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Universidade Federal de Juiz de Fora
Faculdade de Engenharia
Curso de Graduacao em Engenharia Civil
SIMULACAO DO COMPORTAMENTO DE
ESTRUTURAS DE CONCRETO SUBMETIDAS A
INCENDIOS
RAFAELA DE OLIVEIRA AMARAL
JUIZ DE FORA
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF
2011
RAFAELA DE OLIVEIRA AMARAL
SIMULACAO DO COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
SUBMETIDAS A INCENDIOS
Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado do Curso
de Engenharia Civil da Universidade Federal de Juiz de Fora,
como requisito parcial a obtencao do tıtulo de Engenheiro
Civil.
Area de Conhecimento: MECANICA APLICADA E COM-
PUTACIONAL
Orientadora: Profa. Dra. Michele Cristina Resende Farage
Co-orientador: Profa. Dra. Flavia de Souza Bastos
Juiz de Fora
Faculdade de Engenharia da UFJF
2011
SIMULACAO DO COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
SUBMETIDAS A INCENDIOS
RAFAELA DE OLIVEIRA AMARAL
Trabalho Final de Curso submetido a banca examinadora constituıda de acordo com o Artigo 9.
do Capıtulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas pelo Colegiado do Curso de
Engenharia Civil, como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Civil.
Aprovado em 08/12/2011.
Por:
Profa Dra. Michele Cristina Resende Farage
Profa Dra. Flavia de Souza Bastos
Luiz Guilherme Rosa Filgueiras
ii
AGRADECIMENTOS
Agradeco a Deus pelas oportunidades que me foram dadas na vida, pelas pessoas que foram
colocadas no meu caminho, pelas experiencias vividas e por todas as minhas conquistas ate hoje e
pelas que virao.
A minha famılia que sempre me apoiou e me deu suporte para enfrentar as dificuldades. Em
especial aos meus pais Nelci e Domingos pela luta, esforco e constante apoio para construir meu
futuro e aos meus irmaos Leona, Ariane e Ruana pela amizade e companheirismo.
Ao Thiago, meu amor, por ter sido meu amigo e companheiro durante a faculdade, sempre me
amparando e dando forca.
A todos meus amigos, que de alguma forma contribuıram por essa conquista.
A todos os professores que me transmitiram seus conhecimentos me tornando uma pessoa mais
capacitada. Em especial, a Michele e a Flavia, minhas orientadora e co-orientadora, respectivamente,
que alem de serem otimas pessoas sao excelentes professoras e profissionais. Sou muito grata a
voce, Michele, por todos esses anos de IC, pela dedicacao e orientacao recebida e pela confianca que
depositou em mim durante todo esse tempo de convıvio.
A Anna Paula, pelas vezes em que me ajudou disponibilizando seus trabalhos e pela boa vontade
que sempre teve comigo.
Em fim, a todas as pessoas, que ao longo do perıodo da graduacao, passaram por minha vida
deixando marcas e licoes para toda ela, proporcionando-me alegrias, conhecimento e crescimento
pessoal.
iii
RESUMO
Para a elaboracao de projeto de edifıcios em estruturas de concreto e importante considerar o
comportamento dessas estruturas quando submetidas ao incendio, pois com o aumento progressivo
da temperatura, as propriedades mecanicas do concreto comecam a degradar, podendo ocorrer colapso
estrutural.
A ISO 834 recomenda a curva de incendio-padrao, que relaciona a temperatura dos gases quentes
e o tempo, para a analise das estruturas. Essa curva e a mais difundida internacionalmente e e base
para a NBR 5628.
Neste trabalho, foi avaliada a precisao de valores de distribuicao de temperatura nos diversos
pontos das secoes analisadas obtidos atraves da utilizacao do programa comercial ABAQUS. As
analises termicas sao em regime transiente, com imposicao da curva de incendio-padrao, e nao-linear
com base no Metodo dos Elementos Finitos.
Os resultados das analises numericas sao comparados com aqueles encontrados em literaturas
especializadas (CEB, 182) e com aqueles encontrados na tese de mestrado do Fernando Pacıfico
Figueiredo Junior, da UFMG e da Anna Paula Guida Ferreira, da UFJF.
Tambem foi feito uma revisao bibliografica com os principais conceitos sobre o assunto abordado.
iv
Sumario
1 INTRODUCAO 6
1.1 Tema e Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Descricao Geral do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 O CONCRETO SOB TEMPERATURAS ALTAS 9
2.1 O Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 O Concreto Sob Temperaturas Altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Propriedades Termicas do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Condutividade Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Calor Especıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 MODELAGEM DA CONDUCAO DE CALOR VIA METODO DOS ELE-
MENTOS FINITOS 14
3.1 O Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 MEF aplicado a Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Matriz K e M do Elemento Quadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 ABAQUS 25
4.1 Descricao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 a linguagem Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Etapas para a analise via ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 APLICACOES 35
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Exemplo 1: Pilar de Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Descricao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 Analise de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Exemplo 2: Bicamada rocha-concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.1 Descricao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Exemplo 3: casa de forca e usina hidreletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1
5.4.1 Descricao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 CONSIDERACOES FINAIS 49
2
Lista de Figuras
1.1 Danos por fogo no revestimento do concreto do Channel Tunnel (extraido de (Mehta
and Monteiro, 2008)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Esquema de um reator GE Mark I BWR da General Electric (extraido de (Ferreira,
2011)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Fonte do Tempo: uma escultura em concreto. (extraido de (Mehta and Monteiro,
2008)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Interior do Palacio de Esportes em Roma, Italia, projeto de Pıer Luigi Nervi, para
os jogos Olımpicos de 1960. (extraido de (Mehta and Monteiro, 2008)) . . . . . . 10
2.3 Deterioracao do corpo-de-prova apos “spalling” (extraido de (Ferreira, 2011)). . . 11
2.4 Limites inferior e superior para a condutividade termica de concretos normais, con-
forme definicao da norma Europeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Regiao bidimensional com as condicoes de contorno possıveis (extraıdo (Pacıfico-Jr,
2002)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Elemento retangular de quatro nos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Elemento fısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Elemento de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1 Representacao esquematica da interacao entre a interface ABAQUS Scripting e o
Kernel do ABAQUS/CAE (extraido (ABAQUS, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Caixa de dialogo Creat Part do ABAQUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Comando Create Lines do ABAQUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Geometria do pilar gerada no ABAQUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Griacao da grometria e da malha para o modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Criacao e atribuicao do material ao modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.7 Comando Create Lines do ABAQUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8 Imposicao da condicao de contorno ao modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1 Curva de incendio-padrao proposta pela norma Europeia (EUROCODE, 2005). . . 36
5.2 Discretizacao da secao transversal do pilar e malhas consideradas. . . . . . . . . . 37
5.3 Pontos analisados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Resultado de temperatura dos pontos para cada malha considerada e a diferenca
percentual entre os resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
5.5 Resultado de temperatura para a secao transversal do pilar, MEF x CEB x ABAQUS. 39
5.6 Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para a secao transversal do
pilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.7 Corpo-de-prova em bicamada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.8 Corpo-de-prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.9 Pontos analisados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.10 Resultados de temperatura para o meio da camada de concreto do corpo-de-prova. 43
5.11 Resultados de temperatura para a interface das camadas do corpo-de-prova. . . . 44
5.12 Resultados de temperatura para o meio da camada de rocha do corpo-de-prova. . 44
5.13 Resultados de temperatura para a parte inferior da camada de rocha do corpo-de-
prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.14 Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para o corpo-de-prova. . . . 45
5.15 Usina hidreletrica binacional de Itaipu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.16 Usina hidreletrica em 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.17 Casa de forca da usina hidreletrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.18 Modelo da Geometria usada para a analise da casa de forca. . . . . . . . . . . . . 47
5.19 Representacao das etapas de variacao da temperatura consideradas para a analise
da casa de forca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.20 Campo de temperatura obtido atraves do ABAQUS para a usina. . . . . . . . . . 48
5.21 Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para o trecho entre as casas
de forca da usina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
Lista de Tabelas
3.1 Analogia entre Problemas Estruturais e de Conducao de Calor. . . . . . . . . . . . 18
5.1 Temperaturas calculadas para cada malha considerada e a diferenca percentual
entre os resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Resultados de temperatura para a secao transversal do pilar, MEF x CEB x ABAQUS. 40
5
Capıtulo 1
INTRODUCAO
1.1 Tema e Motivacao
Este trabalho final de curso tem como tema a analise de estruturas de concreto submetidas a
temperaturas elevadas. A relevancia do tema e justificada pelos varios registros de estruturas
atingidas por incendio, como foi o caso do Tunel do Canal da Mancha -construido para ligar a
Inglaterra a Franca atraves de transporte em tunel subaquatico- que sofreu um incendio em 1996.
