universidade estadual de maringá centro de tecnologia ... · 2.6.7 método de ensaio ... 14 3.3...

Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Civil

Prof. João Dirceu N. Carvalho

Agosto/2002

Critério de avaliação: 1) Ao longo do ano serão atribuídas quatro notas bimestrais:

• MB1 - Média bimestral 01 - Prova 01 • MB2 - Média bimestral 02 - (0,8 x Prova 02) + (0,2 x Projeto 01) • MB3 - Média bimestral 03 - Prova 03 • MB4 – Média bimestral. 04 - (0,8 x Prova 04) + (0,2 x Projeto 02)

• Média das Notas Bimestral: MNB = ¼ (MB1 + MB2 + MB3 + MB4) Obs. Os projetos deverão ser entregues completos para a avaliação. A primeira parte refere-se a lajes e a segunda a vigas. 2) As Provas serão com consulta exclusivamente às apostilas de notas de aula. Não será

permitido consulta a qualquer outro tipo de material.

Data Nota Data Nota Prova 1 __/__ Prova 3 __/__ Prova 2 __/__ Prova 4 __/__ Projeto 1 __/__ Projeto 2 __/__

3) O conteúdo da matéria é simples, porém: • os tópicos abordados sempre dependem dos anteriores (são seqüenciais), motivo pelo qual

não se deve perder as aulas ou começar um novo assunto com dúvidas do anterior. • Para agravar, há um elevado número de detalhes de dispositivos de norma, de

detalhamento etc. Se a matéria não for “levada em dia”, no final, complica. • O projeto será iniciado no meio do primeiro semestre, portanto com tempo mais do que

suficiente para a sua execução. Em princípio são trabalhos individuais, admitindo-se equipes de no máximo 2 acadêmicos, porém, uma vez formada a equipe para o projeto, no caso de desistência de um dos componentes, o outro deverá termina-lo individualmente.

Bem vindos ao curso de Estruturas em Concreto I e um bom aproveitamento. Maringá, Agosto de 2002 Prof. João Dirceu Nogueira Carvalho

A

Sumário Revisada em agosto/2002

1 Bibliografias e Normas Recomendadas........................................................................1

1.1 Livros Recomendados...........................................................................................1

1.2 ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas............................................1

2 Normas – o que são, para que servem. .........................................................................4

2.1 O que é normalização............................................................................................4

2.2 Normas..................................................................................................................4

2.2.1 Associações internacionais............................................................................4

2.2.2 Associações nacionais ...................................................................................5

2.3 Normas para setores específicos ...........................................................................5

2.4 Normas internas ou normas de empresa ...............................................................6

2.5 Normalização no Brasil ........................................................................................6

2.5.1 Atual modelo de normalização......................................................................7

2.5.2 Alguns comitês da ABNT: ............................................................................7

2.6 Tipos de Normas elaboradas pela ABNT .............................................................8

2.6.1 Procedimento.................................................................................................8

2.6.2 Especificação.................................................................................................8

2.6.3 Padronização .................................................................................................8

2.6.4 Simbologia ....................................................................................................8

2.6.5 Terminologia .................................................................................................8

2.6.6 Classificação..................................................................................................9

2.6.7 Método de ensaio ..........................................................................................9

2.7 Utilização de normas de outros países..................................................................9

2.8 Atuais objetivos da normalização .........................................................................9

2.8.1 Simplificação...............................................................................................10

2.8.2 Comunicação...............................................................................................10

2.8.3 Economia global..........................................................................................11

2.8.4 Segurança ....................................................................................................11

2.8.5 Interesse do consumidor..............................................................................12

B

2.9 A ABNT..............................................................................................................12

3 Sistema Internacional de Unidades ............................................................................13

3.1 Histórico .............................................................................................................13

3.2 Unidades Derivadas ............................................................................................13

3.2.1 Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base ...................14

3.2.2 Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais.................................14

3.2.3 Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais .............14

3.3 Unidades Suplementares.....................................................................................14

3.4 Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI...........................................14

3.5 Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional.........................................15

4 Notação.......................................................................................................................16

NBR 6118 – item 2.3 Notações.....................................................................................16

5 Solicitações.................................................................................................................21

5.1 Definições da NBR 6118....................................................................................21

6 Estruturas de Concreto Armado .................................................................................29

6.1 Introdução ...........................................................................................................29

6.1.1 Estruturas de Concreto Armado..................................................................29

6.1.2 O Projeto Estrutural ....................................................................................32

6.1.3 O Anteprojeto..............................................................................................32

6.1.4 O Projeto .....................................................................................................33

6.1.5 A Apresentação do Projeto - NBR 7191 e NBR 5984................................34

7 LAJES ........................................................................................................................41

7.1 Introdução ...........................................................................................................41

7.2 Classificação .......................................................................................................41

7.3 Lajes Armadas em Duas Direções......................................................................42

7.3.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas.............................................42

7.3.2 Determinação dos Momentos Fletores........................................................45

7.3.2.1 Processo de Marcus ....................................................................................... 45

7.3.3 Determinação das Reações de Apoio..........................................................49

7.4 Lajes Armadas em Uma Direção........................................................................55

7.4.1 Determinação dos esforços .........................................................................56

7.5 A altura e a altura útil .........................................................................................58

7.6 Proteção da Armadura ........................................................................................60

7.7 Altura Útil e Espessuras Mínimas ......................................................................64

C

7.8 Carga de paredes. Cargas não uniformemente distribuídas................................69

7.8.1 Lajes Armadas em uma direção ..................................................................69

7.8.2 Lajes Armadas em duas direções ................................................................73

7.9 Vão teórico de lajes - (NBR-6118-item 3.3.2.3.) ...............................................73

7.10 Extensão e qualidade dos apoios. .....................................................................73

7.11 Abertura em lajes - NBR 6118 - item 6.2.1. .....................................................73

7.12 Canalizações embutidas ....................................................................................74

7.13 Apoios sobre alvenaria - NBR-6118 - item 6.1.1.2. .........................................74

8 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. ............................................75

8.1 Dispositivos auxiliares de cálculo.......................................................................75

8.2 Determinação dos esforços. ................................................................................76

8.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados) ..........................82

8.2.2 Compensação dos momentos fletores .........................................................83

8.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................84

8.3.1 Distribuição das armaduras de flexão .........................................................85

8.3.1.1 Armaduras Positivas.......................................................................................85

8.3.1.2 Armaduras negativas. .....................................................................................85

8.3.1.3 Observações complementares: .......................................................................86

8.3.1.4 diâmetro das barras - NBR 6118 - 6.3.1.1 Lajes ............................................88

8.3.1.5 Espaçamento das barras - NBR 6118 - 6.3.2..................................................88

9 Detalhes de Formas e armação de lajes. .....................................................................89

10 Um pouco sobre a patologia das lajes ......................................................................91

11 Anexo 1 - Tabela de ferros .......................................................................................93

12 Anexo 2 - Tabela de Ferros - Armaduras usuais em edifícios .................................94

13 Anexo 3 - Momentos de Engastamento Perfeito......................................................96

Estruturas em Concreto I

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1 Bibliografias e Normas Recomendadas

1.1 Livros Recomendados

Nilo de Andrade Amaral Construções de Concreto - Volumes 1 e 2 Pericles Brasiliense Fusco Fundamentos do Projeto Estrutural Fundamentos da Técnica de Armar Estr. de Concreto - Solicitações Normais Fritz Leonhardt - E. Monnig Construções de Concreto - Vol. 1 a 6 Jimenez P. Montoya - Meseguer Hormigon Armado - Vol. 1 e 2 Walter Pfeil Concreto Armado - Dimensionamento Adolpho Polillo Dimensionamento de Concreto Armado Aderson Moreira da Rocha Curso de Concreto Armado Lauro Modesto dos Santos Calculo de Concreto Armado Marcelo da Cunha Moraes Concreto Armado José Carlos Sussekind Curso de Concreto - Volumes 1 e 2

1.2 ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas

NBR 6118 Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado NBR 6119 Calculo e Execução de Lajes Mistas NBR 6120 Cargas Para o Calculo de Estruturas de Edifícios NBR 7191 Execução de Desenhos para Obras de Concreto Armado NBR 7480 Barras e Fios de Aço Destinadas a Armaduras de Concreto

Armado NBR 7481 Tela de Aço Soldado Para Armadura de Concreto NBR 7808 Símbolos Gráficos para Projetos de Estrutura NBR 5984 Norma Geral de Desenho Técnico

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Outras normas da ABNT – Estruturas e concreto NBR- Barra para Concreto Armado - Verificação de Emenda Metálicas. NBR-05627 Exigências Particulares das Obras de Concreto Armado e Protendido

em Relação à Resistência ao Fogo. NBR-05628 Componente Construtivo Estrutural-Determinação da Resistência ao

Fogo. NBR-05672 Diretrizes para o Controle Tecnológico de Materiais Destinados a

Estruturas de Concreto. NBR-05673 Diretrizes para o Controle Tecnológico de Processos executivos em

Estruturas de Concreto. NBR-05738 Moldagem e Cura de Corpos-de-prova de Concreto Cilíndricos ou

Prismáticos. NBR-05739 Ensaio de Compressão de Corpos-de-prova Cilíndricos de Concreto. NBR-05750 Amostragem de Concreto Fresco Produzido por Betoneiras

Estacionárias. NBR-07187 Projeto e Execução de Pontes de Concreto Armado e Protendido. NBR-07188 Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de Pedestres. NB-06 NBR-07189 Cargas Móveis para Projeto Estrutural de Obras Ferroviárias. NBR-07197 Projeto de Estruturas de Concreto Protendido. NBR-07212 Execução de Concreto Dosado em Central. NBR-07223 Concreto - Determinação da Consistência pelo Abatimento do Tronco

de Cone. NBR-07421 Ponte Viaduto Ferroviário – Fundação - Execução. NBR-07482 Fios de Aço para Concreto Protendido. NBR-07483 Cordoalhas de Aço para Concreto Protendido. NBR-07680 Extração, Preparo, Ensaio e Análise de Testemunhos de Estruturas de

Concreto. NBR-08045 Concreto - Determinação da Resistência Acelerada à Compressão -

Método da Água em Ebulição. NBR-08196 Emprego de Escalas em Desenho Técnico. NBR-08224 Concreto Endurecido - Determinação da Fluência. NBR-08522 Concreto - Determinação do Módulo de Deformação Estática e

Diagrama Tensão-deformação. NBR-08681 Ações e Segurança nas Estruturas. NBR-08802 Concreto Endurecido - Determinação da Velocidade de Propagação de

Onda Ultra-sónica. NBR-08953 Concreto para Fins Estruturais - Classificação por Grupos de

Resistência. NBR-09062 Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Pré-Moldado. NBR-09204 Concreto Endurecido -Determinação da Resistividade Elétrica

Volumétrica. NBR-09452 Vistorias de Pontes e Viadutos de Concreto. NBR-09605 Concreto – Reconstituição do Traço de Concreto Fresco. NBR-09606 Concreto - Determinação da Consistência pelo Espalhamento do

Tronco de Cone. NBR-09607 Prova de Carga em Estrutura de Concreto Armado e Protendido.


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NBR-09782 Ações em Estruturas Portuárias, Marítimas ou Fluviais. NBR-09832 Concreto e Argamassa - Determinação dos Tempos de Pega por Meio

da Resistência a Penetração. NBR-09833 Concreto Fresco - Determinação da Massa Especifica e do Teor de Ar

pelo Método Gravimétrico. NBR-10342 Concreto Fresco - Perda de Abatimento. NBR-10786 Concreto Endurecido -Determinação do Coeficiente de Permeabilidade

à Água. NBR-10787 Concreto Endurecido- Determinação da Penetração de Água sob

Pressão. NBR-10788 Execução da Injeção em Concreto Protendido com Aderência

Posterior. NBR-10789 Execução da Protensão em Concreto Pretendido com Aderência

Posterior. NBR-10839 Execução de Obras de Arte Especiais em Concreto Armado e Concreto

Pretendido. NBR-12142 Concreto - Determinação da Resistência à Tração ma Flexão em

Corpos-de-prova Prismáticos - Método de Ensaio. NBR-12654 Controle Tecnológico de Materiais Componentes do Concreto. NBR-12655 Preparo, Controle e Recebimento de Concreto - Procedimento.

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2 Normas – o que são, para que servem.1

Por volta de 1839, o inglês Joseph Whitworth realizou um importante estudo, com o propósito de padronizar os perfis das roscas de fixação. Com a introdução da padronização, todos os elementos que compõem uma rosca: o passo, os raios, a altura e os ângulos do filete passaram a seguir os padrões estabelecidos por Whitworth. A padronização proposta por Whitworth logo se tornou conhecida na Inglaterra, sendo adotada, também, por indústrias de outros países. Desde então, cada país procurou estabelecer seu próprio padrão de rosca em função de suas unidades de medidas.

2.1 O que é normalização

Normalização são critérios estabelecidos entre as partes interessadas -técnicos, engenheiros, fabricantes, consumidores e instituições - para padronizar produtos, simplificar processos produtivos e garantir um produto confiável, que atenda a suas necessidades.

2.2 Normas

Do processo de normalização, surgem as normas que são documentos que contêm informações técnicas para uso de fabricantes e consumidores. São elaboradas a partir da experiência acumulada na indústria e no uso e a partir dos conhecimentos tecnológicos alcançados. A partir de 1900, surgem várias associações destinadas à elaboração de normas, reunindo produtores, consumidores e organismos neutros (instituições de pesquisa, universidades etc.), reunindo técnicos, engenheiros e fabricantes. Em 1901, surge na Inglaterra a primeira associação de normalização com o nome de Comissão de Normas de Engenharia, conhecida, hoje, como BSI - British Standards Institution (Instituto Britânico de Normalização).

2.2.1 Associações internacionais

As associações internacionais dedicam-se à elaboração de normas que são consideradas válidas para diversos países do mundo. Qual a importância dessas normas? Normas internacionais permitem que diferentes países utilizem a mesma terminologia, a mesma simbologia, os mesmos padrões e procedimentos para produzir, avaliar e garantir a qualidade dos produtos.

1 © 1998 A Escola do Futuro da Universidade de São Paulo - A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro - http://www.bibvirt.futuro.usp.br


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Por isso, a adoção das normas internacionais, além de exigir melhor qualificação dos produtos, aperfeiçoa o sistema de “troca”, em vários mercados mundiais. Uma destas normas é a ISO. ISO - International Organization for Standardization. (Organização Internacional de Normalização) - Fundada em 1946. A ISO reúne atualmente representantes de mais de cem países, entre eles o Brasil. As normas da ISO atingem vários setores produtivos, como por exemplo:

mecânica agricultura transporte química construção civil qualidade e meio ambiente disjuntores termomagnéticos

2.2.2 Associações nacionais

As normas elaboradas pelas associações nacionais contam com a colaboração de técnicos e engenheiros que representam fabricantes, distribuidores, institutos de pesquisa, entidades profissionais e órgãos do governo. Veja alguns exemplos de associações nacionais de normalização.

Brasil ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas Estados Unidos ANSI American National Standards Institute

(Instituto Nacional Americano de Normalização) Alemanha DIN Deutsches Institut für Normung

(Instituto Alemão para Normalização) Japão JIS Japan Industry Standards

(Normas Industriais Japonesas) Inglaterra BSI British Standards Institution

(Instituto Britânico de Normalização) França AFNOR Association Française de Normalization

(Associação Francesa de Normalização) Suíça SNV Schweizerische Normen Vereinigung

(Associação Suíça de Normalização)

2.3 Normas para setores específicos

Além das associações nacionais, existem também associações de normalização que atuam em áreas específicas do setor produtivo. Algumas das associações mais importantes são:

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ASME American Society of Mechanical Engineers (Sociedade Americana dos Engenheiros Mecânicos)

ASM American Society for Metals (Sociedade Americana para Metais)

AISI American Iron and Steel Institute (Instituto Americano para Aço e Ferro)

ASTM American Society for Testing Materials (Sociedade Americana para Testes de Materiais)

SAE Society of Automotive Engineers (Sociedade dos Engenheiros de Automóveis)

VSM Societé Suisse des Constructeurs des Machines (Sociedade Suíça dos Construtores de Máquinas)

2.4 Normas internas ou normas de empresa

Algumas normas são elaboradas pelas próprias empresas. Têm por objetivo orientar a elaboração de projetos e de seus componentes; a realização dos processos de fabricação, a organização dos sistemas de compra e venda e outras operações de interesse da empresa. Embora de uso interno, as normas de empresa algumas vezes são utilizadas de maneira mais ampla. As Normas da Petrobrás, por exemplo, além do uso específico pela empresa, também são seguidas por suas fornecedoras.

2.5 Normalização no Brasil

ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas A ABNT foi fundada em 1940, por iniciativa particular de um grupo de técnicos e engenheiros, sendo a primeira entidade a disseminar normas técnicas no Brasil. Em 1962, reconhecida como entidade de utilidade pública, pela Lei Federal nº 4050. Em 1973, foi criado o Sistema Nacional de Metrologia e Qualidade Industrial - SINMETRO, pela Lei Federal nº 5966. Os grandes objetivos do SINMETRO são a defesa do consumidor, a conquista e a manutenção do mercado externo e a racionalização da produção industrial, com a compatibilidade de todos os interesses. Fazem parte do SINMETRO o Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - CONMETRO e o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - INMETRO. Até há bem pouco tempo, as normas elaboradas, aprovadas e registradas na ABNT recebiam o seguinte registro:2

2 Essas mesmas normas, ao serem registradas no INMETRO, recebiam a sigla NBR. Por exemplo: a norma Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado era registrada na ABNT como NB-1, e no INMETRO como NBR 6118.


