universidade federal do recÔncavo da bahia plano nacional de formaÇÃo de ... · 2014-11-07 ·...
TRANSCRIPT
0
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DO ENSINO BÁSICO-
PARFOR
CURSO DE LINCENCIATURA EM MATEMÁTICA
PATRÍCIA NASCIMENTO DA CONCEIÇÃO
A ANÁLISE DO ERRO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: UM
ESTUDO COM ESTUDANTES DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
CRUZ DAS ALMAS
2013
1
PATRÍCIA NASCIMENTO DA CONCEIÇÃO
A ANÁLISE DO ERRO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: UM
ESTUDO COM ESTUDANTES DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada à Banca Examinadora da
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia,
como exigência parcial para obtenção do título de
Licenciada em Matemática, sob a orientação da
Profª. Shirley Conceição S. da Costa.
CRUZ DAS ALMAS
2013
2
PATRÍCIA NASCIMENTO DA CONCEIÇÃO
A ANÁLISE DO ERRO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: UM
ESTUDO COM ESTUDANTES DO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Aprovado em _____/_____/_______
Banca Examinadora
Profª. Shirley Conceição S. da Costa
Orientadora
Profº. Jaylson Teixeira
Avaliador
Profª. Daniela da Silva Rocha
Avaliadora
3
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Monografia por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ________________________________ Local e Data: ____________________________
4
DEDICATÓRIA
Dedico esse trabalho ao nosso pai celestial que
é Deus e a minha família, por todo apoio nos
momentos fáceis e difíceis da minha
caminhada, pelo incentivo e confiança que
depositaram em mim.
5
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, que pela vontade dele, trilhei essa longa caminhada.
A minha mãe Dalva e ao meu pai Everaldo, que me compreenderam e pela perseverança e
dedicação com que conduziram minha educação.
Aos meus irmãos Cristiane e Everton, pelo apoio e amor sempre recebidos.
Aos meus amigos e colegas de classe e demais formandos pela amizade e companheirismo
que recebi.
Aos meus professores e a minha orientadora Shirley, pela oportunidade, orientação e
incentivo.
Enfim, a todos aqueles que colaboram direta ou indiretamente para que este trabalho
acontecesse. Àqueles que acreditaram em mim, muito obrigada!
6
“O professor não ensina, mas arranja modos de
a própria criança descobrir. Cria situações-
problemas.”
(Jean Piaget)
7
RESUMO
Esta pesquisa analisou o erro do aluno no ensino de matemática, contemplando uma incursão
acerca dos estudos realizados sobre o erro no cotidiano escolar, sobretudo, aquele produzido
pelo aluno no processo da aprendizagem nas atividades das aulas de matemática, perpassando,
brevemente, pela sua forma de avaliação. Tendo por objetivo principal ―compreender como os
erros na resolução de problemas matemáticos são tratados pelos professores e entendidos
pelos estudantes no 6º ano do Ensino Fundamental‖. A re-significação dos erros dos alunos,
direcionando-os a uma dimensão positiva poderá auxiliar a orientação da prática docente,
além de possibilitar a reorganização do planejamento escolar. Para tal se faz necessário
responder questões como: Como lidar com os erros dos alunos do 6º ano do Ensino
Fundamental II nas estratégias utilizadas na resolução de problemas? Como os alunos do 6º
ano interpretam seus próprios erros na resolução de problemas matemáticos envolvendo as
quatro operações? Para entender as causas das dificuldades dos alunos ao resolver problemas
matemáticos foi realizada uma pesquisa de campo com abordagem qualitativa, que buscou
apurar opiniões dos entrevistados, através de instrumentos estruturados como questionário,
entrevista e observação dos alunos selecionados e do professor responsável. Sendo está
pesquisa dividida em cinco capítulos, enfocando a concepção do erro e da resolução de
problemas e, abordando a relação entre desenvolvimento e aprendizagem. Por fim, esta
pesquisa me fez chegar a conclusão de que o erro não deve ser ignorado, mas sim, verificado
e avaliado para saber como está acontecendo a evolução da aprendizagem dos estudantes.
Palavras - chave: Ensino de Matemática; Avaliação; Erros; Resolução de Problemas.
8
SUMÁRIO
1 DESCRIÇÃO DA PESQUISA......................................................................................... 9
1.1 Introdução....................................................................................................................... 9
1.2 Metodologia.................................................................................................................... 11
2 UMA ABORDAGEM SOBRE O ERRO.......................................................................... 14
2.1 Erro: avaliar ou abnegar?................................................................................................ 14
2.2 O papel do erro no ensino de matemática....................................................................... 16
2.3 A construção da aprendizagem a partir do erro.............................................................. 19
2.4 A interpretação do erro em matemática no ensino fundamental.................................... 21
3 UM ESTUDO SOBRE O ERRO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS....................... 23
3.1 A resolução de problemas como foco da matemática escolar........................................ 23
3.2 O erro como estratégia didática na resolução de problemas........................................... 25
3.3 O erro na resolução de problemas envolvendo as operações básicas da matemática..... 28
4 O USO DO ERRO NO COTIDIANO ESCOLAR............................................................ 31
4.1 Coleta dos dados............................................................................................................. 31
4.1.1 Campo da pesquisa................................................................................................ 31
4.1.2 Sujeitos da pesquisa............................................................................................... 32
4.2 Instrumentos da pesquisa................................................................................................ 32
4.2.1 Os questionários..................................................................................................... 33
4.2.2 A observação.......................................................................................................... 34
4.2.3 As entrevistas......................................................................................................... 35
4.3 Análise e discussão......................................................................................................... 35
4.3.1 Das respostas dos alunos com relação ao questionário investigativo.................... 35
4.3.2 Do questionário sobre a resolução de problemas com as quatro operações.......... 36
4.3.3 Da observação feita em uma aula de matemática.................................................. 39
4.3.4 Da entrevista feita com os alunos.......................................................................... 39
4.3.5 Da entrevista feita com o professor de matemática............................................... 40
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................ 41
REFERÊNCIAS.................................................................................................................... 43
ANEXO 1: Questionário Investigativo
ANEXO 2: Questionário com Problemas Matemáticos Envolvendo as Quatro Operações
ANEXO 3: Roteiro para Entrevista (estudantes)
ANEXO 4: Roteiro para Entrevista (professor de matemática)
9
1 DESCRIÇÃO DA PESQUISA
1.1 Introdução
A presente pesquisa analisou o erro do aluno no ensino de matemática, contemplando
uma incursão acerca dos estudos realizados sobre o erro no cotidiano escolar, sobretudo,
aquele produzido pelo aluno no processo da aprendizagem nas atividades das aulas de
Matemática, perpassando, brevemente, pela sua forma de avaliação.
Foi acompanhada uma turma do 6º ano do ensino fundamental II e o professor de
matemática da Escola ―Luz Divina‖ de denominação fictícia para a preservação de seu nome,
localizada na cidade de Cachoeira - Bahia. A escolha pela turma se deu pelo fato da mesma
ser composta por alunos que embora tenham cursado o Ensino Fundamental I na mesma
escola ou na escola em anexo, apresentam dificuldades de aprendizagem. Assim, é grande a
reprovação, ficando a unidade escolar impossibilitada de formar turma para o 7º ano.
Constantemente em nosso dia a dia utilizamos as quatro operações com números
naturais, pois somamos, subtraímos, multiplicamos e/ou dividimos. E em várias situações nos
deparamos com problemas matemáticos. Porém um fato comum hoje em dia nas escolas é a
grande dificuldade que muitos alunos encontram para resolver problemas matemáticos.
Para entender as causas dessas dificuldades foi realizada uma pesquisa de abordagem
qualitativa, que buscou apurar opiniões dos entrevistados, através de instrumentos
estruturados como questionário, entrevista e observação dos alunos selecionados e do
professor responsável. Os dados coletados permitiram uma análise reflexiva que resultou em
algumas conclusões que serão apresentadas no presente trabalho.
Para tal se faz necessário responder questões como: Como lidar com os erros dos
alunos do 6º ano do Ensino Fundamental II nas estratégias utilizadas na resolução de
problemas? Como os alunos do 6º ano interpretam seus próprios erros na resolução de
problemas matemáticos envolvendo as quatro operações?
Para atender as questões estabelecidas nesta pesquisa, buscou-se perseguir o seguinte
objetivo geral: Compreender como os erros na resolução de problemas matemáticos são
tratados pelos professores e entendidos pelos estudantes no 6º ano do Ensino Fundamental.
E também foram delimitados os seguintes objetivos específicos: oportunizar através do
erro uma revisão de conceitos e estratégias de solução nas situações problemas; desenvolver a
10
resolução de problemas matemáticos através das quatro operações básicas da matemática; e
levar os alunos a questionarem suas próprias soluções.
A pesquisa proposta abordou a re-significação dos erros dos alunos, direcionando-os a
uma dimensão positiva que poderá auxiliar a orientação da prática docente e, até mesmo, da
formação continuada do professor, além de possibilitar a reorganização do planejamento
escolar.
Para os alunos do 6º ano o erro na resolução de problemas matemáticos torna-se mais
frequente à medida que os mesmos mudam de turma, de escola, além de haver mudanças na
organização das disciplinas, professores e no regimento escolar. Tais mudanças têm como
principal causa o fato de que na Educação Infantil ao Ensino Fundamental I, há somente um
professor responsável para atender a todas as necessidades da turma, criando assim uma maior
aproximação nas relações escolares entre o professor e o aluno.
Ao entrar no 6º ano os alunos precisam se desvincular das relações de dependência
estabelecidas no decorrer dos anos anteriores, no momento em que irão se deparar com vários
professores e não mais somente um professor. Porém, essa fase de transição não é trabalhada
pela escola, nem pelo professor, tornando-se uma fase complexa de adaptação que traz
consequências negativas para os estudantes.
Uma das consequências enfrentadas pelos estudantes é o modo como seus erros são
tratados pelo professor de Matemática, ou seja, os erros são apenas indicados, mas não são
tratados ou reorientados. Assim, concebe-se que os erros em Matemática podem ser
importantes nas metodologias de ensino e de pesquisa, além de permitir ao professor perceber
como se dá a apropriação do saber pelos estudantes, sendo mais bem observado no cotidiano
da aprendizagem escolar.
Pinto (2004, p.130) afirma que ―a análise de erros, enquanto meio, possibilita que os
erros sejam explorados e compreendidos a partir de suas origens, fornecendo valiosos
subsídios para o professor planejar a partir de uma pedagogia diferenciada ações pertinentes à
evolução do processo‖.
Dessa forma, essa pesquisa é importante, pois permite ao professor conhecer as
dificuldades dos alunos, e assim utilizar métodos pedagógicos que venham a trabalhar com os
erros de uma forma aprofundada para um melhor desenvolvimento de aprendizagem. O erro
possui uma diversidade de conceitos, que podem ser de inclusão, construção ou de uma
doutrina de idéias de incompetência do outro.
Na realização deste trabalho foram utilizados como referenciais teóricos: Aquino
(1997), Azenha (apud Emília Ferreiro, 1994), Cury (1988), (2007) e (2008), Demo (2001),
11
Esteban (1992), Huete e Bravo (2006), Pinto (1998) e (2000), Polya (1997), Souza (1997),
Sfard (1991), entre outros. Autores esses que abordam em suas idéias a questão da
importância de se analisar o erro e também da relação do erro com a resolução de problemas
matemáticos no ensino fundamental.
