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Andrea Isabel Rojas Eraso Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de Concreto Armado Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientadora: Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Co-orientadora: Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida Rio de Janeiro Setembro de 2011

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Andrea Isabel Rojas Eraso

Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes

Ferroviárias de Concreto Armado

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientadora: Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Co-orientadora: Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida

Rio de Janeiro

Setembro de 2011

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Andrea Isabel Rojas Eraso

Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes

Ferroviárias de Concreto Armado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof.ª Marta de Souza Lima Velasco Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof.ª Andréia A. Diniz de Almeida Co-orientadora

Universidade Federal Fluminense

Prof.ª Claudia Maria de Oliveira Campos Universidade Federal Fluminense

Prof. Rodrigo Bird Burgos Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 9 de setembro de 2011

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total

ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do

autor e do orientador.

Andrea Isabel Rojas Eraso

Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade de Nariño,

Pasto - Colombia, em 2008. Atua na área de Confiabilidade

estrutural com ènfase em concreto armado.

Ficha Catalográfica

Rojas Eraso, Andrea Isabel

Análise de confiabilidade de longarinas de pontes

ferroviárias de concreto armado / Andrea Isabel Rojas

Eraso; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco; co-

orientadora: Andréia A. Diniz de Almeida – 2011. .

128 f. : il. (color.) ; 30 cm

Dissertação (mestrado)–Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia

Civil, 2011.

Inclui bibliografia

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Concreto

armado. 3. Confiabilidade de estruturas. 4. Estado limite

último. 5. Confiabilidade de estruturas.

I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Almeida, Andreia A

Diniz. III. Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

CDD: 624

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“Não há sabedoria alguma, nem discernimento algum, nem plano

algum que possa opor-se ao Senhor. Prepara-se o cavalo para o

dia da batalha, mas o Senhor é que dá a vitória”. Prov. 21:30-31

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Agradecimentos

A Deus pelo seu amor e sua fidelidade, nada teria sentido sem sua maravilhosa

presença.

Aos meus pais e a minha família pelo seu amor, seu apoio, suas orações, por ter

sempre as palavras oportunas no momento certo.

A minha orientadora Marta de Souza Lima Velasco, pelos conhecimentos

transmitidos e por toda sua colaboração.

A Andréia A. Diniz minha co-orientadora, pelos conhecimentos transmitidos,

disponibilidade, paciência, incentivo e principalmente pela amizade desenvolvida

ao longo destes anos.

Aos professores do departamento, especialmente ao professor Rodrigo Bird

Burgos pelos ensinamentos e colaboração neste trabalho.

A todos os amigos e colegas que me acompanharam nesta caminhada, pelos

bons momentos compartilhados.

A Lorena Chamorro pela sua amizade e seu apoio, pelas longas noites de

trabalhos e por cada momento compartilhado juntas.

A todas as pessoas que direta ou indiretamente, contribuíram para a realização

deste trabalho, cada aporte foi fundamental.

A CAPES e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.

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Resumo

Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima; Almeida, Andreia A.

Diniz. Análise de Confiabilidade de Longarinas de Pontes Ferroviárias de

Concreto Armado, Rio de Janeiro, 2011. 128 p. Dissertação de Mestrado -

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de

Janeiro.

Em todo projeto de estruturas de engenharia existem incertezas associadas às

propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos. Essas

incertezas geralmente são consideradas através de fatores de segurança. A análise de

confiabilidade aplicada ao projeto de estruturas é uma ferramenta que permite avaliar a

probabilidade de falha da estrutura para um determinado modo de comportamento e a

sensibilidade deste projeto em relação às variáveis consideradas. Neste trabalho são

aplicadas estratégias de avaliação da confiabilidade das vigas principais de uma ponte

existente de concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão

simples e no estado último de serviço na formação de fissuras, segundo as recomendações

da NBR6118:2003. Foram desenvolvidas rotinas com o auxílio do programa Matlab para

avaliar a probabilidade de falha da ponte segundo o método de simulação de Monte Carlo e

o método FORM (First Order Reliability Method). Também é realizada uma análise de

sensibilidade para analisar a influência de cada variável na confiabilidade da ponte.

Palavras-chave

Pontes Ferroviárias; confiabilidade; concreto armado; estruturas existentes.

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Abstract

Rojas Eraso, Andrea Isabel; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor);

Almeida, Andreia A. Diniz (Co-Advisor). Reliability Analysis for

Stringers of Concrete Railway Bridges. Rio de Janeiro, 2011. 128p. MSc.

Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro.

In the project of engineering structures, some design variables are usually

taken as deterministic, although there are uncertainties associated with loads,

material and geometrical properties. The use of safety factors is the most common

strategy to deal with these uncertainties. The reliability analysis of structures is a

tool to assess the probability of structural failure in a certain behavior and the

sensitivity of this failure in relation to each variable considered. This work is

concerned with the reliability analysis of the main beams of an existing bridge

made of reinforced concrete, which is checked at the ultimate limit state in simple

bending and the ultimate state of service in the formation of cracks as

recommended by NBR6118: 2003. Matlab routines are developed in order to

assess the probability of failure of the bridge using two methods: Monte Carlo

simulation and FORM (First Order Reliability Method). Additionally, a sensitivity

analysis is performed in order to analyze the influence of each variable in the

reliability of the bridge.

Keywords

Railway bridges; reliability; reinforced concrete; existing structures.

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Sumário

1 Introdução 21

1.1. Considerações Iniciais 21

1.2. Objetivo 22

1.3. Organização do Trabalho 23

2 Revisão Bibliográfica 25

2.1. Estruturas Existentes 25

2.2. Monitoração e Gerenciamento de Pontes 29

2.3. Fadiga 33

2.4. Pontes de Concreto Armado 35

2.5. Códigos de Calibração 36

2.6. Modelos de Carga 38

2.7. O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha 39

2.8. Programas Computacionais 40

3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos 41

3.1. Panorama Geral do que é Feito 41

3.2. Normas Técnicas 44

4 Confiabilidade Estrutural 45

4.1. Introdução 45

4.2. Estados Limites 48

4.3. Função de Estado Limite 49

4.4. Probabilidade de Falha 49

4.5. Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha 51

4.5.1. Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method) 52

4.5.2. Análise de Sensibilidade 56

4.5.3. Método de Simulação de Monte Carlo 56

4.6. Índice de Confiabilidade de Referência 58

5 Formulação do Problema 61

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5.1. Introdução 61

5.2. Verificação de Segurança no Estado Limite Último 61

5.3. Variáveis Aleatórias 62

5.4. Função de Estado Limite 64

5.5. Momento Resistente 64

5.6. Momento Solicitante 68

5.7. Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço 71

5.7.1. Estado Limite de Formação de Fissuras 71

5.7.2. Estado Limite de Abertura de Fissuras 74

5.8. Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao

Estado Limite de Ruptura 79

6 Estudo de Caso 83

6.1. Descrição Geral da Ponte 83

6.2. Análise de Confiabilidade da Ponte 84

6.2.1. Análise com Seis Variáveis Aleatórias 86

6.2.2. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias 88

6.2.3. Análise com Três Variáveis Aleatórias 93

6.2.4. Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na

Probabilidade de Falha 94

6.2.5. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha 97

6.2.6. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias sem Considerar Coeficientes

de Segurança 99

6.2.7. Influência da Variação COV da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de

Falha 101

6.2.8. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha 103

6.3. Análise no Estado Limite de Serviço na Formação de Fissuras 105

7 Conclusões e Sugestões 107

7.1. Sugestões 108

8 Referências Bibliográficas 109

Anexo A Teoria de Probabilidade 119

A.1. Introdução 119

A.2. Variável Aleatória 119

A.3. Função Cumulativa de Distribuição (CDF) e Função Densidade de

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Probabilidade (PDF) 119

A.4. Principais Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua 121

A.5. Distribuições de Probabilidade 122

A.5.1. Distribuição Normal ou Gaussiana 122

A.5.2. Outras Distribuições 122

A.5.3. Distribuições Normais Equivalentes 124

A.5.4. Coeficientes de Correlação Equivalentes 124

A.6. Coeficientes Parciais de Segurança 125

A.7. Valores Característicos das Variáveis 126

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Lista de figuras

Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas

(adaptado de Catbas et al 2008) 32

Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando

SHM (adaptado de Catbas et al 2008 ). 32

Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002) 50

Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002). 51

Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido

normal padrão (fonte: Choi e Youn 2001). 53

Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies

côncavas e convexas (fonte: Lopez 2007). 53

Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto

para um problema com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001). 55

Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal

(fonte: NBR 6118:2003) 65

Figura 5.2. Seção Tipo da ponte 66

Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T 67

Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico,

Veloso et al 2007). 69

Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 69

Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação. 72

Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003) 78

Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise

implementadas no programa de confiabilidade de estruturas. 82

Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho

(fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007). 83

Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico,

Veloso et al 2007). 84

Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da

longarina 35 cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório

Técnico, Veloso et al 2007). 84

Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM

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para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91

Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM

para 6 e 4 variáveis aleatórias. 91

Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises

feitas com seis, quatro e três variáveis aleatórias. 94

Figura 6.7. Variação do índice de confiabilidade em função do COV

da carga móvel Q. 96

Figura 6.8. Variação do fator de importância em função do COV de Q. 96

Figura 6.9. Comparação do índice de confiabilidade em função

da variação de Q 98

Figura 6.10. Comparação da probabilidade de falha em função

da variação de Q 98

Figura 6.11. Fator de importância em função da variação da carga móvel Q. 99

Figura 6.12. Comparação da probabilidade de falha obtida

com e sem coeficientes de segurança 100

Figura 6.13. Variação do índice de confiabilidade em função do COV

da carga móvel Q, sem coeficientes de segurança. 102

Figura 6.14. Variação do fator de importância em função do COV de Q,

sem coeficientes de segurança. 103

Figura 6.15. Comparação do índice de confiabilidade em função da

variação de Q sem coeficientes de segurança 104

Figura 6.16 Probabilidade de falha em função da variação de Q

sem coeficientes de segurança 104

Figura A.1 (a) Função Densidade de Probabilidade (PDF) e

(b) Função Cumulativa de Distribuição (CDF). 120

Figura A.2. Valor característico típico para a variável Resistência S

(fonte: James 2003) 127

Figura A.3. Valor característico típico para a variável solicitação S

(fonte: James 2003) 128

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Lista de tabelas

Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007) 28

Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e

Probabilidade de falha Pf associadas, relacionadas ao estado limite último. 59

Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e

probabilidade de falha Pf associados ao estado limite de serviço 60

Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias 63

Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (wk), para combinação freqüente,

em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003). 74

Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental 74

Tabela 6.1. Seções consideradas na análise 85

Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias 85

Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas 85

Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção 85

Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de

Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar

armadura de pele. 86

Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas

segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de

pele para 6 variáveis aleatórias. 87

Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de

Monte Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele 88

Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas

segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele

para 6 variáveis aleatórias. 88

Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de

Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele. 89

Tabela 6.10. Comparação das probabilidades de falha calculadas

segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele

para 4 variáveis aleatórias. 89

Tabela 6.11. Resultado da probabilidade de falha para os métodos:

simulação de Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias

com armadura de pele 90

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Tabela 6.12. Comparação das probabilidades de falha calculadas

segundo a simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele

para 4 variáveis aleatórias 90

Tabela 6.13. Comparação entre as análises feitas com o FORM para

seis e quatro variáveis aleatórias 90

Tabela 6.14. Valores característicos e valores médios das variáveis

aleatórias 92

Tabela 6.15. Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias 92

Tabela 6.16. Comparação entre as análises feitas com o FORM

para quatro variáveis aleatórias. 93

Tabela 6.17. Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias 93

Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis

variáveis aleatórias. 94

Tabela 6.19. Análise de sensibilidade da probabilidade de falha

em função do COV da carga móvel Q. 95

Tabela 6.20. Valores característicos e valores médios da carga móvel Q 97

Tabela 6.21. Resultado do FORM para quatro variáveis aleatórias

com carga móvel Q aumentada 25% 50% e 100% 97

Tabela 6.22. Analises para quatro variáveis aleatórias pelo método

FORM, considerando a armadura de pele. 100

Tabela 6.23. Resultados obtidos com e sem coeficientes de segurança 100

Tabela 6.24. Análises para quatro variáveis aleatórias pelo

método FORM, desconsiderando a armadura de pele. 101

Tabela 6.25. Comparação entre os dados obtidos com e sem

coeficientes de segurança, sem armadura de pele. 101

Tabela 6.26. Resultados da análise de sensibilidade da probabilidade

de falha em função do COV da carga Q, sem considerar

coeficientes de segurança 102

Tabela 6.27. Resultado do método FORM variando a carga

móvel, sem considerar coeficientes de segurança 103

Tabela 6.28. Resultados (via FORM), para o estado limite de

formação de fissuras 105

Tabela A.1. Distribuições de probabilidade mais utilizadas 123

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Lista de Símbolos

Romanos

a

Acri

As

A’s

b

bf

bw

C

d

d’

Ecs

Es

E(X)

F

F

fcd

fck

fct

fct,m

Fd,ser

Fgik

Fq1k

FR(s)

fR

fR(r)

fRS

fRS(r,s)

fS

fS(s)

fs(s)ds

Parâmetro da distribuição Uniforme

Área da região de envolvimento

Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração

Área da seção da armadura longitudinal de compressão

Parâmetro da distribuição Uniforme

Largura da mesa da viga

Largura da alma da viga

Valor da confiabilidade da estrutura

Altura útil

Altura útil

Módulo de elasticidade secante do concreto

Módulo de elasticidade do aço

Valor médio ou a média de uma variável aleatória X

Domínio de falha

Valor que depende somente de ij e dos coeficientes de variação das

variáveis aleatórias não normais

Resistência de cálculo à compressão do concreto

Resistência à compressão do concreto

Resistência à tração direta do concreto

Resistência media do concreto a tração

Valor de cálculo das ações para combinações de serviço

Valor característico das ações permanentes

Valor característico da ação variável principal direta

Representa a probabilidade de R≤s

Função densidade de probabilidade marginal da resistência

Função densidade de probabilidade da resistência

Função densidade de probabilidade conjunta

Função conjunta de densidade de probabilidade de R e S

Função densidade de probabilidade marginal da solicitação

Função densidade de probabilidade da solicitação

Representa a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds

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Fx(X)

fx(X)

fyd

fyk

g(Y)

g(YK)

G(X)

h

hf

Ic

Ie

Ii

I

J

k

k

kR

kS

L

ns

m

Mf

Mrd

Msd

Msp

Mspadic

Msp1

Msq

Função cumulativa de distribuição

Função densidade de probabilidade

Resistência de cálculo à tração do aço

Resistência à tração do aço

Função de falha escrita em função das variáveis no espaço normal

padrão

Valor da função de falha no espaço reduzido

Função de estado limite no espaço original

Altura da viga

Altura das asas da viga

Momento de inércia da seção bruta do concreto

Momento equivalente segundo a formula de Brandson

Fator de importância

Momento de inércia no Estádio II puro

Jacobiano da transformação de Nataf

Nível de confiança desejado

Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo

(Weibull)

Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a

resistência e do percentil especificada para o valor característico

Fator que depende do tipo de distribuição considerada para a

solicitação e do percentil especificada para o valor característico

Matriz triangular inferior obtida a partir da decomposição de Choleski

da matriz dos coeficientes de correlações equivalentes das variáveis

X

Número de simulações para o método de simulação de Monte Carlo

Vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias X

Momento de fissuração

Momento resistente de cálculo

Momento solicitante de cálculo

Momento solicitante por carga permanente

Momento solicitante por carga adicional para cálculo do momento por

carga permanente

Momento auxiliar para o cálculo do momento solicitante por carga

permanente

Momento solicitante por carga móvel

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Msq1

Pf

Pfadm

Q

Qin

R

Rcd

Rn

RK

Rsd

R’sd

S

SK

u

v

Var(X)

w

w1

w2

wk

x

X

X

X2lim

X3lim

Y

Y*

yt

Momento auxiliar para o cálculo do momento por carga móvel

Probabilidade de falha associada ao problema

Probabilidade de falha admissível

Carga móvel

Valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito)

Resistência do elemento

Força que age no concreto

Resistência nominal

Valor característico da resistência

Força que age no aço de tração

Força que age no aço de compressão

Solicitação imposta ao elemento

Valor característico da solicitação

Parâmetro da distribuição Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo

Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo

(Weibull)

Variância de uma variável aleatória X

Abertura de fissura

Abertura de fissura 1

Abertura de fissura 2

Abertura máxima das fissuras

Profundidade da linha neutra

Indicador de variável aleatória

Posição da linha neutra no estádio II

Altura limite para o domínio 2

Altura limite para o domínio 3

Variáveis normais padrão estatisticamente independentes

Ponto de projeto no espaço reduzido

Distancia do centro de gravidade da seção transversal a sua fibra

mais tracionada

Gregos

α Parâmetro da distribuição Rayleigh

α Valor que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na

flexão com a resistência à tração direta

αe Relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de

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elasticidade secante do concreto

αi2

Co-seno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no ponto de

projeto e o eixo da variável reduzida

β Índice de confiabilidade

βadm Índice de confiabilidade admissível

βT Índice de confiabilidade de referência

Г Matriz inversa da matriz L

Peso específico do concreto

i Coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito)

k Coeficiente de segurança global ou característico

εs Deformação da armadura

εc Deformação da fibra de concreto

εyd Deformação do cálculo do aço correspondente a tensão de

escoamento

Coeficiente de conformação superficial

λ Parâmetro da distribuição Lognormal

λo Coeficiente de segurança central

λk Coeficiente de majoração da solicitação

μR Valor médio da resistência

μS Valor médio da solicitação

μX Valor médio de uma variável aleatória X

N

Xμ Média normal equivalente no ponto x*

ξ Parâmetro da distribuição Lognormal

ij Coeficiente de correlação entre as variáveis Xi e Xj

E

ijρ Coeficiente de correlação equivalente

r Taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da

região de envolvimento.

σ Matriz diagonal contendo os desvios padrões normais equivalentes

das variáveis aleatórias X

σ Tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas esperadas

durante a vida útil da estrutura

σadm Tensão admissível

σlim Tensão limite

N

Xσ Desvio padrão normal equivalente no ponto x*

σs Tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada

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calculada no Estádio II

σsd Tensão de cálculo à compressão no concreto

σ’sd Tensão de cálculo á tração no concreto

σR Parâmetro da distribuição Rayleigh

σX Desvio padrão de uma variável aleatória X

τ Parâmetro das distribuições Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo

Ф Fator de minoração da resistência

Função de distribuição cumulativa da variável normal padrão

Ф( ) Função densidade de probabilidade normal padrão

)(1 Inversa da distribuição cumulativa normal padrão

Representa a função de densidade de probabilidade

Diâmetro da barra utilizada na armadura de tração

υ Coeficiente de impacto

υk Coeficiente de minoração da resistência

Fator de redução de combinação freqüente para estado limite de

serviço

Fator de redução de combinação quase freqüente para estado limite

de serviço

g(YK)

Gradiente da função de falha no espaço reduzido, avaliada no ponto

de projeto para iteração K, YK.

G(X) Gradiente da função de falha no espaço original avaliado no ponto X

g(Y*)i Componente do gradiente da função de estado no espaço reduzido

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Lista de Abreviaturas

AASHTO

ASCE

BMS

CEB

CDF

COV

C.S.

CVRD

EFC

ELF

ELS

ELU

FORM

FOSM

HLRF

ISO

JCSS

LRFD

LRFD

NBR

NiCAE

PDF

RSM

SHM

SORM

VA

American Association of State Highway and Transportation Officials

American Society of Civil Engineers

Bridge Management System (Sistema de gerenciamento de pontes)

Comite Euro-International Du Beton

Cumulative Distribution Function (Função Cumulativa de

Distribuição)

Coeficiente de variação

Coeficiente de segurança

Companhia Vale do Rio Doce

Estrada de Ferro Carajás

Estado limite de fadiga

Estado limite de serviço

Estado limite último

First Order Reliability Method (Método de Confiabilidade de Primeira

Ordem)

First Order Second Moment (Método de Confiabilidade de primeira

ordem e segundo momento)

Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler

International Organization for Standardization

Joint Committee on Structural Safety (Comitê de Segurança

Estrutural)

Load Factor Design

Load and Resistance Factor Design

Norma Brasileira Registrada

Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia

Probability Density Function (Função Densidade de Probabilidade)

Response Surface Methodology (Métodos de superfície de resposta)

Structural Health Monitoring (Monitoramento da Saúde Estrutural)

Second Order Realibility Method (Método de Confiabilidade de

Segunda Ordem)

Variável Aleatória

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1 Introdução

1.1. Considerações Iniciais

As pontes constituem uma porção significativa da rede viária. O número

de pontes e a idade das pontes existentes aumentam continuamente e como

consequência, os problemas relacionados com a deterioração de estruturas e

perda de funcionalidade também aumentam. Portanto, nos últimos anos, têm

sido desenvolvidas pesquisas com objetivo de obter base para uma avaliação

racional da condição das pontes.

O transporte ferroviário é um instrumento para o desenvolvimento

sustentável dos países que o promovem, além de ser um meio de fácil e rápida

movimentação de pessoas e mercadorias entre países, o que conduz ao

crescimento econômico e à união social dos países que o desenvolvem. No

Brasil, a avaliação de pontes ferroviárias existentes é importante para seu

desenvolvimento econômico, considerando que conta com grande numero desse

tipo de obras de arte, como por exemplo, o país conta com a Estrada de Ferro

Carajás (EFC) catalogada como uma das ferrovias com melhores índices de

produtividade do mundo.

A implantação dos avanços tecnológicos na construção e recuperação das

pontes ferroviárias é muito importante para o desenvolvimento do país. O mau

estado das pontes causa desconforto e insegurança aos usuários, além de

elevar os custos de manutenção das mesmas.

Todo projeto estrutural deve considerar as incertezas associadas às

propriedades dos materiais, às propriedades geométricas e aos carregamentos.

Essas incertezas impossibilitam que a estrutura apresente uma segurança

absoluta, pois uma determinada combinação de valores das variáveis pode

resultar numa condição de falha. Para se considerar a natureza probabilística

dessas incertezas, é preciso identificar e definir estas quantidades como

variáveis aleatórias no modelo de análise. A maneira simples, adotada nas

normas, de considerar essas incertezas é através da adoção de coeficientes

parciais de segurança, para majorar as solicitações e minorar as resistências,

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aplicados aos valores característicos das variáveis transformando-os em valores

de cálculo. Os coeficientes de segurança visam criar margens de segurança

para controlar o risco de falha estrutural (Junior, 2008). O objetivo dessas

normas não é garantir a segurança absoluta, e sim atingir um nível de risco

aceitável, consistente com as necessidades econômicas e de segurança pública.

A análise de confiabilidade é uma alternativa aos procedimentos

convencionais de cálculo, como os adotados pelas normas de projeto de

estruturas que recomendam a aplicação de uma filosofia semi-probabilística de

segurança (Lopes, 2007). Nessa análise é considerado um modelo probabilístico

para cada variável aleatória, definido por um determinado valor esperado

(média), uma medida de dispersão (desvio padrão ou coeficiente de variação),

uma distribuição de probabilidades e uma medida de correlação entre elas.

