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Universidade Federal de ViçosaDepartamento de Informática
Prof. Mauro Nacif Rocha
Fevereiro de 2011
INF-282Pesquisa Operacional III
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CAPÍTULO 1
Introdução à Matemática Financeira e Engenharia Econômica
Qualquer projeto ou serviço de engenharia ou economia requer um investimento de capital –normalmente sendo este o primeiro custo do projeto – financiado pela própria empresa ou por al-guma agência financiadora. É necessário, portanto, compararmos alternativas de investimento, de-terminando o valor equivalente da receita ou do desembolso de capital em datas diferentes, de for-ma a orientar as tomadas de decisão.
Conceitos básicos
Fluxo de caixa
Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (no caixa) ao longo do tempo.
O fluxo de caixa serve para fazer análises de rentabilidade e custo de operações financeiras, estudosde viabilidade econômica de projetos e investimentos. Sua representação pode ser feita por meio deseqüências numéricas ou esquematicamente.
Exemplo 1:Fluxo de caixa representado por seqüência.
(+100,00 ; -20,00 ; -20,00 ; -50,00 ; -40,00)
Exemplo 2:O mesmo fluxo de caixa representado esquematicamente.
+100,00
-20,00 -20,00-40,00
-50,00
tempo0 1 32 4
O eixo horizontal representa a linha do tempo, dividido em períodos iguais (dias, semanas, me-ses, trimestres, semestres ou anos).
As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadospor setas apontadas para baixo.
As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, possuem sinais positivos e são repre-sentados por setas apontadas para cima.
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Juros
Juros são as remunerações de capital.
Podem ser a remuneração paga por instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado ou o custodo capital de terceiros. O conceito de juros é citado em documentos tão antigos quanto a Lei deMoisés (1460 a.C.) e os provérbios de Salomão (950 a.C.).
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que se refere a uma unidade de tempo.
Exemplo 3:12% ao ano = 12% a.a.8% ao mês = 8% a.m.
O valor do dinheiro no tempo
O dinheiro muda seu valor no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros. A Ma-temática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que também está interli-gado à existência da taxa de juros. Valores de uma mesma data são grandezas que podem ser com-paradas e somadas algebricamente. Se forem datas diferentes, os valores só poderão ser comparadosapós serem movimentados para uma mesma data, com a aplicação de uma taxa de juros.
Exemplo 4:Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$100,00 hoje não serão iguais a R$100,00 em qual-quer outra data, pois o dinheiro muda o seu valor com o tempo. Para uma taxa de 5% a.m., é indife-rente se temos R$100,00 hoje ou R$105,00 daqui a um mês.
Simbologia
A simbologia e a convenção utilizadas neste curso são idênticas às adotadas por calculadoras damarca HP, inclusive pela HP-12C.
n Número de períodos de capitalização, expressos em dias, meses, trimestres, semestres ouanos, podendo ter os valores 0, 1, 2, 3...
i Taxa de juros por período de capitalização (do inglês, “interest”), expressa em porcentagem esempre mencionando a unidade de tempo relacionada.
P Valor presente ou valor do capital inicial aplicado. É o valor monetário no ponto onde n = 0.Nas calculadoras HP é identificado como PV ou “Present Value”.
F Valor futuro ou valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização, com ataxa de juros i. Nas calculadoras HP é identificado como FV ou “Future Value”.
A Valor de cada prestação da Série Uniforme que ocorre em cada período (início ou fim). Nascalculadoras HP é identificado como PMT ou “Periodic PayMenT”.
I Valor total do juros a pagar.
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Juros Simples e Compostos
Juros Simples
Os juros de cada período são calculados em função do capital inicial aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para cálculo de novos juros nos períodos se-
guintes. Os juros não são capitalizados, não rendem juros; apenas o principal rende juros.
Exemplo 1:Um empréstimo de R$1.000,00 foi feito para ser pago com juros de 12% ao mês, no regime de jurossimples. Ao final de 4 meses, quanto deverá ser pago?
Montante = Valor aplicado + Juros
Valor aplicado = R$1.000,00Juros do 1º mês = 1.000,00 x 12% = 120,00Juros do 2º mês = 1.000,00 x 12% = 120,00Juros do 3º mês = 1.000,00 x 12% = 120,00Juros do 4º mês = 1.000,00 x 12% = 120,00
Total de Juros = 4 x 120,00 = 480,00
Montante a ser pago = 1.000,00 + 480,00 = R$1.480,00
Tabela 1: Crescimento de R$1.000,00 a juros simples de 12% a.m.Mês Saldo no início do mês Juros do mês Saldo no final do mês
1 1.000,00 1.000,00 x 12% = 120,00 1.120,002 1.120,00 1.000,00 x 12% = 120,00 1.240,003 1.240,00 1.000,00 x 12% = 120,00 1.360,004 1.360,00 1.000,00 x 12% = 120,00 1.480,00
Fórmulas de Equivalência:
I = Pni
F = P + I = P(1 + ni)
Exemplo 2:Um empréstimo de R$300 mil foi feito para ser pago com juros de 9% ao ano, no regime de jurossimples. Ao final de 5 anos, quanto deverá ser pago?
I = $300.000 5 0,09 = $135.000F = $300.000 + $135.000 = $435.000
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Juros Compostos Os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período,
e não apenas sobre o capital inicial. Os juros do período são somados ao capital para cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados, rendem juros.
Exemplo 3:Vejamos o que acontece com aquele mesmo empréstimo do exemplo 1, se fosse capitalizado peloregime de juros compostos.
Principal = R$1.000,00Juros do 1º mês = 1.000,00 x 12% = 120,00Montante do 1º mês = 1.000,00 + 120,00 = 1.120,00
Juros do 2º mês = 1.120,00 x 12% = 134,40Montante do 2º mês = 1.120,00 + 134,40 = 1.254,40
Juros do 3º mês = 1.254,40 x 12% = 150,53Montante do 3º mês = 1.254,40 + 150,53 = 1.404,93
Juros do 4º mês = 1.404,93 x 12% = 168,59Montante do 4º mês = 1.404,93 + 168,59 = 1.573,52
Montante a ser pago = R$1.573,52
Tabela 2: Crescimento de R$1.000,00 a juros compostos de 12% a.m.Mês Saldo no início do mês Juros do mês Saldo no final do mês
1 1.000,00 1.000,00 x 12% = 120,00 1.120,002 1.120,00 1.120,00 x 12% = 134,40 1.254,403 1.254,40 1.254,40 x 12% = 150,53 1.404,934 1.404,93 1.404,93 x 12% = 168,59 1.573,52
Figura 1: Crescimento de R$1.000,00 no tempo: juros simples e compostos de 12% a.m.
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Fórmulas de Equivalência:
Obter Dado Fórmula Notação Abreviada Observações
F P niPF )1( F = P(F/P, i, n)Obter valor de capital F corres-pondente, no fim de n períodos,
ao valor investido na data inicial.
P F
niFP
)1(1
P = F(P/F, i, n)Obter valor inicial P correspon-dente, no fim de n períodos, ao
valor F.
F A
iiAF
n 1)1(F = A(F/A, i, n)
Obter valor F correspondente, nofim de n períodos, a uma série de
n prestações A.
A F
1)1( ni
iFA A = F(A/F, i, n)
Obter o valor de cada prestaçãoA a ser paga em n vezes, para
capitalizar o montante F no fimdo período n.
P A
n
n
iiiAP
)1(1)1(
P = A(P/A, i, n)Obter valor presente P corres-
pondente, na data inicial, a umasérie de n prestações A.
A P
1)1()1(
n
n
iiiPA A = P(A/P, i, n)
Obter o valor de cada prestaçãoA a ser paga em n vezes, para
amortizar o montante P devidona data inicial.
Nas notações abreviadas, temos as seguintes correspondências:
n
n
n
n
iiiniPAniAP
iiniFAniAF
iniFPniPF
)1(1)1(),,//(1),,/(
1)1(),,//(1),,/(
)1(),,//(1),,/(
Comparação
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. No regime de juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente (progressão geométrica)
enquanto que no regime de juros simples o crescimento é linear (progressão aritmética). O regime de juros simples nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de fluxos de
caixa, pois aumenta de modo fictício a rentabilidade efetiva e reduz o custo efetivo dos financi-amentos.
Na prática, os juros simples só são utilizados para calcular multas por vencimento de algumasduplicatas, por exemplo.
O regime de juros compostos é o único universalmente aceito como correto.
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Taxas de juros
Taxa Efetiva
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade detempo dos períodos de capitalização.
Exemplo 1:1,5% ao mês, capitalizados mensalmente.12 % ao ano, capitalizados anualmente.
Taxas Equivalentes
Taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao seremaplicadas a um mesmo valor presente durante um mesmo prazo produzem um mesmo montanteacumulado no final daquele prazo.
Exemplo 2:Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um valor inicial deR$1000, com as seguintes taxas de juros:a) 12,6825% ao ano;b) 6,1520% ao semestre;c) 1,00% ao mês.
a) i = 12,6825% ao anon = 4 anosF = P (1 + i)n = 100 (1 + 0,126825)4 = 100 1,6122 = $161,22
b) i = 6,1520% ao semestren = 4 anos = 8 semestresF = P (1 + i)n = 100 (1 + 0,06152)8 = 100 1,6122 = $161,22
c) i = 1,00% ao mêsn = 4 anos = 48 mesesF = P (1 + i)n = 100 (1 + 0,01)48 = 100 1,6122 = $161,22
Como o montante obtido foi sempre igual, podemos concluir que 12,6825% ao ano,6,1520% ao semestre e 1% ao mês são proporcionais (juros compostos).
Relação entre as taxas equivalentes:
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im) 12 = (1 + id) 360
onde:ia = taxa de juros anualis = taxa de juros semestralit = taxa de juros trimestralim = taxa de juros mensalid = taxa de juros diária
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Taxa Nominal
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a uni-dade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais,e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários.
Exemplo 3:Exemplos de taxas nominais: 32% ao ano, capitalizados mensalmente
15% ao ano, capitalizados diariamente
Relações entre as taxas nominais e as taxas efetivas:
360N
dii
12N
mii
4N
tii
2N
sii
onde:iN = taxa de juros nominal anualis = taxa semestral efetiva implícitait = taxa trimestral efetiva implícitaim = taxa mensal efetiva implícitaid = taxa diária efetiva implícita
Exemplo 4:Determinar a taxa efetiva trimestral que é equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano, capitali-zados mensalmente.
Taxa nominal: iN = 15% ao anoTaxa efetiva mensal: im = 15% / 12 = 1,25% ao mês
(1 + it)4 = (1 + im)12 (1 + it) = (1 + im)3
(1 + it) = (1 + 1,15%)3 = (1,0125)3
it = (1,0125)3 – 1 = 0,037971
ou seja, 3,7971% ao trimestre.
Exemplo 5:Determinar o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar $1000 à taxa de 9% ao ano,capitalizados mensalmente.
Taxa nominal: iN = 9% ao anoTaxa efetiva mensal: im = 9% / 12 = 0,75% ao mês
n = 2 anos = 24 mesesim = 0,75% ao mêsP = $1000
41,196.1$)75,01(1000)1( 24 niPF
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Exemplo 6:Foi efetuado um empréstimo de $200.000 à taxa de 9% a.a., e o pagamento deve ser feito em umaúnica parcela após 5 anos. Qual o valor a ser pago?
724.307$)09,01(000.200)1( 5 niPF
Exemplo 7:Que valor devemos depositar hoje para acumularmos $800.000 em seis anos, recebendo juros de8%a.a.?
136.504$)08,01(
1000.800)1(
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niFP
Exemplo 8:Qual é o valor da prestação ou depósito mensal necessário para produzir o valor acumulado de$20.000 após seis anos, ao juro de 10% a.a.?
Dada a taxa de juros anual, podemos obter a taxa mensal equivalente da seguinte forma:
1)1( 121 am ii
Neste caso, temos im = 0,7974%
70,206$1007974,1
007974,0000.201)1( 72
nm
mm i
iFA
Se fizéssemos depósitos anuais ao invés de mensais, teríamos:
15,592.2$110,1
10,0000.201)1( 6
niiFA
Exemplo 9:Qual é o valor inicial necessário que permite, ao juro de 0,8%a.m., a retirada mensal de $1.000 du-rante 20 anos?
534.106$008,1008,0
1008,1000.1)1(
1)1(240
240
n
n
iiiAP
Obs.: Para efeito de cálculo em todas as nossas avaliações, usaremos somente as Taxas Equivalen-tes.
No Brasil, ainda temos os seguintes:
Taxa Básica de JurosTaxa de juro anual fixada por um banco, que serve de referência para o cálculo das diferentes con-dições oferecidas por esse banco. Quando o Banco Central do Brasil a estabelece é chamada de Ta-xa SELIC.
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Taxa SELICA taxa de juros do Sistema Especial de Liquidação e Custódia (SELIC), expressa na forma anual, éa taxa que reflete o custo do dinheiro para empréstimos bancários, com base na remuneração dos tí-tulos públicos. Também é conhecida como taxa média do over (overnight) que regula diariamenteas operações interbancárias. Essa taxa é divulgada regularmente pelo Comitê de Política Monetária(COPOM), e tem vital importância na economia, pois as taxas de juros cobradas pelo mercado sãobalizadas por ela. Essa taxa é calculada com base na média ponderada pelo volume das operaçõesde financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais e realizadas no SELIC, na for-ma de operações compromissadas. Mais informações sobre a metodologia usada pelo Banco Centralpara o cálculo da taxa SELIC podem ser encontradas em: http://www.bcb.gov.br.
Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP)É utilizada como indexador básico de contratos de financiamento do BNDES e para operações comrecursos oriundos do Fundo de Amparo ao Trabalhador (FAT). Essa taxa foi criada para estimularos investimentos nos setores de infraestrutura e consumo.
Taxa Referencial de Juros (TR)A TR foi criada no Plano Collor II para ser o principal índice brasileiro – uma taxa básica referenci-al dos juros a serem praticados no mês vigente e que não refletissem a inflação do mês anterior. Elaé calculada tendo como base a taxa média mensal ponderada ajustada dos CDBs prefixados das 30instituições financeiras selecionadas, sendo eliminadas as duas de menor e as duas de maior taxamédia. A TR é usada para a correção das aplicações da caderneta de poupança e títulos públicos,bem como de outras operações como pagamentos a prazo, seguros em geral e das prestações dosempréstimos do Sistema Financeiro da Habitação.
Exercícios Propostos
1) Calcular o montante de uma aplicação de $3.500, pelo prazo de 18 meses, a uma taxa de 12% a.a.
a) $3.920,00b) $4.148,54c) $4.186,52d) $4.575,69
2) Em quantos meses uma aplicação de $18.000 acumula um montante de $83.743 a juros de 15%a.m.?
a) 10 mesesb) 11 mesesc) 12 mesesd) 13 meses
3) Calcular o valor de um investimento que resultou num montante de $43.000 no prazo de 3 mesescom uma taxa de juros de 10% a.m.
a) $32.306,54b) $39.090,91c) $30.606,55d) nda
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4) Um capital de $51.879,31 aplicado pelo prazo de 6 meses transformou-se em $120.000,00. De-terminar a taxa de juros efetiva ganha.
a) 5% ao mêsb) 10% ao mêsc) 15% ao mêsd) 20% ao mês
5) Um cliente dispõe de duas formas de pagamento: $1.400,00 à vista, ou dois cheques pré-datadosde $763,61 cada um, para 30 e 60 dias, respectivamente. Se o cliente ganha 5% ao mês em suasaplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo?
a) a prazo, pois a taxa de juros cobrada pela loja é inferior a 5%.b) indiferente, pois a taxa de juros e a taxa do investimento são iguais.c) à vista, pois a taxa de juros é superior a 5%.d) os dados do problema não são suficientes para avaliar qual a melhor opção.
6) Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. Se o comprador propõe pagar $638.000,00 daqui aquatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta.
a) 10% ao mêsb) 15% ao mêsc) 20% ao mêsd) 25% ao mês
7) Em quanto tempo triplica uma população que cresce 3% ao ano?
a) menos de 37 anosb) exatamente 37 anosc) um valor entre 37 e 38 anosd) mais de 38 anos
8) Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000,00 daqui a 4 anos com um mon-tante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ga-nhos são de 13% ao trimestre.
a) $14.149,62b) $14.590,79c) $14.970,94d) nda
9) Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um valor inicial aplicado de$10.000,00, com uma taxa de 1,2% a.m.
a) $13.220,65b) $13.314,73c) $13.690,87d) $13.960,60
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Modelos de Depreciação
Depreciação é o processo contábil que registra a perda de valor sofrida pelo bem no decorrer desua existência útil. Essa perda de valor é devido normalmente a desgastes, danos e obsolescência.