A figura 1.1 mostra o aspecto de uma regiao do revestimento de concreto do tunel apos o acidente
onde e observado o dano que levou a exposicao das armaduras de aco.
Figura 1.1: Danos por fogo no revestimento do concreto do Channel Tunnel (extraido de (Mehtaand Monteiro, 2008))
Outra situacao comum e a de estruturas feitas para trabalhar sob temperaturas elevadas, como
6
alguns componentes de usinas nucleares, altos-fornos ou repositorios de rejeitos radioativos (figura
1.2). Nestes casos, por razao de seguranca, a estrutura deve ser capaz de suportar temperaturas
elevadas e de longa duracao sem perder a capacidade estrutural -e, no caso de usinas nucleares-
mantendo a propriedade de confinamento de materiais radioativos.
Figura 1.2: Esquema de um reator GE Mark I BWR da General Electric (extraido de (Ferreira,2011))
Sabe-se que a analise do concreto sob tais condicoes e extremamente complexa, porque trata-se
de um material heterogeneo e quimicamente ativo, cujas propriedades fısicas evoluem constante-
mente. Por esta razao, o presente trabalho dedica-se a analisar os aspectos termicos, sem abordar
o comportamento mecanico, que exigiria estudos mais avancados do que os aqui desenvolvidos.
Cabe destacar que, sabendo que as propriedades termicas e mecanicas do material variam com
a temperatura, e importante conhecer de que forma a temperatura se distribui em uma estrutura
sujeita a incendio, como primeira etapa para a posterior analise dos efeitos mecanicos resultantes
da exposicao ao calor, o que justifica o estudo aqui apresentado.
1.2 Objetivo
O objetivo geral deste trabalho e analisar a distribuicao de temperatura em estruturas de concreto
sujeitas a incendio. Os objetivos especıficos sao:
• Descrever os efeitos da temperatura sobre o material em estudo;
7
• Aplicar metodos numericos para resolver problemas de Engenharia Civil;
• Empregar o ABAQUS, que e um programa abrangente para analise de diversos problemas
de Engenharia.
1.3 Descricao Geral do Trabalho
Este trabalho consistiu na simulacao computacional da distribuicao de temperatura em estru-
turas de concreto. Foi empregado o Metodo dos Elementos Finitos (MEF), atraves do programa
ABAQUS. O problema tratado e transiente e nao-linear, ja que a condutividade termica do con-
creto varia com a temperatura que, por sua vez, evolui no tempo.
Em linhas gerais, o trabalho demandou as seguintes etapas:
• Estudo das propriedades termicas do concreto, dependencia com a temperatura e efeitos
provocados por incendios;
• Descricao dos fenomenos de transporte gerados pela variacao de temperatura;
• Estudo do MEF aplicado ao poblema de calor;
• Emprego do programa ABAQUS a resolucao do problema em estudo.
O presente texto apresenta um resumo das atividades realizadas e se organiza conforme descrito
a seguir:
Capıtulo 2: Breve revisao sobre o concreto e os efeitos causados pela temperatura alta;
Capıtulo 3: Modelagem da conducao de calor via metodo dos elemenetos finitos;
Capıtulo 4: Descricao do programa ABAQUS;
Capıtulo 5: Aplicacoes numericas realizadas para simular estruturas de concreto sujeitas a
incendios;
Capıtilo 6: Cosideracoes finais.
8
Capıtulo 2
O CONCRETO SOB
TEMPERATURAS ALTAS
2.1 O Concreto
O concreto e uma mistura de cimento Portland com areia, brita e agua. Ele e o material mais
utilizado na construcao civil. Isso se deve ao menos a dois fatores:
1. Elementos estruturais de concreto podem, com facilidade, ter diferentes formatos e tama-
nhos, permitindo a confeccao de estruturas com geometrias complexas, como a mostrada
nas figuras 2.1 e 2.2. Isto porque o concreto fresco e de consistencia plastica, podendo ser
colocado no interior de qualquer forma pre-fabricada, que e removida para reuso quando o
concreto esta solidificado e endurecido;
2. O concreto convencional e produzido por um custo relativamente baixo. O agregado, a agua
e cimento Portland, que sao os componentes do concreto, sao, em geral, baratos e facilmente
encontrados em praticamente todas as regioes do mundo.
Apesar de ser largamente empregado ha seculos, trata-se de um material extremamente com-
plexo, cujas propriedades ainda nao sao totalmente compreendidas. As dificuldades encontradas
na descricao e previsao do comportamento de estruturas de concreto devem-se a aspectos rela-
cionados a heterogeneidade do meio em questao, que e poroso e multifasico, podendo conter em
seu interior fluidos na forma lıquida e gasosa.
Quando exposto a condicoes ambientais agressivas, as dificuldades para descrever e prever o
comportamento de estruturas de concreto sao ainda maiores, uma vez que o concreto e resultado de
reacoes quımicas -entre o cimento e a agua, principalmente- encontrando-se em constante evolucao.
9
Figura 2.1: Fonte do Tempo: uma escultura em concreto. (extraido de (Mehta and Monteiro,2008))
Figura 2.2: Interior do Palacio de Esportes em Roma, Italia, projeto de Pıer Luigi Nervi, para osjogos Olımpicos de 1960. (extraido de (Mehta and Monteiro, 2008))
2.2 O Concreto Sob Temperaturas Altas
Na elaboracao de projetos de edifıcios residenciais, publicos e industriais, uma das consideracoes
feitas e a seguranca humana na ocorrencia de fogo. O uso do concreto, por nao ser combustıvel, nao
emitir gases toxicos e ser capaz de conservar resistencia suficiente por perıodos extensos, permite
operacoes de resgate e diminui os riscos de colapso estrutural, quando submetido a temperaturas
altas da ordem de 700 a 800oC. Por exemplo, em 1972, quando um edifıcio de concreto armado
com 31 andares, em Sao Paulo (Brasil), foi exposto a fogo de alta intensidade por mais de 4h,
mais de 500 pessoas puderam ser resgatadas porque o edifıcio manteve sua integridade estrutural
durante o fogo (Mehta and Monteiro, 2008).
As estruturas de concreto possuem boa resistencia ao incendio, devido as suas baixas condu-
tividade termica e capacidades de combustao, e nao exalam gases toxicos ao ser aquecido. Mas,
com o aumento da temperatura, sua resistencia caracterıstica e seu modulo de elasticidade sao
reduzidos e ocorre perda de rigidez da estrutura.
Sendo baixa a condutividade termica do concreto, a elevacao da temperatura nao e constante
na secao transversal, sendo mais intensa nas faces expostas, principalmente nos cantos, e menos
10
intensa na medida em que se caminha para seu interior.
Aumentar a resistencia do concreto e reduzir o fator agua/cimento, com aditivos e adicoes
que proporcionam maior compacidade e reduzida permeabilidade, melhora a durabilidade e a
resistencia da estrutura em temperatura ambiente, porem antecipam a sua degradacao ao fogo, pois
essas estruturas se tornam mais esbeltas. Pecas de menor massa e volume se aquecem rapidamente.
A exposicao a temperaturas elevadas pode ocorrer basicamente em duas situacoes bastante
distintas:
• Causas acidentais, como em incendio, onde os gradientes de temperaturas sao muito altos e
a exposicao ao fogo se da por um perıodo de tempo relativamente curto (figura 1.1);
• Em condicoes normais de sevico, como os repositorios de rejeitos radioativos, em que a
estrutura fica sujeita a temperaturas muito elevadas, por longo perıodo de tempo (decadas)
(figura1.2).
As alteracoes observadas nas propriedades do concreto devem-se a aspectos relacionados a
microestrutura do material. Os constituintes do concreto, pasta de cimento e agregado, possuem
componentes que se decompoem com o calor. A permeabilidade do concreto, o tamanho do
elemento e a taxa de aumento da temperatura influenciam o desenvolvimento de pressoes internas
geradas pelos produtos de decomposicao gasosa, atualmente, o desenvolvimento de concreto de
alto desempenho que tem baixıssima porosidade e permeabilidade, favorece a geracao de altas
pressoes no material, quando exposto a um incendio.
Uma situacao que pode ocorrer e a fragmentacao superficial explosiva -conhecida como spalling-
que leva a uma grande degradacao do material, podendo afetar de modo significativo a sua ca-
pacidade estrutural. A figura 2.3 mostra um corpo-de-prova deteriorado apos o spalling.
Figura 2.3: Deterioracao do corpo-de-prova apos “spalling” (extraido de (Ferreira, 2011)).
11
2.3 Propriedades Termicas do Concreto
2.3.1 Condutividade Termica
Atraves da conducao o calor flui em um meio solido sempre que ha um gradiente de temperatura.