Sendo então, a monografia subdividida em cinco capítulos, como: O primeiro capítulo
deste trabalho – Descrição da pesquisa – descreve onde será realizada a pesquisa, com quem,
qual contexto será abordado, qual o motivo dessa abordagem e quais etapas serão estruturadas
para tal realização.
O segundo capítulo – Uma abordagem sobre o erro – traz um breve questionamento
sobre o que se deve fazer com o erro do aluno, avaliar ou abnegar? Além de relatar
informações do papel do erro e de como se dar o processo de construção da aprendizagem a
partir do erro. E o terceiro capítulo - Um estudo sobre o erro e a resolução de problemas – traz
fundamentações teóricas que discutem a idéia de se trabalhar o erro do aluno como ação
didática usada na resolução de problemas matemáticos.
Já o quarto capítulo – O uso do erro no cotidiano escolar – retrata a coleta dos dados,
informando o local da investigação, quais sujeitos foram selecionados e que instrumentos
foram utilizados para tal coleta, além da análise dos dados, na qual é feita a verificação e
análise de todos os resultados obtidos. E o quinto e último capítulo – Considerações finais –
apresenta toda a minha conclusão com relação a toda realização da pesquisa.
1. 2 Metodologia
A pesquisa sobre ―A análise do erro na resolução de problemas matemáticos: um
estudo com estudantes do 6º ano do ensino fundamental.‖, foi uma pesquisa de campo, a qual
designou um estudo feito de maneira direta, em conjunto com as fontes informativas
pesquisadas.
Segundo Munhoz (1989, p. 84) ―A pesquisa de campo tem por objetivo a coleta de
elementos não disponíveis, que ordenadas sistematicamente (...) possibilitem o conhecimento
de uma determinada situação, hipótese ou norma de procedimento‖, ou seja, a pesquisa de
campo tem por finalidade a constatação da veracidade ou não de uma situação que decide-se
estudar, através da coleta de dados.
De acordo com Peter Spink (2003) o campo de pesquisa é entendido como um lugar
em que o pesquisador se desloca para coletar dados, fazer seus estudos sobre determinado
12
assunto, para assim poder analisar e chegar as suas conclusões. O que para o mesmo autor
esta prática está relacionada à perspectiva de que:
[...] a pesquisa de campo se referia à observação e à interação com as pessoas 'no seu
habitat natural', no lugar específico da ação fora das paredes do laboratório. Era um
campo que existia num ―lugar‖ e quando o pesquisador não estava ―no lugar‖,
também não estava ―no campo‖. O ―campo‖ portanto era onde o pesquisador ia para
fazer seus estudos. (SPINK, 2003, p. 21)
A pesquisa abrangeu cinco alunos do 6º ano do Ensino Fundamental II, que estavam
com dificuldades de aprendizagem em matemática, além do professor regente da disciplina
especificada da turma. Sendo esta, procedente à observação de fatos e fenômenos exatamente
como ocorrem no real, à coleta de dados referentes aos mesmos e, finalmente, à análise e
interpretação desses dados, com base numa fundamentação teórica consistente, objetivando
compreender e explicar o problema pesquisado.
Dar-se-á, também, através de uma abordagem qualitativa, sendo que esta teve caráter
exploratório, isto é, estimulando os entrevistados a pensarem livremente sobre algum tema,
objeto ou conceito, levando em conta a complexidade da realidade social. De acordo com
Chizzotti (2006), ―O termo qualitativo implica uma partilha densa com pessoas, fatos e locais
que constituem objetos de pesquisa, para extrair desse convívio os significados visíveis e
latentes que somente são perceptíveis a uma atenção sensível‖.
Foram utilizados três tipos de instrumentos para a coleta de dados dessa pesquisa,
sendo eles: questionários, entrevistas e observação da turma. Instrumentos esses que visam
promover um melhor entendimento do erro escolar tanto por parte do aluno, como por parte
do professor.
Os questionários foram compostos cada um com quatro questões do tipo abertas às
quais exigiram respostas diferentes de um simples sim ou não, permitindo assim, uma melhor
percepção sobre atitudes e preferências do respondente. A linguagem utilizada nos
questionários foi simples e direta para que o respondente compreendesse com clareza o que
estava sendo perguntado. O questionário, conforme Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 116), ―é
um dos instrumentos mais tradicionais de coleta de informações‖.
Já as entrevistas foram estruturadas mediantes questionários com perguntas
previamente formuladas e organizadas. Conforme Gil (1999, p. 117) ―entrevista é uma forma
de interação social. Mais especificamente, é uma forma de diálogo assimétrico, em que uma
das partes busca coletar dados e a outra se apresenta como fonte de informação‖.
E a observação foi feita numa turma especificada, na aula de matemática, onde ocorreu
a obtenção dos fatos e análise dos dados não contemplados nos questionários e entrevistas.
13
Para a utilização desse método é necessário planejá-la quanto à forma de observar e quais
aspectos devem ser levados em consideração em tal momento e, o registro de todos os fatos
observados.
Marconi e Lakatos (2003, p. 190) definem observação como: ―uma técnica de coleta
de dados para conseguir informações e utiliza os sentidos na obtenção de determinados
aspectos da realidade. Não consiste apenas em ver e ouvir, mas também em examinar fatos ou
fenômenos que se desejam estudar‖.
A fim de que sejam alcançados os objetivos do projeto de pesquisa, foi trabalhado, no
primeiro momento, um questionário investigativo, visando conhecer as argumentações dos
alunos referentes ao conhecimento matemático, e a sua significação para o cotidiano dos
estudantes.
No segundo momento, aplicado pela professora de matemática outro questionário com
problemas matemáticos a serem resolvidos pelos estudantes, oportunizando ao mesmo expor
claramente seu raciocínio, e assim verificar a apropriação dos conceitos matemáticos, as
dificuldades na resolução dos problemas, as estratégias utilizadas pelos alunos para chegar aos
resultados tendo em vista o desenvolvimento da autonomia, os erros cometidos.
No terceiro momento, ocorreu a observação do aluno em aula, para entender quais
caminhos e ações usaram no momento que o professor regente ministrava a aula e apresentava
suas propostas metodológicas em sala de aula, registrando os dados à medida que os fatos
ocorriam.
No quarto momento, foi feita a análise e discussão das respostas referentes ao
questionário investigativo e o questionário com problemas matemáticos, onde o professor
mostrou qual o erro cometido pelo aluno, não criticando a solução apresentada ao enunciado
do problema, mas sim, fazendo o registro das sugestões de correção apresentadas durante a
discussão.
No quinto e último momento, fez-se uma entrevista com os alunos com cinco
perguntas e outra com o professor de matemática da turma com seis perguntas, a fim de
identificar o que eles entendem sobre o erro e sobre a resolução de problemas matemáticos,
além de saber qual o grau de importância que é dada a tais assuntos. Foram questionamentos
feitos oralmente para a consolidação do objetivo estabelecido.
14
2 UMA ABORDAGEM SOBRE O ERRO
2.1 Erro: avaliar ou abnegar?
A prática do professor em sala de aula pode provocar nos alunos diversas reações
referentes à execução dos exercícios escolares. No entanto, o educando tem apresentado
frequentemente alguns erros na realização das atividades ministradas pelo educador, de
acordo com este fato o professor deveria adotar qual postura: avaliar ou abnegar?
De fato, quando o individuo é exposto a situações de prazer, a busca de crescimento
torna-se maior, sendo capaz de criar utilidades para satisfazer as necessidades, já quando há
situações de frustrações, o sujeito deixar de produzir, tornando-se incapaz de criar o que será
de próprio benefício.
Alguns educadores baseiam-se na idéia de que seu papel é o de meramente corrigir os
erros feitos pelos educandos. Entretanto, a atitude em relação à correção dos erros na
aprendizagem torna-se a intervenção mais preocupante para os educadores, deixando-os
inseguros com relação à escolha das estratégias que seriam mais adequadas.
O erro não pode ser visto como uma falha, mas como um desafio que levará a novas
descobertas. A correção de muitas vezes abnegada passar a ser avaliada, oportunizando no
aluno a auto avaliação, passando a conhecer a si mesmo e permeando a reconstrução de suas
hipóteses, de pensamentos e de procedimentos.
Avaliar o erro do aluno não é tarefa fácil, é complexa e exigi cautela no momento da
avaliação, para de fato servir de instrumento norteador de aprendizagem qualitativa, aquela
que se refere a natureza do objeto e não a sua quantidade. Dessa forma, avaliação deve ser
entendida como:
A avaliação é uma das atividades que ocorre dentro de um processo pedagógico.
Este processo inclui outras ações que implicam na própria formulação dos objetivos
da ação educativa, na definição de seus conteúdos e métodos, entre outros. A
avaliação, portanto, sendo parte de um processo maior, deve ser usada tanto no
sentido de um acompanhamento do desenvolvimento do estudante, como no sentido
de uma apreciação final sobre o que este estudante pôde obter em um determinado
período, sempre com vistas a planejar ações educativas futuras. (FERNANDES;
FREITAS, 2007, p. 47)
Azenha (apud Emília Ferreiro, 1994) explicita que ―diante do ‗erro‘ observado nas
realizações da criança, o interesse construtivista não é apontá-lo, mas estudá-lo, descobrir suas
razões.‖ Entende-se que ao abnegar o erro, o professor inibe as futuras aprendizagens
15
significativas do educando, deixando o aluno predestinado a cometê-lo. Muitas vezes é
preciso errar para acertar e, essa ponte de ligação entre o erro e acerto que faz com que o
educando construa seu conhecimento de forma reflexiva.
O aprendizado humano é um processo que envolver o cometer erros. Os erros são
parte da aquisição de uma habilidade, já que aprender qualquer coisa é um processo é
construído a partir dos erros. O ideal é usar o erro como forma de avaliação que irá promover
um feedback do aprendizado dos alunos, para assim, verificar e analisar quais tentativas
deverão ser feitas, a fim de que se consiga o resultado desejado.
Perrenoud (2000) proclama que ―todos tenham direito de errar para evoluir. Ninguém
aprende sem errar. Errando, reflete-se mais sobre o problema e sobre as ações usadas para
resolvê-lo.‖ E segundo Demo (2001, p.50) ―o erro não é um corpo estranho, uma falha na
aprendizagem. Ele é essencial, faz parte do processo‖.
Com o auxilio do professor, o individuo conseguirá realizar suas atividades, através da
identificação do que ocasionou tal erro, possibilitando então, uma outra maneira de avaliar a
construção do conhecimento do aluno, como nos refere à autora Esteban (1992):
A preocupação com o ―erro‖ é retirada da sala de aula, sendo substituída pela
incorporação do conhecimento em sua dimensão processual, dinâmica e criadora.
