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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO
ZELIA BESERRA CAMELO
CONHECIMENTOS TECNOLÓGICOS PEDAGÓGICOS E DE CONTEÚDO NA
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE GEOMETRIA ESPACIAL
FORTALEZA – CEARÁ
2020
ZELIA BESERRA CAMELO
CONHECIMENTOS TECNOLÓGICOS PEDAGÓGICOS E DE CONTEÚDO NA
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE GEOMETRIA ESPACIAL
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado
Acadêmico em Educação do Programa de Pós-
Graduação em Educação do Centro de
Educação da Universidade Estadual do Ceará,
como requisito parcial à obtenção do grau de
Mestre. Área de Concentração: Formação de
Professores.
Orientadora: Profa. Dra. Ivoneide Pinheiro de
Lima.
FORTALEZA - CEARÁ
2020
ZELIA BESERRA CAMELO
CONHECIMENTOS TECNOLÓGICOS PEDAGÓGICOS E DE CONTEÚDO NA
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE GEOMETRIA ESPACIAL
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado
Acadêmico em Educação do Programa de Pós-
Graduação em Educação do Centro de
Educação da Universidade Estadual do Ceará,
como requisito parcial à obtenção do grau de
Mestre. Área de Concentração: Formação de
Professores.
Aprovada em: 25 de junho de 2020.
BANCA EXAMINADORA
Profa. Dra. Ivoneide Pinheiro de Lima (Orientadora)
Universidade Estadual do Ceará – PPGE/UECE
Profa. Dra. Maria José Araújo Souza
Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
Prof. Dr. Daniel Brandão Menezes
Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
Profa. Dra. Marcilia Chagas Barreto
Universidade Estadual do Ceará – PPGE/UECE
Dedico este trabalho aos meus filhos, Palloma,
Pablo e Sophie, por acreditarem em meu
potencial, incentivando-me durante toda a
trajetória acadêmica.
Aos meus pais, Manoel e Antonia, exemplos
de coragem, perseverança, honestidade e
humildade, por me ensinarem a lutar por meus
ideais.
Aos demais membros da família, irmãs,
irmãos, sobrinhas, sobrinhos, por torcerem por
mim e se fazerem presentes em minha vida.
AGRADECIMENTOS
A Deus, que em meio a tantos caminhos difíceis me fez enxergar os atalhos para chegar até
aqui, aliviando-me as dores e o cansaço, fazendo-me seguir adiante e sempre.
À minha querida orientadora, professora Dra. Ivoneide Pinheiro de Lima, pela confiança e por
aceitar me orientar, pelo tempo dedicado, pela sabedoria, compreensão, generosidade e pelos
prazerosos encontros durante essa caminhada, a quem serei eternamente grata.
À professora Dra. Marcilia Chagas Barreto pelas reflexões, ensinamentos e aprendizagens
proporcionados nas disciplinas cursadas. Por participar das bancas de qualificação e de
defesa, pelas significativas sugestões que muito contribuíram para melhoria desse trabalho.
Ao professor Dr. Daniel Brandão Menezes e à professora Dra. Maria José Araújo Souza pela
participação nas bancas de qualificação e de defesa, por compartilharem seus conhecimentos e
sugestões para o meu trabalho.
Aos professores Delta, Sigma e Ômega, por aceitarem participar desta pesquisa, colaborando
ativamente durante as etapas formativas, os quais foram essenciais para o desenvolvimento
desta pesquisa.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE) pela partilha de
reflexões e conhecimentos durante a realização das disciplinas; aos coordenadores e
funcionários pela gentileza e dedicação no desempenho de suas funções.
Aos amigos e amigas do grupo de pesquisa Matemática e Ensino (MAES) pelos estudos e
discussões que me propiciaram crescimento profissional.
Aos amigos e amigas da turma do Mestrado em Educação 2018, pela convivência repleta de
alegrias, angústias e aprendizagens.
Aos amigos e amigas Marcos Silvano, Leonardo Ferreira, Cleângela Sousa e Joselma Ferreira
pelas aprendizagens significativas, pelos momentos de estudos e de partilhas.
Às amigas Mariângela Mendonça e Adriana Mendonça pela amizade, parceria e motivação
durante essa jornada.
À Secretaria Estadual de Educação do Ceará (SEDUC) pela concessão do afastamento para a
realização dos estudos de mestrado.
À gestão da escola, lócus da pesquisa, pelo acolhimento e autorização para realização da
coleta dos dados.
A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para que este trabalho fosse
realizado.
Meus sinceros agradecimentos!
“Nem tudo o que se enfrenta pode ser
modificado, mas nada pode ser modificado até
que seja enfrentado”.
(Albert Einstein)
RESUMO
A formação docente deve contemplar integralmente o desenvolvimento de competências e de
habilidades inerentes à prática docente, embasadas em saberes e em fazeres voltados para o
efetivo exercício da sua práxis pedagógica. Assim, este trabalho tem como objetivo analisar
indícios do conhecimento de conteúdo, do conhecimento pedagógico de conteúdo, do
conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo na prática dos professores de
Matemática do Ensino Médio, a partir do processo formativo direcionado ao ensino de
Geometria Espacial. Os pressupostos teóricos da investigação fundamentam-se no
conhecimento do conteúdo e no conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman (1986,
1987) e no conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo – TPACK de Koehler e
Mishra (2005, 2009). A investigação caracteriza-se como pesquisa-ação de natureza
qualitativa, realizada em uma escola de Educação Básica da rede pública estadual, em
Fortaleza/CE, por meio de processo formativo com a participação de três professores de
Matemática do Ensino Médio. Foram realizados encontros que abordaram os conhecimentos
dos professores e o ensino da Geometria Espacial com os aportes dos recursos tecnológicos
(smartphones, tablets, software GeoGebra). Os instrumentos de coleta empregados na análise
foram: observação de aulas ministradas pelos professores, entrevistas, sessões formativas e
sessões reflexivas. A análise e a discussão dos dados utilizaram elementos da análise de
conteúdo na qual foi empregado o software de análise NVivo que permitiu os recortes, a
classificação e a categorização dos dados. Os resultados indicam que o conhecimento do
conteúdo, na atuação dos professores pesquisados, ainda aponta a tendência do ensino
caracterizado pela memorização de fórmulas e resolução de listas de exercícios, e há
evidências de que os docentes investigados possuem o conhecimento pedagógico do conteúdo
com proficiência de habilidades do domínio do “que ensinar”. Entretanto, em relação ao
domínio do “como ensinar”, aponta-se fragilidades nas metodologias de abordagem dos
conteúdos geométricos trabalhados. A etapa formativa realizada expõe, como resultados,
indícios de avanços na interseção dos conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e de
conteúdo, podendo-se inferir que houve a integração do TPACK durante a exploração dos
conteúdos de Geometria Espacial, concorrendo para ampliação de habilidades inerentes à
prática profissional dos professores; evidencia-se ainda que a formação continuada é uma
etapa formativa pouco vivenciada pelos docentes da área de Matemática e que os recursos
tecnológicos constituem uma importante ferramenta para auxiliar e implementar o ensino e a
aprendizagem. Por fim, acredita-se que as reflexões traçadas nessa etapa formativa tenham
contribuído para “o repensar” das práticas dos docentes participantes, como possibilidade de
ampliação do domínio dos conhecimentos dos professores de Matemática.
Palavras-chave: TPACK. Formação de professores. Geometria Espacial. GeoGebra.
ABSTRACT
Teaching education must fully involve the development of competencies and skills inherent in
teaching practice, based on knowledge and actions focusing on the effectiveness of its
pedagogical praxis. Therefore, this study aims to analyze evidence of content knowledge,
pedagogical content knowledge, technological pedagogical knowledge and content in the
practice of high school mathematics teachers in a formative process concerning the teaching
of Spatial Geometry. The theoretical framework of the investigation is based on the content
knowledge and on pedagogical content knowledge by Shulman (1986, 1987) and on
technological pedagogical knowledge and content knowledge – TPACK by Koehler and
Mishra (2005, 2009). This investigation is characterized as a qualitative action research which
was conducted in a public basic education school, held by state government, in Fortaleza /CE
by means of a training process with the participation of three high school mathematics
teachers. Meetings were carried out approaching teachers' knowledge and the teaching of
Spatial Geometry with the contributions of technological resources (smartphones, tablets,
GeoGebra software). Data collection instruments used in the analysis were observation of
classes taught by participanting teachers, interviews, training sessions and reflective sessions.
The analysis and discussion of the data adopted elements of the content analysis in which the
NVivo analysis software was used, allowing the data to be cut, classified and categorized. The
results indicate that the content knowledge, in the participanting teachers’ performance, still
points to the teaching trend characterized by memorization of formulas and solving exercise
lists. Also, there is evidence that the investigated teachers have the pedagogical content
knowledge with proficiency in the skills of the “what to teach” domain. However, in relation
to the “how to teach” domain, there are weaknesses in the methodologies for approaching the
geometric contents worked on. The formative stage carried out shows, as its results, evidence
of advances in the intersection of technological, pedagogical and content knowledge; thus, it
can be inferred that there was the integration of TPACK during the exploration of the contents
of Spatial Geometry, contributing to the expansion of skills inherent to the teachers'
professional practice. It is also evident that continuing education is a formative stage little
experienced by teachers in the area of Mathematics and that technological resources are an
important tool to help and implement teaching and learning. Finally, it is believed that the
reflections outlined in this formative stage have contributed to the “rethinking” of the
participating teachers’ practices, as a possibility of expanding the knowledge domain of
Mathematics teachers.
Key-words: TPACK. Teacher education. Spatial geometry. GeoGebra.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 –
Figura 2 –
Figura 3 –
Figura 4 –
Figura 5 –
Figura 6 –
Figura 7 –
Figura 8 –
Figura 9 –
Figura 10 –
Figura 11 –
Figura 12 –
Figura 13 –
Figura 14 –
Figura 15 –
Figura 16 –
Figura 17 –
Figura 18 –
Figura 19 –
Figura 20 –
Figura 21 –
Quadro 1 –
Quadro 2 –
Quadro 3 –
Quadro 4 –
Tabela 1 –
Tabela 2 –
O TPACK e os componentes do conhecimento .....................................
Interface inicial do GeoGebra 3D no smartphone ................................
Interface inicial da barra de Menu ........................................................
Sólido geométrico construído na tela do GeoGebra 3D .......................
Espiral da pesquisa-ação na perspectiva de Barbier (2002) ................
Corpus de análise: arquivos digitais .......................................................
Relatório de codificação das categorias teóricas, no NVivo .................
Diagrama da categoria de análise do conhecimento do conteúdo .......
Diagrama da categoria do conhecimento pedagógico do conteúdo .....
Material manipulável na aula inicial do professor Delta .....................
Aula inicial do professor Sigma ..............................................................
Polígonos da base da pirâmide ...............................................................
Diagrama da categoria de análise do conhecimento tecnológico e
integração ao TPACK .............................................................................
Poliedros de Platão ..................................................................................
Icosaedro (visão bidimensional e tridimensional) .................................
Área e volume do tetraedro no GeoGebra .............................................
Cubo no GeoGebra ..................................................................................
Prisma regular de base triangular .........................................................
Prismas Regulares ....................................................................................
Pirâmides de bases regulares ..................................................................
Elementos da Pirâmide: apótema da base, apótema lateral e altura ..
Ferramentas do GeoGebra 3D ................................................................
Cronograma das sessões formativas ......................................................
Categorias de análise da pesquisa ..........................................................
Perfil dos professores ...............................................................................
Nível de aprendizagem em relação aos níveis de proficiência no
SAEB .........................................................................................................
Habilidades de Geometria Espacial na escala de proficiência de
Matemática 3ª série do Ensino Médio ....................................................
42
69
69
72
82
96
97
106
112
121
122
123
125
130
131
132
133
134
135
137
137
70
94
98
102
53
54
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BDTD Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações
BNCC Base Nacional Comum Curricular
CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CNE Conselho Nacional de Educação
DCN Diretrizes Curriculares Nacionais
EM Ensino Médio
ENEM Exame Nacional do Ensino Médio
GPS Sistema de Posicionamento Global.
MAES Grupo de Pesquisa Matemática e Ensino
MMM Movimento da Matemática Moderna
IES Instituições de Ensino Superior
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
OCDE Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
PCK Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
PIBID Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
PISA Programme for International Student Assessment
PUCSP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
SAEB Sistema de Avaliação da Educação Básica
SEDUC Secretaria de Educação Básica
SPAECE Sistema Permanente de Avaliação da Educação Básica do Ceará
TCK Conhecimento Tecnológico de Conteúdo
TDIC Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação
TPACK Conhecimento Tecnológico e Pedagógico do Conteúdo
TPK Conhecimento Tecnológico Pedagógico
UECE Universidade Estadual do Ceará
UFC Universidade Federal do Ceará
UFF Universidade Federal Fluminense
UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UNESPAR Universidade Estadual do Paraná
SUMÁRIO
1
2
2.1
2.2
3
3.1
3.2
3.3
4
4.1
4.2
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.4.1
6.4.2
INTRODUÇÃO ...............................................................................................
CONHECIMENTOS DOS PROFESSORES ...............................................
Contexto e formação dos professores no Brasil ...........................................
O domínio dos conhecimentos pelos professores .........................................
O ENSINO DE GEOMETRIA ......................................................................
Contexto histórico da Geometria no Brasil ..................................................
Ensino de Geometria nas avaliações da Educação Básica ..........................
A Geometria Espacial .....................................................................................
RECURSOS TECNOLÓGICOS ...................................................................
Tecnologias digitais da informação e da comunicação (TDIC) ..................
O GeoGebra .....................................................................................................
METODOLOGIA ...........................................................................................
Abordagens da pesquisa .................................................................................
Pesquisa-ação como metodologia ..................................................................
Organização das etapas da pesquisa .............................................................
Instrumentos de coleta de dados ....................................................................
Cenário e sujeitos da pesquisa .......................................................................
Ação formativa ................................................................................................
Análise de conteúdo ........................................................................................
ANÁLISE DOS DADOS ................................................................................
Perfil dos professores pesquisados ................................................................
O conhecimento do conteúdo dos professores no ensino de Geometria
Espacial ............................................................................................................
O conhecimento pedagógico do conteúdo dos professores no ensino de
Geometria Espacial .........................................................................................
O conhecimento tecnológico dos professores e o TPACK no ensino de
Geometria Espacial .........................................................................................
O conhecimento tecnológico na prática dos professores antes do processo
formativo ...........................................................................................................
O conhecimento tecnológico a convergência ao TPACK no processo de
formação dos professores ..................................................................................
15
27
27
35
46
46
51
57
61
61
67
74
74
77
83
85
87
90
95
100
100
105
112
124
126
129
6.4.3
6.4.4
7
O conhecimento tecnológico e a convergência ao TPACK na aula prática dos
professores ........................................................................................................
Concepções dos professores pesquisados sobre os conhecimentos:
tecnológico, pedagógico e de conteúdo e a convergência ao TPACK, após a
formação dos professores de Matemática .........................................................
CONSIDERAÇÕES FINAIS .........................................................................
REFERÊNCIAS ..............................................................................................
APÊNDICE A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO .............................................................................................
APÊNDICE B – ROTEIRO DE ENTREVISTA DA PESQUISA DE
CAMPO ...........................................................................................................
APÊNDICE C – PLANEJAMENTO DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
NAS SESSÕES FORMATIVAS ....................................................................
APÊNDICE D – CONHECENDO O GEOGEBRA ....................................
APÊNDICE E – POLIEDROS DE PLATÃO ..............................................
APÊNDICE F – CONSTRUÇÃO DE UM CUBO .......................................
APÊNDICE G – CONSTRUÇÃO DE UM PARALELEPÍPEDO .............
APÊNDICE H – CONSTRUÇÃO DE PRISMA REGULAR CUJA
BASE É UM POLÍGONO DE 3 LADOS .....................................................
APÊNDICE I – CONSTRUÇÃO DE UMA PIRÂMIDE CUJA BASE É
UM POLÍGONO REGULAR ........................................................................
ANEXO A – REGISTROS DA ETAPA FORMATIVA COM OS
PROFESSORES PESQUISADOS ................................................................
140
146
154
161
168
170
172
177
179
181
183
184
188
192
15
1 INTRODUÇÃO
“Não são mais as situações estáveis e as
permanências que nos interessam antes de
tudo, mas as evoluções, as crises e as
instabilidades. Já não queremos estudar apenas
o que permanece, mas também o que se
transforma”.
(PRIGOGINE; STENGERS, 1984).
A formação de professores com excelência é primordial para a obtenção de uma
educação de qualidade, a qual não deve se limitar às assimilações de conteúdos teóricos
advindas da formação inicial, mas deve ser prosseguida com o aperfeiçoamento e a expansão
de diferentes conhecimentos, na mudança de concepções, crenças, valores e práticas. Implica
dizer que os processos formativos ocorrem durante e após a conclusão da graduação e se
estendem ao longo da vida profissional. (MIZUKAMI, 2013).
Para Therrien (2012, p. 110), o trabalho docente é um ato predominantemente
pragmático, cujas intervenções educativas devem ser moldadas “pela dinâmica da relação
dialética do saber e do fazer, ou seja, da teoria e da prática”, encontrando suportes nos
diversos campos do conhecimento. Sob esse aspecto, compreende-se que os processos de
formação inicial e continuada são responsáveis pela produção e mobilização de
conhecimentos que subsidiam as práticas docentes.
No tocante à formação de professores da Educação Básica, particularmente em
Matemática, as discussões acadêmicas continuam recorrentes e suscitam questões em relação
a lacunas provenientes da formação inicial, dentre as quais são mencionadas: distanciamento
entre teoria e prática, predominância do ensino tradicional, restrição e lacunas nos
conhecimentos dos professores e uso reduzido das tecnologias da informação e da
comunicação direcionadas ao contexto educacional. Como consequência, os futuros
professores concluem seus cursos com o domínio conceitual em Matemática, mas possuem
dificuldades de promover a inter-relação entre os conceitos matemáticos com outras áreas do
conhecimento como a pedagogia, sociologia, filosofia, psicologia, tecnologia e dentre outras.
Frente a essa realidade, considera-se que a formação continuada não deve ser vista
somente como elemento necessário para suprir lacunas de uma formação inicial deficiente.
Ela é uma atualização sempre necessária, um processo de aprendizagem que deve propiciar
aos professores oportunidades de estudo de teorias de ensino, de metodologias e de utilização
de recursos tecnológicos para ampliação dos seus conhecimentos, bem como clarificar suas
16
práxis, permitindo refletirem sobre alternativas que possam minimizar os obstáculos e
desafios vivenciados em seus cenários de atuação – as salas de aula.
Imbernón (2010) salienta que o sistema educacional brasileiro, constantemente,
passa por reformas. Diante disso, os processos de formação continuada são uma maneira dos
professores de Matemática se manterem alinhados a essas mudanças. A formação continuada
é um meio dos professores tomarem conhecimento das transformações. Com isso, os docentes
devem filtrar e compreender o que pode ser considerado ou descartado, e se tornarem
profissionais cada vez mais criativos, reflexivos e críticos. Compreende-se ainda que o
exercício da docência é um processo difícil e que necessita de uma série de conhecimentos
plurais e diversificados, que vai além do conhecimento da disciplina que ensina.
No que concerne à formação dos professores e aos conhecimentos desses
profissionais, é possível encontrar diversos autores e trabalhos que raiaram na década de
1980, com contribuições extremamente pertinentes. Almeida et al. (2019) aponta que, a partir
dessa década, os estudos sobre a tendência dos “conhecimentos” sinalizam a existência de
duas linhas teóricas sobre os conhecimentos profissionais: uma ligada a Shulman (1986,
19871) e colaboradores, com estudos direcionados aos componentes dos conhecimentos que
estão na base da docência; a outra sob a influência de Donald Schön (1987) com abordagens
para um modelo de professor prático reflexivo. Nesta investigação, este estudo tem seu
interesse direcionado ao domínio dos conhecimentos necessários à prática pedagógica dos
professores de Matemática, provenientes da formação acadêmica bem como àqueles
adquiridos nos processos de formação continuada, visualizando-se a aproximação desses
conhecimentos com a linha teórica de Shulman.
Na concepção de Shulman (1986), a formação docente deve envolver um conjunto
de conhecimentos que, ao serem adquiridos e combinados a outros, passam a compor uma
base de conhecimentos para a docência, a qual envolve: o domínio do conteúdo da disciplina
que ensina; diferentes maneiras de representar o ensino; o conhecimento do currículo e de
materiais instrucionais relacionados à matéria que ensina. Esses conhecimentos, quando
articulados à vivência prática do professor, colaboram para o processo de composição da
identidade docente, além de favorecer a aprendizagem do educando. Ao aprofundar as
discussões sobre a complexidade da compreensão e da transmissão do conhecimento pelos
1 O texto de Shulman (1987) foi traduzido para o português e publicado pela revista Cadernos Cenpec em 2014,
intitulado “Conhecimento e ensino: fundamentos para a nova reforma”. Desse modo, neste trabalho, as
referencias à Shulman (1987) serão referenciadas por Shulman (2014).
17
professores, Shulman (1986) discute a base de conhecimento para o ensino a partir de três
categorias de conhecimentos profissionais, a saber:
O conhecimento de conteúdo, que é a organização do conhecimento na
estrutura cognitiva do professor. Para o autor, o professor precisa ir além do
conhecimento de conceitos e fatos, é preciso interpretar os processos. Ele
precisa compreender e discutir a maneira como o conteúdo é organizado dentro
da disciplina, saber como as verdades são estabelecidas e reconhecer os
eventuais erros.
O conhecimento pedagógico do conteúdo tipificando o conhecimento da
matéria para o ensino, ou seja, a forma como um conteúdo pode ser
representado, por exemplo, analogias, explicações, ilustrações, demonstrações
e estratégias para facilitar o entendimento e a compreensão dos estudantes.
Esse conhecimento é proveniente de estudos, de pesquisas e da vivência prática
exclusiva de cada professor.
O conhecimento curricular caracterizando o modo de apresentação dos
programas de ensino das disciplinas, sua organização de acordo com os níveis
de ensino, bem como os materiais instrucionais que o professor utiliza para
representar cada conteúdo.
As pesquisas de Shulman (1986, 2014) sobre a formação de professores e o
domínio dos conhecimentos dos professores abriram caminho para novos debates e
discussões. A partir de então, diferentes autores têm desenvolvido suas pesquisas com foco
nessa temática. Dentre eles, podemos citar, por exemplo: Curi (2005; 2011), Libâneo (2013) e
Koehler e Mishra (2005; 2009) que declaram que os conhecimentos docentes apresentam
diversas características e vertentes.
Curi (2005; 2011) enfatiza que os professores que ensinam Matemática
necessitam se apropriarem de um conjunto de conhecimentos como: os conhecimentos
específicos da disciplina que ensina; o tratamento pedagógico adequado ao conteúdo e a série
que ensina; os processos de aprendizagem dos alunos; os obstáculos epistemológicos e
didáticos do conteúdo para o ensino; além da articulação entre a teoria e a prática que deverá
manter um paralelo entre os conhecimentos adquiridos pela formação acadêmica e a
abordagem desses conteúdos na prática de sala de aula.
Libâneo (2013) aponta a relevância da articulação entre o conhecimento
pedagógico e o conhecimento da disciplina, ressaltando a importância da interação entre a
didática, a epistemologia e as metodologias de ensino das disciplinas. Para o autor, a docência
18
requer o domínio de conhecimentos que estão relacionados a outros conjuntos de
conhecimentos como: o conhecimento das ciências humanas e naturais, o conhecimento
pedagógico, o conhecimento proveniente da prática educacional e o conhecimento de
conteúdos relativos à cultura geral do homem.
Koehler e Mishra (2005, 2009), ao discutirem a base do domínio do conhecimento
para o ensino, apresentada por Shulman (1986), partilham e contribuem com a ideia do autor,
promovem um novo debate sobre a categoria do conhecimento pedagógico do conteúdo,
estendendo a essa categoria o domínio de outro conhecimento: o conhecimento tecnológico.
Os autores passam a explorar abordagens pedagógicas que unem conteúdo, pedagogia e
tecnologia, originando o conhecimento tecnológico e pedagógico do conteúdo (TPACK), que
consiste no conhecimento necessário para o professor transformar a matéria que ensina em
conhecimentos, por meio de conceitos, de representações, de técnicas pedagógicas e de uso da
tecnologia com objetivos pedagógicos definidos.
Partindo dessas reflexões sobre a multiplicidade de conhecimentos que compõem
a formação docente, pode-se observar que todas essas pesquisas (CURI, 2005; 2011;
LIBÂNEO, 2013; KOEHLER e MISHRA, 2005; 2009), apesar de diferentes enfoques,
trazem aproximações com os pressupostos da base de conhecimento para o ensino, proposta
por Shulman (1986, 2014).
Sendo assim, esta pesquisa de mestrado concentrou o seu interesse nos
conhecimentos profissionais dos professores de Matemática, apoiando-se nos estudos de
Shulman (1986, 2014) e em Koehler e Mishra (2005; 2009), visualizando-se neles o
embasamento teórico para a condução de todo trabalho. Quanto aos conhecimentos
abordados, este trabalho limitou seu foco no conhecimento do conteúdo e no conhecimento
pedagógico do conteúdo, discutidos por Shulman (1986, 2014), assim como no conhecimento
tecnológico e pedagógico do conteúdo (TPACK), de Koehler e Mishra (2005; 2009).
Com relação ao conhecimento curricular, discutido por Shulman (1986, 2014),
esta investigação optou por não abordar esse aspecto, pois carece de discussão mais ampla
sobre programas de ensino, cursos, currículos e outros elementos circunscritos pelo domínio
desse conhecimento.
Quanto ao domínio do conhecimento tecnológico, salienta-se que as
transformações científicas e tecnológicas, nos últimos anos, ocorreram de forma acelerada,
percebendo-se a difusão do uso das tecnologias como fator de mudanças em quase todos os
campos da atividade humana. Contudo, no âmbito educacional, as estratégias para promover a
integração da tecnologia nas práticas escolares vêm acontecendo de modo lento. Palis (2014,
19
p. 155) atesta que a falta de conhecimento tecnológico e “materiais curriculares adequados
não encorajam os professores a incorporar tecnologia em suas aulas.”. Quando os recursos
tecnológicos são utilizados em sala de aula, a participação do estudante, em geral, ocorre de
maneira passiva.
Diante dessas ponderações, essa pesquisa propõe discutir os conhecimentos: do
conteúdo, tecnológico e pedagógico de modo que interajam e apresentem interseções entre si,
na perspectiva do conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo, especificamente em
Geometria Espacial, em uma etapa formativa com professores de Matemática. Esse processo é
desenvolvido com ênfase em reflexões sobre o conteúdo específico da disciplina, as ideias, os
processos pedagógicos e o uso de tecnologias, visando à construção e à mobilização dos
conhecimentos profissionais dos professores envolvidos.
No que se refere ao ensino da Geometria nas escolas, Cunha e Lima (2011)
revelam que, apesar de a Geometria ter sido utilizada, ao longo da história, para solucionar
problemas cotidianos, o seu ensino, durante décadas, foi preterido em relação à Aritmética e à
Álgebra. Sobre a ausência do ensino de Geometria nas escolas brasileiras, Gomes (2007)
aponta como marco histórico a associação entre as propostas do Movimento da Matemática
Moderna e a Lei das Diretrizes de Bases da Educação, na década de 1970, que propunham a
algebrização dos conteúdos e a formação aligeirada dos docentes, provocando lacunas no
domínio dos conteúdos geométricos por professores e alunos, que se estendem aos dias atuais.
Nessa perspectiva, Cunha e Lima (2011) mencionam que a abordagem dos
conteúdos de Geometria tem sido realizada de forma imprópria e imprecisa. Fainguelernt e
Nunes (2012) também comentam que o contato dos estudantes com a Geometria, assim como
em outras disciplinas, se dá de maneira distante do contexto real deles, não sendo interligada a
outras áreas de conhecimento, nem mesmo a assuntos afins, como Aritmética, Análise e
Álgebra.
Scheffer (2010) acentua que há limitação pedagógica dos professores na
abordagem dos conteúdos geométricos em sala de aula, cujos problemas abrangem tanto a
forma de apresentação nos livros didáticos quanto à abordagem do conteúdo. A exigência em
cumprir o plano de ensino e o amontoado de conteúdos básicos obrigatórios para cada
série/escolaridade contribuem para que a Geometria seja ministrada de modo superficial,
focando apenas na memorização de fórmulas e de regras, sem propiciar reflexões ou
oportunidades de descobertas e sem exploração clara das propriedades.
Em relação à prática dos professores que ministram o conteúdo de Geometria,
pesquisadores como Bairral (2005) e Nadalon (2018) apontam que o seu ensino tem sido
20
marcado por técnicas ultrapassadas, deficientes e superficiais, destacando a necessidade de
um trabalho de formação docente integradora para atuar com a Geometria, bem como a
relevância de apropriar-se de novos conhecimentos – recursos tecnológicos e outros, que
contribuam para o desenvolvimento profissional do professor nos processos de formação e
ensino.
Diante de tais reflexões, compreende-se que o domínio conceitual do conteúdo
científico e específico, apesar de ser fundamental para o bom desenvolvimento da ação
docente do professor de Matemática em sala de aula, apresenta indicativos que vêm sendo
trabalhados de forma inadequada. Entende-se, ainda, que é necessária a mobilização de
diferentes conhecimentos que subsidiem as práticas de ensino, em que os professores não se
limitem ao ato de transmitir conhecimento, mas que estes estejam preparados para propor
atividades provocativas em que os alunos sejam capazes de elaborar seus conhecimentos,
desenvolvendo suas próprias aprendizagens.
Reforça-se a necessidade de que o professor possua formação adequada para o
desenvolvimento de uma prática de ensino composta por situações de aprendizagem, em que
o aluno seja ativo no processo de construção do conhecimento. Do mesmo modo, deve haver
questionamentos estruturados com a finalidade de envolver todos os participantes, produzindo
significado para o aluno.
A autora desta pesquisa, em sua trajetória profissional docente, atuou como
professora2 de Matemática em diversas turmas do Ensino Médio (EM) na Educação Básica na
rede pública de ensino. E no período compreendido entre os anos de 2010 a 2017, em que
ministrou aulas de Geometria espacial para turmas do 2º ano do Ensino Médio, vivenciou, em
sua prática de sala de aula situações em que se priorizava a transmissão do conteúdo
programático de forma direta e aligeirada, tendo em vista a carga horária da disciplina ser
insuficiente para cumprir a extensa quantidade de conteúdos para cada disciplina/série.
Muitos desses conteúdos foram ministrados de forma completamente expositiva,
por meio da memorização de fórmulas e regras, acompanhadas por listas de exercícios,
exigindo do estudante apenas a repetição de procedimentos por meio da substituição de dados
do problema e do desenvolvimento dos cálculos. Diante desse modelo de ensino, os
resultados obtidos pela sua prática a cada final de ano letivo era o alto índice de reprovação
2 A pesquisadora é professora de Matemática da Secretaria de Educação Básica do Ceará (SEDUC) e iniciou sua
carreira docente por meio de ingresso em concurso público para professor efetivo no ano de 1998, perfazendo
uma trajetória de 21 anos de atividade profissional em diversas escolas públicas no Estado do Ceará, dentre elas,
a EEM Gov. Adauto Bezerra, na qual lecionou no período de 2007 a 2018.
21
dos alunos na disciplina que lecionava e baixos níveis de desempenho destes, em avaliações
externas realizadas pelas Secretarias de Educação.
O conteúdo de Geometria era sempre ministrado às pressas, de maneira mecânica,
com uso de fórmulas, sem incentivo a descobertas e construções, sem emprego de materiais
concretos ou uso de recursos tecnológicos. Fainguelernt e Nunes (2012, p. 11) afirmam que
esses modelos de ensino, respaldados na “transmissão oral de conhecimentos, com ênfase na
memorização, assim como as práticas que abdicam do professor o seu papel de desafiar e
intervir no processo de apropriação de conhecimentos por parte dos alunos, são – além de
infrutíferos – extremamente inadequados.”.
A partir da experiência com o ensino de Geometria Espacial, a pesquisadora
constatava que os alunos apresentavam muitas dificuldades nessa área de conhecimento e
frequentemente afirmavam que a Geometria Espacial era o conteúdo mais difícil da
Matemática. Os objetos espaciais eram sempre apresentados em uma visão estática no plano
bidimensional do livro didático ou da lousa. Os alunos não eram estimulados a construir os
sólidos e/ou planificá-los, pois a demanda curricular não disponibilizava tempo suficiente
para essas análises e manipulações.
Essas observações desencadearam uma série de inquietações e o interesse no
aprofundamento dos conhecimentos inerentes ao ensino dos conteúdos de Geometria
Espacial, os quais serão discutidos nesta dissertação. Quanto ao papel do professor e o seu
cenário de atuação, Fainguelernt e Nunes (2012) observam a necessidade de este profissional
ter formação sólida que possibilite situações de ensino que estejam associadas ao diálogo, à
participação mais ativa do aluno, permitindo que o estudante possa interagir, pensar, criar e
dar suas contribuições, não somente reproduzindo o conteúdo memorizado.
Partindo-se dessa reflexão, a pesquisadora percebeu que a sua formação inicial
não foi suficiente para prepará-la para toda essa complexidade que envolve o ato de ensinar,
bem como a experiência prática com a docência também não foi capaz de minimizar as
lacunas oriundas do ensino da disciplina em sala de aula.
No que diz respeito ao domínio dos conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e
de conteúdo (KOEHLER; MISHRA, 2005; 2009) necessários à sua prática de ensino na
educação básica, a pesquisa julga que os conhecimentos adquiridos na formação inicial não
foram suficientes para subsidiarem a sua prática docente. Desse modo, ao longo de sua
trajetória profissional, a mesma teve que se dedicar a adquiri-los por meio de cursos de
formação continuada ou, até mesmo, buscar aprendê-los por conta própria. Em relação ao
entendimento das teorias educacionais, esta percebia uma grande lacuna nesse campo do
22
conhecimento, podendo afirmar que sua prática efetiva de sala de aula não era embasada por
reflexões teóricas que a direcionassem às questões pedagógicas pertinentes ao ensino e à
aprendizagem dos seus alunos.
No período de abril de 2014 a fevereiro de 2018, a pesquisadora participou do
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência - PIBID3, da Universidade Estadual
do Ceará (UECE), como professora supervisora de alunos da licenciatura de Matemática junto
à escola que lecionava, durante quatro anos. A atividade de supervisionar alunos da
Graduação em seu primeiro contato com o contexto escolar da Educação Básica motivou a
pesquisadora a refletir sobre a sua prática traçada em sala de aula, despertando o interesse em
conseguir melhorias que reverberassem no ensino e na aprendizagem de seus alunos.
A participação no PIBID possibilitou a reaproximação da pesquisadora com a
universidade e a motivou para prosseguir na caminhada acadêmica. Os momentos formativos,
oferecidos pelos coordenadores do Programa, proporcionaram o crescimento do repertório de
conhecimentos necessários à sua prática docente, além de terem oportunizado o contato com
outros professores supervisores, culminando em trocas de experiências, de metodologias
diferenciadas e na realização de oficinas pedagógicas entre licenciandos, professores e alunos
com recursos didáticos diversificados.
Em 2016, a pesquisadora participou de um curso oferecido pela Universidade
Estadual do Paraná (UNESPAR), na modalidade a distância, intitulado Curso de GeoGebra,
direcionado a capacitar professores para o ensino de conteúdos matemáticos com o uso do
software GeoGebra, objetivando incorporar os recursos tecnológicos na prática docente. A
partir desse curso, foi possível conhecer as ferramentas disponibilizadas pelo software e a sua
aplicabilidade, que abrange conteúdos da Geometria e da Álgebra.
Durante a realização do curso, a pesquisadora percebeu que o curso era voltado
para ser executado em computadores de mesa (desktop) e esbarrava-se na dificuldade das
escolas não possuírem laboratórios de informática com computadores disponíveis em número
suficiente para sua implementação. Contudo, em 2018, a pesquisadora tomou conhecimento
de pesquisas que faziam uso do software GeoGebra em dispositivos móveis, visualizando,
assim, a oportunidade de viabilizar a utilização deste recurso em sala de aula. Em face disso,
começou a apropriar-se desses estudos, projetando uma maneira de aplicação no contexto
3 O PIBID é um programa financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), que oferece bolsa para estudantes de cursos de licenciatura que são acompanhados e orientados por
professores coordenadores da instituição de ensino superior (IES) e professores supervisores de escolas da
Educação Básica.
23
escolar, haja vista que a versão do software para dispositivo móvel é diferente da versão para
desktops.
Consoante relato, a disposição para este estudo foi surgindo por observações e
descobertas traçadas no percurso profissional da pesquisadora. O seu ingresso no Mestrado
Acadêmico em Educação e no Grupo de Pesquisa Matemática e Ensino (MAES), vinculado
ao curso de Mestrado Acadêmico em Educação da UECE, permitiram o aprofundamento de
estudos sobre as teorias educacionais e reflexões sobre a formação de professores que
ensinam Matemática, contribuindo para realização de estudos e pesquisas sobre a temática
investigada e a construção do referencial teórico desta investigação.
Em relação à relevância científica deste estudo, buscou-se realizar o Estado da
Questão4, procurando analisar o que já existe de pesquisas realizadas em dissertações e teses
que versam sobre os conhecimentos dos professores, a formação de professores, o ensino de
Geometria Espacial e o uso do software GeoGebra desenvolvidas no período de 2000 a 2019,
no Catálogo de Teses e Dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES) e na Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD).
Considera-se que o período de duas décadas traduz resultados consistentes e
relevantes no cenário das pesquisas educacionais, de modo que se delimitou esse recorte
temporal. Para realização das buscas utilizou-se os descritores: geometria espacial,
conhecimentos, formação de professores e geogebra no campo de assuntos.
No site da BDTD e da CAPES não se localizou nenhum trabalho que
contemplasse simultaneamente os quatro enfoques pesquisados. Insistindo em buscar outras
possibilidades de pesquisas, combinou-se os descritores de dois em dois, nos seguintes
moldes: “geometria espacial, conhecimentos”; “geogebra, conhecimentos”; “formação de
professores, geometria espacial” e, também, não foi encontrado nenhum trabalho com essas
temáticas.
Ao inserir “geometria espacial, geogebra”, foram encontradas sete dissertações,
bem como, ao buscar por “geogebra, formação de professores”, três dissertações apareceram.
Observou-se que todas essas pesquisas foram desenvolvidas em cursos de Mestrados
Profissionais, não sendo encontrada nenhuma tese. Esse dado trouxe indícios de que o uso do
software GeoGebra, associado aos descritores supracitados , é pouco explorado nas pesquisas
de cursos de mestrado e doutorado acadêmico, tornando-se relevante à presente investigação
4 A finalidade do Estado da Questão é a de levar o pesquisador a registrar, com suporte em um rigoroso
levantamento bibliográfico, como se encontra o tema ou o objeto de sua investigação no estado atual da ciência
ao seu alcance (NÓBREGA-THERRIEN; THERRIEN, 2010, p. 34).
24
da temática, no curso de Mestrado Acadêmico em Educação.
A partir das buscas para construção do Estado da Questão e da ausência de
estudos acadêmicos sobre a temática acima mencionada, percebeu-se a carência de pesquisas
direcionadas a investigar e a colaborar com os conhecimentos dos professores que ensinam
Matemática e que já concluíram a formação inicial. A vivência desses profissionais em sala de
aula retrata, de forma confiável, as dificuldades no ensino e na aprendizagem dos alunos e
sinaliza a necessidade da inserção dos recursos tecnológicos na sua prática de ensino, em
especial, na abordagem do conteúdo de Geometria Espacial no EM. Essas lacunas precisam
ser preenchidas por meio de novas investigações.
Diante desse cenário, este trabalho direcionou-se aos conhecimentos dos
professores, na tentativa de refletir sobre a formação e prática de ensino dos docentes de
Matemática, objetivando contribuir para ação docente da disciplina que ministram.
Assim sendo, esse estudo busca responder a seguinte questão: Como os
professores de Matemática do Ensino Médio constroem e mobilizam o conhecimento do
conteúdo, o conhecimento pedagógico e o conhecimento tecnológico em suas atividades
práticas relacionadas ao ensino de Geometria Espacial?
Logo, para elucidação da problemática relatada e da questão de pesquisa,
formulou-se o objetivo geral: analisar indícios do conhecimento de conteúdo, do
conhecimento pedagógico de conteúdo, do conhecimento tecnológico pedagógico e de
conteúdo na prática dos professores de Matemática do Ensino Médio a partir do
processo formativo direcionado ao ensino de Geometria Espacial.
A partir da definição do objetivo geral, foram traçados os objetivos específicos:
Compreender como os professores de Matemática do Ensino Médio
manifestam seu conhecimento do conteúdo no ensino de Geometria Espacial.
Identificar evidências do domínio do conhecimento pedagógico do conteúdo
pelos professores de Matemática do Ensino Médio, associadas ao ensino de
Geometria Espacial.
Verificar indícios da apropriação do conhecimento tecnológico pedagógico e
de conteúdo – TPACK pelos professores de Matemática do Ensino Médio, em
formação continuada.
Nesse caminho, este trabalho de dissertação faz considerações sobre os
conhecimentos: conhecimento do conteúdo, conhecimento pedagógico do conteúdo,
conhecimento tecnológico e as interações com o TPACK na formação continuada dos
professores de Matemática, focalizando os conteúdos de poliedros, prismas e pirâmides com o
25
auxilio do software GeoGebra a partir do uso de recursos tecnológicos móveis (smartphones,
iphones ou tablets).
Para efetivação da pesquisa, desenvolveu-se um processo formativo com três
professores de Matemática da Educação Básica na escola de EM Governador Adauto
Bezerra5, que faz parte da rede pública estadual de ensino, localizada no bairro de Fátima, em
Fortaleza – Ceará. A caracterização dos professores e o lócus da pesquisa de campo
encontram-se explicitados no capítulo da metodologia.
A pesquisa seguiu a abordagem qualitativa com foco nos princípios da pesquisa-
ação que se apresenta como uma perspectiva epistemológica de transformação da prática
docente dos participantes do processo de pesquisa. Além da intervenção do pesquisador, é
permitido aos pesquisados expressarem sua percepção sobre a realidade em que estão
inseridos.
Visualiza-se a ação formativa proposta neste trabalho como ação-pesquisa
definida por Barbier (2002), observando-se as recomendações em percorrer as quatro
temáticas propostas pelo autor: a identificação do problema e a contratualização; o
planejamento e a realização em espiral; as técnicas da pesquisa-ação; a teorização, a avaliação
e a publicação dos resultados.
A organização do trabalho é composta por sete capítulos. O primeiro deles, a
introdução, expõe o que foi abordado em todo o trabalho dissertativo, apresentando os
descritores que envolvem a pesquisa: os conhecimentos dos professores, a formação
continuada dos professores de Matemática, a Geometria Espacial e o software GeoGebra.
Descreve-se, ainda, a justificativa, a motivação, os objetivos, a relevância e metodologia
utilizada para realização da investigação.
O segundo capítulo aborda os conhecimentos dos professores e apresenta uma
síntese sobre o contexto histórico da formação continuada de professores no Brasil, seguido
de reflexões sobre a temática dos conhecimentos docentes, imprescindível para o exercício
profissional do professor. A fundamentação teórica para essas discussões se apoia nas
contribuições Fiorentini (2003), Imbernón (2010), Nacarato (2011), Koehler e Mishra (2005,
2009), Shulman (1986, 2014), além de outros pesquisadores.
O terceiro capítulo traz uma reflexão sobre o ensino de Geometria. Apresenta as
habilidades a serem adquiridas pelos alunos, em Geometria Espacial, e os resultados de
avaliações nacionais e internacionais, nos níveis fundamental e médio; o contexto histórico da
5 A divulgação do nome da unidade de ensino foi autorizada pelo seu diretor geral.
26
Geometria no Brasil desde o século XVIII até as duas primeiras décadas do século XXI;
discorre-se sobre a abordagem do ensino de Geometria Espacial nas salas de aulas, no cenário
atual. As discussões referenciam-se em autores como Fainguelernt e Nunes (2012), Gomes
(2007), Lorenzato (2015), Nacarato (2005), Valente (2008), além de outros pesquisadores.
O quarto capítulo deslinda sobre os recursos tecnológicos. Explana a utilização
das tecnologias digitais móveis na sala de aula para o desenvolvimento de competências e de
habilidades de professores e alunos; apresenta o software GeoGebra com o intuito de
contribuir para o ensino de Geometria Espacial e para melhoria da prática pedagógica dos
professores. As discussões referenciam-se em autores como Silva e Bairral (2019),
Fainguelernt e Nunes (2012), Koehler e Mishra (2005, 2009), dentre outros.
O quinto capítulo descreve os procedimentos e técnicas de coleta de dados
trilhados no processo de investigação científica da pesquisa de campo. Expõe a escolha do
paradigma de pesquisa e o tipo de estudo, esclarece os critérios observados na escolha do
lócus da pesquisa e dos sujeitos participantes da investigação, os métodos e os instrumentos
de coleta que servem de subsídios para análise de dados, resultados e conclusões desta
pesquisa.
O sexto capítulo apresenta a análise dos dados e discute os resultados obtidos no
campo da pesquisa desenvolvida com os professores, os quais estão estruturados em quatro
seções traçadas, visando contemplar os objetivos específicos da pesquisa.
O sétimo capítulo comunica as considerações finais, a retomada a elementos já
apresentados como a questão de pesquisa, as reflexões sobre os pontos essenciais deste
trabalho, suas possíveis contribuições, seguido das referências, apêndices e anexos.
27
2 CONHECIMENTOS DOS PROFESSORES
“O professor não deve apenas ser capaz de
definir para os estudantes as verdades aceitas
em um conteúdo. Eles também precisam ser
capazes de explicitar porque uma dada
proposição pode ser justificada, porque vale a
pena ser conhecida, como se relaciona com
outras proposições, dentro e fora da disciplina,
tanto na teoria quanto na prática.”
(SHULMAN, 1986).
As pesquisas educacionais desenvolvidas no final do século XX e início do século
XXI, por diversos pesquisadores (CURI, 2011; KOEHLER e MISHRA, 2005, 2009;
SHULMAN, 1986, 2014), demonstram uma crescente preocupação com a produção de um
conjunto de conhecimentos a serem desenvolvidos durante os processos formativos de
professores nas instituições de ensino.
No tocante à formação continuada dos docentes, a literatura acadêmica tem
mostrado que esta vem sendo cada vez mais discutida na área educacional brasileira
(FIORENTINI, 2003; IMBERNÓN, 2010; NACARATO, 2011). Entretanto, apesar dos
avanços em estudos, pesquisas e programas de formação de professores nas últimas quatro
décadas, essa formação continuada ainda é considerada como uma prática muito recente e, na
maioria das vezes, não atende às reais necessidades dos professores.
Nessa perspectiva, este capítulo apresenta duas sessões: a primeira aborda o
contexto histórico da formação continuada de professores no Brasil, seguida de reflexões
sobre a temática dos conhecimentos profissionais que o professor, em sua prática de ensino,
deve dominar para transformar a matéria que ensina em conhecimentos que produzam
significados para seus aprendizes.
2.1 Contexto e formação dos professores no Brasil
A formação de professores deve ser compreendida como uma atividade processual
e constante na constituição da identidade profissional do sujeito, tendo como eixo central do
processo a “experiencialidade” e o conhecimento formal como constituintes de um mesmo
movimento, sem dissociá-los. (GUÉRIOS, 2005). Para isso, faz-se necessário compreender o
que dizem as pesquisas acadêmicas sobre o percurso formativo dos professores brasileiros no
final do século XX e nas primeiras décadas do século XXI.
28
Ao discorrer sobre o processo formativo da identidade docente, é possível afirmar
que os conhecimentos dos professores são construídos ao longo do tempo. De acordo com
Curi (2011), os processos formativos se iniciam antes mesmo da escolha da profissão, visto
que a aprendizagem também se dá através do processo de observação das situações
vivenciadas nas escolas que constituem as primeiras práticas formativas desse profissional,
antes mesmo desse sujeito entrar em um curso de Graduação. Para a autora, quando o
indivíduo adentra nos primeiros anos da escolaridade básica já começa a incorporar e a
reproduzir as ações de seus professores. Essas ações, sejam boas ou ruins, na maioria das
vezes, são reproduzidas por toda a vida.
Mizukami (2013) corrobora com esse pensamento quando ressalta que o processo
de ensino e de aprendizagem, bem como a constituição de competências e habilidades, se dá
antes mesmo da Graduação e se prolongam por toda a vida, reafirmando que a escola e outros
espaços compõem e ampliam a formação desse profissional. Os processos formativos que
ocorrem após a conclusão da graduação e durante a etapa de efetivo exercício da docência
implicam em mudanças de atitudes, valores, no desenvolvimento de habilidades e melhorias
de práticas pedagógicas essenciais para o exercício da profissão.
Therrien (2006, p. 3) observa que a prática cotidiana dos professores traz marcas
da sua formação. Para o autor, muitos professores formadores costumam conduzir “os
processos formativos com o predomínio da racionalidade da ciência normativa e instrumental,
alheios ao olhar pedagógico dos processos de ensino-aprendizagem”, não havendo conexões
entre “o que se ensina” e a formação pessoal para o “ato de educar”. Esse modelo de ensino
tende a reverberar na prática profissional dos licenciandos que replicam as práticas exercidas
por seus formadores.
