**

)(*)(==

ww

www P

twtvP

Ptwtv

Ptwtv

Paa2

)(*)()()(*)(*)(* ==

0)(*)()(*)(

Re2)(*)(

222

≥−=

−−=w

vww

vz Ptwtv

PP

twtvP

twtvPP

)(*)(*)(**)()()( 22 twtwaatwatawtawtvPv ==== )(*)()( 2 twtwtwPw ==

wv PPtwtwtwtwaatwtwatwtwatwtwatwtawtwtv ===== )()(*)(*)(**)(*)(*)(*)()(*)()(*)()(*)(222

0)(*)(0)(*)(2

== twtvtwtv

Convolução cruzada de dois sinais de potência

A convolução cruzada é definida como um produto escalar com um segundo sinal, atrasado por τ em relação ao primeiro, ou, equivalentemente, de um primeiro adiantado por τ em relação ao segundo:

O deslocamento relativo τ é a variável independente, sendo que a variável t é eliminada durante ocálculo da média temporal.

Conclui-se que Rvw(τ) mede a similaridade entre v(t) e w(t−τ) como função de τ.A correlação cruzada é uma medida mais significativa que o produto escalar comum, desde que detecta similaridades ou diferenças com tempo deslocado, as quais seriam ignoradas no primeiro.

Propriedades:

•

que resulta da desigualdade de Schwarz.

•

a qual informa que: .)()( ττ wvvw RR ≠

Exemplo: Mostrar que

O teorema de Schwarz para potência estabelece que:

isto é:

ou explicitamente:

Assim a correlação será:

Como se sabe: e

então,

o que comprova o desejado. #

222)()()(*)( twtvtwtv ≤

2222 )()()(*)()( τττ −≤−= twtvtwtvRvw

22 )()( tvtv =

2222 )()()(*)()( twtvtwtvRvw ≤−= ττ

222 )()()( twtwtw =−=− ττ

∞

∞−∞→

∞

∞−∞→

∞

∞−∞→

×≤ dttwT

dttvT

dttwtvT TTT

222

)(1lim)(1lim)(*)(1lim

Função de autocorrelação

A autocorrelação é a correlação de um sinal consigo mesmo:

a qual proporciona alguma informação sobre a variação no tempo de v(t), pelo menos na média.

Se | Rv(τ) | é grande, infere-se que v(t−τ) é muito similar a v(t) para este valor de τ.Se | Rv(τ) | é pequeno, então, os sinais v(t) e v(t−τ) devem parecer muito diferentes entre si.

Propriedades:

•

•

as quais revelam que o valor máximo de Rv(τ) ocorre na origem e é igual à potência de sinal.

•informando-se que a autocorrelação tem simetria hermitiana.

Como se observa, se v(t) for real, então, Rv(τ) também é uma função real e par.

• Se v(t) for periódica, então, Rv(τ) terá a mesma periodicidade.

Exemplo: Mostrar que Rv(τ) é hermitiano.

Dado que , então

Como , então, .

Seja então

Substituindo t por λ+τ, ocorrem : dt = dλ, λ=t−τ, .

E então

Uma vez que no limite, quando T/2→±∞.

Portanto, se v(t) for real, o resultado da integral é real, e assim, .

Ou seja, Rv(τ) é real e par. #

dttvtvRT

Tv )(*)(lim)(

2/

2/

τττ

−= −

∞→dttvtvR

T

Tv )(*)(lim)(

2/

2/

τττ

+=− −

∞→

*2

*121 )*( zzzz +=+ dttfdttf

T

T

T

T

)(*)(2/

2/

*2/

2/

−−

=

dttvtvdttvtvdttvtvRT

TT

T

TT

T

TTv )()(*lim*)](*)([lim)(*)(lim)(

2/

2/

2/

2/

*2/

2/

* ττττ −=−=

−=

−∞→

−∞→

−∞→

τλ −±=±= 2/2/ TTt

)()()(*lim)()(*lim)(2/

2/

2/

2/

* τλλτλλλτλττ

τ−=+=+= −∞→

−

−−∞→ v

T

TT

T

TTv RdvvdvvR

2/2/ TT ±=−±= τλ

)()()(* τττ −== vvv RRR

Sinais descorrelacionados

Seja o sinal soma ou diferença a seguir:

