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Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
CEZAR ANTONIO HATUSHIKANO
ESTUDO DE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA MATERIAIS POLIMÉRICOS
COM CARACTERÍSTICAS HIPERELÁSTICAS
São Bernardo do Campo – SP
2019
Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
CEZAR ANTONIO HATUSHIKANO
ESTUDO DE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA MATERIAIS POLIMÉRICOS
COM CARACTERÍSTICAS HIPERELÁSTICAS
Orientador: Prof. Dr. Ronny Calixto Carbonari
Trabalho de Graduação submetido à
Universidade Federal do ABC como
parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Graduação em
Engenharia Biomédica.
São Bernardo do Campo – SP
2019
Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
ESTUDO DE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA MATERIAIS POLIMÉRICOS
COM CARACTERÍSTICAS HIPERELÁSTICAS
Esse trabalho de Graduação foi julgado e
aprovado como requisito parcial para a
obtenção do grau de Graduação em
Engenharia Biomédica pela Universidade
Federal do ABC.
São Bernardo do Campo – SP, 28 de abril de 2019.
Prof. Dr. Marcos Duarte
Coordenador da Engenharia Biomédica
BANCA EXAMINADORA
____________________________ _________________________ Profª. Drª Sônia Maria Malmonge Prof°. Dr. Frederico Fernandes
UFABC UFABC
_____________________________ Profº. Dr. Ronny Calixto Carbonari
UFABC
Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
Dedico este trabalho aos meus pais por todo o
apoio recebido. E aos meus tios que sempre
demonstraram a compreensão e me
incentivaram até chegar aqui. Não esquecendo
da minha amada esposa Ane por toda a ajuda
e paciência neste período.
Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
AGRADECIMENTOS
À Universidade Federal do ABC
Ao orientador Prof. Dr. Ronny Calixto Carbonari, pela indicação deste trabalho,
incentivo, desenvolvimento, aprendizado e dedicação.
Aos professores do Curso de Graduação em Engenharia Biomédica.
Aos meus amigos que tanto me apoiaram neste caminho acadêmico, que jamais
será esquecido e levarei para a vida toda.
Universidade Federal Do ABC
Trabalho de Graduação III
“Quanto mais aumenta nosso conhecimento,
mais evidente fica nossa ignorância”.
John F. Kennedy
RESUMO
Este trabalho apresenta o estudo de modelos constitutivos para materiais
poliméricos com propriedades hiperelásticas, com a pesquisa dos principais
modelos constitutivos para materiais elásticos, incompressíveis, disponíveis na
literatura. Para a análise foram empregados os dados de testes de ensaio de
tração uniaxial em amostras de copolímero poli(L-co-D, L-ácido láctico) (PLDLA),
implementados em simulação computacional, MATLAB e ABAQUS, para a
avaliação comparativa das curvas de tensão x deformação do modelo de Ogden.
Por outro lado, a avaliação da curva teórica precisa satisfazer alguns parâmetros
para ser validado, para isso as constantes geradas foram tratadas por técnicas de
otimização para melhorar a qualidade das predições. A partir de uma pesquisa
básica estratégica e descritiva, com abordagem quantitativa da equação
constitutiva, empregando processos de otimização e atenuação da curva para
minimizar os erros, verificou-se que todos os resultados são numericamente
válidos, para simulações com taxa máxima de deformação abaixo de 2,9%
(MATLAB). O método utilizado no MATLAB conseguiu reproduzir de forma
adequada o modelo constitutivo hiperelástico não linear pelo modelo de Ogden,
apresentando-se compatível com os resultados do software ABAQUS.
Palavras chave: Hiperelasticidade. Modelos constitutivos. poli(L-co-D, L-ácido
láctico) (PLDLA). Modelo de Ogden.
ABSTRACT
The present work addresses the study of constitutive models for polymeric
materials with hyperelastic properties, showing a research of the most common
constitutive models for elastic and incompressible materials, available in the
literature. For such analysis, data from uniaxial tensile tests from samples of the
copolymer poly (L-co-D, L-lactic acid) (PLDLA), implemented in computational
simulation, MATLAB and ABAQUS, for a comparative evaluation of the stress x strain
curves in the Ogden model. On the other hand, the evaluation of the theoretical curve
needs to satisfy some parameters to be validated, so the generated constants were
treated by optimization techniques. From a basic and strategical research with a
quantitative approach of the constitutive equation, employing optimization and curve
attenuation processes to minimize the errors, it was verified that all the results are
numerically valid for simulations with a maximum deformation rate below 2.9%
(MATLAB). The MATLAB method was able to adequately reproduce the nonlinear
hyperelastic constitutive model by the Ogden model, being additionally compatible
with the results from the ABAQUS software.
Key words: Hyperelasticity. Constitutive models. Poly. (L-co-D, L-lactic acid)
(PLDLA). Model of Ogden.