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CB para Normas de Classificação NB para Normas de Procedimento EB para Normas de Especificação PB para Normas de Padronização MB para Normas de Método de Ensaio SB para Normas de Simbologia

2.5.1 Atual modelo de normalização

O atual modelo de normalização foi implantado a partir de 1992, com o intuito de descentralizar e agilizar a elaboração de normas técnicas. Nesse ano foram criados o Comitê Nacional de Normalização - CNN e o Organismo de Normalização Setorial - ONS. Criado a partir de acordo firmado entre a ABNT e o CONMETRO, e com a colaboração de várias entidades voltadas para a disseminação de normas técnicas, o CNN busca estruturar todo o sistema de normalização. O CNN define a ABNT como Foro Nacional de Normalização, entidade privada, sem fins lucrativos, à qual compete coordenar , orientar e supervisionar o processo de elaboração de normas brasileiras, bem como elaborar, editar e registrar as referidas normas (NBR). Cada ONS tem como objetivo agilizar a produção de normas específicas de seus setores. Para que os ONS passem a elaborar normas de âmbito nacional, devem ser credenciados e supervisionados pela própria ABNT. O atual modelo define, por meio de diretrizes e instruções das associações internacionais de normalização (ISO e IEC), que as normas brasileiras devem ser feitas, de preferência, utilizando-se a forma e o conteúdo das normas internacionais, acrescentando-lhes, quando preciso, as particularidades do mercado nacional. Com isso, será muito comum que as normas brasileiras sejam registradas como NBR ISO, com numeração seqüêncial da ISO. Por exemplo, NBR ISO 8402. A ABNT, no atual modelo, manteve sua estrutura interna em relação aos Comitês Brasileiros - CB e aos tipos de normas elaboradas (classificação, especificação, método de ensaio, padronização, procedimento, simbologia e terminologia).

2.5.2 Alguns comitês da ABNT:

CB 02 CONSTRUÇÃO CIVIL CB 03 ELETRICIDADE CB 04 MÁQUINAS E EQUIPAMENTOS MECÂNICOS CB 06 EQUIPAMENTO E MATERIAL FERROVIÁRIO CB 16 TRANSPORTE E TRÁFEGO CB 18 CIMENTO, CONCRETO E AGREGADOS CB 19 REFRATÁRIOS CB 24 SEGURANÇA CONTRA INCÊNDIO CB 25 QUALIDADE

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2.6 Tipos de Normas elaboradas pela ABNT

As Normas elaboradas pela ABNT classificam-se em sete tipos:

• Procedimento • Simbologia • Especificação • Classificação • Padronização • Método de ensaio • Terminologia

2.6.1 Procedimento

As normas de procedimento orientam a maneira correta de: empregar materiais e produtos executar cálculos e projetos instalar máquinas e equipamentos realizar o controle dos produtos.

2.6.2 Especificação

As normas relativas à especificação fixam padrões mínimos de qualidade para os produtos.

2.6.3 Padronização

As normas de padronização fixam formas, dimensões e tipos de produtos, como porcas, parafusos, rebites, pinos e engrenagens, que são utilizados com muita freqüência na construção de máquinas, equipamentos e dispositivos mecânicos. Com a padronização, evita-se a fabricação de produtos com variedades desnecessárias tanto de formas quanto de dimensões.

2.6.4 Simbologia

As normas de simbologia estabelecem convenções gráficas para conceitos, grandezas, sistemas, ou parte de sistemas etc., com a finalidade de representar esquemas de montagem, circuitos, componentes de circuitos, fluxogramas etc. A Norma NBR 6646, por exemplo, estabelece os símbolos que devem ser aplicados na identificação dos perfis do aço.

2.6.5 Terminologia

As normas sobre terminologia definem, com precisão, os termos técnicos aplicados a


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materiais, máquinas, peças e outros artigos. A Norma NBR 6176, por exemplo, define os termos empregados para identificação das partes das brocas helicoidais.

2.6.6 Classificação

As normas de classificação têm por finalidade ordenar, distribuir ou sub- dividir conceitos ou objetos, bem como critérios a serem adotados. A Norma NBR 8643, por exemplo, classifica os produtos siderúrgicos de aço.

2.6.7 Método de ensaio

As normas relacionadas a métodos de ensaios determinam a maneira de se verificar a qualidade das matérias-primas e dos produtos manufaturados. A verificação é feita por meio de ensaios. A norma descreve como eles devem ser realizados para a obtenção de resultados confiáveis. Portanto, pode-se concluir que: os produtos fabricados são submetidos a ensaios para verificar se as suas propriedades estão de acordo com as especificações desejadas; as máquinas que realizam os ensaios também são testadas para se obter dados corretos durante os testes; as normas orientam a fabricação dos produtos e os ensaios a que são submetidos para garantir as condições de obtenção de qualidade e eficiência.

2.7 Utilização de normas de outros países

Freqüentemente, indústrias brasileiras e multinacionais adotam as normas norte-americanas ASTM (para teste de materiais), SAE (para automóveis) e AISI (para aço e ferro) para especificação, classificação e ensaios de materiais. Quanto à fabricação de máquinas e componentes mecânicos, são bastante difundidas no Brasil as Normas DIN, da Alemanha. A ABNT, além de elaborar normas, adota algumas internacionais. Exemplo disso são as normas da série ISO 9000. As normas da série ISO 9000 são muito importantes, pois estabelecem diretrizes e procedimentos para que as empresas possam garantir a qualidade total de seus produtos e serviços, obtendo, assim, condições de competir no exigente mercado internacional.

2.8 Atuais objetivos da normalização

Pode-se dizer que a primeira fase da normalização, por volta de 1900 até os anos 80, concentrou seus esforços na criação de normas que visavam à especificação e à definição de produtos industriais, agrícolas e outros. Nessa fase, as normas incluíam itens como formas e tamanhos de barras de aço, perfis

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e dimensões de parafusos, porcas, mancais e inúmeras outras peças. Portanto, nesse período, a maior atenção da normalização voltava-se para a padronização de peças utilizadas na construção de máquinas e equipamentos. Hoje, as normas, além dos produtos em si, abrangem um universo bem maior de temas. Esses temas, chamados de teóricos, tratam de questões relativas a terminologias, glossários de termos técnicos, símbolos, regulamentos de segurança, entre outros. O aparecimento de normas específicas para temas dessa natureza é que caracteriza a segunda fase da normalização. Tanto no campo industrial quanto na relação entre fabricantes e consumidores, a Normalização deve cumprir, hoje, objetivos relacionados a:

• simplificação;

• comunicação;

• economia global;

• segurança, saúde e proteção da vida;

• proteção do consumidor e dos interesses da sociedade.

2.8.1 Simplificação

Um dos mais importantes objetivos da normalização refere-se à simplificação, ou seja, à limitação e redução da fabricação de variedades desnecessárias de um produto. A fabricação de parafusos e porcas constitui um exemplo clássico do emprego de normas para simplificação dos processos de produção. As normas permitem que os fabricantes de parafusos e porcas produzam um grande lote de peças suficientemente iguais, em tamanho, forma e desempenho. Além disso, a padronização possibilita que as peças sejam substituídas com maior facilidade e com a mesma eficiência. Essa característica é denominada intercambiabilidade. A Norma NBR 6215 é um exemplo de simplificação dos produtos pelo uso de uma Norma. Ela fixa a terminologia a ser aplicada aos produtos siderúrgicos. Por seu intermédio, fabricantes e consumidores utilizam uma linguagem comum para uma série de termos técnicos, evitando confusões nos pedidos, nas especificações e nos estoques.

2.8.2 Comunicação

A comunicação é fundamental em qualquer atividade do ser humano. Também nos meios produtivos, a comunicação clara e objetiva é indispensável para evitar transtornos. Uma das funções das normas é facilitar o processo de comunicação entre fabricantes, fornecedores e consumidores. Veja o exemplo: na fabricação de um motor para automóvel, o fabricante do motor utiliza produtos fornecidos por outras indústrias. O bloco do motor, geralmente, é encomendado a uma empresa especializada em fundição. Essa encomenda, por sua


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vez, se baseia num conjunto de normas, tais como:

• dimensões e tolerâncias;

• composição química do material empregado na fabricação do bloco;

• métodos de ensaio para avaliação do produto. O comércio internacional é outro exemplo do emprego de normas como meio de comunicação, principalmente nas negociações realizadas entre países de diferentes idiomas. Por meio de normas, é possível estabelecer uma linguagem comum, usando símbolos e códigos reconhecidos no mundo inteiro. Os símbolos recomendados pela Norma ISO são reconhecidos e utilizados mundialmente, permitindo uma comunicação universal entre fabricantes e consumidores na aplicação em desenhos técnicos. Outro exemplo é o da aplicação da simbologia de letras e gráficos recomendados internacionalmente pela IEC, na área da eletricidade. Você já viu uma placa de identificação utilizada em motores elétricos? Em qualquer país, os códigos IEC para motores elétricos possuem o mesmo significado, facilitando a comunicação entre usuários.

2.8.3 Economia global

Dificilmente um fabricante conseguirá exportar seu produto, se não basear seu sistema produtivo em normas técnicas internacionais. Se, numa fase inicial, a implantação de normas exige investimentos por parte do fabricante, certamente o retorno lhe será garantido, pois racionalizam os procedimentos de produção e garantem produtos com melhor nível de qualidade. Um produto com melhor qualidade deixa o cliente satisfeito e, conseqüentemente, proporciona maior confiabilidade do produto.

2.8.4 Segurança

Diversas normas tem por objetivo proteger a saúde e a vida humana. São as chamadas normas de segurança. Tais normas estão à frente de projetos de novos produtos, com o objetivo de dar segurança aos usuários. Exemplos disso são:

• cinto de segurança para usuários de veículos automotores;

• veículos automotores que não são acionados se o usuário não estiver usando o cinto corretamente;

• capacete de segurança;

• extintores de incêndio;

• chuveiros elétricos com carcaça isolante;

• fios elétricos envolvidos por camada isolante (anti-chama).

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Os símbolos apresentados pela Norma NBR 7532 permitem ao usuário escolher corretamente a classe de extintor para cada tipo de material em chamas.

Além das Normas de segurança específicas para determinados produtos, existe uma série de normas que determinam os regulamentos contra incêndios, que devem ser seguidos na construção de edifícios.

2.8.5 Interesse do consumidor

No relacionamento fabricante-consumidor, o consumidor é a parte que mais se beneficia dos produtos normalizados. Quanto maior o número de normas implantadas para se fabricar um produto qualquer, maior a qualidade do produto e, portanto, maior a confiança do consumidor. O comércio internacional tem voltado sua atenção para o cliente. É cada vez maior, em todo o mundo, o número de associações de proteção ao consumidor, que passou a ter um papel decisivo na competição industrial. Antes de comprar determinados produtos, os consumidores de vários países têm por hábito verificar se o produto foi aprovado por alguma associação de normalização. Essa identificação é possível, pois muitos produtos possuem na embalagem a marca ou logotipo que identifica se o produto foi fabricado dentro dos padrões definidos por normas. No Brasil, essa marca é cedida pelo INMETRO e é conhecida por marca de certificação de conformidade. O INMETRO, por meio de laboratórios credenciados, supervisiona o controle de qualidade dos produtos, antes que cheguem ao mercado consumidor.

2.9 A ABNT

A ABNT é aberta à toda a população. Seus endereços são: São Paulo - rua Marquês de Itu, 88 - 4 o andar Rio de Janeiro - av. Treze de Maio, 13 - 28 o andar


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3 Sistema Internacional de Unidades3

3.1 Histórico

Em 1948 a 9° Conferência Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os países signatários da Convenção do Metro"

A 10° CGPM (1954) adotou como unidades de base deste "Sistema Pratico de Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes:

comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s intensidade de corrente elétrica ampère A temperatura termodinâmica kelvin K intensidade luminosa candela cd

A 11° CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com abreviação internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares.

A 14° CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de Matéria como a sétima unidade de base do Sistema Internacional de Unidades.

quantidade de matéria mol mol

3.2 Unidades Derivadas

As unidades derivadas são constituídas, a partir das unidades de base, por expressões algébricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e símbolo particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras unidades derivadas. A seguir são apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais comuns na engenharia civil.

3 SI - Sistema Internacional de Unidades, Ministério da Indústria e do Comercio, Instituto Nacional de Pesos e Medidas - 1971, Tradução autorizada pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas da publicação "Le Systeme International d'Unites"

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3.2.1 Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base

superfície metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 velocidade metro por segundo m/s aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2 massa específica quilograma por metro cúbico kg/m3

3.2.2 Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais

força newton N m kg s-2 pressão pascal Pa m-1 kg s-2

3.2.3 Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais

momento de uma força metro newton N.m m2 kg s-2 tensão superficial newton / metro N/m kg s-2

3.3 Unidades Suplementares

As unidades suplementares são aquelas que, a critério do usuário, podem ser consideradas como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas duas unidades: a de ângulo plano e a de ângulo sólido.

angulo plano radiano rad

3.4 Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI

1012 tera T 10-1 deci d 109 giga G 10-2 centi c 106 mega M 10-3 mili m 103 quilo k 10-6 micro µ 102 hecto h 10-9 nano n 101 deca da 10-12 pico p


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3.5 Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional

(em uso com o Sistema Internacional) minuto min 1 min = 60 s hora h 1 h = 60 min = 3600 s dia d 1 d = 24 h = 86400 s grau ° 1° = ( π/180 ) rad minuto ' 1' = (1/60)° = ( π/10800) rad segundo " 1" = (1/60)' = ( π/648000 ) rad litro 1 = 1 dm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 103 kg No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-força, segundo) foi reconhecido como sistema oficial até que, devido a acordos internacionais, adotou-se o Sistema Internacional de Unidades SI. O sistema MKS poderá continuar a ser empregado, porem, transitoriamente. A diferença principal entre estes sistemas, se dá nas grandezas que empregam a unidade de medida Força. Enquanto no sistema MKS denomina-se quilograma-força (kgf) ou quiloponde (kp) a força que produz, na massa de um quilograma, a aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s ), no sistema SI denomina-se Newton (N) a força que produz, na massa de um quilograma, a aceleração de 1,0 m/s. Desta forma: 1 kgf (kp) = 9,8 N 1 N = 0,102 kgf (kp) 1 Pa = 1 N/m2 1 MPa = 1 N/mm2 = 0,1 KN/cm2 = 10,2 kgf/cm2 = 1 MN/m2 1 Kgf/cm2 (bar) = 0,102 MPa = 10,2 N/mm2 = Obs.: usualmente se trabalha com a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s

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4 Notação

A notação a ser utilizada será baseada no item 2.3 da NBR 6118, transcrito a seguir.

NBR 6118 – item 2.3 Notações As notações adotadas nesta Norma e a usar no que se referir a estruturas de concreto armado são as aqui indicadas. Obs. Pode-se usar plica (’) nos símbolos geométricos referentes à região comprimida. 2.3.1 Letras romanas maiúsculas

A área Ac área da seção transversal geométrica da peça A'c área da parte comprimida de Ac Aci área da seção transversal do núcleo de uma peça cintada encerrado pela

superfície que contém o eixo da barra de cintamento (eixo das barras externas no caso de cintamento em malha)

Ah área da seção homogeneizada A0 área da parte carregada de um bloco de apoio As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada A's área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida Asw área da seção transversal das barras da armadura de cisalhamento At área da seção fictícia da armadura de cintamento (volume da armadura de

cintamento por comprimento da peça) C momento de inércia à torção E módulo de deformação longitudinal Ec módulo de deformação longitudinal do concreto ES módulo de deformação longitudinal do aço F ações G carga permanente GC módulo de deformação transversal do concreto I momento de inércia M momento fletor Md momento fletor de cálculo Meng momento fletor num engastamento de viga suposto perfeito Mr momento fletor de fissuração Mu momento fletor último (máximo momento fletor que a seção pode resistir) N força normal Q carga acidental R reação de apoio, resultante de tensões Rc resultante das tensões de compressão na seção transversal Rt resultante das tensões de tração na seção transversal Rcc resultante das tensões de compressão no concreto


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Rct resultante das tensões de tração no concreto Rsc resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal Rst resultante das tensões de tração na armadura longitudinal S solicitação; momento estático T momento de torção V força cortante W carga do vento

2.3.2 Letras romanas minúsculas a distância; flecha b· largura bf largura da mesa das vigas de seção T bw largura das vigas de seção retangular ou da nervura das vigas de seção T c cobrimento da armadura (entre as superfícies do concreto e das barras) d diâmetro, distância do ponto de aplicação da resultante das tensões de tração

na armadura longitudinal ao ponto de maior encurtamento de uma seção transversal de peça fletida, medida normalmente à linha neutra (altura útil)

d’ distancia do ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal ao ponto de maior encurtamento de uma seção transversal de peça fletida, medida normalmente à linha neutra

dl diâmetro do núcleo de uma peça cintada, medido no eixo da barra de cintamento

e excentricidade de uma força normal f resistência fc resistência à compressão do concreto fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fcj resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias fcj- resistência média à compressão dos corpos de prova na idade de j dias

(efetiva) fck resistência característica do concreto à compressão ft resistência à tração do concreto ftd resistência de cálculo do concreto à tração ftj resistência média do concreto à tração. prevista para a idade de j dias ftj resistência média à tração dos corpos de prova na idade de j dias (efetivo) ftk resistência característica do concreto à tração fv resistência de escoamento do aço à tração fyc resistência de escoamento do aço à compressão fycd resistência de cálculo do aço à compressão fyck resistência característica do aço à compressão (valor característico de fyc) fyd resistência de cálculo do aço à tração fyk resistência característica do aço à tração (valor característico de fy) g· carga permanente uniformemente distribuída h altura total da seção transversal; espessura hf espessura da mesa das vigas de seção T i raio de giração