Sua autocorrelação é dada por:

Trocando t’=t−τ t =t’+τ , e daí, usando (3.6-5), qual seja: ,

Se v(t) e w(t) são descorrelacionados para todo τ, então,

e daí:

Fazendo τ = 0, obtém-se:

na qual se informa que ocorre superposição da potência média para sinais descorrelacionados.

)(*)()(*)()(*)()(*)(

)](*)(*)][()([)(*)()(

ττττ

ττττ

−±−±−+−=

−±−±=−=

tvtwtwtvtwtwtvtv

twtvtwtvtztzRz

)()'(*)'()(*)( τττ wvRtvtwtvtw =+=−

Exemplo 3.6-1: Correlação de fasores e senoides.

Considere-se o seguinte produto escalar:

Usando (2.1-18):

e assim, para f =f1−f2, tem-se:

Aplicando o resultado aos sinais fasoriais:

e

onde Cv e Cw são constantes complexas,

Portanto, os fasores são descorrelacionados, a menos que tenham frequências idênticas.

πππωω

π 2])([2

21

2121

)(1lim Tff

Ttjtj sen

Tffee −

∞→

−

−=

continua...

_____________________________________________________Na autocorrelação, v(t) = w(t) Cv = Cw e ωv = ωw , e assim

No caso do sinal senoidal:

pode-se escrever que:

sendo e

para

Usando (3.6-9b):

com (3.6-11c): , e

resulta

Isto revela que Rz(τ) é real, par e periódico.

)()(2

)()()( 00

twtveeAtztjtj

+=+=+−+ φωφω

tjv

tjjtj eCeeAeAtv 000

22)( )( ωωφφω === + tj

vtjjtj eCeeAeAtw 000

22)( )( ωωφφω −−−+− ===

00* ,,

2ωωωωφ −==== wvw

jv CeAC

tjjvv

ov eAeCR ωτωτ2

2

2)(

== tjj

wwow eAeCR ωτωτ −

==

22

2)(

continua...

___________________________________________________

Valor máximo:

Sendo que este máximo ocorre quando ω0τ é um múltiplo de 2π rad ω0τmax = m2π

tal que,

Por outro lado, Rz(τ) = 0 para ω0τmax = mπ/2, ou seja, quando z(t ± τ) e z(t) estão em quadratura de fase.

Nota-se que o ângulo de fase φ não aparece em Rz(τ) devido ao efeito da média da correlação.

Isto significa que a função de autocorrelação não define univocamente um sinal. #

zz PAR ==2

)0(2

0max

2ω

πτ m=

)()]2cos[])2(cos[])(cos[)( 00

0max0max tzmtAmtAtAtz =±+=+±=+±=± πφωφω

πωφτωτ

Sinais de Energia

Como se sabe, a média de produtos de sinais de energia ao longo do tempo resulta zero.Neste caso, é mais significativo usar a energia total:

Desde que a operação de integração tem as mesmas propriedades matemáticas que a operação de média , todas as propriedades prévias de produto escalar e correlação se mantêm para o caso de sinais de energia, se a potência média for substituída pela energia total Ev.

_____________________________________________________________

∞

∞−dttz )(

)(tz

Exemplo: Produto escalar (medida da similaridade entre sinais).

O produto escalar para sinais de energia é dado por:

Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grandeSinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0

∞

∞−

= dttwtvwv )(*)(,

*

Exemplo: →

Ambos os sinais, f1 e f2, são reais.

Sinais variando em frequência muito distintas. Sinais de frequência próximas.

Existe pouca similaridade entre f1 e f2. Existe maior similaridade.

Área líquida pequena. Área líquida maior.