Imbernón (2010) pondera como necessário analisar os erros e acertos ocorridos
nos processos formativos, atentando para aquilo que ainda é possível conhecer, avançar e
melhorar. Neste sentido, o autor reflete sobre diversos modelos e características da formação
docente no âmbito nacional, fazendo uma cronologia das etapas formativas desenvolvidas em
quatro períodos distintos que se caracterizam por: (i) o início; (ii) o auge da técnica na
formação e a resistência prática e crítica; (iii) a introdução das mudanças e (iv) a busca por
novas alternativas. Os elementos centrais de cada um desses períodos apresentam as seguintes
características:
i) A década de 1970 foi marcada pelo início dos estudos sobre formação de
professores na maioria dos países da América Latina, sendo marcada pelo
29
individualismo na vida formativa, na qual os docentes buscavam atividades de
formação que lhes pudessem trazer algum aprendizado;
ii) Os anos de 1980 foram marcados pela oferta de programas de formação
continuada para professores por instituições formativas, tendo a grande maioria
um caráter meramente instrucional, com o emprego de técnicas de
treinamentos e práticas desenvolvidas através de demonstrações dos
especialistas e observação passiva dos professores. Corroborando com o
pensamento de Imbernón (2013), Ferreira (2003) observa que, nesse período,
as pesquisas em formação de professores de matemática tinham como principal
preocupação a promoção de cursos e de programas que fossem úteis para serem
replicados em sala de aula, em que pouco se refletia sobre questões pertinentes
ao ensino de matemática. Nessa abordagem, as formações tiveram início por
meio de treinamentos, reciclagens, capacitações, reproduzindo nada mais e
nada menos que um processo de adestramento profissional.
iii) Na década de 1990, foram introduzidas pequenas mudanças oriundas de
transformações nos campos políticos e sociais. Algumas delas adotadas como
“modismos” e outras assumidas pelos professores como um “artifício
pedagógico inovador”. Nacarato (2011) observa que essa década foi marcada
pela racionalidade técnica, que tinha a finalidade de trabalhar conteúdos e
abordagens específicas a serem reproduzidas pelos professores nas salas de
aula. Os professores eram considerados como técnicos e executores dos
conhecimentos escolhidos e transmitidos pelos seus formadores. Fiorentini
(2003) relata que os processos de formação de professores, nessa época, tinham
um formato ultrapassado, centrados em modelos da educação tecnicista que
afastava a teoria da prática. Para o autor, havia pouca sustentação investigativa
e pouca consistência teórica, pontuando a urgência da ressignificação das
práticas pedagógicas.
iv) Dos anos 2000 aos dias atuais, Imbernón (2010) descreve que mudanças –
políticas, econômicas e tecnológicas – marcaram os contextos sociais,
ocasionando uma crise institucional na formação de professores. Reacende a
voz dos antigos e aflora a voz dos novos pesquisadores, buscando caminhos
que levem a novos horizontes e a um novo modelo de formação. O papel do
formador é, por conseguinte, garantir que a formação e as práticas dos
educadores e educandos ocorra de maneira singular e linear.
30
Diante desse cenário, decorreram-se mais de cinco décadas com estudos e
pesquisas direcionadas para formação de professores. Existe um consenso no pensamento dos
pesquisadores acima citados que, apesar dos avanços relatados na literatura, pode-se afirmar
que, no século XXI, a formação docente estagnou-se no tempo. Imbernón (2010, p. 25) alega
que, há anos, vem repetindo que é necessário buscar novas alternativas para a formação de
professores na sociedade atual, em que tudo é mutável, forjado pelo conhecimento e pela
informação. O pesquisador desabafa: “tenho a sensação de que a formação dos professores
como campo de conhecimento está estancada há muito tempo”.
Coura e Passos (2018, p. 6) denunciam que a concepção de “formação docente”
presente nas licenciaturas de Matemática ainda é “que basta ao professor apenas o domínio do
conhecimento matemático e que a arte de ensinar se aprende ensinando, isto é, na prática, sem
necessidade de uma formação formal ou teórica acerca das relações entre matemática, aluno e
professor”. Infelizmente, esse pensamento ainda permanece no meio educacional,
especialmente pelo professor que foi educado no modelo de ensino tradicional, em que
primava por exposição de conteúdos, fórmulas e lista de exercícios.
Olhando para a história da formação de professores, verifica-se que esse
pensamento teve origem na fundação das primeiras licenciaturas, por volta de 1930, cujos
cursos valorizavam o bacharelado e deixavam a licenciatura em segundo plano. Com o
modelo de ensino denominado “3+1” (três anos de disciplinas específicas e um ano em
disciplinas pedagógicas), tinha-se a concepção de que, para formar um bom professor de
matemática, bastava apenas o individuo dominar o conhecimento específico. Em relação aos
aspectos pedagógicos, era direcionada a um conjunto de técnicas. (LIMA, 2007).
Nacarato (2011) observa que há um descompasso entre os investimentos das
políticas públicas de formação docente e os resultados obtidos pelas pesquisas. Segundo a
autora, os modelos de formação propostos pelos sistemas de ensino não estão sendo eficazes e
não satisfazem as necessidades dos professores. Ela propõe que seja feita uma análise nas
pesquisas no campo de formação de professores, verificando se tais análises têm como
verdadeiro objeto a formação docente ou se apenas tangenciam a temática investigada.
Turrioni e Perez (2010) reforçam como um desafio falar da formação do professor
de Matemática e salientam a necessidade de mudanças do paradigma do papel exercido pelo
professor e dos seus discursos retóricos. Destacam a necessidade de transmutação em um
novo profissional, competente e compromissado, capaz de adquirir e instituir novas
considerações, estratégias e métodos de intervenção no ensino, dotados de mais rigor e
investigação, contribuindo para a aprendizagem dos educandos.
31
No que concerne à formação dos professores de Matemática, Fiorentini (2003)
evidencia que esses profissionais sofrem muitas críticas – os formadores de professores são
acusados de não viabilizarem uma formação contínua6 para romper com o ensino tradicional;
e os professores das escolas básicas são criticados por reproduzirem a mesma metodologia de
seus formadores, resistindo às inovações curriculares e à integração com outras disciplinas.
Fiorentini (2003) demonstra posicionamento divergente de outros pesquisadores.
Embasado em sua experiência empírica, o autor assevera que tais fatos podem ser
considerados inverídicos, haja vista que estudos realizados em grupo de pesquisa7 revelam
que os educadores matemáticos são os que mais buscam caminhos para implementar a
formação docente, os seus saberes e suas práticas pedagógicas.
Contribuindo com esse pensamento, Ferreira (2003) pontua que, aos poucos, as
pesquisas brasileiras vão concebendo a formação docente como um processo contínuo,
resultante do relacionamento dialético entre teorias e práticas. A prática, muitas vezes, pode
ser o ponto de partida para as mudanças, assim como o conhecimento das teorias educacionais
conseguem trazer grandes contribuições para o repensar das práticas.
Fiorentini (2003) comenta que novas concepções e perspectivas têm surgido,
projetando transformar as práticas pedagógicas e o trabalho docente. Destarte, a práxis do
educador deve ser norteada por alguns elementos-chave, sendo eles: reflexões e ponderações,
observação e aquisição do saber que permitam inovações no currículo e nas práticas escolares.
Segundo Lorenzato (2015, p. 14), muitos professores sentem necessidade de
“ampliar, aprofundar, consolidar seus conhecimentos e habilidades”, precisando ir além do
que as universidades lhes ensinam. Assim, a formação docente deve ser concebida como um
processo de aperfeiçoamento profissional constante, continuado e indispensável,
independentemente da qualidade do curso de graduação.
Essa formação deve ser estruturada pelo movimento social, cultural e histórico da
constituição de cada sujeito. O autor reforça que “é fundamental que a formação contínua seja
reconhecida como necessária e que seja também desejada pelo profissional, pois para
6 Os autores Fiorentini (2003), Ferreira (2003) e Lorenzato (2015) utilizam o conceito de formação contínua para
discutirem o processo formativo “que vai do ensino fundamental e médio, passa pela licenciatura em Matemática
e desenvolve-se continuamente ao longo de sua trajetória profissional.” (FIORENTINI, 2001). Nas demais
sessões do texto, utilizou-se o termo “formação continuada” referindo-se aos processos formativos que ocorrem
durante o percurso profissional, que vai de encontro ao foco desta pesquisa.
7 Fiorentini é membro do grupo de pesquisa Prapem (Prática Pedagógica em Matemática) da Faculdade de
Educação da Unicamp (FE/Unicamp) e docente do Departamento de Metodologia de Ensino da FE/Unicamp e
da área de Educação Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação da FE/Unicamp.
32
aprender é preciso ter vontade”. (LORENZATO, 2015, p. 14).
A aquisição de novos conhecimentos e a apropriação de novas abordagens de
ensino que tornem os conteúdos mais compreensíveis e significativos para os estudantes é
uma expectativa almejada por muitos educadores. Contudo, as ocupações oriundas da prática
da sala de aula, muitas vezes, deixam os professores sem tempo ou sem disposição para
investir em sua própria formação.
Nos últimos anos, são recorrentes pesquisas e debates sobre a necessidade de
mudanças nos processos de ensino, repercutindo nos processos formativos e nas práticas
pedagógicas dos professores. As políticas públicas de educação, alavancadas por agências
financeiras nacionais e internacionais, exigem a promoção de uma série de reformas
curriculares fundamentadas em saberes e competências a serem promovidas pelos docentes.
Freitas et al. (2005) salientam que:
Além dos novos saberes e competências, a sociedade atual espera que a escola
também desenvolva sujeitos capazes de promover continuamente seu próprio
aprendizado. Assim, os saberes e os processos de ensinar e aprender
tradicionalmente desenvolvidos pela escola mostram-se cada vez mais obsoletos e
desinteressantes para os alunos. O professor, então, vê-se desafiado a aprender a
ensinar de modo diferente do que lhe foi ensinado. (FREITAS et al., 2005, p. 89).
Nesse processo, a constituição desses saberes se expressa como um processo
dinâmico e em constante renovação a partir dos desafios da prática docente diária do contexto
escolar. Para o exercício dessa prática, é imprescindível que o professor mobilize um conjunto
de conhecimentos profissionais amparados nos conhecimentos pedagógicos e conhecimentos
do conteúdo a ser ensinado, além de novas metodologias de ensino que favoreçam a
promoção da aprendizagem de seus alunos.
Documentos e diretrizes nacionais que norteiam e regulamentam os processos
formativos docentes no Brasil vêm indicando a necessidade de mudança no âmbito da
formação inicial e continuada. Há mais de 30 anos, a Lei nº 9.394 (BRASIL, 1996) já
enfatizava que os professores deveriam possuir uma sólida formação que propiciasse o
conhecimento dos fundamentos científicos e sociais de suas competências de trabalho, por
intermédio da articulação entre teoria e prática.
Em 2015, a Resolução nº 02 do Conselho Nacional de Educação (CNE), ao
retomar a temática sobre formação de professores, garante a equidade de acesso aos processos
formativos, tanto em nível de formação inicial quanto no nível formação continuada. O
referido documento menciona que a formação continuada deve promover atividades que
provoquem a reflexão, o desenvolvimento de valores e um conjunto de conhecimentos –
33
interdisciplinares, específicos e pedagógicos. Enfatiza, ainda, que essa formação deve ter em
consideração “a necessidade de acompanhar a inovação e o desenvolvimento associados ao
conhecimento, à ciência e à tecnologia” contribuindo, assim, para que se tenha uma formação
profissional efetiva e sólida. (BRASIL, 2015, p. 14).
Em 2018, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) determina um conjunto de
ações normativas direcionadas a sistemas e redes de ensino da Educação Básica,
estabelecendo a reformulação dos currículos e das propostas pedagógicas, garantindo aos
estudantes a aquisição de um conjunto de aprendizagens essenciais. Para tanto, a Base declara
que é necessário que sejam criados “processos permanentes de formação docente que
possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino” para que possam atender as
demandas de aprendizagens de seus alunos. (BRASIL, 2018a, p. 17).
A partir da homologação da BNCC, em 2019, o CNE elaborou um novo Parecer
reformulando a Resolução nº 2/2015. Esse Parecer tem o objetivo de nortear os processos
formativos de professores para a Educação Básica em todo o país e propõe a criação de uma
Base Nacional Comum para a formação inicial e continuada de professores. O CNE justifica a
criação dessa Base para formação de professores declarando que “a formação docente é o
fator mais importante para a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem escolar dos
estudantes.” (BRASIL, 2019a, p. 7).
Esse parecer entende como relevante a oferta de programas destinados a investir
na formação docente ao longo de suas carreiras, atribuindo aos Estados, Municípios e Distrito
Federal a competência de definirem planos direcionados à formação continuada de seus
docentes. A oferta de cursos de especializações, mestrados, doutorados ou programas mais
curtos são atribuídos as Instituições de Ensino Superior (IES), enaltecendo-se a importância
desses processos para uma formação que efetivamente contribua para o aprendizado do
professor ao longo da vida, reverberando na qualidade de suas práticas. (BRASIL, 2019a).
Observa-se que a preocupação com a formação docente é assunto recorrente na
legislação brasileira. Contudo, não basta a criação ou reformulação das leis e diretrizes, é
imprescindível que as reformas sejam efetivadas e que cheguem aos espaços educativos onde
os professores atuam, contemplando as lacunas provenientes da formação inicial, subsidiando
de modo efetivo a ação docente. (FREITAS; PACÍFICO, 2020).
Enquanto as reformas não são efetivadas, alguns professores tentam reinventar-se
e ensinar de forma diferente daquela que aprendeu, para adaptar-se ao papel de responsável
pelo ensino e aprendizagem de seus alunos. Segundo Freitas et al. (2005), a sociedade atual
exige que o professor seja um superdocente capaz de desenvolver e aplicar estratégias de sala
34
de aula cognitivamente profundas, e, além disso, ser um acelerador de mudanças e
categorizado como catalizador da sociedade informacional e pós-industrial.
Concebe-se que o professor é um profissional que necessita ter uma formação
sólida em diversos campos do conhecimento. Além do domínio do conhecimento dos
conteúdos da disciplina que ensina, deve desenvolver o seu fazer docente baseado na didática
e na práxis docente, fundamentadas em uma prática educativa crítica, criativa, reflexiva e
transformadora de ensino.
As reformas educacionais propõem a inserção de metodologias de ensino que
agreguem os conceitos teóricos aos procedimentos didáticos e à reformulação das práticas
docentes. Os professores devem ser envolvidos em atividades formativas não apenas como
participantes, mas como investigadores de suas práticas e parceiros na construção dos
conhecimentos, participando em processos coletivos. (BRASIL, 2019a, p. 26).
Nessa perspectiva, pesquisadores (NACARATO, 2011; FIORENTINI, 2003)
defendem que a formação docente deve ser pautada no trabalho coletivo e colaborativo. Se
desenvolvidas nesses padrões, proporcionam aos envolvidos oportunidades de formação
permanente, subsidiadas pela troca de experiências e metodologias diferentes para superar os
obstáculos e dificuldades provenientes da prática e da atuação no dia a dia na escola.
Ferreira (2003) colabora com o pensamento dos autores, destacando como
necessária a participação dos professores em todas as etapas dos projetos de formação, desde
a elaboração até o desenvolvimento das atividades.
Torna-se necessário construir uma nova perspectiva em relação à formação e ao
desenvolvimento profissional na qual professores e pesquisadores passem a se ver
reunidos como colegas – cada qual com seus saberes e experiências – unidos no
objetivo comum de proporcionar experiências matemáticas de qualidade para seus
alunos. (FERREIRA, 2003, p 37).
Mattos e Mattos (2018, p. 41) complementam que a formação continuada é uma
importante fonte de reflexão para os professores, favorecendo a ampliação do conjunto de
conhecimentos adquiridos na formação inicial, enriquecendo a produção de convicções e
auxiliando nas práticas para que os conhecimentos profissionais sejam validados. Esse
processo de formação propicia a autonomia pessoal, transformando o docente em um sujeito
“autônomo, seguro e capaz de realizar escolhas que favoreçam o ensino e a aprendizagem
satisfatoriamente”.
Nesse contexto, este trabalho pretende contribuir para a formação dos professores
envolvidos na pesquisa, na perspectiva de gerar discussões e elucidar caminhos para um fazer
35
docente sobre o ensino de Geometria Espacial, em que haja articulações com as competências
e habilidades inerentes à prática docente, com ênfase na mobilização dos conhecimentos: dos
conteúdos, de técnicas pedagógicas e do domínio e utilização das novas tecnologias
educacionais. Diante disso, a seção seguinte apresenta uma reflexão sobre o domínio de
conhecimentos docentes necessários ao desenvolvimento da ação profissional dos professores.
2.2 O domínio dos conhecimentos pelos professores
A atividade docente desenvolvida pelos professores favorece a produção e
ampliação de seus conhecimentos, habilidades e competências, constituindo-se em uma base
de conhecimentos para transformar a organização e a realização do trabalho do professor no
contexto escolar, em especial na sala de aula. Mattos e Mattos (2018) consideram que a
atividade docente envolve muito mais do que ensinar, engloba um conjunto de ações:
Saber-fazer, saber-agir e saber-ser envolvem os pares com suas experiências e suas
expectativas; envolvem a escola, a realidade a sua volta, as necessidades locais e
globais; envolvem os alunos, como aprendem, como é deu desenvolvimento afetivo,
cognitivo e pessoal, sua cultura; envolvem os conhecimentos acadêmicos, os
conhecimentos didáticos pedagógicos, as tarefas e as ações esperadas. (MATTOS;
MATTOS, 2018, p. 47).
Assim, a formação docente deverá contemplar integralmente o desenvolvimento
de competências e habilidades inerentes à prática docente, embasadas em saberes e fazeres
voltados para o efetivo exercício da sua práxis pedagógica. (MELO, 2005). Nessa perspectiva,
os programas de formação docente têm sido desafiados a conhecerem, organizarem,
desenvolverem e ampliarem os conhecimentos profissionais dos docentes, que podem ser
compreendidos como aquilo que efetivamente encontra-se sendo aprendido e empregado no
ensino . As diligências empreendidas para contribuir e ampliar os conhecimentos profissionais
e a formação dos professores vêm sendo uma questão recorrente nas pesquisas de diversos
autores da área educacional.
Ao adentrarmos nas discussões sobre formação de professores e conhecimentos
profissionais, pesquisadores discorrem sobre os diversos conhecimentos e/ou saberes que
alicerçam a formação e a prática dos professores, atribuindo-lhes várias denominações:
conhecimentos curriculares, conhecimento dos conteúdos, saberes profissionais, saberes
experenciais, conhecimentos pedagógicos, dentre outros.
Shulman (1986) tem sido um dos pesquisadores mais citados por trazer
contribuições primordiais a esse debate. Apesar de não serem direcionados exclusivamente à
36
formação de professores de Matemática, seus estudos estão voltados ao conhecimento dos
professores de diversas áreas, as suas ideias e às razões da dicotomia entre teoria-prática .
Para Curi (2011, p. 78), quando se fala de formação de professores que ensinam
Matemática no Brasil, há várias correntes de pensamento. Contudo, a pesquisadora menciona
a existência de um grupo de pesquisadores que defende “a importância da articulação entre os
conhecimentos matemáticos e os conhecimentos didáticos pedagógicos na formação de
professores de Matemática”, estabelecendo vínculo entre formação e prática profissional. Na
visão da autora, essa corrente pode estar relacionada às pesquisas de Shulman (1986, 2014)
que ressaltam a primordialidade do domínio do conhecimento sobre “o que ensinar” e o
“como ensinar”.
Em relação à influência do pensamento de Shulman (1986, 2014) para a formação
de professores que ensinam Matemática levantada por Curi (2011), os estudos de Almeida et
al. (2019) corroboram com a temática suscitada. As autoras realizaram uma revisão
integrativa de literatura de publicações acadêmicas brasileiras que abordam o conhecimento
pedagógico do conteúdo (uma das categorias apontada pelo autor como a base do
conhecimento para o ensino), nas duas últimas décadas.
Foram localizadas 114 produções (compreendendo artigos, dissertações e teses)
que empregam essa categoria de conhecimento de Shulman (1986). Tais pesquisas foram
realizadas entre os anos de 2003 a 2018, com aumento considerável das publicações, na
última década, destacando que, em 2015, houve a maior incidência de trabalhos – 24
investigações. Os resultados mostraram que a área de estudo com maior concentração de
trabalhos foi a área de Matemática (26,3%), seguida de Química (21,9%), Ciências Biológicas
(13,2%), Educação Física (7,0%) além de outras áreas com incidências menores.
Os resultados sinalizam que os estudos desenvolvidos por Shulman tem
influenciado a investigação de didáticas e disciplinas específicas. Almeida et al. (2019)
apontam ainda que o foco dessas pesquisas recai principalmente na análise do modo como se
dá a aquisição, o desenvolvimento e a mobilização do conhecimento pedagógico do conteúdo
na formação inicial de professores e na ação dos docentes que atuam nos anos finais do
Ensino Fundamental e/ou no EM.
O estudo realizado, pelas autoras supracitadas, indica que a disseminação do
pensamento do teórico, no Brasil, continua recorrente na atualidade. Diante disso, considera-
se que, embora as discussões de Shulman (1986 ) sobre a base e as fontes dos conhecimentos
dos professores para a docência tenham sido suscitadas no âmbito educacional há mais de 30
37
anos, elas permanecem atuais nos estudos e debates relacionados à formação de professores,
no cenário nacional.
Nesse caminho, essas informações esclarecem e referenciam a escolha da linha
teórica de Shulman (1986, 2014) pela pesquisadora para embasamento das referências, bem
como para fundamentação teórica que dá subsídios à análise dos dados desta investigação.
Reafirma-se que esta tem por objetivo analisar indícios do conhecimento de conteúdo, do
conhecimento pedagógico de conteúdo, do conhecimento tecnológico pedagógico e de
conteúdo na prática dos professores de Matemática do EM, a partir de uma ação formativa,
abordando o conhecimento de conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo de
Shulman (1986) e o TPACK de Koehler e Mishra (2005, 2009).
Diante das reflexões apresentadas, retoma-se a apresentação das contribuições de
Shulman (1986, 2014) sobre a base do conhecimento do professor para o ensino. Em seus
estudos iniciais, o autor considera que o professor deve possuir o domínio de três categorias
de conhecimento essenciais para o desenvolvimento do ensino: conhecimento do conteúdo,
conhecimento pedagógico do conteúdo8 e conhecimento curricular. Cada um desses
conhecimentos tem a sua especificidade:
O conhecimento do conteúdo está associado ao entendimento do professor com
relação à organização do conhecimento, incluindo fatos, conceitos, princípios e
categorias explicativas da disciplina.
O conhecimento pedagógico do conteúdo a ser ensinado constitui-se pela
intersecção do conhecimento do conteúdo e do conhecimento sobre o que
ensinar, bem como a forma como o aluno aprende, resultando em um
conhecimento que é específico do professor.
O conhecimento curricular envolve a compreensão sobre os programas,
materiais de instrução da sua disciplina, os parâmetros e a capacidade de
articulação horizontal e vertical nos conteúdos curriculares. (SHULMAN,
1986).
Em relação aos três conhecimentos destacados, o autor pontua críticas aos
programas de formações de professores, que, nessa época, davam maior ênfase ao
conhecimento do conteúdo, no qual era priorizado o conhecimento científico em detrimento
aos demais conhecimentos. Os estudos de Curi e Pires (2008) evidenciam a referida
8 A expressão “pedagogical contente knowledge” de Shulman (1986) é traduzida por alguns pesquisadores como
“conhecimento didático do conteúdo”, “conhecimento pedagógico da disciplina” e também, como
“conhecimento pedagógico do conteúdo”, neste trabalho, tais expressões assumem o mesmo significado.
38
problemática. As autoras, em estudos sobre a formação de professores que ensinam
Matemática, discorrem sobre a análise de ementas de disciplinas relativas à Matemática e a
seu ensino, destacam a presença de tópicos gerais do ensino de Matemática e o predomínio de
um “saber fazer” em detrimento aos demais conhecimentos relativos ao objeto de ensino.
Shulman (1986) argumenta que é necessário dar atenção a todos os componentes
da base do conhecimento para o ensino, suas fontes e a complexidade do processo
pedagógico, visto que tais aspectos não eram observados em processos de formações docentes
na época. Em pesquisas posteriores, Shulman (2014) amplia as categorias de base dos
conhecimentos dos professores para o ensino, passando a compor a seguinte estrutura:
• conhecimento do conteúdo;
• conhecimento pedagógico geral, com especial referência aos princípios e
estratégias mais abrangentes de gerenciamento e organização de sala de aula, que
parecem transcender a matéria;
• conhecimento do currículo, particularmente dos materiais e programas que servem
como “ferramentas do ofício” para os professores;
• conhecimento pedagógico do conteúdo, esse amálgama especial de conteúdo e
pedagogia que é o terreno exclusivo dos professores, seu meio especial de
compreensão profissional;
• conhecimento dos alunos e de suas características;
• conhecimento de contextos educacionais, desde o funcionamento do grupo ou da
sala de aula, passando pela gestão e financiamento dos sistemas educacionais, até as
características das comunidades e suas culturas; e
• conhecimento dos fins, propósitos e valores da educação e de sua base histórica e
filosófica. (SHULMAN, 2014, p. 206)
Mesmo sem a intenção de elevar uma categoria em detrimento à outra, Shulman
(2014) aborda as complexidades dos processos pedagógicos e destaca o conhecimento
pedagógico do conteúdo como categoria importante para a formação do professor. Para o
autor, esse conhecimento se caracteriza no agrupamento de conhecimento próprio do
professor para o ensino e se constitui pela combinação entre a disciplina e a pedagogia, sobre
“o que” ensinar e a forma do “como” o aluno aprende.
Para Shulman (2014, p. 207), o conhecimento pedagógico do conteúdo representa
o “entendimento de como tópicos específicos, problemas ou questões são organizados,
representados e adaptados para os diversos interesses e aptidões dos alunos, e apresentados no
processo educacional em sala de aula”, transformando-se em formas pedagógicas eficazes
para que seus alunos possam desenvolver novas competências e habilidades.
Almeida et al. (2019), embasadas nos estudos Grossman (1990), esclarecem que o
conhecimento pedagógico do conteúdo se constitui pela integração, combinação e
transformação dos demais domínios do conhecimento, em uma combinação coesa e
articulada. A aquisição desse conhecimento tem início na formação inicial e se desenvolve
39
durante a atuação profissional, um continuum, em perspectiva de transformação.
Nessa perspectiva, Shulman (2014) enumera as principais fontes de
conhecimentos para o ensino:
(1) formação acadêmica nas áreas de conhecimento ou disciplinas; (2) os materiais e
o entorno do processo educacional institucionalizado (por exemplo, currículos,
materiais didáticos, organização e financiamento educacional, e a estrutura da
profissão docente); (3) pesquisas sobre escolarização, organizações sociais,
aprendizado humano, ensino e desenvolvimento, e outros fenômenos sociais e
culturais que afetam o que os professores fazem; e (4) a sabedoria que deriva da
própria prática. (SHULMAN, 2014, p. 207).
Para Shulman (2014), além da formação acadêmica, essas fontes são incorporadas
quando se busca o aprofundamento do conhecimento em pesquisas acadêmicas assim como
nas práticas dos professores. Desse modo:
A primeira fonte se refere à formação acadêmica do professor na disciplina que
irá ensinar (matemática, química, física, etc.), da qual se origina o
conhecimento do conteúdo.
A segunda fonte compõe-se pelos princípios, circunstâncias, políticas públicas,
conhecimentos dos currículos, avaliações educacionais, organizações sindicais,
entidades governamentais, órgãos de gestão e financiamento que regem os
sistemas de ensino, sobre os quais o professor deve conhecer e familiarizar-se.
A terceira fonte se relaciona ao conhecimento do professor oriundo da
literatura acadêmica – inclui pesquisas empíricas, filosóficas da área de ensino,
aprendizagem e desenvolvimento humano e bases normativas e éticas da
educação – para compreender os processos de escolarização, ensino e
aprendizagem.
A quarta fonte é o conhecimento adquirido pela própria prática ou pelo
trabalho colaborativo entre os professores e as trocas entre os pares.
Lobo da Costa e Prado (2013) também discorrem sobre o domínio do
conhecimento pedagógico do conteúdo, como constituintes da formação e prática dos
professores de Matemática. As autoras entendem que o domínio desse conhecimento:
[...] implica em conhecer as diferentes representações dos conceitos e como utilizá-
las para ensinar, em conhecer quais são os exemplos mais relevantes e, enfim, ter
uma compreensão global sobre o porquê alguns tópicos específicos dos diferentes
quadros matemáticos são mais simples de serem ensinados e de serem aprendidos
enquanto outros são mais complexos, exigem maior nível de abstração, análise e
enfim, de uma compreensão mais estrutural. (LOBO DA COSTA; PRADO, 2013, p.
5145).
40
Para as autoras, o conhecimento pedagógico do conteúdo deve ir além do domínio
dos conhecimentos relativos aos conteúdos a serem ensinados, envolve a habilidade de o
professor perceber quais as representações matemáticas são mais relevantes para a
aprendizagem dos alunos, bem como o entendimento dos assuntos específicos da disciplina
que ministra, os mais fáceis ou mais complexos de serem abstraídos.
Shulman (2014) considera seu trabalho investigativo sobre as categorias de
conhecimentos para o ensino como uma versão preliminar para o entendimento da base dos
conhecimentos, enfatizando que novos esquemas e categorias de conhecimentos precisam ser
construídos, inventados e refinados, os quais darão origem a outros campos de
conhecimentos. Ademais, compreende-se que, por meio da mobilização de um repertório
amplo de conhecimentos, o professor tenha maior embasamento para refletir sobre sua prática
docente na perspectiva do aprimoramento de suas ações educativas.
Nesse sentido, os organismos reguladores dos sistemas de ensino brasileiro
direcionam orientações com o intuito de implementar a prática pedagógica dos professores. O
CNE, em Parecer sobre a Base Nacional Comum para a formação de professores da Educação
Básica, concebe que os professores devem desenvolver competências profissionais pautadas
nas dimensões do conhecimento, da prática e do engajamento profissional. Essas
competências pressupõem que o professor tenha uma formação sólida e uma atuação docente
amparada pelo domínio do conteúdo curricular e do conhecimento pedagógico do conteúdo,
além do compromisso consigo mesmo, em seu desenvolvimento pessoal e profissional.
(BRASIL, 2019a). Nesse processo, esse trabalho sugere a utilização das tecnologias digitais
na efetivação de propostas pedagógicas em sala de aula.
Nas últimas décadas, diversas mudanças sociais foram vislumbradas na sociedade,
dentre elas, os aparatos tecnológicos passaram a fazer parte do cotidiano da maioria da
população mundial, desencadeando uma série de transformações. Com a perspectiva de
integrar as tecnologias digitais às práticas docentes, Koehler e Mishra (2005, 2009),
inspirados nas ideias de Shulman, ampliaram a base dos conhecimentos no que concerne ao
conhecimento de conteúdo e ao conhecimento pedagógico do conteúdo.
Ao estabelecer relações entre o conhecimento pedagógico do conteúdo e as
tecnologias educativas, Koehler e Mishra (2005, 2009) apontam como necessário o domínio
do conhecimento tecnológico e pedagógico do conteúdo (Technological Pedagogical Content
Knowledge – TPACK) pelos docentes.
O TPACK é um conhecimento ainda em ascensão e tem estrutura central em três
41
diferentes conhecimentos: conteúdo, pedagogia e tecnologia. Na perspectiva dos estudos de
Koehler e Mishra (2005), cada um desses conhecimentos tem uma função específica.
O conteúdo é o conjunto de conhecimentos e habilidades que o professor
ensina com o intuito de garantir a aprendizagem dos alunos. Se o professor não
tiver o domínio desse conhecimento, o aluno poderá receber uma informação
incorreta e desenvolver um conceito errôneo sobre determinado assunto.
A pedagogia é o conjunto de procedimentos e técnicas de instrução que o
professor utiliza no ensino, cuja finalidade é o aprendizado de indivíduos em
formação.
A tecnologia inclui a habilidade do professor aprender, adaptar-se e operar
tecnologias específicas para o ensino. No caso dos professores, saber operar
uma tecnologia vai além de habilidades básicas de trabalhar em sistemas
operacionais como Word, Excell e navegações em Internet.
Para Koehler e Mishra (2005) o ensino baseado em apenas um desses
conhecimentos – conteúdo, pedagogia ou tecnologia é considerado insatisfatório. Segundo os
autores, “Qualquer instrução que se concentre em apenas um desses itens, por vez, seria
relativamente ineficaz em ajudar os professores a compreender como esses conhecimentos
bases se relacionam.” (KOEHLER; MISHRA, 2005, p. 134, tradução nossa9).
A incorporação dos recursos tecnológicos digitais no ensino sinaliza-se como um
elemento potencialmente significativo por disponibilizar uma variedade de demonstrações e
representações que auxiliam aos professores na explanação dos conteúdos, em sala de aula.
Entretanto, a tecnologia por si só não substitui a figura do professor e não contempla
integralmente a abrangência do conhecimento do conteúdo. A inserção das tecnologias em
sala de aula precisa ser complementada com ações pedagógicas intrínsecas dos professores de
modo a possibilitar a interação entre a tecnologia e o conteúdo.
A falta de interação e integração entre conteúdo e ensino é uma das lacunas
apontadas na área da Educação Matemática. (POWELL, 2019). Pesquisadores
(FAINGUELERNT; NUNES, 2012; NADALON, 2018) denunciam a forma de abordagem
dos conteúdos, em que ainda predomina o modelo tradicional – aulas desenvolvidas de forma
expositiva, por meio de fórmulas e regras – sem os aportes de recursos tecnológicos. Contudo,
salienta-se que o uso de recursos tecnológicos requer do professor habilidades para
9 Clearly instruction that focuses on only one of these items at a time would be relatively ineffectual in helping
teachers develop an understanding of how these knowledge bases relate to each other.
42
reconhecer e selecionar os recursos tecnológicos mais adequados ao ensino de cada conteúdo
e que este profissional saiba promover a mediação entre eles.
A inserção de aportes tecnológicos como vídeos ou simulações com softwares em
sala de aula sem a devida associação ao conteúdo ministrado não garante a aprendizagem dos
educandos. Koehler e Mishra (2005) reforçam como necessária a interação dos recursos
tecnológicos com o conteúdo e com a pedagogia, estabelecendo conexões entre eles, de modo
a resultar em quatro novos tipos conhecimentos: conhecimento pedagógico do conteúdo,
conhecimento tecnológico do conteúdo, conhecimento tecnológico pedagógico e o TPACK,
representados no diagrama da figura 1.
Figura 1 – O TPACK e os componentes do conhecimento
Fonte: Koehler e Mishra (2009, p. 63, tradução nossa
10).
Pela representação dos conhecimentos, ilustrados na figura 1, é possível perceber
que esses conhecimentos – pedagogia, conteúdo e tecnologia, quando se interceptam, se
transformam em novos conhecimentos.
Conteúdo e pedagogia resultam em conhecimento pedagógico do conteúdo
(PCK). Nele está envolvido o conhecimento do professor sobre teorias, técnicas e
representação de conceitos para o ensino de conteúdos de determinada disciplina. Koehler e
10
Technological Knowledge; Pedagogical Knowledge; Content Knowledge; Pedagogical Content Knowledge;
Technological Content Knowledge; Technological Pedagogical Knowledge; Technological Pedagogical Content
Knowledge (TPACK).
43
Mishra (2009, p. 65, tradução nossa11
) afirmam que “Especificamente, de acordo com
Shulman (1986), [...] ocorre quando o professor interpreta o assunto, encontra várias maneiras
de representá-lo e adapta os materiais instrucionais às concepções alternativas e ao
conhecimento prévio dos alunos”.
Tecnologia e conteúdo convertem-se em conhecimento tecnológico de conteúdo
(TCK) e nele está incluído o domínio do conhecimento de como um conteúdo específico pode
ser modificado pelo uso de uma tecnologia e vice-versa, e seu impacto nas práticas de ensino
e aprendizagem. Para Koehler e Mishra (2009) o conhecimento tecnológico de conteúdo
é um entendimento da maneira pela qual a tecnologia e o conteúdo influenciam e
constrangem um ao outro. Os professores precisam dominar mais do que o assunto
que ensinam; eles também devem ter um entendimento profundo da maneira pela
qual o assunto (ou os tipos de representações que podem ser construídas) pode ser
alterado pela aplicação de tecnologias específicas. (KOEHLER; MISHRA, 2009, p.
65, tradução nossa12
).
No ensino de Geometria Espacial, por exemplo, sólidos geométricos como
prismas, pirâmides e outros sólidos, quando trabalhados em softwares de geometria dinâmica,
são facilmente construídos, visualizados e manipulados (FAINGUELERNT; NUNES, 2012).
Além disso, a imagem dos sólidos pode ser demonstrada em dois formatos: bidimensional e
tridimensional, o que contribui para ampliar a compreensão dos elementos que compõem cada
objeto espacial. Entretanto, ressalta-se a necessidade de o professor possuir o domínio do
conhecimento tecnológico do conteúdo para analisar a tecnologia mais adequada que poderá
auxiliar no ensino de tópicos específicos da matéria que leciona.
Tecnologia e pedagogia formam o conhecimento tecnológico pedagógico (TPK),
que compreende o conhecimento das potencialidades e limitações de uma tecnologia e como
esta pode ser usada para ampliação do ensino e aprendizagem. Koehler e Mishra (2009, p. 64,
tradução nossa13
) definem conhecimento tecnológico pedagógico como:
11
Specifically, according to Shulman (1986), [...] occurs as the teacher interprets the subject matter, finds
multiple ways to represent it, and adapts and tailors the instructional materials to alternative conceptions and
students’ prior knowledge.
12
is an understanding of the manner in which technology and content influence and constrain one another.
Teachers need to master more than the subject matter they teach; they must also have a deep understanding of
the manner in which the subject matter (or the kinds of representations that can be constructed) can be changed
by the application of particular technologies.
13
understanding of how teaching and learning can change when particular technologies are used in particular
ways. This includes knowing the pedagogical affordances and constraints of a range of technological tools as
they relate to disciplinarily and developmentally appropriate pedagogical designs and strategies.
44
[...] entendimento de como o ensino e a aprendizagem podem mudar quando
determinadas tecnologias são usadas de maneiras particulares. Isso inclui o
conhecimento das possibilidades e restrições pedagógicas de uma variedade de
ferramentas tecnológicas relacionadas a projetos e estratégias pedagógicas
disciplinares e de desenvolvimento apropriadas.
Compreende-se que os professores precisam dominar o conhecimento das
tecnologias que envolve: a escolha da tecnologia adequada, os procedimentos pedagógicos
pertinentes ao ensino, além de prever os possíveis resultados que a tecnologia potencializará
na aprendizagem de seus alunos.
O resultado da intersecção entre os três conhecimentos docentes – PCK, TCK e
TPK, acima definidos, é o TPACK. Esse conhecimento tem significado diferente dos três
conhecimentos mencionados anteriormente, quando pensados individualmente. Koehler e
Mishra (2009) sinalizam que o objetivo do TPACK é contribuir com o conhecimento dos
professores “sobre” a tecnologia para trabalharem “com” a tecnologia em suas disciplinas
escolares, com seus alunos. Para os autores o TPACK é
(...) a base do ensino eficaz da tecnologia, exigindo um entendimento da
representação de conceitos usando tecnologias; técnicas pedagógicas que usam
tecnologias de maneira construtiva para ensinar conteúdo; conhecimento do que
torna os conceitos difíceis ou fáceis de aprender e como a tecnologia pode ajudar a
corrigir alguns dos problemas que os alunos enfrentam; conhecimento do
conhecimento prévio dos alunos e teorias da epistemologia; e conhecimento de
como as tecnologias podem ser usadas para desenvolver o conhecimento existente
para desenvolver novas epistemologias ou fortalecer as antigas. (KOEHLER;
MISHRA, 2009, p. 66, tradução nossa14
).
A apropriação do TPACK não é simples porque os conhecimentos não podem ser
vistos de maneira isolada. Para Lobo da Costa e Prado (2015, 110, grifos das autoras) “A
compreensão integrada dos conhecimentos pedagógicos, tecnológicos do conteúdo é que tem
sido um grande desafio na e para a formação de professores, uma vez que requer novas
reconstruções de conhecimentos.”.
Nessa perspectiva, a plausividade do TPACK consiste na habilidade do professor
em estabelecer inter-relações contínuas entre o conhecimento tecnológico de conteúdo,
conhecimento tecnológico pedagógico e conhecimento pedagógico do conteúdo, aplicando
esses conhecimentos a situações específicas da disciplina que leciona. No caso desta
14
the basis of effective teaching with technology, requiring an understanding of the representation of concepts
using technologies; pedagogical techniques that use technologies in constructive ways to teach content;
knowledge of what makes concepts difficult or easy to learn and how technology can help redress some of the
problems that students face; knowledge of students’ prior knowledge and theories of epistemology; and
knowledge of how technologies can be used to build on existing knowledge to develop new epistemologies or
strengthen old ones.
45
investigação, procurou-se manter o equilíbrio constante entre os recursos tecnológicos
(software e smartphones), os tópicos de Geometria Espacial (prismas, pirâmides e poliedros
de Platão) explorados e as habilidades pedagógicas dos docentes envolvidos em todo o
percurso da ação formativa.
Estabelecendo-se a similaridade entre os conhecimentos integrantes do TPACK
(KOEHLER; MISHRA, 2005; 2009) e os conhecimentos explorados no contexto da presente
pesquisa, concebeu-se o entendimento de que os recursos tecnológicos móveis e o software
GeoGebra compõem elementos do conhecimento tecnológico; tópicos do conteúdo de
Geometria Espacial constituem o conhecimento de conteúdo; e os componentes da etapa
formativa e a didática dos participantes integram o conhecimento pedagógico de conteúdo. A
possível integração entre esses três diferentes conhecimentos resulta na ascensão do domínio
do TPACK, provocando uma efetiva ampliação do domínio dos conhecimentos necessários à
prática de ensino dos professores de Matemática.
Ensejando-se alcançar os propósitos indicados para essa pesquisa e a devida
fundamentação teórica para a análise dos dados, esta investigação será fundamentada nas
vertentes do conhecimento do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman
(1986, 2014) e do TPACK referenciados por Koehler e Mishra (2005, 2009), por
estabelecerem aproximações com objetivos desta investigação.
As considerações traçadas neste capítulo – os estudos desenvolvidos sobre
formação continuada e os conhecimentos dos professores compõem o referencial teórico que
subsidiou a construção das análises dos dados da presente investigação. A seguir, apresentam-
se reflexões evidenciadas na literatura, por pesquisadores, acerca do ensino de Geometria
Espacial que ocorre nas escolas brasileiras.
46
3 O ENSINO DE GEOMETRIA
“A Geometria existe por toda a parte. É
preciso, porém, olhos para vê-la, inteligência
para compreendê-la e alma para admirá-la”.
(JOHANNES KEPLER, 1630).
A Geometria é um ramo da Matemática que propicia o desenvolvimento de
competências e habilidades intelectuais nos indivíduos, tanto no ponto de vista das aplicações
práticas quanto no aspecto do desenvolvimento de capacidades intelectuais, como a
criatividade e a percepção espacial. É uma poderosa ferramenta para a compreensão,
descrição e inter-relação da percepção espacial do mundo em que se habita.
Este capítulo apresenta três seções relacionadas à Geometria. A primeira aborda o
contexto histórico do ensino da Geometria no Brasil desde o século XVIII até as duas
primeiras décadas do século XXI. A segunda seção apresenta ponderações em relação às
habilidades a serem adquiridas, pelos alunos, em Geometria Espacial. Faz considerações,
também, a despeito de resultados de alunos, expressos em avaliações nacionais e
internacionais, nos níveis fundamental e médio. A terceira discorre sobre a abordagem do
ensino de Geometria Espacial nas salas de aulas, no cenário atual. As discussões referenciam-
se em autores como Fainguelernt e Nunes (2012), Gomes (2007), Lorenzato (2015), Nacarato
(2005), Valente (2008), além de outros pesquisadores.
3.1 Contexto histórico da Geometria no Brasil
Para compreender o atual cenário do ensino de Geometria Espacial nas escolas de
Educação Básica, buscou-se conhecer o conteúdo histórico das abordagens desse conteúdo e o
seu desenvolvimento no Brasil ao longo dos séculos. Os primeiros registros do ensino desse
conteúdo no território brasileiro remetem ao século XVIII, com aproximações completamente
voltadas para fins militares – construção de fortes, aparelhamento de guerras e defesa da
Colônia.
A esse respeito, Valente (2008, p. 14) relata que as primeiras aulas de Matemática
no Brasil foram ministradas por um militar português, José Fernandes Pinto Alpoim, em
1738. Alpoim teve “como uma de suas tarefas maiores, a partir da geometria, ensinar como é
possível calcular o número de balas de canhão que um determinado lugar pode conter. Ou
47
ainda, à vista de uma pilha de balas de canhão, saber quantas balas a pilha tem.”.
Após a Proclamação da Independência do Brasil, em 1827, com a criação dos
Cursos Jurídicos em universidades brasileiras, uma das condições de ingresso de candidatos a
esses cursos era “prestar exames de língua francesa, retórica, filosofia nacional e moral e
geometria”. Diante desse fato, a Matemática mudou seu status e passou a ocupar lugar de
destaque na sociedade brasileira: “Inicialmente considerados como conteúdos de caráter
técnico-instrumental, servindo prioritariamente ao comércio e a formação militar, os
conteúdos matemáticos, por meio da geometria, ascendem à categoria de saber cultural geral”.
(VALENTE, 2008, p. 15)
O método de acesso aos cursos superiores estendeu-se a outros cursos como
medicina e engenharia e permaneceu por mais de 100 anos, do período do Império até as
primeiras décadas da República. Uma obra citada como referência para os exames de
Geometria foi escrita por Jerônimo Pereira Lima, intitulada de Pontos de Geometria para
provas escritas nos exames da instrução pública da Corte (1869), cuja habilidade requerida
ao candidato para que fosse bem sucedido no exame era decorar todos os pontos da obra. O
trabalho didático-pedagógico do professor era fazer com que seus alunos fixassem os
“pontos” e os reproduzissem nos exames. (VALENTE, 2008).
Com a Reforma de Francisco Campos (1931) houve uma reestruturação no ensino
e nas disciplinas. A Álgebra, a Aritmética e a Geometria se fundiram, constituindo uma nova
disciplina: a Matemática. Entretanto, mesmo com a proposta de fundir as disciplinas
mencionadas em uma única disciplina, os professores de Matemática continuaram a seguir o
modelo de seus antecessores – os conteúdos eram ministrados em dias separados e dentro dos
compêndios15
, que eram organizados em diferentes capítulos. (VALENTE, 2008).
O Movimento da Escola Nova, defendido pelos Pioneiros da Educação,
influenciados pelas correntes internacionais na década de 1930, fez surgir uma preocupação
com o ensino básico brasileiro. Com o crescimento industrial, o desenvolvimento da
agricultura e a expansão dos centros urbanos, surgiram as primeiras faculdades dedicadas à
formação de professores. O Brasil conseguiu organizar o ensino secundário em um sistema
seriado, tornando obrigatório o diploma do ensino secundário para o ingresso no ensino
superior, isso resultou num esvaziamento dos cursos preparatórios. (FERREIRA, 2005).
Os avanços científicos e tecnológicos estavam acontecendo no cenário mundial e
15
Compêndio é o nome que se dá a uma súmula dos conhecimentos relativos a uma dada área do saber, em
forma de livro. Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Comp%C3%AAndio
48
necessitava de interação urgente com os conhecimentos matemáticos. No final da década de
1950 e início de 1960, começaram as primeiras adequações do ensino da Matemática no
Brasil, resultantes das ideias disseminadas internacionalmente pelo Movimento da
Matemática Moderna (MMM). (FERREIRA, 2005).
Nesse período o ensino da Geometria foi amplamente discutido e modificado –
em 1955 foi aprovado que o ensino da Geometria seria iniciado na 3ª série ginasial. Em 1957,
um novo programa foi aprovado e o ensino da Geometria apareceu na 1ª série ginasial,
comtemplando o ensino intuitivo das principais figuras planas e sólidos espaciais, tendo
continuidade nas 3ª e 4ª séries com a Geometria Dedutiva. Em 1959, através de nova
proposta, o ensino de Geometria teve início na 2ª série ginasial, apenas com o sistema métrico
e na 4ª série, o ensino da Geometria Dedutiva Plana, utilizando alguns conhecimentos de
Álgebra. (FERREIRA, 2005).
A respeito do MMM no Brasil, registra-se um momento de ampla discussão do
ensino desse conteúdo. Os modernistas defendiam uma reestruturação do ensino da Geometria
com outras abordagens diferentes da euclidiana, cobrando maior ênfase nas estruturas e
axiomas. Ferreira (2005), amparada em estudos de Morris Kline (1976), relata que a
geometria não euclidiana é dedutiva, porém os modernistas a tornaram muito rigorosa,
exigindo que o ensino e a aprendizagem deveriam ser expressos por axiomas para provar
afirmações que facilmente poderiam ser justificadas pelo raciocínio dedutivo. Isso acabou por
afastar os estudantes desse conteúdo em vez de aproximá-los.