A Lei de Fourier representa a relacao em que o fluxo de calor(qλ) e proporcional ao gradiente de
temperatura na direcao considerada (x) multiplicado pela area atraves da qual o calor e transferido
(A). A equacao 2.1 mostra essa relacao, onde λ e a propriedade do meio chamada condutividade
termica, que e a quantidade de calor que fluira por unidade de tempo atraves de uma unidade de
area quando o gradiente de temperatura for unitario.
qλ = −λAdTdx
(2.1)
Para o concreto, a condutividade termica e influenciada pela mineralogia dos agregados, pelo
teor de umidade, densidade e temperatura do concreto. A condutividade termica da pasta de
cimento Portland saturada e menor do que a condutividade da maioria dos agregados comuns,
ou seja, quanto mais agregados tiver o concreto, maior sera a sua condutividade (BAZANT and
KAPLAN, 1996). Outro fator que interfere na resposta do concreto a conducao de calor e a
quantidade de ar nos seus poros. Com o processo de desidratacao e da perda de umidade de
um meio inicialmente saturado, a tendencia e que a condutividade termica do concreto diminua
com o aumento da temperatura, ja que a condutividade termica do ar e muito menor do que a
condutividade da agua.
A norma Europeia para calculo de estruturas em concreto fornece duas curvas tecnicas, dadas
pela equacao 2.2 e 2.3, que limitam a evolucao da condutividade termica com a temperatura
para concretos de densidade normal (entre 2000 e 2600 Kg/m3, segundo a norma Europeia)
(EUROCODE, 2005):
λinf = 1, 36− 0, 136
(Θ
100
)+ 0, 0057
(Θ
100
)2
(2.2)
λsup = 2− 0, 2451
(Θ
100
)+ 0, 0107
(Θ
100
)2
(2.3)
onde λinf e o limite inferior, λsup e o superior e Θ e a temperatura em C.
Ambas as equacoes da norma Europeia fornecem a condutividade em W/mK e sao validas
para temperaturas entre 20C e 1200C, e sao representadas na figura 2.4.
12
Figura 2.4: Limites inferior e superior para a condutividade termica de concretos normais, con-forme definicao da norma Europeia.
2.3.2 Calor Especıfico
O calor especıfico e uma grandeza que caracteriza cada substancia e representa a quantidade de
calor necessaria para variar de um grau a temperatura de uma unidade de massa do material.
Para o concreto seco de agregados silico-calcarios tem-se a seguinte variacao em funcao da
temperatura dada pela norma Europeia:
cp(Θ) = 900(J/KgK) se 200C ≤ Θ ≤ 1000C (2.4)
cp(Θ) = 900 + (Θ− 100)(J/KgK) se 1000C ≤ Θ ≤ 2000C (2.5)
cp(Θ) = 1000 + (Θ− 200)/2(J/KgK) se 2000C ≤ Θ ≤ 4000C (2.6)
cp(Θ) = 1100(J/KgK) se 4000C ≤ Θ ≤ 12000C (2.7)
No presente trabalho, estas expressoes serao empregadas, como se vera adiante.
13
Capıtulo 3
MODELAGEM DA CONDUCAO DE
CALOR VIA METODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
3.1 O Metodo dos Elementos Finitos
O Metodo dos Elementos Finitos (MEF) e um metodo numerico aproximado para analise de di-
versos fenomenos fısicos que ocorrem em meios contınuos, e que sao descritos atraves de equacoes
diferenciais parciais, com determinadas condicoes de contorno (Problemas de Valor de Contorno),
e possivelmente com condicoes iniciais (para problemas variaveis no tempo). O MEF e bastante
generico e pode ser aplicado na solucao de inumeros problemas da engenharia (Souza, 2003).
A principal ideia desse metodo e dividir o domınio do problema em sub-regioes de geometria
simples (formato triangular, quadrilateral, cubico, etc.). Essas sub-regioes recebem o nome de
elementos finitos. Os nos ou pontos nodais conectam os elementos finitos utilizados na subdivisao
do domınio do problema. O conjunto de elementos finitos e pontos nodais recebem o nome de
malha de elementos finitos.
Diversos tipos de elementos finitos ja foram desenvolvidos. Estes apresentam formas geometricas
diversas, por exemplo, triangular, quadrilateral, cubico, etc, em funcao do tipo e da dimensao do
problema (uni, bi, ou tridimensional).
A precisao do metodo depende da quantidade de nos e elementos, e do tamanho e tipo dos
elementos presentes na malha. Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito a sua con-
vergencia. Quanto menor for o tamanho e maior for o numero de elementos em uma determinada
malha, mais precisos serao os resultados da analise (Souza, 2003).
14
3.2 MEF aplicado a Transferencia de Calor
O desenvolvimento aqui apresentado foi extraido da referencia (Pacıfico-Jr, 2002).
No problema de conducao do calor, o campo de temperatura e um campo escalar. Por isso, os
elementos empregados na analise tem um grau de liberdade por no, sendo o problema uni,bi ou
tridimensional. As incognitas principais no problema de conducao de calor, quando se utiliza o
MEF, sao as temperaturas nodais.
A equacao de Poisson e a equacao basica da transferencia de calor, que pode ser expressa da
seguinte forma:
ρc∂Θ
∂t= 52DΘ + ρr em Ω (3.1)
onde Θ e a temperatura, t a variavel tempo, ρ a densidade do material, c o calor especıfico,
ρr a densidade de calor devido a uma fonte de calor interna e D e a matriz constitutiva, formada
pelas condutividades termicas λ, para as diferentes dimensoes nas quais se descreve o domınio Ω.
Desta forma, para um domınio bidimensional, D e da forma:
D=
[λx 0
0 λy
](3.2)
As condicoes de contorno do problema sao representadas na figura 3.1 e sao a condicao de
Dirichlet, que fixa a temperatura Θ a um valor previamente conhecido sobre um contorno par-
ticular (equacao 3.3) e a condicao de Neumann, que fixa o gradiente de temperatura normal a
superfıcie (equacao 3.4).
Θ−Θ = 0 em ΓΘ (3.3)
nTq+α(Θs −Θf ) + q = 0 em Γq (3.4)
onde: Θ e a temperatura com valor conhecido na fronteira, α e o coeficiente de conveccao-
radiacao, q e o fluxo de temperatura, com valor conhecido na fronteira, Θf e a temperatura dos
gases fora do domınio, vetor de normais ao contorno (equacao 3.5) e vetor gradiente de temperatura
(equacao 3.7).
n= [nx ny]T (3.5)
15
qn = [qx qy] = −D5Θ (3.6)
onde:
5 =[
∂∂x
∂∂y
]T(3.7)
Figura 3.1: Regiao bidimensional com as condicoes de contorno possıveis (extraıdo (Pacıfico-Jr,2002))
Como ponto de partida, a aplicacao do MEF exige a existencia de uma forma integral que
expresse o mecanismo global do sistema. Essa forma integral pode ser obtida aplicando-se o
metodo dos resıduos ponderados a equacao diferencial (equacao 3.1) e a condicao de contorno
(equacao 3.4). Assim:
∫Ω
WT [5TD5Θ+ρr]∂Ω−∫
ΩWT
[ρc∂Θ
∂t
]∂Ω+
∮Γq
WT [nTD5Θ+α(Θs−Θf )+q]∂Γq = 0 (3.8)
onde W sao as funcoes de peso do metodo dos resıduos ponderados.
Apos integrar por partes o termo 5TD5Θ e reagrupar a equacao, tem-se
∫ΩWTρc
∂Θ∂t∂Ω +
∫Ω5TWTD5Θ∂Ω +
∮Γq
WTαΘ∂Γq =∫ΩWTρr∂Ω−
∮Γq
WTqn∂Γq +∫ ∫
ΓqWTαΘf∂Γq −
∮Γq
WTqn∂Γq(3.9)
Depois de discretizar o domınio em elementos finitos, as temperaturas sao interpoladas no
interior de cada elemento como:
Θ =∑
NiΘi =Na(e) (3.10)
Sendo Ni as funcoes de forma definidas em cada elemento e a(e) contem os valores das tempe-
raturas nodais do elemento (e).
16
O vetor de gradientes em cada elemento e obtido por:
g= 5Θ = 5Na(e) =B a(e) (3.11)
onde B = [B1, ..., Bn], sendo Bi =[
∂Ni
∂x∂Ni
∂y
]T, para problemas bidimensionais.
O vetor de fluxos pode ser calculado em funcao dos valores nodais conforme:
q= −DBa(e) (3.12)
Substituindo as equacoes 3.10 e 3.11 na equacao 3.9 e fazendo W igual a N, conforme o Metodo
de Galerkin, obtem-se um sistema matricial de equacoes que pode ser escrito na forma:
M∂a∂t
+Ka=f (3.13)
onde: a e o vetor de incognitas contendo a temperatura em todos os nos da malha, e M e a
matriz de massa, K e a matriz de rigidez e f e o vetor de forcas nodais.