#

−

∞→=

2/

2/

)(*)(1lim,T

TT

dttwtvT

wv −

∞→=

2/

2/

*2121 )()(1lim,

T

TT

dttftfT

ff

*

Exemplo de sinais onde v,w=0.

a) Quando v(t) e w(t) não são sobrepostos (disjuntos) no tempo.

b) Quando V(f) e W(f) são disjuntos em frequência.

Isto pode ser percebido pelo teorema de Rayleigh: #

v(t)

w(t)t1 t2 t

t3 t4 t

0)(*00)()(*)(4

3

2

1

=+=∞

∞−

t

t

t

t

dttwdttvdttwtv

0)(*)()(*)( == ∞

∞−

∞

∞−

dffWfVdttwtv

Correlação de Sinais de Energia

De forma similar, as funções de correlação para sinais de energia são definidas como:

Desigualdade de Schwarz:

Por similaridade com (3.6-a):

se obtém:

_____________________________________Um exame detalhado de (3.614a) revela que a correlação de sinal de energia é um tipo de convolução, pois, para z=w*(t) e t=λ,

e portanto,

Da mesma forma,

)(*)( ττ zv==)(τvwR

)(**)()( τττ −= vvRv

Relações adicionais em termos da transformada de Fourier V(f)=ℑ{v(t)}

Das relações (2.2-16),

e (2.2-17):

observa-se que (3.6-14a)

conduz a:

A partir daí, tem-se:

Então, combinado com (3.6-15):

para τ =0, ocorre

e daí:

a desigualdade de Schwarz no domínio da frequência (igualdade para V(f) e W(f) proporcionais).

∞

∞−

−∞

∞−

=−= dtefWfVdttwtvR fjvw

τπττ 2)(*)()(*)()(

∞

∞−

−∞

∞−

=−= dtefVfVdttvtvR fjv

τπττ 2)(*)()(*)()(

)0()0()0( 2wvwvvw RREER =≤

∞

∞−

Λ=−ΠΠ= )()(*)()( τττ dtttRx

)(2)(*2)()(*)()( ττττ Λ=−ΠΠ=−= ∞

∞−

∞

∞−

dtttdttytxRxy

Reconhecimento de padrões:

Se a correlação cruzada de objetos A e B é similar à autocorrelação de A, então, B é assumido casado com A.___________________________________________Exemplo: a autocorrelação de x(t)=Π(t) pode ser encontrada realizando a correlação gráfica em (3.6-14a),

e (3.6-14b)

como: (verificar isto)

Examinando a similaridade de y(t)=2Π(t) com x(t), encontra-se a correlação cruzada:

donde se conclui que Rxy(τ) é apenas uma versão escalonada de Rx(τ).Portanto, y(t) se casa com x(t).Contudo, tomando a correlação cruzada de z(t)=u(t) com x(t)=Π(t),

resulta: (verificar isto)

donde se conclui que z(t)= não se casa com x(t). #

∞

∞−

−Π= dttutRxz )(*)()( ττ

Análise de sistemas no domínio τ

Um sinal x(t) com autocorrelação Rx(τ) é aplicado a um SLIT com resposta impulsiva h(t).

O sinal de saída será:

A função de correlação cruzada entre a entrada e a saída é:

e a função de autocorrelação da saída é:

Substituindo (3.6-18) em (3.6-19),

Observe-se que as relações no domínio τ são convoluções, similares àquelas no domínio do tempo.___________________________________Prova: (próxima página)

continua...

Prova: Considere-se que x(t) e y(t) sejam sinais de potência (embora os resultados também se apliquem a sinais de energia).

Hipótese: o sistema é estável [assegura-se que y(t) será o mesmo tipo de sinal que x(t)].

Considera-se, primeiramente, a correlação cruzada (3.6-5): .

Substituindo a integral de convolução h(t)*x(t) para y(t)

e intercambiando a ordem das operações:

Como para qualquer λ, então:

Portanto,

a qual corresponde a prova da primeira parte:

)(*)()( ττ −= txtyRyx

)(*)()()(*)](*)([)( τλλλττ −

−=−=

∞

∞−

txdtxhtxtxthRyx

)()( λ+= tztz↓ ↓

´)(´)(*)(( ττ xRtxtx =−= τ´

continua...