O principal objetivo da confiabilidade de estruturas é determinar a

probabilidade de ocorrência de um cenário de falha na estrutura. Uma análise de

confiabilidade permite, também, estimar a sensibilidade do projeto em relação às

variáveis aleatórias consideradas no modelo. Essa informação é importante

porque possibilita saber qual a influência de cada variável aleatória na

probabilidade de falha.

É evidente o crescente uso de processos probabilísticos na quantificação

da segurança em diversos tipos de estruturas. Buscando projetos mais

otimizados, com medidas mais realistas do grau de segurança, a utilização de

teoria da confiabilidade vem se tornando uma aliada poderosa para os

engenheiros estruturais.

1.2. Objetivo

A contribuição principal deste trabalho é estabelecer e implementar

estratégias da avaliação de confiabilidade de pontes ferroviárias existentes.

Essas estratégias são aplicadas às vigas principais de uma ponte existente de

concreto armado, as quais são verificadas no estado limite último na flexão

simples, e no estado último de serviço na formação de fissuras segundo as

recomendações da NBR6118:2003.

A probabilidade de falha da ponte é avaliada seguindo dois métodos: o

método de simulação de Monte Carlo e o método de primeira ordem (FORM -

First Order Reliability Method), com o objetivo de comparar os resultados e

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determinar qual é o mais adequado para as analises desenvolvidas. São

desenvolvidas rotinas no programa Matlab considerando as duas metodologias.

O índice de confiabilidade β é encontrado com o FORM e é feita uma

análise de sensibilidade para analisar a influência de cada variável na

confiabilidade da ponte. A partir dessas análises é determinado o número de

variáveis aleatórias que permitam encontrar resultados do índice de

confiabilidade e da probabilidade de falha com precisão aceitável.

Uma vez que a variável mais importante é determinada, são considerados

diferentes valores para seu coeficiente de variação, visando estudar a influência

da mesma na probabilidade de falha da ponte. É analisada, também, a

sensibilidade da carga móvel dentro dos resultados do índice de confiabilidade e

da probabilidade de falha.

1.3. Organização do Trabalho

Este trabalho é apresentado em diversos capítulos organizados conforme

a descrição a seguir.

No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica dos diferentes

estudos feitos no campo da confiabilidade estrutural aplicada a pontes

existentes, dando um panorama do que tem sido feito nos últimos anos, o que é

feito atualmente e as possíveis pesquisas que ainda tem que ser desenvolvidas.

No Capítulo 3 é apresentada, de forma sintetizada, uma sistemática para

avaliação das pontes existentes, as normas vigentes que são aplicadas nessas

sistemáticas e quais são as medições que fornecem informações importantes

dentro deste tipo de estudo.

O Capítulo 4 apresenta uma descrição dos conceitos fundamentais da

confiabilidade estrutural. São abordados o método de simulação de Monte Carlo

e o método de análise de primeira ordem FORM para o cálculo da probabilidade

de falha.

No Capítulo 5 é apresentada uma metodologia para análise de

confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado. São

discutidos os dados de entrada, a determinação das funções de estado limite, o

método de avaliação da probabilidade de falha, os resultados obtidos, e os

valores de referência para o índice de confiabilidade.

No Capítulo 6 é apresentado um exemplo aplicado a uma ponte existente

de concreto armado. As longarinas são verificadas no estado limite último na

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24

flexão simples e no estado limite de serviço na formação de fissuras. São

apresentados os modelos probabilísticos adotados para as variáveis aleatórias

consideradas. São feitas análises considerando diferentes quantidades de

variáveis aleatórias segundo a sensibilidade de cada uma delas dentro do

cálculo da probabilidade de falha da estrutura. É determinada a variável mais

importante através de uma análise de sensibilidade, uma vez que essa variável é

determinada, são feitas análises considerando mudanças em seus parâmetros,

para determinar a influência dessas mudanças no cálculo do índice de

confiabilidade e na probabilidade de falha da ponte.

O Capítulo 7 é constituído pelas conclusões e sugestões para trabalhos

futuros.

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2 Revisão Bibliográfica

Nesse capítulo é apresentada uma breve descrição de alguns trabalhos

publicados na literatura técnica sobre análises de confiabilidade de estruturas

existentes, enfatizando aqueles aplicados a pontes. A revisão apresentada faz

uma classificação dos trabalhos de acordo com temas específicos, em função

dos interesses da pesquisa proposta. Foca-se primeiro no cenário das estruturas

existentes, ressaltando a importância da análise probabilística, e a seguir

descrevem-se brevemente os níveis de avaliação de segurança das mesmas.

Também são abordados conceitos relacionados com a monitoração e o

gerenciamento. Pesquisas de sistemas de gerenciamento de pontes (BMS –

Bridge Management System) e monitoração da saúde estrutural (SHM –

Structural Health Monitoring) são apresentadas, enfatizando a importância da

interação da análise de confiabilidade e a SHM dentro dos sistemas de

gerenciamento das pontes.

Estudos realizados para a determinação da vida útil à fadiga e para pontes

de pontes de concreto são apresentados. Consideram-se conceitos gerais dos

códigos de calibração e modelos de carga. Finalmente, são descritos estudos

que usaram o FORM como método de análise de confiabilidade, apresentando

suas vantagens e desvantagens, ressaltando estudos relacionados com a

implementação de programas computacionais.

2.1. Estruturas Existentes

Na ausência de informação adequada para a inspeção e avaliação da

segurança de pontes existentes, geralmente, afere-se a segurança estrutural

utilizando regulamentos dedicados ao dimensionamento de estruturas novas.

Infelizmente, tal metodologia pode ser imprópria e demasiado conservadora para

algumas estruturas; em alguns casos, pode conduzir à desnecessária

substituição ou reforço de uma estrutura, provocando investimentos

desnecessários e perturbando o tráfego com todos os custos que advêm, (Cruz

et al, 2008). A avaliação do estado de uma estrutura existente é uma situação

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específica e, portanto, um processo técnico único e difícil de generalizar,

(Ellingwood, 1996).

A avaliação de estruturas existentes difere do projeto de novas estruturas,

uma vez que as incertezas associadas ao problema podem ser maiores

(degradação) ou menores (informações oriundas de ensaios do comportamento

dos materiais, e da geometria). De acordo com Faber (2000), a diferença

fundamental entre a avaliação de uma estrutura existente e o projeto de novas

estruturas é a quantidade de informação disponível sobre a estrutura. Em

estruturas existentes sempre é possível incrementar o nível de precisão dos

modelos de cálculo através da aquisição de mais dados sobre a estrutura

analisada. Por isso, é de muita importância a implementação de métodos

probabilísticos modernos na avaliação de confiabilidade de estruturas existentes,

(Diamantidis, 1987).

A análise probabilística de estruturas existentes pode ser vista como uma

extensão da análise probabilística para o projeto de estruturas. Ela constitui uma

ferramenta racional para incorporar a informação adicional e comparar o nível de

confiabilidade atual com o nível de confiabilidade assumido (inerente nas

normas). Essa flexibilidade em termos de atualização da informação não é

possível quando são empregadas normas determinísticas, (Diamantidis, 1987).

Diamantidis e Bazzurro (2007) fizeram um estudo do critério da aceitação

da segurança de estruturas existentes, baseados nas normas e metodologias

atuais. Os autores ressaltaram que mesmo empregando uma abordagem

probabilística não se deve descartar de imediato o nível de segurança das

normas vigentes já que aspectos de segurança de estruturas existentes são

considerados em padrões e recomendações nacionais e internacionais. As

diretrizes do Instituto Americano de Concreto (ACI 2003) e as recomendações da

comissão de segurança estrutural (JCSS 2001) são exemplos típicos.

A importância da abordagem probabilística é ressaltada na pesquisa de

Wisniewski et al (2009), que estudam a avaliação baseada em probabilidade de

pontes existentes de concreto armado e protendido, e apresentam novos

modelos probabilísticos de resistência última para cisalhamento e flexão de

seções típicas. Nesse trabalho, são utilizados métodos de análise avançados e

dados mais recentes da geometria da ponte, das propriedades dos materiais e

suas variações. A ponte Barrela de Portugal foi considerada como o caso de

estudo, o método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) é utilizado, além

das abordagens dos valores médios e dos coeficientes parciais de segurança. O

artigo apresenta claramente os benefícios do uso dos métodos probabilísticos na

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avaliação de pontes existentes e demonstra como a análise de confiabilidade

pode tornar-se simples quando os modelos apresentados são utilizados.

De acordo com Frangopol et al (2003), para determinar a segurança de

uma estrutura existente podem-se considerar três abordagens que são: (a)

opinião de especialistas, (b) dados de testes de campo e (c) análise de

confiabilidade. A opinião de especialistas é altamente incerta e pode demorar

muitos anos até reunir as informações necessárias. Os dados de campo são

úteis se existe informação suficiente obtida através de testes técnicos de boa

precisão. A análise de confiabilidade trata as incertezas e pode ser feita em

diferentes níveis variando a complexidade da mesma de acordo com a

informação disponível.

Diferentes níveis de avaliação têm sido considerados por diversos estudos

na avaliação da segurança de estruturas (Bailes et al 1996; Tanner e Ortega

2000; SB-LRA 2007; Wisniewski 2007; Cruz et al 2008), tais níveis são

classificados a depender da modelagem da capacidade e das solicitações, do

método de análise e dos métodos de avaliação.

Cruz et al (2008) explicam de forma simples todos os níveis de avaliação

de segurança de pontes começando pelo mais simples, onde se utiliza um

formato semelhante ao formato padrão atualmente empregado no projeto de

estruturas, até o mais sofisticado onde é aplicada uma abordagem totalmente

probabilística do sistema estrutural. O procedimento proposto para a avaliação

de segurança de uma ponte consiste em recorrer a um nível mais avançado

sempre que a ponte não cumprir os requisitos estabelecidos no nível prévio de

avaliação. Wisniewski (2007) resume os níveis na Tabela 2.1. Os níveis de

avaliação propostos são:

Simples: o método de avaliação mais simples é semelhante ao método que

é empregado no projeto de novas estruturas. As propriedades dos materiais

e os carregamentos são definidos utilizando valores característicos e de

cálculo. As cargas permanentes e móveis são definidas segundo os

regulamentos para o tipo de ponte analisada. Os efeitos das cargas são

calculados considerando um regime elástico-linear. A verificação da

segurança é realizada utilizando os coeficientes parciais de segurança,

considerando coeficientes de segurança calibrados para a avaliação de

estruturas existentes, ver Tabela 2.1 (Níveis 1 e 2).

Intermediário: Utiliza informação adicional sobre os parâmetros mecânicos

dos materiais que podem ser obtidos mediante ensaios e incorporados nos

modelos regulamentares através da atualização Bayesiana (Melchers, 2002).

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Pode-se ainda utilizar os modelos determinísticos de carga de tráfego,

definidos especificamente para uma ponte particular utilizando os resultados

de observações e de medições de tráfego “real”. Permite-se considerar a

redistribuição parcial ou total dos esforços entre os vários elementos e as

diversas seções de uma estrutura. A avaliação de segurança é feita

utilizando os coeficientes parciais de segurança, mas com coeficientes

calibrados ou ajustados aos casos particulares, ver Tabela 2.1 (Níveis 3 e 4).

Avançado: Combina a análise não-linear com a análise probabilística. Todos

os parâmetros mecânicos dos materiais, da geometria e das cargas, são

considerados como variáveis probabilísticas, descritas por leis apropriadas

de densidade de probabilidade. Os modelos probabilísticos das variáveis

podem descrever, com grande rigor, a real variabilidade destas dentro de

uma ponte especifica. Mesmo as curvas de distribuição probabilística das

cargas de tráfego real que atuam em uma ponte específica podem ser

definidas com rigor, utilizando resultados da pesagem e do controle do

volume de tráfego, obtidos nas estações de pesagem dinâmica (wieght-in-

motion). Os métodos probabilísticos de avaliação da segurança permitem

utilizar toda a informação sobre a variabilidade dos parâmetros mencionados

e definir a segurança de uma ponte em termos da probabilidade de ocorrer

falha ou, o que é mais comum, em termos do índice de confiabilidade. Este

nível de avaliação da segurança pode ser considerado como a última

tentativa para evitar a reparação, reforço ou substituição de uma ponte, ver

Tabela 2.1 (Nível 5).

Tabela 2.1. Níveis de avaliação da segurança, (Wisniewski, 2007)

Nível Modelo de Resistência e

modelo de carga Métodos de

análise Métodos de avaliação

1

Modelo de carga e de resistência como definido nos

códigos de projeto. Propriedades dos materiais

baseadas nas informações de projeto e nos regulamentos

Análise básica, comportamento linear elástico

Análise determinística. Coeficientes parciais de segurança tal como no

regulamento 2

Análise refinada. É permitida a

redistribuição de carga sempre que o nível de ductilidade

seja suficiente

3 As propriedades dos materiais e os modelos de carga podem ser

definidos com base nos resultados dos ensaios e

observações

4 Análise determinística. Coeficientes parciais de

segurança ajustados

5

Modelos totalmente probabilísticos definidos com

base nos resultados dos ensaios e no conhecimento

prévio

Análise probabilística

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2.2. Monitoração e Gerenciamento de Pontes

Durante a última década, os conceitos de monitoração para sistemas

estruturais foram submetidos a um processo de rápido desenvolvimento. Eles

tornaram-se cada vez mais importantes no planejamento da intervenção

(manutenção, reparo, reabilitação, substituição) em estruturas novas e

existentes. No entanto, ainda há uma forte necessidade para o uso eficiente de

dados de monitoração estrutural na avaliação da confiabilidade estrutural e

predição de modelos. As medidas contínuas e simultâneas em distintos pontos

de um sistema estrutural deteriorado, proporcionadas por monitoração, permitem

a avaliação do comportamento da estrutura de acordo aos diferentes estados

limites, (Frangopol et al, 2008).

Strauss et al (2010) estudaram a avaliação de estruturas existentes

baseada em identificação. Este estudo apresenta um procedimento de

identificação que determina as propriedades mecânicas estruturais usando a

resposta de monitoramento estrutural. Uma abordagem de detecção não

destrutiva do dano baseada em medidas da resposta estrutural são

apresentados e verificados por experimentos de laboratório controlados e por

testes na estrutura real. A frequência das medições e sua sensibilidade às

mudanças nas características mecânicas, chamados fatores de sensibilidade,

são usados para predizer o lugar e a magnitude do dano. Este estudo é aplicado

a uma ponte existente na Suíça. O estudo conclui que os sistemas de

monitoramento se tornaram populares para avaliar o desempenho e a vida útil

remanescente tanto em estruturas novas como em estruturas existentes.

Cidades com grandes rodovias e ferrovias experimentam atualmente os

efeitos do envelhecimento e deterioração da rede de pontes. De acordo com

Casas (1999) para preservar a capacidade de carga e as condições de serviço

de pontes existentes, um programa extensivo de inspeção, reparo e reforço é

necessário. Ao longo dos anos, algumas instituições estão buscando organizar

os dados estruturais necessários para a administração e preservação das

pontes. Esta metodologia é conhecida como Sistema de Gerenciamento de

Pontes (BMS). A inspeção e avaliação da segurança e funcionalidade baseada

em valores reais são ferramentas importantes em um sistema eficiente de

gerenciamento de pontes e na otimização da utilização de fundos monetários,

(Frangopol et al, 2008). As informações armazenadas podem ser utilizadas de

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várias formas, com o objetivo final de otimizar a aplicação de recursos e manter

níveis de segurança adequados, a curto e a longo prazos.

A importância do gerenciamento é ressaltada em alguns estudos. Entre

eles, Hai (2006) estuda o estado atual das pontes ferroviárias existentes no

Vietnam, concentrando-se nas deficiências das pontes de aço. São feitas

inspeções no local para encontrar os defeitos e problemas das pontes

ferroviárias existentes que apresentam condições físicas inadequadas. Além de

falhas estruturais, defeitos locais são identificados (corrosão, obsolescência,

fadiga e envelhecimento), onde as principais causas são a sobrecarga, os

impactos de colisão, as condições climáticas adversas e a manutenção precária.

O autor sugere que a manutenção deve ser priorizada para eliminar essas

deficiências e rapidamente eliminar as causas de problemas potenciais. Como

um objetivo a longo prazo, recomenda-se estabelecer um sistema de

gerenciamento adequado das pontes.

Xun e Qiang (2007) apresentam um estudo de avaliação de segurança e

previsão de vida útil de pontes existentes. Os resultados da avaliação de

segurança e as características dos danos para os diferentes tipos de pontes

podem ajudar ao departamento de gestão a obter um nível elevado de

segurança para a estrutura e levar adiante planos a médio e longo prazo de

transformação de tecnologia para futuras análises.

Dentro das pesquisas direcionadas à avaliação racional da condição da

estrutura da ponte, nos BMS, um tema estudado nos últimos anos é a

monitoração da saúde estrutural (SHM), (Culshaw 1998; Catbas et al 2000;

Farrar e Worden 2007; Liu et al 2009 a,b), que envolve a observação da

estrutura ao longo do tempo usando monitoramento periódico, a partir das quais

faz-se a extração das características sensíveis e através de uma análise

estatística determina-se o estado atual da saúde do sistema, (Farrar e Worden,

2007).

A SHM tem como propósito obter informação quantificada da saúde

estrutural, indicadores do progresso do dano estrutural e abordagens para

identificar e diagnosticar a natureza do dano. Uma descrição mais detalhada dos

SHM, sua história e a importância de sua aplicação podem ser encontradas nos

trabalhos de Auweraer e Peeters (2003), Balageas (2006) e Brownjohn (2007).

De acordo a Dissanayake e Karunananda (2008), conhecimentos

insuficientes sobre a monitoração da saúde estrutural e manutenção precária de

pontes causam grandes perdas econômicas, inaceitáveis independentemente da

riqueza do país. Esse cenário tem motivado muitas pesquisas que buscam uma

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formulação geral para otimização de custos na manutenção de pontes e também

para a predição da vida útil da ponte. Vantagens da SHM incluem identificação

global e local dos parâmetros estruturais, obtendo dados para a identificação

estrutural, manutenção efetiva e operação. Os dados e as conclusões podem

também ser usados para aperfeiçoar projetos futuros e diagnósticos antes e

depois de condições de ameaça.

Segundo Catbas et al (2008), os SHM têm sido incrementados nos últimos

anos devido à necessidade da administração objetiva dos sistemas estruturais

no mundo. Ao mesmo tempo, métodos de análise estrutural probabilístico e

ferramentas de otimização são desenvolvidas para estimativa da capacidade da

ponte e estimativa do desempenho futuro da estrutura. A utilização da SHM pode

ser ampliada se as informações obtidas são empregadas na análise de

confiabilidade.

O resultado da interação entre a SHM e a análise de confiabilidade é um

assunto importante e relevante dentro dos Sistemas de Gerenciamento das

Pontes (BMS), embora só esteja sendo estudado há poucos anos e por tanto

ainda não se encontra muito desenvolvido. Neste contexto, é importante

considerar as incertezas na análise dos dados, e com previsões precisas é

possível estimar o tempo de ocorrência de falha, identificando o tempo adequado

para manutenção e proporcionando uma melhor avaliação custo/benefício e

análise do ciclo de vida para gerenciamento. Portanto, é necessária a integração

de novas técnicas oferecidas pela SHM e métodos numéricos e analíticos, como

ilustrado na Figura 2.1, (Catbas et al, 2008).

Os resultados da análise de confiabilidade conjuntamente com SHM para

pontes ferroviárias podem ser utilizados para prever a vida útil destas estruturas,

identificando as datas adequadas para manutenção, e fornecendo as previsões

realistas do grau de segurança remanescente na estrutura em função de

alterações no carregamento (trem-tipo).

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Figura 2.1. Pesquisas necessárias e áreas de estudo envolvidas (adaptado de

Catbas et al 2008)

Na figura 2.2 é apresentado um esquema simplificado para avaliação da

confiabilidade de um sistema estrutural usando dados de sensores. Redes de

sensores e sistemas de aquisição de dados, que são elementos essenciais para

os sistemas SHM, são estabelecidos e projetados em paralelo com um modelo

detalhado da estrutura. Geralmente, um modelo preliminar de elementos finitos é

construído para estimar os locais críticos para o projeto de SHM, posteriormente

este modelo é refinado e calibrado com os dados do SHM, (Catbas et al, 2008).

Figura 2.2. Esquema básico para análise de confiabilidade usando SHM (adaptado

de Catbas et al 2008 ).

A coleta de dados com grande número de sensores tornou-se disponível a

baixo custo para aplicações de SHM. Entretanto, com a capacidade de coletar

dados mais eficientemente, há uma crescente necessidade de desenvolvimento

de sistemas para análise de dados e interpretação de resultados de maneira

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rápida e eficiente. Os algoritmos, métodos e abordagens de análise de dados

precisam ser desenvolvidos para proporcionar informações críticas num tempo

oportuno, (Catbas et al, 2008). Dentro das pesquisas de SHM aplicada a pontes,

estudos relacionados com a avaliação da fadiga são os mais desenvolvidos.

Frangopol et al (2010) apresentam uma abordagem para avaliação da

fadiga em pontes de aço, onde modelos de elementos finitos, e dados de

monitoração de campo de SHM, são usados para estimar a confiabilidade à

fadiga baseadas na metodologia de avaliação de fadiga da AASHTO (American

Association of State Highway and Transportation Officials). Os pontos críticos da

estrutura são identificados a partir do modelo de elementos finitos e a função de

estado limite desenvolvida para a análise de confiabilidade à fadiga leva em

conta os dados da monitoração da saúde estrutural. É observada a importância

de atualizar os dados originais com os obtidos na monitoração, para representar

verdadeiramente os intervalos de deformação devido à fadiga nos locais críticos

identificados. Os autores concluem que mais pesquisas ainda são necessárias

para a integração dos dados monitorados na avaliação da confiabilidade à fadiga

de pontes de aço usando técnicas estatísticas Bayesianas (Melchers, 2002).

2.3. Fadiga

A fadiga é provavelmente o mais importante modo de falha em sistemas

estruturais apresentando 80% das falhas de serviço observadas, (Wirsching

(1998)), portanto muitas pesquisas relacionadas com a fadiga em pontes têm

sido desenvolvidas (Bailey et al 1996; Tobias e Foutch 1997; Cho et al 2001;

Pourzeynali e Datta 2005; Imam et al 2006; Kühn et al 2008; Frangopol et al

2010 ).

Szerszen et al (1999) estudaram a confiabilidade a fadiga de pontes de

aço, e concluíram que a relação entre o coeficiente de confiabilidade e os anos

de serviço da ponte pode ser usada para predizer a vida remanescente da ponte.

De acordo com Kim et al (2001) os processos para avaliar a vida

remanescente à fadiga das pontes existentes de aço são classificados segundo

as cargas consideradas nos modelos em três categorias:

Procedimento simplificado: utiliza o histograma de frequência baseado em

dados reais para calcular os danos acumulados de fadiga. Esses danos são

avaliados para um número fixo de ciclos de carga e utilizados para estimar a

vida remanescente à fadiga.

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Procedimento probabilístico: usa o modelo de distribuição de probabilidade

assumido baseado no histograma, é usado para estimar a vida útil

remanescente à fadiga com uma confiabilidade predeterminada.