Lista de Símbolos
B – Tensor deformação de Cauchy-Green à esquerda
C, C1, C2 - Parâmetros do material
dX - elemento material na configuração indeformada
dx - elemento material na configuração deformada
F - gradiente do tensor deformação
E – Módulo de Elasticidade
G – Módulo de Cisalhamento [Pa]
I - Estiramento
𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 - principais invariantes de B
K – Módulo de compressibilidade
𝑳𝟎 - Comprimento inicial da amostra
𝑳𝒇 - Comprimento final da amostra
p - multiplicador Lagrangiano devido à pressão hidrostática
P – Primeiro tensor de tensões de Piola-Kirchhoff
S - Segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff
s - Tensor de Cauchy
W - função densidade energia de deformação
x, X - coordenadas atual e de referência
α – Constante de proporcionalidade
𝝈𝑒 – Tensão de engenharia
σ - Tensor da tensão de Cauchy
𝜵𝒙 - Gradiente de x
Ɛ - Deformação específica de engenharia
𝝀𝟏, 𝝀𝟐, 𝝀𝟑 - Alongamentos transversais
ν - Coeficiente de Poisson do material
𝝁 - Módulo de cisalhamento
𝝆𝒔 − Densidade do polímero
𝝆𝒂 - Densidade da parte amorfa
𝝆𝒄 - Densidade da parte cristalina
Θ – Variável angular
Lista de Figuras
Figura 1. Comportamento tensão-deformação para polímeros frágeis (curva A),
plásticos (curva B) e altamente elásticos (elastoméricos) (curva C)..........................17
Figura 2. Configuração para cisalhamento simples do estado inicial para o estado
deformado..................................................................................................................23
Figura 3. Extensão Biaxial de uma Lâmina Fina Incompressível...............................25
Figura 4. Parâmetros de material ajustados usando o modelo de Ogden com três
termos.........................................................................................................................30
Figura 5. Gráfico tensão x deformação para amostras de material polimérico
(PLDLA) com o ajuste e suavização da curva............................................................33
Figura 6. Gráfico de tensão x deformação com os dados experimentais e as curvas
obtidas pelo modelo de Ogden...................................................................................34
Figura 7. Constantes obtidas do modelo de Ogden para a média das amostras,
conforme os valores da tabela 1................................................................................35
Figura 8. Gráfico das determinantes das amostras para validação da condição de
existência do material.................................................................................................37
Figura 9. Análise dos dados coletados pelo software Abaqus, para verificação da
validação da curva de tensão x deformação..............................................................38
Figura 10. Resultado da tensão uniaxial do programa Abaqus de 4 termos da
amostra 2....................................................................................................................39
Figura 11. A curva tensão x deformação no software Abaqus utilizando as
constantes de Ogden da amostra 1...........................................................................40
Figura 12. Resultado de validação obtido pelo software Abaqus para a amostra 1..40
Figura 13. Gráfico completo da tensão x deformação das amostras 1, 2 e 3, dos
dados obtidos do ensaio de tração em laboratório....................................................46
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................... 12
1.1 Objetivo .......................................................................................... 13
1.2 Justificativa ......................................................................................... 13
1.3 Resumo dos Capítulos ....................................................................... 13
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................. 14
2.1 Conceitos fundamentais sobre polímeros .......................................... 14
2.1.1 Polímeros termoplásticos, termofixos e elastômeros ................... 15
2.1.2 Número de monômeros ................................................................ 15
2.1.3 Cristalinidade dos polímeros ........................................................ 16
2.2 Características do poli(L-co-D, L-ácido láctico)(PLDLA) .................... 18
2.3 Mecânica do Contínuo e Elasticidade Não Linear .............................. 19
2.3.1 Tensores de tensão de Cauchy e de Piola-Kirchhoff ................... 19
2.3.2 Relações Constitutivas ................................................................. 20
2.3.3 Deformação .................................................................................. 20
2.3.4 Equação Constitutiva Não-Linear para Material Isotrópico Elástico
......................................................................................................21
2.3.5 Particularização para Material Isotrópico Elástico Incompressível
......................................................................................................22
2.3.6 Ensaio de Tração Uniaxial ............................................................ 23
2.3.7 Cisalhamento Simples de um Bloco Hexaédrico Incompressível . 23
2.3.8 Ensaio de tração Biaxial de uma Lâmina Fina Incompressível .... 25
2.4 Modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem) ................................................. 26
2.5 Modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem) ................................................. 27
2.6 Modelo de Ogden ............................................................................... 27
2.7 Modelo de Yeoh ................................................................................. 28
2.8 Modelo Polinomial .............................................................................. 29
3. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................. 30
3.1 Ajuste de Constantes Constitutivas .................................................... 30
3.2 Hipótese de Incompressibilidade ........................................................ 31
3.3 Curva Tensão x Deformação .............................................................. 31
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................... 33
4.1 Preparação das amostras numericamente ......................................... 33
4.2 Ajuste de curva ................................................................................... 34
4.3 Verificação do determinante da matriz ............................................... 36
4.4 Validação utilizando o software Abaqus ............................................. 38
5. CONCLUSÃO .................................................................................... 40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................41
APÊNDICE..................................................................................................45
12
1. INTRODUÇÃO
Especialmente nas últimas décadas, polímeros bioreabsorvíveis ganharam
grande aplicação na área médica, devido à inúmeras vantagens apresentadas por
essa classe de polímeros, sendo o principal benefício a capacidade de
degradação em contato com fluidos corpóreos, por meio de uma simples reação
de hidrólise (AMBROSE & CLANTON, 2004). Dentre algumas das aplicações em
implantes temporários podemos citar: suturas cirúrgicas (KULKARNI, et al, 1966),
sistemas para liberação controlada de drogas (LIU & BHATIA, 2004), stents
(VALIMAA & LAAKSOVIRTA, 2004), dispositivos ortopédicos (AMBROSE &
CLANTON, 2004) e suportes na engenharia de tecidos (BARBANTI, ZAVAGLIA,
DUEK, 2005).
Dentre os polímeros biodegradáveis e bioreabsorvíveis, destacam-se os
poli (α-hidroxi-ácidos), pois, além de serem biocompatíveis, e quando expostos
aos fluidos aquosos do corpo sofrem hidratação e com a presença de moléculas
de água, iniciando o processo da degradação com a hidrólise das ligações
ésteres. (ELKE & WOLF-DIETER, 2003; HUANG, et al, 2004).
O poli(L-co-D, L-ácido láctico) (PLDLA), é um copolímero bioreabsorvível,
que possui rápida degradação que ocorre por hidrólise de suas ligações ésteres,
com a vantagem dos produtos gerados serem completamente absorvidos pelo
organismo, além de apresentarem boa resistência à tração (BARAUNA, 2007) e
possui estabilidade mecânica (SCMIDMAIER, et al.; 2001). Por estas
características, implantes de PLDLA são potencialmente utilizáveis na confecção
de stents para uso temporário em vasos obstruídos ou outras estruturas tubulares
do corpo (BARAUNA, 2007).
Empregando metodologia científica, este estudo teve a finalidade de
elaborar uma pesquisa básica estratégica e descritiva, com abordagem
quantitativa de análise de valores numéricos obtidos de ensaios em amostras de
polímeros. Empregou-se método hipotético-dedutivo com pesquisa de literatura
bibliográfica do tema associado à simulação computacional do material avaliado.
13
1.1 Objetivo
O objetivo geral deste trabalho foi estudar os modelos constitutivos para
materiais poliméricos com características hiperelásticas, bem como utilizar de
técnicas de otimização para obter as constantes a partir de ensaio de tração
uniaxial.
Os objetivos específicos foram:
Utilizar um modelo constitutivo que possa predizer a resposta de
amostras de material hiperelástico;
Através de técnicas de otimização, obter as constantes desses
materiais, e que estejam dentro da condição de existência numérica.
1.2 Justificativa
Com o aumento da utilização de polímeros com propriedades
hiperelásticas e bioreabsorvíveis, faz-se necessário aprimorar os projetos,
utilizando ferramentas numéricas de simulação de carregamento, como softwares
para análise por elementos finitos, que possibilitam fornecer previsões o mais
próximo do comportamento mecânico demonstrado em ensaios experimentais
realizados.