Para cada elemento, essas matrizes podem ser obtidas pelas seguintes equacoes:
M(e) =∫
Ω(e) ρcNTNdΩ(e) (3.14)
K(e) =∫
Ω(e)BTDBdΩ(e) + α
∮Γ(e)q
NTNdΓ(e)q (3.15)
f (e) =∫
Ω(e)NTρrdΩ(e) −
∮Γ(e)q
NT qdΓ(e)q +
∫ ∫Γ(e)q
NTαΘfdΓ(e)q −
∮Γ(e)q
nTNTqndΓ(e)q (3.16)
No caso estacionario, quando nao ha variacao de grandezas no tempo, a solucao requer apenas
a resolucao do sistema de equacoes 3.17.
Ka=f (3.17)
Obtidas as temperaturas nodais, obtem-se os gradientes de temperatura e os fluxos de calor
em cada ponto atraves das equacoes 3.11 e 3.12, respectivamente.
Para um problema transiente, a solucao exige a integracao no tempo da equacao 3.13. Usando
um esquema de diferencas finitas trapezoidal generalizado obtem-se:
17
[M5t + βK
]at = βf t + (1− β)f1−t +
[M5t − (1− β)K
]at−1 (3.18)
onde β define o “ponto de colocacao”da equacao diferencial 3.13, isto e:
aβ = βat + (1− β)at− 1 (3.19)
A equacao 3.19 permite obter o valor da temperatura no tempo t em funcao da temperatura
no instante t-1 e dos valores das “forcas”nos tempos t e t-1. Pode-se demonstrar que o esquema
trapezoidal utilizado na equacao 3.19 e condicionalmente estavel, convergindo para β ≥ 0, 5. Na
pratica recomenda-se utilizar β igual a 2/3 (Galerkin) ou β igual a 1 (Pacıfico-Jr, 2002).
3.2.1 Matriz K e M do Elemento Quadrangular
Ha varias analogias entre o problema de transferencia de calor e o problema de mecanica estrutural,
apesar de, aparentemente, serem diferentes um do outro. A tabela 3.1 compara os termos que sao
usados na mecanica estrutural e seus correspondentes na conducao de calor. A equacao matricial
dos problemas de transferencia de calor tambem e muito similar aquela dos problemas de mecanica
estrutural. Na realidade, o mesmo esquema de elementos finitos pode ser usado para ambos os
problemas. Iniciando com a conservacao de energia, obtemos uma equacao matricial similar as
equacoes estruturais de elementos finitos, conforme mostra a equacao 3.20. Depois de aplicadas
as condicoes de contorno, a solucao da equacao matricial levara as temperaturas nodais a partir
das quais a distribuicao de temperatura dentro do solido pode ser calculada usando as funcoes de
interpolacao. O fluxo de calor e calculado usando a derivada do campo de temperatura.
[KT ]T = Q (3.20)
onde: K e a matriz de condutividade; T e a temperatura nodal e Q e a carga termica.
Mecanica estrutural Transferencia de calorDeslocamento (vetor) Temperatura (escalar)Tensao (tensor) Taxa de trasnferencia de calor (vetor)Condicoes de contorno de deslocamentos Condicoes de contorno de temperaturaCondicoes de contorno de forcas de superfıcie Condicoes de contorno de entrada de calorForca de corpo Geracao interna de calor
Tabela 3.1: Analogia entre Problemas Estruturais e de Conducao de Calor.
Apresenta-se aqui o elemento finito aqui empregado que apresenta uma forma retangular,
composto de quatro nos, posicionados nos vertices do retangulo, e de quatro graus de liberdade,
um grau por no (figura 3.2). Considerando esse elemento, da geometria fica claro que x3 = x2,
18
y4 = y3, x4 = x1 e y2 = y1. Sera usado um polinomio em x como funcao de interpolacao.
Por existirem quatro nos, pode-se aplicar quatro condicoes e, em consequencia, o polinomio deve
possuir quatro termos, da seguinte maneira:
t = α1 + α2x+ α3y + α4xy (3.21)
Para calcular os coeficientes desconhecidos αi substitui-se t por t1, t2, t3 e t4:
Figura 3.2: Elemento retangular de quatro nos.
T1 = α1 + α2x1 + α3y1 + α4y1
T2 = α1 + α2x2 + α3y2 + α4y2
T3 = α1 + α2x3 + α3y3 + α4y3
T4 = α1 + α2x4 + α3y4 + α4y4
(3.22)
Para calcular os coeficientes de interpolacao emprega-se a interpolacao de Lagrange. Chegando
a equacao 3.23.
t(x) = [N1 N2 N3 N4]
t1
t2
t3
t4
(3.23)
onde N1,...,N4 sao as funcoes de interpolacao. Para isso, foram inicialmente consideradas as
temperaturas ao longo da borda 1-2 na figura 3.2. Ao longo da borda 1-2, y = y1 (constante); por
tanto as funcoes de forma devem ser apenas funcoes de x, conforme e mostrado a seguir:
tI(x, y1) = [n1(x) n2(x)]
[t1
t2
](3.24)
Empregando a formula de interpolacao unidimensional de Lagrange, as funcoes de forma sao
obtidas como:
19
n1(x) =x− x2
x1 − x2
, n2(x) =x− x1
x2 − x1
(3.25)
Depois, como y = y3 = y4 ao longo da borda 4-3 na figura 3.2 a temperatura pode ser
interpolada como:
tII(x, y3) = [n4(x) n3(x)]
[t4
t3
](3.26)
n4(x) =x− x3
x4 − x3
, n3(x) =x− x4
x3 − x4
(3.27)
As equacoes 3.24 e 3.26 representam a interpolacao das temperaturas no topo e na base do
elemento, respectivamente. Estendendo a interpolacao para a direcao y entre ti(x, y1) e tII(x, y3)
e usando o mesmo metodo de interpolacao de Lagrange, considerando ti(x, y1) e tII(x, y3) como
temperaturas nodais, obtem-se a seguinte formula de interpolacao:
t(x, y) = [n1(y) n4(y)]
[tI(x, y1)
tII(x, y3)
](3.28)
onde
n1(y) =y − y4
y1 − y4
, n4(y) =y − y1
y4 − y1
(3.29)
sao a interpolacao de Lagrange na direcao y. Substituindo as equacoes 3.24 e 3.26 na equacao
3.28, temos a seguinte formula:
t(x, y) = [n1(x)n1(y) n2(x)n1(y) n3(x)n4(y) n4(x)n4(y)]
u1
u2
u3
u4
(3.30)
Comparando a expressao 3.30 com a equacao 3.23, pode-se definir as funcoes de formaN1, ..., N4.
No elemnto retangular, e suficiente usar as coordenadas de dois nos, porque x1 = x4, y1 = y2,
etc. Usou-se as coordenadas dos Nos 1 e 3. Usando a propriedade de que a area do elemento e
A = (x3 − x1)(y3 − y), obtemos
20
N1 = n1(x)n1(y) = 1
A(x3 − x)(y3 − y)
N2 = n2(x)n1(y) = 1A
(x1 − x)(y3 − y)
N3 = n3(x)n4(y) = 1A
(x1 − x)(y1 − y)
N4 = n4(x)n4(y) = 1A
(x3 − x)(y1 − y)
(3.31)
Observando que as funcoes de forma para os elementos retangulares sao o produto das inter-
polacoes de Lagrange nas duas direcoes coordenadas. Analisando as propriedades das funcoes de
forma verfica-se que N1(x, y) e:
• 1 no no 1 e 0 nos outros nos;
• funcao linear de x ao longo da borda 1-2 e funcao linear de y ao longo da borda 1-4 (inter-
polacao bilinear);
• zero ao longo das bordas 2-3 e 3-4.
Outras funcoes de forma possuem comportamento similar. Por causa dessas caracterısticas,
a-iesima funcao de forma e considerada associada ao no i do elemento.
Para tornar simples as derivacoes, foi reescrito a relacao de interpolacao da equacao 3.23 na
forma matricial. Seja t = tt o vetor de temperatura em qualquer ponto (x,y). Usando a
notacao matricial e sendo o problema de conducao de calor com um grau de liberdade, a inter-
polacao pode ser escrita como:
t= t = [N1 N2 N3 N4]
t1
t2
t3
t4
(3.32)
ou
t = [N]1x4[q]4x1 (3.33)
Como a geometria do elemento retangular e irregular, e conveniente introduzir um elemento de
referencia e usar uma relacao de mapeamento entre o elemento fısico e o elemento de referencia.
O elemento fısico da figura 3.3 foi mapeado no elemento de referencia mostrado na figura 3.4. O
elemento fısico e definido nas coordenadas x-y, enquanto o elemento de referencia e definido em
coordenadas s-z. O elemento de referencia e um elemento quadrado e tem o centro na origem.
Embora o elemento fısico possa ter o primeiro no em qualquer vertice, o elemento de referencia
sempre tem o primeiro no no canto inferior esquerdo (-1,-1).