Reorganizando a atividade escolar, a oscilação entre o não saber e o saber, com a
mediação do ainda não saber, faz da aprendizagem um processo de fortalecimento
do sujeito, que se percebe como potencialidade capaz de superar os limites impostos
pelo desconhecido. (ESTEBAN, 1992, p. 84)
Para os autores através da análise dos erros, pode-se determinar as dificuldades
apresentadas pelos aprendizes na disciplina estudada. Nesta perspectiva, avaliar é
compreender as razões e conhecimentos que estão na base das respostas dos alunos, além de,
considerar a avaliação como uma estratégia para uma aprendizagem altamente significativa,
de forma a possibilitar a continuidade do processo de aprendizagem para além da área, ciclo
ou nível de ensino.
Como afirma Santos Guerra (1996) o importante é potenciar na avaliação o
diagnóstico e a compreensão e, diminuir a comparação e a descriminação. Avaliar não é
classificar, envolve o levantamento de informações sobre a aprendizagem dos alunos que
devem ser analisadas, considerando os critérios e objetivos do plano de ensino, e inclui
também o processo de tomada de decisões.
A questão da avaliação está vinculada a questão do erro, e do castigo no âmbito
escolar. A avaliação da aprendizagem passou a servir de suporte para a tomada de culpa e
16
decisão de castigo, esquecendo de ser vista como fonte de decisão dos caminhos a serem
percorridos para a busca da autocompreensão, do entendimento individual e participativo.
Pinto (1998) diferencia muito bem dois procedimentos dentro do contexto do erro:
Numa avaliação classificatória, em que o foco de atenção está voltado para o
acerto da resposta, o erro, por não ser utilizado como instrumento de
reflexão, provavelmente, não será valorizado pelo professor. Em outra
concepção de avaliação, preocupada mais com a formação do aluno em
termos de aprendizagem significativas e duradouras, o erro deixa de ser
apenas uma resposta a ser analisada; passa a ser uma questão desafiadora que
o aluno coloca ao professor, portanto, um elemento desencadeador de um
amplo questionamento do ensino. Nesse paradigma de avaliação formativa,
ao invés de uma avaliação, apenas de resultados, que enfatiza os fracassos e a
ausência de aprendizagem pelo aluno, o erro dirige o olhar do professor para
o contexto e processo do conhecimento a ser construído. Avalia-se menos
para punir e mais para formar. (PINTO, 1998, p. 10)
Se for entendido como indicador diagnóstico, o erro estará relacionado à avaliação
formativa, pois essa acompanha e verifica o alcance dos objetivos estabelecidos, identificando
as reais dificuldades dos alunos, porém se for entendido como punição, estará atrelado à
avaliação classificatória, já que essa, prioriza apenas a verificação da quantidade de
informações que os alunos assimilaram, classificando-os em escalas de notas ou de conceitos
tratados como se fossem notas.
De acordo com Bodin (apud Buriasco, 2000, p. 11), é possível que se lide com o erro
em quatro instâncias: os erros de saber onde o aluno não sabe uma definição, uma regra, um
algoritmo, etc; e os erros de saber-fazer em que o aluno não sabe utilizar corretamente uma
técnica, um algoritmo, etc.
Já nos erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer,
por exemplo, o aluno não reconhece que a utilização da relação de Pitágoras seria adequada
para a resolução de certo problema. E por último os erros de lógica ou de raciocínio onde o
aluno confunde hipótese e conclusão, encadeia mal os cálculos, tem dificuldade em lidar com
os diferentes dados do problema proposto.
2.2 O papel do erro no ensino de matemática
A grande maioria dos professores de matemática vê o erro como algo desnecessário, já
que é muito desconcertante analisar a questão do erro, pois, este está entrelaçado com o
fracasso escolar, sendo assim associado ao ―fraco‖ desempenho do educador em sala de aula.
17
Sobre esse ponto de vista Mello (1985, p. 95), faz a seguinte consideração: ―Dado o
envolvimento afetivo que o professor acaba tendo com sua prática profissional, é inevitável
que o fracasso de seus alunos acabe por atingi-lo em sua auto-imagem, colocando em questão
sua própria competência.‖
Conforme Souza (1997, p. 129) ―...dificuldades de aprendizagem ou erros cometidos
pelos alunos são informações que, usualmente, resultam em apreciações negativas por parte
do professor,interpretados não como evidências do estágio do desenvolvimento do aluno, mas
com algo a ser evitado.‖
O educador tem que ser o mediador na construção do conhecimento dos educandos,
ensinando-lhes a arte de pensar e de serem mestres de sua inteligência. Conforme Sfard
(1991), o erro é abordado como um importante indicador didático-pedagógico para a
matemática escolar:
Os erros, antes de se reduzirem a uma simples manifestação de desconhecimento ou
de fracasso, podem ser entendidos como um indicador didático-pedagógico,
referindo-se simultaneamente ao aluno e ao saber a ensinar, o estudo dos erros é
peça fundamental no trabalho de planejamento das atividades de ensino escolar.
(SFARD, 1991, pág. 32)
Os autores enfatizam que o erro desempenha uma positiva e importante função, na
matemática escolar, fornecendo assim subsídios necessários para a elaboração do
planejamento e execução das atividades pedagógicas em sala de aula.
A postura que o professor adota frente a um erro do aluno, no seu processo de ensino
aprendizagem, denota em vários comportamentos. Se o professor adotar uma postura
agressiva frente ao erro do aluno, o educando se sentirá desanimado e desinteressado. Porém,
se o educador adotar uma postura paciente, o educando se sentirá motivado e com certeza seu
desenvolvimento educacional será maior.
Hoje, infelizmente, muitos professores usam o erro do aluno como meio de
reprovação, submetendo-os a um ensino que em vez de promover crescimento, tem se tornado
meio de atrofiação. No entanto, a fim de que a educação venha ser geradora de pensadores, é
necessário que se faça uma reavaliação da função do educador, tendo o erro como ponto de
partida para a construção do conhecimento.
O professor desempenha dois tipos de ações pedagógicas: uma se refere ao
planejamento, no qual se descreve toda situação de aprendizagem e se oferece condições para
que o aluno compreenda os conteúdos; a outra diz respeito à intervenção, na qual o educador
tem a responsabilidade de fazer as devidas correções no decorrer das atividades propostas,
18
além de saber lidar com situações imprevistas durante o processo de aprendizagem. Sendo
assim.
Quanto mais o aluno erra mais o professor é visto como não competente. De fato o
professor deve interessar-se pelos erros, aceitando-os como indispensáveis etapas do esforço
de compreender, proporcionando ao aprendiz uma tomada de consciência desses erros,
devendo começar o seu trabalho educacional, a partir do conhecimento prévio que o aluno
possui.
Segundo Moysés (2001, p.69) em seu relato diz que ―O educador tem que estar atento
para reconstruir o conhecimento a partir do erro. Ao descobrir algo errado no caderno, ele
deve levar o aluno a descobrir onde errou. Assim, estará demonstrando respeito pelo que o
aluno fez.‖
Através das situações erradas o professor pode perceber o grau de competência do
aluno, e assim, reelaborar a correção de forma desafiadora para suscitar o interesse do aluno,
fazendo com que o mesmo chegue pelos seus próprios meios à correção correta da situação
errada. Oportunizando ao educando saber o que errou e porque errou.
Macedo (1997, p.29) discorre sobre o papel construtivo dos erros dizendo que: ―...
quando se considera o processo, ignorar o ―erro‖ é supor que se pode acertar sempre ‗na
primeira vez‘; é eliminá-lo como parte, às vezes inevitável, da construção de um
conhecimento, seja de crianças, seja de adultos. Como processo, ‗errar‘ é construtivo.‖
Pensando assim o erro pode servir como informação na análise do que e como fez o
aluno para realizar a atividade proposta, constituindo então como mecanismo de aquisição de
conhecimentos. Entretanto, não basta entender o erro e não pensar em desenvolver
mecanismos para que o professor possa fazer a intervenção quando necessária.
Macedo ainda coloca que a evolução do aluno em relação à superação do ―erro‖, passa
por três níveis:
[...] o primeiro caracteriza-se pela impossibilidade de resolver a situação [...] no
segundo é capaz de solucionar o problema de maneira empírica, sendo que o erro só
é percebido após ter sido cometido [...] o terceiro tem como característica a
possibilidade da solução do problema, ou seja, o erro torna-se antecipável.
(MACEDO, 1997, p.41)
A correção dos erros na perspectiva contemporânea é definir novas estratégias para a
ação pedagógica, promover a cooperação e o respeito pelas individualidades. O educador
deve ter um olhar especial ao avaliar o erro de seus alunos, compreendendo os erros dos
educandos como processo de construção da aprendizagem.
19
2.3 A construção da aprendizagem a partir do erro
A questão do erro na prática escolar está articulada com a questão da avaliação da
aprendizagem. Esta à medida que foi se desvinculando da efetiva realidade da aprendizagem,
tornou-se um instrumento de ameaça e disciplinador da personalidade do educando. No
entanto, o erro envolve, a priori, três enfoques:
[...] a) enfoque epistemológico, pois o erro pressupõe concepções sobre a adaptação
do conhecimento à realidade e a sua constituição; b) enfoque psicológico, uma vez
que se refere ao significado das ações envolvidas, à interpretação das correções e a
valorização dada ao erro e ao conhecimento matemático pelos alunos; c) enfoque
pedagógico, relacionado a atitudes assumidas pelo docente diante do erro e das
estratégias usadas para superá-los. (CASÁVOLA et al, 1988)
A avaliação deveria servir de suporte para a qualificação daquilo que acontece com o
educando, de decisão sobre os caminhos do crescimento sadio e feliz. Reconhecendo a origem
e a constituição de um erro, pode-se superá-lo. Por exemplo, o professor pode tentar verificar
juntamente com o aluno como ele cometeu o erro, e reorientar seu entendimento e sua prática.
O erro não deve ser fonte de castigo, pois é um suporte para a autocompreensão, seja
pela busca individual, quando me pergunto o que e porque errei, ou, seja pela busca
participativa, quando há uma discussão professor – aluno apontando-lhe os desvios
cometidos.
O ato de avaliar faz-se presente em qualquer metodologia utilizada. Cada pedagogia
tem um modelo de avaliação que, às vezes, não é compreendido na sua essência devido à
superficialidade com que é estudado. A avaliação diagnóstica é um instrumento para auxiliar
professor e aluno no desenvolvimento da aprendizagem, sendo o ―erro‖ é compreendido como
articulador de novos saberes.
Nessa reflexão, o erro é visto e compreendido de forma dinâmica, na medida em que
possibilita uma nova conduta em conformidade com o padrão, isto é, é visto como um
caminho para o avanço, já que o não sucesso numa resolução mal sucedida é um indicador de
que ainda não se chegou a solução necessária, ou seja, a medida que se busca à solução bem
sucedida, encaminhasse para um novo salto.
Atualmente a tendência nos meios educacionais é conceber o erro como indicador para
o redimensionamento do planejamento curricular, dos métodos e estratégias. O entendimento
de que o erro pode resultar de vários fatores, envolvendo escola, o currículo, a pratica
educativa do professor e o esforço dos alunos tem levado os educadores a uma nova
concepção do processo de avaliação.
20
O erro nessa perspectiva é visto por Aquino (1997, p.12) que a "a aprendizagem não
começa com a ignorância, mas com o erro", isto é, para esse autor a aprendizagem só começa
a partir do erro, já que é através deste que vai reestruturar suas idéias que se tinha sobre
determinado conhecimento.
