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Andrea Isabel Rojas Eraso
Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes
Ferroviárias de Concreto Armado
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientadora: Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Co-orientadora: Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida
Rio de Janeiro
Setembro de 2011
Andrea Isabel Rojas Eraso
Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes
Ferroviárias de Concreto Armado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida Co-orientadora
Universidade Federal Fluminense
Prof.ª Claudia Maria de Oliveira Campos Universidade Federal Fluminense
Prof. Rodrigo Bird Burgos Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 9 de setembro de 2011
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
Andrea Isabel Rojas Eraso
Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade de Nariño,
Pasto - Colombia, em 2008. Atua na área de Confiabilidade
estrutural com ènfase em concreto armado.
Ficha Catalográfica
Rojas Eraso, Andrea Isabel
Análise de confiabilidade de longarinas de pontes
ferroviárias de concreto armado / Andrea Isabel Rojas
Eraso; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco; co-
orientadora: Andréia A. Diniz de Almeida – 2011. .
128 f. : il. (color.) ; 30 cm
Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia
Civil, 2011.
Inclui bibliografia
1. Engenharia Civil – Teses. 2. Concreto
armado. 3. Confiabilidade de estruturas. 4. Estado limite
último. 5. Confiabilidade de estruturas.
I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Almeida, Andreia A
Diniz. III. Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
“Não há sabedoria alguma, nem discernimento algum, nem plano
algum que possa opor-se ao Senhor. Prepara-se o cavalo para o
dia da batalha, mas o Senhor é que dá a vitória”. Prov. 21:30-31
Agradecimentos
A Deus pelo seu amor e sua fidelidade, nada teria sentido sem sua maravilhosa
presença.
Aos meus pais e a minha família pelo seu amor, seu apoio, suas orações, por ter
sempre as palavras oportunas no momento certo.
A minha orientadora Marta de Souza Lima Velasco, pelos conhecimentos
transmitidos e por toda sua colaboração.
A Andréia A. Diniz minha co-orientadora, pelos conhecimentos transmitidos,
disponibilidade, paciência, incentivo e principalmente pela amizade desenvolvida
ao longo destes anos.
Aos professores do departamento, especialmente ao professor Rodrigo Bird
Burgos pelos ensinamentos e colaboração neste trabalho.
A todos os amigos e colegas que me acompanharam nesta caminhada, pelos
bons momentos compartilhados.
A Lorena Chamorro pela sua amizade e seu apoio, pelas longas noites de
trabalhos e por cada momento compartilhado juntas.
A todas as pessoas que direta ou indiretamente, contribuíram para a realização
deste trabalho, cada aporte foi fundamental.
A CAPES e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.
Resumo
Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima; Almeida, Andreia A.
Diniz. Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de
Concreto Armado, Rio de Janeiro, 2011. 128 p. Dissertação de Mestrado -
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
Em todo projeto de estruturas de engenharia existem incertezas associadas às
propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos. Essas
incertezas geralmente são consideradas através de fatores de segurança. A análise de
confiabilidade aplicada ao projeto de estruturas é uma ferramenta que permite avaliar a
probabilidade de falha da estrutura para um determinado modo de comportamento e a
sensibilidade deste projeto em relação às variáveis consideradas. Neste trabalho são
aplicadas estratégias de avaliação da confiabilidade das vigas principais de uma ponte
existente de concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão
simples e no estado último de serviço na formação de fissuras, segundo as recomendações
da NBR6118:2003. Foram desenvolvidas rotinas com o auxílio do programa Matlab para
avaliar a probabilidade de falha da ponte segundo o método de simulação de Monte Carlo e
o método FORM (First Order Reliability Method). Também é realizada uma análise de
sensibilidade para analisar a influência de cada variável na confiabilidade da ponte.
Palavras-chave
Pontes Ferroviárias; confiabilidade; concreto armado; estruturas existentes.
Abstract
Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor);
Almeida, Andreia A. Diniz (Co-Advisor). Reliability Analysis for
Stringers of Concrete Railway Bridges. Rio de Janeiro, 2011. 128p. MSc.
Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
In the project of engineering structures, some design variables are usually
taken as deterministic, although there are uncertainties associated with loads,
material and geometrical properties. The use of safety factors is the most common
strategy to deal with these uncertainties. The reliability analysis of structures is a
tool to assess the probability of structural failure in a certain behavior and the
sensitivity of this failure in relation to each variable considered. This work is
concerned with the reliability analysis of the main beams of an existing bridge
made of reinforced concrete, which is checked at the ultimate limit state in simple
bending and the ultimate state of service in the formation of cracks as
recommended by NBR6118: 2003. Matlab routines are developed in order to
assess the probability of failure of the bridge using two methods: Monte Carlo
simulation and FORM (First Order Reliability Method). Additionally, a sensitivity
analysis is performed in order to analyze the influence of each variable in the
reliability of the bridge.
Keywords
Railway bridges; reliability; reinforced concrete; existing structures.
Sumário
1 Introdução 21
1.1. Considerações Iniciais 21
1.2. Objetivo 22
1.3. Organização do Trabalho 23
2 Revisão Bibliográfica 25
2.1. Estruturas Existentes 25
2.2. Monitoração e Gerenciamento de Pontes 29
2.3. Fadiga 33
2.4. Pontes de Concreto Armado 35
2.5. Códigos de Calibração 36
2.6. Modelos de Carga 38
2.7. O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha 39
2.8. Programas Computacionais 40
3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos 41
3.1. Panorama Geral do que é Feito 41
3.2. Normas Técnicas 44
4 Confiabilidade Estrutural 45
4.1. Introdução 45
4.2. Estados Limites 48
4.3. Função de Estado Limite 49
4.4. Probabilidade de Falha 49
4.5. Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha 51
4.5.1. Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method) 52
4.5.2. Análise de Sensibilidade 56
4.5.3. Método de Simulação de Monte Carlo 56
4.6. Índice de Confiabilidade de Referência 58
5 Formulação do Problema 61
5.1. Introdução 61
5.2. Verificação de Segurança no Estado Limite Último 61
5.3. Variáveis Aleatórias 62
5.4. Função de Estado Limite 64
5.5. Momento Resistente 64
5.6. Momento Solicitante 68
5.7. Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço 71
5.7.1. Estado Limite de Formação de Fissuras 71
5.7.2. Estado Limite de Abertura de Fissuras 74
5.8. Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao
Estado Limite de Ruptura 79
6 Estudo de Caso 83
6.1. Descrição Geral da Ponte 83
6.2. Análise de Confiabilidade da Ponte 84
6.2.1. Análise com Seis Variáveis Aleatórias 86
6.2.2. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias 88
6.2.3. Análise com Três Variáveis Aleatórias 93
6.2.4. Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na
Probabilidade de Falha 94
6.2.5. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha 97
6.2.6. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias sem Considerar Coeficientes
de Segurança 99
6.2.7. Influência da Variação COV da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de
Falha 101
6.2.8. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha 103
6.3. Análise no Estado Limite de Serviço na Formação de Fissuras 105
7 Conclusões e Sugestões 107
7.1. Sugestões 108
8 Referências Bibliográficas 109
Anexo A Teoria de Probabilidade 119
A.1. Introdução 119
A.2. Variável Aleatória 119
A.3. Função Cumulativa de Distribuição (CDF) e Função Densidade de
Probabilidade (PDF) 119
A.4. Principais Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua 121
A.5. Distribuições de Probabilidade 122
A.5.1. Distribuição Normal ou Gaussiana 122
A.5.2. Outras Distribuições 122
A.5.3. Distribuições Normais Equivalentes 124
A.5.4. Coeficientes de Correlação Equivalentes 124
A.6. Coeficientes Parciais de Segurança 125
A.7. Valores Característicos das Variáveis 126
Lista de figuras
Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas
(adaptado de Catbas et al 2008) 32
Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando
SHM (adaptado de Catbas et al 2008 ). 32
Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002) 50
Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002). 51
Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido
normal padrão (fonte: Choi e Youn 2001). 53
Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies
côncavas e convexas (fonte: Lopez 2007). 53
Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto
para um problema com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001). 55
Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal
(fonte: NBR 6118:2003) 65
Figura 5.2. Seção Tipo da ponte 66
Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T 67
Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico,
Veloso et al 2007). 69
Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 69
Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação. 72
Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003) 78
Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise
implementadas no programa de confiabilidade de estruturas. 82
Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho
(fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 83
Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico,
Veloso et al 2007). 84
Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da
longarina 35 cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório
Técnico, Veloso et al 2007). 84
Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM
para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91
Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM
para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91
Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises
feitas com seis, quatro e três variáveis aleatórias. 94
Figura 6.7. Variação do índice de confiabilidade em função do COV
da carga móvel Q. 96
Figura 6.8. Variação do fator de importância em função do COV de Q. 96
Figura 6.9. Comparação do índice de confiabilidade em função
da variação de Q 98
Figura 6.10. Comparação da probabilidade de falha em função
da variação de Q 98
Figura 6.11. Fator de importância em função da variação da carga móvel Q. 99
Figura 6.12. Comparação da probabilidade de falha obtida
com e sem coeficientes de segurança 100
Figura 6.13. Variação do índice de confiabilidade em função do COV
da carga móvel Q, sem coeficientes de segurança. 102
Figura 6.14. Variação do fator de importância em função do COV de Q,
sem coeficientes de segurança. 103
Figura 6.15. Comparação do índice de confiabilidade em função da
variação de Q sem coeficientes de segurança 104
Figura 6.16 Probabilidade de falha em função da variação de Q
sem coeficientes de segurança 104
Figura A.1 (a) Função Densidade de Probabilidade (PDF) e
(b) Função Cumulativa de Distribuição (CDF). 120
Figura A.2. Valor característico típico para a variável Resistência S
(fonte: James 2003) 127
Figura A.3. Valor característico típico para a variável solicitação S
(fonte: James 2003) 128
Lista de tabelas
Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007) 28
Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e
Probabilidade de falha Pf associadas, relacionadas ao estado limite último. 59
Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e
probabilidade de falha Pf associados ao estado limite de serviço 60
Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias 63
Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (wk), para combinação freqüente,
em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003). 74
Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental 74
Tabela 6.1. Seções consideradas na análise 85
Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias 85
Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas 85
Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção 85
Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de
Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar
armadura de pele. 86
Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas
segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de
pele para 6 variáveis aleatórias. 87
Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de
Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele 88
Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas
segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele
para 6 variáveis aleatórias. 88
Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de
Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele. 89
Tabela 6.10. Comparação das probabilidades de falha calculadas
segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele
para 4 variáveis aleatórias. 89
Tabela 6.11. Resultado da probabilidade de falha para os métodos:
simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias
com armadura de pele 90
Tabela 6.12. Comparação das probabilidades de falha calculadas
segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele
para 4 variáveis aleatórias 90
Tabela 6.13. Comparação entre as análises feitas com o FORM para
seis e quatro variáveis aleatórias 90
Tabela 6.14. Valores característicos e valores médios das variáveis
aleatórias 92
Tabela 6.15. Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias 92
Tabela 6.16. Comparação entre as análises feitas com o FORM
para quatro variáveis aleatórias. 93
Tabela 6.17. Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias 93
Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis
variáveis aleatórias. 94
Tabela 6.19. Análise de sensibilidade da probabilidade de falha
em função do COV da carga móvel Q. 95
Tabela 6.20. Valores característicos e valores médios da carga móvel Q 97
Tabela 6.21. Resultado do FORM para quatro variáveis aleatórias
com carga móvel Q aumentada 25% 50% e 100% 97
Tabela 6.22. Analises para quatro variáveis aleatórias pelo método
FORM, considerando a armadura de pele. 100
Tabela 6.23. Resultados obtidos com e sem coeficientes de segurança 100
Tabela 6.24. Análises para quatro variáveis aleatórias pelo
método FORM, desconsiderando a armadura de pele. 101
Tabela 6.25. Comparação entre os dados obtidos com e sem
coeficientes de segurança, sem armadura de pele. 101
Tabela 6.26. Resultados da análise de sensibilidade da probabilidade
de falha em função do COV da carga Q, sem considerar
coeficientes de segurança 102
Tabela 6.27. Resultado do método FORM variando a carga
móvel, sem considerar coeficientes de segurança 103
Tabela 6.28. Resultados (via FORM), para o estado limite de
formação de fissuras 105
Tabela A.1. Distribuições de probabilidade mais utilizadas 123
Lista de Símbolos
Romanos
a
Acri
As
A’s
b
bf
bw
C
d
d’
Ecs
Es
E(X)
F
F
fcd
fck
fct
fct,m
Fd,ser
Fgik
Fq1k
FR(s)
fR
fR(r)
fRS
fRS(r,s)
fS
fS(s)
fs(s)ds
Parâmetro da distribuição Uniforme
Área da região de envolvimento
Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração
Área da seção da armadura longitudinal de compressão
Parâmetro da distribuição Uniforme
Largura da mesa da viga
Largura da alma da viga
Valor da confiabilidade da estrutura
Altura útil
Altura útil
Módulo de elasticidade secante do concreto
Módulo de elasticidade do aço
Valor médio ou a média de uma variável aleatória X
Domínio de falha
Valor que depende somente de ij e dos coeficientes de variação das
variáveis aleatórias não normais
Resistência de cálculo à compressão do concreto
Resistência à compressão do concreto
Resistência à tração direta do concreto
Resistência media do concreto a tração
Valor de cálculo das ações para combinações de serviço
Valor característico das ações permanentes
Valor característico da ação variável principal direta
Representa a probabilidade de R≤s
Função densidade de probabilidade marginal da resistência
Função densidade de probabilidade da resistência
Função densidade de probabilidade conjunta
Função conjunta de densidade de probabilidade de R e S
Função densidade de probabilidade marginal da solicitação
Função densidade de probabilidade da solicitação
Representa a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds
Fx(X)
fx(X)
fyd
fyk
g(Y)
g(YK)
G(X)
h
hf
Ic
Ie
Ii
I
J
k
k
kR
kS
L
ns
m
Mf
Mrd
Msd
Msp
Mspadic
Msp1
Msq
Função cumulativa de distribuição
Função densidade de probabilidade
Resistência de cálculo à tração do aço
Resistência à tração do aço
Função de falha escrita em função das variáveis no espaço normal
padrão
Valor da função de falha no espaço reduzido
Função de estado limite no espaço original
Altura da viga
Altura das asas da viga
Momento de inércia da seção bruta do concreto
Momento equivalente segundo a formula de Brandson
Fator de importância
Momento de inércia no Estádio II puro
Jacobiano da transformação de Nataf
Nível de confiança desejado
Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo
(Weibull)
Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a
resistência e do percentil especificada para o valor característico
Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a
solicitação e do percentil especificada para o valor característico
Matriz triangular inferior obtida a partir da decomposição de Choleski
da matriz dos coeficientes de correlações equivalentes das variáveis
X
Número de simulações para o método de simulação de Monte Carlo
Vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias X
Momento de fissuração
Momento resistente de cálculo
Momento solicitante de cálculo
Momento solicitante por carga permanente
Momento solicitante por carga adicional para cálculo do momento por
carga permanente
Momento auxiliar para o cálculo do momento solicitante por carga
permanente
Momento solicitante por carga móvel
Msq1
Pf
Pfadm
Q
Qin
R
Rcd
Rn
RK
Rsd
R’sd
S
SK
u
v
Var(X)
w
w1
w2
wk
x
X
X
X2lim
X3lim
Y
Y*
yt
Momento auxiliar para o cálculo do momento por carga móvel
Probabilidade de falha associada ao problema
Probabilidade de falha admissível
Carga móvel
Valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito)
Resistência do elemento
Força que age no concreto
Resistência nominal
Valor característico da resistência
Força que age no aço de tração
Força que age no aço de compressão
Solicitação imposta ao elemento
Valor característico da solicitação
Parâmetro da distribuição Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo
Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo
(Weibull)
Variância de uma variável aleatória X
Abertura de fissura
Abertura de fissura 1
Abertura de fissura 2
Abertura máxima das fissuras
Profundidade da linha neutra
Indicador de variável aleatória
Posição da linha neutra no estádio II
Altura limite para o domínio 2
Altura limite para o domínio 3
Variáveis normais padrão estatisticamente independentes
Ponto de projeto no espaço reduzido
Distancia do centro de gravidade da seção transversal a sua fibra
mais tracionada
Gregos
α Parâmetro da distribuição Rayleigh
α Valor que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na
flexão com a resistência à tração direta
αe Relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de
elasticidade secante do concreto
αi2
Co-seno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no ponto de
projeto e o eixo da variável reduzida
β Índice de confiabilidade
βadm Índice de confiabilidade admissível
βT Índice de confiabilidade de referência
Г Matriz inversa da matriz L
Peso específico do concreto
i Coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito)
k Coeficiente de segurança global ou característico
εs Deformação da armadura
εc Deformação da fibra de concreto
εyd Deformação do cálculo do aço correspondente a tensão de
escoamento
Coeficiente de conformação superficial
λ Parâmetro da distribuição Lognormal
λo Coeficiente de segurança central
λk Coeficiente de majoração da solicitação
μR Valor médio da resistência
μS Valor médio da solicitação
μX Valor médio de uma variável aleatória X
N
Xμ Média normal equivalente no ponto x*
ξ Parâmetro da distribuição Lognormal
ij Coeficiente de correlação entre as variáveis Xi e Xj
E
ijρ Coeficiente de correlação equivalente
r Taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da
região de envolvimento.
σ Matriz diagonal contendo os desvios padrões normais equivalentes
das variáveis aleatórias X
σ Tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas esperadas
durante a vida útil da estrutura
σadm Tensão admissível
σlim Tensão limite
N
Xσ Desvio padrão normal equivalente no ponto x*
σs Tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada
calculada no Estádio II
σsd Tensão de cálculo à compressão no concreto
σ’sd Tensão de cálculo á tração no concreto
σR Parâmetro da distribuição Rayleigh
σX Desvio padrão de uma variável aleatória X
τ Parâmetro das distribuições Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo
Ф Fator de minoração da resistência
Função de distribuição cumulativa da variável normal padrão
Ф( ) Função densidade de probabilidade normal padrão
)(1 Inversa da distribuição cumulativa normal padrão
Representa a função de densidade de probabilidade
Diâmetro da barra utilizada na armadura de tração
υ Coeficiente de impacto
υk Coeficiente de minoração da resistência
Fator de redução de combinação freqüente para estado limite de
serviço
Fator de redução de combinação quase freqüente para estado limite
de serviço
g(YK)
Gradiente da função de falha no espaço reduzido, avaliada no ponto
de projeto para iteração K, YK.
G(X) Gradiente da função de falha no espaço original avaliado no ponto X
g(Y*)i Componente do gradiente da função de estado no espaço reduzido
Lista de Abreviaturas
AASHTO
ASCE
BMS
CEB
CDF
COV
C.S.
CVRD
EFC
ELF
ELS
ELU
FORM
FOSM
HLRF
ISO
JCSS
LRFD
LRFD
NBR
NiCAE
RSM
SHM
SORM
VA
American Association of State Highway and Transportation Officials
American Society of Civil Engineers
Bridge Management System (Sistema de gerenciamento de pontes)
Comite Euro-International Du Beton
Cumulative Distribution Function (Função Cumulativa de
Distribuição)
Coeficiente de variação
Coeficiente de segurança
Companhia Vale do Rio Doce
Estrada de Ferro Carajás
Estado limite de fadiga
Estado limite de serviço
Estado limite último
First Order Reliability Method (Método de Confiabilidade de Primeira
Ordem)
First Order Second Moment (Método de Confiabilidade de primeira
ordem e segundo momento)
Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler
International Organization for Standardization
Joint Committee on Structural Safety (Comitê de Segurança
Estrutural)
Load Factor Design
Load and Resistance Factor Design
Norma Brasileira Registrada
Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia
Probability Density Function (Função Densidade de Probabilidade)
Response Surface Methodology (Métodos de superfície de resposta)
Structural Health Monitoring (Monitoramento da Saúde Estrutural)
Second Order Realibility Method (Método de Confiabilidade de
Segunda Ordem)
Variável Aleatória
1 Introdução
1.1. Considerações Iniciais
As pontes constituem uma porção significativa da rede viária. O número
de pontes e a idade das pontes existentes aumentam continuamente e como
consequência, os problemas relacionados com a deterioração de estruturas e
perda de funcionalidade também aumentam. Portanto, nos últimos anos, têm
sido desenvolvidas pesquisas com objetivo de obter base para uma avaliação
racional da condição das pontes.
O transporte ferroviário é um instrumento para o desenvolvimento
sustentável dos países que o promovem, além de ser um meio de fácil e rápida
movimentação de pessoas e mercadorias entre países, o que conduz ao
crescimento econômico e à união social dos países que o desenvolvem. No
Brasil, a avaliação de pontes ferroviárias existentes é importante para seu
desenvolvimento econômico, considerando que conta com grande numero desse
tipo de obras de arte, como por exemplo, o país conta com a Estrada de Ferro
Carajás (EFC) catalogada como uma das ferrovias com melhores índices de
produtividade do mundo.
A implantação dos avanços tecnológicos na construção e recuperação das
pontes ferroviárias é muito importante para o desenvolvimento do país. O mau
estado das pontes causa desconforto e insegurança aos usuários, além de
elevar os custos de manutenção das mesmas.
Todo projeto estrutural deve considerar as incertezas associadas às
propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos.
Essas incertezas impossibilitam que a estrutura apresente uma segurança
absoluta, pois uma determinada combinação de valores das variáveis pode
resultar numa condição de falha. Para se considerar a natureza probabilística
dessas incertezas, é preciso identificar e definir estas quantidades como
variáveis aleatórias no modelo de análise. A maneira simples, adotada nas
normas, de considerar essas incertezas é através da adoção de coeficientes
parciais de segurança, para majorar as solicitações e minorar as resistências,
22
aplicados aos valores característicos das variáveis transformando-os em valores
de cálculo. Os coeficientes de segurança visam criar margens de segurança
para controlar o risco de falha estrutural (Junior, 2008). O objetivo dessas
normas não é garantir a segurança absoluta, e sim atingir um nível de risco
aceitável, consistente com as necessidades econômicas e de segurança pública.
A análise de confiabilidade é uma alternativa aos procedimentos
convencionais de cálculo, como os adotados pelas normas de projeto de
estruturas que recomendam a aplicação de uma filosofia semi-probabilística de
segurança (Lopes, 2007). Nessa análise é considerado um modelo probabilístico
para cada variável aleatória, definido por um determinado valor esperado
(média), uma medida de dispersão (desvio padrão ou coeficiente de variação),
uma distribuição de probabilidades e uma medida de correlação entre elas.