1.3 Resumo dos Capítulos
Apresenta-se no segundo capítulo, os conceitos fundamentais de
polímeros, as subdivisões, constituições e a organização. Destacando-se as
propriedades mecânicas do poli(L-co-D, L-ácido láctico) (PLDLA), polímero que foi
objeto deste estudo. Também neste mesmo capítulo foi abordada a mecânica do
contínuo, a elasticidade não linear, as relações constitutivas, a equação
constitutiva não linear para material isotrópico, particularização para materiais
isotrópicos elásticos e incompressíveis. Além da descrição dos ensaios de
14
cisalhamento, tração uniaxial e biaxial para materiais com características
hiperelásticas, descreveu-se alguns dos principais modelos hiperelásticos
propostos, a ordem, os parâmetros do material, as invariantes e as equações que
as descrevem.
No terceiro capítulo aborda-se a metodologia empregada, com o
procedimento para a obtenção da curva tensão x deformação considerando a
hipótese da incompressibilidade para o ajuste da constante constitutiva.
No quarto capítulo discorre-se sobre os resultados obtidos, desde a
preparação das amostras numericamente, como ajustou-se a curva do gráfico de
tensão x deformação, sua validação através do determinante da matriz e
utilizando o software ABAQUS.
As conclusões baseadas nos resultados finais são apresentadas no quinto
capítulo.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Conceitos fundamentais sobre polímeros
Os polímeros são materiais compostos por macromoléculas, que são
cadeias constituídas pela repetição de unidades básicas denominadas meros.
Quando a molécula é constituída de um único mero, chama-se homopolímero.
Polimerização são as reações químicas intermoleculares que ligam os
monômeros ou meros, juntamente à estrutura molecular da cadeia (CALLISTER,
2012).
Sendo, os polímeros mais comuns: polietileno (PE), poli(cloreto de vinila)
(PVC), politetrafluoroetileno (PTFE), polipropileno (PP), poliestireno (PS),
poli(meta-crilato de metila) (PMMA), fenol-formaldeído (Baquelite),
poli(hexametileno adipamida)(náilon 6.6), poli(tereftalato de etileno) (PET, um
poliéster), policarbonato (PC) (CALLISTER, 2012).
15
2.1.1 Polímeros termoplásticos, termofixos e elastômeros
Os polímeros, sintetizados pelo homem a partir de matérias-primas obtidas
da natureza, podem ser subdivididos em termoplásticos, termofixos e elastômeros
(esta subdivisão não é exclusiva dos polímeros sintéticos). A estrutura molecular
dominante do polímero determina seu comportamento quando submetidos à altas
temperaturas. Os polímeros termoplásticos geralmente amolecem ou até mesmo
se liquefazem ao serem aquecidos, e após o resfriamento novamente endurecem,
sendo possível repetir o processo. Quando aquecido à altas temperaturas, pode
ocorrer uma degradação irreversível do material. São em sua maioria, polímeros
lineares com estruturas ramificadas e cadeias flexíveis (CALLISTER, 2012).
Os polímeros termofixos têm estruturas em rede, o que os torna
permanentemente rígidos, endurecidos, devido à reações químicas irreversíveis.
Sendo materiais insolúveis e infusíveis, não podendo ser amolecidos pelo calor, já
que com o aquecimento suas ligações moleculares ramificadas se quebram,
ocasionando a degradação do material (TELLES, 2003).
Os elastômeros são polímeros com propriedades elásticas à temperatura
ambiente, obtidos através da cura de um pré-polímero. Destacando-se a
extraordinária elasticidade e flexibilidade, suportando grandes deformações antes
da ruptura, entre 300% a 700%, sem que ocorra deformação permanente
(TELLES, 2003).
2.1.2 Número de monômeros
Os polímeros são compostos químicos de elevada massa molecular
relativa, resultante de reações químicas de polimerização. São macromoléculas
formadas a partir de unidades chamadas meros. Monômero é o nome dado à
molécula constituída de um único mero. O número de unidades estruturais
repetidas numa macromolécula é chamado grau de polimerização. Quando as
unidades ao longo de uma cadeia são do mesmo tipo o polímero é chamado de
16
homopolímero. Quando o polímero é composto da repetição e dois ou mais meros
são chamados de copolímeros (CALLISTER, 2012).
2.1.3 Cristalinidade dos polímeros
classificados como amorfos ou cristalinos (semicristalinos). A cristalinidade
dos polímeros se relaciona à compactação de cadeias moleculares para produzir
um arranjo atômico ordenado. Podendo o grau de cristalinidade, equação 1,
oscilar desde completamente amorfo até cerca de 95% (noventa e cinco por
cento) cristalino (CALLISTER, 2012).
% cristalinidade(em massa) =𝜌𝑐(𝜌𝑠−𝜌𝑎)
𝜌𝑠(𝜌𝑐−𝜌𝑎) 𝑥 100 (1)
Onde: 𝝆𝒔 é a densidade do polímero; 𝝆𝒂 é a densidade da parte amorfa e 𝝆𝒄 é a
densidade da parte cristalina
O que determina o grau de cristalinidade do polímero é a taxa de
resfriamento no processo de solidificação e da configuração da cadeia. No
resfriamento, por terem cadeias aleatórias e entrelaçadas no líquido viscoso,
precisam ficar ordenados entre si, desta forma precisam de tempo suficiente para
que as cadeias se movam e se alinhem entre si (CALLISTER, 2012).
Os polímeros se dividem em três grandes grupos, quanto ao tipo de
monômero (estrutura química), do número de meros por cadeia e do tipo de
ligação covalente, que são: plásticos, borrachas e fibras. A diferença se dá pelas
suas propriedades mecânicas, quer dizer, a resposta do material quando
submetido a uma tensão ou força, comparativamente com outras características
de cada grupo (MANO,1999).
Nos polímeros, propriedades mecânicas são especificadas por parâmetros
como: modulo de elasticidade, limite de resistência à tração e as resistências ao
impacto e à fadiga (CALLISTER, 2012; MANO, 1999).
17
O módulo de elasticidade e a ductilidade, em relação à porcentagem de
alongamento, são determinados para os polímeros da mesma maneira que para
os metais, a diferença, para os materiais poliméricos altamente elásticos pode
variar entre 7 MPa (muito baixo) para até 4 GPa em polímeros rígidos. Para os
metais, os valores do módulo de elasticidade são bem maiores, variando entre 48
a 410 GPa. Quanto à porcentagem de alongamento, os metais raramente se
alongam de maneira plástica além de 100%, alguns polímeros muito elásticos
podem chegar a mais de 1000% de alongamento. Os polímeros são muito mais
sensíveis a variações de temperatura na vizinhança da temperatura ambiente
(CALLISTER, 2012).
