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Transferencia de CalorEscoamento Interno - Parte 1

Filipe Fernandes de [email protected]

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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Introducao

I O escoamento de liıquido ou de gas atraves de tubos ou dutos ecomumente usado em aplicacoes de aquecimento e resfriamento;

I O fluido em tais aplicacoes e forcado a fluir por meio de umventilador ou bomba atraves de uma secao de escoamento que sejasuficientemente longa para proporcionar a transferencia de calordesejada;

I A maioria dos fluidos, especialmente os lıquidos, sao transportadosem tubos circulares;

I Isso ocorre porque tubos com secao transversal circular podemsuportar grandes diferencas entre pressao interna e externa semsofrer deformacoes significativas;

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Introducao

I Os tubos nao circulares sao normalmente usados em aplicacoescomo sistemas de aquecimento e resfriamento de edifıcios, em que adiferenca de pressao e relativamente pequena e os custos defabricacao e instalacao sao mais baixos;

I Para uma area de superfıcie fixa, o tubo circular fornece a maiortransferencia de calor com a menor queda de pressao, o que explicaa enorme popularidade dos tubos circulares em equipamentos detransferencia de calor;

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Consideracoes Hidrodinamicas

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Consideracoes FluidodinamicasI Considere o escoamento laminar no interior de um tubo circular de

raio ro , onde o fluido entra no tubo com uma velocidade uniforme;I Quando o fluido entra em contato com a superfıcie, os efeitos

viscosos se tornam importantes e uma camada-limite se desenvolvecom o aumento de x ;

I Esse desenvolvimento ocorre a custa do encolhimento da regiao deescoamento nao viscoso e termina com a fusao da camada-limite noeixo central do tubo;

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Consideracoes Fluidodinamicas

I Apos essa fusao, os efeitos viscosos se estendem ao longo de toda asecao transversal do tubo e o perfil de velocidades nao mais sealtera ao long de x ;

I Diz-se, entao, que o escoamento esta plenamente desenvolvido e adistancia entre a entrada do tubo e o ponto onde essa condicao eatingida e conhecida por comprimento de entrada fluidodinamica(ou hidrodinamica), xcd ,v ;

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I No escoamento laminar o perfil de velocidades na regiao deescoamento plenamente desenvolvido e parabolico;

I No escoamento turbulento, o perfil de velocidades e mais achatadodevido a mistura turbulenta na direcao radial.

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I A extensao da regiao de entrada depende se o escoamento e laminarou turbulento;

I O numero de Reynolds para o escoamento em um tubo circular edefinido como;

ReD =ρumD

µ=

umD

ν(1)

I Sendo um a velocidade media do fluido na secao transversal.

I Em um escoamento plenamente desenvolvido, o numero deReynolds crıtico, e:

ReD,c ≈ 2300 (2)

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I Para o escoamento laminar (ReD ≤ 2300), o comprimento deentrada fluidodinamica pode ser obtido a partir de,(

xcd ,vD

)lam

≈ 0, 05ReD (3)

I Para o escoamento turbulento tem-se:(xcd ,vD

)turb

≈ 10 (4)

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Velocidade Media

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Velocidade Media

I Uma vez que a velocidade varia ao longo da secao transversal e naoha uma corrente livre bem definida, e necessario trabalhar com umavelocidade media ao lidar com escoamentos internos;

I Essa velocidade e definida de tal forma que, quando multiplicadapela massa especıfica do fluido ρ e pela area da secao transversal dotubo Atr , obtem-se a vazao massica do escoamento;

m = ρumAtr (5)

I A vazao massica pode ser representada pela integral do fluxo demassa (ρu) na secao transversal:

m =

∫Atr

ρu(r , x)dAtr (6)

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Velocidade Media

I Assim, para o escoamento incompressıvel em um tubo circular,tem-se

um =2

r20

∫ r0

0u(r , x)rdr (7)

I Para o escoamento incompressıvel em regime estacionario em umtubo com area de secao transversal uniforme, m e um saoconstantes, independentes de x ;

I Para o escoamento em um tubo circular (Atr = πD2/4), o numerode Reynolds se reduz a:

ReD =4m

πDµ(8)

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Perfil de Velocidades na Regiao de EscoamentoPlenamente Desenvolvido Laminar

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I Uma caracterıstica importante das condicoes fluidodinamicas naregiao plenamente desenvolvida e que o componente radial davelocidade (v) e o gradiente do componente axial da velocidade(∂u/∂x), sao iguais a zero qualquer que seja a posicao;

∂u

∂x= 0 v = 0 (9)

I Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r ,u(x , r) = u(r);

I A dependencia radial da velocidade axial pode ser obtida atraves daresolucao da equacao do momento na direcao x.