O principal objetivo da confiabilidade de estruturas é determinar a
probabilidade de ocorrência de um cenário de falha na estrutura. Uma análise de
confiabilidade permite, também, estimar a sensibilidade do projeto em relação às
variáveis aleatórias consideradas no modelo. Essa informação é importante
porque possibilita saber qual a influência de cada variável aleatória na
probabilidade de falha.
É evidente o crescente uso de processos probabilísticos na quantificação
da segurança em diversos tipos de estruturas. Buscando projetos mais
otimizados, com medidas mais realistas do grau de segurança, a utilização de
teoria da confiabilidade vem se tornando uma aliada poderosa para os
engenheiros estruturais.
1.2. Objetivo
A contribuição principal deste trabalho é estabelecer e implementar
estratégias da avaliação de confiabilidade de pontes ferroviárias existentes.
Essas estratégias são aplicadas às vigas principais de uma ponte existente de
concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão
simples, e no estado último de serviço na formação de fissuras segundo as
recomendações da NBR6118:2003.
A probabilidade de falha da ponte é avaliada seguindo dois métodos: o
método de simulação de Monte Carlo e o método de primeira ordem (FORM -
First Order Reliability Method), com o objetivo de comparar os resultados e
23
determinar qual é o mais adequado para as analises desenvolvidas. São
desenvolvidas rotinas no programa Matlab considerando as duas metodologias.
O índice de confiabilidade β é encontrado com o FORM e é feita uma
análise de sensibilidade para analisar a influência de cada variável na
confiabilidade da ponte. A partir dessas análises é determinado o número de
variáveis aleatórias que permitam encontrar resultados do índice de
confiabilidade e da probabilidade de falha com precisão aceitável.
Uma vez que a variável mais importante é determinada, são considerados
diferentes valores para seu coeficiente de variação, visando estudar a influência
da mesma na probabilidade de falha da ponte. É analisada, também, a
sensibilidade da carga móvel dentro dos resultados do índice de confiabilidade e
da probabilidade de falha.
1.3. Organização do Trabalho
Este trabalho é apresentado em diversos capítulos organizados conforme
a descrição a seguir.
No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica dos diferentes
estudos feitos no campo da confiabilidade estrutural aplicada a pontes
existentes, dando um panorama do que tem sido feito nos últimos anos, o que é
feito atualmente e as possíveis pesquisas que ainda tem que ser desenvolvidas.
No Capítulo 3 é apresentada, de forma sintetizada, uma sistemática para
avaliação das pontes existentes, as normas vigentes que são aplicadas nessas
sistemáticas e quais são as medições que fornecem informações importantes
dentro deste tipo de estudo.
O Capítulo 4 apresenta uma descrição dos conceitos fundamentais da
confiabilidade estrutural. São abordados o método de simulação de Monte Carlo
e o método de análise de primeira ordem FORM para o cálculo da probabilidade
de falha.
No Capítulo 5 é apresentada uma metodologia para análise de
confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado. São
discutidos os dados de entrada, a determinação das funções de estado limite, o
método de avaliação da probabilidade de falha, os resultados obtidos, e os
valores de referência para o índice de confiabilidade.
No Capítulo 6 é apresentado um exemplo aplicado a uma ponte existente
de concreto armado. As longarinas são verificadas no estado limite último na
24
flexão simples e no estado limite de serviço na formação de fissuras. São
apresentados os modelos probabilísticos adotados para as variáveis aleatórias
consideradas. São feitas análises considerando diferentes quantidades de
variáveis aleatórias segundo a sensibilidade de cada uma delas dentro do
cálculo da probabilidade de falha da estrutura. É determinada a variável mais
importante através de uma análise de sensibilidade, uma vez que essa variável é
determinada, são feitas análises considerando mudanças em seus parâmetros,
para determinar a influência dessas mudanças no cálculo do índice de
confiabilidade e na probabilidade de falha da ponte.
O Capítulo 7 é constituído pelas conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
2 Revisão Bibliográfica
Nesse capítulo é apresentada uma breve descrição de alguns trabalhos
publicados na literatura técnica sobre análises de confiabilidade de estruturas
existentes, enfatizando aqueles aplicados a pontes. A revisão apresentada faz
uma classificação dos trabalhos de acordo com temas específicos, em função
dos interesses da pesquisa proposta. Foca-se primeiro no cenário das estruturas
existentes, ressaltando a importância da análise probabilística, e a seguir
descrevem-se brevemente os níveis de avaliação de segurança das mesmas.
Também são abordados conceitos relacionados com a monitoração e o
gerenciamento. Pesquisas de sistemas de gerenciamento de pontes (BMS –
Bridge Management System) e monitoração da saúde estrutural (SHM –
Structural Health Monitoring) são apresentadas, enfatizando a importância da
interação da análise de confiabilidade e a SHM dentro dos sistemas de
gerenciamento das pontes.
Estudos realizados para a determinação da vida útil à fadiga e para pontes
de pontes de concreto são apresentados. Consideram-se conceitos gerais dos
códigos de calibração e modelos de carga. Finalmente, são descritos estudos
que usaram o FORM como método de análise de confiabilidade, apresentando
suas vantagens e desvantagens, ressaltando estudos relacionados com a
implementação de programas computacionais.
2.1. Estruturas Existentes
Na ausência de informação adequada para a inspeção e avaliação da
segurança de pontes existentes, geralmente, afere-se a segurança estrutural
utilizando regulamentos dedicados ao dimensionamento de estruturas novas.
Infelizmente, tal metodologia pode ser imprópria e demasiado conservadora para
algumas estruturas; em alguns casos, pode conduzir à desnecessária
substituição ou reforço de uma estrutura, provocando investimentos
desnecessários e perturbando o tráfego com todos os custos que advêm, (Cruz
et al, 2008). A avaliação do estado de uma estrutura existente é uma situação
26
específica e, portanto, um processo técnico único e difícil de generalizar,
(Ellingwood, 1996).
A avaliação de estruturas existentes difere do projeto de novas estruturas,
uma vez que as incertezas associadas ao problema podem ser maiores
(degradação) ou menores (informações oriundas de ensaios do comportamento
dos materiais, e da geometria). De acordo com Faber (2000), a diferença
fundamental entre a avaliação de uma estrutura existente e o projeto de novas
estruturas é a quantidade de informação disponível sobre a estrutura. Em
estruturas existentes sempre é possível incrementar o nível de precisão dos
modelos de cálculo através da aquisição de mais dados sobre a estrutura
analisada. Por isso, é de muita importância a implementação de métodos
probabilísticos modernos na avaliação de confiabilidade de estruturas existentes,
(Diamantidis, 1987).
A análise probabilística de estruturas existentes pode ser vista como uma
extensão da análise probabilística para o projeto de estruturas. Ela constitui uma
ferramenta racional para incorporar a informação adicional e comparar o nível de
confiabilidade atual com o nível de confiabilidade assumido (inerente nas
normas). Essa flexibilidade em termos de atualização da informação não é
possível quando são empregadas normas determinísticas, (Diamantidis, 1987).
Diamantidis e Bazzurro (2007) fizeram um estudo do critério da aceitação
da segurança de estruturas existentes, baseados nas normas e metodologias
atuais. Os autores ressaltaram que mesmo empregando uma abordagem
probabilística não se deve descartar de imediato o nível de segurança das
normas vigentes já que aspectos de segurança de estruturas existentes são
considerados em padrões e recomendações nacionais e internacionais. As
diretrizes do Instituto Americano de Concreto (ACI 2003) e as recomendações da
comissão de segurança estrutural (JCSS 2001) são exemplos típicos.
A importância da abordagem probabilística é ressaltada na pesquisa de
Wisniewski et al (2009), que estudam a avaliação baseada em probabilidade de
pontes existentes de concreto armado e protendido, e apresentam novos
modelos probabilísticos de resistência última para cisalhamento e flexão de
seções típicas. Nesse trabalho, são utilizados métodos de análise avançados e
dados mais recentes da geometria da ponte, das propriedades dos materiais e
suas variações. A ponte Barrela de Portugal foi considerada como o caso de
estudo, o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) é utilizado, além
das abordagens dos valores médios e dos coeficientes parciais de segurança. O
artigo apresenta claramente os benefícios do uso dos métodos probabilísticos na
27
avaliação de pontes existentes e demonstra como a análise de confiabilidade
pode tornar-se simples quando os modelos apresentados são utilizados.
De acordo com Frangopol et al (2003), para determinar a segurança de
uma estrutura existente podem-se considerar três abordagens que são: (a)
opinião de especialistas, (b) dados de testes de campo e (c) análise de
confiabilidade. A opinião de especialistas é altamente incerta e pode demorar
muitos anos até reunir as informações necessárias. Os dados de campo são
úteis se existe informação suficiente obtida através de testes técnicos de boa
precisão. A análise de confiabilidade trata as incertezas e pode ser feita em
diferentes níveis variando a complexidade da mesma de acordo com a
informação disponível.
Diferentes níveis de avaliação têm sido considerados por diversos estudos
na avaliação da segurança de estruturas (Bailes et al 1996; Tanner e Ortega
2000; SB-LRA 2007; Wisniewski 2007; Cruz et al 2008), tais níveis são
classificados a depender da modelagem da capacidade e das solicitações, do
método de análise e dos métodos de avaliação.
Cruz et al (2008) explicam de forma simples todos os níveis de avaliação
de segurança de pontes começando pelo mais simples, onde se utiliza um
formato semelhante ao formato padrão atualmente empregado no projeto de
estruturas, até o mais sofisticado onde é aplicada uma abordagem totalmente
probabilística do sistema estrutural. O procedimento proposto para a avaliação
de segurança de uma ponte consiste em recorrer a um nível mais avançado
sempre que a ponte não cumprir os requisitos estabelecidos no nível prévio de
avaliação. Wisniewski (2007) resume os níveis na Tabela 2.1. Os níveis de
avaliação propostos são:
Simples: o método de avaliação mais simples é semelhante ao método que
é empregado no projeto de novas estruturas. As propriedades dos materiais
e os carregamentos são definidos utilizando valores característicos e de
cálculo. As cargas permanentes e móveis são definidas segundo os
regulamentos para o tipo de ponte analisada. Os efeitos das cargas são
calculados considerando um regime elástico-linear. A verificação da
segurança é realizada utilizando os coeficientes parciais de segurança,
considerando coeficientes de segurança calibrados para a avaliação de
estruturas existentes, ver Tabela 2.1 (Níveis 1 e 2).
Intermediário: Utiliza informação adicional sobre os parâmetros mecânicos
dos materiais que podem ser obtidos mediante ensaios e incorporados nos
modelos regulamentares através da atualização Bayesiana (Melchers, 2002).
28
Pode-se ainda utilizar os modelos determinísticos de carga de tráfego,
definidos especificamente para uma ponte particular utilizando os resultados
de observações e de medições de tráfego “real”. Permite-se considerar a
redistribuição parcial ou total dos esforços entre os vários elementos e as
diversas seções de uma estrutura. A avaliação de segurança é feita
utilizando os coeficientes parciais de segurança, mas com coeficientes
calibrados ou ajustados aos casos particulares, ver Tabela 2.1 (Níveis 3 e 4).
Avançado: Combina a análise não-linear com a análise probabilística. Todos
os parâmetros mecânicos dos materiais, da geometria e das cargas, são
considerados como variáveis probabilísticas, descritas por leis apropriadas
de densidade de probabilidade. Os modelos probabilísticos das variáveis
podem descrever, com grande rigor, a real variabilidade destas dentro de
uma ponte especifica. Mesmo as curvas de distribuição probabilística das
cargas de tráfego real que atuam em uma ponte específica podem ser
definidas com rigor, utilizando resultados da pesagem e do controle do
volume de tráfego, obtidos nas estações de pesagem dinâmica (wieght-in-
motion). Os métodos probabilísticos de avaliação da segurança permitem
utilizar toda a informação sobre a variabilidade dos parâmetros mencionados
e definir a segurança de uma ponte em termos da probabilidade de ocorrer
falha ou, o que é mais comum, em termos do índice de confiabilidade. Este
nível de avaliação da segurança pode ser considerado como a última
tentativa para evitar a reparação, reforço ou substituição de uma ponte, ver
Tabela 2.1 (Nível 5).
Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007)
Nível Modelo de Resistência e
modelo de carga Métodos de
análise Métodos de avaliação
1
Modelo de carga e de resistência como definido nos
códigos de projeto. Propriedades dos materiais
baseadas nas informações de projeto e nos regulamentos
Análise básica, comportamento linear elástico
Análise determinística. Coeficientes parciais de segurança tal como no
regulamento 2
Análise refinada. É permitida a
redistribuição de carga sempre que o nível de ductilidade
seja suficiente
3 As propriedades dos materiais e os modelos de carga podem ser
definidos com base nos resultados dos ensaios e
observações
4 Análise determinística. Coeficientes parciais de
segurança ajustados
5
Modelos totalmente probabilísticos definidos com
base nos resultados dos ensaios e no conhecimento
prévio
Análise probabilística
29
2.2. Monitoração e Gerenciamento de Pontes
Durante a última década, os conceitos de monitoração para sistemas
estruturais foram submetidos a um processo de rápido desenvolvimento. Eles
tornaram-se cada vez mais importantes no planejamento da intervenção
(manutenção, reparo, reabilitação, substituição) em estruturas novas e
existentes. No entanto, ainda há uma forte necessidade para o uso eficiente de
dados de monitoração estrutural na avaliação da confiabilidade estrutural e
predição de modelos. As medidas contínuas e simultâneas em distintos pontos
de um sistema estrutural deteriorado, proporcionadas por monitoração, permitem
a avaliação do comportamento da estrutura de acordo aos diferentes estados
limites, (Frangopol et al, 2008).
Strauss et al (2010) estudaram a avaliação de estruturas existentes
baseada em identificação. Este estudo apresenta um procedimento de
identificação que determina as propriedades mecânicas estruturais usando a
resposta de monitoramento estrutural. Uma abordagem de detecção não
destrutiva do dano baseada em medidas da resposta estrutural são
apresentados e verificados por experimentos de laboratório controlados e por
testes na estrutura real. A frequência das medições e sua sensibilidade às
mudanças nas características mecânicas, chamados fatores de sensibilidade,
são usados para predizer o lugar e a magnitude do dano. Este estudo é aplicado
a uma ponte existente na Suíça. O estudo conclui que os sistemas de
monitoramento se tornaram populares para avaliar o desempenho e a vida útil
remanescente tanto em estruturas novas como em estruturas existentes.
Cidades com grandes rodovias e ferrovias experimentam atualmente os
efeitos do envelhecimento e deterioração da rede de pontes. De acordo com
Casas (1999) para preservar a capacidade de carga e as condições de serviço
de pontes existentes, um programa extensivo de inspeção, reparo e reforço é
necessário. Ao longo dos anos, algumas instituições estão buscando organizar
os dados estruturais necessários para a administração e preservação das
pontes. Esta metodologia é conhecida como Sistema de Gerenciamento de
Pontes (BMS). A inspeção e avaliação da segurança e funcionalidade baseada
em valores reais são ferramentas importantes em um sistema eficiente de
gerenciamento de pontes e na otimização da utilização de fundos monetários,
(Frangopol et al, 2008). As informações armazenadas podem ser utilizadas de
30
várias formas, com o objetivo final de otimizar a aplicação de recursos e manter
níveis de segurança adequados, a curto e a longo prazos.
A importância do gerenciamento é ressaltada em alguns estudos. Entre
eles, Hai (2006) estuda o estado atual das pontes ferroviárias existentes no
Vietnam, concentrando-se nas deficiências das pontes de aço. São feitas
inspeções no local para encontrar os defeitos e problemas das pontes
ferroviárias existentes que apresentam condições físicas inadequadas. Além de
falhas estruturais, defeitos locais são identificados (corrosão, obsolescência,
fadiga e envelhecimento), onde as principais causas são a sobrecarga, os
impactos de colisão, as condições climáticas adversas e a manutenção precária.
O autor sugere que a manutenção deve ser priorizada para eliminar essas
deficiências e rapidamente eliminar as causas de problemas potenciais. Como
um objetivo a longo prazo, recomenda-se estabelecer um sistema de
gerenciamento adequado das pontes.
Xun e Qiang (2007) apresentam um estudo de avaliação de segurança e
previsão de vida útil de pontes existentes. Os resultados da avaliação de
segurança e as características dos danos para os diferentes tipos de pontes
podem ajudar ao departamento de gestão a obter um nível elevado de
segurança para a estrutura e levar adiante planos a médio e longo prazo de
transformação de tecnologia para futuras análises.
Dentro das pesquisas direcionadas à avaliação racional da condição da
estrutura da ponte, nos BMS, um tema estudado nos últimos anos é a
monitoração da saúde estrutural (SHM), (Culshaw 1998; Catbas et al 2000;
Farrar e Worden 2007; Liu et al 2009 a,b), que envolve a observação da
estrutura ao longo do tempo usando monitoramento periódico, a partir das quais
faz-se a extração das características sensíveis e através de uma análise
estatística determina-se o estado atual da saúde do sistema, (Farrar e Worden,
2007).
A SHM tem como propósito obter informação quantificada da saúde
estrutural, indicadores do progresso do dano estrutural e abordagens para
identificar e diagnosticar a natureza do dano. Uma descrição mais detalhada dos
SHM, sua história e a importância de sua aplicação podem ser encontradas nos
trabalhos de Auweraer e Peeters (2003), Balageas (2006) e Brownjohn (2007).
De acordo a Dissanayake e Karunananda (2008), conhecimentos
insuficientes sobre a monitoração da saúde estrutural e manutenção precária de
pontes causam grandes perdas econômicas, inaceitáveis independentemente da
riqueza do país. Esse cenário tem motivado muitas pesquisas que buscam uma
31
formulação geral para otimização de custos na manutenção de pontes e também
para a predição da vida útil da ponte. Vantagens da SHM incluem identificação
global e local dos parâmetros estruturais, obtendo dados para a identificação
estrutural, manutenção efetiva e operação. Os dados e as conclusões podem
também ser usados para aperfeiçoar projetos futuros e diagnósticos antes e
depois de condições de ameaça.
Segundo Catbas et al (2008), os SHM têm sido incrementados nos últimos
anos devido à necessidade da administração objetiva dos sistemas estruturais
no mundo. Ao mesmo tempo, métodos de análise estrutural probabilístico e
ferramentas de otimização são desenvolvidas para estimativa da capacidade da
ponte e estimativa do desempenho futuro da estrutura. A utilização da SHM pode
ser ampliada se as informações obtidas são empregadas na análise de
confiabilidade.
O resultado da interação entre a SHM e a análise de confiabilidade é um
assunto importante e relevante dentro dos Sistemas de Gerenciamento das
Pontes (BMS), embora só esteja sendo estudado há poucos anos e por tanto
ainda não se encontra muito desenvolvido. Neste contexto, é importante
considerar as incertezas na análise dos dados, e com previsões precisas é
possível estimar o tempo de ocorrência de falha, identificando o tempo adequado
para manutenção e proporcionando uma melhor avaliação custo/benefício e
análise do ciclo de vida para gerenciamento. Portanto, é necessária a integração
de novas técnicas oferecidas pela SHM e métodos numéricos e analíticos, como
ilustrado na Figura 2.1, (Catbas et al, 2008).
Os resultados da análise de confiabilidade conjuntamente com SHM para
pontes ferroviárias podem ser utilizados para prever a vida útil destas estruturas,
identificando as datas adequadas para manutenção, e fornecendo as previsões
realistas do grau de segurança remanescente na estrutura em função de
alterações no carregamento (trem-tipo).
32
Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas (adaptado de
Catbas et al 2008)
Na figura 2.2 é apresentado um esquema simplificado para avaliação da
confiabilidade de um sistema estrutural usando dados de sensores. Redes de
sensores e sistemas de aquisição de dados, que são elementos essenciais para
os sistemas SHM, são estabelecidos e projetados em paralelo com um modelo
detalhado da estrutura. Geralmente, um modelo preliminar de elementos finitos é
construído para estimar os locais críticos para o projeto de SHM, posteriormente
este modelo é refinado e calibrado com os dados do SHM, (Catbas et al, 2008).
Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando SHM (adaptado
de Catbas et al 2008 ).
A coleta de dados com grande número de sensores tornou-se disponível a
baixo custo para aplicações de SHM. Entretanto, com a capacidade de coletar
dados mais eficientemente, há uma crescente necessidade de desenvolvimento
de sistemas para análise de dados e interpretação de resultados de maneira
33
rápida e eficiente. Os algoritmos, métodos e abordagens de análise de dados
precisam ser desenvolvidos para proporcionar informações críticas num tempo
oportuno, (Catbas et al, 2008). Dentro das pesquisas de SHM aplicada a pontes,
estudos relacionados com a avaliação da fadiga são os mais desenvolvidos.
Frangopol et al (2010) apresentam uma abordagem para avaliação da
fadiga em pontes de aço, onde modelos de elementos finitos, e dados de
monitoração de campo de SHM, são usados para estimar a confiabilidade à
fadiga baseadas na metodologia de avaliação de fadiga da AASHTO (American
Association of State Highway and Transportation Officials). Os pontos críticos da
estrutura são identificados a partir do modelo de elementos finitos e a função de
estado limite desenvolvida para a análise de confiabilidade à fadiga leva em
conta os dados da monitoração da saúde estrutural. É observada a importância
de atualizar os dados originais com os obtidos na monitoração, para representar
verdadeiramente os intervalos de deformação devido à fadiga nos locais críticos
identificados. Os autores concluem que mais pesquisas ainda são necessárias
para a integração dos dados monitorados na avaliação da confiabilidade à fadiga
de pontes de aço usando técnicas estatísticas Bayesianas (Melchers, 2002).
2.3. Fadiga
A fadiga é provavelmente o mais importante modo de falha em sistemas
estruturais apresentando 80% das falhas de serviço observadas, (Wirsching
(1998)), portanto muitas pesquisas relacionadas com a fadiga em pontes têm
sido desenvolvidas (Bailey et al 1996; Tobias e Foutch 1997; Cho et al 2001;
Pourzeynali e Datta 2005; Imam et al 2006; Kühn et al 2008; Frangopol et al
2010 ).
Szerszen et al (1999) estudaram a confiabilidade a fadiga de pontes de
aço, e concluíram que a relação entre o coeficiente de confiabilidade e os anos
de serviço da ponte pode ser usada para predizer a vida remanescente da ponte.
De acordo com Kim et al (2001) os processos para avaliar a vida
remanescente à fadiga das pontes existentes de aço são classificados segundo
as cargas consideradas nos modelos em três categorias:
Procedimento simplificado: utiliza o histograma de frequência baseado em
dados reais para calcular os danos acumulados de fadiga. Esses danos são
avaliados para um número fixo de ciclos de carga e utilizados para estimar a
vida remanescente à fadiga.
34
Procedimento probabilístico: usa o modelo de distribuição de probabilidade
assumido baseado no histograma, é usado para estimar a vida útil
remanescente à fadiga com uma confiabilidade predeterminada.