No tocante ao legado do MMM, pesquisadores (GOMES, 2007; LORENZATO,
1995) destacam que esse Movimento contribuiu para o caos do ensino de Geometria,
resultando na limitação do desenvolvimento do conhecimento geométrico e a algebrização
dos conteúdos, resultando em lacunas que se refletiram nas práticas pedagógicas dos
professores.
[...] antes de sua chegada ao Brasil, nosso ensino geométrico era marcantemente
lógico-dedutivo, com demonstrações, e nossos alunos o detestavam. A proposta da
Matemática Moderna de algebrizar a Geometria não vingou no Brasil, mas
conseguiu eliminar o modelo anterior, criando assim uma lacuna nas nossas práticas
pedagógicas, (LORENZATO, 1995, p. 4).
Gomes (2007) assevera que, após esse Movimento, o raciocínio dedutivo e as
demonstrações geométricas foram apresentadas como uma simples série de receitas tornando
o enfoque meramente informativo e as abordagens adotadas não caracterizavam nem como
intuitivas, tampouco, dedutivas, ou seja, recebendo informações ilustrativas e com ausência de
49
percepção. O ensino da Geometria foi marcado pela despersonalização, visto que, na relação
ensino/aprendizagem, “os estudantes não descobriam as propriedades geométricas mediante
experiências, como também não chegavam a elas por meio de deduções – apenas recebiam
informações isoladas e sem qualquer justificativa.”. (GOMES, 2007, p. 6).
Na visão de Valente (2008), a herança adquirida pelo professor das práticas
desenvolvidas no século XIX sedimentou-se por mais de 100 anos. Já Ferreira (2005) declara
que, por mais de 300 anos, o ensino da Matemática foi tradicional – centrado no professor –
acentuado pelo elitismo e nem todos tiveram acesso a ele. “Para a elite, ensinava-se a
geometria euclidiana, racional e rigorosa; já nas classes menos favorecidas – ensino técnico –
privilegiando-se o cálculo.” (FERREIRA, 2005, p. 96). Nas aulas de Aritmética e Geometria
era enfatizado a abstração, a sistematização lógica por definições, axiomas e postulados,
incentivando a não participação de muitos alunos nessas aulas.
Sobre o enfoque do ensino de Geometria, na década de 1980, Grando, Nacarato e
Gonçalves (2008) corroboram, evidenciando que inúmeras pesquisas, da área de Educação
Matemática, relatam que a Geometria se revestiu no modelo direcionado à linguagem dos
conteúdos, resultando em ausência nos currículos e livros didáticos. Isso contribui para que os
professores a preterissem em relação à Álgebra e à Aritmética, desencadeando no abandono
do ensino desse conteúdo na escola básica.
A ausência do conteúdo de Geometria nos currículos e nos livros didáticos, nas
escolas brasileiras, nessa década, é consenso entre os pesquisadores. Os estudos de Lorenzato
(1995) apontaram equívocos nas propostas de elaboração desses livros, que apresentavam a
Geometria como “um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas, desligado de
quaisquer aplicações ou explicações de natureza histórica ou lógica; [...] reduzida a meia
dúzia de formas banais do mundo físico”. Essas lacunas realçadas na análise dos livros
didáticos, envolvendo os conteúdos e conceitos geométricos, influenciaram diretamente a
prática pedagógica dos professores durante as décadas subsequentes.
Na primeira década do século XXI, Passos (2000) assevera que os professores
apresentavam dificuldades em trabalhar conceitos geométricos elementares e quando
tentavam ensinar para seus alunos, apresentavam muita dificuldade, tanto na teoria quanto na
metodologia, comprometendo o processo de aprendizagem dos estudantes. Tais deficiências
não foram sanadas pelos cursos de formação inicial, resultando em um desconhecimento
profundo desse campo da Matemática, indicando a necessidade de formação continuada.
As análises relativas às duas primeiras décadas do século XXI indicam a
introdução de pequenas mudanças e adaptações. Especialistas (GOMES, 2007; NACARATO,
50
2008) revelam, em seus estudos, na primeira década do século XXI, que os professores
passaram a demonstrar maior atenção na preparação das práticas pedagógicas voltadas para os
conteúdos geométricos, propostos pelos programas curriculares da Educação Básica,
buscando a consolidação de proposições e conceitos.
Gomes (2007) realizou uma pesquisa junto a professores da rede municipal de
Belo Horizonte ao ministrar a disciplina de Geometria, em um curso de especialização, sobre
os conhecimentos geométricos e atividades experimentais desenvolvidas pelos docentes em
suas práticas educativas. A pesquisadora menciona que, apesar de estudos evidenciarem “uma
presença considerável das atividades experimentais com o uso de vários materiais e
instrumentos” por alguns docentes, infelizmente, essa metodologia de ensino ainda não é
utilizada pela maioria dos professores. (GOMES, 2007, p.14). A autora constatou que os
professores demonstram insegurança em relação ao que fazem e a maioria dos participantes
da pesquisa manifestou o desejo de ampliar os conhecimentos sobre os conteúdos geométricos
e metodologias específicas para seu ensino.
Já na segunda década do século XXI, pesquisadores (SANCHEZ, 2018;
SANTOS; NACARATO, 2014) apontam o movimento de resgate da Geometria em pesquisas
acadêmicas e nos livros didáticos. Em relação aos currículos da Educação Básica, em
consonância às orientações de diretrizes curriculares como BNCC (BRASIL, 2018a) e
Matrizes de Referências do INEP/MEC (BRASIL, 2018b), já se percebe a distribuição dos
blocos de conteúdos matemáticos: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas,
Probabilidade e Estatística, sem grandes disparidades.
No tocante às abordagens dos conteúdos geométricos nos livros didáticos,
Sanchez (2018, p. 39), ao analisar coleções de EM distribuídas em escolas públicas
brasileiras, pelo Plano Nacional do Livro Didático – PNLD/2015, observa que a Geometria já
aparece nos livros “de maneira integrada à Aritmética e à Álgebra, não sendo mais deixada
para o final do livro didático”.
Contudo, a autora ressalta que, na coleção aprovada e distribuída em 1º lugar no
Brasil16
no PNLD, a Geometria Espacial ainda é apresentada de modo extenso, fragmentado e
com muitos exercícios repetitivos. Além disso, não são exploradas as representações
bidimensionais (planificações) de objetos tridimensionais (figuras espaciais). No cálculo de
volume dos sólidos geométricos espaciais, faz-se somente a dedução da fórmula do volume
do paralelepípedo retângulo e as demais fórmulas são deduzidas de modo superficial.
16
dados obtidos no relatório estatístico do PNLD de 2015. (SANCHEZ, 2018).
51
Sanchez (2018) observa ainda a presença de exercícios que se caracterizam pela
repetição e pela resolução de problemas que não favorecem a reflexão. A quantidade de
conceitos e atividades propostas é excessiva. Em alguns tópicos da geometria desses livros é
possível perceber algumas abordagens relacionadas ao cotidiano ou a aplicações reais, mas
isso é feito de maneira isolada, ao final dos capítulos, em um subtópico destinado à resolução
de exercícios de vestibulares.
Em relação às adaptações e mudanças dos livros didáticos, com os conteúdos e
habilidades desenvolvidos no formato das indicações da BNCC e Matrizes de Referências do
INEP/MEC, não foi encontrado nenhum estudo no momento da realização desta investigação.
Ressalta-se que as coleções distribuídas nas escolas públicas brasileiras, pelo PNLD, para os
anos finais do Ensino Fundamental, chegaram às escolas no início de 2020 e as coleções do
EM só estarão disponíveis a partir de 2022.
Quanto à abordagem dos conteúdos geométricos no ensino, pelos professores,
Santos e Nacarato (2014) sinalizam que ainda há lacunas e deficiências perceptíveis na
atualidade. As pesquisadoras apontam que a prática dos professores ainda é caracterizada pela
presença de abordagens superficiais no ensino desse conteúdo ou ainda sua ausência, além da
falta de material de apoio para exploração do tema.
As ponderações apresentadas ao longo dessa seção indicam a necessidade de
reflexões sobre suas práticas educativas relacionadas a essa temática na aquisição de novos
conhecimentos do conteúdo e conhecimentos pedagógicos que contribuam para a melhoria da
atuação docente, bem como o processo de aprendizagem de seus educandos. A seguir,
discorre-se sobre abordagens do ensino de Geometria Espacial nas salas de aulas, no cenário
atual.
3.2 Ensino de Geometria nas avaliações da Educação Básica
A Educação faz parte dos direitos e garantias fundamentais, assegurados em nossa
Constituição Federal Republicana, dispondo esta que o ensino terá por princípios, dentre
outros, a “garantia de padrão de qualidade” e será promovido “visando ao pleno
desenvolvimento da pessoa, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para
o trabalho (BRASIL, 1988, art. 205). Contudo, ao analisarmos os resultados das avaliações
externas nacionais e internacionais da Educação Básica - PISA17
(2018) e SAEB18
(2017),
17
O PISA — Programme for International Student Assessment — é uma avaliação amostral externa trianual de
52
percebemos que a Matemática da Educação Básica no Brasil se encontra em níveis críticos de
proficiência.
Os conteúdos matemáticos da avaliação do PISA são contemplados em 4
temáticas: I. Variações e relações; II. Espaço e forma; III. Quantidade; IV. Incerteza e dados,
distribuídos em questões com a mesma recorrência (25% cada). Quanto ao conteúdo de
Geometria, contemplado na temática – espaço e forma – almeja-se que, neste campo de
conhecimento, o estudante tenha a habilidade de “compreender a noção de perspectiva, a
criação e a leitura de mapas, a transformação de formas (com e sem uso de tecnologias), a
interpretação de vistas de cenas tridimensionais a partir de diferentes perspectivas, e a
construção de representações de formas”. (BRASIL, 2019b, p. 101).
Os resultados divulgados pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira (INEP) sobre o PISA/2018 indicam que 68,1% dos estudantes
brasileiros encontram-se nos piores níveis de proficiência (nível 0 e nível 1) em Matemática e
não dominam habilidades básicas para a aprendizagem de conceitos de Geometria. Nesses
dois níveis, os estudantes apenas “conseguem executar cálculos aritméticos simples com
números naturais, seguindo instruções claras e bem definidas”. Apenas 15,6% dos estudantes
foram capazes de resolver situações-problema relativas ao eixo que aborda conteúdos
geométricos (espaço e forma). Esse dado foi apontado pelo relatório como ponto fraco dos
brasileiros. (BRASIL, 2019b, p. 110).
Ressalta-se ainda que o relatório nacional do PISA/2015, com a análise dos dados
avaliativos sobre essa prova, mostra que os resultados dos estudantes brasileiros que
realizaram a avaliação tiveram melhor performance no que diz respeito aos itens sobre valor
em dinheiro, razão e proporção e cálculos aritméticos. Entretanto, apresentam menor
desempenho em questões de Geometria, pois carecem do domínio das propriedades básicas
larga escala que permite obter informações sobre os sistemas educacionais dos países/economias participantes.
Em 2018, fizeram parte do PISA os 37 países da OCDE – Organização para a Cooperação e Desenvolvimento
Econômico – e 42 países/economias parceiras, incluindo o Brasil. Contou com uma amostra de 597 escolas e
10.691 estudantes avaliados, distribuídos por todo o território nacional. A população-alvo do PISA é formada
por estudantes com idade entre 15 e 16 anos, matriculados em uma instituição educacional federal, estadual,
municipal e particular. Dados disponíveis em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/
documentos/2019/relatorio_PISA_2018_preliminar.pdf.
18
O SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica – é um processo de avaliação somativa em larga escala
realizado bianual pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP),
permitindo que os diversos níveis governamentais avaliem a qualidade da educação práticada no país. Dados
disponíveis em: http://provabrasil.inep.gov.br/web/guest/educacao-basica/saeb.
53
das figuras geométricas planas e espaciais, demonstrando a dissociação entre o conteúdo
escolar e a realidade do educando. (BRASIL, 2016).
Brito (2017), ao realizar um estudo sobre o desempenho de alunos brasileiros na
avaliação do PISA de 2015, destaca que o cenário observado em Matemática é preocupante,
suscitando a necessidade de reformulação no sistema educacional brasileiro com objetivos
efetivos, realistas e plausíveis que resultem na melhora dos conhecimentos básicos na
formação dos educandos para atuarem de modo criativo, ético e crítico no mundo
contemporâneo.
Quanto à avaliação do SAEB, os resultados dessas avaliações são classificados em
uma escala de proficiência19
com 11 níveis, agrupados em três categorias de aprendizagem:
insuficiente (níveis 0 a 3), básico (níveis 4 a 6) e adequado (níveis 7 a 10). A métrica da
escala de proficiência para a 3ª série do EM varia de 0 a 500 pontos. (BRASIL, 2018b).
A tabela 1 indica o percentual de alunos que apresentou desempenho em cada
nível na prova de Matemática da 3ª série do EM no SAEB 2017.
Tabela 1 – Nível de aprendizagem em relação aos níveis de proficiência no SAEB
Matemática – 3ª série EM – 2017
Média de Proficiência brasileira = 270
Níveis Pontuação % de aluno por nível Nível 0 Desempenho < 225 22,49
Nível 1 Desempenho ≥ 225 e < 250 16,93
Nível 2 Desempenho ≥ 250 e < 275 17,60
Nível 3 Desempenho ≥ 275 e < 300 14,65
Nível 4 Desempenho ≥ 300 e < 325 11,32
Nível 5 Desempenho ≥ 325 e < 350 7,94
Nível 6 Desempenho ≥ 350 e < 375 4,55
Nível 7 Desempenho ≥ 375 e < 400 2,46
Nível 8 Desempenho ≥ 400 e < 425 1,44
Nível 9 Desempenho ≥ 425 e < 450 0,01
Nível 10 Desempenho ≥ 450 0,00
Fonte: Elaborado pela autora a partir das informações do INEP.
Os dados apontam que, entre os alunos que estavam concluindo a última etapa de
escolaridade da Educação Básica e realizaram a prova, 71,7% deles apresentam aprendizagem
considerada insuficiente (Nível 0, 1, 2 3); 23,8% encontram-se na categoria básica (Nível 4, 5
e 6) e somente 4,5% encontram-se em nível adequado (Nível 7, 8, 9 e 10) de conhecimentos.
Os conteúdos das provas são associados a competências e habilidades a serem
desenvolvidas pelos alunos, associadas aos níveis de aprendizagem (nível 1 a 10),
19
interpretação dada pela Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação.
54
organizados em quatro temas: I. Espaço e forma; II. Grandezas e medidas; III. Números e
operações/álgebra e funções; IV. Tratamento da informação. Nesses blocos temáticos, é
possível visualizar a Geometria nos temas I e II e níveis 6, 8 e 9. (BRASIL, 2018b).
As habilidades, referentes aos conteúdos de Geometria Espacial, a serem
adquiridas pelos estudantes do EM estão associadas a níveis de conhecimentos, como
especificados na tabela 2.
Tabela 2 – Habilidades de Geometria Espacial na escala de proficiência de Matemática
3ª série do EM
Níveis Tema Habilidades
Nível 6
Espaço e
forma. Associar um sólido geométrico simples a uma planificação usual dada.
Grandezas e
medidas Determinar o volume de um paralelepípedo retângulo, dada sua
representação espacial.
Nível 8
Espaço e
forma.
Determinar uma das medidas de uma figura tridimensional, utilizando o
Teorema de Pitágoras.
Determinar a quantidade de faces, vértices e arestas de um poliedro por
meio da relação de Euler.
Associar um prisma a uma planificação usual dada.
Grandezas e
medidas
Determinar a área da superfície de uma pirâmide regular.
Determinar o volume de um paralelepípedo, dadas suas dimensões em
unidades diferentes.
Determinar o volume de cilindros.
Nível 9 Grandezas e
medidas Determinar o volume de pirâmides regulares.
Resolver problema envolvendo cálculo de volume de cilindro.
Fonte: Elaborado pela autora a partir das informações do INEP.
A tabela 2 expõe os níveis e habilidades referentes aos conteúdos geométricos.
Fazendo-se um contraponto entre a tabela 1 e a tabela 2, evidencia-se que: a tabela 1 expõe os
níveis de aprendizagem dos alunos, a pontuação em cada nível e o percentual de alunos em
cada um desses níveis; a tabela 2 relaciona o nível de aprendizagem com a habilidade a ser
adquirida em cada nível. Diante dessas informações, visualiza-se a relação entre os baixos
níveis de aprendizagens alcançados pelos alunos e a ausência de conhecimentos geométricos
espaciais adquiridos pela maioria dos estudantes brasileiros.
As habilidades se ampliam na mesma proporção que aumenta o nível de
conhecimento. Os temas e habilidades de Geometria Espacial estão associados aos níveis 6, 8
e 9 da tabela 2. A tabela 1 demonstra que apenas 4,55% dos alunos atingiram o nível 6, 1,44%
alcançaram o nível 8 e 0,01% encontram-se no nível 9. Diante desses dados, é possível
afirmar que somente 6% dos alunos dominam as habilidades esperadas para o conteúdo de
Geometria Espacial, dentro da sua etapa de escolaridade, enquanto 94% dos alunos brasileiros
não dominam esses conhecimentos.
55
O gráfico 1 demonstra a variação das médias de proficiências dos estudantes
brasileiros, em Matemática, compreendidas no período de 2007 a 2017.
Gráfico 1 – Evolução das proficiências médias dos estudantes brasileiros, no 3º ano EM,
de 2007 a 2017.
Fonte: Elaborado pela autora a partir das informações do INEP.
A partir dos dados expostos no gráfico 1, o INEP, através do relatório final dos
resultados do SAEB 2017, evidencia ainda que praticamente não houve avanços na
aprendizagem dos alunos durante essa etapa de escolaridade e que estes concluem o EM sem
possuir os conhecimentos básicos de Matemática, especialmente em Geometria. Se
comparados aos anos anteriores, o nível de proficiência no EM dos educandos permanece
numa situação de inércia desde 2007. (BRASIL, 2018b).
O INEP (BRASIL, 2018b) apresenta também um comparativo entre a média geral
de proficiência em Matemática dos estudantes matriculados na última série do EM e os alunos
matriculados no 9º ano do Ensino Fundamental. Enquanto no EM a proficiência foi associada
ao nível 2, no 9º ano os estudantes apresentaram proficiência média relativa ao nível 3. Esse
dado indica que não está havendo uma progressão das habilidades ao longo da escolarização,
como propõe a BNCC (BRASIL, 2018a), que explana aos sistemas de ensino a ampliação do
domínio das habilidades à medida que os estudantes avancem para as séries subsequentes.
Para Santos et al. (2015), o professor deve ter compreensão dos resultados dessas
avaliações para orientar sua ação pedagógica. A ciência das aptidões e conhecimentos daquilo
que os estudantes desenvolveram até então permite que os docentes estabeleçam um
comparativo entre a aprendizagem e a série escolar correspondente. Contribui também para
56
identificar os empecilhos que interferem na aquisição dos conceitos, de forma mais efetiva.
Curi (2011) destaca que os resultados dessas avaliações indicam que os educandos possuem
poucos conhecimentos dos conteúdos matemáticos, sendo necessário, portanto, promover
melhorias na formação dos educadores.
Para Nacarato (2011), ao passo que essas informações são publicadas e
difundidas, fica evidente a intensificação dos debates acerca da formação dos educadores.
Pesquisadores como Fiorentini (2005) e Imbernón (2010) reconhecem a necessidade contínua
de políticas públicas direcionadas à formação de professores, que possam contribuir de forma
efetiva com a aprendizagem dos alunos da Educação Básica.
No tocante à prática docente no ensino de Geometria e sua relação com os dados
das avaliações apresentadas em parágrafos anteriores, estudos como de Fainguelernt e Nunes
(2012) apontam que a abordagem dos conteúdos em sala de aula tem priorizado questões que
focam em conceitos e aplicação de fórmulas, tornando o ensino dessa área de conhecimento
completamente algébrico.
As lacunas relacionadas à aprendizagem de Geometria são verificadas também,
nas provas do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), cujo resultado pode ser utilizado
para avaliar o desempenho dos alunos ao final da escolaridade básica. Fainguelernt e Nunes
(2012) mencionam que há estudos comprovando que os estudantes têm muitas dificuldades
com a Geometria, principalmente a Geometria Espacial.
Frente a essa realidade, o professor necessita definir estratégias pedagógicas para
alcançar objetivos de ensino que se relacionam diretamente à aprendizagem dos alunos. Para
tanto, é preciso que esse profissional esteja referenciado por uma bagagem de conhecimentos
sobre teorias pertinentes ao ensino e à aprendizagem dos alunos e que se apropriem de
metodologias de ensino que contribuam para melhoria da apresentação dos conteúdos
disciplinares.
De acordo com Proença (2008), para haver um ensino de Geometria de qualidade,
é necessário que o professor possua um amplo conhecimento da área, conheça processos
avaliativos para identificar o conhecimento conceitual e o nível de aprendizagem de seus
alunos, e saiba propor atividades direcionadas a uma aprendizagem significativa dos conceitos
geométricos em sala de aula.
A seguir, a seção aborda o contexto histórico do ensino da Geometria no Brasil
desde o século XVIII até as duas primeiras décadas do século XXI, apresentando as
características dominantes no ensino desse conteúdo, ao longo dos séculos.
57
3.3 A Geometria Espacial
A Geometria é um conteúdo da Matemática presente nas diversas etapas de
escolarização, sendo regulamentada por diversas propostas curriculares nacionais – Diretrizes
Curriculares Nacionais (DCN), Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), Base Nacional
Comum Curricular (BNCC), dentre outras.
Seu estudo se inicia na Educação Infantil, prosseguindo até o EM em que os
conteúdos são retomados, ampliados e sistematizados com os conhecimentos adquiridos em
séries anteriores. Na Educação Infantil são desenvolvidas habilidades relativas à lateralidade,
lateralização e noções topológicas. No Ensino Fundamental ao EM, a aprendizagem da
Geometria deve contemplar o desenvolvimento de outras habilidades como: conjecturar,
experimentar, validar hipóteses, representar, argumentar, comunicar procedimentos e
resultados. (PIROLA, 2013).
Na década de 1990, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
(PCNEM) trouxeram orientações complementares quanto ao ensino da Geometria Espacial na
escolaridade média, ressaltando que o estudo de representações geométricas planas e espaciais
desenvolve no indivíduo a capacidade de compreensão e ajuda na construção de modelos que
auxiliarão na resolução de questões tanto da Matemática quanto de outras disciplinas
(BRASIL, 1999).
Nesse mesmo período, Lorenzato (1995, p. 5) justifica a importância do ensino de
Geometria “pelo fato de que, o indivíduo sem esse conteúdo, nunca poderia desenvolver o
pensar geométrico, ou ainda, o raciocínio visual, além de não conseguir resolver situações da
vida que forem geometrizadas”. Fainguelernt e Nunes (2012, p. 114) asseguram que “ela
desempenha um papel integrador entre as diversas partes da matemática, além de ser um
campo fértil para o exercício de aprender a fazer e aprender a pensar, porque a intuição, o
formalismo, a abstração e a dedução constituem a sua essência”.
A relevância do ensino e aprendizagem da Geometria Espacial também é reiterada
por pesquisadores (FAINGUELERNT e NUNES, 2012; PIROLA, 2013) que indicam a
Geometria como ramo da Matemática que mais propicia o desenvolvimento de competências
e habilidades intelectuais nos indivíduos como a criatividade e a percepção espacial. A
abordagem desse conteúdo é de extrema relevância, tanto do ponto de vista das aplicações
práticas quanto no aspecto do desenvolvimento de capacidades intelectuais necessárias à
formação de qualquer indivíduo. “Ela é uma poderosa ferramenta para a compreensão,
descrição e inter-relação com o espaço em que vivemos.” (FAINGUELERNT; NUNES, 2012,
58
p. 113).
Na década de 2020, visualiza-se a Geometria em documentos oficiais como a
BNCC (BRASIL, 2018a) que orienta os currículos da Educação Básica nas escolas
brasileiras. Para o ciclo do EM, a Base apresenta 5 unidades temáticas: I. Números, II.
Álgebra, III. Geometria, IV. Grandezas e Medidas, V. Probabilidade e Estatística, nas quais a
Geometria se faz presente em duas delas – unidades III e IV – e perpassa todo o currículo
dessa etapa de escolarização.
Esse documento destaca a presença da Geometria em muitas situações reais do dia
a dia, salientando articulação do conteúdo em diversos contextos, tais como: o uso de mapas e
GPS20
– importantes na movimentação diária do cidadão comum; o estudo do movimento e
posição no espaço bidimensional e tridimensional; atividades investigativas com softwares
dinâmicos que podem gerar integração entre as áreas do conhecimento.
Quanto ao ensino de Geometria Espacial, pesquisadores destacam o desafio de
trabalhar esse tema, que carece de abordagens que favoreçam a visualização, a construção, a
mensuração, a abstração e a comunicação de procedimentos e resultados. Fainguelernt e
Nunes (2012) destacam que os conceitos matemáticos e as representações desses conceitos se
expressam “nas ações interiorizadas pelo sujeito, pelo significado que dão às suas ações, às
formulações que enunciam, às verificações e relações que realizam, necessitando para isso o
estabelecimento de abstrações e generalizações.” (NEHRING; POZZOBON, 2007 apud
FAINGUELERNT; NUNES, 2012, p. 128).
Contudo, Fainguelernt e Nunes (2012) asseveram que, quando a abordagem desse
conteúdo é feita por representações estáticas no plano, como aparece nos livros didáticos,
muitas das características e propriedades dos objetos deixam de ser compreendidas e
identificadas. Os estudos de Moraco (2006) refletem sobre o ensino de Geometria Espacial,
no EM, quando ocorre a transição entre a noção bidimensional dos polígonos da Geometria
Plana para os objetos tridimensionais da Geometria Espacial (poliedros, prismas, pirâmides,
entre outros sólidos geométricos). Segundo o autor, para os alunos essa transição apresenta
elementos de difícil compreensão.
Moraco (2006, p. 27) propõe que o ensino de Geometria Espacial no EM seja
apresentado “a partir de definições de objetos concretos encontrados no dia-a-dia, onde serão
contextualizadas as formas geométricas para reconhecimento, nomenclatura, construção,
representação, relações métricas simples.”. Após essa etapa, o professor deverá trabalhar com
20
Global Positioning System que significa: Sistema de Posicionamento Global.
59
a planificação dos sólidos que facilitará a compreensão das “diferenças entre figuras planas e
não-planas, os atributos definidores e propriedades dos polígonos” pelos alunos.
Leivas (2009) aponta que o ensino dessa disciplina na escola básica se limita ao
uso de fórmulas, não privilegiando as dimensões essenciais – imaginação, intuição e
visualização – para o desenvolvimento do pensamento geométrico. O autor apresenta suas
concepções acerca desses elementos e a sua relevância na construção dos conceitos.
Imaginação: expressa a forma de concepção mental de um conceito matemático, o
qual pode vir a ser representado por um símbolo ou esquema visual, algébrico,
verbal ou uma combinação dos mesmos, com a finalidade de comunicar para o
próprio indivíduo ou para outros tal conceito.
Intuição: processo de construção de estruturas mentais para a formação de um
determinado conceito matemático, a partir de experiências concretas do indivíduo
com um determinado objeto.
Visualização: um processo de formar imagens mentais, com a finalidade de construir
e comunicar determinado conceito matemático, com vistas a auxiliar na resolução de
problemas analíticos ou geométricos. (LEIVAS, 2009, p. 20-21-22).
Máximo (2016) esclarece que a visualização envolve “um processo amplo e
complexo que tem em sua composição a presença do pensamento visual, das imagens mentais
e das representações dessas imagens mentais”. É uma etapa fundamental no ensino e na
aprendizagem de Geometria Espacial, pois, com a formalização do pensamento visual, a
imagem mental é produzida e pode ser externada por meio das representações.
É consenso entre os pesquisadores que a visualização é essencial para o
desenvolvimento do pensamento geométrico, contudo, é preciso ter cuidado para que o ensino
e aprendizagem de Geometria não sejam limitados a simples procedimentos de visualização.
Porém, para Nasser e Sant’anna (2017), é possível amenizar as dificuldades e facilitar a
construção dos conhecimentos em Geometria usando estratégias didáticas convenientes e o
professor tem um papel primordial nessa construção.
Nessa vertente, Biani (2015) enfatiza que a mediação do ensino dos conteúdos de
Geometria Espacial entre professor e aluno deverá ser pautada por: intervenções pedagógicas
adequadas e fundamentadas em objetos empíricos, observáveis e manipuláveis. Se adotadas
desde o início do processo de ensino, contribuirá para o desenvolvimento da capacidade de
fazer relações, aprender conceitos e criar imagens mentalmente e, posteriormente, os alunos
serão capazes de estabelecer abstrações sem a presença de tais objetos.
No intento de modificar métodos de ensino de conteúdos geométricos, ao longo
da humanidade, os professores foram introduzindo recursos tecnológicos, ainda que bastante
convencionais. Silva e Bairral (2019) destacam que a tecnologia e Geometria caminham
60
juntas ao longo da história através da utilização dos instrumentos de medidas (varas de
cálculos, teodolitos), ferramentas de desenho de curvas geométricas e outros mecanismos, até
o surgimento das tecnologias digitais no ensino de Geometria.
As metodologias tradicionais de ensino empregadas pela maioria dos professores
– desenhos no plano, imagens dos livros didáticos, listas de exercícios – não são eficazes para
desenvolver a habilidade de visualização, a abstração e a formulação de conceitos inerentes
aos sólidos geométricos. (NADALON, 2018). Assim, a abordagem dos conteúdos
geométricos requer novas metodologias de ensino que possam suprir essa carência. Nesse
caminho, as tecnologias digitais e os softwares de geometria dinâmica se apresentam como
uma contribuição promissora da melhoria do ensino e da aprendizagem.
Isto posto, para essa investigação se propõe o uso dos recursos digitais móveis
com os aportes do software GeoGebra para o ensino de conteúdos de Geometria Espacial. A
seguir, apresentam-se considerações sobre o uso das tecnologias digitais da informação e
comunicação com a perspectiva de contribuir para o ensino e aprendizagem da Geometria
Espacial.
61
4 RECURSOS TECNOLÓGICOS
“Portanto, o que se requer é uma mudança
profunda sobre como pensar educação. Assim,
tecnologia não é a solução, é somente um
instrumento. Mas embora tecnologia não
produza automaticamente uma boa educação, a
falta de tecnologia garante automaticamente
uma má educação.”.
(SEYMOUR PAPERT, 2001)
Nos últimos tempos, a utilização de recursos tecnológicos educacionais é
apontada como alternativa para superação de dificuldades inerentes ao processo de ensino e
aprendizagem. Para Koehler e Mishra (2009), a palavra tecnologia é aplicada tanto para as
tecnologias analógicas quanto para as digitais, contudo, esta investigação dará ênfase às
tecnologias digitais. As pesquisas educacionais demonstram que, apesar do avanço dos
recursos tecnológicos digitais nos diversos campos da sociedade, esses recursos têm sido
pouco utilizados no contexto da sala de aula.
Este capítulo aborda a utilização das tecnologias digitais móveis na sala de aula
por meio do software GeoGebra, com o intuito de contribuir para o ensino de Geometria
Espacial e para melhoria da prática pedagógica dos professores. As discussões referenciam-se
em autores como Silva e Bairral (2019), Fainguelernt e Nunes (2012), Koehler e Mishra
(2005; 2009), dentre outros.
4.1 Tecnologias digitais da informação e da comunicação (TDIC)
As tecnologias digitais da informação e comunicação (TDIC) se expandiram
rapidamente nas últimas décadas e hoje integra os domicílios e outros espaços como um
processo natural na vida da maioria dos indivíduos. No Brasil, a utilização dos recursos
tecnológicos nas práticas educativas vem sendo objeto de estudo por diversos pesquisadores
como Valente (1998), Gomes (2007) e Silva e Bairral (2019). É consenso entre eles que essas
tecnologias estão chegando aos espaços escolares de uma forma muito lenta e de modo pouco
efetivo nos processos de ensino e aprendizagem.
Em 1997, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática já
apontavam a utilização dos recursos didáticos como um dos princípios norteadores do ensino,
e quando esses recursos estão associados a atividades práticas, propiciam situações
62
integradoras e favorecem a abstração dos conceitos. Os PCNs destacavam que “recursos
didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores, e outros materiais exercem
papel relevante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar
integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão”. (BRASIL, 1997, p.
19).
Diante dessa assertiva, o uso dos recursos tecnológicos tradicionais de ensino
(lápis, pincel, lousa, datashow) tem permanecido na prática pedagógica dos professores há
décadas. Koehler e Mishra (2009) refletem que esses recursos, nos últimos anos, perderam a
visibilidade e sequer são considerados como tecnologia. Com o surgimento dos recursos
tecnológicos digitais, estes passaram a exercer grande fascínio em seus usuários,
caracterizando-se como tendência mundial. As pesquisas em educação sugerem, então, a
possibilidade de inclusão desses recursos nos contextos de sala de aula a fim de integrá-los em
benefício do ensino e da aprendizagem.
Com a evolução da tecnologia e as inovações curriculares, surge a necessidade de
adaptação do ensino às novas demandas sociais. Neste sentido, a BNCC (BRASIL, 2018a, p.
17) orienta que os sistemas, redes de ensino e escolas devem “selecionar, produzir, aplicar e
avaliar recursos didáticos e tecnológicos”, incorporando-os aos seus currículos e propostas
pedagógicas, garantindo aos estudantes o desenvolvimento de competências específicas “a
respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas”, auxiliando-os em seus
processos de aprendizagem.
Fainguelernt e Nunes (2012, p. 23) recomendam a imediata utilização dos
recursos tecnológicos digitais nos espaços educativos, que vão “muito além do giz e do livro
didático”. Para as pesquisadoras, as tecnologias digitais se constituem como instrumento de
grande potencial para as práticas pedagógicas de ensino e de aprendizagem da Matemática,
possibilitando o “enriquecimento e a melhoria da qualidade de ensino”.
Koehler e Mishra (2009) observam que trabalhar com tecnologias digitais no
ensino envolve vários desafios. Por ser um recurso instável (diferente do pincel e da lousa que
permanecem com a mesma função há séculos), essas tecnologias atingem uma transparência
na aplicação e mudam sua funcionalidade ao longo do tempo, tornando-se ferramentas
comuns, além de perderem sua aplicabilidade. Em alguns casos, o uso de certos recursos
tecnológicos torna-se obsoleto antes mesmo do professor aprender a manuseá-los.
Os autores refletem ainda sobre a formação inicial do professor que, em diversos
casos, se desenvolveu em um período em que a tecnologia digital se encontrava num estágio
muito aquém dos dias atuais. Isso os faz sentirem-se inaptos para inseri-las em suas salas de
63
aula e desconsideram a relevância destes recursos para o ensino. Pesquisas na área da
educação matemática (IDEM, 201721
; NADALON, 2018;) indicam que o uso das tecnologias
digitais nos cursos de formação docente, nas IES, ainda permanece distante da formação.
Idem (2017), em sua pesquisa de mestrado, investigou o uso das tecnologias
digitais no ensino com licenciandos e professores de Matemática, concluindo que a prática
pedagógica do professor ainda é caracterizada pelo ensino transmissivo, sem auxílio de
recursos tecnológicos e ainda há poucos registros de programas de formação continuada
voltados para o uso de tecnologias digitais na área da Educação.
Silva (2018, p. 21) observa que “enquanto que o crescimento tecnológico social
cresce exponencialmente, esse desenvolvimento dentro da escola segue aritmeticamente”.
Para alguns professores, trabalhar com tecnologias demanda tempo, que vai desde a
elaboração das atividades, o planejamento pedagógico de suas práticas até o domínio da
tecnologia. Os professores, absorvidos pela dinâmica do trabalho escolar, na maioria das
vezes, não dispõem desse tempo. Entretanto, Fainguelernt e Nunes (2012) destacam a
necessidade de incorporar, de forma imediata e efetiva, os recursos tecnológicos no cotidiano
da escola e nas aulas de Matemática, para romper com a prática reprodutiva, dando ao ensino
uma dimensão mais dinâmica.
Conforme Nadalon (2018), o professor ainda faz pouco uso das tecnologias em
suas práticas, o que pode ser caracterizado como “falta de vontade de utilizá-las” ou “por falta
de capacitação para tal”. Para o autor, a maioria dos professores não teve em sua formação
inicial nenhuma disciplina que os preparassem para trabalhar com essas ferramentas e as
políticas públicas educacionais que propõem o uso desses recursos nas práticas escolares não
contribuem para a sua efetivação. A pesquisa de Nadalon, em 2018, não identificou
evidências de programas de formação docente nas instituições de ensino da Educação Básica
que preparasse os professores para utilizarem os recursos tecnológicos em sua dinâmica de
ensino.
Para Koehler e Mishra (2009), as formações, quando existem, são inadequadas,
pois possuem abordagem tecnológica sem integração pedagógica (não direcionam a ações de
ensino e aprendizagem). Diante disso, faz-se necessário promover a integração entre
conhecimento tecnológico, conhecimento de conteúdo e conhecimento pedagógico,
objetivando aprimorar esses conhecimentos aos contextos educacionais.
Em 31 de dezembro de 2019, a Organização Mundial de Saúde (OMS) declarou
21
Neste trabalho, Idem é usado para referenciar os estudos da pesquisadora Rita de Cássia Idem.
64
um surto de pneumonia, posteriormente denominada COVID-19, que se disseminou em todos
os Continentes, caracterizando-se como pandemia. Em março de 2020, em decorrência desse
cenário, os Conselhos de Educação: Nacional, Estaduais e Municipais emitiram resoluções
e/ou pareceres orientativos, suspendendo as aulas presenciais e sugerindo a substituição destas
aulas por aulas em meios digitais. Além disso, o Governo Federal/MEC publicou Medida
Provisória e Portarias, com normas excepcionais para a reorganização do ano letivo da
educação básica e do ensino superior, calendário escolar, dias letivos e uso de atividades não
presenciais, contabilizadas como dias letivos.
Diante desse cenário, MEC, IES e Secretarias de Educação vêm disponibilizando
cursos de formação para professores e profissionais da educação, por meio de plataformas on-
line, a fim de capacitar esses profissionais para desempenharem suas funções educativas. Para
a situação apresentada, no momento em que se conclui esta pesquisa de Mestrado
(Junho/2020), não há conclusões. Contudo, convém mencionar essa crise que assola o
mundo, enfatizando que professores e alunos vêm sendo obrigados a conviver e adaptarem-se
a esse novo cenário de atividades remotas, configurando-se em um modelo de ensino
totalmente novo para a maioria dos envolvidos.
Tais desafios exigem que o professor disponha do desejo de capacitar-se, vindo a
adquirir o domínio da tecnologia no decorrer da prática profissional para inseri-las em suas
atividades docentes. Para tanto, é necessário que esses profissionais concebam os recursos
tecnológicos como ferramentas de apoio e implementação de suas práticas educativas, tenham
confiança na sua capacidade de aprendizagem e interesse em ampliar os conhecimentos
docentes para trabalhar com os aparatos tecnológicos.
Nas últimas décadas, um recurso tecnológico que ganhou espaço entre a
população mundial foram os recursos digitais móveis (smartphones e tablets) que reúnem
diversas funções e podem ser utilizados de acordo com a necessidade de seus usuários. Muitas
pessoas têm substituído seus computadores por esses utensílios móveis, seja para funções de
trabalho ou como recursos interativos. Desse modo, esses objetos foram adentrando nas
escolas de modo a canalizar a atenção dos alunos para fins inoportunos como bate-papos e
acessos às redes sociais, sem o devido aproveitamento para fins educacionais. (SILVA, 2018).
Powell (2019) afirma que investigações que têm como foco o uso de smartphones
e tablets, por meio de aplicativos e softwares, na área da Educação Matemática, ainda são
pouco divulgadas. O autor destaca que é necessária a ampliação de pesquisas nessa área
educacional, pois colaboram para o progresso e o fortalecimento das tecnologias nesse campo
do conhecimento. Nessa perspectiva, diversos pesquisadores (BAIRRAL e CARVALHO,
65
2019; OLIVEIRA, 2019; SILVA e BAIRRAL, 2019) começam a direcionar seus estudos para
a referida temática, despontando, ainda que gradativamente, pesquisas difundindo a utilização
desses recursos em aulas de Matemática.
Silva e Bairral (2019) apontam vantagens ao se trabalhar com dispositivos móveis
em sala de aula, tais como: a disposição dos equipamentos pelos alunos; a familiaridade de
manuseio e conectividade; a compactação de uma quantidade maior de informações em um
pequeno espaço físico; a possibilidade de compartilhamento de aplicativos, softwares e
conteúdos entre os dispositivos dos alunos, para aqueles que não possuam conexão ativa com
a internet o tempo todo, por meio de aplicativos de compartilhamento como o MyAppSharer e
Bluetooth App Sender APK Share, entre outras.
Desse modo, os recursos tecnológicos móveis contribuem para o processo de
ensino e de aprendizagem em sala de aula, por meio do planejamento e da exploração de
atividades em softwares educacionais gratuitos, contribuindo para alcançar o objetivo comum
entre os envolvidos.
Contudo, para trabalhar com qualquer tecnologia, o professor deve possuir
conhecimentos específicos para manuseá-las, pois além do acesso à tecnologia, é essencial
“saber usá-la em paralelo aos conteúdos de forma a promover a aprendizagem”, visto que
“são inúmeras as possibilidades de aproveitamento deste recurso tecnológico,
complementando a aprendizagem, tornando as aulas mais dinâmicas e participativas.”
(SILVA, 2018, p. 25).
Fainguelernt e Nunes (2012) atestam que os recursos tecnológicos são
instrumentos de enorme potencial – possibilitam o enriquecimento e a melhoria da qualidade
de ensino, facilitam a aprendizagem e a tornam mais prazerosa. Apesar disso, o uso das
tecnologias “por si só” não garantem efetividade no processo de ensino e de aprendizagem, é
necessário haver interações entre o software e a abordagem dos conteúdos com explorações
de atividades que favoreçam a aprendizagem.
Corroborando com esse pensamento, Gomes (2007, p. 20) sinaliza que esses
recursos muitas vezes são empregados “sem a preocupação de estabelecer qualquer vínculo
entre eles e as atividades de experimentação”. Se as atividades não forem direcionadas à
promoção de reflexões e articulações necessárias à formação dos conceitos, pode-se não
atingir a aprendizagem desejada.
Nacarato (2005) salienta que a eficácia ou não dos recursos didáticos depende da
forma como eles são utilizados. Nenhum material, seja ele convencional ou tecnológico,
poderá ser considerado como potencializador do ensino e da aprendizagem se quem os
66
manuseia não possuir os conhecimentos específicos, sendo necessário, no mínimo, um
planejamento adequado antes de usá-los. Estabelecendo uma relação entre os conhecimentos
específicos apontados pela autora e os conhecimentos discutidos neste trabalho, pode-se dizer
que é necessário que o professor possua os conhecimentos: tecnológicos, pedagógicos e do
conteúdo para o desenvolvimento de um trabalho efetivo com os recursos tecnológicos
digitais em sala de aula.
Para Fainguelernt e Nunes (2012, p. 23), é necessário aliar a esses recursos
tecnológicos “novas metodologias de ensino, que fujam da simples memorização e tenham
como objetivo desenvolver habilidades de reflexão, levantamento de conjecturas e
argumentação”, levando o aluno a ser o protagonista do seu processo de aprendizagem. Caso
contrário, os recursos tecnológicos serão utilizados apenas como um recurso passivo, ou seja,
uma ferramenta de armazenamento, um mecanismo ágil para fazer cálculos ou, ainda, auxiliar
na busca de informações.
Em relação ao ensino de Geometria, é possível encontrar investigações que se
apropriaram de softwares de geometria dinâmica22
para construções de desenhos geométricos
em que são exploradas propriedades da geometria euclidiana. Os estudos de Silva e Bairral
(2019) apontam alguns softwares de geometria dinâmica que podem ser executados nos
dispositivos móveis – Cabri 3D, FreeGeo, GeoGebra, Geometric Constructer, Sketchometry.
Esses softwares, quando trabalhados nos dispositivos móveis, podem ser manipulados com
simples toques (touchscreen), facilitando o seu uso.
As atividades desenvolvidas a partir desses softwares permitem que “os alunos
criem estratégias e vão instigando, descobrindo, ajustando e redescobrindo conceitos e
propriedades por meio de argumentação, chegando a dedução de propriedades matemáticas.”.
(SILVA; BAIRRAL, 2019, p. 35). Contudo, não se deve esquecer que o professor exerce
papel fundamental, começando na escolha do software, na elaboração de atividades
instigantes, na exploração das habilidades a serem desenvolvidas pelos estudantes.
Fainguelernt e Nunes (2012) afirmam que as pesquisas vêm mostrando que o
emprego de softwares na geometria dinâmica favorece a exploração e a aquisição de
conhecimentos geométricos, proporcionando uma série de vantagens que o ensino com lápis,
régua e compasso não propiciam. Dentre essas vantagens, são destacadas:
a) agilidade na investigação – as figuras são construídas rapidamente na tela do
22
“Geometria Dinâmica é um termo utilizado para nomear um método dinâmico e interativo para o ensino e
aprendizagem de geometria usando ambientes computacionais”, onde as mudanças podem ser visualizadas em
tempo real. (FAINGUELERNT; NUNES, 2012, p. 121)
67
computador, enquanto levam-se horas para se construir com lápis e papel;
b) dinâmica – a partir de uma única construção é possível modificar o número de
experimentações da figura efetuada, o que seria impossível com o desenho
manual em um plano físico, com régua e compasso;
c) visualização – as figuras podem ser construídas em formas diversificadas e
visualizadas em diferentes perspectivas;
d) interação – o aluno tem a possibilidade de interagir com a figura, modificando-
a, animando-a, olhando-a sob diferentes perspectivas, possibilitando a análise
de seus elementos.
Bairral (2017, p. 103) defende o uso dos dispositivos móveis no ensino como fator
gerador de aprendizagens e descobertas. Além disso, esses recursos poderão “compor o
cenário de aula como mais uma possibilidade de dinamizar o ensino e de promover novas
explorações conceituais, procedimentais etc.”. Nessa perspectiva, esta pesquisa buscou
contribuir com a ampliação do conhecimento dos professores para o ensino com o uso de
recursos tecnológicos digitais utilizando-se GeoGebra na produção e na compreensão de
conteúdos matemáticos, em especial Geometria Espacial.
Dentre a diversidade de softwares que podem ser utilizados para conteúdos de
Geometria Espacial, justifica-se a escolha do GeoGebra para esta investigação, pela
aproximação da pesquisadora com a ferramenta, em momentos que antecederam o
planejamento do projeto de pesquisa, fato relatado em seções anteriores. A seção seguinte
apresenta considerações sobre o ensino de Geometria Espacial com o suporte das tecnologias
digitais móveis – smartphones, iphones e tablets com o auxílio do software GeoGebra no
ensino dos poliedros de Platão, prismas e pirâmides.
4.2 O GeoGebra
Os softwares educativos são mencionados por pesquisadores como instrumentos
de grande potencial para as práticas pedagógicas, possibilitando “criação e exploração de
objetos geométricos diferentes dos modelos padrões e estáticos dos livros textos.” (SILVA;
BAIRRAL, 2019, p. 175). Dentre os diversos softwares empregados em pesquisas
(ANDRADE, 2011; COSTA, 2016; GIL, 2013; JUCÁ, 2011; NADALON, 2018;
NASCIMENTO, 2012) da área da educação matemática, direcionadas ao ensino de Geometria
com uso de recursos tecnológicos digitais, o GeoGebra apresenta-se com grande recorrência.
A escolha pelo uso GeoGebra através dos dispositivos móveis na presente
68
investigação é justificada por ser um software de fácil familiarização e em razão da
organização e disponibilidade de diversos recursos na mesma interface de trabalho utilizada,
além de possuir entes geométricos de fácil manuseio.
Assim, o GeoGebra 3D é considerado um software dinâmico, gratuito, idealizado
por Markus Hohenwarter, docente do departamento de Matemática da Universidade de
Salzburgo, na Áustria. Para Matemática, o software agrega conteúdos de Geometria, Álgebra
e Cálculo e foi desenvolvido para auxiliar ações de ensino e aprendizagem de professores e
alunos da Educação Básica e do Ensino Superior. O nome GeoGebra originou-se da fusão dos
termos Geometria e Álgebra. (GEOGEBRA, 2019).
Além da versão executável para computadores com sistemas operacionais
Windows e Linux, disponível para download através do site www.geogebra.org, foi
desenvolvido um aplicativo (app) para sistemas Android23
e iOS24
que inclui basicamente
todas as funções da versão usada em computadores. O app do GeoGebra pode ser baixado
tanto no Play Store para sistemas operacionais Android ou no App Store para versões iOS em
smartphones e iphone, digitando-se “Calculadora Gráfica GeoGebra 3D”. (GEOGEBRA,
2019).
A instalação também pode ser feita por meio do aplicativo de compartilhamento
entre os dispositivos, sem a necessidade de conexão com internet, através de bluetooth,
representando uma vantagem para os alunos que não dispõem de pacotes de dados de
conexão. Após a conclusão do download e instalação do programa o ícone do software ficará
disponível na galeria de aplicativos dos dispositivos a serem utilizados.