A avaliação mediadora baseia-se no dialogo do professor com o aluno de forma que as
práticas sejam repensadas e que se necessário venha ter modificações de acordo com a
realidade sócio cultural de seus alunos, nessa perspectiva o erro é considerado como parte
eficaz na construção do conhecimento, criando então, situações desafiadoras que tornem
capaz a reflexão.
Não basta ao professor ter o total domínio dos conteúdos matemáticos, mas,
sobretudo, ter um profundo conhecimento daquele a quem se deseja ajudar a construir o saber
e ter o domínio das várias e inúmeras possibilidades metodológicas de transpor tal saber ao
aluno.
A professora Maria Cecília de Oliveira Micotti (1999, p. 164) diz que: ―[...] A
renovação do ensino não consiste, apenas, em mudança de atitude do professor diante do
saber científico, mas, ainda e especialmente, diante do conhecimento do aluno: é preciso
compreender como ele compreende, constrói e organiza o conhecimento.‖
De fato, o erro pode contribuir positivamente para o processo de ensino e
aprendizagem, desde que tenha como proposta a mudança da atitude de condenação do aluno
como único culpado pelo erro. Os erros cometidos pelos alunos devem ser vistos como
expressão do caráter incompleto de seus conhecimentos e constituem uma oportunidade para
o professor ajudá-los a adquirir o conhecimento que lhes falta ou levá-los a reconhecerem por
que erraram.
Para La Taille (1997, p. 36-37) ―não basta o aluno ficar sabendo que errou! Ele deve
ter acesso à qualidade de seu erro‖. Mas ―tornar o erro um observável nem sempre é fácil e
pede muita criatividade pedagógica por parte dos professores‖, ou seja, é preciso que o
professor mostre ao aluno em qual momento ele errou, fazendo-o com que verifique como se
deu a compreensão do seu aprendizado.
A análise das respostas pode ser enfocada como metodologia de ensino, a qual deveria
ser um dos componentes dos planejamentos dos docentes, não sendo apenas um fato isolado
na prática do professor. Nesse sentido, o erro quase sempre foi tratado como um fracasso e
por isso conduzido a punições. A cultura do erro enquanto fracasso, tem aos poucos, perdido
espaço para a cultura que o admite como elemento auxiliador da construção do conhecimento.
21
2.4 A interpretação do erro em matemática no ensino fundamental
Para que seja realizada a mediação pedagógica no ensino de matemática, é necessário
que o professor investigue quais as estratégias utilizadas pelos alunos para o seu entendimento
sobre determinados conceitos matemáticos – por meio de explicitação oral, gráfica ou escrita,
e assim, realizarem as intervenções adequadas que promovam a aprendizagem com reflexão.
Nota-se que a matemática é vista como uma disciplina que revela grandes
dificuldades, tanto para os alunos, como para os professores no processo ensino-
aprendizagem. De um lado, está a incompreensão por parte dos alunos com relação aos
assuntos abordados em sala de aula, e do outro, o professor que não consegue trabalhar com
os erros dos alunos, para assim, através desse enfoque, conseguir alcançar os resultados
objetivados.
Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira como se
interpreta e como se abordam os conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as
finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade
de situações de aprendizagem.
Sendo que, através dos resultados obtidos pelos instrumentos de avaliação, os
professores verificam quais competências foram alcançadas e como devem ser consideradas,
permitindo por meio de tais verificações a reorganização das atividades pedagógicas de forma
satisfatória. O papel da Matemática no ensino fundamental é apresentado nos PCN‘s1 como
primordial.
[...] na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na
agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações
da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de
conhecimentos em outras áreas curriculares. (BRASIL, 1997, p. 29)
Na aprendizagem escolar o erro é inevitável, mas que pode ser visto por parte dos
alunos como algo inaceitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para
buscar o acerto. Quando o aluno ainda não sabe como acertar, faz tentativas à sua maneira,
construindo uma lógica própria para encontrar a solução.
O papel que o professor desempenha nas etapas do desenvolvimento do educando é de
extrema importância, como relata Drouet (1995, p.12): ―Na escola, o professor deve estar
sempre atento às etapas do desenvolvimento do aluno, colocando-se na posição de facilitador
da aprendizagem e calcando seu trabalho no respeito mútuo, na confiança e no afeto‖.
1 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
22
Muitos professores preferem não aderir a análise das respostas dos alunos como forma
de avaliação, esquecendo-se de que a aprendizagem, os erros e as dúvidas dos estudantes
servem como auxílio para que o ensino aconteça de forma compreensiva. Por isso Hoffmann
(2006) afirma que:
Se valorizarmos os ‗erros‘ dos alunos, considerando-os essenciais para o ‗vir a ser‘
do processo educativo, temos de assumir também a possibilidade das incertezas, das
dúvidas, dos questionamentos que possam ocorrer conosco a partir da análise das
respostas deles, favorecendo, então, a discussão sobre essas idéias novas ou
diferentes. (HOFFMANN, 2006, p. 53)
O ponto de vista de que os erros são processos que devem ser evitados como diz Cury
(1988, p. 33), está equivocado, uma vez que, os erros servem como suporte para a construção
do conhecimento e para o desenvolvimento da maturidade dos alunos. Hoffmann (2006, p.
56) evidencia que ―a postura do professor frente às alternativas de solução construídas pelos
alunos deveria estar necessariamente comprometida com tal concepção de erro construtivo‖.
De fato, para auxiliar o processo de construção de conhecimento é preciso verificar o
que está certo e o que está errado para uma melhor interpretação dos erros, investigar e refletir
sobre como e por que o erro aconteceu. É necessário que o professor esteja sempre apto a
reorganização e a troca de idéias com os alunos, deixando de pensar que o mesmo está sempre
correto.
Alguns educadores continuam valorizando mais os símbolos do que o pensar
matemático, não admitindo meio certo, além de não dar a menor atenção para a interpretação
dos educandos, quando o aluno não responde da mesma forma que o educador expôs.
Referente a isso, Cury (1988) argumenta que:
Cabe salientar que, quando o insucesso do aluno é punido pelo professor, reduz-se a
possibilidade de aproveitar o erro como fonte de informação sobre os processos
mentais ou como instrumento para explorar o conhecimento. O erro, desta forma,
deixa de exercer o papel fecundo na atividade intelectual. (CURY, 1988, p. 34)
É aconselhável que os educadores analisem todo o desenvolvimento do raciocínio dos
educandos, verificando se compreenderam o que a questão avaliava, já que muitos deles
erram apenas a resposta final, uma vez que quando o aluno fracassa é punido pelo professor
por tal insucesso. De fato, o erro do aluno é uma importante informação, no sentido de que
com ele pode-se investigar se ele está ou não entendendo o que está sendo ensinado.
23
3 UM ESTUDO SOBRE O ERRO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
3.1 A resolução de problemas como foco da matemática escolar
De acordo com as reformas curriculares propostas pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais, no final do século XVIII, a matemática entrou na escola como uma ciência
presente no cotidiano, mas currículos e livros didáticos favoreceram o distanciamento do
cotidiano de nossos alunos.
Devido ao fato das reformulações curriculares na matemática terem ganhado um
importante espaço no cotidiano escolar, desde o século XVIII seu objetivo principal era tornar
a matemática uma ciência para todos e não simplesmente para um grupo seleto. Sendo assim
os PCN‘s2 (1999, p.19) indicam que, ―a matemática precisa estar ao alcance de todos e a
democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente.‖
Nesta perspectiva, a resolução de problemas pode contemplar espaços de debate e
interação em sala de aula com possibilidades de abordagem de temas diversos que envolvem
os estudantes quando são contempladas situações do cotidiano na construção de saberes
matemáticos sugeridos desse ambiente.
Ensinar matemática por meio da resolução de problemas é uma forma de ensino que
ainda enfrenta muitas dificuldades que precisam ser superadas no contexto escolar, porém,
auxilia na compreensão do conceito e do processo matemático, em que o aluno é capaz de
relacionar uma determinada idéia matemática a outros contextos matemáticos. De acordo com
os PCN‘s3:
A prática mais frequente na Resolução de Problemas, consiste em ensinar um
conceito, um procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar
se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a maioria dos
alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com números do enunciado ou
aplicar algo que aprendam nas aulas. Desse modo o que o professor explora na
atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados,
técnicas e demonstrações. (BRASIL, 1998, p. 40).
Desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas como ponto de partida
fundamental da atividade Matemática são finalidades dos PCN‘s4, que visa construir
2 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
3 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
4 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
24
referências nacionais comuns ao processo educativo para que os alunos possam ter acesso ao
conjunto de conhecimentos necessários ao exercício da cidadania.
Segundo Andrade (1998), o ensino da resolução de problemas começou a ser
investigado de forma sistemática com a influência de George Polya, em seu livro ―How to
solve it‖, em 1945. Antes da década de 70, tinha-se a Resolução de Problemas como uma
mera aplicação de estratégia, centrada num exaustivo exercício de resolver problemas,
limitando-se apenas em desenvolver bons resolvedores de problemas.
Existe uma relação direta entre a resolução de problemas nas aulas de matemática e
nas outras partes da vida cotidiana. Lembrando que desde os tempos antigos até os dias atuais,
percebeu-se e percebesse que todo o processo do desenvolvimento em matemática é
proveniente de resoluções de problemas, sendo a maioria deles relacionados a problemas
surgidos no dia-a-dia. Portanto, Huete e Bravo (2006) diz que:
[...] A resolução de problemas tem a ver com a produção de conhecimentos
significativos para aquele que aprende. O conhecimento que se valoriza pela sua
significação não é o conhecimento transmitido, mas o conhecimento produzido por
quem está em situação de aprender. Assim, se a resolução de problemas deve ser o
lugar da produção do conhecimento, a tarefa de resolver problemas é uma tarefa
privilegiada para a aprendizagem. [...] (HUETE e BRAVO, 2006, p.118-119)
Todavia, a resolução de problemas é uma metodologia de ensino de Matemática que
propicia uma mobilização de saberes no sentido de buscar a solução. Nessa busca, o aluno
aprende a montar estratégias, raciocinar logicamente e verificar se sua estratégia foi válida, o
que colabora para um amadurecimento das estruturas cognitivas, estruturas essas que se
referem à capacidade de pensar sobre o pensar, isto é, capacidade de construir, exercendo um
pensamento capaz de determinar riscos e caminhos para que se alcance o resultado esperado.
Para Dante (1998), a resolução de um problema exige iniciativa e criatividade,
juntamente com o conhecimento de alguns métodos. Assim, com a interpretação dos
problemas, é possível encontrar uma solução e obter a ressignificação de conceitos que já
conhece, de acordo com os procedimentos de resolução utilizados.
Dante (1998) classifica os problemas em vários tipos: os exercícios de
reconhecimento em que o aluno reconhece um conceito; os exercícios de algoritmos
ocorrem pela execução de um algoritmo, reforçando conhecimentos anteriores; e os
problemas padrão que visa recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos das
quatro operações.
