universidade estadual do paranÁ campus de uniÃo da vitÓria€¦ · oportunizando aos professores...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

ANAIS DA 11a SEMANA DA MATEMÁTICA

UNIÃO DA VITÓRIA MAIO DE 2014

Sumário Objetivos ....................................................................................................................................... 1

Realização, Organização e Apoio .................................................................................................. 2

Atividades de Ensino ..................................................................................................................... 3

Programação ................................................................................................................................. 5

Resumos das Apresentações Orais ............................................................................................... 7

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES .............................. 7

APRENDIZAGENS NA CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE UMA TAREFA DE

PROBABIBLIDADE E COMBINATÓRIA NO CONTEXTO DO PROJETO PIBID .................. 8

MATEMÁTICA FINANCEIRA: UMA PROPOSTA DE ENSINO ............................................. 9

MODELAGEM MATEMÁTICA: CRIANDO UM MODELO MATEMÁTICO ........................... 10

A PARTIR DE UMA ATIVIDADE DE CAMPO ....................................................................... 10

O DIABO DOS NÚMEROS: O RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA ..... 11

UMA TAREFA ENVOLVENDO RELAÇÕES TROGONOMÉTRICAS ................................... 12

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O SOFTWARE X LOGO ........................................... 12

MÚLTIPLOS E DIVISORES: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA EM UMA TURMA DE 6º ANO

................................................................................................................................................. 13

ALGUMAS FERRAMENTAS BÁSICAS DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO ............ 14

Resumos Expandidos ................................................................................................................... 15

TEORIA DOS NÚMEROS UM ESTUDO DE ANÉIS FINITOS .............................................. 15

EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS:UMA PROPOSTA DE ENSINO 22

A MEDIDA DO TEMPO POR PÊNDULOS HARMÔNICOS................................................... 25

ANAIS DA 11a SEMANA DA MATEMÁTICA ISSN 1983-6198

1

Objetivos

Com esse evento buscou-se apresentar as diferentes áreas de estudo da Matemática e

alguns possíveis campos de pesquisa. Os professores convidados, a partir dos temas de

suas palestras e ou minicursos, apresentaram seus trabalhos mais recentes e com isso,

possibilitaram um contato mais direto com os participantes do evento, inclusive

contribuindo para a área de formação dos mesmos. Também foi um momento de

aproximar o diálogo entre os professores das diferentes IES e proporcionar aos

acadêmicos uma oportunidade para exporem e discutirem seus trabalhos e para uma

complementação extracurricular.

Objetivo Geral

O objetivo do evento está relacionado com a divulgação de estudos e pesquisas na área

da Matemática, bem como proporcionar aos alunos da graduação e pós-graduação, e

professores dos diferentes níveis de escolaridade, experiências que contribuam para

refletirem sobre os conhecimentos matemáticos e sobre o processo de ensino

aprendizagem em Matemática.

Resultados Esperados

Esperava-se promover uma aproximação entre os acadêmicos do Curso de Matemática,

docentes de outras IES e docentes da Educação Básica de União da Vitória e região,

proporcionando intercâmbio entre os pesquisadores da área visando o desenvolvimento

de pesquisas acadêmicas. Esperava-se ainda contribuir para formação continuada de

professores no que diz respeito ao processo de ensino aprendizagem em Matemática,

oportunizando aos professores da cidade de União da Vitória e região conhecer e

aprofundar seus conhecimentos matemáticos.


2

Realizaça o, Organizaça o e Apoio

Realização Colegiado de Matemática – UNESPAR/FAFIUV

Comissão Organizadora

Celso da Silva

Centro Acadêmico de Matemática Dirceu Scaldelai

Everton José Goldoni Estevam Gabriele Granada Veleda

Henrique Cristiano Thomas de Souza Maria Ivete Basniak

Michele Dias Veronez Simão Nicolau Stelmastchuk

Apoio


3

Atividades de Ensino

Palestras

ALGUMAS REFLEXÕES SOBRE A VOZ DO PROFESSOR.

Prof.ª Ms. Rosemari Magdalena Brack – UNESPAR/Curitiba II

Pretendo abordar: Como falamos. Como o professor pode cuidar de sua voz. Alguns exercícios

básicos para aquecer a voz. Os tópicos estão em linguagem leiga e acessível, uma vez que a

comunidade científica da licenciatura em matemática não tem obrigação de dominar termos

técnicos de minha área.

O PAPEL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO ENSINO EXPLORATÓRIO

Prof.ª Dra. Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino – UEL/Londrina

O Ensino Exploratório da Matemática tem se apresentado como uma alternativa para direcionar

a prática do professor que ensina matemática. O objetivo dessa palestra é o de discutir o papel

do professor em uma aula de ensino exploratório na qual os alunos têm a oportunidade de

constituir conhecimentos e procedimentos matemáticos de modo significativo e de desenvolver

a capacidade de resolver problemas, de raciocinar matematicamente e de estabelecer um

espaço que permita a comunicação matemática. Discutiremos aspectos inerentes ao papel do

professor em cada fase da aula, nomeadamente, ao antecipar a aula, ao propor a tarefa, ao

monitorar a realização da tarefa, ao selecionar e sequenciar as resoluções que serão

discutidas, a discussão das resoluções e a sistematização.

Minicursos

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EDUCAÇÃO INCLUSIVA: EM BUSCA DA AUTONOMIA SOCIAL

Prof.ª Dra. Tania Elisa Seibert – ULBRA/Canoas

O minicurso tem como objetivo discutir os preceitos básicos de uma escola inclusiva, os aportes teóricos da Neurociências e compartilhar experiências e recursos didáticos que visam promover a Autonomia Social em Matemática de alunos com Necessidades Educativas Especiais Intelectivas.

NÚMEROS IRRACIONAIS E POSSIBILIDADES DE DESESTABILIZAÇÃODE CONHECIMENTOS FALSOS: UMA PROPOSTA PARA AS AULAS DE MATEMÁTICA

Prof.ª Dra. Veridiana Rezende UNESPAR/Campo Mourão

O objetivo deste minicurso é apresentar possibilidades de se favorecer a aprendizagem matemática dos alunos por meio da desestabilização de conhecimentos falsos. Para isso, serão apresentados pressupostos da teoria dos Campos Conceituais do pesquisador francês Gérard


4

Vergnaud, que defende que muitos conhecimentos dos alunos são implícitos, e ao favorecer a desestabilização de conhecimentos falsos estamos oportunizando a aprendizagem aos alunos. De acordo com Vergnaud, para a aprendizagem de um conceito é necessário vivenciar, no decorrer da escolarização, diferentes situações problemas e representações relacionadas ao conceito. Além disso, o pesquisador defende que um conceito não pode ser estudado isoladamente, mas que existem diversos outros conceitos interligados no que o pesquisador denomina de Campo Conceitual. Assim, para exemplificar como a teoria dos Campos Conceituais pode favorecer a aprendizagem matemática por meio da desestabilização de conhecimentos falsos e por meio de diversidade de situações, serão abordadas atividades e análise de falas de alunos brasileiros e franceses relacionadas ao Campo Conceitual dos números irracionais, resultantes da pesquisa de doutorado de Rezende (2013). Programação Linear no Ensino Médio

Prof.ª Dra. Gislaine Aparecida Periçaro - UNESPAR/Campo Mourão

Este minicurso é destinado a acadêmicos do curso de Matemática e professores de

Matemática da Educação Básica que estejam interessados em discutir uma abordagem da

Programação Linear (PL) voltada para o Ensino Médio. Serão apresentados exemplos de

problemas de PL que podem ser tratados neste nível de ensino, os quais serão modelados

matematicamente e solucionados por meio do método gráfico, possibilitando uma discussão

acerca do ensino de conteúdos matemáticos, tais como, funções lineares, inequações,

interpretação geométrica de equações e inequações e sistemas de equações lineares.