Procedimento determinístico: usa o modelo de carga obtido a partir do

volume equivalente de passageiros.

O procedimento simplificado faz uma estimativa de vida remanescente à

fadiga 10 a 20% maior do que a do processo probabilístico. Verifica-se também

que o simples método determinístico pode ser adotado para avaliar a vida

remanescente à fadiga de uma ponte com precisão aceitável.

Um estudo similar considerando os três níveis de avaliação: determinístico,

semi-probabilístico e totalmente probabilístico, é feito para a ponte Padermo da

Itália por Pipinato e Modena (2010). O estudo apresenta uma abordagem

gradual e prática para a avaliação da integridade estrutural de pontes

deterioradas de aço. A avaliação de confiabilidade à fadiga é realizada

juntamente com a estimativa de tráfego, a fim de avaliar a vida remanescente à

fadiga. A aplicação desses procedimentos mostrou que uma análise detalhada

da fadiga ajuda a reduzir os custos necessários para substituições e reparos da

ponte, já que a avaliação permite encontrar os cenários mais críticos com o

intento de tomar decisões adequadas para o reparo da estrutura considerando o

melhor desempenho da ponte e a otimização dos custos.

Kwon e Frangopol (2010) estudaram a avaliação da confiabilidade à fadiga

de pontes de aço usando funções de densidade de probabilidade com base em

dados de monitoramento de campo. Eles encontraram que esta monitoração

pode ser usada satisfatoriamente para a avaliação da confiabilidade à fadiga e a

predição da vida remanescente a fadiga de pontes de aço. Uma aproximação

usando distribuição probabilística associada com o campo de tensão é proposta

para predizer efetivamente o intervalo de tensão equivalente para a avaliação da

confiabilidade de fadiga. Essa aproximação é utilizada em duas pontes

existentes localizadas na Pensilvânia. O estudo conclui que os dados de

monitoramento podem ser utilizados com sucesso na avaliação da confiabilidade

à fadiga e previsão da vida remanescente à fadiga de pontes de aço existentes,

e que futuros esforços são necessários para estabelecer uma metodologia

baseada em risco com o fim de lidar de forma mais adequada com as incertezas

associadas à fadiga de pontes existentes de aço.

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2.4. Pontes de Concreto Armado

Dentro das pesquisas feitas em pontes de concreto destacam-se alguns

trabalhos comentados a seguir: Val et al (1998) estudam o efeito da corrosão na

confiabilidade de pontes, e apresentam um método de avaliação da

confiabilidade de lajes de pontes de concreto armado com armadura corroída.

São considerados dois tipos de corrosão: geral e localizada. A confiabilidade é

calculada usando o método de primeira ordem (FORM). Os resultados

mostraram que a corrosão localizada é potencialmente mais perigosa no estado

limite último (flexão) e a corrosão geral influencia a confiabilidade da ponte para

o estado limite de serviço (deflexão).

Casas (1999) apresenta uma avaliação de pontes de concreto existentes

na Espanha, onde considera uma aplicação prática das técnicas de avaliação

para três pontes de concreto diferentes. A primeira é uma ponte com arco de

alvenaria e concreto simples onde o estado limite mais crítico é o estado limite

último de forças axiais e flexão. A segunda é uma ponte com pórtico em concreto

armado onde a avaliação se concentra nos estados limites de flexão e

cisalhamento e a terceira é uma ponte em concreto protendido onde é analisado

o estado limite de flexão e fadiga. Os casos estudados demonstram que a

avaliação de pontes existentes de concreto baseada na teoria de confiabilidade é

ampla e pode ser aplicada a diferentes tipos de pontes para fornecer uma

medida do desempenho estrutural a ser usado na tomada de decisões sobre a

atualização e manutenção de pontes.

Frangopol et al (1999) apresentam uma abordagem onde são utilizados

métodos de confiabilidade com variação no tempo para pontes de concreto

armado submetidos a ataques ambientais. No estudo é avaliada a condição das

vigas de pontes de concreto armado usando confiabilidade de sistemas com

variação no tempo, nos quais tanto as resistências quanto as solicitações são

dependentes do tempo. Uma ponte existente de concreto armado com seção em

viga T localizada em Colorado é investigada. Os resultados obtidos podem ser

usados para guiar a seleção de modelos para análises de confiabilidade de

pontes e para o desenvolvimento de estratégias ótimas de manutenção

baseadas em confiabilidade para pontes de concreto armado.

Vu e Stewart (2000) estudaram a confiabilidade estrutural de pontes de

concreto deterioradas. Modelos de carga variante no tempo são propostos, e o

efeito da corrosão é estudado. Como resultado verifica-se que a aplicação de

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sais de degelo provoca deterioração significativa a longo prazo e redução da

segurança estrutural. Os autores também observaram que a cobertura do

concreto e a relação água-cimento têm grande influência na probabilidade de

falha estrutural.

Pham e Al-Mahaidi (2008) apresentam um estudo de confiabilidade de

vigas de pontes de concreto adaptadas com polímeros reforçados com fibras,

com base nas recomendações fornecidas pelo Eurocode 2. O método de Monte

Carlo é empregado para avaliar a confiabilidade estrutural à flexão do concreto

armado. Essa análise proporciona as bases para recomendações dos fatores de

redução da capacidade para os diferentes modos de falha. O estudo é aplicado à

ponte Victoria na Austrália.

Hamutçuoglu e Scott (2009) apresentam um estudo de confiabilidade de

vigas de pontes considerando uma interação momento-cisalhamento. O estudo

mostra que a predição do comportamento estrutural e a modelagem da resposta

dos elementos de viga submetidos às cargas dos veículos em movimento são

essenciais no projeto de pontes. Por tanto a análise de confiabilidade é

necessária para avaliar o efeito que a variação dos parâmetros terá na resposta

da ponte e para determinar quais são os parâmetros que controlam a resposta.

Mediante exemplos numéricos, verifica-se que a análise pelo método de primeira

ordem (FORM) mostra o efeito que os parâmetros das incertezas têm na

interação do momento negativo e a força cortante perto dos suportes de uma

viga continua de uma ponte de concreto armado. A classificação das medidas da

importância das variáveis aleatórias indicou a presença da interação do

momento-cisalhamento no estado de falha mais provável.

2.5. Códigos de Calibração

Durante o século passado, consideráveis esforços foram dedicados ao

desenvolvimento de bases racionais para o projeto de estruturas, resultando em

vários códigos de projeto. O objetivo desses códigos, ainda em uso, é garantir

um projeto econômico, construção e operação das estruturas em conformidade

com as condições operacionais e os requerimentos de segurança considerados.

As pesquisas para o desenvolvimento de novas normas e códigos para os

projetos estruturais considerando os conceitos de confiabilidade e segurança

estrutural são um desafio importante. Por tal motivo o desenvolvimento de

códigos modernos de projeto é baseado nos princípios de análise de decisões

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econômicas e métodos modernos de confiabilidade. Historicamente, a maior

concentração de estudos associados a códigos está concentrada no projeto de

estruturas novas. Porém, atualmente, o aumento do número de estruturas

importantes que estão envelhecendo justifica o redirecionamento do interesse

para abordagem das estruturas existentes, (Faber, 2000). Orientações e códigos

para a avaliação das estruturas existentes foram sugeridos, como por exemplo,

JCSS (Joint Committee on Structural Safety), ISO (International Organization for

Standardization).

A maioria das normas de projeto utiliza fatores parciais de segurança

aplicados as cargas e a resistência. Antigamente esses coeficientes eram,

basicamente, definidos a partir da experiência de profissionais envolvidos em

projetos estruturais. Atualmente, com o auxílio da confiabilidade estrutural, é

possível calibrar os fatores de segurança de maneira racional, a partir da

definição de um nível de referência aceitável para a probabilidade de falha

estrutural. Nesse sentido, a confiabilidade tem sido muito usada na revisão de

normas antigas e na elaboração de códigos de projeto para novas concepções

estruturais.

Diversas pesquisas têm sido desenvolvidas no estudo das diferentes

normas e códigos existentes, alguns fazendo comparações entre elas: Tabsh

(1996) estuda a avaliação da confiabilidade de vigas de pontes de aço

projetadas usando as especificações LFD (Load Factor Design) e LRFD (Load

and Resistence Factor Design) da AASHTO para diferentes condições de carga.

Nowak et al (2001) também fazem uma comparação dos níveis de confiabilidade

de vigas de pontes de concreto protendido projetadas usando três códigos

diferentes: Norma Espanhola IAP-98 (1998), o Eurocode1 (1994) e a AASHTO-

LRFD (1998). Os modelos estatísticos são baseados em literatura disponível,

dados de testes e provas de carga. Nesse estudo, onde a confiabilidade esta

associada ao momento fletor e ao esforço de tensão do concreto, observa-se

que o Eurocode1 é mais conservador do que os outros dois códigos e AASHTO-

LRFD é o código mais permissivo.

Liu (2002) estuda a avaliação de confiabilidade para vigas de pontes de

aço projetadas por AASHTO-LRFD, e verifica que o índice de confiabilidade é

muito sensível à distribuição lateral das cargas móveis. Pela subestimação da

distribuição lateral dessas cargas, no estado limite último, as especificações da

AASHTO-LRFD resultam muito conservadoras para flexão, o que não ocorre

para cortante.

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Já Du et al (2004) apresentam uma análise determinística e uma análise

de confiabilidade para vigas T simplesmente apoiadas de pontes de concreto

protendido projetadas usando três códigos: o código Chinês, o Código de Hong

Kong e o código da AASHTO-LRFD. A análise determinística indica que o estado

limite de serviço domina o projeto, segundo o código Chinês e o Código da

AASHTO-LRFD. Os autores encontraram que os índices de confiabilidade reais

para a capacidade de flexão das vigas consideradas de acordo com os três

códigos, que são regidos pelo estado limite de serviço, estão próximos um do

outro. Com o estudo, concluíram que, para atingir níveis de segurança uniformes

no projeto de vigas de pontes de concreto protendido, a calibração de códigos

baseada em confiabilidade deve levar em conta não apenas o estado limite

último, mais também o estado limite de serviço.

A nova geração de códigos para o projeto de pontes é baseada em análise

de confiabilidade usando modelos probabilísticos de carga e resistência. O

passo no desenvolvimento desses códigos inclui a seleção de estruturas

representativas, formulação do estado limite, desenvolvimento dos modelos das

cargas e resistências, seleção do nível de confiabilidade de referência e

finalmente a determinação dos fatores de segurança para carga e resistência,

(Nowak e Kaszynska, 2003).

2.6. Modelos de Carga

Nas pesquisas feitas para os diferentes tipos de pontes uma tarefa muito

importante é a modelagem das incertezas, dentro das quais as mais

representativas são as relacionadas com as cargas e a resistência, que devem

ser tratadas como variáveis aleatórias. O desenvolvimento racional de códigos

para o projeto de pontes e avaliação de estruturas existentes precisa do

conhecimento de modelos para essas variáveis aleatórias. Esses modelos são

baseados em dados estatísticos disponíveis, testes dos materiais e simulações,

(Nowak et al, 1998).

Dentro desse cenário, Casas et al (1997) apresentam um modelo global

para as cargas de tráfego, obtido a partir do tratamento estatístico das variáveis

envolvidas mais significativas. O estudo conclui que a ação do tráfego é o efeito

mais importante na deterioração e na fadiga em pontes de vãos pequenos e

intermediários, além de representar a contribuição mais significativa no valor

total das ações externas consideradas para a análise no estado limite último. No

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entanto, o valor real da carga de tráfego em pontes é difícil de modelar de forma

precisa, por causa de sua alta aleatoriedade. Por isso, é tão importante

estabelecer modelos adequados que ajudem a descrever seu comportamento.

2.7. O FORM Como Método de Avaliação da Probabilidade de Falha

Dentro das análises de confiabilidade um aspecto muito importante é estimar a

probabilidade de falha. Diversos métodos têm sido desenvolvidos para esse fim.

Um dos métodos mais representativos é o método de confiabilidade de primeira

ordem (FORM) que considera o índice de confiabilidade como medida de

segurança. As principais deficiências desse método são, principalmente, a

precisão e as dificuldades na pesquisa do ponto de projeto por iterações usando

as derivadas da função de estado limite, (Zhao et al, 2001). Os erros que podem

ser encontrados usando o FORM são aceitáveis considerando a grande

incerteza na escolha do modelo estocástico adequado e seus parâmetros,

(Rackwitz, 2001). Apesar dessas fragilidades o FORM tem sido recomendado

pelo Comitê de Segurança Estrutural (JCSS - Joint Committee on Structural

Safety) como método para análise de confiabilidade, (Yang et al, 2006).

Conceitos importantes do FORM podem ser encontrados nos trabalhos de Zhao

et al (1999), Maiçon (2000) e Kiureghian (2008).

Estudos relacionando os métodos de elementos finitos com o FORM têm

sido desenvolvidos, entre eles Sudret e Kiureghian (2002) apresentam um

estudo no qual conjugam métodos de elementos finitos estocásticos, com o

método para análise de confiabilidade de primeira ordem FORM e a amostragem

por importância para análise de confiabilidade. Os resultados são usados para

fazer uma comparação dos métodos em termos de precisão e eficiência relativa.

Como uma conclusão geral, verifica-se que o método de elementos finitos

estocásticos tem aplicabilidade limitada a problemas de confiabilidade

envolvendo probabilidades de muito pequenas.

Koduru et al (2009) apresentaram uma análise de confiabilidade em

conjunção com modelos avançados de elementos finitos, usando o método de

primeira ordem FORM devido a sua atrativa interação entre precisão e eficiência

computacional. Como conclusão do estudo, observa-se que o FORM em

conjunto com análises de elementos finitos estáticos é viável para um intervalo

grande de aplicações e proporciona uma boa estimativa para a probabilidade de

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falha, mas a aplicação do FORM não é, geralmente, viável para problemas

dinâmicos.

Cheng et al (2005), apresentam métodos para avaliação de confiabilidade

através da combinação do método de superfície de resposta (RSM – Response

Surface Methodology) com o método de amostragem por importância, o método

de confiabilidade de primeira ordem (FORM) e o método dos elementos finitos.

Mediante a combinação de RSM e FORM é possível tornar o cálculo da

confiabilidade mais eficiente para estruturas complexas, que exigem análise

usando elementos finitos. O uso de técnicas de amostragem por importância

aumenta a precisão do método e reduz o número de simulações.

2.8. Programas Computacionais

Nas últimas décadas vários programas computacionais baseados em

métodos estocásticos têm sido desenvolvidos e aplicados a diversos problemas

de interesse acadêmico de engenharia. Pellissetti et al (2005) apresentam uma

visão geral dos programas desenvolvidos e descreve o estado atual e a evolução

dos mesmos. O estudo conclui que graças a esse tipo de pesquisas tem

melhorado muito a integração da análise de confiabilidade com os métodos de

elementos finitos.

Kiureghian et al (2006) proporcionam uma descrição geral de três

programas computacionais desenvolvidos pela Universidade de Califórnia,

Berkeley: CalREL (proposta geral de confiabilidade estrutural, feito em

FORTRAN), FERUM (coleção de ferramentas de Matlab, arquivos que podem

ser usados para confiabilidade estrutural em conjunto com modelos simples de

elementos finitos) e OpenSees (código orientado a objetos para a estimação de

resposta estrutural não-linear com capacidades de confiabilidade). Nos estudos

de Cheng et al (2008) e Cheng et al (2009) e Bezzazi et al (2010) pode-se

encontrar a aplicação desses programas computacionais na análise de

confiabilidade.

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3 Sistemática de Avaliação de Pontes e Viadutos

3.1. Panorama Geral do que é Feito

A avaliação da integridade de pontes e viadutos ferroviários existentes,

geralmente, tem como objetivo principal a realização da análise de segurança

estrutural. As análises realizadas visam identificar, avaliar e caracterizar o

comportamento estrutural, com o fim de fazer uma avaliação precisa sobre as

atuais condições de segurança, e de forma auxiliar o desenvolvimento de um

programa apropriado de manutenção dessas construções, para as condições

atuais de carregamento e também para condições futuras (trens tipos

modificados).

O estudo do comportamento estrutural das obras de arte existentes é feito

a partir de um programa de investigação experimental, que contempla a

realização de ensaios destrutivos e não destrutivos e através de simulações

computacionais. Com base nesses procedimentos são realizadas avaliações do

projeto original e readequações para melhorar a vida útil das obras

inspecionadas, observando as recomendações para verificação de segurança

das normas técnicas vigentes.

É conhecido que cada obra tem suas particularidades, e que determinadas

análises mais específicas podem ser necessárias em algumas obras de arte

especiais. Porém, em geral, nas avaliações da integridade de pontes e viadutos

ferroviários existentes, onde se visa atender os requerimentos mínimos

necessários para uma avaliação completa e detalhada, são consideradas as

seguintes etapas de análise:

Análise preliminar

Análise do material construtivo

Análise numérica

Monitoramento estrutural

Calibração do modelo

Verificação do projeto segundo as normativas vigentes

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Inicialmente, faz-se uma análise preliminar dos relatórios referentes aos

trabalhos já realizados, em conjunto com uma inspeção visual da meso e da

superestrutura das obras de arte. Essa abordagem tem o propósito de permitir a

verificação de quais alterações ocorreram desde a última inspeção e quais as

condições atuais da estrutura, além de identificar os pontos críticos que possam

estar afetando o comportamento estrutural.

Para caracterizar fisicamente e quimicamente o material construtivo, faz-se

uma análise do material por meio de ensaios mecânicos (resistência e módulo

de elasticidade) e ensaios petrográficos e mineralógicos (caso seja detectado

algum indicio de reação álcali-agregado no concreto), ambos quando se julgar

necessário. Além desses ensaios são realizados testes preliminares de caráter

não destrutivo in loco, para estimativas das propriedades do concreto. Os

ensaios não destrutivos são feitos mediante ensaios dinâmicos considerando a

excitação ambiente da estrutura, tais como o vento e a passagem do trem.

Nesses ensaios são determinados os parâmetros modais, tais como freqüência

natural, modos de vibração e taxas de amortecimento.

A análise numérica é uma idealização computacional utilizando o método

dos elementos finitos para análise linear estática e modal das obras de arte. O

objetivo das análises é dar informações para avaliação do comportamento

estrutural das pontes. As análises auxiliam na identificação dos pontos críticos

prioritários para fixação de instrumentação (extensômetros, LVDT’s e

acelerômetros) e permitem a determinação numérica de modos e freqüências de

vibração da estrutura submetida a condições de carregamento dinâmico, que

juntamente com os resultados experimentais permitem a caracterização

dinâmica da estrutura. Outros resultados pertinentes a essa fase são tensão,

deformação e esforços na estrutura.

Os carregamentos considerados na análise estática, geralmente são a

carga permanente, a carga móvel, frenação e aceleração, e impacto lateral, a

carga de vento, retração e variação de temperatura, empuxo de terra, e ou

empuxo oriundo do trem na vizinhança do encontro.

A calibração dos modelos numéricos é realizada a partir dos ensaios não

destrutivos empregando-se técnicas de re-análise. Com isso, são obtidas

ferramentas de análise capazes de simular, de forma mais realista, o

comportamento da estrutura considerando suas condições reais.

São feitas as correções necessárias, quanto ao tipo de modelo adotado

para os elementos estruturais, quanto ao tipo de vínculos nas fundações

(considerando de forma simplificada a rigidez do solo suportante), quando à

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rigidez das conexões nos nós da estrutura e correções em relação a algum tipo

de dano existente na estrutura e identificado nas monitorações. Tem-se o

propósito de simular, nesse novo modelo numérico, as reais condições da

estrutura. Uma vez obtidos os resultados numéricos e experimentais, é feita uma

análise comparativa entre as duas respostas.

A partir dos resultados obtidos nas análises e do memorial de cálculo é

elaborada a verificação de segurança atendendo as recomendações das normas

técnicas em vigor, para projeto de estruturas de pontes. Pelas normas vigentes,

em cada elemento estrutural devem ser feitas as verificações a seguir.

Nas longarinas, transversinas e lajes fez-se a verificação de fissuras e

verificação no estado limite último em flexão simples e cisalhamento, segundo a

NBR-6118:2003, e verificação à fadiga de acordo com o CEB-90.

No estado limite último é verificada se os momentos solicitantes são

menores ou iguais ao momento resistente, Msd ≤ Mr na flexão simples. São

considerados esforços devidos ao carregamento permanente e à carga móvel,

seguindo as recomendações da NBR6118:2003, no item 17.2.2.

Para a verificação do cisalhamento são seguidas as recomendações da

NBR6118:2003, item 17.4.2.1, que considera atendida a resistência à força

cortante em estado limite último quando o cortante solicitante de cálculo é maior

ou igual à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por compressão

diagonal do concreto, e à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por

tração diagonal, composta pela contribuição do concreto e das armaduras.

O estado limite de abertura de fissuras (item 17.3.3 da NBR6118:2003) é

caracterizado pela situação em que as fissuras se apresentam com aberturas

características (wk) iguais ou menores aos máximos especificados. Os limites

máximos dessas aberturas são em função das classes de agressividade

ambiental, descritas na NBR6118:2003, Tabela 6.1 – classes de agressividade

ambiental.

Em estruturas bem projetadas e construídas e submetidas a ações

previstas na normalização, a presença de fissuras com aberturas que respeitem

os limites estipulados na norma, não denota perda de durabilidade ou perda de

segurança quando aos estados limites últimos, segundo as prescrições da

NBR6118:2003.

As verificações de vida útil à fadiga das longarinas são realizadas para os

esforços normais e tangenciais. A contagem de ciclos é realizada por meio do

algoritmo de Rainflow (Schijve, 1992). Após da contagem de ciclos, o dano é

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calculado para a passagem de um trem, empregando-se a Teoria de Miner

(Schijve, 1992), onde a vida útil à fadiga para um trem é o inverso do dano.

Para lajes, a verificação da vida útil à fadiga do concreto é realizada a

partir do método simplificado do CEB-FIP, que é análogo ao recomendado pela

NBR6118.

No caso dos pilares, faz-se a verificação no estado limite último em flexão

composta com efeitos de segunda ordem seguindo o proposto pela NBR-

6118:2003, e a determinação da vida útil a fadiga segundo o CEB-90.

Inicialmente, devem ser utilizadas as propriedades dos materiais (fck,fyk)

especificadas no projeto. Caso os elementos estruturais não atendam aos

critérios normativos na verificação (utilizando-se as propriedades especificadas

no projeto) uma análise mais elaborada deve ser feita utilizando os dados do

obtidos nos ensaios, além de empregar modelos mais refinados.

Ao final das análises, numéricas e experimental, deve ser dado um parecer

técnico para cada obra de arte analisada, com informações das atividades

realizadas, mapeamento das anomalias, resultados dos ensaios, observações

técnicas e especificações de recuperação.

3.2. Normas Técnicas

A seguir estão listadas algumas Normas Técnicas Brasileiras e

Internacionais referentes ao projeto e execução de pontes e viadutos

ferroviários:

ABNT NBR – 07187/87 (NB-2) – Projeto e execução de pontes de

concreto armado e protendido.

NBR9452 – Vistorias de pontes e viadutos de concreto

NBR7189 (NB7) – Cargas móveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias.

BS105 – Light and heavy bridge type railway rails.