Já os problemas processo ou heurísticos carecem do aluno um pensamento
arquitetônico sobre um plano de ação; e os problemas de aplicação também chamados de
25
situações-problema, são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia; e por fim,
problemas de quebra-cabeça são os que constituem a chamada Matemática recreativa, e sua
solução depende da capacidade de perceber algum truque. A metodologia da resolução de
problemas busca no professor de matemática,
[...] incentivar as descobertas do aluno, a diversidade de estratégias utilizadas, a
exposição de dificuldades, a análise e verificação da solução, a criação de novos
problemas e a identificação do erro, para que através dele possa compreender melhor
o que deveria ter sido feito. (SOARES e PINTO, 2001, p.8)
Contudo, quando se ensina através de resolução de problemas, ajuda-se o aluno a
determinar quais maneiras procedimentais ele terá por si só para chegar a um determinado
fim, ao invés de ficar esperando a resposta pronta do professor, a qual será uma mera cópia e
não um esforço de pensamento reflexivo.
Por fim, o professor ser um mediador do processo ensino aprendizagem, procurando
oportunizar nos alunos a manifestação das idéias de seu pensamento, e assim, alcançar a
formação dos conceitos matemáticos, tudo isso só será possível se aluno for instigado a
compreender a matemática por meio do seu próprio raciocínio na resolução de problemas.
Como diz Vygotsky (1999, p. 101) a formação do conceito ocorre ―mediante uma
operação intelectual (dirigida pelo uso das palavras) em que todas as funções mentais
elementares participam de uma combinação específica‖, nesse sentido a construção dos
conceitos ocorre por meio da junção das funções intelectuais trabalhadas em conjunto e
harmonia.
3.2 O erro como estratégia didática na resolução de problemas
Em várias partes do mundo o erro está sendo objeto de análise em Educação
Matemática, segundo Ricco (1995, apud Pinto, Neuza Bertoni, 2000), pois os erros são
provenientes de estratégias pessoais incorporadas e adquiridas nos conhecimentos iniciais dos
alunos.
Diversas pesquisas vêm sendo realizadas por pesquisadores de todo o mundo, com o
objetivo de conhecer as causas dos erros, por meio das respostas dadas pelos alunos nas
atividades realizadas, sendo que a identificação desses erros funciona como subsídio para a
avaliação e planejamento de estratégias de ensino.
Como aborda Pinto (2000) a função do erro no processo ensino-aprendizagem é o de
possibilitar a construção do conhecimento de maneira significativa e agradável. Ao utilizar o
26
erro como estratégia didática na resolução de problemas cria-se possibilidades para que
quando os alunos se deparem com algo novo, seja dada mais importância para o método da
investigação de que para a obtenção da resposta.
Por esse motivo, Cury (2007) apresenta que os erros dos alunos em matemática podem
ser incluídos nas metodologias de ensino, além de permitir que o professor conheça sobre
como se dar o saber dos estudantes, através da análise das respostas fornecidas por eles.
Possibilitando então, dessa forma, que o professor utilize os erros como ferramentas para
aprimorar o aprendizado dos alunos, conhecendo as suas reais dificuldades e desenvolvendo a
capacidade de questionar, discutir e refletir a respeito de suas respostas.
Cury (2008, p.11) afirma que ―descartando os erros cometidos por desatenção ou
descuido, em muitos casos, os erros são hipóteses legítimas baseadas em concepções e
crenças adquiridas ao longo da vida escolar‖, ou seja, a medida que se dá atenção devida aos
erros dos alunos, conferimos quais conhecimentos o estudante já possui e verificamos o que é
preciso ser revisto em sala de aula.
Uma possibilidade quando se trata de problemas, é o que Sampaio (2005, p. 14) chama
de trabalho com situações-problemas, onde o aluno cria um problema e resolve: ―(...) a
criação de um problema, pelo educando, pode ser entendida como a capacidade de formar
algo ‗novo‘, de novas coerências que se estabelecem, fenômenos relacionados de modo novo
e compreendidos de maneiras diferentes, tendo significado próprio.‖
Todo o processo realizado pelo aluno para encontrar o resultado (certo ou não) durante
a resolução de um problema deve ser considerado a fim de identificar e dar mais atenção aos
possíveis obstáculos que estejam impedindo o aluno de progredir. Os PCN‘s5 (1998) abordam
que:
Enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a
questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos
problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar
problemas abertos — que admitem diferentes respostas em função de certas
condições — evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera
reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói
conhecimentos. (BRASIL, 1998)
Desse modo, o aluno desenvolve o gosto pela matemática se os problemas
estimularem a curiosidade, criarem estratégias, além de permitir o desenvolvimento das
capacidades de pensar, raciocinar, criticar, investigar, e questionar, formulando idéias para
assim encontrar uma solução do problema.
5 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
27
Os problemas matemáticos devem representar um desafio para o aluno, mobilizando
os conhecimentos já adquiridos e provocando reflexões sobre quais caminhos serão tomados
para se alcançar o resultado, não devendo possuir fórmulas prontas para a sua resolução,
regras pré-estabelecidas e transmitidas sem qualquer envolvimento do aluno.
Consolidado a esse embasamento, Polya (1997, p. 1) diz que: ―Resolver um problema
é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente imaginado. Se o fim por si só
não sugere de imediato os meios, se por isso temos de procurá-los refletindo conscientemente
sobre como alcançar o fim, temos de resolver um problema.‖
Ao adotar a Metodologia de Resolução de Problemas nas aulas de Matemática, o
professor precisa ouvir o que os alunos têm a dizer sobre como estão construindo suas idéias
matemáticas. Sendo assim, o professor passa a ser um mediador, um orientador e um
estimulador de todos os processos que levam o aluno a construírem seus conceitos, valores e
atitudes, ao invés de ser visto somente como um mero ‗transmissor de conhecimento‘.
Como explica Alro e Skovmose (2006):
Isso coloca os professores em uma situação paradoxal. Por um lado eles têm que
educar os alunos a ser abertos e críticos, e por outro lado, eles sentem-se impelidos a
seguir um livro-texto que conduz os estudantes a estar aptos a enfrentar certo tipo de
prova. Em muitas situações, os professores se sentem fortemente obrigados a
preparar os alunos para testes e exames [...]. (ALRO e SKOVMOSE, 2006, p. 26-
27)
O erro por sua vez, deve ser encarado positivamente, pois faz parte da construção das
idéias dos alunos. Para isso, é necessário deixar que os próprios alunos percebam seus erros e
o que os levaram a cometê-los, o que não é tarefa fácil, é uma tarefa difícil e complexa ao
lidar com vários pensamentos, já que o sistema escolar não está se adequando as mudanças
dos processos de aprendizagem.
Uma das muitas contribuições dessa metodologia é o desenvolvimento da confiança
nos próprios meios de resolver um problema e de atitudes positivas frente à Matemática,
como sugerem os PCN‘s6:
As atitudes têm a mesma importância que os conceitos e procedimentos, pois, de
certa forma, funcionam como condições para que eles se desenvolvam. Exemplos de
atitudes: perseverança na busca de soluções e valorização do trabalho coletivo,
colaborando na interpretação de situações-problema, na elaboração de estratégias de
resolução e na sua validação. (BRASIL, p.50, 1998)
De acordo com o que foi ressaltado acima é necessário aprender não apenas os
conceitos e procedimentos dos conteúdos, mas também as atitudes que temos ao nos
6 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
28
deparamos com exercícios envolvendo problemas, atitudes essas que fundamentam em:
persistência e elaboração de procedimentos de busca das respostas, não se esquecendo do
trabalho em equipe.
3.3 O erro na resolução de problemas envolvendo as operações básicas da
matemática
Para aprender matemática é necessário saber desenvolver as operações básicas, como:
adição, subtração, multiplicação e divisão, já que qualquer conteúdo matemático depende
dessas operações. O trabalho com as operações básicas requer um cuidado especial por parte
do professor, pois dele depende o sucesso e o fracasso da compreensão de determinado
conteúdo por parte dos alunos.
No decorrer do tempo, vem sendo apontado estudos sobre os erros cometidos pelos
alunos em relação ao conhecimento matemático. O conhecimento das quatro operações é
fundamental para toda matemática já que são usados na álgebra, em sistemas lineares, em
matrizes, em geometria analítica e em muitos outros campos da matemática. Além de estarem
presentes no dia a dia das pessoas, como: no supermercado, nas lanchonetes e em outros
problemas do cotidiano.
Diante dos meus estudos e análise, creio poder afirmar que os erros constituem uma
importante ferramenta que possibilita o diagnóstico dos problemas presente no
processo tanto de ensino como aprendizagem. Ressalta-se que no processo de
ensino, os erros podem ajudar o professor a concluir que a estratégica do ensino
adotada se mostra inadequada e necessita ser redefinida mediante novas ações
metodológicas e pedagógicas (SOUZA, 2002, p. 10).
De acordo com as falas de Souza, o erro é entendido como uma ferramenta pedagógica
que possibilita por meio do diagnóstico do problema à construção do processo ensino-
aprendizagem, a reflexão, a inovação no planejamento e nas estratégias de ensino, além de
ação direcionada das atividades propostas em sala de aula.
A autora ainda coloca que os erros também ocorrem de maneira sistemática, que não
dependem do conteúdo abordado, que segundo Rico (1995, apud Souza, 2002, p.6),
―completa que, os erros sistemáticos aparecem com freqüências, são sintomas de um método
ou compreensão equivocada que o aluno considera e utiliza como correta e, geralmente são
mais efetivos para revelar os processos mentais.‖
Sobretudo, os erros sistemáticos sucedidos de forma contínua, à medida que os alunos
procuram reunir mecanismos para realizar as atividades propostas, irão de fato mostrar como
29
está acontecendo todo o método de estruturação e formulação de pensamento dos mesmos,
para que assim o professor possa fazer a intervenção necessária.
Afim de que o educador possa analisar e constatar como ocorre o processo de atuação
dos alunos com relação à resolução de problemas matemáticos, Schliemann e Carraher (1998)
informa que:
As pesquisas que investigam como as crianças resolvem problemas de adição e de
subtração têm progredido consideravelmente nos últimos anos, permitindo uma
melhor caracterização desses problemas, assim como a compreensão sobre como as
crianças os resolvem e por que alguns são mais difíceis do que outros
(SCHLIEMANN & CARRAHER 1998).
É de grande importância verificar como se dar o processo de resolução de situações
problemas dos alunos por meio da utilização das quatro operações fundamentais da
matemática, as quais se referem a: adição, subtração, multiplicação e divisão, a fim de que os
alunos venham a passar para as próximas séries sem tantas dificuldades em outras áreas da
matemática.
Os PCN‘s7 também destacam a importância de se utilizar as operações numéricas na
construção de problemas que aprimore o desenvolvimento e os significados dessas operações
para os estudantes, para isso, tais parâmetros sugerem no terceiro ciclo do ensino fundamental
(6º e 7º anos) que:
Neste ciclo, os alunos devem ser estimulados a aperfeiçoar seus procedimentos de
cálculo aritmético, seja ele exato ou aproximado, mental ou escrito, desenvolvido a
partir de procedimentos não-convencionais ou convencionais, com ou sem o uso de
calculadoras. Certamente, eles ainda não têm domínio total de algumas técnicas
operatórias, como da multiplicação e da divisão envolvendo números naturais,
compostos de várias ordens, ou aquelas com números decimais, e isso precisa ser
trabalhado sistematicamente. O importante é superar a mera memorização de regras
e de algoritmos (―divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima‖, ―inverte a
segunda e multiplica‖) e os procedimentos mecânicos que limitam, de forma
desastrosa, o ensino tradicional do cálculo (BRASIL, 1998, p. 67).