Mostraremos como representar graficamente a região viável de um problema de PL utilizando o

software Winplot e, a partir dessa representação, identificar os casos em que o problema

possui uma única solução, infinitas soluções ou é ilimitado. Ressaltamos que o tratamento este

tema no Ensino Médio possibilita a compreensão, por parte dos alunos, de como a Matemática

pode ser utilizada na interpretação e resolução de problemas reais, mostrando assim sua

importância na Educação Básica.


5

Programaça o

Segunda-Feira (05/05)

Terça-feira (06/05)

18h Recepção dos participantes e entrega do material

19h Solenidade de Abertura

Local: Auditório da Secretaria Municipal de Cultura de União da Vitória – estação

ferroviária

20h30min

Algumas Reflexões sobre a Voz do Professor

Prof.ª Msc. Rosemari Magdlena Brack –UNESPAR/Curitiba II

Local: Auditório da Secretaria Municipal de Cultura de União da Vitória – estação

ferroviária

19h

às

22h30min

Comunicações Científicas

Local: Sala 25

19h

ás

19h30min

Teoria dos Números um Estudo de Anéis Finitos

Germano Vier Alves

19h30min

às

20h

A Medida do Tempo por Pêndulos Harmônicos

Norberto J. Polsin Jr.

20h

às

20:30min

Matemática Financeira: uma Proposta de Ensino

Camila Carla Cadorin

20h50min

às

21h20min

Equações Polinomiais e Números Complexos: uma Proposta de Ensino

Soliane Baufler

21h20min

às

21h50min

Múltiplos e Divisores: um Relato de Experiência em uma Turma de 6ºano

Clara Caroline Uniat e Carlos Krassowski Filho

21h50min

às

22h20min

Modelagem Matemática: Criando um Modelo Matemático a partir de uma Atividade de

Campo

Suelen Geronço e Natali Angela Felipe,

Local: Laboratório de Ensino de Matemática – LEM

19h

às

19h30min

A Construção de um Pentágono Regular no Software Régua e Compasso

Larissa Hermann Amarantes

19h30min

às

20h

Algumas Ferramentas Básicas do Software Régua e Compasso

Tatiane Woitovicz

20h

às

20h30min

O Diabo dos Números: o Relato de uma Experiência em Sala de Aula

Juarês Jocoski

20h50min

às

21h20min

Uma Tarefa Envolvendo Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo com o

Software x Logo

Ariel Marczaki


6

Quarta-feira (07/05) e Quinta – feira (08/05)

Sexta-feira (09/05)

21h20min

às

21h50min

Produção de Material para Ensino de Frações com o Uso do Software Geogebra

Édino Andrioli, Norberto J. Polsin Jr.

21h50min

às

22h20min

Aprendizagens na Construção e Análise de uma Tarefa de Probabiblidade e

Combinatória no Contexto do Projeto Pibid Joaide deFátima Colaço Silveira Bughay

Intervalo – 20h40min às 20h55min

Local : sala 04

19

h à

s 2

2h3

0m

in –

M

inic

urs

os

MC1

Educação Matemática Educação Inclusiva: em Busca da Autonomia Social

Prof.ª Dra. Tania Elisa Seibert – ULBRA/Canoas

Local: Laboratório de Ensino de Matemática

MC2

.

Números Irracionais e Possibilidades de Desestabilização

de Conhecimentos Falsos: Uma Proposta para as Aulas de Matemática

Prof.ª Dra. Veridiana Rezende - UNESPAR/Campo Mourão

Local: Sala 25

MC3

Programação Linear no Ensino Médio

Prof.ª Dra. Gislaine Aparecida Periçaro - UNESPAR/Campo Mourão

Local: Laboratório de Informática/ Matemática

Intervalo – 20h40min às 20h55min

Local : sala 04

19h

Palestra de Encerramento

Prof.ª Dra. Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino – UEL/Londrina

Local: Auditório da Câmara Municipal de União da Vitória –

Av. Getúlio Vargas, 123

21h Confraternização

Local: Salão de festas do Clube Apolo


7

Resumos das Apresentaço es Orais

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES1

ANDRIOLI, Edino2, POLSIN Jr. Norberto José

3, BASNIAK, Maria Ivete

PALAVRAS-CHAVE: Álgebra; Geogebra; frações.

1 Trabalho vinculado ao PIBID.

2 Acadêmico bolsista do PIBID de Matemática da UNESPAR campus União da Vitória, União da Vitória,

Paraná. E-mail: [email protected] 3 Acadêmico bolsista do PIBID de Matemática da UNESPAR campus União da Vitória, União da Vitória,

Paraná. E-mail: [email protected]

Resumo: Muitos professores de matemática percebem que o ensino do conteúdo de

números e álgebra é mais complexo. Tendo em vista que estes conteúdos muitas vezes

são trabalhados de forma abstrata, o que dificulta a compreensão de muitos alunos, uma

vez que eles estão habituados com o ensino lúdico proveniente dos anos iniciais.

Pensando na dificuldade destes alunos na abstração do conteúdo matemático, foi criado

um grupo de estudo por meio do subprojeto de matemática do PIBID da UNESPAR

campus União da Vitória para a construção de materiais didáticos vinculado com a

tecnologia. Através de reuniões semanais com o grupo, construiu-se uma previa do

material didático, material o qual futuramente será finalizado e apresentado. Com a

utilização do software Geogebra foram criadas figuras retangulares de diferentes cores,

cada uma correspondente a uma fração de um quadrado com dimensões 8x8. Em seguida,

foram elaboradas questões de modo a instigar o aluno sobre a existência de números

menores que a unidade, representada pelo quadrado 8x8, de modo que o aluno manipule

os retângulos preenchendo o quadrado e perceba que eles são partes de um todo. Com as

questões e as resposta apresentadas pelos alunos basta ao professor o papel de mediador

do conhecimento de modo que ele venha a formalizar o conceito de numerador e

denominador, apresentando assim os números fracionários para os estudantes. Após a

etapa de formalização do conceito de frações o professor pode iniciar atividades com a

manipulação de figuras de modo que o estudante compreenda a equivalência. Para a soma

seguiremos a mesma linha metodológica, contudo as figuras deverão ser adaptas e as

ideias amadurecidas as quais serão apresentadas futuramente.


8

APRENDIZAGENS NA CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE UMA TAREFA DE PROBABIBLIDADE E COMBINATÓRIA NO CONTEXTO DO PROJETO PIBID4

BUGHAY, Joaide de Fátima Colaço Silveira

5, ESTEVAM, Everton José Goldoni

6

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática; Construção de Tarefas; Análise de Tarefas;

PIBID.

4 Trabalho vinculado ao Projeto PIBID de Matemática intitulado Novas Tecnologias e Formação de

Professores para o Ensino da Matemática. 5 Licenciada em Matemática, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, Paraná,

[email protected]. 6 Mestre em Educação, Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, Paraná,

[email protected].