Procedimento determinístico: usa o modelo de carga obtido a partir do
volume equivalente de passageiros.
O procedimento simplificado faz uma estimativa de vida remanescente à
fadiga 10 a 20% maior do que a do processo probabilístico. Verifica-se também
que o simples método determinístico pode ser adotado para avaliar a vida
remanescente à fadiga de uma ponte com precisão aceitável.
Um estudo similar considerando os três níveis de avaliação: determinístico,
semi-probabilístico e totalmente probabilístico, é feito para a ponte Padermo da
Itália por Pipinato e Modena (2010). O estudo apresenta uma abordagem
gradual e prática para a avaliação da integridade estrutural de pontes
deterioradas de aço. A avaliação de confiabilidade à fadiga é realizada
juntamente com a estimativa de tráfego, a fim de avaliar a vida remanescente à
fadiga. A aplicação desses procedimentos mostrou que uma análise detalhada
da fadiga ajuda a reduzir os custos necessários para substituições e reparos da
ponte, já que a avaliação permite encontrar os cenários mais críticos com o
intento de tomar decisões adequadas para o reparo da estrutura considerando o
melhor desempenho da ponte e a otimização dos custos.
Kwon e Frangopol (2010) estudaram a avaliação da confiabilidade à fadiga
de pontes de aço usando funções de densidade de probabilidade com base em
dados de monitoramento de campo. Eles encontraram que esta monitoração
pode ser usada satisfatoriamente para a avaliação da confiabilidade à fadiga e a
predição da vida remanescente a fadiga de pontes de aço. Uma aproximação
usando distribuição probabilística associada com o campo de tensão é proposta
para predizer efetivamente o intervalo de tensão equivalente para a avaliação da
confiabilidade de fadiga. Essa aproximação é utilizada em duas pontes
existentes localizadas na Pensilvânia. O estudo conclui que os dados de
monitoramento podem ser utilizados com sucesso na avaliação da confiabilidade
à fadiga e previsão da vida remanescente à fadiga de pontes de aço existentes,
e que futuros esforços são necessários para estabelecer uma metodologia
baseada em risco com o fim de lidar de forma mais adequada com as incertezas
associadas à fadiga de pontes existentes de aço.
35
2.4. Pontes de Concreto Armado
Dentro das pesquisas feitas em pontes de concreto destacam-se alguns
trabalhos comentados a seguir: Val et al (1998) estudam o efeito da corrosão na
confiabilidade de pontes, e apresentam um método de avaliação da
confiabilidade de lajes de pontes de concreto armado com armadura corroída.
São considerados dois tipos de corrosão: geral e localizada. A confiabilidade é
calculada usando o método de primeira ordem (FORM). Os resultados
mostraram que a corrosão localizada é potencialmente mais perigosa no estado
limite último (flexão) e a corrosão geral influencia a confiabilidade da ponte para
o estado limite de serviço (deflexão).
Casas (1999) apresenta uma avaliação de pontes de concreto existentes
na Espanha, onde considera uma aplicação prática das técnicas de avaliação
para três pontes de concreto diferentes. A primeira é uma ponte com arco de
alvenaria e concreto simples onde o estado limite mais crítico é o estado limite
último de forças axiais e flexão. A segunda é uma ponte com pórtico em concreto
armado onde a avaliação se concentra nos estados limites de flexão e
cisalhamento e a terceira é uma ponte em concreto protendido onde é analisado
o estado limite de flexão e fadiga. Os casos estudados demonstram que a
avaliação de pontes existentes de concreto baseada na teoria de confiabilidade é
ampla e pode ser aplicada a diferentes tipos de pontes para fornecer uma
medida do desempenho estrutural a ser usado na tomada de decisões sobre a
atualização e manutenção de pontes.
Frangopol et al (1999) apresentam uma abordagem onde são utilizados
métodos de confiabilidade com variação no tempo para pontes de concreto
armado submetidos a ataques ambientais. No estudo é avaliada a condição das
vigas de pontes de concreto armado usando confiabilidade de sistemas com
variação no tempo, nos quais tanto as resistências quanto as solicitações são
dependentes do tempo. Uma ponte existente de concreto armado com seção em
viga T localizada em Colorado é investigada. Os resultados obtidos podem ser
usados para guiar a seleção de modelos para análises de confiabilidade de
pontes e para o desenvolvimento de estratégias ótimas de manutenção
baseadas em confiabilidade para pontes de concreto armado.
Vu e Stewart (2000) estudaram a confiabilidade estrutural de pontes de
concreto deterioradas. Modelos de carga variante no tempo são propostos, e o
efeito da corrosão é estudado. Como resultado verifica-se que a aplicação de
36
sais de degelo provoca deterioração significativa a longo prazo e redução da
segurança estrutural. Os autores também observaram que a cobertura do
concreto e a relação água-cimento têm grande influência na probabilidade de
falha estrutural.
Pham e Al-Mahaidi (2008) apresentam um estudo de confiabilidade de
vigas de pontes de concreto adaptadas com polímeros reforçados com fibras,
com base nas recomendações fornecidas pelo Eurocode 2. O método de Monte
Carlo é empregado para avaliar a confiabilidade estrutural à flexão do concreto
armado. Essa análise proporciona as bases para recomendações dos fatores de
redução da capacidade para os diferentes modos de falha. O estudo é aplicado à
ponte Victoria na Austrália.
Hamutçuoglu e Scott (2009) apresentam um estudo de confiabilidade de
vigas de pontes considerando uma interação momento-cisalhamento. O estudo
mostra que a predição do comportamento estrutural e a modelagem da resposta
dos elementos de viga submetidos às cargas dos veículos em movimento são
essenciais no projeto de pontes. Por tanto a análise de confiabilidade é
necessária para avaliar o efeito que a variação dos parâmetros terá na resposta
da ponte e para determinar quais são os parâmetros que controlam a resposta.
Mediante exemplos numéricos, verifica-se que a análise pelo método de primeira
ordem (FORM) mostra o efeito que os parâmetros das incertezas têm na
interação do momento negativo e a força cortante perto dos suportes de uma
viga continua de uma ponte de concreto armado. A classificação das medidas da
importância das variáveis aleatórias indicou a presença da interação do
momento-cisalhamento no estado de falha mais provável.
2.5. Códigos de Calibração
Durante o século passado, consideráveis esforços foram dedicados ao
desenvolvimento de bases racionais para o projeto de estruturas, resultando em
vários códigos de projeto. O objetivo desses códigos, ainda em uso, é garantir
um projeto econômico, construção e operação das estruturas em conformidade
com as condições operacionais e os requerimentos de segurança considerados.
As pesquisas para o desenvolvimento de novas normas e códigos para os
projetos estruturais considerando os conceitos de confiabilidade e segurança
estrutural são um desafio importante. Por tal motivo o desenvolvimento de
códigos modernos de projeto é baseado nos princípios de análise de decisões
37
econômicas e métodos modernos de confiabilidade. Historicamente, a maior
concentração de estudos associados a códigos está concentrada no projeto de
estruturas novas. Porém, atualmente, o aumento do número de estruturas
importantes que estão envelhecendo justifica o redirecionamento do interesse
para abordagem das estruturas existentes, (Faber, 2000). Orientações e códigos
para a avaliação das estruturas existentes foram sugeridos, como por exemplo,
JCSS (Joint Committee on Structural Safety), ISO (International Organization for
Standardization).
A maioria das normas de projeto utiliza fatores parciais de segurança
aplicados as cargas e a resistência. Antigamente esses coeficientes eram,
basicamente, definidos a partir da experiência de profissionais envolvidos em
projetos estruturais. Atualmente, com o auxílio da confiabilidade estrutural, é
possível calibrar os fatores de segurança de maneira racional, a partir da
definição de um nível de referência aceitável para a probabilidade de falha
estrutural. Nesse sentido, a confiabilidade tem sido muito usada na revisão de
normas antigas e na elaboração de códigos de projeto para novas concepções
estruturais.
Diversas pesquisas têm sido desenvolvidas no estudo das diferentes
normas e códigos existentes, alguns fazendo comparações entre elas: Tabsh
(1996) estuda a avaliação da confiabilidade de vigas de pontes de aço
projetadas usando as especificações LFD (Load Factor Design) e LRFD (Load
and Resistence Factor Design) da AASHTO para diferentes condições de carga.
Nowak et al (2001) também fazem uma comparação dos níveis de confiabilidade
de vigas de pontes de concreto protendido projetadas usando três códigos
diferentes: Norma Espanhola IAP-98 (1998), o Eurocode1 (1994) e a AASHTO-
LRFD (1998). Os modelos estatísticos são baseados em literatura disponível,
dados de testes e provas de carga. Nesse estudo, onde a confiabilidade esta
associada ao momento fletor e ao esforço de tensão do concreto, observa-se
que o Eurocode1 é mais conservador do que os outros dois códigos e AASHTO-
LRFD é o código mais permissivo.
Liu (2002) estuda a avaliação de confiabilidade para vigas de pontes de
aço projetadas por AASHTO-LRFD, e verifica que o índice de confiabilidade é
muito sensível à distribuição lateral das cargas móveis. Pela subestimação da
distribuição lateral dessas cargas, no estado limite último, as especificações da
AASHTO-LRFD resultam muito conservadoras para flexão, o que não ocorre
para cortante.
38
Já Du et al (2004) apresentam uma análise determinística e uma análise
de confiabilidade para vigas T simplesmente apoiadas de pontes de concreto
protendido projetadas usando três códigos: o código Chinês, o Código de Hong
Kong e o código da AASHTO-LRFD. A análise determinística indica que o estado
limite de serviço domina o projeto, segundo o código Chinês e o Código da
AASHTO-LRFD. Os autores encontraram que os índices de confiabilidade reais
para a capacidade de flexão das vigas consideradas de acordo com os três
códigos, que são regidos pelo estado limite de serviço, estão próximos um do
outro. Com o estudo, concluíram que, para atingir níveis de segurança uniformes
no projeto de vigas de pontes de concreto protendido, a calibração de códigos
baseada em confiabilidade deve levar em conta não apenas o estado limite
último, mais também o estado limite de serviço.
A nova geração de códigos para o projeto de pontes é baseada em análise
de confiabilidade usando modelos probabilísticos de carga e resistência. O
passo no desenvolvimento desses códigos inclui a seleção de estruturas
representativas, formulação do estado limite, desenvolvimento dos modelos das
cargas e resistências, seleção do nível de confiabilidade de referência e
finalmente a determinação dos fatores de segurança para carga e resistência,
(Nowak e Kaszynska, 2003).
2.6. Modelos de Carga
Nas pesquisas feitas para os diferentes tipos de pontes uma tarefa muito
importante é a modelagem das incertezas, dentro das quais as mais
representativas são as relacionadas com as cargas e a resistência, que devem
ser tratadas como variáveis aleatórias. O desenvolvimento racional de códigos
para o projeto de pontes e avaliação de estruturas existentes precisa do
conhecimento de modelos para essas variáveis aleatórias. Esses modelos são
baseados em dados estatísticos disponíveis, testes dos materiais e simulações,
(Nowak et al, 1998).
Dentro desse cenário, Casas et al (1997) apresentam um modelo global
para as cargas de tráfego, obtido a partir do tratamento estatístico das variáveis
envolvidas mais significativas. O estudo conclui que a ação do tráfego é o efeito
mais importante na deterioração e na fadiga em pontes de vãos pequenos e
intermediários, além de representar a contribuição mais significativa no valor
total das ações externas consideradas para a análise no estado limite último. No
39
entanto, o valor real da carga de tráfego em pontes é difícil de modelar de forma
precisa, por causa de sua alta aleatoriedade. Por isso, é tão importante
estabelecer modelos adequados que ajudem a descrever seu comportamento.
2.7. O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha
Dentro das análises de confiabilidade um aspecto muito importante é estimar a
probabilidade de falha. Diversos métodos têm sido desenvolvidos para esse fim.
Um dos métodos mais representativos é o método de confiabilidade de primeira
ordem (FORM) que considera o índice de confiabilidade como medida de
segurança. As principais deficiências desse método são, principalmente, a
precisão e as dificuldades na pesquisa do ponto de projeto por iterações usando
as derivadas da função de estado limite, (Zhao et al, 2001). Os erros que podem
ser encontrados usando o FORM são aceitáveis considerando a grande
incerteza na escolha do modelo estocástico adequado e seus parâmetros,
(Rackwitz, 2001). Apesar dessas fragilidades o FORM tem sido recomendado
pelo Comitê de Segurança Estrutural (JCSS - Joint Committee on Structural
Safety) como método para análise de confiabilidade, (Yang et al, 2006).
Conceitos importantes do FORM podem ser encontrados nos trabalhos de Zhao
et al (1999), Maiçon (2000) e Kiureghian (2008).
Estudos relacionando os métodos de elementos finitos com o FORM têm
sido desenvolvidos, entre eles Sudret e Kiureghian (2002) apresentam um
estudo no qual conjugam métodos de elementos finitos estocásticos, com o
método para análise de confiabilidade de primeira ordem FORM e a amostragem
por importância para análise de confiabilidade. Os resultados são usados para
fazer uma comparação dos métodos em termos de precisão e eficiência relativa.
Como uma conclusão geral, verifica-se que o método de elementos finitos
estocásticos tem aplicabilidade limitada a problemas de confiabilidade
envolvendo probabilidades de muito pequenas.
Koduru et al (2009) apresentaram uma análise de confiabilidade em
conjunção com modelos avançados de elementos finitos, usando o método de
primeira ordem FORM devido a sua atrativa interação entre precisão e eficiência
computacional. Como conclusão do estudo, observa-se que o FORM em
conjunto com análises de elementos finitos estáticos é viável para um intervalo
grande de aplicações e proporciona uma boa estimativa para a probabilidade de
40
falha, mas a aplicação do FORM não é, geralmente, viável para problemas
dinâmicos.
Cheng et al (2005), apresentam métodos para avaliação de confiabilidade
através da combinação do método de superfície de resposta (RSM – Response
Surface Methodology) com o método de amostragem por importância, o método
de confiabilidade de primeira ordem (FORM) e o método dos elementos finitos.
Mediante a combinação de RSM e FORM é possível tornar o cálculo da
confiabilidade mais eficiente para estruturas complexas, que exigem análise
usando elementos finitos. O uso de técnicas de amostragem por importância
aumenta a precisão do método e reduz o número de simulações.
2.8. Programas Computacionais
Nas últimas décadas vários programas computacionais baseados em
métodos estocásticos têm sido desenvolvidos e aplicados a diversos problemas
de interesse acadêmico de engenharia. Pellissetti et al (2005) apresentam uma
visão geral dos programas desenvolvidos e descreve o estado atual e a evolução
dos mesmos. O estudo conclui que graças a esse tipo de pesquisas tem
melhorado muito a integração da análise de confiabilidade com os métodos de
elementos finitos.
Kiureghian et al (2006) proporcionam uma descrição geral de três
programas computacionais desenvolvidos pela Universidade de Califórnia,
Berkeley: CalREL (proposta geral de confiabilidade estrutural, feito em
FORTRAN), FERUM (coleção de ferramentas de Matlab, arquivos que podem
ser usados para confiabilidade estrutural em conjunto com modelos simples de
elementos finitos) e OpenSees (código orientado a objetos para a estimação de
resposta estrutural não-linear com capacidades de confiabilidade). Nos estudos
de Cheng et al (2008) e Cheng et al (2009) e Bezzazi et al (2010) pode-se
encontrar a aplicação desses programas computacionais na análise de
confiabilidade.
3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos
3.1. Panorama Geral do que é Feito
A avaliação da integridade de pontes e viadutos ferroviários existentes,
geralmente, tem como objetivo principal a realização da análise de segurança
estrutural. As análises realizadas visam identificar, avaliar e caracterizar o
comportamento estrutural, com o fim de fazer uma avaliação precisa sobre as
atuais condições de segurança, e de forma auxiliar o desenvolvimento de um
programa apropriado de manutenção dessas construções, para as condições
atuais de carregamento e também para condições futuras (trens tipos
modificados).
O estudo do comportamento estrutural das obras de arte existentes é feito
a partir de um programa de investigação experimental, que contempla a
realização de ensaios destrutivos e não destrutivos e através de simulações
computacionais. Com base nesses procedimentos são realizadas avaliações do
projeto original e readequações para melhorar a vida útil das obras
inspecionadas, observando as recomendações para verificação de segurança
das normas técnicas vigentes.
É conhecido que cada obra tem suas particularidades, e que determinadas
análises mais específicas podem ser necessárias em algumas obras de arte
especiais. Porém, em geral, nas avaliações da integridade de pontes e viadutos
ferroviários existentes, onde se visa atender os requerimentos mínimos
necessários para uma avaliação completa e detalhada, são consideradas as
seguintes etapas de análise:
Análise preliminar
Análise do material construtivo
Análise numérica
Monitoramento estrutural
Calibração do modelo
Verificação do projeto segundo as normativas vigentes
42
Inicialmente, faz-se uma análise preliminar dos relatórios referentes aos
trabalhos já realizados, em conjunto com uma inspeção visual da meso e da
superestrutura das obras de arte. Essa abordagem tem o propósito de permitir a
verificação de quais alterações ocorreram desde a última inspeção e quais as
condições atuais da estrutura, além de identificar os pontos críticos que possam
estar afetando o comportamento estrutural.
Para caracterizar fisicamente e quimicamente o material construtivo, faz-se
uma análise do material por meio de ensaios mecânicos (resistência e módulo
de elasticidade) e ensaios petrográficos e mineralógicos (caso seja detectado
algum indicio de reação álcali-agregado no concreto), ambos quando se julgar
necessário. Além desses ensaios são realizados testes preliminares de caráter
não destrutivo in loco, para estimativas das propriedades do concreto. Os
ensaios não destrutivos são feitos mediante ensaios dinâmicos considerando a
excitação ambiente da estrutura, tais como o vento e a passagem do trem.
Nesses ensaios são determinados os parâmetros modais, tais como freqüência
natural, modos de vibração e taxas de amortecimento.
A análise numérica é uma idealização computacional utilizando o método
dos elementos finitos para análise linear estática e modal das obras de arte. O
objetivo das análises é dar informações para avaliação do comportamento
estrutural das pontes. As análises auxiliam na identificação dos pontos críticos
prioritários para fixação de instrumentação (extensômetros, LVDT’s e
acelerômetros) e permitem a determinação numérica de modos e freqüências de
vibração da estrutura submetida a condições de carregamento dinâmico, que
juntamente com os resultados experimentais permitem a caracterização
dinâmica da estrutura. Outros resultados pertinentes a essa fase são tensão,
deformação e esforços na estrutura.
Os carregamentos considerados na análise estática, geralmente são a
carga permanente, a carga móvel, frenação e aceleração, e impacto lateral, a
carga de vento, retração e variação de temperatura, empuxo de terra, e ou
empuxo oriundo do trem na vizinhança do encontro.
A calibração dos modelos numéricos é realizada a partir dos ensaios não
destrutivos empregando-se técnicas de re-análise. Com isso, são obtidas
ferramentas de análise capazes de simular, de forma mais realista, o
comportamento da estrutura considerando suas condições reais.
São feitas as correções necessárias, quanto ao tipo de modelo adotado
para os elementos estruturais, quanto ao tipo de vínculos nas fundações
(considerando de forma simplificada a rigidez do solo suportante), quando à
43
rigidez das conexões nos nós da estrutura e correções em relação a algum tipo
de dano existente na estrutura e identificado nas monitorações. Tem-se o
propósito de simular, nesse novo modelo numérico, as reais condições da
estrutura. Uma vez obtidos os resultados numéricos e experimentais, é feita uma
análise comparativa entre as duas respostas.
A partir dos resultados obtidos nas análises e do memorial de cálculo é
elaborada a verificação de segurança atendendo as recomendações das normas
técnicas em vigor, para projeto de estruturas de pontes. Pelas normas vigentes,
em cada elemento estrutural devem ser feitas as verificações a seguir.
Nas longarinas, transversinas e lajes fez-se a verificação de fissuras e
verificação no estado limite último em flexão simples e cisalhamento, segundo a
NBR-6118:2003, e verificação à fadiga de acordo com o CEB-90.
No estado limite último é verificada se os momentos solicitantes são
menores ou iguais ao momento resistente, Msd ≤ Mr na flexão simples. São
considerados esforços devidos ao carregamento permanente e à carga móvel,
seguindo as recomendações da NBR6118:2003, no item 17.2.2.
Para a verificação do cisalhamento são seguidas as recomendações da
NBR6118:2003, item 17.4.2.1, que considera atendida a resistência à força
cortante em estado limite último quando o cortante solicitante de cálculo é maior
ou igual à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por compressão
diagonal do concreto, e à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por
tração diagonal, composta pela contribuição do concreto e das armaduras.
O estado limite de abertura de fissuras (item 17.3.3 da NBR6118:2003) é
caracterizado pela situação em que as fissuras se apresentam com aberturas
características (wk) iguais ou menores aos máximos especificados. Os limites
máximos dessas aberturas são em função das classes de agressividade
ambiental, descritas na NBR6118:2003, Tabela 6.1 – classes de agressividade
ambiental.
Em estruturas bem projetadas e construídas e submetidas a ações
previstas na normalização, a presença de fissuras com aberturas que respeitem
os limites estipulados na norma, não denota perda de durabilidade ou perda de
segurança quando aos estados limites últimos, segundo as prescrições da
NBR6118:2003.
As verificações de vida útil à fadiga das longarinas são realizadas para os
esforços normais e tangenciais. A contagem de ciclos é realizada por meio do
algoritmo de Rainflow (Schijve, 1992). Após da contagem de ciclos, o dano é
44
calculado para a passagem de um trem, empregando-se a Teoria de Miner
(Schijve, 1992), onde a vida útil à fadiga para um trem é o inverso do dano.
Para lajes, a verificação da vida útil à fadiga do concreto é realizada a
partir do método simplificado do CEB-FIP, que é análogo ao recomendado pela
NBR6118.
No caso dos pilares, faz-se a verificação no estado limite último em flexão
composta com efeitos de segunda ordem seguindo o proposto pela NBR-
6118:2003, e a determinação da vida útil a fadiga segundo o CEB-90.
Inicialmente, devem ser utilizadas as propriedades dos materiais (fck,fyk)
especificadas no projeto. Caso os elementos estruturais não atendam aos
critérios normativos na verificação (utilizando-se as propriedades especificadas
no projeto) uma análise mais elaborada deve ser feita utilizando os dados do
obtidos nos ensaios, além de empregar modelos mais refinados.
Ao final das análises, numéricas e experimental, deve ser dado um parecer
técnico para cada obra de arte analisada, com informações das atividades
realizadas, mapeamento das anomalias, resultados dos ensaios, observações
técnicas e especificações de recuperação.