Na figura 1, encontram-se três tipos de comportamento tensão-deformação
para os diferentes materiais poliméricos. Na curva A, observa-se um
comportamento típico de tensão-deformação para um polímero frágil, onde ocorre
a fratura enquanto se deforma elasticamente. Na Curva B, para material plástico,
observa-se um comportamento semelhante aos materiais metálicos, a
deformação inicial é elástica seguida de um escoamento com uma região de
deformação plástica. Na curva C, nota-se uma deformação totalmente elástica,
típica de borracha em que grandes deformações recuperáveis são geradas
através de baixos níveis de tensão, decorrente da classe de polímeros chamada
de elastômeros (CALLISTER, 2012).
18
Figura 1. Comportamento tensão-deformação para polímeros frágeis (curva
A), plásticos (curva B) e altamente elásticos (elastoméricos) (curva C). Fonte:
Adaptado de (CALLISTER, 2012)
2.2 Características do poli(L-co-D, L-ácido láctico)(PLDLA)
O poli(L-co-D, L-ácido láctico) (PLDLA), é um copolímero bioreabsorvível,
que possui rápida degradação que ocorre por hidrólise de suas ligações ésteres,
com a vantagem dos produtos gerados completamente absorvidos pelo
organismo, além de boa resistência à tração (BARAÚNA, 2007) e possui
estabilidade mecânica (SCMIDMAIER, et al.; 2001).
Em situações de fixação direta com a estrutura óssea, tornam este material
potencialmente um bom substituto de implantes com módulo elástico alto, por
diminuir as chances de re-fratura na área de fixação do dispositivo (FELTEL,
2013; MIDDLETON, 2000).
19
Outra vantagem apresentada pelo PLDLA é o baixo índice de reações
inflamatórias ocasionadas no tecido adjacente ao implante fixado por longo
período no paciente, em comparação com outros materiais (LI, et al, 2013).
Estudos da relação degradação/resistência do PLDLA (70/30), sendo a
mistura de 70% do poli(L-ácido láctico) e 30% do poli(D,L ácido láctico), em
função do tempo, apresenta como principais características: capacidade de reter
aproximadamente 100% de sua resistência inicial por 3 meses, manter mais de
90% da resistência após 6 meses, 70% da resistência após 9 meses, 50% da
resistência após 12 meses, possibilitando a moldagem por aquecimento por
diversas vezes sem contudo, perder suas propriedades. Pode ser reabsorvido por
completo no intervalo de 18-36 meses (CLAES, et al., 1996).
2.3 Mecânica do Contínuo e Elasticidade Não Linear
A mecânica do Contínuo é um ramo da física que utiliza leis e conceitos
físicos e termodinâmicos para propor um modelo unificado de equacionamento
para sólidos e fluidos. Na mecânica do Contínuo, a lei constitutiva é o único
parâmetro que diferencia os sólidos dos fluidos. Em geral, as descrições
Lagrangianas são utilizadas na mecânica dos sólidos, ao passo que descrições
Eulerianas são utilizadas na mecânica dos fluidos. Na descrição Lagrangiana, os
referenciais são fixos para caracterizar o movimento em relação à configuração
inicial indeformada e a análise é direcionada a uma partícula durante seu
movimento no espaço. Diferentemente da descrição Euleriana que utiliza
referenciais móveis para caracterizar o movimento em relação à configuração
atual deformada. Na descrição Euleriana do movimento, direciona-se a análise
para um ponto do espaço e observa-se as partículas que passam por esse ponto
(HOLZAPFEL, 2000).
2.3.1 Tensores de tensão de Cauchy e de Piola-Kirchhoff
20
Na mecânica do Contínuo, as principais medidas de tensão utilizadas são:
tensor de tensões Cauchy (s), 1º tensor de tensões de Piola-Kirchhoff (P) e 2º
tensor de tensões de Piola-Kirchhoff (S). O tensor de tensões de Cauchy por ser
relacionado à área da configuração deformada atual é uma media Euleriana de
tensão. Em contrapartida, segundo Hoss, os tensores de Piola-Kirchhoff propõem
definições Lagrangianas para o cálculo das tensões. Tanto o 1º como o 2º tensor
de tensões de Piola-Kirchhoff são medidas Lagrangianas, pois o 1º tensor é
baseado na área da configuração indeformada inicial e fornece a força atual por
unidade de área da configuração de referência (fixa) inicial indeformada. Quanto
ao 2º tensor é de grande interesse na formulação das equações constitutivas
como em mecânica computacional por se tratar de um tensor simétrico com
referência à posição inicial (fixa) indeformada e conhecida (medida Lagrangiana)
(HOSS, 2009).
2.3.2 Relações Constitutivas
Em análise estrutural, as relações constitutivas são compostas de
equações que relacionam a tensão com a deformação. Serão abordados neste
trabalho, as relações lineares ou não lineares para materiais elásticos
(hiperelásticos), que por definição seguem duas regras (ATKIN & FOX, 1980;
OGDEN, 1984):
O material é perfeitamente reversível, quer dizer, se um corpo é
submetido a um ciclo de deformação fechado em temperatura
constante, o trabalho realizado pelo corpo é nulo.
O estado de tensões em um ponto do corpo depende apenas de
uma medida apropriada de deformação naquele ponto (HOSS,
2009).
2.3.3 Deformação
21
Para descrever o comportamento de um material elástico linear submetido
a tensões tridimensionais é necessário conhecer as propriedades do módulo de
elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson (ν) do material (LAI & KREMPL, 1993).
2.3.4 Equação Constitutiva Não-Linear para Material Isotrópico
Elástico
As relações constitutivas para materiais lineares, abordadas no tópico
anterior, possuem duas grandes limitações: 1) Podem ser utilizadas para modelar
fenômenos com pequenas deformações e; 2) Mesmo para deformações
pequenas, essa teoria é capaz de modelar comportamentos de tensão em função
de deformações lineares.
O problema é que muitos polímeros (plásticos e borrachas/elastômeros),
incluindo os tecidos biológicos não se enquadram nestas limitações, uma vez que
ocorrem grandes deformações em regime elástico, além de apresentarem
relações de tensão x deformação complexas. Existem três grandes tipos de lei
constitutiva não linerar (LAI & KREMPL, 1993; BONNET, et al., 1997):
1. Hipoelasticidade: aplicada na modelagem de comportamento tensão x
deformação em função de taxas (�̇�=f(𝜀̇)). Geralmente aplicadas nas teorias
aproximadas de plasticidade.
2. Materiais Hookeanos: utilizada para estender os modelos lineares elásticos
para situações que envolvam deformações finitas.