Resumo: Apesar de o currículo brasileiro sugerir a abordagem de princípios de

Combinatória desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, pesquisas revelam

dificuldades nessa abordagem, muitas vezes relacionadas com uma perspectiva que a

reduz à memorização e aplicação de fórmulas. Com vistas a possibilitar uma reflexão

quanto a alternativas para essa abordagem, o presente trabalho traz um relato de

experiência referente à construção e análise de uma tarefa exploratória direcionada ao

desenvolvimento de conhecimentos combinatórios e probabilísticos nos anos finais do

Ensino Fundamental. Esse trabalho foi realizado no contexto do subprojeto de Matemática

do PIBID da UNESPAR, Campus de União da Vitória e envolveu o desenvolvimento de

uma tarefa utilizando a planilha eletrônica Br.Office Calc, que está presente nos

computadores das escolas da rede pública do Paraná. Utilizando o tema Copa do Mundo

de 2014 (que pode ser adaptado), a tarefa foi estruturada em quatro etapas: (i) identificação

e separação por continentes das seleções da copa; (ii) combinações para um grupo fixando

alguns países e continentes; (iii) estudo de possibilidades para constituição dos grupos, a

partir de uma árvore dinâmica de possibilidades d; e (iv) introdução do conceito de

probabilidade. A estruturação da tarefa e as análises e discussões realizadas possibilitaram

algumas aprendizagens: (i) a importância de inter e multidisciplinaridade para a

compreensão dos conceitos e ideias relacionados com Probabilidade e Combinatória; (ii) a

possibilidade de aplicação/compreensão do Princípio Fundamental da Contagem (PFC) em

diferentes contextos e situações; (iii) a potencialidade da árvore dinâmica de possibilidades

como desencadeadora da compreensão do PFC; (iv) a relação existente entre

Combinatória e Probabilidade, já que enquanto a primeira possibilita a enumeração das

possibilidades, a segunda quantifica as chances para eventos específicos dentre aquelas

possibilidades enumeradas inicialmente; e (v) a importância da construção e análise de

tarefas para a prática letiva do professor.


9

MATEMÁTICA FINANCEIRA: UMA PROPOSTA DE ENSINO 7

CADORIN, Camila Carla8, STELMATCHUK, Simão Nicolau9

PALAVRAS-CHAVE: Matemática Financeira, Br. Office Calc, Educação Financeira.

7Trabalho de Conclusão de Curso.

8Graduada em Licenciatura em Matemática, Universidade Estadual do Parana (UNESPAR), Bituruna,

Paraná, [email protected]. 9 Pós-Doutor em Matemática, Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), União da Vitória, Paraná,

[email protected]

Resumo: Atualmente somos induzidos pelos anúncios a consumirmos cada vez mais,

tudo facilitado pelo crédito fácil e parcelamentos. O que na maioria das vezes não é dado

ênfase são os juros por trás das operações financeiras, os quais podem levar o indivíduo

ao endividamento, como é o caso dos juros dos cartões de crédito. Outro grande

problema que atinge os brasileiros é a falta de organização financeira sendo um dos

fatores a falha ou inexistência de uma educação financeira voltada para o controle dos

gastos e o estímulo ao poupar para possíveis imprevistos. O presente trabalho versará

sobre a importância da Matemática Financeira no Ensino Médio trazendo uma proposta

de ensino que utiliza o software Br. Office Calc e que visa despertar o senso crítico dos

alunos em relação às suas finanças pessoais.

http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4121978U2


10

MODELAGEM MATEMÁTICA: CRIANDO UM MODELO MATEMÁTICO A PARTIR DE UMA ATIVIDADE DE CAMPO10

GERONÇO, Suelen11

,FELIPE, Natali Angela12

, BASNIAK, Maria Ivete13

.

PALAVRAS-CHAVE: atividade de campo, modelagem matemática, função afim.

10

O presente trabalho tem origem no subprojeto de matemática “Tecnologias e formação de professores para o ensino da Matemática” vinculado ao Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência- PIBID no desenvolver de uma atividade de campo. 11

Acadêmica do terceiro ano do curso de licenciatura em Matemática na Universidade Estadual do Paraná- Campus de União da Vitória e bolsista do subprojeto de matemática do PIBID (UNESPAR- Campus de União da Vitória), União da Vitória, Paraná, e-mail: [email protected]. 12

Acadêmica do quarto ano do curso de licenciatura em Matemática na Universidade Estadual do Paraná- Campus de União da Vitória e bolsista do subprojeto de matemática do PIBID (UNESPAR- Campus de União da Vitória), União da Vitória, Paraná, e-mail: [email protected]. 13

Possui graduação em MATEMÁTICA pela Faculdade Estadual de Filosofia Ciências e Letras de União

da Vitória (2000) e mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná (2009). Atualmente é professora da Universidade Estadual do Paraná- Campus de União da Vitória. Doutoranda em Educação, linha de pesquisa em Políticas Públicas pela UFPR. Tem experiência na área de Matemática, Educação e Tecnologias. E-mail: [email protected].

Resumo: Este trabalho apresenta uma proposta de aula desenvolvida após a realização

de uma atividade de campo sob duas perspectivas: primeiro enquanto aluna da escola e

depois como aluna da universidade e bolsista do PIBID no subprojeto de Matemática. Em

ambas as situações fomos levadas a uma região de plantação de soja, para que

calculássemos o desperdício de soja após a colheita de seus grãos. Enquanto aluna da

escola o objetivo foi relacionar o conteúdo de sala de aula com uma aplicação prática, já

no PIBID foi elaborar um plano de aula a partir da atividade vivenciada. Ao elaborar o

plano de aula solicitado, mantivemos a decisão de levar os alunos até uma plantação de

soja para que eles coletassem os dados, pois como um de nós já havia trabalhado com

essa atividade no período escolar e foi algo que fez grande parte dos alunos perceberem

que a matemática possui aplicações práticas, ou seja, que ela pode estar presente em

nossa realidade. E devido a isso decidimos trabalhar com Modelagem Matemática como

metodologia de ensino, pois a partir dessa situação real os alunos poderão estabelecer

um modelo para responder a seguinte pergunta: qual será o desperdício de soja em toda

a plantação que possui 5 alqueires? E se quiséssemos calcular este desperdício para n

alqueires?(1alq= 24200 m²). Para isso os alunos deverão encontrar o desperdício de soja

em uma determinada área e desenvolver alguns cálculos para que possam chegar ao

modelo (na generalização). Com a criação deste modelo esperamos introduzir o conceito

de função de afim, podendo também ser abordados durante a atividade conteúdos como:

área do quadrado, média, razão e proporção e transformações de unidades de medidas.

Dessa forma almejamos que esta proposta de aula possa ser aplicada tanto no nono ano

do ensino fundamental quanto no primeiro do médio.


11

O DIABO DOS NÚMEROS: O RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA14

JOCOSKI, Juarês15

, VELEDA, Gabriele Granada16

PALAVRAS-CHAVE: matemática, literatura, interdisciplinaridade, relato de experiência.

14

Trabalho realizado na disciplina de Iniciação à pesquisa científica em 2013. 15

Licenciando em Matemática, Unespar, Campus de União da vitória, União da Vitória – Paraná, E-mail: [email protected]. 16

Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Pelotas – RS e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina – PR. Cidade: União da Vitória, Paraná. E-mail: [email protected].