3.2. Normas Técnicas
A seguir estão listadas algumas Normas Técnicas Brasileiras e
Internacionais referentes ao projeto e execução de pontes e viadutos
ferroviários:
ABNT NBR – 07187/87 (NB-2) – Projeto e execução de pontes de
concreto armado e protendido.
NBR9452 – Vistorias de pontes e viadutos de concreto
NBR7189 (NB7) – Cargas móveis para projeto estrutural de obras
ferroviárias.
BS105 – Light and heavy bridge type railway rails.
UIC777-1 – Measures to protect railway bridges against impacts from
road vehicles, and to protect rail traffic from road vehicles fouling the
track.
UIC774-1 – Recommendations for the design of railway bridges.
UIC776-1 – Loads to be considered in the design of railway bridges.
4 Confiabilidade Estrutural
4.1. Introdução
Os principais requisitos de um projeto de engenharia são: funcionalidade,
adequação de custos, segurança, durabilidade e minimização de impactos
ambientais, entre os quais a segurança é muito relevante. Por isso, sua
avaliação é importante para garantir o adequado comportamento da estrutura.
As estruturas e elementos estruturais devem ser projetados e construídos
para prestar serviço durante sua vida útil com um custo razoável de
conservação, além de serem capazes de cumprir as exigências relacionadas
com o estado limite de serviço (ELS) e com o estado limite ultimo (ELU). O ELU
está relacionado à perda de capacidade portante, por exemplo, à flexão; o
estado limite de serviço está relacionado à degradação gradual, conforto do
usuário e custo de manutenção, por exemplo, a vibração excessiva, as
deformações permanentes e a fissuração.
São muitas as incertezas associadas em um projeto estrutural, e estas
podem ser divididas em dois grupos: aleatórias e epistêmicas. As incertezas
aleatórias que são associadas a uma variabilidade dos fenômenos físicos ou
naturais representam a variabilidade inerente, entre elas estão: as incertezas
inerentes a forças ambientais e propriedades mecânicas dos materiais
estruturais. As incertezas epistêmicas estão associadas com a falta de
conhecimento na estimativa e prognóstico da realidade (dados insuficientes,
imprecisões na medição, modelos inadequados, etc.). As incertezas epistêmicas
podem ser reduzidas com um aumento do conhecimento e precisão da
informação. Devido às incertezas, sejam elas epistêmicas ou aleatórias, não é
possível garantir a segurança absoluta da estrutura, de modo que pode ocorrer
um somatório de efeitos que a leve à ruína (ELU) ou ao não cumprimento da sua
função (ELS).
Determinar de maneira apropriada as incerteza e garantir um nível
adequado de segurança é um objetivo importante dentro do estudo de
confiabilidade. Os trabalhos de confiabilidade proporcionam bases para analisar
46
Las incertezas, guiam a aquisição de dados adicionais que são mais
significativos para garantir um desempenho futuro aceitável e organiza a
informação de forma útil para a análise de decisões (Ellingwood, 1996).
A confiabilidade de uma estrutura é definida como a probabilidade que a
estrutura não falhe ao desempenhar suas funções, (Nowak e Collins, 2000). A
análise de confiabilidade pode ser utilizada em contextos direcionados a
estruturas novas, ou a estruturas existentes. De acordo com o nível de
informação disponível, existem diferentes métodos de abordagem da
confiabilidade, para isso Madsen et al (1986), Galambos, (1992) – apud Lopez
(2007); propõem a seguinte classificação:
Nível 0 – Método das Tensões Admissíveis: esse método consiste em
calcular, no regime elástico-linear, o valor da tensão para o carregamento
máximo esperado e comparar esse valor com o da tensão admissível do
material. Nesse método todas as cargas são tratadas similarmente e as
tensões elásticas são reduzidas por um fator de segurança. Deve ser
atendida a seguinte condição:
.S.C
lim
admadm
→≤ (4.1)
Onde σ é a tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas
que podem ser esperadas durante a vida útil da estrutura, σadm é a tensão
admissível, σlim é a tensão limite e o C.S. é o coeficiente de segurança.
Nível 1 – Método dos Estados Limites: nesse método são utilizados os
coeficientes parciais de segurança para majorar as solicitações e minorar as
resistências. Estes fatores são aplicados aos valores característicos das
variáveis e têm como objetivo considerar as incertezas inerentes de cada
variável de projeto. O método dos estados limites também é conhecido como
método semi-probabilístico e é adotados como critério de segurança pelas
normas brasileiras de projeto de estruturas. Esse método pode ser
representado pela seguinte equação:
inin QR (4.2)
Onde φ e o fator de minoração da resistência, Rn e a resistência
nominal, i e o coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito) e Qin
é o valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito).
Nível 2 – Método do Índice de Confiabilidade: O método emprega dois
valores para variável incerta (usualmente média e variância) e uma medida
47
de correlação entre parâmetros (usualmente covariância). Uma vez que não
se tem conhecimento das distribuições das variáveis aleatórias assume-se
que as variáveis têm distribuição Normal. As informações disponíveis podem
ser suficientes apenas para avaliar o primeiro e segundo momento (média e
variância) das respectivas variáveis aleatórias, portanto, para encontrar o
coeficiente de confiabilidade é seguida a formulação conhecida na literatura
como método de análise confiabilidade de primeira ordem e segundo
momento (FOSM - First Order Second Moment), que busca satisfazer a
seguinte condição:
adm (4.3)
Onde β é o índice de confiabilidade calculado com FOSM e βadm é o
índice de confiabilidade admissível.
Nível 3 – Método da Probabilidade de Falha: nesse método as distribuições
de probabilidade são especificadas e a probabilidade de falha é calculada
devendo satisfazer a seguinte condição:
admff PP (4.4)
Onde Pf é a probabilidade de falha associada ao problema (ver itens
4.5.1 e 4.5.2) e Pfadm é a probabilidade de falha admissível.
Nível 4 – Método da Minimização dos Custos Envolvidos ao Longo da Vida
Útil: este método combina a confiabilidade de estruturas com a otimização de
estruturas e tem como objetivo projetar estruturas econômicas tendo como
restrição o nível de confiabilidade desejado.
As normas atuais de projeto de estruturas, como a NBR 6118:2003 e o
Eurocode seguem o método dos estados limites (Nível 1). Já esse estudo é
desenvolvido utilizando o Nível 3, onde para encontrar o valor da probabilidade
de falha são utilizados o método analítico de primeira ordem e o método de
simulação de Monte Carlo.
A análise de confiabilidade inicia com a formulação de uma função de
estado limite, que representa o desempenho da estrutura, em termos das
variáveis aleatórias básicas. Os métodos de confiabilidade estrutural são
empregados na engenharia para se obter a probabilidade de falha do modelo
levando-se em consideração as incertezas. Entende-se por falha quando a
estrutura não atende os objetivos para os quais ela foi concebida. Tais falhas
podem trazer grandes prejuízos, tanto de ordem material quanto no que diz
respeito à segurança humana. Na prática, não existe estrutura com
48
probabilidade de falha zero, sempre existe o risco de ela falhar, porém, esse
risco deve ser mantido em níveis aceitáveis de acordo com critérios de
segurança e economia.
A confiabilidade de uma estrutura é definida como o complemento da
probabilidade de falha Pf, ou seja, C = 1 - Pf . Como geralmente Pf é pequena
para estruturas, na ordem de 10-3 a 10-6, resultando em confiabilidade de 0.99 a
0.999999, é comum usar Pf como medida de confiabilidade da estrutura.
A análise de confiabilidade exige a caracterização estatística dos
parâmetros envolvidos no modelo, o que depende da qualidade dos dados
estatísticos relacionados ao problema e da precisão do modelo matemático
usado para análise das funções de estado limite.
4.2. Estados Limites
O projeto estrutural consiste de forma geral em proporcionar estruturas que
apresentem resistência superior aos efeitos causados pelas cargas, embora
existam numerosas fontes de incertezas nos parâmetros de carga e resistência.
Os requisitos básicos de sistemas estruturais podem ser equacionados na
forma de estados limites. O não atendimento dos requisitos de serviço ou de
segurança representa um estado indesejável da estrutura; e cada maneira
distinta que conduza a um estado indesejável é chamada, genericamente, de um
modo de falha. Cada modo de falha dá origem a um estado limite. Os modos de
falha e os estados limites correspondentes representam modelos idealizados da
falha de estruturas (Beck, 2008).
De acordo com Nowak e Collins (2000), estado limite é definido como a
fronteira entre o comportamento desejável e indesejável de uma estrutura.
São três os estados limites considerados:
Estado limite último (ELU): correspondem aos requisitos de segurança,
envolvem a capacidade máxima de carga ou de deformação da estrutura que
levam ao colapso ou dano grave e permanente da mesma. A ultrapassagem
de um estado limite último é, em geral, irreversível. Logo, a primeira
ocorrência desse evento caracteriza falha da estrutura.
Estado limite de serviço (ELS): relacionado à degradação gradual, conforto
do usuário e custo de manutenção. Como exemplos, têm-se os
deslocamentos excessivos, a vibração excessiva, as deformações
permanentes e a fissuração.
49
Estado limite de fadiga (ELF): relacionado à perda de resistência sob cargas
repetidas, embora na NBR-6118 (2003) a fadiga seja considerada um estado
limite último. A análise de diversas estruturas mostrou que em nenhum caso
o colapso ocorreu exclusivamente devido à fadiga, embora seja um dos
fatores que colaboram para a deterioração progressiva e a diminuição da
resistência de elementos estruturais.
Matematicamente, os estados limites são representados por uma função
genérica dada pela seguinte equação:
SR)S,R(G (4.5)
Onde: G(R,S) é a função de estado limite, R é a capacidade ou resistência,
S é solicitação, ou efeito total das ações.
4.3. Função de Estado Limite
A função de estado limite é usada para descrever eventos que são
relevantes para tomada de decisão, Faber (2000). Para cada estado limite são
identificadas as variáveis aleatórias, que são agrupadas em um vetor:
,...X,X,X 321X (4.6)
A função de estado limite G é escrita em função das variáveis aleatórias
associadas ao problema X, para cada estado limite da estrutura:
0X,...X,XG)(G n21 X (4.7)
A condição G(X)<0, indica a falha da estrutura, o limite G(X) = 0 é
conhecido como a superfície de falha.
O valor numérico da função de estado limite distingue o domínio de falha
do domínio de segurança:
G(X) > 0: domínio seguro
G(X) = 0: domínio limite (superfície de falha)
G(X) ≤ 0: domínio de falha
4.4. Probabilidade de Falha
A falha em um estado significa que a estrutura atingiu condições
indesejáveis, podendo ocasionar colapso total ou parcial ou então interrupção do
uso normal da estrutura. No contexto de confiabilidade, a função de falha não
significa necessariamente a ruptura da estrutura, mas sim que certos limites
50
foram alcançados ou excedidos. Uma medida probabilística de violação de
estados limites é a probabilidade de falha.
O problema básico de confiabilidade de estruturas considera apenas um
modo de falha e duas variáveis aleatórias, a resistência (R) e a solicitação (S)
caracterizadas por suas funções de densidade de probabilidade, médias e
covariâncias. A função de estado limite para esse caso é a equação (4.5).
A probabilidade de falha é expressa por:
F
RSf dsdr)s,r(f0)S,R(GPP (4.8)
Onde fRS(r,s) é a função conjunta de densidade de probabilidade de R e S,
F é o domínio de falha. Se as variáveis forem estatisticamente independentes,
tem-se:
)s(f)r(f)s,r(f SRRS (4.9)
A probabilidade de falha nesse caso é calculada por:
dsdr)s(f)r(fP
S
SRf
(4.10)
Onde fR(r) e fS(s) são as funções densidade de probabilidade (PDF),
S
R dr)r(f define a função de distribuição cumulativa (CDF) da variável aleatória
R, a equação (4.10) pode ser reescrita:
ds)s(f)s(Fp SRf
(4.11)
Esta integral é conhecida como integral de convolução, onde FR(s)
representa a probabilidade de R ≤ s, o que levaria à ruptura, e fs(s)ds representa
a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds, com ds → 0, como indica
a figura 4.1.
Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002)
51
Na Figura 4.2 estão representadas, (para o caso de duas variáveis
aleatórias R e S), as funções densidade de probabilidade marginais de cada
variável, fR e fS, a função densidade de probabilidade conjunta fRS, os domínios
de falha, limite, e seguro.
Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002).
A função de estado limite pode ser mais complexa se R e S são funções
de diversas variáveis aleatórias básicas (propriedades do material, dimensões da
estrutura, densidade do material), que podem ser independentes ou não.
4.5. Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha
De acordo com Liang et al (2009) o trabalho analítico de confiabilidade
estrutural deve ser dividido em duas partes: uma para determinar o modelos
principais de falha e a outra para calcular a probabilidade de falha estrutural.
Para determinar o modelo de falha deve se estabelecer um modelo simples
através da inspeção do estado de serviço da estrutura. Para o cálculo da
probabilidade de falha existe um numero considerável de métodos aproximados.
Sabendo-se que fx(X) representa a função densidade de probabilidades
conjunta de todas as variáveis aleatórias X envolvidas na análise, a
probabilidade de falha pode ser reescrita como:
0)(G
xf dx)(fPX
X (4.12)
52
A avaliação desta expressão não é muito simples, uma vez que ela
envolve a avaliação de uma integral n-dimensional num domínio complexo.
Mesmo com o desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica e
com computadores cada vez mais eficientes, na prática, a avaliação desta
equação por integração tem se restringido a problemas com 5 ou 6 variáveis
aleatórias no máximo. Devido a isso a probabilidade de falha é calculada usando
métodos de transformação como FORM (First Order Reliability Method) e o
SORM (Second Order Realibility Method) ou usando métodos de simulação
como o de Monte Carlo.
4.5.1. Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method)
Os métodos analíticos de primeira ordem (FORM) e segunda ordem
(SORM) são considerados como métodos computacionais confiáveis para
avaliação da confiabilidade estrutural. A precisão é geralmente dependente de
parâmetros como o raio de curvatura do ponto de projeto e o número de
variáveis aleatórias, (Zhao e Ono, 1999). O método de primeira ordem (FORM)
para o cálculo do índice de confiabilidade tem sido amplamente aceito devido às
suas vantagens de eficiência e eficácia, e foi recomendado como o método de
análise de confiabilidade pelo Comite de Segurança Estrutural (JCSS), (Yang et
al, 2006).
A idéia principal do FORM é que a confiabilidade pode ser facilmente
obtida por uma função de falha linear considerando o espaço das variáveis
reduzidas estatisticamente independentes, e avaliando a menor distância da
função de falha até a origem. No caso de funções lineares de estado limite e
varáveis normais não correlacionadas, o resultado obtido é exato. Se as funções
são não-lineares, a aproximação depende da curvatura da função de falha e
também das derivadas nos pontos sob análise para composição do vetor
gradiente.
No FORM, as variáveis aleatórias originais X, com distribuição qualquer e
dependentes entre si ou não, são transformadas em variáveis normais padrão
estatisticamente independentes, Y, e a função de falha G(X) é escrita em função
das variáveis no espaço normal padrão g(Y). A superfície de falha g(Y)=0 é
aproximada por uma superfície linear ou hiperplano no ponto da superfície que
está mais próximo da origem, identificado como Y* e designado como o ponto de
projeto no espaço reduzido. O valor do coeficiente de confiabilidade β é igual a
53
distância do ponto de projeto, Y* até a origem. A probabilidade de falha para o
método FORM é calculada por:
fP (4.13)
Onde é a distância do ponto Y* até a origem e é avaliado como:
Y (4.14)
A figura 4.3 ilustra o processo seguido no método FORM.
Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido normal
padrão (fonte: Choi e Youn 2001).
O método calcula a probabilidade de falha de forma aproximada e
dependendo da configuração da função g(Y) no espaço das variáveis reduzidas
se mostra ou não a favor da segurança. Se g(Y) é convexa em torno do ponto de
projeto a aproximação será a favor da segurança e será contra a segurança no
caso contrário (Ver figura 4.4).
Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies côncavas e convexas
(fonte: Lopez 2007).
54
Dentro do FORM existem dois processos que são a busca ao ponto de
projeto e a transformação das variáveis do espaço original para o espaço normal
padrão. A transformação das variáveis é feita utilizando as distribuições normais
equivalentes e o ponto de projeto pode ser obtido através da solução de um
problema de otimização (ou programação não linear).
Transformação das variáveis
A transformação de variáveis aleatórias originais X, correlacionadas ou
não, em variáveis normais estatisticamente independentes é feita utilizando as
distribuições normais equivalentes. A transformação das variáveis
correlacionadas em variáveis normais padrão estatisticamente independentes é
realizada através da transformação de Nataf. Os dados requeridos para fazer a
transformação de Nataf são as funções de densidade de probabilidade marginais
de cada variável aleatória e o coeficiente de correlação entre os pares de
variáveis, não sendo necessário conhecer a função densidade de probabilidade
conjunta.
Se o vetor X contiver somente variáveis normais (correlacionadas ou não),
um conjunto de variáveis normais padrão estatisticamente independentes pode
ser obtido pela seguinte transformação:
mXΓσY 1 (4.15)
Onde m é o vetor com as médias normais equivalentes das variáveis
aleatórias X, σ é uma matriz diagonal contendo os desvios-padrão normais
equivalentes das variáveis aleatórias X. As médias e desvios padrão
equivalentes são obtidos para as variáveis que não têm distribuições de
probabilidade normal (Ver anexo A). A matriz Г é igual à inversa da matriz
triangular inferior L, obtida pela decomposição de Choleski da matriz dos
coeficientes de correlação de X (Ver anexo A).
Como será visto adiante, para a determinação do ponto de projeto é
necessário a definição do Jacobiano da transformação, ou seja,
1
X
Y ΓσJ∂
∂ (4.16)
Pode-se então reescrever a equação (4.15) assim:
mXJY (4.17)
Quando as variáveis aleatórias não normais são correlacionadas o valor
original do coeficiente de correlação deve ser corrigido para um valor equivalente
a uma correlação entre variáveis aleatórias normais (Ver anexo A).
55
Pesquisa do ponto de projeto
Existem vários algoritmos de otimização para resolver este problema, o
algoritmo mais usado na análise de confiabilidade estrutural é o HLRF
desenvolvido por Hasofer e Lind (1974), e aperfeiçoado por Rackwitz e Fiessler
(1978), que se resume a seguinte equação:
TKKKTK
2K
1K )(g)(g)(g)(g
1Y Y YY
Y Y
(4.18)
Onde )(g KY é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e )(g KY
é o valor da função de falha, ambos avaliados no ponto de projeto para a K-
ésima iteração, YK.
Para a utilização deste algoritmo é importante considerar as seguintes
relações:
)(G)(g X Y
)(1 m XΓσ Y (4.19)
)(G))(g T1 X (J Y
Onde )(G X é o gradiente da função de falha no espaço original avaliado
no ponto X e X
Y
J
A figura 4.5 ilustra uma representação gráfica da busca do ponto de projeto
para um problema com duas variáveis.
Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto para um problema
com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001).
A avaliação da probabilidade de falha pelo método FORM envolve além da
avaliação da função de falha nos pontos calculados pelo algoritmo a avaliação
56
das suas derivadas para compor o vetor gradiente. Em muitas ocasiões a função
de falha pode ser não explicitada em função de todas as variáveis aleatórias do
problema, nesse caso a avaliação do gradiente de G(X) é feita numericamente.
Tal abordagem conduz a um número elevado de cálculos da função de estado
limite G(X), logo é um processo computacionalmente caro. Portanto, para
problemas onde a função de falha G(X) é computacionalmente cara de ser
avaliada é melhor, se possível, trabalhar com derivadas analíticas e não
numéricas.
4.5.2. Análise de Sensibilidade
Após obter o índice de confiabilidade, a identificação dos parâmetros mais
importantes que afetam a probabilidade de falha é realizada através de uma
análise de sensibilidade. A análise de sensibilidade é utilizada para estudar os
efeitos que as diversas suposições e os erros nos dados geram na equação de
estado limite proposta.
O método analítico FORM, fornece além da probabilidade de falha
medidas de sensibilidade. Uma importante medida é o fator de importância que
indica qual é a importância que cada variável aleatória envolvida na análise tem
na resposta da probabilidade de falha de um determinado modo, e é definido
por:
2
iiI α (4.20)
Onde αi é o cosseno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no
ponto de projeto y* e o eixo da variável reduzida Yi, dada por:
*)Y(g
*)(g i
Y (4.21)
Sendoi*)(g Y a componente do gradiente da função de estado no espaço
reduzido.
A partir desse cálculo observa-se que as variáveis aleatórias que têm
fatores de importância baixos podem ser consideradas como determinísticas.
4.5.3. Método de Simulação de Monte Carlo
Simulação é o processo de representação do mundo real baseado em um
conjunto de hipóteses e modelos concebidos da realidade. Este processo pode
ser executado teoricamente ou experimentalmente. Em termos de análise
57
estrutural, a simulação pode ser entendida como uma forma de simular
numericamente um experimento que na prática não é realizável. Este
experimento consiste em testar a estrutura para todas as combinações possíveis
de resistências e de ações, sendo estas variáveis aleatórias.
Uma tarefa básica na simulação de Monte Carlo é a geração de números
aleatórios. A geração automática de números aleatórios pode ser feita a partir da
hipótese que os mesmos estão uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Por
transformações apropriadas, obtêm-se então as amostras das variáveis
aleatórias correspondentes à distribuição de probabilidade prescrita.
Com as amostras geradas resolve-se a relação determinística obtendo um
conjunto de resultados de G(X). Se G(X) for maior que 0, então o critério de
segurança foi satisfeito. Caso contrário, se G(X)<0, a combinação dos valores de
X levou a falha no sistema.
De um modo matemático o método de Monte Carlo pode ser expresso da
seguinte forma:
fnR
f )](I[Edx)(f)(Idx)(fP xxxx xX (4.22)
f
f
xse0
xse1)x(I
Repetindo as análises para um grande número de simulações ns, a média
empírica dos valores de l(x) é um estimador de Pf.
sn
1r
r
s
f )(In
1P x (4.23)
A variabilidade dos resultados é inversamente proporcional ao número de
simulações ns. Isso pode ser uma vantagem do método, aumentando a sua
precisão à medida que se aumenta o número de cálculos de G(X) realizados.
Porém, para probabilidades de falha muito pequenas, o número de simulações
para se obter um só caso de falha é muito grande, demandando um grande
esforço computacional na avaliação da probabilidade de falha. Nesses casos o
número de simulações necessárias pode ser estimado pela equação (4.24) onde
k e Pf são respectivamente o nível de confiança e a ordem de grandeza da
probabilidade de falha desejados:
f
siP
k1lnn
(4.24)
Para reduzir o número de simulações necessárias, utilizam-se técnicas de
redução de variância. O método de Monte Carlo utilizado neste estudo é o
58
conhecido como método de Monte Carlo simples ou direto por não utilizar
técnicas de redução de variância.