Cada bem é adquirido a um custo inicial ou presente P, e no fim de sua vida útil pode ser vendidapor um valor F, chamado de valor futuro ou residual.
Depreciação por Linha RetaNa depreciação por linha reta, o preço do bem decresce linearmente de um valor constante D emcada período de observação (ano, semestre etc.). O valor do bem após cada período k é dado por:
Vk = P – kD
onde a cota de depreciação D por período é dado por:
D = (P – F) / n
Exemplo 1:Um equipamento custou $100 mil e possui vida útil estimada de 10 anos, quando se espera vendê-lopor $40 mil. Qual o valor desse equipamento após três anos de uso?
D = ($100.000 – $40.000) / 10 = $6.000V3 = 100.000 – 3 6.000 = $82.000
Depreciação por Taxa FixaNesse modelo, a depreciação é mais acentuada no começo da vida útil e mais lento no fim da vidaútil do bem. Com isso, temos não uma cota de depreciação constante D, mas sim uma taxa cons-tante ou fixa R em cada período de sua vida útil. Assim sendo, o valor da depreciação em cada pe-ríodo é dado por:
Dk = RVk–1
onde Vk–1 é o valor contábil do bem depreciado no período (k–1).
n –> tempo de vida estimado
P
F
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Sendo a taxa R tal que, no n-ésimo ano, o valor Vn do bem depreciado é igual a F, temos que:
R = 1 – (F/P)1/n
e no fim de cada ano k, temos que:
Vk = (1 – R)k × P = (F/P)k/n × P
e com isso a cota de depreciação Dk pode ser reescrita assim:
Dk = RVk–1 = [1 – (F/P)1/n] × (F/P)(k–1)/n × P
Exemplo 2:Considere o mesmo exemplo anterior, mas agora com depreciação por taxa fixa.
R = 1 – (40 / 100)1/10 = 0,08756V3 = (1 – R)3 100.000 = $75.964,89
RESTRIÇÕES A ESTE MODELO:
Nos E.U.A., a taxa mínima de depreciação é limitada em 2/n. Essa taxa R = 2/n é bastante usada econhecida como o método da depreciação do declínio em dobro. No exemplo acima, teríamos, por-tanto:
R = 2 / 10 = 0,2
Depreciação pela Soma de Dígitos PeriódicosEsse modelo é bem semelhante ao da taxa fixa, com a seguinte característica: a cota de depreciaçãoDk que ocorre no fim da vida útil do bem é menor se comparado com a taxa fixa. Nesse método, adepreciação no k-ésimo período é função do número (n – k + 1) de períodos restantes e da soma dosdígitos 1, 2, 3, ..., n do total de anos. Sabemos que essa soma é igual a n(n + 1)/2. Temos com issoas seguintes expressões:
n –> tempo de vida estimado
P
F
14
k
jjk
k
DPV
FPnn
knD
1
)(2/)1(
1
Exemplo 3:Seguindo o mesmo exemplo anterior, temos:
45,545.70$2755000.60000.100
)8910(2/1110
)000.40000.100(000.100
)( 3213
DDDPV
Exemplo 4:Um equipamento custou $6.500,00 e possui vida útil estimada de cinco anos, quando se espera ven-dê-lo por cerca de $1.500,00. Trace um gráfico comparativo mostrando o valor depreciado do equi-pamento, considerando os três modelos de depreciação vistos anteriormente.
Vkk Linha Reta Taxa Fixa S.D.P.0 6500,00 6500,00 6500,001 5500,00 4847,85 4833,332 4500,00 3615,63 3500,003 3500,00 2696,62 2500,004 2500,00 2011,20 1833,335 1500,00 1500,00 1500,00
Obs.: a conferência desses valores fica a cargo do leitor.
Traçando o gráfico, temos:
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Exercícios Propostos
Uma empresa adquire um equipamento por $150.000,00. O equipamento possui vida útil de 10anos, com valor residual de $10.000,00.a) Calcule a tabela do valor contábil depreciado e a cota de depreciação pelos três métodos estuda-
dos.b) Qual seria o valor de venda do equipamento, ao final de cinco anos e meio, de acordo com cada
um desses métodos?c) Para uma depreciação por taxa fixa, o equipamento estaria dentro dos padrões Norte America-
nos? Justifique.d) Se a depreciação seguisse o método da depreciação do declínio em dobro, qual seria o valor re-
sidual do equipamento no fim de sua vida útil?
Métodos para Avaliação Econômica de um Projeto ou EquipamentoPara avaliar economicamente um projeto ou a aquisição de um equipamento, é necessário conside-rar o recebimento e o desembolso de capital, no decorrer da vida útil do projeto ou equipamento.Existem duas maneiras básicas de avaliar alternativas econômicas de um projeto:
Avaliação: Comparar o valor das receitas com os desembolsos de capital do empreendimento. Emmuitos casos, o projeto é aceitável somente se o valor das receitas superar o total dosdesembolsos.
Seleção: Comparar entre si duas ou mais alternativas econômicas, e selecionar a melhor delas.Esse método é muito comum quando se pretende adquirir um equipamento ou efetuaralgum tipo de aplicação de capital.
Veremos a seguir três formas diferentes de avaliação econômica:
Método do Valor Atual; Método do Valor Anual Equivalente; Método da Taxa Interna de Retorno.
Método do Valor AtualNesse método, aplicamos as fórmulas de equivalência para juros compostos, de modo a trazer parao Presente todos os valores de recebimento e desembolso.
Seja: PR = valor atual dos recebimentos;PD = valor atual dos desembolsos;i = taxa de juros (normalmente anual ou mensal).
Por esse método o empreendimento é economicamente aceitável se o valor de PR for maior que ovalor de PD.
Aceite: PR PD
Exemplo 1:Considere a aquisição de um equipamento de engenharia civil cujo valor de aquisição é de$51.000,00, e que possui uma vida útil de cinco anos. É necessário um custo de manutenção de
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$10.000,00 após três anos, e o equipamento proporciona uma receita de $12.000,00 por ano. O va-lor residual no final de sua vida útil é de $20.000,00. Considere uma taxa de juros de 8% a.a.
O recebimento PR é formado pelas cinco parcelas de $12.000 e o valor residual F de $20.000recebido após cinco anos. Aplicando as respectivas fórmulas que estabelecem a equivalênciadesses valores para a data atual, temos:
PR = 12.000 (P/A, 8%, 5) + 20.000 (P/F, 8%, 5) =
= 55
5
08,11000.20
08,108,0108,1000.12
=
= 12.000 3,9927 + 20.000 0,6806 = $61.524
De modo semelhante, podemos calcular o valor atual do desembolso:
PD = 51.000 + 10.000 (P/F, 8%, 3) =
= 308,11000.10000.51 =
= 51.000 + 10.000 0,7938 = $58.938
Como PR PD, podemos concluir então que essa aquisição é aceitável.
Método do Valor (ou Parcela) Anual EquivalenteEsse método é muito semelhante ao anterior. A diferença é que fazemos a comparação entre as par-celas A equivalentes ao invés do valor atual P equivalente. Essa parcela normalmente é anual oumensal, a escolha sendo feita de forma a facilitar os cálculos.
Seja: AR = soma das parcelas dos recebimentos;AD = soma das parcelas dos desembolsos;i = taxa de juros (normalmente anual ou mensal).
Por esse método o empreendimento é economicamente aceitável se o valor de AR for maior que ovalor de AD.
Aceite: AR AD
Exemplo 2:Usando os mesmos dados do exemplo anterior, temos:
AR = 12.000 + 20.000 (A/F, 8%, 5) =
=108,1
08,0000.20000.12 5 =
= 12.000 + 20.000 0,1705 = $15.409
A parcela anual equivalente dos desembolsos é formada pela parcela anual equivalente dovalor do custo inicial de $51.000, distribuídos nos cinco anos, mais a parcela equivalente docusto de manutenção de $10.000, distribuídos nos cinco anos.
AD = 51.000 (A/P, 8%, 5) + 10.000 (P/F, 8%, 3) (A/P, 8%, 5) =
=108,1
08,108,008,11000.10
108,108,108,0000.51 5
5
35
5
=
17
= 51.000 0,2505 + 10.000 0,7938 0,2505 = $14.763
Como AR AD, podemos concluir então que essa aquisição é aceitável.
Método do Taxa Interna de RetornoA taxa interna de retorno é a taxa de juros i* que torna o valor atual dos recebimentos exatamenteigual ao valor atual dos desembolsos:
PR = PD para i = i*
Em geral é fixada uma taxa mínima de retorno da empresa (que pode ser, por exemplo, algumataxa de mercado), e se a taxa i* obtida for maior que essa taxa mínima, o empreendimento é aceitá-vel.
Aceite: i* i
Exemplo 3:Usaremos os mesmos dados do exemplo anterior, onde a taxa mínima de retorno é de 8%.
Para calcular i*, basta fazer uma interpolação entre dois valores escolhidos para i:
—————————————————i1 i* i2
PR PD PR = PD PR PD
Podemos aproveitar os cálculos feitos com a taxa de 8% do Exemplo 1:
PR = 61.524PD = 58.938PR – PD = 2.586
Agora devemos escolher uma taxa mais alta para obtermos PR PD. Consideremos uma taxai de 10%:
PR = 12.000 (P/A, 10%, 5) + 20.000 (P/F, 10%, 5) =
= 55
5
10,11000.20
10,110,0110,1000.12
= $57.907
PD = 51.000 + 10.000 (P/F, 10%, 3) =
= 310,11000.10000.51 = $58.513
PR – PD = – 606
Podemos agora obter i* por interpolação:
—————————————————Taxa i: 8% i* 10%
—————————————————PR – PD: 2.586 0 – 606
18
586.2606586.2)810(8*
586.2606810
586.208*
i
i
i* = 9,62%
Como i* excede a taxa mínima de retorno fixado pela empresa, então o empreendimento éaceitável.
Obs.: qualquer um desses três métodos deverá apontar sempre para a mesma decisão / conclusão.
Exercícios Propostos1. Para o estudo comparativo de aquisição de três marcas de automóveis foram obtidos os seguin-
tes valores:
Custose valores
Marcas de AutomóveisA B C
Aquisição $6.000 $7.500 $9.000Vida útil (em anos) 8 8 8Valor residual $600 $750 $900Despesas anuais (combustível + manutenção) $1.200 $1.250 $1.100
A taxa anual de retorno mínimo foi fixada em 10%. Qual das alternativas é a melhor em termoseconômicos?
2. Uma empresa de mineração adquire um equipamento pesado por $80.000. O equipamento pos-sui tempo de vida útil de 10 anos, após o qual ele poderá ser vendido por $15.000. Após cincoanos de uso é necessário gastar em manutenção $18.000. O equipamento proporciona uma re-ceita anual de $10.000.
a) Calcule a taxa interna de retorno para este empreendimento.
b) Qual o significado dessa resposta em relação às taxas de juros praticadas pelo mercado?
3. Um caminhão usado para transporte de mudanças pode ser adquirido por $120.000. Sua vidaoperacional é de 10 anos, após o qual ele pode ser vendido por $30.000. O caminhão necessitade manutenções anuais, ao custo de $500 cada. Considerando uma taxa anual de juros de 12%,qual a receita mensal mínima que deve ser gerada pelo serviço de transporte para que ele sejaeconomicamente viável?
4. Uma empresa adquire dois equipamentos pesados A e B por $95.000 cada. Cada um deles pos-sui tempo de vida útil de 10 anos, após o qual poderão ser vendidos por $15.000 cada. A depre-ciação dos equipamentos segue uma regra de taxa fixa. O equipamento A necessita de manuten-ções anuais de $3.000, e proporciona uma receita mensal de $1.000. O equipamento B necessitade manutenções anuais de $5.000, e proporciona uma receita mensal de $2.500. Calcule a taxainterna de retorno para este empreendimento, sabendo que a duração do projeto é de apenas 5anos.
19
CAPÍTULO 2
Modelos de EstoquesEstoques ou Inventários: usados por empresas para suprir demandas de venda e produção.Objetivo: minimizar os custos envolvidos com estocagem sem prejudicar a demanda para clientes.Principais questões:
1. Quando devemos fazer o pedido de um produto?2. De que tamanho deve ser cada pedido?
Custos EnvolvidosCusto de pedido (encargos) e preparação: normalmente não dependem do tamanho do pedido.Ex.: taxas fixas, formulários. Se a produção for interna: preparação de máquinas e de pessoal etc.
Custo por unidade do produto: custo variável geralmente formado pelo custo da mão de obra,mais o custo da matéria prima, mais custos de overhead (riscos, frete etc.).
Custo de estocagem: esse é o custo de se armazenar uma unidade do produto durante um períodode tempo (e.g. $/unid./ano). Esse custo normalmente inclui custos de armazenamento, custos de se-guro, taxas associadas a inventários, e custos devido à possibilidade de danos, furtos e obsolescên-cia. O componente mais importante, no entanto, é o custo devido à perda de investimentos. Ex.:custo unit. = $100 e empresa pode obter 15% de lucro em investimentos anuais. Isso implica queum ano de estocagem desse produto custa $15 somente devido à perda de investimentos.
Custo de falta do produto: Quando um cliente pede um produto e a demanda não é atendida atempo, dizemos que há uma falta de estoque. Alguns clientes podem aceitar atrasos nos pedidos,enquanto outros podem procurar outros fornecedores. De qualquer forma, há custos adicionais en-volvidos e que podem ser difíceis de mensurar.
Fichas de EstoquesInformação para identificação do item de estoque
nome, número do item descrição do item e da unidade de medida localização no almoxarifado finalidade ou tipo de utilização
Informação para controle do item lote mínimo lote econômico sumário de utilização mensal ou anual prazo de entrega de um pedido de reposição preço unitário possíveis fornecedores porcentagens de perdas ou rejeições previstas e ocorridas
Informações sobre a movimentação do estoque pedido de reposição: data, número do pedido, quantidade pedida e data de recebimento do
material; recebimento de material: data, quantidade recebida e número do documento que acompa-
nhou o material; retirada do material: data e número de requisição e quantidade retirada; reserva de material: data, número de pedido de reserva e quantidade de material reservado.
20
Informações sobre o saldo saldo em estoque existente no almoxarifado saldo disponível: quantidade existente no almoxarifado e não reservada, mais quantidade
encomendada e ainda não recebida saldo das encomendas ainda não recebidas saldo das reservas ainda não retiradas do almoxarifado
Informações sobre custo e o valor do estoque custo unitário de cada entrada ou recebimento do material custo total de cada entrada ou recebimento custo unitário médio custo padrão custo de cada saída ou retirada custo monetário em estoque
Introdução aos Modelos Básicos de Estoques
Modelos EOQ (Economic Order Quantity)Os modelos EOQ foram desenvolvidos a partir de 1915 por F. W. Harris, da empresa Westinghou-se. Elas são simples de usar e podem ser aplicadas em alguns casos mais restritos, como veremosmais adiante.
Os pressupostos para a aplicação desses modelos são:
Repetitividade dos Pedidos: é feito um pedido, a mercadoria é consumida, depois outro pedidoé feito, e assim por diante.
Demanda Constante: a demanda ocorre a uma taxa fixa e bem conhecida. Isso implica, porexemplo, que se a demanda ocorre a uma taxa de 1000 unidades / ano, a demanda durante umperíodo de t meses será de 12
1000t . Tempo de Espera Constante: o tempo de espera L é o tempo decorrido entre o momento do
pedido e a chegada do produto. Nos modelos EOQ, esse tempo é sempre constante. Continuidade dos Pedidos: um pedido pode ser feito a qualquer momento. Modelos de Esto-
que que permitem isso são chamados de modelos de revisão contínua. Se o estoque é revisadoou inventariado, e conseqüentemente os pedidos feitos somente em períodos específicos, entãotemos um modelo de revisão periódica.
Embora os pressupostos de Demanda Constante e Tempo de Espera Constante possam parecer mui-to restritivas e irreais, existem muitas situações em que esses modelos fornecem boas aproximaçõesa situações reais.
Modelo EOQ BásicoNesse modelo, assumiremos que:
A demanda é determinística e constante, igual a D unidades / ano. Feito um pedido qualquer de q unidades, é incidido um custo fixo de pedido igual a K. Esse va-
lor independe do tamanho do pedido. O tempo de espera é igual a zero (L = 0). Não são permitidas faltas de estoque. O custo de estocagem do produto é constante e igual a h ($ / unid. / ano).
21
Podemos representar esse modelo traçando um gráfico do nível do estoque ou inventário em funçãodo tempo:
O objetivo do estudo desse modelo é determinar o tamanho ótimo do pedido q*, ou seja, o tamanhodo pedido que minimiza o custo anual total. Consideremos, portanto:
TC( q ): custo total anual pedindo q unidades do produto sempre que I = 0, ou seja sem deixar queocorram faltas de estoque. Esse custo total pode ser desmembrado da seguinte forma:
TC( q ) = custo anual dos custos fixos dos pedidos ++ custo anual devido à compra do produto ++ custo anual devido à estocagem do produto.