UIC777-1 – Measures to protect railway bridges against impacts from

road vehicles, and to protect rail traffic from road vehicles fouling the

track.

UIC774-1 – Recommendations for the design of railway bridges.

UIC776-1 – Loads to be considered in the design of railway bridges.

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4 Confiabilidade Estrutural

4.1. Introdução

Os principais requisitos de um projeto de engenharia são: funcionalidade,

adequação de custos, segurança, durabilidade e minimização de impactos

ambientais, entre os quais a segurança é muito relevante. Por isso, sua

avaliação é importante para garantir o adequado comportamento da estrutura.

As estruturas e elementos estruturais devem ser projetados e construídos

para prestar serviço durante sua vida útil com um custo razoável de

conservação, além de serem capazes de cumprir as exigências relacionadas

com o estado limite de serviço (ELS) e com o estado limite ultimo (ELU). O ELU

está relacionado à perda de capacidade portante, por exemplo, à flexão; o

estado limite de serviço está relacionado à degradação gradual, conforto do

usuário e custo de manutenção, por exemplo, a vibração excessiva, as

deformações permanentes e a fissuração.

São muitas as incertezas associadas em um projeto estrutural, e estas

podem ser divididas em dois grupos: aleatórias e epistêmicas. As incertezas

aleatórias que são associadas a uma variabilidade dos fenômenos físicos ou

naturais representam a variabilidade inerente, entre elas estão: as incertezas

inerentes a forças ambientais e propriedades mecânicas dos materiais

estruturais. As incertezas epistêmicas estão associadas com a falta de

conhecimento na estimativa e prognóstico da realidade (dados insuficientes,

imprecisões na medição, modelos inadequados, etc.). As incertezas epistêmicas

podem ser reduzidas com um aumento do conhecimento e precisão da

informação. Devido às incertezas, sejam elas epistêmicas ou aleatórias, não é

possível garantir a segurança absoluta da estrutura, de modo que pode ocorrer

um somatório de efeitos que a leve à ruína (ELU) ou ao não cumprimento da sua

função (ELS).

Determinar de maneira apropriada as incerteza e garantir um nível

adequado de segurança é um objetivo importante dentro do estudo de

confiabilidade. Os trabalhos de confiabilidade proporcionam bases para analisar

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Las incertezas, guiam a aquisição de dados adicionais que são mais

significativos para garantir um desempenho futuro aceitável e organiza a

informação de forma útil para a análise de decisões (Ellingwood, 1996).

A confiabilidade de uma estrutura é definida como a probabilidade que a

estrutura não falhe ao desempenhar suas funções, (Nowak e Collins, 2000). A

análise de confiabilidade pode ser utilizada em contextos direcionados a

estruturas novas, ou a estruturas existentes. De acordo com o nível de

informação disponível, existem diferentes métodos de abordagem da

confiabilidade, para isso Madsen et al (1986), Galambos, (1992) – apud Lopez

(2007); propõem a seguinte classificação:

Nível 0 – Método das Tensões Admissíveis: esse método consiste em

calcular, no regime elástico-linear, o valor da tensão para o carregamento

máximo esperado e comparar esse valor com o da tensão admissível do

material. Nesse método todas as cargas são tratadas similarmente e as

tensões elásticas são reduzidas por um fator de segurança. Deve ser

atendida a seguinte condição:

.S.C

lim

admadm

→≤ (4.1)

Onde σ é a tensão obtida pela teoria linear para as cargas máximas

que podem ser esperadas durante a vida útil da estrutura, σadm é a tensão

admissível, σlim é a tensão limite e o C.S. é o coeficiente de segurança.

Nível 1 – Método dos Estados Limites: nesse método são utilizados os

coeficientes parciais de segurança para majorar as solicitações e minorar as

resistências. Estes fatores são aplicados aos valores característicos das

variáveis e têm como objetivo considerar as incertezas inerentes de cada

variável de projeto. O método dos estados limites também é conhecido como

método semi-probabilístico e é adotados como critério de segurança pelas

normas brasileiras de projeto de estruturas. Esse método pode ser

representado pela seguinte equação:

inin QR (4.2)

Onde φ e o fator de minoração da resistência, Rn e a resistência

nominal, i e o coeficiente de majoração da i-ésima carga (ou seu efeito) e Qin

é o valor nominal da i-ésima carga (ou seu efeito).

Nível 2 – Método do Índice de Confiabilidade: O método emprega dois

valores para variável incerta (usualmente média e variância) e uma medida

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de correlação entre parâmetros (usualmente covariância). Uma vez que não

se tem conhecimento das distribuições das variáveis aleatórias assume-se

que as variáveis têm distribuição Normal. As informações disponíveis podem

ser suficientes apenas para avaliar o primeiro e segundo momento (média e

variância) das respectivas variáveis aleatórias, portanto, para encontrar o

coeficiente de confiabilidade é seguida a formulação conhecida na literatura

como método de análise confiabilidade de primeira ordem e segundo

momento (FOSM - First Order Second Moment), que busca satisfazer a

seguinte condição:

adm (4.3)

Onde β é o índice de confiabilidade calculado com FOSM e βadm é o

índice de confiabilidade admissível.

Nível 3 – Método da Probabilidade de Falha: nesse método as distribuições

de probabilidade são especificadas e a probabilidade de falha é calculada

devendo satisfazer a seguinte condição:

admff PP (4.4)

Onde Pf é a probabilidade de falha associada ao problema (ver itens

4.5.1 e 4.5.2) e Pfadm é a probabilidade de falha admissível.

Nível 4 – Método da Minimização dos Custos Envolvidos ao Longo da Vida

Útil: este método combina a confiabilidade de estruturas com a otimização de

estruturas e tem como objetivo projetar estruturas econômicas tendo como

restrição o nível de confiabilidade desejado.

As normas atuais de projeto de estruturas, como a NBR 6118:2003 e o

Eurocode seguem o método dos estados limites (Nível 1). Já esse estudo é

desenvolvido utilizando o Nível 3, onde para encontrar o valor da probabilidade

de falha são utilizados o método analítico de primeira ordem e o método de

simulação de Monte Carlo.

A análise de confiabilidade inicia com a formulação de uma função de

estado limite, que representa o desempenho da estrutura, em termos das

variáveis aleatórias básicas. Os métodos de confiabilidade estrutural são

empregados na engenharia para se obter a probabilidade de falha do modelo

levando-se em consideração as incertezas. Entende-se por falha quando a

estrutura não atende os objetivos para os quais ela foi concebida. Tais falhas

podem trazer grandes prejuízos, tanto de ordem material quanto no que diz

respeito à segurança humana. Na prática, não existe estrutura com

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probabilidade de falha zero, sempre existe o risco de ela falhar, porém, esse

risco deve ser mantido em níveis aceitáveis de acordo com critérios de

segurança e economia.

A confiabilidade de uma estrutura é definida como o complemento da

probabilidade de falha Pf, ou seja, C = 1 - Pf . Como geralmente Pf é pequena

para estruturas, na ordem de 10-3 a 10-6, resultando em confiabilidade de 0.99 a

0.999999, é comum usar Pf como medida de confiabilidade da estrutura.

A análise de confiabilidade exige a caracterização estatística dos

parâmetros envolvidos no modelo, o que depende da qualidade dos dados

estatísticos relacionados ao problema e da precisão do modelo matemático

usado para análise das funções de estado limite.

4.2. Estados Limites

O projeto estrutural consiste de forma geral em proporcionar estruturas que

apresentem resistência superior aos efeitos causados pelas cargas, embora

existam numerosas fontes de incertezas nos parâmetros de carga e resistência.

Os requisitos básicos de sistemas estruturais podem ser equacionados na

forma de estados limites. O não atendimento dos requisitos de serviço ou de

segurança representa um estado indesejável da estrutura; e cada maneira

distinta que conduza a um estado indesejável é chamada, genericamente, de um

modo de falha. Cada modo de falha dá origem a um estado limite. Os modos de

falha e os estados limites correspondentes representam modelos idealizados da

falha de estruturas (Beck, 2008).

De acordo com Nowak e Collins (2000), estado limite é definido como a

fronteira entre o comportamento desejável e indesejável de uma estrutura.

São três os estados limites considerados:

Estado limite último (ELU): correspondem aos requisitos de segurança,

envolvem a capacidade máxima de carga ou de deformação da estrutura que

levam ao colapso ou dano grave e permanente da mesma. A ultrapassagem

de um estado limite último é, em geral, irreversível. Logo, a primeira

ocorrência desse evento caracteriza falha da estrutura.

Estado limite de serviço (ELS): relacionado à degradação gradual, conforto

do usuário e custo de manutenção. Como exemplos, têm-se os

deslocamentos excessivos, a vibração excessiva, as deformações

permanentes e a fissuração.

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Estado limite de fadiga (ELF): relacionado à perda de resistência sob cargas

repetidas, embora na NBR-6118 (2003) a fadiga seja considerada um estado

limite último. A análise de diversas estruturas mostrou que em nenhum caso

o colapso ocorreu exclusivamente devido à fadiga, embora seja um dos

fatores que colaboram para a deterioração progressiva e a diminuição da

resistência de elementos estruturais.

Matematicamente, os estados limites são representados por uma função

genérica dada pela seguinte equação:

SR)S,R(G (4.5)

Onde: G(R,S) é a função de estado limite, R é a capacidade ou resistência,

S é solicitação, ou efeito total das ações.

4.3. Função de Estado Limite

A função de estado limite é usada para descrever eventos que são

relevantes para tomada de decisão, Faber (2000). Para cada estado limite são

identificadas as variáveis aleatórias, que são agrupadas em um vetor:

,...X,X,X 321X (4.6)

A função de estado limite G é escrita em função das variáveis aleatórias

associadas ao problema X, para cada estado limite da estrutura:

0X,...X,XG)(G n21 X (4.7)

A condição G(X)<0, indica a falha da estrutura, o limite G(X) = 0 é

conhecido como a superfície de falha.

O valor numérico da função de estado limite distingue o domínio de falha

do domínio de segurança:

G(X) > 0: domínio seguro

G(X) = 0: domínio limite (superfície de falha)

G(X) ≤ 0: domínio de falha

4.4. Probabilidade de Falha

A falha em um estado significa que a estrutura atingiu condições

indesejáveis, podendo ocasionar colapso total ou parcial ou então interrupção do

uso normal da estrutura. No contexto de confiabilidade, a função de falha não

significa necessariamente a ruptura da estrutura, mas sim que certos limites

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foram alcançados ou excedidos. Uma medida probabilística de violação de

estados limites é a probabilidade de falha.

O problema básico de confiabilidade de estruturas considera apenas um

modo de falha e duas variáveis aleatórias, a resistência (R) e a solicitação (S)

caracterizadas por suas funções de densidade de probabilidade, médias e

covariâncias. A função de estado limite para esse caso é a equação (4.5).

A probabilidade de falha é expressa por:

F

RSf dsdr)s,r(f0)S,R(GPP (4.8)

Onde fRS(r,s) é a função conjunta de densidade de probabilidade de R e S,

F é o domínio de falha. Se as variáveis forem estatisticamente independentes,

tem-se:

)s(f)r(f)s,r(f SRRS (4.9)

A probabilidade de falha nesse caso é calculada por:

dsdr)s(f)r(fP

S

SRf

(4.10)

Onde fR(r) e fS(s) são as funções densidade de probabilidade (PDF),

S

R dr)r(f define a função de distribuição cumulativa (CDF) da variável aleatória

R, a equação (4.10) pode ser reescrita:

ds)s(f)s(Fp SRf

(4.11)

Esta integral é conhecida como integral de convolução, onde FR(s)

representa a probabilidade de R ≤ s, o que levaria à ruptura, e fs(s)ds representa

a probabilidade de S assumir um valor entre s e s+ds, com ds → 0, como indica

a figura 4.1.

Figura 4.1 Representação da integral de convolução (fonte: Melchers 2002)

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Na Figura 4.2 estão representadas, (para o caso de duas variáveis

aleatórias R e S), as funções densidade de probabilidade marginais de cada

variável, fR e fS, a função densidade de probabilidade conjunta fRS, os domínios

de falha, limite, e seguro.

Figura 4.2. Definição do domínio de falha (fonte: Melchers 2002).

A função de estado limite pode ser mais complexa se R e S são funções

de diversas variáveis aleatórias básicas (propriedades do material, dimensões da

estrutura, densidade do material), que podem ser independentes ou não.

4.5. Métodos de Cálculo da Probabilidade de Falha

De acordo com Liang et al (2009) o trabalho analítico de confiabilidade

estrutural deve ser dividido em duas partes: uma para determinar o modelos

principais de falha e a outra para calcular a probabilidade de falha estrutural.

Para determinar o modelo de falha deve se estabelecer um modelo simples

através da inspeção do estado de serviço da estrutura. Para o cálculo da

probabilidade de falha existe um numero considerável de métodos aproximados.

Sabendo-se que fx(X) representa a função densidade de probabilidades

conjunta de todas as variáveis aleatórias X envolvidas na análise, a

probabilidade de falha pode ser reescrita como:

0)(G

xf dx)(fPX

X (4.12)

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A avaliação desta expressão não é muito simples, uma vez que ela

envolve a avaliação de uma integral n-dimensional num domínio complexo.

Mesmo com o desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica e

com computadores cada vez mais eficientes, na prática, a avaliação desta

equação por integração tem se restringido a problemas com 5 ou 6 variáveis

aleatórias no máximo. Devido a isso a probabilidade de falha é calculada usando

métodos de transformação como FORM (First Order Reliability Method) e o

SORM (Second Order Realibility Method) ou usando métodos de simulação

como o de Monte Carlo.

4.5.1. Método de Primeira Ordem FORM (First Order Reliability Method)

Os métodos analíticos de primeira ordem (FORM) e segunda ordem

(SORM) são considerados como métodos computacionais confiáveis para

avaliação da confiabilidade estrutural. A precisão é geralmente dependente de

parâmetros como o raio de curvatura do ponto de projeto e o número de

variáveis aleatórias, (Zhao e Ono, 1999). O método de primeira ordem (FORM)

para o cálculo do índice de confiabilidade tem sido amplamente aceito devido às

suas vantagens de eficiência e eficácia, e foi recomendado como o método de

análise de confiabilidade pelo Comite de Segurança Estrutural (JCSS), (Yang et

al, 2006).

A idéia principal do FORM é que a confiabilidade pode ser facilmente

obtida por uma função de falha linear considerando o espaço das variáveis

reduzidas estatisticamente independentes, e avaliando a menor distância da

função de falha até a origem. No caso de funções lineares de estado limite e

varáveis normais não correlacionadas, o resultado obtido é exato. Se as funções

são não-lineares, a aproximação depende da curvatura da função de falha e

também das derivadas nos pontos sob análise para composição do vetor

gradiente.

No FORM, as variáveis aleatórias originais X, com distribuição qualquer e

dependentes entre si ou não, são transformadas em variáveis normais padrão

estatisticamente independentes, Y, e a função de falha G(X) é escrita em função

das variáveis no espaço normal padrão g(Y). A superfície de falha g(Y)=0 é

aproximada por uma superfície linear ou hiperplano no ponto da superfície que

está mais próximo da origem, identificado como Y* e designado como o ponto de

projeto no espaço reduzido. O valor do coeficiente de confiabilidade β é igual a

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distância do ponto de projeto, Y* até a origem. A probabilidade de falha para o

método FORM é calculada por:

fP (4.13)

Onde é a distância do ponto Y* até a origem e é avaliado como:

Y (4.14)

A figura 4.3 ilustra o processo seguido no método FORM.

Figura 4.3. Transformação do espaço original para o espaço reduzido normal

padrão (fonte: Choi e Youn 2001).

O método calcula a probabilidade de falha de forma aproximada e

dependendo da configuração da função g(Y) no espaço das variáveis reduzidas

se mostra ou não a favor da segurança. Se g(Y) é convexa em torno do ponto de

projeto a aproximação será a favor da segurança e será contra a segurança no

caso contrário (Ver figura 4.4).

Figura 4.4. Aproximação do Método FORM para superfícies côncavas e convexas

(fonte: Lopez 2007).

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Dentro do FORM existem dois processos que são a busca ao ponto de

projeto e a transformação das variáveis do espaço original para o espaço normal

padrão. A transformação das variáveis é feita utilizando as distribuições normais

equivalentes e o ponto de projeto pode ser obtido através da solução de um

problema de otimização (ou programação não linear).

Transformação das variáveis

A transformação de variáveis aleatórias originais X, correlacionadas ou

não, em variáveis normais estatisticamente independentes é feita utilizando as

distribuições normais equivalentes. A transformação das variáveis

correlacionadas em variáveis normais padrão estatisticamente independentes é

realizada através da transformação de Nataf. Os dados requeridos para fazer a

transformação de Nataf são as funções de densidade de probabilidade marginais

de cada variável aleatória e o coeficiente de correlação entre os pares de

variáveis, não sendo necessário conhecer a função densidade de probabilidade

conjunta.

Se o vetor X contiver somente variáveis normais (correlacionadas ou não),

um conjunto de variáveis normais padrão estatisticamente independentes pode

ser obtido pela seguinte transformação:

mXΓσY 1 (4.15)

Onde m é o vetor com as médias normais equivalentes das variáveis

aleatórias X, σ é uma matriz diagonal contendo os desvios-padrão normais

equivalentes das variáveis aleatórias X. As médias e desvios padrão

equivalentes são obtidos para as variáveis que não têm distribuições de

probabilidade normal (Ver anexo A). A matriz Г é igual à inversa da matriz

triangular inferior L, obtida pela decomposição de Choleski da matriz dos

coeficientes de correlação de X (Ver anexo A).

Como será visto adiante, para a determinação do ponto de projeto é

necessário a definição do Jacobiano da transformação, ou seja,

1

X

Y ΓσJ∂

∂ (4.16)

Pode-se então reescrever a equação (4.15) assim:

mXJY (4.17)

Quando as variáveis aleatórias não normais são correlacionadas o valor

original do coeficiente de correlação deve ser corrigido para um valor equivalente

a uma correlação entre variáveis aleatórias normais (Ver anexo A).

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Pesquisa do ponto de projeto

Existem vários algoritmos de otimização para resolver este problema, o

algoritmo mais usado na análise de confiabilidade estrutural é o HLRF

desenvolvido por Hasofer e Lind (1974), e aperfeiçoado por Rackwitz e Fiessler

(1978), que se resume a seguinte equação:

TKKKTK

2K

1K )(g)(g)(g)(g

1Y Y YY

Y Y

(4.18)

Onde )(g KY é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e )(g KY

é o valor da função de falha, ambos avaliados no ponto de projeto para a K-

ésima iteração, YK.

Para a utilização deste algoritmo é importante considerar as seguintes

relações:

)(G)(g X Y

)(1 m XΓσ Y (4.19)

)(G))(g T1 X (J Y

Onde )(G X é o gradiente da função de falha no espaço original avaliado

no ponto X e X

Y

J

A figura 4.5 ilustra uma representação gráfica da busca do ponto de projeto

para um problema com duas variáveis.

Figura 4.5. Representação gráfica da busca do ponto de projeto para um problema

com duas variáveis (fonte: Choi e Youn 2001).

A avaliação da probabilidade de falha pelo método FORM envolve além da

avaliação da função de falha nos pontos calculados pelo algoritmo a avaliação

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das suas derivadas para compor o vetor gradiente. Em muitas ocasiões a função

de falha pode ser não explicitada em função de todas as variáveis aleatórias do

problema, nesse caso a avaliação do gradiente de G(X) é feita numericamente.

Tal abordagem conduz a um número elevado de cálculos da função de estado

limite G(X), logo é um processo computacionalmente caro. Portanto, para

problemas onde a função de falha G(X) é computacionalmente cara de ser

avaliada é melhor, se possível, trabalhar com derivadas analíticas e não

numéricas.

4.5.2. Análise de Sensibilidade

Após obter o índice de confiabilidade, a identificação dos parâmetros mais

importantes que afetam a probabilidade de falha é realizada através de uma

análise de sensibilidade. A análise de sensibilidade é utilizada para estudar os

efeitos que as diversas suposições e os erros nos dados geram na equação de

estado limite proposta.

O método analítico FORM, fornece além da probabilidade de falha

medidas de sensibilidade. Uma importante medida é o fator de importância que

indica qual é a importância que cada variável aleatória envolvida na análise tem

na resposta da probabilidade de falha de um determinado modo, e é definido

por:

2

iiI α (4.20)

Onde αi é o cosseno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no

ponto de projeto y* e o eixo da variável reduzida Yi, dada por:

*)Y(g

*)(g i

Y (4.21)

Sendoi*)(g Y a componente do gradiente da função de estado no espaço

reduzido.

A partir desse cálculo observa-se que as variáveis aleatórias que têm

fatores de importância baixos podem ser consideradas como determinísticas.

4.5.3. Método de Simulação de Monte Carlo

Simulação é o processo de representação do mundo real baseado em um

conjunto de hipóteses e modelos concebidos da realidade. Este processo pode

ser executado teoricamente ou experimentalmente. Em termos de análise

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estrutural, a simulação pode ser entendida como uma forma de simular

numericamente um experimento que na prática não é realizável. Este

experimento consiste em testar a estrutura para todas as combinações possíveis

de resistências e de ações, sendo estas variáveis aleatórias.

Uma tarefa básica na simulação de Monte Carlo é a geração de números

aleatórios. A geração automática de números aleatórios pode ser feita a partir da

hipótese que os mesmos estão uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Por

transformações apropriadas, obtêm-se então as amostras das variáveis

aleatórias correspondentes à distribuição de probabilidade prescrita.

Com as amostras geradas resolve-se a relação determinística obtendo um

conjunto de resultados de G(X). Se G(X) for maior que 0, então o critério de

segurança foi satisfeito. Caso contrário, se G(X)<0, a combinação dos valores de

X levou a falha no sistema.

De um modo matemático o método de Monte Carlo pode ser expresso da

seguinte forma:

fnR

f )](I[Edx)(f)(Idx)(fP xxxx xX (4.22)

f

f

xse0

xse1)x(I

Repetindo as análises para um grande número de simulações ns, a média

empírica dos valores de l(x) é um estimador de Pf.

sn

1r

r

s

f )(In

1P x (4.23)

A variabilidade dos resultados é inversamente proporcional ao número de

simulações ns. Isso pode ser uma vantagem do método, aumentando a sua

precisão à medida que se aumenta o número de cálculos de G(X) realizados.

Porém, para probabilidades de falha muito pequenas, o número de simulações

para se obter um só caso de falha é muito grande, demandando um grande

esforço computacional na avaliação da probabilidade de falha. Nesses casos o

número de simulações necessárias pode ser estimado pela equação (4.24) onde

k e Pf são respectivamente o nível de confiança e a ordem de grandeza da

probabilidade de falha desejados:

f

siP

k1lnn

(4.24)

Para reduzir o número de simulações necessárias, utilizam-se técnicas de

redução de variância. O método de Monte Carlo utilizado neste estudo é o

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conhecido como método de Monte Carlo simples ou direto por não utilizar

técnicas de redução de variância.

O uso da simulação de Monte Carlo na avaliação de um desempenho

estrutural pode ser feito para:

Calcular as estatísticas (média, desvio padrão e tipo de distribuição) da

resposta do sistema. Nesse caso, primeiro é obtida uma amostra da

resposta e uma distribuição de probabilidade é ajustada aos dados desta

amostra.