Usando a equacao 3.31, a interpolacao das funcoes de forma pode ser escrita nas coordenadas
s-z como:
21
Figura 3.3: Elemento fısico.
Figura 3.4: Elemento de referencia.
N1(s, z) = 1
4(1− s)(1− z)
N2(s, z) = 14(1 + s)(1− z)
N3(s, z) = 14(1 + s)(1 + z)
N4(s, z) = 14(1− s)(1 + z)
(3.34)
Um ponto fısico (x,y) e uma funcao do ponto de referencia (s,z). Pode-se obter uma relacao
entre (x,y) e (s,z) usando as mesma funcoes de forma como:
x(s, z) = [N1(s, z) N2(s, z) N3(s, z) N4(s, z)]
x1
x2
x3
x4
(3.35)
y(s, z) = [N1(s, z) N2(s, z) N3(s, z) N4(s, z)]
y1
y2
y3
y4
(3.36)
Para fazer o mapeamento usa-se a relacao jacobiana e a regra da cadeia de diferenciacao. Como
22
s=s(x,y) e t=(x,y), podemos escrever as derivadas de NI da seguinte forma:
NI
s=∂NI
∂x
∂x
∂s+∂NI
∂y
∂y
∂s(3.37)
NI
z=∂NI
∂x
∂x
∂z+∂NI
∂y
∂y
∂z(3.38)
Usando a forma matricial, a equacao 3.37 e 3.38 pode ser escrita como:
[∂NI
∂s∂NI
∂z
]=
[∂x∂s
∂y∂s
∂x∂z
∂y∂z
][∂NI
∂x∂NI
∂y
]= [J]
[∂NI
∂x∂NI
∂y
](3.39)
onde [J] e a matriz jacobiana, e seu determinante e chamado jacobiano. Invertendo a matriz
jacobiana, podem ser obtidas as derivadas em relacao a x e y:
[∂NI
∂x∂NI
∂y
]= [J]−1
[∂NI
∂s∂NI
∂z
]= 1|J|
[∂y∂z
∂y∂s
∂x∂z
∂y∂s
][∂NI
∂s∂NI
∂z
](3.40)
onde |J| e o jacobiano e e definido por
|J| = ∂x∂s
∂y∂z− ∂x
∂z∂y∂s
(3.41)
Por ser usado o mapeamento isoparametrico, o jacobiano da equacao 3.41 pode ser obtido por
diferenciacao da expressao da equacao 3.35 e 3.36 com respeito a ”s”e a ”z”. (KIM and SANKAR,
2008).
A matriz de condutividade para cada elemento e dada atraves da equacao 3.42.
Ke =∫
ΩeBTDB dΩe (3.42)
onde B e a matriz de derivacao dada pela equacao 3.43 e D e a matriz de condutividade do
material.
B= 14
[−1 + z 1− z 1 + z −1− z−1 + s −1− s 1 + s 1− s
](3.43)
Daı, tem-se:
23
K(e) =∫
Ω
[−1 + z 1− z 1 + z −1− z−1 + s −1− s 1 + s 1− s
]T [λx 0
0 λy
][−1 + z 1− z 1 + z −1− z−1 + s −1− s 1 + s 1− s
]dΩ
(3.44)
M(e) =∫
Ωρc
N1
N2
N3
N4
T
N1
N2
N3
N4
dΩ (3.45)
24
Capıtulo 4
ABAQUS
4.1 Descricao Geral
ABAQUS e um programa de Engenharia, baseado no Metodo dos Elementos Finitos, que pode
resolver desde analises lineares relativamente simples ate simulacoes nao-lineares. Qualquer ge-
ometria pode ser modelada no ABAQUS devido a grande quantidade de tipo de elementos que
ele possui. Possui uma extensa lista de modelos de materiais que podem simular o comporta-
mento da maioria dos materiais tıpicos de Engenharia que incluem metais, borracha, polımeros,
compositos, concreto reforcado, deformavel e elastico, e os materiais geotecnicos, tais como solos
e rocha. ABAQUS pode ser usado para simular problemas estruturais (tensoes/deformacoes),
transferencia de calor, difusao de massa, gerenciamento termico de componentes eletricos (analise
acoplada termo-eletrica), acustica, mecanica dos solos (analise acoplado a fluido-estrutura), e
analise de piezeletricos. Na maioria das simulacoes, incluindo as nao-lineares, o usuario precisa
fornecer os dados de Engenharia, tais como a geometria da estrutura, comportamento do material,
suas condicoes de limite, e cargas aplicadas a ela. Em uma analise nao-linear, incrementos de carga
apropriados e tolerancias de convergencia podem ser escolhidos pelo ABAQUS automaticamente
e ajustados continuamente durante a analise para assegurar que uma solucao seja eficientemente
obtida (ABAQUS, 2004).
O programa de Elementos Finitos ABAQUS inclui:
• ABAQUS/CAE: e um pre-processador que gera o arquivo de entrada de dados que contem
a geometria, propriedades do material, condicoes de contorno, carregamento aplicado e
malha de elementos finitos definidos pelo usuario, sendo permitido alterar manualmente pelo
usuario o arquivo de entrada de dados. Este mesmo modulo e, tambem, um pos-processador
que permite a visualizacao grafica dos resultados;
• ABAQUS/Viewer: e exclusivamente um pos-processador;
• ABAQUS/Standard: simula computacionalmente carregamentos estaticos;
• ABAQUS/Explicit: simula computacionalmente carregamentos dinamicos.
25
Quando a interface grafica do usuario (GUI) do modulo ABAQUS/CAE e utilizada para criar
um modelo e visualizar os resultados, os comandos sao emitidos internamente pelo ABAQUS/CAE
apos cada operacao. Estes comandos sao resultados da geometria criada e das configuracoes se-
lecionadas de cada caixa de dialogo. A GUI gera comandos em uma linguagem de programacao
orientada a objeto chamada Python. A linguagem Python e usada em todo ABAQUS. Os coman-
dos emitidos pela GUI sao enviados para o Kernel do ABAQUS/CAE, que e o cerebro por tras
do ABAQUS/CAE. O Kernel interpreta os comandos e usa as opcoes e configuracoes para criar
uma representacao interna do seu modelo. A GUI e a interface entre o usuario e o Kernel. A
interface de programacao do ABAQUS permite que o usuario ignore o ABAQUS/CAE e se comu-
nique diretamente com o Kernel. O arquivo que contem comandos da interface de programacao e
chamado de script. Os scripts podem ser usados para:
• Automatizar tarefas repetitivas;
• Realizar um estudo parametrico;
• Criar e modificar os bancos de dados dos modelos que sao criados de forma interativa quando
se trabalha com ABAQUS/CAE;
• Acesso a dados em um banco de dados de saıda.
O script e uma extensao da linguagem orientada a objetos chamada Python e usa sua sintaxe
e operadores.
A figura 4.1 ilustra como os comandos da interface ABAQUS Scripting interagem com o Kernel
do ABAQUS/CAE (ABAQUS, 2004).
como os problemas tratados neste trabalho sao nao-lineares e transientes, e necessario empre-
gar tecnicas incrementais (no tempo) e interativas (em cada incremento de tempo) para obter a
solucao. Para este fim, foi necessario desenvolver um script, na linguagem Python, para fornecer
ao ABAQUS, entre outros dados, o numero de incrementos para a solucao do ´problema e as
expressoes para caculos das propriedades termicas em cada passo.
26
Figura 4.1: Representacao esquematica da interacao entre a interface ABAQUS Scripting e oKernel do ABAQUS/CAE (extraido (ABAQUS, 2004).
4.2 a linguagem Python
Python e uma linguagem de programacao de alto nıvel, interpretada, imperativa, orientada a
objetos, de tipagem dinamica e forte. Foi lancada por Guido van Rossum em 1991. Atualmente
possui um modelo de desenvolvimento comunitario, aberto e gerenciado pela organizacao sem fins
lucrativos Python Software Foundation (Python.org, 2011).
27
Uma caracteristica diferencial da linguagem seria o seu interpretador interativo que possibilita
testar o codigo de um programa e receber o resultado em tempo real, antes de iniciar a compilacao
ou incluı-las nos programas.
Python e uma linguagem de facil leitura, tem um visual agradavel, frequentemente usa-se
palavras e nao pontuacoes como em outras linguagens. Sua biblioteca padrao por ser grande
geralmente e citada como um das maiores vantagens da linguagem, fornecendo ferramentas para
diversas tarefas.
4.3 Etapas para a analise via ABAQUS
A aplicacao do MEF para resolver um problema de Engenharia consiste, basicamente, nas seguintes
etapas:
• Gearacao da geometria e malha de elementos finitos;
• Atribuicao das propriedades dos materiais;
• Analise, propriamente dita;
• visualizacao dos resultados.