Devemos fazerqD pedidos por ano. Portanto, temos:
Custo anual dos custos fixos dos pedidos =ano
pedidospedido
$ =
qKD
qDK
Para qualquer valor de q, o custo por unidade do produto é igual a p. Como devemos adquirir sem-pre D unidades por ano, temos:
Custo anual devido à compra do produto =ano
unidadesunidade
$ = pD
Já o custo anual devido à estocagem do produto será igual à área total sob a curva, multiplicado pe-lo custo de estocagem:
Custo anual devido à estocagem do produto =ano
ciclosciclo
estocagemdacusto =
=22
hqqDh
Dqq
t
q
q / D
I(t)
2q / D 3q / D
1 ciclo
22
Daí, podemos escrever:
TC( q ) =2
hqpDq
KD
Para achar o valor de q que minimiza TC, fazemos:
hKDqh
qKD
qTC 20
20 2
Como não podemos ter um valor de q negativo, temos que:
hKDq 2*
Para termos certeza de que esse é um ponto de mínimo e não de máximo da função TC( q ), pode-mos usar a derivada segunda:
3
2 2qKD
qTC
, que é sempre positivo para o modelo em questão.
Portanto, o valor de q* realmente minimiza o custo total.
Exemplo 1:Uma empresa compra 500 lâmpadas por ano. Cada pedido tem um custo fixo de $5 e cada lâmpadacusta $0,40. O custo de estocagem é de $0,08 / lâmpada / ano. Assuma uma demanda constante enenhuma falta de estoque. Determine o pedido econômico, o número de pedidos e o intervalo entrecada pedido.
O pedido econômico é dado por:
23
25008,0
500522*
hKDq
Nº de pedidos / ano = 2250500
*
qD
Intervalo entre pedidos = tamanho do ciclo =21*
Dq ano ou 6 meses
Exemplo 2:Uma loja de departamentos vende 10.000 câmeras por ano. A loja encomenda as câmeras de umadistribuidora local, que as entrega imediatamente. O custo fixo de cada pedido é de $5 e cada câme-ra custa $100. O custo de manter estocado o equivalente a $1 de material é estimado em $0,20 porano. Determine o pedido econômico.
h = 100 0,20 = $20 / unid. / ano.
71,70500020
000.10522*hKDq 71 câmeras / pedido
O Efeito de um Tempo de Espera L 0:
Para lidarmos com um tempo de um espera significativo sem que ocorra falta de estoque, é necessá-rio que o pedido seja feito antes que o nível de estoque chegue a zero. Nesse caso, chamamos deReorder Point (RP) ou Ponto de Pedido o nível de estoque no qual um novo pedido deve ser feito.
Caso 1: A demanda durante o tempo de espera não excede q*, ou seja, L D q*. Nesse caso, te-mos:
RP = L D
No Exemplo 1, suponha que as lâmpadas demorassem 1 mês para chegar à loja. Então L =121 e
RP = 67,41500121
lâmpadas, ou RP = 42 lâmpadas.
Caso 2: A demanda durante o tempo de espera excede q*, ou seja, L D q*. Nesse caso, temos:
RP = (L D) MOD q*
ou: RP =
*
Restoq
DL
No Exemplo 1, suponha L = 15 meses. Então L D = 6255001215
lâmpadas. Nesse caso,
RP = Resto( 625 / 250 ) = 125 lâmpadas.
24
Calculando q* na presença de descontos por volume de compra:
Até agora assumimos que o preço do produto não dependia do tamanho do pedido. Na vida real, émuito comum os fornecedores oferecerem descontos que aumentam à medida que o volume decompra aumenta. O modelo para esses descontos em geral segue o seguinte padrão:
q pq b1 p1
b1 q b2 p2
bk-2 q bk-1 pk-1
q bk-1 pk
Os pontos b1, b2, ..., bk, representam os tamanhos de pedido nos quais o preço do produto sobre umamudança ou “quebra”, e são chamados pontos de quebra de preço. Fica implícito também, segun-do esse modelo, que pk pk-1 ... p2 p1.
Exemplo 3:Uma empresa consome disquetes para uso interno, num total de 1000 caixas por ano. O custo fixode cada pedido é de $100 e o custo e o custo dos disquetes é dado pela seguinte tabela:
Nº de caixas $ / caixaq 100 $50,00
100 q 300 $49,00q 300 $48,50
O custo de estocagem é dado pela perda de capital de investimento, de 20% a.a. Determine q*.
Primeiro iremos tentar usar o preço mais baixo, p3 = $48,50. Temos com isso um EOQ asso-ciado a esse preço, calculado da seguinte forma:
59,1437,9000.200
50,482,010001002*
3
q
No entanto, se usarmos esse preço, o tamanho mínimo do pedido deverá ser de 300 caixas.Com isso, teríamos os seguintes custos:
Custo anual dos custos fixos dos pedidos = 33,333$300
1000100*3
qDK
Custo anual devido à compra do produto = pD = 1000 48,50 = $48.500,00
Custo anual devido à estocagem do produto = 00,455.1$2
3007,92
*3
hq
E o custo total é:
TC3(300) = $50.288,33
25
Da mesma forma, para p2 = $49,00, temos:
1438,9000.200
00,492,0000.200*
2
q
Custo anual dos custos fixos dos pedidos = 30,699$143
1000100*2
qDK
Custo anual devido à compra do produto = pD = 1000 49,00 = $49.000,00
Custo anual devido à estocagem do produto = 70,700$21438,9
2
*2
hq
E o custo total é:
TC2(143) = $50.400,00
Agora, vamos tentar o preço mais alto, p1 = $50,00:
14110
000.20000,502,0
000.200*1
q
É óbvio que, fazendo um pedido de 141 unidades, não usaríamos mais o preço p1, mas sim opreço com desconto p2. No entanto, o tamanho ótimo do pedido para o preço p2 já foi calcu-lado anteriormente, e é de 143 unidades. Não precisamos, portanto, considerar p1 em nossaanálise.
Com isso, chegamos à conclusão de que o tamanho do pedido que fornecerá o custo anualtotal mais baixo será:
q* = 300 caixas
Iremos agora formalizar as observações que foram feitas com esse exemplo, e assim formular umametodologia para obter a quantidade ótima de pedido (EOQ) na presença de descontos por volume.Usaremos para isso a seguinte notação:
1. TCi(q) = custo anual total (pedidos + produtos + estoque) se fizermos cada pedido de q unidadesa um preço pi.
2. EOQi = quantidade que minimiza o custo anual total se, para qualquer quantidade pedida, o cus-to unitário do produto for igual a pi.
3. EOQi é admissível se bi-1 EOQi bi.4. TC(q) = custo anual total real se fizermos pedidos de tamanho igual a q. Esse custo é determi-
nado usando-se o preço pi se bi-1 q bi.
Nosso objetivo é determinar o valor de q que minimiza TC(q). As Figuras 1 e 2 ilustram essas defi-nições.
26
Figura 1 – EOQ2 minimiza TC
Figura 2 – b1 minimiza TC
Observe que, na Figura 1, EOQ2 é admissível porque b1 EOQ2 b2, mas EOQ1 e EOQ3 não sãoadmissíveis. Em cada figura, TC(q) é representada pela linha sólida. As linhas tracejadas represen-tam os custos inatingíveis.
Em geral, o valor de q que minimiza TC(q) pode ser ou um ponto de quebra (Figura 2) ou algumEOQi (Figura 1). As observações a seguir são úteis para se determinar esse valor de q:
1. Para qualquer valor de q,
TCk(q) TCk-1(q) ... TC2(q) TC1(q)
Essa observação é válida porque, para qualquer valor de q, TCk(q) terá o menor custo de estoca-gem e de compra do produto, visto que pk representa o menor preço disponível. TC1(q) terá omaior custo de estocagem e de compra do produto, visto que p1 representa o maior preço dispo-nível. Conseqüentemente, na Figura 1 encontramos TC3(q) TC2(q) TC1(q).
27
2. Se EOQi é admissível, então o custo mínimo para bi-1 q bi ocorre para q = EOQi (veja a Fi-gura 3a). Se EOQi bi-1, o custo mínimo para bi-1 q bi ocorre para q = bi-1 (veja a Figura 3b).Essa observação vem do fato que TCi(q) decresce para q EOQi e aumenta para q EOQi.
3. Se EOQi é admissível, então TC(q) não pode ser minimizado usando um tamanho de pedido as-sociado com algum preço que excede pi. Com isso, se EOQi é admissível, o tamanho ótimo dopedido deve ocorrer para algum preço pi, pi+1, ..., ou pk.
Para verificarmos a validade dessa afirmação, suponha que EOQi seja admissível. Por que umpedido associado com algum preço pj pi não pode ter um custo menor do que EOQi? Note queEOQi minimiza o custo anual total se o preço praticado for igual a pi, mas EOQj não minimiza ocusto anual total para esse mesmo preço pi. Com isso, temos que:
TCi(EOQi) TCi(EOQj)
Já que pj pi, então:
TCi(EOQj) TCj(EOQj)
Dessas duas desigualdades, tiramos que:
TCi(EOQi) TCj(EOQj)
Pela definição de EOQj, sabemos que para todo q,
TCj(EOQj) TCj(q)
Portanto,
TCi(EOQi) TCj(EOQj) TCj(q)
e um pedido admissível EOQi a um preço pi é melhor do que qualquer pedido a um preço supe-rior pj pi.
Figura 3a – EOQi minimiza TCi(q) Figura 3b – bi-1 minimiza TCi(q)
Essas observações nos permitem usar o seguinte método para a obtenção do pedido ótimo na pre-sença de descontos por volume de compra:
1. Começando pelo preço mais baixo, determine, para cada preço, o tamanho do pedido que mini-miza o custo anual total para bi-1 q bi. Chamemos esse tamanho de pedido de qi*.
TCi(q)
qEOQibi-1 bi
TCi(q)
qEOQi bi-1 bi
28
2. Continue determinando qk*, qk-1*, ... até que um dos qi* seja admissível. Da Observação 2, issosignifica que qi* = EOQi.
3. O tamanho ótimo do pedido será aquele pertencente a {qk*, qk-1*, ..., qi*} que apresentar o me-nor valor para TC(q).
Modelo EOQ de Taxa de Produção ContínuaEm muitas empresas, bens são produzidos internamente para consumo próprio, especialmente comosupridora de peças e componentes para processos de fabricação. Nesses casos, o modelo EOQ bási-co não se aplica, já que o tempo de espera para o produto pedido geralmente não é desprezível. Ummodelo mais realístico para essa situação é o de taxa de produção contínua.
Nesse modelo, assumiremos que:
Não são permitidas faltas de estoque. A empresa pode fabricar o produto a uma taxa de r unidades / ano. Isso quer dizer que, durante
um período de tempo t, ela produzirá rt unidades do produto. D = demanda anual do produto. K = custo fixo da produção, o que normalmente envolve a montagem e desmontagem das má-
quinas e equipamentos, preparo do pessoal etc. h = custo de estocagem do produto ($ / unid. / ano).
Podemos representar esse modelo traçando um gráfico do nível do estoque ou inventário em funçãodo tempo:
Em cada ciclo desse modelo temos o seguinte comportamento:
1. Começando no instante zero, o bem é produzido internamente a uma taxa r e consumido a umataxa D r, o que resulta numa taxa de acúmulo em estoque de r – D.
2. No instanterq , q unidades do produto teriam sido produzidos. Nesse momento, a seqüência de
produção termina, e o estoque decresce à razão de D unidades / ano até zerar. Isso ocorre no ins-
tanteDq , dando início a outra seqüência de produção.
t
)( Drrq
q / r
I(t)
q / D
29
Assim como no modelo básico, queremos minimizar (custo de estocagem + custo fixo da produ-ção). Temos então o seguinte:
C1 = )(2ano
estocagemdacusto Drr
hq
C2 =q
KD
anoprod.fixocusto
C1 + C2 =q
KDDrr
hq )(
2
Isso é o mesmo que o modelo EOQ básico, só que considerando o custo de estocagem igual a
)( Drrh
. Com isso, deduzimos que:
DrrEOQ
DrhKDrq
)(2*
ondehKDEOQ 2
Exemplo 4:A Ford precisa produzir 10.000 automóveis por ano. Cada automóvel possui um chassi que custa$2.000,00. A planta tem capacidade para produzir 25.000 chassis. O custo de montagem e desmon-tagem da linha de produção de chassis é de $200,00, e o custo de estocagem é de 25% do valor decada chassi. Determinar o tamanho ótimo do lote de cada seqüência de produção e o número de se-qüências anuais.
r = 25.000D = 10.000h = 0,25 2.000 = 500K = 200
47,115)000.10000.25(500
000.25000.102002*
q
q* = 115 chassis
Nº de seq. = 87115
000.10
Modelo EOQ com Falta de EstoqueExistem muitas situações em que a falta de estoque é aceitável. Vemos isso constantemente no co-mércio varejista, quando a loja não dispõe daquela mercadoria para pronta entrega. O custo dessafalta pode ser alto, já que, dependendo da diferença de preço, você pode preferir comprar em outraloja um pouco mais cara, mas que dispõe do produto para entrega imediata. Daí a empresa pode
30
perder clientes. Mas é provável que esse custo ainda não justifique manter um estoque muito grandee que pode sair ainda mais caro, especialmente se levarmos em conta as perdas por danos (corrosão,manuseio etc.) e obsolescência.
Seja: s: custo anual devido à falta de uma unidade do produto no estoque. Na maior das situações, es-
se custo é muito difícil de ser estimado com precisão. K, D, h: como visto no modelo EOQ básico. q: quantidade do pedido. q – M: falta máxima do estoque.
Já que o custo de compra dos produtos não depende de q e M, podemos minimizar o custo totalanual determinando os valores de q e M que minimizam:
anopedidosdosfixocusto
anoestoqueemfaltadacusto
anoestocagemdecusto
Sendo o número total de pedidos por ano igual aqD , temos:
qhM
qDh
DMM
22anoestocagemdecusto 2
qsMq
qDs
DMqMq
2)()(
21
anoestoqueemfaltadacusto 2
qKD
ano
pedidosdosfixocusto
O custo total, excluindo o custo dos produtos, será então:
TC(q, M) =q
KDq
sMqqhM
2
)(2
22
t
M
I(t)
A
0A =DM
1 ciclo
Mq
B0
0B =Dq
AB =D
Mq
31
Fazendo 0
MTC
qTC , temos:
sshEOQ
hsshKDq
)(2*
shsEOQ
shhKDsM
)(2*
ondehKDEOQ 2
A falta máxima no estoque será:
S* = q* – M*
Se o custo da falta for muito elevado, o modelo se reduz ao EOQ básico:
EOQMqss
*lim*lim
Modelo EOQ com Falta de Estoque e Taxa de Produção ContínuaSe a própria fábrica puder produzir o bem a uma taxa de r unidades / ano e forem permitidas faltasno estoque, então teremos:
sDrhshKDrq
)()(2*
)()(2)(**
shsrhDrKD
rDrqM
e a falta máxima no estoque será:
)()(2*
shsrhDrKDS
Exemplo 5:Todo ano, uma clínica de optometria vende 10.000 armações para óculos. As armações são enco-mendadas de um fornecedor a $15,00 cada. O custo fixo de cada pedido é de $50,00. Acredita-seque ele pode operar com falta de estoque, sendo o custo anual pela falta de cada armação igual a$15,00. O custo anual de estocagem é de $0,30 para cada $1,00 no estoque. Calcule:a) O tamanho ótimo de cada pedido;b) A falta máxima que ocorrerá;c) O nível máximo que será encontrado no estoque.
D = 10.000
32
h = 0,3 15 = 4,5K = 50s = 15
a) 48,537155,4
50,19000.10502*
q
c) 45,41350,195,4
15000.10502*
M
b) S* = q* – M* = 124
Quando Podemos Usar os Modelos EOQ?Devido à sazonalidade e diversos outros fatores, a demanda de determinados produtos pode ser bas-tante irregular. Quando isso acontece, o pressuposto de Demanda Constante, que assumimos paratodos os modelos EOQ, não será satisfeita.