Resumo: Neste trabalho é relatada a experiência do autor, enquanto professor de

Matemática, que utiliza a literatura infanto-juvenil referenciando O diabo dos números

como uma motivação no estudo de alguns conceitos matemáticos. Os alunos foram

motivados a partir do livro, a confeccionar uma sala temática que foi apresentada aos

demais alunos e professores do colégio estadual do campo professor Estanislau

Wrublewski de Cruz Machado no qual estudam, para apresentar os conceitos

matemáticos ao público. Nas aulas de matemática foram explorados mais

detalhadamente cada um dos temas matemáticos apresentados nos capítulos do livro.

Como resultado pudemos observar a grande eficácia dessa experiência, pois além de

despertar o interesse dos alunos, ela aperfeiçoou a aprendizagem dos mesmos referente

aos tópicos matemáticos por eles estudados, de modo que eles investigaram a

matemática em uma literatura infantil, criaram modelos matemáticos e solucionaram

problemas.


12

UMA TAREFA ENVOLVENDO RELAÇÕES TROGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O SOFTWARE X LOGO 17

MARCZAKI, Ariel

18, BASNIAK, Maria Ivete

19

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática, Trigonometria, Tecnologias, Formação docente.

17

Trabalho desenvolvido no subprojeto de Matemática do PIBID da UNESPAR, campus de União da Vitória, financiado com recursos da CAPES. 18

Aluna do 2ª ano de Matemática da UNESPAR, campus de União da Vitória, PR, [email protected]. 19

Professora do Colegiado de Matemática da UNESPAR campus de União da Vitória, PR, [email protected].

Resumo: Através do subprojeto de Matemática do Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação a Docência (PIBID) da Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR) - Campus

União da Vitória, foi possível a experiência de desenvolver atividades no período de agosto

a dezembro de 2013 com alunos do nono ano do Colégio Estadual Bernardina Schleder.

Das atividades propostas, selecionamos umas das desenvolvidas de um plano de aula

envolvendo trigonometria. A tarefa envolvia as relações trigonométricas: seno, cosseno e

tangente. Foi realizada utilizando o software XLOGO, disponível nos computadores do

laboratório de informática do Programa Paraná Digital do colégio, com objetivo de construir

a representação no software de um triângulo retângulo de lados 300, 400 e 500, utilizando

as relações trigonométricas para isso. Primeiramente foi entregue um roteiro impresso com

os passos da tarefa. Após isso, pede-se a construção de um triângulo retângulo, em que

foram definidos os catetos de tamanho 300 e 400, a fim de que utilizando o Teorema de

Pitágoras encontrassem o valor da hipotenusa. Em seguida induzimos os alunos a iniciarem

a construção do triângulo simplesmente dividindo 90° entre dois ângulos agudos, seguindo

os passos pf(comando parafrente) 300; pd(comando paradireita) 135; pf 500; pd 135; pf

400; para que verificassem a impossibilidade de concluir este triângulo. Mais uma tentativa

ainda foi feita com o triângulo com os ângulos de 90°, 60° e 30°; pf 300; pd 120; pf 500; pd

150; pf 400. Então finalmente, inserimos a possibilidade de trabalhar com o seno, cosseno

e tangente para que fosse possível fazer diretamente um triângulo retângulo com os lados

de 300, 400 e 500. O que nos interessou, como resultado desta atividade, que não foi

proposta como uma introdução ao conteúdo, é que os alunos conseguiram entender a

importância das relações trigonométricas e utilizá-las nas próximas atividades relacionando-

as com esta tarefa.


13

MÚLTIPLOS E DIVISORES: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA EM UMA TURMA DE 6º ANO20

UNIAT, Clara Caroline

21, KRASSOWSKI, Carlos Filho

22, TRATCH, Cláudia

23

PALAVRAS-CHAVE: Múltiplos, divisores, experiência, 6º ano.

20

Relato de uma experiência obtida com o Pibid (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) do subprojeto de Matemática da UNESAR; 21

Acadêmica da 2ª série do curso de Licenciatura Plena em Matemática, Universidade Estadual Do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, Paraná, [email protected]. 22

Acadêmico da 4ª série do curso de Licenciatura Plena em Matemática, Universidade Estadual Do Paraná (UNESPAR), União da Vitória, Paraná, [email protected]. 23

Especialista em Tecnologia de Informação e Comunicação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Rio Grande do Sul, [email protected].

Resumo: No primeiro semestre de 2013, os acadêmicos bolsistas do Pibid (Programa

Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência), do subprojeto de Matemática da

UNESPAR (Universidade Estadual do Paraná), desenvolveram e aplicaram um plano de

aula tratando do conteúdo: múltiplos e divisores de números naturais em uma turma de 6º

ano do Colégio Estadual Bernardina Schleder, União da Vitória, Paraná. Este trabalho

pretende relatar brevemente o que ocorreu no desenvolvimento das aulas, evidenciando

as contribuições para a formação dos alunos bolsistas, bem como, trazer reflexões para a

formação docente. Para abordar os múltiplos, utilizou-se de um exemplo de uma receita

de panquecas, visualizada na TV Multimídia, com o intuito de exemplificar uma situação,

para introduzir o conceito. Para o conteúdo dos divisores, deu-se um problema envolvendo

quantias de flores dispostas em um jardim divididas em canteiros. Foram apresentadas

imagens na TV Multimídia e feitos questionamentos aos alunos em relação ao problema

proposto. Posteriormente foi realizada uma atividade com o jogo online: Jogo dos Múltiplos

e Divisores. Para a realização desta, a turma foi dividida. O maior receio era de que os

alunos se dispersassem em atividades paralelas. Por orientação da professora

supervisora, antes de ir ao laboratório de informática foi estabelecido um contrato com os

alunos e, assim, não houve problemas com indisciplina, inclusive, as aulas foram mais

bem aproveitadas que na sala de aula. Percebeu-se a importância de conhecer a turma

para o planejamento das tarefas, inclusive em relação à questão de tempo para cada

atividade. A explicação de algumas tarefas não foi clara para os alunos o que levou a

reflexões quanto às formas de se postar frente aos alunos. A oportunidade de planejar

uma aula e desenvolvê-la trás uma importante experiência e faz pensar mais em um bom

plano de aula e as imprevisibilidades que podem ocorrer.


14

ALGUMAS FERRAMENTAS BÁSICAS DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO24

WOITOVICZ, Tatiane25

, VELEDA, Gabriele Granada26

PALAVRAS-CHAVE: Software Régua&Compasso, Comandos.

24

Trabalho de pesquisa bibliográfica e análise. Trabalho realizado com o apoio da Fundação Araucária através do projeto de PIBIC. 25

Acadêmica do 4o ano de licenciatura em Matemática pela Unespar campus FAFIUV. Cidade: Mallet, Paraná.

E-mail: [email protected]. 26

Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Pelotas – RS e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina – PR. Cidade: União da Vitória, Paraná. E-mail: [email protected].