O uso da simulação de Monte Carlo na avaliação de um desempenho
estrutural pode ser feito para:
Calcular as estatísticas (média, desvio padrão e tipo de distribuição) da
resposta do sistema. Nesse caso, primeiro é obtida uma amostra da
resposta e uma distribuição de probabilidade é ajustada aos dados desta
amostra.
Calcular a probabilidade de desempenho insatisfatório (probabilidade de
falha). Nesse caso é necessário conhecer: (a) uma relação determinística
para descrever a resposta da estrutura; (b) as distribuições de
probabilidade de todas as variáveis envolvidas no cálculo da resposta. Uma
amostra dos possíveis cenários (falha ou sobrevivência) é gerada e o
número de desempenhos insatisfatórios é obtido. A probabilidade de falha é
calculada como a taxa de desempenhos insatisfatórios, ou seja, o número
de desempenhos insatisfatórios dividido pelo número de simulações.
Com o aumento da capacidade dos computadores, a simulação de Monte
Carlo tem conquistado mais espaço, devido a sua robustez e simplicidade. É
comum também utilizar o método para verificar soluções analíticas aproximadas.
4.6. Índice de Confiabilidade de Referência
Os principais critérios para encontrar o índice de confiabilidade de
referência adequado são as conseqüências de falha e os custos do aumento da
confiabilidade. No entanto, na prática, é difícil obter os dados necessários para a
determinação do índice de confiabilidade de referência ideal. Portanto, uma boa
indicação pode ser estabelecida considerando os índices de confiabilidade das
estruturas projetadas segundo os códigos existentes (Nowak e Kaszynska,
2003).
Os requisitos para a segurança da estrutura são, conseqüentemente,
expressos em termos do índice mínimo de confiabilidade aceito ou da máxima
probabilidade de falha aceita. Índice de confiabilidade de referência é o valor
mínimo estabelecido para o índice de confiabilidade, associado a um valor
59
máximo de probabilidade de falha que expresse o nível de falha aceitável para a
estrutura.
Os valores do índice de confiabilidade de referência para estados limites
últimos propostos pelo JCSS (2001) estão na seguinte tabela:
Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e Probabilidade de
falha Pf associadas, relacionadas ao estado limite último.
Medida relativa do custo de segurança
Conseqüências leves de falha
Conseqüências moderadas de falha
Conseqüências graves de falha
Grande (A) βT =3,1 (Pf ≈ 10-3
) βT =3,3 (Pf ≈ 5*10-4
) βT =3,7 (Pf ≈ 10-4
)
Normal (B) βT =3,7 (Pf ≈ 10-4
) βT =4,2 (Pf ≈ 10-5
) βT =4,4 (Pf ≈ 5*10-6
)
Pequeno (C) βT =4,2 (Pf ≈ 10-5
) βT =4,4 (Pf ≈ 5*10-6
) βT =4,7 (Pf ≈ 10-6
)
O JCSS (2001) propõe uma classificação das estruturas em classes de
conseqüência de falha, baseada na taxa ρ definida como o quociente entre
custos totais (i.e. custos de construção mais custos diretos de falha) e custos de
construção. A partir de uma análise custo-benefício, são fixados valores do
índice de confiabilidade de referência βT de acordo com as classes de
conseqüências descritas a seguir:
Classe 1 – Conseqüências Leves: ρ é menor que aproximadamente 2. O
risco de vida e as conseqüências econômicas são pequenas ou negligenciáveis
(por exemplo: silos e estruturas agrícolas).
Classe 2 – Conseqüências Moderadas: ρ está entre 2 e 5. O risco de vida,
dada uma falha, é médio ou as conseqüências econômicas são consideráveis
(por exemplo, construções residenciais, comerciais ou industriais).
Classe 3 – Conseqüências Graves: ρ está entre 5 e 10. O risco de vida,
dada uma falha, é alto, ou as conseqüências econômicas são significantes (por
exemplo, pontes, teatros, hospitais, edifícios altos).
Se ρ é maior do que 10 as conseqüências de falha devem ser
consideradas extremas e uma análise de custo-benefício completa é
recomendada. A conclusão poderia ser que a estrutura não deveria ser
construída.
As classes e custos de falha podem estar relacionados com a localização
da estrutura. Por exemplo, uma estrutura construída em zona rural poderia
apresentar conseqüências de falha de leves a moderadas, enquanto essa
mesma estrutura construída em zona urbana poderia apresentar conseqüências
de falha graves a extremas.
60
No estado limite de serviço os valores do índice de confiabilidade de
referência podem ser derivados baseados em métodos de análise de decisão.
Os valores para o índice de confiabilidade de referência βT sugeridos pelo
JCSS(2001) são apresentados na Tabela 4.2.
Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e probabilidade de
falha Pf associados ao estado limite de serviço
Medida relativa do custo de segurança
βT no estado limite de serviço
Grandes (A) βT =1,3 (Pf ≈ 10-1
)
Normal (B) βT =1,7 (Pf ≈ 5*10-2
)
Pequeno (C) βT =2,3 (Pf ≈ 10-2
)
Para estruturas existentes, os custos para alcançar um maior nível de
confiabilidade são geralmente elevados em comparação com as estruturas
projetadas. Porém, o nível de incertezas é inferior, uma vez que a monitoração
da mesma fornece mais informações sobre as variáveis aleatórias envolvidas.
Baseado nesse cenário, o JCSS sugere que, o índice de confiabilidade de
referência para estruturas existentes deve ser menor.
5 Formulação do Problema
5.1. Introdução
O objetivo deste capítulo é apresentar a sistemática adotada para a
estimativa da confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado,
submetidas à flexão simples.
Para a análise de confiabilidade é preciso partir de uma função de estado
limite que descreva o comportamento da estrutura e então estimar a
probabilidade de falha pelos métodos de primeira ordem FORM e de simulação
de Monte Carlo (ver Capítulo 4). Tal função é obtida utilizando o programa de
análise estrutural SAP2000 em conjunto com um programa desenvolvido em
Matlab.
Todas as análises realizadas foram baseadas nos projetos estruturais
existentes considerando as propriedades do concreto especificadas no projeto e
o modelo matemático considerado em relatórios de verificação atuais.
A seguir são explicados mais amplamente os procedimentos seguidos para
obter os dados necessários das análises desenvolvidas nos exemplos de
aplicação.
5.2. Verificação de Segurança no Estado Limite Último
No processo de verificação de segurança das longarinas de uma ponte
com relação ao estado limite último, a flexão simples é verificada pela condição:
rdsd MM (5.1)
Onde Msd representa o momento solicitante de cálculo e Mrd o momento
resistente de cálculo. Nesse contexto, são obtidos os valores do momento
solicitante devidos a carregamento permanente e a carga móvel, através das
envoltórias de combinações dos esforços. Os momentos resistentes são
extraídos de uma rotina desenvolvida em Matlab. Para a verificação busca-se
obter a probabilidade de falha da estrutura e comparar esses resultados com as
normas existentes. O processo tem inicio com a determinação das
62
variáveis a serem consideradas como aleatórias para encontrar uma função de
estado limite que descreva o comportamento da estrutura. A partir dessa função,
calcula-se a probabilidade de falha e o coeficiente de confiabilidade da estrutura.
5.3. Variáveis Aleatórias
Seis variáveis aleatórias são consideradas nesse trabalho: a resistência à
compressão do concreto (fck), a resistência à tração do aço (fyk), o módulo de
elasticidade longitudinal do aço (Es), o peso específico do concreto (), a carga
móvel para o trem tipo operacional atual (Q) e o coeficiente de impacto (φ).
Os modelos probabilísticos adotados para as variáveis são definidos a
seguir e sintetizados na Tabela 5.1. Estes modelos são utilizados em todos os
exemplos, exceto quando há alguma modificação descrita. Dentro dos
parâmetros considerados para definir os modelos probabilísticos, temos que os
parâmetros referentes ao tipo de distribuição de cada variável, foram obtido a
partir de uma pesquisa bibliográfica e dos regulamentos do JCSS, já o valor
esperado foi avaliado a partir dos valores característicos fixados na
NBR6118:2003.Os valores correspondente ao coeficiente de variação (que é
uma normalização do desvio padrão pelo valor esperado) foram assumidos
depois de uma revisão de diversos estudos desenvolvidos.
Os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias são definidos como:
1. Resistência à compressão do concreto (fck): O modelo probabilístico se
baseia nas recomendações da NBR 6118 (2003), da NBR 12655 (1996) e do
JCSS (2001).
Segundo a NBR 6118 (2003) a resistência do concreto é admitida como
sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos
elementos de um dado lote de material. O fck é sempre menor do que a
resistência média fckm dada pela média aritmética das resistências dos
elementos que compõem o lote considerado de material. Segundo o JCSS
(2001) a distribuição de probabilidade Lognormal caracteriza bem essa
variável aleatória. Neste trabalho adota-se o coeficiente de variação COV
igual a 15%.
2. Resistência à tração do aço (fyk): Segundo as recomendações da JCSS
(2001), adota-se a distribuição Lognormal para essa variável aleatória, com
um coeficiente de variação de 7%.
63
3. Módulo de elasticidade longitudinal do aço (Es): O modelo probabilístico
adotado baseia-se nos modelos propostos por Hamutçuoglu et al (2009),
Cheng (2009) e Liu (2002) que consideram uma distribuição Lognormal e um
coeficiente de variação entre 6 e 12%. Para este estudo o coeficiente de
variação é de 10%.
4. Peso específico do concreto (): O modelo probabilístico para o peso
específico do concreto está baseado nos propostos por Nowak et al (2000) e
Liu (2002) onde é sugerida a distribuição Normal e um coeficiente de
variação de 8%.
A NBR 6118 (2003) menciona que o valor característico para as cargas
permanentes é igual ao valor médio. Considera-se que o modelo
probabilístico adotado para o peso específico do concreto é o mesmo
adotado para a carga permanente.
5. Carga móvel (Q): O modelo probabilístico dessa variável é baseado nas
propostas de Ellingwood (1996), Nowak et al (2000) e Law et al (2009) onde
é assumida uma distribuição de probabilidade TipoI(Gumbel). Adota-se um
coeficiente de variação igual a 15%. A NBR 6118 (2003) menciona que o
valor característico de Q corresponde a valores que têm entre 25 e 30% de
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um
período de retorno de 50 anos. Neste estudo foi adotado um valor de 30% de
probabilidade de serem ultrapassados.
6. Fator de impacto (φ): O impacto é o efeito dinâmico da carga móvel devido
às forças de inércia geradas pelo movimento dos trens sobre a ponte. O
modelo probabilístico é baseado nos propostos por Hamutçuoglu et al (2009)
e Liu (2000), que consideram uma distribuição Normal. O coeficiente de
variação adotado é de 13%.
Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias
Variável Aleatória
Distribuição Coeficiente de
Variação %
fck Lognormal 15
fyk Lognormal 7
Es Lognormal 10
Normal 8
Q TipoI 15
φ Normal 13
64
5.4. Função de Estado Limite
Para obter a probabilidade de falha de uma ponte ferroviária em concreto
armado é utilizada uma função de estado limite. A idéia geral da verificação da
estrutura é que os momentos solicitantes (Msd) não superem os valores do
momento resistente (Mrd), isso pode ser expresso na seguinte função de estado
limite:
),Q,(M)E,f,f(M),Q,,E,f,f(G sdsykckrdsykck (5.2a)
),Q(M)(M)E,f,f(M),Q,,E,f,f(G sqspsykckrdsykck
(5.2b)
Pelas equações (5.2) identifica-se que:
O momento resistente da viga é função da resistência à compressão do
concreto (fck), da resistência à tração do aço (fyk) e do módulo de
elasticidade do aço (Es).
O momento solicitante para carga permanente é função do peso específico
do concreto ().
O momento solicitante para carga móvel é função da carga móvel (Q) e do
coeficiente de impacto (φ).
A determinação desses momentos é apresentada a seguir.
5.5. Momento Resistente
Na análise do momento resistente de uma seção de viga no estado limite
último, devem ser consideradas algumas hipóteses básicas, como:
a. As seções transversais planas se mantêm planas após deformação.
b. Aderência perfeita entre o concreto e a armadura: admite-se que não há
escorregamento entre os materiais (a deformação da armadura εs é admitida
igual à deformação da fibra de concreto εc, junto a essa armadura)
c. As tensões de tração no concreto normais à seção transversal podem ser
desprezadas.
d. A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama
retangular de altura 0,8x (onde x á altura da linha neutra) com a seguinte
tensão:
0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha
neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida.
65
0,80 fcd no caso contrário.
fcd é a resistência de cálculo do concreto, obtida através da relação entre a
resistência do concreto fck e o coeficiente de ponderação do concreto igual a
1,4 para combinações normais.
e. A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-
deformação com valores de cálculo definidos na NBR 6118 (2003).
f. O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das
deformações na seção transversal pertence a um dos domínios definidos na
seguinte figura.
Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal (fonte: NBR
6118:2003)
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva
Reta a: tração uniforme
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão
Domínio 2 : flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (εc < 0,35% e com o máximo alongamento permitido).
Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto
Domínio 3 : flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto com escoamento do aço (εs≥ εyd)
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura a compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs< εyd)
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração
Reta b: compressão uniforme.
66
Para avaliar o momento resistente de uma viga sujeita a flexão simples em
função das variáveis aleatórias fck, fyk e Es, são tomados como os dados de
entrada:
Variáveis aleatórias: resistência do concreto (fck), resistência do aço (fyk) e
modulo de Elasticidade do aço (Es)
Tipo de aço
Armadura de tração e compressão (As e A’s)
Alturas úteis das armaduras (d, d’)
As dimensões da seção (hf, bw, bf, h). Ver figura 5.2.
Figura 5.2. Seção Tipo da ponte
As seguintes hipóteses são adotadas:
ydsd f Domínio 2 ou Domínio 3
ydsd f' Armadura abaixo do escoamento (5.3)
fhx8,0 Zona comprimida dentro da mesa
Para as seções analisadas, verifica-se que a zona comprimida encontra-se
dentro da mesa, portanto as equações aqui descritas só consideram essa
hipótese.
Considerando a seção transversal no domínio 2 ou no domínio 3, calcula-
se as alturas limites para esses domínios X2lim e X3lim respectivamente. Os
resultados obtidos são comparados com o resultado encontrado para a altura da
linha neutra para definir o domínio real.
d259,0)(
dx
smáxcmáx
cmáx
lim2
(5.4)
67
d63,0)(
dx
ydcmáx
cmáx
lim3
A seguinte figura apresenta um esquema geral para uma viga T:
Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T
De acordo com o equilíbrio de forças:
sdssdscdfsdsdcd A''Afxb68,0R'RR (5.5)
ydsd f (5.6)
2iominDo)xd(
)'dx(''E' sssssd
(5.7)
ydsssscdf fA)xd(
)'dx(E'Afxb68,0
(5.8)
Da equação (5.8) pode-se encontrar o valor de x
0'dE'AfAfAx)E'Adfb68,0(xfb68,0
fA'dE'AxE'Axfb68,0xdfb68,0
fA)'dx(sE'A)xd)(xfb68,0(
sssysysssscdf
2
cdf
ysssssss
2
cdfcdf
ydssscdf
cdf
sssyscdf2
ssscdf
cdf
ssscdf
fb68,0*2
)'dE'AfA(fb68,0*4)E'Adfb68,0(
fb68,0*2
)E'Adfb68,0(x
(5.9)
Com o valor de x se encontra o valor do momento resistente, segundo as
equações de equilíbrio de momentos:
)'dd(xd
'dxE'Ax4,0dfxb68,0M
'dd'Rx4,0dRM
ssscdfcd
sdcdcd
(5.10)
68
Com os resultados obtidos são verificadas as hipóteses da equação (5.3).
Se todas as hipóteses são verdadeiras o valor encontrado do momento
resistente é o valor que será utilizado na função de estado limite.
Verificadas as hipóteses, a função de estado limite para o momento
resistente é:
`)dd(
xd
'dxE'A)x4,0d(fxb68,0M ssscdfrd
(5.11)
As variáveis aleatórias fck, fyk e Es estão implícitas na equação, no cálculo
de x como foi descrito acima, levando em conta que:
15,1
ffe
4,1
ff
yk
yd
ck
cd (5.12)
Esta sistemática foi seguida para obter uma equação que permita que a
função de estado limite esteja representada por uma função analítica a partir da
qual a avaliação do gradiente da função é facilmente implementada permitindo o
emprego do método FORM para determinação da probabilidade de falha. A
fraqueza dessa equação é desprezar a armadura de pele. Para considerá-la a
probabilidade de falha deve ser avaliada com o emprego do método de
simulação de Monte Carlo, encontrando o valor do momento resistente com
ajuda de uma rotina desenvolvida no Matlab.
5.6. Momento Solicitante
As principais ações atuantes nas estruturas são classificadas como
permanentes e variáveis. As ações permanentes são as que ocorrem com
valores praticamente constantes durante toda a vida da construção e também
aquelas ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante.
Estas ações permanentes são classificadas como 1) diretas: o peso próprio da
estrutura, o peso dos elementos construtivos fixos e das instalações
permanentes, 2) indiretas: as deformações impostas por retração e fluência do
concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. Estas
ações devem ser consideradas com seus valores representativos mais
desfavoráveis para a segurança. As ações variáveis também podem ser
classificadas em diretas e indiretas. As diretas são constituídas pelas cargas
acidentais previstas para o uso da construção, como ação do vento, da água; as
69
indiretas são constituídas pelas variações uniformes e não uniformes de
temperatura, ações dinâmicas e ações excepcionais.
Nesse trabalho, é considerada a carga permanente correspondente ao
peso próprio da estrutura e as cargas provenientes do lastro, trilhos, acessórios,
argamassa, mureta, plaqueta e guarda corpo, assim como as cargas
concentradas correspondentes aos refúgios e postes.
A modelagem é feita com barras, onde o conjunto longarina-tabuleiro é
representado por uma única barra. As cargas provenientes do peso próprio das
transversinas foram aplicadas como cargas concentradas. O modelo aqui
considerado toma como base o Relatório Técnico - Desenvolvimento de
Metodologia para Avaliação da Integridade Estrutural de Pontes e Viadutos
Ferroviários ao Longo da Estrada de Ferro Carajás, primeira etapa Volume 4:
Obra de Arte Especial n. 55 Ponte sobre o Rio Vermelho (Relatório Técnico,
Veloso et al 2007).
Para a carga móvel é considerado o trem tipo operacional atualmente
usado na CVRD onde se adota como locomotiva padrão a DASH9 e como vagão
o GDT (ver figuras 5.4 e 5.5). A carga da locomotiva é de 300 KN/eixo, do vagão
carregado é 325 KN/eixo, e a carga do vagão descarregado é 52,5 KN/eixo.
Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).
Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).
A configuração do trem tipo atual é: 2 locomotivas + 104 vagões + 1
locomotiva + 104 vagões.
Para encontrar os momentos devidos ao carregamento móvel, foi admitida
somente, uma quantidade de vagões e locomotivas suficiente para cobrir todo o
70
comprimento da ponte, considerando a configuração mais critica, que leve a
encontrar valores maiores para o momento solicitante.
Na avaliação da probabilidade de falha a função de estado limite precisa
ser revalidada uma série de vezes, como conseqüência das alterações dos
valores das variáveis aleatórias, no FORM ou na simulação de Monte Carlo. No
caso das variáveis aleatórias alterarem o carregamento, é necessário que uma
nova análise da estrutura seja feita, o que demanda um tempo considerável.
Uma vez que está sendo considerada uma análise linear da estrutura e
que a função de estado limite tratada envolve apenas esforços internos, adota-se
uma abordagem onde separa-se o carregamento e depois usa-se a
superposição para avaliar o momento solicitante.
Na consideração do peso próprio das longarinas e transversinas, a variável
aleatória é o peso específico do concreto (). Inicialmente admite-se essa
variável aleatória como unitária e determina-se um momento solicitante Msp1.
Para outros valores da variável aleatória o momento solicitante que é
diretamente proporcional a Msp1 é calculado como o produto de Msp1 vezes .
Para encontrar a função de estado limite devida ao carregamento permanente
além do peso próprio das longarinas e transversinas é considerada uma carga
permanente adicional determinística (S), correspondente a lastro, trilhos e
acessórios, argamassa, mureta e plaqueta, guarda corpo. O momento obtido
para esse carregamento é designado como Mspadic.
A função de estado limite para o momento solicitante para carga
permanente (Msp) é:
adic1spspsp MMM
(5.13)
Para a avaliação do momento solicitante devido à carga móvel emprega-se
a linha de influência para as seções consideradas. Sendo a configuração da
linha de influência independente da intensidade da carga móvel, opta-se por
inicialmente avaliar a linha de influência e o momento solicitante Msq1, admitindo
como unitária a carga do trem-tipo. Esse procedimento é realizado empregando
o SAP2000. Para outras intensidades da carga do trem-tipo (Q), o momento
solicitante é proporcional ao Msq1 e é dado por:
QMM
1sqsq (5.14)
Onde Q e a carga do trem tipo considerado e φ é o coeficiente de impacto.
Para a sistemática sugerida, a função de estado limite da ponte da
equação (5.2) pode ser reescrita como:
71
sdrdsdrd MMM,MG)(G X (5.15 a)
sqsprd MMM)(G X
(5.15 b)
QMMM
`)dd(xd
'dxE'A)x4,0d(fxb68,0)(G
1sqadicsp1sp
ssscdfX
(5.15 c)
5.7. Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço
Para a verificação da segurança das longarinas de uma ponte com relação
ao estado limite de serviço são verificados o estado limite de formação de
fissuras e o estado limite de abertura de fissuras.
5.7.1. Estado Limite de Formação de Fissuras
O estado limite de formação de fissuras é o estado em que inicia a
formação de fissuras e admite-se que este estado é atingido quando a tensão de
tração máxima na seção transversal for igual à resistência à tração na flexão fct,f
(NBR6118:2003, item 3.2.2).
A verificação é feita calculando-se a máxima tensão de tração do concreto
no estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos
materiais) – item 17.3.4.
Verifica-se que o momento de fissuração (Mf) é maior ou igual ao momento
solicitante (Ms), como indicado na seguinte expressão:
sf MM (5.16)
A resistência à compressão do concreto (fck), o peso específico do concreto
(), a carga móvel e (Q) e o fator de impacto (φ) são considerados como
variáveis aleatórias. Os modelos probabilísticos dessas variáveis foram descritos
no item 5.3.