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I Para as condicoes da equacao 9, o fluxo lıquido de momento e nuloem qualquer ponto na regiao plenamente desenvolvida;

I Portanto, a exigencia de conservacao do momento se reduz a umsimples equilıbrio entre as forcas de cisalhamento e as forcas depressao no escoamento;

I Aplicando o equilıbrio de forcas, chega-se a:

µ

r

d

dr

(rdu

dr

)=

dp

dx(10)

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I Resolvendo a equacao 10, tem-se:

u(r) = − 1

4µ

(dp

dx

)r20

[1−

(r

r0

)2](11)

I Substituindo a equacao 11 em 7, obtem-se:

um = − r20

8µ

dp

dx(12)

I Escrevendo u(r) em termos da velocidade media:

u(r)

um= 2

[1−

(r

r0

)2](13)

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Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido

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I A queda de pressao em um escoamento interno determina aexigencia de potencia em bombas ou sopradores;

I Para determinar a queda de pressao, e conveniente trabalhar com ofator de atrito de Moody (ou de Darcy), que e um parametroadimensional definido pela expressao:

f =−(dp/dx)D

ρu2m/2

(14)

I Essa grandeza nao deve ser confundida com o coeficiente de atrito(Cf ), algumas vezes tambem chamado de fator de atrito deFanning, que e definido como:

Cf =τs

ρu2m/2

=f

4(15)

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I Utilizando a definicao de numero de Reynolds e a equacao 12,tem-se que, para o escoamento laminar plenamente desenvolvido:

f =64

ReD(16)

I Para um escoamento turbulento plenamente desenvolvido, a analisee muito mais complicada e sao utilizados resultados experimentais;

I Alem de depender do numero de Reynolds, o fator de atrito e umafuncao das condicoes na superfıcie do tubo e aumenta com arugosidade da superfıcie (e);

I Pode-se utilizar equacao 17 ou o diagrama de Moody para obtencaode f .

1√f

= −2log

[−e/D

3, 7+

2, 51

ReD√f

](17)

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Consideracoes Termicas

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Consideracoes TermicasI Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme T (r , 0), que

e menor do que a temperatura da superfıcie, ocorre transferencia decalor por conveccao e uma camada-limite termica comeca a sedesenvolver;

I Se a condicao na superfıcie do tubo for fixada pela imposicao deuma temperatura uniforme (Ts e constante) ou de um fluxo termicouniforme (q

′′s e constante), termina-se por atingir uma condicao

termica plenamente desenvolvida;

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I A forma do perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T (r , x)difere em funcao da condicao mantida na superfıcie, temperatura oufluxo termico uniformes;

I Entretanto, em ambas as condicoes superficiais, a diferenca entre atemperatura do fluido e a sua temperatura na entrada(T (r , x)− T∞) aumenta com o aumento de x .

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I Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada termicopode ser representado por:(

xcd ,tD

)lam

≈ 0, 05ReDPr (18)

I Para o caso turbulento pode-se assumir:(xcd ,tD

)turb

≈ 10 (19)

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A Temperatura Media

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A Temperatura Media

I Da mesma forma que o caso da camada limite de velocidade, aausencia de uma temperatura fixa na corrente livre exige o uso deuma temperatura media;

I Para fornecer uma definicao para a temperatura media, comecamosretornando a

q = mcp(Tsai − Tent) (20)

I Esta implicito que a temperatura e uniforme nas secoes transversaisna entrada e na saıda.

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A Temperatura MediaI Defini-se a temperatura media de modo que o termo mcpTm seja

igual a taxa real de adveccao de energia termica integrada na secaotransversal;

I Essa taxa real de adveccao pode ser obtida pela integracao doproduto entre o fluxo de massa (ρu) e a energia interna por unidadede massa (cpT ) em toda a secao transversal do escoamento;

mcpTm =

∫Atr

ρucpT (r , x)dAtr (21)

I Assumindo que ρ e cp sao constantes, tem-se

Tm =2

umr20

∫ r0

0uT (r , x)rdr (22)

I Quando multiplicada pela vazao massica e pelo calor especıfico, Tm

fornece a taxa na qual a energia termica e carregada pelo fluido amedida que ele escoa ao longo do tubo.

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Lei do Resfriamento de Newton

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A Temperatura Media

I A temperatura media Tm e uma temperatura de referenciaconveniente para escoamentos internos, desempenhando um papelmuito semelhante aquele da temperatura na corrente livre T∞ nosescoamentos externos;

I Consequentemente, a lei do resfriamento de Newton pode serrepresentada pela expressao:

q′′s = hx(Ts − Tm) (23)

I Onde hx e o coeficiente de transferencia de calor por convecao local ;I Para Ts = cte ⇒ q

′′

s (x);I Para q

′′

s = cte ⇒ Ts(x).