No presente trabalho, tais etapas foram realizadas da seguinte forma:
• Para cada caso, empregou-se o ABAQUS/CAE na geracao de geometrias e malhas;
• Atraves de um script desenvolvido em Python, a analise foi desenvolvida de modo incre-
mental -estipulando-se um caso em que para cada passo de tempo calcula-se: temperaturas,
propriedades em funcao das temperaturas;
• ao final da analise, os resultados sao visualizados atraves do ABAQUS.
A sequencia abaixo ira descrever os passos para criar um exemplo de analise de transferencia
de calor em regime transiente e nao-linear no ABAQUS. Esse exemplo trata-se da secao quadrada
de um pilar de concreto, que sera discutido no proximo capıtulo:
1. Para criar a geometria do modelo, na arvore modelo, atraves de um duplo-click em Parts,
abre-se uma caixa de dialogo chamada Create Part. Nessa caixa, sao marcadas as opcoes
2D Planar em Modeling Space, Deformable em Type e Shell em Base Feature,
conforme mostra a figura 4.2. Apos preenchida essa caixa, clica-se em Continue.
2. Para um pilar de secao quadrada, utiliza-se o comando Create Lines: Rectangle (4
Lines), conforme mostra a figura 4.3, fornecendo as coordenadas de dois pontos opostos da
secao transversal do pilar. Os pontos fornecidos sao (0.075;0.075) e (-0.075,-0.075). Apos
definida a geometria, um clique em Done gera o desenho, conforme mostra a figura 4.4. A
figura 4.5 mostra o script que gera a geometria. A geometria criada e um quadrado de lado
0,15m.
28
Figura 4.2: Caixa de dialogo Creat Part do ABAQUS.
Figura 4.3: Comando Create Lines do ABAQUS.
3. Para criar a malha de elementos finitos da analise abre-se o modulo Mesh. Define-se a
quantidade de nos por aresta da geometria selecionada atraves do comando Seed Edge:
By Number. Utiliza-se o comando Mesh Controls e marca-se na caixa de dialogo as opcoes
Quad em Element Shape , Free em Technique e Medial axis em Algorithm.
4. Utiliza-se o comando Element Type e marca-se na caixa de dialogo a opcao Heat Transfer
em Family. Utiliza-se o comando Mesh Part para gerar a malha de elementos finitos do
29
Figura 4.4: Geometria do pilar gerada no ABAQUS.
modelo. A figura 4.5 mostra o script que gera a malha de elementos finitos, neste exemplo,
o numero de elementos e dado em cada aresta que foi 40.
5. Definem-se as propriedades do material do pilar, no modulo Materials. Determina-se a con-
dutividade termica do concreto clicando em Thermal 7→ Conductivity, o calor especıfico
em Thermal 7→ Specific Heat e o peso especıfico em General 7→ Mass Density. A
figura 4.6 mostra o script que gera e atribui o material ao modelo. Como a condutividade
termica e o calor especıfico do concreto variam com o tempo, foi criado para a determinacao
de cada uma dessas propriedades um laco para cada uma.
6. No modulo Sections abre-se uma caixa de dialogo chamada Create Section. Marca-se
a opcao Solid em Category e a opcao Homogeneous em Type. No modulo Section
Assignments, seleciona-se a geometria para atribuir a secao gerada.
7. No modulo Assembly o comando Instances abre uma caixa de dialogo chamada Create
Instance atraves da qual seleciona-se a parte Part-1.A figura 4.8 mostra o script que cria
o Assembly.
8. Para impor as condicoes iniciais no modulo Steps 7→ Initial 7→ Fields, abre-se uma caixa de
dialogo chamada Create Field. Marca-se a opcao Other em Category e Temperature
em types for Selected Step. Selecionam-se os dois lados que estao expostos ao fogo,
conforme mostra a figura 4.7. Na caixa de dialogo chamada Edit Field determina-se em
Magnitude a temperatura inicial que os dois lados estao submetidos.
9. Para impor as temperaturas nas duas arestas expostas ao fogo ao longo do tempo, serao
criados 8 incrementos com passos de tempo de 900 segundos cada, para isso sera necessario
30
Figura 4.5: Griacao da grometria e da malha para o modelo.
criar 8 steps, cada um com um incremento. No modulo Steps, abre-se uma caixa de dialogo
chamada Create Step. Marca-se nessa caixa a opcao General em Procedure type e
a opcao Heat transfer. Em uma outra caixa de dialogo chamada Edit Step, na aba
Basic, marca-se a opcao Transient em Response e em Time period escreve-se 900 em
Incrementation. Marca-se a opcao Fixed em type, escreve-se 10 em Maximum number
of incrementation , 90 em Increment size. No modulo Steps 7→ Step-1 7→ BCs, na
caixa de dialogo chamada Edit Boundary Condition, marca-se a opcao Temperature em
Types for Selected Step. Seleciona-se os dois lados que estao expostos ao fogo. Na caixa
31
Figura 4.6: Criacao e atribuicao do material ao modelo.
de dialogo chamada Edit Boundary Condition. Nessa caixa, em Magnitude, determina-
se a temperatura correspondente ao incremento que os dois lados estao submetidos.
. A figura 4.8 mostra o script que gera os incrementos da analise para a imposicao da condicao
de contorno, impondo a curva de incendio padrao dada pela norma Europeia, Eurocode.
32
Figura 4.7: Comando Create Lines do ABAQUS.
33
Figura 4.8: Imposicao da condicao de contorno ao modelo.
34
Capıtulo 5
APLICACOES
5.1 Introducao
O objetivo das aplicacoes desenvolvidas e calcular a distribuicao de temperatura causada pela
exposicao ao fogo sobre estruturas de concreto.
Em situacoes praticas, as analises realizadas servem para, por meio das estimativas feitas,
fornecer subsıdios para a elaboracao de mecanismos de prevencao ou minimizacao dos efeitos
deleterios do fogo sobre um elemento estrutural.
Este capıtulo descreve as aplicacoes desenvolvidas ao longo do trabalho, com base nos conceitos
e tecnicas numericas estudados. Os tres problemas analisados sao:
Exemplo 1: Pilar de concreto com secao quadrada de lado igual a 300 mm;
Exemplo 2: Corpo-de-prova bicamada (uma camada de concreto com dimensao de 23cm e a
outra camada de rocha com dimensao de 7cm);
Exemplo 3: Casa de forca de usina hidreletrica.
Todas as analises foram desenvolvidas empregando o programa ABAQUS.
A analise incremental no tempo e determinacao da evolucao de propriedades termicas do
material foram executadas conforme o descrito no capıtulo 4, atraves de scripts desenvolvidos em
Python.
5.2 Exemplo 1: Pilar de Concreto
5.2.1 Descricao do Problema
Este exemplo teve como objetivo reproduzir os resultados da aplicacao apresentada na referencia
(Pacıfico-Jr, 2002), onde Fernando Pacıfico Figueiredo Junior , da Universidade Federal de Mi-
nas Gerais desenvolveu o programa Caltemi feito para a determinacao numerica da elevacao de
temperaturas em elementos estruturais de concreto, aco e mistos aco-concreto, em situacao de
incendio. Esse programa e em linguagem FORTRAN e e baseado na plataforma do programa
Caltep (Programa para o Calculo Transitorio da Equacao de Poisson), desenvolvido no Centro
Internacional de Metodos Numericos em Engenharia (CIMNE) da Universidade Politecnica da
35
Catalunha, na Espanha (ZARATE e ONATE, 1993).
O elemento analisado consistiu em um pilar de concreto com secao quadrada de lado igual a
300 mm, exposto a incendio pelos quatro lados.
Para representar a elevacao de temperatura devido ao fogo acidental, foi empregada a curva de
incendio-padrao proposta pela norma Europeia (EUROCODE, 2005), descrita pela equacao 5.1
e figura 5.1. Considerou-se que a duracao do incendio neste exemplo foi por um perıodo de 120
minutos.
Θg = Θ0 + 345log10(8t+ 1) (5.1)
Onde: Θg e a temperatura do fogo; Θ0 e a temperatura inicial do ambiente, neste caso foi
considerado 20oC, e t e o tempo (h).
Figura 5.1: Curva de incendio-padrao proposta pela norma Europeia (EUROCODE, 2005).
As propriedades termicas do concreto variam segundo a temperatura, de acordo com as
equacoes mostradas abaixo, conforme o EUROCODE 4 - Parte 1.2 (1994), que e a norma ap-
resentada pelo Comite Europeu de Normalizacao para tratar das estruturas de concreto e mistas
aco-concreto:
• Condutividade Termica: para 20oC ≤ Θ < 1200 oC
Kc = 2− 0, 24
(Θc
120
)+ 0, 012
(Θc
120
)2
, em W/moC (5.2)
36
• Calor Especıfico: para 20oC ≤ Θ < 1200 oC
Cc = 900 + 80
(Θc
120
)− 4
(Θc
120
)2
, em J/kgoC (5.3)
Onde Θc e a temperatura do concreto em graus Celsius.
