teoria espectral em espaços de hilbert
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Teoria Espectral em Espacos de Hilbert
Alex Farah Pereira
Departamento de AnaliseInstituto de Matematica e Estatıstica
Universidade Federal Fluminense
22 de setembro de 2016
Alex Farah Pereira Departamento de Analise - IME
Espacos Vetoriais de Dimensao Finita
Sejam V um espaco vetorial (real ou complexo) de dimensao finita eT : V −→ V um operador linear.
Proposicao
T e diagonalizavel se, e somente se, V admite uma base formada porautovetores de T . Neste caso, a matriz de T nesta base e uma matrizdiagonal.
Proposicao
Se V e um espaco euclidiano, entao T e auto-adjunto se, e somente se,existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T .
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Espacos Euclidianos
Seja E um espaco vetorial sobre K (real ou complexo). Um produtointerno em E e uma aplicacao
〈·, ·〉 : E × E −→ K
que satisfaz
(P1) 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉 ∀x1, x2, y ∈ E
(P2) 〈λx , y〉 = λ〈x , y〉 ∀x , y ∈ E , λ ∈ C(P3) 〈x , y〉 = 〈y , x〉 ∀x , y ∈ E
(P4) 〈x , x〉 > 0 ∀x 6= 0
O par (E , 〈·, ·〉) e chamado de espaco euclidiano.
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Exemplos
Exemplo 1
Rn e um espaco euclidiano com
〈x , y〉 =n∑
j=0
xjyj
onde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn.
Exemplo 2
Cn e um espaco euclidiano com
〈x , y〉 =n∑
j=0
xjyj
onde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn.
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Exemplos
Exemplo 3
`2 = {(xn)n ∈ C ;∑∞
n=0 |xn|2 <∞} e um espaco euclidiano com
〈x , y〉 =∞∑n=0
xjyj
onde x = (xn)n, y = (yn)n ∈ `2.
Exemplo 4
L2(X ,Σ, µ) e um espaco euclidiano com
〈f , g〉 =
∫X
f gdµ
onde f , g ∈ L2(X ,Σ, µ).
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Espacos Normados
Uma norma em E e uma funcao ‖ · ‖ : E −→ R que satisfaz
(N1) ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ E
(N2) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀x ∈ E ∀λ ∈ C(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x , y ∈ E
(N4) ‖x‖ = 0⇔ x = 0
O par (E , ‖ · ‖) e chamado de espaco normado.
Todo espaco euclidiano e um espaco normado!
‖x‖ =√〈x , x〉, ∀x ∈ E
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Espacos de Hilbert
Um espaco de Hilbert e um espaco de Banach com a norma induzidapelo produto interno. Os espacos
Rn;
Cn;
`2 = {(xn)n ∈ C ;∑∞
n=0 |xn|2 <∞};L2(X ,Σ, µ).
sao espacos de Hilbert com seus respectivos produtos internos.
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Ortogonalidade
Sejam E um espaco com produto interno e A um subconjunto de E .Denominamos o subconjunto
A⊥ = {y ∈ E ; 〈x , y〉 = 0 para todo x ∈ A}
de complemento ortogonal.
Teorema
Sejam H um espaco de Hilbert e M um subespaco fechado de H. Entao
(a) H = M ⊕M⊥(x ∈ H ⇔ x = p + q com p ∈ M e q ∈ M⊥);
(b) Os operadores P(x) = p e Q(x) = q sao projecoes (lineares,contınuos e P2 = P e Q2 = Q).
‖x − p‖ = dist(x ,M) = infy∈M‖x − y‖;
p e chamado de projecao ortogonal de x sobre M;
P e chamado de projecao ortogonal de H sobre M.
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Conjuntos Ortonormais
Seja E um espaco com produto interno. Um conjunto S ⊂ E e ditoortonormal quando para todos x , y ∈ S ,
〈x , y〉 =
{0, x 6= y ,1, x = y .
Um conjunto ortonormal S tal que S⊥ = {0} e chamado de sistemaortonormal completo.
Exemplos
A base canonica {e1, . . . , en} de Kn;
A base canonica {en ; n ∈ N} de `2.
Todo conjunto ortonormal em um espaco com produto interno elinearmente independente.
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Conjuntos Ortonormais
Proposicao
Sejam H um espaco de Hilbert e {x1, . . . , xn} um conjunto ortonomalfinito em H.
(a) Se M = [x1, . . . , xn] e x ∈ H, entao
‖x −n∑
i=1
〈x , xi 〉xi‖ = dist(x ,M).
(b) Para todo x ∈ H,∑n
i=1 |〈x , xi 〉|2 ≤ ‖x‖2.
Desigualdade de Bessel
Seja S = {xi ; i ∈ I} um conjunto ortonormal no espaco de Hilbert H.Entao, para todo x ∈ H, ∑
i∈J
|〈x , xi 〉|2 ≤ ‖x‖2,
onde J = {i ∈ I ; 〈x , xi 〉 6= 0}.Alex Farah Pereira Departamento de Analise - IME
Conjuntos Ortonormais
Teorema
Seja S = {xi ; i ∈ I} um conjunto ortonormal no espaco de Hilbert H. Asseguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) Para cada x ∈ H, x =∑
i∈I 〈x , xi 〉xi .(b) S e um sistema ortonormal completo.
(c) [S ] = H.
(d) Para cada x ∈ H, ‖x‖2 =∑
i∈I |〈x , xi 〉|2. (Identidade de Parseval)
(e) Para todos x , y ∈ H, 〈x , y〉 =∑
i∈I 〈x , xi 〉〈y , xi 〉.