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j número de dias l comprimento; vão teórico lb comprimento de ancoragem le comprimento de flambagem l0 vão livre m momento fletor por unidade de largura n forço normal por unidade de largura; número de objetos q carga acidental uniformemente distribuída r raio; índice de rigidez = I/l s espaçamento; passo do cintamento; desvio padrão t momento de torção por unidade de largura u perímetro v força cortante por unidade de largura w carga de vento distribuída; abertura de fissura x distância da L.N. ao ponto de maior encurtamento, na seção transversal de

uma peça fletida y altura do diagrama retangular de tensões de compressão do concreto, na

seção transversal de uma peça fletida z distância entre Rc e Rt

2.3.3 Letra grega maiúscula

φ diâmetro da barra de armadura

2.3.4 Letras gregas minúsculas

α ângulo; coeficiente α razão entre Es e Ec β ângulo; coeficiente; razão γ peso específico; deformação angular; coeficiente γm coeficiente de minoração da resistência dos materiais γc coeficiente de mineração da resistência do concreto γs coeficiente de minoração da resistência do Aço γf coeficiente de segurança δ coeficiente de variação ε deformação específica εc deformação específica do concreto à compressão εcc deformação lenta específica do concreto εcs deformação específica do concreto por retração εs deformação específica do aço εy deformação específica de escoamento do aço η razão; coeficiente ηb Coef. de conformação superficial das barras da armadura (ηb=1 para barras

lisas) θ rotação k coeficiente


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λ índice de esbeltez = λe/i µ coeficiente de atrito; momento fletor relativo adimensional ν coeficiente de Poisson; força normal relativa adimensional ρ taxa geométrica da armadura σ tensão normal σc tensão normal de compressão no concreto σs tensão normal de tração na armadura σI valor absoluto da maior tensão principal de tração (nulo quando não houver

tração) σII valor abs. da maior tensão principal de compressão (nulo quando não houver

compressão) τ tensão tangencial τw tensão convencional de cisalhamento (de referência) na alma da peça = V/bwd τwd tensão τw de cálculo τwu valor último de τw τt tensão de cisalhamento na torção τtd tensão τt, de cálculo τtu valor último de τt ϕ coeficiente de deformação lenta χ razão entre ações; fração ψ coeficiente ω taxa mecânica da armadura = fyd/fcd

2.3.5 Índices gerais

b aderência; barra dobrada c concreto; compressão d de cálculo e efetivo; existente ' estribo f ação; mesa da viga de seção T i inicial; núcleo i número de dias k característico m material, médio r fissuração s aço; barra da armadura t tração; torção; transversal u último v cisalhamento w vento; alma das vigas y escoamento

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2.3.6 Índice das ações e solicitações a recalque de apoio cc deformação lenta do concreto cs retração do concreto ep pressão de terra ex explosão g carga permanente im impacto

p pressão de líquido

q carga acidental te temperatura w vento ε deformações próprias e impostas

2.3.7. índices formados de abreviações adm admissível cal calculado cri crítico eng engastamento est estimado exc excepcional exp experimental ext externo inf inferior int interno lat lateral lim limite max máximo min mínimo sup superior tot total var variável vig viga


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5 Solicitações

O item 3 da NBR 6118 (NB 1) aborda os esforços solicitantes e a NB 6120 (NB 5) - CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES NOV/1980 - apresenta as cargas a serem utilizadas. A seguir se faz a transcrição dos itens referentes a este tópico, de ambas a normas, e ao longo do curso, à medida que os assuntos forem sendo abordados, em lajes, vigas e pilares, serão exemplificados.

5.1 Definições da NBR 61184

3 ESFORÇOS SOLICITANTES 3.1 Disposições gerais 3.1.1 Ações a considerar. - No cálculo dos esforços solicitantes deverá ser considerada a influência das cargas permanentes e acidentais e de todas as ações que possam produzir esforços importantes. Estas ações serão consideradas de acordo com as normas e com as condições peculiares a cada obra, aplicando-se à variação de temperatura, à retração e à deformação lenta o disposto nos itens 3.1.1.4. 3.1.1.5 e 3.1.1.6. 3.1.1.1 Carga permanente. - A carga permanente é constituída pelo peso próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas. Na avaliação do peso próprio, admite se o peso específico de 25 kN/m3 para o concreto armado. 3.1.1.2 Carga acidental. - A carga acidental é constituída pelas cargas fixadas nas respectivas normas, dispostas na posição mais desfavorável para o elemento estudado, ressalvado o caso da alínea b) do item 3.2.2.3B. Havendo cargas móveis importantes, devem ser aplicados os dispositivos da NB 2, no que couber, respeitadas as demais prescrições da NB 1. 3.1.1.3 Ação do vento. - Será exigida a consideração da ação do vento nas estruturas em que esta ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes e obrigatoriamente no caso de estruturas com nós deslocáveis, nas quais a altura seja maior que 4 vezes a largura menor. ou em que, numa dada direção, o número de filas de pilares seja inferior a 4. Deverá ser levada em conta a possível influencia desfavorável de construções próximas à estrutura em exame, que por suas dimensões e forma possam tornar essa influência considerável. 3.1.1.4 Variação de temperatura. - Supõe-se, para o cálculo, que as variações de temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo quando a desigualdade dessas variações. entre partes diferentes da estrutura, seja muito acentuada. O coeficiente de dilatação térmica do concreto armado é considerado igual a 10-5 por grau centígrado, salvo quando determinado especificamente para o concreto a ser usado. A variação de temperatura da estrutura, causada pela variação de temperatura da

4 Obs.: A numeração dos itens é a da Norma.

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atmosfera, depende do local da obra e deverá ser considerada entre, ±10oC e ±15oC em torno da média. Para peças maciças ou ocas com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja maior que 70 cm, admitir-se-á que essa oscilação seja reduzida respectivamente para ±5oC e ±10oC, para as peças cuja menor dimensão esteja entre 50 cm a 70 cm será feita interpolação linear entre aqueles valores e estes. Em peças permanentemente envolvidas por terra ou água e em edifícios que não tenham em planta, dimensão não interrompida por junta de dilatação maior que 30 m, será dispensado o cálculo da influência de variação de temperatura 3.1.1.5 Retração - A deformação específica de retração do concreto será considerada como prescrito na NB-116; para as peças de concreto armado. nos casos correntes, a deformação específica poderá ser considerada igual a 15 x 10-5, salvo nos arcos e abóbadas, com menos de 0,5% e 0,1% de armadura, onde esse valor será aumentado respectivamente para 20 x 10-5 e para 25 x 10-5. 3.1.1.6 Deformação lenta - Quando for necessário levar em conta a deformação lenta do concreto na determinação dos esforços solicitantes, poderá ela ser considerada como estipulado na NB-116. Para o cálculo do deslocamento transversal permite-se a simplificação do item 4.2.3.1B. A consideração da deformação lenta será obrigatória nos arcos e abóbadas com coeficiente de segurança à flambagem menor que 5. 3.1.1.7 Choques, vibrações e esforços repetidos - Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, for sujeita a choques ou vibrações, deverá sua influência ser levada em conta na determinação dos esforços solicitantes. No caso de vibrações, deverá ser verificada a possibilidade de ressonância, com relação à estrutura ou parte dela. Havendo possibilidade de fadiga deverá esta ser considerada no cálculo das peças. 3.1.1.8 Influência do processo de construção - Deverão ser considerados os esforços provenientes do processo de construção previsto no programa de execução, incluindo-se entre esses esforços os surgidos durante o transporte e a montagem de peças pré-moldadas e equivalentes, bem como os que possam aparecer durante a retirada do escoamento 3.1.1.9 Deslocamento de apoio - Em estruturas sensíveis a deslocamento de apoio deverá ser levado em consideração o respectivo efeito no cálculo dos esforços solicitantes.

NBR 6120 - NOV/1980 (NB-5) CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES

1 OBJETIVO 1.1 Esta Norma fixa as condições exigíveis para determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que seja sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais.


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1.2 Para os efeitos desta Norma, as cargas são classificadas nas seguintes categorias: a) carga permanente (g); b) carga acidental (q). 2 CONDIÇÕES ESPECÍFICAS 2.1 Carga permanente 2.1.1 Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. 2.1.2 Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, alem dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m2 Na falta de determinação experimental, deve ser utilizada a Tabela 1 para adotar os pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais freqüentes. 2.2 Carga acidental É toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.). 2.2.1 Condições peculiares 2.2.1.1 Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos a arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes etc., não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere um acréscimo de 3 kN/m no valor da carga acidental. 2.2.1.2 As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, utensílios e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na Tabela 2. 2.2.1.3 No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o peso dos materiais armazenados pode ser obtido através dos pesos específicos aparentes que constam na Tabela 3 2.2.1.4 Todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças e barras de banzo superior de treliças) deve ser projetada para receber, na posição mais a desfavorável una carga vertical de 1 kN, além da carga permanente. 2.2.1.5 Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.

2.2.1.6 0 valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem consideradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos deve ser

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determinado do seguinte modo: sendo k o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje; sendo 0 = 3 m para o caso das lajes e 0 = 5 m para o caso das vigas, teremos:

a) ϕ = 1 00, quando ≥ 0

b) ϕ = ≤

ll0 1 43,

quando ≤ 0

Nota: O valor de ϕ não precisa ser considerado no cálculo dos paredes e pilares. 2.2.1.7 Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para carga indicada na Tabela 2. 2.2.1.8 No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinados a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 4.


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TABELA 1 - Peso específico dos materiais de construção Materiais Peso específico aparente - KN/m3

Arenito 26,0 Basalto e Gneiss 30,0

1 Rochas

Granito, Mármore e calcário 28,0

Blocos de argamassa 22,0 Cimento amianto 20,0 Lajotas cerâmicas 18,0 Tijolos furados 13,0 Tijolos maciços 18,0

2 Blocos artificiais

Tijolos silico-calcareos 20,0

Argamassa de cal, cimento e areia 19,0 Argamassa de cimento e areia 21,0 Argamassa de gesso 12,5 Concreto simples 24,0

3 Revest. e concretos

Concreto armado 25,0

Pinho, cedro 5,0 Louro, imbuía, pau óleo 6,5 Guajuvirá, guatambu, grápia 8,0

4 Madeiras

Angico, cabriuva, ipê róseo 10,0

Aço 78,5 Alumínio e ligas 28,0 Bronze 85,0 Chumbo 114,0 Cobre 89,0 Ferro fundido 72,5 Estanho 74,0 Latão 85,0

5 Metais

Zinco 72,0

Alcatrão 12,0 Asfalto 13,0 Borracha 17,0 Papel 15,0 Plástico em folhas 21,0

6 Materiais diversos

Vidro plano 26,0

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TABELA 2 - Valores mínimos das cargas verticais

Local Carga (KN/m25)

1 Arquibancadas 4,02 Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as

previstas em 2.2.1.5

---3 Bancos Escritórios e banheiros

Salas de diretoria e de gerência 2,01,5

4 Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros, a ser determinado em cada caso ou 2,5 KN/m por metro de altura observado, porém, o valor mínimo de

2,54,0

6,05 Casas de máquinas (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em

cada caso, porém com o valor mínimo de

7.56 Cinemas Platéia com assentos fixos

Estúdio e platéia com assentos moveis Banheiro

3,04,02,0

7 Clubes Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de bilhar e banheiro

3,04,05,02,0

8 Corredores Com acesso ao publico Sem acesso ao público

3,02,0

9 Cozinhas não residenciais

A ser determ. em cada caso, porém com o mínimo de 3,0

10 Depósitos A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme o indicado em 2.2.l.3

11 Edifícios residenciais

Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia

1,52,0

12 Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público

3,02,5

13 Escolas Anfiteatro com assentos fixos Corredor e sala de aula Outras salas

3,02,0

14 Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2,015 Forros Sem acesso a pessoas 0,5l6 Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com mínimo de 3,017 Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com mínimo de 3,018 Garagens e estacionamento

Veículos de passageiros ou semelhantes com cargamáxima de 25 kN. Valores de g indicados em 2.2.1.6

3,0

19 Ginásios de 5,0

5 multiplica-se por 100 para obter kg/m2


27

esportes 20 Hospitais Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de

cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor

2,03,0

21 Laboratórios Incluindo equipamentos, determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3,0

22 Lavanderias Incluindo equipamentos 3,023 Lojas 4,024 Restaurantes 3,025 Teatros Palco

Demais dependências: cargas iguais às especificações para cinemas

5,0

26 Terraços Sem acesso ao publico Com acesso ao público Inacessível a pessoas Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica

2,03,00,5

---27 Vestíbulo Sem acesso ao público

Com acesso ao público 1,53,0

TABELA 3 - Características dos materiais de armazenagem

Material Peso específico aparente (KN/M3)

Angulo de atrito interno

Areia com umidade natural l7 30° Argila arenosa 18 25° Cal em pó 10 25° Cal em pedra 10 45° Caliça 13 -- Cimento 14 25° Clinker de cimento 15 30° Pedra britada 18 40°

1 Mat. de construção

Seixo l9 30°

Carvão mineral (pó) 7,0 25° Carvão vegetal 4,0 45° Carvão em pedra 8,5 30°

2 Combustíveis

Lenha 5,0 45°

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Açúcar 7,5 35° Arroz com casca 5,5 36° aveia 5,0 30° Batatas 7.5 30° Café 3,5 -- Centeio 7,0 35° Cevada 7,0 25° Farinha 5,0 45° Feijão 7,5 31° Feno prensado 1,7 -- Frutas 3,5 -- Fumo 3.5 35° Milho 7,5 27° soja 7,0 29°

3 Produtos agrícolas

Trigo 7,8 27°

TABELA 4 – Redução das Cargas Acidentais

N de pisos que atuam sobre o elemento

Redução percentual das cargas acidentais (%)

1, 2 e 3 0 4 20 5 40

6 ou mais 60

Nota: Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.


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6 Estruturas de Concreto Armado

6.1 Introdução

6.1.1 Estruturas de Concreto Armado

Existem vários métodos, processos e técnicas para o cálculo de estruturas. O desenvolvimento tecnológico na informática, com a conseqüente redução do custo tanto a nível de hardware como de software, possibilitou aos engenheiros o acesso a este imprescindível instrumento de trabalho. A informatização dos escritórios de cálculo proporcionou a utilização das mais sofisticadas técnicas de cálculo. Atualmente o método da análise matricial de estruturas, e o de elementos finitos, são utilizados de forma rotineira em aplicativos para o cálculo estrutural. Podemos, com estas técnicas de cálculo, considerar um edifício como um elemento engastado ou apoiado no solo e a outra extremidade livre, e calcula-lo de forma global, contínua. Outro procedimento para o cálculo de estruturas consiste na sua discretização em seus elementos primários, ou seja, as lajes, as vigas, os pilares e todos os demais elementos complementares da estrutura. Este processo, com o auxílio de microcomputadores de pequeno porte, e até mesmo simples máquinas de calcular programáveis, e de programas para cálculo estrutural de baixo custo, inclusive vários de domínio público, extremamente simples, a ponto de ser normal os calculistas elaborarem seus próprios aplicativos, proporciona um cálculo relativamente rápido e bastante preciso. É através deste processo de cálculo, discretizando a estrutura em seus elementos básicos, que os conceitos teóricos e práticos do cálculo e do detalhamento da armadura, são ministrados nas disciplinas de concreto dos cursos de Engenharia Civil. Através da figura 5-1 exemplificamos o procedimento de cálculo.

• A Figura 5-1-a mostra a estrutura de um edifício com o pavimento da cobertura, 3 pavimentos tipos, o térreo e as fundações.

• A figura 5-1-b representa, de forma simplificada, um pavimento com seus elementos estruturais. Os pilares P1 a P8, as lajes L01 a L05 e as vigas V101 a V108.

• A figura 5-1-c mostra a distribuição de cargas das lajes para as vigas. Cada uma das vigas ou tramos de vigas que contornam e suportam a laje, recebem desta a carga que está sob a sua área de influência. O tramo da Viga V101 que apoia a laje L01 tem como área de influência o trapézio de área S1, ou seja, toda carga atuante nesta região da laje, será descarregada neste tramo da viga V101.

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• A figura 5-1-d mostra a distribuição de cargas das vigas para os pilares. A reação da viga V101 no pilar P1 será igual ao esforço cortante Va, no pilar P2, será a soma do esforço cortante Vb mais Vc., etc. Deve-se observar que a viga V103 está apoiada nas vigas V105 e V106, ou seja cada uma destas vigas estará solicitada por uma carga concentrada que, juntamente com as demais cargas atuantes nestas vigas, serão descarregadas nos pilares P1 e P5 (viga V105) e P2 e P6 (viga V106).

• A figura 5-1-e mostra o carregamento dos pilar P5, pavimento por pavimento, da cobertura ao térreo. De cima para baixo, a cada pavimento, o pilar P5 recebe o carregamento proveniente das reações de apoio das vigas V105 e V102, para finalmente descarregar a somatória destas carga no solo, através das fundações.

• Finalmente a figura 5-1-f mostra um elemento de fundação (neste caso, um bloco sobre duas estacas), que tem por função receber as cargas dos pilares e transmiti-las ao solo, através das estacas.