Resumo: Com o crescente desenvolvimento da tecnologia e sua propagação no mundo

contemporâneo, as instituições de ensino também sofreram mudanças significativas no que se refere

à implementação de recursos educacionais. Inúmeras escolas brasileiras passaram por um

investimento tecnológico que contribui para o processo de ensino e aprendizagem. Dentre estas

tecnologias encontramos os softwares educativos. Estes contribuem na formulação de conceitos de

diversas áreas do conhecimento, mas devemos nos ater ao seu uso em sala de aula, pois não é

suficiente utilizar-se unicamente desta tecnologia no processo de ensino-aprendizagem. Utilizando

os recursos tecnológicos podemos desenvolver várias atividades de modo a tornar o ensino de

matemática mais proveitoso, uma vez que instigamos o cognitivo do aluno, fazendo-o analisar e

refletir sobre a questão proposta. Entretanto, muitas vezes os docentes encontram dificuldades em

preparar um bom material pedagógico para ser utilizado com o uso de softwares educacionais, pois

não possuem conhecimento necessário sobre os comandos e as funções dos softwares. Portanto,

neste trabalho apresentaremos algumas ferramentas disponíveis no software Régua&Compasso e

suas respectivas funções. Este software educacional é gratuito e auxilia o processo de construção do

saber matemático, uma vez que serve de apoio visual aos alunos, pois com o auxílio das

ferramentas disponíveis nele podemos realçar a visualização das figuras geométricas, sendo este

um meio de acesso ao conhecimento matemático. Esperamos que com a explanação sobre as

ferramentas do Régua&Compasso possamos auxiliar os docentes na utilização deste recurso

computacional em sala de aula, para que estes possam potencializar as atividades desenvolvidas

além de tornarem as aulas mais dinâmicas, compreensíveis e produtivas aos alunos.


15

Resumos Expandidos

TEORIA DOS NÚMEROS UM ESTUDO DE ANÉIS FINITOS27

ALVES, Germano Vier28

, STELMASTCHUK, Simão Nicolau29

PALAVRAS-CHAVE: TEORIA DOS NÚMEROS; ANÉIS FINITOS; POLINÔMIOS. INTRODUÇÃO

Os polinômios são elementos de suma importância dentro da Matemática e da Ciência. Entre

toda a gama de uso dos polinômios podemos encontrá-los no estudo das estruturas algébricas, em forma exata, no anel dos polinômios. Um estudo geral disto pode ser encontrado em e .

No corpo dos polinômios podemos introduzir conceitos conhecidos da Teoria dos números, como divisibilidade entre polinômios, máximo divisor comum e congruência de polinômios. Tais conteúdos podem ser vistos em e . O nosso interesse reside na congruência de polinômios,

pois esta relação é de equivalência e, assim, produz o anel quociente ( )

( )⁄ , em que ( ) é um

polinômio em ( ). De forma específica, o principal resultado deste trabalho é estudar a quantidade

de elementos dentro do ( )

( )⁄ . De fato, é enunciado um Teorema que mostra que dado um

polinômio ( ) em ( ) de grau , a quantidade de elementos em ( )

( )⁄ é .

METODOLOGIA

Neste presente trabalho se faz a partir de uma pesquisa exploratória em Teoria dos

Números, tendo ênfase no anel quociente ( )

( )⁄ .

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Primeiramente serão apresentados alguns resultados para ( ) sem demonstração. Para

tais demonstrações citamos as referências e .

Proposição: Sejam ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), então:

1. Temos que ( ) ( ) ( ( )) se, e somente se, ( ) ( ( ) ( ))⁄

2. É válido que ( ) ( ) ( ( ))

3. Se ( ) ( ) ( ( )), então ( ) ( ) ( ( ))

4. Se ( ) ( ) ( ( )) e ( ) ( ) ( ( )), então ( ) ( ) ( ( ))

5. Se { ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ( )), então {

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ));

27

Projeto de Iniciação Científica. 28

Bolsista do PIBIC, Curso de Licenciatura em Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória, Paraná, [email protected]. 29

Orientador, Colegiado de Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória, Paraná, [email protected].


16

6. Se { ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ( )), então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ));

7. Se ( ( ) ( )) , então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) se, e somente se,

( ) ( ) ( ( ))

Pelos resultados citados acima, segundo , pode-se construir o anel quociente ( )

( )⁄ ,

conhecido como anel quociente ( ) por ( ), em que seus elementos são as classes de

equivalência dada por

( )̅̅ ̅̅ ̅̅ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))}.

Além disso, a adição e multiplicação de elementos de ( )

( )⁄ são dadas por

( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ e

( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

O sistema completo de restos do anel quociente ( )

( )⁄ é definido por

, em que ( ( )) ..

No que segue, testaremos o sobre alguns casos do anel ( )

( )⁄ para encontrar

alguma característica singular. Iniciemos pelo caso ( )

( ) ⁄ . Disto temos que

{

.

Logo, isto implica que , ou seja, o tem elementos. Para o caso ( )

( ) ⁄ vemos que

{

.

Assim, e possui elementos. Se adotarmos o anel ( )

( ) ⁄

obteremos

{

.

Portanto e a sua quantidade de elementos é .

Agora estudaremos os casos em que é 3 e 5. Desta forma, no anel ( )

( ) ⁄ o sistema

completo de restos tem os seguintes elementos

{

.


17

Então, o tem elementos. No anel ( )

( ) ⁄ conseguimos

{

.

Por conseguinte, o . É válido que o tem

elementos. Já para o caso ( )

( ) ⁄ , seguindo a definição do sistema completo de restos temos

que . Contando os elementos deste conjunto vemos que sua quantidade é . Para o

anel ( )

( ) ⁄ , notamos que

{

.

Ficando evidente que e que sua quantidade de elementos é elementos. Se

construirmos o anel ( )

( ) ⁄ , constatamos que o

. Contando seus elementos obtemos .

Pelas construções acima, fica exposto à similaridade sobre a quantidade de elementos nos

anéis. É plausível enunciar que a quantidade de elementos do anel ( )

( )⁄ é ( ( )).

Mostramos que isto é verdade no Teorema a seguir.

Teorema: Seja o anel quociente ( )

( )⁄ ,em que é primo em e ( ) ( ), então a

quantidade de elementos de ( )

( )⁄ é ( ( )).

Demonstração: Suponha as hipóteses verdadeiras. Pela construção de ( )

( )⁄ sabe-se que é

um corpo com o , ou seja, têm elementos. Pela construção de

( ) ( )

⁄

tem-se que o sistema completo de restos desse anel é

( )

( )⁄

, com ( ( )) .

Pelo fato do sistema completo de resto ser escrito como a reunião de todas as combinações diferentes do polinômio


18

( )

em que , então pelo princípio fundamental da combinatória( ver por exemplo ) as

sequências ( ) tem combinações distintas para cada . Disto a quantidade de

elementos do ( )

( )⁄

é vezes. Logo ( ) tem combinações diferentes.

Assim ( )

( )⁄

tem elementos. Portanto ( )

( )⁄ tem ( ( )) elementos.

Pode-se notar, pelo Teorema acima, que os únicos anéis que terão quantidade pares

elementos são os da forma ( )

( )⁄ , pois a quantidade de elementos será ( ( )), nos demais

casos esses anéis terão uma quantidade impar de elementos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS Este trabalho foi sobre um estudo elementar em Teoria dos Números, no programa de

iniciação científica. Foi apresentado o anel ( )

( )⁄ , sobre o qual se pode observar certa

regularidade na quantidade de elementos desse anel, dessa forma verificou-se se esta regularidade é

valida para os casos , e , com ( ( )) variando de 1 a 3, pelos resultados dos casos

anteriores foi enunciado e demonstrado o Teorema da quantidade de elementos desse anel.

REFERÊNCIAS

HEFEZ, A., Um Curso de Álgebra, vol 1, 4 ed, Rio de Janeiro: IMPA, 2010.

LANG, Serge. Álgebra para Graduação, 2 ed, Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.