No entanto, em determinadas situações, podemos assumir uma demanda constante sem temer que onosso modelo fique muito longe da realidade. Para sabermos quando podemos fazer essa simplifi-cação, suponha que durante n períodos de tempo foram observadas as demandas d1, d2, ..., dn. Alémdisso, sabemos o suficiente a respeito de demandas futuras que nos permite assumir um pressupostode demanda determinística. Para saber se a demanda é suficientemente regular para justificar o usode um modelo EOQ, faça o seguinte:
1. Calcule a demanda média d :
n
iid
nd
1
1
2. Determine uma estimativa da variância da demanda por período:2
1
21 varEst. ddn
Dn
ii
3. Determine uma estimativa da variabilidade relativa da demanda (chamado coeficiente de vari-abilidade):
2
varEst.d
DVC
Pesquisas indicam que se VC 0,2, então podemos usar os modelos EOQ. Caso contrário, a de-manda é muito irregular e o uso de outros modelos mais adequados se justifica.
33
Modelos Probabilísticos de Estoques
Modelos de Decisão Única (Single-Period Decision Models)Existem situações em que se deseja determinar um valor q (que pode ser, por exemplo, a quantidadea ser pedida de um determinado bem). Após esse valor ser determinado, um valor que chamaremosde d será estimado a partir de uma distribuição aleatória D. Dependendo dos valores de q e d, umcusto c(d,q) é determinado. Queremos determinar o valor de q que minimiza esse custo esperado.Nesse modelo, essa decisão é tomada uma única vez, daí o nome dado ao modelo.
Análise de Marginalidade ou Análise MarginalSeja E(q) uma função convexa, representando o custo esperado se feito um pedido de q unidades,como ilustra o gráfico a seguir:
Sendo D uma variável aleatória discreta com probabilidade P(D = d) = p(d), então:
d
qdcdpqE ),()()(
Sendo E(q) convexa, o que ocorre na maioria das aplicações, então o valor q* que minimiza E(q) éo menor valor de q no qual:
E(q* + 1) – E(q*) 0
Para determinar q*, iniciamos com o valor q = 0 e vamos acrescentando unidades marginais a q, atéque E(q + 1) – E(q) mude de sinal, como ilustra a tabela a seguir:
q E(q + 1) – E(q)0 01 0
q* – 1 0q* 0
q
E(q)
1 q*-1 q* q*+1
34
O Problema do Jornaleiro – Demanda DiscretaConsidere um jornaleiro que deve encomendar uma determinada quantidade de revistas semanal-mente. Se ele encomendar revistas em excesso, é provável que esse excedente terá que ser jogadofora, ou então vendido a um preço abaixo do preço de custo. Por outro lado, se encomendar revistasde menos, ele terá uma “perda” correspondente às revistas que poderiam ser vendidas, mas não fo-ram por falta de estoque (além de desapontar seus fregueses). O jornaleiro precisa então pedir umnúmero de revistas que otimiza esse balanceamento.
Mostraremos como podemos usar a Análise de Marginalidade para resolver o problema do jornalei-ro quando a demanda é dada por uma variável aleatória discreta e c(d,q) possui a seguinte forma ge-ral:
c(d,q) = coq + (termos não envolvendo q) (d q) (2.1)c(d,q) = – cuq + (termos não envolvendo q) (d q) (2.2)
onde:
co Custo por unidade do produto sendo sobre-estocado (overstocking cost). Se a quantidade pe-dida for maior do que a demanda, significa que teremos um custo associado ao excesso deproduto. Quando aumentamos o pedido de q para q + 1, a Equação 2.1 mostra que o custoaumenta em co unidades.
cu Custo por unidade do produto que está em falta no estoque (understocking cost). Se a quan-tidade pedida for menor do que a demanda, significa que teremos um custo associado à faltade produto. Quando aumentamos o pedido de q para q + 1, a Equação 2.2 mostra que o custodiminui em cu unidades.
Para determinar os valores de E(q + 1) – E(q), podemos considerar portanto dois casos distintos:
Caso 1: (d q)Nesse caso, pedindo q + 1 unidades ao invés de q faz com que ocorra uma sobre-estocagem de maisuma unidade, o que aumenta o custo em co. A probabilidade de ocorrer o Caso 1 é P(D q).
Caso 2: (d q)Nesse caso, pedindo q + 1 unidades ao invés de q faz com que a sub-estocagem melhore de umaunidade, o que diminui o custo em cu. A probabilidade de ocorrer o Caso 2 é:
P(D q) = 1 – P(D q).
Ou seja, numa fração de tempo P(D q), pedir q + 1 unidades irá aumentar o custo em co, e numafração de tempo 1 – P(D q), pedir q + 1 unidades irá diminuir o custo em cu. Com isso, na médiatemos que o pedido de q + 1 unidades irá custar
coP(D q) – cu[1 – P(D q)]
a mais do que pedir q unidades. Em outras palavras:
E(q + 1) – E(q) = coP(D q) – cu[1 – P(D q)] == (co + cu) P(D q) – cu
Para E(q + 1) – E(q) 0, temos:
(co + cu) P(D q) – cu 0
35
P(D q) uo
u
ccc
Considere agora F(q) = P(D q) a função de distribuição acumulada da demanda. Sendo a Análisede Marginalidade aplicável, então E(q) será minimizado pelo menor valor de q que satisfaz:
F(q*) uo
u
ccc
Exemplo 1Em agosto, uma livraria deve decidir quantos calendários ela deve pedir para o ano seguinte. Cadacalendário custa à loja $2,00 e é vendido por $4,50. Após o dia 1º de janeiro, qualquer calendárionão vendido pode ser retornado ao fornecedor por um reembolso de $0,75 a unidade. O dono da li-vraria acredita que o número de calendários vendidos até 01/01 segue a distribuição de probabilida-de abaixo. Quantos calendários devem ser pedidos de forma a maximizar o lucro esperado?
Nº de calendáriosvendidos
Probabilidade
100 0,30150 0,20200 0,30250 0,15300 0,05
Seja q = nº de calendários pedidos em agosto, e d = nº de calendários vendidos até 01/01.
Se d q, o custo de sobre-estocagem será de $2,00 – $0,75 = $1,25 (co)Se d q, o custo de sub-estocagem será de $4,50 – $2,00 = $2,50 (cu)
Então, temos: 67,075,350,2
uo
u
ccc
Devemos encontrar q* como sendo o menor número no qual P(D q*) 0,67. Refazendo atabela de distribuição de probabilidades, mas desta vez calculando a distribuição acumuladaP(D q), temos:
Nesse exemplo, foi bem fácil obter os valores de co e cu. Uma outra forma de obter esses va-lores em casos não tão intuitivos é dado abaixo:
Caso 1: (d q): CustoComprar q calendários a $2/un. 2qVender d calendários a $4,50/un. – 4,50dRetornar q – d calendários a $0,75/un. – 0,75(q – d)CUSTO TOTAL: 1,25q – 3,75d
q P(D q)100 0,30150 0,50200 0,80250 0,95300 1,00
q* = 200
36
Caso 2: (d q): CustoComprar q calendários a $2/un. 2qVender q calendários a $4,50/un. – 4,50qCUSTO TOTAL: – 2,50q
Exemplo 2Em agosto de 2004, um revendedor de carros deverá determinar quantos modelos 2005 pedir à fá-brica. Cada carro custa ao revendedor $10.000,00 e é vendido por $15.000,00. A demanda dos mo-delos 2005 segue uma distribuição mostrada na tabela abaixo. Se a demanda exceder o número decarros pedido, o revendedor terá que pedir carros adicionais ao custo de $12.000,00 cada. Se a de-manda for menor que o esperado, ele terá que fazer uma liquidação, vendendo cada carro por$9.000,00. Quantos carros ele deverá pedir em agosto?
Demanda Probabilidade20 0,3025 0,1530 0,1535 0,2040 0,20
Assim como fizemos no final do exemplo anterior, montaremos a tabela de receitas e despe-sas relativas aos dois casos:
d q: CustoComprar q carros a $10.000 10.000qVender d carros a $15.000 – 15.000dVender q – d carros a $9.000 – 9000(q – d)CUSTO TOTAL: 1000q – 6000d
d q: CustoComprar q carros a $10.000 10.000qVender q carros a $15.000 – 15.000qComprar d – q carros a $12.000 12.000(d – q)Vender d – q carros a $15.000 – 15.000(d – q)CUSTO TOTAL: – 2000q – 3000d
Com isso, temos: 67,020001000
2000
uo
u
ccc
e o valor de q* pode ser obtido diretamente da função de distribuição acumulada:
Demanda Probabilidade P(D q)20 0,30 0,3025 0,15 0,4530 0,15 0,6035 0,20 0,8040 0,20 1,00
q* = 35 carros
37
Outros Modelos Mais Modernos
MRP (Material Requirements Planning)Nesse modelo, os relacionamentos entre o produto final e os diversos componentes que o compõemsão levados em conta (e.g. fabricação de automóveis, computadores etc.)
JIT (Just-in-Time) Modelo baseado em processos de controle de estoque empregados com sucesso por empresas
japonesas (especialmente a Toyota). Esse modelo de produção é dita ser “sem estoque” (stockless) ou de “inventário zero”, pois o
objetivo é evitar os custos (normalmente altos) de estocagem, recebendo ou produzindo a maté-ria prima e os componentes necessários à medida que forem necessários (obtenção dos produtosno instante em que são demandados).
Uma das principais vantagens deste modelo é revelar ineficiências no processo de produção.
38
CAPÍTULO 3
Problemas de Ordenação de Tarefas
O Problema de Ordenação de Tarefas (POT), também chamado de problema de sequenci-amento ou sequenciação de tarefas, ou “flow shop scheduling”, encontra muitas aplicações na in-dústria e em diversos serviços, bem como na ciência da computação. Ele possui uma estreita ligaçãocom outro tipo de problema muito estudado e que também possui diversas aplicações, chamadoProblema do Caixeiro Viajante (PCV).
No POT, dispomos de n tarefas (jobs) que precisam ser realizados em m máquinas, tal que:
Cada tarefa só pode passar pela máquina j depois de ter passado pela máquina j – 1 (com exce-ção da máquina 1, que é a primeira);
Cada máquina pode processar apenas uma única tarefa de cada vez; Cada tarefa pode estar sendo processada somente em uma das máquinas num dado instante de
tempo; Algumas tarefas passam somente por algumas das máquinas, sendo o tempo para as outras má-
quinas igual a zero.
Chamaremos de Tij o tempo de processamento da tarefa i na máquina j, onde i = 1, 2, ..., n, e j = 1,2, ..., m.
ObjetivoO objetivo do POT é determinar uma seqüência para o processamento das n tarefas de modo que otempo total gasto seja minimizado, pois pode ocorrer atraso no processamento de uma tarefa devidoà ocupação de alguma das máquinas.
Além do tempo total gasto nas máquinas, outros fatores podem também influenciar na resoluçãodeste problema em casos reais, assim como:
Custo das operações; Custo de armazenamento no estoque dos materiais envolvidos; Custo e limitações das filas de espera; Interdependências nas ordens do processamento.
Ordenação de n tarefas em duas máquinasSejam duas máquinas, A e B, e o tempo que cada uma leva para processar a tarefa i como sendoA(i) e B(i), respectivamente, como mostra o exemplo abaixo:
Tempo (horas)Tarefa Máquina A Máquina B
1 2 62 7 33 9 74 7 105 4 8
39
A solução mais simples é executar as tarefas na seqüência mostrada na tabela, ou seja, 1 2 3 4 5. Montando a linha de tempo de execução das tarefas nessa ordem, temos:
1 2 3 4 5Tempo: 012345678901234567890123456789012345678901234567890Máquina A:|11222222233333333344444445555Máquina B:| 111111 222 3333333444444444455555555
Tempo total: 43 horas.
Veja que a Máquina B ficou ociosa em dois momentos diferentes: por uma hora na espera da Tarefa2, e depois por mais seis horas, na espera da Tarefa 3.
Veremos agora um algoritmo simples que pode ser usado para resolver esse problema, fornecendopara ele uma solução ótima.
Passo 1: Encontre o menor valor de tempo na tabela.Passo 2: Se esse valor estiver na 1ª coluna (Máq. A), coloque a tarefa correspondente no início da
seqüência ótima, caso contrário coloque-a no fim da seqüência.– Se houver dois valores mínimos iguais, um em cada coluna, coloque o da 1ª coluna noinício da seqüência e o da 2ª no fim.– Se valores iguais ocorrerem na mesma coluna, escolha primeiro (para colocar mais àesquerda na seqüência ótima) aquele que tiver o menor valor na outra coluna.
Passo 3: Elimine da tabela a tarefa escolhida e retorne ao Passo 1, colocando as tarefas restantesno início (segundo, terceiro etc.) e no fim (penúltimo, antepenúltimo etc.) da seqüênciaótima.
Aplicando esse algoritmo no exemplo anterior, temos a seguinte seqüência de passos:
1
1 2
1 5 2
1 5 4 3 2
Montando a linha de tempo de execução das tarefas nessa ordem, temos:
1 2 3 4 5Tempo: 012345678901234567890123456789012345678901234567890Máquina A:|11555544444443333333332222222Máquina B:| 1111115555555544444444443333333222
Tempo total: 36 horas.
Exemplo 1Cada produto em um processo industrial consome um certo tempo de montagem e um certo tempode pintura, após a montagem. A tabela de tempos, em horas, de sete produtos diferentes, é:
Produto 1 2 3 4 5 6 7Montagem (horas) 4 7 5 12 11 9 5Pintura (horas) 10 6 4 10 8 10 12
40
Determinar uma seqüência de processamento que minimize o tempo total. Traçar o gráfico para cal-cular o tempo total.
Uma seqüência ótima será:1 7 6 4 5 2 3
1 2 3 4 5 6Tempo: 01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234Montagem:|11117777766666666644444444444455555555555222222233333Pintura: | 111111111177777777777766666666664444444444555555552222223333
Tempo total: 64 horas.
Ordenação de n tarefas em m máquinasQuando passamos de duas para m máquinas, onde m 2, esse problema deixa de ser um problemafácil de ser resolvido e passa a ser um problema combinatorial classificado como NP-difícil, ou sejanão existe algoritmo que determine a solução ótima para esse problema, e que rode em tempo poli-nomial com o tamanho da entrada (nº de tarefas) quando m 2. Em outras palavras, não existe algo-ritmo (e nem modelagem matemática) eficiente que nos garanta uma solução ótima para esse pro-blema.
Resolver o problema usando a “força bruta” requer o exame de todas as n! permutações de tarefaspossíveis, o que torna-se impraticável. O quadro a seguir mostra a evolução do tempo de processa-mento de um algoritmo usando a força bruta para obter a solução ótima de um problema de ordena-ção de tarefas, onde m = 4.
n Tempo (s)8 0,0169 0,18810 1,9711 23,012 29313 4037
Com isso, é necessário lançarmos mão de métodos heurísticos, ou seja, algoritmos que não nos ga-rantem necessariamente a solução ótima, mas que, na maioria dos casos, nos fornecem uma soluçãomuito boa em um tempo de execução razoavelmente baixo. Normalmente, podemos escolher entrealgoritmos mais elaborados, que fornecem soluções de melhor qualidade, mas que demoram maispara executar, e algoritmos mais rápidos (ou que servem até para aplicações de tempo real), masque fornecem resultados geralmente não tão bons.
Veremos a seguir três desses métodos de solução:
– Decomposição em p problemas de duas máquinas;– Simulação;– Algoritmos Genéticos.
Decomposição em p problemas de duas máquinasEste método consiste em reduzir um problema de m máquinas para p problemas de duas máquinascada, onde p = m – 1. Chamamos cada um desses problemas compostos de “problemas auxiliares”,que são resolvidos usando o algoritmo de solução exata visto anteriormente. No k-ésimo problemaauxiliar (k = 1, 2, ..., p), temos:
41
k
jij
ki TQ
11 = tempo de processamento da tarefa i na 1ª máquina.
m
kjij
ki TQ
12 = tempo de processamento da tarefa i na 2ª máquina.
kiQ 1 = soma dos tempos da tarefa i nas k primeiras máquinas.kiQ 2 = soma dos tempos da tarefa i nas m – k máquinas restantes.
Exemplo 2Resolva o POT com seis tarefas e quatro máquinas, onde os tempos Tij, i = 1, 2, ..., 6, e j = 1, 2, 3, 4,são dados na tabela abaixo:
Tempo (horas)Tarefa A B C D
1 5 3 4 42 2 4 3 53 3 4 5 34 4 5 4 25 7 3 4 26 4 3 5 6
Chamaremos de Sk a seqüência ótima obtida para o problema auxiliar k, e TSk o tempo totalde processamento dessa seqüência.
Problema auxiliar 1
Tempo (horas)Tarefa Máq. I Máq. II
1 5 112 2 123 3 124 4 115 7 96 4 14
S1 = (2, 3, 4, 6, 1, 5) TS1 = 36
Problema auxiliar 2
Tempo (horas)Tarefa Máq. I Máq. II
1 8 82 6 83 7 84 9 65 10 66 7 11
S2 = (2, 3, 6, 1, 4, 5) TS2 = 34
42
Problema auxiliar 3
Tempo (horas)Tarefa Máq. I Máq. II
1 12 42 9 53 12 34 13 25 14 26 12 6
S3 = (6, 2, 1, 3, 4, 5) TS3 = 34
Segundo essa heurística, poderíamos escolher as soluções S2 ou S3 que, por coincidência(ou sorte), são soluções ótimas para esse problema.