O procedimento de cálculo para as lajes, vigas, pilares, enfim, os elementos estruturais em geral, pode ser descrito de forma sucinta, como segue: - Determinação das cargas atuantes; - Determinação dos esforços solicitantes; - Dimensionamento - concreto armado; - Determinação das reações de apoio


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Figura 6-1 Esquema de distribuição de cargas em uma estrutura

Figuras 5.1 (c) e 5.1 (d)

P1 Va Vb P2 Vc Vd

Ve Vf

Vg Vh

Vi Vj

P5 Vk Vl P6 Vm Vn

V101

S2 S3

S1 S4 S1 S4

S2 S3

Figuras 5.1 (e) e 5.1 (f)

Estacas (1) (2)

P5 P5

Figuras 5.1 (a) e 5.1 (b)

L01 L02 L03 V102 V103 L04 L05

P1 P2 V101 P3 P4

P5 P6 V104 P7 P8

V10

5 V

106

V10

7 V

108

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6.1.2 O Projeto Estrutural

O projeto estrutural é composto por um conjunto de dados e informações tendo por finalidade a definição dos procedimentos mínimos a serem seguidos para a perfeita execução da estrutura. Para isto está implícito, sua adequação ao projeto arquitetônico e a todos os projetos complementares da obra (os projetos elétrico, hidráulico, de prevenção de incêndio, de instalação de gás, de telefonia, etc.). O projeto estrutural deverá obedecer rigorosamente as Normas Técnicas da ABNT. No caso específico de uma edificação, tomando como exemplo a figura 5-1, deve trazer todas as informações relativas à infra-estrutura (fundações) e à superestrutura, ou seja:

• planta de locação de estacas;

• planta de forma da fundação;

• armação e detalhamento dos elementos de fundação

• planta de forma do pavimento tipo;

• armação e detalhamento dos elementos do pavimento tipo:

• armação e detalhamento das lajes;

• armação e detalhamento das vigas

• planta de forma da cobertura;

• armação e detalhamento dos elementos da cobertura:

• armação e detalhamento das lajes;

• armação e detalhamento das vigas

• armação e detalhamento dos pilares:

• planta de forma dos elementos complementares do edifício;

• armação e detalhamento dos elementos complementares:

• escadas; caixas d’água; marquises; muros de arrimo; etc.

6.1.3 O Anteprojeto

O projeto estrutural envolve muitos cálculos, muitas pranchas de desenho de estruturas, com todas as informações e detalhes para a execução da obra. Antes do desenvolvimento de todo este extenso trabalho, o calculista deve tomar determinadas decisões quanto ao material a ser utilizado, o tipo de estrutura a ser adotado, e como esta estrutura será compatibilizada com o projeto arquitetônico. Isto é o que chamamos de concepção, e podemos considera-la em 3 níveis:


33

Concepção quanto ao material a ser utilizado: A finalidade da obra, sua posição geográfica etc. permitem uma substancial redução de custos, ao se escolher o material de construção a ser utilizado. A primeira concepção será, portanto, a escolha do material, ou seja, a alvenaria portante, a alvenaria armada, a madeira, o aço, o concreto armado ou protendido, etc. Ao se fazer esta opção, a finalidade da obra pode requerer estanqueidade, no caso de reservatórios, proteção contra o meio agressivo em que a obra se insere etc. e, neste sentido a escolha adequada do material pode reduzir a nível de revestimentos especiais e sistemas de proteção. A situação geográfica pode induzir à utilização de materiais abundantes na região, reduzindo custos a nível de fretes, mão de obra especializada etc. É o caso da utilização da madeira no interior da Amazônia, do pré-moldado no eixo Rio-São Paulo etc. Concepção quanto ao esquema estrutural: estrutura em pórtico, pavimentos em grelhas, etc. Concepção quanto à compatibilidade arquitetura/estrutura: definido, como em nosso caso, o uso do concreto armado, e a discretização da estrutura em lajes, vigas e pilares, é nesta etapa da concepção da estrutura, que se define a forma e dimensões das lajes, a forma, a posição e a locação dos pilares e das vigas, ou seja, é a definição, o lançamento da estrutura no projeto arquitetônico. O anteprojeto consiste em, através de cálculos rápidos - apenas uma análise das seções mais solicitadas - e um detalhamento sumário, a elaboração de um pré-dimensionamento que permita a quantificação de cada uma das concepções propostas, e a comparação entre elas para que se possa escolher a melhor alternativa estrutural para a obra. É nesta fase do anteprojeto que se inicia e se deve resolver as interferências e os conflitos com os projetos de instalações (gás, telefonia, ar condicionado, hidráulica, elétrica, etc.)

6.1.4 O Projeto

Definida, a nível de anteprojeto, a estrutura, inicia-se o projeto, ou seja, o cálculo completo, com o detalhamento dos elementos estruturais, a elaboração dos memoriais de cálculo e as demais informações acordadas em contrato.

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6.1.5 A Apresentação do Projeto - NBR 7191 e NBR 5984

EXECUÇÃO DE DESENHOS

PARA OBRAS DE CONCRETO SIMPLES OU ARMADO NBR 7191 / FEV/19826

Esta Norma fixa as condições especiais que devem ser observadas na execução de desenhos técnicos para obras de concreto simples ou armado. As condições gerais o os significados nesta Norma, são os fixados pela NBR 5984.

Na aplicação desta Norma é necessário consultar:

NBR 5984 Norma geral de desenho técnico - Procedimento NBR 6118 Projeto e execução de obras de concreto armado - Procedimento NBR 7187 Cálculo e execução de pontes de concreto armado - Procedimento

3 CONDIÇÕES GERAIS 3.1 Tipos de desenhos Os desenhos técnicos para obras de concreto simples ou armado podem ser dos tipos seguintes: a) desenhos de conjunto; b) desenhos para execução de formas; c) desenhos para execução de escoramentos; d) desenhos de detalhe. 3.1.1 Desenhos de conjunto Os desenhos de conjunto podem constar de plantas, elevações, cortes, vistas e perspectivas, devendo-se ser feitos na escala que seja mais conveniente à sua clareza. 3.1.2 Desenhos para execução de formas Os desenhos para execução de formas devem conter plantas, cortes e elevações de

6 Obs.: A numeração dos itens é a da Norma.


35

todas as peças da estrutura, necessários ao perfeito conhecimento de sua forma e de suas dimensões. Devem ter feitos na escala 1:50 ou, quando não houver prejuízo da clareza do desenho, na escala de 1:100. planta é projeção do teto (ou estrado de ponte) em um plano que lhe é paralelo. situado na parte inferior. As arestas visíveis serão as que ficam voltadas para o plano de projeção. Admite-se exceção, quando à convenção de visibilidade da alínea anterior, nos desenhos de escadas, de sapatas e blocos de fundação, bem como, em casos especiais para os quais se devera fazer a devida indicação. corte é a projeção, em plano vertical, colocado imediatamente antes da parte a representar, indicando-se as seções em hachurado. elevação é a projeção em plano vertical, colocado imediatamente antes do conjunto a representar, tem corta de qualquer peça. 3.1.2.1 Designação das peças A designação das peças será feita, mediante os seguintes símbolos, seguidos do respectivo número de ordem:

a) lajes L e) diagonais D b) vigas V f) sapatas S c) pilares P g) blocos B d) tirantes T h) paredes PAR

Toda peça, elemento ou detalhe da estrutura deve ficar perfeitamente definido nos desenhos de formas, por suas dimensões e por sua locação e posição em relação a eixos, divisas, testadas ou linhas de referência relevantes. 3.1.2.2 Lajes 3.1.2.2.1 A numeração das lajes será feita, tanto quanto possível a começar do canto esquerdo superior do desenho, prosseguindo para a direita, sempre em linhas sucessivas de modo a facilitar a localização de cada laje. 3.1.2.2.2 Os rebaixos ou superelevações da face superior das lajes em relação à face superior da laje de referência serão indicados pelo valor em cm, precedido do sinal - ou +, o conjunto inscrito em pequeno círculo. 3.1.2.2.3 Além dessa indicação, poderá ser adotada convenção que permita visualizar com facilidade as diferenças de níveis. Assim as lajes ou partes de lajes rebaixadas poderão ser hachuradas num sentido e as elevadas em sentido oposto. 3.1.2.2.4 As espessuras das lajes serão obrigatoriamente indicadas, em cada laje ou em nota a parte.

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3.1.2.3. Vigas 3.1.2.3.1 A numeração das vigas será feita para as dispostas horizontalmente no desenho, partindo-se do canto superior e prosseguindo-se por alinhamentos sucessivos, até atingir o canto inferior direito; para as vigas dispostas verticalmente partindo-se do canto inferior esquerdo, para cima, por fileiras sucessivas, até atingir o canto superior direito. Convenciona-se considerar como dispostas horizontalmente no desenho, as vigas cuja inclinação com a horizontal variar de 0 a 45º, inclusive.

3.1.2.3.2 Cada vão das vigas continuas será designado pelo número comum à viga seguido de uma letra maiúscula. Dentro do mesmo vão, quando necessário, indicar-se-á a variação de seção por meio de índices: cabe ao projetista certa liberdade na caracterização dos elementos dentro do mesmo alinhamento, quando se tornar necessária maior clareza do desenho; será tolerada a inversão do sentido indicado para a numeração, quando isso concorrer para maior clareza do desenho, como no caso de existirem eixos de simetria. 3.1.2.3.3 Junto da designação de cada viga, deverão ser indicadas por dimensões: b x d ou b0 x d0. 3.1.2.3.4 É facultada a representação da seção da viga, na própria planta, desde que não fique prejudicada a clareza do desenho. 3.1.2.3.5 Quando houver mísulas, usar-se-á a seguinte convenção gráfica para representa-la em planta: traça-se uma diagonal do retângulo representativo da mísula e hachura-se um dos triângulos resultantes, assinalando-se a variação numérica das dimensões. 3.1.2.4 Pilares e tirantes 3.1.2.4.1 A numeração dos pilares e tirantes será feita, tanto quanto possível, partindo do canto superior esquerdo do desenho para a direita, em linhas sucessivas. As dimensões poderão ser simplesmente inscritas ao lado de cada pilar indicando-se todavia em planta, quando necessário para evitar confusão, pelo menos uma das dimensões. Nos desenhos de tetos-tipo será tolerada a anexação de quadros indicando a variação de dimensões dos pilares nos diferentes tetos, sem modificações da planta comum, desde que se esclareçam convenientemente as variações de seções. 3.1.2.5 Aberturas As aberturas necessárias à passagem de tubulações principais de instalações elétricas, hidráulicas, condicionamento de ar ou outras, deverão ser convenientemente definidas nas plantas, cortes e elevações, com indicação de sua orientação e dimensões.


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3.1.3 Desenhos para execução de armaduras Os desenhos para execução de armaduras devem conter todos os dados necessários à boa execução da armadura na escala 1:50, de detalhes de seção, em escala maior:

• cada tipo diferente de barra (barras de diâmetro diferente ou diferentemente dobradas) será desenhado fora da representação da peça, com cotas necessárias a seu dobramento correto e indicação de seu número 3.1.3.2, quantidade e diâmetro (φ);

• no caso de séries de estribos do mesmo diâmetro, que mantenham a mesma forma. mas cujas dimensões variem, pode-se considera-los como de um só tipo, bastando desenhar um deles e indicar em tabela ao lado os dados diferentes aos demais (dimensão variável, comprimento desenvolvido e quantidade de cada um);

• dispensa-se a representação individual de cada estribo ou cinta no desenho da peça, quando o seu espaçamento for constante, bastando indica-lo com a letra c seguida do valor do espaçamento em cm. A mesma dispensa é permitida para as armaduras da laje, nos termos de 3.1.3.8.

• a numeração das peças obedecerá à feita nos desenhos para execução de formas;

• quando forem utilizadas barras corridas, admite-se a respectiva representação sem cota, mas com a notação corrido. Na lista será considerado o comprimento total, aumentado das emendas eventuais.

3.1.3.1 Representação das barras A representação das barras da armadura faz-se (salvo em casos especiais ou detalhes onde haja necessidade de se mostrar a espessura da barra) pelo seu eixo, com linha, cheia, de acordo com a conveniência do desenho. 3.1.3.2 Numeração Cada tipo diferente de barra da armadura será designado por um número cuja indicação se fará na representação isolada da barra e eventualmente na da peça:

• será usado o símbolo φ para o diâmetro das barras de armadura;

• quando houver feixes de barras, será adotada a notação .... n x m onde n é o número de feixes e m a quantidade de barras de cada feixe.

3.1.3.3 Tabela da armadura Haverá uma tabela em que se reunirão os dados referentes a cada tipo de barra, a saber: tipo, diâmetro, quantidade, comprimento de cada barra e comprimento total:

• se a tabela não constar da mesma prancha do desenho da armadura, deve-se representar em desenho esquemático, cada um dos tipos de barra;

• os estribos do mesmo tipo, no caso do 3.1.3.b, constarão da tabela de

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armadura, ocupando uma só linha com todas as indicações, exceto a do comprimento parcial;

• é facultativa a indicação do peso da armadura; as tabelas serão elaboradas obedecendo as disposições seguintes:

Tabela de Ferros – CA 50-A Comprimento N φ Quantidade

Unitário Total Obs.

1 12,5 12 485 5820 2 5,0 126 138 17388

Obs: Esta tabela pode ser denominada como a “Tabela do Armador”. É através dela que o armador cortará as barras (φ, quantidade, comprimento unitário) e com o número do ferro, verificará na planta os detalhes e dimensões da barra para a sua execução. Nesta fase o armador executará todas as barras 01, e as reunirá em um feixe, que será etiquetado. O mesmo será feito para todas as barras constantes da tabela (todas as barras 02, 03 etc). Feitos os feixes de todas as barras, o armador começará a montagem da armadura das vigas. Na planta de armação ele verá que uma determinada viga tem 2 ferros N12, 2 N13 , 1 N14 e 19 N15. Dos respectivos feixes destas barras ele o número de ferros (2, 2, 1 e 19) e procederá a montagem da armadura. Uma outra tabela que é colocada na planta de armação, é a “Tabela de Resumo do Aço”. É um resumo da tabela anterior. Esta tabela apresenta os comprimentos e pesos totais de aço correspondentes a cada bitola.

Resumo do Aço CA 50-A

φ Peso Kg/m

Comprimento Total (cm)

Peso

5,0 0,16 61563 98,50 6,3 0,25 15888 39,72 8,0 0,40 13654 54,62

10,0 0,63 22095 139,2 12,5 1,00 15235 152,35 16,0 1,6 2265 36,24

Σ 520,63


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Esta tabela pode ser denominada como a “Tabela do Comprador”. É através dela que a empresa, após acrescentar uma taxa correspondente às perdas, efetuará a compra do aço. Na planta de armação deve ser colocada uma tabela de resumo do aço para cada aço utilizado (CA 50-A, CA 50-B, CA 60 etc.) 3.1.3.4 Representação de emendas Para as emendas de barras usar-se-ão as seguintes: superposição: indica-se simplesmente contando o comprimento da cobertura; luvas: indica-se com o símbolo dotando a respectiva situação:

solda: Indica-se com o símbolo cotando a respectiva situação:

3.1.3.5 Ganchos e raios de curvatura Os detalhes dos ganchos e ralos de curvatura não precisam figurar no desenho, desde que obedeçam às prescrições mínimas da NBR 6118. Caso a Norma a adotar seja a NBR 7187, deve haver pelo menos uma indicação, em cada prancha, das medidas a adotar. 3.1.3.6 Barras dobradas

Nas barras dobradas a 45°, é dispensável qualquer indicação de ângulo. Para ângulos diferentes a inclinação deve ser dada na forma 1:n. em uma ou mais barras com o mesmo dobramento. Nesse caso deve-se fazer no desenho um pequeno esquema de marcação, facilmente reproduzível pelo armador na bancada. 3.1.3.7 Armadura das lajes Nas lajes é facultada a representação das barras dentro ou fora do desenho de cada laje, ou ainda a aplicação simultânea de ambos os dispositivos, conforme formais conveniente à clareza do desenho; a distribuição da armadura será feita sempre em faixa normal à posição ocupada pelas barras obedecendo, portanto, à marcação que o armador tenha no taipal; quando a armadura superior for independente da Inferior, aconselha-se a execução de desenhos separados para cada uma delas.

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3.1.3.8 Armaduras de vigas A representação da armadura de vigas será feita longitudinalmente e deverá conter o traçado auxiliar dos pontos mais conveniente da forma, de sorte a se indicar a perfeita posição das barras: quando houver várias camadas, a representação longitudinal será feita reproduzindo esquematicamente a posição relativa dessas camadas; sempre que necessário, será feita a representação adicional de seções transversais; em cada prancha de armadura de vigas será anexado pequeno quadro, contendo índice por ordem numérica das vigas nela representadas. 3.1.3.9 Armadura de pilares A representação da armadura de pilares será feita por seções transversais com indicação minuciosa da posição das barras e de seus diâmetros: ao lado de cada seção será feita a representação do respectivo estribo com as convenções de 3.1.3, alíneas b) e c); é obrigatória a representação esquemática dos diferentes tipos de armaduras longitudinais dos pilares constantes da prancha 3.1.3.1; sempre que necessário (especialmente no caso de pilares inclinados ou pilares de pórticos), far-se-á a representação longitudinal, obedecendo-se então às indicações gerais dadas para vigas. 3.1.3.10 Armadura de sapatas 3.1.3.10.1 Serão obedecidas as indicações anteriores aplicáveis às sapatas. 3.1.3.10.2 Deverá ser indicada minuciosamente a distribuição das barras por posição com o respectivo espaçamento, conservada a convenção adotada para lajes e vigas. 3.1.3.10.3 Quando forem utilizados anéis variáveis, bastará dar a indicação dos limites da variação dos diâmetros, bem como as dos comprimentos totais das barras. 3.1.4 Desenhos para execução de escoramentos Os desenhos para execução de escoramentos obedecerão às normas relativas a desenhos para estruturas de madeira. Quando se tratar de serviços de pequena responsabilidade, os desenhos para escoramentos poderio ter simplesmente esquemáticos. 3.1.5 Desenhos de detalhe Cabe ao projetista, nos desenhos de detalhe, a liberdade de escolha do melhor modo de representação, aplicando em tudo que possível, as prescrições anteriores.