MARTINEZ, Fabio B, et al. Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. SANTOS, J. P., Introdução a Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2011

VESZTERGOMBI, Katalin, PELIKÁN, J. e LOVÁSZ, L. Matemática Discreta: Elementar e Além; Tradução QUEIROZ, Ruy J. G. B. SBM: 2005.


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A CONSTRUÇÃO DE UM PENTÁGONO REGULAR NO SOFTWARE RÉGUA E

COMPASSO30

AMARANTES, Larissa Hermann², VELEDA, Gabriele Granada³

PALAVRAS-CHAVE: Matemática; Geometria plana; TICs.

INTRODUÇÃO

Os softwares de geometria plana dinâmica nos ajudam a compreender os conceitos

matemáticos que são usados nas construções geométricas, são atrativos, despertam o interesse do estudante, além de substituírem a régua e compasso habituais.

O software Régua e Compasso é um deles. Este programa gratuito, permite realizar construções que se remetem ao uso de régua e compasso e com ele conseguimos perceber os conceitos matemáticos utilizado nessas construções. Neste trabalho, focamos a construção de um pentágono regular.

1. O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO

O uso de computadores em sala de aula pode auxiliar o aprendizado, pois proporcionam

uma maior interação do aluno com o assunto. Os softwares são um sistema de ensino que requer compromisso e conhecimento dos educadores.

Segundo Valente (1995), as tecnologias de informação e comunicação (TICs) foram inicialmente introduzidas na Educação Matemática para melhorar o estudo e assim aumentar o interesse por parte do aluno. A tecnologia fornece agilidade durante o ensino, pode ser utilizada como atividades adicionais e proporciona novos conhecimentos além dos tradicionais de sala de aula.

Nos últimos anos, as TICs vêm ofertando uma quantidade diversificada de softwares, por sua aplicabilidade e possibilidade de novas abordagens no campo educacional, e tem determinado mudanças na prática pedagógica dos professores (LENZ; FERRAZ, 2007).

Dentre os diversos softwares, neste momento, nos atentamos ao R.e.C (Régua e Compasso), que foi desenvolvido pelo Professor René Grothmann, da Universidade Católica de Berlim, na Alemanha.

O R.e.C é um software matemático que permite explorar vários conceitos matemáticos que dizem respeito a geometria plana. As figuras geométricas são construídas utilizando os comandos do software que se remetem à ideia de construções feitas à mão utilizando apenas os instrumentos régua e compasso.

Com o R.e.C conseguimos observar propriedades geométricas. O software também proporciona grande facilidade nas construções e possibilita animações. Numa caixa de ferramentas de configurações especificadas, podemos alterar os desenhos feitos, sendo possível colorir, escolher a espessura do traçado e modificar o nome dos objetos matemáticos, entre outros.

1.1 ALGUMAS FERRAMENTAS DO R.e.C.

São diversas as ferramentas disponíveis no R.e.C, aqui estão algumas ferramentas

utilizadas na construção do pentágono e o seu respectivo funcionamento básico .

Ponto : Para criar um ponto basta clicar com o botão esquerdo do mouse sobre qualquer área da janela geométrica.

Semirreta : Para criar uma semirreta deve-se clicar com o botão esquerdo do mouse sobre dois pontos quaisquer da janela geométrica, a ordem que os pontos forem marcados determina a direção da semirreta.

30

Trabalho realizado com o apoio da Fundação Araucária através do projeto de PIBIC-Jr. ² Bolsista no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica Jr – PIBIC-Jr, UNESPAR- FAFIUV. Cidade: União da Vítória – Paraná. Email: [email protected]. ³Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Pelotas – RS e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina – PR. Cidade: União da Vitória, Paraná. E-mail: [email protected].

mailto:[email protected]


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Segmento de reta : Para criar um segmento de reta deve-se clicar com o botão esquerdo do mouse sobre dois pontos quaisquer da janela geométrica.

Circunferência : Cria uma circunferência clicando em dois pontos que irão determinar o centro e o raio da mesma.

Ocultar Objetos : Com esta ferramenta é possível esconder um objeto sem excluí-lo da construção.

2. CONSTRUINDO UM PENTÁGONO NO R.e.C

O pentágono regular é uma figura plana que possui os cinco ângulos e os cinco lados

congruentes. Para construir um pentágono no R.e.C, como na Figura 1, deve-se seguir os seguintes

passos:

1. Crie uma circunferência com centro O, para isso utilize a ferramenta ;

2. Selecione a ferramenta para criar uma semirreta, clique no ponto O, depois fixe-a em qualquer lugar da circunferência, renomeie o ponto que irá surgir para A;

3. Utilizando a ferramenta “ângulo de amplitude fixa” , vamos encontrar os ângulos centrais do pentágono. Para isso depois de selecionar a ferramenta clique no ponto A, em seguida no ponto O e depois em outro lugar da circunferência, automaticamente abrirá a janela “editar ângulo”, nela, altere o tamanho do ângulo para 72;

4. Com a ferramenta , marque o ponto de intersecção entre a semirreta e a circunferência, renomeie como B;

5. Clique no ponto B e repita o processo dos itens 3 e 4, obtendo assim o ponto C. Utilizando esse mesmo procedimento, crie os pontos D e E.

6. Com a ferramenta , clique sobre a circunferência, sobre os ângulos centrais, as semirretas e sobre o ponto O, para ocultá-los, deixando apenas os pontos A,B,C,D e E;

7. Use a ferramenta para ligar os pontos, e dar origem ao pentágono.

Figura 1: Construção do pentágono.

FONTE: A autora, 2014


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3. CONSIDERAÇÕES FINAIS A utilização de um software de desenho permite vencer a imprecisão da construção feita à

mão, não necessita da utilização de diversos instrumentos e a construção é agilizada, pois, em caso de erro, não é necessário apagar todos os passos efetuados anteriormente e a folha não fica rasurada.

A utilização deste software potencializa as atividades usualmente desenvolvidas em sala de aula de maneira tradicional para o ensino de geometria plana, pois, com o auxílio das ferramentas disponíveis no R.e.C. podemos realçar a visualização das figuras geométricas e suas propriedades matemáticas, sendo este um meio de tornar o ensino e a aprendizagem de conteúdos e de conceitos geométricos mais dinâmico, além de tornar mais produtivas e interessantes as aulas de matemática, ampliando o acesso ao conhecimento matemático.

REFERÊNCIAS

DOLCE, O.; POMPEO, J.N. Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria Plana. 8. ed.

São Paulo: Atual, 456 p., 2005.

LENZ, E. A.; FERRAZ, I. R. Ferramentas de informática: usando os recursos da informática para ensino e aprendizagem de matemática. 2007. 30 f. Pós Graduação (3º) - Universidade Paranaense – Unipar, Cascavel, 2007. Disponível em: <http://www.ensino.eb.br/portaledu/conteudo/artigo8653.pdf>. Acesso em: 16 set. 2013.

VALENTE, J. A. Informática na educação: conformar ou contornar a escola. Perspectiva. Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, n. 24, 1995.