O software foi desenvolvido com fins educativos, voltado principalmente para a
Matemática, de uso gratuito e indicado para trabalhar conteúdos de Geometria, Álgebra,
Cálculo e recursos de Probabilidade e Estatística. Os usuários podem criar simulações
diretamente no seu dispositivo, salvar os objetos criados, compartilhá-los ou executar
qualquer simulação que tenha sido desenvolvida por outro usuário.
As construções podem ser criadas através de comandos e ferramentas, com
múltiplos toques, proporcionados pela tecnologia touchscreen, além da possibilidade de guiá-
las ou movê-las para diversos locais da tela. É um excelente recurso para desenvolver
trabalhos de Geometria, pois facilita a construção de sólidos na versão tridimensional, além da
23
Sistema operacional projetado principalmente para dispositivos móveis com tela sensível ao toque como
smartphones e tablets. (https://pt.wikipedia.org).
24
Sistema operacional móvel da Apple Inc. desenvolvido originalmente para iPhone. (https://pt.wikipedia.org).
69
facilidade de planificá-los, na mesma interface de trabalho.
Ao abrir o software, aparece a interface inicial do GeoGebra, como se mostra na
Figura 2, composta por dois campos de visualização e a barra de Menu.
Figura 2 – Interface inicial do GeoGebra 3D no smartphone
Fonte: Elaborada pela autora.
Na figura 2, têm-se os seguintes elementos: a barra de Menu, com dois ícones que
podem ser usados alternadamente, possibilitando trabalhar com “janela de entrada” e a “barra
de ferramentas”. À direita da figura, visualiza-se o plano destinado às construções
geométricas e, à esquerda, a janela algébrica.
Alternando-se a “janela de Entrada”, visualizada à esquerda da figura 2, para a
“barra de ferramentas”, obtém-se a interface disposta na figura 3.
Figura 3 – Interface inicial da barra de Menu
Fonte: Elaborada pela autora.
A barra de Menu disponibiliza diversos recursos, como se mostra na figura 3, a
partir ícones de comando como: “ferramentas básicas”, “editar”, “pontos”, “retas e
polígonos”, “sólidos”, “planos”, “círculos”, “curvas”, “medições”, “transformações” e “retas
especiais”.
70
As funções de cada ferramenta disponibilizada na barra de ferramentas do
GeoGebra são apresentadas no quadro 1.
Quadro 1 – Ferramentas do GeoGebra 3D
Ferramenta Ícone Funções
Mover
Movimentar ponto ou objeto na janela geométrica. Também tem a função
de neutralizar um comando executado anteriormente.
Ponto
Criar um ou mais pontos na janela geométrica.
Exibir/
Esconder
Mostrar ou ocultar um rótulo de um objeto.
Exibir/
Esconder Após ativar essa ferramenta, selecione o objeto que deseja mostrar ou
ocultar.
Apagar
Exclui qualquer objeto que deseja apagar.
Vista para
frente de Mover o ponto de vista da construção na frente do objeto selecionado.
Interseção
Criar pontos de interseção de dois objetos, dessa forma todas as
interseções existentes são marcadas.
Ponto Médio ou
Centro
Obter o ponto médio entre dois pontos ou o ponto médio de um segmento.
Ponto em
objeto Criar um ponto fixo em um objeto
Vincular/
Desvincular
Anexar ou desanexar um ponto a um caminho ou uma região.
Segmento
Criar um segmento de reta a ser traçado por dois pontos.
Segmento/
comprimento
fixo
Criar um segmento com comprimento específico e um ponto final que
pode ser girado em torno do ponto inicial.
Reta
Traçar uma reta definida por dois pontos.
Semirreta
Traçar uma semirreta a partir de dois pontos.
Vetor
Criar um vetor determinado por dois pontos.
Polígono
Construir um polígono a partir de três pontos.
Polígono
Regular
Construir polígonos regulares, digitando-se o número de lados.
Reta
Perpendicular
Construir uma reta perpendicular à um plano.
Reta Paralela
Construir uma reta paralela à reta considerada, passando por um referido
ponto.
Bissetriz
Construir as bissetrizes dos ângulos determinados por duas retas
concorrentes.
Reta Tangente
Criar retas tangentes a uma seção cônica.
Intersecção de
superfícies
Obter a curva de interseção de dois objetos que tiverem pontos em
comum.
Pirâmide
Criar uma pirâmide com o polígono fornecido como base e um ponto
como vértice.
Prisma
Criar um prisma com o polígono fornecido como base e altura específica.
Tetraedro
Criar um tetraedro com faces regulares com o segmento
entre os dois pontos como uma aresta.
Cubo
Construir um cubo a partir de uma base formada por dois pontos.
(continua)
71
Quadro 1 – Ferramentas do GeoGebra 3D
Ferramenta Ícone Funções
Esfera
Construir uma esfera a partir de dois pontos.
Esfera com
centro/raio Construir uma esfera com centro A e medida específica para o raio.
Cone
Criar um cone com altura e raio especificados.
Cilindro
Criar um cilindro com raio da base e altura determinadas.
Extrusão para
Pirâmide
Criar um círculo ou uma pirâmide a partir de um círculo ou polígono.
Extrusão para
Prisma Criar um cilindro ou um prisma a partir de um círculo ou polígono.
Planificação
Obter a planificação de um sólido tridimensional a partir de sua base
inferior.
Plano por três
pontos
Criar um plano determinado por três pontos.
Plano
Criar um plano determinado por três pontos; ou ponto e linha; ou duas
linhas; ou um polígono.
Plano Paralelo
Criar um plano determinado por um ponto e um plano e paralelo ao plano
selecionado.
Plano
Perpendicular
Criar um plano determinado por um ponto e uma linha e perpendicular à
linha selecionada.
Círculo
(Eixo-ponto)
Criar um círculo a partir de um eixo e um ponto no círculo.
Círculo
(Centro-raio)
Criar um círculo e movimentá-lo em diferentes direções (linha ou plano).
Circulo
Criar um círculo marcando por três pontos não-colineares.
Arco Circular
Especificar o comprimento de um arco circular.
Arco
circuncircular
Criar um arco a partir de três ponto, sendo A o ponto inicial e C, o ponto
final.
Setor circular
Criar um setor circular a partir de um ponto central.
Setor
circuncircular Criar um setor circular a partir de três pontos.
Elipse
Criar uma elipse a partir de dois focos da elipse e um terceiro ponto que
fica na elipse.
Cônica por
cinco pontos
Criar uma seção cônica através de cinco pontos.
Parábola
Criar uma parábola a partir de um ponto e uma diretriz.
Hipérbole
Criar uma hipérbole com determinados pontos de foco.
Lugar
geométrico
Criar lugar geométrico em um ponto B que depende de outro ponto A.
Reflexão/
plano
Desenhar um objeto refletido em relação a um plano através do qual
ocorrerá a reflexão.
Reflexão/
ponto Desenhar um objeto refletido em relação a um ponto através do qual
ocorrerá a reflexão.
Reflexão/
Reta
Desenhar um objeto refletido em relação a uma reta através da qual
ocorrerá a reflexão.
Girar em torno
de reta
Girar um objeto a partir de um eixo e um ângulo específico.
Translação por
um vetor
Criar um vetor v através de um ponto A para um ponto B.
Homotetia
Dilatar o objeto de um ponto, através de ponto central da
dilatação, usando fator especificado.
(continua)
72
Quadro 1 – Ferramentas do GeoGebra 3D
Ferramenta Ícone Funções
Ângulo
Traçar ângulos entre três pontos; ou entre dois segmentos ou entre duas
retas ou em um polígono.
Distância,
Comprimento
Obter a distância entre: dois pontos; duas linhas ou um ponto e uma linha.
Área
Obter a área de um polígono, na janela algébrica.
Volume
Calcular o volume de um sólido construído.
Girar Janela
Girar a visualização de gráficos 3D.
Mover Janela
Arrastar a área de trabalho ou os eixos da janela geométrica.
Estilo visual
Copiar as propriedades visuais como cor, dimensão, estilo de linha, etc., a
partir de um objeto, para vários outros objetos.
Caminho
poligonal
Criar linha poligonal através de, pelo menos, três pontos que serão
vértices da polilinha.
Reta polar ou
diametral Criar a linha polar ou de diâmetro de uma seção cônica.
Fonte: Elaborada pela autora.
Todas as ferramentas apresentadas no quadro acima estão disponíveis para serem
exploradas nos dispositivos móveis (smartphones, iphones ou tablets) e tiveram suas funções
descritas de modo sucinto. Aquelas utilizadas no desenvolvimento dos conteúdos de prismas e
pirâmides, as quais foram exploradas na etapa formativa com os professores, encontram-se
detalhadas nos apêndices D a I, deste trabalho.
Um objeto pode ser construído tanto por fórmulas digitadas na função Entrada ou
a partir do ícone disponibilizado na barra de Menu. Seguindo alguns comandos, têm-se a
imagem do objeto almejado exibida no campo geométrico. A figura 4 apresenta a imagem de
um cubo construído no software, em que se visualiza sua forma tridimensional e
bidimensional.
Figura 4 – Sólido geométrico construído na tela do GeoGebra 3D
Fonte: Elaborado pela autora
O GeoGebra 3D permite a movimentação desses sólidos geométricos na tela do
(conclusão)
73
dispositivo. Esse espaço interativo proporciona condições ao aprendiz para que ele manipule e
visualize seus elementos, aplicando propriedades e realizando conjecturas. Esses requisitos
são essenciais para observação de regularidades e podem contribuir para a construção do
conhecimento e da aprendizagem significativa.
Com toques no touchscreen, na tela do dispositivo, é possível arrastar o sólido
exibido na figura 4 em diferentes sentidos. Movendo dois dedos para dentro e para fora da
janela de visualização, é possível alterar a dimensão da imagem/objeto para menor ou maior.
Para se visualizar as propriedades do objeto, clica-se na janela de Entrada e logo se obtém
dados do objeto (coordenadas dos vértices, área, volume etc.).
Quanto à utilização desse software no trabalho docente, este apresenta vantagens
de ser manuseado no espaço físico da sala de aula, além de ser utilizado nos dispositivos
móveis dos alunos sem a necessidade do emprego do laboratório de informática. Mas isso não
garante a efetividade do processo de ensino e aprendizagem. Requer, dentre outras
habilidades, que o professor esteja preparado para mediar situações de ensino e que o aluno
tenha interesse em trabalhar com esse recurso, que lhe permita fazer manipulações e analisar
os elementos das construções geométricas que auxiliam o educando na construção do
conhecimento. (SILVA, 2018).
Para utilização do software GeoGebra, nesta pesquisa, foram construídos tutoriais
a partir da observação de vídeos do youtube25
, disponibilizados pelos pesquisadores Prof.
Humberto Bortolossi, da Universidade Federal Fluminense (UFF) e Prof. Sérgio Dantas,
docente da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Apucarana (UNESPAR).
Além do GeoGebra, foram utilizados outros aplicativos durante as sessões
formativas. Um deles foi o software AZ Screen Recorder que foi utilizado para gravar
imagens de captura de tela dos dispositivos móveis, bem como a comunicação verbal
realizada entre os participantes nos encontros práticos com o software em que a pesquisadora
trabalhou junto aos professores pesquisados. O outro software utilizado foi o ApowerMirror26
,
empregado para espelhar as imagens da tela do celular para o computador, de modo que
pudessem ser projetadas pelo datashow no espaço formativo.
A seguir, apresenta-se a metodologia que guiou os procedimentos e as técnicas de
coleta de dados dessa investigação.
25
https://ogeogebra.com.br; www.youtube.com/watch?v=Y1Zy5PbfHI0&t=1614s
26
O ApowerMirror é um aplicativo para reproduzir a tela do Android/iPhone no computador. Ele também
permite que os usuários controlem seus dispositivos pelo PC, usando o mouse e o teclado. Fonte:
www.apowersoft.com.br.
74
5 METODOLOGIA
“Se fosse ensinar a uma criança a arte da
jardinagem, não começaria com as lições das
pás, enxadas e tesouras de podar. Levaria a
passear por parques e jardins, mostraria flores
e árvores, falaria sobre suas maravilhosas
simetrias e perfumes; [...]. Aí, seduzida pela
beleza dos jardins, ela me pediria para ensinar-
lhe as lições das pás, enxadas e tesouras de
podar”.
(RUBENS ALVES, 2004).
Este capítulo tem a finalidade de descrever os procedimentos e técnicas de coleta
de dados trilhados no processo de investigação científica da pesquisa de campo, buscando
atingir os objetivos da pesquisa que se encontram expostos na introdução deste trabalho. Do
mesmo modo, expõe a escolha do paradigma de pesquisa e o tipo de estudo, esclarece os
critérios observados na escolha do lócus da pesquisa e dos sujeitos participantes da
investigação, os métodos e os instrumentos de coleta que serviram de subsídios para análise
de dados, resultados e conclusões desta pesquisa.
Na literatura acadêmica são encontrados diversos autores que orientam os
procedimentos de investigação e percursos metodológicos, de modo que os caminhos
apresentados são específicos para a presente investigação e agrupa o pensamento de Barbier
(2002); Bogdan e Biklen (1994); Fiorentini e Lorenzato (2012); Ghedin e Franco (2011),
Marconi e Lakatos (2010), dentre outros.
5.1 Abordagens da pesquisa
A pesquisa científica em educação tem, dentre seus postulados, o aprofundamento
do saber e a produção de novos conhecimentos voltados à promoção de melhores condições
sociais para existência dos indivíduos. Ghedin e Franco (2011, p.42) observam que esse tipo
de pesquisa deve ser desenvolvido em observância a métodos de análise e de ação “coletiva,
dialógica e comprometida com a emancipação” de todos os envolvidos. Para tanto, faz-se
necessário estabelecer procedimentos científicos destinados a indicar sua origem e seu
alcance.
Sob essa perspectiva, o objeto dessa investigação encontra-se imbricado na
abordagem fenomenológico-hermenêutica, que consiste em abordagem que tem origem no
75
campo filosófico da fenomenologia e na perspectiva hermenêutica. Para Fiorentini e
Lorenzato (2012, p. 65), essa tendência “parte do pressuposto de que a solução dos problemas
educacionais passa primeiramente pela busca de interpretação e compreensão dos significados
atribuídos pelos envolvidos (os sujeitos que experienciam o fenômeno)”. Na pesquisa
científica, constitui-se na busca do pesquisador em compreender e atribuir significado a
determinada realidade que se externa diante dele.
Sánchez Gamboa (2000, p. 95) pontua que nas abordagens fenomenológico-
hermenêuticas os processos de conhecimentos se iniciam em partes, pela manifestação dos
fenômenos “e caminham em direção do todo”. O conhecimento acontece quando se captura o
significado dos fenômenos e se desvenda “seu verdadeiro sentido”.
Nesse processo, a presença do pesquisador é elemento marcante pela capacidade
de interpretar fenômenos e discursos. Para Sánchez Gamboa (2000, p. 95), o pesquisador tem
que intervir no contexto investigado, interpretando-o, “procurando o seu sentido, e utilizando
técnicas abertas que permitam a manifestação profunda dos fenômenos”.
Nesta pesquisa, a abordagem fenomenológico-hermenêutica se efetiva quando a
pesquisadora decidiu analisar a prática pedagógica dos professores (caracterizados na seção
5.5) de Matemática do EM, a partir dos seus conhecimentos profissionais mobilizados e
empregados no ensino de Geometria Espacial através de um processo de formação
continuada.
Os estudos teóricos da pesquisadora sobre os objetos da pesquisa contribuíram
para ampliação do conhecimento a respeito da problemática investigada em busca de
mudanças na práxis dos sujeitos envolvidos, ensejando alcançar melhorias para o processo de
ensino de Geometria Espacial. Ghedin e Franco (2011, p. 173) reforçam as concepções sobre
a presença do pesquisador e sua relação com objeto de pesquisa para constituição do
conhecimento. Para os autores, “o pesquisador tem de dirigir o olhar para as profundezas das
relações a fim de ler o que está escondido por trás das aparências, e não ficar apenas no
reflexo da superficialidade”.
Para investigação do problema, a pesquisa trilhou os caminhos metodológicos da
abordagem qualitativa, que, na visão de Silvano (2019, p. 81), tem como uma das finalidades
“aprofundar a compreensão dos fenômenos investigados a partir de uma análise rigorosa e
criteriosa das informações que compõem o universo dos dados a serem analisados”.
Ghedin e Franco (2011, p. 57) destacam que Franco (2003) ao analisar
dissertações de mestrado e teses de doutorado produzidas na década de 2000, cuja temática
era direcionada à prática docente, constatou que praticamente todas elas empregaram a
76
abordagem qualitativa. Para os autores, isso demonstra a preocupação dos pesquisadores “em
procurar a participação dos sujeitos pesquisados na análise dos processos e dos resultados da
pesquisa.”.
Minayo (2002, p. 21-22) assevera que pesquisas que apresentam essa abordagem
respondem questões particulares e se preocupam com realidades que não podem ser
quantificadas, “ou seja, ela trabalha com o universo de significados, motivos, aspirações,
crenças, valores e atitudes, o que corresponde a um espaço mais profundo das relações, dos
processos e dos fenômenos que não podem ser reduzidos à operacionalização de variáveis”.
Para Borba e Araújo (2018) as pesquisas com abordagem qualitativa surgem da inquietação
do pesquisador e objetiva saber o “como” os fenômenos acontecem.
Ghedin e Franco (2011) apontam que as pesquisas qualitativas na área
educacional, nas últimas décadas, foram embasadas em novas concepções, visualizando-se
nelas:
O professor como sujeito no cenário da pesquisa;
O cotidiano e as práticas educacionais que são compreendidos como espaço de
vivência e de transformações;
A realidade social que passou a ser analisada como componente com múltiplos
significados e representações, carregados de intencionalidade;
O pesquisador que reconhece o sujeito pesquisado como alguém com
identidade e autonomia, em busca de emancipação;
Os fatos que acontecem em constante movimento e os produtos são
provisórios, havendo necessidade de focar na construção do processo; e
As técnicas de pesquisas que se tornam mais profundas e ricas, primando por
significados mais convincentes.
Na concepção de Bogdan e Biklen (1994), a investigação qualitativa com
abordagem fenomenológico-hermenêutica apresenta cinco características essenciais, embora
alguns estudos possam vir desprovidos de algumas dessas características, apresentadas a
seguir:
a) O ambiente natural como fonte direta de dados e o investigador constituem-se
os principais instrumentos, ou seja, os dados são obtidos pelo seu contato direto
e o seu entendimento é o principal instrumento de análise;
b) A investigação qualitativa é descritiva – os dados são descritos em forma de
palavras e não de números e os investigadores tentam analisar os dados com
77
toda riqueza possível, respeitando a forma como foram registrados ou
transcritos;
c) Os investigadores interessam-se mais pelo processo do que pelos resultados ou
produtos – as estratégias se manifestam e as expectativas se definem nas
atividades, procedimentos e interações diárias;
d) Os investigadores tendem a analisar os dados de forma indutiva – os dados são
recolhidos sem o intuito de confirmar ou refutar hipóteses construídas
previamente, ao contrário, as abstrações vão se construindo à medida que os
dados recolhidos vão se agrupando;
e) O significado é de vital importância na abordagem – os investigadores
estabelecem estratégias e procedimentos levando em consideração as
interpretações de acordo com o que lhes é informado.
Borba e Araújo (2018) acrescentam que o uso de abordagens qualitativas em
pesquisas em Ciências Sociais não é novo, pois sua origem se remete ao século XIX.
Contudo, na área de Educação Matemática, essa abordagem vem sendo discutida há pouco
tempo, já que os pesquisadores dessa área (professores de Matemática) foram sempre
direcionados a trabalharem com quantidades. Para o autor, fornecer informações descritivas
do modo como as ações da pesquisa qualitativa são feitas, configura-se ainda, como um
grande desafio.
Para Garnica (2018), em Educação Matemática, a caracterização de uma pesquisa
qualitativa segue praticamente todos os parâmetros acima descritos por Bogdan e Biklen,
mesmo que essas orientações sejam da década de 1980. Aceitar esses pressupostos é conceber
sua contemporaneidade no desenvolvimento desse tipo de pesquisa.
Assim, após a definição do paradigma e da abordagem da presente investigação,
prossegue-se com a delimitação do método de pesquisa, o qual seguiu-se à metodologia da
pesquisa-ação.
5.2 Pesquisa–ação como metodologia
A pesquisa científica pode ser conceituada como um processo sistemático
detalhado, oriunda da ação humana, mediante investigação rigorosa sobre um determinado
problema ou uma questão da realidade que instiga o pesquisador a descobrir respostas para as
indagações inicialmente propostas. Para Fiorentini e Lorenzato (2012), o processo
investigativo passa por dois momentos fundamentais: a formulação da questão de
78
investigação e a construção do caminho que permite responder desde a questão de
investigação até a solução ou resposta confiável.
Sob essa perspectiva, esta pesquisa segue os princípios da pesquisa-ação que se
apresenta como uma perspectiva epistemológica de transformação da prática docente dos
participantes do processo de pesquisa. Fiorentini e Lorenzato (2012) alertam que essa prática
de pesquisa pode não encontrar suporte teórico-epistemológico em nenhum dos paradigmas
clássicos de investigação ou contemplar procedimentos de vários paradigmas. Os autores
definem a pesquisa-ação como uma variante de atuação e observação intermediada pela ação
na qual:
O pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e
compreendê-lo, mas sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria
das práticas e maior liberdade de ação e aprendizagem dos participantes. [...]
Apresenta-se transformadora, libertadora, provocando mudança de significados.
(FIORENTINI; LORENZATO, 2012, p. 112).
Nessa concepção, a pesquisa-ação é entendida como um processo de intervenção
investigativo em que as práticas – investigativa, reflexiva e educativa – caminham juntas. A
prática educativa, quando investigada, produz orientações e compreensões que são
transformadas, gerando novas situações de investigação. Fiorentini e Lorenzato (2012)
esclarecem que os principais objetivos da pesquisa-ação é: (i) promover melhorias nas
práticas pedagógicas dos professores; (ii) articular o desenvolvimento curricular centrado na
escola; (iii) proporcionar o desenvolvimento de um grupo autorreflexivo na escola; (iv)
refletir sobre melhorias de condições de trabalho pedagógico e investigativo”.
Os autores supracitados reforçam que, apesar da pesquisa-ação ser considerada
uma técnica de coleta de informações, ela também é vista como uma espécie de ação em que
os sujeitos pesquisados também podem exercer a ação de pesquisar a própria prática. Quanto
ao papel do pesquisador, este atua tanto como pesquisador quanto como participante,
intervindo nos rumos da ação, sempre orientado pelos objetivos da pesquisa que desenvolve,
cumprindo o seu papel formativo.
Conforme pontuam Ghedin e Franco (2011), a pesquisa-ação vem sendo cada vez
mais utilizada por pesquisadores em trabalhos que investigam e realizam intervenções em
práticas educativas por possibilitar a participação, o diálogo, a reflexão entre os envolvidos e
a produção de conhecimentos. Dessa forma, intentou-se promover uma reflexão sobre os
conhecimentos dos professores necessários para a prática pedagógica no ensino do conteúdo
de Geometria Espacial, bem como apropriação do conhecimento tecnológico para ampliação
79
da base dos conhecimentos dos docentes.
Ghedin e Franco (2011) complementam que é “praticamente consensual” entre os
pesquisadores que a pesquisa-ação teve origem nos trabalhos de Kurt Lewin27
, os quais
sugeriam que a pesquisa-ação fosse conduzida por um circuito de espirais cíclicas que
envolvia: planejamento, ação, pesquisa, observação, reflexão, avaliação, planejamento de
novas ações, assim por diante. Esses elementos da espiral acontecem sempre em movimentos
cíclicos e aprofundados, cumprindo seu processo de integração entre pesquisa, reflexão e
ação.
Quanto à conceituação da pesquisa-ação, observa-se que é possível encontrar
diferentes denominações, referenciadas por diversos autores. A presente investigação não tem
a pretensão de aprofundar tais discussões, limitando-se a apresentar essa conceituação
referenciada em Barbier (2002) e Ghedin e Franco (2011). Ghedin e Franco (2011) observam
que, ao se tratar de pesquisa-ação, há diversos pesquisadores que apresentam diferentes
conceitos. Sobre essa temática, os autores apontam três modelos:
a) Pesquisa-ação colaborativa – quando os sujeitos de determinado grupo buscam
pela intervenção do pesquisador no sentido deste intervir e provocar
transformação nesse espaço ocupado pelos sujeitos;
b) Pesquisa-ação crítica – quando a necessidade de intervenção é percebida em
trabalhos iniciais do pesquisador com os sujeitos, pautada por uma reflexão
crítica coletiva, buscando a emancipação dos sujeitos;
c) Pesquisa-ação estratégica – quando é planejada, acompanhada e avaliada pelo
pesquisador, sem a participação dos sujeitos. Apesar de apresentar essas
características, esta última também é considerada pesquisa-ação pela
profundidade em que se investiga a práxis do grupo estudado e as mudanças
são negociadas e geridas no coletivo.
Barbier (2002) menciona a existência da diversidade de classificações para a
pesquisa-ação e aponta quatro tipos de pesquisa-ação abordados nos estudos de Lévy (1985):
pesquisa-ação de inspiração lewiniana; consulta-pesquisa de inspiração analítica ou
socioanalítica; experimentação social e ação-pesquisa. De acordo com o autor, esses tipos
27 Kurt Lewin (1946) foi o pioneiro a difundir o modelo da pesquisa-ação, e considerava que a pesquisa-ação é
um processo de espiral que envolve três fases: planejamento, ação e reflexão.
80
possuem as seguintes definições:
a) Pesquisa-ação de inspiração lewiniana – o pesquisador aplica um plano
experimental junto a um grupo-piloto para obtenção da elaboração de um
paradigma de ação ou para resolução de problema. Posteriormente é aplicada a
grupos em larga escala quando surgem os problemas ou no tratamento destes.
b) Consulta-pesquisa de inspiração analítica ou socioanalítica – voltada para a
psicanálise freudiana e kleiniana, no que concerne aos conceitos e à
metodologia. O pesquisador age como analista ou terapeuta diante dos atores,
caracterizando-se em modelo de socioterapia, buscando descobrir influências
involuntárias presentes na vivência dos participantes. Nesse processo, a
intervenção é requerida pelos atores.
c) Experimentação social – são desenvolvidas ações que são julgadas
“inovadoras”, oriundas de experiências de vida de comunidades ou grupos e
são dotadas de certa cumplicidade com os pesquisadores. A pesquisa é
acompanhada pela reflexão e análise, simultaneamente, de instrumentos como
diários de campo, relatórios e trocas para compreender suas experiências e
posteriormente, divulgá-las.
d) Ação-pesquisa – desenvolvida por meio de ações intencionais com o intuito de
promover mudanças decididas pelo pesquisador. O pesquisador intervém
diretamente no fenômeno que precisa ser transformado, visando obter
mudanças na realidade pesquisada. Apesar do processo de pesquisa ser
induzido pelo pesquisador e as modalidades também propostas por ele, a
pesquisa é efetuada com os sujeitos em situação e sobre a situação destes. O
resultado da exploração das ações pelo pesquisador se transforma em pesquisa
acadêmica.
No caso deste trabalho, visualiza-se aproximação com a conceituação de Barbier
(2002), na perspectiva da ação-pesquisa, proposta pela pesquisadora. Nesse processo, foi
desenvolvida uma etapa formativa com três professores de Matemática, buscando
compreender os conhecimentos desses docentes em suas práticas profissionais, além da
reflexão e ressignificação do ensino de conteúdos de Geometria Espacial com uso de recursos
tecnológicos. Os professores participantes puderam tecer reflexões sobre suas práticas
educativas, os conhecimentos adquiridos em suas trajetórias profissionais, as angústias
vivenciadas no cotidiano de suas salas de aulas e suas necessidades em adquirir novas
metodologias de ensino que contribuam para o processo de aprendizagem de seus alunos.
81
Barbier (2002) destaca que não há ação sem pesquisa e nem pesquisa sem ação. O
autor destaca como primordial a constante reflexão do pesquisador sobre a ação desenvolvida,
em que ele passa e repassa seu olhar sobre o “objeto”, realizando processos de ações em busca
de mudança permanente. Ainda que o objeto lhe escape constantemente, o pesquisador o
examina regularmente, sem querer retê-lo.
O autor declara que, independentemente do tipo de pesquisa-ação que se
desenvolve, todas elas utilizam a abordagem em espiral. O autor destaca que “todo avanço em
pesquisa-ação implica o efeito recursivo em função de uma reflexão permanente sobre a
ação.”. Sugere ainda que, em sua realização quatro temáticas basilares, sejam consideradas: “a
identificação do problema e a contratualização; o planejamento e a realização em espiral; as
técnicas da pesquisa-ação; a teorização, a avaliação e a publicação dos resultados.”
(BARBIER, 2002, p. 117/118).
A temática da identificação do problema e a contratualização podem ser
suscitadas tanto pelo pesquisador, quanto podem ser sugeridas pelos membros de determinado
grupo, que identificam situações de dificuldades em ambientes que convivem e procuram a
ajuda de um pesquisador profissional com a finalidade de resolver o problema. A
contratualização é feita entre o pesquisador e o grupo pesquisado e deve indicar finalidades,
temporalidade, código de ética, dentre outros. O pesquisador deve estar aberto ao diálogo em
todos os momentos: problemática, definição do problema, metodologia, análise das
dificuldades e outras situações que transcorram no desenvolvimento da ação.
A temática do planejamento e a realização em espiral acontecem a partir da
aceitação dos pesquisados para fazer parte da investigação. Em cada fase da espiral são
propostos objetivos, elaborando-se um cronograma com pautas, prazos e outros pontos
importantes para o desenvolvimento do trabalho. Todos os conflitos devem ser mediados no
momento de seu surgimento; a avaliação deve acontecer em cada ciclo da espiral para
identificar a existência ou não dos efeitos de mudança. A situação investigada só deverá ser
finalizada se verificada a existência de soluções para a problemática levantada.
A temática das técnicas da pesquisa-ação podem ser as mesmas que comumente
são empregadas em Ciências Sociais, desde que sejam direcionadas à resolução do problema.
Envolve a escuta sensível do pesquisador e demanda tempo para que seja estabelecida uma
relação de confiança entre o pesquisador e os pesquisados.
A temática da teorização, a avaliação e a publicação dos resultados das
atividades são planejadas e aplicadas em um processo de espiral. Ao identificar a situação-
problema, prossegue-se com o planejamento e com a ação nº 1, seguida da avaliação,
82
teorização e da retroação sobre o problema; a espiral, então, retoma o planejamento e a ação
nº 2, seguida da avaliação e teorização e assim sucessivamente. (BARBIER, 2002).
Nessa fase acontece o processo de pesquisa em espiral que implica numa
constante reflexão sobre a ação, olhando várias vezes o mesmo objeto sob diferentes ângulos.
Um ciclo pode se transformar em vários ciclos e uma espiral se transformar em várias
espirais, conforme pode ser observado na Figura 5, até alcançar os objetivos da pesquisa.
Figura 5 – Espiral da pesquisa-ação na perspectiva de Barbier (2002)
Fonte: Ferreira (2019).
Ghedin e Franco (2011) tecem reflexões sobre o ciclo das espirais (planejamento,
ação, reflexão, pesquisa, ressignificação, replanejamento etc.) enfatizando que é necessário
haver tempo para se obter o pleno desenvolvimento desse tipo de abordagem. O método
requer avaliação constante e retomada contínua das espirais cíclicas. A avaliação é realizada
pelo pesquisador para tentar compreender se houve mudança nas atitudes, nos
comportamentos dos pesquisados ou na situação investigada.
Por fim, a publicação dos resultados é presenciada em trabalhos oriundos de
pesquisadores profissionais, divulgação de práticas inovadoras e investigações provenientes
de estudos universitários que dependem da publicação para obtenção de pareceres favoráveis
à sua conclusão. (GHEDIN; FRANCO, 2011). Nessa investigação, a publicação será realizada
após parecer dos professores que compõem a banca examinadora do referido trabalho.
Diante dessas reflexões, neste trabalho a pesquisa-ação encontra-se referenciada
pelas considerações de pesquisadores como Barbier (2002), Fiorentini e Lorenzato (2012) e
Ghedin e Franco (2011). A pesquisa-ação se desenvolve na realização de ação formativa com
professores de Matemática, dentre eles, aqueles que ministram o conteúdo de Geometria
83
Espacial, especificamente, em tópicos referentes ao estudo de poliedros de Platão, prismas e
pirâmides. A efetivação das fases da pesquisa-ação assume as orientações propostas Barbier
(2002), percorrendo as quatro temáticas propostas pelo autor, descritas na seção seguinte.
.
5.3 Organização das etapas da pesquisa
Este trabalho investigativo adotou as orientações para realização da ação
formativa, referenciadas em Barbier (2002), a qual se apresenta descrição detalhada de sua
execução.
A primeira etapa, denominada de identificação do problema e contratualização,
teve início com a elaboração do projeto de pesquisa pela pesquisadora, durante o período em
que participou do processo seletivo para ingresso no curso de mestrado, da apropriação do
referencial teórico da pesquisa, dos estudos realizados nas disciplinas cursadas no mestrado e
grupo de pesquisa, bem como da metodologia a ser seguida no trabalho de campo com os
atores da pesquisa.
A contratualização foi efetivada em encontro que antecedeu à etapa formativa,
após o contato inicial com os professores de Matemática para apresentação da proposta
formativa, sensibilização para adesão do processo formativo e a seleção dos professores
pesquisados. Os professores foram informados sobre a voluntariedade de suas participações
na pesquisa, além da ter sido realizado a assinatura do Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido (apêndice A).
Essa etapa aconteceu observando-se as recomendações de Bogdan e Biklen (1994,
p. 75) na qual: “1. Os sujeitos aderem voluntariamente aos projectos de investigação, cientes
da natureza do estudo e dos perigos e obrigações nele envolvidos. 2. Os sujeitos não são
expostos a riscos superiores aos ganhos nele envolvidos”.
Os autores recomendam que os pesquisadores devam dispor atenção aos
princípios éticos que norteiam os processos investigativos que são eles: respeito mútuo para
com os participantes; fazer negociações para tornar o estudo honesto e realista; e fidelidade na
redação final dos resultados. Desse modo, os professores pesquisados fizeram a adesão ao
projeto de investigação, informados da natureza do estudo, dos riscos e obrigações que
poderiam ou não ser envolvidos.
A segunda etapa, denominada de planejamento e a realização em espiral,
concretizou-se com o planejamento da etapa formativa, entre a pesquisadora e os professores
84
envolvidos na etapa formativa, elaborando-se uma projeção do cronograma dos encontros
formativos, realização de entrevista (apêndice B). Nesse momento foi fixada a data de
realização da entrevista e da observação de uma aula ministrada pelos professores
participantes para os seus alunos, em que estariam abordando conteúdos de Geometria
Espacial. Essa aula foi denominada de “aula inicial”, antecedeu aos encontros formativos e
teve como objetivo analisar a prática dos docentes pesquisados, antes da intervenção
formativa.
Após a observação da aula inicial, realizou-se as entrevistas com os professores
envolvidos e teve início a fase da ação. Essa ação foi denominada de “ação formativa” e
constituiu-se por quatro encontros, descritos na seção 5.6. Foram intermediadas as seguintes
diretrizes: a realização de dois encontros para estudos teóricos sobre os conhecimentos
profissionais e o ensino de Geometria Espacial; e dois encontros para explorar o uso de
recursos tecnológicos direcionados ao ensino do conteúdo de Geometria Espacial.
A terceira etapa comumente acontece mediante a efetivação da parte prática da
investigação. Nessa etapa a pesquisadora adentrou no lócus da pesquisa, explorando
possibilidades e descobertas, embasada pela teoria apresentada no referencial teórico e por um
conjunto de técnicas de pesquisa-ação.
A escolha das técnicas usadas na coleta dos dados é primordial para uma análise e
deve estar embasada no rigor científico e veracidade das informações. Assim, esta pesquisa
utilizou-se das técnicas propostas por Barbier (2002) – observação participante e diário de
campo, bem como a adoção de outros recursos como: entrevistas, sessões reflexivas,
filmagens e gravações em áudio.
Na quarta etapa da pesquisa, denominada teorização, avaliação e publicação dos
resultados, a teoria é verificada pela avaliação incessante da ação desenvolvida. Nesse
caminho, a reflexão contínua foi a base constitutiva durante e após todo o processo formativo.
A avaliação da pesquisa-ação é mencionada por Barbier (2002) como um processo
para compreender as reais mudanças de comportamentos e de atitudes ocorridas em nível de
grupo e da problemática investigada. Nesta investigação, a avaliação foi realizada após a
conclusão dos encontros formativos e das sessões reflexivas com os sujeitos, visando analisar
as atitudes e concepções dos pesquisados quanto aos conhecimentos adquiridos e suas
contribuições para a (re)significação de suas práticas.
Para Barbier (2002), a teorização ou resultado da pesquisa deve acontecer com a
resolução do problema inicial da pesquisa, seguida da publicação do relatório final. Nesta
investigação, a teorização é requisito obrigatório para a conclusão do curso de mestrado, no
85
qual a pesquisa teve origem. Essa fase requer procedimentos rigorosos e metódicos para
análise dos dados recolhidos durante o processo de pesquisa e foi realizada com auxílio dos
dados coletados no campo da pesquisa, referenciadas em aportes bibliográficas.
A divulgação dos resultados junto aos pesquisados e demais interessados será
feita após a aprovação do relatório final, pela banca de professores de Programas de Pós-
Graduação, que analisam o trabalho da pesquisadora. Tal divulgação foi compromisso
assumido com a gestão escolar e com o grupo de professores de Matemática que compõem o
quadro de professores da escola onde ocorreu a pesquisa de campo. Essa publicitação dos
resultados tem o propósito de difundir as respostas encontradas à questão de pesquisa, além de
fortalecer a motivação dos pesquisados a se manterem inseridos em processos de formação
continuada, em seu percurso profissional.
A seção seguinte apresenta os instrumentos usados na pesquisa durante a etapa
formativa com os professores pesquisados.
5.4 Instrumentos de coleta de dados
Os instrumentos usados nesta investigação se constituíram em: observações,
diário de campo, entrevista, sessões reflexivas, filmagem e gravações em áudio. Todos esses
recursos contribuíram para a triangulação dos dados, durante a análise. Para Araújo e Borba
(2018, p. 42), a triangulação de dados é um procedimento que pode ser utilizado para
aumentar a credibilidade da pesquisa. Dessa maneira, “o pesquisador, ao invés de construir
suas conclusões apenas a partir das observações”, pode utilizar outros métodos, como
entrevistas, filmagens etc., e poderá utilizá-las “para checar algum detalhe ou para
compreender melhor algum fato ocorrido durante as observações”. Para os autores, a
observação feita por diferentes procedimentos configura-se em uma “triangulação de
métodos”.
A observação “é uma técnica de coleta de dados para conseguir informações e
utiliza os sentidos na obtenção de determinados aspectos da realidade. Não consiste apenas
em ver e ouvir, mas também em examinar fatos ou fenômenos que se desejam estudar.”.
Nesse processo o pesquisador obtém informações sobre o comportamento dos pesquisados,
mesmo que estes não tenham consciência de que são detentores de tais hábitos. (MARCONI;
LAKATOS, 2010, p. 173).
Para o autor, essa técnica também pode ser denominada de observação
participante natural. Nesse tipo de observação, o levantamento de dados é realizado no local
86
onde os fenômenos ocorrem e o pesquisador é membro da comunidade em que acontece a
investigação. Salienta-se que, nesta situação, o pesquisador exerce o papel de destaque,
atuando dentro e fora do grupo, em diversas ações desenvolvidas nos momentos formativos
com os atores pesquisados.
O diário de campo é um recurso que pode ser usado tanto pelo pesquisador
quanto pelos sujeitos pesquisados para o registro de fatos e dados como: “dados relativos a
compreensões, interpretações, sínteses das leituras de fundamentação teórica; sínteses das
reflexões e decisões grupais”, dentre outras coisas. (GHEDIN; FRANCO, 2011, p. 244).
Nesta investigação, esse recurso foi utilizado pela pesquisadora para pontuar
reflexões oriundas da etapa formativa. Esses registros se somaram aos demais instrumentos de
coleta e contribuíram para potencializar elementos pertinentes para análise dos dados
coletados e para elaboração do relatório final.
A entrevista é uma espécie de conversa metódica, em que o pesquisador deseja
obter do entrevistado as informações necessárias para sua questão de pesquisa. Para Marconi
e Lakatos (2010, p. 178) “é um encontro entre duas pessoas, a fim de que uma delas obtenha
informações a respeito de determinado assunto, mediante uma conversação de natureza
profissional.”. Além disso, as autoras enumeram vantagens da entrevista: (i) a oralidade – o
entrevistado não precisar escrever; (ii) a comunicação direta – as informações são mais
precisas, podendo repetir ou reformular perguntas para esclarecer dúvidas e discordâncias; e
(iii) possibilidade de avaliar condutas e reações.
As sessões reflexivas são momentos de diálogo entre pesquisador e pesquisados
sobre a prática docente. Nesse movimento, os professores discutem “as suas angústias, os
problemas enfrentados no processo de ensino-aprendizagem com relação ao conteúdo a
ensinar, ao ambiente de sala de aula, a sua prática, [...], as suas aflições.”. (JORGE, 2015, p.
33).
Nessa vertente, as sessões reflexivas entre a pesquisadora e os professores
pesquisados objetivaram a promoção de reflexões sobre os estudos teóricos realizados nos
encontros formativos, com ênfase nos conhecimentos profissionais e no ensino de Geometria
Espacial; os conhecimentos adquiridos ou não durante os momentos formativos; a vivência
prática com uso dos recursos tecnológicos, bem como a avaliação da etapa formativa
realizada.
A filmagem é uma técnica que engloba em um só recurso a imagem e a
comunicação, com a função de complementar como um todo a análise da pesquisa e vem
sendo cada vez mais utilizada pelos pesquisadores. Esse procedimento se constitui como
87
importante registro para ampliar o conhecimento do estudo, proporcionando documentar
situações decorrentes do cotidiano vivenciado e visualizá-las em momentos posteriores, sobre
diferentes ângulos. (CRUZ NETO, 2002).
O autor assevera que o trabalho do pesquisador não deve ficar limitado a esta
técnica, pois o olhar atento do pesquisador é o fundamental no momento da pesquisa de
campo, por isso deve ser utilizada a observação participante durante todo o processo. A
pesquisadora buscou seguir essa recomendação, durante toda etapa formativa.
A gravação em áudio se configura como uma técnica amplamente utilizada em
pesquisas qualitativas, por permitir a transcrição fidedigna das discussões no produto
pesquisado, além de se caracterizar como um recurso de fácil acesso e com uma vasta
quantidade de tecnologias que permitem a realização desse procedimento. (CRUZ NETO,
2002).
Para melhor viabilização na análise posterior dos dados coletados, foi realizado o
registro dos encontros através de recursos de filmagem, áudios registrados nos encontros
presenciais desenvolvidos no lócus da pesquisa, além das anotações pessoais no diário de
campo da pesquisadora. As gravações em áudio apresentam melhor qualidade na captação do
som, já que o produto obtido nas filmagens, muitas vezes, resulta em sons de baixa qualidade
que podem inviabilizar a análise da investigação. Para garantir a fidelização da transcrição
dos dados coletados nas gravações, esta investigação empregou tanto a gravação em áudio
quando a filmagem durante os encontros presenciais.
A seguir, apresenta-se o cenário em que foi realizada a coleta de dados e os
professores que participaram da etapa formativa.
5.5 Cenário e sujeitos da pesquisa
A escolha do lócus da pesquisa se deu a partir do estabelecimento dos seguintes
parâmetros: ser uma escola integrante da rede pública de ensino; funcionamento de turmas de
EM; estar sendo lecionado o conteúdo de Geometria Espacial em período concomitante com a
etapa formativa; anuência da gestão da unidade escolar e adesão de professores de
Matemática para participarem da etapa formativa.
Dessa forma, a pesquisa foi realizada na escola de EM Governador Adauto
Bezerra, localizada no bairro de Fátima, Fortaleza – Ceará. A referida escola pertence à rede
pública de ensino estadual, possui um quantitativo de 2050 alunos (matrícula de 2020)
matriculados nas três séries do EM e 105 professores em efetivo exercício de suas funções.
88
Ressalta-se que a pesquisadora exerceu a função de professora nessa unidade de
ensino, em período antecedente a seu ingresso no curso de Mestrado. Para Ghedin e Franco
(2011), a presença do pesquisador no ambiente em que desenvolve a própria prática é um
princípio eminentemente pedagógico e viável para operacionalização da pesquisa-ação.
Contudo, a pesquisa deve se configurar em uma ação que mantenha o rigor científico,
primando pela prática educativa embasada em princípios éticos direcionados ao caráter
formativo e emancipatório dos sujeitos. A observância desses princípios foi mantida nesta
investigação.
Uma das características visualizadas na escola é a receptividade de seus gestores
a projetos que contribuam para o “repensar” de práticas que contribuam para melhoria do
processo de ensino e aprendizagem dos integrantes que compõem seu espaço educacional.
Diante dessa realidade, a presença de pesquisadores de IES é bastante frequente e bem
acolhida por aqueles que compõem seu núcleo gestor.
A aproximação da pesquisadora com o lócus da pesquisa e com os participantes
da investigação caracterizou-se em uma relação de confiança e, consequentemente, encorajou
o grupo a participar das ações e reflexões desenvolvidas durante todo o processo formativo.
Mediante contato inicial da pesquisadora com o diretor geral da escola e com a
coordenação da área de Matemática, agendou-se o primeiro encontro com os professores da
disciplina de Matemática em que foi explanada a proposta formativa. O referido encontro
aconteceu após o encerramento das atividades de fechamento de bimestre, no horário semanal
destinado ao planejamento de área, dentro da jornada de trabalho dos docentes.
O encontro contou com a presença de 10 professores, em que foi apresentada a
proposta de ação formativa a ser desenvolvida. Ressalta-se que o conteúdo de Geometria
Espacial, dentro da organização curricular da escola, é trabalhado integralmente na 2ª série e,
em formato de revisão, na 3ª série do EM.
Diante da organização dos conteúdos nas respectivas séries, o número de
professores que trabalham com esse conteúdo na escola é bastante limitado e o convite foi
ampliado a todos os professores que ministram a disciplina de Matemática na escola. A
pesquisadora considerou que a proposta formativa poderia despertar o interesse de outros
docentes lotados em Matemática, em áreas afins, tendo em vista a interdisciplinaridade entre a
Álgebra, Aritmética e Geometria.
Durante a apresentação da proposta, um dos professores fez uma ressalva sobre a
viabilidade de usar o GeoGebra no celular. Na concepção desse professor, esse programa só
teria êxito se fosse trabalhado em ambiente silencioso, pois exige um alto grau de
89
concentração. Destacou que seria necessário ter um ambiente com cabines individuais, se
referindo-se ao laboratório de informática. Ressaltou que seria difícil trabalhar dentro de uma
sala de aula, numa turma de 40 alunos, e que não teria rendimento.
Outro professor observou que seria um grande desafio trabalhar em sala de aula
no celular com os alunos, pois eles acabariam se desvinculando do trabalho com o software
para utilizá-lo em outras situações como: uso das redes sociais e canais de comunicação
(WhatsApp) no momento da aula.
Ao ser mencionado que após a conclusão da pesquisa a pesquisadora retornaria à
escola para apresentar ao grupo de professores de Matemática os resultados da investigação,
um terceiro professor mencionou a sua participação em outras pesquisas realizadas na escola,
em anos anteriores, e que, após a coleta de dados, não houve nenhum retorno dos
pesquisadores ao grupo pesquisado. Apesar das intervenções desses professores sobre os
pontos apresentados, eles não demonstraram interesse em participar da etapa formativa.
Após a explanação do projeto de pesquisa e o formato da investigação, a adesão
dos participantes ao processo formativo aconteceu de forma voluntária por três professores,
cujo perfil é apresentado na seção 6.1. Para manter o anonimato dos docentes, nesta
investigação, a partir desse momento serão denominados de Delta, Sigma e Ômega.
Os professores Delta e Sigma estavam lotados em turmas de 2º ano e
encontravam-se ministrando o conteúdo de Geometria Espacial, no momento da apresentação
da proposta. Ômega encontrava-se lotado em turmas do 1º ano do EM, na disciplina de
Matemática. Embora Ômega não estivesse lotado em turmas de 2º ano, em que é abordado o
conteúdo de Geometria Espacial, o professor demonstrou interesse em participar da etapa
formativa. A pesquisadora acenou positivamente e Ômega participou do encontro inicial,
entrevista, encontros formativos teóricos e práticos e sessão reflexiva. Não se observou a aula
inicial e a aula prática de Ômega, em razão desse professor não estar trabalhando com
conteúdos de Geometria Espacial, um dos objetos desta investigação.
Em relação ao tamanho da amostra, Silvano (2019) pontua que três professores é
uma condição favorável para aplicação dos procedimentos da pesquisa-ação. Esse tipo de
pesquisa se revela como um instrumento de investigação de grupos pequenos a médio porte.
A seção seguinte explana a ação formativa realizada com os professores Delta,
Sigma e Ômega, constituindo-se como uma das etapas dessa investigação.