41

7 LAJES

7.1 Introdução

Será considerado, neste curso, lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente distribuídas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno. Posteriormente, em “Estruturas em Concreto 2”, serão estudadas lajes com outras formas (circular, triangular, em “L”, etc.), com uma ou duas bordas não vinculadas (caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.). As lajes poderão ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e será adotada a convenção abaixo, para representar cada uma destas vinculações.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ lado simplesmente apoiado lado perfeitamente engastado

============== lado perfeitamente engastado - - - - - - - - - - - - - borda livre, ou sem apoio

7.2 Classificação

De acordo com a relação entre os vãos, uma laje pode ser classificada como:

• Laje Armada em Uma Direção Quando a relação entre os lados for maior que 2.

• Laje Armada em Duas Direções (Armada em Cruz). Quando a relação entre os lados for menor ou igual a 2.

Vamos entender melhor esta classificação e porque o 2 como divisor. Como o cálculo das lajes tem por base a teoria das Grelhas, para melhor entender sua classificação, vamos analisar primeiro como se realiza a transferência de cargas para os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vãos 1= 2 e a outra com 3=2 2, ambas submetidas a uma carga concentrada “P” aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cruzamento da “longarina” com a “transversina”).

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Figura 7-1 Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada.

Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga “P” enquanto na grelha da direita o cálculo nos fornece 1/18 P para as reações do lado maior e 8/18 P para as reações do lado menor. Enquanto em uma a transferência da carga para os apoios se dá na razão de 50% em cada direção, na outra aproximadamente 11% se transfere na direção do vão maior e 89% na direção do vão menor.

À medida que a relação entre os vãos aumenta ( 3>> 1) maior será a transferência de carga para os apoios do vão menor, ou seja, para uma relação de vãos entre 1 e 2 tem-se uma transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 tende-se para uma transferência unidirecional das cargas A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidimensionais (as lajes e placas em geral) enquanto a transferência unidirecional das cargas é típica dos elementos unidimensionais (as vigas). Ante o exposto vamos convencionar:

r > 2 → Laje armada em uma direção

r ≤ 2 → Lajes armada em duas direções (em Cruz) Sendo "r", a relação entre os vãos.

7.3 Lajes Armadas em Duas Direções

7.3.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas

O cálculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma série de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si. A carga e suposta uniformemente distribuída. Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta carga "p" atua em uma direção e, a outra parte, na outra direção. p p px y= + Equação 1

P P

1 3

2

3 = 2 2


43

A determinação dos quinhões (px e py ) é feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir da hipótese de que a laje é composta por vigas fictícias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direção:

45384

x xx

p lfEI

= Equação 2

45384

y yy

p lf

EI= Equação 3

como se trata de uma grelha

x yf f= Equação 4

4 4x x y yp l p l= Equação 5

Figura 7-2 Vigas fictícias em uma laje armada em cruz.

e com a equação [1] obtém-se os quinhões de carga:

4

4 4y

xx y

lp p

l l=

+

4

4 4x

yx y

lp pl l

=+

Equação 6

No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o cálculo dos quinhões de carga recai no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio intermediário funcione como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples. Mas é preciso ter cuidado com esta explicação acima. Ela é muito boa para em uma planta de forma determinar de imediato o tipo de laje mas, é preciso entender que a laje não está engastada na viga. Um painel de laje normalmente é engastado em outro painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se dá entre lajes. Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga, alias, esta é uma situação característica das lajes de marquize, mas neste caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ação de momento torçor e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação. O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contínua, a continuidade, o engastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participação dos

x

fx

px

py y fy y x

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apoios que agora seriam os pilares. Também neste caso nada impede que se engaste a viga nos pilares mas se assim o fizéssemos, teríamos um pórtico. Alterando-se a vinculação de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz

Laje "Tipo 1" - com todas as bordas simplesmente apoiadas,

Laje "Tipo 2" - com uma borda engastada,

Laje "Tipo 3" - com duas bordas, adjacentes, engastadas,

Laje "Tipo 4" - com duas bordas, opostas, engastadas,

Laje "Tipo 5" - com três bordas engastadas,

Laje "Tipo 6" - com todas as bordas engastadas.

Para as Lajes do “tipo 2” ao “tipo 6", os quinhões de carga são determinados de maneira análoga, observando-se, que as "vigas fictícias" poderão ser, em cada direção, simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e engastadas na outra, ou bi-engastadas. Em cada caso deve-se usar as flechas correspondentes à vinculação da viga fictícia. A seguir são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribuídas, considerando os três tipos de vinculações citados acima.

45384

pfEI

= Equação 7

42384

pfEI

= Equação 8

41384

pfEI

= Equação 9

Figura 7-3 Flechas em vigas de um tramo, submetidas a carga uniformemente distribuídas

1

2

6

5

4

3


45

7.3.2 Determinação dos Momentos Fletores

O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo, uma vez que envolve a solução de uma equação diferencial de quarta ordem. A matemática nos fornece métodos como as Diferenças Finitas, os Elementos Finitos, etc. que levam a resultados quase que exatos, porém, mesmo estes métodos, além de complexos, de solução demorada, demandam conhecimentos não dominados pela grande maioria dos profissionais da área de engenharia. Os processos de cálculo simplificados, surgiram em função da necessidade de se ter um cálculo rápido, com um nível de precisão coerente com a atividade da engenharia, e acessível aos profissionais. Calculadas segundo a teoria das placas, os métodos de cálculo são divididos em dois grupos: Método Clássico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime elástico linear, homogêneos, isótropos. Método da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime rígido-plástico - Teoria das charneiras plásticas

7.3.2.1 Processo de Marcus

O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado, oriundo do Método Clássico, assimilando a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de correção αx e αy nas expressões dos momentos fletores positivos, de tal forma que seus resultados se aproximassem dos obtidos através da Teoria da Elasticidade.

Pelo Processo de Marcus é convencionado que os lados da laje serão denominados " x"

e " y", sendo:

x está na direção mais vinculada.

caso ambas as direções sejam igualmente vinculadas:

x estará na direção com o menor vão.

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e a relação entre os lados será definida como:

y

xλ = Equação 10

Os momentos fletores positivos em uma laje, são determinados supondo-se uma faixa da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinhão de carga atuante na direção da mesma. O efeito da grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias através dos coeficientes αx e αy, propostos por Marcus.

22y yx x

x x y yx y

ppM Mi i

α α= = Equação 11

ix e iy podem valer 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculação, apoio-apoio, engaste-apoio ou engaste-engaste. da equação [6], fazendo-se:

4

4 4y

xx y

p p=+

e 4

4 4x

yx y

p p=+

tem-se: 1x x y y y xp k p p k p k k= = = − ∴

22y yx x

x x y yx y

p kp kM Mi i

α α= = Equação 12

rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expressão

2xp , independente de a direção ser a “x” ou a “y”, obtém-se:

2x

xx

x x

pMi

k α

= ⇒⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2x

xx

pMm

= Equação 13


47

2 2 2x x x x

x xx xx

x

p k p pX Xj nj

k

= − ⇒ − ⇒ = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 x

xx

pXn

= − Equação 14

2 2 2

2

2 2

y y xy

y y yx

y y y y x y y

p p pMi i i

k k kα α α λ

= = = ⇒⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2x

yy

pMm

= Equação 15

2 2 2

2

2

y y x xy

y x y

y

p k pXj j

k λ

= − = − →⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2x

yy

pXn

= − Equação 16

onde: jx e jy assumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculação, engaste-apoio ou engaste-engaste.

Os coeficientes de Marcus (αx e αy) são dados pelas expressões abaixo:

2

2

20201 13 3

yxx y

x y

kki i

λα α

λ= − = − Equação 17

Obs.: Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coeficientes αx e αy. Os momentos fletores negativos NÃO!!!

Em resumo: 2 2 2 2x x x x

x y x yx y x y

p p p pM M X Xm m n n

= = = − = −

sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em função de λ.

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TABELA DE MARCUS

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny

0,50 141 45 59 137 50 50 146 71 108 36 0,52 126 43 52 124 48 45 216 68 94 34 0,54 113 42 46 112 47 40 192 65 83 32 0,56 102 40 41 103 46 36 171 62 73 31 0,58 93 39 36 96 45 33 153 59 65 29 0,60 85 38 33 88 45 31 139 57 58 28 0,62 79 37 30 82 44 28 126 56 53 27 0,64 73 37 27 76 44 26 115 54 48 26 0,66 68 36 25 71 44 25 106 53 44 25 0,68 63 35 23 67 44 23 98 52 40 25 0,70 59 35 21 64 44 22 91 51 37 24 0,72 56 35 20 60 44 21 84 50 34 24 0,74 52 35 19 58 45 20 79 49 32 23 0,76 50 34 18 55 45 19 74 49 30 23 0,78 47 34 17 53 46 18 70 49 28 23 0,80 45 34 16 50 46 18 66 48 27 23 0,82 43 34 15 49 47 17 63 48 25 23 0,84 41 34 14 47 48 17 60 48 24 23 0,86 39 35 14 45 48 16 57 48 23 23 0,88 37 35 13 44 49 16 55 48 22 23 0,90 36 35 13 42 50 16 53 49 21 23 0,92 34 35 12 41 51 15 51 49 20 23 0,94 33 36 12 40 52 15 49 49 20 23 0,96 32 36 12 39 53 15 47 50 19 23 0,98 31 36 11 38 55 15 46 50 19 24 1,00 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 24 1,02 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 24 1,04 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 24 1,06 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 24 1,08 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 24 1,10 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 24 1,12 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 25 1,14 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 25 1,16 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 25 1,18 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 25 1,20 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26 1,22 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 26 1,24 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 26 1,26 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 27 1,28 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 27 1,30 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 27 1,32 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 28 1,34 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 28 1,36 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 29 1,38 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 29 1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30


49

TABELA DE MARCUS - continuação

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny

1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30 1,42 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 30 1,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31 1,46 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 31 1,48 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 32 1,50 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 32 1,52 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 33 1,54 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 34 1,56 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 34 1,58 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 35 1,60 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35 1,62 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 36 1,64 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 37 1,66 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 37 1,68 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 38 1,70 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 39 1,72 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 40 1,74 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 40 1,76 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 41 1,78 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 42 1,80 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 43 1,82 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 43 1,84 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 44 1,86 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 45 1,88 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 46 1,90 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 47 1,92 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 47 1,94 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 48 1,96 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 49 1,98 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 50 2,0 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51

7.3.3 Determinação das Reações de Apoio

Lajes armadas em Cruz A NBR 6118, item 3.3.2.9, permite o cálculo das reações de apoio de lajes retangulares com cargas uniformemente distribuídas, considerando-se para cada apoio carga correspondente aos triângulos e trapézios obtidos , traçando-se a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:

DEC - CTC - UEM

50

45° entre dois apoios do mesmo tipo

60° a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado

90° a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Uma laje do tipo “2” tem as áreas de influência dos apoios conforme apresentado na figura abaixo, onde S1 é a área de influência da Viga 101, S2 é a área de influência da Viga 102, e S3 e S4 das vigas 103 e 104 respectivamente. a expressão de cada uma das áreas e determinada a seguir: Área S1 = S2

0,866 y a 0,5 y

x

0,5 y

( )1

1,3662 2

yx x xS+ −

=

( )2

1

2 1,366 12 4

x y yS−

=

V101 S1

S2 V102

V103 S3 S4 V104 y

x

60° 60°

45° 45°

45° 60° 90°


51

como a carga por metro quadrado de laje é “p”, a carga por metro linear a ser descarregada na Viga 101 será a carga total aplicada na área “S1” distribuída no vão da Viga 101.

11

x

pSp = ( )1 1 0,6832

yy

pp Vλ= − =

1 2y

y yp

p V K= = Equação 18

onde ( )1 0,683yK λ= − Equação 19

Área S3

33

y

p Sp = ( ) /3

0,8662

xx

pp Vλ= =

/ /3

2

xx x

pp V K= = Equação 20

onde ( )/ 0,866xK λ= Equação 21

3 0,866

2 2y y yh

S = =

23

1 0,8662yS =

h

y 60° 60°

DEC - CTC - UEM

52

Área S4

4 2x

x xpp V K= = Equação 22

sendo: ( )0,5xK λ= Equação 23

onde:

→p é a carga (por metro quadrado) que solicita a laje,

→1p é a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido à laje



→yK é o coeficiente de carga na direção “y”

→xK é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado apoiado.

→/xK é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado engastado.

A seguir são tabelados os coeficientes ' ', ,x y x yk k k e k em função de λ, para os diferentes tipos de lajes.

h

y 45° 45°

4 1

2 2 2y y

yh

S = = 24

14yS =

44

y

pSp = → ( )4 0,52

xpp λ=


53

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO NBR 6118 - item 3.3.2.9

Tipo de Laje λ kx k’x ky k’y

1

λ≥1,00

1,0000,500

−λ

0,500

λ

2A

λ≤0,73

0 500, λ

0 865, λ

1,000 − 0682λ

2B

λ≥0,73

0 7300 267

,,

−λ

1 2700 463

,,

−λ

0,365

λ

3

λ≥1,00

0 7300 365

,,

−λ

1 2700 635

,,

−λ

0 365,

λ

0 635,

λ

4A

λ≤0,58

0 865, λ

1 000 0865, − λ

4B

λ≥0,58

1 0000 290

,,

−λ

0 290,

λ

5A

λ≥0,79

1 0000 395

,,

−λ

0 290,

λ

0 500,

λ

5B

λ≤0,79

0 635, λ

0 730 0463, − λ

1 270 0807, − λ

6

λ≥1,00

1 0000 500

,,

−λ

0 500,

λ

' ' ' '

2 2 2 2y yx x

x x y y x x y yp pp pV k V k V k V k= = = =

y Ky K’x K’x Ky

y Ky K’x K’x Ky

y Ky Kx K’x Ky

x Kx Ky Ky Kx

y

Ky Kx K’x Ky

x K’x Ky K’y Kx

x K’x Ky K’y K’x

x

K’x Ky K’y K’x

x

K’x K’y K’y K’x

DEC - CTC - UEM

54

REAÇÕES DE APOIO

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ kx ky kx k’x ky kx k’x ky k’y k’x ky k’x ky k’y k’x k’y

0,50 0,25 0,43 0,66 0,43 0,57 0,32 0,50 0,87 0,52 0,26 0,45 0,65 0,45 0,55 0,33 0,49 0,85 0,54 0,27 0,47 0,63 0,47 0,53 0,34 0,48 0,83 0,56 0,28 0,48 0,62 0,48 0,52 0,36 0,47 0,82 0,58 0,29 0,50 0,60 0,50 0,50 0,37 0,46 0,80 0,60 0,30 0,52 0,59 0,52 0,48 0,38 0,45 0,79 0,62 0,31 0,54 0,58 0,53 0,47 0,39 0,44 0,77 0,64 0,32 0,55 0,56 0,55 0,45 0,41 0,43 0,75 0,66 0,33 0,57 0,55 0,56 0,44 0,42 0,42 0,74 0,68 0,34 0,59 0,54 0,57 0,43 0,43 0,42 0,72 0,70 0,35 0,61 0,52 0,59 0,41 0,44 0,41 0,71 0,72 0,36 0,62 0,51 0,60 0,40 0,46 0,40 0,69 0,74 0,37 0,64 0,49 0,61 0,39 0,47 0,39 0,67 0,76 0,38 0,66 0,48 0,62 0,68 0,48 0,38 0,66 0,78 0,39 0,68 0,47 0,63 0,37 0,50 0,37 0,64 0,80 0,40 0,69 0,46 0,64 0,36 0,51 0,36 0,63 0,82 0,40 0,71 0,45 0,65 0,35 0,52 0,35 0,61 0,84 0,41 0,72 0,43 0,65 0,35 0,53 0,35 0,60 0,86 0,42 0,73 0,42 0,66 0,34 0,54 0,34 0,58 0,88 0,43 0,74 0,41 0,67 0,33 0,55 0,33 0,57 0,90 0,43 0,76 0,41 0,68 0,32 0,56 0,32 0,60 0,92 0,44 0,77 0,40 0,68 0,32 0,57 0,32 0,54 0,94 0,45 0,78 0,39 0,69 0,31 0,58 0,31 0,53 0,96 0,45 0,79 0,38 0,70 0,30 0,59 0,30 0,52 0,98 0,46 0,80 0,37 0,70 0,30 0,60 0,30 0,51 1,00 0,50 0,50 0,46 0,81 0,37 0,36 0,63 0,37 0,64 0,71 0,29 0,60 0,29 0,50 0,50 0,501,02 0,51 0,49 0,47 0,82 0,36 0,37 0,65, 0,36 0,63 0,72 0,28 0,61 0,28 0,49 0,51 0,491,04 0,52 0,48 0,47 0,82 0,35 0,38 0,66 0,35 0,62 0,72 0,28 0,62 0,28 0,48 0,52 0,481,06 0,53 0,47 0,48 0,83 0,34 0,39 0,67 0,34 0,61 0,73 0,27 0,63 0,27 0,47 0,53 0,471,08 0,54 0,46 0,48 0,84 0,34 0,39 0,68 0,34 0,59 0,73 0,27 0,63 0,27 0,46 0,54 0,461,10 0,55 0,45 0,49 0,85 0,33 0,40 0,69 0,33 0,58 0,74 0,26 0,64 0,26 0,45 0,55 0,451,12 0,55 0,45 0,49 0,86 0,33 0,40 0,70 0,33 0,57 0,74 0,26 0,65 0,26 0,45 0,55 0,451,14 0,56 0,44 0,50 0,86 0,32 0,41 0,71 0,32 0,56 0,75 0,25 0,65 0,25 0,44 0,56 0,441,16 0,57 0,43 0,50 0,87 0,31 0,42 0,72 0,31 0,55 0,75 0,25 0,66 0,25 0,43 0,57 0,431,18 0,58 0,42 0,50 0,88 0,31 0,42 0,73 0,31 0,54 0,75 0,25 0,67 0,25 0,42 0,58 0,421,20 0,58 0,42 0,51 0,88 0,30 0,43 0,74 0,30 0,53 0,76 0,24 0,67 0,24 0,42 0,58 0,421,22 0,59 0,41 0,51 0,89 0,30 0,43 0,75 0,30 0,52 0,76 0,24 0,68 0,24 0,41 0,59 0,411,24 0,60 0,40 0,51 0,90 0,29 0,44 0,76 0,29 0,51 0,77 0,23 0,68 0,23 0,40 0,60 0,401,26 0,60 0,40 0,52 0,90 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,40 0,60 0,401,28 0,61 0,39 0,52 0,91 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,39 0,61 0,391,30 0.62 0,38 0,52 0,91 0,28 0,45 0,78 0,28 0,49 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,32 0,62 0,38 0,53 0,92 0,28 0,45 0,79 0,28 0,48 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,34 0,63 0,37 0,53 0,92 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,78 0,22 0,71 0,22 0,37 0,63 0,371,36 0,63 0,37 0,53 0,93 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,79 0,21 0,71 0,21 0,37 0,63 0,371,38 0,64 0,36 0,54 0,93 0,26 0,47 0,81 0,26 0,46 0,79 0,21 0,71 0,21 0,36 0,64 0,361,40 0,64 0,36 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,79 0,21 0,72 0,21 0,36 0,64 0,36