Calcular a probabilidade de desempenho insatisfatório (probabilidade de

falha). Nesse caso é necessário conhecer: (a) uma relação determinística

para descrever a resposta da estrutura; (b) as distribuições de

probabilidade de todas as variáveis envolvidas no cálculo da resposta. Uma

amostra dos possíveis cenários (falha ou sobrevivência) é gerada e o

número de desempenhos insatisfatórios é obtido. A probabilidade de falha é

calculada como a taxa de desempenhos insatisfatórios, ou seja, o número

de desempenhos insatisfatórios dividido pelo número de simulações.

Com o aumento da capacidade dos computadores, a simulação de Monte

Carlo tem conquistado mais espaço, devido a sua robustez e simplicidade. É

comum também utilizar o método para verificar soluções analíticas aproximadas.

4.6. Índice de Confiabilidade de Referência

Os principais critérios para encontrar o índice de confiabilidade de

referência adequado são as conseqüências de falha e os custos do aumento da

confiabilidade. No entanto, na prática, é difícil obter os dados necessários para a

determinação do índice de confiabilidade de referência ideal. Portanto, uma boa

indicação pode ser estabelecida considerando os índices de confiabilidade das

estruturas projetadas segundo os códigos existentes (Nowak e Kaszynska,

2003).

Os requisitos para a segurança da estrutura são, conseqüentemente,

expressos em termos do índice mínimo de confiabilidade aceito ou da máxima

probabilidade de falha aceita. Índice de confiabilidade de referência é o valor

mínimo estabelecido para o índice de confiabilidade, associado a um valor

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máximo de probabilidade de falha que expresse o nível de falha aceitável para a

estrutura.

Os valores do índice de confiabilidade de referência para estados limites

últimos propostos pelo JCSS (2001) estão na seguinte tabela:

Tabela 4.1. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e Probabilidade de

falha Pf associadas, relacionadas ao estado limite último.

Medida relativa do custo de segurança

Conseqüências leves de falha

Conseqüências moderadas de falha

Conseqüências graves de falha

Grande (A) βT =3,1 (Pf ≈ 10-3

) βT =3,3 (Pf ≈ 5*10-4

) βT =3,7 (Pf ≈ 10-4

)

Normal (B) βT =3,7 (Pf ≈ 10-4

) βT =4,2 (Pf ≈ 10-5

) βT =4,4 (Pf ≈ 5*10-6

)

Pequeno (C) βT =4,2 (Pf ≈ 10-5

) βT =4,4 (Pf ≈ 5*10-6

) βT =4,7 (Pf ≈ 10-6

)

O JCSS (2001) propõe uma classificação das estruturas em classes de

conseqüência de falha, baseada na taxa ρ definida como o quociente entre

custos totais (i.e. custos de construção mais custos diretos de falha) e custos de

construção. A partir de uma análise custo-benefício, são fixados valores do

índice de confiabilidade de referência βT de acordo com as classes de

conseqüências descritas a seguir:

Classe 1 – Conseqüências Leves: ρ é menor que aproximadamente 2. O

risco de vida e as conseqüências econômicas são pequenas ou negligenciáveis

(por exemplo: silos e estruturas agrícolas).

Classe 2 – Conseqüências Moderadas: ρ está entre 2 e 5. O risco de vida,

dada uma falha, é médio ou as conseqüências econômicas são consideráveis

(por exemplo, construções residenciais, comerciais ou industriais).

Classe 3 – Conseqüências Graves: ρ está entre 5 e 10. O risco de vida,

dada uma falha, é alto, ou as conseqüências econômicas são significantes (por

exemplo, pontes, teatros, hospitais, edifícios altos).

Se ρ é maior do que 10 as conseqüências de falha devem ser

consideradas extremas e uma análise de custo-benefício completa é

recomendada. A conclusão poderia ser que a estrutura não deveria ser

construída.

As classes e custos de falha podem estar relacionados com a localização

da estrutura. Por exemplo, uma estrutura construída em zona rural poderia

apresentar conseqüências de falha de leves a moderadas, enquanto essa

mesma estrutura construída em zona urbana poderia apresentar conseqüências

de falha graves a extremas.

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60

No estado limite de serviço os valores do índice de confiabilidade de

referência podem ser derivados baseados em métodos de análise de decisão.

Os valores para o índice de confiabilidade de referência βT sugeridos pelo

JCSS(2001) são apresentados na Tabela 4.2.

Tabela 4.2. Valores do índice de confiabilidade de referência βT e probabilidade de

falha Pf associados ao estado limite de serviço

Medida relativa do custo de segurança

βT no estado limite de serviço

Grandes (A) βT =1,3 (Pf ≈ 10-1

)

Normal (B) βT =1,7 (Pf ≈ 5*10-2

)

Pequeno (C) βT =2,3 (Pf ≈ 10-2

)

Para estruturas existentes, os custos para alcançar um maior nível de

confiabilidade são geralmente elevados em comparação com as estruturas

projetadas. Porém, o nível de incertezas é inferior, uma vez que a monitoração

da mesma fornece mais informações sobre as variáveis aleatórias envolvidas.

Baseado nesse cenário, o JCSS sugere que, o índice de confiabilidade de

referência para estruturas existentes deve ser menor.

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5 Formulação do Problema

5.1. Introdução

O objetivo deste capítulo é apresentar a sistemática adotada para a

estimativa da confiabilidade de vigas de pontes ferroviárias de concreto armado,

submetidas à flexão simples.

Para a análise de confiabilidade é preciso partir de uma função de estado

limite que descreva o comportamento da estrutura e então estimar a

probabilidade de falha pelos métodos de primeira ordem FORM e de simulação

de Monte Carlo (ver Capítulo 4). Tal função é obtida utilizando o programa de

análise estrutural SAP2000 em conjunto com um programa desenvolvido em

Matlab.

Todas as análises realizadas foram baseadas nos projetos estruturais

existentes considerando as propriedades do concreto especificadas no projeto e

o modelo matemático considerado em relatórios de verificação atuais.

A seguir são explicados mais amplamente os procedimentos seguidos para

obter os dados necessários das análises desenvolvidas nos exemplos de

aplicação.

5.2. Verificação de Segurança no Estado Limite Último

No processo de verificação de segurança das longarinas de uma ponte

com relação ao estado limite último, a flexão simples é verificada pela condição:

rdsd MM (5.1)

Onde Msd representa o momento solicitante de cálculo e Mrd o momento

resistente de cálculo. Nesse contexto, são obtidos os valores do momento

solicitante devidos a carregamento permanente e a carga móvel, através das

envoltórias de combinações dos esforços. Os momentos resistentes são

extraídos de uma rotina desenvolvida em Matlab. Para a verificação busca-se

obter a probabilidade de falha da estrutura e comparar esses resultados com as

normas existentes. O processo tem inicio com a determinação das

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variáveis a serem consideradas como aleatórias para encontrar uma função de

estado limite que descreva o comportamento da estrutura. A partir dessa função,

calcula-se a probabilidade de falha e o coeficiente de confiabilidade da estrutura.

5.3. Variáveis Aleatórias

Seis variáveis aleatórias são consideradas nesse trabalho: a resistência à

compressão do concreto (fck), a resistência à tração do aço (fyk), o módulo de

elasticidade longitudinal do aço (Es), o peso específico do concreto (), a carga

móvel para o trem tipo operacional atual (Q) e o coeficiente de impacto (φ).

Os modelos probabilísticos adotados para as variáveis são definidos a

seguir e sintetizados na Tabela 5.1. Estes modelos são utilizados em todos os

exemplos, exceto quando há alguma modificação descrita. Dentro dos

parâmetros considerados para definir os modelos probabilísticos, temos que os

parâmetros referentes ao tipo de distribuição de cada variável, foram obtido a

partir de uma pesquisa bibliográfica e dos regulamentos do JCSS, já o valor

esperado foi avaliado a partir dos valores característicos fixados na

NBR6118:2003.Os valores correspondente ao coeficiente de variação (que é

uma normalização do desvio padrão pelo valor esperado) foram assumidos

depois de uma revisão de diversos estudos desenvolvidos.

Os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias são definidos como:

1. Resistência à compressão do concreto (fck): O modelo probabilístico se

baseia nas recomendações da NBR 6118 (2003), da NBR 12655 (1996) e do

JCSS (2001).

Segundo a NBR 6118 (2003) a resistência do concreto é admitida como

sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos

elementos de um dado lote de material. O fck é sempre menor do que a

resistência média fckm dada pela média aritmética das resistências dos

elementos que compõem o lote considerado de material. Segundo o JCSS

(2001) a distribuição de probabilidade Lognormal caracteriza bem essa

variável aleatória. Neste trabalho adota-se o coeficiente de variação COV

igual a 15%.

2. Resistência à tração do aço (fyk): Segundo as recomendações da JCSS

(2001), adota-se a distribuição Lognormal para essa variável aleatória, com

um coeficiente de variação de 7%.

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63

3. Módulo de elasticidade longitudinal do aço (Es): O modelo probabilístico

adotado baseia-se nos modelos propostos por Hamutçuoglu et al (2009),

Cheng (2009) e Liu (2002) que consideram uma distribuição Lognormal e um

coeficiente de variação entre 6 e 12%. Para este estudo o coeficiente de

variação é de 10%.

4. Peso específico do concreto (): O modelo probabilístico para o peso

específico do concreto está baseado nos propostos por Nowak et al (2000) e

Liu (2002) onde é sugerida a distribuição Normal e um coeficiente de

variação de 8%.

A NBR 6118 (2003) menciona que o valor característico para as cargas

permanentes é igual ao valor médio. Considera-se que o modelo

probabilístico adotado para o peso específico do concreto é o mesmo

adotado para a carga permanente.

5. Carga móvel (Q): O modelo probabilístico dessa variável é baseado nas

propostas de Ellingwood (1996), Nowak et al (2000) e Law et al (2009) onde

é assumida uma distribuição de probabilidade TipoI(Gumbel). Adota-se um

coeficiente de variação igual a 15%. A NBR 6118 (2003) menciona que o

valor característico de Q corresponde a valores que têm entre 25 e 30% de

probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um

período de retorno de 50 anos. Neste estudo foi adotado um valor de 30% de

probabilidade de serem ultrapassados.

6. Fator de impacto (φ): O impacto é o efeito dinâmico da carga móvel devido

às forças de inércia geradas pelo movimento dos trens sobre a ponte. O

modelo probabilístico é baseado nos propostos por Hamutçuoglu et al (2009)

e Liu (2000), que consideram uma distribuição Normal. O coeficiente de

variação adotado é de 13%.

Tabela 5.1. Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias

Variável Aleatória

Distribuição Coeficiente de

Variação %

fck Lognormal 15

fyk Lognormal 7

Es Lognormal 10

Normal 8

Q TipoI 15

φ Normal 13

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5.4. Função de Estado Limite

Para obter a probabilidade de falha de uma ponte ferroviária em concreto

armado é utilizada uma função de estado limite. A idéia geral da verificação da

estrutura é que os momentos solicitantes (Msd) não superem os valores do

momento resistente (Mrd), isso pode ser expresso na seguinte função de estado

limite:

),Q,(M)E,f,f(M),Q,,E,f,f(G sdsykckrdsykck (5.2a)

),Q(M)(M)E,f,f(M),Q,,E,f,f(G sqspsykckrdsykck

(5.2b)

Pelas equações (5.2) identifica-se que:

O momento resistente da viga é função da resistência à compressão do

concreto (fck), da resistência à tração do aço (fyk) e do módulo de

elasticidade do aço (Es).

O momento solicitante para carga permanente é função do peso específico

do concreto ().

O momento solicitante para carga móvel é função da carga móvel (Q) e do

coeficiente de impacto (φ).

A determinação desses momentos é apresentada a seguir.

5.5. Momento Resistente

Na análise do momento resistente de uma seção de viga no estado limite

último, devem ser consideradas algumas hipóteses básicas, como:

a. As seções transversais planas se mantêm planas após deformação.

b. Aderência perfeita entre o concreto e a armadura: admite-se que não há

escorregamento entre os materiais (a deformação da armadura εs é admitida

igual à deformação da fibra de concreto εc, junto a essa armadura)

c. As tensões de tração no concreto normais à seção transversal podem ser

desprezadas.

d. A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama

retangular de altura 0,8x (onde x á altura da linha neutra) com a seguinte

tensão:

0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha

neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida.

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0,80 fcd no caso contrário.

fcd é a resistência de cálculo do concreto, obtida através da relação entre a

resistência do concreto fck e o coeficiente de ponderação do concreto igual a

1,4 para combinações normais.

e. A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-

deformação com valores de cálculo definidos na NBR 6118 (2003).

f. O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das

deformações na seção transversal pertence a um dos domínios definidos na

seguinte figura.

Figura 5.1. Domínios de estado limite último de uma seção transversal (fonte: NBR

6118:2003)

Ruptura convencional por deformação plástica excessiva

Reta a: tração uniforme

Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão

Domínio 2 : flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (εc < 0,35% e com o máximo alongamento permitido).

Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto

Domínio 3 : flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto com escoamento do aço (εs≥ εyd)

Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura a compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs< εyd)

Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas

Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração

Reta b: compressão uniforme.

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Para avaliar o momento resistente de uma viga sujeita a flexão simples em

função das variáveis aleatórias fck, fyk e Es, são tomados como os dados de

entrada:

Variáveis aleatórias: resistência do concreto (fck), resistência do aço (fyk) e

modulo de Elasticidade do aço (Es)

Tipo de aço

Armadura de tração e compressão (As e A’s)

Alturas úteis das armaduras (d, d’)

As dimensões da seção (hf, bw, bf, h). Ver figura 5.2.

Figura 5.2. Seção Tipo da ponte

As seguintes hipóteses são adotadas:

ydsd f Domínio 2 ou Domínio 3

ydsd f' Armadura abaixo do escoamento (5.3)

fhx8,0 Zona comprimida dentro da mesa

Para as seções analisadas, verifica-se que a zona comprimida encontra-se

dentro da mesa, portanto as equações aqui descritas só consideram essa

hipótese.

Considerando a seção transversal no domínio 2 ou no domínio 3, calcula-

se as alturas limites para esses domínios X2lim e X3lim respectivamente. Os

resultados obtidos são comparados com o resultado encontrado para a altura da

linha neutra para definir o domínio real.

d259,0)(

dx

smáxcmáx

cmáx

lim2

(5.4)

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d63,0)(

dx

ydcmáx

cmáx

lim3

A seguinte figura apresenta um esquema geral para uma viga T:

Figura 5.3. Esquema geral para uma viga T

De acordo com o equilíbrio de forças:

sdssdscdfsdsdcd A''Afxb68,0R'RR (5.5)

ydsd f (5.6)

2iominDo)xd(

)'dx(''E' sssssd

(5.7)

ydsssscdf fA)xd(

)'dx(E'Afxb68,0

(5.8)

Da equação (5.8) pode-se encontrar o valor de x

0'dE'AfAfAx)E'Adfb68,0(xfb68,0

fA'dE'AxE'Axfb68,0xdfb68,0

fA)'dx(sE'A)xd)(xfb68,0(

sssysysssscdf

2

cdf

ysssssss

2

cdfcdf

ydssscdf

cdf

sssyscdf2

ssscdf

cdf

ssscdf

fb68,0*2

)'dE'AfA(fb68,0*4)E'Adfb68,0(

fb68,0*2

)E'Adfb68,0(x

(5.9)

Com o valor de x se encontra o valor do momento resistente, segundo as

equações de equilíbrio de momentos:

)'dd(xd

'dxE'Ax4,0dfxb68,0M

'dd'Rx4,0dRM

ssscdfcd

sdcdcd

(5.10)

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Com os resultados obtidos são verificadas as hipóteses da equação (5.3).

Se todas as hipóteses são verdadeiras o valor encontrado do momento

resistente é o valor que será utilizado na função de estado limite.

Verificadas as hipóteses, a função de estado limite para o momento

resistente é:

`)dd(

xd

'dxE'A)x4,0d(fxb68,0M ssscdfrd

(5.11)

As variáveis aleatórias fck, fyk e Es estão implícitas na equação, no cálculo

de x como foi descrito acima, levando em conta que:

15,1

ffe

4,1

ff

yk

yd

ck

cd (5.12)

Esta sistemática foi seguida para obter uma equação que permita que a

função de estado limite esteja representada por uma função analítica a partir da

qual a avaliação do gradiente da função é facilmente implementada permitindo o

emprego do método FORM para determinação da probabilidade de falha. A

fraqueza dessa equação é desprezar a armadura de pele. Para considerá-la a

probabilidade de falha deve ser avaliada com o emprego do método de

simulação de Monte Carlo, encontrando o valor do momento resistente com

ajuda de uma rotina desenvolvida no Matlab.

5.6. Momento Solicitante

As principais ações atuantes nas estruturas são classificadas como

permanentes e variáveis. As ações permanentes são as que ocorrem com

valores praticamente constantes durante toda a vida da construção e também

aquelas ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante.

Estas ações permanentes são classificadas como 1) diretas: o peso próprio da

estrutura, o peso dos elementos construtivos fixos e das instalações

permanentes, 2) indiretas: as deformações impostas por retração e fluência do

concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. Estas

ações devem ser consideradas com seus valores representativos mais

desfavoráveis para a segurança. As ações variáveis também podem ser

classificadas em diretas e indiretas. As diretas são constituídas pelas cargas

acidentais previstas para o uso da construção, como ação do vento, da água; as

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indiretas são constituídas pelas variações uniformes e não uniformes de

temperatura, ações dinâmicas e ações excepcionais.

Nesse trabalho, é considerada a carga permanente correspondente ao

peso próprio da estrutura e as cargas provenientes do lastro, trilhos, acessórios,

argamassa, mureta, plaqueta e guarda corpo, assim como as cargas

concentradas correspondentes aos refúgios e postes.

A modelagem é feita com barras, onde o conjunto longarina-tabuleiro é

representado por uma única barra. As cargas provenientes do peso próprio das

transversinas foram aplicadas como cargas concentradas. O modelo aqui

considerado toma como base o Relatório Técnico - Desenvolvimento de

Metodologia para Avaliação da Integridade Estrutural de Pontes e Viadutos

Ferroviários ao Longo da Estrada de Ferro Carajás, primeira etapa Volume 4:

Obra de Arte Especial n. 55 Ponte sobre o Rio Vermelho (Relatório Técnico,

Veloso et al 2007).

Para a carga móvel é considerado o trem tipo operacional atualmente

usado na CVRD onde se adota como locomotiva padrão a DASH9 e como vagão

o GDT (ver figuras 5.4 e 5.5). A carga da locomotiva é de 300 KN/eixo, do vagão

carregado é 325 KN/eixo, e a carga do vagão descarregado é 52,5 KN/eixo.

Figura 5.4. Locomotiva tipo DASH9 (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).

Figura 5.5. Vagão tipo GDT (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).

A configuração do trem tipo atual é: 2 locomotivas + 104 vagões + 1

locomotiva + 104 vagões.

Para encontrar os momentos devidos ao carregamento móvel, foi admitida

somente, uma quantidade de vagões e locomotivas suficiente para cobrir todo o

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comprimento da ponte, considerando a configuração mais critica, que leve a

encontrar valores maiores para o momento solicitante.

Na avaliação da probabilidade de falha a função de estado limite precisa

ser revalidada uma série de vezes, como conseqüência das alterações dos

valores das variáveis aleatórias, no FORM ou na simulação de Monte Carlo. No

caso das variáveis aleatórias alterarem o carregamento, é necessário que uma

nova análise da estrutura seja feita, o que demanda um tempo considerável.

Uma vez que está sendo considerada uma análise linear da estrutura e

que a função de estado limite tratada envolve apenas esforços internos, adota-se

uma abordagem onde separa-se o carregamento e depois usa-se a

superposição para avaliar o momento solicitante.

Na consideração do peso próprio das longarinas e transversinas, a variável

aleatória é o peso específico do concreto (). Inicialmente admite-se essa

variável aleatória como unitária e determina-se um momento solicitante Msp1.

Para outros valores da variável aleatória o momento solicitante que é

diretamente proporcional a Msp1 é calculado como o produto de Msp1 vezes .

Para encontrar a função de estado limite devida ao carregamento permanente

além do peso próprio das longarinas e transversinas é considerada uma carga

permanente adicional determinística (S), correspondente a lastro, trilhos e

acessórios, argamassa, mureta e plaqueta, guarda corpo. O momento obtido

para esse carregamento é designado como Mspadic.

A função de estado limite para o momento solicitante para carga

permanente (Msp) é:

adic1spspsp MMM

(5.13)

Para a avaliação do momento solicitante devido à carga móvel emprega-se

a linha de influência para as seções consideradas. Sendo a configuração da

linha de influência independente da intensidade da carga móvel, opta-se por

inicialmente avaliar a linha de influência e o momento solicitante Msq1, admitindo

como unitária a carga do trem-tipo. Esse procedimento é realizado empregando

o SAP2000. Para outras intensidades da carga do trem-tipo (Q), o momento

solicitante é proporcional ao Msq1 e é dado por:

QMM

1sqsq (5.14)

Onde Q e a carga do trem tipo considerado e φ é o coeficiente de impacto.

Para a sistemática sugerida, a função de estado limite da ponte da

equação (5.2) pode ser reescrita como:

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sdrdsdrd MMM,MG)(G X (5.15 a)

sqsprd MMM)(G X

(5.15 b)

QMMM

`)dd(xd

'dxE'A)x4,0d(fxb68,0)(G

1sqadicsp1sp

ssscdfX

(5.15 c)

5.7. Verificação de Segurança no Estado Limite de Serviço

Para a verificação da segurança das longarinas de uma ponte com relação

ao estado limite de serviço são verificados o estado limite de formação de

fissuras e o estado limite de abertura de fissuras.

5.7.1. Estado Limite de Formação de Fissuras

O estado limite de formação de fissuras é o estado em que inicia a

formação de fissuras e admite-se que este estado é atingido quando a tensão de

tração máxima na seção transversal for igual à resistência à tração na flexão fct,f

(NBR6118:2003, item 3.2.2).

A verificação é feita calculando-se a máxima tensão de tração do concreto

no estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos

materiais) – item 17.3.4.

Verifica-se que o momento de fissuração (Mf) é maior ou igual ao momento

solicitante (Ms), como indicado na seguinte expressão:

sf MM (5.16)

A resistência à compressão do concreto (fck), o peso específico do concreto

(), a carga móvel e (Q) e o fator de impacto (φ) são considerados como

variáveis aleatórias. Os modelos probabilísticos dessas variáveis foram descritos

no item 5.3.

A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte

ferroviária em concreto armando dentro do cenário desse estado limite é:

),Q,(M) (f)=M,Q,,G(f sckfck (5.17)

Da equação (5.17), pode-se observar que o momento de fissuração é

função da resistência à compressão do concreto (fck), o momento solicitante por

carga permanente é função do peso especifico do concreto (), e o momento

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solicitante por carga móvel é função da carga móvel (Q) e do coeficiente de

impacto (φ).