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A Temperatura Media

I No entanto, ha uma diferenca essencial entre Tm e T∞;I Enquanto T∞ e constante no sentido do escoamento, Tm tem que

variar neste sentido;I O valor de Tm aumenta com x se a transferencia de calor for da

superfıcie para o fluido (Ts > Tm);I Diminui com x se o oposto estiver acontecendo (Ts < Tm).

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Condicoes Plenamente Desenvolvidas

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I Como existe transferencia de calor convectiva entre a superfıcie e ofluido, a temperatura do fluido deve se alterar com x , pode-sequestionar se condicoes termicas plenamente desenvolvidas serao defato atingidas;

I Se houver transferencia de calor, dTm/dx e ∂T/∂x em qualquerraio r , sao diferentes de zero.

I Consequentemente, o perfil de temperaturas T (r) estacontinuamente mudando com x , levando a crer que uma condicaoplenamente desenvolvida nunca podera ser atingida

I Essa contradicao aparente pode ser resolvida trabalhando-se comuma forma adimensional da temperatura;

θ =Ts(x)− T (r , x)

Ts(x)− Tm(x)(24)

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I Sabe-se que ha condicoes nas quais essa razao se tornaindependente de x ;

I Isto e, embora o perfil de temperaturas T (r) continue variando comx , a forma relativa desse perfil permanece inalterada e diz-se que oescoamento esta termicamente plenamente desenvolvido;

I A exigencia para tal condicao e formalmente estabelecida pelaexpressao:

∂

∂x

[Ts(x)− T (r , x)

Ts(x)− Tm(x)

]= 0 (25)

I Onde Ts e a temperatura da superfıcie do tubo, T e a temperaturalocal do fluido e Tm e a temperatura media do fluido na secaotransversal do tubo;

I Valido para q′′

s e Ts constantes.

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I Como a razao entre temperaturas e independente de x, a derivadadessa razao em relacao a r tambem deve ser independente de x .Assim,

∂

∂r

(Ts − T

Ts − Tm

)∣∣∣∣r=r0

= −−∂T/∂r |r=r0

Ts − Tm6= f (x) (26)

I Da Lei de Fourier,

q′′s = −k ∂T

∂y

∣∣∣∣y=0

= k∂T

∂r

∣∣∣∣r=r0

(27)

I Da Lei de Resfriamento de Newton,

q′′s = hx(Ts − Tm) (28)

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I Manipulando as equancoes anteriores, pode-se chegar a:

hxk6= f (x) (29)

I Portanto, no escoamento termicamente plenamente desenvolvido deum fluido com propriedades constantes, o coeficiente detransferencia de calor por conveccao local e uma constante,independente de x ;

I Na entrada, hx varia com x .

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Balanco de Energia

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Balanco de Energia

I Como o escoamento em um tubo e completamente confinado, umbalanco de energia pode ser utilizado para determinar:

I Como a temperatura media Tm(x) varia com a posicao ao longo dotubo;

I Como a transferencia de calor por conveccao total qconv estarelacionada a diferenca entre as temperaturas na entrada e na saıdado tubo;

I Considerando o escoamento em um tubo mostrado, o fluidoescoando a uma vazao massica constante m e transferencia de calorpor conveccao ocorrendo na superfıcie interna;

I Pode-se assumir as seguintes simplificacoes:I Dissipacao viscosa desprezıvel;I Escoamento incompressıvel;I Despreza-se a conducao na direcao axial.

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Balanco de EnergiaI Fazendo um balanco de energia global no tubo, chega-se a,

qconv = mcp(Tm,sai − Tm,ent) (30)

I Expressao geral que se aplica independentemente da natureza dascondicoes termicas na superfıcie e no escoamento no tubo.

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Balanco de EnergiaI Aplicando o balanco energetico a um volume de controle diferencial

no tubo, tem-se:

dqconv = mcp[(Tm − dTm)− Tm] (31)

dqconv = mcpdTm (32)

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Balanco de Energia

I A taxa de calor por conveccao pode ser reescrita na seguinte forma,

dqconv = q′′s Pdx (33)

q′′s = h(Ts − Tm) (34)

I Onde P e o perımetro da secao transversal.

I Dessa forma, reescrevendo a relacao 32,

dTm

dx=

q′′s P

mcp=

P

mcph(Ts − Tm) (35)

I A solucao para Tm(x) depende da condicao termica na superfıcie.