3. Hiperelasticidade: compreende a cinemática não-linear e o comportamento
tensão x deformação não-linear. Aplicada principalmente na construção de
modelos para borrachas, espumas e tecidos biológicos.
Para que uma relação constitutiva seja aceitável para materiais elásticos,
pressupõe-se que a tensão em um ponto pode ser obtida tão somente a partir das
deformações no ponto. Consegue-se fazer isto através da elasticidade de Cauchy
ou da elasticidade de Green. A primeira trabalha com medidas Eulerianas e a
segunda utiliza medidas Lagrangianas (ATKIN & FOX, 1980). Como na
cinemática é descrito o movimento de um corpo ou estrutura, sem considerar as
22
causas da mudança de posição ou configuração, a posição do corpo é uma
função contínua que corresponde exclusivamente entre o ponto material e sua
coordenada no espaço em relação a um referencial. Esta função associa a
posição inicial e a atual de um ponto material (HOLZAPFEL, 2000; LAI, 1999).
2.3.5 Particularização para Material Isotrópico Elástico
Incompressível
Os materiais que são considerados incompressíveis, ou seja, aqueles que,
na deformação, não apresentam variações de volume, apenas de forma, como
alguns polímeros e boa parte das borrachas (elastômeros) possuem equações
constitutivas mais simplificadas, contudo por aparecer uma pressão hidrostática p
indeterminada, a tensão não pode ser determinada univocadamente a partir da
deformação (ATKIN e FOX, 1980; BONNET, et al., 1997):
𝜎 = −𝑝I + 𝑏1B + 𝑏2𝜋B−1 (2)
Desta maneira, considera-se algum grau de compressibilidade da equação
(2), desde que o módulo de compressibilidade (K) seja comparável ao dos metais
ou sólidos de ligação covalente. Determina-se as funções 𝑏1 e 𝑏2 derivadas de
uma função potencial W dos invariantes 𝐼1 e 𝐼2 do tensor B (ATKIN e FOX, 1980)
qual seja:
𝑏1 = 2∂W
∂𝐼1 𝑏2 = −2
∂W
∂𝐼2
Substituindo-se os valores de 𝑏1 e 𝑏2 na equação (2), teremos:
𝜎 = −𝑝I + 2∂W
∂𝐼1B + −2
∂W
∂𝐼2B−1 (3)
A equação (3) é uma relação constitutiva para um material sólido
hiperelástico isotrópico.
23
2.3.6 Ensaio de Tração Uniaxial
Do ensaio de tração uniaxial são obtidos os valores da tensão (𝜎𝑒) e da
deformação específica de engenharia (𝜀𝑒), ambos na direção longitudinal. Sendo
o gradiente para este ensaio, dado pela expressão (4):
𝐴 = [
𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3
] = [
𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3
] (4)
𝜆1 = (𝜀𝑒)𝑖 + 1 (5)
onde 𝜆1 (5) é o alongamento na direção i.
Considerando a hipótese de incompressibilidade (J=1), onde o
determinante da equação (6) é 1, torna possível o cálculo de alongamentos
transversais 𝜆1 e 𝜆3 = 𝜆2 , do gradiente do alongamento à direita de Cauchy-
Green e dos invariantes (PASCON, 2008):
𝜆2 = 𝜆3 = (𝜆1)−1/2 ⇒ J = det (A) = 𝜆1𝜆2𝜆3 = 1⇒
⇒ 𝐴 = [𝜆 0 00 𝜆−1/2 00 0 𝜆−1/2
] ⇒ 𝐶 = 𝐴𝑇𝐴 [𝜆2 0 00 1/𝜆 00 0 1/𝜆
] (6)
⇒ 𝐼1(C) =tr(C) = 𝜆2 +2/𝜆
⇒ 𝐼2(C) = 𝜆−2 +2 𝜆
⇒ 𝐼3(C) = 1
Rivlin e Saunders obtiveram a solução analítica aplicada aos casos de
tração uniaxial homogênea, que é expressa entre a tensão de engenharia na
direção longitudinal e energia de deformação (7) (RIVLIN & SAUNDERS, 1951):
σ𝑒
𝜆−𝜆−2=
(𝐹/𝐴0)
𝜆−𝜆−2= 2 [
𝜕𝜓
𝜕𝐼1+
1𝜕𝜓
𝜆𝜕𝐼1] (7)
2.3.7 Cisalhamento Simples de um Bloco Hexaédrico Incompressível
24
No cisalhamento simples, um elemento material representado por dX na
configuração de referência (inicial sem deformação) pode ser transformado em
um elemento representado por dx na configuração corrente (atual ou deformada),
utilizando-se o gradiente do tensor deformação F. O esquema da relação entre os
elementos é dada por dx=FdX, conforme a Figura 2.
Figura 2. Configuração para cisalhamento simples do estado inicial para o estado
deformado.