A partir desta verificação, torna-se possível identificar o estádio de

comportamento da peça. Esses estádios traduzem as diversas fases pelas

quais passa uma peça de concreto armado quando submetida a um

carregamento crescente. Normalmente, para as ações de serviço (reais não

majoradas), as seções encontram-se nos estádios I e II.

A seguinte figura apresenta um esquema geral dos estádios de

comportamento.

Figura 5.6. Esquema geral dos estádios de deformação.

No estádio I a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua

resistência característica à tração (fctk), e não há fissuras de flexão visíveis;

nesse estádio o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear, e as

tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações,

correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto.

Já o estádio II é caracterizado pela presença de fissuras nas zonas de tração e,

portanto, o concreto situado nessas regiões é desprezado; nesse estádio, a

tensão de tração na maioria dos pontos situados na região tracionada da seção

tem valor superior ao da resistência característica do concreto à tração.

A separação entre estes dois estádios de comportamento é definida pelo

momento de fissuração (Mf), o qual define-se como sendo o momento fletor

capaz de provocar a primeira fissura na peça. Se o momento fletor atuante numa

dada seção for menor do que o momento de fissuração, a seção não está

fissurada e, portanto, encontra-se no estádio I, caso contrário, se o momento

fletor atuante for maior do que o de fissuração, a seção encontra-se fissurada e,

portanto, no estádio II e diz-se que foi ultrapassado o estado limite de formação

de fissuras.

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73

Segundo a NBR6118:2003 o momento de fissuração pode ser calculado

pela seguinte expressão:

t

cct

fy

IfM

(5.18)

Onde: α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração

na flexão com a resistência a tração direta (α = 1,2 para seções em forma de T

ou duplo T, e α = 1,5 para seções retangulares); yt é a distância do centro de

gravidade da seção transversal a sua fibra mais tracionada; Ic é o momento de

inércia da seção bruta de concreto; fct é a resistência à tração direta do concreto.

Neste caso, para determinação do momento de fissuração, deve ser usado:

3/2

ckct f21,0f (5.19)

Substituindo a expressão (5.19) em a (5.18) temos o momento de

fissuração em função da variável aleatória fck:

t

c

3/2

ck

fy

If21,0M

(5.20)

Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação

ao estado limite de formação de fissuras, pode ser considerada a combinação

freqüente de serviço ou a rara (item 11.8.3). No estudo é utilizada a combinação

rara de serviço por ser a mais apropriada para as análises, essa combinação

não considera fatores de redução para a carga móvel principal. Como segue:

qjkj1k1qgikser,d FFFF (5.21)

Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;

Fgik é o valor característico das ações permanentes; Fq1k é o valor característico

da ação variável principal direta e Ψ1 é o fator de redução de combinação

freqüente para estado limite de serviço.

Para a combinação rara de serviço e considerando as equações (5.13) e

(5.14) o momento fletor atuante segue a expressão:

sqsps MMM (5.22)

Os procedimentos seguidos para encontrar o momento devido à carga

permanente e o momento devido à carga móvel foram explicados no item 5.6.

Com os dados encontrados pode-se substituir a equação (5.17) e

encontrar a seguinte função de estado limite:

sf MM)(G X

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74

QMMMy

If21,0)(G

1sqadicsp1sp

t

c

3/2

ckX

(5.23)

5.7.2. Estado Limite de Abertura de Fissuras

Para evitar que surjam problemas relativos à funcionalidade e à

durabilidade das estruturas, as fissuras não devem se apresentar com aberturas

muito grandes. A corrosão das armaduras pode também ser evitada através da

limitação da abertura de fissuras, já que armaduras excessivas facilitam a

penetração do meio externo para o interior da massa de concreto e, também,

das armaduras, podendo conduzir ao colapso da estrutura.

O estado limite de formação de fissuras é caracterizado pela situação em

que as fissuras se apresentam com aberturas características (wk) iguais aos

máximos especificados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2. Abertura máxima das fissuras (wk), para combinação freqüente, em

função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2003).

Classe de agressividade

Abertura máxima das fissuras

características (wk)

Combinação de ações em serviço a

utilizar

I wk ≤ 0,4 mm Combinação freqüente

II wk ≤ 0,3 mm Combinação freqüente

III wk ≤ 0,3 mm Combinação freqüente

IV wk ≤ 0,2 mm Combinação freqüente

Conforme a NBR6118:2003, a agressividade ambiental pode ser avaliada,

simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas

partes; a agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e

químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das

ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração

hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto. Na

Tabela 5.3 são apresentadas as classes de agressividade ambiental segundo a

NBR6118:2003.

Tabela 5.3. Classes de agressividade ambiental

Classe de agressividade

ambiental Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de

projeto

Risco de deterioração da

estrutura

I Fraca Rural

Insignificante Submersa

II Moderada Urbana 1), 2)

Pequeno

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75

III Forte Marinha 1)

Grande Industrial

1), 2)

IV Muito forte Industrial

1), 3)

Elevado Respingos de maré

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comercias ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões donde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

Verifica-se se a abertura máxima de fissura (wk) é maior do que a abertura

de fissura (w), como indicado na seguinte expressão:

wwk (5.24)

A resistência à compressão do concreto (fck), o módulo de elasticidade do

aço (Es), o peso específico do concreto (), a carga móvel e (Q) e o fator de

impacto (φ) são consideradas como variáveis aleatórias. Os modelos

probabilísticos dessas variáveis foram descritos no item 5.3.

A função de estado limite para obter a probabilidade de falha de uma ponte

ferroviária em concreto armado dentro do cenário de abertura de fissuras é:

),Q,,,Ew(f)=w,Q,,,EG(f sckksck (5.25)

Os valores de wk estão na Tabela 5.2. Para encontrar os valores de w a

NBR618:2003 propõe a seguintes expressões:

m,cts

2

s

1fE5,12

3w

(5.26)

45

4

E5,12w

rs

2 (5.27)

Onde: φ é o diâmetro da barra utilizada na armadura de tração; η é o

coeficiente de conformação superficial, η = 1 para barras lisas (CA-25), η = 1.4

para barras entalhadas (CA-60) e η = 2.25 para barras de alta aderência (CA-

50); σs é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada,

calculada no estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e

despreza a resistência à tração do concreto); Es é o módulo de elasticidade do

aço; ρr é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da

região de envolvimento (Acri) e fct,m é a resistência média do concreto a tração.

A seguir é explicada a metodologia para o cálculo das diferentes variáveis

envolvidas no cálculo da abertura de fissuras.

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76

Resistência a tração media do concreto (fct,m):

f3,0=f 3/2

ckct,m (5.28)

Tensão da armadura de tração calculada no Estádio II

Módulo de elasticidade secante do concreto

f4760=E 2/1

ckcs (5.29)

Relação entre os módulos de elasticidade

cs

s

eE

E= (5.30)

Posição da linha neutra XII

o Caso 1 XII ≤ hf

) (d-X-d')=A (XA'X2

bIIeSIIeS

2

IIf (5.31)

0dA'dA'XAA'X2

beSeSIIeSeS

2

IIf (5.32)

f

eSeSf2

eSeSeSeS2

IIb

dA'dA'2

b4AA'AA'

X

(5.33)

o Caso 2 XII > hf

) (d-X-d')=A (XA'hX2

)bb(X

2

bIIeSIIeS

2

fIIwf2

IIf

(5.34)

0dA'dA'h2

)bb(

XAA'h)bb(X2

b

eSeS

2

fwf

IIeSeSfwf

2

IIw

(5.35)

w

eSeS

2

fwfw2

eSeSfwf

w

eSeSfwf2

II

b

dA'dA'h2

)bb(

2

b4AA'h)bb(

b

AA'h)bb(X

(5.36)

Momento de inércia no Estádio II puro III

o Caso 1 XII ≤ hf

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77

2

IIeS

2

IIeS

3

IIf

II -d') (XA') (d-XAX3

bI

(5.37)

o Caso 2 XII > hf

2

IIeS

2

IIeS

3

fIIwf3

IIf

II -d') (XA') (d-XAhX2

)bb(X

3

bI

(5.38)

Momento equivalente segundo a Fórmula de Brandson

cII

3

s

f

c

3

s

f

e IIM

M1I

M

MI

(5.39)

Mf é o momento de fissuração, ver equação (5.20), e Ms é o momento

solicitante, considerando a combinação freqüente de serviço.

Segundo a NBR6118:2003, para a verificação da segurança com relação

ao estado limite de abertura de fissuras é considerada a combinação

freqüente de serviço (item 11.8.3). Como segue:

qjkj2k1q1gikser,d FFFF (5.40)

Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; Fgik é o

valor característico das ações permanentes; Fq1k é o valor característico da

ação variável principal direta, Ψ1 é o fator de redução de combinação

freqüente para estado limite de serviço e Ψ2 é o fator de redução de

combinação quase permanente para estado limite de serviço. O valor de Ψ1

é 0.4, então a combinação freqüente considerando os momentos

solicitantes devido a carga permanente e móvel segundo as equações

(5.13) e (5.14) respectivamente é:

QM4,0MMM1sqadicsp1sps

(5.41)

Tensão da armadura de tração

sss E

ecs

sIIs

IE

M

r

1

r

Xd

ecs

IIsss

IE

XdME

(5.42)

Em função das variáveis aleatórias a equação (5.42) fica:

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78

ecs

II1sqadicsp1sp

ssIE

XdQM4,0MME

(5.43)

Área do concreto de envolvimento

Taxa de armadura de tração

cri

s

rA

A (5.44)

Para o cálculo da área do concreto de envolvimento Acri a NBR6118:2003,

no seu item 17.3.3.2, diz que para cada elemento ou grupo de elementos das

armaduras passiva e ativa aderente, que controlam a fissuração do elemento

estrutural, deve ser considerada uma área do concreto de envolvimento,

constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7Ф do contorno do

elemento da armadura , como indicado na Figura 5.7.

Figura 5.7. Concreto de envolvimento da armadura (fonte NBR6118:2003)

Com os dados encontrados podem-se substituir as equações (5.26) e

(5.27) para determinar as aberturas de fissuras:

m,cts

2

ecs

II1sqadicsp1sp

s

1fE

IE

XdQM4,0MME

5,12

3w

(5.45)

45

A

A4

IE

XdQM4,0MM

5,12w

s

cri

ecs

II1sqadicsp1sp

2 (5.46)

Substituindo os valores de w1 e w2 na equação (5.19), obtemos a seguinte

função de estado limite:

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79

211k wwseww)X(G (5.47)

m,ct

2

ecs

2

II1sqadicsp1sp

kfIE

XdQM4,0MM

5,12

3w)X(G

212k wwseww)X(G (5.48)

45

A

A4

IE

XdQM4,0MM

5,12w)X(G

s

cri

ecs

II1sqadicsp1sp

k

5.8. Rotinas Implementadas para Análise de Confiabilidade Associadas ao Estado Limite de Ruptura

Dados de entrada:

a. Para os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias (fck, fyk, Es, , Q e

φ) são considerados os seguintes dados (ver item 5.3):

Vetor contendo o tipo de distribuição de probabilidade adotada para

cada variável aleatória, (1 para distribuição Normal, 2 para Lognormal e

3 para Tipo 1), valores médios, coeficientes de variação e ponto inicial

de cada variável.

Matriz contendo os coeficientes de correlação existente entre as

variáveis aleatórias

b. Valores das variáveis consideradas como determinísticas.

Propriedades geométricas da seção de concreto armado

Largura da viga (bw)

Largura efetiva (bf)

Altura da viga (h)

Altura útil da viga (d e d’)

Área de armadura de tração e compressão (As, A’s)

Armadura de pele

Propriedades dos materiais

Peso específico do concreto ()

Carregamento do trem tipo (Q)

Coeficiente de Impacto (φ)

c. Ponto inicial que contém os dados da média e desvio padrão de cada

variável

Determinação das envoltórias de esforços

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As envoltórias de esforços são obtidas com ajuda do programa de análise

estrutural SAP2000. A ponte é modelada e os carregamentos permanente e

móvel são considerados, como explicado no item 5.6. As variáveis aleatórias

envolvidas no cálculo dos momentos solicitantes (, Q e φ) são consideradas

como unitárias para a determinação dos esforços da estrutura. Da análise são

obtidos os valores do momento fletor para carga permanente unitária (Mps1) e

para carga móvel unitária (Mqs1) os quais são utilizados para obter os momentos

solicitantes em função das variáveis aleatórias e determinar assim a função de

estado limite (equações 5.13 e 5.14).

Definição das opções de análise de confiabilidade da ponte

São duas as opções para a análise de confiabilidade as quais dependem

se a armadura de pele é considerada ou não.

1. Quando a armadura de pele é considerada, é usado o método de simulação

de Monte Carlo para encontrar a probabilidade de falha Pf. Dentro do

programa que faz esta análise de confiabilidade. O momento resistente é

calculado utilizando uma rotina iterativa, desenvolvida pelo Núcleo de

Instrumentação e Computação Aplicado à Engenharia (NiCAE) da

Universidade Federal do Pará (UFPA) para análise de seções de concreto

armado. No método de Monte Carlo é gerado um vetor de números

aleatórios segundo o tipo de distribuição adotada, os valores destas variáveis

são dados de entrada da rotina iterativa para calcular o momento resistente

mediante um processo iterativo. Para cada valor gerado das variáveis

aleatórias é encontrado um valor para o momento resistente Mrd e para os

momentos solicitantes (Msp e Msq), com esses valores é avaliada a função de

estado limite G(X) (equação 5.15), para finalmente encontrar a probabilidade

de falha da estrutura. A vantagem da análise mediante o método de

simulação de Monte Carlo é que pode ser utilizada uma função de estado

limite implícita para encontrar o valor do momento resistente o que não pode

ser feito no FORM pela necessidade de avaliar o gradiente da função G(X). A

desvantagem é que precisa de um numero grande de simulações para

encontrar resultados mais precisos o que demanda maior tempo e esforço

computacional.

2. Se a armadura de pele não é considerada é utilizado o método de primeira

ordem FORM para a análise de confiabilidade da ponte. Esse método foi

explicado amplamente no Capítulo 4. É feita uma rotina desenvolvida no

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81

MATLAB seguindo a metodologia do FORM. Como dados de entrada são

necessários os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias e os dados

considerados como determinísticos descritos anteriormente. Dentro da

análise é encontrada uma equação para o momento resistente em função

das variáveis aleatórias como exposto no item 5.5 e é encontrada uma

função de estado limite G(X) (equação 5.15). Essa função é avaliada para

encontrar, mediante um processo iterativo, o valor do índice de confiabilidade

β com o qual se determina a probabilidade de falha Pf. A metodologia do

FORM não permite trabalhar com uma função implícita para o momento

resistente porque necessita avaliar analiticamente o gradiente da função, por

tanto è desconsiderada a armadura de pele para facilitar a obtenção dessa

função. Frente a essa desvantagem o FORM apresenta a vantagem de exigir

um número menor de iterações para a obtenção dos resultados o que resulta

em menos tempo de análise, além de também permitir uma análise de

sensibilidade a partir dos fatores de importância das variáveis aleatórias

obtidos como resultado da aplicação do método.

Dados de saída

Segundo as duas opções de cálculo descritas os dados de saída para

cada uma delas são:

1. Da simulação de Monte Carlo é obtida a probabilidade de falha Pf da

estrutura.

2. Do FORM são obtidos o índice de confiabilidade β, a probabilidade de falha

Pf, e o fator de importância para cada variável aleatória.

A seguir é apresentado num fluxograma um resumo da obtenção das

rotinas para a análise de confiabilidade.

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82

Figura 5.8. Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas.

Cálculo momento resistente Mrd

(equação 5.11)

Método de primeira ordem FORM

Método de Simulação de Monte Carlo

Determinação das envoltórias de esforços no

Sap2000 (Msp1 e Msq1)

Modelos probabilísticos das variáveis aleatórias

Valores das variáveis determinísticas

Ponto Inicial

Considera Armadura de

pele

S N Cálculo momento resistente Mrd

rotina iterativa de Matlab

Método de primeira ordem FORM

Método de Simulação de Monte Carlo

Probabilidade de falha Pf

Simulação de Monte Carlo

Geração de vetores contendo as amostras das variáveis aleatórias.

Determinação dos momentos solicitantes Msp e Msq

Avaliar a função de estado limite sqsprd MMMXG )(

Coeficiente de confiabilidade β

Probabilidade de falha Pf

Fator de importância das variáveis

aleatórias

Método de primeira ordem FORM

Determinação dos momentos solicitantes Msp e Msq

Avaliar a função de estado limite sqsprd MMMXG )(

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6 Estudo de Caso

6.1. Descrição Geral da Ponte

É analisada a Ponte sobre o rio Vermelho, que está situada no Km

763+800 da Estrada de Ferro dos Carajás. É uma ponte de concreto armado

com extensão total de 208,6 metros, constituída por sete vãos de 25 metros

cada. A figura 6.1 apresenta uma fotografia de uma vista geral desta obra.

Figura 6.1. Vista geral da ponte sobre o Rio Vermelho (fonte: Relatório Técnico,

Veloso et al 2007).

A superestrutura da ponte é constituída de duas vigas principais

(longarinas), vigas secundarias (transversinas) e o tabuleiro. As longarinas e os

tabuleiros formam dois trechos contínuos, sendo um de quatro vãos e outro de

três vãos, que são separados por uma junta de dilatação situada sobre o pilar P4

(ver Figura 6.2). Em ambos os trechos, as longarinas são vigas contínuas

engastadas em suas extremidades nos encontros da ponte e apoiadas sobre

pilares por meio de almofadas de neoprene fretado. O tabuleiro possui largura

total de 5,85 metros. A mesoestrutura é constituída por seis pilares de seção

retangular com lados de 1,20 e 2,80 metros, com altura variável.

Para permitir a junta de dilatação, a seção transversal do pilar P4 sofre

alargamento em sua extremidade superior para receber os aparelhos de apoio

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84

das longarinas. Os encontros e os pilares P3, P4, P5 e P6 possuem fundações

tipo tubulão de concreto armado, com 1,40 metros de diâmetro de fuste. No caso

dos pilares P1 e P2, as fundações desses elementos são do tipo bloco em

concreto armado, diretamente apoiados na superfície do terreno. Os encontros

são estruturas multicelulares formadas por paredes, laje superior, cortina alas e

placa de transição de concreto armado. Os taludes dos aterros junto aos

encontros são protegidos por vegetação rasteira e de pequeno porte.

Figura 6.2. Sistema estrutural da ponte (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).

A seção transversal da ponte é mostrada da Figura 6.3.

Figura 6.3. Seção π da ponte sobre o Rio Vermelho (a) largura da longarina 35

cm. (b) Largura da longarina 70 cm. (fonte: Relatório Técnico, Veloso et al 2007).

6.2. Análise de Confiabilidade da Ponte

Conforme citado nos capítulos anteriores, tem-se o interesse em avaliar a

confiabilidade das vigas principais da ponte à flexão simples.

Essa análise é feita para as seções resistentes consideradas no projeto da

ponte. Estas seções estão identificadas na Tabela 6.1.

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85

Tabela 6.1. Seções consideradas na análise

Seção S16 S31 S37 S65

Localização Meio do vão

P1 - P2 Sobre o pilar P3

A 15m. do pilar P3, vão P3 - P4

A 10m. do pilar P6, vão P6 - E2

Como foi explicado no Capítulo 5, a função de estado limite para o Estado

Limite Último, na flexão simples, da ponte é:

QMMM`)dd(

xd

'dxE'A)x4,0d(fxb68,0)(G

1sqadicsp1spssscdfX

A caracterização das seis variáveis aleatórias consideradas no problema

(ver item 5.3) está apresentada na Tabela 6.2.

Tabela 6.2. Dados probabilísticos das variáveis aleatórias

Variável Aleatória

Valor Característico

Média Coeficiente de

Variação % Distribuição

fck (KN/m2) 18000 23280,628 15 Lognormal

fyk (KN/m2) 500000 562511,176 7 Lognormal

Es (KN/m2) 210000000 248805736,082 10 Lognormal

(KN/m3) 25 25 8 Normal

Q (KN) 325 308,623 15 Tipo1

φ 1,356 1,269 13 Normal

Para cada seção é estabelecida uma função de estado limite a partir dos

dados conhecidos relativos às dimensões, à área, ao momento de inércia e às

armaduras de compressão e tração (ver Tabelas 6.3 e 6.4).

Tabela 6.3. Dados de área e momento de inércia para as seções estudadas

Seção Área (m2) Inércia (m

4)

S16 3,648 4,050

S31 5,783 6,329

S37 3,648 4,050

S65 3,648 4,050

Tabela 6.4. Armaduras de tração e compressão para cada seção

Seção As

(cm2)

Número de barras

A’s (cm

2)

Número de barras

S16 101,34 20 φ 25 50,67 10 φ 25

S31 50,67 10 φ 25 121,61 24 φ 25

S37 121,61 24 φ 25 50,67 10 φ 25

S65 101,34 20 φ 25 60,80 12 φ 25

Com esses dados pode-se calcular os momentos resistentes e solicitantes

como foi descrito no Capítulo 5 e encontrar assim as seguintes funções de

estado limite para cada seção:

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86

Q824,7)5244,6178920,44()'dd('R)x4,0d(RS

Q627,12)5215,13103570,98()'dd('R)x4,0d(RS

Q201,16)6493,19258511,148(`)'dd('R)x4,0d(RS

Q799,9)7296,6998349,49()'dd('R)x4,0d(RS

6565sd6565cd65

3737sd3737cd37

3131sd3131cd31

1616sd1616cd16

6565

3737

3131

1616

6.2.1. Análise com Seis Variáveis Aleatórias

Numa primeira fase de análise são consideradas as seis variáveis

aleatórias descritas anteriormente e desconsiderada a armadura de pele.

Quando a sistemática de avaliação da probabilidade de falha emprega a

simulação de Monte Carlo, as análises exigem um número de simulações maior,

e como conseqüência, um esforço computacional maior.

Tabela 6.5. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte

Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias sem considerar armadura de pele.

Seção Variável Aleatória

Monte Carlo FORM

K Pf Iterações β Pf 2

S16

fck

5,0E+04 1,40E-04 5 3,622 1,46E-04

9,38E-05

fyk 1,04E-01

Es 2,89E-07

2,22E-03

Q 7,25E-01

φ 1,68E-01

S31

fck

5,0E+03 3,21E-01 3 0,458 3,24E-01

1,86E-04

fyk 2,84E-01

Es 3,41E-04

3,64E-02

Q 3,91E-01

φ 2,88E-01

S37

fck

1,0E+04 3,20E-01 5 2,712 3,34E-03

1,85E-04

fyk 1,51E-01

Es 9,89E-07

8,66E-03

Q 6,52E-01

φ 1,89E-01

S65

fck

5,0E+06 2,40E-06 5 4,563 2,52E-06

7,82E-05

fyk 9,90E-02

Es 3,12E-07

1,77E-03

Q 7,44E-01

φ 1,55E-01

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87

A Tabela 6.5 ilustra os valores da probabilidade de falha associados às

seções das vigas da ponte do Rio Vermelho, empregando os métodos de Monte

Carlo e o FORM. Observando a Tabela 6.6 é possível identificar que os

resultados obtidos pelos dois métodos têm diferenças muito baixas.

Tabela 6.6 Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a

simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 6 variáveis aleatórias.