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Fluxo Termico Constante na Superfıcie

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I Para o caso de um fluxo de calor constante na superfıcie do tubo,encontra-se Tm(x) resolvendo a seguinte equacao:

dTm

dx=

q′′s P

mcp(36)

Tm(0) = Tm,ent (37)

I Resolvendo 36 com a condicao inicial 37, tem-se

Tm(x) = Tm,ent +q

′′s P

mcpx (38)

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I A troca de calor total pode ser determinada por:

qconv = q′′s PL (39)

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Exemplos

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Exemplos

I Exemplo 1 - Um sistema para aquecer agua de uma temperatura deentrada Tm,ent = 20°C ate uma temperatura de saıdaTm,sai = 60°C envolve a passagem da agua atraves de um tubo deparede espessa, com diametros interno e externo de 20 e 40mm,respectivamente. A superfıcie externa do tubo encontra-se isolada eaquecimento eletrico no interior da parede fornece uma taxa degeracao uniforme q = 106W /m3.

(a) Para uma vazao massica da agua m = 0, 1kg/s, qual deve ser ocomprimento do tubo para que a temperatura de saıda desejada sejaalcancada?

(b) Se a temperatura da superfıcie interna do tubo em sua saıda forTs = 70°C , qual e o coeficiente de transferencia de calor porconveccao local na saıda do tubo?

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Exemplos

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Temperatura Constante na Superfıcie

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I Resultados para a taxa de transferencia de calor total e para adistribuicao das temperaturas medias sao inteiramente diferentespara a condicao de temperatura superficial constante;

I Para e o caso de temperatura constante, e preciso solucionar aequacao:

dTm

dx=

P

mcph(Ts − Tm) (40)

I Definindo ∆T = Ts − Tm, a equacao 40 se torna:

dTm

dx=

d(∆T )

dx=

P

mcph∆T (41)

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I Para resolver 41, separa-se as variaveis e integra-se a equacao,∫ ∆Tsai

∆Tent

d(∆T )

∆T=

P

mcp

∫ L

0hdx (42)

I O que resulta em,

ln∆Tsai

∆Tent= − PL

mcphL (43)

I Reordenando, tem-se

Ts − Tm,sai

Ts − Tm,ent= exp

(− PL

mcphL

)(44)

I Sendo hL, o valor medio de h de todo tubo;

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I Integrado da entrada do tubo ate alguma posicao x no interior dotubo, tem-se , ∫ ∆Tx

∆Tent

d(∆T )

∆T=

P

mcp

∫ x

0hdx (45)

I O que resulta em,

Ts − Tm(x)

Ts − Tm,ent= exp

(− Px

mcphx

)(46)

I Sendo hx , o valor medio de h da entrada do tubo ate a posicao x ;

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I A determinacao de uma expressao para a taxa de transferencia decalor total qconv e dificultada pela natureza exponencial dadiminuicao da temperatura;

I Reescrevendo a equacao 30, tem-se

qconv = mcp((Ts − Tm,sai )− (Ts − Tm,ent)) (47)

qconv = mcp(∆Tsai −∆Tent) (48)

I E substituindo uma expressao para mcp retirada da equacao 43,obtem-se:

qconv = hLAs∆Tml (49)

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I Onde As e a area superficial do tubo (As = P · L) e ∆Tml e a medialogarıtmica das diferencas de temperaturas,

∆Tml =∆Tsai −∆Tent

ln(∆Tsai/∆Tent)(50)

I Onde ∆T = Ts − Tm.

I A equacao 49 e a forma da lei do resfriamento de Newton para todaa extensao do tubo;

I A natureza logarıtmica de ∆Tml e devido a natureza exponencial dadiminuicao da temperatura.

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Temperatura Constante na SuperfıcieI E importante observar que, em muitas aplicacoes, e a temperatura

de um fluido externo, e nao a temperatura superficial do tubo, que eespecificada;

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I Nestes casos, os resultados dessa secao ainda podem ser usados seTs for substituıda por T∞ e hL por UL (o coeficiente global detransferencia de calor medio);

∆Tsai

∆Tent=

T∞ − Tm,sai

T∞ − Tm,ent= exp

(− ULAs

mcp

)(51)

q = ULAs∆Tml (52)

I Onde UL foi definido como:

1

ULAs

= Rtot (53)

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I Reescrevendo as equacoes 51 e 52 em termos de Rtot , tem-se

∆Tsai

∆Tent=

T∞ − Tm,sai

T∞ − Tm,ent= exp

(− 1

mcpRtot

)(54)

q =∆Tml

Rtot(55)

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Exemplos

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Exemplos

I Exemplo 2 - Vapor de agua condensando sobre a superfıcie externade um tubo circular de parede fina, com diametro D = 50mm ecomprimento L = 6m, mantem uma temperatura na superfıcieexterna uniforme de 100°C . Agua escoa atraves do tubo a umavazao de m = 0, 25kg/s e suas temperaturas na entrada e na saıdado tubo sao Tm,ent = 15°C e Tm,sai = 57°C . Qual e o coeficienteconvectivo medio associado ao escoamento da agua?

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