Considerando um bloco retangular submetido a um cisalhamento simples,
como a ilustração da figura 2, teremos as componentes da posição atual em
relação ao referencial, dadas por:
𝑥1 = 𝑋1 + 𝛾𝑋2 (8)
𝑥2 = 𝑋2 (9)
𝑥3 = 𝑋3 (10)
Onde 𝛾 é a deformação angular, ou seja, tg θ = 𝛾
1. Com as componentes da
posição 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3,o tensor gradiente de deformação F (11), pode ser expresso
como (PEREIRA, 2013):
25
𝐹 = 𝛻𝑥 = [1 𝛾 00 1 00 0 1
] (11)
Através de operações matemáticas e usando o tensor deformação de
Cauchy-Green, a componente da tensão de cisalhamento pode ser dada por:
𝜎12 = 2 (𝜕𝑊
𝜕𝐼1+
𝜕𝑊
𝜕𝐼2) 𝛾 (12)
2.3.8 Ensaio de tração Biaxial de uma Lâmina Fina Incompressível
Considerando no campo de deslocamentos (13) 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 e (𝝀𝟏, 𝝀𝟐 > 1),
obtém-se a extensão homogênea de uma lâmina da figura 3, para os invariantes
𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 (HOSS, 2009):
𝑥1 = 𝜆1𝑋1 𝑥2 = 𝜆2𝑥2 𝑥3 = 𝜆2𝑥3 (13)
𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆, 𝜆3 = 1
𝜆2
𝐼1 = 2𝜆2 +1
𝜆4 (14)
𝐼2 = 𝜆4 +2
𝜆2 (15)
26
Figura 3. Extensão Biaxial de uma Lâmina Fina Incompressível. (Fonte:
HOSS, 2009)
A componente da tensão de tração biaxial (𝜎33 = 0) pode ser dada por:
𝜎 = 𝜎11 = 𝜎22 = 2 (𝜆2 −1
𝜆4) (𝜕𝑊
𝜕𝐼1+ 𝜆2 𝜕𝑊
𝜕𝐼2) (16)
2.4 Modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem)
O modelo de Mooney-Rivlin (MOONEY, 1940) é uma série polinomial,
baseado nos invariantes 𝐼1 e 𝐼2:
𝑊 = ∑ 𝐶𝑖𝑗(𝐼1 − 3)i∞
𝑖=0,𝑗=0(𝐼2 − 3)j (17)
onde 𝐶𝑖𝑗 são parâmetros do material e 𝐶00 = 0. A série é geralmente truncada para
termos de primeira, segunda ou terceira ordem. Como exemplo, para terceira
ordem é necessário determinar nove parâmetros de material. Esta forma de
função energia de deformação é amplamente usada para problemas de grandes
deformações (MARCKMANN, 2006; WINEMAN e GANDHI, 1984). O modelo para
primeira ordem é descrito como:
27
𝑊(𝐼1, 𝐼2) = 𝐶10(𝐼1 − 3) + 𝐶01(𝐼2 − 3) (18)
onde 𝐶10 e 𝐶01 são parâmetros do material, 𝐼1 e 𝐼2 são os invariantes de
deformação. A subtração de três é para a energia ser nula na posição
indeformada (HOLZAPFEL, 2000; SAAD, 2005). O módulo de cisalhamento (𝜇0) e
o módulo de massa (𝐾0) são dados por:
𝜇0 = 2(𝐶10 + 𝐶01), 𝐾0 = 2
𝐷1 (19)
2.5 Modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem)
O modelo de Mooney-Rivlin para segunda ordem é descrito como:
𝑊(𝐼1, 𝐼2) = 𝐶10(𝐼1 − 3) + 𝐶01(𝐼2 − 3) + 𝐶20(𝐼1 − 3)2 + 𝐶11(𝐼1 − 3)(𝐼2 − 3) + 𝐶02(𝐼2 − 3)2 (20)
onde 𝐶10, 𝐶01, 𝐶20, 𝐶11 e 𝐶02 são parâmetros do material, 𝐼1 e 𝐼2 são os
invariantes de deformação. Esta forma apresenta mais três parâmetros do
material, o que permite um melhor ajuste para o polinômio (21). Mais termos
podem ser adicionados a equação (17), mas normalmente não produzem
apreciáveis melhorias (SASSO, et al, 2008). O módulo de cisalhamento é:
𝜇 = 2 ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑖𝑗
(21)
2.6 Modelo de Ogden
Ogden, em 1972, propôs um modelo para materiais elásticos, isotrópicos e
incompressíveis, submetidos a grandes deformações e derivando a função
densidade energia de deformação em termos das três extensões principais λ, i =
1,2,3. A função energia de deformação foi expandida através de uma série de
28
potências reais e descrita como função dos estiramentos principais (OGDEN,
1972):
𝑊(𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) = ∑𝜇𝑛
𝛼𝑛(𝜆1
𝑎𝑛+𝜆2𝑎𝑛 + 𝜆3
𝑎𝑛 − 3)N
𝑛=1 (22)
𝜆1𝜆2𝜆3𝜆1𝑎𝑛𝜆2
𝑎𝑛𝜆3𝑎𝑛 𝐴 = 𝜋𝑟2𝑎𝑛𝜇𝑛𝛼𝑛 (23)
O módulo de cisalhamento é 𝜇 =1
2∑ 𝜇n
Nn=1 αn, com a seguinte condição de
estabilidade,𝜇𝑛𝛼𝑛> 0, n=1, N. Para primeira ordem o módulo é 𝜇1 =2𝜇
𝛼1, Este
modelo é usado para problemas de grandes deformações (OGDEN, 1972). Os
modelos para primeira e segunda ordem são descritos abaixo, com 𝜆1 = 1 e
𝜆2−1 ≡ 𝜆1.
𝑊(𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) =𝜇1
𝛼1(𝜆1
𝑎1+𝜆2𝑎1 + 𝜆3
𝑎1 − 3) (24)
𝑊(𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) =𝜇1
𝛼1(𝜆1
𝑎1+𝜆2𝑎1 + 𝜆3
𝑎1 − 3) + 𝜇2
𝛼2(𝜆1
𝑎2+𝜆2𝑎2 + 𝜆3
𝑎2 − 3) (25)
2.7 Modelo de Yeoh
Em 1987, Yeoh propôs um método para determinação experimental do
módulo de compressão volumétrica, ou bulk modulus, de materiais poliméricos
vulcanizados, aplicando-se compressão com deformação controlada em vários
corpos de prova variados de diferentes composições. Determinou-se, desta
maneira, o módulo de compressão volumétrica para cada tipo de material (YEOH,
1987).
No ano de 1990, o mesmo Yeoh propôs um modelo constitutivo para
materiais hiperelásticos e incompressíveis, assumindo a independência do
29
segundo invariante 𝐼2. Descreveram-se os modelos neo-Hookeano e teve como
base o modelo de Mooney-Rivlin (YEOH, 1990), ficando sua função como segue:
𝑊 = ∑ 𝐶𝑛N𝑁=1 (𝐼1 − 3)𝑛 (26)
𝜇 = 2 ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑖𝑗
(27)
onde 𝐶𝑛, n=1,2,3 são os parâmetros do material e 𝐼1 é o primeiro invariante de
deformação. Omodelo para primeira ordem é descrito como (YEOH, 1990):
𝑊(𝐼1) = 𝐶1(𝐼1 − 3) (28)
onde o módulo de cisalhamento é µ=2𝐶1 [7]. Este modelo é igual ao modelo “Neo-
Hookeano” para n = 1. O modelo de Yeoh para n = 2 e n = 3, ficaram
respectivamente:
𝑊(𝐼1) = 𝐶1(𝐼1 − 3) + 𝐶2(𝐼1 − 3)2 (29)
𝑊(𝐼1) = 𝐶1(𝐼1 − 3) + 𝐶2(𝐼1 − 3)2 + 𝐶3(𝐼1 − 3)3 (30)
onde os módulos de cisalhamento são µ=2𝐶1 + 4𝐶2(𝐼1-3) para n=2 e m =2𝐶1 + 4𝐶2
(𝐼1-3) +6𝐶3 (𝐼1-3)2 para n=3.