SimulaçãoOs métodos de simulação existentes para a resolução do POT consistem basicamente em gerar, ale-atoriamente ou de forma pseudo-aleatória, soluções ou seqüências ordenadas para as tarefas, esco-lhendo no final a melhor delas. Nesse caso, uma variedade muito maior de soluções são analisadas,em comparação com o método de decomposição visto anteriormente, o que favorece a obtenção desoluções melhores. Em contrapartida, o algoritmo não percorre todo o espaço de soluções como naforça bruta, portanto não garantindo a solução ótima, mas fornecendo um tempo de execução bas-tante baixo (e “controlável” em certos aspectos).
Além de simplesmente gerar seqüências aleatórias, pode-se também tentar fixar o lugar de uma oumais tarefas. Com isso é possível introduzir um pouco de “inteligência” ao algoritmo, ou mesmoreduzir drasticamente seu tempo de execução. Essa variação é chamada de simulação por amos-tragem em estratificada.
Uma outra variação que pode fornecer resultados melhores é a simulação por amostragem em ca-deia. Nesse caso, após um certo número de seqüências obtidas aleatoriamente, pega-se algumas quefornecem resultados melhores e tenta-se uma outra série de permutações pequenas usando como ba-se essas seqüências. O objetivo dessa técnica é reduzir o espaço de soluções onde se imagina encon-trar soluções melhores. O algoritmo que veremos a seguir possui algumas semelhanças com estatécnica.
Outros Métodos de Solução (heurísticos): GRASP ILS Algoritmos Genéticos Busca Tabu
43
CAPÍTULO 4
Problemas de Localização de FacilidadesO problema geral de localização de facilidades é um problema clássico em Otimização
Combinatória. Seja um grafo G = (N, A) onde N é um conjunto de nós e A um conjunto de arcos. Oconjunto N de nós é dividido em um conjunto S de locais candidatos a instalação de uma facilidadecom capacidade si, um conjunto T de nós de transbordo ou intermediários, e um conjunto D de nósde demanda com capacidade di. Uma facilidade pode ser uma estação de rádio, uma fábrica, umaunidade de distribuição de produtos etc. O custo fixo de instalação de uma facilidade é dado por fi,i S, e o custo variável associado a cada arco (i, j) A é dado por cij.
O problema de localização de facilidades não capacitado (PLNC) consiste em selecionar um sub-conjunto de facilidades, sem capacidades, que farão o atendimento dos nós de demanda, com ousem capacidade explícita, pelo mínimo custo. Em resumo, o objetivo é dimensionar os fluxos xij nosarcos (i, j) A, originados nos nós de oferta, ou facilidades, e destinados aos nós de demanda pelomenor custo fixo mais variável. As facilidades selecionadas são caracterizadas pelas variáveis yi quepodem assumir um valor unitário, se a facilidade for selecionada, e o valor zero, se descartada. Porsua vez, o problema de localização capacitado resulta do acréscimo das capacidades si às facilida-des, ou pela inclusão de limites superior (uij) e/ou inferior (lij) aos fluxos nos arcos do grafo.
Modelo Clássico (ou Modelo 1)O problema de localização capacitado (PLC) é um problema de otimização em rede e pode ser ma-tematicamente formulado como:
Minimizar
Si
iiAji
ijij yfxc),(
(1)
sujeito a:ii
iijji
ijiij ysxx
)(),()(),(
Si (2)
0)(),()(),(
iij
jiijiij xx Ti (3)
iiij
jiijiij dxx
)(),()(),(
Di (4)
ijijij uxl Aji ),( (5)
}1,0{iy Si (6)onde:
S locais candidatos à instalação de facilidades;T conjunto de nós intermediários;D conjunto de nós de demanda;+(i) conjunto de arcos (i, j) A, j N;– (i) conjunto de arcos (j, i) A, j N;cij custo variável no arco (i, j) A;fi custo fixo de instalação da facilidade i S;si capacidade da facilidade i S;di demanda do nó i D;xij fluxo no arco (i, j) A;yi variável binária, yi = 1 se facilidade é instalada no nó i S, e yi = 0, caso contrário.
44
A função objetivo é formada pela soma dos custos de atendimento dos clientes (que diminui com oaumento do número de instalações abertas) e de abertura das instalações (que aumenta com o au-mento do número de instalações abertas). As restrições expressam a conservação de fluxos em cadanó da rede. O primeiro grupo de restrições (2) garante que o total do fluxo que sai, menos o que en-tra, em cada nó facilidade i S, deve ser menor ou igual a sua capacidade. O segundo grupo (3)restringe a conservação de fluxos nos nós intermediários, e, o terceiro (4), garante o atendimento dedemanda. As restrições seguintes (5) limitam o fluxo em cada arco aos seus limites inferior e supe-rior. Também podem ser incluídas restrições limitando o número mínimo e máximo de facilidadesselecionadas. Finalmente, o último grupo de restrições (6) garante a integralidade das variáveis yi.
Este é um modelo básico que pode ser estendido ou simplificado conforme as necessidades e condi-ções específicas. A parcela de custo variável da função objetivo pode ser acrescida dos custos ope-racionais das facilidades, dependente da dimensão do fluxo em cada facilidade. Se esta funçãoacréscimo for linear então pode ser embutida aos custos variáveis, mantendo as características domodelo acima. Por outro lado, explorando a economia de escala, esse custo acrescido pode ser umafunção côncava, tornando o modelo não linear. Estas funções também podem ser lineares por par-tes, côncavas ou convexas.
A imposição de um número mínimo e máximo de facilidades pode ainda ser representada por parâ-metros variáveis, pu máximo e pl mínimo, uSi il pyp
. Pode também ser substituída pela
condição de viabilidade técnica do problema,
Di iSi ii dys .
Escolhido um conjunto de facilidades o problema recai a solução de um problema de fluxo de customínimo. Neste contexto, retirando os limites de fluxos nos arcos, o modelo tornase ainda maissimples, ou um problema de caminho mínimo.
Outra extensão consiste em adicionar custos fixos associados à escolha dos arcos que comporão arede solução. Esta nova extensão gera um modelo de network design, que, entre outros, é uma ex-tensão do clássico problema de Steiner. Para isso, basta fixar as facilidades e retirar ou anular oscustos variáveis. Uma última redução consiste em retirar os nós intermediários, reduzindo ao mode-lo de árvore geradora mínima.
Os modelos de localização consistem em minimizar uma função côncava (que pode ser linear) su-jeito a um conjunto de restrições lineares. A principal dificuldade é que um mínimo local não impli-ca em um mínimo global. Por outro lado, é conhecido que o mínimo de uma função côncava sobreum conjunto compacto e convexo, sempre ocorre em um vértice desse conjunto. Isto é conseqüênciada própria definição de função côncava. Logo, um ponto extremo do poliedro viável é uma soluçãopara o problema. Uma completa enumeração destes pontos extremos é impraticável para a maioriados problemas e é um aspecto importante em Combinatória. Portanto, várias técnicas têm sido de-senvolvidas visando determinar a melhor maneira de enumerar e selecionar os pontos extremos deforma que o mínimo global possa ser obtido. Estas técnicas são geralmente de natureza combinató-ria e se fundamentam na estrutura especial de cada problema analisado. Os algoritmos se concen-tram em três áreas básicas: decomposição, enumeração e heurísticas.
45
Modelo Alternativo (ou Modelo 2)Um modelo alternativo, um pouco mais simples, pode ser obtido se desconsiderarmos os nós inter-mediários T, levando em conta somente os arcos que ligam os nós candidatos S aos nós de demandaD. Também faremos uma ligeira modificação do significado das variáveis xij:
Associados a cada instalação i existem um custo fixo de abertura fi e uma capacidade de atendi-mento si, que não pode ser violada.
Associado a cada cliente j existe uma demanda dj, que deve ser atendida.
Finalmente, associado a cada par (i, j), instalação - cliente, existe um custo de atendimento Cij detoda a demanda dj do cliente j, pela instalação associada ao nó i, se ela for aberta (yi = 1).
A variável de decisão xij representa a fração da demanda do cliente j atendida pela instalação asso-ciada ao nó i, variando continuamente de 0 a 1.
Minimizar i
iii j
ijij yfxC (7)
sujeito a:1
iijx , j = 1, 2, ..., N (8)
iij
ijj ysxd , i = 1, 2, ..., M (9)
10 ijx , para todo i, j (10)
}1,0{iy , para todo i (11)
Note que o conjunto de restrições (10) é em parte coberto pelo conjunto (8), podendo ser substituídopor:
0ijx , para todo i, j (12)
No caso de um PLNC, onde a capacidade de cada instalação pode ser definida a posteriori, em fun-ção da soma das demandas dos clientes a ela alocados, basta substituirmos o conjunto de restrições(9) por:
iij yx , para todo i, j (13)
que objetivam evitar o atendimento de clientes a partir de instalações não abertas.
Problema de Localização Capacitado com Fonte Única (PLCFU)Este problema difere do PLC pela exigência de atendimento de cada cliente a partir de uma únicainstalação, o que pode ser feito substituindo-se a restrição (10) ou (12) por:
}1,0{ijx , para todo i, j (14)
46
Problema das P-Medianas com Custo FixoNeste problema, as instalações não têm capacidades definidas a priori e difere do PLNC por ter onúmero de instalações, a serem abertas, fixado igual a P. O modelo associado a este problema é da-do por:
Minimizar i
iii j
ijij yfxC
sujeito a:1
iijx , j = 1, 2, ..., N
Pyi
i iij yx , para todo i, j
}1,0{ijx , para todo i, j}1,0{iy , para todo i
Problema das P-Medianas PuroAqui não existem custos de abertura das instalações, sendo a função objetivo formada unicamentepela componente custo de atendimento. O modelo é o mesmo do problema anterior, retirando-se acomponente custo de abertura da função objetivo.
Localização de Facilidades - Exemplos
1. Problema de Localização Capacitado (PLC) – Modelo 1
Considere o seguinte grafo representando uma rede de transportes:
1
2
3
4
6
8
9
10
7
5
1
1
1 1
50
22
2
3
3
3
4
444
4
5
5
d3
d4
d10
s1
s5
s6
s9
60
5258
S = { 1, 5, 6, 9 } si = 12 i SD = { 3, 4, 10 } di = 5 i DT = { 2, 7, 8 }
Os nós amarelos representam os candidatos à instalação das facilidades, de capacidade igual a 12unidades cada, e custos fixos em vermelho. Os nós azuis são de demanda (5 unid. cada), e os bran-cos são de transbordo. Os valores nos arcos são os custos cij.
47
O modelo em formato LINDO fica então assim:
min 4x12 + 3x13 + 5x14 + 4x21 + x23 + x25 + 3x31 + x32 + 2x34 + 3x35 +5x41 + 2x43 + 2x46 + 3x47 + x52 + 3x53 + 4x56 + 2x58 + 2x64 + 4x65 +x67 + 4x68 + 3x74 + x76 + x79 + 2x85 + 4x86 + 4x89 + 5x810 +x97 + 4x98 + 4x910 + 5x108 + 4x109 +50y1 + 60y5 + 58y6 + 52y9
stS1) x12 + x13 + x14 - x21 - x31 - x41 - 12y1 <= 0S5) x52 + x53 + x56 + x58 - x25 - x35 - x65 - x85 - 12y5 <= 0S6) x64 + x65 + x67 + x68 - x46 - x56 - x76 - x86 - 12y6 <= 0S9) x97 + x98 + x910 - x79 - x89 - x109 - 12y9 <= 0T2) x21 + x23 + x25 - x12 - x32 - x52 = 0T7) x74 + x76 + x79 - x47 - x67 - x97 = 0T8) x85 + x86 + x89 + x810 - x58 - x68 - x98 - x108 = 0D3) x31 + x32 + x34 + x35 - x13 - x23 - x43 - x53 = -5D4) x41 + x43 + x46 + x47 - x14 - x34 - x64 - x74 = -5D10) x108 + x109 - x810 - x910 = -5endint y1int y5int y6int y9
Solução: y1 = y9 = 1;x13 = x64 = x76 = x97 = x910 = 5 Custo Total: 157
Solução alternativa: x13 = x74 = x97 = x910 = 5
48
2. Problema de Localização Capacitado (PLC) – Modelo 2
O modelo, exposto a seguir já no formato LINDO, está associado a um PLC onde cinco clientes de-vem ser atendidos a partir de três possíveis instalações. A abertura de cada instalação tem um custoestimado (fi) de 600, 400 e 1000 unidades monetárias, respectivamente, com capacidade de atendi-mento (si) estimada em 300, 200 e 500 unidades, respectivamente. As quantidades demandadas (dj)pelos clientes são estimadas em 120, 80, 100, 60, e 70 unidades. O custo de atendimento (Cij) de to-da a demanda de um cliente j, a partir de cada instalação i, é dado na tabela abaixo:
Inst. \ Cliente 1 2 3 4 5
1 8 10 12 7 20
2 15 6 10 14 15
3 22 18 8 12 14
MIN 600y1 + 400y2 + 1000y3 +8x11 + 10x12 + 12x13 + 7x14 + 20x15 +
15x21 + 6x22 + 10x23 + 14x24 + 15x25 +22x31 + 18x32 + 8x33 + 12x34 + 14x35
STx11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1x14 + x24 + x34 = 1x15 + x25 + x35 = 1120x11 + 80x12 + 100x13 + 60x14 + 70x15 - 300y1 <= 0120x21 + 80x22 + 100x23 + 60x24 + 70x25 - 200y2 <= 0120x31 + 80x32 + 100x33 + 60x34 + 70x35 - 500y3 <= 0ENDINT 3
A solução ótima recomenda a abertura das instalações 1 e 2. A instalação 1 atende toda a demandados clientes 1 e 4 e 50% da demanda do cliente 3; a instalação 2 atende toda a demanda dos clientes2 e 5 e 50% da demanda do cliente 3. O custo mínimo total é de 1047 unidades monetárias, sendo1000 de abertura e 47 de atendimento.
49
3. Problema de Localização não Capacitado (PLNC)
Considerando as informações do problema anterior sem associar capacidade de atendimento a cadainstalação, o modelo fica da seguinte forma:
MIN 600y1 + 400y2 + 1000y3 +8x11 + 10x12 + 12x13 + 7x14 + 20x15 +
15x21 + 6x22 + 10x23 + 14x24 + 15x25 +22x31 + 18x32 + 8x33 + 12x34 + 14x35
STx11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1x14 + x24 + x34 = 1x15 + x25 + x35 = 1x11 - y1 <= 0x12 - y1 <= 0x13 - y1 <= 0x14 - y1 <= 0x15 - y1 <= 0x21 - y2 <= 0x22 - y2 <= 0x23 - y2 <= 0x24 - y2 <= 0x25 - y2 <= 0x31 - y3 <= 0x32 - y3 <= 0x33 - y3 <= 0x34 - y3 <= 0x35 - y3 <= 0ENDINT 3
sendo que a solução ótima recomenda a abertura da instalação 2 que atende a todos os clientes. Ocusto total de atendimento é de 460 unidades monetárias, sendo 400 de abertura e 60 de atendimen-to.
4. Problema de Localização Capacitado com Fonte Única (PLCFU)
Exigindo fonte única para o PLC anterior, o modelo fica
MIN 600y1 + 400y2 + 1000y3 +8x11 + 10x12 + 12x13 + 7x14 + 20x15 +
15x21 + 6x22 + 10x23 + 14x24 + 15x25 +22x31 + 18x32 + 8x33 + 12x34 + 14x35
STx11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1x14 + x24 + x34 = 1x15 + x25 + x35 = 1120x11 + 80x12 + 100x13 + 60x14 + 70x15 - 300y1 <= 0120x21 + 80x22 + 100x23 + 60x24 + 70x25 - 200y2 <= 0120x31 + 80x32 + 100x33 + 60x34 + 70x35 - 500y3 <= 0ENDINT 18
A solução ótima continua recomendando a abertura de 1 e 2. Todavia, o custo total agora é de 1048unidades monetárias, sendo 1000 de abertura e 48 de atendimento. A instalação 1 atende os clientes1, 3 e 4; a instalação 2 atende os demais.