55

REAÇÕES DE APOIO - CONTINUAÇÃO

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6

λ kx ky kx k’x ky kx k’x ky k’y k’x ky k’x ky k’y k’x k’y

1,42 0,65 0,35 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,80 0,20 0,72 0,20 0,35 0,65 0,351,44 0,65 0,35 0,54 0,95 0,25 0,48 0,83 0,25 0,44 0,80 0,20 0,73 0,20 0,35 0,65 0,351,46 0,66 0,34 0,55 0,95 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,48 0,66 0,34 0,55 0,96 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,50 0,67 0,33 0,55 0,96 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,52 0,67 0,33 0,55 0,97 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,54 0,68 0,32 0,56 0,97 0,24 0,49 0,86 0,24 0,.41 0,81 0,19 0,74 0,19 0,32 0,68 0,321,56 0,68 0,32 0,56 0,97 0,23 0,50 0,86 0,23 0,41 0,81 0,19 0,75 0,19 0,32 0,68 0,321,58 0,68 0,32 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,32 0,68 0,321,60 0,69 0,31 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,31 0,69 0,311,62 0,69 0,31 0,57 0,98 0,23 0,50 0,88 0,23 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,31 0,69 0,311,64 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,88 0,22 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,30 0,70 0,301,66 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,68 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,70 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,72 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,74 0,71 0,29 0,58 1,00 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,76 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,78 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,80 0,72 0,28 0,58 1,01 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,82 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,27 0,73 0,271,84 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,86 0,73 0,27 0,59 1,02 0,20 0,53 0,93 0,20 0,34 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,88 0,73 0,27 0,59 1,02 0,19 0,54 0,93 0,19 0,34 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,73 0,271,90 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,92 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,94 0,74 0,26 0,59 1,,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,96 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,95 0,19 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,98 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,252,00 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25

' ' ' '

2 2 2 2y yx x

x x y y x x y yp pp pV k V k V k V k= = = =

7.4 Lajes Armadas em Uma Direção

Conforme visto anteriormente, para uma relação entre os lados maior ou igual a 2 a transferência de cargas na direção do lado maior torna-se desprezível. Estas lajes serão calculadas apenas na direção do menor lado, ou seja, em apenas uma direção É importante observar que na realidade estas lajes também são armadas nas duas direções. Será desprezado o cálculo da solicitação na direção do lado maior mas não o efeito da solicitação.

DEC - CTC - UEM

56

A NBR 6118, no item 6.3.1.1 recomenda que “... Nas lajes armadas numa só direção e nas lajes nervuradas, a armadura de distribuição por metro de largura da laje deve ter seção transversal de área igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com um mínimo de 0,9 cm2, e ser composta de pelo menos três barras.”

Figura 7-4 Disposição das armaduras nas lajes armadas em uma direção

7.4.1 Determinação dos esforços

Os esforços nas lajes armadas em uma direção serão determinados através do cálculo de uma viga fictícia de 1,0 m de largura. Esta viga fictícia, de acordo com as vinculações da laje, poderá ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada. A determinação dos esforços nessas vigas é bastante simples. A primeira delas, a bi-apoiada, é uma estrutura isostática e como já foi visto em “Mecânica dos Sólidos”, não há necessidade de maiores comentários. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, são hiperestáticas, e como o assunto ainda não foi abordado em “Mecânica das Estruturas”, vamos rapidamente abordar a determinação dos seus esforços, com a ajuda da “Tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito”. Estas vigas de apenas um tramo, é o se chama de “estrutura elementar” e já foram calculadas, submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados individualmente. Por exemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuída, carga uniformemente distribuída parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes cálculos foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equação. Estas equações estão dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito. Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equações poderão vir com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para estruturas de barras em geral, vigas contínuas, pórticos etc., e seguirem uma convenção denominada “Convenção de Grinter”.

Armadura principal (a ser calculada)

Armadura de distribuição (estipulada por Norma)


57

Este assunto será visto em detalhes em “Mecânica das Estruturas”. No momento, como estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios serão sempre negativos. A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incógnita hiperestática “Mf”, ou seja a viga à direita pode ser facilmente calculada como uma viga isostática (o fato de não haver cargas horizontais torna nula a incógnita horizontal do apoio do segundo gênero à esquerda).

Neste exemplo: 2

/

8fPM m= =

O momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo. Se esta viga estivesse submetida a uma cominação de cargas, como o exemplo abaixo;

A B

p

A B

p Mf

2p

2p

8p

8p

58

p 38

p

Σ Fy = 0

Σ Mf(A) = 0 e Σ MF(B) = 0

Reações nos apoios A e B

38

p

p

x

3 38 8

px p x= → =

2

2 2max

33 3 9 98 8 8 2 64 128

pMf p p p+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = −

2

2max

9128 14,22

pMf p+ = =

DEC - CTC - UEM

58

O Princípio da Superposição do Efeitos nos permite fazer: 1

n

ii

Mf MEP=

= ∑ . Ou seja, a

somatória dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que carregam a viga. Para cargas uniformemente distribuídas.

2

max 8pM =

12

x = do apoio A

12A BR R p= =

2

8ApM = −

2

max 14,22pM + =

58

x = do apoio A

58AR p=

38AR p=

2

12A BpM M= =

2

max 24pM + =

12

x = do apoio A

12A BR R p= =

7.5 A altura e a altura útil

É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. A altura é a espessura total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura útil e a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento. A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com armadura disposta em duas camadas) a diferença entre estas duas “alturas”, ou seja:

cgydh += Equação 24

onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada.

A B A B A B

A B

p1

A B

p1

Mf p2

P p2

P


59

Figura 7-5 Centro de massa da armadura em lajes e vigas. Para melhor entendimento desta variável “ycg”, a figura abaixo detalha a seção da viga acima.

Figura 7-6 Detalhamento do centro de massa da armadura em vigas. O centro de massa das barras é determinado conforme os conceitos ministrados em “Mecânica dos Sólidos”. O diâmetro do estribo será visto mais adiante no tópico “Cisalhamento”, sendo normalmente usado, para as vigas, ferros de 5,0 ou 6,3 mm. Vamos exemplificar o cálculo do centro de massa da armadura. Para a seção da figura anterior, suponhamos que a primeira camada seja composta por 2 φ 12,5 mm (nas extremidades) e 1 φ 10,0 mm (no centro); e a segunda camada por 2 φ 10,0 mm. A distância entre as bordas das armaduras da primeira e da segunda camada, denomina-se espaçamento vertical “ev” (na horizontal o mesmo espaçamento é denominado espaçamento horizontal “eh”), e como será visto adiante, para este exemplo ev = 2,0 cm. Como eixo de referência, para o cálculo do centro de massa, será adotado a borda inferior da primeira camada. Conforme mostrado na figura abaixo, as barras alinhadas na horizontal formam uma seção única Asi, sendo a distância do seu centro de massa ao eixo de referência yi, desta forma:

• • • • • •

d h

ycg

Lajes

d h ycg

Vigas

cg φt c

y cg ccg t= + +φ

cg centro de massa das barras φt diâmetro do estribo c cobrimento da armadura

DEC - CTC - UEM

60

Asi barras seção yi As1 2 φ 12,5 mm 2,5 cm2 0,625 cm As2 1 φ 10,0 mm 0,8 cm2 0,5 cm As3 2 φ 10,0 mm 1,6 cm2 3,75 cm

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3* * * *sTOTAL s s sA cg A y A y A y= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3* * * 2,5*0,625 0,8*0,5 1,6*3,752,5 0,8 1,6

s s s

sTOTAL

A y A y A ycg

A+ + + +

= =+ +

7,9625 1,625 cm4,9

cg = =

Obs. O “cg” depende apenas da armadura, enquanto o “ycg” ( y cg ccg t= + +φ ) depende também do cobrimento “c” e do diâmetro do estribo “φt”, que são variáveis.

7.6 Proteção da Armadura

A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de corrosão dos aços, que ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. Esta proteção normalmente é feita através de uma camada de concreto com uma espessura mínima em função do revestimento (ou não) do elemento e das condições ambientais (meio agressivo, meio não agressivo, no interior de edifícios, ao ar livre, em contato com o solo etc.). A NBR 6118 no item 6.3.3 prescreve as condições mínimas para a proteção adequada das armaduras em estruturas de concreto armado. 6.3.3 Proteção 6.3.3.1 Cobrimento Qualquer barra da armadura, inclusive de distribuição, de montagem e estribos, deve ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor que:

cg

eixo de referência

As3

y3

y1 y2

As TOTAL

As1 As2


61

em lajes no interior de edifícios 0,5 cm em paredes no interior de edifícios 1,0 cm em lajes e paredes ao ar livre 1,5 cm em vigas, pilares e arcos no interior de edifícios

1,5 cm

para concreto revestido com argamassa de espessura mínima de 1 cm

em vigas, pilares o arcos ao ar livre 2,0 cm no Interior de edifícios 2,0 cm para concreto aparente ao ar livre 2,5 cm

para concreto em contato com o solo 3,0 cm para concreto em meio fortemente agressivo 4,0 cm

• Se o solo não for rochoso, sob a estrutura deverá ser interposta uma camada de concreto simples, não considerada no cálculo, com o consumo mínimo de 250 kg de cimento por metro cúbico e espessura de pelo menos 5 cm

• Para cobrimento maior que 6 cm deve-se colocar uma armadura de pele complementar, em rede, cujo cobrimento não deve ser inferior aos limites especificados neste item.

• No caso de estruturas que devam ser resistentes ao fogo. o cobrimento deverá atender às exigências da NB-503, além das especificadas neste item.

No exemplo anterior, do cálculo do centro de massa da armadura, determinamos o valor do cg = 1,625 cm. Para a determinação do ycg devemos acrescentar o diâmetro do estribo mais o cobrimento. Considerando uma viga, revestida, interna, com estribos de 5,0 mm:

1,625 0,5 1,5 3,625 cg ty cg c cmφ= + + = + + =

6.3.3.2 Medidas especiais Além do cobrimento mínimo, deverão ser tomadas medidas especiais para aumento da proteção da armadura se o concreto for sujeito a abrasão, a altas temperaturas, a correntes elétricas ou a agentes fortemente agressivos, tais como ambiente marinho e agentes químicos. O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e vibração do concreto, as barras permaneçam em suas posições, conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, é feito através do uso de distanciadores, que podem ser feitos na obra ou industrializados Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao

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cobrimento de concreto, com traço superior ao do elemento a ser concretado, com um pedaço de arame recozido, trançado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 7-7 Distanciadores de armadura executados na obra Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, de alta resistência, apresentando forma e dimensões variadas. Como exemplo, na figura a seguir são apresentados alguns dos distanciadores. No Brasil existem vários fabricantes destes distanciadores, podendo ser citados a COPLAS®, JERUELPLAST® e a HOMERPLAST ®.


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Modelo A - Distanciador circular com entrada radial, indicada para ferragem vertical na construção de paredes, colunas e pré-moldados de concreto. Permite recobrimento de 15 mm e ferros de bitola de 5mm a 16 mm.

Modelo F - Distanciador circular com entrada lateral, indicado para ferragem vertical.. Permite recobrimentos de 15, 20 e 30 mm e ferros de bitola de 5mm a 10 mm.

Modelo B/P - Distanciador tipo torre para ferragem pesada e de grande diâmetro, usado em lajes.. Permite recobrimentos de 15 a 50 mm e ferros de qualquer bitola.

Modelo E - Distanciador universal para uso tanto na horizontal como na vertical. Especialmente indicado para pré-moldados. Permite recobrimento de 10 a 50 mm e ferros de bitola até 10 mm.

Modelo G - Distanciador universal para uso tanto na horizontal como na vertical. Permite recobrimento de 20 mm e ferros de bitola até 12,5 mm.

Aparelho aplicador dos distanciadores modelo G. O carregador, situado no topo do aparelho, comporta até 35 distanciadores.

Figura 7-8 Exemplos de alguns dos distanciadores HOMERPLAST ®

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Espaçadores industrializados para lajes e vigas.

Caranguejo Espaçador feito na obra (para lajes e vigas).

7.7 Altura Útil e Espessuras Mínimas

A altura útil “d” das lajes é tratada pela NBR 6120 - item 4.2.3.1-C

• as flechas medidas a partir do plano que contém os apoios, quando atuarem todas as ações, não ultrapassarão 1/300 do vão teórico, exceto no caso de balanços para os quais não ultrapassarão 1/150 do seu comprimento teórico.

• o deslocamento causado pelas cargas acidentais não será superior a 1/500 do vão teórico e 1/250 do comprimento teórico dos balanços

Em vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de edifícios serão consideradas atendidas as condições a e b e dispensar-se-á o cálculo das flechas

quando a altura útil d não for inferior ao valor 2 3ψ ψ

devendo-se tomar para ψ2 e ψ3

os valores tabelados abaixo (nas lajes armadas em cruz, é o menor vão); em qualquer caso deverão ser respeitados os limites do item 6.1.1.1.

2 3d

ψ ψ≥ Equação 25

A espessura h das lajes é tratada pela NBR 6120 no item 6.1.1.1.


65

A espessura das lajes não deve ser menor que: a) 5 cm em lajes de cobertura não em balanços; b) 7 cm em lajes de piso e lajes em balanço; c) 12 cm em lajes destinadas a passagem de veículos;

VALORES DE ψ3

ψ3 Aço Resist. de cálculo σsd (kgf/cm

2) Vigas e lajes

nervuradas Lajes maciças

CA 25 2150 25 35 CA 32 2800 22 33 CA 40 3500 20 30 CA 50 4350 17 25 CA 60 5200 15 20

VALORES DE ψ2 - VIGAS E LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

ψ2 = ψ2 = ψ2 = ψ2 =1,0 1,2 1,7 0,5

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VALORES DE ψ2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES Obs:.

A convenção aplicada para as vinculações é a do item 6.1 da NBR 6118.

x é o vão maior e y o menor (** cuidado)

valor superior – ψ2 para x / y = 1

valor inferior – ψ2 para x / y = 2

Pode-se obter ψ2 para x / y > 2 exceto nos casos assinalados com asterístico.

Para 1 < x / y < 2, interpolar linearmente

A seguir são apresentadas duas tabelas de ψ2 para lajes armadas em duas direções. Na primeira a tabela acima com tem os seus valores interpolados para ∆=lx/ly = {1,2, 1,4, 1,6, e 1,8} e na segunda tabela adaptou-se esta recomendação da Norma para a convenção de Marcus, ou seja, o mesmo λ usado para as tabelas de Marcus, é utilizado para a determinação do coeficiente ψ2.