2.8 Modelo Polinomial
O modelo polinomial é baseado no 1º e 2º invariantes de deformação, que
visa ajustar um polinômio de grau desejado ao diagrama σ x Ɛ do material
(HOSS, 2009):
𝑊 = ∑ 𝐶𝑖𝑗(𝐼1 − 3)𝑖(𝐼2 − 3)j +N
𝑖+𝑗=1∑
1
𝐷𝑘(j − 1)2k
N
𝑘=1 (31)
30
Onde
D1 = 2
K, 𝜇 = 2(C10 − 𝐶01) (32)
Este modelo surgiu de um processo inverso, quer dizer, verificou-se que
muitos modelos propostos eram baseados em polinômios incompletos. Permitindo
que fabricantes de programas computacionais de elementos finitos implementem
rotinas através de softwares, para gerar diversos modelos particularizados como o
Abaqus, Ansys, Nastran (HOSS, 2009).
3. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a realização deste estudo, foram utilizados os dados experimentais
obtidos em laboratório em ensaio de tração uniaxial de amostras do polímero
PLDLA - poli(L-ácido lático-co-D,L-ácido lático), da pesquisa elaborada pela
Professora Doutora Sônia Maria Malmonge juntamente com a estudante Jessica
A. Trindade, obtidas em ensaio de tração uniaxial no Sistema de Testes de
Microforça Tytron 250, fabricada pela MTS, que avaliou o comportamento
mecânico do material hiperelástico. Sendo os principais dados provenientes deste
ensaio experimental, as curvas de força x deslocamento, que além de serem
relativamente de simples monitoração, fornecem informações para a obtenção de
diversas variáveis e propriedades físicas, como por exemplo: tensão de ruptura,
módulo de elasticidade E, módulo de cisalhamento G, módulo de
compressibilidade K e o coeficiente de Poisson ν (HOSS, 2009).
3.1 Ajuste de Constantes Constitutivas
Inicialmente foi preciso fazer a conversão das curvas de tensão x
deformação em dados que permitam calibrar para o Modelo de Ogden e assim
verificar a validade dos mesmos. Considerou-se que o material estudado é
incompressível (HOSS, 2009).
31
3.2 Hipótese de Incompressibilidade
Para se caracterizar um material hiperelástico é necessário descobrir o
módulo de compressibilidade, uma vez que as equações constitutivas para
materiais incompressíveis são bem mais simples quando comparadas com os
materiais com compressibilidade significativa (HOSS, 2009).
O objetivo primário do ensaio de compressão volumétrica é verificar o
módulo de compressibilidade K do material (MARCZAK, et al., 2006). Um material
incompressível sob pequenas deformações é caracterizado por ν =1/2 e 𝐾 > 104
G (OGDEN, 1984; GENT, 2001).
3.3 Curva Tensão x Deformação
O modelo de Ogden com três termos faz o ajuste de dados do teste com
boa aproximação dos dados medidos, tanto do ensaio de tração uniaxial, como do
ensaio biaxial, como mostrado na figura 4, que segue abaixo:
32
Figura 4. Parâmetros de material ajustados usando o modelo de Ogden
com três termos. Fonte: Adaptado de (KUMAR, 2015).
As constantes são obtidas a partir do ajuste da curva gerada
experimentalmente. E estas podem ser geradas através de três formas distintas,
que são:
1. Para ensaio uniaxial
𝜆1 = 𝜆𝑈, 𝜆2 = 𝜆3 = 𝜆𝑈−1/2
, 𝜆𝑈 = 1 + Є𝑈 (33)
𝑇𝑈 = ∑2𝜇𝑖
𝛼𝑖(𝜆𝑈
𝑎𝑖−1− 𝜆𝑈
−1
2𝑎𝑖 − 1
)
N
𝑖=1
. (34)
2. Para ensaio biaxial
𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆𝐵, 𝜆3 = 𝜆𝐵−2, 𝜆𝐵 = 1 + Є𝐵 (35)
𝑇𝐵 = ∑2𝜇𝑖
𝛼𝑖(𝜆𝐵
𝑎𝑖−1− 𝜆𝐵
−2𝑎𝑖 − 1)
N
𝑖=1 (36)
3. Para ensaio de cisalhamento
𝜆1 = 𝜆𝑆, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 𝜆𝑆−1, 𝜆𝑆 = 1 + Є𝑆 (37)
𝑇𝑆 = ∑2𝜇𝑖
𝛼𝑖(𝜆𝑆
𝑎𝑖−1− 𝜆𝑆
−𝑎𝑖 − 1)
N
𝑖=1 (38)
Como mostrado na figura 3, o modelo de Ogden consegue representar o
material hiperelástico, em uma análise numérica de não-linearidade submetido a
grandes deformações. Este modelo (Ogden), propõem uma expressão para a
energia de deformação baseada diretamente nos alongamentos principais
(𝜆1)(OGDEN, 1972).
33
Apesar dos resultados apresentarem a potencialidade da metodologia no
ajuste de curvas, é preciso verificar a validade das constantes constitutivas
obtidas e a estabilidade das predições através de duas formas:
1. No método de otimização (ajuste de curva) garantir que o produto do módulo
de cisalhamento (𝝁𝒊) e a constante de proporcionalidade (𝜶𝒊) deve ser
positivo:
𝜇𝑖𝛼𝑖 > 0 (39)
2. Verificar se as propriedades obtidas numericamente representam um material
real. Essa verificação é feita calculando-se o determinante da matriz (39), que
deverá ser positivo, sendo a matriz expressa por:
[𝐷11 𝐷12
𝐷21 𝐷22] = ∑ 2𝜇𝑖 𝜆𝑆
−𝑎𝑖 − 𝜆𝑆−𝑎𝑖 [
𝜆12𝑎𝑖 𝜆2
𝑎𝑖 + 1 1
1 𝜆1𝑎𝑖 𝜆2
2𝑎𝑖 + 1]
N
𝑖=1
(40)
No presente trabalho, foi implementado inicialmente a opção 1, no entanto,
as respostas obtidas não apresentaram resultados satisfatórios nos ajustes das
curvas. Dessa forma, optou-se pela opção 2, para o modelo de Ogden de tração
uniaxial com três termos, que forneceu os parâmetros para as amostras de
polímero hiperelástico.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 Preparação das amostras numericamente
Primeiramente, no gráfico de tensão x deformação, foi feito um ajuste na
deformação para que todas as amostras tivessem a mesma máxima deformação
(a curva completa se encontra no apêndice, figura 12), da amostra com a menor
deformação, eliminando-se o excedente para uniformizar as deformações e obter
a curva média. Nesse processo também foi realizado uma suavização ou
34
atenuação da curva, com o objetivo de evitar possíveis erros no processo de
otimização, como mostrado na Figura 4, a seguir:
Figura 5. Gráfico tensão x deformação para amostras de material polimérico
(PLDLA) com o ajuste e suavização da curva.
onde Ɛ é a deformação específica longitudinal de engenharia, 𝑳𝒇 é o comprimento
final da amostra, 𝑳𝟎 o inicial, conforme equação 41, que segue:
Ɛ = Ɛ𝟏𝒆𝒏𝒈
= 𝜟𝑳
𝑳𝟎=
(𝑳𝒇−𝑳𝟎)
𝑳𝟎=
𝑳𝒇
𝑳𝟎− 𝟏 (41)
4.2 Ajuste de curva
Na figura 5, observa-se os dados numéricos do experimento de tração
uniaxial, utilizando a equação 21 para obter as constantes de Ogden, que segue:
35
Figura 6. Gráfico de tensão x deformação com os dados experimentais e as
curvas obtidas pelo modelo de Ogden.