Por outro lado, de (3.6-7):

Como:

trocando μ = −λ dμ=−dλ ,

e assim,

Portanto,

a qual corresponde a segunda parte da prova. #

)](*)(*)[()(*)()(*)()( txthtytytytytyRy ττττ +=+=−=

λλτττλλττ dtxtythdtxtythRy ∞

∞−

∞

∞−

−−+−=−+= )(*)()(*)(*)()(*)(↓ ↓

)(´)(´)(*)()]([*)()(*)( τλττλτλτ +==−=+−=−− yxyx RRtxtytxtytxty

τ´

∞→±∞→ μλ

μμτμτ dRhR yxy −∞

∞

−−−= )()(*)(

Função Densidade Espectral

Dado um sinal de potência ou energia v(t), sua função densidade espectral Gv(f) representa a distribuição de potência ou energia no domínio da frequência. Na seção 2.2, esta função foi designada por |V(f)|2, eportanto, Gv(f) = |V(f)|2.A área sob Gv(f) representa a potência ou energia total:

Se x(t) é a entrada de um SLIT com H(f)=ℑ{h(t)}, então, as funções densidades espectrais de entrada e saída estão relacionadas por:

desde que |H(f)|2 é o ganho de potência ou energia para qualquer f.Estas relações são combinadas em:

a qual expressa a potência ou energia de saída Ry(0) em termos da densidade espectral de entrada.

Se |H(f)|2 for interpretado como um filtro passa baixa estreito atuando sobe um canal arbitrário Gx(f):

Se Δf é suficientemente pequeno, a área sob Gy(f) será:

Conclui-se que para qualquer frequência f=fc, Gx(f) se iguala à potência ou energia de sinal porunidade de frequência.

Pode-se mostrar ainda que qualquer função densidade espectral deve ser real e não negativa para todos os valores de f.

})({)( 21 fVRv−ℑ=τ

2)( fV=

Teorema de Wiener-Khintchine

O teorema de Wiener-Khintchine estabelece a seguinte relação entre a autocorrelação e a TF:

sendo a TF com τ substituindo t. _________________________________________________________________________________________________________________________________________

Prova: se v(t) é um sinal de energia com , aplicando-se (3.6.16),

e (3.6-23a)

obtém-se que:

Fazendo μ=−τ dμ=−dτ

Portanto, ______________________________________________________________________________________________________________

Por outro lado, a TFI será:

Portanto, tem-se o par de TF:

ou seja, a TF da autocorrelação corresponde a distribuição espectral de potência ou energia.

{.}τℑ

2)()( fVfGv =

)}({)( tvfV ℑ=

*

22 )()(*)}(*{

−=−=−ℑ −

∞

∞−

−∞

∞− τττττ τπτπ

τ devdevv fjfj

∞→±∞→ μτ

)(*)()()}(*{

*

2

*

2 fVdevdevv fjfj =

=

−=−ℑ −

∞

∞−

−∞−

∞+ μμμμτ μπμπ

τ

= )(*)()( fVfVfGv

Propriedade: se v(t) for real, Gv(f) é real.

Prova: pelo teorema de Wiener-Khintchine, tem-se:

Como Rv(τ) é real e par, então

par ímpar ímpar real !!c.q.d. #

_______________________________________________Sendo v(t) um sinal de potência periódico com expansão em série de Fourier:

a aplicação do teorema de Wiener-Khintchine para sinal de potência fornece a densidade espectral depotência ou espectro de potência:

Usando (2.5-14b):

se obtém:

ou então:

(mostrar esta última passagem)

ττ τπ deRfG fjvv

2)()( −∞

∞−=

ττπτττπττπτττπτπτ dfRdfjdfRdfjfRfG vvvv 2cos)(2sen2cos)(]2sen2[cos)()( ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=−=−=

2)( fV=

2

00 )()()( ∞

−∞=

−=n

v nfnnfcfG δ

continua...