Pf_MC Pf_FORM Diferença %

1,40E-04 1,46E-04 -4,2

3,21E-01 3,24E-01 -0,9

3,20E-03 3,34E-03 -4,3

2,40E-06 2,52E-06 -4,9

A seguir, a mesma análise é feita considerando a armadura de pele. Na

avaliação da probabilidade de falha empregando a simulação de Monte Carlo a

inclusão da armadura de pele não interfere em nada no processo de cálculo.

Porém o mesmo não acontece na sistemática de avaliação que usa o FORM.

Para avaliar a probabilidade de falha via o FORM a introdução da armadura de

pele não permite uma equação genérica da função de estado limite e

consequentemente não permite que o gradiente da função seja avaliado

analiticamente. Para controlar esse problema admite-se que a área de aço

referente à armadura de pele seja incorporada à armadura principal.

Os resultados obtidos pelos dois métodos são apresentados na Tabela 6.7,

As diferenças entre os métodos continuam sendo muito pequenas como pode

ser visto na Tabela 6.8. Pode-se verificar também que a consideração da

armadura de pele reduz bastante a probabilidade de falha, de tal maneira que a

mesma não pode ser negligenciada.

Ao observar os fatores de importância (2) nas Tabelas 6.5 e 6.7 pode-se

observar que a variável que tem maior influência na probabilidade de falha é a

carga móvel, seguida do coeficiente de impacto, já as variáveis aleatórias fck e Es

têm fatores de importância muito baixos e pouco afetam a avaliação da

probabilidade de falha, por isso prossegue-se as análises considerando as

mesmas determinísticas.

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Tabela 6.7. Probabilidade de falha segundo os métodos: simulação de Monte

Carlo e FORM para seis variáveis aleatórias com armadura de pele

Seção Variável Aleatória

Monte Carlo FORM

K Pf Iterações β Pf 2

S16

fck

5,0E+05 2,00E-05 5 4,059 2,47E-05

9,71E-05

fyk 9,89E-02

Es 4,68E-07

1,77E-03

Q 7,38E-01

φ 1,61E-01

S31

fck

1,0E+04 1,20E-03 5 3,040 1,18E-03

5,31E-06

fyk 1,48E-01

Es 2,73E-04

9,96E-03

Q 6,65E-01

φ 1,76E-01

S37

fck

2,0E+04 7,00E-04 5 3,157 7,97E-04

1,78E-04

fyk 1,35E-01

Es 1,33E-06

6,71E-03

Q 6,83E-01

φ 1,75E-01

S65

fck

3,0E+07 2,00E+07 6 4,959 3,54E-07

8,18E-05

fyk 9,68E-02

Es 4,98E-07

1,48E-03

Q 7,49E-01

φ 1,53E-01

Tabela 6.8. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a

simulação de Monte Carlo e o FORM com armadura de pele para 6 variáveis aleatórias.

Pf_MC Pf_FORM Diferença %

2,00E-05 2,47E-05 -18,9

1,20E-03 1,18E-03 1,5

7,60E-04 7,97E-04 -12,2

2,00E+07 3,54E-07 -43,5

6.2.2. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias

Tomando como variáveis aleatórias fyk, , Q e φ empregando o método de

Monte Carlo e o FORM, são avaliadas as probabilidades de falha apresentadas

na Tabela 6.9, sem armadura de pele e na Tabela 6.11 já considerando a

armadura de pele. Pode-se notar que as diferenças entre os resultados da

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probabilidade de falha para os dois métodos são baixas (Tabelas 6.10 e 6.12), o

que motiva a utilização só do FORM para calcular a probabilidade de falha, já

que o FORM oferece resultados de qualidade da probabilidade de falha em

pouco tempo, além de permitir calcular o coeficiente de confiabilidade e o fator

de importância para análise de sensibilidade.

Tabela 6.9. Probabilidade de falha para os métodos: simulação de Monte Carlo e

FORM para quatro variáveis aleatórias sem armadura de pele.

Seção Variável Aleatória

Monte Carlo FORM

K Pf Iterações β Pf 2

S16

fyk

5,0E+04 1,60E-04 5 3,604 1,57E-04

0,1040

0,0022

Q 0,7252

φ 0,1686

S31 fyk

5,0E+03 3,30E-01 3 0,403 3,44E-01

0,2846

0,0372

Q 0,3870

φ 0,2913

S37

fyk

1,0E+04 3,60E-04 5 2,686 3,62E-03

0,1508

0,0088

Q 0,6507

φ 0,1897

S65

fyk

5,0E+06 2,73E-0.3 6 4,546 2,73E-07

0,0985

0,0018

Q 0,7441

φ 0,1556

Tabela 6.10. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a

simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias.

Pf_MC Pf_FORM Diferença %

1,60E-04 1,57E-04 2,0

3,30E-01 3,44E-01 -4,0

3,60E-03 3,62E-03 -0,5

2,80E-06 2,73E-06 2,4

Dos resultados obtidos no FORM, para a análise com quatro variáveis,

verifica-se que a variável aleatória mais importante continua sendo a carga

móvel Q, e os resultados do índice de confiabilidade e da probabilidade de falha

quando comparadas com os obtidos na análise de seis variáveis aleatórias

apresentam pequenas diferenças, como indicado na Tabela 6.13. Os resultados

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indicam que é possível simplificar a análise considerando só quatro variáveis

aleatórias e manter a qualidade nos resultados.

Tabela 6.11. Resultado da probabilidade de falha para os métodos: simulação de

Monte Carlo e FORM para quatro variáveis aleatórias com armadura de pele

Seção Variável Aleatória

Monte Carlo FORM

K Pf Iterações β Pf 2

S16

fyk

5,0E+05 2,00E-05 5 4,040 2,67E-05

0,1040

0,0022

Q 0,7252

φ 0,1686

S31 fyk

1,0E+04 1,30E-03 5 3,010 1,31E-03

0,2846

0,0372

Q 0,3870

φ 0,2913

S37

fyk

2,0E+04 8,50E-04 5 3,131 8,72E-04

0,1508

0,0088

Q 0,6507

φ 0,1897

S65

fyk

3,0E+07 2,0E-07 5 4,942 3,87E-07

0,0985

0,0018

Q 0,7441

φ 0,1556

Tabela 6.12. Comparação das probabilidades de falha calculadas segundo a

simulação de Monte Carlo e o FORM sem armadura de pele para 4 variáveis aleatórias

Pf_MC Pf_FORM Diferença %

2,00E-05 2,67E-05 -25,2

1,30E-03 1,31E-03 -0,6

8,50E-04 8,72E-04 -2,5

2,00E-07 3,87E-07 -38,3

Tabela 6.13. Comparação entre as análises feitas com o FORM para seis e quatro

variáveis aleatórias

Seção 6 VA. 4 VA. Diferença %

β Pf β Pf β Pf

S16 4,059 2,47E-05 4,040 2,67E-05 0,47 -7,78

S31 3,040 1,18E-03 3,010 1,31E-03 1,02 -9,62

S37 3,157 7,97E-04 3,131 8,72E-04 0,84 -8,55

S65 4,959 3,54E-07 4,942 3,87E-07 0,35 -8,57

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91

As figuras 6.4 e 6.5 mostram a comparação da análise com seis variáveis

aleatórias e com quatro variáveis aleatórias para o índice de confiabilidade e

para a probabilidade de falha respectivamente.

Figura 6.4. Comparação do índice de confiabilidade obtido pelo FORM para 6 e 4

variáveis aleatórias.

Figura 6.5. Comparação da probabilidade de falha obtida pelo FORM para 6 e 4

variáveis aleatórias.

Uma vez que o processo para avaliar a probabilidade de falha é iterativo, o

mesmo exige que o momento resistente seja avaliado algumas vezes o que

demanda uma rotina bem elaborada conforme comentado no Capítulo 5.

A fim de simplificar essa sistemática, admite-se o momento resistente Mr

como uma variável aleatória lognormal com valor médio obtido a partir dos

valores médios de fyk e que simplifica em muito a expressão para a função de

0

2

4

6

16 31 37 65

β

Seção

Índice de confiabilidade

β 4 VA

β 6 VA

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03

16

31

37

65

Pf

Seçã

o

Probabilidade de Falha

β 6VA

β 4VA

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estado limite e permite uma avaliação simplificada da Pf. As funções de estado

limite para esse caso são:

Q824,7)5244,6178920,44(MrS

Q627,12)5215,13103570,98(MrS

Q201,16)6493,19258511,148(MrS

Q799,9)7296,6998349,49(MrS

6565

3737

3131

1616

As características das variáveis aleatórias consideradas nesta análise

estão na seguinte Tabela:

Tabela 6.14. Valores característicos e valores médios das variáveis aleatórias

Variável Distribuição V médio COV

Mr16 Lognormal 18045,000 0,07

Mr31 Lognormal 28085,483 0,07

Mr37 Lognormal 21288,211 0,07

Mr65 Lognormal 17925,628 0,07

Υ Normal 25 0,08

Q Tipo1 308,623 0,15

φ Normal 1,269 0,13

Tabela 6.15. Resultados do método FORM para quatro variáveis aleatórias

Seção Variável Aleatória

FORM

Iterações β Pf 2

S16

Mr

5 4,037 2,71E-05

0,1023

0,0044

Q 0,7327

φ 0,1606

S31

Mr

5 2,996 1,37E-03

0,1598

0,0234

Q 0,6425

φ 0,1742

S37

Mr

5 3,121 9,02E-04

0,1418

0,0161

Q 0,6682

φ 0,1739

S65

Mr

6 4,937 3,96E-07

0,0998

0,0036

Q 0,7443

φ 0,1523

Os valores obtidos para a probabilidade de falha, e para o índice de

confiabilidade, são muito próximos aos obtidos com a primeira análise com

quatro variáveis, conforme pode ser visto nas Tabelas 6.15 e 6.16. Portanto é

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possível se obter resultados confiáveis simplificando a análise para 4 variáveis

aleatórias, onde o Mr é uma delas, e só é avaliado uma vez.

Tabela 6.16. Comparação entre as análises feitas com o FORM para quatro

variáveis aleatórias.

4 VA "fyk, , Q, φ " 4 VA "Mr, , Q, φ " Diferença %

β Pf β Pf β Pf

4,040 2,67E-05 4,037 2,71E-05 -0,07 -1,23

3,010 1,31E-03 2,996 1,37E-03 -0,45 -4,36

3,131 8,72E-04 3,121 9,02E-04 -0,33 -3,41

4,942 3,87E-07 4,937 3,96E-07 -0,09 -2,32

6.2.3. Análise com Três Variáveis Aleatórias

É realizada uma análise com apenas 3 variáveis aleatórias visando facilitar

ainda mais a determinação da confiabilidade para longarinas na flexão simples,

de tal forma que essa abordagem possa ser rapidamente verificada pelo

engenheiro em qualquer etapa do projeto e por qualquer ferramenta

computacional matemática. São consideradas como variáveis aleatórias os

valores dos momentos resistente (Mr) e solicitantes por carga permanente Mp e

carga móvel Mq. Para esta análise as funções de estado limite são:

65656565

37373737

31313131

16161616

MqMpMrS

MqMpMrS

MqMpMrS

MqMpMrS

Na Tabela 6.17 estão os resultados para cada seção.

Tabela 6.17. Resultado do método FORM para três variáveis aleatórias

Seção

Variável Aleatória

FORM

Iterações β Pf 2

S16

Mr

5 4,204 1,31E-05

0,122

Mp 0,005

Mq 0,873

S31

Mr

5 3,064 1,09E-03

0,187

Mp 0,028

Mq 0,785

S37

Mr

5 3,203 6,80E-04

0,166

Mp 0,019

Mq 0,815

S65

Mr

5 5,190 1,05E-07

0,122

Mp 0,005

Mq 0,874

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Fazendo uma comparação entre as análises com seis variáveis e com três

variáveis temos que as diferenças entre os coeficientes de variação são muito

pequenas. Também verifica-se que, uma vez que os níveis de probabilidade de

falha são muito baixos, a diferença relativa entre a probabilidade de falha

avaliada com 3 ou com 6 variáveis aleatórias é grande (seção 16 e 65). Para

níveis de probabilidade de falha mais altos (da ordem de 10-3) essa diferença

relativa entre as análises não é representativa, ver Tabela 6.18.

Tabela 6.18 Comparação entre as análises com três e seis variáveis aleatórias.

Seção 3 VA. 6 VA. Diferença %

β Pf β Pf β Pf

S16 4,204 1,31E-05 4,059 2,47E-05 3.,59 -46,93

S31 3,064 1,09E-03 3,040 1,18E-03 0,80 -7,75

S37 3,203 6,80E-04 3,157 7,97E-04 1,46 -14,67

S65 5,190 1,05E-07 4,959 3,54E-07 4,66 -70,34

A Figura 6.6 apresenta a comparação entre as análises feitas com seis,

quatro e três variáveis aleatórias, com os dados das Tabelas 6.13 e 6.18.

Figura 6.6. Comparação da probabilidade de falha para as análises feitas com

seis, quatro e três variáveis aleatórias.

6.2.4. Influência do Coeficiente de Variação (COV) da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha

Como foi descrito nas análises anteriores a variável que mais impacta a

probabilidade de falha é a carga móvel, portanto é realizado um estudo da

sensibilidade da probabilidade de falha em função do coeficiente de variação da

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03

16

31

37

65

Pf

Seçã

o

Probabilidade de Falha

3 VA

6 VA

4 VA

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95

carga móvel. Foram consideradas quatro variáveis aleatórias (fyk, , Q, φ) os

valores médios e distribuições de probabilidade dessas variáveis são descritos

na Tabela 6.2.

São escolhidos quatro valores de COV para a carga móvel, 5%, 10%, 15%

e 25%, e para esses são avaliados o índice de confiabilidade e a probabilidade

de falha, apresentados na tabela a seguir

Tabela 6.19. Análise de sensibilidade da probabilidade de falha em função do

COV da carga móvel Q.

Seção COVQ β Pf 2

S16

0,05 5,817 3,00E-09 0,4644

0,10 4,701 1,30E-06 0,6601

0,15 4,040 2,67E-05 0,7382

0,25 3,278 5,23E-04 0,8137

S31

0,05 3,998 3,20E-05 0,2192

0,10 3,442 2,89E-04 0,5372

0,15 3,00 1,31E-03 0,6635

0,25 2,469 6,77E-03 0,7763

S37

0,05 4,245 1,09E-05 0,2656

0,10 3,598 1,60E-04 0,5672

0,15 3,131 8,72E-04 0,6822

0,25 2,559 5,24E-03 0,7864

S65

0,05 7,193 3,16E-13 0,5275

0,10 5,754 4,36E-09 0,6830

0,15 4,942 3,87E-07 0,7491

0,25 4,018 2,93E-05 0,8151

Da Tabela 6.19 pode-se concluir que a medida que aumenta o COV da

carga móvel Q diminui o índice de confiabilidade e a probabilidade de falha

aumenta. Quando o COV da carga móvel aumenta, aumenta a área de

interseção entre as distribuições e consequentemente aumenta a probabilidade

de falha.

A Figura 6.7 mostra o índice de confiabilidade para cada seção onde pode-

se observar melhor o comportamento da variação do COV da variável aleatória

em questão.

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96

Figura 6.7. Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga

móvel Q.

Figura 6.8. Variação do fator de importância em função do COV de Q.

O coeficiente de variação também tem influência no fator de importância

da carga móvel, Q. Na Figura seguinte pode-se observar que a medida que

aumenta o coeficiente de variação aumenta o fator de importância, já que as

variações nos parâmetros da variável aleatória mais importante dentro da

análise, estão diretamente relacionados com as variações no seu fator de

importância. Para cada incremento do coeficiente de variação os valores médios

são mantidos iguais e os valores do desvio padrão aumentam, gerando uma

diminuição nos parâmetros da distribuição Tipo1, e finalmente maiores valores

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

β

Coeficiente de variação de Q (%)

Índice de confiabilidade

S16 S31 S37 S65

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

α2

Coeficiente de variação de Q (%)

Fator de importância α2

S16 S31 S37 S65

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97

da variável dentro da função de estado limite e portanto fatores de importância

mais altos.

6.2.5. Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha

É considerado um incremento na carga móvel aumentando a mesma em

25%, 50% e 100%, para verificar a influência da variável na variação da

probabilidade de falha. As variáveis aleatórias consideradas na análise são: fyk, ,

Q, φ. Os valores médios e coeficientes de variação de cada variável são

descritos na Tabela 6.2 e na Tabela 6.20. Os resultados para esta análise são

apresentados nas tabelas a seguir.

Tabela 6.20. Valores característicos e valores médios da carga móvel Q

Variável V característico V médio

Q 325,000 308,623

Q + 25% 406,250 385,778

Q + 50% 487,500 462,934

Q + 100% 650,000 617,245

Tabela 6.21. Resultado do FORM para quatro variáveis aleatórias com carga

móvel Q aumentada 25% 50% e 100%

Seção Aumento Q β Pf 2

S16

25% 3,197 6,95E-04 0,7166

50% 2,484 6,50E-03 0,6805

100% 1,267 1,02E-01 0,5760

S31

25% 2,143 1,61E-02 0,6100

50% 1,386 8,29E-02 0,5436

100% 0,095 4,62E-01 0,4222

S37

25% 2,265 1,18E-02 0,6328

50% 1,509 6,56E-02 0,5681

100% 0,216 4,14E-01 0,4425

S65

25% 4,105 2,03E-05 0,7425

50% 3,417 3,17E-04 0,7276

100% 2,289 1,10E-02 0,6710

Das análises, observa-se que a medida que aumenta a carga móvel a

probabilidade de falha aumenta. Quando a carga móvel é aumentada 100% o

índice de confiabilidade para a seção 16 diminui 70% do índice de confiabilidade

com a carga inicial, para a seção 31 diminui 97% para a seção 37, 93% e para a

seção 65 diminui 54%.

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O JCSS propõe um valor para o índice de confiabilidade de referência βT

para um período de referência de um ano e para o estado limite último, que

foram descritos no Capitulo 4. (item 4.6). Para o caso de pontes admite-se βT

igual a 4,4 (Pf ≈ 5*10-6). A comparação dos resultados obtidos para o índice de

confiabilidade segundo o FORM com o índice de confiabilidade de referência,

permite evidenciar que as seções não atendem o limite proposto. Isso quer dizer

que as seções têm uma probabilidade de falha superior à estipulada no

regulamento.

Figura 6.9. Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q

Figura 6.10. Comparação da probabilidade de falha em função da variação de Q

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

β

Q/Qatual

Índice de confiabilidade Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65 βT

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

Pf

Q/Qatual

Probabilidade de falha

Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65

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99

Figura 6.11. Fator de importância em função da variação da carga móvel Q.

A Figura 6.11 permite evidenciar que a medida que a carga móvel é

acrescentada o fator de importância da variável diminui, para cada incremento

da carga móvel os valores médios da variável aumentam e os valores do

coeficiente de variação são mantidos iguais, por tanto a medida que aumenta a

carga móvel o desvio padrão aumenta o que gera um incremento nos

parâmetros da distribuição Tipo1, e finalmente menores valores da variável

dentro da função de estado limite e portanto fatores de importância mais baixos.

6.2.6. Análise com Quatro Variáveis Aleatórias sem Considerar Coeficientes de Segurança

Todas as análises anteriores consideraram os coeficientes de segurança

para o cálculo dos momentos envolvidos na função de estado limite. As análises

desenvolvidas neste tópico não empregam esses coeficientes e consideram

como variáveis aleatórias a resistência característica à tração do aço (fyk), o peso

específico do concreto (), a carga móvel (Q) e o coeficiente de impacto (φ), com

modelos probabilísticos descritos na Tabela 6.2.

A Tabela 6.22 apresenta os resultados obtidos da análise com as quatro

variáveis aleatórias descritas, via FORM, considerando a armadura de pele.

Pode-se observar que a variável que tem maior influência na análise é a carga

móvel (Q) e a que tem menor influência é o peso específico do concreto ().

A Tabela 6.23 apresenta uma comparação entre os resultados obtidos,

considerando e desconsiderando os coeficientes de segurança. Pode-se

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

α2

Q/Qatual

Fator de importância α2

S16 S31 S37 S65

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observar que existe uma diferença grande entre as análises o que evidencia a

influência dos coeficientes na probabilidade de falha da estrutura.

Tabela 6.22. Analises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM,

considerando a armadura de pele.

Seção Variável Aleatória

FORM

Iterações β Pf 2

S16

fyk

6 6,177 3,26E-10

0,0933

0,0007

Q 0,7550

φ 0,1510

S31

fyk

6 5,440 2,66E-08

0,1063

0,0031

Q 0,7414

φ 0,1493

S37

fyk

5 5,495 1,96E-08

0,1038

0,0022

Q 0,7444

φ 0,1497

S65

fyk

6 7,102 6,15E-13

0,0987

0,0006

Q 0,7490

φ 0,1517

Tabela 6.23. Resultados obtidos com e sem coeficientes de segurança

Seção Com coeficientes Sem coeficientes Diferença %

β Pf β Pf β Pf

S16 4,059 2,47E-05 6,177 3,26E-10 52,92 -99,99

S31 3,040 1,18E-03 5,440 2,66E-08 80,77 -99,99

S37 3,157 7,97E-04 5,495 1,96E-08 75,50 -99,99

S65 4,959 3,54E-07 7,102 6,15E-13 43,71 -99,99

Figura 6.12. Comparação da probabilidade de falha obtida com e sem coeficientes

de segurança

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03

16

31

37

65

Pf

Seçã

o

Probabilidade de Falha

Com coeficientes

Sem coeficientes

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É feita a mesma análise para quatro variáveis aleatórias, sem considerar a

armadura de pele, os resultados estão nas Tabelas 6.24 e 6.25.

Tabela 6.24. Análises para quatro variáveis aleatórias pelo método FORM,

desconsiderando a armadura de pele.

Seção Variável Aleatória

FORM

Iterações β Pf 2

S16

fyk

6 5,759 4,22E-09

0,0928

0,0008

Q 0,7552

φ 0,1512

S31

fyk

5 3,514 2,20E-04

0,1313

0,0077

Q 0,6952

φ 0,1659

S37

fyk

6 5,114 1,58E-07

0,1056

0,0025

Q 0,7413

φ 0,1506

S65

fyk

6 6,705 1,00E-11

0,0973

0,0007

Q 0,7510

φ 0,1510

Tabela 6.25. Comparação entre os dados obtidos com e sem coeficientes de

segurança, sem armadura de pele.

Seção Sem coeficientes Com coeficientes Diferença %

β Pf β Pf β Pf

S16 5,759 4,22E-09 3,604 1,57E-04 59,79 -100

S31 3,514 2,20E-04 0,403 3,44E-01 771,9 -100

S37 5,114 1,58E-07 2,686 3,62E-03 90,39 -100

S65 6,705 1,00E-11 4,546 2,73E-07 47,49 -100

6.2.7. Influência da Variação COV da Carga Móvel (Q) na Probabilidade de Falha

Como já foi observado nas análises anteriores, a carga móvel é a variável

que mais influência tem na probabilidade de falha da estrutura. Dentro do

mesmo cenário de quatro variáveis aleatórias, sem consideração dos

coeficientes de segurança, é analisada a sensibilidade da probabilidade de falha

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em função do coeficiente de variação da carga móvel. Os resultados são

apresentados na Tabela 6.26, Figuras 6.13 e 6.14. Quando o COV da carga

móvel aumenta o índice de confiabilidade diminui e o fator de importância

aumenta.