50
5. Problema das P-Medianas com Custo Fixo
Utilizando o mesmo exemplo de (3) e forçando a abertura de 2 instalações, temos:
MIN 600y1 + 400y2 + 1000y3 +8x11 + 10x12 + 12x13 + 7x14 + 20x15 +
15x21 + 6x22 + 10x23 + 14x24 + 15x25 +22x31 + 18x32 + 8x33 + 12x34 + 14x35
STx11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1x14 + x24 + x34 = 1x15 + x25 + x35 = 1y1 + y2 + y3 = 2x11 - y1 <= 0x12 - y1 <= 0x13 - y1 <= 0x14 - y1 <= 0x15 - y1 <= 0x21 - y2 <= 0x22 - y2 <= 0x23 - y2 <= 0x24 - y2 <= 0x25 - y2 <= 0x31 - y3 <= 0x32 - y3 <= 0x33 - y3 <= 0x34 - y3 <= 0x35 - y3 <= 0ENDINT 18
A solução ótima recomenda a abertura de 1 e 2. O custo total é de 1046 unidades monetárias, sendo1000 de abertura e 46 de atendimento. A instalação 1 atende os clientes 1 e 4; a instalação 2 atendeos demais.
51
6. Problema das P-Medianas Puro
Utilizando o mesmo exemplo acima, porém sem os custos de abertura das instalações, temos:
MIN 8x11 + 10x12 + 12x13 + 7x14 + 20x15 +15x21 + 6x22 + 10x23 + 14x24 + 15x25 +22x31 + 18x32 + 8x33 + 12x34 + 14x35
STx11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1x14 + x24 + x34 = 1x15 + x25 + x35 = 1y1 + y2 + y3 = 2x11 - y1 <= 0x12 - y1 <= 0x13 - y1 <= 0x14 - y1 <= 0x15 - y1 <= 0x21 - y2 <= 0x22 - y2 <= 0x23 - y2 <= 0x24 - y2 <= 0x25 - y2 <= 0x31 - y3 <= 0x32 - y3 <= 0x33 - y3 <= 0x34 - y3 <= 0x35 - y3 <= 0ENDINT 18
A solução ótima, neste caso, será idêntica à anterior, com um custo total de 46 unidades monetárias.
52
O Problema dos Centros AbsolutosSeja uma rede de transportes representada pelo grafo G = (V, A). Associado a cada vértice vi, i = 1,2, ..., n, temos uma freqüência de demanda g(i), cujas unidades podem ser, por exemplo, o númerode chamadas por dia, ou a probabilidade de um evento ocorrer durante um dia. Por conveniência,
g(i) será normalizado, tal que 1)(1
n
iig .
Seja b(i,j) o peso associado à aresta ou arco (i,j) A, que pode representar, por exemplo, um tempode viagem ou um custo de transporte. b(i,j) pode ser determinístico ou probabilístico.
Aplicação-exemplo: Localização de ambulâncias
Suponha que uma base de ambulâncias está localizada no ponto x G. Então para uma rede deter-minística, o tempo médio de viagem da base até um ponto aleatório da rede é dado por )(xJ , onde
n
iixtigxJ
1),()()(
e t(x, i) é o tempo mais curto de viagem de x até vi G.
Um centro absoluto de uma rede determinística é a localização x* que minimiza o tempo médio deviagem )(xJ , ou seja, )(*)(|* xJxJx .
Se os tempos de viagem forem probabilísticos, então a expressão para o tempo médio esperado deviagem será:
n
iixtigxJ
1),()()(
e ),( ixt é o tempo mais curto esperado de viagem de x até vi G. A localização ótima da base seriaentão o ponto x* que minimiza )(xJ .
Observe que estamos considerando nas expressões acima o menor tempo da facilidade para o localdo incidente. Além do tempo e da distância, que em alguns casos são diretamente proporcionais, nasanálises envolvendo tráfego urbano podemos considerar também tabelas de tempo entre localidadesque variam com a hora do dia. Determinadas avenidas, por exemplo, que são praticamente livres detrânsito na maior parte do dia, podem ficar completamente engarrafadas na hora do rush (normal-mente no início da manhã e no final da tarde).
Para minimizar o tempo do local do incidente para a facilidade (e.g. algum hospital), então deve-seencontrar )(*)(|* yJyJy , onde
n
iyitigyJ
1),()()(
e t(i, y) é o tempo mais curto de viagem de y até vi G. Em grafos não orientados, )()( xJxJ .
53
Em sistemas de atendimento médico, podemos estar interessados em minimizar o tempo de viagemda base para o local do incidente, mais o tempo do local para o hospital:
n
iyitixtigyxJ
1),(),()(),(
Se a ambulância estiver estacionada no hospital, então x = y.
Para a localização de uma base de saída, considerando uma localização fixa para o hospital emGy 0 , temos:
),()*,( 00 yxJyxJ
Para uma base fixa Gx 0 , temos:
),(*),( 00 yxJyxJ
Se x e y não são fixos, então:
VyxyxJyxJ ,),,(*)*,(
Se G é um grafo não-orientado, então x* = y*.
Exemplo 1Considere a rede representada pelo grafo abaixo, onde queremos determinar a localização ótima pa-ra uma base de carros de resgate em qualquer um dos vértices-candidatos. O vértice F representauma ponte sobre um rio. Os números azuis em negrito são as freqüências de demanda de cada loca-lidade, já normalizadas, e os números nas arestas representam os tempos médios de viagem.
Para calcularmos os valores de )(xJ , de modo a escolher o menor deles, devemos primeiro mon-tar um quadro de distâncias (ou tempos) de viagem entre cada par de localidades. Para isso, bastaconsiderar o caminho mais curto entre cada vértice (podemos usar o algoritmo de Dijkstra, porexemplo):
D
A
H
B
E
I
F G
C
J
0,1
0,01
0,02 0,030,055
0,085
0,3 0,4
0,00,0
0,8
0,8
1,1
1,47 1,2
1,1
0,8
1,6
2,1 1,5
1,05
0,8
1,8 0,8
1,4 1,33
54
t(i,j) A B C D E F G H I J g(i)A 0 1,1 4,7 0,8 2,2 3,2 4,25 1,6 2,4 5 0,055B 1,1 0 3,6 1,47 1,2 2,1 3,15 2,27 2,3 3,9 0,020C 4,7 3,6 0 4,23 2,83 1,5 0,8 3,9 3,1 1,6 0,030D 0,8 1,47 4,23 0 1,4 2,73 3,78 0,8 1,6 4,53 0,100E 2,2 1,2 2,83 1,4 0 1,33 2,38 1,9 1,1 3,13 0,000F 3,2 2,1 1,5 2,73 1,33 0 1,05 2,4 1,6 1,8 0,085G 4,25 3,15 0,8 3,78 2,38 1,05 0 3,45 2,65 0,8 0,000H 1,6 2,27 3,9 0,8 1,9 2,4 3,45 0 0,8 4,2 0,010I 2,4 2,3 3,1 1,6 1,1 1,6 2,65 0,8 0 3,4 0,300
J 5 3,9 1,6 4,53 3,13 1,8 0,8 4,2 3,4 0 0,400
Agora, para calcular cada )(xJ , basta multiplicar a linha ‘x’ pela coluna g(i). Usando uma planilhade cálculo, isso pode ser feito através de uma fórmula simples de multiplicação matricial. Usandopor exemplo o Excel, teríamos para o vértice A a seguinte fórmula:
MATRIZ.MULT(B2:K2;$L$2:$L$11),
Considerando que a célula “t(i,j)” está situada na posição A1. A planilha completa com os resulta-dos é mostrada abaixo, onde a solução ótima (vértice F) está em destaque.
55
Localização de Múltiplas Facilidades em uma Rede Determinística(O Problema dos m Centros Absolutos)
Se m facilidades estiverem localizadas em um conjunto de m pontos Xm = {x1, x2, ..., xm}, e se esti-vermos interessados em minimizar o tempo de viagem da facilidade mais próxima para o local doincidente vi, então o tempo médio de viagem será:
n
imm iXtigXJ
1),()()(
onde t(Xm, i) = mínimo{ t(x1, i), t(x2, i), ..., t(xm, i)}.
Se o interesse for minimizar o tempo de viagem do incidente para facilidade mais próxima, entãodevemos considerar o tempo médio de viagem dado por:
n
imm XitigXJ
1),()()(
onde t(i,Xm) = mínimo{ t(i, x1), t(i, x2), ..., t(i, xm)}.
Para grafos não-orientados, t(Xm, i) = t(i,Xm), e )()( mm XJXJ .
O conjunto dos m pontos *mX que minimizam o tempo médio de viagem em um grafo não-orientado
é chamado de conjunto de m-centros absolutos, e é dado por:
VXXJXJ mmm ),()( *
Exemplo 2Considere o problema descrito no Exemplo 1 acima. Para determinarmos a localização de duas faci-lidades que minimizam o tempo médio de atendimento, devemos montar uma matriz de distâncias
contendo k linhas, onde k = 45!8!2!10
2,10 C . Cada uma dessas k linhas representa um par de loca-
lidades-candidato. Nossa matriz ficaria então da seguinte forma:
t(i,j) A B C D E F G H I JA,B 0 0 3,6 0,8 1,2 2,1 3,15 1,6 2,3 3,9A,C 0 1,1 0 0,8 2,3 1,5 0,8 1,6 2,4 1,6
I,J 2,4 2,3 1,6 1,6 1,1 1,6 0,8 0,8 0 0g(i) 0,055 0,020 0,030 0,100 0,000 0,085 0,000 0,010 0,300 0,400
Depois disso, basta multiplicar cada linha pelo último vetor g(i) e escolher o par com o menor tem-po médio obtido.
56
Redes com Distribuição ProbabilísticaEm muitas aplicações reais, particularmente as envolvendo tráfego de veículos, é comum dispormosnão de tempos de viagem determinísticos entre localidades, mas sim distribuições probabilísticas dediversos tempos de viagem diferentes, que muitas vezes ainda dependem da hora do dia, do dia dasemana e da época do ano.
Dada uma rede com um número finito de estados G1, G2, ..., Gs, com probabilidades de ocorrênciaP1, P2, ..., Ps, respectivamente, a distância média esperada será dada por:
s
k
n
ikk ixtigPxJ
1 1),()()(
Para um conjunto de m facilidades, temos:
s
k
n
imkkm iXtigPXJ
1 1),()()(
O conjunto *mX que representa os m-centros esperados será então:
VXXJXJ mmm ),()( *
Exemplo PropostoDetermine uma única localidade que minimiza o tempo esperado de viagem para a rede probabilís-tica abaixo:
Nesse caso, a distribuição discreta {0,45:3; 0,55:5} significa “o tempo de viagem igual a 3 ocorrecom probabilidade 0,45; e o tempo de viagem igual a 5 ocorre com probabilidade 0,55.
1
2
3
4
5
5
0,3 0,3
0,25
0,15
4
57
CAPÍTULO 5
Roteamento de Veículos
O problema clássico de Roteamento de Veículos (PRV), formalmente proposto por Dantzig &Ramser em 1959, tem o seguinte enunciado:
Um conjunto de clientes ou fregueses, cada um com uma demanda conhecida de um determinadoproduto, deve ser suprido de um único armazém por veículos de capacidade conhecida. Devemosestabelecer a rota desses veículos, de acordo com as seguintes restrições:
a) A demanda de cada cliente deve ser atendida;
b) A capacidade dos veículos não deve ser excedida;
c) O tempo (ou distância) total para cada veículo completar sua rota não deve exceder um limitedeterminado;
d) Podem existir limites de tempo mínimos e máximos nos quais os clientes aceitam ser atendi-dos.
O objetivo é obter uma solução que minimize o custo ou distância total percorrida pelos veículos.
Subproblemas Relacionados:
i) Se a demanda total puder ser comportada em um único veículo, e as restrições c e d puderemser ignoradas, temos então um Problema do Caixeiro Viajante (PCV).
ii) Se as restrições c) e d) forem ignoradas, precisamos também achar o número mínimo de veícu-los Problema de Empacotamento.
Modelos MatemáticosPodemos encontrar na literatura modelos matemáticos propostos para resolver o PRV. Alguns des-ses modelos consideram somente um subconjunto das restrições. Outros usam técnicas de Relaxa-ção Lagrangeana, e com isso conseguem resolver problemas maiores (da ordem de algumas cente-nas de nós).
Balinski e Quandt (1964)Esse modelo ignora as restrições c e d e é, conceitualmente, bastante simples.
Minimizar1
m
i ii
Z x c
s.a.1
1 1,2,...,m
ij ii
x j n
(1)
onde:
i = 1, 2, ..., m : possíveis rotas que os veículos devem usar para atender os clientes.j = 1, 2, ..., n : clientes que devem ser atendidos.ij : matriz de números binários indicando se o cliente j está ou não na rota i.
58
ci : custo da rota i.xi = 1 se a rota i for escolhida, e zero caso contrário.
As restrições (1) fazem com que cada cliente seja atendido por somente um veículo.
A grande desvantagem desse modelo é que ele considera explicitamente cada rota possível de serusada, o que pode ser muito difícil de ser obtido na prática.
Garvin, Grandall, John e Spellman (1957)Esse modelo também ignora as restrições c e d, mas ao invés de enumerar explicitamente todas aspossíveis rotas, usa uma abordagem semelhante a outros problemas conhecidos de fluxos em rede.Além disso, ele considera os veículos como tendo todos a mesma capacidade.
Dados:qk : demanda do cliente k.Q : capacidade dos veículos.cij : custo (ou distância) do nó i ao nó j.yijk : quantidade do produto transportado de i até j destinado ao cliente k (o sufixo “0” indicao armazém).
vijx = 1 ou 0, dependendo se o veículo v passa pelo arco (i, j).
Minimizar vij ij
i j vZ c x
s.a. , ( )ijk jrki r
y y j k j k (1)
ikk ki
y q k (2)
0 jk kk j k
y q (3)
1 clientesvij
i vx j (4)
, , ( )vijk ij
ky x Q i j v i j (5)
Significado das restrições:
(1): não pode haver acúmulo de produto em j destinado a outro cliente k.(2): o produto acumulado no ponto k deve ser igual à demanda de k.(3): o que sai do armazém deve ser igual à demanda total.(4): somente um veículo deve atender o cliente j.(5): a capacidade dos veículos não pode ser violada.
A desvantagem desse modelo é que ele produz um número muito grande de variáveis binárias e derestrições, restringindo demais o tamanho dos problemas que podem ser resolvidos por ele.
HeurísticasPor ser um problema NP-difícil, o uso de modelos matemáticos ou de algoritmos que fornecem asolução ótima para o PRV só é possível para instâncias pequenas do problema (em geral algumasdezenas ou poucas centenas de nós). Na prática, é mais comum o uso de algoritmos de soluçãoaproximada (heurísticas). As mais conhecidas dessas técnicas são provavelmente o algoritmo deClark & Wright, com suas diversas variações, e os algoritmos de busca local.
59
Algoritmo de Clark & Wright (1963)Esse algoritmo é baseado no conceito de economia de percurso. No princípio, parte-se da suposiçãode que cada cliente pode ser atendido por um veículo dedicado, que vai diretamente ao cliente, efe-tua a entrega, e retorna ao armazém. Nesse caso, a distância total percorrida por todos os veículosseria:
01
2n
jj
c
onde 0 jc é a distância do armazém ao cliente j.
Agora tentamos fazer uma triangulação da seguinte forma: se dois clientes i e j puderem ser ligados,de forma a serem atendidos por um único veículo em uma rota apenas (veja figura abaixo), então aeconomia de percurso seria:
0 0ij i j ijs c c c
Com esse conceito em mente, elaborou-se o seguinte algoritmo:
inícioa) Calcular a economia sij para cada par de clientes (i,j);b) Ordenar os valores de sij em ordem decrescente;c) Começando pelo topo da lista, faça:
1) Se a rota formada pela ligação entre o par (i,j) for viável,então acrescente essa rota à solução do problema,senão rejeite a ligação.
2) Repita o passo 1) até esgotar a lista de ligações.fim
Vemos que esse algoritmo é essencialmente um algoritmo guloso, pois sempre busca formar as ro-tas à partir das maiores economias, sem se preocupar as outras combinações existentes.
Principais vantagens: Simples de implementar; Execução muito rápida.
Principais desvantagens: Os resultados podem ser ruins, especialmente se as restrições forem muito “apertadas”; Uma vez feita uma ligação entre dois ou mais clientes, ela não é mais removida da solução.
0
ij
0
ij
60
Exemplo:Considere a rede de transportes abaixo, onde o vértice 1 é o armazém:
1. Usando uma rota dedicada para cada vértice, temos:
1 – 2 – 11 – 3 – 11 – 4 – 11 – 5 – 1Z = 70
Listando as economias em ordem decrescente, temos:
Vértices 0 0i j ijc c c ijs2 – 3 8 + 10 – 4 142 – 4 12 + 8 – 6 143 – 4 10 + 12 – 9 134 – 5 12 + 5 – 10 72 – 5 8 + 5 – 10 33 – 5* 10 + 5 – 14 1
*Pode ser ignorado, já que o caminho 3-5 passa obrigatoriamente por algum outro vértice.