Analisando a figura 6, na qual foi utilizada uma aproximação de quarta
ordem no modelo de Ogden, verificou-se que o ajuste de curva obteve os
parâmetros que representam as amostras com precisão r-square acima de 0,999.
A segunda análise que fizemos foi obter as constantes de Ogden para a média
das três amostras, por esse motivo fizemos a padronização das deformações, e o
resultado obtido foi:
36
Figura 7. Curvas obtidas do modelo de Ogden para a média das amostras, conforme
os valores da tabela 1.
Tabela 1. Valores obtidos para as curvas (constantes) do modelo de Ogden das três amostras e o valor da média
Amostra 𝝁𝟏 𝜶𝟏 𝝁𝟐 𝜶𝟐 𝝁𝟑 𝜶𝟑 𝝁𝟒 𝜶𝟒
1 603.06 16.71 601.63 16.75 603.05 16.71 -1396.67 27.99
2 609.05 17.27 607.84 17.32 609.05 17.27 -1390.62 28.66
3 599.85 23.15 599.32 23.07 599.85 23.16 -1399.60 33.99
Média 603.98 19.07 602.82 19.12 603.98 19.07 -1395.59 30.25
4.3 Verificação do determinante da matriz
Nesse tópico foi observado se as propriedades obtidas satisfazem a
condição de existência de material, quer dizer, uma das condições para que a
37
constante constitutiva do material seja válida ou não, o determinante que
representa este material precisa ser necessariamente positivo, conforme a matriz
da equação 40. Nas amostras avaliadas todas as deformações resultaram no
seguinte gráfico:
Figura 8. Gráfico das determinantes das amostras para validação da
condição de existência do material.
Analisando a figura acima, verificou-se que todos os resultados são
numericamente válidos, se durante o processo de análise numérica, a simulação
considerar que a máxima deformação seja menor do que 2,9%. Ou seja, até
2,9% de deformação o resultado matemático obtido pelo ajuste de curva
representa fisicamente o material.
38
4.4 Validação utilizando o software Abaqus
O software Abaqus, pacote de programa para análise por elementos finitos
desenvolvido pela HKS Inc de Rhode Island, e comercializado pela Dassault
Systemes S.A. sob a marca SIMULIA (DASSAULT SYSTEMES, 2019), é
mundialmente conhecido como um dos melhores quando se trata de análises não
lineares de material. Dessa forma, utilizamos o módulo de ajuste de curva,
considerando uma das amostras estudadas nos resultados anteriores, e
obtivemos a seguinte resposta:
Figura 9. Análise dos dados coletados pelo software Abaqus, para verificação da
validação da curva de tensão (MPa) x deformação (%).
Analisando a figura, verificamos que o ajuste de curva realizado pelo
Abaqus, também apresenta uma precisão similar ao realizado pelo nosso
trabalho. No entanto, as propriedades são válidas para um valor de deformação
menor do que ao desse trabalho, e as propriedades obtidas também são
diferentes.
39
Figura 10. Resultado da tensão uniaxial do programa Abaqus de 4 termos da
amostra 2.
Ou seja, verificou-se que as constantes obtidas são válidas até uma
deformação menor do que 2%.
Para um melhor entendimento, colocamos como entrada no Abaqus as
constantes de Ogden de uma das amostras estudas nesse trabalho, para verificar
se as respostas possuem a mesma deformação máxima, e os resultados obtidos
foram os da Figura 11:
Figura 11. A curva tensão (Mpa) x deformação (%) no software Abaqus
utilizando as constantes de Ogden da amostra 1.
40
Figura 12. Resultado de validação obtido pelo software Abaqus para a amostra 1.
Analisando os resultados, verificou-se que o método de otimização adotado
nesse trabalho obteve resultado melhor do que o do ABAQUS. Quando fornecido
os valores, o mesmo apresentou uma validade de até 4% de deformação máxima.
5. CONCLUSÃO
Os resultados apresentados no estudo de modelos constitutivos para
materiais poliméricos, método que foi realizado por meio do software MATLAB
conseguiu reproduzir de forma adequada o modelo constitutivo hiperelástico não
linear com o modelo de Ogden, obtendo ainda respostas compatíveis com
software ABAQUS.
Do gráfico da curva de tensão x deformação gerada com os dados
experimentais em ensaio de tração uniaxial do copolímero poli(L-co-D,L-ácido
láctico) (PLDLA), utilizando aproximação de quarta ordem no modelo de Ogden,
verificou-se que depois do ajuste, foram obtidos parâmetros com precisão r-
square acima de 0,999, conforme o gráfico da Figura 6 e da Figura 7, para a
41
constante obtida para a média das amostras. Além disso, das técnicas de
otimização e atenuação, efetuadas nas constantes das amostras, revelaram que a
validação para a condição de existência numérica do material ficou em
deformação de até de 2,9%, conforme o gráfico da figura 8.
A análise pelo ajuste de curvas pelo software ABAQUS, apresentou uma
precisão similar, ou seja, verificou-se que as constantes obtidas são válidas até
uma deformação menor do que 2%, Figura 10. Portanto, ao analisar os
resultados, o software MATLAB apresentou melhores resultados
comparativamente com o ABAQUS, já que quando fornecido os valores e
efetuados a otimização, o mesmo atingiu uma validade de até 4% de deformação
máxima.
Foram encontradas algumas dificuldades para a execução deste trabalho,
como o curto período para sua execução, aproximadamente três meses, e a
quantidade pequena de dados das três amostras analisadas.
Porém, devido a complexidade da análise estrutural de materiais
hiperelásticos, necessita-se, desta forma, dar continuidade ao estudo, incluindo a
análise de tração biaxial, com o objetivo de melhorar as simulações para projetos
futuros.
42
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APÊNDICE
Figura 12. Gráfico completo da tensão x deformação das amostras 1, 2
e 3, dos dados obtidos do ensaio de tração em laboratório.