universidade do estado de mato grosso rolph...

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

ROLPH NEPOMUCENA BOSCH

A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA E GERAL:SUA ABORDAGEM

SINOP-MT2015



Trabalho de Conclusão de Curso apresentado àBanca Examinadora do Curso de Matemática -UNEMAT, Campus Universitário de Sinop,como requisito parcial para a obtenção dotítulo de Licenciado em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Valim dos Reis Jr

SINOP-MT2015

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSOSECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOPDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA



Prof(a). Ms. Chiara Maria Seidel L. Dias

Professora AvaliadoraUNEMAT – Campus Universitário de Sinop

Prof. Dr. Rogério dos Reis Gonçalves

Professor AvaliadorUNEMAT – Campus Universitário de Sinop

Prof. Dr. Daniel Valim dos Reis Júnior

Professor OrientadorUNEMAT – Campus Universitário de Sinop

Prof. Ms. Odacir Elias V. Marques

Presidente da BancaUNEMAT – Campus Universitário de Sinop

Aprovado em _____ / _____ /_____

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a todas as pessoas que me

apoiaram em todos os momentos de dificuldade, e

que assim como eu, perderam inúmeras noites de

sono, a fim de desenvolver o mesmo, meu muito

obrigado.

AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a todas os professores e

colegas que acreditaram no meu potencial e me

deram força para prosseguir, reservo um abraço

especial a professora Maria Elizabete Rambo

Kochhann e a professora Thiélide Verônica da

Silva Pavanelli Troian por terem me convidado a

ser membro do OBEDUC, outro abraço especial a

toda a equipe da FACET por terem me aguentado

nesses últimos meses, um muito obrigado ao

Presidente da ASSEUS, João Carneiro Barros

Neto por ter feito o possível e o impossível por

mim, para finalizar, agradeço a Maria Cristina

(Bebeza!), por ter colorido esses seis últimos

meses de curso.

Recebam meus mais sinceros agradecimentos!

EPÍGRAFE

“Muito além, nos confins inexplorados da região

mais brega da Borda Ocidental desta Galáxia, há

um pequeno sol amarelo e esquecido. Girando em

torno deste sol, a uma distância de cerca de 148

milhões de quilômetros, há um planetinha

verde-azulado absolutamente insignificante, cujas

formas de vida, descendentes de primatas, são tão

extraordinariamente primitivas que ainda acham

que relógios digitais são uma grande ideia”.

Douglas Adams

RESUMO

Realizamos estudos relacionados a Relatividade, tanto a respeito ao conteúdo nos

livros-texto quanto a uma possível abordagem alternativa do conteúdo no ensino médio.

Constatamos a forma inadequada com que o assunto é abordado nos livros-texto do ensino

médio, assim como uma crítica quanto a maneira de abordar o assunto em livros-texto do

ensino superior. Geralmente, para esses últimos, a abordagem é até adequada para o nível de

preparo esperado para o estudante. Por outro lado, buscamos um meio alternativo do ensino

de Relatividade (Restrita e Geral). Estudando a história de como foi feita a teoria, propusemos

uma abordagem baseada em experimentos mentais, pois os mesmos foram usados como

ferramentas pelo próprio Einstein para se chegar aos postulados da relatividade restrita. A

metodologia empregada consistiu em um estudo dirigido com perguntas e respostas feitas a

um grupo com auxílio do professor em uma turma do 3ª ano do Ensino Médio de uma escola

do município de Sinop – MT. Essa abordagem consistia em uma sequência didática para o

ensino-aprendizagem da Relatividade Restrita. Reservamos para a Relatividade Geral, uma

abordagem com o uso de um software matemático, como ferramenta didática para uma

melhor compreensão da curvatura do contínuo espaço-tempo.

Palavras-chaves: Relatividade (Restrita e Geral). Experimentos mentais. Software

matemático.

ABSTRACT

We conduct studies related to Relativity, both about the content in textbooks as a possible

alternative approach of content in high school. We found inadequate way in which the subject

is approached in high school textbooks, as well as a critical as the way to approach the subject

in undergraduate education textbooks. Generally, for the latter, the approach is suitable to the

expected level of preparing for the student. On the other hand, we seek an alternative means

Relativity's teaching (Restricted and General). Studying the story of how the theory was

made, we proposed an approach based on mental experiments, as they were used as tools by

Einstein himself to get to the postulates of restricted relativity. The methodology consisted of

a study conducted with questions and answers made the group with teacher's aid in a class of

3rd year of high school at a school in the municipality of Sinop - MT. This approach consisted

of a didactic sequence for the teaching and learning of Restricted Relativity. To general

relativity, an approach using a mathematical software as a teaching tool for a better

understanding of the space-time curvature.