__________________________________________________Outra forma de demonstração:

Sabe-se que, se , então, a autocorrelação resulta: .

Além disso, é descorrelacionado com v(t) se n≠ m (relação 3.6-11b).

Desta forma, devido a linearidade, tem-se:

e assim, aplicando a TF a cada parcela (2.5-12),

o teorema de Wiener-Khintchine:

e o princípio de superposição, resulta:

provando-se o desejado. #______________________________________________________________________________

Este espectro de potência consiste de impulsos representando a potência média do fasor |c(nf0)|2 ,concentrada em cada frequência harmônica f=nf0.

tjnn

neAtv ω=)( τωτ njnvn eAR 2)( =

tjmm

meAtv ω=)(

tnfj

nv enfcfR 022

0 )()( π∞

−∞=

=

Substituindo (3.6-25b) em (3.6-20)

resulta:

Recordando (2.5-8):

obtém-se

correspondente ao teorema de Parseval.

∞

−∞=

∞

∞−

∞

−∞=

∞

∞−

−=−=nn

v dfnffnfcdfnffnfcR )()()()()0( 02

002

0 δδ

∞

−∞=

==n

vv PnfcR2

0 )()0(

___________________________________________________

Correlação e teorema de Parseval

Seja z(t) um sinal senoidal:

Usando (3.6-12b):

E então, aplicando o teorema de Wiener-Khintchine:

Por outro lado, pode-se mostrar também que, se o teorema de Wiener-Khintchine for verdadeiro, i.e.,

então,

e

são satisfeitas._____________________________________________________________Prova da primeira parte: segue da TFI dada em (3.6-23b)

na qual, para τ = 0, resulta (3.6-20). #

Prova da segunda parte: usa-se a autocorrelação da saída (3.6-19b):

Como e

o teorema da convolução gera:

Então, se e resulta em (3.6-21). # )()]([ fGR yy =ℑ ττ )()]([ fGR xx =ℑ ττ

Exemplo 3.6-3: Densidade espectral de energia na saída de um SLIT

Seja x(t)=sinc 10t a entrada de um SLIT cuja resposta em frequência é:

A densidade espectral de energia em x(t) é obtida aplicando (3.6-24):

Como

ocorre

e assim

Aplicando (3.6-21):

Energias totais Ex e Ey:

)2/(2

)(2sinc)( WfWAfZWtAtz Π=↔=

)10/(101)(10sinc)( ffXttx Π=↔=

(somente a região onde as funções se superpõem)

continua...

Ou, alternativamente,

e assim:

Por outro lado,

Alternativamente,

e daí,

O espectro de saída será:

enquanto o sinal de saída:

#

τττ 10sinc101)]10/(

1001[)]([ 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR xx

101)0( == xx RE

ττ ττ 4sinc259)]4/(

1009[)]([)( 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR yy

259)0( == yy RE

Πℑ=ℑ= −−− 2211 )4/(

414

102)]([)( fjetfYty π

)2(4sinc56)( −= tty

Exemplo 3.6-4: Filtro comb (ou pente)

A resposta impulsiva é:

tal que

Desta forma:

O formato de |H(f)|2 justifica o nome do filtro (pente).

continua...

Se a densidade espectral de entrada for conhecida, a densidade e autocorrelação na saída podem ser obtidas por:

Se a autocorrelação de entrada for conhecida, também é possível se calcular Ry(τ) como (3.3-19b):

Calcula-se:

e daí:

Portanto, usando a propriedade:

resulta:

A potência ou energia de saída será então:

#

)(*)]()(*[1 τxRfHfH−ℑ= )(*])([)( 21 ττ τ xy RfHR −ℑ=

]2[])([ 22121 fTjfj eefH πτπττ

−−−− −ℑ=ℑ

)()(*)( dd tvtv =−τδτ

)()()0(2)0( TRTRRR xxxy −−−=