2. Pega-se o primeiro par (2-3), obtendo assim a rota 1 – 2 – 3 – 1, como na figura abaixo:
1 – 2 – 3 – 11 – 4 – 11 – 5 – 1Z = 56
5 1
4 3
210
10
10
9
8
5
6
12
4
5 1
4 3
2
8
5
1210
5 1
4 3
2
8
5
1210
4
61
3. Em seguida, pega-se o segundo par (2-4), obtendo duas rotas:
1 – 2 – 4 – 3 – 11 – 5 – 1Z = 43
4. O par (3-4) já está ligado através de uma rota, então podemos ignorá-lo. Passamos entãopara o próximo par, que é o (4-5 ou 5-4). Teríamos assim a seguinte rota, contendo todos osvértices:
1 – 4 – 5 – 2 – 3 – 1
Z = 46
Esse resultado é pior do que o obtido no passo 3, e portanto seria ignorado. Uma outra alter-nativa seria o uso da rota 4-2 ao invés da 2-4, no passo 3, o que nos daria a seqüência mos-trada abaixo:
1 – 4 – 2 – 3 – 1 1 – 5 – 4 – 2 – 3 – 11 – 5 – 1 Z = 35Z = 37
Observe que na escolha dos pares que formam as economias, não foram consideradas restri-ções como a capacidade dos veículos, tempos limites para os clientes e distâncias limites pa-ra os veículos. Caso a escolha de algum par resultasse na violação de qualquer restrição, en-tão as rotas formas nos passos anteriores seriam “fechadas”, e seria aberta uma nova rota.
5 1
4 3
2
4
5
12 10
6
5 1
4 3
2
5
10
6
10
4
5 1
4 3
2
8
5
6
10
9
5 1
4 3
2
10
10
12
10
4
62
Variações ao algoritmo de Clark & Wright:
Tilman & Cochran (1968)
Ao invés de pegar a ligação viável de maior economia em cada passo, verifica-se o par de li-gações que fornece a maior economia conjunta.
Gaskell (1967)
Ao invés de escolher a ligação baseado no valor de sij, usa-se dois outros valores alternati-vos:
0 0ij ij i j ijs c c c c
ou... ij ij ijs c
onde c é o valor médio de todos os 0ic .
Esse esquema favorece as ligações radiais ao invés das circunferenciais.
Knowles (1967)
Ao invés de seguir um esquema guloso simples, faz-se uma busca em árvore baseada emeconomia. O início do algoritmo é similar ao Clark & Wright, ou seja, é feita uma lista deligações disposta em ordem decrescente de economia:
(i, j), (k, l), (m, n), (p, q)...
Depois, monta-se uma árvore de busca ou de decisão, usando cada par como sendo um nó daárvore, como ilustra a figura abaixo:
Nota-se que um dos “ramos” de busca dessa árvore é precisamente a seqüência gulosa deClark & Wright.
início
k, l
p, q m, n
p, q
i, j
k, l
p, q m, n
p, q
m, n
p, q
63
Algoritmos de Busca Local: K-Opt(ref.: Luna, pág. 471)
64
CAPÍTULO 6
Introdução à Teoria das FilasA maioria das pessoas perde mais tempo do que gostaria esperando em filas. Em geral, preferimoschegar a um banco, um restaurante, um cinema ou um pedágio e ser atendidos imediatamente. Noentanto, e infelizmente, as filas são um mal necessário na medida em que reduzem os custos dosserviços a níveis aceitáveis para a grande maioria das pessoas. Neste capítulo, veremos alguns mo-delos matemáticos usados no estudo das filas de espera, e como podemos responder questões im-portantes como:
Qual a fração do tempo em que cada atendente ou servidor fica ocioso? Qual o número esperado de pessoas na fila? Quanto tempo as pessoas irão perder, em média, numa determinada fila? Se o gerente de um banco deseja assegurar que somente 1% dos clientes terão que esperar
mais do que 5 minutos por um caixa, então quantos caixas deverão estar disponíveis?
Terminologia e Conceitos Básicos
Processo de Chegada As “chegadas” em uma fila são normalmente irregulares. Isso significa que os clientes não
chegam em intervalos de tempo constantes, e o que temos são valores médios de tempo dechegada, ou uma distribuição no tempo (de freqüência) dessas chegadas.
Ritmo de chegada: (e.g. = 20 clientes / minuto). Intervalo entre chegadas: IC = 1 / (e.g. IC = 3 segundos).
Clientes e tamanho da população A população é normalmente “infinita”, o que significa que a entrada de clientes na fila não
afeta a taxa de chegada. Veremos alguns casos também onde a população é finita.
Processo de Atendimento Também normalmente irregular valores médios de tempo de atendimento e funções de
distribuição de probabilidades. Ritmo de atendimento: (e.g. = 6 clientes / minuto). Tempo (duração) do atendimento: TA = 1 / (e.g. TA = 10 segundos).
População
. . .
Fila
Clientes,Transações,Entidades, etc.
Servidor
Servidor
Servidor
Atendimento
65
Número de Servidores de Atendimento Caso mais simples: 1 servidor. O objetivo principal é buscar um equilíbrio entre o custo do serviço e a qualidade do serviço
(QoS).
Disciplina da Fila FIFO (First In First Out) – é a mais comum; LIFO (Last In First Out); Por Prioridade; Aleatório; Outros.
Tamanho Médio da Fila Situação ideal: chegar e ser imediatamente atendido (fila zero). O tamanho médio da fila está relacionado com o Tempo de Espera. Oscila em torno de um valor médio.
Tamanho Máximo da Fila Pode haver quantidade máxima de lugares reservados para espera: cadeiras, espaço físico,
buffers de memória etc. Pode haver recusa de clientes (e.g. linha telefônica). Pode não ser limitado (e.g. pedágio).
Tempo Médio de Espera na Fila Situação ideal: tempo zero (sem fila). Nem sempre o melhor do ponto de vista econômico (ociosidade dos atendentes). Exemplo: 10 pessoas na sua frente tempo médio = 10 duração média do atendimento. Depende do processo de chegada e de atendimento.
Tipo da Fila (opções de atendimento) Uma única fila e um único servidor; Uma única fila e diversos servidores; Diversas filas e diversos servidores; Filas especiais; Alteração dinâmica no sistema de atendimento.
Sistemas Estáveis Valores de e se mantêm constantes no tempo; Para o caso de um atendente e uma fila: (capacidade de atendimento deve ser maior
que o ritmo de chegadas).
66
Exemplo: Posto BancárioConsidere um posto bancário com uma fila e um único atendente, bem como os dados abaixo cole-tados por meio de observação feita no atendimento de 12 clientes ao longo de um determinado perí-odo do dia. Considere todos os tempos dados em minutos.
Chegada:Cliente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Intervalo: 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2Momento: 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30
= 24 clientes (chegadas) / hora.IC = 2,5 minutos.
Atendimento:Cliente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Duração: 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3Tempo naFila: 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
= 30 clientes (atendimentos) / hora.TA = 2 minutos.Tempo médio na fila = 16 / 12 = 1,33 minutos.
Variáveis Aleatórias (randômicas) FundamentaisConsidere o sistema estável ilustrado abaixo, contendo M servidores para atendimento, ritmo dechegada igual a e de atendimento igual a (para cada atendente).
As variáveis fundamentais são descritas a seguir:
. . .
Fila
1
2
M
AtendimentoChegadaIC, TF, NF M, , TA, NA
Saída
SistemaTS, NS
67
Sistema:TS = Tempo médio de permanência no sistema.NS = Número médio de clientes no sistema.
Chegada: = Ritmo médio de chegadas.IC = Intervalo médio entre chegadas.
IC = 1
Fila:TF = Tempo médio de permanência na fila.NF = Número médio de clientes na fila.
Atendimento:M = Número de atendentes.NA = Número médio de clientes que estão sendo atendidos. = Ritmo médio de atendimento de cada atendente.TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço.
TA = 1
Relações Básicas:NS = NF + NA
TS = TF + TA
NA = TAIC
Portanto:
NS = NF + NA = NF +
= NF + TAIC
Taxa de Utilização dos Atendentes
Essa taxa representa a fração média do tempo em que cada servidor está ocupado.
Exemplo: Tendo só um atendente c/ capacidade para 10 clientes por hora, se chegam 4 clientes porhora, então = 0,4, ou seja, o atendente tem em média 40% do seu tempo ocupado e 60% livre.
Em sistemas estáveis tempo sempre que < 1.
68
Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de AtendentesChamamos de Intensidade de Tráfego a expressão:
TAIC
i
onde x é o próximo valor inteiro maior que x. A unidade de i é “Erlangs”, em homenagem aA.K.Erlang.
Na prática, i representa o número mínimo de servidores necessário para atender um dado fluxo detráfego.
Exemplo: Se = 10 clientes/hora e TA = 3 minutos (ou seja, = 20 clientes/hora), então0,5 1i . Caso aumente para 50 clientes/hora, então 2,5 3i .
Fórmulas de Little (J.D.C.Little)
NF = TFNS = TS
Obs.: Essas fórmulas independem da quantidade de servidores M.
Exemplo de aplicação: Se soubermos os valores de , e TS, podemos obter os outros assim:
NS = TSTA = 1 / TF = TS - TANF = TFNA = /
Exemplo 1Em uma fábrica, observa-se o funcionamento de um dado setor de montagem de peças, em que =20 peças/hora, = 25 peças/hora e TS = 0,3h. Calcule a quantidade média de peças na fila, no sis-tema e sendo montados.
NF = TF = (TS – TA) = (TS – 1 / ) = 20 (0,3 – 1/25) = 5,2 peçasNS = TS = 20 0,3 = 6 peçasNA = NS – NF = 6 – 5,2 = 0,8 peças.
Postulados Básicos para Sistemas Estáveisa) O fluxo que entra no sistema deve ser igual ao fluxo que sai do sistema.
. . .
69
b) O fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema.
c) A junção dos fluxos equivale às suas somas.
d) O fluxo se desdobra aritmeticamente.
Ciclo e Tempo Fora do SistemaConsidere a seguinte situação: em uma mineradora, verifica-se que o tempo médio (TS) dos cami-nhões junto às carregadeiras é de 3 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor.Se existirem 30 caminhões em serviço, qual o tempo gasto para que todos eles passem pela carrega-deira uma vez?
Chamamos esse tempo de ciclo, que ocorre em sistemas fechados ou repetitivos, onde as entidadesque compõem a(s) fila(s) do sistema, após serem atendidos, retornam novamente à(s) fila(s).
24 caminhões emprocesso de des-carregamento
6 caminhões emprocesso de car-regamento
2 = 16A
C
1
3 = 4 (20%)
B
3 = 4
2 = 16 (80%)
3 = 1 + 2
A
BC
1
3
2
A B C
70
A duração do ciclo é estimada como sendo:
Duração do Ciclo = Tamanho da População
No exemplo acima, temos que:
= NS / TS = 6 / 3 = 2 caminhões / min.
Duração do Ciclo = 30 / 2 = 15 min.
Outra informação importante que podemos estimar é o tempo médio para o processo completo dedescarregamento. Como esse processo está fora do conjunto Fila + Atendimento (carregamento),chamamos esse tempo então de Tempo Fora do Sistema (TFS). O ciclo, portanto, é composto dotempo no sistema mais o tempo fora do sistema:
Duração do Ciclo = TS + TFS
Portanto, temos que:
TFS = Duração do Ciclo – TS = 15 – 3 = 12 min.
Exemplo 2Em uma pizzaria que faz entregas a domicílio, chegam, em média, quatro entregadores por minutopara pegar o produto a ser entregue. Sabe-se ainda que o número médio de entregadores dentro dapizzaria é de 6 (NS).
a) Qual o tempo médio que cada entregador gasta no sistema?
TS = NS / = 6 / 4 = 1,5 min.
b) Havendo um total de 40 entregadores, qual o tempo médio de entrega?
O tempo médio de entrega pode ser considerado como sendo o tempo que o entregador gasta pa-ra levar o produto até o domicílio e retornar à pizzaria. Ou seja, é o Tempo Fora do Sistema(TFS).
Duração do Ciclo = Tamanho da População 404
= 10 min.
TFS = 10 – 1,5 = 8,5 min.
A Notação de KendallPara facilitar a descrição e estudo de filas de espera, David Kendall (1951) desenvolveu uma nota-ção que descreveremos a seguir. Para isso, iremos considerar uma única fila sendo atendida por umnúmero constante de servidores, cada um com as mesmas características de atendimento.
Na notação de Kendall, o sistema é descrito usando-se seis características, da seguinte forma:
71
A / S / c / K / m / Z
onde as abreviações usadas acima têm o seguinte significado:
A = Distribuição dos intervalos entre chegadas.S = Distribuição do tempo de serviço, que em geral assume um dos seguintes valores:
M = Marcoviana (Exponencial ou Poisson);Em = Erlang de grau m;Hm = Hiperexponencial de grau m;D = Determinístico.
c = Número de servidores (quantidade de atendentes).K = Capacidade máxima do sistema, ou o número máximo de clientes no sistema (default = ).m = Tamanho da população (default = ).Z = Disciplina da fila ou política de atendimento, que em geral assume um dos seguintes valores:
FIFO (default);LIFO;Por Prioridade;Randômico.
Exemplo:M/E2/5/20//Randômico
Características do sistema descrito neste exemplo:Taxa de chegadas Marcoviana (segue a distribuição de Poisson);Tempo de atendimento segue a distribuição de Erlang de grau 2;Nº de atendentes ou servidores = 5;Capacidade máxima do sistema = 20 clientes;População infinita;Atendimento Randômico;
Notação CondensadaMuitas vezes é usada a notação condensada de Kendall, onde os valores default descritos acima pa-ra K, m e Z são suprimidos. Com, temos a seguinte notação:
A / S / c
onde...A = Distribuição dos intervalos entre chegadas.S = Distribuição do tempo de serviço.c = Número de servidores (quantidade de atendentes).Capacidade máxima do sistema: .Tamanho da população: .Disciplina da fila: FIFO
Exemplos: M/M/1 e M/M/c (modelo de Poisson)
72
Funções de Distribuição de ProbabilidadePara conseguirmos estudar o comportamento das filas e responder às perguntas feitas no início destecapítulo, é necessário conhecermos o comportamento dos processos de chegada e de atendimento.Isso implica em saber, por exemplo, a probabilidade de termos um certo número de clientes che-gando em um determinado intervalo de tempo, ou a probabilidade de um cliente ser atendido em umdeterminado espaço de tempo. Veremos em seguida algumas das funções de distribuição de proba-bilidade mais utilizadas, e alguns relacionamentos entre essas funções.