90
5.6 Ação formativa
A etapa formativa foi realizada com os três professores, denominados na seção
anterior, e abordou as seguintes temáticas: conhecimentos dos professores, Geometria
Espacial e software GeoGebra. Considerando a relevância dos processos formativos no
âmbito do trabalho docente, a proposta teve como objetivos:
a) Propiciar um espaço de reflexão aos professores pesquisados sobre sua prática
educativa dentro do espaço escolar em que estão inseridos;
b) Promover uma reflexão sobre os conhecimentos dos professores de
Matemática, com foco no conteúdo de Geometria Espacial;
c) Explorar as potencialidades dinâmicas do GeoGebra para produção do
conhecimento e interação entre os sujeitos envolvidos, articulando o
conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo à prática educativa dos
professores.
Objetivando contemplar todas as etapas planejadas para a proposta formativa
elaborada, foi necessária a realização de nove encontros que aconteceram entre os meses de
setembro de 2019 a janeiro 2020, com duração de duas horas cada encontro. A carga horária
total da ação formativa foi de 30 horas aulas, sendo 20 horas de atividades presenciais e 10
horas de estudos domiciliares.
Houve expedição de certificados para os professores participantes. Tais
certificados são reconhecidos como Capacitação Profissional para Ascensão Funcional no
Plano de Progressão Horizontal dos Profissionais do Magistério da SEDUC e exercem papel
motivador para os professores participarem de processos formativos ao longo de suas
carreiras profissionais. Ressalta-se que os momentos de estudos domiciliares não se
configuraram em material de análise para a investigação.
O primeiro encontro, além da apresentação da proposta geral da pesquisa,
firmou-se a contratualização da etapa formativa entre o pesquisador e o grupo pesquisado por
meio da assinatura do Termo de Consentimento Livre Esclarecido (apêndice A), buscando-se
intermediar definições e diretrizes de ações a serem trabalhadas nos demais encontros. Criou-
se um grupo pelo aplicativo de conversa whatsapp para facilitar a comunicação entre os
participantes. Esse recurso contribuiu para a comunicação entre o grupo e o agendamento das
datas dos encontros presenciais, que sempre aconteceram em dias e horários disponibilizados
pelos docentes, fora de suas cargas horárias de trabalho escolar.
91
O segundo encontro entre pesquisador e pesquisados teve a finalidade de
observar uma aula inicial ministrada pelos professores Delta e Sigma trabalhando o conteúdo
de Geometria Espacial, em etapa concomitante com a pesquisa de campo. Não se observou a
atuação professor Ômega em sala de aula, visto que tal professor não trabalhava com o
conteúdo do objeto de investigação.
A observação aconteceu antes dos encontros teóricos e prática com o software,
contemplando uma aula de cada professor, em suas respectivas salas de aulas, cujo objetivo
foi analisar indícios dos conhecimentos: de conteúdo, pedagógico e tecnológico com a
utilização de recursos didáticos no fazer pedagógico dos professores ao abordarem o conteúdo
de Geometria Espacial em suas salas de aula. Ressalta-se que nesse encontro não houve
nenhuma intervenção da pesquisadora, objetivando que a aula transcorresse da forma mais
natural possível.
No terceiro encontro, aconteceu a realização de entrevista com roteiro
semiestruturado (apêndice B). Apesar de a entrevista seguir um roteiro de perguntas
previamente elaboradas, a pesquisadora e os entrevistados tinham a liberdade de fazer outras
perguntas e explorar outras situações, caracterizando-se em uma conversa informal. O roteiro
da entrevista foi enviado aos professores antecipadamente via e-mail.
Os dados obtidos na entrevista, em geral, foram a respeito da experiência do
professor no ensino de Geometria Espacial, seus métodos e recursos didáticos empregados em
suas práticas diárias. Esse momento foi determinante para elaboração do diagnóstico inicial
do perfil dos professores participantes. Além disso, buscou-se conhecer as dificuldades
apontadas pelos professores na prática de ensino do conteúdo de Geometria Espacial.
O quarto encontro ensejou fazer uma reflexão sobre os conhecimentos
profissionais fundamentada nos estudos de Shulman (1987, 2014) e Koehler e Mishra (2009).
Os textos foram disponibilizados antecipadamente para que os professores pudessem
conhecer e aprofundar as leituras e entendimento da temática proposta. Esse procedimento foi
caracterizado como estudos domiciliares.
Houve uma conversa inicial embasada nos estudos de Shulman (1987, 2014) e
não houve tempo para discutir o texto referenciado por Koehler e Mishra (2009). Convém
justificar que o tempo disponibilizado pelos professores para o encontro era de duas horas e os
professores aproveitaram o encontro para apontar angústias oriundas do processo de ensino,
bem como as dificuldades diagnosticadas na construção da aprendizagem de seus alunos.
No quinto encontro buscou-se refletir sobre a importância do ensino de
Geometria dentro do processo educativo e a relação que se estabelece entre esses conteúdos e
92
a produção do conhecimento gerada na academia pelos teóricos da educação e as práticas
docentes desenvolvidas nos cursos de formação de professores. As discussões foram baseadas
a partir do referencial teórico do capítulo 3 desta dissertação, no qual os professores refletiram
a respeito do texto explorado.
Os encontros sexto e o sétimo aconteceram com o uso dos dispositivos
tecnológicos móveis – os smarphones dos participantes, explorando-se as potencialidades do
software GeoGebra, trabalhando-se assuntos de prismas e pirâmides. Para esses encontros, a
pesquisadora preparou um tutorial (apêndices D a I) a ser seguido no processo de construção
dos sólidos espaciais no aplicativo GeoGebra.
Durante a realização dessas duas sessões formativas, houve problemas nas
gravações de vídeos, as quais não foram efetivadas. As gravações em áudios foram feitas nos
dispositivos móveis dos professores Delta e Sigma, utilizando o aplicativo AZ Screen
Recorder, e compartilhadas pelo Google Drive com a pesquisadora, em momentos
posteriores. Esse aplicativo possibilita a gravação das falas de todos os participantes e captura
o vídeo da tela do dispositivo do participante que está executando o programa, registrando os
movimentos que o professor executa na tela de seu smartphone.
Foram explorados elementos dos prismas – vértices, arestas e faces; a visualização
dos sólidos em seus formatos tridimensionais e bidimensionais; e a identificação das figuras
planas que constituem cada sólido. Procurou-se construir, reconhecer e identificar os
principais elementos dos prismas retos (cubo, paralelepípedo, prismas regulares triangulares,
quadrangulares, pentagonais e hexagonais), além das pirâmides construídas com bases
regulares com vários lados, no “plano geométrico” do GeoGebra. Foi possível explorar
habilidades de percepção, descobertas, verificações e deduções de conceitos dos sólidos
geométricos.
O oitavo encontro deu-se com a observação de uma aula prática desenvolvida
pelos professores Delta e Sigma, sendo uma aula de cada professor, em dois momentos
distintos. Novamente, convém esclarecer que nesse encontro não houve intervenção da
pesquisadora, ensejando-se que a aula transcorresse conforme o planejamento e a
coordenação dos respectivos professores.
Os professores tiveram a liberdade de planejar a aula para uma de suas turmas, em
que seria trabalhado um dos conteúdos de Geometria Espacial (poliedros, prismas ou
pirâmides), fazendo uso do software GeoGebra nos dispositivos móveis dos alunos,
explorando os conhecimentos adquiridos no sexto e sétimo encontro. O download do software
foi realizado pelos alunos em dias antecedentes da realização da aula, atendendo à solicitação
93
dos professores.
A sessão reflexiva foi planejada para acontecer em um único encontro coletivo,
envolvendo todos os participantes, em dezembro de 2019, período que antecedia ao recesso
escolar dos professores. Devido à incompatibilidade nos horários disponibilizados pelos
professores, o encontro foi realizado em momentos distintos, sendo um encontro individual
com cada professor. Um dos encontros aconteceu em dezembro 2019 com professor Sigma e
os demais, em janeiro de 2020 com os professores Delta e Ômega.
Nessa etapa, o diálogo entre pesquisador e pesquisados teve o objetivo de
promover reflexões sobre o processo formativo desenvolvido no lócus da pesquisa – as
sessões formativas com os aportes teóricos sobre o domínio dos conhecimentos dos
professores, o ensino de Geometria e o manuseio do software GeoGebra na prática de ensino
dos docentes – além das impressões dos professores sobre a inserção dos recursos
tecnológicos em suas salas de aula.
As discussões foram direcionadas para se obter a análise e a avaliação dos
resultados, levando-se em consideração três aspectos:
A reflexão sobre os estudos teóricos – qual a percepção dos professores sobre
os momentos formativos para a formação profissional, a atuação em sala de
aula (em relação aos textos, ao software GeoGebra e ao conteúdo matemático)
e quais os conhecimentos adquiridos ou não durante os momentos formativos.
A vivência prática com emprego da tecnologia – que fosse relatado como foi o
planejamento e a execução da aula prática; a relação entre os textos estudados e
o planejamento da aula prática; se os objetivos estabelecidos para a aula foram
alcançados; a relação entre o conhecimento do conteúdo com a tecnologia
utilizada em sala de aula; a relação entre tecnologia, conhecimento pedagógico
e conhecimento de conteúdo durante a utilização do software em sala de aula.
Avaliação do processo formativo e do uso do aplicativo em sala de aula – foi
pedido aos professores que relatassem pontos positivos e negativos
visualizados durante as sessões formativas e no processo de utilização do
software GeoGebra para o ensino de Geometria Espacial em suas salas de aulas
com seus alunos.
O quadro 2 apresenta a síntese da etapa formativa desenvolvida nos 09 encontros
presenciais, cronograma e carga horária de cada encontro.
94
Quadro 2 – Cronograma das sessões formativas
Etapas
Formativas
Tema Carga
Horária
Encontro 01
17/09/19
Apresentação da proposta de trabalho.
Cronograma inicial dos encontros presenciais.
Termo de Consentimento Livre Esclarecido.
02 h/a
Encontro 02
18/09/19 e
26/09/19
Observação de uma aula inicial ministrada pelos pesquisados, antes da
etapa formativa.
02 h/a
Encontro 03
30/09/19 e
02/10/19
Entrevistas com os professores pesquisados. 02 h/a
Estudo
complementares
03/10 à 07/10/19
Estudo de textos:
Conhecimento e ensino: fundamentos para a nova reforma. (SHULMAN,
2014) e What Is Technological Pedagogical Content Knowledge?
(KOEHLER; MISHRA, 2009)
03 h/a
Encontro 04
08/10/19
Discussão da prática pedagógica embasados no texto – Conhecimento e
ensino: fundamentos para a nova reforma. (SHULMAN, 2014)
02 h/a
Estudo
complementares
09/10 à 20/10/19
Estudo de texto – O ensino de Geometria. (Capítulo 3 desta dissertação) 03 h/a
Encontro 05
21/10/19
Discussão sobre o ensino da Geometria Espacial no Brasil, embasados no
texto – O ensino de Geometria. (Capítulo 3 desta dissertação) 02 h/a
Encontro 06
08/11/19
Formação para uso do Software GeoGebra entre pesquisador e
professores pesquisados. 02 h/a
Encontro 07
13/11/19
Formação para uso do Software GeoGebra entre pesquisador e
professores pesquisados. 02 h/a
Estudo
complementares
14/11 à 27/11/19
Planejamento de aula prática com uso do software GeoGebra. 04 h/a
Encontro 08
28/11/19 e
29/11/19
Observação de aula prática em sala de aula desenvolvida pelos
professores Delta e Sigma, com seus alunos. 04 h/a
Encontro 09
20/12/19 e
20/01/20
Sessão Reflexiva entre pesquisador e professores pesquisados. 02 h/a
CARGA HORARIA TOTAL 30 h/a
Fonte: Elaborada pela autora.
O detalhamento de cada encontro formativo, descrito no quadro 2, encontra-se
discriminado em formato de planejamento no Apêndice C, deste trabalho. A seção seguinte
apresenta a descrição da análise dos dados a qual se aplicou a técnica análise de conteúdo,
bem como as categorias teóricas propostas para esta investigação.
95
5.7 Análise de conteúdo
Para tratamento e análise dos dados coletados, utilizou-se elementos da Análise de
Conteúdo proposta por Bardin (2009) e Franco (2018), definida como:
um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter por
procedimento temático e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens
indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de
conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis
inferidas) das mensagens (BARDIN, 2009, p. 44).
Justifica-se a escolha desse método pelo fato de orientar estudos e produzir
inferências de dados obtidos em processos de comunicação oral, escrita ou figurativa, além de
auxiliar a construção de um conjunto de técnicas, como as categorias de análises, apresentadas
posteriormente.
Por meio da análise de conteúdo, este trabalho buscou estruturar as informações
coletadas no lócus da pesquisa de campo, visando interpretar os dados, responder à questão de
investigação e atingir os objetivos da pesquisa.
A análise de conteúdo tomou como base três etapas organizativas propostas por
Bardin (2009): (i) a pré-análise; (ii) a exploração do material e; (iii) o tratamento dos
resultados, inferência e interpretação.
A pré-análise começou com a organização dos materiais, de forma preliminar, a
serem incorporados na constituição de um esquema metódico que deve ser seguido durante o
plano de análise. Após essa organização, deu-se início a leitura “flutuante” do material
coletado, caracterizada pelo contato direto com as transcrições digitalizados, buscando-se
conhecer os significados das mensagens contidas nesses documentos. Para escolha dos
documentos, é necessário que sejam estabelecidas regras para a seleção dos registros que irão
compor o conjunto de documentos a serem examinados com leitura minuciosa, os quais
passam a constituir o corpus (dados brutos) de análise, apresentados na figura 6. (BARDIN,
2009).
96
Figura 6 – Corpus de análise: arquivos digitais
Fonte: Elaborada pela autora.
Nesta investigação, a fase da pré-análise foi desenvolvida pela identificação de
todos os registros obtidos na coleta de campo: conteúdo das entrevistas realizadas; das sessões
reflexivas com os professores pesquisados; das interações entre os participantes durante os
encontros das sessões formativas; das observações das aulas iniciais e aulas práticas; bem
como as sessões formativas que foram organizadas em arquivos digitais e arquivados no
software NVIVO28
, versão 12, expostos na figura 6.
A segunda fase foi concretizada pela exploração do material que compõe a
codificação dos instrumentos de análise dos dados coletados, através de recortes denominados
de unidades de registro. Para Franco (2018, p. 43) “A Unidade de Registro é a menor parte do
conteúdo, cuja ocorrência é registrada de acordo com as categorias levantadas.”.
Nessa fase da análise, o material que havia sido coletado no campo e
posteriormente transformado em texto foi recortado em fragmentos de textos (frases ou
parágrafos) e agrupado em temas relacionados às categorias iniciais desta pesquisa. Esse
procedimento teve o apoio do software NVivo, que permitiu os recortes, a classificação e a
categorização dos dados em categorias teóricas e empíricas, denominadas “nós”. A figura 7
apresenta o relatório da estrutura de codificação, obtido no NVivo, realizados pela
pesquisadora.
28
Software utilizado em pesquisas sociais que envolvem técnicas qualitativas através de ferramentas
computacionais. O programa auxilia a organização e categorização de informações textuais, ajudando na
descoberta de tendências e na sistematização das análises, facilitando a reexaminação dos dados de modo rápido
e preciso. (ALVES; FIGUEIREDO FILHO; HENRIQUE, 2016).
97
Figura 7 – Relatório de codificação das categorias teóricas, no NVivo
Fonte: Acervo da autora (print
29 da tela do computador com a interface do software NVivo).
A categorização dos conteúdos é considerada por diversos pesquisadores
(BARDIN, 2009; FRANCO, 2018), como um estágio primordial na análise de conteúdo. Para
Franco (2018, p. 63) “a categorização é uma operação de classificação de elementos
constitutivos de um conjunto, por diferenciação seguida de um reagrupamento baseado em
analogias, a partir de critérios definidos.”.
Franco (2018, p. 64-65) esclarece que a elaboração das categorias segue dois
caminhos – categorias criadas a priori ou categorias definidas a posteriori. As categorias
criadas a priori “são predeterminadas em função da busca de uma resposta específica do
investigador”, enquanto as categorias a posteriori “emergem da fala, do discurso, do conteúdo
das respostas e implicam constante ida e volta do material de análise à teoria.”.
Para Franco (2018, p. 71), “uma categoria é considerada pertinente quando está
adaptada ao material de análise escolhido e ao quadro teórico definido.”, devendo oferecer
resultados produtivos e “dados relevantes para o aprofundamento de teorias e para a
orientação de uma prática crítica, construtiva e transformadora.”. Fiorentini e Lorenzato
(2012) afirmam que essa etapa da pesquisa é fundamental, pois é nela que o pesquisador
obtém os resultados consistentes e as respostas expressivas para as questões inicialmente
formuladas na investigação.
Partindo desse entendimento, a categorização desta investigação surgiu de
categorias teóricas definidas a priori, embasadas no referencial teórico acerca do
conhecimento do conteúdo, conhecimento pedagógico do conteúdo fundamentados em
Shulman (1986) e o TPACK, fundamentos em Koehler e Mishra (2005; 2009), e de categorias
empíricas definidas a posteriori que emergiram a partir dos dados coletados. As categorias
teóricas e empíricas encontram-se explicitadas no quadro 3, relacionando-se aos objetivos
específicos desta pesquisa.
29
captura da imagem exibida na tela de recursos tecnológicos digitais.
98
Quadro 3 – Categorias de análise da pesquisa
CATEGORIAS
TEÓRICAS
CONCEITOS
NORTEADORES
CATEGORIAS
EMPÍRICAS
AÇÃO
DESENVOLVIDA
O conhecimento
do conteúdo dos
professores no
ensino de
Geometria
Espacial
Refere-se à organização e a
quantidade do conhecimento em
si mesmo, na mente do professor.
(SHULMAN, 1986, p. 10,
tradução nossa30
).
O formalismo no
ensino de Geometria
Espacial.
A ênfase ao uso de
fórmulas matemáticas.
A memorização dos
conteúdos.
Entrevistas.
Estudos teóricos
(Encontro 5).
Observação
(aula inicial).
O conhecimento
pedagógico do
conteúdo dos
professores no
ensino de
Geometria
Espacial
Incorpora os aspectos do
conteúdo mais pertinentes à sua
capacidade de ensino. [...] inclui,
os tópicos a serem ensinados na
área de assunto, as formas mais
úteis de representação dessas
ideias, as analogias, ilustrações,
exemplos, explicações e
demonstrações mais poderosas -
em outras palavras, as maneiras
de representar e formular o
assunto que o torna
compreensível para os outros.
(SHULMAN, 1986, p. 10,
tradução nossa31
).
Relação entre a
formação acadêmica e a
prática profissional.
Dificuldades
vivenciadas no ensino e
na aprendizagem de
Geometria Espacial.
Estratégias e recursos
didáticos na prática dos
professores de
Geometria Espacial.
Entrevistas.
Estudo teórico
(Encontro 4).
Observação
(aula inicial).
O conhecimento
tecnológico dos
professores e o
TPACK no ensino
de Geometria
Espacial
Entendimento da
representação de conceitos
usando tecnologias; técnicas
pedagógicas que usam
tecnologias de maneira
construtiva para ensinar
conteúdo; conhecimento do que
torna os conceitos difíceis ou
fáceis de aprender e como a
tecnologia pode ajudar a corrigir
alguns dos problemas que os
alunos enfrentam; entendimento
do conhecimento prévio dos
alunos e de teorias e
epistemologias; e conhecimento
de como as tecnologias podem
serem usadas para desenvolver o
conhecimento existente para
desenvolver novas
epistemologias ou fortalecer as
antigas. (KOEHLER; MISHRA,
2009, p. 66).
O conhecimento
tecnológico na prática
dos professores antes do
processo formativo.
O conhecimento
tecnológico e a
convergência ao TPACK
no processo de formação
dos professores.
O conhecimento
tecnológico e a
convergência ao TPACK
na aula prática dos
professores.
Concepções dos
professores pesquisados
sobre os conhecimentos:
tecnológico, pedagógico
e de conteúdo e a
convergência ao
TPACK, após a
formação dos
professores de
Matemática.
Entrevistas.
Estudos teóricos.
Observações
(aula inicial e aula
prática).
Sessões
Reflexivas.
Fonte: Elaborada pela autora
30
refers to the amount and organization of knowledge per se in the mind of the teacher.
31
embodies the aspects of content most germane to its teachability. [...] include, for the most regularly taught
topics in one’s subject area, the most useful forms of representation of those ideas, the most powerful analogies,
illustrations, examples, explanations, and demonstrations-in a word, the ways of representing and formulating
the subject that make it comprehensible to others.
99
As categorias teóricas e as categorias empíricas foram criadas para garantir uma
estrutura mais significativa, além de manter a relação entre os objetivos específicos da
pesquisa, sendo eles: (i) compreender como os professores de Matemática do Ensino Médio
manifestam seu conhecimento do conteúdo no ensino de Geometria Espacial. (ii) identificar
evidências do domínio do conhecimento pedagógico do conteúdo pelos professores de
Matemática do Ensino Médio, associadas ao ensino de Geometria Espacial. (iii) verificar
indícios da apropriação do conhecimento tecnológico e pedagógico do conteúdo – TPACK
pelos professores de Matemática do Ensino Médio, em formação continuada.
Por fim, a terceira fase proposta por Bardin (2009), também aplicada nesta
pesquisa, apresenta o tratamento dos resultados, inferência e interpretação, e consiste em
compreender os significados dos conteúdos inclusos no material coletado (observações,
entrevistas, sessões formativas e sessões reflexivas), confrontando-os com a teoria utilizada.
Os resultados referentes a cada uma das categorias apresentadas no quadro 3,
foram exploradas no capítulo seguinte e representam a análise descritiva dos dados dessa
investigação.
100
6 ANÁLISE DOS DADOS
“O real não é nunca aquilo em que se poderia
acreditar, mas é sempre aquilo em que
deveríamos ter pensado”.
(BACHELARD,1962).
Este capítulo apresenta as análises dos dados coletados no lócus da pesquisa, as
quais estão estruturadas em quatro seções visando alcançar os objetivos da investigação.
Antes de iniciar a análise dos dados através das categorias teóricas apresentadas na
metodologia, no capítulo anterior, faz-se um breve perfil dos professores pesquisados, sua
formação inicial e continuada, o qual se considerou necessário essa análise para maior
compreensão da formação dos professores e suas experiências para o exercício da prática do
ensino de Geometria Espacial.
A segunda seção apresenta a análise norteada pela categoria denominada o
conhecimento do conteúdo dos professores no ensino de Geometria Espacial, na qual se
considerou os conhecimentos dos professores sobre a disciplina de Matemática e os conteúdos
de Geometria Espacial.
Na terceira, a análise é dirigida pela categoria definida o conhecimento
pedagógico do conteúdo dos professores no ensino de Geometria Espacial, na qual se buscou
identificar evidências do domínio do conhecimento pedagógico do conteúdo pelos professores
de Matemática do EM, associadas ao ensino de Geometria Espacial.
Na quarta, a análise é orientada pela categoria o conhecimento tecnológico dos
professores e o TPACK, associado ao uso dos recursos tecnológicos móveis (smartphones,
iphones e tablets) no ensino de conteúdos de Geometria Espacial (prismas e pirâmides) com o
auxílio do software GeoGebra aplicadas ao grupo de professores pesquisados.
6.1 Perfil dos professores pesquisados
As análises apresentadas nesta seção foram desenvolvidas a partir dos dados
coletados na entrevista, junto aos três professores, que teve como foco construir o perfil dos
docentes participantes da pesquisa, bem como conhecer suas experiências profissionais com o
ensino do conteúdo de Geometria Espacial, o uso ou não dos recursos tecnológicos digitais e
seus conhecimentos relativos à formação inicial e continuada.
Nessa perspectiva, os dados coletados por meio da entrevista inicial conduziram à
101
elaboração do recorte apresentado. Nessa conversa a pesquisadora tomou conhecimento sobre
informações pessoais como nome, idade, vínculo de trabalho com a escola, tempo de
experiência com o magistério e titulações acadêmicas (graduação/área; especialização;
mestrado; etc.).
O professor Delta tem 30 anos de idade e 07 anos de experiência na docência. É
licenciado em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará – UECE, tendo concluído o
curso no segundo semestre de 2017. Iniciou como professor de Matemática em 2013, ainda na
graduação, participando de um projeto desenvolvido pela SEDUC, dando aula de reforço para
alunos com baixo rendimento. Em 2014 foi convidado pelo diretor da escola em que atuava
para assumir, como professor temporário, a regência da disciplina de Matemática, em turmas
regulares do EM, permanecendo até o momento atual.
O professor Sigma tem 29 anos de idade e 02 anos de experiência na docência.
Enquanto aluno da Educação Básica fez o Técnico em Informática e iniciou o curso de
Graduação em Sistemas de Informação, mas não concluiu. Posteriormente, ingressou na
licenciatura em Física na Universidade Federal do Ceará – UFC, em que se encontra cursando
o último semestre. Em 2018 ingressou na escola de Educação Básica como bolsista do
Programa Residência Pedagógica e em 2019 foi contratado como professor temporário nas
disciplinas de Física e Matemática, lecionando Geometria Espacial em 03 turmas de 2º ano.
O professor Ômega tem 42 anos e 20 anos de experiência na docência. Trabalha
na área de educação desde 1999, iniciou sua carreira dando aulas em cursinhos preparatórios
para vestibulares, depois como professor temporário em escolas da Educação Básica, em
Fortaleza. Em 2010, ao ser aprovado em concurso para professor efetivo da SEDUC , assumiu
a função de professor efetivo na escola onde se desenvolveu esta pesquisa. Iniciou lecionando
Física e, nos dois últimos anos (2018/2019 ), passou a ministrar aulas de Matemática em
turmas de 1ºs anos.
A primeira graduação de Ômega foi o bacharelado em Química Industrial,
contudo, para exercer o magistério, fez um curso de complementação pedagógica denominado
de “Esquema”, que o habilitou a lecionar as disciplinas de Química e Matemática.
Posteriormente cursou licenciatura em Física e atualmente cursa a licenciatura em
Matemática, estando no 4º semestre. O quadro 4 sintetiza o perfil dos professores
participantes.
102
Quadro 4 - Perfil dos professores
NOME TEMPO DE
DOCÊNCIA
GRADUAÇÃO PÓS-GRADUAÇÃO
Delta 07 anos Matemática (licenciatura) Não possui
Sigma 02 anos Física (licenciatura) Não possui
Ômega 20 anos Química Industrial (bacharelado)
Química e Matemática (habilitação)
Física (licenciatura)
Ensino de Física
(Especialização)
Mestrado Nacional Profissional
em Ensino de Física (MNPF) Fonte: Elaborada pela autora
Analisando o tempo de experiência na docência e a formação inicial, os três
professores apresentam características diferentes. Sigma ainda está concluindo a graduação, a
maior titulação de Delta é a licenciatura e Ômega possui curso de especialização e mestrado.
Em relação a esse ponto mencionado, não se tem a pretensão de emitir opiniões ou
julgamentos, contudo, esse dado sinaliza a fragmentação do continuum entre a formação
inicial e a formação continuada, pontuada como relevante por pesquisadores (LORENZATO,
2015; MATTOS, MATTOS, 2018; NACARATO, 2011).
Em relação ao tempo de formação dos professores Delta, Sigma, Ômega e a
participação destes nesta ação formativa promovida pela pesquisadora, todos demonstraram
interesse e envolvimento. Ressalta-se que não foram identificados contrastes entre professores
pesquisados que pudessem ser atribuídos à formação inicial e/ou tempo de experiência com a
docência.
Nesse sentido, Shulman (2014) argumenta que a distinção entre um professor
iniciante para um especialista não é o conhecimento do conteúdo da disciplina que ministra.
Embora esse conhecimento seja importante, outros fatores podem ser determinantes para a
base do conhecimento e imprescindíveis para a docência – as habilidades pedagógicas, o
engajamento, as motivações, a compreensão da realidade em que atua e a disposição para
aprender com a experiência proporcionada no gerenciamento da sala de aula.
Contudo, convém ressaltar que a inserção dos professores no âmbito da docência
ocorreu de diferentes maneiras: Delta e Sigma, por exemplo, ingressaram no campo de
atuação profissional antes mesmo da conclusão da licenciatura. Isso indica que a iniciação à
docência, para esses professores, constituiu-se em um movimento “paralelo à formação”. Curi
e Pires (2008, p. 6), ao analisarem a formação de professores que ensinam Matemática,
evidenciam que, para esses profissionais, “foi a prática docente – e não a formação inicial ”,
que os aproximou do campo de atuação profissional. Esse fato é apontado como um aspecto
favorável ao desenvolvimento dos conhecimentos dos docentes que, aos poucos, vão
construindo suas identidades profissionais moldadas pelas experiências vivenciadas como
103
professores da Educação Básica e como alunos do ensino superior.
Já Ômega teve um percurso profissional construído de modo divergente de Delta e
Sigma. Era bacharel em Química Industrial e para exercer a docência teve que realizar curso
de formação complementar. Essa complementação (regulamentada pela Portaria Ministerial nº
432/71 e resolução nº 2/97 do CNE) visa assegurar a ampliação dos conhecimentos
profissionais dos professores, buscando a integração entre os conhecimentos teóricos das
disciplinas específicas com os conhecimentos pedagógicos necessários às práticas escolares.
Esse fato apontado reforça a argumentação dos autores (KOEHLER; MISHRA, 2005, 2009;
SHULMAN, 1986, 2014) ao mencionarem que, para o exercício da docência, é necessário
além do domínio do conhecimento do conteúdo especifico da disciplina, é imprescindível o
domínio do conhecimento pedagógico do conteúdo e também da integração das tecnologias
em contextos educacionais.
Quanto à formação continuada, este trabalho investigativo considera pertinente
conhecer a trajetória formativa dos professores a partir de sua inserção profissional nos
espaços escolares, seus interesses e motivações em participarem de processos formativos ao
longo de suas trajetórias profissionais, visto que a formação profissional é concebida como
“requisito fundamental para as transformações que se fazem necessárias na educação.”, a
partir dos processos de formações continuadas. (GROENWALD, 2011, p. 66).
Dois professores participaram uma única vez de cursos de formação em sua
trajetória profissional. O professor Delta participou uma única vez de um curso de curta
duração, direcionado ao ensino de Matemática com foco na metodologia de ensino -
Sequência Fedathi, oferecido por grupo de pesquisa da Universidade Federal do Ceará (UFC).
Sigma participou de curso de elaboração de questões de Matemática, enfocando o
conhecimento para elaborar itens de avaliações externas do Sistema Permanente de Avaliação
da Educação Básica do Ceará SPAECE ou SAEB, ministrado pela SEDUC.
Delta entende a formação continuada como necessária, entretanto, justifica a
ausência de participação em cursos de aperfeiçoamento e especialização atribuindo a dois
fatores: a falta de tempo para conciliar a vida profissional com a formação continuada: “não
pude fazer porque não tá dando tempo mesmo e também porque estou dando aula no
PREVEST32
à noite, aí tá muito corrido... aí tem direção de turma e tudo mais...” e a falta de
32
Curso pré-vestibular ofertado pela SEDUC, para promover o acesso dos alunos do EM ao ensino superior, por
meio de aulas preparatórias para o vestibular e ENEM. (Fonte: www.seduc.ce.gov.br).
104
recursos financeiros: “eu tinha me inscrevido para o mestrado, mas foi cortado as bolsas e eu
vou ter que esperar o próximo.”.
Sigma também manifesta sua aspiração para ingressar em um curso de mestrado,
após a conclusão da graduação, além do interesse em fazer licenciatura em Matemática:
[...] você não pode ter uma matrícula no [curso] superior e num curso de pós, ao
mesmo tempo, na mesma universidade. Mas eu podia ter em universidades
diferentes, fazer o mestrado num lugar e a graduação num outro lugar... E aí
trabalhar, fica impossível! Então vão ser planos que vão ser adiados, por enquanto.
(SIGMA, Entrevista, 2019).
As narrativas de Delta e Sigma evidenciam a problemática já apontada por Sousa
(2018), no que se refere aos obstáculos que permeiam a formação continuada dos professores.
Muitos professores não conseguem participar de formações continuadas, especializar, por
falta de tempo, visto que vários docentes trabalham diariamente nos três turnos para custear
despesas e manter a família. Evidencia ainda que as redes de ensino não conseguem efetivar o
que preconiza a Lei do Piso Salarial nº 11.738/2008 (BRASIL, 2012) sobre a garantia de que
1/3 da jornada de trabalho sejam reservadas a planejamento e estudos, em que os professores
possam ser inseridos em formações contínuas no próprio local de trabalho.
O professor Ômega possui curso de especialização. Em 2018 concluiu mestrado
em Ensino de Física e participou de diversos cursos de curta duração, alguns deles na
modalidade a distância, oferecidos pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul
(UFRGS). O professor destaca que:
A partir do momento que a gente se deparou com o mundo da educação e viu que
era esse ramo que a gente ia traçar, a gente percebeu uma necessidade cada vez mais
se adequar o que se exigia os novos tempos. A gente no início só tinha a graduação,
como eu havia falado antes, e depois precisou da necessidade de fazer uma
especialização. (ÔMEGA, Entrevista, 2019)
Diante dessa narrativa de Ômega a respeito de sua participação em cursos durante
sua trajetória profissional, a pesquisadora indagou se ele considerava que a sua prática havia
melhorado a partir da realização dos cursos de formação. Este afirmou “Melhorou certamente,
se eu quiser fazer uma reflexão do que eu ministro hoje para 10 anos atrás certamente essas
novas ferramentas [formações] me ajudaram, né, e muito.”. (ÔMEGA, Entrevista, 2019).
Fica evidente na fala do professor Ômega que ele reconhece a necessidade do
professor se manter inserido em programas de formação continuada para ampliar os
conhecimentos adquiridos na universidade. Essa constatação vai de encontro ao pensamento
de Lorenzato (2015, p. 15) ao enfatizar que muitos professores “desejam melhorar a qualidade
105
do ensino que proporcionam e sentem que precisam ampliar, aprofundar, consolidar seus
conhecimentos e habilidades” para garantir um conhecimento qualitativo diferente do que foi
alcançado na universidade.
Sigma (Entrevista, 2019) menciona que a sua participação no curso de formação
para elaboração de questões de Matemática contribuiu para a sua prática de sala de aula:
“mesmo o curso não sendo [de conteúdo] específico [...] eu acabava trazendo alguma coisa de
lá para cá, aí uma coisa ajudava a outra". Delta (Entrevista, 2019) também reconhece a
formação continuada como uma possibilidade de aprimorar e “formar melhor os professores
para isso [ensinar] e reinventar essas aulas porque só lousa realmente não é suficiente,
Geometria Espacial não tem como você dar só na lousa.”.
Gomes (2018) corrobora com o relato de Delta ao afirmar que determinados
conteúdos da Matemática, no caso citado pelo professor Delta – a Geometria Espacial, para
serem abstraídos e compreendidos pelos alunos, requer do professor o uso de diferentes
técnicas e recursos pedagógicos que auxiliem os estudantes na interpretação e na assimilação
dos conhecimentos.
No que concerne à participação dos professores pesquisados nos processos de
formação continuada percebe-se, através de suas narrativas, que, apesar de reconhecerem a
importância da formação continuada para a prática educativa, esse campo formativo foi pouco
vivenciado. Apenas Ômega relata que já participou de várias formações, já Delta e Sigma
participaram uma única vez de processos formativos ao longo de sua carreira. Esse cenário
precisa ser revisado e subsidiado por políticas públicas que promovam ações voltadas para a
prática docente, já que as propostas defendidas pela BNCC (BRASIL, 2018a) colocam a
formação continuada como pauta obrigatória em todas as unidades de ensino.
A seguir, procurou-se analisar a primeira categoria teórica que reflete sobre os
conhecimentos de conteúdo da disciplina que os professores ministram, a partir dos dados
obtidos pela entrevista inicial, encontro teórico sobre a Geometria Espacial e observações de
aulas iniciais ministradas pelos professores Delta e Sigma.
6.2 O conhecimento do conteúdo dos professores no ensino de Geometria Espacial
Esta seção tem o propósito de sistematizar as discussões relativas à primeira
categoria teórica de análise o conhecimento do conteúdo dos professores no ensino de
Geometria Espacial. Essa categoria tem como conceito norteador o domínio do conhecimento
de conteúdo que se refere à organização e à quantidade do conhecimento em si mesmo, na
106
mente do professor (SHULMAN, 1986).
A partir da categoria teórica que buscou responder o primeiro objetivo específico
desta pesquisa, surgiram as categorias empíricas (figura 8) que emergiram a partir dos dados
coletados com os professores.
Figura 8 – Diagrama da categoria de análise do conhecimento do conteúdo
Fonte: Elaborado pela autora.
A Figura 8 apresenta um diagrama composto com a organização da primeira
categoria teórica de análise (a esquerda da figura), o objetivo específico (ao centro) e as
categorias empíricas (a direita da figura).
As reflexões se fundamentam na concepção do conhecimento do conteúdo,
descrita por Shulman (1986), que considera necessário entender o conhecimento do professor
perante a disciplina que ele ensina. Considerando-se que Ômega não atua com a Geometria
Espacial, as análises desta categoria são alusivas aos professores Delta e Sigma, a partir de
três momentos distintos:
O destaque ao conhecimento do conteúdo pontuado na entrevista de Delta e
Sigma;
A ênfase ao conhecimento do conteúdo manifestado no encontro de formação
teórica sobre o ensino de Geometria no Brasil;
A manifestação do conhecimento de conteúdo na aula inicial dos professores
Delta e Sigma.
Shulman (1986) argumenta que os programas de formação de professores dão
maior ênfase ao saber do conhecimento do conteúdo do assunto, em que são priorizados os
conhecimentos científicos em detrimento aos demais conhecimentos. Nesse contexto, na
entrevista inicial, quando se indagou aos professores sobre os conhecimentos adquiridos na
formação inicial que eles consideravam importantes para a prática do ensino de Geometria
107
Espacial na Educação Básica, Sigma (Entrevista, 2019) pondera que a sua formação não é em
Matemática e argumenta:
É uma pergunta que eu não sei te responder, quais conhecimentos eu considero
essenciais [...] já que a minha formação inicial não foi em Matemática, no caso, ela é
em Física. Então, talvez no curso de licenciatura em Matemática, eu, talvez
adquiriria esses conhecimentos, né? (SIGMA, Entrevista, 2019).
Diante da fala de Sigma, há indícios de que o docente se referia ao conhecimento
do conteúdo, tendo em vista este apontar que a sua formação inicial não é em Matemática,
mas em Física. Já Delta, em sua fala, dá ênfase ao conhecimento do conteúdo: “Os
conhecimentos adquiridos na formação que eu considero é mais a parte de demonstração.”.
Contudo, o professor destaca que “lá é muita formalidade, é demonstração e demonstração.
Aqui não, a gente tem que trazer um exemplo do cotidiano do menino.”. (DELTA, Entrevista,
2019).
A fala do professor Delta sinaliza que os conhecimentos adquiridos na formação
inicial e que são empregados na prática do ensino de Geometria Espacial foram somente o
conhecimento do conteúdo. Essas narrativas ratificam as críticas de Shulman (1986),
referentes aos programas de formação de professores, na proeminência do conhecimento
científico em detrimento aos demais conhecimentos como fato ainda recorrente na atualidade.
Delta assume que os conhecimentos mais importantes adquiridos por ele, em sua
formação inicial, foram as demonstrações matemáticas. Entretanto, o professor reconhece que
o modo de apresentar tais demonstrações para os alunos da Educação Básica deve ser feito de
forma diferente do modo como ele aprendeu, destacando a importância de apresentar
exemplos que estejam relacionados ao cotidiano do aluno. Sigma (Entrevista, 2019) afirma:
“olha, há uma dissociação entre o que eu estou aprendendo lá, [...] e levar isso para a sala de
aula. É totalmente dissociado. E isso acontece até nas cadeiras teóricas [...] e nas cadeiras de
metodologia.”.
Diante do relato dos professores sobre os conhecimentos adquiridos na formação
inicial e a conexão com as suas práticas docentes, ratifica-se as argumentações sobre o
distanciamento entre as licenciaturas e o campo de atuação desses profissionais. A situação
evidenciada pelos docentes é referenciada por pesquisadores (COURA; PASSOS, 2018;
CURI, 2011) ao mencionarem que a Matemática que os licenciandos estudam na graduação
mantém numerosos contrastes com a Matemática escolar. Nesse sentido, enfatiza-se a
primordialidade dos professores buscarem a ampliação dos conhecimentos, metodologias e
utilização das tecnologias em sala, que contribuam para o ensino dos conteúdos, reverberando
108
na aprendizagem dos educandos.
Quanto à exploração dos conteúdos geométricos em sala de aula, Delta considera
a demonstração das fórmulas importante para a aprendizagem dos estudantes, mas pondera
que esse procedimento deve ser feito de modo breve, visto que os alunos não demonstram
interesse nesse tipo de aprendizagem: “eu acho que o principal é saber demonstrar o porquê
de algumas coisas, as demonstrações mais longas não adianta fazer porque eles não vão se
interessar.” (DELTA, Entrevista, 2019). Nesse sentido, Sigma destaca que “o que é que a
gente quer dos alunos... ok tem fórmula de área..., fórmula de volume..., vários sólidos
geométricos..., várias figuras planas... e a gente quer que eles saibam reconhecer e entender
tudo isso.” (SIGMA, Entrevista, 2019).
Entende-se, na narrativa de Delta, ao evidenciar o formalismo no ensino de
Matemática para os alunos da Educação Básica, como um aspecto negativo, visto que o
professor argumenta que os alunos não demonstram interesse por demonstrações longas.
Nesse caminho, Sigma menciona a importância do aluno compreender o significado dos
conteúdos matemáticos, na perspectiva de ir além da exploração de simbologias e fórmulas.
Grando, Nacarato e Gonçalves (2008) colaboram com o pensamento dos
professores. As autoras consideram que as argumentações e justificativas de conteúdos
matemáticos, na sala de aula da Educação Básica, não precisam ser validadas pelos mesmos
postulados dos matemáticos profissionais, podendo apresentar diferentes modelos e
justificativas de apresentação. Esse fato sinaliza indícios que Delta e Sigma conduzem suas
ações de ensino pautadas na reflexão de quais conteúdos podem ser fecundos para a
aprendizagem de seus alunos. As argumentações apontadas pelos docentes evidenciam o
domínio do conhecimento do conteúdo – um dos integrantes da base do conhecimento de
ensino de Shulman (1986; 2014).
Para refletir sobre o ensino do conteúdo de Geometria Espacial no Brasil,
realizou-se um encontro teórico (Encontro 5) com discussões pautadas no texto apresentado
no capítulo 3 desta pesquisa. Ao ser explanado as contribuições de Valente (2008) – no
tocante às práticas dos professores de Matemática nos três últimos séculos, em que o trabalho
didático-pedagógico do professor era fazer com que seus alunos fixassem os “pontos” e
depois os reproduzissem nos exames – o professor Sigma pondera que os professores ainda
“carregam” essa herança:
A gente dá um conjunto de conhecimento para os meninos resolver questões,
resolver problemas. Acaba que a maior parte do nosso tempo, como o texto falou,
que a gente utiliza aquele texto de geometria só para resolver fórmulas repetidas.
109
Porque se a gente pegar os nossos livros ainda têm dezenas e centenas de questões
bem simplistas que é só aplicação direta da fórmula. Uma espécie de memorização.
A gente valoriza mais a memorização do que a capacidade analítica do menino de
pegar aquele conhecimento de geometria plana ou espacial e de tentar organizá-lo
em torno, dentro, do que é a realidade dele. (SIGMA, Encontro 5, 2019).
Em sentido semelhante, Delta reafirma “a gente ainda peca nessa questão da
herança, de puxar muita coisa de que era praticado antes, não fazer o menino pensar, abstrair,
formalizar e procurar aplicar esse conhecimento em outras áreas, em outros problemas”.
Dessa vez, os professores reconhecem que suas ações docentes diante dos alunos
são caracterizadas pela valorização das fórmulas e dos processos de memorização, ao mesmo
tempo em que destacam que o ensino deve estar relacionado com a realidade do educando.
Para Curi (2011), um mesmo professor pode ter ideias conflitantes sobre uma mesma
temática, pois elas surgem das vivências e intervenções sofridas em momentos distintos da
sua atuação. Para a autora, os professores aplicam diferentes filtros de intervenção,
dependendo do contexto que estejam inseridos, fato que é evidenciado em diversos momentos
da etapa formativa, nesta investigação.
Os professores apontam a existência de empecilhos que interferem negativamente
em sua atuação, tais como: ausência de tempo e de conhecimento.
[...] principalmente nessa parte de Geometria Espacial que é muita fórmula para
lembrar, porque são muitas figuras diferentes e os alunos sempre têm essa
reclamação – mas qual a importância disso? E a gente [professor] acaba que, meio
que não tendo tempo ou talvez o preparo suficiente para poder fazer esse link –
porque que esse conteúdo é importante de ser visto... porque que todas essas
formulas diferentes ou todas essas figuras geométricas diferentes são importantes,
porque que isso é importante para vocês aprenderem a Química, a Física ou em
todas as áreas da Matemática. (SIGMA, Encontro 5, 2019).
É uma correria muito grande, ensinar Geometria Espacial em um bimestre, para o
monte de coisa que é... [é pouco tempo]. (DELTA, Encontro 5, 2019).
A fala de Sigma demonstra que ainda existem fragilidades em relação ao
conhecimento do conteúdo para ensinar, no caso apontado – a Geometria Espacial,
constituindo-se como obstáculos para o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos. Outro
entrave mencionado por Delta e Sigma é o reduzido tempo para cumprir o extenso currículo
de Geometria Espacial em um único bimestre, além da carência de tempo na jornada de
trabalho dos docentes, indicando ausência de planejamento no ensino desse conteúdo. Esse
dado evidencia que o ensino desse conteúdo segue na direção oposta da assertiva de
Fainguelernt e Nunes (2012), que as aulas de Matemática precisam romper com a prática
reprodutiva, dando ao ensino uma dimensão mais dinâmica.
110
Além das análises apresentadas sobre aspectos pontuados na entrevista e encontro
teórico, destaca-se a manifestação do conhecimento de conteúdo na aula inicial dos
professores Delta e Sigma.
Apesar de Delta e Sigma argumentarem que os alunos precisam refletir e entender
como os conhecimentos são construídos durante a aula inicial, os professores deram ênfase ao
processo de aprendizagem construído a partir da utilização de fórmulas e da resolução de
questões. O realce dado à aquisição do conhecimento pelo aluno, por meio do uso das
fórmulas, foi observado em vários trechos das aulas dos professores:
Essas questões fáceis são importantes para vocês lembrarem das fórmulas, para
responderem as difíceis. (SIGMA, Aula inicial, 2019).
A gente tá aqui falando do cone, mas faz mais de um mês que a gente está
interessado em saber duas coisas: calcular a área e o volume. (SIGMA, Aula inicial,
2019).
A área lateral vai ser o quê? Vai ser essa fórmula nova aqui para vocês. (SIGMA,
Aula inicial, 2019).
Esses exemplos que eu coloquei para vocês – da página 205 – são exemplos bem
simples. Mas porque eles são importantes? Eles fazem vocês toda hora irem atrás
das fórmulas, eles fazem vocês praticarem as fórmulas. (SIGMA, Aula inicial,
2019).
O que a questão te dá? – Ela te dá a área da secção: 36∏ r2. – Presta atenção: mesmo
esquema que a gente já tinha falado antes. Quando ele te dá uma informação,
geralmente a gente vai atrás dela. Geralmente já é a dica para a fórmula que você vai
precisar usar. Então, se ele já achou isso aqui para mim, eu vou usar a fórmula do
mesmo jeito. (DELTA, Aula inicial, 2019).
Analisando-se os depoimentos dos professores Delta e Sigma na entrevista e suas
ações práticas na aula inicial, pode-se perceber que estes assumem posturas antagônicas em
relação ao ensino dos conteúdos de Geometria Espacial. Enquanto na entrevista os professores
adotam o pensamento que o aluno precisa entender o conteúdo para compreender as fórmulas,
durante a atuação em sala de aula, deram demasiada ênfase ao papel que as fórmulas exercem
no ensino e aprendizagem dos conteúdos.
A relevância atribuída às fórmulas durante o processo de ensino, observada
durante as aulas dos professores Delta e Sigma, ainda se encontram em conformidade com a
realidade descrita por Leivas (2009), em seus estudos. O pesquisador, ao se manifestar sobre a
maneira como os professores de Matemática abordam os conteúdos geométricos, aponta que
estes priorizam os tipos de questões que tratam de aplicação de conceitos e de fórmulas, o que
tem tornado o ensino de Geometria completamente algébrico.
111
Eu vivo repetindo para eles: - Olha, a Matemática é treino, você precisa resolver as
questões, para vocês conseguirem resolver próximas questões, novas questões com
mais facilidade, só que fazer os alunos estudarem, treinarem a Matemática é o mais
difícil, né?! (SIGMA, Entrevista, 2019)
Eu digo: - pois é pessoal, a prova não é difícil, o que é difícil é vocês pararem para
praticar, mas eu garanto para vocês, se vocês pararem para praticar, fazer exercícios
com uma certa regularidade em qualquer disciplina vocês vão perceber a diferença.
