universidade federal do paranÁ programa de pós-graduação em métodos numéricos em engenharia...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia
CONFIABILIDADE E OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
ARMADO
Aluno: Roberto Mauro Felix Squarcio
Orientador: Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto
OBJETIVO GERALOBJETIVO GERAL
Teoria da Confiabilidade
Probabilidade de Falha Importância das Variáveis de Projeto
Delineamento Experimental
Otimização de Custo
OBJETIVO ESPECÍFICOOBJETIVO ESPECÍFICO
i. Métodos da Confiabilidade
FORM/SORM Método de Monte Carlo Redes Neurais
ii. Delineamento de Experimentos
Modelamentos de Krakovski aplicados em Estruturas de Concreto Armado
0,...,, 21 nXXXg
GENERALIZAÇÃO DO PROBLEMA GENERALIZAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADEDA CONFIABILIDADE
n
XXXg
nXXnf dxdxxxfXXXgPPn
n...,...,...0,...,, 1
0,...,,
1,...,21
21
1
Violação doEstado Limite
Probabilidade de Falha
MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)
Série de Taylor, em X*
n
i
ii XaaZ1
0
n
iXZ ii
a1
222
** * XXX
gXgZ X
n
i
iiL XaaZXg1
0
n
iX
n
i
ii
iia
Xaa
1
22
10
Índice de Confiabilidade
MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)
Transformação
iX
ii
XY
O índice de confiabilidade é a distância de Y* à origem do espaço das normais reduzidas
MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)
Função Limite
Média e Variância
Índice de Confiabilidade:
n
i iig Y
gYY
L1
*
n
i ig Y
gY
L1
2
2
n
i i
n
i ii
g
g
Y
g
Y
gY
L
L
1
2
1
*
n
i iiiL Y
gYYYgYg
1
* 0*
n
i iiiL Y
gYYYg
1
* 0
MÉTODOS DO SEGUNDO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO (FORM/SORM)MOMENTO (FORM/SORM)
i. FORM – First Order Reliability Method
ii. SORM – Second Order Reliability Method
FIRST ORDER RELIABILITY FIRST ORDER RELIABILITY METHODS - FORMMETHODS - FORM Qualquer distribuição e v.a. não são independentes
Transformamos em normais reduzidas:
A distribuição não normal e a distribuição normal com a mesma média, e que conduzam a mesma probabilidade de falha.
Sendo a v.a. normal reduzida obtida por
Então,
A determinação de X* é iterativa e o valor de pf é atualizado em cada iteração.
iXi xFyi
iXi xFyi
1
XZ
f
fXZ pF
p1
1
.
z
ZZY
z
Zf
Xp
*
SECOND ORDER RELIABILITY SECOND ORDER RELIABILITY METHODS - SORMMETHODS - SORMAs superfícies de estado limite, g(X) são parabólicas ou esféricas, no ponto de dimensionamento X*
n
i i
fk
p1 1
1
2
2
i
ni X
Xk
Proposta de Breitung (1984)
onde
Geração de valores para as variáveis básicas de entrada de acordo com suas funções de distribuição.
Análise determinística do modelo do sistema e verificação de eventual violação do estado limite.
Estimativa da probabilidade de ruptura:
MÉTODO DE MONTE CARLOMÉTODO DE MONTE CARLO
N
xgNP f
0
N
xgNxgPP
Nf
0lim0
Probabilidade de falha
MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Simulação Pura
0,...,,,1
0,...,,,021
21
21
,...,,n
n
XXXg
XXXgnXXXI
N
i
if XI
NP
1
)( 0ˆ1
Observações na região de interesse g(X)<0
Transforma a resolução da integral numa simples contagem dos pontos que estão dentro da região de probabilidade de falha
Podemos reescrever a Probabilidade de Falha:
MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Redução da Variância
Amostragem por Importância
dxXhXh
XfXgIP X
Xg
f
0
.0
h
fIEXh
Xh
XfXgIEP X
f .0
Nh
f
f
I
P
2
2~
f
Xg
XI pdX
Xh
Xf
h
f
~
0)(
22
Domínio de integração é dividido em k regiões.