Tabela 6.26. Resultados da análise de sensibilidade da probabilidade de falha em

função do COV da carga Q, sem considerar coeficientes de segurança

Seção COVQ β Pf 2

S16

0,05 9,050 0,00E+00 0,5785

0,10 7,188 3,29E-13 0,7000

0,15 6,177 3,26E-10 0,7550

0,25 5,042 2,30E-07 0,8127

S31

0,05 7,866 1,89E-15 0,5212

0,10 6,317 1,33E-10 0,6758

0,15 5,440 2,66E-08 0,7414

0,25 4,441 4,49E-06 0,8072

S37

0,05 7,969 7,77E-16 0,5319

0,10 6,384 8,63E-11 0,6806

0,15 5,495 1,96E-08 0,7444

0,25 4,483 3,68E-06 0,8088

S65

0,05 9,984 0,00E+00 0,5778

0,10 8,244 1,11E-16 0,6980

0,15 7,102 6,15E-13 0,7490

0,25 5,821 2,93E-09 0,8043

Figura 6.13. Variação do índice de confiabilidade em função do COV da carga

móvel Q, sem coeficientes de segurança.

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

5 10 15 20 25

β

Coeficiente de variação de Q (%)

Índice de confiabilidade

S16 S31 S37 S65

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103

Figura 6.14. Variação do fator de importância em função do COV de Q, sem

coeficientes de segurança.

6.2.8.Influência da Variação da Carga Móvel na Probabilidade de Falha

Para estudar a influência da carga móvel na probabilidade de falha da

estrutura, segue-se o mesmo procedimento descrito no item 6.2.5. Os dados dos

valores característicos e valores médios da carga móvel são apresentados na

Tabela 6.20, enquanto os resultados obtidos estão na Tabela 6.27.

Tabela 6.27. Resultado do método FORM variando a carga móvel, sem considerar

coeficientes de segurança

Seção Aumento Q β Pf α2

S16

25% 5,315

5,35E-08

0,7585

50% 4,623

1,89E-06

0,7568

100% 3,536

2,03E-04

0,7401

S31

25% 4,603

2,09E-06

0,7407

50% 3,922

4,39E-05

0,7329

100% 2,828

2,35E-03

0,6970

S37

25% 4,654

1,62E-06

0,7439

50% 3,973

3,55E-05

0,7366

100% 2,878

2,00E-03

0,7023

S65

25% 6,210

2,65E-10

0,7566

50% 5,501

1,88E-08

0,7599

100% 4,408

5,21E-06

0,7568

Das análises se observa que a medida que aumenta a carga móvel a

probabilidade de falha aumenta.

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

5 10 15 20 25

α2

Coeficiente de variação de Q (%)

Fator de importância α2 S16 S31 S37 S65

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A comparação do índice de confiabilidade e a probabilidade de falha em

função da variação da carga móvel são representadas nas Figuras 6.15 e 6.16.

Confrontando esses valores com os limites fixados pelo JCSS para o índice

confiabilidade de referência βT igual a 4,4 (Pf ≈ 5*10-6), verifica-se que todas as

seções resistem a um aumento da carga móvel, em pelo menos 25%, sem

ultrapassarem o nível de probabilidade fixado pelo JCSS. Já com um incremente

de 50% só são verificadas as seções 16 e 65. Finalmente pode-se observar que

a seção 65 continua sendo verificado, ainda com um incremento de carga móvel

de 100%. A análise evidencia a influência que tem os fatores de segurança

dentro dos resultados.

Figura 6.15. Comparação do índice de confiabilidade em função da variação de Q

sem coeficientes de segurança

Figura 6.16 Probabilidade de falha em função da variação de Q sem coeficientes

de segurança

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

0 25 50 75 100

β

Q/Qatual

Índice de confiabilidade Seção 16 Seção 31 Seção 37

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

0 25 50 75 100

Pf

Q/Qatual

Probabilidade de falha

Seção 16 Seção 31 Seção 37 Seção 65

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6.3. Análise no Estado Limite de Serviço na Formação de Fissuras

Conforme descrito no capítulo 5, a Função de Estado Limite para formação

de fissuras é:

QMMMy

If21,0)(G

1sqadicsp1sp

c

c

3/2

ckX

Na análise são consideradas as quatro seções descritas na Tabela 6.1. O

cálculo do momento de fissuração e os momentos solicitantes segue o exposto

no Capitulo 5, desse modo as funções de estado limite encontradas para cada

seção são:

Q824,7)5244,6178920,44(MS

Q627,12)5215,13103570,98(MS

Q201,16)6493,19258511,148(MS

Q799,9)7296,6998349,49(MS

f65

f37

f31

f16

A resistência à compressão do concreto (fck), o peso específico do concreto

(), a carga móvel (Q) e o coeficiente de impacto (φ) são consideradas como

variáveis aleatórias na análise, com os modelos probabilísticos da Tabela 6.2.

Os resultados seguindo a metodologia do FORM são apresentados na tabela a

seguir.

Tabela 6.28. Resultados (via FORM), para o estado limite de formação de fissuras

Seção Variável Aleatória

FORM

Iterações β Pf α2

S16

fck

5 2,459 6,96E-03

0,3322

0,0178

Q 0,3998

φ 0,2502

S31

fck

5 3,987 3,34E-05

0,4465

0,0545

Q 0,3261

φ 0,1728

S37

fck

8 5,362 4,11E-08

0,3923

0,0558

Q 0,4223

φ 0,1297

S65

fck

4 1,413 7,88E-02

0,3643

0,0178

Q 0,3649

φ 0,2530

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106

O JCSS recomenda um índice de confiabilidade de referência βT = 1.7

(Pf=5*10-2). Dos resultados obtidos para formação de fissuras observa-se

que as seções 16, 31 e 37 atendem a recomendação do JCSS. O mesmo

não acontece para a seção 65, que apresenta um valor do índice de

confiabilidade menor do que βT, devendo passar por análise mais elaborada

de confiabilidade.

Segundo a Tabela 6.28, encontra-se que a resistência à compressão do

concreto tem um fator de importância significativo em comparação com o

estado limite último, sendo a variável mais importante para a seção 31, para

as outras seções a intensidade da carga móvel continua sendo a variável

mais significativa no cálculo da probabilidade de falha.

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7 Conclusões e Sugestões

O objetivo principal deste trabalho é aplicar os conceitos de análise de

confiabilidade estrutural a longarinas de pontes existentes ferroviárias de

concreto armado.

Para as análises de confiabilidade foram desenvolvidas rotinas em Matlab,

seguindo as metodologias da simulação de Monte Carlo e do FORM. As rotinas

permitiram:

Determinar a probabilidade de falha da ponte, no estado limite último

na flexão simples.

Determinar a probabilidade de falha da ponte, no estado limite de

serviço para formação de fissuras.

Fazer análise de sensibilidade das variáveis aleatórias.

Os resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho permitem destacar as

seguintes contribuições e conclusões:

As comparações entre os cálculos obtidos com a Simulação de Monte Carlo

e os obtidos com o FORM indicam que o FORM apresenta mais vantagens

para as análises desenvolvidas neste estudo, uma vez que o mesmo é mais

rápido e também permite fazer uma análise de sensibilidade das variáveis

aleatórias envolvidas, a fim de determinar a importância da mesma na

probabilidade de falha da estrutura.

As análises considerando seis variáveis aleatórias evidenciaram que a

resistência à compressão do concreto (fck) e o módulo de elasticidade do aço

(Es) têm uma influência quase nula na probabilidade de falha, com fatores de

importância da ordem de 10-4 a 10-7. Portanto, essas variáveis podem ser

consideradas como determinísticas, reduzindo o problema a quatro variáveis

aleatórias para as demais análises.

No estado limite de formação encontra-se a resistência à compressão do

concreto como uma variável significativa no cálculo da probabilidade de

falha. Já no estado limite último na flexão simples a variável aleatória que

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108

representa a carga móvel Q é a que tem maior influência na probabilidade de

falha da estrutura.

Para o estado limite de serviço na formação de fissuras observa-se que as

seções 16, 31 e 37 atendem a recomendação estabelecida pelo JCSS para o

índice de confiabilidade de referência βT, o mesmo não acontece para a

seção 65 que apresenta um valor do índice de confiabilidade menor do que

βT, devendo passar por análise mais elaborada de confiabilidade.

A comparação dos resultados obtidos para o índice de confiabilidade

segundo o FORM com o índice de confiabilidade com o índice de

confiabilidade de referência βT, sugerido pelo JCSS, permite evidenciar que

as seções não atendem o limite proposto, quando os coeficientes de

segurança são considerados. Isso quer dizer que as seções têm uma

probabilidade de falha superior à estipulada no regulamento. Já nos

resultados obtidos quando os coeficientes de segurança são

desconsiderados os valores da probabilidade de falha são inferiores ao

proposto pelo JCSS, portanto nesse caso as seções são verificadas

satisfatoriamente no estado limite último na flexão simples.

O aumento da probabilidade de falha quando são considerados os

coeficientes de segurança ocorre porque os valores das solicitações são

majorados e o da resistência minorado. Essa segurança e minoração

buscam considerar as incertezas envolvidas, porém essa forma semi-

probabilística apesar de ficar a favor da segurança não permite uma

avaliação adequada da quantificação da possibilidade de falha.

A probabilidade de falha mostrou-se muito sensível à variação do COV da

carga móvel, indicando que um processo de pesagem eficiente pode reduzir

o nível da probabilidade de falha da estrutura para o estado limite abordado.

7.1. Sugestões

Fazer as análises considerando novos modelos probabilísticos para as

variáveis aleatórias

Considerar os valores da armadura de tração e compressão, e sua posição

como possíveis variáveis aleatórias para determinar sua importância no cálculo

da probabilidade de falha da ponte.

Fazer análises de confiabilidade considerando pontes de concreto

protendido.

Fazer uma análise de confiabilidade direcionada à fadiga.

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Anexo A Teoria de Probabilidade

A.1. Introdução

É apresentado um resumo de os conceitos fundamentais da teoria de

probabilidade.

A.2. Variável Aleatória

Muitos fenômenos aleatórios de interesse estão associados a resultados

numéricos de alguma quantidade física. A variável que associa um número ao

resultado de um experimento aleatório é chamada variável aleatória, por

definição uma variável aleatória é uma função que confere um número real a

cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. Geralmente

uma variável aleatória é denotada com uma letra maiúscula. Sendo X uma

variável aleatória, (X=a) ou (X<b) pode ser a representação de eventos desta

variável aleatória.

Uma variável aleatória discreta é uma variável com uma faixa finita (ou

infinita contável) de possíveis valores, enquanto uma variável aleatória continua

é uma variável aleatória com um intervalo de números reais para sua faixa.

A.3. Função Cumulativa de Distribuição (CDF) e Função Densidade de Probabilidade (PDF)

Uma variável aleatória pode ser caracterizada pela sua função cumulativa

de distribuição FX (CDF) e sua função densidade de probabilidade fX, identificada

por PDF, definida como a primeira derivada de FX .

Com freqüência é de interesse saber a probabilidade de que uma variável

aleatória assuma um valor particular. A distribuição de probabilidades de uma

variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os

valores possíveis de X. Uma função densidade de probabilidade pode ser usada

para descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória

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continua X. Fornece uma descrição simples das probabilidades associadas a

uma variável aleatória.

A função de densidade de probabilidade é uma função matemática

continua que tem como objetivo descrever os resultados obtidos em

experimentos aleatórios representa estatisticamente este experimento, Sendo X

uma variável aleatória, a sua função densidade de probabilidades fx(x) é definida

de tal forma que:

dx)x(f)2

dxxX

2

dxx(P X (A.1)

Usualmente uma função de probabilidade é identificada por PDF

(Probability Density Function). A probabilidade da variável X assumir valores

entre a e b é:

b

aX dx)x(f)bXa(P (A.2)

A função PDF tem que satisfazer as seguintes condições (Figura 32):

a) 0.0)x(fX para qualquer x

b) 0.1dx)x(fX

(área unitária)

c) )bXa(Pdx)x(fb

aX

Figura A.1 (a) Função Densidade de Probabilidade (PDF) e (b) Função Cumulativa

de Distribuição (CDF).

A função cumulativa de probabilidade Fx(x) de X é definida assim:

a

XX dx)x(f)a(F (A.3)

Fx(a) é a probabilidade da variável X assumir valores menores ou iguais a

a. É identificada como CDF (Cumulative Distribution Function) e deve satisfazer

as seguintes propriedades (Figura A.1):

a) 0.0)(FX

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121

b) 0.1)x(F0 x

c) 0.1)(FX

A.4. Principais Parâmetros de uma Variável Aleatória Contínua

As características probabilísticas de uma variável aleatória seriam

completamente descritas se a forma da PDF e os parâmetros associados fossem

plenamente conhecidos. Nem sempre é conhecida a forma que representa a

função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, pelo tanto

certas aproximações são necessárias. Neste caso, esta variável aleatória pode

ser descrita por sua média e por uma medida de dispersão da variável aleatória.

O valor médio, ou a média, de uma variável aleatória X é definido como:

dx)x(xf)X(E xX (A.4)

Onde f xX ( ) é a PDF de X definida anteriormente.

A variância mede a dispersão dos valores da variável em torno da média e

é definida como:

dx)x(f)x()X(Var X

2

X

dx)x(fdx)x(fx2dx)x(fx X

2

xXxX

2

2

X

2 )X(E)X(Var (A.5)

A medida de dispersão mais indicada é a raiz quadrada da variância que é

chamada desvio padrão de X é definido como:

)X(VarX (A.6)

Somente com a variância e o desvio padrão é difícil mensurar se a

dispersão é grande ou pequena, pelo tanto o indicativo desta amplitude é dado

pelo coeficiente de variação de X, definido como a razão entre o desvio padrão e

a média, ou seja:

x

x

XCOV

(A.7)

O coeficiente de variação mede, de forma adimensional (ao contrário da

variância) a dispersão dos dados da variável aleatória em torno da média.

Coeficientes de variação baixos indicam que os valores da variável aleatória

estão distribuídos próximos a média, enquanto que valores altos indicam uma

forte dispersão em torno da mesma.

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122

A.5. Distribuições de Probabilidade

A.5.1. Distribuição Normal ou Gaussiana

É uma das distribuições mais utilizadas, sua a função densidade de

probabilidade é dada por:

2

x

x

x

X

x

2

1exp

2

1)x(f (A.8)

Tem somente como parâmetros a média μx e do desvio padrão σx da

variável aleatória e é geralmente denotada por N(μx, σx). A sua função

cumulativa

Introduzindo uma variável auxiliar, também conhecida como variáveis

reduzidas pode-se reescrever a anterior equação assim:

2

Y y2

1exp

2

1)y()y(f (A.9)

Para a variável reduzida a média e desvio padrão são iguais a 0 e 1,

respectivamente, e é determinada por:

X

XXY

(A.10)

Esta transformação resulta em uma nova variável aleatória Y com PDF

normal padrão φ(y). A CDF chamada, neste caso, de função de distribuição

cumulativa normal padrão Ф(y) que só pode ser avaliada por integração

numérica, ou usando tabelas disponíveis em livros de estatística. Pode ser

obtida por:

dyyfyy

Y (A.11)

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal é

obtida a partir de:

X

X

X

X)X(F (A.12)

A.5.2. Outras Distribuições

Na seguinte tabela é apresentado valores de PDF, CDF, μX, e σX de

distribuições de probabilidade mais utilizadas.

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123

Tabela A.1. Distribuições de probabilidade mais utilizadas

Distribuição PDF - )(fX

x CDF - )(FX

x Média - X

Desvio Padrão - X

Normal

2

Xμx

2

1exp

π2xξ

1

X

Xx

X

X

Lognormal

2

ξ

λ(x)ln

2

1exp

π2xξ

1

)xln(

2

2

1exp 1)exp( 2

X

Rayleigh

2

2

RRσ

τx

2

1exp

σ

τx

2

τx

2

1exp-1

2

R

22

R

Uniforme ab

1

ab

ax

2

ba

12

ab

Tipo I Máx (Gumbel)

)ux(expuxexp )ux(expexp

5772,0

u 6

Tipo I Mínimo

)ux(expuxexp )ux(expexp1

5772,0u

6

Tipo II Máximo

k1k

x

vexp

k

v

v

k

k

x

vexp

k

11v

5,0

2 )k

11()

k

21(v

Tipo III Mín (Wellbull)

k1k

v

xexp

k

x

v

k

k

v

xexp1

k

11v

5,0

2 )k

11()

k

21(v

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124

A.5.3. Distribuições Normais Equivalentes

Para uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades não é

normal, uma distribuição normal equivalente num ponto x pode ser obtida,

igualando-se as funções densidade de probabilidade (PDF) e distribuição

cumulativa (CDF) de uma variável normal e da distribuição real de X no referido

ponto, conforme as seguintes expressões:

)x(Fx

XN

X

N

X

(A.13)

)x(fx1

XN

X

N

X

N

X

(A.14)

Onde φ( ) e Ф( ) são, respectivamente, às PDF e CDF normais padrão,

fX(X) e FX(X) são, respectivamente, às PDF e CDF da variável X e XN

XNe

são, respectivamente, a média e desvio padrão da normal equivalente no ponto

x . Esses valores podem ser calculados mediante:

)x(Fx

)x(f

)x(F

X

1N

X

N

X

X

X

1

N

X

(A.15)

)(1 corresponde a inversa da distribuição cumulativa normal padrão.

Em outras palavras, )p(1 corresponde ao valor da variável reduzida cuja

probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a ela seja igual a p.

A.5.4. Coeficientes de Correlação Equivalentes

Quando as variáveis aleatórias não normais são correlacionadas é

necessário obter os coeficientes de correlação equivalentes, para isto os

coeficientes entre as variáveis aleatórias originais devem ser corrigidos para

coeficientes de correlação entre as variáveis normais equivalentes, sendo:

ij

E

ij F (A.16)

Onde F é um valor que depende somente de ij e dos coeficientes de

variação das variáveis aleatórias não normais. Este valor não depende do ponto

onde transformação está sendo realizada. Kiureghian and Liu [1986]

desenvolveram expressões analíticas para o fator F para um grande número de

distribuições de probabilidades.

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Decomposição de Cholesky da matriz dos coeficientes de correlação

equivalentes

Se uma matriz simétrica P pode ser descomposta em das matrizes

triangulares, em que uma é a transposta da outra, como no caso dos

coeficientes de correlação equivalentes, pode-se obter os elementos da matriz

triangular inferior L a partir das seguintes expressões:

1>i -=

i<k<1

n 1,=i

-

=

1i

1j

2

ijii

kj

1k

1j

ijik

kk

ik

1i1i

11

L1L

LLrL

1L

L

0.1L

(A.17)

Onde ρij é o coeficiente de correlação entre as variáveis Xi e Xj.

Entao a matriz triangular inferior L é:

nnn2n1

2212

11

L.LL

....

00LL

000L

L (A.18)

A.6. Coeficientes Parciais de Segurança

O método dos estados limites já descrito anteriormente é um método

probabilístico, onde são usados modelos de cálculo determinísticos,

considerando as incertezas das variáveis envolvidas, através da aplicação dos

coeficientes parciais de segurança. Os valores de cálculo utilizados são obtidos

a partir da aplicação destes coeficientes a valores característicos da resistência

e da solicitação.

A definição dos coeficientes parciais de segurança foi feita segundo a

experiência dos projetistas estruturais, nos últimos anos estes coeficientes são

determinados com base cientifica, com ajuda da confiabilidade estrutural.

Coeficiente de segurança central (λo) relaciona as medias das variáveis de

resistência R e solicitação S.

S

R

0

(A.19)

Este coeficiente não reflete a segurança da estrutura, na estrutura real os

valores médios utilizados podem ser tanto maiores quanto menores do que os

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valores reais. Pelo tanto não há garantia de que esse coeficiente seja suficiente

para garantir a segurança da estrutura.

Para melhorar o problema anterior são utilizados os valores característicos

a traves de fatores de segurança que minoram a resistência e majoram a

solicitação, considerando a incerteza inerente a essas variáveis.

Dividindo os valores característicos de R e de S pelos seus valores

médios. Obtém-se um coeficiente de minoração da resistência φk e um

coeficiente de majoração da solicitação k.

1s

1r

S

k

k

R

k

k

(A.20)

Existe alem um coeficiente de segurança global ou característico λk

0

k

k

Sk

Rk

k

k

ks

r

(A.21)

A escolha do nível de segurança e do coeficiente λk é subjetiva pelo tanto

os fatores de segurança parciais não fornecem uma medida de violação de

estados limites. Somente a probabilidade de falha pode ser considerada como tal

medida.

Nas normas técnicas modernas o coeficiente parcial característico pode

ser encontrado mediante:

R

S

k

(A.22)

A.7. Valores Característicos das Variáveis

As normas e códigos atuais para projetos de engenharia civil incorporam o

uso de fatores de segurança e valores característicos. Os valores característicos

são tipicamente percentiis altos ou baixos para os efeitos da solicitação e da

resistência respectivamente. O valor característico de uma variável aleatória é

determinado como um valor que, de acordo com a sua distribuição de

probabilidade, representa um nível percentual de ser ultrapassado, sendo

dependente do tipo de material e da classe da estrutura.

Considerando que a resistência característica é admitida como sendo um

valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido. Uma ilustração

típica para a resistência do material é apresentada na seguinte Figura.

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Figura A.2. Valor característico típico para a variável Resistência S (fonte: James

2003)

Da figura pode-se observar que o valor característico é dado por:

)COVk1(R RRRK

(A.23)

Onde μR e o valor médio da resistência R, COVR é o coeficiente de

variação da resistência e kR é um fator dependente do tipo de distribuição

considerada para a resistência e do percentil especificado para o valor

característico.

Para uma distribuição normal o valor de kR representando o percentil de

0.05 é dado por:

645,1k05,0k

k05,0

R05,0

R

1

R

R

R

RK

(A.24)

Onde Ф e Ф-1 são a função cumulativa de distribuição e a inversa para a

distribuição de probabilidade normal padrão. Estes valores podem se encontrar

em tabelas na literatura existente.

Analogamente para a solicitação o valor característico é dado por:

)COVk1(S SSSK (A.25)

Pode-se observar graficamente na seguinte figura:

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Figura A.3. Valor característico típico para a variável solicitação S (fonte: James

2003)

Tipicamente os valores característicos têm um percentil de 50% para as

cargas permanentes como o peso próprio o qual é o valor médio. Para as cargas

variáveis o valor característico equivale na maioria dos casos ao percentil de

98% do valor máximo anual. As cargas variáveis tais como as cargas de trafego

e as de vento são dependentes do tempo pelo tanto uma descrição apropriada

de estas cargas deve ser obtida através de processos estocásticos. Já este

modelo é complicado pode-se considerar que o processo estocástico é

estacionário ou seja que o tempo é invariante. A distribuição da carda esta

relacionada a um período de referência especificado. Este período geralmente é

de um ano, para este período existe um coeficiente de confiabilidade ou uma

probabilidade de falha associada

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