(DELTA, Entrevista, 2019)
Então quem não lembra da fórmula na hora da prova é porque não praticou
suficiente. Então é por isso que essas questões são importantes, para vocês
praticarem. (SIGMA, Aula inicial, 2019).
Pesquisadores (FAINGUELERNT e NUNES, 2012; SCHEFFER, 2010) apontam
que o ensino pautado pela memorização de fórmulas representa um dos principais entraves na
aprendizagem Matemática. No entanto, percebeu-se indícios dessa tendência na transmissão
dos conteúdos pelos professores. Observou-se a continuidade da estimulação pela resolução
de problemas através da aplicação de fórmulas, embasados na compreensão de que a
aprendizagem de Matemática é adquirida pela repetição e pelo treino constante. Na concepção
desses pesquisadores, esse tipo de ensino não favorece a análise e o estímulo do raciocínio
lógico, tampouco contribui para o desenvolvimento do pensamento matemático, ficando o
ensino e a aprendizagem limitados ao uso de fórmulas matemáticas.
Mediante análises dos dados explanados nesta seção, é possível observar, pelos
depoimentos dos professores, que eles percebem a importância do domínio do conhecimento
do conteúdo específico da disciplina pelo professor e detêm o domínio desse conteúdo.
Contudo, ressalta-se que esse conhecimento deve ir além da habilidade de fazer
demonstrações e definições de conceitos. Para Curi (2011, p. 79), o domínio desse
conhecimento “deve proporcionar condições ao professor de tratar corretamente, de modo
flexível, os conhecimentos matemáticos relacionando-os com outros conhecimentos dos
alunos a fim de torná-los capazes de resolver uma determinada situação.”.
Apesar de ter sido visualizado nas ações dos professores manifestações que foram
caracterizadas em domínio do conhecimento de conteúdo, em outras situações não foi
possível separá-las ou reduzi-las a esse campo específico do conhecimento. Nesse sentido,
Curi e Pires (2008), ao analisarem pesquisas brasileiras na área da Educação Matemática que
abordam o conhecimento do conteúdo para ensinar Matemática, revelam que esse
conhecimento associa-se a outros conhecimentos, tais como o conhecimento pedagógico de
conteúdo e o conhecimento curricular, indo além do conhecimento do conteúdo, visto que o
“ato de ensinar” não é estático e se integra a outros conhecimentos sejam de conteúdo,
pedagógico, bem como aqueles adquiridos em suas práticas docentes.
112
Na próxima seção procurou-se analisar a segunda categoria teórica que reflete
sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo, a partir dos dados obtidos pela entrevista
inicial, encontro teórico sobre os conhecimentos dos professores e observações de aulas.
6.3 O conhecimento pedagógico do conteúdo dos professores no ensino de Geometria
Espacial
Esta seção tem o propósito de sistematizar as discussões relativas à segunda
categoria de análise: o conhecimento pedagógico do conteúdo dos professores no ensino de
Geometria Espacial. Esta categoria tem como conceito norteador aspectos do conhecimento
pedagógico do conteúdo e suas interações com o ensino e a aprendizagem. Esse conhecimento
é único do professor e envolve a forma particular de atuação de cada profissional, além da
compreensão dos processos e procedimentos, a maneira como os problemas e questões são
organizados e adaptados para atender aos interesses dos alunos e a condução da aula.
(SHULMAN, 2014).
A partir da categoria teórica que buscou responder o segundo objetivo específico
desta pesquisa, surgiram as categorias empíricas (figura 9) que emergiram a partir dos dados
coletados com os professores.
Figura 9 – Diagrama da categoria de análise do conhecimento pedagógico do conteúdo
Fonte: Elaborado pela autora.
A Figura 9 apresenta um diagrama composto pela organização da segunda
categoria teórica de análise (a esquerda da figura), o objetivo específico (ao centro) e as
categorias empíricas (a direita da figura).
113
As ponderações se fundamentam na concepção do conhecimento pedagógico do
conteúdo de Shulman (1986) que considera necessária a combinação do conteúdo com a
pedagogia para o entendimento e a prática da disciplina que o professor ensina. Compreende-
se que o conhecimento pedagógico na prática docente deve ser incorporado ao conteúdo da
disciplina, numa perspectiva de combinação, integração e transformação. Sob esse ângulo, os
dados foram analisados a partir de três momentos distintos:
Os aspectos pontuados ao conhecimento pedagógico do conteúdo durante a
entrevista de Delta, Sigma e Ômega;
A ênfase ao conhecimento pedagógico do conteúdo manifestado no encontro
de formação teórica sobre os conhecimentos docentes com os professores
Delta, Sigma e Ômega;
Indicações do conhecimento pedagógico de conteúdo na aula inicial dos
professores Delta e Sigma.
Shulman (2014) menciona que a base do conhecimento para o ensino provém de
diversas fontes. Duas dessas fontes encontram-se diretamente relacionadas à atual categoria
de análise, a saber: a formação acadêmica para a disciplina que ministram e a sabedoria
adquirida da própria prática dos professores. Nesse caminho, para elucidar a relação entre os
professores, o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico, na entrevista,
indagou-se aos professores se a formação acadêmica inicial os preparou de forma adequada
para a prática profissional do ensino de Geometria Espacial na Educação Básica.
Eu acho que não, adequada não. Muita coisa de boa, que eu percebo que eu tenho
que os meninos acabam gostando dos assuntos são coisas que eu aprendi no dia a
dia, aqui na prática com os colegas. O que eu via de bom que um colega praticava eu
copiava, eu ia moldando ao meu estilo de aula. (DELTA, Entrevista, 2019).
Existe toda uma análise do mundo, da sua volta mesmo, que a gente [...] adquire
enquanto estuda. [...] Eu não tive o prazer de estar na sala de aula e o professor
passar esses exemplos para mim. Ou de encontrar isso numa disciplina de
metodologia de ensino, alguma coisa do tipo, infelizmente. Foi pesquisando mesmo,
foi elaborando aula, foi procurando uma maneira de passar aquele assunto que a
gente vai descobrindo essas coisas. Infelizmente o meu curso deixava a desejar
nessa questão de como passar esse conteúdo, essa metodologia assim. (SIGMA,
Entrevista, 2019).
As respostas dos professores Delta e Sigma evidenciam que a maior parte dos
conhecimentos empregados em sua atuação docente é oriunda da prática adquirida nas ações
desenvolvidas junto aos alunos ou pela prática colaborativa de seus colegas de trabalho. Estes
foram unânimes em apontar que os conhecimentos empregados em suas ações pedagógicas
foram adquiridos durante a docência na Educação Básica. Curi e Pires (2008) mencionam que
114
existe um abismo entre os graduandos nas licenciaturas de Matemática com a pedagogia, a
didática e as ciências da educação. Para as autoras, a formação do licenciando de Matemática
é caracterizada por abordagens extremamente teóricas e sem vínculo com o seu futuro campo
de atuação, fato também evidenciado nas reflexões dos professores.
Solicitou-se que os professores apontassem as principais dificuldades vivenciadas
na prática de ensino do conteúdo de Geometria Espacial. Delta menciona o método de
representação e abordagem dos conteúdos geométricos espaciais, nos quais muitas de suas
características e propriedades deixam de ser compreendidas e identificadas pela forma de
representação no plano e Sigma complementa que os alunos não conseguem reproduzir em
seus cadernos os desenhos dos sólidos espaciais que são demonstrados na lousa.
As principais dificuldades é fazer realmente os meninos entenderem [os conteúdos],
mas elas deixam de ser dificuldades quando eu consigo conectar [...] o assunto com
o dia a dia deles. Esses sólidos [manipuláveis] que eu comecei a utilizar agora
facilitou bastante também. Ano passado eu não tinha, era só o desenho mesmo, [...],
mas tem alunos que só com o desenho ele não consegue perceber a figura. (DELTA,
Entrevista, 2019).
Além das dificuldades do “como ensinar”, Delta e Sigma tecem comentários em
relação às dificuldades dos seus alunos, no processo de assimilação dos conteúdos. Delta
(Entrevista, 2019) aponta que “uma das coisas que eu vejo que eles [aluno] têm mais
dificuldades em fazer é abstrair, retirar o significado das coisas”. Diante dessas colocações,
recorre-se à assertiva de Lobo da Costa e Prado (2013) ao pontuarem que o domínio do
conhecimento pedagógico do conteúdo envolve a compreensão do professor de tópicos
matemáticos, o conhecimento de tópicos que são mais fáceis de serem ensinados e de serem
compreendidos, enquanto outros são mais complexos, aqueles exemplos que são mais
relevantes ou exigem maior nível de abstração, tudo isso faz parte do conhecimento
pedagógico do conteúdo. Analisando as falas de Delta e Sigma, há evidências de que ambos
possuem esse conhecimento.
Em relação à aprendizagem dos alunos, Sigma destaca que estes estão habituados
a utilizarem somente a memorização e a reprodução de fórmulas.
[...] acho que a dificuldade tá em os alunos assimilar aqueles conteúdos,
principalmente as fórmulas, os alunos tem uma dificuldade imensa em saber aplicar
as fórmulas, lembrar das fórmulas, [...] acabam querendo decorar a fórmula e [...]
mesmo sabendo as fórmulas não sabem resolver a questão porque eles não entende
como aquela fórmula foi construída [...] eles não conseguem deduzir quais são os
elementos que tem na questão pra você utilizar e resolver naquela fórmula. (SIGMA,
Entrevista, 2019)
115
Sigma aponta a necessidade dos professores de compreenderem as dificuldades
que os alunos possuem e diferentes formas para explicar o significado dos conceitos, para que
se possa contribuir com o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos.
Entender os nossos alunos, que a única forma da gente conseguir fazer aquele nosso
aluno progredir, avançar e ter o conhecimento é a gente entender justamente essas
dificuldades deles. Essa dificuldade que ele vêm carregando, essa dificuldade de
aprender aquele conteúdo, porque saber o conteúdo, é algo que a gente sabe, [...]
Agora, conhecer o público, conhecer o aluno e procurar maneiras de ensinar para ele
e para toda turma diferente, toda aula diferente, a gente tem que reinventar isso.
(SIGMA, Entrevista, 2019).
Eu acho que o nosso trabalho é sempre tentar procurar encontrar respostas, mesmo
sabendo que a gente nunca vai chegar numa resposta que sirva para todas as turmas,
para todos os alunos. (SIGMA, Entrevista, 2019).
Diante do depoimento dos professores Delta e Sigma sobre as dificuldades dos
alunos na aprendizagem dos conteúdos geométricos, Leivas (2009) afirma que o ensino dessa
disciplina na escola básica carece de abordagens que favoreçam a imaginação – que pode ser
representada por um esquema visual; a intuição – construção de estruturas mentais para a
formação de conceitos; e a visualização – processo de formar imagens mentais, para construir
e comunicar conceitos matemáticos, com vistas a auxiliar na resolução de problemas
geométricos.
Para Leivas (2009), as diferentes formas de visualização e aplicabilidade do
conteúdo matemático, quando efetuadas em sala de aula, contribuem para melhorar a
compreensão do aluno sobre características específicas das diferentes figuras geométricas.
Nesse sentido, perguntou-se aos professores sobre a disponibilidade de materiais didáticos,
em seu ambiente de trabalho, para a prática do ensino de Geometria Espacial e quais recursos
eram utilizados em suas atividades de ensino.
Sigma informou que teve conhecimento que existe laboratório de matemática na
escola há bem pouco tempo e que, durante o ensino das figuras espaciais, construiu alguns
moldes de papel – cubo e pirâmides – mostrando aos alunos elementos como o apótema
lateral, apótema da base, altura e volume. Relatou ainda a existência do laboratório de
informática, mas não teve a oportunidade de usá-lo com os alunos, devido a uma série de
questões que inviabilizam seu uso.
[...] me disseram que no laboratório de Matemática existe alguns moldes lá de
algumas figuras, só que eu não sabia quando dei essas aulas, então eu fiz em casa
tipo: o cubo, as pirâmides. Ai eu fiz e tentei mostrar para eles, principalmente para
tentar explicar a questão da apótema lateral, da base, da altura, do volume. E a
escola também oferece para a gente, o laboratório de informática, que dá para a
gente a possibilidade da gente levar os alunos e colocar eles para utilizar softwares
116
específicos, mas eu não fiz isso na prática. Eu sei que existe, a possibilidade tá ai,
mas eu não tive a oportunidade de aplicar isso com os alunos. (SIGMA, Entrevista,
2019).
Delta relatou que a escola dispõe de alguns objetos tridimensionais – cone,
cilindro, pirâmide, esfera – confeccionados para o uso com alunos deficientes visuais e que os
utiliza em suas aulas com os alunos videntes.
Aqui a gente tem o professor [...], ele comprou uma impressora 3D, [...], aí ele
imprimiu [...] cone, fez cilindro, fez pirâmide. Lá na Sala de Recursos
Multifuncional33
, [...] tem uma prateleira lá e tudo que ele imprime ele deixa lá para
[...] utilizar com os meninos que são deficientes visuais. E sempre nas minhas aulas
eu passo lá antes e pego. E também no laboratório [de Matemática] eu pego algumas
coisas lá, [...], toda essa parte de sólido eu pego. Além de desenhar para eles
[alunos] eu levo essas coisas para eles verem, eles passam na mão de cada um para
verem o que é. Dou aula mostrando, porque às vezes o desenho [...] não conseguem
ver de forma tridimensional, [...] mas com o sólido lá fica mais fácil. (Delta,
Entrevista, 2019).
Em relação ao uso de recursos didáticos, observa-se na fala de Delta a menção ao
uso dos materiais manipuláveis disponíveis na escola, enquanto Sigma desconhecia a
existência de tais recursos. Salienta-se que Delta e Sigma são professores na mesma escola,
lecionam o mesmo conteúdo, na mesma série, e trabalham com recursos e abordagens
diferentes, o que pode ser caracterizado como ausência de comunicação entre os docentes no
planejamento didático da prática de ensino dos conteúdos geométricos. Esse dado sinaliza que
a troca entre os pares, na escola, pode não estar acontecendo.
Para Shulman (2014), o conhecimento para o ensino provém de várias fontes,
incluindo as relações sociais realizadas nos espaços educativos. Dessa forma, pontua-se que
tais relações se efetivam: nos momentos de reflexões sobre a complexidade e gerenciamento
do ensino, no planejamento pedagógico, no desenvolvimento de projetos coletivos, na
elaboração de materiais e atividades didáticas. Esses momentos são fundamentais para a
formação e atuação docente, entretanto, se os docentes não vivenciam tais relações, há um
indicativo da ausência de troca de conhecimento entre os pares nos espaços educativos.
Ainda em relação aos recursos didáticos, observa-se que os laboratórios de
informática34
encontram-se na maioria das escolas públicas estaduais, desde o final do século
33
Espaços físicos disponíveis nas escolas onde se realiza o Atendimento Educacional Especializado - AEE. As
SRM possuem materiais de acessibilidade para atendimento de alunos com necessidades especiais e que
necessitam de AEE. Este espaço dispõe de um professor com formação em Educação Especial. (Fonte:
www.assistiva.com.br)
34
Em 1997, o MEC criou o Programa Nacional de Informática na Educação (PROINFO) para promover o uso
117
XX e início do século XXI. Contudo, esse espaço é pouco utilizado na prática pedagógica dos
professores. Nacarato (2005) faz observações quanto ao uso dos recursos didáticos e aponta
que esses recursos, quando disponíveis nos espaços educativos, raramente são utilizados.
Segundo a autora, os professores alegam falta de suporte para gerenciar a sala de aula com
outros recursos ou, ainda, argumentam desconhecimento para manuseá-los. Apesar de Sigma
ter mencionado a existência do laboratório de informática na escola, os professores
pesquisados não fazem uso desse recurso em suas práticas pedagógicas.
Para refletir sobre os conhecimentos docentes oriundos da formação e das práticas
pedagógicas dos professores, realizou-se uma sessão teórica (Encontro 4) com discussões
pautadas nas ideias de Shulman (2014) e Koehler e Mishra (2009). Os textos foram
disponibilizados antecipadamente e os professores foram orientados a fazerem as leituras a
fim de conhecerem e aprofundarem os conhecimentos e o entendimento da temática proposta.
A pesquisadora iniciou o encontro dirigindo aos professores Delta, Sigma e
Ômega a questão norteadora: – Quais os principais conhecimentos profissionais que norteiam
a prática educativa do professor? Delta descreve que sua prática é embasada pela pesquisa,
pois é importante que o professor tenha conhecimentos que possam facilitar o ensino dos
conceitos e representações matemáticas para o aluno ter um melhor entendimento do
conteúdo abordado.
[...] o que norteia a prática educativa do professor é o estudo constante e sempre tá
buscando [...] como é que eu posso fazer com que eles entendam o assunto
utilizando a maneira mais simples possível. Eu recorro muito pouco ao livro que a
escola adota, só para exercícios. Mas para definições, para contextualização eu vou
buscar em outros meios, outros materiais. E é isso, a leitura, a pesquisa. Não se
prender a uma única fonte. (DELTA, Encontro 4, 2019)
Diante da manifestação de Delta, Sigma menciona: “Então, o saber tá relacionado
à atualização, à pesquisa daquele conhecimento, né? [...] O conhecimento que a gente tem que
ensinar em sala de aula, [...] a gente precisa encontrar maneiras diferentes de passar aquele
conhecimento que se adeque aquela turma.”. Em pensamento semelhante, Ômega declara:
Engraçado que, nessa proposta do [...] [conhecimento] até para a particularidade das
turmas faz a diferença, porque vamos imaginar que ele [professor] domina o
conteúdo, tem a estratégia de trabalho, [...] dá certo lá no 1º A, [...], você vai para
uma outra turma, com uma ideia parecida e não dá [...]. Você [...] tem que dar aula e
se avaliar ao mesmo tempo, para saber se tá conseguindo chegar, porque as turmas
pedagógico da informática na rede pública de educação básica. O programa leva às escolas computadores e
conteúdos educacionais. E os estados, o distrito federal e municípios oferecem a estrutura adequada para receber
os laboratórios e capacitar os educadores para uso das máquinas e tecnologias. (Fonte: www.portal.mec.gov.br).
118
são heterogêneas “pra caramba”! As dúvidas não vão ser as mesmas, [...] o saber
ensinar, ele é muito íntimo. (ÔMEGA, Encontro 4, 2019).
Analisando-se as falas dos professores sobre os conhecimentos que norteiam suas
práticas, interpreta-se que eles se referiam ao conhecimento do conteúdo e ao conhecimento
pedagógico, sem indicar outros conhecimentos. Contribuindo com a temática, Curi (2011)
destaca que são requeridos inúmeros conhecimentos para ensinar e que os docentes precisam
dominar os conhecimentos específicos da disciplina de Matemática, o conhecimento das
especificidades pedagógicas e as abordagens metodológicas que contribuem para a
aprendizagem dos alunos. Implica, ainda, no desenvolvimento de outros conhecimentos que
são essenciais a prática de ensino, tais como os conhecimentos: tecnológicos, do currículo;
dos alunos; dos contextos educacionais; das finalidades educacionais, além de outros
conhecimentos. (SHULMAN, 2014).
Ainda em relação ao conhecimento pedagógico do conteúdo, Delta descreve que é
importante que o professor tenha conhecimento do assunto e encontre maneiras representá-lo
e aproximá-lo da vivência do aluno, para que ele possa ter um melhor entendimento do
conteúdo abordado.
O assunto, claro, obviamente e também essa parte de fazer com que eles [alunos]
abstraiam o assunto de forma menos difícil. Você conseguir relacionar o assunto
com o cotidiano deles, eu acho isso muito importante, porque se o assunto se torna
próximo dele fica mais fácil dele visualizar as coisas, perceber... (DELTA, Encontro
4, 2019).
Sigma reconhece a importância de o professor possuir conhecimentos para ir além
do ensino do conteúdo da disciplina que ministra. Essa compreensão dos professores é
importante para sua atuação profissional, pois demonstra maturidade em relação a sua atuação
docente. Essa reflexão evidencia uma aproximação do pensamento de Shulman (1986) que
pontua a necessidade do professor estabelecer relações entre os conteúdos estudados e as
diversas áreas de conhecimento.
O professor precisa ter uma capacidade meio interdisciplinar de poder relacionar
aquilo [conteúdo] [...] de maneira que possa conversar com outras disciplinas, para
não ficar um conteúdo solto, assim, meio “raso”, eu acho que isso é interessante.
(SIGMA, Encontro 4, 2019).
Delta e Sigma enfatizam, em suas narrativas, que os conteúdos específicos da
disciplina precisam ser relacionados aos assuntos do cotidiano. Essa é uma didática específica
do professor, em sua prática docente. Esse dado evidencia que os professores conseguem
perceber que o ensino dos conteúdos precisa estar articulado às situações do cotidiano do
119
estudante, estabelecendo conexões entre o conteúdo com outros campos de conhecimentos,
possibilitando que o aluno tenha compreensão do significado daquilo que aprende.
Para Sigma, as situações que fazem parte da vivência dos estudantes contribuem
para facilitar a aprendizagem destes, dando-lhes maior significado.
[...] a ideia por trás de tudo isso é que os alunos possam utilizar esse conhecimento
pra o seu meio, [...], por exemplo, por que o cone que é usado no trânsito é um cone
e não é um cubo? É uma pergunta que geralmente eu faço com meus alunos, [...],
porque um cone o centro de massa dele está a ¼ da base, então, como o centro de
massa está mais baixo ele tem maior equilíbrio, além dele ser cilíndrico, ele tem
maior equilíbrio também com o vento, por isso que os cones são cones, os cones não
são pirâmides, por exemplo! (SIGMA, Encontro 4, 2019).
A narrativa de Sigma, em relação ao conteúdo de “cone”, reflete ações que
retratam o conhecimento pedagógico do conteúdo, visto que o professor consegue relacionar
assuntos específicos de Geometria Espacial (cones) a objetos usados no cotidiano (cone usado
no trânsito) como um modelo para representar o conteúdo. A ênfase ao fato de “que o centro
da massa” estar próximo à base faz com que o cone não vire demostra o domínio do conteúdo
pelo professor. Esse exemplo foi analisado como um apontamento pedagógico muito
interessante, configurando-se em uma ação eminentemente didática e individual do professor.
Entretanto, na “aula inicial” em que Sigma introduziu o conteúdo de “cone” para seus alunos,
ele não fez uso desse modelo.
Especialistas (LEIVAS, 2009; SHULMAN, 1986) asseveram que o uso de
analogias e objetos do cotidiano do educando favorece a imaginação, a intuição e contribui
para a aprendizagem dos alunos. Contudo, ressalta-se a importância de se utilizar atividades
demandando procedimentos de observações, mensurações, explorações que contribuirão para
o desenvolvimento da aprendizagem do educando.
Nos depoimentos dos professores é possível perceber a preocupação destes com
suas práticas pedagógicas e engajamento para solucionar os problemas enfrentados em suas
rotinas de trabalho, embora as justificativas sejam fundamentadas em aspectos da prática
cotidiana. As reflexões dos professores indicam evidências do conhecimento pedagógico de
conteúdo que incluem a compreensão que o professor possui do que torna a aprendizagem de
tópicos fácil ou difícil pelos estudantes e as estratégias que serão produtivas para melhorar o
conhecimento dos alunos. (SHULMAN, 1986).
Outro elemento a ser destacado, em relação ao conhecimento pedagógico de
conteúdo dos professores pesquisados, é a ação centralizada no papel que estes exercem em
120
sala de aula, sem provocar em seus alunos a busca pela descoberta do conhecimento e da
aprendizagem.
[...] eu sempre acho que a gente tem um pouquinho desse conhecimento para
passar para nossos alunos e chega na aprendizagem de nossos alunos e dá
significância ao que eles estão fazendo também. [...] todos esses conhecimentos eu
acho que é interessante a gente mostrar para os alunos [...]. (SIGMA, Entrevista,
2019, grifo nosso).
Em relação aos recursos [didáticos] [...] eu fiz em casa tipo: o cubo, as pirâmides,
[...] e tentei mostrar para eles, principalmente para tentar explicar a questão da
apótema lateral, da base, da altura, do volume [...]. (SIGMA, Entrevista, 2019, grifo
nosso).
[...] a gente tem que saber quais são as fórmulas, como deduzir aquilo, mostrar aos
alunos de onde vem aquilo, né, como aplicar aquilo [...]. (SIGMA, Entrevista, 2019,
grifo nosso).
[...] você acaba tendo de dar um outro assunto, além do que você tá programado para
dar, porque você tem que mostrar para ele [aluno] o porquê [...]. (Delta, Encontro
4, 2019, grifo nosso).
Os depoimentos de Delta e Sigma mostram que estes mencionam, com certa
frequência, a preocupação em “fazer” e “mostrar” para os alunos. Nesse sentido, Nacarato,
Mengali e Passos (2019) enfatizam que a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos é
uma prática social que requer o envolvimento do aluno nas atividades. Para tanto, é necessária
uma nova postura da didática do professor, transformando a sala de aula em um cenário de
investigação em que as situações vivenciadas incorrem no estabelecimento de novas relações
que deem significado à aprendizagem.
Esse dado sinaliza que o ensino continua sendo direcionado por atividades nas
quais os alunos exercem papel passivo no desenvolvimento de suas aprendizagens, não se
visualizando atividades em que estes fizeram medições, manipulações e descobertas das
propriedades geométricas dos conteúdos abordados. Percebeu-se, nesse processo, que o
professor exerce a função de centralizar todo o processo de ensino o que indica uma lacuna no
conhecimento pedagógico do conteúdo dos docentes.
Buscando estabelecer uma reflexão a respeito do conhecimento pedagógico de
conteúdo e da prática dos professores Delta e Sigma, apresentam-se algumas ponderações em
relação à aula inicial dos docentes, abordando tópicos de Geometria Espacial.
A aula inicial de Sigma abordou a temática “esfera”. A estratégia de apresentação
desse tema da aula para os alunos foi o uso de material manipulável (bola de isopor). A Figura
10 registra um trecho da aula inicial quando Sigma usa o recurso didático.
121
Figura 10 – Material manipulável na aula inicial do professor Delta
Fonte: Acervo da pesquisadora.
Na figura 10 visualiza-se a lousa com a definição de esfera, alguns elementos da
esfera: raio (r), diâmetro (d), centro da esfera (o), a representação da esfera (desenho) e
algumas fórmulas: área da superfície da esfera (A = 4∏r2), Área da secção plana (A = ∏r
2) e a
fórmula do volume da esfera (V = ). À frente da lousa, Delta segura uma bola de isopor,
exemplificando a definição de esfera para os alunos, e posteriormente, para explicar a
definição de área de superfície e volume da esfera.
Então, esfera, eu trouxe aqui para vocês verem, essa aqui não é daquele mesmo
material do cone, mas dá para você perceber perfeitamente o que é uma esfera.
(DELTA, aula inicial, 2019).
Vamos só entender o que é área da superfície. – O que é a superfície? Se a gente
abrir essa esfera aqui ela tá oca, certo? Superfície esférica é exatamente só essa parte
aqui, ó, imagina como se fosse uma laranja, só a casca! Uma bola sem o ar dentro,
só a parte plástica da bola. (DELTA, aula inicial, 2019).
E por fim pessoal, ele quer o volume. O volume já é o contrário, não é só isso aqui
somente, ele quer tanto essa parte externa como também tudo que tá contido dentro.
Não é só a casca da laranja, é a laranja com a parte de dentro, a polpa. Ele quer tudo,
ele quer a esfera totalmente preenchida. (DELTA, aula inicial, 2019).
Delta utiliza o material manipulável para ilustração de conceitos de “esfera”, que,
segundo Leivas (2009), contribui para o desenvolvimento de características do pensamento
geométrico: imaginação, intuição e visualização. Contudo, os alunos não tiveram
oportunidade de trabalhar com explorações e deduções alusivas a esse material. Nesse
sentido, Lorenzato (2010) esclarece que há diferença entre a ação do professor ilustrar uma
explicação oral com um material e a atividade em que o aluno manuseia esse material. Para o
pesquisador, a atitude do professor em apenas mostrar o material para os alunos reforça o
protagonismo docente e o papel passivo do estudante, configurando-se como mero reforço à
122
memorização. Em contrapartida, se o aluno puder conhecer o material, manusear, analisar as
possibilidades de composição e decomposição, fazer observações, será mais efetivo e
contribuirá para a construção de novos conhecimentos. Tais abordagens não foram
visualizadas na aula do professor.
A aula inicial de Sigma abordou a temática “cone”. A estratégia de apresentação
desse tema foi a explanação oral, ilustrações (desenhos na lousa) do cone e exemplos retirados
do livro didático, adotada na escola. A figura 11 mostra a lousa, com os apontamentos
registrados por Sigma, na aula inicial.
Figura 11– Aula inicial do professor Sigma
Fonte: Acervo da pesquisadora.
Na figura 11 encontram-se imagens da lousa, na aula inicial de Sigma, com a
representação do cone na visão espacial e planificada, as fórmulas da área da base (Ab = ∏r2),
área lateral (AL = ∏rg), área total (AT = Ab + AL) e volume (V = ). O professor Sigma
explica aos alunos a relação existente entre pirâmides e cone: “a primeira coisa que a gente
tem a pensar é que cones é muito semelhante a pirâmides”. Essa postura do professor sinaliza
que ele articula pedagogicamente o conhecimento que deve ter sido desenvolvido pelos
alunos anteriormente (pirâmide) e o novo conhecimento (cone). Prossegue apresentando
características comuns que se apresentam na pirâmide e no cone.
Como é que a gente pode entender isso? A nossa pirâmide [...] tinha uma figura
base. Podia ser qualquer figura plana, né, um triangulo, um quadrado, um pentágono
e ela tinhas várias superfícies laterais que se encontravam com o vértice lá em cima.
Isso formava a nossa pirâmide, não é?! O cone é a mesma coisa, a gente tem o
123
vértice externo e as retas que ligam esse vértice até o plano que a gente chama de
plano da base, é o que forma a superfície do cone. Agora, a [...] pirâmide, essa
minha base podia ser um triângulo, um quadrado, um pentágono, um hexágono...
Um cone, a minha base é sempre um círculo porque o cone é circular. A gente
chama de cone circular. [...]. Porque o cone a gente pode enxergar ele como se fosse
uma pirâmide. Imagina o seguinte: se a gente tem uma pirâmide triangular, a base
vai ser um triângulo. Quadrangular, a base vai ser um quadrado. Pentagonal...
Hexagonal... Quanto mais lados a gente for colocando nessa base, ela vai ficando
mais próxima de quê?[...] Ela fica mais próxima do círculo, ou seja, aqui já tem 8
lados, a minha base fica mais próxima de um círculo. Então se você imaginar uma
figura base com infinitos lados, esses lados são tão pequenos que eles acabam não
tendo dobras, eles formam um círculo. Aí quando eles formam um círculo, nos
temos uma base circular. (SIGMA, aula inicial, 2019).
A explicação do professor Sigma sobre a transição da mudança dos polígonos da
base da pirâmide para a base do cone foi feita por explicações orais e o desenho na lousa de 5
polígonos. A figura 12 mostra desenhos dos polígonos realizados por Sigma, durante a aula
inicial.
Figura 12 – Polígonos da base da pirâmide
Fonte: Acervo da pesquisadora.
Na figura 12 é possível se observar que o professor Sigma desenhou alguns
polígonos (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e octógono) para demonstrar aos alunos
que à medida que o número de lados ia aumentando, ia ficando mais próximo da imagem do
círculo. Quanto a esse episódio, observou-se que os alunos permaneceram alheios e passivos,
não esboçando nenhuma comunicação diante da demonstração apresentada, chamando a
atenção da pesquisadora, vislumbrando que a explanação foi apresentada pelo professor, mas
que não trouxe significado para os estudantes. Pondera-se que a situação demonstrada
demanda de maior apropriação do conhecimento pedagógico do professor integrando os
alunos em movimento de experimentação e prática.
Sobre essa temática, Fainguelernt e Nunes (2012) ressaltam a necessidade dos
professores estimularem os alunos a realizarem atividades exploratórias e investigativas, além
da utilização de recursos didáticos. Salientam, também, o estabelecimento de relações entre os
124
conceitos matemáticos e ações a serem interiorizadas pelos sujeitos, para que lhes tragam
significados e contribuam para o estabelecimento de abstrações e generalizações. Pode-se
inferir, pela observação das aulas dos professores Delta e Sigma, que estes estabeleceram
relações entre os conceitos geométricos e a aprendizagem a ser interiorizada pelos alunos
quando relacionaram a bola de isopor com a esfera, o cone com a pirâmide, a base de lados
crescentes da pirâmide com o círculo. Entretanto, não se visualizou a realização de atividades
exploratórias e investigativas pelos alunos.
Diante das análises apresentadas, salienta-se a necessidade de o professor
diversificar suas práticas, incorporando maior variedade de recursos didáticos, associando-os
às atividades exploratórias e investigativas como forma de implementar os processos de
ensino e de aprendizagem. Analisando-se as ações dos professores, há evidências de que
houve reflexões sobre os conhecimentos pedagógicos do conteúdo. Entretanto, percebe-se a
carência de discussões embasadas em conhecimentos teóricos. É necessário que os docentes
percebam que o conhecimento das teorias deve ser incorporado às práticas pedagógicas de
ensino, promovendo a integração dos múltiplos conhecimentos de forma reflexiva e contínua.
Os docentes precisam dominar outros conhecimentos (conhecimentos tecnológicos,
conhecimentos curriculares, dentre outros), conciliando-os às suas ações educativas para que
possam superar as limitações e desafios que integram suas práticas docentes.
A próxima seção analisa a terceira categoria teórica que reflete sobre o
conhecimento tecnológico, bem como a interseção dos conhecimentos: tecnológico,
pedagógico e de conteúdo na perspectiva do TPACK, a partir dos dados obtidos pela
entrevista inicial, sessões formativas, observações de aulas e sessões reflexivas realizadas.
6.4 O conhecimento tecnológico dos professores e o TPACK no ensino de Geometria
Espacial
Essa seção tem o propósito de sistematizar as discussões relativas à terceira
categoria de análise sobre o conhecimento tecnológico dos professores e o TPACK no ensino
de Geometria Espacial. Essa categoria tem como conceito norteador o domínio do
conhecimento tecnológico na prática dos professores e a concepção do ensino com tecnologia,
estabelecendo conexões entre tecnologia, conteúdo e o processo pedagógico requerido para o
ensino. (KOEHLER; MISHRA, 2005).
A partir da categoria teórica que buscou responder o terceiro objetivo específico
desta pesquisa, surgiram as categorias empíricas (figura 13) que emergiram a partir dos dados
125
coletados com os professores.
Figura 13 – Diagrama da categoria de análise do conhecimento tecnológico e integração
ao TPACK
Fonte: Elaborado pela autora.
A Figura 13 apresenta um diagrama composto pela organização da terceira
categoria teórica de análise (a esquerda da figura), o objetivo específico (ao centro) e as
categorias empíricas (a direita da figura).
As reflexões se fundamentam no entendimento dos pesquisadores (KOEHLER;
MISHRA, 2005) que consideram necessária a interação entre as tecnologias educacionais e o
conhecimento pedagógico do conteúdo para produzir o ensino eficaz, mediado pela
tecnologia. Nesse sentido, as ponderações foram retratadas pela percepção de ações dos
professores a partir de quatros momentos distintos:
O conhecimento tecnológico na prática dos professores antes do processo
formativo;
O conhecimento tecnológico e a convergência ao TPACK no processo de
processo formativo dos professores;
O conhecimento tecnológico e a convergência ao TPACK na prática dos
professores;
126
Concepções dos professores pesquisados sobre os conhecimentos: tecnológico,
pedagógico e de conteúdo e a convergência ao TPACK, após a formação dos
professores de Matemática.
6.4.1 O conhecimento tecnológico na prática dos professores antes do processo formativo
Objetivando-se analisar a viabilidade de utilização do software GeoGebra durante
as sessões formativas, no processo formativo dos professores participantes dessa investigação,
considerou-se necessário saber se os participantes já conheciam ou utilizavam essa ferramenta
como um recurso didático em suas atividades docentes.
Assim sendo, na entrevista inicial, os professores foram indagados se conheciam o
software GeoGebra e se já faziam uso pedagógico desse programa em suas práticas docentes.
Delta afirmou que não conhecia o software e Ômega afirmou que já conhecia o GeoGebra de
aplicações direcionadas ao ensino de conteúdos de Álgebra, para trabalhar tópicos de funções,
mas que não conhecia a sua aplicabilidade para trabalhar conteúdos de Geometria. No
entanto, não foi possível compreender se ele já utilizou o software em suas práticas
pedagógicas ou apenas tinha conhecimentos de atividades em que a ferramenta era utilizada.
Esse estranhamento escapou ao olhar da pesquisadora no momento em que realizou a
entrevista com o professor Ômega, vindo à tona somente na ocasião em que os dados estavam
sendo analisados, não sendo possível esclarecê-lo, nesta análise.
Sigma relatou que conhecia o GeoGebra desde o período que cursou o EM – o
software era usado como uma ferramenta na construção de gráficos – tinha funções
semelhantes a outros programas de elaboração de gráficos, como o Excel. Em sua atuação
docente já fez uso de imagens obtidas por meio da construção de sólidos no software, das
quais fez o print e as projetou na lousa, para que os alunos pudessem visualizá-las. Sigma
(Entrevista, 2019) esclarece que não é possível afirmar que faz uso dos recursos tecnológicos
em suas aulas, seria “forçar a barra”, segundo ele, pois, os alunos “viram só as imagens, eles
não viram o programa em si, não viram o uso do programa, eles não viram as potencialidades
que eles podiam ter no programa, eles não manipularam nem nada, foi só uma visualização
mesmo.”.
O uso da tecnologia no modelo acima, descrito por Sigma, configura-se apenas
como uma ferramenta que possibilita a exibição da solução de uma questão, auxiliando na
construção de gráficos e de imagens em benefício do trabalho docente. Esse tipo de atividade,
em que o manuseio da tecnologia é restrito ao professor, pouco contribui para a exploração
127
das potencialidades pedagógicas que as tecnologias oferecem para o desenvolvimento da
aprendizagem do educando. Estes continuam na passividade de olhar a figura, embora a
escola disponha de laboratório de informática. Enfatiza-se que os alunos precisam estar
integrados com o uso da tecnologia, associando-a ao conteúdo abordado e ao processo de
aprendizagem.
Diante das narrativas dos professores, verificou-se que um deles não conhecia o
software e dois conheciam o software, mas não trabalhavam com o GeoGebra em suas
práticas pedagógicas. A ciência desse fato foi relevante para a pesquisadora, que confirmou a
escolha do software e sua exploração nos dispositivos móveis no decorrer das sessões
formativas, considerando-o como uma das principais ferramentas para investigar indícios do
conhecimento tecnológico dos professores, no ensino de conteúdos de Geometria Espacial, na
presente investigação.
Os dados obtidos pelo relato dos docentes pesquisados sobre a não utilização dos
recursos tecnológicos em suas práticas de ensino reforçam dados de pesquisas publicadas, que
apontam a ausência das tecnologias digitais nas práticas escolares (PALIS, 2014). Nadalon
(2018) evidencia que o professor ainda não incorporou as tecnologias em suas práticas
educativas e Koehler e Mishra (2009) afirmam que muitos professores não utilizam a
tecnologia em sua atuação docente porque não tiveram acesso a esse conhecimento no
momento de sua formação inicial.
Shulman (1986) destaca a importância dos processos formativos prepararem os
professores para o domínio dos conteúdos e a diversificação dos materiais de ensino a serem
utilizados em suas práticas pedagógicas:
Quantas pessoas a quem nós preparamos para ensinar [...] entendem bem os
materiais para essa instrução, os textos alternativos, softwares, programas, materiais
visuais [...]? Confiaríamos em um médico que não entendesse realmente as formas
alternativas de lidar com categoriais de doenças contagiantes e que só conhecesse
apenas uma maneira? (SHULMAN, 1986, p. 10, tradução nossa35
).
Nessa perspectiva, entende-se que a tecnologia pode contribuir para diversificar a
construção de representações de conteúdos e a forma como estes podem ser ensinados,
possibilitando o desenvolvimento de novas interpretações diante da exploração do conteúdo
abordado. Ômega (Entrevista, 2019) relata o desejo de apropriar-se dos conhecimentos
35
How many individuals whom we prepare for teaching […] understand well the materials for that
instruction, the alternative texts, software, programs, visual materials, […]?. Would we trust a physician
who did not really understand the alternative ways of dealing with categories of infectious disease, but who
knew only one way?
128
tecnológicos para que possa empregá-los em suas aulas: “certamente, a partir do
conhecimento e do uso de diversas ferramentas, a gente consiga chegar numa linha de
comunicação com o aluno”. No mesmo sentido, Delta declara:
Eu [...] quero conhecer o software, quanto maior a gama de recursos que você tiver
para utilizar em suas aulas é melhor, porque às vezes um aluno não entende por um
método, mas se você trocar ali pode ser que ele entenda, né!. [...]. Embora desenhe
bem, eu ainda levo os sólidos [materiais manipuláveis] mesmo assim, para minhas
aulas e tudo... Dou para eles pegar, olhar de baixo, de cima, e tudo... E seria bom a
gente ter o máximo possível de ferramentas para utilizar porque ainda é muito pouco
o que a gente tem. (DELTA, Entrevista, 2019).
As narrativas de Delta e Ômega evidenciam a aceitação em conhecer o software,
além do reconhecimento que os recursos didáticos tradicionais (pincel e lousa) empregados
em suas ações docentes não são suficientes para o desenvolvimento de habilidades essenciais
no aluno como a visualização, a abstração e a formulação de conceitos geométricos.
Nesse sentido, apresentam-se os recursos tecnológicos como uma ferramenta de
ensino para superar essas deficiências. Fainguelernt e Nunes (2012) observam que os
dispositivos móveis fazem parte do cotidiano da maioria dos alunos e professores. Entretanto,
poucos são aproveitados como apoio educacional, o que deve ser feito de forma efetiva e
urgente, para propiciar uma dimensão mais dinâmica ao ensino. A esse respeito, Sigma
menciona que:
[...] todos os nossos hábitos [...] estão sendo moldados por essa influência da
tecnologia. E isso não muda [...] dentro da sala de aula. [...] É muito difícil, eu como
professor, querer que meus alunos fiquem 4 horas [...] na sala de aula sem mexer no
celular, sem dar importância para o celular, se ele passa o resto do dia inteiro
pendurado no celular. [...] É muito difícil para mim querer que ele fique só parado,
olhando para mim, na lousa, dando o meu assunto e ele se desfaça dessa coisa que
ele vive fora da sala de aula. [...] Se eu consigo fazer uso dessa tendência, desse
novo costume que tá se aprofundando na sociedade, favorável dentro da sala de aula,
é um ganho para mim [e para os alunos]. (SIGMA, Sessão Reflexiva, 2020).
Conforme exposto no relato de Sigma sobre os recursos tecnológicos na vida dos
indivíduos e a não utilização nas atividades escolares, constata-se a proposição de Silva
(2018), ao relatar que as tecnologias digitais fazem parte da vivência dos estudantes, em seus
domicílios, mas quando estes chegam aos espaços escolares se deparam com práticas
educativas tradicionais, mediadas pela explanação oral e analógica, totalmente diferente do
contexto social vivenciado por eles.
Diante das análises apresentadas, verificou-se que, antes do processo formativo
desenvolvido com os professores, eles não faziam uso dos recursos tecnológicos em suas
práticas de ensino. Fica evidente a necessidade da generalização dos conhecimentos
tecnológicos a maior número de professores, associando-as a abordagens dos conteúdos
129
geométricos. O depoimento dos professores indica a aceitação quanto ao uso da tecnologia em
suas atividades docentes, além da reflexão sobre as contribuições do conhecimento
tecnológico como um dos componentes do TPACK, o que se pontua como um aspecto
positivo.
A seguir, explana-se as análises sobre indícios do conhecimento tecnológico e sua
convergência com os componentes do TPACK, visualizados durante as sessões formativas
(sexto e sexto encontro) dos professores Delta, Sigma e Ômega, com os recursos
tecnológicos.
6.4.2 O conhecimento tecnológico a convergência ao TPACK no processo de formação dos
professores
Na ação formativa entre pesquisadora e professores Delta, Sigma e Ômega foram
destinados dois encontros (o sexto e o sétimo encontro) para uso do software GeoGebra
através dos dispositivos tecnológicos móveis (smarphones, iphones) dos participantes. Os
conteúdos explorados foram tópicos de conteúdos de Geometria Espacial – poliedros de
Platão, prismas e pirâmides. Essas sessões formativas seguiram um tutorial elaborado pela
pesquisadora e disponibilizado nos apêndices D a I, deste trabalho.
As construções dos sólidos geométricos, com os aportes dos recursos
tecnológicos, requerem habilidades como: conhecimentos específicos para manusear o
GeoGebra, comandos precisos para a construção dos sólidos em formato bidimensional e
tridimensional, familiaridade com a ferramenta. Dessa forma, o tutorial elaborado tinha o
objetivo de auxiliar os professores na execução dos comandos com a ferramenta. Contudo,
durante toda a etapa que trabalhou a temática, a pesquisadora e os professores iam realizando
considerações, formulando hipóteses, conjecturas, estabelecendo relações entre os conteúdos
geométricos e os sólidos que eram obtidos em seus dispositivos.
Ao iniciar o manuseio do software, observa-se configurações iniciais do programa
como: janela de visualização, eixos, ferramentas, seguido de outros comandos. A primeira
atividade realizada com o Geogebra foi a construção dos poliedros de Platão (tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro). A figura 14 apresenta imagens dos poliedros
construídos pelos professores, em seus smartphones.
130
Figura 14 - Poliedros de Platão
Tetraedro Hexaedro
Octaedro Dodecaedro
Icosaedro
Fonte: Acervo da autora (print das telas dos smartphones dos participantes, Encontro 7, 2019).
Durante as construções dos poliedros de Platão (figura 14), foi sendo discutido
com os professores o que poderia ser explorado e destacado no ensino do conteúdo desse
tópico, associando conhecimentos e conceitos da Geometria com os sólidos construídos com
o apoio das ferramentas tecnológicas. Delta e Sigma argumentam:
A gente pode passar para eles [alunos] os tipos, né, quais são [os poliedros de
Platão], denominar cada um deles, a questão da nomenclatura de cada um, que
131
depende das faces e o padrão que eles seguem, que eles tem que obedecer a relação
de Euler36
. E além de exemplificar, você já introduz a relação de Euler depois. A
gente podia pedir provar a relação de Euler, contar vértices, arestas e faces do sólido
aqui [no smartphone] e pedir para eles contar vértices, arestas e faces e fazer os
cálculos no caderno, com a fórmula, pra ver se bate. (DELTA, Encontro 6, 2019).
E também a questão dos vértices, arestas, faces, os componentes de cada sólido
desse. São figuras bem parecidas, o octaedro e icosaedro são construídos por
triângulos, pode mostrar isso para os alunos. Uma ideia seria contar o número de
faces. (SIGMA, Encontro 6, 2019).
A manifestação dos professores Delta e Sigma, nesse momento, demostra que os
docentes possuem o domínio do conhecimento do conteúdo da disciplina que ministram e
visualizam maneiras de explorar esse tópico, por intermédio da relação conteúdo-tecnologia,
utilizando os recursos tecnológicos trabalhados na formação.
Ao ser explorada a planificação dos poliedros, Ômega (Encontro 6, 2019)
argumenta, diante das imagens obtidas nos dispositivos: “Essa planificação é muito bacana.
Você vai construindo vários sólidos e vai planificando [...] você consegue mostrar [para o
aluno] a formação prática de como aquilo acontece, coisa que na lousa a gente não
consegue.”. Delta também pontua: “sem contar que na lousa você não consegue mostrar as
faces que tão lá atrás.”.
Nesse enfoque, destaca-se que, mediante as construções das figuras espaciais nos
dispositivos, é possível fazer movimentações e visualizá-los sob várias perspectivas. Além
disso, facilita a interação entre a versão tridimensional para a versão bidimensional a partir de
comandos básicos com um toque (touchscreen) nos botões: exibir ou ocultar, disponíveis na
janela de álgebra, obtendo-se as imagens apresentadas na figura 15.
Figura 15 – Icosaedro (visão bidimensional e tridimensional)
36
Fórmula matemática que relaciona os vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, dada pela expressão: V
– A + F = 2.
132
Fonte: Acervo da autora (print das telas dos smartphones dos participantes, Encontro 7, 2019).
A figura 15 mostra imagens do icosaedro em três composições diferentes: à
esquerda tem-se o sólido em dois planos – bidimensional e tridimensional. Ao centro,
ocultou-se a planificação, resultando somente a versão espacial; na imagem da direita,
ocultou-se o sólido espacial, permanecendo apenas sua planificação. Toda essa dinâmica de
diferentes possibilidades de visualização e inversão das imagens favorece a construção do
conhecimento a partir da abordagem prática e intuitiva, para posteriormente explorar-se o
enfoque dedutivo. (GOMES, 2007).
Durante todo o processo de construção dos sólidos geométricos, nas sessões
formativas (sexto e sétimo encontro), procurou-se integrar a tecnologia com o conhecimento
dos professores sobre conteúdos específicos do ensino e o conhecimento pedagógico, o modo
como eles aplicariam esse conhecimento ao contexto de suas salas de aulas. Enquanto eram
construídos os poliedros (representados na figura 15), a pesquisadora pontuou que, através do
software, era possível trabalhar os conceitos de área e volume de cada um dos sólidos
construídos, acionando a janela de álgebra. Esse comando foi efetuado e obteve-se os valores
constantes nas imagens da figura 16.