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EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS: UMA PROPOSTA DE ENSINO31

BAUFLEUR, Soliane32

, ESTEVAM, Everton José Goldoni33

PALAVRAS-CHAVE: Equações Polinomiais; Números Complexos; Resolução de Problemas; História da Matemática. INTRODUÇÃO

Este trabalho constitui um resumo do Trabalho de Conclusão de Curso da primeira autora, orientado pelo segundo, o qual teve por objetivo estruturar uma proposta de ensino para o Ensino Médio que associasse Equações Polinomiais e Números Complexos. Para tanto foram utilizadas como metodologia de ensino a Resolução de Problemas e a História da Matemática. Assim, no presente trabalho descrevemos em linhas gerais os caminhos percorridos no desenvolvimento da proposta, os aspectos conceituais e metodológicos que a sustentam e as intenções que justificam a propositura das tarefas que a compõem. METODOLOGIA

O Trabalho de Conclusão de Curso foi realizado com o objetivo de elaborar uma proposta de ensino que, se aplicada, pudesse contribuir para a aprendizagem dos alunos no que concerne às Equações Polinomiais e aos Números Complexos. Para tal, buscou-se, a partir de pesquisas bibliográficas em livros, dissertações, teses e artigos científicos, compreender em que contextos se encontram esses conteúdos, o que abarcou aspectos relativos à forma como são abordados nas escolas, nos livros didáticos e nos currículos. Também foram estudados aspectos históricos sobre o surgimento e desenvolvimento desses conceitos/conteúdos matemáticos, buscando associá-los e constituir elos que favorecessem a compreensão e, por conseguinte, a aprendizagem dos alunos na Educação Básica. Cabe salientar ainda que o estudo dos aspectos algébricos dos conceitos, definições e propriedades envolvendo Números Complexos, Polinômios e Equações Polinomiais também foi realizado com o intuito de oferecer coerência e solidez às ações subsequentes do estudo.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O currículo apontou que tanto os Números Complexos quanto as Equações Polinomiais, são conteúdos importantes a serem explorados no Ensino Médio (BRASIL, 2006; PARANÁ, 2008), a partir de uma abordagem que possa associá-los e revelar aspectos históricos. No entanto pesquisadores como Azevedo (2002), Araújo (2006), Borges (2007), Gil (2008) e até mesmo Lopes (2004), este último referindo-se a Portugal, apontam outra realidade e discutem sobre as dificuldades que permeiam o ensino e o aprendizado desses conteúdos.

Estas dificuldades se referem a inúmeros fatores, como a própria abordagem desassociada e inconsistente que muitos livros didáticos apresentam, (BORGES, 2007; ARAÚJO, 2006) a desconsideração desses conteúdos pelos professores, seja pela dificuldade em abordá-los ou pela escassez de tempo para cumprir um currículo extenso (AZEVEDO, 2002) e as dificuldades que os alunos revelam para compreender conteúdos algébricos (AZEVEDO, 2002; GIL, 2008).

Historicamente, os Números Complexos surgiram quando matemáticos resolviam Equações Polinomiais. Entretanto outro fator problemático é a descontextualização com que esses conteúdos são abordados. Os pesquisadores referidos acima apontam que tanto no ensino de Equações Polinomiais quanto de Números Complexos, as definições são priorizadas em detrimento da contextualização e da História da Matemática presente no desenrolar dos conteúdos.

Pensando nisso, elaboramos uma proposta de ensino que utiliza as metodologias de ensino de Resolução de Problemas e História da Matemática para exploração das Equações Polinomiais e Números Complexos, partindo do pressuposto da contextualização. Onuchic (1999) defende que

31

Trabalho de Conclusão de Curso. 32

Licenciada em Matemática, UNESPAR, União da Vitória, Paraná. [email protected]. 33

Mestre em Educação, UNESPAR, União da Vitória, Paraná, [email protected].


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enquanto metodologia, na Resolução de Problemas parte-se de uma situação para então se chegar à abstração, proporcionando assim contextualização dos conteúdos. Guichard (1986) chama atenção para o fato de que, além da contextualização que a História da Matemática pode propiciar, ela esclarece por que e como tais conhecimentos matemáticos se desenvolveram. Ou seja, a História da Matemática pode possibilitar ao aluno que haja como um matemático. Pode-se assim recriar os momentos e situações em que os próprios matemáticos passaram. Dessa forma, explorar as dificuldades e os erros que os próprios matemáticos tiveram, mostrando aos alunos que a construção da Matemática não apresenta caráter linear e que houve dificuldades ao longo dos anos e do desenvolvimento da Matemática.

A proposta em si consiste na resolução de três problemas, tarefas as quais os alunos poderão realizar em grupos, de modo a fomentar a discussões e o estabelecimento, análise e validação de conjecturas. Ao final de cada tarefa há um quadro que apresenta detalhadamente quais os objetivos de cada problema e, esclarece e orienta as possíveis ações, discussões e dificuldades do professor e dos alunos no decorrer de seu desenvolvimento. Os quadros salientam a prática do professor no decorrer das resoluções das tarefas, uma vez que este assume papel fundamental no auxilio aos alunos e no encaminhamento da aula, a fim de cumprir com os objetivos de cada tarefa.

O professor ainda poderá explorar mais conteúdos a respeito das Equações Polinomiais e dos Números Complexos, assim como outros problemas que envolvam esses conteúdos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho descrito foi realizado com o objetivo de estruturar uma proposta de ensino que, se aplicada, pudesse contribuir para a aprendizagem dos alunos a respeito das Equações Polinomiais e dos Números Complexos. Trabalhamos na perspectiva de entender em que contexto se encontram esses conteúdos, desde como são abordados nas escolas, nos livros didáticos, nos currículos. Buscamos associar esses conteúdos devido à parte histórica dos mesmos, de maneira que os alunos possam compreender, também, todo o desenvolvimento dos conteúdos citados.

Esperamos que esse trabalho possa contribuir para que professores compreendam um pouco do que permeia o ensino, o aprendizado e a teoria dos Números Complexos e das Equações Polinomiais. Dessa forma, acreditamos que a aplicação das tarefas pode comprovar nossas conjecturas a respeito da utilização das metodologias de ensino de História da Matemática e Resolução de Problemas, para ensinar de maneira associada os conteúdos de Equações Polinomiais e os Números Complexos.

REFERÊNCIAS ARAÚJO, N. B. F. NÚMEROS COMPLEXOS: Uma proposta de mudança metodológica para uma aprendizagem significativa no Ensino Médio. 2006, 111 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006. AZEVEDO, E. Q. de. Ensino-aprendizagem das equações algébricas através da resolução de problemas. 2002, 172 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002. BORGES, A. J. Polinômios no Ensino Médio: uma investigação em livros didáticos. 2007, 109 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino da Matemática) - Pontífica Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007. BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEB, 2006. GIL, K. H. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de álgebra. 2008, 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2008. GUICHARD, J. P. História da matemática no ensino da matemática. Adaptação livre de Arsélio Martins de artigo de Jean Paul Guichard. IREM de Lyon. In: BOUVIER, A. (Coord.). Didactique dos Mathématiques. Cedic/Nathan, 1986. LOPES, H. B. A resolução de equações. Millenium - Revista do Instituto Politécnico de Viseu. Viseu, n. 29, p. 205-212, 2004.


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OLIVEIRA, C. N. C. de. NÚMEROS COMPLEXOS: Um estudo dos registros de representação e de aspectos gráficos. 2010, 191 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2010. ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Paraná: 2008.


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A MEDIDA DO TEMPO POR PÊNDULOS HARMÔNICOS34

POLSIN Jr., Norberto J.35

STELMASTCHUK, Simão Nicolau36

Palavras-chave: Tempo, medida do tempo, pêndulos harmônicos.