2,2 2,0 1,9 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7

2,0 1,8 1,7 1,4 1,3 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3

1,9 1,7 1,5 1,1 1,0 1,2 1,1 1,1 1,0 1,0

1,7 1,4 1,1 0,7 0,6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

1,7 1,3 1,0 0,6 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,3 *

x y


67

VALORES DE ψ2 LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES

1

2

∆

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1,5 1,4 1,3 1,3 1,2 1,1

1,7 1,6 1,6 1,5 1,5 1,4

1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

1,0 0,9 0,8 0,8 0,7 0,6

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1,7 1,6 1,5 1,3 1,2 1,1

1,8 1,7 1,6 1,6 1,5 1,4

2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7

1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,6

1,3 1,2 1,1 0,9 0,8 0,7

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1,9 1,8 1,6 1,5 1,3 1,2

2,0 1,9 1,8 1,6 1,5 1,4

2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,7

1,7 1,5 1,3 1,1 0,9 0,7

1,7 1,5 1,3 1,2 1,0 0,8

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3

1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7

0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3

0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0

1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3

1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7

0,6 0,6 0,6 0,5 0,5 0,5

0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5

∆ =ll2

1 onde: l2 é sempre o maior vão

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VALORES DE ψ2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (Convenção de Marcus)

λ T1 T2 T3 T4 T5 T6 λ T1 T2 T3 T4 T5 T6

0,50 1,10 1,20 1,40 1,00 1,50 1,70 1,80 1,90 2,00 2,200,51 1,12 1,23 1,42 1,02 1,49 1,69 1,79 1,90 1,99 2,190,52 1,15 1,25 1,45 1,04 1,48 1,69 1,78 1,89 1,99 2,180,53 1,17 1,28 1,47 1,06 1,48 1,68 1,78 1,89 1,98 2,170,54 1,19 1,30 1,49 1,08 1,47 1,68 1,77 1,88 1,98 2,160,55 1,21 1,33 1,51 1,10 1,46 1,67 1,76 1,88 1,97 2,150,56 1,23 1,35 1,53 1,12 1,45 1,66 1,75 1,88 1,96 2,140,57 1,25 1,37 1,55 1,14 1,44 1,66 1,74 1,87 1,96 2,130,58 1,27 1,39 1,57 1,16 1,44 1,65 1,74 1,87 1,95 2,120,59 1,28 1,41 1,58 1,18 1,43 1,65 1,73 1,86 1,95 2,110,60 1,30 1,43 1,60 1,20 1,42 1,64 1,72 1,86 1,94 2,100,61 1,32 1,45 1,62 1,22 1,41 1,63 1,71 1,86 1,93 2,090,62 1,33 1,47 1,63 1,24 1,40 1,63 1,70 1,85 1,93 2,080,63 1,35 1,49 1,65 1,26 1,40 1,62 1,70 1,85 1,92 2,070,64 1,36 1,51 1,66 1,28 1,39 1,62 1,69 1,84 1,92 2,060,65 1,38 1,52 1,68 1,30 1,38 1,61 1,68 1,84 1,91 2,050,66 1,39 1,54 1,69 1,32 1,37 1,60 1,67 1,84 1,90 2,040,67 1,40 1,56 1,70 1,34 1,36 1,60 1,66 1,83 1,90 2,030,68 1,42 1,57 1,72 1,36 1,36 1,59 1,66 1,83 1,89 2,020,69 1,43 1,58 1,73 1,38 1,35 1,59 1,65 1,82 1,89 2,010,70 1,44 1,60 1,74 1,40 1,34 1,58 1,64 1,82 1,88 2,000,71 1,45 1,61 1,75 1,42 1,33 1,57 1,63 1,82 1,87 1,990,72 1,47 1,63 1,77 1,44 1,32 1,57 1,62 1,81 1,87 1,980,73 1,48 1,64 1,78 1,46 1,32 1,56 1,62 1,81 1,86 1,970,74 1,49 1,65 1,79 1,48 1,31 1,56 1,61 1,80 1,86 1,960,75 1,50 1,67 1,80 1,50 1,30 1,55 1,60 1,80 1,85 1,950,76 1,51 1,68 1,81 1,52 1,29 1,54 1,59 1,80 1,84 1,940,77 1,52 1,69 1,82 1,54 1,28 1,54 1,58 1,79 1,84 1,930,78 1,53 1,70 1,83 1,56 1,28 1,53 1,58 1,79 1,83 1,920,79 1,54 1,71 1,84 1,58 1,27 1,53 1,57 1,78 1,83 1,910,80 1,55 1,73 1,85 1,60 1,26 1,52 1,56 1,78 1,82 1,900,81 1,56 1,74 1,86 1,62 1,25 1,51 1,55 1,78 1,81 1,890,82 1,57 1,75 1,87 1,64 1,24 1,51 1,54 1,77 1,81 1,880,83 1,58 1,76 1,88 1,66 1,24 1,50 1,54 1,77 1,80 1,870,84 1,59 1,77 1,89 1,68 1,23 1,50 1,53 1,76 1,80 1,860,85 1,59 1,78 1,89 1,70 1,22 1,49 1,52 1,76 1,79 1,850,86 1,60 1,79 1,90 1,72 1,21 1,48 1,51 1,76 1,78 1,840,87 1,61 1,80 1,91 1,74 1,20 1,48 1,50 1,75 1,78 1,830,88 1,62 1,80 1,92 1,76 1,20 1,47 1,50 1,75 1,77 1,820,89 1,63 1,81 1,93 1,78 1,19 1,47 1,49 1,74 1,77 1,810,90 1,63 1,82 1,93 1,80 1,18 1,46 1,48 1,74 1,76 1,800,91 1,64 1,83 1,94 1,82 1,17 1,45 1,47 1,74 1,75 1,790,92 1,65 1,84 1,95 1,84 1,16 1,45 1,46 1,73 1,75 1,780,93 1,65 1,85 1,95 1,86 1,16 1,44 1,46 1,73 1,74 1,770,94 1,66 1,86 1,96 1,88 1,15 1,44 1,45 1,72 1,74 1,760,95 1,67 1,86 1,97 1,90 1,14 1,43 1,44 1,72 1,73 1,750,96 1,68 1,87 1,98 1,92 1,13 1,42 1,43 1,72 1,72 1,740,97 1,68 1,88 1,98 1,94 1,12 1,42 1,42 1,71 1,72 1,730,98 1,69 1,89 1,99 1,96 1,12 1,41 1,42 1,71 1,71 1,720,99 1,69 1,89 1,99 1,98 1,11 1,41 1,41 1,70 1,71 1,71

2,00 1,10 1,40 1,40 1,70 1,70 1,70


69

7.8 Carga de paredes. Cargas não uniformemente distribuídas.

NBR-6118 - item 3.3.2.4, 3.3.2.5

As cargas concentradas ou parcialmente distribuídas são supostas distribuindo-se a 45° até o plano médio da laje.

Figura 7-9 Distribuição de cargas concentradas ou lineares no plano de uma laje.

7.8.1 Lajes Armadas em uma direção

Nas Lajes armadas em uma direção permite-se o cálculo simplificado como uma viga de largura bw igual a largura b determinadada conforme a figura acima (b=a+h), nos casos em que b for maior que o vão teórico . Se b for menor que o vão teórico ou que o comprimento teórico (balanço), usa-se bw igual a:

para momentos fletores positivos: ( )1 121

a l a bbl l− ⎛ ⎞+ −⎜

⎝ ⎠

para momentos fletores negativos: ( )1 121

a l a bbl l− ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

para forças cortantes: 1 1 bb a

l⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

para momentos fletores em lajes em balanços: 11,5 1 bb a

l⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

para forças cortantes em lajes em balanço: 10,5 1 bb a

l⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

onde a1 é a distancia do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda. Para lajes de edifícios armadas em uma direção a1 pode ser considerado como /2.

a a

h h/2

b = a + h/2 b = a + h

45° 45° 45° 45°

DEC - CTC - UEM

70

Para edificações pode-se simplificar as expressões de bw fornecidas anteriormente, considerando-se que bw << e a1 = /2.

Para exemplificar a simplificação feita, tomemos a equação “a”.

( )1 121

a a bb− ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ como b<< 1 1b⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

e como a1= /2 2

2 2b

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠+ 2b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+

2

2 b +

como b<< 2

0,52wb b= + =

fazendo-se o mesmo para as demais equações, obtem-se:

• momentos fletores positivos e cortantes 0,50 wb = • momentos fletores negativos (inclusive balanços) 0,75 wb = • esforços cortantes, em balanço 0,25 wb =

Bor

da li

vre

A seção considerada acha-seneste intervalo

Bor

da li

vre

b=a+h a1 bw


71

Nas lajes armadas em uma direção tem-se, portanto, o carregamento de paredes, solicitando uma região da laje correspondente à sua área de influência (da parede). O carregamento de paredes em lajes armadas em 1 direção se dá através de cargas distribuídas (paredes orientadas segundo a direção da viga fictícia) ou concentradas (paredes orientadas normalmente à direção da viga fictícia). Na figura abaixo, a parede 1 provoca na laje (viga fictícia) uma carga uniformemente distribuída enquanto a parede 2 provoca uma carga concentrada (Observe que os 2 traços cheios horizontais, de comprimento /4 é a influência, à esquerda e à direita da parede p2).

Figura 7-10 Cargas de paredes em lajes. Onde: p0 peso próprio, revestimento, carga acidental etc. p1 carga uniformemente distribuída da parede I P carga concentrada da parede II A laje da figura acima tem 5 regiões com carregamentos diferentes (regiões “a”, “b”, “c”, “d”, e “e”) sendo que, as regiões “a”, “c” e “e” são solicitadas pela carga uniformemente distribuída “p1”, a região “b” é solicitada pelas cargas uniformemente distribuídas “p1” e “p2” e a região “d” é solicitada pela carga uniformemente distribuída “p1” e pela carga concentrada “P”. Estas regiões serão denominadas de “faixas” e serão representadas pelas suas respectivas vigas fictícias. Desta forma sempre que houver alteração na viga fictícia (mudanças no carregamento ou na vinculação) tem-se uma nova faixa. É importante se fazer a distinção de “área de influência de uma parede” e “faixa de uma laje”. Na figura abaixo as áreas de influência das paredes 1 e 2 estão se superpondo, ou seja, houve uma mudança d carregamento, portanto, uma nova faixa. Neste exemplo, ao contrário do anterior, as faixas são diferentes das áreas de influência.

l2

l4

l4

Parede I Parede II

a b c d e

A

B

A

B

A

B

p0 p0 p0 p1

P

(1) (2) (3)

P

DEC - CTC - UEM

72

Figura 7-11 Esquema de carregamento das vigas fictícias nas lajes armadas em uma

direção Vamos considerar que p1 será a carga uniformemente distribuida proveniente do peso próprio, do revestimento e da carga acidental, ou seja, p1 será constante para todas as faixas da laje. Supondo que a parede tenha expessura bp, altura h, e peso específico γp, a carga uniformemente distribuída p2 que atuará na laje, por metro quadrado é determinada como se segue: peso da parede por metro linear pp1 h bP γ= Equação 26

desta forma p2 será dado por: pp12

h b 2

2

Ppγ

== Equação 27

e como a viga fictícia tem 1,0 m de largura, a carga p2 que carrega a laje por metro quadrado, carregará a viga por metro linear.

Figura 7-12 Cargas de paredes em lajes armadas em uma direção.

a) f) b) c) d) e)

/2 /4

/4 /2

Parede I

Parede II

Parede III

a b c d e f

1,0 m

p2

/4 /4

Viga fictícia com 1,0 m de largura.

Carga da faixa de parede atuando nalaje


73

7.8.2 Lajes Armadas em duas direções

Nas Lajes armadas em duas direções permite-se o cálculo simplificado distribuindo-se o peso total da parede pela área da laje (efeitos de grelha).

7.9 Vão teórico de lajes - (NBR-6118-item 3.3.2.3.)

O vão teórico é a distancia entre os centros de apoio, não sendo maiores que:

• Laje isolada - Vão livre mais espessura da laje no meio do vão

• Laje contínua - vão externo - Vão livre mais semi-largura do apoio interno, mais semi-espessura da laje no meio do vão.

Obs:. Para as lajes é usual se tomar a distância de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez que a diferença, normalmente é pequena (a exceção seria o caso das vigas de maior largura, as vigas de transição por exemplo.)

7.10 Extensão e qualidade dos apoios.

Se em lado qualquer da laje houver predominância de uma vinculação sobre outra qualquer, esta vinculação prevalece e será a única considerada. A predominância de uma vinculação sobre outra se dá quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento do lado. Não havendo a predominância de uma vinculação sobre outra, deve-se calcular a laje supondo cada uma das vinculações isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou tomar os mais críticos). A figura abaixo exemplifica o enunciado, ou seja, a laje L1 deve ser calculada como “tipo 1”, como “tipo 2”, e terá como esforços solicitantes os maiores entre os calculados.

Figura 7-13 Predominância de uma vinculação sobre a outra

7.11 Abertura em lajes - NBR 6118 - item 6.2.1.

Quando forem previstas aberturas em qualquer peça de concreto armado, deve-se verificar o seu efeito na resistência e na deformação de modo que não sejam ultrapassados os limites exigidos nesta Norma. A verificação de que trata este item será dispensada nos seguintes casos:

L1 L2

DEC - CTC - UEM

74

• aberturas em vigas que as atravessem na direção de sua espessura, havendo apenas uma em cada meio tramo, situadas a uma distância da face do apoio maior que 2 h e em zona de tração, com dimensão transversal não superior a 12 cm nem a h/2, não interceptando qualquer barra da armadura e respeitando as exigências de cobrimento da armadura;

• aberturas normais ao plano médio das lajes armadas numa só direção, se na direção perpendicular à armadura principal a maior dimensão da abertura não ultrapassar 1/10 da largura útil (item 3.3.2.5) e nem 1/10 do vão, não havendo entre 2 aberturas consecutivas distância inferior a 1/2 do vão e entre uma abertura e a borda livre da laje distância Inferior a 1/4 do vão;

• aberturas normais ao plano médio das lajes armadas em cruz, se a dimensão da abertura em cada direção da armadura não ultrapassar 1/10 do menor vão e não houver entre duas aberturas distância inferior a 1/2 do vão e entre urna abertura e a borda livre da laje distância inferior a 1/4 do vão;

• aberturas paralelas ao plano médio das lajes, se a sua maior dimensão transversal for inferior a 1/3 da espessura da laje e o espaçamento entre duas aberturas consecutivas de centro a centro for superior a 4 vezes aquela maior dimensão.

7.12 Canalizações embutidas

Salvo quando as canalizações embutidas atravessam peças da estrutura de fora a fora, na direção da espessura, não são elas permitidas nos seguintes casos:

• canalizações sem isolamento adequado ou verificação especial quando destinadas a passagem de fluídos com temperatura que se afaste de mais de 15°C da temperatura ambiente;

• canalizações destinadas a suportar pressões internas que ultrapassam 3 kgf/cm2.

• Não serão permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pilares, quer no concreto, quer em espaços vazios internos à peça que não tenham aberturas de drenagem.

7.13 Apoios sobre alvenaria - NBR-6118 - item 6.1.1.2.

Os apoios sobre alvenaria não devem ser menores que a espessura da laje no meio do vão, nem menor que 7,0 cm.


75

8 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura.

8.1 Dispositivos auxiliares de cálculo

O projeto de uma estrutura, compreendendo a memória de cálculo, os desenhos de forma, de armação, assim como todas as anotações sobre considerações feitas no projeto, devem ser guardadas para sempre. Vinte, trinta anos após a execução de uma obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alterações no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a necessidade de se ter memórias de cálculo de fácil entendimento, com todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da forma mais concisa possível. A seguir propõe-se como exemplo, rotinas de cálculo através de tabelas, que permitem a sistematização do cálculo e uma melhor visualização das informações. Esta sistematização é importante para o uso de planulhas eletrônicas. O modelo abaixo pode ser extendido até a determinação dos momentos fletores e esforços cortantes

Laje Tipo ly lx λ ψ2 ψ3 d h pp rev alv out. S.T. Acd TT 1 2 4,25 3,15 1,35 2 3 3-a --- 3,0 3-b --- 3,0

obs.: Laje 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direção pp peso próprio da laje pôr metro quadrado. rev peso próprio do revestimento alv peso próprio da alvenaria, quando houver carga de paredes out outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga proveniente de base de máquinas, etc. S.T. subtotal - ou soma das cargas permanentes acd sobrecarga ou carga acidental TT carga total por metro quadrado atuante na laje

Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista e ampliado para a determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio). O uso de planilhas de cáculo facilita bastante este trabalho.

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76

8.2 Determinação dos esforços.

A partir da planta de forma, as lajes são destacadas uma a uma, conservando as suas vinculações originais. O cálculo é então realizado como se as lajes fossem todas isoladas. A seguir é exemplificado o procedimento de cálculo, a partir do esboço de planta de forma apresentado. Os traços mais escuros representam o nível do pavimento. Neste esquema apresentado, as lajes L1, L2 e L4 estão niveladas e a laje L3 está rebaixada. Os pilares P5, P6, ..., P12 e as vigas V102, V103, ..., V109 serão desenhados de forma análoga aos pilares P1 a P4 e à viga V101 respectivamente, observando que a numeração dos pilares é da esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas é da esquerda para a direita, de cima para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as verticais).

Figura 8-1 Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação. Deve-se observar que:

• a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e ly estão colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3.

• a laje 3 está rebaixada, conforme a representação na planta de forma, sendo portanto uma laje Tipo 1.

A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes, destacando-se uma a uma, para a obtenção das lajes isoladas e suas vinculações: A figura a seguir ilustra este processo

L1 L2 L3 L4 H=8cm H=9,5cm H=8cm H=8,0cm

a b c d e

f g

L5 L6 L7 H=8cm H=8,0cm H=9,5cm

P1(12x30) P2(12x30) P3(12x40) V101(12x35) P4(12x25)


77

.

Figura 8-2 Destaque das lajes constituintes da planta de forma. (A laje 02 deverá ser calculada como “tipo 3” e como “tipo 5”)

Após a determinação dos esforços em cada uma das lajes (momentos fletores e reações de apoio), calculados como se fossem isoladas, torna-se necessário o reagrupamento destas lajes, conforme a situação original, pois, é necessário que se considere o efeito de cada uma das lajes sobre as que a cercam. É o que chamamos de compensação dos momentos fletores. Acabamos de ver uma situação de laje “rebaixada”. A laje 03 está abaixo do nível do pavimento. As demais lajes do exemplo são consideradas “normais”. Em relação às vigas, estas poderâo ser: Vigas normais; Vigas invertidas; Vigas intermediárias. Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham melhor o processo de execução.

y L5 x

y L6 x

x

L7

y

y

L1

x

y L2 x

x L3 y

x L4 y

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Viga “Normal”. A laje está sôbre a viga.