Figura 16 – Área e volume do tetraedro no GeoGebra
Fonte: Acervo da autora (print das telas dos smartphones de Delta e Sigma, Encontro 7, 2019).
A figura 16 apresenta imagens da janela de álgebra dos smartphones de Delta e
Sigma (não foi publicada a imagem da construção de Ômega em razão desse professor não ter
realizado a gravação da tela de seu celular). Os valores da área e volume do tetraedro
construído pela pesquisadora, projetado no datashow, indicava o volume (a = 3,24) e área (c =
15,79). Nesse momento, Ômega observou que os valores da sua construção divergiam
daqueles visualizados na projeção e indaga: “Porque os meus valores aqui são diferentes?”.
Delta e Sigma também informaram os valores encontrados em suas construções: o tetraedro
de Sigma tinha volume (a = 2,84) e a área (c = 14,44), enquanto os valores da construção de
133
Delta indicavam (a = 3,28) e (c = 15,90).
A pesquisadora repassou a dúvida de Ômega a todos os professores, indagando “o
porquê” dos valores da área e volume dos tetraedros construídos, naquele momento,
apresentarem valores divergentes. Sigma declarou: “Porque os pontos iniciais foram
colocados aleatoriamente [no plano]”. Diante da proposição de Sigma, Delta e Ômega
concordaram com a justificativa e a pesquisadora reforçou que as mudanças eram decorrentes
da localização dos pontos A e B, traçados aleatoriamente no plano. Em consequência disso, as
arestas tinham tamanhos diferentes e os valores de área e do volume variaram de acordo com
a medida das arestas.
As discussões promovidas entre pesquisadora e professores evidenciaram que as
construções obtidas com o apoio da tecnologia, ao serem exploradas, requerem também o
domínio do conhecimento do conteúdo da disciplina que é trabalhada, não sendo possível
dissociar um conhecimento do outro. É possível afirmar que nesse momento Sigma
demonstrou evidências do domínio do conhecimento tecnológico e do conteúdo. Em relação a
Delta e Ômega, estes demandaram mais tempo para perceberem a divergência dos resultados
dos valores obtidos no software, o que pode sinalizar uma necessidade de maior apropriação
entre o conhecimento tecnológico e o conhecimento do conteúdo matemático.
Ao ser construído o cubo, com a demonstração de sua diagonal, no Geogebra
(figura 17), Ômega destacou: “aqui você vê a diagonal bem direitinho!”.
Figura 17 – Cubo no GeoGebra
Fonte: Acervo da autora (print da tela do smartphone de Delta, Encontro 7, 2019).
Diante da construção do cubo (figura 17), Delta observa: “A gente pode colocar
como atividade [...] aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida da diagonal do
cubo [...] e depois a gente mostra na ferramenta o comprimento entre um ponto e outro, e
depois vê se bate com o valor dado no software”. (DELTA, Encontro 7, 2019). A proposta de
Delta, nesse momento, é trabalhar simultaneamente com os dados encontrados nos
dispositivos e articulá-los com conhecimentos prévios – Teorema de Pitágoras, fazendo a
134
comparação entre os dados obtidos pelo programa e os dados coletados manualmente.
Embasando-se na concepção de TPACK, definida por Koehler e Mishra (2009),
pode-se afirmar que a proposta de atividade sugerida por Delta manifesta evidências de
TPACK, visto que o professor interpretou o assunto trabalhado e encontrou maneiras de
representá-lo e adaptá-lo com aos recursos tecnológicos que estavam sendo empregados, além
de associá-los ao conhecimento prévio dos alunos.
Ao se abordar o tópico referente a prismas regulares, nos smartphones, os
docentes demonstraram conhecimentos na percepção das relações entre o enfoque
experimental obtido pelas figuras planas que compõem as figuras espaciais até se chegar ao
enfoque em que se faz a dedução da fórmula da área total (At) do referido prisma. Na figura
18, apresenta-se prisma de base triangular explorado durante a sessão formativa com o
GeoGebra.
Figura 18 – Prisma regular de base triangular
Fonte: Acervo da autora (print da tela do smartphone de Sigma, Encontro 8, 2019).
Após a construção do prisma apresentado na figura 18, a pesquisadora indagou
quais elementos poderiam ser explorados, com o prisma construído. Os professores foram
destacando algumas considerações:
As figuras planas que compõem o prisma é 2 triângulos e 3 retângulos. Para
construir a área total, basta calcular a área de um triângulo e multiplicar por 2 e a
área de um retângulo e multiplicar por 3, aí soma os resultados. (DELTA, Encontro
6, 2019).
A área lateral, nesse caso aí é 3 retângulos. (ÔMEGA, Encontro 6, 2019).
Pode perguntar por que na fórmula usa 2AB e AL. Aí mostra a imagem [do software]
e faz a dedução da fórmula. (SIGMA, Encontro 6, 2019).
Nesse momento, os professores identificaram quais as figuras planas que
compõem as bases do prisma: dois triângulos equiláteros, além da área lateral (AL) que é
composta por três retângulos. Observaram, por meio da imagem obtida no software (prisma
planificado), que a área total (AT) é construída por dois triângulos equiláteros e três
135
retângulos. Logo, a área total (AT) é formada pela área de duas bases (2AB) mais a área lateral
(AL) composta por três retângulos. Desse modo, os professores concluem que é possível se
chegar à dedução da fórmula comumente empregada no cálculo de área dos prismas onde: AT
= 2 AB + AL.
As observações e deduções dos professores foram relevantes e demonstram que os
docentes fizeram a interseção entre os conhecimentos do conteúdo e os conhecimentos
tecnológicos em um enfoque exploratório e dedutivo. Mediante construção dos prismas (nos
smartphones), os professores conseguiram associar as representações tridimensionais e
bidimensionais realizadas pela tecnologia aos conhecimentos do conteúdo de Geometria
Espacial, trabalhados regularmente em sala de aula. Nesse sentido, concorda-se com Gomes
(2007), que enfatiza como fundamental que as práticas pedagógicas dos professores deem
ênfase tanto ao enfoque experimental quanto ao enfoque dedutivo, caminhando sempre na
direção que contemple ambas as abordagens.
Após a construção do prisma de base triangular, prosseguiu-se, ampliando a
sequência de construções de prismas, até se obter um prisma com base hectagonal (100
lados). Nesse momento, os professores tiveram oportunidade de vivenciar, com o software
GeoGebra, a transição entre o polígono da base de um sólido até a obtenção de uma
circunferência. A figura 19 apresenta as imagens de dois prismas de bases regulares,
construídos em dois momentos distintos da sessão formativa.
Figura 19 - Prismas Regulares
Fonte: Acervo da autora (print da tela do smartphone do professor Sigma, Encontro 7, 2019)
Na figura 19, visualiza-se as imagens de dois prismas: à esquerda um prisma
regular dodecagonal (base formada por um polígono de 12 lados) e à direita foi ampliado o
número de lados da base, transformando-se em um prisma regular heptacontagonal (base
formada por um polígono de 70 lados).
136
A mudança observada entre os objetos foi realizada através de comandos, no
software GeoGebra. Na proporção em que o número de lados da base dos prismas foi
aumentando, os professores ficaram admirados com a imagem do objeto que era visualizada
nos seus dispositivos. Ômega exclamou: “Isso é show de bola!”, Delta logo observou: “Olha o
que a gente pode dizer enquanto eles [alunos] verem isso, a gente prova que a circunferência
tem infinitos lados” e Sigma pontua: “quantos mais lados, mais próximo da circunferência.”.
Os participantes utilizaram a simulação construída no GeoGebra para verificar a
validação de conceitos matemáticos, a partir das modificações visualizadas na base do prisma,
associando-a a uma circunferência e, consequentemente, ao cilindro – outro tópico trabalhado
em Geometria Espacial. O processo de construção do prisma, a partir de uma base composta
por 3 lados até a base formada por 100 lados, permitiu aos professores validar a generalização
do conceito de outros conteúdos – a área lateral do cilindro ser formada por infinitos lados.
Ainda em relação à construção apresentada, convém relacioná-la ao exemplo
mostrado pelo professor Sigma na aula inicial (figura 12), com seus alunos, apresentado na
seção 6.3. Naquele momento, o professor demonstrava para os alunos a transição entre a base
de uma pirâmide para a base do cone, fazendo a explanação através de 5 polígonos
desenhados na lousa. Já na sessão formativa dos professores, estes tiveram a oportunidade de
visualizar a mudança entre os polígonos da base, à medida que aumentavam, um a um,
variando de 3 a 100 lados. Nessa situação, demonstra-se as potencialidades do uso da
tecnologia na exploração dos conteúdos geométricos e verifica-se que os professores, por
meio do domínio do conhecimento tecnológico, estabeleceram relações com o conhecimento
do conteúdo e tais relações integram os componentes do TPACK.
Embora um dos participantes nunca tivesse tido contato com o software, durante
as sessões formativas com a ferramenta, verificou-se a facilidade na qual os professores
manuseavam o mesmo. Ao se trabalhar o conteúdo de pirâmides no GeoGegra, além da
habilidade em executar os comandos para a construção dos sólidos, os professores
conseguiram perceber modificações entre o tutorial que tinham recebido e os comandos que
executavam no software, durante a construção da altura de uma pirâmide.
No tutorial, a altura da pirâmide deveria ser obtida pelo comando: Segmento (E,
G). Na formação, ao executar o comando, não foi possível visualizar a altura da pirâmide. De
imediato, Delta exclama: “a base da minha pirâmide tem 7 lados e o vértice J, então vou
colocar (J, H)”. Ao realizar esse procedimento, a altura da pirâmide foi obtida. A
pesquisadora pondera qual seria a razão de ter colocado os pontos (E, G) no tutorial e Sigma
137
sugere: “Não é porque você tinha feito só com 4 lados?”. A figura 20 apresenta a imagem
duas pirâmides, com bases e vértices diferentes.
Figura 20 – Pirâmides de bases regulares
Fonte: Acervo da autora (print das telas dos smartphones dos participantes, Encontro 8, 2019)
A situação apresentada no parágrafo anterior pode ser observada nas imagens da
figura 20. A pirâmide da esquerda possui base quadrangular e o segmento da altura é definido
pelos pontos (E, G); a pirâmide da direita apresenta base heptagonal e segmento da altura
definido pelos pontos (H, I). Os professores perceberam que os pontos dos extremos do
segmento da altura eram modificados na proporção que era modificado o número de lados de
sua base. Isso demonstra que os professores conseguiam compreender a mudança entre os
comandos requeridos pelo software e os conhecimentos pertinentes ao conteúdo de ensino
(elementos que compõem os sólidos geométricos), manifestando-se claramente o
conhecimento tecnológico do conteúdo.
A exploração do conteúdo de pirâmides teve continuidade, explorando-se os
elementos da pirâmide como: apótema da base e apótema lateral. As construções realizadas
no software são apresentadas na figura 21.
Figura 21 – Elementos da Pirâmide: apótema da base, apótema lateral e altura
Fonte: Acervo da autora (print da tela do smartphone do professor Sigma, Encontro 8, 2019).
138
A figura 21 apresenta duas imagens: à esquerda da figura, tem-se uma pirâmide
em seu formato tridimensional e à direita, a pirâmide planificada na qual se visualizam os
elementos: altura, apótema da base e apótema lateral, realçados no triângulo retângulo da
imagem.
Na construção dos apótemas, nos dispositivos, usou-se o comando: ponto médio.
Delta observou que o “software pode ser usado para trabalhar geometria analítica, para
calcular distância entre dois pontos.” e Sigma complementa afirmando que “dá para trabalhar
ponto médio também.”. O entendimento das diferentes possibilidades de como a tecnologia
pode ser aproveitada, associando-as a diferentes conteúdos, de acordo com as mudanças no
contexto e nos propósitos, é uma parte importante do domínio do TPACK. No caso descrito,
percebeu-se esse entendimento nas afirmativas dos professores. (KOEHLER; MISHRA,
2009). Nesse momento, Sigma destacou que:
O conteúdo de pirâmides é o que eles [alunos] têm mais dificuldades de visualizar.
A altura da pirâmide, por exemplo. Eles têm dificuldades de visualizar o apótema
lateral, eles usam como altura da pirâmide. [...] sem contar que eles não conseguem
reproduzir, no caderno deles. Tipo, eu ia desenhar a pirâmide, aí eles: - Professor eu
não sei desenhar isso não, eu posso não desenhar? Se a gente consegue mostrar isso
aqui, acho que já ajuda um pouco. (SIGMA, Encontro 7, 2019).
A manifestação de Sigma sobre as dificuldades dos alunos, nesse momento, indica
indícios de domínio do conhecimento do conteúdo, um dos componentes do TPACK, pois o
professor consegue entender quais os tópicos dos conteúdos da disciplina que ministra são
mais simples de serem ensinados e de serem aprendidos, enquanto outros são mais
complexos. O docente percebe quais tópicos exigem do aluno maior nível de abstração e
compreensão e, ainda, quais ações podem ser tomadas para auxiliar na aprendizagem desse
educando. (LOBO DA COSTA; PRADO, 2013). Após a conclusão das construções, os
docentes fizeram algumas colocações:
Vai ser uma aula bem mais lúdica com esse aplicativo. Agora aqui dá pra gente
evitar que eles se dispersem. A gente vai ter esse aliado. (DELTA, Encontro 7,
2019).
E se o aluno não tiver o celular, dá para trabalhar em dupla, eu digo o que eu quero
que eles façam e depois eu passo conferindo, se eles fizeram mesmo. (ÔMEGA,
Encontro 7, 2019).
Pode passar atividades para eles fazerem em casa, com o tutorial, aí eles fazem,
tiram o print e monstra pra gente. (SIGMA, Encontro 7, 2019).
Nesse momento, a pesquisadora se posicionou, reforçando a necessidade do
ensino ir além da ludicidade, bem como a importância do uso do software ser direcionado
139
para a ampliação e construção de conhecimentos, para que os alunos tenham melhor
compreensão dos conteúdos de Geometria Espacial e, consequentemente, melhoria na
aprendizagem. Nessa perspectiva, Carneiro (2013, p. 81) alerta que o uso desse “recurso
requer cuidado para não ser banalizado e visto apenas como um instrumento para animação de
imagens, esquecendo seu principal propósito, que é a promoção da aprendizagem”.
Os docentes pesquisados sinalizaram que o uso dos recursos tecnológicos foi
relevante para a exploração dos conteúdos geométricos, aludindo-o como um recurso
significativo. Além disso, destacaram como positiva a facilidade que a ferramenta
proporciona para construção e visualização dos sólidos espaciais, mencionando que com “esse
suporte” foi possível explorar elementos não identificados nos desenhos dos livros didáticos,
assim como nos desenhos expostos na lousa, pelo professor. Esse dado é validado por
Fainguelernt e Nunes (2012) ao afirmarem que o uso de softwares de geometria dinâmica
contribui para a agilidade das construções geométricas, para a visualização do objeto sob
diferentes perspectivas e para a possibilidade de interação com os elementos construídos,
facilitando a compreensão dos conteúdos trabalhados.
Ao término das sessões formativas com os recursos tecnológicos, os professores
passaram a discutir diferentes estratégias de utilização da tecnologia e do conteúdo para
levarem para suas salas de aulas:
Você dá só uma ideia disso aqui [construção da pirâmide]. Você faz uma com a base
quadrangular e pede que eles façam com outra base. Por exemplo: para o conteúdo
de pirâmide, você dá esse passo-a-passo aqui para eles construírem com bases
diferentes, em grupo de 4 pessoas. Um faz com uma base quadrangular, outro faz
com uma base pentagonal, hexagonal e assim por diante... E depois cada um
apresenta a sua. (ÔMEGA, Encontro 7, 2019).
Um de nós poderia trabalhar os poliedros e outro, as pirâmides. (DELTA, Encontro
7, 2019).
Aí podia ser uma nota de exercícios para melhorar a nota da prova parcial do 4ºo
bimestre ou ela poderia ser depois da prova bimestral, como uma atividade
complementar, para a turma. Ou ainda, poderia ser uma atividade de revisão antes da
prova bimestral. (SIGMA, Encontro 7, 2019).
Nesse momento da discussão, a pesquisadora esclareceu que o planejamento da
aula e o momento da realização da prática ficariam a cargo dos professores Delta e Sigma,
que deveriam escolher um dos tópicos de Geometria Espacial trabalhados nas sessões
formativas e que não haveria interferência da pesquisadora. Ponderou que a prática seria um
componente para sondar a viabilidade e o uso dos recursos tecnológicos em sala de aula, a
aproximação dos professores com as ferramentas e o planejamento executado. Todos esses
140
elementos, se trabalhados/explorados em conjunto, contribuem para a interseção do TPACK.
Quanto à utilização dos recursos tecnológicos na sala de aula, Gomes (2007)
argumenta que, para se trabalhar com tecnologia, o professor deve fazer um planejamento
minucioso da atividade, visando contemplar não somente a abordagem intuitiva mas também
a dimensão lógico-dedutiva dos conteúdos explorados, esse aspecto também foi esclarecido
aos professores.
Diante das análises apresentadas, destaca-se, nas sessões formativas com a
tecnologia, a facilidade que os docentes sentiram nas construções dos sólidos com os recursos
tecnológicos, além de explorações que promoveram a visualização, a interação e a dedução de
conhecimentos geométricos. Percebeu-se “o despertar da vontade” dos professores para
inserirem os recursos trabalhados na formação, em suas práticas educativas.
As sessões formativas com a tecnologia, auxiliadas pelo uso do software
GeoGebra, caracterizaram-se em um momento de discussão e reflexão sobre a prática
pedagógica, garantindo aos professores o domínio tecnológico para uso do software e a
exploração de conteúdos geométricos – poliedros, prismas e pirâmides, para explorarem em
suas atividades escolares. A seguir, explana-se as análises sobre indícios do conhecimento
tecnológico e sua convergência com os componentes do TPACK, visualizados na aula prática
dos professores Delta e Sigma.
6.4.3 O conhecimento tecnológico e a convergência ao TPACK na aula prática dos
professores
Essa seção almeja analisar evidências do domínio do conhecimento tecnológico,
bem como a sua interseção com o conhecimento pedagógico e de conteúdo na prática dos
professores Delta e Sigma quando utilizaram os dispositivos móveis, com o software
GeoGebra, para trabalhar conteúdos de Geometria Espacial junto a seus alunos. Esse
momento aconteceu após a conclusão dos encontros formativos com a pesquisadora.
Esta etapa foi projetada para ser executada no mesmo período que os professores
estivessem ministrando os conteúdos de Geometria Espacial, concomitante ao plano de curso
da escola. Devido a algumas adversidades (adaptação da proposta de formação ao calendário
escolar e a disponibilidade dos professores, feriados, dentre outros) que fugiram ao controle
da pesquisadora, não foi possível desenvolvê-la na mesma etapa em que os conteúdos eram
abordados em sala de aula. Diante da situação explicitada, o período de aplicação da prática
só foi possível após o encerramento dos assuntos de Geometria Espacial, após a finalização do
141
processo avaliativo dos conteúdos abordados no bimestre. Esse fato foi citado, na avaliação
dos professores pesquisados, como um ponto negativo, trazendo interferências na
potencialização dos resultados.
Novamente ressalta-se que o professor Ômega não realizou atividade prática em
sala de aula, após a formação com os recursos tecnológicos digitais, em virtude de não
ministrar conteúdos de Geometria Espacial no período em que ocorreu a etapa formativa.
Contudo, destaca-se a intensa participação de Ômega durante as sessões formativas com uso
da tecnologia, tanto na aquisição e no domínio da tecnologia quanto nas reflexões, indicando
sugestões de como introduzir o software na sala de aula e diferentes maneiras de se explorar a
tecnologia atrelada aos conteúdos geométricos, junto aos alunos. Isso demonstrou evidências
do TPACK na formação do professor para atuar em atividades futuras, quando estiver
trabalhando com tais conteúdos.
Os professores Delta e Sigma foram orientados a prepararem uma aula para
aplicarem em uma de suas turmas regulares, em que fossem abordados conteúdos de
Geometria Espacial, utilizando o software GeoGebra através dos dispositivos móveis dos
professores e alunos. As turmas tinham em média 40 alunos matriculados, mas durante o
trabalho com os recursos tecnológicos só havia cerca de 50% de cada turma presente. O
tempo de duração foi de 100 minutos, contabilizado por dois períodos consecutivos de 50
minutos cada, alternados por um intervalo de 20 minutos, em conformidade com o horário
regular das aulas.
Alguns procedimentos foram semelhantes na prática de Delta e Sigma, desse
modo, são apresentados em concomitância. As particularidades serão individualizadas e
apresentadas separadamente, mostrando a prática de cada um dos docentes mencionados, com
as análises pertinentes a esses momentos.
Os dois professores solicitaram que os alunos fizessem o download do GeoGebra,
em seus celulares, em dias anteriores à aplicação prática. Esse procedimento teve o objetivo
de ampliar, ao máximo, o tempo da aula com o manuseio do software. Antes de iniciar a
prática, Delta e Sigma indagaram aos alunos quem iria usar o seu dispositivo móvel
(smartphone, iphones) para terem noção da quantidade de celulares disponíveis na sala. Após
a sondagem, orientaram que os alunos se reunissem em grupos, com uma média 3 alunos,
cada grupo. Com o auxílio do projetor, Delta e Sigma explicaram para os alunos o layout do
GeoGebra e as ferramentas básicas que seriam utilizadas durante a realização da atividade
(apêndice D). Além dos recursos apontados (smartphones, datashow, GeoGebra,
142
computador), usaram o aplicativo ApowerMirror para espelhar no datashow as imagens
construídas na tela dos celulares.
A prática de Delta ocorreu no dia 28/11/19, no turno manhã. Delta deu início à
aula informando aos alunos que iria construir prismas, contudo, não informou os objetivos da
aula. Indagou aos alunos se eles lembravam o que era um prisma. Diante do silêncio dos
estudantes, Delta (Aula prática, 2019) expressou a seguinte definição: “é um sólido
tridimensional, ele tem base inferior e base superior [...] iguais: base triangular, base
quadrangular e por aí vai...”. Embora os objetivos da aula não tenham sido explanados, neste
momento, a pesquisadora deduziu que o professor pretendia verificar os conhecimentos
prévios dos estudantes a respeito da temática que seria abordada, visto que o conteúdo de
prismas tinha sido explorado no bimestre anterior.
Destaca-se aqui a proposição de Gomes (2007) no tocante ao uso dos recursos
tecnológicos para a visualização das figuras geométricas e suas propriedades. Ao propor
atividades que utilizam esses recursos, os professores devem estabelecer objetivos claros e
devem promover reflexões e articulações necessárias para a formulação dos conceitos. Do
contrário, podem ser caracterizadas pelo abuso da experimentação sem estabelecer relações
com os conhecimentos geométricos.
Na sequência, Delta iniciou as construções em seu smartphone, seguindo o roteiro
do tutorial (apêndice H), repassando os comandos para os alunos de forma verbal e estes iam
seguindo as orientações do professor. Ao mesmo tempo em que os comandos eram realizados
no dispositivo de Delta, a imagem ia sendo projetada na lousa e os alunos acompanhavam as
construções e as executavam em seus dispositivos. À medida que os comandos eram
realizados, os alunos iam fazendo comparações entre as suas construções e a construção do
professor.
Percebeu-se que os alunos apresentavam dificuldades em entender e executar o
passo-a-passo repassado pelo professor, embora, ao final da aula, todos os grupos tenham
construído os sólidos geométricos. Nesse sentido, verifica-se que a disponibilização do
tutorial para os alunos configura-se como um importante aliado para trabalhar as construções
geométricas com o software, minimizando as dificuldades dos alunos em executar os
comandos requeridos pela ferramenta.
Na proporção em que os alunos iam finalizando suas construções e iam
visualizando o prisma na tela de seus celulares, estes ficaram muito entusiasmados e
exclamavam: “ai que legal!”, “que viagem, louco!”, “legal!”, seguidos de minutos de euforia.
Após essa etapa, Delta destacou, no prisma espelhado na lousa, elementos como: vértices,
143
arestas e bases, deu ênfase à visualização dos sólidos que se apresentavam no formato
bidimensional (planificação) e tridimensional (sólido espacial). Além dessas características,
outros apontamentos foram destacados pelo professor “à medida que você movimenta o
sólido as arestas que estão indo para trás do sólido, elas vão ficando tracejadas”, enquanto na
lousa não é possível fazer essas modificações. Ao finalizar a aula, Delta perguntou aos alunos
“essa ferramenta aqui, ajuda ou dificulta?”, os alunos responderam positivamente à indagação
do professor e o mesmo destacou que a familiarização com o software “é uma questão de
prática”, que as construções feitas na lousa ou no caderno não permitem a mesma visualização
que se tem com o apoio da ferramenta. Enfatizou que o uso do software ajuda tanto o
professor quanto os alunos “a ter uma aula mais lúdica, mais interativa e sai um pouco do
caderno, da lousa.”.
Diante das colocações de Delta para os alunos, percebe-se que o professor usou a
ferramenta com a finalidade de trabalhar a visualização das figuras espaciais e a ludicidade da
aula, sem aproveitar outras potencialidades que poderiam ser exploradas com o uso do
software. Recorre-se às ponderações de Fainguelernt e Nunes (2012, p. 23) quando discorrem
sobre a utilização das tecnologias para o ensino de conteúdos específicos. As pesquisadoras
ponderam sobre a necessidade dos professores promoverem metodologias que venham a
“desenvolver habilidades de reflexão, levantamento de conjecturas, argumentação, levando o
aluno a participar, de fato, de seu processo de aprendizagem”, destacando ainda que o uso da
tecnologia “por si só” não garante a efetividade no processo de ensino e de aprendizagem.
Quanto aos indícios do TPACK e seus componentes na prática de Delta,
percebeu-se que o professor demonstrou domínio do conhecimento da tecnologia no manuseio
do software perante os alunos, porém, destaca-se a necessidade de maior mobilização e
integração entre prática pedagógica, conteúdo e tecnologia para a construção do
conhecimento dos alunos. Para tanto, é importante que os alunos sejam inseridos numa
dinâmica mais ativa com a tecnologia, na exploração dos conteúdos geométricos culminando
na construção da própria aprendizagem.
A prática de Sigma ocorreu no dia 29/11/19, no turno tarde. Antes de iniciar a
atividade com os alunos, Sigma verificou quais deles já haviam instalado o programa no
celular e quais faltavam instalar. Dois alunos não tinham feito a instalação do software e o
professor fez o compartilhamento do programa de seu celular para o de seus alunos, por meio
do aplicativo de compartilhamento MyAppSharer. Diante da iniciativa do professor, percebeu-
se que Sigma teve o domínio do conhecimento tecnológico e pedagógico, pois foi capaz de
144
solucionar a necessidade de seus alunos, em adquirir o software, minutos antes do início da
atividade.
Sigma distribuiu para os alunos a cópia do tutorial (apêndice I) com os comandos
básicos para a construção de pirâmides e expôs o objetivo que deveriam alcançar: cada grupo
deveria construir uma pirâmide no formato bidimensional (planificação) e tridimensional
(sólido espacial), identificando nas construções os seguintes elementos: segmento da altura da
pirâmide, segmento do apótema lateral e segmento do apótema da base e a quantidade de
lados da base da pirâmide (pirâmide de base quadrangular, hexagonal e demais bases). Ao
finalizar as construções, os alunos deveriam apresentar as pirâmides construídas para os
demais colegas, usando o projetor e demonstrando os elementos explorados.
A definição dos objetivos na elaboração e na execução da atividade é
fundamental, pois, “no momento em que o educador resolve utilizar um software em sua
prática docente, alude a uma série de análises e procedimentos, favorecendo, assim, que seus
objetivos estejam estabelecidos na atividade e que apresentem benefícios para o aprendizado
da classe.” (CARNEIRO, 2013, p. 81). Ao expor os objetivos da atividade para os alunos,
Sigma deixou claro quais procedimentos e análises os estudantes deveriam atingir nas suas
construções com os recursos digitais.
Percebeu-se que alguns grupos realizaram a tarefa com muita agilidade. Contudo,
houve alunos que apresentaram pequenas dificuldades em entender o passo-a-passo e executar
a tarefa proposta pelo professor, mas Sigma buscou atender a todos os grupos que solicitaram
seu apoio, circulando pela sala, contribuindo para que os alunos atingissem os objetivos
traçados. Esse movimento foi realizado no primeiro tempo da aula, no caso, os 50 minutos
que antecederam ao intervalo escolar.
O segundo tempo da aula foi o momento dos alunos apresentarem suas
construções. Os grupos compartilharam a atividade para o celular do professor, via bluetooth
ou whatsapp, para que pudesse ser projetada e visualizada por todos, esse procedimento foi
realizado sem dificuldades. Cada grupo escolheu dois alunos para fazer a apresentação da sua
construção. Mais uma vez atribui-se ao professor o domínio do TPACK, visto que Sigma
promoveu estratégias de utilização do software em atividades educativas, encontrando
possibilidades de inserir promover a integração do T`PACK em sua ação docente.
As apresentações das construções feitas pelos alunos ocorreram no segundo tempo
de aula. A primeira equipe a se apresentar passou a descrever como realizou a construção da
pirâmide no programa e Sigma fez algumas intervenções:
145
Quais são as características dessa pirâmide? Essa pirâmide é uma pirâmide [...]
Quantos lados tem essa base dessa pirâmide? [...] Se a base tem 6 lados, então essa
pirâmide é [...] Se eu perguntar a vocês qual é o nome do segmento que vocês
fizeram que fica na lateral dos triângulos da pirâmide, é qual? [...] Qual é o
segmento que representa a altura? [...]. (SIGMA, Aula prática, 2019).
A intervenção de Sigma, durante a apresentação da atividade pelos alunos, revela
a importância do professor estar atento ao desenvolvimento da atividade pelos estudantes e o
conhecimento que estes adquiriram com a tarefa proposta. Nesse sentido, destaca-se a
necessidade do professor propor atividades que estimulem o aluno a investigar sobre o
assunto que está sendo abordado e dele tirar suas próprias conclusões. (CARNEIRO, 2013).
A ação realizada por Sigma, durante a apresentação dos alunos, foi interpretada
como um procedimento que demonstrou domínio do TPACK pelo professor, na mediação
entre a tecnologia, o conteúdo e a aprendizagem dos alunos. Esse tipo de interferência é
relevante, pois os alunos são desafiados a serem protagonistas do próprio conhecimento.
Os questionamentos de Sigma instigaram os alunos a explorarem a pirâmide
construída para apresentar respostas às indagações. Diante das perguntas do professor à
equipe que se apresentava, os demais grupos voltaram a explorar as construções em seus
dispositivos, na tentativa de localizar, em suas pirâmides, os elementos que foram indagados à
primeira equipe.
As demais equipes, ao se apresentarem, já iam demonstrando e relacionando os
conceitos aos elementos construídos nas pirâmides. Três grupos construíram pirâmides de
bases quadrangulares, um grupo construiu uma pirâmide de base hexagonal e outro grupo
construiu pirâmide de base triangular. Todos os alunos conseguiram identificar e demonstrar
os elementos nas pirâmides (altura, apótema lateral, apótema da base) solicitados pelo
professor. Nesse momento, destaca-se que os alunos também demonstraram apropriação do
conhecimento tecnológico e estabeleceram relações com o conteúdo estudado.
Todas as construções apresentadas tiveram características bem parecidas: a base, o
mesmo número de lados, a altura, os vértices e as arestas eram bem semelhantes. Infere-se
que a justificativa para tal semelhança residiria no fato dessas construções terem sido
realizadas seguindo o tutorial, fornecido pelo professor, e os alunos não modificarem a
quantidade de lados do polígono da base da pirâmide.
A atividade prática realizada por Delta e Sigma, com os recursos tecnológicos,
aconteceu em datas e turnos diferentes e não houve troca de comunicação entre eles, após a
execução dessa atividade. Supõe-se que a comunicação entre os professores poderia contribuir
146
para melhorar as estratégias de apresentação e exploração da ferramenta em benefício da
aprendizagem dos educandos.
Ressalta-se que os professores Delta e Sigma não conseguiram articular o TPACK
em todas as etapas de suas práticas. Mas, numa visão geral, é possível afirmar que eles
apresentaram o domínio de conhecimentos que se inter-relacionam com o TPACK. Houve
momentos em que os professores demonstraram domínio do conhecimento tecnológico e do
conteúdo, e, em outros, domínio do conhecimento tecnológico e pedagógico. Um desses
momentos pode ser percebido quando os professores planejaram a atividade prática a ser
trabalhada com os alunos, associando a tecnologia ao ensino e aprendizagem dos conteúdos
de Geometria Espacial.
Diante das análises apresentadas, compreende-se que a sobreposição do
conhecimento tecnológico aos demais componentes do TPACK não acontece da noite para o
dia, demanda tempo para ser incorporada à prática dos professores. Lobo da Costa e Prado
(2015, p. 104) esclarece que a apropriação da tecnologia acontece de forma gradativa e
depende da disponibilidade do professor “a aprender e a reconstruir os seus conhecimentos
para o uso da tecnologia na sua prática”. Ademais, a carga horária empregada na realização da
etapa formativa desta pesquisa foi bastante limitada, tornando-se insuficiente para que eles se
apropriassem com propriedade desse conhecimento definido como TPACK.
A seguir, explana-se as análises das sessões reflexivas quanto às concepções dos
professores Delta, Sigma e Ômega sobre os conhecimentos: tecnológico, pedagógico e de
conteúdo e sua convergência com os componentes do TPACK, e os indícios desses
conhecimentos na formação dos professores.
6.4.4 Concepções dos professores pesquisados sobre os conhecimentos: tecnológico,
pedagógico e de conteúdo e a convergência ao TPACK, após a formação dos
professores de Matemática
Após as sessões formativas, procurou-se conhecer a concepção dos professores
sobre as contribuições da etapa formativa e os indícios de apropriação dos conhecimentos
tecnológico, pedagógico e de conteúdo dos professores e a convergência ao TPACK para a
ampliação de habilidades inerentes à prática profissional dos docentes. Nessa perspectiva,
para o desenvolvimento desse tópico, levou-se em consideração as discussões obtidas nas
sessões reflexivas nas quais os professores expressaram seus pensamentos e sentimentos
sobre o processo formativo que vivenciaram.
147
Para melhor compreensão e visualização do processo, as ponderações foram
organizadas em três momentos distintos: reflexão sobre as sessões formativas que foram
direcionadas pelos estudos de teóricos (Shulman, 2014) e referencial teórico do capítulo 3;
pela apresentação e exploração do software GeoGebra, abordando tópicos de Geometria
Espacial entre pesquisadora e professores pesquisados; percepções sobre a atividade prática
realizada pelos professores Delta e Sigma com os alunos; avaliação sobre o processo
formativo e o uso do aplicativo em sala de aula.
As sessões reflexivas foram realizadas entre a pesquisadora e os professores
Sigma (20/12/2019), Delta (10/01/2020) e Ômega (10/01/2020), em encontros individuais
com duração média de 30 minutos, com cada um deles. Sugeriu-se que os professores
relatassem como as impressões e os conhecimentos adquiridos ou não durante os momentos
formativos (textos debatidos nos encontros teóricos, o uso do software GeoGebra e a relação
destes textos e recursos com o conteúdo do ensino) contribuíram para suas formações
profissionais e suas atuações em sala de aula.
[...] os textos dos pensadores37
que se envolvem neste tipo de pesquisa serviu
particularmente para mim porque você vê que tem base àquilo que você está
querendo fazer, que tem gente que também se interessa por melhorar a educação, o
ensino, que também tem essa visão de que o ensino tradicional já não é mais tão
viável hoje em dia, que também tem que se atualizar, se modificar o modo de
ensinar hoje em dia [...]. Instiga a gente a querer buscar mais, porque eu adorei estar
aqui [nessa formação]. (DELTA, Sessão Reflexiva, 2019).
[...] a gente teve oportunidade de debater, a partir de vivências do dia a dia, aquilo
que o teórico, que na verdade foram dois [...] trazia da sua visão da educação. E a
gente percebia que era bem semelhante à nossa realidade, às nossas angústias que a
gente tinha em sala de aula. Aquele momento foi bacana e formações teóricas como
aquela a gente não tem. Às vezes, a gente que é da área de exatas, muitos
[professores da área] têm um certo receio né, em ler alguns teóricos, porque muitos
têm uma visão bem fechada, de que acha que não vai aprender nada com ninguém. E
a gente acaba vendo que essa oportunidade que a gente tem, através dessa formação,
mesmo que curta, é ter a sensação que mais pessoas estão pensando na educação e
que pode nos ajudar, a partir daquilo que é pesquisado aliar à vivência [de sala de
aula]. (ÔMEGA, Sessão Reflexiva, 2019).
Os tipos de conhecimentos, o conhecimento pedagógico, o conhecimento da
ferramenta, o conhecimento do conteúdo, toda essa discussão que a gente teve que é
algo que eu nunca tinha tido durante a graduação foi enriquecedor. (SIGMA, Sessão
Reflexiva, 2019).
Os professores foram unânimes em apontar, em seus depoimentos, que as sessões
formativas e os estudos teóricos de artigos de pesquisadores (SHULMAN, 2014; KOEHLER;
MISHRA, 2009) foi uma oportunidade de conhecer aprofundar o estudo de teorias
37
Delta se referia aos textos de Koehler e Mishra (2009), Shulman (2014) e os autores referenciados no capítulo
3, desta dissertação.
148
educacionais, não vivenciadas em sua formação inicial. Para os docentes, tais estudos se
configuram em momentos de aprendizagem e contribuíram para amparar suas práticas, além
de subsidiarem a tríade ensino-conteúdo-tecnologia.
Nessa perspectiva, Shulman (2014, p. 200) confirma que a “base do conhecimento
para o ensino” engloba um conjunto de “conhecimento, habilidades, compreensão,
tecnologias, ética e disposições” necessários para a prática efetiva dos professores em
contextos específicos de ensino e aprendizagem, como alternativa para minimizar os
obstáculos vivenciados por estes, em suas salas de aula. A reflexão desenvolvida pelos
professores sobre o domínio dos conhecimentos: tecnológicos, pedagógicos e do conteúdo,
bem como o destaque registrado sobre os “conhecimentos teóricos”, é destacada como um
elemento favorável germinado a partir da prática formativa realizada.
Destaca-se que os professores se mostraram motivados e comprometidos com as
sessões formativas, tanto nos encontros teóricos realizados com as temáticas dos
conhecimentos e do ensino de Geometria, como também nos encontros da prática com uso do
software GeoGebra. Os encontros transcorreram de acordo com a disponibilidade dos
professores, em horários diversos (manhã, tarde, noite), com a participação espontânea de
todos os participantes, em todos os encontros formativos.
A sessão formativa, na qual a pesquisadora e os professores fizeram uso do
GeoGebra, foi mencionada por Delta (Sessão Reflexiva, 2019) como um momento de
expectativa “naquele momento ali, vendo tudo aquilo eu só imaginava aquilo na aula e como
foi naquela aula prática que a gente fez.”. A narrativa de Delta reflete que o professor, ao ter o
domínio do conhecimento tecnológico, passou a elaborar estratégias para trabalhar com
recursos digitais, em sua prática de sala de aula, com seus alunos.
Para Sigma, o uso da tecnologia se caracterizou como um processo bastante
simples. Já Ômega apresenta um pouco de dificuldade em executar alguns comandos
direcionados pelo tutorial no smartphone, mas, com a ajuda da pesquisadora, essa dificuldade
foi sanada. Os professores Sigma e Ômega deram ênfase à maneira como a pesquisadora
conduziu a formação, destacando que a forma como foi conduzida contribuiu para o domínio
do conhecimento tecnológico, estabelecendo relações com o conhecimento do conteúdo de
Geometria Espacial.
Eu conhecia um pouco o software, aí facilita, eu já achava ele bastante intuitivo, mas
a maneira como você fez com a gente eu acho que tornou tudo muito simples,
porque tu já trouxe para a gente os anexos e anexos já tinham o passo-a-passo de
como fazer cada coisa, aí você seguiu com a gente cada coisa para ter certeza que a
149
gente ia tá acompanhando e ia tá aprendendo aquele conteúdo. Eu achei o processo
todo simples, de boa. (SIGMA, Sessão Reflexiva, 2019).
Para mim tudo foi novidade, até de início eu apresentei uma certa dificuldade em
manusear, até quando você [...], formadora, nos orientou foi que eu fui
desenvolvendo um pouco mais a habilidade e percebi que era uma ferramenta
extremamente interessante, [...], me ajudou a entender Geometria Espacial, né, a
partir de uma vivência prática propiciada pela formação e pelo software. (ÔMEGA,
Sessão Reflexiva, 2020).
Quanto ao planejamento, as estratégias, e o desenvolvimento da atividade prática
com os alunos, realizada por Delta e Sigma, os professores apresentam suas colocações:
Quando eu coloco o meu aluno para ele utilizar aquela tecnologia para alcançar os
objetivos da minha aula, eu acho que de certa forma eu estou puxando ele para: –
Olha tá vendo toda essa facilidade que você tem com isso? – Vamos usar isso aqui
para atingir esse objetivo. [...] O caminho que o meu aluno vai fazer para chegar
para deter e aprender aquele conteúdo talvez fique um pouco mais agradável.
(SIGMA, Sessão Reflexiva, 2019).
O software foi um aliado, porque os alunos se dispersam facilmente se você ficar só
no livro, se você ficar só quadro eles também vão se dispersar em pouco tempo, mas
já tendo aquele material, eles olhando no celular, fazendo o passo a passo e a gente
acompanhando ali no projetor, nem pareceu que era 50 minutos de aulas. Ficou
muito, muito, muito ativo para todo mundo. Então foi muito bom, muito proveitoso
aquele momento. Então, tanto o aplicativo como as definições do conteúdo e a aula
em si, a parte da pedagogia, do ensino, eles não tiveram vergonha de perguntar e
dizer (a grande maioria) de dizer que tinha conseguido ou não tinha conseguido... de
mostrar um para outro. (DELTA, Sessão Reflexiva, 2020).
Sigma menciona a importância de o professor estabelecer um planejamento prévio
com objetivos claros a serem alcançados pelos alunos. Delta e Sigma, em suas narrativas,
destacam a relação entre o conhecimento tecnológico, conhecimento pedagógico e
conhecimento do conteúdo e o entrelace entre esses conhecimentos na ação desenvolvida com
o software. Esse fato é destacado pela pesquisadora como um elemento positivo, diante da
necessidade dos professores integrarem múltiplos conhecimentos em atividades de ensino e
aprendizagem, não se limitando aos conhecimentos: do conteúdo ou tecnológicos.
Diante das narrativas dos professores Delta e Sigma, salienta-se que o uso da
tecnologia móvel associado às práticas pedagógicas – quando conduzidas por estratégias
selecionadas e bem planejadas pelo professor – contribuem para melhoria do ensino e da
aprendizagem. Além disso, ajudam a minimizar a repetição das rotineiras práticas presentes
nas aulas de Matemática, em que, muitas vezes, os conteúdos são apresentados oralmente, por
meio de definições, demonstrações de propriedades e exemplos, seguidas por uma extensa
lista de exercícios, presumindo-se que o aluno aprende pela reprodução, sem oportunizá-lo a
ser o agente construtor da própria aprendizagem. (OLIVEIRA, 2019).
Ainda durante as sessões reflexivas, buscou-se fazer uma consideração sobre
150
positivos e negativos visualizados pelos professores, no processo de ensino em que estes
fizeram uso dos aportes tecnológicos em suas salas de aulas, com os alunos. Delta descreve
que a atividade desenvolvida com os alunos “foi mais uma recapitulação de uma aula vista e
acabou sendo legal, mas eu acho que, se fosse no período normal, apresentar cada definição,
cada característica do sólido, não perderia em nada, a aula seria muito mais aproveitada.”.
(DELTA, Sessão Reflexiva, 2019).
Em pensamento semelhante ao depoimento de Delta, Sigma também se reporta ao
período letivo em que a atividade foi desenvolvida na escola como um ponto negativo, ao
avaliar o uso dos recursos tecnológicos:
“Foi a questão do período onde a gente foi fazer mesmo o estudo, o calendário da
escola não contribuiu tanto, então a gente teve pouca oportunidade de levar [para a
sala de aula], eu gostaria de ter tido várias aulas, de ter levado para os alunos em
outros momentos para ter esse uso e gostaria principalmente de ter conseguido
começar e finalizar todo um conteúdo utilizando isso.” (SIGMA, Sessão Reflexiva,
2020)
Mais uma vez convém destacar que a aula desenvolvida pelos professores, junto
aos alunos, com os recursos tecnológicos, não foi possível ser executada em conformidade
com o planejamento da pesquisadora. O projeto inicial era trabalhar com o software no
mesmo período em que os conteúdos eram ministrados em sala de aula. Contudo, a escola tem
planejamento independente, com atividades prioritárias e o software só foi levado para a sala
de aula quando já estava encerrando o ano letivo e os alunos já se encontravam em clima de
férias. Nesse contexto, Delta descreve a aula como uma “recapitulação” de conteúdos. Os dois
professores comungam da mesma opinião de que se o trabalho com o software fosse realizado
no mesmo momento em que os conteúdos são trabalhados nas aulas regulares, seriam melhor
explorados.
Outros pontos negativos foram destacados pelos professores: a estrutura física das
salas de aulas – o excesso de claridade que adentrava na sala ofuscava as imagens projetadas
no datashow e dificultava a visibilidade dos alunos; havia várias turmas sem aula, no
momento da aplicação da atividade, o que acabou desestimulando os alunos a permanecem
em sala de aula; o clima de férias que se instaurava na escola. Expõe-se aqui que tais fatores
transcendem ao controle da pesquisadora e pesquisados, mas interferem nos resultados da
avaliação da atividade.
Em relação aos pontos positivos, Delta (Sessão Reflexiva, 2020) narra que “o
mais significativo foi a vontade deles [alunos] quererem fazer mais. Eles mostrarem ali de
imediato que eles tinham gostado, que eles se interessaram mesmo, mostraram interesse e
151
dentro da própria aula, querer mais.”. Nesse momento também se apresenta o pensamento de
Sigma: “eu acho que foi mais proveitoso e enriquecedor foi de que tu não trouxe para mim só
a capacitação de utilizar a ferramenta, tu trouxe para mim, como eu posso levar essa
ferramenta para a sala de aula, com o meu conteúdo, para os meus alunos.”. (SIGMA, Sessão
Reflexiva, 2019).
O uso das tecnologias deve ser desenvolvido de modo que possa envolver
professores e alunos, através de estratégias pedagógicas que promovam reflexões, descobertas
e aprendizagens durante a abordagem dos conteúdos. A compreensão dos professores sobre o
uso das tecnologias e a forma como elas devem ser integradas aos conteúdos, ao ensino e à
aprendizagem dos alunos demonstrou indícios de que eles se apropriaram dos conceitos do
TPACK.
Para Sigma, a formação com a ferramenta tecnológica lhe trouxe conhecimentos
que antes não tinha, citando alguns exemplos: “como eu posso agora pegar isso [ferramenta] e
fazer isso de uso cotidiano, como eu posso levar isso [ferramenta] para minhas experiências
didáticas de maneira mais pontuais.”. (SIGMA, Sessão Reflexiva, 2019). Sigma acrescenta
que antes de participar desse processo formativo já havido trabalhado com softwares em aulas
de Mecânica e Cinemática para demonstrar processos de colisões e conservação de energia,
contudo, não havia interação entre o software, o conteúdo e os alunos e que eram trabalhadas
somente “coisas pontuais”, sem maior integração aos assuntos abordados.
Para se potencializar o ensino com tecnologia, é necessário que se tenha ciência
de que é preciso criar, manter e restabelecer continuamente um equilíbrio dinâmico entre
todos os componentes – tecnologia, pedagogia e conteúdo. Nesse sentido, Koehler e Mishra
(2009) afirmam que o TPACK é a base do ensino com a tecnologia e requer a compreensão da
representação de conceitos utilizando tecnologias; técnicas pedagógicas para utilizar as
tecnologias e modelo construtivo para ensinar os conteúdos. Enfatiza-se que esse ensino deve
ser guiado por intermédio de práticas que possam envolver professores e alunos, pois, caso
contrário, esses recursos serão considerados ineficientes.
Quanto às potencialidades dos recursos tecnológicos, não significa que estes
possam suprir todas as lacunas já apontadas no campo da Educação Matemática, mas podem
ser importantes aliados para auxiliarem e implementarem o ensino e a aprendizagem. Nesse
contexto, os professores manifestam seus sentimentos em relação ao trabalho com o software,
destacando que a ferramenta contribui para a construção do conhecimento, além da ampliação
da forma de aprender e ensinar.
152
Perfeito, aí ele contempla tudo, o que sobra para a gente fazer no quadro é resolver
questões, exemplos, porque a parte de definições, teorias, ele aborda muito bem, é
um ótimo aliado tanto para o professor quanto para o aluno. (DELTA, Sessão
Reflexiva, 2020).