A probabilidade de falha
MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Redução da VariânciaAmostragem Estratificada
k
i
k
if
R
XXf Ri
i
pdXXhXfdXXhXfP1 1
N
i
N
j
jX
i
if
i
XfN
PP
1 1
)(~
k
i i
iiX
k
i i
iP N
Pxf
N
Pf
1
22)(2
1
22~
i
i
R i
f
Xi
iXi P
pdXXhXf
Pxf
2
2
2)(22 1
Algoritmo Algoritmo Backpropagation Backpropagation - Princípio da Aprendizagem
Algoritmo Gradiente Descendente com Algoritmo Gradiente Descendente com Momentum Momentum
Minimiza o erro quadrático médio
Algoritmo de Algoritmo de Levenberg-Marquardt Levenberg-Marquardt – Matriz Hessiana
n
ieiiR yy
nE
1
21
n
iei
TR yxWf
nE
1
2,
1
REDES NEURAISREDES NEURAIS
W
WEkW R
kWkWkW 1 W
WEkWkW R
1
2
2
W
WEH R
W
WeJ
n
ieii yyWe
1
kgHkWkW .1 1
WeWJg Tk .2
WeWJIWJWJkWkW Tk
T ...11
Função Objetivo (Custo)
fsssc ChbCAChbxF )2()()()(
b é a largura da secção transversal da viga; h é a altura da secção transversal da viga; AS é a área da barra de aço;
S é a massa específica do aço;
CS é o custo do aço por unidade de massa;
CC é o custo do concreto por unidade de volume;
CF é o custo do molde, por unidade de área.
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
Materiais Unidade Preço (R$)
Concreto
cm3
15 MPa 136,53
20 MPa 148,5
25 MPa 162,77
30 MPa 176,12
Aço kg 4,03
Molde cm2 40,71
Tabela 1. Custos dos Materiais
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
k x(k,0) Proc. u
Variáveis Normalizadas
Variáveis ExternasDimensões Custo Total
(R$)
b h fck
0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,77
1 (a) 1 1 0 0 20 58 20 102,31
2 0 1 0 18 60 20 101,25
3 0 0 1 18 58 25 100,85
(b) 4 -1 0 0 16 58 20 99,23
5 -2 -1 0 14 56 20 97,37
6 -3 -1 0 12 56 20 95,86
7 -4 -1 0 10 56 20 94,35
Tabela 2. Resultado do One-side Gradient Design I Method
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
k x(k,0) Proc. u
Variáveis Normalizadas
Variáveis Externas Dimensões Custo Total
(R$)
b h fck
0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,77
1 (a) 1 -1 0 0 16 58 20 99,23
2 0 -1 0 18 56 20 100,4
3 0 0 -1 18 58 15 101,41
(b) 4 -1 0 0 16 58 20 99,23
5 -2 0 1 14 58 25 97,75
6 -3 -1 1 12 56 25 95,9
7 -4 -1 2 10 56 30 94,37
Tabela 3. Resultado do One-side Gradient Design II Method
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
k x(k,0) Proc. u
Variáveis Normalizadas
Variáveis Externas Dimensões Custo
Total (R$) b h fck
0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,8
1 (a) 1 1 0 0 16 58 20 99,23
2 -1 0 0 20 58 20 102,3
3 0 1 0 18 56 20 100,4
4 0 -1 0 18 60 20 101,3
5 0 0 1 18 58 15 101,4
6 0 0 1 18 58 25 100,9
(b) 7 -1 0 0 16 58 20 99,23
8 -2 0 0 14 58 20 97,69
9 -3 -1 0 12 56 20 95,86
10 -4 -1 1 10 56 25 94,38
Tabela 4. Resultado do Central Gradient Design Method
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
b h FckFunção Objetivo (R$) Desvios