79

Viga “Invertida”. A laje está sob a viga.

A situação típica de lajes rebaixadas, são as lajes de banheiro (também as áreas de serviço e cozinhas) onde se tem a tubulação de esgoto da bacia sanitária de 4” fazendo uma curva de 90o, e ralos sifonados. Esta solução atualmente está em desuso, com a utilisação dos forros falsos. Os rebaixos de banheiros devem ser de no mínimo 25 cm.

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Viga “Intermediária”. A laje está a meia altura da viga.

A situação típica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 3 a 4 cm, são as lajes de terraço. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de água no outro ambiente.


81

Viga “Normal”. Forma para laje laje em balanço (beiral)

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“Estrado” de uma laje visto por baixo.

8.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados)

A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é feita conforme a figura abaixo – “Planta dos Momentos Fletores não Compensados”. A partir destes momentos fletores é feita a compensação.

Figura 8-3 Momentos fletores não compensados.

Mx

My

Mx My

My

Mx

Mx

My

Mx

My

Xx

Xy Xy

Xy Xy

Mx

Mx

XxXx

MyXx

Xx Xx My

Xx Xy


83

8.2.2 Compensação dos momentos fletores

A compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se observe algumas restrições:

• a carga permanente deve ser maior que a acidental,

• carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total,

• as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita uma a uma, independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6 e L7, a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor Mx (o momento na direção horizontal), mas ao se fazer a compensação das lajes L6 e L7, devem ser tomados todos os valores originais, como se a compensação L5 e L6 não tivesse sido realizada. Através da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensação. Tomando como exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o “nó” a ser compensado e os esforços envolvidos na compensação. Pela laje L1 tem-se o momento positivo Mx1 e o negativo Xx1 e pela laje L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo respectivamente. Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os esforços Mx1*, X* e Mx2*

Figura 8-4 Compensação dos momentos fletores

O processo de compensação, bastante simplificado, será:

( )1 2

1

12*

0,8x x

x

X XX

X

⎧ +⎪≥ ⎨⎪⎩

1 *xX X∆ = − ∆=δ 5,0 Equação 28

Xx1 X* Xx2

Mx1* Mx1 Mx2 Mx2*

∆

δ1

δ2∆ = Xx1 - X* δ1 = ∆ / 2

DEC - CTC - UEM

84

Com estas correções altera-se os valores dos momentos positivos, que também serão corrigidos, somando-se δ=∆/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L1 “desceu”, reduzindo o momento negativo e aumentando o momento positivo. Ao contrario. o diagrama de momento fletor da laje L2 “subiu”, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo que neste caso, a redução pode ser desprezada, a favor a segurança. (Observar que Xx1 é o maior momento fletor e somente a laje que o contém terá seu momento fletor positivo majorado )

Figura 8-5 Momentos fletores compensados

Como já foi dito anteriormente, estas compensações serão feitas caso a caso, (nó a nó), como se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando for feita a compensação das lajes L2 e L7, serão utilizados os momentos Mx2, Xx2, Xx7 e Mx7, independente de o momento Mx2 ter sido alterado ou não na compensação das lajes L1 e L2. Com isto pode acontecer de a laje L2 apresentar dois momentos Mx2*, neste caso toma-se o maior.

8.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura

A partir dos momentos fletores compensados, as lajes serão dimensionadas à flexão, como vigas fictícias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha das bitolas, além daqueles prescritos em norma, são utilizar apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores negativos, que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou não. Desta forma, esforços diferentes implicarão na utilização da mesma bitola com espaçamentos diferentes. Isto é importante para a fiscalização, antes da concretagem, pois bitolas de 5,0 mm podem induzir a erros quando utilizadas com a de 6,3 mm.

Mx

Mx

My

My

Mx

My

Mx

My*

Mx

My

X56

X26X15

Mx

MxX67

My

X47 X12

My

X27


85

8.3.1 Distribuição das armaduras de flexão

8.3.1.1 Armaduras Positivas

As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir a superfície de momentos fletores, o que é impraticável pois as tabelas geralmente só fornecem valores correspondentes ás faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuição. A prática, tem consagrado uma simplificação, onde os comprimentos das barras (que já inclui os comprimentos de ancoragem), aparecem em função do vão em será disposta a armadura.

Figura 8-6 Disposição da armadura positiva e comprimento das barras em lajes. É importante observar que, com tais esquemas de distribuição das armaduras, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com ½ As, indicando que o critério é satisfatório.

8.3.1.2 Armaduras negativas.

A NBR 6118 no item 3.3.2.7 estabelece que “quando não se determinar o diagrama exato dos momentos negativos, em lajes retangulares de edifícios com carga distribuída e q ≤ g, as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos (considerado já deslocado ) de base igual ao valor adiante indicado: a) Em Lajes atuando em duas direções ortogonais:

• Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiada ou engastada, 0,25 do menor vão.

• Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vãos menores das lajes contínuas.

c = 0,80

c = 0,85

c = 0,75

y

x

0,85 y

0,80 x

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b) Em lajes atuando em uma só direção. Em uma borda engastada, 0,25 do vão. A prática, tem consagrado como simplificação, o detalhamento da armadura apresentado abaixo, onde o comprimento reto da barra é 3/4 do intervalo (0,5 2), intercalando-se as armaduras, à esquerda e à direita.

Figura 8-7 Disposição da armadura negativa e comprimento das barras em lajes. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critério é satisfatório.

8.3.1.3 Observações complementares:

Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas é conveniente dispor algumas armaduras negativas com o fito de limitar a fissuração. A NBR 6118 no item 3.3.2.8 estabelece que “quando nos cantos de lajes retangulares livremente apoiadas nas quatro bordas, a armadura para resistir aos momentos volventes não for calculada, deverão ser dispostas duas armaduras, uma superior paralela à bissetriz e outra inferior, a ela perpendicular, cada uma delas com área da seção transversal não inferior à metade da máxima no centro da laje. Essas armaduras deverão estender-se até a distância, medida a partir da face dos apoios, igual a um quinto do vão menor”. Recomenda-se, como forma de atender o prescrito na norma e ao mesmo tempo evitar o aparecimento de fissuras nas bordas das lajes simplesmente apoiadas, o detalhamento da armadura positiva, conforme proposto a seguir:

1 2

3

1/8 2

1 2

3 1> 2> 3

0,5 2


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Figura 8-8 Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas. Observações:

• O esquema proposto no detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas

• Em uma planta de armação, sempre que um ferro for idêntico a outro (mesma geometria, comprimentos etc.) eles terão o mesmo numero. É por este motivo que os ferros verticais de ambas as lajes recebem a denominação “N1”.

• Cada um dos ferros horizontais está recebendo um número diferente, uma vez que, ou diferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos.

• Os ferros são sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar como se procede o intercalamento.

• Observe que se todas as barras fossem espaçadas a 15 cm, para N1 no desenho seria colocado Q1N1c/15 , Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, está sendo indicado que o par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros conjuntos são formados pela barras N2 / N3 e N4 / N5.

Importante: Quando se tratar de lajes contínuas com diferentes condições de apoio no lado comum, (lajes com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje considerada deve prolongar-se na laje vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo, na direção considerada, mude o sinal.

ferro N1 ferro N2 ferro N5 ferro N3 ferro N4

Detalhe A 15 a 20% do vão

Gancho: h-2,0 cm

N1 N1

N2 N4 N3 N5

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8.3.1.4 diâmetro das barras - NBR 6118 - 6.3.1.1 Lajes

• O diâmetro das barras não deve ultrapassar 1/10 da espessura da laje.

• Nas lajes armadas numa só direção e nas lajes nervuradas, a armadura de distribuição por metro de largura da laje deve ter seção transversal de área igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com um mínimo de 0,9 cm2 e ser composta de pelo menos três barras.

8.3.1.5 Espaçamento das barras - NBR 6118 - 6.3.2

6.3.2.1 Lajes

• Na região dos maiores momentos nos vãos das lajes, o espaçamento das barras da armadura principal não deve ser maior que 20 cm. Nas lajes armadas numa única direção esse espaçamento não deve, também, ser maior que 2 h.

• Os estribos nas lajes nervuradas, sempre que necessários, não devem ter espaçamento maior que 20 cm.

• O espaçamento das barras de distribuição não deve ser maior que 33 cm.

• Nas lajes deverá ser feita amarração das barras, de modo que em cada uma destas o afastamento entre duas amarrações não exceda 35 cm.


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9 Detalhes de Formas e armação de lajes.

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90

errado certo

certo errado

Desta forma é maiseconômico Mas também pode serfeito assim

h

≥ 2h

≥ 2h


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10 Um pouco sobre a patologia das lajes

A armação incorreta de uma laje, seja por disposição incorreta da armadura (mal posicionamento), insuficiencia de armadura, carregamentos não previstos no cálculo pode leva-la ao colapso, à rúina. As lajes, para atender o disposto em norma quanto às flechas, têm suas alturas determinadas em função do estado limite de utilisação, sendo muito maiores que as necessárias para atender o estado limite último (de rúina). Em outras palavras, isto significa muito comcreto com pouco aço, ou seja, as lajes normalmente são calculadas no domínio 2 ou no início do domínio 3. Do exposto tem-se que os problemas decorrentes de seu dimensionamento, normalmente são precedidos de fissuras. A seguir apresentamos alguns exemplos e suas prováveis causas.

Laje vista por baixo. Insuficiência de armadura decanto.

Laje vista por cima. Insuficiência de armadura decanto.

Laje vista por cima. Fissura de flexão na facesuperior. Insuficiência dearmadura negativa.

Laje vista por baixo. Esmagamento provocadopor espessura da lajeinsuficiente nos apoios.

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Laje vista por cima Esmagamento provocadopor espessura insuficiente nomeio do vão

Laje vista por baixo. Fissura provocada porflexão. Insuficiência dearmadura positiva.

Laje vista por baixo ou porcima. Fissura por cisalhamentonos apoios.

Fissuras de retraçãohidráulica e concentraçãotérmica devido a problemasde cura, excesso de água deamassamento, excesso decalor durante a concretagem


93

11 Anexo 1 - Tabela de ferros

Tabela de ferros Lajes φ peso Área em função do número de barras espaço As (cm2)

mm kg/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cm 5,0 6,3 8.0 5,0 0,16 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 5,0 3,64 5,60 8,62

3 6 8 11 13 16 18 21 23 5,5 3.33 5.14 7.94 6,0 3.08 4.75 7.35

6,3 0,25 0,32 0,64 0,95 1,26 1,58 1,89 2,21 2,52 2,84 3,15 6,5 2.86 4.42 6.85 3 6 9 11 14 16 19 22 24 7,0 2.67 4.13 6.41 7,5 2.50 3.87 6.02

8,0 0,40 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 8,0 2.35 3.65 5.68 4 6 9 12 15 18 20 23 26 8,5 2.22 3.45 5.38 9,0 2.11 3.27 5.10

10,0 0,63 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 9,5 2.00 3.11 4.85 4 7 10 13 16 19 22 25 28 10,0 1.90 2.96 4.63 10,5 1.82 2.83 4.42

12,5 1,00 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 11,0 1.74 2.71 4.24 5 8 11 14 18 21 24 27 31 11,5 1.67 2.60 4.07 12,0 1.60 2.49 3.91

16,0 1,60 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 12,5 1.54 2.40 3.76 5 9 12 16 20 23 27 30 34 13,0 1.48 2.31 3.62 13,5 1.43 2.23 3.50

20,0 2,50 3,15 3,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 14,0 1.38 2.15 3.38 6 10 14 18 22 26 30 34 38 14,5 1.33 2.08 3.27 15,0 1.29 2.02 3.16

22,2 3,05 3,88 7,76 11,64 15,52 19,40 23,28 27,16 31,04 34,92 38,80 15,5 1.25 1.95 3.07 7 11 16 20 24 29 33 38 42 16,0 1.21 1.89 2.98 16,5 1.18 1.84 2.89

25,0 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 17,0 1.14 1.79 2.81 8 13 18 23 28 33 38 43 48 17,5 1.11 1.74 2.73 18,0 1.08 1.69 2.66

32,0 6,30 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00 18,5 1.05 1.65 2.59 10 16 22 29 35 42 48 54 61 19,0 1.03 1.60 2.53 19,5 1.00 1.56 2.46

40,0 10,00 12,50 25,0 37,50 50,00 62,5 75,00 87,50 100,0 112,5 125,0 20,0 0.98 1.53 2.40 12 20 28 36 44 52 60 68 76 25.0 0.78 1.23 1.94

b0 bw

As bitolas para fios são: 3,2, 4,0, 5,0 6,3, 8,0 10,0 12,5 mm As bitolas para barras são: 5,0, 6,3, 8,0, 10,0, 12,5, 16,0, 20,0 22,2, 25,0, 32,0 e 40,0 mm A barra de 22,2 mm não é especificada pela norma 7480/85

Na tabela tem-se: As – número superior b0 – número inferior

Norma NBR 7480/85

bw = b0 + 2 c + 2 φt sendo: φt = diâmetro do estribo e c = cobrimento

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12 Anexo 2 - Tabela de Ferros - Armaduras usuais em edifícios

Camada inferior Camada superior - duas barras no diâmetro indicado Valores de As

φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,02φ6,3 3,26 0,63

0,32 1,26 1,63

3φ6,3 5,89 0,95 0,32

1,58 1,37

2φ8,0 3,60 1,00 0,40

1,63 1,45

2,00 1,80

2φ8,0 +1φ6,3 6,30 6,86 1,95 1,27

2,32 1,60

3φ8,0 6,40 1,50 0,40

2,13 1,20

2,50 1,52

4φ8,0 9,20 2,00 0,40

2,63 1,05

3,00 1,34

2φ10,0 4,00 1,60 0,50

2,60 1,62

3,20 2,00

2φ10,0 +1φ8,0 6,80 2,10 0,48

3,10 1,42

3,70 1,79

2φ10,0 +2φ8,0 9,60 2,60 0,46

3,60 1,28

4,20 1,62

3φ10,0 7,00 2,40 0,50

3,40 1,36

4,00 1,70

4φ10,0 10,00 3,20 0,50

4,20 1,19

4,80 1,50

2φ12,5 4,50 2,50 0,63

4,10 1,85

5,00 2,25

2φ12,5 +1φ10,0 7,50 3,30 0,60

4,90 1,63

5,80 2,01

2φ12,5 +2φ10,0 10,50 4,10 0,58

5,70 1,47

6,60 1,83

3φ12,5 7,75 3,75 0,63

5,35 1,56

6,25 1,93

4φ12,5 11,00 5,00 0,63

6,60 1,39

7,50 1,71

2φ16,0 5,20 4,00 0,80

6,50 2,12

8,00 2,60

2φ16,0 +1φ12,5 8,45 5,25 0,76

7,75 1,88

9,25 2,34

2φ16,0 + 2φ12,5 11,70 6,50 0,74

9,00 1,71

10,50 2,13

3φ16,0 8,80 6,00 0,80

8,50 1,81

10,00 2,24

4φ16,0 12,40 8,00 0,80

10,50 1,615

12,00 2,00

Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm


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Camada inferior Camada superior - duas barras no diâmetro indicado Valores de As e cg da armadura

φ b0 As 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0 2φ20,0 6,00 6,30

1,00 10,30

2,48 12,60 3,00

2φ20,0 +1φ16,0 9,60 8,30 0,95

12,30 2,21

14,60 2,70

2φ20,0 +2φ16,0 13,20 10,30 0,93

14,30 2,01

16,60 2,47

3φ20,0 10,00 9,45 1,00

13,45 2,13

15,75 2,60

4φ20,0 14,00 12,60 1,00

16,60 1,92

18,90 2,34

2φ22,2 6,66 7,76 1,11

14,06 3,05

15,52 3,33

2φ22,2 +1φ20,0 10,88 10,91 1,08

17,21 2,68

18,67 2,94

2φ22,2 +2φ20,0 14,88 14,06 1,06

20,36 2,42

21,82 2,88

3φ22,2 11,10 11,64 1,11

17,94 2,63

19,40 2,89

4φ22,2 15,54 15,52 1,11

21,82 2,36

23,28 2,59

2φ25,0 7,5 10,00 1,25

17,76 3,38

20,003,75

2φ25,0 +1φ22,2 12,22 13,88 1,21

21,64 2,97

23,883,32

2φ25,0 +2φ22,2 16,66 17,76 1,19

25,52 2,69

27,763,58

3φ25,0 12,50 15,00 1,25

22,76 2,91

25,003,25

4φ25,0 17,50 20,00 1,25

27,76 2,61

30,002,92

b0 bw

Ycg cg

Na tabela tem-se: As - número superior - seção de aço cg - número inferior - centro de massa da armadura em relação à borda da primeira camada cg ty cg c φ= + +

b b cw t= + +0 2 2φ c = cobrimento e φt = diâmetro do estribo

DEC - CTC - UEM

96

13 Anexo 3 - Momentos de Engastamento Perfeito

2

1 2Pabm = +

2

2 2Pa bm = −

( )2 2

1 2 12 312

psm ab s b⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

( )2 22 2 12 3

12psm a b s a⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

( )

22

1 2 2 3 4 312psm s s⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦ ( )

3

2 2 4 312psm s= − −

2

1 12pm = +

2

2 12pm = −

( )/

22bPabm

+=

( )/ 2

2 48Pbsm a b s⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

( )

22/

2 28Psm s= −

( )2

/ 2 22 2

8Psm s= −

2/

8Pm =

a b P

s/2 s/2

a b

p

s p

p

p s

s/2 s/2 a b

p

s p

s p

a b P

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