[...] na nossa formação quando a gente ganhava a habilidade [...] de utilizar a
ferramenta, aí tinha aquele momento de discussão onde você [pesquisadora] puxava
[...] qual o aprendizado que o aluno possa ter, pra que serve isso aqui. Ou seja, vai
pedir o aluno para construir uma pirâmide, não é só a ferramenta, o software, a gente
não quer ensinar o aluno a utilizar o software, ele é uma ferramenta necessária para
aprender um conteúdo, um aprendizado. [...] Você sempre deixava isso em evidência
para a gente. Aí foi bem interessante, construtivo [...] (SIGMA, Sessão Reflexiva,
2019).
[...] percebi que era uma ferramenta extremamente interessante, porque a partir dela
o aluno consegue uma vivência que a gente não consegue em nenhum momento, [...]
você consegue trazer para a vivência uma projeção de uma formação de um sólido,
[...] dá uma visão extremamente tridimensional, aquilo que os livros e a gente, por
mais que se esforce numa lousa não consegue passar. [...] a partir de uma ferramenta
como essa a gente percebe que é mais fácil a gente chegar numa linha de
comunicação com o aluno. Ele tá vendo na prática a formação de um sólido e as
suas características e a partir da própria formação do programa, [...] e podendo
manusear, [...] certamente a gente pode extrair mais informações e estreitar a nossa
linha [de comunicação] com o estudante. (ÔMEGA, Sessão Reflexiva, 2020).
Diante dos relatos dos professores, observou-se a avaliação positiva em relação ao
uso da ferramenta, percebendo-se que estavam motivados e entusiasmados com a etapa
formativa que participaram. Os docentes realçaram a possibilidade de inserir as ferramentas
tecnológicas no ensino dos conteúdos geométricos, como possibilidade de ampliar e
diversificar suas práticas de ensino, visando contribuir para alcançar a aprendizagem dos
alunos.
Ao final da etapa formativa, a pesquisadora agradeceu aos professores a
disponibilidade e o compromisso em participarem da pesquisa, além de incentivá-los a se
manterem inseridos nos processos de formação ao longo de sua profissão docente. Ômega
elogiou a formação e sugeriu que a mesma poderia ser estendida a outros professores da
Educação Básica, para ampliar seus conhecimentos tecnológicos de modo que possam utilizá-
los em suas salas de aulas.
[...] a gente como professor peca muito em procurar novos textos, novos elementos
porque a gente acaba se incomodando com o fator tempo. A gente tem a carga
horária extremamente elevada [...] e acaba perdendo a oportunidade de formações
como esta. [...] Se ela fosse ofertada diretamente por meio da Secretaria, oferecida
ao professor, no seu horário de planejamento, o professor teria acesso [a tecnologia].
[...] Muitos deles não a usam porque não tem acesso, por essas limitações que eu
falei anteriormente, seja de tempo [...] e de sua carga horária. Se [...] fosse
apresentada ao grupo de professores e mostrada na prática como é que ela acontece,
o que que ela pode trazer de ganho, certamente, os professores em terem acesso a
esse material, iriam, [...] aplicar em sala de aula e iriam perceber, o grande poder de
um aliado que a gente têm e que as vezes não usa por desconhecer o método.
(ÔMEGA, Sessão Reflexiva, 2020).
153
Diante do relato de Ômega, reforça-se que é necessário que os professores
percebam que os processos formativos se estendem ao longo da vida e sintam vontade em
ampliar seus conhecimentos por meio de formações e experiências que estejam atreladas ao
seu campo de atuação. (MIZUKAMI, 2013).
Diante das análises apresentadas, considera-se que as sessões formativas foram
uma oportunidade para que os docentes pudessem conhecer e refletir sobre alguns aspectos
das teorias educacionais, não vivenciadas antes. Os docentes relaram que a formação
continuada foi um momento de aprendizagem para suas formações e contribuíram para
amparar suas práticas, além de subsidiar a tríade ensino-conteúdo-tecnologia. Salienta-se que
o conhecimento tecnológico associado ao conteúdo e às práticas pedagógicas – quando
conduzidas por estratégias selecionadas e bem planejadas – contribuem para melhoria do
ensino e da aprendizagem. A compreensão dos professores sobre o uso das tecnologias e a
forma como elas devem ser integradas aos conteúdos ao ensino e aprendizagem dos alunos
demonstrou indícios de que eles se apropriaram dos conceitos do TPACK.
A seguir apresenta-se as considerações finais com a síntese da trajetória realizada
nesta investigação, as respostas encontradas à questão de pesquisa, as reflexões finais e o
indicativo de indícios de elementos para futuras investigações.
154
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
“Por vezes sentimos que aquilo que fazemos
não é senão uma gota de água no mar. Mas o
mar seria menor se lhe faltasse uma gota.”.
(MADRE TERESA DE CALCUTÁ).
Para finalizar este trabalho de pesquisa retorna-se a elementos já apresentados,
trazendo-se explicações para aclará-los. A questão de investigação que direcionou esse estudo
buscou responder a seguinte indagação: Como os professores de Matemática do Ensino
Médio constroem e mobilizam o conhecimento do conteúdo, o conhecimento pedagógico e o
conhecimento tecnológico em suas atividades práticas relacionadas ao ensino de Geometria
Espacial?
Diante desse questionamento, as ações desenvolvidas foram direcionadas na
tentativa de analisar indícios do conhecimento de conteúdo, do conhecimento pedagógico de
conteúdo, do conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo na prática dos professores
de Matemática do Ensino Médio, a partir do processo formativo direcionado ao ensino de
Geometria Espacial.
A pesquisa seguiu a abordagem qualitativa com foco investigativo, embasado na
pesquisa-ação. Desse modo, a ação realizada foi uma etapa formativa dando ênfase aos
conhecimentos tecnológicos pedagógicos e de conteúdo, com três professores de Matemática
da Educação Básica em uma escola estadual de Fortaleza–Ce. Teve como foco conteúdos de
poliedros, prismas e pirâmides com o auxílio do software GeoGebra, a partir do uso de
recursos tecnológicos móveis (smartphones, tablets).
No que se refere ao conhecimento de conteúdo da disciplina que os professores
ministram, os professores sinalizaram que os conhecimentos adquiridos na formação
acadêmica, empregados na prática do ensino de Geometria Espacial, foram somente o
conhecimento do conteúdo, destacando-se, entre eles, as demonstrações matemáticas.
Entretanto, os professores reconhecem que o ensino deve ir além da exploração de
simbologias e fórmulas, e ainda há a necessidade do aluno compreender o significado dos
conteúdos matemáticos.
Ao se traçar discussões sobre o ensino do conteúdo de Geometria Espacial, os
professores reconheceram que suas ações docentes ainda são caracterizadas pela valorização
de fórmulas e processos de memorização e, ao mesmo tempo, refletem que o ensino desse
conteúdo deve estar relacionado com a realidade do educando. Assumem ainda algumas
155
fragilidades (falta de tempo ou de conhecimento) que interferem no ensino do conhecimento
do conteúdo de Geometria Espacial.
Apesar de um dos docentes mencionar “ausência do conhecimento do conteúdo”
relativo às suas práticas, não foi visualizado essa lacuna na observação das práticas dos
docentes. Dessa forma, não foi possível apontar ausência de domínio do conhecimento do
conteúdo ou dificuldades no Ensino de Geometria Espacial na atuação dos docentes
pesquisados.
As observações relativas às aulas ministradas pelos professores pesquisados
demonstraram que os docentes dedicam demasiada relevância às fórmulas matemáticas, no
processo de ensino, tratando esse método como elemento fundamental para a aprendizagem
dos educandos. Percebeu-se indícios da tendência do ensino ainda caracterizada pela
memorização de fórmulas e resolução de listas de exercícios, embasados na compreensão de
que a aprendizagem de Matemática é adquirida pela repetição e pelo treino constante. Diante
desses dados, enfatiza-se que o ensino dirigido por tais modelos é infrutífero para a
aprendizagem dos educandos, pois não favorece a reflexão, a experimentação e a validação de
resultados dos conhecimentos matemáticos pelos alunos.
Ao se traçar reflexões sobre os conhecimentos adquiridos na formação acadêmica
e suas contribuições para a prática profissional do ensino de Geometria Espacial, os
pesquisados evidenciaram que os conhecimentos empregados em suas ações pedagógicas
foram adquiridos durante a docência na Educação Básica, desenvolvidas junto aos alunos,
assim como na prática colaborativa de seus colegas de trabalho. Esse dado sinaliza
fragilidades na formação dos licenciandos de Matemática, que, na atualidade, ainda carregam
em seu bojo o ensino pautado na abordagem dos conteúdos tradicionais, do treinamento e da
memorização de fórmulas, sem vínculo com o campo de atuação dos docentes. Reforça a
problemática já evidenciada por pesquisadores, ao longo do referencial teórico, que alegam
abismos entre a formação inicial dos licenciandos com a prática profissional na Educação
Básica.
Um dos desafios apontados pelos professores, no ensino do conteúdo mencionado,
é a dificuldade dos alunos em entender a visualização dos objetos espaciais, a compreensão
das características que compõem os conteúdos geométricos e a dedução das fórmulas –
elementos essenciais para a aprendizagem dos conteúdos de Geometria Espacial. Diante
dessas argumentações, ratifica-se que o uso de diferentes recursos didáticos pode contribuir
para minimizar tais obstáculos.
156
Em relação ao emprego de materiais didáticos nas práticas dos professores
pesquisados, nas observações da aula inicial por estes ministradas, foi possível observar que,
enquanto um deles usou material concreto para ilustração de conceitos de conteúdos
geométricos, o outro empregou apenas as estratégias convencionais, como a explanação oral e
ilustrações através de desenhos na lousa para apresentação do conteúdo. Para exploração e
aprofundamento dos conteúdos, os docentes utilizaram somente exemplos retirados do livro
didático e indicaram que os alunos resolvessem uma lista de exercícios. Esse fato confirma
apontamentos de estudos publicados na área da Educação Matemática, nos diversos ramos
desse ensino – ausência de diferentes estratégias e recursos didáticos nas práticas docentes –
indicando que os recursos didáticos, quando empregados, muitas vezes, são direcionados
somente para ilustrar uma explicação oral. Desse modo, os alunos não são estimulados a
fazerem explorações e deduções alusivas a esse material, o que pouco contribui para o
desenvolvimento de novos conhecimentos.
Quanto ao domínio dos conhecimentos docentes para o ensino, os pesquisados
reconhecem que é importante que o professor tenha conhecimento do conteúdo da disciplina
que ministra, mas que é preciso encontrar maneiras de representá-lo e aproximá-lo da
vivência do aluno, para que ele possa ter um melhor entendimento do conteúdo abordado.
Esperava-se que os professores pudessem mencionar os conhecimentos destacados nos
estudos teóricos (leituras sugeridas), porém eles se reportaram aos aspectos do conteúdo
específico e do conhecimento pedagógico sem estabelecer nenhuma relação com os textos
disponibilizados na formação. Esse fato transparece que as ações dos professores são dirigidas
pelos conhecimentos adquiridos na prática escolar, com pouca reflexão e fundamentação em
estudos de teorias educacionais.
Diante dessas reflexões, há evidências de que os docentes investigados possuem o
conhecimento pedagógico do conteúdo, com ampla habilidade do domínio do “o que ensinar”
– que inclui a compreensão de tópicos mais relevantes para a aprendizagem dos estudantes.
Entretanto, em relação ao domínio do “como ensinar” – que contempla estratégias que serão
produtivas para o desenvolvimento do conhecimento dos alunos, percebeu-se carências de
metodologias na abordagem dos conteúdos geométricos trabalhados. Ressalta-se a
importância do professor direcionar aos seus alunos atividades exploratórias e investigativas
que demandem procedimentos de observações, mensurações e explorações do pensamento do
educando, para que lhes tragam significados e contribuam para o desenvolvimento da
aprendizagem. Tais atividades não foram visualizadas nas aulas dos professores observados.
157
Em relação ao domínio do conhecimento tecnológico na prática dos professores,
antes da etapa formativa, estes afirmaram que não utilizavam o GeoGebra em atividades de
ensino dos conteúdos de Geometria Espacial. Essa informação foi relevante para se confirmar,
naquele momento, a escolha do software e sua exploração nos dispositivos móveis para a
formação dos professores. Desse modo, os dispositivos tecnológicos móveis e o GeoGebra
foram as ferramentas usadas para investigar indícios de conhecimento pedagógico e
tecnológico dos docentes, no ensino de conteúdos do ramo da Geometria, na presente
investigação. Esse dado também evidencia o diagnóstico já apontado em outros estudos
acadêmicos sobre o uso dos recursos tecnológicos como estratégia didática pouco explorada
nas práticas escolares. Nesse sentido, ressalta-se que a tecnologia digital pode contribuir para
diversificar a construção de representações de conteúdos e a forma como estes podem ser
ensinados, possibilitando o desenvolvimento de novas interpretações e explorações dos
conteúdos pelos docentes e discentes.
Quanto à exploração do software GeoGebra com os participantes, percebeu-se
que os docentes não apresentavam dificuldades em manusear o software, tinham facilidade
em explorar os recursos tecnológicos digitais e conseguiam estabelecer conexões entre os
sólidos que eram obtidos em seus dispositivos e os conteúdos geométricos. Nessa ação,
visualiza-se indícios de integração dos conhecimentos: tecnológicos, pedagógicos e de
conteúdo, pois os docentes conseguiram estabelecer relações entre os conteúdos geométricos
e a tecnologia, realizando considerações, formulando hipóteses, conjecturas alusivas a esse
conhecimento, além de discutirem e planejarem estratégias pedagógicas para levarem esses
recursos para suas salas de aulas.
No tocante ao uso dos recursos tecnológicos na aula prática dos professores com
os alunos, percebeu-se que um dos professores usou a ferramenta com a finalidade de
trabalhar a visualização das figuras espaciais e a ludicidade da aula, sem explorar outras
potencialidades que o software oferece, como a abstração, a análise e a dedução de elementos
pertinentes do conteúdo tratado, sinalizando, assim, lacunas no conhecimento tecnológico e
pedagógico. Quanto aos indícios do TPACK na prática desse professor, percebeu-se o
domínio do conhecimento da tecnologia no manuseio do software perante os alunos, porém
destaca-se a necessidade de maior mobilização e integração entre prática pedagógica,
conteúdo e tecnologia, reverberando no desenvolvimento do conhecimento dos alunos.
Destaca-se a necessidade dos alunos estarem inseridos ativamente na tecnologia, com a
exploração dos conteúdos geométricos culminando na construção da própria aprendizagem.
158
O segundo professor a explorar o software com os alunos direcionou o trabalho de
exploração para os alunos. Este distribuiu o tutorial com os comandos básicos da ferramenta
que seriam usados nas construções, expôs os objetivos que os alunos deveriam alcançar,
estabelecendo procedimentos e análises que deveriam ser realizadas nas suas construções,
com os recursos digitais. Diante desses procedimentos, infere-se que o planejamento e o
desenvolvimento dessa aula colaboraram para que os alunos utilizassem a tecnologia na
exploração de conteúdos de Geometria Espacial, explorando elementos e conceitos dos
conteúdos geométricos. Mesmo com os poucos elementos observados, em uma única aula,
percebeu-se indícios de apropriação do TPACK tanto do professor quanto dos alunos.
Ademais, infere-se que a atividade realizada contribuiu para melhorar a compreensão dos
alunos acerca dos assuntos já estudados, colaborando com a ampliação da aprendizagem.
Apesar da atividade prática realizada pelos professores, com os recursos
tecnológicos, não apontar grandes avanços, percebe-se a interseção dos conhecimentos
tecnológicos, pedagógicos e de conteúdo desde o momento que antecedeu à prática, quando
os docentes realizaram o planejamento da aula a ser explorada com os alunos, até a sua
execução. Estes fizeram uso dos recursos digitais e ao mesmo tempo realizaram explorações
de tópicos dos conteúdos de Geometria Espacial, direcionando-os ao ensino e a
aprendizagem, podendo-se inferir que houve a integração do TPACK.
Salienta-se a brevidade em que ocorreu a etapa formativa com os docentes, como
tempo incipiente para a completa familiaridade dos professores com o software. A
apropriação e domínio do TPACK acontece lentamente, demanda tempo e recidiva das
experiências práticas, visto que há conhecimentos que são adquiridos pela vivência dos
professores ao longo do seu percurso acadêmico e profissional. Estima-se que a recorrência
do trabalho com os recursos tecnológicos os levará a maior apropriação do domínio do
TPACK.
As sessões reflexivas se caracterizaram como momentos de ponderações dos
professores sobre toda a etapa formativa em que foram partícipes. Os docentes relataram que
as sessões formativas teóricas foram importantes para o conhecimento das teorias
educacionais não vivenciadas antes, em suas formações. Explanaram que as sessões
formativas com uso das ferramentas tecnológicas proporcionaram conhecimentos que antes
não possuíam. Declararam que a formação continuada se caracterizou por momentos de
aprendizagem para suas formações, contribuindo para amparar suas práticas, além de
subsidiar a tríade ensino-conteúdo-tecnologia. Diante dessas argumentações, a etapa
formativa desenvolvida nesta investigação aponta indícios de apropriação dos conhecimentos:
159
tecnológico, pedagógico e de conteúdo e suas convergências ao TPACK, concorrendo para
ampliação de habilidades inerentes à prática profissional dos professores.
Diante das considerações apresentadas, ressalta-se que o uso das tecnologias deve
ser desenvolvido de modo que possa envolver professores e alunos, através de estratégias
pedagógicas que promovam reflexões, descobertas e aprendizagens durante a abordagem dos
conteúdos. Salienta-se que o domínio do TPACK ainda representa um grande desafio a ser
alcançado no campo de formação de professores, pois requer o envolvimento de todos os seus
componentes. Contudo, reafirma-se que a aquisição dos conhecimentos docentes é um
processo contínuo, ao longo da profissão, contribuindo para a ampliação, modificação e
aperfeiçoamento das práticas educativas.
Após a apresentação das considerações referentes aos objetivos específicos desta
investigação, percebeu-se a relevância em mostrar outros elementos que emergiram nas
análises dos dados obtidos no lócus da pesquisa, que são alusivos aos objetos deste estudo. No
que concerne à formação continuada dos professores pesquisados, com exceção de um dos
participantes, os demais docentes pouco vivenciaram essa experiência. Apesar de estes
reconhecerem a importância da formação continuada para a prática educativa, participaram
uma única vez de processos formativos durante todo percurso profissional. Um dos
empecilhos apontados é a falta de tempo para conciliar a vida profissional com à formação
continuada.
Diante dos dados mencionados, reafirma-se a problemática já discutida em
estudos anteriores, no que se refere aos obstáculos que permeiam a formação continuada dos
professores. A carência de formação continuada na prática profissional dos professores de
Matemática pode estar prejudicando o desenvolvimento de competências e habilidades
inerentes ao domínio do conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo.
Fica evidente a necessidade de o professor estar inserido em programas
formativos para ampliar os conhecimentos adquiridos na formação inicial. Destaca-se
novamente a primordialidade dos sistemas de ensino investirem em processos de formações
continuadas no próprio local de trabalho, firmadas por meio de parcerias com IES e grupos de
pesquisas, desenvolvidas dentro da jornada de trabalho, nos horários reservados ao
planejamento e aos estudos com a finalidade de minimizar as dificuldades apontadas pelos
professores.
Quanto às potencialidades dos recursos tecnológicos, não significa que estes
possam suprir todas as lacunas já apontadas no campo da Educação Matemática, mas sinaliza
que são notáveis aliados para auxiliar e implementar o ensino e a aprendizagem. No que
160
concerne aos dispositivos móveis (smartphones), percebeu-se que estes se constituíram como
uma importante ferramenta, com utilização viável tanto para o ensino quanto para o
pesquisador. Além do emprego com o software, os registros em áudio realizados no lócus da
pesquisa foram feitos com esse dispositivo, como também as gravações materializadas nas
sessões formativas com o GeoGebra, possibilitando gravações de áudio e vídeo que captaram
as construções que eram efetuadas nas telas dos dispositivos móveis dos participantes,
constituindo-se elementos de análise.
No que se refere aos conhecimentos aplicados, ampliados e desenvolvidos no
decorrer do processo formativo, considera-se que os professores perceberam a importância do
aperfeiçoamento contínuo de suas práticas pedagógicas como possibilidade de melhoria dos
processos de ensino, de modo a construir práticas mais sólidas que favoreçam o processo de
ensino dos conteúdos de Matemática, além de outros tópicos da Geometria Espacial.
Acredita-se que as reflexões traçadas nesses encontros tenham contribuído para “o repensar”
das práticas de ensino desse conteúdo.
No caso desta investigação, tem-se a clareza de que todo esse processo nasceu de
dificuldades que emergiram da prática da pesquisadora, em seu percurso profissional,
despontando o desejo em ampliar o domínio do TPACK. Em consequência, intentou-se
discutir e estender esse conhecimento a outros professores, por meio da formação promovida
no decorrer desta pesquisa de mestrado.
Ademais, avista-se a viabilidade de apresentar os resultados desta investigação à
SEDUC/CE, no intuito de expandir a proposta formativa a outras escolas da rede pública
estadual, objetivando ampliar as contribuições alcançadas por este estudo a outros professores
de Matemática do Ensino Médio, com a possiblidade de contribuir com a formação
continuada de outros professores da área da Educação Matemática.
Para pesquisas posteriores, vislumbra-se a possibilidade de ampliação deste
estudo, expandindo-a para outros ramos da Matemática, de maneira que possa ter maior
abrangência de conteúdos, vindo a suprir os dilemas pertinentes a essa área do conhecimento,
não contempladas por esta investigação.
161
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11-23, 2008.
168
APÊNDICE A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Você está sendo convidado(a) como voluntário(a) a participar da pesquisa
“CONHECIMENTOS TECNOLÓGICOS PEDAGÓGICOS E DE CONTEÚDO NA
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE GEOMETRIA ESPACIAL”. O objetivo deste
estudo consiste em analisar indícios do conhecimento de conteúdo, do conhecimento
pedagógico de conteúdo, do conhecimento tecnológico pedagógico e de conteúdo na prática
dos professores de Matemática do Ensino Médio a partir do processo formativo direcionado
ao ensino de Geometria Espacial.
A sua participação não é obrigatória e, a qualquer momento, poderá desistir da
participação. Tal recusa não trará prejuízos em sua relação com o pesquisador ou com a
instituição em que trabalha. Não há riscos quanto a sua participação, porém se sentir
desconforto emocional, dificuldade ou desinteresse poderá interromper a participação e, se
houver interesse, conversar com o pesquisador.
Para a realização desse trabalho realizaremos uma Prática Pedagógica com os
participantes com uma carga horária total de 30 h/a.
As suas respostas não serão divulgadas de forma a possibilitar a identificação.
Além disso, você está recebendo uma cópia deste termo em que consta o telefone do
pesquisador principal, podendo tirar dúvidas agora ou a qualquer momento.
Eu,______________________________________________________________,
portador (a) do documento de Identidade ____________________, fui informado (a) dos
objetivos do presente estudo de maneira clara e detalhada e esclareci minhas dúvidas. Sei que
a qualquer momento poderei solicitar novas informações. Recebi uma cópia deste termo de
assentimento e me foi dada a oportunidade de ler e esclarecer as minhas dúvidas.
Os registros com recursos de áudio e vídeo feitos durante as etapas formativas
podem ser coletados e utilizados para a pesquisa acima descrita?
( ) Sim. ( ) Não.
As imagens, falas e conversas minhas, com os colegas e com a pesquisadora
podem ser utilizadas para a pesquisa acima descrita?
( ) Sim. ( ) Não.
_____________________________, ____ de ______________ de 2019.
169
_______________________________ ___________________________
Nome do(a) Professor(a) Assinatura
___________________________ ___________________________
ZELIA BESERRA CAMELO Assinatura
Professora Pesquisadora
170
APÊNDICE B – ROTEIRO DE ENTREVISTA DA PESQUISA DE CAMPO
ROTEIRO DE ENTREVISTA COM OS PROFESSORES PESQUISADOS
1 Dados gerais sobre o docente
1.1 Nome completo
1.2 Idade
1.3 Vínculo de trabalho com a escola
1.4 Disciplina(s) que leciona
1.5 Tempo de experiência com o magistério
1.6 Ano de conclusão do curso de graduação
1.7 Maior titulação (especialização/área; mestrado/área; etc.).
2 Formação Inicial
2.1 Como surgiu o interesse pelo curso de graduação em Matemática?
2.2 Descreva como foi sua formação inicial?
2.3 Quais os conhecimentos adquiridos na formação inicial que considera importante no
ensino de Geometria Espacial da Educação Básica?
2.4 A formação inicial te preparou de forma adequada para seu processo de inserção
profissional no ensino de Geometria Espacial da Educação Básica?
3 Formação Continuada
3.1 Qual(is) a(s) formação(es) que você participou que foram direcionadas ao ensino de
Geometria Espacial?
3.2 A(s) formação(es) continuada(s) contribuiu(ram) na sua prática de ensino de Geometria
Espacial?
3.3 Quais os conhecimentos adquiridos na formação continuada que considera importante no
ensino de Geometria Espacial da Educação Básica?
4 Prática Profissional
4.1 Quais os recursos disponibilizados em seu ambiente de trabalho para o exercício da sua
função profissional no ensino de Geometria espacial da Educação Básica? (salas, material
disponível, apoio dos outros professores etc.). Essas condições são adequadas? Por quê?
4.2 Qual(is) o(s) conhecimento(s) que considera importante para sua atuação docente no
171
ensino de Geometria Espacial da Educação Básica?
4.3 Qual(is) o(s) conhecimento(s) que não foi(ram) adquirido(s) na sua formação inicial e
continuada e que teve que construí-los na prática de trabalho de sala de aula, acerca da
Geometria Espacial?
4.4 Você conhece o software educativo Geogebra? Já fez uso pedagógico desse software em
suas práticas docente? Como foi utilizado?
4.5 Quais as principais dificuldades e possibilidades vivenciadas por você na prática de ensino
do conteúdo de Geometria Espacial?
172
APÊNDICE C – PLANEJAMENTO DAS ATIVIDADES PROPOSTAS NAS SESSÕES
FORMATIVAS
PLANEJAMENTO DO 1ºENCONTRO
Duração: 2 h/a.
Tema: Apresentação geral da proposta formativa.
Objetivos:
Apresentar a proposta formativa;
Intermediar definições e diretrizes de ações a serem trabalhadas nos demais encontros
formativos.
Metodologia:
1º momento: Apresentação da proposta de trabalho, sua problemática e formalizar a adesão
ao processo formativo.
2º momento: Definição do cronograma dos encontros presenciais.
Assinatura do Termo de Consentimento Livre Esclarecido.
PLANEJAMENTO DO 2ºENCONTRO
Duração: 2 h/a.
Tema: Observação de uma aula prática, dos professores participantes.
Objetivos:
Analisar quais conhecimentos empregados na ação didática prática no ensino dos
conteúdos de Geometria Espacial.
Metodologia:
Observação.
Questões norteadoras para observação:
– Quais os conhecimentos docentes foram visualizados na ação prática dos professores
durante o ensino dos conteúdos de Geometria Espacial?
– Quais os recursos didáticos os professores utilizaram no ensino dos conteúdos de Geometria
Espacial?
173
PLANEJAMENTO DO 3ºENCONTRO
Duração: 2 h/a (90 min), sendo 30 min para cada professor pesquisado.
Tema: Entrevista semiestruturada constante no Apêndice B.
Objetivos:
Construir um diagnóstico inicial do perfil dos professores pesquisados;
Observar seus métodos e recursos didáticos empregados em suas práticas de sala de aula
no ensino do conteúdo de Geometria Espacial.
Metodologia:
Conversa informal entre a pesquisadora e os entrevistados, seguindo um roteiro de
perguntas previamente elaboradas e disponibilizado para os professores.
PLANEJAMENTO DO 4º ENCONTRO
Duração: 2 h/a.
Tema: Conhecimentos dos professores.
Objetivos:
Conhecer os conhecimentos dos docentes na perspectiva dos estudos de Shulman (1986,
2014) e Koehler e Mishra (2009);
Discutir quais conhecimentos os professores utilizam na sua prática docente.
Metodologia:
Fazer uma reflexão sobre os conhecimentos dos docentes na perspectiva dos estudos de
Shulman (1986, 2014) e Koehler e Mishra (2009).
Questão norteadora:
Quais os principais os conhecimentos que norteiam a prática educativa do professor?
(Desenvolver uma reflexão tendo como de partida esta questão).
174
PLANEJAMENTO DO 5º ENCONTRO
Duração: 2 h/a.
Tema: A Geometria Espacial.
Objetivos:
Refletir sobre o contexto histórico do ensino de Geometria Espacial;
Refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Geometria Espacial no âmbito da escola
básica.
Metodologia:
Fazer uma reflexão sobre o ensino de Geometria Espacial fundamentada pelo referencial
teórico do capítulo 3, desta dissertação.
Questão norteadora:
Qual a importância da Geometria Espacial para o indivíduo? (Desenvolver uma reflexão
tendo como de partida esta questão).
PLANEJAMENTO DO 6º ENCONTRO
Duração: 2 h/a.
Tema: Utilização do software Geogebra nos smartphones para o estudo dos prismas.
Objetivos:
Identificar os elementos de um prisma (base, altura, vértices, arestas, diagonais e faces
laterais);
Identificar as figuras planas na composição dos prismas regulares triangulares,
quadrangulares, pentagonais e hexagonais;
Exercitar a visão geométrica tridimensional no espaço e bidimensional representada no
plano identificando as propriedades comuns entre os sólidos espaciais e suas respectivas
planificações;
Desenvolver habilidades visuais de percepção, descobertas, verificações e deduções dos
prismas.
Metodologia:
Construir prismas (regulares triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais) com
auxílio do software Geogebra nos smartphones;
Estabelecer relações entre os elementos e características presentes nos sólidos visualizados
no Geogebra.
175
PLANEJAMENTO DO 7º ENCONTRO
Duração: 2 h/a
Tema: Utilização do software Geogebra nos smartphones para o estudo das pirâmides.
Objetivos:
Identificar os elementos de uma pirâmide (base, altura, vértices, arestas, diagonais e faces
laterais);
Identificar as figuras planas na composição das pirâmides regulares triangulares,
quadrangulares, pentagonais e hexagonais;
Exercitar a visão geométrica tridimensional no espaço e bidimensional representada no
plano identificando as propriedades comuns entre os sólidos espaciais e suas respectivas
planificações;
Desenvolver habilidades visuais de percepção, descobertas, verificações e deduções dos
prismas.
Recursos:
Dispositivos móveis (smartphones), software GeoGebra, software AZ Screen Recorder,
software ApowerMirror, notebook, Datashow, tutorial (Apêndice D a H).
Metodologia:
Construir pirâmides (regulares triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais)
com auxílio do software GeoGebra nos smartphones;
Estabelecer relações entre os elementos e características presentes nos sólidos visualizados
no GeoGebra.
PLANEJAMENTO DO 8º ENCONTRO
Duração: 2 h/a
Tema: Aplicação de uma atividade prática em sala de aula, pelos professores participantes,
com o software Geogebra.
Objetivos:
Observar a utilização do GeoGebra como recurso tecnológico na prática dos professores
junto aos educandos;
Identificar indícios do TPACK na prática dos professores.
Recursos:
176
Dispositivos móveis (smartphones), software GeoGebra, software AZ Screen Recorder,
software ApowerMirror, notebook, Datashow, tutorial (Apêndice I).
Metodologia:
Observação
Questões norteadoras para observação:
– Como se deu a utilização do software GeoGebra no ensino dos conteúdos de Geometria
Espacial?
– Quais os conhecimentos foram visualizados na ação prática dos professores durante o uso
do software GeoGebra no ensino dos conteúdos de Geometria Espacial?
As atividades realizadas foram adequadas para elaborar o conhecimento em foco?
PLANEJAMENTO DO 9º ENCONTRO
Duração: 2 h/a
Tema: Sessão reflexiva.
Objetivos:
Promover reflexões sobre o processo formativo;
Avaliar as contribuições das sessões formativas na prática dos professores no ensino dos
conteúdos de sólidos geométricos espaciais.
Metodologia:
Discussões direcionadas a obter a análise e a avaliação dos resultados, levando-se em
consideração três aspectos:
– A reflexão sobre os estudos teóricos;
– A vivência prática com emprego da tecnologia;
– Avaliação do processo formativo.
177
APÊNDICE D - CONHECENDO O GEOGEBRA
Ao abrir o software GeoGebra 3D no smartphone visualizamos a tela apresentada
na figura 1, a seguir.
Figura 1: Tela inicial do software GeoGebra 3D
Fonte: Elaborada pela autora.
Os eixos ortogonais da janela de visualização apresentam as seguintes
representações: o eixo vermelho corresponde ao eixo x, o eixo verde é o eixo y e o eixo azul é
o eixo z.
Para mudar a perspectiva de visualização do plano ou dos eixos basta tocar na tela
do smartphone na área próxima aos eixos e mover em diversos sentidos.
Para inibir os eixos, clicar em Configurações , em e desativar a
função ou .
A Barra de Menu possui duas ferramentas: Entrada e Gráficos
. Ao selecionarmos a ferramenta Gráficos aparece um Menu com várias
ferramentas , quando selecionamos a ferramenta Entrada
aparece um campo de entrada que possibilita inserir funções
para construção de diversos sólidos geométricos.
Ao clicar no ícone , no canto superior esquerdo da tela, aparece uma aba onde
é possível executar algumas tarefas como limpar ou gravar as construções criadas,
Janela de Visualização
Barra de Menu
178
compartilhá-las, além de outras possibilidades que podem ser visualizadas na Figura 2, a
seguir.
Figura 2 – Janela de Configurações
Fonte: Elaborada pela autora.
179
APÊNDICE E - POLIEDROS DE PLATÃO
CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO
1. Ao abrir o software e selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Selecionar a ferramenta Ponto e fixar um ponto A e um ponto B no plano da janela
de visualização.
3. Selecionar a ferramenta Entrada , clicar no ícone do campo de entrada
e na opção .
4. Digitar a palavra “tetraedro”. Selecionar o nome “tetraedro” sugerido nos comandos e
indicar dois pontos (A, B) e clicar na tecla enter . Para neutralizar a
função “tetraedro”, clicar em Mover .
5. Para mudar a perspectiva de visualização do tetraedro basta tocá-lo na janela de
visualização e movimentá-lo em diversos sentidos.
PLANIFICAÇÃO
1. Clicar na ferramenta Gráficos .
2. Selecionar a ferramenta Planificação , clicar no sólido construído e em seguida,
clicar em Mover para neutralizar a função planificação.
3. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
ícone de reprodução do controle deslizante.
180
CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO, OCTAEDRO, DODECAEDRO E ICOSAEDRO.
1. Abrir o software e selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Selecionar a ferramenta Ponto e fixar um ponto A e um ponto B no plano.
3. Para construir os demais Poliedros de Platão é necessário repetir os mesmos comandos
utilizados na construção do tetraedro do Apêndice 3, observando-se os seguintes passos:
4. Selecionar a ferramenta Entrada
5. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
6. Clicar em ajuda para construir um comando digitando a palavra “hexaedro” ou “octaedro”
ou “dodecaedro” ou “icosaedro”. Selecionar o nome do comando sugerido e indicar dois
pontos (A, B). Clicar na tecla enter . Para neutralizar a função que construiu o poliedro,
clicar em Mover .
7. Para mudar a perspectiva de visualização do poliedro basta tocar na janela de visualização e
mover em diversos sentidos.
PLANIFICAÇÃO
1. Para planificar o poliedro basta clicar em Gráficos .
2. Clicar em Ferramentas Básicas.
2. Selecionar a ferramenta Planificação , clicar no sólido construído e em seguida,
clicar em Mover para neutralizar a função planificação.
4. Para abrir e fechar a planificação do poliedro, selecionar a ferramenta Entrada e clicar
no controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
181
APÊNDICE F - CONSTRUÇÃO DE UM CUBO
1. Ao abrir o software e selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Selecionar a ferramenta Ponto e clicar na janela de visualização para construir um
ponto A e um ponto B no plano.
3. Selecionar a ferramenta Cubo e clicar nos dois pontos criados anteriormente.
4. Selecionar a ferramenta Mover para evitar a construção de novos cubos. (Caso a
ferramenta não seja selecionada, ao tocar no plano da janela de visualização outros cubos
serão criados).
CUSTUMIZAÇÃO
1. Para inibir os vértices, clicar em MAIS da barra de ferramentas e rolar a até a ferramenta
até EDITAR, clicar em Exibir/Esconder , a seguir, tocar em todos os vértices que
deseja esconder e finalizar clicando na tecla Mover .
DIAGONAL
1. Selecionar Gráficos .
2. Rolar até Retas e Polígonos e selecionar Segmento .
3. Clicar em 2 vértices para traçar a diagonal.
PLANIFICAÇÃO
1. Clicar em Ferramentas Básicas.
2. Selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido construído.
3. Para neutralizar a função planificação, clicar em Mover .
4. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
ícone de reprodução do controle deslizante.
182
AREA
1. Selecionar a ferramenta Gráficos e rolar a barra de ferramentas até MEDIÇÕES.
2. Selecionar Área e clicar em uma das faces do sólido ou da planificação. Finalizar
clicando na ferramenta Mover . Com esse comando é possível visualizar a área de uma
das faces do cubo, na janela de visualização.
3. Para visualizar o valor da área do sólido é necessário clicar na ferramenta Entrada .
Logo abaixo do controle deslizante da planificação encontramos o valor da área total do
sólido construído.
VOLUME
1. Selecionar a ferramenta Gráficos e rolar a barra de ferramentas até MEDIÇÕES. 2.
Selecionar Volume , em seguida clicar no sólido para que seja calculado o seu
volume. Finalizar clicando na ferramenta Mover . Com esse comando é possível
visualizar o volume do cubo tanto na janela de visualização quanto na ferramenta Entrada
.
MEDIDA DA ARESTA
1. Para medir a aresta do cubo é necessário rolar a barra de ferramentas até Medições,
selecionar Distância, Comprimento .
2. Clicar em dois vértices (pontos) para visualizar a medida do comprimento do segmento
(aresta).
183
APÊNDICE G - CONSTRUÇÃO DE UM PARALELEPÍPEDO
1. Ao abrir o software e selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Selecionar a ferramenta Ponto e clicar na janela de visualização para construir os
pontos A, B, C e D, no plano.
3. Selecionar a ferramenta Polígono e clicar nos dois pontos A, B, C, D e A, criados
anteriormente.
4. Selecionar a ferramenta Mover para evitar a construção de novos sólidos.
5. Clicar na ferramenta Entrada para editar as coordenadas dos pontos para que a base
tenha um formato retangular. (Sugestão: A(0,-1,0), B(2,-1,0), C(2,0,0) e D(0,0,0))
6. Na ferramenta Entrada , digitar h = 5 para determinar o valor da altura do sólido e
clicar na tecla enter .
7. Para construção de um paralelepípedo digitar Prisma(Polígono(A,B,C,D),h) e clicar na
tecla enter . (Obs. Não utilizar espaço entre os caracteres para essa função).
PLANIFICAÇÃO
1. Em Ferramentas Básicas, selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido
construído. Para neutralizar a função planificação, clicar em Mover .
2. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
DIAGONAL
1. Selecionar Gráficos .
2. Rolar até Retas e Polígonos e selecionar Segmento
3. Clicar em 2 vértices para traçar a diagonal.
184
APÊNDICE H - CONSTRUÇÃO DE PRISMA REGULAR CUJA BASE É UM
POLÍGONO DE 3 LADOS
1. Ao abrir o software, clicar na ferramenta Entrada .
2. Digitar N=ControleDeslizante(3,3,1). (Obs.: não utilizar espaço entre os caracteres) e clicar
na tecla enter .
3. Digitar R = 2 e clicar na tecla enter .
4. Digitar h = 5 para determinar o valor da altura do sólido e clicar na tecla enter .
5. Digitar base=Polígono(Sequência(Girar((R,0,0),2 pi i/N,EixoZ),i,0,N-1)) e clicar na tecla
enter . (Obs.: não utilizar espaço entre os caracteres, exceto entre 2 e pi e entre pi e i) e
clicar na tecla enter .
6. Digitar Prisma(base,h) e clicar na tecla enter . (Obs. Em nenhuma das funções acima
deve ser utilizado espaço entre os caracteres, salvo obs. item 5.).
BASE
1. Para modificar o comprimento da aresta base do sólido basta clicar no controle deslizante R
em seu ícone de reprodução .
ALTURA
1. Para modificar a altura do sólido, basta clicar no controle deslizante h em seu ícone de
reprodução .
PLANIFICAÇÃO
1. Em Ferramentas Básicas, selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido
construído. Para neutralizar a função planificação, clicar em Mover .
2. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
185
CONSTRUÇÃO DE UM PRISMA REGULAR CUJA BASE É UM POLÍGONO DE 4,
5, ... , n LADOS
1. Ao abrir o software, clicar na ferramenta Entrada .
2. Digitar N=ControleDeslizante(4,4,1) ou (5,5,1) ou (n,n,1). (Obs.: não utilizar espaço entre
os caracteres) e clicar na tecla enter .
3. Digitar R = 2 e clicar na tecla enter .
4. Digitar h = 5 para determinar o valor da altura do sólido e clicar na tecla enter .
5. Digitar base=Polígono(Sequência(Girar((R,0,0),2 pi i/N,EixoZ),i,0,N-1)) e clicar na tecla
enter . (Obs.: não utilizar espaço entre os caracteres, exceto entre 2 e pi e entre pi e i) e
clicar na tecla enter .
6. Digitar Prisma(base,h) e clicar na tecla enter . (Obs. Em nenhuma das funções acima
deve ser utilizado espaço entre os caracteres, salvo obs. item 5.).
BASE
1. Para modificar o comprimento da aresta base do sólido basta clicar no controle deslizante R
em seu ícone de reprodução .
ALTURA
1. Para modificar a altura do sólido, basta clicar no controle deslizante h em seu ícone de
reprodução .
PLANIFICAÇÃO
1. Em Ferramentas Básicas, selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido
construído. Para neutralizar a função planificação, clicar em Mover .
2. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
186
CONSTRUÇÃO DE UM PRISMA REGULAR CUJA BASE É UM POLÍGONO DE N
LADOS
1. Ao abrir o software, selecionar Entrada .
2. Digitar N=ControleDeslizante(3,20,1). (Obs.: não utilizar espaço entre os caracteres) e
clicar na tecla enter .
3. Digitar R = 2 e clicar na tecla enter .
4. Digitar h = 5 para determinar o valor da altura do sólido e clicar na tecla enter .
5. Digitar base=Polígono(Sequência(Girar((R,0,0),2 pi i/N,EixoZ),i,0,N-1)) e clicar na tecla
enter . (Obs.: não utilizar espaço entre os caracteres, exceto entre 2 e pi e entre pi e i) e
clicar na tecla enter .
6. Digitar Prisma(base,h) e clicar na tecla enter . (Obs. Em nenhuma das funções acima
deve ser utilizado espaço entre os caracteres, salvo obs. item 5.).
BASE
1. Para modificar o número de lados da base do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e
clicar no controle deslizante N em seu ícone de reprodução .
2. Para modificar o comprimento da aresta base do sólido basta clicar no controle deslizante R
em seu ícone de reprodução .
ALTURA
1. Para modificar a altura do sólido, basta clicar no controle deslizante h em seu ícone de
reprodução .
187
PLANIFICAÇÃO
1. Em Ferramentas Básicas, selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido
construído. Para neutralizar a função planificação, clicar em Mover .
2. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
188
APÊNDICE I - CONSTRUÇÃO DE UMA PIRÂMIDE CUJA BASE É UM
POLÍGONO REGULAR
1. Ao abrir o software, selecionar na ferramenta Gráficos .
2. Rolar as ferramentas até Retas e Polígonos e selecionar Polígono Regular .
3. Clicar no Plano da janela de visualização em dois pontos distintos; Ao abrir a janela
deverá digitar a quantidade de vértices do polígono da base e clicar em ok.
4. Selecionar a ferramenta Entrada .
5. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
6. Em ajuda digitar a palavra “CentroDeGravidade”, selecionar o nome sugerido e clicar na
tecla enter .
7. Nos parênteses do campo de entrada CentrodeGravidade( ) digitar “pol1” e clicar na
tecla enter .
8. Selecionar a ferramenta Gráficos .
9. Rolar as ferramentas até Sólidos e selecionar Fazer extrusão para Pirâmide.
10. Clicar no Polígono da base da janela de visualização e poderá abrir uma janela
onde deverá ser digitada a altura da pirâmide que se deseja construir. Em seguida
clicar em ok.
11. Caso não seja solicitada a altura, clicar em Mover e em seguida, clicar no ponto que
se encontra no centro da base e movimentá-lo no sentido do eixo z para fixar a altura da
pirâmide.
12. Para mudar a perspectiva de visualização do poliedro basta tocar na janela de visualização
e mover em diversos sentidos.
189
CUSTUMIZAÇÃO
1. Para inibir os eixos, clicar em Configurações , em e desativar a função
.
2. Para inibir o plano, clicar em Configurações , em e desativar a função
ALTURA
1. Selecionar a ferramenta Entrada .
2. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
3. Em ajuda digitar a palavra “Segmento”, selecionar o nome sugerido e clicar na tecla enter
.
4. Nos parênteses do campo de entrada “Segmento()” deverá ser digitado os pontos que
correspondem ao centro de gravidade e a altura da pirâmide. Se pirâmide tiver base
triangular, os pontos que deverão ser digitados serão (D,E); se pirâmide tiver base
quadrangular, os pontos que deverão ser digitados serão (E,F); e assim sucessivamente. Para
tanto, é necessário observar os pontos que se encontram na janela de visualização. Em
seguida, clicar na tecla enter .
APÓTEMA LATERAL
1. Selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Rolar até a ferramenta Pontos e selecionar Ponto Médio.
3. Clicar nos pontos A e B da base do polígono, obtendo-se um novo ponto.
4. Selecionar a ferramenta Entrada .
5. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
3. Em ajuda digitar a palavra “Segmento”, selecionar o nome sugerido e clicar na tecla enter
190
.
4. Nos parênteses do campo de entrada “Segmento()” deverá ser digitado os pontos que
correspondem ao ponto médio e a altura da pirâmide. Se pirâmide tiver base triangular, os
pontos que deverão ser digitados serão (G,E); se pirâmide tiver base quadrangular, os pontos
que deverão ser digitados serão (E,H); e assim sucessivamente. Para tanto, é necessário
observar os pontos que se encontram na janela de visualização. Clicar na tecla enter .
APÓTEMA DA BASE
1. Selecionar a ferramenta Entrada .
2. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
3. Em ajuda digitar a palavra “Segmento”, selecionar o nome sugerido e clicar na tecla enter
.
4. Nos parênteses do campo de entrada “Segmento()” deverá ser digitado os pontos que
correspondem ao centro de gravidade e o ponto médio determinado na etapa anterior. Se
pirâmide tiver base triangular, os pontos que deverão ser digitados serão (E, F); se pirâmide
tiver base quadrangular, os pontos que deverão ser digitados serão (E,G); e assim
sucessivamente. Para tanto, é necessário observar os pontos que se encontram na janela de
visualização. Clicar na tecla enter .
TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Selecionar a ferramenta Entrada .
2. Clicar no ícone do campo de entrada e na opção .
3. Em ajuda digitar a palavra “Polígono”, selecionar o nome sugerido e clicar na tecla enter
.
4. Nos parênteses do campo de entrada “Poligono()” deverá ser digitado os pontos
191
referentes à altura, centro de gravidade e ponto médio da aresta da base da pirâmide.
Exemplo: “Polígono(E,F,G)” e clicar na tecla enter .
PLANIFICAÇÃO
1. Selecionar a ferramenta Gráficos .
2. Em Ferramentas Básicas, selecionar a ferramenta Planificação e clicar no sólido
construído, em seguida, clicar em Mover para neutralizar a função planificação.
2. Para abrir e fechar a planificação do sólido, selecionar a ferramenta Entrada e clicar no
controle deslizante b em seu ícone de reprodução .
CUSTUMIZAÇÃO
1. Para inibir a Pirâmide em seu formato tridimensional, clicar na ferramenta Entrada e
desmarcar a bolinha e obtém-se a imagem:
192
ANEXO A – REGISTROS DA ETAPA FORMATIVA COM OS PROFESSORES
PESQUISADOS
Encontro 02 - Observação da aula inicial dos professores Delta e Sigma
Observação aula – professor Delta
Observação aula – professor Sigma
Fonte: Acervo da autora.
Encontro 03 - Entrevistas com os professores Delta e Sigma
Fonte: Acervo da autora.
193
Encontro 04 - Estudos teóricos direcionados à temática “conhecimentos”
Fonte: Acervo da autora.
Encontro 05 - Discussão sobre o ensino da Geometria Espacial no Brasil
Fonte: Acervo da autora.
Encontro 06 - Uso do software GeoGebra entre pesquisador e professores pesquisados
Fonte: Acervo da autora.
194
Encontro 07 - Uso do software GeoGebra entre pesquisador e professores pesquisados
Fonte: Acervo da autora.
Encontro 08 - Observação de aula prática desenvolvida pelos professores Delta e Sigma
Aula prática – professor Delta
Aula prática – professor Sigma
Fonte: Acervo da autora.
195
Encontro 09 - Sessões Reflexivas com os professores Delta, Sigma e Ômega
Fonte: Acervo da autora.