Para tanto, os PCN‘s8 enfatizam que deve ser desenvolvido no aluno o ato do pensar
sobre quais procedimentos irá adotar no momento da resolução dos problemas, ultrapassando
assim, a idéia da memorização, da repetição sistemática dos métodos e dos algoritmos. De
fato, as regras devem construídas de acordo com a percepção das normas, ao invés de serem
apenas transmitidas.
Zunino (1995) ao investigar os procedimentos e as estratégias de resolução de
problemas das operações com números naturais utilizados por crianças do 4º e 5º anos do
Ensino Fundamental observou que os erros mais frequentes ocorrem na subtração,
7 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
8 PCN’s – Parâmetros Curriculares Nacionais
30
multiplicação e divisão, não conseguindo assim interpretar os problemas, identificando quais
operações devem ser usadas.
Já Saiz (1996) fez um estudo com estudantes do 6º e 7º anos do Ensino Fundamental,
os quais foram aplicados cinco problemas e quatro contas de divisão com seus alunos,
observando que os educandos tinham maior dificuldade com relação ao significado da divisão
no problema, não identificando que a situação problema propunha a divisão na sua resolução,
realizando então, operações como: a adição, a subtração e a multiplicação.
Dessa forma, as autoras identificaram em suas pesquisas que a maioria dos alunos
cometia erros pelo motivo de não entenderem a coerência dos algoritmos das operações, não
compreendendo seus conceitos, além de apresentarem dificuldades na interpretação dos
enunciados das situações problemas.
31
4 O USO DO ERRO NO COTIDIANO ESCOLAR
4.1 Coleta dos dados
Segundo Pedro Demo (1987, p. 23), pesquisa é ―a atividade científica pela qual
descobrimos a realidade", ou seja, é levantar informações representativas encontradas em tal
realidade, a qual se dá o nome de dados. A coleta de dados consiste no processo de
levantamento dos dados necessários à resolução do(s) problema(s) apontado(s).
Coletar dados é analisar os fatos já delimitados que se relacione intimamente com os
propósitos e o objeto do estudo, por meio de: observações, entrevistas e história de vida,
pesquisa bibliográfica, questionários, observação empírica, entre outros, sendo esta etapa o
ponto de partida para a elaboração e execução de um trabalho de pesquisa.
4.1.1 Campo da pesquisa
A pesquisa ocorreu na Escola ―Luz Divina‖ de denominação fictícia para a
preservação de seu nome, localizada na cidade de Cachoeira - Bahia. Essa unidade escolar é
da rede municipal de ensino, beneficiando a comunidade a qual pertence por suprir a carência
de escolas do ensino fundamental II (6º ao 9º ano) na localidade, abrange ainda, a educação
infantil e o ensino fundamental I (1º ao 5º ano). Atende aproximadamente 150 alunos nos
turnos matutino e vespertino.
Os alunos da educação infantil são avaliados através de conceitos adquiridos por meio
das competências e habilidades alcançadas pelas crianças, já os alunos do ensino fundamental
I e II são classificados de acordo com as notas de 0 à 10, provenientes das realizações de
provas, trabalhos, seminários, pesquisas e testes.
A devida instituição de ensino é composta por: 4 salas de aula, 1 área para recreação, 1
diretoria, 1 mini biblioteca, 1 cozinha e 3 banheiros. As salas são espaçosas e arejadas, cada
uma com seu armário. Na escola também tem televisão, DVD e rádio. Já o quadro de pessoal
é composto por: 1 diretora, 7 professores (todos graduados), 1 cozinheira e 1 faxineira.
32
4.1.2 Sujeitos da pesquisa
Foi uma pesquisa de campo, que abrangeu 5 alunos do 6º ano do Ensino Fundamental
II do total de 22 alunos, da Escola ―Luz Divina‖ que estavam com dificuldades de
aprendizagem na disciplina especificada, além do professor regente de matemática da turma.
Sendo esta, procedente à observação de fatos e fenômenos exatamente como ocorrem
no real, à coleta de dados referentes a tais acontecimentos e, finalmente, à análise e
interpretação desses dados, com base numa fundamentação teórica consistente, objetivando
compreender e explicar o problema pesquisado.
É importante destacar que o professor que leciona a disciplina matemática no 6º ano
não tem formação especifica na área, apenas em Pedagogia e Letras. Ele atua há um cinco
anos como professor regente municipal do ensino fundamental I e, há pouco menos de um ano
assumiu as turmas do ensino fundamental II ministrando a disciplina matemática.
4.2 Instrumentos da pesquisa
Para a coleta dos dados dessa pesquisa utilizou-se instrumentos relacionados a
abordagem qualitativa, como: questionários, observação e entrevistas. O primeiro
questionário contemplava argumentos sobre o conhecimento matemático dos alunos e o
segundo contemplava problemas sobre os conceitos das quatro operações.
A observação fundamentava-se na análise dos comportamentos tanto por parte do
professor quanto do aluno frente às aulas de matemática. E as entrevistas feitas com o
professor e com os alunos, limitaram-se a questionamentos sobre o erro e os problemas
matemáticos.
Lakatos e Marconi (1991) afirmam que:
[...] a seleção dos instrumentos metodológicos estão diretamente associados à
problemática a ser estudada, ou seja, a escolha dos instrumentos metodológicos
depende de fatores relacionados com a pesquisa, e tanto os métodos quanto as
técnicas devem, então, adequar-se à natureza do problema a ser investigado.
(LAKATOS e MARCONI, 1991, p.32)
Segundo as autoras a escolha dos instrumentos metodológicos depende de qual
problemática é abordada na pesquisa, somente através da organização dessa idéia é possível
estruturar os instrumentos e as técnicas utilizadas que irão dá suporte sistematização de toda
consideração final que se tem do trabalho. Devendo ser feita então, uma relação de parceria e
ligação entre os instrumentos e a natureza do problema, que é a problemática.
33
SUJEITOS DA PESQUISA
Alunos e professor de matemática do 6º ano do ensino
fundamental II
SEGMENTOS
QUESTIONÁRIO
ENTREVISTA
OBSERVAÇÃO
Alunos
(1)
(2)
INDIVIDUAL
COLETIVA
DA TURMA
05
05
-
05
22
Professor de
matemática
-
-
01
-
01
Quadro 1 – Distribuição da amostra
Considerou-se uma amostragem probabilística, pois todos os selecionados
participaram de uma ou de outra técnica, conforme apresentado na distribuição dos diferentes
instrumentos para a coleta dos dados. Como essa pesquisa está voltada para o levantamento de
dados qualitativos, levou-se em conta uma amostra que representasse a população de maneira
viável.
4.2.1 Os questionários
Para Fortin (1999) o questionário é ―um método de recolha de dados, junto dos
indivíduos sobre fatos, idéias, comportamentos, preferências, sentimentos, expectativas e
atitudes‖. É então, o instrumento de pesquisa que dá suporte ao pesquisador em sua coleta de
dados, permitindo uma análise apropriada dos dados obtidos.
Foram utilizados dois questionários para a sistematização da pesquisa, sendo que o
primeiro conteve quatro questões investigativas (vide anexo 1), sobre a significação do
conhecimento matemático para os alunos, e o segundo teve quatro problemas matemáticos
(vide anexo 2), contendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Os dois questionários continham enunciados claros e objetivos, que buscaram
necessidade da interpretação dos educandos, para o entendimento do que se propunham as
34
questões. Sendo estes do tipo abertos, os quais proporcionaram respostas redigidas pela
pessoa que respondeu, obtendo assim, um variado tipo de respostas.
Como a professora regente tinha aula duas vezes na semana como os alunos do 6º ano
do ensino fundamental II, então resolvi aplicar os dois questionários na mesma semana, sendo
um em cada dia. O tempo proposto para responder cada questionário foi de cinqüenta
minutos.
4.2.2 A observação
Como diz Selltiz et al ., (1987), ― A observação torna-se uma técnica científica à
medida que serve a um objetivo formulado de pesquisa, é sistematicamente planejada e ligada
a proposições mais gerais e, em vez de ser apresentada como conjunto de curiosidades
interessantes, é submetida a verificações e controles de validade e precisão‖, ou seja, a
observação é um método técnico que segue padrões para alcançar uma meta estabelecida.
A observação foi feita no ambiente do contexto escolar a uma turma do 6º ano A do
ensino fundamental II, no turno matutino, pelo fato da pesquisadora trabalhar na comunidade
escolar que constituiu o campo de investigação, os dados registrados na medida em que os
fatos iam ocorrendo, atentou-se para as recomendações técnicas de observação de Marconi e
Lakatos (1996).
Iniciou-se mediante o registro dos dados observados, para o firmamento do propósito
da pesquisa. Os dados foram registrados na medida em que ocorriam os fatos, não
representando problema algum, já que o objeto de estudo já tinha sido delimitado, sendo esta
então, sistemática pelo fato de ter sido previamente planejada e de se saber o que se procurava
em determinada situação, de acordo com Ludke (1986).
O contato direto com os sujeitos da pesquisa foi de fundamental importância para
identificar quais ações são vivenciadas por eles, mostrando de uma forma mais profunda a
realidade do devido contexto escolar. Dessa forma, tal convívio possibilitou a compreensão e
a interpretação dos fenômenos investigados.
Foram observados os alunos e o professor de matemática da turma do 6º ano do ensino
fundamental II, no momento da aula, onde houve a verificação de como cada um dos mesmos
se portavam diante desse processo, mediante a concepção e a prática como erro do aluno
através da resolução de problemas matemáticos.
35
4.2.3 As entrevistas
Os registros foram feitos no momento da entrevista, com permissão dos entrevistados,
através da gravação das respostas decorrentes dos questionamentos feitos pelo entrevistador,
buscando conhecer a opinião dos sujeitos a respeito do assunto delimitado.
No transcurso da investigação, entrevistei 22,73% de um total de 22 alunos do 6º ano
do ensino fundamental II, sendo que essa porcentagem corresponde a 5 alunos, educandos
esses que foram escolhidos por meio de um sorteio, além do professor regente de matemática
da turma, distribuídos conforme apresenta o quadro 1.
Foi dada a cada entrevistado a devida atenção e o devido enfoque a cada questão, para
garantir o entendimento de todos. Havendo também uma conversa informal sobre o assunto
abordado. Como diz Ludke e André (1986, p. 36) ―não há receitas infalíveis a serem seguidas,
mas sim cuidados a serem observados e que, aliados à inventiva honesta e atenta do condutor,
levarão a boa entrevista‖, então é necessário também ser um observador atento.
4.3 Análise e discussão
4.3.1 Das respostas dos alunos com relação ao questionário investigativo
Ao perguntar sobre a importância da matemática, 40% dos alunos responderam para
estudar e aprender, 20% informou que é muito importante e 40% disseram que é importante
na vida e que sem o aprendizado dela nós não somos nada. E ao questionar sobre onde a
matemática está no dia a dia deles, 40% disseram que está na escola, 20% respondeu que está
na escola e em casa, 20% disse que está no momento que contamos e outros 20% informou
que está no calendário e nos números das casas.
