ESTATÍSTICA ESPACIAL

Fenômeno natural aspecto estrutural (determinístico)

aspecto errático (estocástico)

Estatística clássica variáveis aleatórias: lei das probabilidades valores independentes sem continuidade espacial Estatística espacial valores associados à localização no espaço e/ou no

tempo distribuição contínua dos pontos amostrados

Análise espacial de dados geológicos

Procedimentos estatísticos: organizar e resumir dados para que inferências significativas possam ser feitas com relação à fenômenos de interesse

Procedimentos geológicos: estudo das relações espaciais e temporais entre corpos rochosos

Geologia: fenômenos no tempo e no espaço

Natureza dos dados geológicos

qualitativos: tipo de rocha mineralogia elementos estruturais grau de alteração cor do solo...

quantitativos: teor de elementos maior e/ou traço propriedades físicas de rochas espessura de camadas medidas geofísicas cubagem de jazidas...

Estatística espacial e interpolação

Interpolação: procedimento matemático de ajuste de uma função à pontos não amostrados, baseando-se em valores obtidos em pontos amostrados.

reticulado: valores discretas definição do reticulado, espaçamento e origem reticulagem estimando o valor de cada nó por

seleção de pontos próximos com valores conhecidos

filtragem dos valores dos nós de modo a suavizar os contornos resultantes e permitir o melhor ajuste com os valores originais

Produto final: Mapas (modelo digital)

Campo de validade da interpolação

interpretação: correlação geológica estrutura geológica limites de propriedades classes de reservas minerais, etc.

quantificação: poligono englobando o conjunto de

dados

Métodos de interpolação

Funções globais: consideram todos os pontos da área; permite interpolar o valor da função em qualquer ponto dentro do domínio dos dados originais; a adição ou remoção de um valor tem conseqüências no domínio de definição da função

Funções locais: definidas para porções do mapa; alteração de um valor afeta localmente os pontos próximos ao mesmo

Escolhendo um método de interpolação

Um método é "melhor" do que outro?

Quão fiel aos dados originais é o resultado obtido?

A superfície estimada representa uma solução plausível?

O resultado é esteticamente agradável?

O interpolador ideal

superfície interpolada ajusta-se aos dados a um determinado nível de precisão; é fiel aos dados dentro de um limite arbitrário definido pelo usuário

superfície interpolada é contínua e suave em todos os locais; tem um gradiente finito em todo local onde a interpolação for necessária

cada valor interpolado depende apenas do subgrupo local de dados, e os membros deste subgrupo são determinados somente pela configuração dos dados que, de algum modo, são próximos ao ponto interpolado

método de interpolação pode ser aplicado à todas as

configurações e padrões de densidade dos dados.

Métodos de estimativa para modelagem de superfícies TRIANGULAÇÃO: conecta pontos

amostrados através de triângulos e interpola os valores entre eles; são considerados métodos de estimativa diretos, pois os contornos derivam do padrão original dos dados; não permite extrapolação, as estimativas limitam-se estritamente à área amostrada.

RETICULAÇÃO (GRIDDING): estabelece uma grade regular (grid) sobre a área estudada e calcula os valores nos nós do reticulado com base nos valores dos pontos adjacentes já amostrados; são considerados métodos de estimativa indiretos, uma vez que os contornos são construídos a partir dos dados estimados para os nós da grade e não a partir dos dados originais; permite tanto a interpolação quanto a extrapolação de valores

um algoritmo matemático é utilizado para ajustar uma superfície através dos dados estimados para os nós; há um grande número de algoritmos

Estimativa do reticulado

Fornecidos “n” valores conhecidos, regularmente distribuídos ou não,

Z1, Z2,..., Zn,o valor Z* a ser interpolado para qualquer nó da rede será igual a

Z* = ΣpiZi

Diferença entre métodos: maneira como os Zi são escolhidos e os respectivos pesos “pi” são calculados e aplicados durante a reticulagem.

Algorítmos para interpolação

inverso do quadrado da distância

curvatura mínimavizinho mais próximoregressão polinomialkrigagem

Modelos

Modelagem da variabilidade espacial de dados por superfícies e procedimentos de interpolação:

Modelos determinísticos com efeitos locais: inverso do quadrado da distância

Modelos determinísticos com efeitos globais: superfícies de tendência

Modelos estatísticos com efeitos locais e globais: krigagem

Estimativa do reticulado

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

Distribuição de pontos

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Reticulação (gridding)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

° pontos com valores conhecidos (estimadores)° pontos com valores a serem interpolados

Inverso do quadrado da distância (IQD)

Ponto X Y U3O8 Distância 1/D (1/D)2

A 4.150 2.340 ? 00.00 1 4.170 2.332 400 21.54 0.0464 0.0021 2 4.200 2.340 380 48.47 0.0206 0.0004 3 4.160 2.370 450 29.08 0.0344 0.0012 4 4.150 2.310 280 28.00 0.0357 0.0013 5 4.080 2.340 320 66.77 0.0150 0.0002

0150003570034400206004640

3200150028003570450034403800206040004640

.....

)x.()x.()x.()x.()x.(A

15210

6756

15210

804001048158375618

.

,

.

.....A

A = 372.58

0002000130001200004000210

3200002028000130450001203800004040000210

.....

)x.()x.()x.()x.()x.(A

00520

060360540150840

.

.....A

A = 375.00

Exemplo

12 3

4

5

7

6

910

11

13

12

1615

14

17

20

21

22

18

19

23

2624

29

25

27

30

31

28

3233

34

35

37

44

43

36

41

42 45

38

39

40

46

52 53

51

47

54

4849 50

55 56

8

Pontos georreferenciados

865 840 835 870

832 825850

840 840 788

790830 850

859860

830

845815

850

891850

825

850

880 850 840

845

880 829862

850

892 870

840

867

870843

873

850 801891 880850

845

860

895

870872

850

802

850

905 869 879 860 810

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tabela xyz ID x y z 1 0 0 865 2 48 0 840 3 102.85 0 835 4 168.5 0 870 5 59.9 8.2 832 6 83.1 7.1 825 7 55.5 13.55 850 8 86.65 19.5 840 9 141 17 840 10 168 19 788 11 145.5 30 790 12 127.5 33 830 13 139.5 34 850 14 0 48.5 859 15 66 51.5 860 16 115.5 46.5 830 17 11 60.5 845 …….

Inverso do quadrado da distância

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

785790795800805810815820825830835840845850855860865870875880885890895900905910

Curvatura mínima

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

710720730740750760770780790800810820830840850860870880890900910920930940950

Vizinho mais próximo

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

785790795800805810815820825830835840845850855860865870875880885890895900905910

Regressão polinomial: grau 1