• Massa especıfica: A massa especifica do concreto sera considerada constante e igual a
2400Kg/m3.
Dada a simetria fısica e geometrica do pilar, o modelo empregado na analise consistiu em 1/4
de secao transversal - adotadas condicoes de contorno adequadas - conforme a figura 5.2.
Figura 5.2: Discretizacao da secao transversal do pilar e malhas consideradas.
As duas arestas expostas ao fogo foram sujeitas a conducao e as demais se impos fluxo nulo.
Foram usados elementos finitos quadrangulares de 4 nos e o incremento de tempo usado na
analise termica transiente foi de 900 segundos. Como os resultados de temperatura foram ana-
lisados para o tempo de 7200 segundos (120 min), esta analise empregou 8 incrementos.
Os resultados de temperatura, foram analisados para os pontos 1, 2, 3, 4 e 5, conforme mostra
a figura 5.3, a exemplo do que foi apresentado no trabalho de Figueiredo Junior (2002).
5.2.2 Analise de Convergencia
Para definir uma quantidade de elementos mınimos que garantissem um bom resultado para as
analises, os modelos estudados tiveram suas malhas refinadas ate que o resultado de cada analise
convergisse para valores muito proximos, que garantissem resultados satisfatorios, ja que para
malhas mais refinadas o resultado nao teria alteracao significativa.
37
Figura 5.3: Pontos analisados.
As malhas utilizadas para este caso estao representadas na figura 5.2, considerando-se que a
malha 1 tem 25 elementos, a malha 2 com 900 elementos, a malha 3 com 1600 elementos e a malha
4 com 2500 elementos.
Observou-se que os resultados para a malha de 1600 elementos e para a malha de 2500 elementos
foram proximos, podendo-se concluir que para malhas a partir de 1600 elementos o resultado obtido
e considerado bom. A tabela 5.1 e o grafico da figura 5.4 foram feitos para analisar a convergencia
dos resultados de temperatura para os diferentes numero de elementos. O eixo das abscissas do
grafico da figura 5.4 representa o numero de elementos de cada malha analisada e o eixo das
ordenadas do mesmo representa a diferenca percentual entre a malha n+1 e a malha n, conforme
mostra a equacao 5.4.
Ponto Numero de Elementos Temperatura oC ∆1 25 296,7401 900 289,371 2,4831 1600 289,239 0,0461 2500 289,185 0,0192 25 332,5692 900 325,579 2,1022 1600 325,452 0,0392 2500 325,400 0,0163 25 443,1073 900 437,736 1,2123 1600 437,633 0,0243 2500 437,592 0,0094 25 634,9844 900 633,586 0,2204 1600 633,539 0,0074 2500 633,523 0,0035 25 889,8285 900 893,359 0,3975 1600 893,388 0,0035 2500 893,404 0,002
Tabela 5.1: Temperaturas calculadas para cada malha considerada e a diferenca percentual entreos resultados
38
Figura 5.4: Resultado de temperatura dos pontos para cada malha considerada e a diferencapercentual entre os resultados.
4 =Tn+1 − Tn
Tn100 (5.4)
5.2.3 Resultados
Para verificar a precisao dessa analise feita no ABAQUS, o resultado obtido para o pilar com
a malha de 1600 elementos foi comparado com resultados analıticos, disponıveis na literatura
especializada (CEB, 182), e com os resultados encontrados na dissertacao de mestrado de Fernando
Pacıfico Figueiredo Junior (Pacıfico-Jr, 2002). O grafico da figura 5.5 e a tabela 5.2 mostram os
resultados de temperatura obtidos ao longo da linha que liga os pontos 1 e 2 da figura 5.3 para
o pilar de concreto. Na tabela 5.2 e na figura 5.5, CALTEMI se refere aos resultados obtidos
por Figueiredo Junior no programa Caltemi, CEB se refere aos dados encontrados em literatura
especializada (CEB, 1982), obtidos por meio de programas computacionais proprios e confirmados
por ensaios em escala natural e ABAQUS se refere aos resultados obtidos no programa ABAQUS.
Figura 5.5: Resultado de temperatura para a secao transversal do pilar, MEF x CEB x ABAQUS.
A figura 5.6 mostra o resultado de temperatura obtido para a malha com 1600 elementos gerado
no ABAQUS, os demais resultados obtidos de temperatura para as demais malhas consideradas
para o pilar terao o mesmo aspecto da figura 5.6.
Nota-se na figura 5.5 que os resultados obtidos com o ABAQUS sao bastantes proximos dos
39
no CALTEMI CEB ABAQUS1 226 - 289,2392 254 200 325,4523 395 320 437,6334 574 550 633,5395 831 840 893,3886 1029 1000 1049,04
Tabela 5.2: Resultados de temperatura para a secao transversal do pilar, MEF x CEB x ABAQUS.
Figura 5.6: Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para a secao transversal do pilar.
resultados da referencia (Pacıfico-Jr, 2002). Observam-se pequenas diferencas entre os valores, no
entanto, as curvas apresentam o mesmo aspecto de desenvolvimento.
40
5.3 Exemplo 2: Bicamada rocha-concreto
5.3.1 Descricao do Problema
Esta aplicacao simula uma situacao de incendio em um tunel, como o ocorrido no tunel sob o
Canal da Mancha, por exemplo.
A estrutura analisada e representada na figura 5.7: consiste em uma amostra prismatica,
composta por uma camada de concreto com 23 cm de espessura aderida a uma camada de 7 cm
de rocha. Conforme representa na figura, impoe-se o fogo na superfıcie do concreto para analisar
a distribuicao de temperatura no meio em estudo.
Figura 5.7: Corpo-de-prova em bicamada.
Esse exemplo teve como objetivo reproduzir os resultados da aplicacao apresentada na re-
ferencia (Ferreira, 2011), na qual Anna Paula Guida Ferreira analisou os resultados de um modelo
acoplado termo-hıdrico aplicado ao problema de transporte de energia e massa em meios porosos
compostos por rocha e concreto (figura 5.8). Os caculos termicos e hıdricos foram implementados
no codigo para analise estrutural Castem (DMT/CEA - Departement de Mecanique et Technolo-
gie du esperimental a L’Energie Atomique). O modelo foi comparado aos resultados obtidos no
programa experimental desenvolvidos no Laboratoire de Mecanique et Materiaux du Genie Civil
(L2MGC) da (UCP), onde os ensaios foram realizados empregando um concreto convencional
(BO). Foi confeccionado o corpo-de-prova bicamada (uma camada de concreto com dimensao de
23cm e a outra camada de rocha com dimensao de 7cm) e foi submetido a temperaturas ate 600oC
e 750oC em um forno de alta capacidade e programado para aquecer segundo a curva ISO 834,
equacao 5.1. Para medir temperaturas foram utilizados termopares instalados em 5 posicoes difer-
entes no corpo-de-prova (na superfıcie da camada de concreto, no meio da camada de concreto,
na interface das camadas, no meio da camada de rocha e na parte inferior da camada de rocha).O
corpo-de-prova foi isolado termicamente por uma la de vidro, ficando apenas a superfıcie do con-
creto mantida a descoberto (Ferreira, 2011). A figura 5.7 mostra um corpo que e semelhante ao
41
corpo-de-prova aqui analisado.
Figura 5.8: Corpo-de-prova.
A Figura 5.9 apresenta o modelo deste caso e os pontos onde foram feitas as medicoes experi-
mentais.
Figura 5.9: Pontos analisados.
A aresta exposta ao fogo foi sujeita a conducao e as demais se impos fluxo nulo.
Foram usados elementos finitos quadrangulares de 4 nos e o incremento de tempo usado na
analise termica transiente foi de 30 segundos. Como os resultados de temperatura foram analisados
para o tempo de 10800 segundos (180 min), esta analise empregou 360 incrementos.
As propriedades termicas consideradas para o concreto foram:
• Condutividade termica: K = 2− 0, 2451 T100
+ 0, 0107 T100
2, onde T e a temperatura em oC e
K(W/moC);
• Densidade igual a 2150Kg/m3;
• Calor especıfico igual a 740J/KgoC.
42
As propriedades termicas consideradas para a rocha foram:
• Condutividade termica: K = 2− 0, 2451 T100
+ 0, 0107 T100
2+ 0, 3, onde T e a temperatura em
oC e K(W/moC);
• Densidade igual a 2230Kg/m3;
• Calor especıfico igual a 745J/KgoC.
Os resultados de temperatura foram analisados para 4 posicoes diferentes no corpo-de-prova
(no meio da camada de concreto, na interface das camadas, no meio da camada de rocha e na
parte inferior da camada de rocha), a exemplo do que foi apresentado no trabalho de Paula Guida
(2002), conforme a figura 5.9.
5.3.2 Resultados
Com base em uma analise de convergencia (como a feita para o pilar) chegou-se a conclusao de
que os resultados de temperatura para o corpo-de-prova passam a ter pequenas diferencas para
malhas com mais de 3960 elementos, sendo assim essa foi a malha empregada neste caso.