Yj Y1j Y2j Y3j 1j2 2j
2 3j2
1 1 1 20 60 25 102,9 102,9 102 102,5 0,08 69,9 18,31 1 0 20 60 20 102,8 102,8 102,7 102,7 0,09 1,85 0,611 1 -1 20 60 15 103,6 102,7 103,3 103 65,8 4,93 26,21 0 1 20 58 25 102,4 102,4 101,7 102 0 49,5 12,41 0 0 20 58 20 102,3 102,3 102,3 102,3 0 0 01 0 -1 20 58 15 103 102,2 103 102,6 58,8 0,46 17,41 -1 1 20 56 25 102 101,9 101,3 101,6 0,62 45,8 14,61 -1 0 20 56 20 101,9 101,8 101,9 101,9 0,62 0,09 0,091 -1 -1 20 56 15 102,6 101,8 102,6 102,2 68,6 0,04 18,40 1 1 18 60 25 101,3 101,3 100,5 100,9 0 67,1 16,40 1 0 18 60 20 101,3 101,3 101,1 101,2 0 1,18 0,240 1 -1 18 60 15 101,9 101,2 101,8 101,5 52,7 1,63 17,80 0 1 18 58 25 100,9 100,9 100,1 100,5 0 51 12,70 0 0 18 58 20 100,8 100,8 100,8 100,8 0 0 00 0 -1 18 58 15 101,4 100,7 101,4 101,1 50,4 0 12,60 -1 1 18 56 25 100,5 100,4 99,76 100,1 0,99 49,9 16,70 -1 0 18 56 20 100,4 100,3 100,4 100,3 1,2 0 0,360 -1 -1 18 56 15 101 100,2 101 100,6 64,3 0,04 15,7-1 1 1 16 60 25 99,75 99,79 98,96 99,38 0,16 62,7 13,8-1 1 0 16 60 20 99,68 99,71 99,6 99,66 0,09 0,64 0,04-1 1 -1 16 60 15 100,3 99,63 100,2 99,94 40,7 0,09 10,8-1 0 1 16 58 25 99,3 99,31 98,59 98,95 0,01 51,1 12,4-1 0 0 16 58 20 99,23 99,23 99,23 99,23 0 0 0-1 0 -1 16 58 15 99,8 99,15 99,87 99,51 42,4 0,49 8,44-1 -1 1 16 56 25 98,95 98,83 98,22 98,52 1,47 54,4 18,9-1 -1 0 16 56 20 98,89 98,75 98,86 98,8 2 0,09 0,83-1 -1 -1 16 56 15 99,44 98,67 99,5 99,08 60 0,36 13,1
Tabela 5. Comparativo entre os Delineamentos
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
3211 08,048,054,177,100 xxxY
3212 x64,0x37,0x54,177,100Y
3213 x28,0x815,1x43,077,100Y
Aproximações Lineares:
One-side Gradient Design I
One-side Gradient Design II
Central Gradient Design
DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS
DISCUSSÕES E CONCLUSÕESDISCUSSÕES E CONCLUSÕES
Comparação Entre Delineamentos Experimentais
Ajuste das funções obtidas pelos métodosDesvio Médio Quadrático
Avaliação dos métodos
i. Número de testes necessários. One-Side Gradient I e II: “n+1” coef. “n+1” testes.
Central Gradient Design: “n+1” coef. “2n+1” testes.
ii. Precisão da aproximação 21,33
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
[1] Laranja, Roberto; Brito, Jorge, 2003 - Verificação Probabilística da Segurança das Estruturas, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa.
[2] Barbosa, Anderson; Freitas, Marcílio; Neves, Francisco; Confiabilidade Estrutural Utilizando o Método de Monte Carlo e Redes Neurais, Universidade Federal de Ouro Preto, 2004
[3] Cardoso, João; Almeida, João; Dias, José; Utilização do Método de Monte-Carlo em Fiabilidade de Estruturas, Centro de Investigação em Estruturas e Construção, 2003
[4] Krakovski, M. B. Optimization of RC Structures using Design of Experiments. Computers & Structures, Vol. 63, n 1, 1997.