Já ao questionar sobre a dificuldade de se aprender matemática, 60% disseram que é
porque tem muita conta e 40% responderam que é porque não sabem. E o último
questionamento que foi sobre a forma como se dá a participação nas aulas de matemática,
percebi que também 60% informaram que prestando atenção na explicação da professora e
40% responderam que a participação deles ocorre no momento da realização do dever e das
contas.
36
4.3.2 Do questionário sobre a resolução de problemas com as quatro operações
Quadro 2 – Porcentagens de erro por questão
QUESTÕES
ACERTOS
ERROS
EM BRANCO
01
20%
80%
0%
02
40%
60%
0%
03
60%
40%
0%
04
40%
60%
0%
Quadro 2. Fonte: questionário com problemas matemáticos dos alunos
Todos os alunos se propuzeram e tentaram resolver todos os problemas propostos no
questionário, não tendo assim nenhuma questão em branco. De acordo com as situações
problemas foram criadas duas categorias a serem analisadas de acordo com as dificuldades e
erros evidenciados nesse estudo, as quais foram:
C 1 – Compreensão das operações básicas;
C 2 – Compreensão correta dos problemas propostos.
Os dados para análise foram extraídos do questionário aplicado em sala no qual se
estudou as soluções dadas pelos alunos do 6º ano para os problemas que envolviam as quatro
operações, colhendo significativas informações à respeito das concepções decorrentes do
processo de aprendizagem.
No problema 01: Domingo passado teve uma partida de futebol no estádio. Assistiram
a este jogo 3500 pessoas que estavam sentadas nas cadeiras das gerais, 9800 pessoas que
estavam sentadas nas cadeiras das arquibancadas. Desse total de pessoas 1351 saíram antes do
jogo terminar. Quantas pessoas assistiram a partida de futebol do início ao fim?
37
Somente o aluno A acertou a resposta, mostrando plena compreensão do problema,
além de interpretar o problema de forma adequada, observou-se ainda que o aluno possui
conhecimento sobre o conceito das operações básicas. Salientando, também que, esse
estudante foi o único a acertar todas as questões.
No problema 02: Uma pessoa encontra-se exatamente na metade de uma escada. Sobe
5 degraus, desce 3, volta a subir 4, desce 3 e depois sobe mais 6 para chegar ao último.
Quantos degraus têm a escada?
Os alunos A e B acertaram a questão, conseguindo aplicar os conceitos de adição e
subtração, sendo um fato que chama atenção foi que o aluno B acertou somente essa questão,
logo foi evidenciado que ele não compreendeu corretamente as quatro operações
fundamentais da matemática. De acordo com as resoluções dadas pelos alunos percebi que a
maior dificuldade da maioria dos educandos foi com relação à transição da adição para a
subtração dentro de um mesmo problema.
Já no problema 03: Uma sala teatral será construída em uma escola para as
apresentações de final de ano. A sala possuirá 15 filas de poltronas e cada fila contará com 32
poltronas. Quantas pessoas poderão ser convidadas para a festa de final de ano, no intuito de
que todas permaneçam sentadas?
Foi o único problema com a maior parte de acertos (60%), sendo os alunos A, C e D
os que obtiveram sucesso no que foi proposto no problema, no entanto os alunos B e E
erraram a questão, apresentando falta de entendimento sobre o conceito das quatro operações,
não mostrando relação direta com a multiplicação de números naturais. Esses dois alunos os
erros apresentam ainda, características de semelhança e diferenças aparentemente devido ao
não entendimento dos algoritmos.
E no problema 04: O professor de matemática de uma turma de 36 alunos decidiu
dividir a turma em grupos, sendo que cada grupo teria 4 integrantes. Quantos grupos serão
formados?
Obteve-se uma porcentagem de erro do que de acerto por parte dos alunos, sendo que
somente os alunos A e C responderam corretamente, compreendendo o conceito de divisão de
números naturais, porém os alunos B, D e E mostraram falta de interpretação, além da
desconexão do raciocínio com relação aos algoritmos de divisibilidade.
De um modo geral, as análises sobre os erros que os alunos apresentam nas resoluções
de problemas com as quatro operações fundamentais corroboram com as apresentadas pelos
estudos revisados. Utilizando as categorias de análises e as dificuldades dos alunos pode-se
perceber pelos quadros 3 e 4 que:
38
Quadro 3: Categorias de análises dos erros
CATEGORIAS CONCLUSÕES
C 1 As respostas analisadas apontaram que os alunos têm
deficiências relacionadas à compreensão dos
conceitos das quatro operações.
C 2 A análise das respostas mostrou que os alunos
apresentam um entendimento parcial em relação à
compreensão de problemas de adição, subtração,
multiplicação e divisão de números naturais.
Quadro 4: Dificuldade dos alunos
CONTEÚDOS
PORCENTAGEM
Adição com números naturais 80%
Subtração com números naturais 80%
Multiplicação com números naturais 40%
Divisão com números naturais 60%
Assim, percebe-se que as dificuldades dos alunos em problemas com números naturais
estão relacionadas à falta de compreensão conceitual das operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão com os algoritmos e da não aplicação dessas operações básicas na
resolução dos problemas.
39
4.3.3 Da observação feita em uma aula de matemática
Ao observar a aula de matemática que a professora de matemática ministrava com os
alunos do 6º ano do ensino fundamental II, percebi que a professora desempenhava suas aulas
com muita segurança e eficácia, porém ela utilizava quase sempre métodos tradicionais nas
suas propostas pedagógicas.
A educadora trabalhava pouco com a abordagem dos erros dos alunos e também com a
adequação de situações problemas ao ministrar suas aulas. A situação problema apresentada
pela professora no exercício em sala de aula foi apenas duas num total de seis perguntas,
sendo que as outras questões enfocavam questionamentos desprendidos de qualquer vinculo
contextualizado, como por exemplo: Calcule; Resolva e Determine.
4.3.4 Da entrevista feita com os alunos
Quando os alunos foram questionados sobre o que acham do erro, o aluno A disse que
a dificuldade de aprender algo, os educandos B e C responderam que é quando uma pessoa
erra alguma coisa como o dever e, os alunos D e E informaram que é uma falta de atenção.
Ao serem indagados sobre o fato de errarem muito em matemática, somente o
estudante E respondeu que não erra muito, porque ele presta atenção nas explicações da
professora, e os outros A, B, C e D, disseram que erram muito, pois, sentem muita dificuldade
na hora de responderem as atividades.
Já quando foram questionados com relação o que o professor tem haver com o fato
deles errarem, os estudantes B, C e D esclareceram que não tem nada haver, porém os alunos
A e E responderam que o professor tem que ajudar no momento que errarem. E na hora que
foram indagados sobre a utilização da resolução de problemas matemáticos em sala de aula
por parte do professor, todos os estudantes informaram que a professor usa sim esse
procedimento, mas não constantemente, de vez em quando.
E por último, ao serem indagados com relação seu entendimento por problema
matemático, os alunos A e C, disseram que problema matemático é um pequeno texto que
trazem informações matemáticas para serem resolvidas. No entanto, os alunos B, D e E,
responderam que é toda pergunta escrita na forma de matemática.
40
4.3.5 Da entrevista feita com o professor de matemática
Ao questionar a professora sobre a possibilidade de trabalhar como os erros dos alunos
e de que forma isso é possível, ela respondeu que é possível sim trabalhar com os erros dos
alunos, através da análise em sala de aula das respostas das nos problemas, revendo
juntamente com os estudantes essas soluções, fazendo as devidas correções.
Ao questionar sobre qual o motivo dos alunos errarem, a educadora disse pelo fato dos
estudantes não observarem atentamente a explicação do conteúdo. Já ao perguntar sobre a
importância do erro na sala de aula, falou que a relevância dada é pouca, pois de certa forma a
culpa da falta de aprendizado é do aluno e não do professor.
E ao perguntar a respeito do seu posicionamento enquanto professor nas aulas de
matemática, a educadora ressaltou que procura cumprir com todos os conteúdos do
planejamento da disciplina. Já ao questionar sobre se o planejamento visa à utilização dos
problemas matemáticos e qual a freqüência que esse procedimento é usado nas práticas
pedagógicas, a professora respondeu que seu planejamento visa sim tal procedimento, porém
não usa esse método com tanta freqüência assim, normalmente uma vez na semana.
Por fim, ao pergunta-lhe a questão da melhor apropriação do conteúdo ao resolver
situações problemas e quais seus benefícios e malefícios, a educadora esclareceu que sim,
pois, desenvolve melhor o raciocínio lógico do aluno, fazendo com que pense e reflita sobre
quais os melhores caminhos utilizados para resolver determinadas situações problemas.
41
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise do erro proporciona uma forma de avaliação muito importante e
fundamental para saber como está se dando o processo de aprendizagem dos alunos e, através
desta verificar o que está certo e o que está errado por meio das respostas apresentadas pelos
discentes. Assim podemos perceber que o erro é um constituinte essencial do conhecimento
do aluno, que foi construído a partir de suas experiências anteriores em sala de aula.
Durante a realização do trabalho foram evidenciados vários autores que retratam o erro
no contexto escolar, em especial as publicações de Helena Cury, que defende que a análise
dos erros é uma oportunidade de alcançar o sucesso para uma aprendizagem mais eficaz e
significativa, à medida que incorporada na sala de aula faz com que os educandos comecem a
questionar sobre suas próprias respostas.
Tomando como base informações relativas sobre a análise do erro, o presente trabalho
teve por objetivo analisar alguns erros cometidos por alunos ao resolverem problemas
envolvendo as quatro operações básicas da matemática, que são: adição, subtração,
multiplicação e divisão.
Ao revisar alguns estudos sobre o ensino das quatro operações pode-se ser feita a
relação desses estudos com as análises sobre as dificuldades e erros dos alunos em relação a
problemas matemáticos identificados nessa pesquisa. Sobretudo, com essa análise pôde-se
verificar que o fator predominante para o acontecimento dos erros dos alunos com relação aos
números naturais é a falta de entendimento esclarecido sobre as quatro operações básicas.
Essa intervenção em sala de aula teve como base as idéias de Polya para resolução de
problemas e para a leitura dos problemas. Já que de acordo com Polya o processo de
resolução de problemas está dividido em quatro etapas que são: compreender o problema,
construção de uma estratégia de resolução, execução da estratégia e, revisando a solução.
Ao analisar as entrevistas pude notar que o professor tem consciência da importância
de se trabalhar tanto com o erro do aluno em sala de aula, como de se trabalhar com a
resolução das situações problemas, porém não procura adequar as suas práticas pedagógicas a
tal realidade. No entanto, percebi que os alunos não têm tanta consciência assim sobre a
abrangência de tais assuntos.
Contudo, cabe ao professor utilizar o erro para criar questionamentos que auxiliem na
construção do conhecimento, considerando o pensamento problematizador do aluno,
42
incentivando-os a resolverem as situações problemas de várias e diferentes formas,
justificando todos os passos que usaram para alcançar determinada solução.