Para verificar a precisao dessa analise feita no ABAQUS, o resultado obtido para o corpo-
de-prova foi comparado com os dados experimentais obtidos no Laboratoire de Mecanique et
Materiaux du Genie Civil (L2MGC) da (UCP) e com os resultados encontrados na dissertacao de
mestrado de Ana Paula Guida (Ferreira, 2011). Os valores encontrados para o meio da camada
de concreto, a interface das camadas, o meio da camada de rocha e a parte inferior da camada
de rocha sao representadas atraves dos graficos da figura 5.10, figura 5.11, figura 5.12 e da figura
5.13, respectivamente.
Figura 5.10: Resultados de temperatura para o meio da camada de concreto do corpo-de-prova.
A figura 5.14 mostra o resultado de temperatura obtido para o corpo-de-prova gerado no
ABAQUS.
Comparando os resultados obtidos, nota-se que o CASTEM e mais proximo dos valores experi-
mentais do que os resultados aqui obtidos.
Esta diferenca ja era esperada, ja que o modelo aqui empregado nao descreve algumas trans-
formacoes importantes da estrutura do concreto como a variacao de porosidade e permeabilidade
e a pressao gerada pela evaporacao de agua no interior dos poros. No entanto, qualitativamente,
pode-se considerar que os resultados foram satisfatorios.
43
Figura 5.11: Resultados de temperatura para a interface das camadas do corpo-de-prova.
Figura 5.12: Resultados de temperatura para o meio da camada de rocha do corpo-de-prova.
Figura 5.13: Resultados de temperatura para a parte inferior da camada de rocha do corpo-de-prova.
5.4 Exemplo 3: casa de forca e usina hidreletrica
5.4.1 Descricao do problema
Devido a boa eficiencia das paredes de concreto que, alem de fornecerem uma funcao de suporte
de carga, sao resistentes ao fogo e satisfazem os tres requisitos de seguranca de incendio que e a
integridade, o isolamento e adequacao estrutural, em altas temperaturas, muitas das construcoes
optam na utilizacao de paredes de concreto para suas obras, como e o exemplo de muitas usinas
hidreletricas no Brasil: Usina de Itaipu em Foz do Iguacu (figura 5.15), Usina Hidreletrica Santo
Antonio em Porto Velho (que esta em construcao), Usina Hidreletrica de Tucuruı em Belem, dentre
outras.
Com o intuito de analisar o efeito do fogo em uma obra de grande porte, inspirado nessas usinas,
foi criado um modelo fictıcio de uma usina hidreletrica para ser analisado atraves do programa
ABAQUS. O modelo possui dimensoes realistas. A situacao analisada aqui e representada na
44
Figura 5.14: Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para o corpo-de-prova.
Figura 5.15: Usina hidreletrica binacional de Itaipu.
figura 5.16 trata-se do modelo da casa-de-forca de uma usina sujeito a um fogo acidental na
galeria onde se encontraria uma das turbinas. Simulou-se um incendio com 7 horas de duracao -
representado pela curva de incendio padrao descrita pela equacao 5.1, com temperatura ambiente
inicial de 300C. A figura 5.18 mostra a geometria plana usada para modelar o problema da casa
de forca.
As propriedades termicas adotadas para o concreto e a rocha foram as mesmas empregadas no
Exemplo 2.
Foram usados elementos finitos quadrangulares de 4 nos e o incremento de tempo usado na
analise termica transiente foi de 900 segundos. Como os resultados de temperatura foram ana-
lisados para o tempo de 25200 segundos (7h), esta analise empregou 28 incrementos, sendo 8
incrementos para o aquecimento, 12 incrementos para o perıodo em que a temperatura se mantem
constante e 8 incrementos para o resfriamento da aresta exposta ao fogo.
45
Figura 5.16: Usina hidreletrica em 3D.
Figura 5.17: Casa de forca da usina hidreletrica.
5.4.2 Resultados
Com base na analise de convergencia realizada nos Exemplos 1 e 2 (pilar de concreto e amostra
em bicamada), para obter resultados satisfatorios seria necessario empregar malhas com o mesmo
grau de refinamento adotado nos demais modelos analisados. Por se tratar aqui de um elemento
com dimensoes bem maiores do que as anteriormente analisadas, a adocao deste grau de refina-
mento demanda um esforco computacional muito elevado - uma vez que a analise e incremental
e iterativa, por se tratar de uma analise nao-linear e transiente. Por esta razao, nao foi possıvel
obter resultados para o modelo completo com a malha suficientemente refinada.
Para fins de ilustracao, tal analise foi feita com a malha mostrada na figura 5.20, que possui
46
Figura 5.18: Modelo da Geometria usada para a analise da casa de forca.
16256 elementos finitos quadrangulares de 4 nos. Trata-se de uma malha grosseira, na qual esta
representado o campo de temperaturas obtido da analise com 28 incrementos de tempo, sendo 8
incrementos para o aquecimento, 12 incrementos com temperatura maxima de 10590C (constante)
e 8 incrementos para o resfriamento (figura 5.19).
Figura 5.19: Representacao das etapas de variacao da temperatura consideradas para a analise dacasa de forca.
Apesar de se tratar de uma malha grosseira, esta analise preliminar mostra que na regiao entre
as duas galerias - destacada na figura 5.18 - a temperatura varia unidimensionalmente. Por esta
razao, foi entao modelada uma secao daquela regiao -retangular com 2x0,30(m), discretizada em
24000 elementos-, de modo a obter resultados mais detalhados para o campo de temperaturas. A
figura 5.21 mostra os resultados obtidos para o instante em que a temperatura na regiao exposta
ao fogo e de 1059C: a aresta direita foi exposta ao incendio, enquanto a aresta oposta representa
a face interna da galeria da direita. E notavel a propriedade isolante do concreto, uma vez que,
ao longo de 2 metros, a temperatura cai de 1059C para cerca de 30C na outra extremidade da
secao, o que e uma pequena alteracao em relacao a temperatura inicial da estrutura.
Trata-se aqui de uma estrutura fictıcia, porem pode-se afirmar que a simulacao resulta em
valores realistas -a ordem de grandeza das temperaturas calculadas e condizente com uma situacao
47
real-. Esta afirmacao se baseia nos resultados obtidos no Exemplo 2 (bicamada rocha-concreto),
em que os valores numericos obtidos com o modelo empregado foram comparados com valores
medidos em laboratorio, apresentando uma boa concordancia.
Figura 5.20: Campo de temperatura obtido atraves do ABAQUS para a usina.
Figura 5.21: Campo de temperaturas obtido atraves do ABAQUS para o trecho entre as casas deforca da usina.
48
Capıtulo 6
CONSIDERACOES FINAIS
Este trabalho final de curso trata da aplicacao do programa de Elementos Finitos, ABAQUS, a
analise termica de estruturas de concreto.
O estudo consistiu em:
• estudo do MEF aplicado ao problema de calor;
• Implementacao de scripts na linguagem Python;
• Resolucao de casos empregando o ABAQUS.
A abordagem adotada foi mascrocopica e bastante simplificada, porem permitiu aplicacoes
realistas -o que se comprova ao comparar resultados obtidos com dados da literatura.
Com relacao a relevancia deste tema para a Engenharia, e inegavel a importancia de se conhecer
a forma como o concreto reage quando exposto a temperaturas elevadas, tanto por razao de
seguranca quanto tecnica e economicas. Os inumeros casos de incendio envolvendo estruturas no
mundo todo -como tuneis, edifıcios residenciais ou usinas hidreletricas- reforcam tal afirmacao.
A partir do conhecimento do campo de temperaturas e de como este evolui durante um incendio,
e possıvel desenvolver analises mais sofisticadas, que incorporem:
• A relacao entre as propriedades mecanicas -resintencia, modulo de elasticidade- e a temper-
atura;
• Cargas geradas pela acao termica;
• Alteracao microestruturais causadas pela temperatura;
• Previsao da ocorrencia de “spalling”devido a pressao interna, entre outros.
O estudo aqui desenvolvido, apesar do carater preliminar e das simplificacoes adotadas, apre-
senta todas as etapas de uma analise computacional aplicada a problemas de Engenharia: coleta
de dados, elaboracao do modulo computacional, analise propriamente dita e interpretacao dos
resultados.
Espera-se, com isso, contribuir para o estudo mais avancados sobre o tema, que possam gerar
outros trabalhos finais de curso na UFJF.
49
Referencias Bibliograficas
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submetidos a temperaturas elevadas: Aplicacao a uma bicamada rocha-concreto. Dissertacao
de Mestrado, Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional - UFJF.
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em estrutura em metalicas e mistas em caso de incendio. Ph.D. thesis, Universidade Federal de
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Tech. rep., Universidade Federal do Para.
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