A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte
ferroviária em concreto armando dentro do cenário desse estado limite é:
),Q,(M) (f)=M,Q,,G(f sckfck (5.17)
Da equação (5.17), pode-se observar que o momento de fissuração é
função da resistência à compressão do concreto (fck), o momento solicitante por
carga permanente é função do peso especifico do concreto (), e o momento
72
solicitante por carga móvel é função da carga móvel (Q) e do coeficiente de
impacto (φ).
A partir desta verificação, torna-se possível identificar o estádio de
comportamento da peça. Esses estádios traduzem as diversas fases pelas
quais passa uma peça de concreto armado quando submetida a um
carregamento crescente. Normalmente, para as ações de serviço (reais não
majoradas), as seções encontram-se nos estádios I e II.
A seguinte figura apresenta um esquema geral dos estádios de
comportamento.
Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação.
No estádio I a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua
resistência característica à tração (fctk), e não há fissuras de flexão visíveis;
nesse estádio o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear, e as
tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações,
correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto.
Já o estádio II é caracterizado pela presença de fissuras nas zonas de tração e,
portanto, o concreto situado nessas regiões é desprezado; nesse estádio, a
tensão de tração na maioria dos pontos situados na região tracionada da seção
tem valor superior ao da resistência característica do concreto à tração.
A separação entre estes dois estádios de comportamento é definida pelo
momento de fissuração (Mf), o qual define-se como sendo o momento fletor
capaz de provocar a primeira fissura na peça. Se o momento fletor atuante numa
dada seção for menor do que o momento de fissuração, a seção não está
fissurada e, portanto, encontra-se no estádio I, caso contrário, se o momento
fletor atuante for maior do que o de fissuração, a seção encontra-se fissurada e,
portanto, no estádio II e diz-se que foi ultrapassado o estado limite de formação
de fissuras.
73
Segundo a NBR6118:2003 o momento de fissuração pode ser calculado
pela seguinte expressão:
t
cct
fy
IfM
(5.18)
Onde: α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração
na flexão com a resistência a tração direta (α = 1,2 para seções em forma de T
ou duplo T, e α = 1,5 para seções retangulares); yt é a distância do centro de
gravidade da seção transversal a sua fibra mais tracionada; Ic é o momento de
inércia da seção bruta de concreto; fct é a resistência à tração direta do concreto.
Neste caso, para determinação do momento de fissuração, deve ser usado:
3/2
ckct f21,0f (5.19)
Substituindo a expressão (5.19) em a (5.18) temos o momento de
fissuração em função da variável aleatória fck:
t
c
3/2
ck
fy
If21,0M
(5.20)
Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação
ao estado limite de formação de fissuras, pode ser considerada a combinação
freqüente de serviço ou a rara (item 11.8.3). No estudo é utilizada a combinação
rara de serviço por ser a mais apropriada para as análises, essa combinação
não considera fatores de redução para a carga móvel principal. Como segue:
qjkj1k1qgikser,d FFFF (5.21)
Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;
Fgik é o valor característico das ações permanentes; Fq1k é o valor característico
da ação variável principal direta e Ψ1 é o fator de redução de combinação
freqüente para estado limite de serviço.
Para a combinação rara de serviço e considerando as equações (5.13) e
(5.14) o momento fletor atuante segue a expressão:
sqsps MMM (5.22)
Os procedimentos seguidos para encontrar o momento devido à carga
permanente e o momento devido à carga móvel foram explicados no item 5.6.
Com os dados encontrados pode-se substituir a equação (5.17) e
encontrar a seguinte função de estado limite:
sf MM)(G X
74
QMMMy
If21,0)(G
1sqadicsp1sp
t
c
3/2
ckX
(5.23)
5.7.2. Estado Limite de Abertura de Fissuras
Para evitar que surjam problemas relativos à funcionalidade e à
durabilidade das estruturas, as fissuras não devem se apresentar com aberturas
muito grandes. A corrosão das armaduras pode também ser evitada através da
limitação da abertura de fissuras, já que armaduras excessivas facilitam a
penetração do meio externo para o interior da massa de concreto e, também,
das armaduras, podendo conduzir ao colapso da estrutura.
O estado limite de formação de fissuras é caracterizado pela situação em
que as fissuras se apresentam com aberturas características (wk) iguais aos
máximos especificados na Tabela 5.2.
Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (wk), para combinação freqüente, em
função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003).
Classe de agressividade
Abertura máxima das fissuras
características (wk)
Combinação de ações em serviço a
utilizar
I wk ≤ 0,4 mm Combinação freqüente
II wk ≤ 0,3 mm Combinação freqüente
III wk ≤ 0,3 mm Combinação freqüente
IV wk ≤ 0,2 mm Combinação freqüente
Conforme a NBR6118:2003, a agressividade ambiental pode ser avaliada,
simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas
partes; a agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e
químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das
ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração
hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto. Na
Tabela 5.3 são apresentadas as classes de agressividade ambiental segundo a
NBR6118:2003.
Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental
Classe de agressividade
ambiental Agressividade
Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de
projeto
Risco de deterioração da
estrutura
I Fraca Rural
Insignificante Submersa
II Moderada Urbana 1), 2)
Pequeno
75
III Forte Marinha 1)
Grande Industrial
1), 2)
IV Muito forte Industrial
1), 3)
Elevado Respingos de maré
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comercias ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões donde chove raramente.
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.
Verifica-se se a abertura máxima de fissura (wk) é maior do que a abertura
de fissura (w), como indicado na seguinte expressão:
wwk (5.24)
A resistência à compressão do concreto (fck), o módulo de elasticidade do
aço (Es), o peso específico do concreto (), a carga móvel e (Q) e o fator de
impacto (φ) são consideradas como variáveis aleatórias. Os modelos
probabilísticos dessas variáveis foram descritos no item 5.3.
A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte
ferroviária em concreto armado dentro do cenário de abertura de fissuras é:
),Q,,,Ew(f)=w,Q,,,EG(f sckksck (5.25)
Os valores de wk estão na Tabela 5.2. Para encontrar os valores de w a
NBR618:2003 propõe a seguintes expressões:
m,cts
2
s
1fE5,12
3w
(5.26)
45
4
E5,12w
rs
2 (5.27)
Onde: φ é o diâmetro da barra utilizada na armadura de tração; η é o
coeficiente de conformação superficial, η = 1 para barras lisas (CA-25), η = 1.4
para barras entalhadas (CA-60) e η = 2.25 para barras de alta aderência (CA-
50); σs é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,
calculada no estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e
despreza a resistência à tração do concreto); Es é o módulo de elasticidade do
aço; ρr é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da
região de envolvimento (Acri) e fct,m é a resistência média do concreto a tração.
A seguir é explicada a metodologia para o cálculo das diferentes variáveis
envolvidas no cálculo da abertura de fissuras.
76
Resistência a tração media do concreto (fct,m):
f3,0=f 3/2
ckct,m (5.28)
Tensão da armadura de tração calculada no Estádio II
Módulo de elasticidade secante do concreto
f4760=E 2/1
ckcs (5.29)
Relação entre os módulos de elasticidade
cs
s
eE
E= (5.30)
Posição da linha neutra XII
o Caso 1 XII ≤ hf
) (d-X-d')=A (XA'X2
bIIeSIIeS
2
IIf (5.31)
0dA'dA'XAA'X2
beSeSIIeSeS
2
IIf (5.32)
f
eSeSf2
eSeSeSeS2
IIb
dA'dA'2
b4AA'AA'
X
(5.33)
o Caso 2 XII > hf
) (d-X-d')=A (XA'hX2
)bb(X
2
bIIeSIIeS
2
fIIwf2
IIf
(5.34)
0dA'dA'h2
)bb(
XAA'h)bb(X2
b
eSeS
2
fwf
IIeSeSfwf
2
IIw
(5.35)
w
eSeS
2
fwfw2
eSeSfwf
w
eSeSfwf2
II
b
dA'dA'h2
)bb(
2
b4AA'h)bb(
b
AA'h)bb(X
(5.36)
Momento de inércia no Estádio II puro III
o Caso 1 XII ≤ hf
77
2
IIeS
2
IIeS
3
IIf
II -d') (XA') (d-XAX3
bI
(5.37)
o Caso 2 XII > hf
2
IIeS
2
IIeS
3
fIIwf3
IIf
II -d') (XA') (d-XAhX2
)bb(X
3
bI
(5.38)
Momento equivalente segundo a Fórmula de Brandson
cII
3
s
f
c
3
s
f
e IIM
M1I
M
MI
(5.39)
Mf é o momento de fissuração, ver equação (5.20), e Ms é o momento
solicitante, considerando a combinação freqüente de serviço.
Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação
ao estado limite de abertura de fissuras é considerada a combinação
freqüente de serviço (item 11.8.3). Como segue:
qjkj2k1q1gikser,d FFFF (5.40)
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; Fgik é o
valor característico das ações permanentes; Fq1k é o valor característico da
ação variável principal direta, Ψ1 é o fator de redução de combinação
freqüente para estado limite de serviço e Ψ2 é o fator de redução de
combinação quase permanente para estado limite de serviço. O valor de Ψ1
é 0.4, então a combinação freqüente considerando os momentos
solicitantes devido a carga permanente e móvel segundo as equações
(5.13) e (5.14) respectivamente é:
QM4,0MMM1sqadicsp1sps
(5.41)
Tensão da armadura de tração
sss E
ecs
sIIs
IE
M
r
1
r
Xd
ecs
IIsss
IE
XdME
(5.42)
Em função das variáveis aleatórias a equação (5.42) fica:
78
ecs
II1sqadicsp1sp
ssIE
XdQM4,0MME
(5.43)
Área do concreto de envolvimento
Taxa de armadura de tração
cri
s
rA
A (5.44)
Para o cálculo da área do concreto de envolvimento Acri a NBR6118:2003,
no seu item 17.3.3.2, diz que para cada elemento ou grupo de elementos das
armaduras passiva e ativa aderente, que controlam a fissuração do elemento
estrutural, deve ser considerada uma área do concreto de envolvimento,
constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7Ф do contorno do
elemento da armadura , como indicado na Figura 5.7.
Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003)
Com os dados encontrados podem-se substituir as equações (5.26) e
(5.27) para determinar as aberturas de fissuras:
m,cts
2
ecs
II1sqadicsp1sp
s
1fE
IE
XdQM4,0MME
5,12
3w
(5.45)
45
A
A4
IE
XdQM4,0MM
5,12w
s
cri
ecs
II1sqadicsp1sp
2 (5.46)
Substituindo os valores de w1 e w2 na equação (5.19), obtemos a seguinte
função de estado limite:
79
211k wwseww)X(G (5.47)
m,ct
2
ecs
2
II1sqadicsp1sp
kfIE
XdQM4,0MM
5,12
3w)X(G
212k wwseww)X(G (5.48)
45
A
A4
IE
XdQM4,0MM
5,12w)X(G
s
cri
ecs
II1sqadicsp1sp
k
5.8. Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao Estado Limite de Ruptura
Dados de entrada:
a. Para os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias (fck, fyk, Es, , Q e
φ) são considerados os seguintes dados (ver item 5.3):
Vetor contendo o tipo de distribuição de probabilidade adotada para
cada variável aleatória, (1 para distribuição Normal, 2 para Lognormal e
3 para Tipo 1), valores médios, coeficientes de variação e ponto inicial
de cada variável.
Matriz contendo os coeficientes de correlação existente entre as
variáveis aleatórias
b. Valores das variáveis consideradas como determinísticas.
Propriedades geométricas da seção de concreto armado
Largura da viga (bw)
Largura efetiva (bf)
Altura da viga (h)
Altura útil da viga (d e d’)
Área de armadura de tração e compressão (As, A’s)
Armadura de pele
Propriedades dos materiais
Peso específico do concreto ()
Carregamento do trem tipo (Q)
Coeficiente de Impacto (φ)
c. Ponto inicial que contém os dados da média e desvio padrão de cada
variável
Determinação das envoltórias de esforços
80
As envoltórias de esforços são obtidas com ajuda do programa de análise
estrutural SAP2000. A ponte é modelada e os carregamentos permanente e
móvel são considerados, como explicado no item 5.6. As variáveis aleatórias
envolvidas no cálculo dos momentos solicitantes (, Q e φ) são consideradas
como unitárias para a determinação dos esforços da estrutura. Da análise são
obtidos os valores do momento fletor para carga permanente unitária (Mps1) e
para carga móvel unitária (Mqs1) os quais são utilizados para obter os momentos
solicitantes em função das variáveis aleatórias e determinar assim a função de
estado limite (equações 5.13 e 5.14).
Definição das opções de análise de confiabilidade da ponte
São duas as opções para a análise de confiabilidade as quais dependem
se a armadura de pele é considerada ou não.
1. Quando a armadura de pele é considerada, é usado o método de simulação
de Monte Carlo para encontrar a probabilidade de falha Pf. Dentro do
programa que faz esta análise de confiabilidade. O momento resistente é
calculado utilizando uma rotina iterativa, desenvolvida pelo Núcleo de
Instrumentação e Computação Aplicado à Engenharia (NiCAE) da
Universidade Federal do Pará (UFPA) para análise de seções de concreto
armado. No método de Monte Carlo é gerado um vetor de números
aleatórios segundo o tipo de distribuição adotada, os valores destas variáveis
são dados de entrada da rotina iterativa para calcular o momento resistente
mediante um processo iterativo. Para cada valor gerado das variáveis
aleatórias é encontrado um valor para o momento resistente Mrd e para os
momentos solicitantes (Msp e Msq), com esses valores é avaliada a função de
estado limite G(X) (equação 5.15), para finalmente encontrar a probabilidade
de falha da estrutura. A vantagem da análise mediante o método de
simulação de Monte Carlo é que pode ser utilizada uma função de estado
limite implícita para encontrar o valor do momento resistente o que não pode
ser feito no FORM pela necessidade de avaliar o gradiente da função G(X). A
desvantagem é que precisa de um numero grande de simulações para
encontrar resultados mais precisos o que demanda maior tempo e esforço
computacional.
2. Se a armadura de pele não é considerada é utilizado o método de primeira
ordem FORM para a análise de confiabilidade da ponte. Esse método foi
explicado amplamente no Capítulo 4. É feita uma rotina desenvolvida no
81
MATLAB seguindo a metodologia do FORM. Como dados de entrada são
necessários os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias e os dados
considerados como determinísticos descritos anteriormente. Dentro da
análise é encontrada uma equação para o momento resistente em função
das variáveis aleatórias como exposto no item 5.5 e é encontrada uma
função de estado limite G(X) (equação 5.15). Essa função é avaliada para
encontrar, mediante um processo iterativo, o valor do índice de confiabilidade
β com o qual se determina a probabilidade de falha Pf. A metodologia do
FORM não permite trabalhar com uma função implícita para o momento
resistente porque necessita avaliar analiticamente o gradiente da função, por
tanto è desconsiderada a armadura de pele para facilitar a obtenção dessa
função. Frente a essa desvantagem o FORM apresenta a vantagem de exigir
um número menor de iterações para a obtenção dos resultados o que resulta
em menos tempo de análise, além de também permitir uma análise de
sensibilidade a partir dos fatores de importância das variáveis aleatórias
obtidos como resultado da aplicação do método.
Dados de saída
Segundo as duas opções de cálculo descritas os dados de saída para
cada uma delas são:
1. Da simulação de Monte Carlo é obtida a probabilidade de falha Pf da
estrutura.
2. Do FORM são obtidos o índice de confiabilidade β, a probabilidade de falha
Pf, e o fator de importância para cada variável aleatória.
A seguir é apresentado num fluxograma um resumo da obtenção das
rotinas para a análise de confiabilidade.
82
Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas.
Cálculo momento resistente Mrd
(equação 5.11)
Método de primeira ordem FORM
Método de Simulação de Monte Carlo
Determinação das envoltórias de esforços no
Sap2000 (Msp1 e Msq1)
Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias
Valores das variáveis determinísticas
Ponto Inicial
Considera Armadura de
pele
S N Cálculo momento resistente Mrd
rotina iterativa de Matlab
Método de primeira ordem FORM
Método de Simulação de Monte Carlo
Probabilidade de falha Pf
Simulação de Monte Carlo
Geração de vetores contendo as amostras das variáveis aleatórias.
Determinação dos momentos solicitantes Msp e Msq
Avaliar a função de estado limite sqsprd MMMXG )(
Coeficiente de confiabilidade β
Probabilidade de falha Pf
Fator de importância das variáveis
aleatórias
Método de primeira ordem FORM
Determinação dos momentos solicitantes Msp e Msq
Avaliar a função de estado limite sqsprd MMMXG )(
6 Estudo de Caso
6.1. Descrição Geral da Ponte
É analisada a Ponte sobre o rio Vermelho, que está situada no Km
763+800 da Estrada de Ferro dos Carajás. É uma ponte de concreto armado
com extensão total de 208,6 metros, constituída por sete vãos de 25 metros
cada. A figura 6.1 apresenta uma fotografia de uma vista geral desta obra.
Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho (fonte: Relatório Técnico,
Veloso et al 2007).
A superestrutura da ponte é constituída de duas vigas principais
(longarinas), vigas secundarias (transversinas) e o tabuleiro. As longarinas e os
tabuleiros formam dois trechos contínuos, sendo um de quatro vãos e outro de
três vãos, que são separados por uma junta de dilatação situada sobre o pilar P4
(ver Figura 6.2). Em ambos os trechos, as longarinas são vigas contínuas
engastadas em suas extremidades nos encontros da ponte e apoiadas sobre
pilares por meio de almofadas de neoprene fretado. O tabuleiro possui largura
total de 5,85 metros. A mesoestrutura é constituída por seis pilares de seção
retangular com lados de 1,20 e 2,80 metros, com altura variável.
Para permitir a junta de dilatação, a seção transversal do pilar P4 sofre
alargamento em sua extremidade superior para receber os aparelhos de apoio
84
das longarinas. Os encontros e os pilares P3, P4, P5 e P6 possuem fundações
tipo tubulão de concreto armado, com 1,40 metros de diâmetro de fuste. No caso
dos pilares P1 e P2, as fundações desses elementos são do tipo bloco em
concreto armado, diretamente apoiados na superfície do terreno. Os encontros
são estruturas multicelulares formadas por paredes, laje superior, cortina alas e
placa de transição de concreto armado. Os taludes dos aterros junto aos
encontros são protegidos por vegetação rasteira e de pequeno porte.
Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).
A seção transversal da ponte é mostrada da Figura 6.3.
Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da longarina 35
cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).
6.2. Análise de Confiabilidade da Ponte
Conforme citado nos capítulos anteriores, tem-se o interesse em avaliar a
confiabilidade das vigas principais da ponte à flexão simples.
Essa análise é feita para as seções resistentes consideradas no projeto da
ponte. Estas seções estão identificadas na Tabela 6.1.
85
Tabela 6.1. Seções consideradas na análise
Seção S16 S31 S37 S65
Localização Meio do vão
P1 - P2 Sobre o pilar P3
A 15m. do pilar P3, vão P3 - P4
A 10m. do pilar P6, vão P6 - E2
Como foi explicado no Capítulo 5, a função de estado limite para o Estado
Limite Último, na flexão simples, da ponte é:
QMMM`)dd(
xd
'dxE'A)x4,0d(fxb68,0)(G
1sqadicsp1spssscdfX
A caracterização das seis variáveis aleatórias consideradas no problema
(ver item 5.3) está apresentada na Tabela 6.2.
Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias
Variável Aleatória
Valor Característico
Média Coeficiente de
Variação % Distribuição
fck (KN/m2) 18000 23280,628 15 Lognormal
fyk (KN/m2) 500000 562511,176 7 Lognormal
Es (KN/m2) 210000000 248805736,082 10 Lognormal
(KN/m3) 25 25 8 Normal
Q (KN) 325 308,623 15 Tipo1
φ 1,356 1,269 13 Normal
Para cada seção é estabelecida uma função de estado limite a partir dos
dados conhecidos relativos às dimensões, à área, ao momento de inércia e às
armaduras de compressão e tração (ver Tabelas 6.3 e 6.4).
Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas
Seção Área (m2) Inércia (m
4)
S16 3,648 4,050
S31 5,783 6,329
S37 3,648 4,050
S65 3,648 4,050
Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção
Seção As
(cm2)
Número de barras
A’s (cm
2)
Número de barras
S16 101,34 20 φ 25 50,67 10 φ 25
S31 50,67 10 φ 25 121,61 24 φ 25
S37 121,61 24 φ 25 50,67 10 φ 25
S65 101,34 20 φ 25 60,80 12 φ 25
Com esses dados pode-se calcular os momentos resistentes e solicitantes
como foi descrito no Capítulo 5 e encontrar assim as seguintes funções de
estado limite para cada seção:
86
Q824,7)5244,6178920,44()'dd('R)x4,0d(RS
Q627,12)5215,13103570,98()'dd('R)x4,0d(RS
Q201,16)6493,19258511,148(`)'dd('R)x4,0d(RS
Q799,9)7296,6998349,49()'dd('R)x4,0d(RS
6565sd6565cd65
3737sd3737cd37
3131sd3131cd31
1616sd1616cd16
6565
3737
3131
1616
6.2.1. Análise com Seis Variáveis Aleatórias
Numa primeira fase de análise são consideradas as seis variáveis
aleatórias descritas anteriormente e desconsiderada a armadura de pele.
Quando a sistemática de avaliação da probabilidade de falha emprega a
simulação de Monte Carlo, as análises exigem um número de simulações maior,
e como conseqüência, um esforço computacional maior.
Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte
Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar armadura de pele.
Seção Variável Aleatória
Monte Carlo FORM
K Pf Iterações β Pf 2
S16
fck
5,0E+04 1,40E-04 5 3,622 1,46E-04
9,38E-05
fyk 1,04E-01
Es 2,89E-07
2,22E-03
Q 7,25E-01
φ 1,68E-01
S31
fck
5,0E+03 3,21E-01 3 0,458 3,24E-01
1,86E-04
fyk 2,84E-01
Es 3,41E-04
3,64E-02
Q 3,91E-01
φ 2,88E-01
S37
fck
1,0E+04 3,20E-01 5 2,712 3,34E-03
1,85E-04
fyk 1,51E-01
Es 9,89E-07
8,66E-03
Q 6,52E-01
φ 1,89E-01
S65
fck
5,0E+06 2,40E-06 5 4,563 2,52E-06
7,82E-05
fyk 9,90E-02
Es 3,12E-07
1,77E-03
Q 7,44E-01
φ 1,55E-01
87
A Tabela 6.5 ilustra os valores da probabilidade de falha associados às
seções das vigas da ponte do Rio Vermelho, empregando os métodos de Monte
Carlo e o FORM. Observando a Tabela 6.6 é possível identificar que os
resultados obtidos pelos dois métodos têm diferenças muito baixas.
Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a
simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 6 variáveis aleatórias.
Pf_MC Pf_FORM Diferença %
1,40E-04 1,46E-04 -4,2
3,21E-01 3,24E-01 -0,9
3,20E-03 3,34E-03 -4,3
2,40E-06 2,52E-06 -4,9
A seguir, a mesma análise é feita considerando a armadura de pele. Na
avaliação da probabilidade de falha empregando a simulação de Monte Carlo a
inclusão da armadura de pele não interfere em nada no processo de cálculo.
Porém o mesmo não acontece na sistemática de avaliação que usa o FORM.
Para avaliar a probabilidade de falha via o FORM a introdução da armadura de
pele não permite uma equação genérica da função de estado limite e
consequentemente não permite que o gradiente da função seja avaliado
analiticamente. Para controlar esse problema admite-se que a área de aço
referente à armadura de pele seja incorporada à armadura principal.
Os resultados obtidos pelos dois métodos são apresentados na Tabela 6.7,
As diferenças entre os métodos continuam sendo muito pequenas como pode
ser visto na Tabela 6.8. Pode-se verificar também que a consideração da
armadura de pele reduz bastante a probabilidade de falha, de tal maneira que a
mesma não pode ser negligenciada.
Ao observar os fatores de importância (2) nas Tabelas 6.5 e 6.7 pode-se
observar que a variável que tem maior influência na probabilidade de falha é a
carga móvel, seguida do coeficiente de impacto, já as variáveis aleatórias fck e Es
têm fatores de importância muito baixos e pouco afetam a avaliação da
probabilidade de falha, por isso prossegue-se as análises considerando as
mesmas determinísticas.
88
Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte
Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele
Seção Variável Aleatória
Monte Carlo FORM
K Pf Iterações β Pf 2
S16
fck
5,0E+05 2,00E-05 5 4,059 2,47E-05
9,71E-05
fyk 9,89E-02
Es 4,68E-07
1,77E-03
Q 7,38E-01
φ 1,61E-01
S31
fck
1,0E+04 1,20E-03 5 3,040 1,18E-03
5,31E-06
fyk 1,48E-01
Es 2,73E-04
9,96E-03
Q 6,65E-01
φ 1,76E-01
S37
fck
2,0E+04 7,00E-04 5 3,157 7,97E-04
1,78E-04
fyk 1,35E-01
Es 1,33E-06
6,71E-03
Q 6,83E-01
φ 1,75E-01
S65
fck
3,0E+07 2,00E+07 6 4,959 3,54E-07
8,18E-05
fyk 9,68E-02
Es 4,98E-07
1,48E-03
Q 7,49E-01
φ 1,53E-01
Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a
simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele para 6 variáveis aleatórias.
Pf_MC Pf_FORM Diferença %
2,00E-05 2,47E-05 -18,9
1,20E-03 1,18E-03 1,5
7,60E-04 7,97E-04 -12,2
2,00E+07 3,54E-07 -43,5
6.2.2. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias
Tomando como variáveis aleatórias fyk, , Q e φ empregando o método de
Monte Carlo e o FORM, são avaliadas as probabilidades de falha apresentadas
na Tabela 6.9, sem armadura de pele e na Tabela 6.11 já considerando a
armadura de pele. Pode-se notar que as diferenças entre os resultados da
89
probabilidade de falha para os dois métodos são baixas (Tabelas 6.10 e 6.12), o
que motiva a utilização só do FORM para calcular a probabilidade de falha, já
que o FORM oferece resultados de qualidade da probabilidade de falha em
pouco tempo, além de permitir calcular o coeficiente de confiabilidade e o fator
de importância para análise de sensibilidade.
Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e
FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele.
Seção Variável Aleatória
Monte Carlo FORM
K Pf Iterações β Pf 2
S16
fyk
5,0E+04 1,60E-04 5 3,604 1,57E-04
0,1040
0,0022
Q 0,7252
φ 0,1686
S31 fyk
5,0E+03 3,30E-01 3 0,403 3,44E-01
0,2846
0,0372
Q 0,3870
φ 0,2913
S37
fyk
1,0E+04 3,60E-04 5 2,686 3,62E-03
0,1508
0,0088
Q 0,6507
φ 0,1897
S65
fyk
5,0E+06 2,73E-0.3 6 4,546 2,73E-07
0,0985
0,0018
Q 0,7441
φ 0,1556
Tabela 6.10. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a
simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias.
Pf_MC Pf_FORM Diferença %
1,60E-04 1,57E-04 2,0
3,30E-01 3,44E-01 -4,0
3,60E-03 3,62E-03 -0,5
2,80E-06 2,73E-06 2,4
Dos resultados obtidos no FORM, para a análise com quatro variáveis,
verifica-se que a variável aleatória mais importante continua sendo a carga
móvel Q, e os resultados do índice de confiabilidade e da probabilidade de falha
quando comparadas com os obtidos na análise de seis variáveis aleatórias
apresentam pequenas diferenças, como indicado na Tabela 6.13. Os resultados
90
indicam que é possível simplificar a análise considerando só quatro variáveis
aleatórias e manter a qualidade nos resultados.
Tabela 6.11. Resultado da probabilidade de falha para os métodos: simulação de
Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias com armadura de pele
Seção Variável Aleatória
Monte Carlo FORM
K Pf Iterações β Pf 2
S16
fyk
5,0E+05 2,00E-05 5 4,040 2,67E-05
0,1040
0,0022
Q 0,7252
φ 0,1686
S31 fyk
1,0E+04 1,30E-03 5 3,010 1,31E-03
0,2846
0,0372
Q 0,3870
φ 0,2913
S37
fyk
2,0E+04 8,50E-04 5 3,131 8,72E-04
0,1508
0,0088
Q 0,6507
φ 0,1897
S65
fyk
3,0E+07 2,0E-07 5 4,942 3,87E-07
0,0985
0,0018
Q 0,7441
φ 0,1556
Tabela 6.12. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a
simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias
Pf_MC Pf_FORM Diferença %
2,00E-05 2,67E-05 -25,2
1,30E-03 1,31E-03 -0,6
8,50E-04 8,72E-04 -2,5
2,00E-07 3,87E-07 -38,3
Tabela 6.13. Comparação entre as análises feitas com o FORM para seis e quatro
variáveis aleatórias
Seção 6 VA. 4 VA. Diferença %
β Pf β Pf β Pf
S16 4,059 2,47E-05 4,040 2,67E-05 0,47 -7,78
S31 3,040 1,18E-03 3,010 1,31E-03 1,02 -9,62
S37 3,157 7,97E-04 3,131 8,72E-04 0,84 -8,55
S65 4,959 3,54E-07 4,942 3,87E-07 0,35 -8,57
91
As figuras 6.4 e 6.5 mostram a comparação da análise com seis variáveis
aleatórias e com quatro variáveis aleatórias para o índice de confiabilidade e
para a probabilidade de falha respectivamente.
Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM para 6 e 4
variáveis aleatórias.
Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM para 6 e 4
variáveis aleatórias.
Uma vez que o processo para avaliar a probabilidade de falha é iterativo, o
mesmo exige que o momento resistente seja avaliado algumas vezes o que
demanda uma rotina bem elaborada conforme comentado no Capítulo 5.
A fim de simplificar essa sistemática, admite-se o momento resistente Mr
como uma variável aleatória lognormal com valor médio obtido a partir dos
valores médios de fyk e que simplifica em muito a expressão para a função de
0
2
4
6
16 31 37 65
β
Seção
Índice de confiabilidade
β 4 VA
β 6 VA
0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03
16
31
37
65
Pf
Seçã
o
Probabilidade de Falha
β 6VA
β 4VA
92
estado limite e permite uma avaliação simplificada da Pf. As funções de estado
limite para esse caso são:
Q824,7)5244,6178920,44(MrS
Q627,12)5215,13103570,98(MrS
Q201,16)6493,19258511,148(MrS
Q799,9)7296,6998349,49(MrS
6565
3737
3131
1616
As características das variáveis aleatórias consideradas nesta análise
estão na seguinte Tabela:
Tabela 6.14. Valores característicos e valores médios das variáveis aleatórias
Variável Distribuição V médio COV
Mr16 Lognormal 18045,000 0,07
Mr31 Lognormal 28085,483 0,07
Mr37 Lognormal 21288,211 0,07
Mr65 Lognormal 17925,628 0,07
Υ Normal 25 0,08
Q Tipo1 308,623 0,15
φ Normal 1,269 0,13
Tabela 6.15. Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias
Seção Variável Aleatória
FORM
Iterações β Pf 2
S16
Mr
5 4,037 2,71E-05
0,1023
0,0044
Q 0,7327
φ 0,1606
S31
Mr
5 2,996 1,37E-03
0,1598
0,0234
Q 0,6425
φ 0,1742
S37
Mr
5 3,121 9,02E-04
0,1418
0,0161
Q 0,6682
φ 0,1739
S65
Mr
6 4,937 3,96E-07
0,0998
0,0036
Q 0,7443
φ 0,1523
Os valores obtidos para a probabilidade de falha, e para o índice de
confiabilidade, são muito próximos aos obtidos com a primeira análise com
quatro variáveis, conforme pode ser visto nas Tabelas 6.15 e 6.16. Portanto é
93
possível se obter resultados confiáveis simplificando a análise para 4 variáveis
aleatórias, onde o Mr é uma delas, e só é avaliado uma vez.
Tabela 6.16. Comparação entre as análises feitas com o FORM para quatro
variáveis aleatórias.
4 VA "fyk, , Q, φ " 4 VA "Mr, , Q, φ " Diferença %
β Pf β Pf β Pf
4,040 2,67E-05 4,037 2,71E-05 -0,07 -1,23
3,010 1,31E-03 2,996 1,37E-03 -0,45 -4,36
3,131 8,72E-04 3,121 9,02E-04 -0,33 -3,41
4,942 3,87E-07 4,937 3,96E-07 -0,09 -2,32
6.2.3. Análise com Três Variáveis Aleatórias
É realizada uma análise com apenas 3 variáveis aleatórias visando facilitar
ainda mais a determinação da confiabilidade para longarinas na flexão simples,
de tal forma que essa abordagem possa ser rapidamente verificada pelo
engenheiro em qualquer etapa do projeto e por qualquer ferramenta
computacional matemática. São consideradas como variáveis aleatórias os
valores dos momentos resistente (Mr) e solicitantes por carga permanente Mp e
carga móvel Mq. Para esta análise as funções de estado limite são:
65656565
37373737
31313131
16161616
MqMpMrS
MqMpMrS
MqMpMrS
MqMpMrS
Na Tabela 6.17 estão os resultados para cada seção.
Tabela 6.17. Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias
Seção
Variável Aleatória
FORM
Iterações β Pf 2
S16
Mr
5 4,204 1,31E-05
0,122
Mp 0,005
Mq 0,873
S31
Mr
5 3,064 1,09E-03
0,187
Mp 0,028
Mq 0,785
S37
Mr
5 3,203 6,80E-04
0,166
Mp 0,019
Mq 0,815
S65
Mr
5 5,190 1,05E-07
0,122
Mp 0,005
Mq 0,874
94
Fazendo uma comparação entre as análises com seis variáveis e com três
variáveis temos que as diferenças entre os coeficientes de variação são muito
pequenas. Também verifica-se que, uma vez que os níveis de probabilidade de
falha são muito baixos, a diferença relativa entre a probabilidade de falha
avaliada com 3 ou com 6 variáveis aleatórias é grande (seção 16 e 65). Para
níveis de probabilidade de falha mais altos (da ordem de 10-3) essa diferença
relativa entre as análises não é representativa, ver Tabela 6.18.
Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis variáveis aleatórias.
Seção 3 VA. 6 VA. Diferença %
β Pf β Pf β Pf
S16 4,204 1,31E-05 4,059 2,47E-05 3.,59 -46,93
S31 3,064 1,09E-03 3,040 1,18E-03 0,80 -7,75
S37 3,203 6,80E-04 3,157 7,97E-04 1,46 -14,67
S65 5,190 1,05E-07 4,959 3,54E-07 4,66 -70,34
A Figura 6.6 apresenta a comparação entre as análises feitas com seis,
quatro e três variáveis aleatórias, com os dados das Tabelas 6.13 e 6.18.
Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises feitas com
seis, quatro e três variáveis aleatórias.
6.2.4. Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha
Como foi descrito nas análises anteriores a variável que mais impacta a
probabilidade de falha é a carga móvel, portanto é realizado um estudo da
sensibilidade da probabilidade de falha em função do coeficiente de variação da
0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03
16
31
37
65
Pf
Seçã
o
Probabilidade de Falha
3 VA
6 VA
4 VA
95
carga móvel. Foram consideradas quatro variáveis aleatórias (fyk, , Q, φ) os
valores médios e distribuições de probabilidade dessas variáveis são descritos
na Tabela 6.2.
São escolhidos quatro valores de COV para a carga móvel, 5%, 10%, 15%
e 25%, e para esses são avaliados o índice de confiabilidade e a probabilidade
de falha, apresentados na tabela a seguir
Tabela 6.19. Análise de sensibilidade da probabilidade de falha em função do
COV da carga móvel Q.
Seção COVQ β Pf 2
S16
0,05 5,817 3,00E-09 0,4644
0,10 4,701 1,30E-06 0,6601
0,15 4,040 2,67E-05 0,7382
0,25 3,278 5,23E-04 0,8137
S31
0,05 3,998 3,20E-05 0,2192
0,10 3,442 2,89E-04 0,5372
0,15 3,00 1,31E-03 0,6635
0,25 2,469 6,77E-03 0,7763
S37
0,05 4,245 1,09E-05 0,2656
0,10 3,598 1,60E-04 0,5672
0,15 3,131 8,72E-04 0,6822
0,25 2,559 5,24E-03 0,7864
S65
0,05 7,193 3,16E-13 0,5275
0,10 5,754 4,36E-09 0,6830
0,15 4,942 3,87E-07 0,7491
0,25 4,018 2,93E-05 0,8151
Da Tabela 6.19 pode-se concluir que a medida que aumenta o COV da
carga móvel Q diminui o índice de confiabilidade e a probabilidade de falha
aumenta. Quando o COV da carga móvel aumenta, aumenta a área de
interseção entre as distribuições e consequentemente aumenta a probabilidade
de falha.
A Figura 6.7 mostra o índice de confiabilidade para cada seção onde pode-
se observar melhor o comportamento da variação do COV da variável aleatória
em questão.
96
Figura 6.7. Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga
móvel Q.
Figura 6.8. Variação do fator de importância em função do COV de Q.
O coeficiente de variação também tem influência no fator de importância
da carga móvel, Q. Na Figura seguinte pode-se observar que a medida que
aumenta o coeficiente de variação aumenta o fator de importância, já que as
variações nos parâmetros da variável aleatória mais importante dentro da
análise, estão diretamente relacionados com as variações no seu fator de
importância. Para cada incremento do coeficiente de variação os valores médios
são mantidos iguais e os valores do desvio padrão aumentam, gerando uma
diminuição nos parâmetros da distribuição Tipo1, e finalmente maiores valores
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
β
Coeficiente de variação de Q (%)
Índice de confiabilidade
S16 S31 S37 S65
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
α2
Coeficiente de variação de Q (%)
Fator de importância α2
S16 S31 S37 S65
97
da variável dentro da função de estado limite e portanto fatores de importância
mais altos.
6.2.5. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha
É considerado um incremento na carga móvel aumentando a mesma em
25%, 50% e 100%, para verificar a influência da variável na variação da
probabilidade de falha. As variáveis aleatórias consideradas na análise são: fyk, ,
Q, φ. Os valores médios e coeficientes de variação de cada variável são
descritos na Tabela 6.2 e na Tabela 6.20. Os resultados para esta análise são
apresentados nas tabelas a seguir.
Tabela 6.20. Valores característicos e valores médios da carga móvel Q
Variável V característico V médio
Q 325,000 308,623
Q + 25% 406,250 385,778
Q + 50% 487,500 462,934
Q + 100% 650,000 617,245
Tabela 6.21. Resultado do FORM para quatro variáveis aleatórias com carga
móvel Q aumentada 25% 50% e 100%
Seção Aumento Q β Pf 2
S16
25% 3,197 6,95E-04 0,7166
50% 2,484 6,50E-03 0,6805
100% 1,267 1,02E-01 0,5760
S31
25% 2,143 1,61E-02 0,6100
50% 1,386 8,29E-02 0,5436
100% 0,095 4,62E-01 0,4222
S37
25% 2,265 1,18E-02 0,6328
50% 1,509 6,56E-02 0,5681
100% 0,216 4,14E-01 0,4425
S65
25% 4,105 2,03E-05 0,7425
50% 3,417 3,17E-04 0,7276
100% 2,289 1,10E-02 0,6710
Das análises, observa-se que a medida que aumenta a carga móvel a
probabilidade de falha aumenta. Quando a carga móvel é aumentada 100% o
índice de confiabilidade para a seção 16 diminui 70% do índice de confiabilidade
com a carga inicial, para a seção 31 diminui 97% para a seção 37, 93% e para a
seção 65 diminui 54%.
98
O JCSS propõe um valor para o índice de confiabilidade de referência βT
para um período de referência de um ano e para o estado limite último, que
foram descritos no Capitulo 4. (item 4.6). Para o caso de pontes admite-se βT
igual a 4,4 (Pf ≈ 5*10-6). A comparação dos resultados obtidos para o índice de
confiabilidade segundo o FORM com o índice de confiabilidade de referência,
permite evidenciar que as seções não atendem o limite proposto. Isso quer dizer
que as seções têm uma probabilidade de falha superior à estipulada no
regulamento.
Figura 6.9. Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q
Figura 6.10. Comparação da probabilidade de falha em função da variação de Q
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
β
Q/Qatual
Índice de confiabilidade Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65 βT
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
Pf
Q/Qatual
Probabilidade de falha
Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65
99
Figura 6.11. Fator de importância em função da variação da carga móvel Q.
A Figura 6.11 permite evidenciar que a medida que a carga móvel é
acrescentada o fator de importância da variável diminui, para cada incremento
da carga móvel os valores médios da variável aumentam e os valores do
coeficiente de variação são mantidos iguais, por tanto a medida que aumenta a
carga móvel o desvio padrão aumenta o que gera um incremento nos
parâmetros da distribuição Tipo1, e finalmente menores valores da variável
dentro da função de estado limite e portanto fatores de importância mais baixos.
6.2.6. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias sem Considerar Coeficientes de Segurança
Todas as análises anteriores consideraram os coeficientes de segurança
para o cálculo dos momentos envolvidos na função de estado limite. As análises
desenvolvidas neste tópico não empregam esses coeficientes e consideram
como variáveis aleatórias a resistência característica à tração do aço (fyk), o peso
específico do concreto (), a carga móvel (Q) e o coeficiente de impacto (φ), com
modelos probabilísticos descritos na Tabela 6.2.
A Tabela 6.22 apresenta os resultados obtidos da análise com as quatro
variáveis aleatórias descritas, via FORM, considerando a armadura de pele.
Pode-se observar que a variável que tem maior influência na análise é a carga
móvel (Q) e a que tem menor influência é o peso específico do concreto ().
A Tabela 6.23 apresenta uma comparação entre os resultados obtidos,
considerando e desconsiderando os coeficientes de segurança. Pode-se
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
α2
Q/Qatual
Fator de importância α2
S16 S31 S37 S65
100
observar que existe uma diferença grande entre as análises o que evidencia a
influência dos coeficientes na probabilidade de falha da estrutura.
Tabela 6.22. Analises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM,
considerando a armadura de pele.
Seção Variável Aleatória
FORM
Iterações β Pf 2
S16
fyk
6 6,177 3,26E-10
0,0933
0,0007
Q 0,7550
φ 0,1510
S31
fyk
6 5,440 2,66E-08
0,1063
0,0031
Q 0,7414
φ 0,1493
S37
fyk
5 5,495 1,96E-08
0,1038
0,0022
Q 0,7444
φ 0,1497
S65
fyk
6 7,102 6,15E-13
0,0987
0,0006
Q 0,7490
φ 0,1517
Tabela 6.23. Resultados obtidos com e sem coeficientes de segurança
Seção Com coeficientes Sem coeficientes Diferença %
β Pf β Pf β Pf
S16 4,059 2,47E-05 6,177 3,26E-10 52,92 -99,99
S31 3,040 1,18E-03 5,440 2,66E-08 80,77 -99,99
S37 3,157 7,97E-04 5,495 1,96E-08 75,50 -99,99
S65 4,959 3,54E-07 7,102 6,15E-13 43,71 -99,99
Figura 6.12. Comparação da probabilidade de falha obtida com e sem coeficientes
de segurança
0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03
16
31
37
65
Pf
Seçã
o
Probabilidade de Falha
Com coeficientes
Sem coeficientes
101
É feita a mesma análise para quatro variáveis aleatórias, sem considerar a
armadura de pele, os resultados estão nas Tabelas 6.24 e 6.25.
Tabela 6.24. Análises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM,
desconsiderando a armadura de pele.
Seção Variável Aleatória
FORM
Iterações β Pf 2
S16
fyk
6 5,759 4,22E-09
0,0928
0,0008
Q 0,7552
φ 0,1512
S31
fyk
5 3,514 2,20E-04
0,1313
0,0077
Q 0,6952
φ 0,1659
S37
fyk
6 5,114 1,58E-07
0,1056
0,0025
Q 0,7413
φ 0,1506
S65
fyk
6 6,705 1,00E-11
0,0973
0,0007
Q 0,7510
φ 0,1510
Tabela 6.25. Comparação entre os dados obtidos com e sem coeficientes de
segurança, sem armadura de pele.
Seção Sem coeficientes Com coeficientes Diferença %
β Pf β Pf β Pf
S16 5,759 4,22E-09 3,604 1,57E-04 59,79 -100
S31 3,514 2,20E-04 0,403 3,44E-01 771,9 -100
S37 5,114 1,58E-07 2,686 3,62E-03 90,39 -100
S65 6,705 1,00E-11 4,546 2,73E-07 47,49 -100
6.2.7. Influência da Variação COV da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha
Como já foi observado nas análises anteriores, a carga móvel é a variável
que mais influência tem na probabilidade de falha da estrutura. Dentro do
mesmo cenário de quatro variáveis aleatórias, sem consideração dos
coeficientes de segurança, é analisada a sensibilidade da probabilidade de falha
102
em função do coeficiente de variação da carga móvel. Os resultados são
apresentados na Tabela 6.26, Figuras 6.13 e 6.14. Quando o COV da carga
móvel aumenta o índice de confiabilidade diminui e o fator de importância
aumenta.