Ao final da pesquisa concluir que não adianta ensinar aos alunos só fórmulas, a fim de
que respondam questões determinadas pelos professores, mas sobretudo, deve-se trabalhar a
interpretação das perguntas, usando as ferramentas necessárias para que o aluno a alcance por
si mesmo a resposta correta. De acordo com Rubens Alves (1997) citando Ubiratan
D‘Ambrosio ―A inteligência matemática das crianças, inteligência que é perdida quando, na
escola, ela tem que aprender ‗a maneira certa‘ de lidar com as operações numéricas‖.
Esta pesquisa me fez chegar a conclusão de que o erro não deve ser ignorado, mas sim,
deve ser verificado e avaliado para saber como está acontecendo a evolução da aprendizagem
dos estudantes. Além, de constatar que os procedimentos como a resolução de problemas
devem ser mais trabalhados em sala de aula, pois só assim, saberemos se esse método é
realmente eficaz.
Por fim, deixo como indagação para que outras pessoas possam refletir e aprofundar
essa pesquisa, que é o início de uma pesquisa abrangente e que merece melhor investigação
minuciosa, a seguinte questão: Qual seria a melhor forma de se ensinar a matemática de modo
que venha a contemplar o erro do aluno?
43
REFERÊNCIAS
ALRO, Helle; SKOVSMOSE, Ole. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática;
tradução de Orlando Figueiredo. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
ALVES, Rubens. Cenas da Vida; Campinas – São Paulo; Papirus, 1997.
ANDRADE, Silvanio de. Ensino-aprendizagem de matemática via resolução, exploração,
codificação e descodificação de problemas e a multicontextualidade da sala de aula.
1997. Rio Claro: IGCE, UNESP, 1998.
AQUINO, Julio Gropa. Erro e fracasso na escola. Alternativas teóricas e praticas. São
Paulo: ed. Summuns, 1997, p. 12.
AZENHA, M.G. Construtivismo de Piaget a Emília Ferreiro. São Paulo: Ática, 1994.
BACHELARD, G. A Formação do Espírito Científico. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.
BACHELARD, G. “A epistemologia” – tradução Fátima Lourenço Godinho e Mário
Cármino Oliveira – Lisboa: Edições 70, 19-?
BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problèmes em mathématiques.
Recherches en Didatiques des Mathématiques, v. 4.2, p. 164-168, 1983.
BURIASCO, R. L. C. de. Algumas considerações sobre avaliação educacional.
Estudos em avaliação educacional, São Paulo, n. 22, p. 11, jul/dez. 2000.
BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1999.
CASÁVOLA, H. M. O papel construtivo dos erros na aquisição dos conhecimentos. In:
CASTORINA, J. A Psicologia genética: aspectos metodológicos e implicações pedagógicas.
Porto Alegre: Artes Médicas, 1988. p. 32-44.
CHIZZOTTI, A. Pesquisa qualitativa em ciências humanas e sociais. Petrópolis: Vozes,
2006.
CURY, Helena Noronha. Análises de Erros em Demonstrações de Geometria Plana: Um
Estudo com Alunos de 3º grau. Dissertação de Mestrado em Educação – UFRGS. Novembro
de 1988.
______. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. 1ª edição.
Belo Horizonte. Autêntica, 2007.
44
______. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. 1ª edição. 1ª
reimpressão. Belo Horizonte. Autêntica, 2008.
D‘AMBROSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação: Reflexões Sobre Educação e Matemáticas
2ª; São Paulo; Summus, 1986.
DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2ªed. São Paulo: Ática,
1998.
DEMO, P.E. É errando que a gente aprende. Nova Escola. São Paulo, n.144, pp.49-51, ago.
2001.
DROUET, Ruth Caribé da Rocha. Distúrbios da aprendizagem. São Paulo: Ática, 1995.
ESTEBAN, Maria Teresa. Repensando o fracasso escolar. In Cadernos CEDES, O sucesso
escolar: um desafio pedagógico. Campinas: Papirus, 1992, 75-86.
FERNANDES, Cláudia de Oliveira. FREITAS, Luiz Carlos de. Indagações sobre
Currículo: Currículo e avaliação. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de
Educação Básica, 2007.
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática. Campinas:
Autores Associados, 2006, p. 116.
FORTIN, F. O processo de Investigação. Décarie Éditeu – Lusociência, 1999.
GIL, A. C. Métodos e Técnicas de Pesquisa Social. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 1999.
HOFFMANN, Jussara. Mito & Desafio. Uma perspectiva construtivista. Porto Alegre. 37ª
edição. 2006, p. 53.
HUETE, Juan Carlos; BRAVO, José A. Fernández. Tradução Ernani Rosa. O ensino da
matemática: fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2006.
IGLIORI, S. H. C. A Noção de “Obstáculo Epistemológico” e a Educação Matemática in
Educação Matemática: Uma Introdução. Ed. Educ. São Paulo, 1999.
LA TAILLE, Y. de. O erro na perspectiva piagetiana. In: AQUINO, J. G. (Org.) Erro e
fracasso na escola: alternativas teóricas e práticas. São Paulo: Summus, 1997, p. 36-37.
LUDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas.
São Paulo: EPU, 1986.
MACEDO, L., 4 cores, senha e dominó. Oficina de jogos em uma perspectiva construtivista e
psicopedagógica, 2ª edição, São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997.
MARCONI, M. de A.; LAKATOS, E. M. Fundamentos de Metodologia Científica. São
Paulo: Atlas, 1991.
45
______. Técnicas de pesquisa. São Paulo: Atlas, 1996.
______. Fundamentos de metodologia científica. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2003, p. 190.
MELLO, Guiomar Namo de. Magistério de 1º Grau: da Competência
Técnica ao Compromisso Político. São Paulo: Cortez, 1985.
MICOTTI, M. C. de O. O ensino e as propostas pedagógicas in: BICUDO, Maria A.
Viggiani. (Org.) Pesquisa em educação matemática: Concepções e perspectivas. São
Paulo, Editora IJNESP, 1999.
MOISÈS. L. O desafio de saber ensinar. 8, Ed. São Paulo: Papirus. 2001.
MUNHOZ, Dércio Garcia. Economia aplicada: técnicas de pesquisa e analise econômica.
Brasília: UNB, 1989, p. 84.
PERRENOUD, P. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000.
PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática no ensino da matemática
elementar. São Paulo: USP, Tese de Doutorado, 1998.
______. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da Matemática elementar.
Campinas, SP: Papirus, 2000.
POLYA, G. Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In: KRULIK,
Stephen, REYS, Robert; tradução Hygino H. Domingues, Olga Corbo. A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
SAIZ, Irma. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In; PARRA, Cecília; SAIZ,
Irma. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996. P. 156 – 185.
SAMPAIO, M. L. F. B. O trabalho com situações problemas: um processo de
conscientização. 2005. 144 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática)
– Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2005.
SANTOS GUERRA, M. A. (1996). Evaluación Educativa 2. Buenos Aires: Magisterio del
Río de La Plata.
SCHLIEMANN, Ana Lúcia & CARRAHER, David W. A Compreensão de Conceitos
Aritméticos,1ª edição; Campinas – São Paulo; Papirus, 1998.
SELLTIZ et al ., A observação. 1987. Disponível em:
<www.slideshare.net/lucilapesce/observao> Acessado em 18/03/2013.
SFARD, A. On dual nature of mathematics conceptions: Reflections on processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics,
1991, n°22, p. 32.
46
SOARES, Maria Teresa Carneiro; PINTO, Neuza Bertoni. Metodologia da Resolução de
Problemas. Disponível em:
<http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_24/metodologia.pdf>
Acesso desde: 30/05/2011.
SOUZA, S. M. Z. L. Avaliação escolar e democratização: o direito de errar. In: AQUINO,
Julio Groppa (Org.). Erro e fracasso na escola: alternativas teóricas e práticas. São Paulo:
Summus, 1997.
SOUZA, S. S. S. de. Erros em Matemática: um estudo diagnóstico com alunos de 6ª série
do Ensino Fundamental. 2002. 193f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de
Filosofia e Ciências, Campus de Marília, Universidade Estadual Paulista ―Julio de Mesquita
Filho‖ (UNESP).
SPINK, Peter Kevin. Pesquisa de campo em psicologia social: uma perspectiva
pósconstrucionista. Psicol. Soc., Porto Alegre, v. 15, n. 2, dez. 2003, p. 21.
VYGOTSKY, Lev Semyonovich. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes,
1999.
ZUNINO, Delia Lerner de. A matemática na escola: aqui e agora. 2. Ed. Porto alegre: Artes
Médicas, 1995.
47
ANEXO 1: QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO (estudantes)
I – IDENTIFICAÇÃO
ESCOLA:
DISCIPLINA: SÉRIE:
NOME: PROFESSOR (A):
1- Qual a importância da matemática?
2- Para você a matemática está no seu dia a dia? Onde?
3- A matemática é uma disciplina difícil e temida? Por quê?
4- Você participa das aulas de matemática? De que forma?
48
ANEXO 2: QUESTIONÁRIO COM PROBLEMAS MATEMÁTICOS ENVOLVENDO
AS QUATRO OPERAÇÕES (estudantes)
I – IDENTIFICAÇÃO
NOME:
SÉRIE:
IDADE:
1- Domingo passado teve uma partida de futebol no estádio. Assistiram a este jogo 3500
pessoas que estavam sentadas nas cadeiras das gerais, 9800 pessoas que estavam sentadas nas
cadeiras das arquibancadas. Desse total de pessoas 1351 saíram antes do jogo terminar.
Quantas pessoas assistiram a partida de futebol do início ao fim?
2- Uma pessoa encontra-se exatamente na metade de uma escada. Sobe 5 degraus, desce 3,
volta a subir 4, desce 3 e depois sobe mais 6 para chegar ao último. Quantos degraus têm a
escada?
3- Uma sala teatral será construída em uma escola para as apresentações de final de ano. A
sala possuirá 15 filas de poltronas e cada fila contará com 32 poltronas. Quantas pessoas
poderão ser convidadas para a festa de final de ano, no intuito de que todas permaneçam
sentadas?
4- O professor de matemática de uma turma de 36 alunos decidiu dividir a turma em grupos,
sendo que cada grupo teria 4 integrantes. Quantos grupos serão formados?
49
ANEXO 3: ROTEIRO PARA ENTREVISTA (estudantes)
I – IDENTIFICAÇÃO
NOME:
SÉRIE:
IDADE:
1- O que acham do erro?
2- Erram muito em matemática? Por que erram?
3- O que o professor tem haver com seu fato de errar?
4- O professor utiliza a resolução de problemas matemáticos em sala de aula? Em qual
frequência?
5- O que você entende por problema matemático?
50
ANEXO 4: ROTEIRO PARA ENTREVISTA (professor de matemática)
I – IDENTIFICAÇÃO
NOME:
FORMAÇÃO:
TEMPO DE EXPERIÊNCIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA:
TEMPO DE EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA:
SÉRIES QUE LECIONA:
1- É possível trabalhar com os erros dos alunos? De que forma?
2- Para você professor por que os alunos erram?
3- Que importância é dada a tal assunto?
4- Como você avalia seu posicionamento enquanto professor frente às aulas de matemática?
5- Seu planejamento está organizado visando o uso de problemas matemáticos? Em qual
frequência esse procedimento é utilizado na sua prática pedagógica?
6- Para você o aluno se apropria melhor do conteúdo ao resolver as situações problemas?
Quais os benefícios ou malefícios identificados?