Processos de Chegada (ritmos) e a Distribuição de PoissonÉ muito comum que o ritmo (e.g. número de pessoas por minuto) em um processo de chegada declientes e outras entidades em uma fila siga a distribuição de Poisson. Considere, por exemplo, umpedágio de uma rodovia, onde são anotados os ritmos de chegada durante o período total de umahora. A tabela abaixo mostra o número de veículos que chegam a cada intervalo de um minuto:
2 1 2 1 0 2 1 0 1 20 2 3 1 3 1 3 4 5 12 0 1 2 1 0 1 1 0 22 2 3 2 2 3 2 3 3 21 6 0 2 3 7 0 2 2 04 1 1 1 1 8 4 3 1 4
Podemos notar que no primeiro minuto chegam 2 carros. O mesmo acontece no terceiro e sexto mi-nutos. Fazendo a contagem das freqüências com que acontecem esses ritmos de chegada, podemosmontar a tabela abaixo:
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ritmo
Freq
üênc
ia R
elat
iva
Pelo gráfico, vemos que o ritmo de chegadas de fato segue a distribuição de Poisson. Usando a ex-pressão bem conhecida para essa função de distribuição:
( )!
x
f x ex
,
e fazendo = 2, podemos então montar a seguinte tabela, com o respectivo gráfico comparativo:
Ritmo FreqüênciaAbsoluta
FreqüênciaRelativa
0 9 0,1501 17 0,2832 17 0,2833 9 0,1504 4 0,0675 1 0,0176 1 0,0177 1 0,0178 1 0,0179 0 010 0 0
73
Ritmo FreqüênciaAbsoluta
FreqüênciaRelativa
Poisson
0 9 0,150 0,1351 17 0,283 0,2712 17 0,283 0,2713 9 0,150 0,1804 4 0,067 0,0905 1 0,017 0,0366 1 0,017 0,0127 1 0,017 0,0038 1 0,017 0,0019 0 0 010 0 0 0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ritmo
Freq
üênc
ia R
elat
iva
Real Poisson
Intervalos de Tempo entre Chegadas e a Distribuição ExponencialConsidere agora o mesmo exemplo do pedágio visto anteriormente, e que possamos medir os inter-valos de tempo entre chegadas para cada automóvel. A tabela abaixo mostra esses intervalos detempo (em segundos) para os 100 primeiros automóveis:
5 41 3 3 68 1 38 82 82 207 43 24 51 6 12 9 86 90 12050 7 40 42 42 13 8 19 27 2826 0 4 37 45 11 21 19 55 854 39 44 34 2 1 32 22 2 15 20 23 35 31 106 3 2 62 7129 25 30 3 3 24 27 33 66 33 68 6 3 33 33 81 9 15 1416 50 49 50 49 100 13 17 110 30 39 15 14 16 40 9 13 17 5
Separando esses intervalos de tempo em faixas, podemos montar a seguinte tabela, bem como ográfico correspondente:
74
Faixa de Intervalo (min.) FreqüênciaAbsoluta
FreqüênciaRelativa
0,00 - 0,2 25 0,250,21 - 0,4 23 0,230,41 - 0,6 16 0,160,61 - 0,8 13 0,130,81 - 1,0 6 0,061,01 - 1,2 6 0,061,21 - 1,4 4 0,041,41 - 1,6 3 0,031,61 - 1,8 2 0,021,81 - 2,0 0 0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Intervalos (minutos)
Freq
üênc
ia R
elat
iva
Real Exponencial
Podemos reparar pelo gráfico como a distribuição dos intervalos entre chegadas segue uma distri-buição exponencial inversa, cuja função densidade de probabilidade é conhecida como sendo:
( ) xf x e ,
(onde = 2), e cuja função de probabilidade acumulada é dada por:
0( ) ( ) 1
x xF x f x e
De fato, pode ser demonstrado que se a função de distribuição de probabilidades dos ritmos (e.g. nºde eventos por minuto) de um processo qualquer é Poisson com média igual a , então a distribui-ção dos intervalos entre chegadas é exponencial inversa, com a função usando o mesmo parâmetro. Nesse caso, podemos dizer que a média dos intervalos entre chegadas é igual a 1 / . No exemploacima, teríamos:
= 2 chegadas / minuto.IC = 0,5 minuto.
Os processos Marcovianos, caracterizados pelas distribuições de Poisson e Exponencial vistas aci-ma, são de grande importância no desenvolvimento da teoria das filas, como veremos mais adiante.No entanto, existem também outras distribuições igualmente importantes, e que são usadas para
75
modelar uma grande variedade de processos, em particular os processos de atendimento. Mostrare-mos a seguir as outras duas distribuições definidas na notação de Kendall (Erlang e Hiperexponen-cial), e suas respectivas funções de densidade de probabilidade.
Erlang: tmm etmmm
xf
1)(
)!1(1)( , m > 1, > 0.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20
x
f(x)
m=1 m=2 m=10
Exemplo: m = [1, 2, 10]; = 0,2
Hiperexponencial:1 1
( ) , 0, 0, onde 1i
k kx
i i i i ii i
f x e
76
Além dessas duas, outras distribuições bastante usadas em filas são: Weibull, Gamma e Normal.
Exemplo 3:Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a Distribuição de Pois-son. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pelamanutenção. Qual a probabilidade de, em uma dada semana, chegaram as seguintes quantidades de solicita-ção de conserto:
a) Zerob) 1 falhac) Até 4 falhasd) Mais que 4 falhase) 12 falhas
Lembrando que a distribuição de Poisson é usada para valores discretos, podemos usar então a sua função dedensidade de probabilidade,
( )!
x
f x ex
,
da seguinte forma:
a)0
4 44(0)0!
f e e = 0,0183 = 1,83%
b)1
4 4(1)1!
f e = 0,0733 = 7,33%
c)0 1 2 3 44
4
0
4 4 4 4 4( ) ( )0! 1! 2! 3! 4!x
xP F x f x e
= 0,6288 = 62,88%
d) 4 1 (4)P F = 1 – 0,6288 = 0,3712 = 37,12%
e)12
4 4(12)12!
f e = 0,064%
Exemplo 4:Em um dado sistema o intervalo médio entre duas chegadas é IC = 10 minutos (ou = 6 chegadas por hora,Distribuição Exponencial). Qual a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja:
a) Até 6 minutosb) Maior que 6 minutosc) Entre 6 e 30 minutosd) Maior que 30 minutos
Lembrando que a distribuição exponencial é contínua, e que = 6 chegadas por hora = 0,1 chegadas por mi-nuto, podemos usar então a sua função de probabilidade acumulada,
( ) 1 xF x e ,da seguinte forma:
a) 66 (6) 1P F e = 1 – 0,5488 = 0,4512 = 45,12%
b) 66 1 (6)P F e = 0,5488 = 54,88%
c) 30 6 6 306 30 (30) (6) 1 1xP F F e e e e = 0,5488 – 0,0498 = 50%
d) 3030 1 (30)P F e = 4,98%
77
O Modelo M/M/1Esse modelo é bastante simples e serve como uma boa base didática para o estudo dos fenômenosdas filas. No entanto, as aplicações práticas desse modelo são bastante restritas, visto que é raro umsistema onde o processo de atendimento segue uma distribuição exponencial (embora os processosde chegada em muitos casos seguem de fato a distribuição de Poisson, como já vimos anteriormen-te). Podemos então representar o modelo M/M/1 usando a figura a seguir:
Usando distribuições Marcovianas para os processos de chegada e de atendimento, as expressõespara as variáveis básicas do sistema tornam-se:
NF
NS
TF
TS
Taxa de utilização do sistema:
Probabilidade de existirem n clientes no sistema: (1 )nnP
A Taxa de Utilização Número de Clientes na FilaJá vimos anteriormente que, em sistemas estáveis, 1 . No entanto, olhando mais de perto a rela-ção entre a taxa de utilização e o número médio de clientes na fila, temos:
2
NF1
,
cujo gráfico é representado a seguir:
78
0
10
20
30
40
50
60
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Taxa de Utilização
NF
Vemos que para valores de maiores que 0,9 (ou seja, 90% de utilização), o número de clientes nafila cresce muito rapidamente, o que não é bom em termos da qualidade do serviço oferecido. Noentanto, o gráfico também mostra que, nesses casos, basta colocarmos mais um atendente (servi-dor), que nesse caso dobraria a capacidade de atendimento e reduziria o tamanho médio da fila paraníveis bastante baixos.
O Modelo M/M/1/KEsse modelo é o mesmo que o anterior, com a exceção que a capacidade do sistema é limitada, ouseja:
K = Capacidade do sistema (número máximo de clientes no sistema). Enquanto K clientes estiverem presentes no sistema, todas as chegadas posteriores serão re-
jeitadas e perdidas.
Essas situações podem ocorrer na prática, por exemplo, em bancos onde existe um espaço físico li-mitado para a formação da fila, ou em sistemas de computação usados em transações bancárias,bem como outras aplicações de redes de computadores, onde as filas são definidas por buffers dememória de tamanho limitado.
Como o tamanho da fila é limitado, podemos ter nesse caso a taxa de atendimento menor que a dechegada, que mesmo assim o sistema permanece estável. Assim, as expressões para as variáveis bá-sicas do sistema tornam-se:
1
1
1
1 , ( 0,1,2, , )1
1 ( 1)NS
(1 )(1 )
nn K
K K
K
P n K
K K
1 , ( 0,1,2,..., )1
NS2
nP n KKK
0NA 1NF NS NA
P
NFTF
(1 )KP
TS TF TA , onde TA = 1/
(média dos clientes "rejeitados")(1 ) (média dos clientes "aceitos")
r K
a K
N PN P
79
O Modelo M/M/cNeste modelo, ao invés de um único servidor de atendimento, o sistema dispõe de c servidores. Ca-da um desses servidores possui as mesmas características de atendimento (tempo médio de atendi-mento igual a , seguindo uma distribuição exponencial inversa), e o fluxo de entrada na fila únicaé distribuído uniformemente entre todos os servidores. Podemos então representar o modelo M/M/cusando a figura a seguir:
Podemos então expressar as variáveis básicas do sistema como sendo:
NF(1 )
cP
NS NF
NA
NFTF cPc
NS 1TS cPc
1TA
onde:
c
(taxa de utilização)
Probabilidade de não haver ninguém no sistema:
0 1
0
1( ) ( )
! !(1 )
i cc
i
Pc ci c
Probabilidade de encontrar todos os servidores de atendimento ocupados:0( )
!(1 )
c
cc PP
c
Probabilidade de encontrar n clientes no sistema:0( ) , ( 1,2,..., )
!
n
nc PP n c
n
0( ) , ( , 1, 2,...)!
n
n n c
c PP n c c cc c
80
Os Modelos M/Em/...Em modelos onde o processo de chegada ou de atendimento não é Marcoviano, torna-se difícil de-terminar expressões matemáticas mais simples para as variáveis básicas do sistema. Um exemplocomum em que isso ocorre na prática envolve modelos do tipo “M/Em/...”, onde o processo deatendimento segue a distribuição de Erlang. Nesses casos, é comum o uso de ábacos para a determi-nação dos valores de NF, TF etc., como os ilustrados abaixo (PRADO, 1999):
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Exemplo 5 (PRADO, 1999, págs. 65 e 74):Um fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários recebem as ferramentas especiaispara a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada ( = 1 chegada /minuto) e de atendimento ( = 1,2 atendimentos / minuto) seguem o modelo M/M/1. A fábrica para$9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao operário. Pede-se:
a) O custo horário do sistema;b) A fração do dia em que o atendente não trabalha;c) Determine o número de atendentes que minimiza o custo total do sistema.
Solução:a)
O custo horário do sistema é igual à soma do custo horário do atendente com o custo horário dosoperários que, por estarem na fila ou sendo atendidos, não estão trabalhando. Para calcularmoseste último, devemos conhecer o número médio de clientes no sistema (NS).
NS = / ( – ) = 1 / (1,2 – 1) = 5
Com isso, temos que o custo do sistema será:
Custo = 9 + 5 18 = $99,00 / horab)
A fração do dia durante a qual o atendente não trabalha é igual ao valor da probabilidade de nãoexistir nenhum operário no sistema:
0 1P
= 0,16 = 16%
c)Usando agora o modelo M/M/c, podemos determinar o valor de NS para qualquer número deatendentes, e assim determinar o custo total do sistema, conforme mostrado na tabela abaixo:
c NS Custo dosatendentes
Custo dosOperários
CustoTotal
1 0,833 5 $9,00 $90,00 $99,002 0,417 1,008 $18,00 $18,14 $36,143 0,277 0,856 $27,00 $15,41 $42,414 0,208 0,836 $36,00 $15,05 $51,055 0,200 0,834 $45,00 $15,01 $60,01
Podemos ver pela tabela que a melhor escolha seria a contratação de dois atendentes.
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Exercícios Propostos (Teoria das Filas)Obs: A menos que se diga o contrário, todas as taxas de chegada e de atendimento seguem umadistribuição Marcoviana (Poisson ou Exponencial).
1. Cada passageiro, bem como sua bagagem, deve ser examinado para determinar se ele/ela estácarregando algum tipo de arma para dentro do avião. Suponha que, no aeroporto de GothamCity, chegam em média 10 passageiros por minuto. Para verificar os passageiros, o aeroportodeve ter um Ponto de Verificação (PV) contendo um detector de metais, um aparelho de raios-Xpara a bagagem e dois funcionários para operá-los. Cada PV consegue atender em média 12passageiros por minuto. Assumindo que o aeroporto possui somente um PV, responda:
a) Qual a probabilidade de um passageiro ter que entrar na fila para ser verificado?b) Quantos passageiros em média estarão esperando na fila para passar pelo PV?c) Quanto tempo em média cada passageiro perderá no PV (fila + detector)?
2. Quanto ao problema anterior, suponha que o aeroporto quer determinar quantos PV deve insta-lar de forma a minimizar os custos operacionais e de atraso dos passageiros por um período dedez anos. Assuma que o custo devido ao atraso de cada passageiro durante uma hora é de $10 eque o aeroporto opera 7 dias por semana, 16 horas por dia. O custo de aquisição, manutenção eoperação de cada PV é de $1 milhão por um período de dez anos. Considere uma taxa de jurosdesprezível. Por fim, considere que os passageiros sempre se dividem igualmente entre os diver-sos PV existentes, como se fosse uma fila única.
3. O Departamento de Direito está tentando determinar se aluga uma copiadora rápida ou lenta. Odepartamento acredita que a hora de trabalho de seus funcionários vale em torno de $15. O alu-guel da copiadora lenta custa $4 por hora, e gasta em média 10 minutos para completar o servi-ço. O aluguel da copiadora rápida custa $15 por hora, e gasta em média 6 minutos para comple-tar o serviço. Uma média de 4 funcionários por hora precisa usar a copiadora. Qual delas o de-partamento deve alugar?
4. Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor de atendimento ao público. O primeirotrabalha apenas com depósitos e o segundo, com retiradas. Sabe-se que ambos gastam em média3 minutos por cliente. Chegam, em média, 16 clientes por hora para efetuar depósitos, e 14 cli-entes por hora para retiradas. Qual seria o efeito no tempo médio do sistema se ambos os funci-onários trabalhassem tanto com retiradas como com depósitos?
5. Navios chegam a um porto para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas por sema-na. O porto possui 3 cais de atracação e o tempo médio de carga de cada navio é de 0,5 semana.Sabendo-se que um navio parado esperando para ser carregado, implica uma multa de $70.000por semana para a administração do porto (esta multa é conhecida por demurrage no ambienteportuário), pede-se o custo semanal resultante das multas.
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Bibliografia
AHUJA, R.K., MAGNANTI, T.L., ORLIN, J.B., Network Flows: Theory, Algorithms, and Applica-tions. Prentice Hall, 1993.
BAZARAA, M., JARVIS, J., Linear Programming and Network Flows, 2nd Edition. John Wiley &Sons, 1990.
BAZARAA, M., SHETTY, C., Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, 2nd Edition. JohnWiley & Sons, 1990.
BREGALDA, Paulo F., OLIVEIRA, Antônio F., BORNSTEIN, Cláudio T., Introdução à Progra-mação Linear. Editora Campus, 1988.
DSHALALOW, J.H. (Editor), Advances in Queuing Theory: Methods e Open Problems. CRCPress, 1995
EILON, S.; WATSON-GANDY, C.D.T.; CHRISTOFIDES, N., Distribution Management: Mathe-matical Modelling and Practical Analysis. Charles Griffin & Co. Ltd., 1971.
HALL, R. Queuing Methods for Service and Manufacturing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.
HANDLER, C.H. & MIRCHANDANI, P.B., Location on Networks. MIT Press, 1979.
HILLIER, F.S. e LIEBERMAN, G.J., Introdução à Pesquisa Operacional, Editora Campus Ltda,Rio de Janeiro. Editora Universidade de São Paulo, São Paulo, 1988.
LAW, A.M. & KELTON, W.D., Simulation Modeling & Analysis, McGraw-Hill Inc., 1991.
LEE, A. Applied Queuing Theory. St. Martin's Press, 1966.
LUNA, H.P.L. e GOLDBARG, C.M., Otimização Combinatória e Programação Linear. EditoraCampus, 2000.
NG, C. H. and HOCK, N.C., Queueing Modelling Fundamentals. John Wiley&Sons, 1997.
PAPADIMITRIOU, C.H. & STEIGLITZ, K. Combinatorial Optimization: Algorithms and Com-plexity. Prentice Hall, 1982.
PRADO, D., Teoria das Filas e da Simulação. EDG, 1999.
RAO, S.S., Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley&Sons, 1996, Third Edi-tion.
RARDIN, R.L. Optimization in Operations Research, Prentice Hall, 1994.
ROSS, S.M., Simulation – Second Edition. Academic Press, 1997.
RUBINSTEIN, R.Y., Monte Carlo Optimization, Simulation and Sensitivity of Queuing Networks.Krieger Publishing Company, 1992.
84
SAIGAL, R., Linear Programming: A Modern Integrated Analysis. Kluwer Academic Pub., 1995.
SHIMIZU, T., Pesquisa Operacional em Engenharia, Economia e Administração: Modelos Básicose Métodos Computacionais. Editora Guanabara Dois, 1984.
STEUER, R., Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Optimization. Klieger,Malabar, 1986.
WAGNER, H.M., Pesquisa Operacional, Prentice Hall, 1985.
WINSTON, W.L. Operations Research: Applications and Algorithms, 3rd Edition. Duxbury Press,1994.
WINSTON, W.L.; ALBRIGHT, C; BROADIE, M., Practical Management Science: SpreadsheetModeling and Applications. Duxbury Press, 1996.