Tabela 6.26. Resultados da análise de sensibilidade da probabilidade de falha em
função do COV da carga Q, sem considerar coeficientes de segurança
Seção COVQ β Pf 2
S16
0,05 9,050 0,00E+00 0,5785
0,10 7,188 3,29E-13 0,7000
0,15 6,177 3,26E-10 0,7550
0,25 5,042 2,30E-07 0,8127
S31
0,05 7,866 1,89E-15 0,5212
0,10 6,317 1,33E-10 0,6758
0,15 5,440 2,66E-08 0,7414
0,25 4,441 4,49E-06 0,8072
S37
0,05 7,969 7,77E-16 0,5319
0,10 6,384 8,63E-11 0,6806
0,15 5,495 1,96E-08 0,7444
0,25 4,483 3,68E-06 0,8088
S65
0,05 9,984 0,00E+00 0,5778
0,10 8,244 1,11E-16 0,6980
0,15 7,102 6,15E-13 0,7490
0,25 5,821 2,93E-09 0,8043
Figura 6.13. Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga
móvel Q, sem coeficientes de segurança.
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
5 10 15 20 25
β
Coeficiente de variação de Q (%)
Índice de confiabilidade
S16 S31 S37 S65
103
Figura 6.14. Variação do fator de importância em função do COV de Q, sem
coeficientes de segurança.
6.2.8.Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha
Para estudar a influência da carga móvel na probabilidade de falha da
estrutura, segue-se o mesmo procedimento descrito no item 6.2.5. Os dados dos
valores característicos e valores médios da carga móvel são apresentados na
Tabela 6.20, enquanto os resultados obtidos estão na Tabela 6.27.
Tabela 6.27. Resultado do método FORM variando a carga móvel, sem considerar
coeficientes de segurança
Seção Aumento Q β Pf α2
S16
25% 5,315
5,35E-08
0,7585
50% 4,623
1,89E-06
0,7568
100% 3,536
2,03E-04
0,7401
S31
25% 4,603
2,09E-06
0,7407
50% 3,922
4,39E-05
0,7329
100% 2,828
2,35E-03
0,6970
S37
25% 4,654
1,62E-06
0,7439
50% 3,973
3,55E-05
0,7366
100% 2,878
2,00E-03
0,7023
S65
25% 6,210
2,65E-10
0,7566
50% 5,501
1,88E-08
0,7599
100% 4,408
5,21E-06
0,7568
Das análises se observa que a medida que aumenta a carga móvel a
probabilidade de falha aumenta.
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
5 10 15 20 25
α2
Coeficiente de variação de Q (%)
Fator de importância α2 S16 S31 S37 S65
104
A comparação do índice de confiabilidade e a probabilidade de falha em
função da variação da carga móvel são representadas nas Figuras 6.15 e 6.16.
Confrontando esses valores com os limites fixados pelo JCSS para o índice
confiabilidade de referência βT igual a 4,4 (Pf ≈ 5*10-6), verifica-se que todas as
seções resistem a um aumento da carga móvel, em pelo menos 25%, sem
ultrapassarem o nível de probabilidade fixado pelo JCSS. Já com um incremente
de 50% só são verificadas as seções 16 e 65. Finalmente pode-se observar que
a seção 65 continua sendo verificado, ainda com um incremento de carga móvel
de 100%. A análise evidencia a influência que tem os fatores de segurança
dentro dos resultados.
Figura 6.15. Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q
sem coeficientes de segurança
Figura 6.16 Probabilidade de falha em função da variação de Q sem coeficientes
de segurança
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
0 25 50 75 100
β
Q/Qatual
Índice de confiabilidade Seção 16 Seção 31 Seção 37
0,00E+00
5,00E-04
1,00E-03
1,50E-03
2,00E-03
2,50E-03
0 25 50 75 100
Pf
Q/Qatual
Probabilidade de falha
Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65
105
6.3. Análise no Estado Limite de Serviço na Formação de Fissuras
Conforme descrito no capítulo 5, a Função de Estado Limite para formação
de fissuras é:
QMMMy
If21,0)(G
1sqadicsp1sp
c
c
3/2
ckX
Na análise são consideradas as quatro seções descritas na Tabela 6.1. O
cálculo do momento de fissuração e os momentos solicitantes segue o exposto
no Capitulo 5, desse modo as funções de estado limite encontradas para cada
seção são:
Q824,7)5244,6178920,44(MS
Q627,12)5215,13103570,98(MS
Q201,16)6493,19258511,148(MS
Q799,9)7296,6998349,49(MS
f65
f37
f31
f16
A resistência à compressão do concreto (fck), o peso específico do concreto
(), a carga móvel (Q) e o coeficiente de impacto (φ) são consideradas como
variáveis aleatórias na análise, com os modelos probabilísticos da Tabela 6.2.
Os resultados seguindo a metodologia do FORM são apresentados na tabela a
seguir.
Tabela 6.28. Resultados (via FORM), para o estado limite de formação de fissuras
Seção Variável Aleatória
FORM
Iterações β Pf α2
S16
fck
5 2,459 6,96E-03
0,3322
0,0178
Q 0,3998
φ 0,2502
S31
fck
5 3,987 3,34E-05
0,4465
0,0545
Q 0,3261
φ 0,1728
S37
fck
8 5,362 4,11E-08
0,3923
0,0558
Q 0,4223
φ 0,1297
S65
fck
4 1,413 7,88E-02
0,3643
0,0178
Q 0,3649
φ 0,2530
106
O JCSS recomenda um índice de confiabilidade de referência βT = 1.7
(Pf=5*10-2). Dos resultados obtidos para formação de fissuras observa-se
que as seções 16, 31 e 37 atendem a recomendação do JCSS. O mesmo
não acontece para a seção 65, que apresenta um valor do índice de
confiabilidade menor do que βT, devendo passar por análise mais elaborada
de confiabilidade.
Segundo a Tabela 6.28, encontra-se que a resistência à compressão do
concreto tem um fator de importância significativo em comparação com o
estado limite último, sendo a variável mais importante para a seção 31, para
as outras seções a intensidade da carga móvel continua sendo a variável
mais significativa no cálculo da probabilidade de falha.
7 Conclusões e Sugestões
O objetivo principal deste trabalho é aplicar os conceitos de análise de
confiabilidade estrutural a longarinas de pontes existentes ferroviárias de
concreto armado.
Para as análises de confiabilidade foram desenvolvidas rotinas em Matlab,
seguindo as metodologias da simulação de Monte Carlo e do FORM. As rotinas
permitiram:
Determinar a probabilidade de falha da ponte, no estado limite último
na flexão simples.
Determinar a probabilidade de falha da ponte, no estado limite de
serviço para formação de fissuras.
Fazer análise de sensibilidade das variáveis aleatórias.
Os resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho permitem destacar as
seguintes contribuições e conclusões:
As comparações entre os cálculos obtidos com a Simulação de Monte Carlo
e os obtidos com o FORM indicam que o FORM apresenta mais vantagens
para as análises desenvolvidas neste estudo, uma vez que o mesmo é mais
rápido e também permite fazer uma análise de sensibilidade das variáveis
aleatórias envolvidas, a fim de determinar a importância da mesma na
probabilidade de falha da estrutura.
As análises considerando seis variáveis aleatórias evidenciaram que a
resistência à compressão do concreto (fck) e o módulo de elasticidade do aço
(Es) têm uma influência quase nula na probabilidade de falha, com fatores de
importância da ordem de 10-4 a 10-7. Portanto, essas variáveis podem ser
consideradas como determinísticas, reduzindo o problema a quatro variáveis
aleatórias para as demais análises.
No estado limite de formação encontra-se a resistência à compressão do
concreto como uma variável significativa no cálculo da probabilidade de
falha. Já no estado limite último na flexão simples a variável aleatória que
108
representa a carga móvel Q é a que tem maior influência na probabilidade de
falha da estrutura.
Para o estado limite de serviço na formação de fissuras observa-se que as
seções 16, 31 e 37 atendem a recomendação estabelecida pelo JCSS para o
índice de confiabilidade de referência βT, o mesmo não acontece para a
seção 65 que apresenta um valor do índice de confiabilidade menor do que
βT, devendo passar por análise mais elaborada de confiabilidade.
A comparação dos resultados obtidos para o índice de confiabilidade
segundo o FORM com o índice de confiabilidade com o índice de
confiabilidade de referência βT, sugerido pelo JCSS, permite evidenciar que
as seções não atendem o limite proposto, quando os coeficientes de
segurança são considerados. Isso quer dizer que as seções têm uma
probabilidade de falha superior à estipulada no regulamento. Já nos
resultados obtidos quando os coeficientes de segurança são
desconsiderados os valores da probabilidade de falha são inferiores ao
proposto pelo JCSS, portanto nesse caso as seções são verificadas
satisfatoriamente no estado limite último na flexão simples.
O aumento da probabilidade de falha quando são considerados os
coeficientes de segurança ocorre porque os valores das solicitações são
majorados e o da resistência minorado. Essa segurança e minoração
buscam considerar as incertezas envolvidas, porém essa forma semi-
probabilística apesar de ficar a favor da segurança não permite uma
avaliação adequada da quantificação da possibilidade de falha.
A probabilidade de falha mostrou-se muito sensível à variação do COV da
carga móvel, indicando que um processo de pesagem eficiente pode reduzir
o nível da probabilidade de falha da estrutura para o estado limite abordado.
7.1. Sugestões
Fazer as análises considerando novos modelos probabilísticos para as
variáveis aleatórias
Considerar os valores da armadura de tração e compressão, e sua posição
como possíveis variáveis aleatórias para determinar sua importância no cálculo
da probabilidade de falha da ponte.
Fazer análises de confiabilidade considerando pontes de concreto
protendido.
Fazer uma análise de confiabilidade direcionada à fadiga.
8 Referências Bibliográficas
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Anexo A Teoria de Probabilidade
A.1. Introdução
É apresentado um resumo de os conceitos fundamentais da teoria de
probabilidade.
A.2. Variável Aleatória
Muitos fenômenos aleatórios de interesse estão associados a resultados
numéricos de alguma quantidade física. A variável que associa um número ao
resultado de um experimento aleatório é chamada variável aleatória, por
definição uma variável aleatória é uma função que confere um número real a
cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. Geralmente
uma variável aleatória é denotada com uma letra maiúscula. Sendo X uma
variável aleatória, (X=a) ou (X<b) pode ser a representação de eventos desta
variável aleatória.
Uma variável aleatória discreta é uma variável com uma faixa finita (ou
infinita contável) de possíveis valores, enquanto uma variável aleatória continua
é uma variável aleatória com um intervalo de números reais para sua faixa.
A.3. Função Cumulativa de Distribuição (CDF) e Função Densidade de Probabilidade (PDF)
Uma variável aleatória pode ser caracterizada pela sua função cumulativa
de distribuição FX (CDF) e sua função densidade de probabilidade fX, identificada
por PDF, definida como a primeira derivada de FX .
Com freqüência é de interesse saber a probabilidade de que uma variável
aleatória assuma um valor particular. A distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os
valores possíveis de X. Uma função densidade de probabilidade pode ser usada
para descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória
120
continua X. Fornece uma descrição simples das probabilidades associadas a
uma variável aleatória.
A função de densidade de probabilidade é uma função matemática
continua que tem como objetivo descrever os resultados obtidos em
experimentos aleatórios representa estatisticamente este experimento, Sendo X
uma variável aleatória, a sua função densidade de probabilidades fx(x) é definida
de tal forma que:
dx)x(f)2
dxxX
2
dxx(P X (A.1)
Usualmente uma função de probabilidade é identificada por PDF
(Probability Density Function). A probabilidade da variável X assumir valores
entre a e b é:
b
aX dx)x(f)bXa(P (A.2)
A função PDF tem que satisfazer as seguintes condições (Figura 32):
a) 0.0)x(fX para qualquer x
b) 0.1dx)x(fX
(área unitária)
c) )bXa(Pdx)x(fb
aX
Figura A.1 (a) Função Densidade de Probabilidade (PDF) e (b) Função Cumulativa
de Distribuição (CDF).
A função cumulativa de probabilidade Fx(x) de X é definida assim:
a
XX dx)x(f)a(F (A.3)
Fx(a) é a probabilidade da variável X assumir valores menores ou iguais a
a. É identificada como CDF (Cumulative Distribution Function) e deve satisfazer
as seguintes propriedades (Figura A.1):
a) 0.0)(FX
121
b) 0.1)x(F0 x
c) 0.1)(FX
A.4. Principais Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua
As características probabilísticas de uma variável aleatória seriam
completamente descritas se a forma da PDF e os parâmetros associados fossem
plenamente conhecidos. Nem sempre é conhecida a forma que representa a
função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, pelo tanto
certas aproximações são necessárias. Neste caso, esta variável aleatória pode
ser descrita por sua média e por uma medida de dispersão da variável aleatória.
O valor médio, ou a média, de uma variável aleatória X é definido como:
dx)x(xf)X(E xX (A.4)
Onde f xX ( ) é a PDF de X definida anteriormente.
A variância mede a dispersão dos valores da variável em torno da média e
é definida como:
dx)x(f)x()X(Var X
2
X
dx)x(fdx)x(fx2dx)x(fx X
2
xXxX
2
2
X
2 )X(E)X(Var (A.5)
A medida de dispersão mais indicada é a raiz quadrada da variância que é
chamada desvio padrão de X é definido como:
)X(VarX (A.6)
Somente com a variância e o desvio padrão é difícil mensurar se a
dispersão é grande ou pequena, pelo tanto o indicativo desta amplitude é dado
pelo coeficiente de variação de X, definido como a razão entre o desvio padrão e
a média, ou seja:
x
x
XCOV
(A.7)
O coeficiente de variação mede, de forma adimensional (ao contrário da
variância) a dispersão dos dados da variável aleatória em torno da média.
Coeficientes de variação baixos indicam que os valores da variável aleatória
estão distribuídos próximos a média, enquanto que valores altos indicam uma
forte dispersão em torno da mesma.
122
A.5. Distribuições de Probabilidade
A.5.1. Distribuição Normal ou Gaussiana
É uma das distribuições mais utilizadas, sua a função densidade de
probabilidade é dada por:
2
x
x
x
X
x
2
1exp
2
1)x(f (A.8)
Tem somente como parâmetros a média μx e do desvio padrão σx da
variável aleatória e é geralmente denotada por N(μx, σx). A sua função
cumulativa
Introduzindo uma variável auxiliar, também conhecida como variáveis
reduzidas pode-se reescrever a anterior equação assim:
2
Y y2
1exp
2
1)y()y(f (A.9)
Para a variável reduzida a média e desvio padrão são iguais a 0 e 1,
respectivamente, e é determinada por:
X
XXY
(A.10)
Esta transformação resulta em uma nova variável aleatória Y com PDF
normal padrão φ(y). A CDF chamada, neste caso, de função de distribuição
cumulativa normal padrão Ф(y) que só pode ser avaliada por integração
numérica, ou usando tabelas disponíveis em livros de estatística. Pode ser
obtida por:
dyyfyy
Y (A.11)
A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal é
obtida a partir de:
X
X
X
X)X(F (A.12)
A.5.2. Outras Distribuições
Na seguinte tabela é apresentado valores de PDF, CDF, μX, e σX de
distribuições de probabilidade mais utilizadas.
123
Tabela A.1. Distribuições de probabilidade mais utilizadas
Distribuição PDF - )(fX
x CDF - )(FX
x Média - X
Desvio Padrão - X
Normal
2
Xσ
Xμx
2
1exp
π2xξ
1
X
Xx
X
X
Lognormal
2
ξ
λ(x)ln
2
1exp
π2xξ
1
)xln(
2
2
1exp 1)exp( 2
X
Rayleigh
2
2
RRσ
τx
2
1exp
σ
τx
2
Rσ
τx
2
1exp-1
2
R
22
R
Uniforme ab
1
ab
ax
2
ba
12
ab
Tipo I Máx (Gumbel)
)ux(expuxexp )ux(expexp
5772,0
u 6
Tipo I Mínimo
)ux(expuxexp )ux(expexp1
5772,0u
6
Tipo II Máximo
k1k
x
vexp
k
v
v
k
k
x
vexp
k
11v
5,0
2 )k
11()
k
21(v
Tipo III Mín (Wellbull)
k1k
v
xexp
k
x
v
k
k
v
xexp1
k
11v
5,0
2 )k
11()
k
21(v
124
A.5.3. Distribuições Normais Equivalentes
Para uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades não é
normal, uma distribuição normal equivalente num ponto x pode ser obtida,
igualando-se as funções densidade de probabilidade (PDF) e distribuição
cumulativa (CDF) de uma variável normal e da distribuição real de X no referido
ponto, conforme as seguintes expressões:
)x(Fx
XN
X
N
X
(A.13)
)x(fx1
XN
X
N
X
N
X
(A.14)
Onde φ( ) e Ф( ) são, respectivamente, às PDF e CDF normais padrão,
fX(X) e FX(X) são, respectivamente, às PDF e CDF da variável X e XN
XNe
são, respectivamente, a média e desvio padrão da normal equivalente no ponto
x . Esses valores podem ser calculados mediante:
)x(Fx
)x(f
)x(F
X
1N
X
N
X
X
X
1
N
X
(A.15)
)(1 corresponde a inversa da distribuição cumulativa normal padrão.
Em outras palavras, )p(1 corresponde ao valor da variável reduzida cuja
probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a ela seja igual a p.
A.5.4. Coeficientes de Correlação Equivalentes
Quando as variáveis aleatórias não normais são correlacionadas é
necessário obter os coeficientes de correlação equivalentes, para isto os
coeficientes entre as variáveis aleatórias originais devem ser corrigidos para
coeficientes de correlação entre as variáveis normais equivalentes, sendo:
ij
E
ij F (A.16)
Onde F é um valor que depende somente de ij e dos coeficientes de
variação das variáveis aleatórias não normais. Este valor não depende do ponto
onde transformação está sendo realizada. Kiureghian and Liu [1986]
desenvolveram expressões analíticas para o fator F para um grande número de
distribuições de probabilidades.
125
Decomposição de Cholesky da matriz dos coeficientes de correlação
equivalentes
Se uma matriz simétrica P pode ser descomposta em das matrizes
triangulares, em que uma é a transposta da outra, como no caso dos
coeficientes de correlação equivalentes, pode-se obter os elementos da matriz
triangular inferior L a partir das seguintes expressões:
1>i -=
i<k<1
n 1,=i
-
=
1i
1j
2
ijii
kj
1k
1j
ijik
kk
ik
1i1i
11
L1L
LLrL
1L
L
0.1L
(A.17)
Onde ρij é o coeficiente de correlação entre as variáveis Xi e Xj.
Entao a matriz triangular inferior L é:
nnn2n1
2212
11
L.LL
....
00LL
000L
L (A.18)
A.6. Coeficientes Parciais de Segurança
O método dos estados limites já descrito anteriormente é um método
probabilístico, onde são usados modelos de cálculo determinísticos,
considerando as incertezas das variáveis envolvidas, através da aplicação dos
coeficientes parciais de segurança. Os valores de cálculo utilizados são obtidos
a partir da aplicação destes coeficientes a valores característicos da resistência
e da solicitação.
A definição dos coeficientes parciais de segurança foi feita segundo a
experiência dos projetistas estruturais, nos últimos anos estes coeficientes são
determinados com base cientifica, com ajuda da confiabilidade estrutural.
Coeficiente de segurança central (λo) relaciona as medias das variáveis de
resistência R e solicitação S.
S
R
0
(A.19)
Este coeficiente não reflete a segurança da estrutura, na estrutura real os
valores médios utilizados podem ser tanto maiores quanto menores do que os
126
valores reais. Pelo tanto não há garantia de que esse coeficiente seja suficiente
para garantir a segurança da estrutura.
Para melhorar o problema anterior são utilizados os valores característicos
a traves de fatores de segurança que minoram a resistência e majoram a
solicitação, considerando a incerteza inerente a essas variáveis.
Dividindo os valores característicos de R e de S pelos seus valores
médios. Obtém-se um coeficiente de minoração da resistência φk e um
coeficiente de majoração da solicitação k.
1s
1r
S
k
k
R
k
k
(A.20)
Existe alem um coeficiente de segurança global ou característico λk
0
k
k
Sk
Rk
k
k
ks
r
(A.21)
A escolha do nível de segurança e do coeficiente λk é subjetiva pelo tanto
os fatores de segurança parciais não fornecem uma medida de violação de
estados limites. Somente a probabilidade de falha pode ser considerada como tal
medida.
Nas normas técnicas modernas o coeficiente parcial característico pode
ser encontrado mediante:
R
S
k
(A.22)
A.7. Valores Característicos das Variáveis
As normas e códigos atuais para projetos de engenharia civil incorporam o
uso de fatores de segurança e valores característicos. Os valores característicos
são tipicamente percentiis altos ou baixos para os efeitos da solicitação e da
resistência respectivamente. O valor característico de uma variável aleatória é
determinado como um valor que, de acordo com a sua distribuição de
probabilidade, representa um nível percentual de ser ultrapassado, sendo
dependente do tipo de material e da classe da estrutura.
Considerando que a resistência característica é admitida como sendo um
valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido. Uma ilustração
típica para a resistência do material é apresentada na seguinte Figura.
127
Figura A.2. Valor característico típico para a variável Resistência S (fonte: James
2003)
Da figura pode-se observar que o valor característico é dado por:
)COVk1(R RRRK
(A.23)
Onde μR e o valor médio da resistência R, COVR é o coeficiente de
variação da resistência e kR é um fator dependente do tipo de distribuição
considerada para a resistência e do percentil especificado para o valor
característico.
Para uma distribuição normal o valor de kR representando o percentil de
0.05 é dado por:
645,1k05,0k
k05,0
R05,0
R
1
R
R
R
RK
(A.24)
Onde Ф e Ф-1 são a função cumulativa de distribuição e a inversa para a
distribuição de probabilidade normal padrão. Estes valores podem se encontrar
em tabelas na literatura existente.
Analogamente para a solicitação o valor característico é dado por:
)COVk1(S SSSK (A.25)
Pode-se observar graficamente na seguinte figura:
128
Figura A.3. Valor característico típico para a variável solicitação S (fonte: James
2003)
Tipicamente os valores característicos têm um percentil de 50% para as
cargas permanentes como o peso próprio o qual é o valor médio. Para as cargas
variáveis o valor característico equivale na maioria dos casos ao percentil de
98% do valor máximo anual. As cargas variáveis tais como as cargas de trafego
e as de vento são dependentes do tempo pelo tanto uma descrição apropriada
de estas cargas deve ser obtida através de processos estocásticos. Já este
modelo é complicado pode-se considerar que o processo estocástico é
estacionário ou seja que o tempo é invariante. A distribuição da carda esta
relacionada a um período de referência especificado. Este período geralmente é
de um ano, para este período existe um coeficiente de confiabilidade ou uma
probabilidade de falha associada