1. INTRODUÇÃO

O que é o tempo? Como mensura-lo? Estas perguntas intrigaram os Matemáticos, Físicos e Filósofos, uma vez que o ser humano é capaz de perceber o tempo, mas por muitos séculos não conseguiu mensurá-lo com precisão. O tempo é perceptível visualmente, como os intervalos regulares entre noite e dia, mudanças lunares, uma foto antiga, entre outros acontecimentos de nosso cotidiano.

O tempo em si tem muitas definições. No senso comum nada mais é que o intervalo entre eventos cíclicos, que podem ser observados e subsequentemente contados. Na atualidade utilizamos a contagem de segundo, onde este é o período de uma oscilação de um pendulo harmônico. O presente trabalho tem o interesse de expor alguns conceitos sobre o tempo e a ideia de como foram construídos os medidores de tempo para chegarem à tamanha precisão.

2. METODOLOGIA

No presente trabalho foi realizada uma pesquisa bibliográfica e exploratória sobre a definições de tempo e as consequências, matemáticas e físicas, presentes na construção do conceito de tempo.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

De forma geral, o tempo apresenta diversos significados para leigos. Para eles, o tempo nada mais é o que o relógio ou calendário está indicando, deixando claro á existência da tríade entre presente, passado e futuro. Ao questionar “como o tempo surgiu?” seriam dispostas muitas teorias e hipóteses, uma vez que o tempo é perceptível a todos. Sabendo que o tempo é um intervalo entre eventos, o utilizamos para obter sincronia entre dois eventos distintos.

O tempo é perceptível de forma pessoal, uma vez que a velocidade que o tempo decorre é equivalente ao interesse na atividade realizada, dando a impressão que o tempo passa mais rápido ou mais lentamente, mesmo que os aparelhos de medição mostrem que o tempo decorre de forma constante para todos os espectadores.

Em um olhar um pouco mais apurado vemos o tempo com um significado cientifico, onde um segundo é o período de oscilação de um pendulo harmônico especifico, a partir deste segundo existem muitas comparações que podem ser feitas entre as grandezas temporais. Ao se pensar em Ciência percebemos que o tempo vem fortemente ligado a algumas ciências exatas as quais dependem das medições de eventos para existir. É interessante notar que na Física Clássica o tempo é fundamental em toda a Cinemática e dá embasamento a Dinâmica.

Um dos pilares da Física Clássica é a Lei de composição das velocidades de Galileu

V= S/ t, em que a variável fundamental é o tempo.

Com está lei podemos descrever a simultaneidade de eventos, pois isto nada mais é que se

dois relógios marcassem dois eventos distintos no mesmo instante os eventos seriam simultâneos.

34

Projeto de Iniciação Científica. 35

Bolsista do PIBIC de Matemática da UNESPAR campus União da Vitória, União da Vitória, Paraná. E-mail:

[email protected] 36 Orientador, Colegiado de Matemática, UNESPAR, Campus de União da Vitória, Paraná, [email protected].


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Contudo ao estudar a Teoria da Relatividade Restrita, como visto no trabalho [2], a real simultaneidade de eventos não se da desta forma. Pois segundo Albert Einstein:

Se um evento 1 ocorre em P1 no instante T1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P1 nesse instante, e o mesmo vale pra P2 em T2 (evento 2), dizemos que estes dois eventos são simultâneos (T1=T2) quando o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento P1P2.

Um princípio que deve ser respeitado, para que seja valido o postulado acima é a linearidade do tempo onde ele seja meramente a contagem de intervalos. Após esta análise, vai se iniciar uma exploração de efeitos físicos se caso a constância do tempo for alterada, chegando assim diversos resultados ainda desconhecidos que serão pontuados em trabalhos futuros.

Mensurando o Tempo

Muito pouco se sabe como foi construído o conceito de tempo pelo ser humano, pois utilizávamos o tempo intuitivamente antes mesmo de deixar de ser nômades. Prova disso é que quando iniciou o período Neolítico o homem pré-histórico começou a plantar e domesticar animais. Estes homens também podiam perceber as mudanças climáticas e variações planetárias, mesmo que não existissem relógios ou calendários para eles mensurarem o tempo.

Com o passar dos anos os métodos de medir o tempo foram aprimorados. Mesmo com todos estes avanços os filósofos, físicos e matemáticos não ficaram satisfeitos, uma vez que havia grandes diferenças entre as marcações que eles realizavam. Percebeu-se assim que os métodos de medição eram falhos, principalmente quanto a longos períodos, devido ao vinculo destas medições com alguma forma de energia que muitas vezes era desperdiçada ou dependia de outros fatores externos.

Para obter boas medições de tempo, foi necessário criar um mecanismo que realizasse um movimento periódico constante e que não tivesse grandes perdas de energia. Tal mecanismo com essas propriedades foi descoberto, até então chamando de pendulo harmônico, em que consiste em material oscilando periodicamente e se bem construído com perda mínima de energia. Tais pêndulos têm como equação momentânea descrita em ([1], pg. 81) por

, ( ) ( ).

Derivando esta equação tem-se à equação da velocidade definida por

( ) ( ). A aplicação da derivada segunda gera a equação da aceleração deste pendulo, como segue a baixo:

( ) ( ). O pendulo é formado por um semicírculo. No qual as forças (como explicadas em [1]) fazem

com que um corpo oscile de forma harmônica apresentando um raio especifico. Sabendo que as funções trigonométricas tem uma amplitude de fica fácil

perceber que o valor máximo de oscilação será o valor de . Ao visualizar o gráfico de uma cossenoide percebemos que existe uma onda inicial que se repete infinitamente. Isto implica que o pendulo faz o mesmo movimento infinitamente, desde que não existam forças externas que o façam parar.

Tendo em vista que as funções trigonométricas foram criadas a partir do circulo trigonométrico de raio um, podemos concluir que o circulo também pode ser considerado cíclico, pois ao iniciar um movimento circular nunca se conseguirá chegar a um fim. Utilizando também as implicações de equivalência pode-se iniciar a construção de relógios de pendulo, tais implicações de equivalência são necessárias, pois os relógios são divididos em doze horas, mas um dia tem 24 horas. Logo, uma única indicação do relógio poderá marcar dois horários diferentes no mesmo dia. Outro fato interessante é que o relógio pode indicar o horário indefinidamente, mas a cada 12h inicia-se novamente a marcação, ou seja, a contagem do tempo é subdividida entre a contagem dos relógios e a contagem de dias, subsequentemente de semanas, meses e anos.


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4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como apresentado o tempo tem fundamental relevância em nosso cotidiano, uma vez que

dependemos da simultaneidade de eventos, em contra partida a simultaneidade como a utilizamos é

Newtoniana, o que é uma verdade aproximada como descrita por Einstein. Percebeu-se também que

o tempo nada mais é que a contagem linear, de intervalos de eventos cíclicos específicos. Tal

linearidade do tempo tem relação direta com os efeitos físicos apresentados no trabalho.

5. REFERENCIAS

[1] Halliday Rensnick Walker, Fundamentos de Física 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 6°edição editora LTC.

[2] Norberto Jose Polsin Jr; Édino Andrioli; Simão Nicolau Stelmastchuk, Introdução a Teoria da Relatividade Restrita, Anais I CEPE, 2013, 1119-1124.

[3] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica 4: Ótica, Relatividade, Física Quântica, 1.ed, São Paulo: Edgard Blucher LTDA, 1998.

universidade estadual do paranÁ campus de uniÃo da vitÓria€¦ · oportunizando aos professores...

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