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Processo de Ortogonalizacao
Sejam E um espaco com produto interno e (xn)n uma sequencia devetores linearmente independentes em E .
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Existe uma sequencia ortonormal (en)n em E tal que para todo n ∈ N,
[x1, . . . , xn] = [e1, . . . , en].
Corolario
Existe uma sequencia ortonormal (en)n em E tal que
[xn ; n ∈ N] = [en ; n ∈ N].
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Processo de Ortogonalizacao
Teorema
Um espaco de Hilbert H de dimensao infinita e separavel se, e somentese, existe em H um sistema ortonormal completo enumeravel.
Teorema de Riesz-Fischer
Todo espaco de Hilbert separavel de dimensao infinita e isometricamenteisomorfo a `2.
Teorema
Todo espaco de Hilbert contem sistemas ortonormais completos.
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Teoria Espectral
Sejam V um espaco vetorial e T : V −→ V um operador linear.
λ ∈ K e um autovalor deT ⇔ existe x ∈ V ,v 6= 0; T (x) = λx ;
Vλ = {x ∈ V ; T (x) = λx} e dito autoespaco associado aoautovalor λ.
Sabemos que quando V tem dimensao finita:
λ e autovalor deT ⇔ ker(T − λI ) 6= {0} ⇔ T − λI nao e injetora
⇔ T − λI nao e bijetora⇔ (T − λI )−1 nao existe
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Espectro de Operadores Contınuos
Sejam E um espaco normado e T ∈ L(E ,E ).
λ nao e autovalor ⇒ (T − λI )−1 e linear e injetora
(T − λI ) e sobrejetora? (T − λI )−1 e contınua?
λ e um valor regular de T quando (T − λI ) e bijetora e sua inversae contınua.
ρ(T ) e o conjunto dos valores regulares de T chamado de conjuntoresolvente de T .
σ(T ) = K− ρ(T ) e chamado de espectro de T .
E um espaco de Banach ⇒ ρ(T ) = {λ ∈ K ; (T − λI ) e bijetora}
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Espectro de Operadores Contınuos
Exemplo
O operador T ∈ L(`2, `2) definido por
T ((an)n) = (0, a1, a2, . . .)
para todo (an)n ∈ `2 nao possui autovalores. Alem disso, T e injetoraporem nao e bijetora. Portanto 0 ∈ σ(T ) e nao e autovalor.
Teorema
Sejam E um espaco de Banach e T ∈ L(E ,E ). Entao o espectro de T eum compacto de K. Alem disso,
σ(T ) ⊂ {λ ∈ K ; |λ| ≤ ‖T‖}.
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Operadores Compactos
Um operador T : E −→ F entre espacos normados e dito compactoquando satisfaz uma (e, portanto, todas) das afirmacoes a seguir:
T (BE ) e compacto em F ;
T (A) e compacto em F para todo limitado A em E ;
Para toda sequencia limitada (xn)n em E , a sequencia (T (xn))n temsubsequencia convergente em F .
Operadores Integrais sao compactos!K : [a, b]× [c , d ] −→ C uma funcao contınua e T : C [a, b] −→ C [c , d ]definido por
T (f )(t) =
∫ b
a
K (s, t)f (s) ds
para todo t ∈ [c , d ]. K e chamada de nucleo do operador integral T .
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Teoria Espectral de Operadores Compactos
Proposicao
Sejam E um espaco de Banach, T : E −→ E um operador compacto eλ 6= 0. Entao
(a) Vλ = ker(T − λI ) tem dimensao finita.
(b) (T − λI )(E ) e fechado em E .
(c) (T − λI ) e injetora se, e somente se, e sobrejetora.
Teorema Espectral para Operadores Compactos
O espectro de um operador compacto T : E −→ E em um espaco deBanach E e enumeravel, podendo ser finito, e o unico ponto deacumulacao possıvel e o zero.
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Operadores Autoadjuntos
Sejam H um espaco de Hilbert (complexo) e T ∈ L(H,H). Dizemos T eautoadjunto quando satisfaz
〈T (x), y〉 = 〈x ,T (y)〉
para todos x , y ∈ H.
Proposicao
Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador autoadjunto.Entao
‖T‖ = sup{|〈T (x), x〉| ; ‖x‖ = 1}.
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Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos
Proposicao
Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador autoadjunto.Entao:
(a) Os autovalores de T sao numeros reais.
(b) Se λ e µ sao autovalores distintos de T , entao Vλ ⊥ Vµ.
Teorema
Seja H um espaco de Hilbert. O espectro σ(T ) de um operadorautoadjunto T ∈ L(H,H) e real.
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Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos
Proposicao
Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador nao-nulo,compacto e autoadjunto. Entao ‖T‖ ou −‖T‖ e um autovalor de Tassociado ao qual existe um autovetor x ∈ H tal que ‖x‖ = 1 e|〈T (x), x〉| = ‖T‖.
Corolario
Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operado compacto eautoadjunto. Entao:
(a) σ(T ) 6= ∅.(b) Se σ(T ) = {0}, entao T = 0.
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Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos
Decomposicao Espectral de Operadores Compactos e Autoadjuntos
Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H,H) um operador compacto eautoadjunto. Entao H admite um sistema ortonormal completo formadopor autovetores de T . Mais ainda, existem sequencias (finitas ouinfinitas) de autovalores (λn)n de T e de vetores (vn)n tais que cada vn eautovetor associado a λn e
T (x) =∑n
λn〈x , vn〉vn.
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Referencias
Bibliografia
G. Botelho, D. Pellegrino & E. Teixeira, Fundamentos de AnaliseFuncional, Textos Universitarios, SBM, 2012
J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Graduate texts inmathematics 96, Springer, 1990.
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