Keywords: Relativity (Restricted and General). Mental experiments. Mathematical software.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Paradoxo dos bastões em movimento............................................................ 18

Figura 2 – Trajetória Vertical de um corpo em um referencial S'.................................... 19

Figura 3 – Trajetória Parabólica do mesmo corpo em um referencial S......................... 20

Figura 4 – Eixos de coordenadas S e S' respectivamente................................................ 20

Figura 5 – Eixos de coordenadas S e S' respectivamente com ….......................... 21

Figura 6 – Eixo de coordenada S' em movimento em relação a S no instante .. 21

Figura 7 – Esquema artístico do interferômetro de Michelson – Morley........................ 25

Figura 8 – Mileva Marié (1875 – 1947).......................................................................... 28

Figura 9 – Espaço curvo na presença de massa............................................................... 30

Figura 10 – Relógio de luz.............................................................................................. 32

Figura 11 – Relógio de luz em movimento..................................................................... 33

Figura 12 – Trem em repouso para S', e me movimento para S...................................... 42

Figura 13 – Referencial S' em repouso, e acelerado verticalmente................................. 45

Figura 14 – Curvatura da luz em um referencial acelerado............................................. 46

Figura 15 – Desvio de um raio de luz em um campo gravitacional................................ 47

Figura 16 – Avanço do periélio de Mércurio................................................................... 48

Figura 17 – Exemplo de uma das tirinhas de Caruso e Freitas....................................... 51

Figura 18 – Fluxograma da Metodologia........................................................................ 58

Figura 19 – Área de trabalho do wxmaxima................................................................... 59

Figura 20 – Espaço na ausência de massa....................................................................... 60

Figura 21 – Espaço na presença de massa....................................................................... 60

Figura 22 – Espaço na presença de um objeto muito denso............................................ 61

Figura 23 – Espaço na presença de dois objetos e um muito denso................................ 62

Figura 24 – Espaço em 2D com um objeto muito denso formando um buraco negro.... 62

Figura 25 – Resultados da etapa relatividade galileana................................................... 63

Figura 26 – Resultados sobre a propagação da luz.......................................................... 64

Figura 27 – Resultados sobre o limite da velocidade de luz........................................... 64

Figura 28 – Resultados sobre o tempo absoluto.............................................................. 65

Figura 29 – Resultados sobre o que a massa faz com o espaço...................................... 66

Figura 30 – Resultados sobre o que muita massa faz em pouco espaço......................... 66

Figura 31 – Resultados sobre a deflexão da luz em um campo gravitacional................. 67

LISTA DE TABELAS

Tabela 01 – Quadro comparativo Forma de Apresentação – Quantidade de Páginas..... 53

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 13

1 – O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE NA HISTÓRIA........................................ 15

1.1 – Relatividade Galileana......................................................................................... 15

1.1.1 – Transformações galileanas................................................................................... 20

1.2 – O Espaço e o tempo segundo Newton.................................................................. 22

1.2.1 – O Espaço absoluto............................................................................................... 22

1.2.2 – O Tempo absoluto................................................................................................ 23

1.3 – O Éter..................................................................................................................... 24

1.4 – Albert Einstein: Sua história conforme Richard P. Hermann.......................... 26

2 – A TEORIA DA RELATIVIDADE.......................................................................... 31

2.1 – Teoria da Relatividade Restrita........................................................................... 31

2.1.1 – Dilatação do Tempo............................................................................................. 32

2.1.2 – Contração do Espaço........................................................................................... 35

2.1.3 – Transformações de Lorentz.................................................................................. 36

2.1.4 – Adição de Velocidades Relativísticas................................................................... 39

2.1.5 – Energia Relativística............................................................................................ 40

2.1.6 – A Relatividade da Simultaneidade....................................................................... 41

2.2 – Teoria da Relatividade Geral............................................................................... 42

2.2.1 – Princípio da equivalência..................................................................................... 43

2.2.2 – O comportamento da luz em um Campo Gravitacional...................................... 45

2.2.3 – O Periélio da Órbita de Mercúrio …................................................................... 47

3 – ABORDAGEM DIDÁTICA E A SUA TRANSPOSIÇÃO ….............................. 50

3.1 – A Atualização do Ensino de Física e a Análise de Livros................................... 50

4 – ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA........................................ 56

4.1 – Relatividade Restrita com o uso de Experimentos Mentais e Exercícios........ 56

4.1.1 – Problematização................................................................................................... 56

4.1.2 – Metodologia da Sequência Didática.................................................................... 56

4.2 – Relatividade Geral com o uso de um Recurso Digital....................................... 58

5 – APRESENTAÇÃO DOS DADOS........................................................................... 63

CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................ 68

REFERÊNCIAS............................................................................................................. 70

APÊNDICE..................................................................................................................... 74

13

INTRODUÇÃO

No ano de 2015 completa-se 100 anos da Relatividade Geral, e apesar de todo esse

tempo, o conhecimento sobre a relatividade, tanto a geral quanto a restrita, têm-se limitado a

um grupo reduzido de pessoas, basicamente àquelas com formação universitária em Física. E

pouco se tem divulgado sobre a teoria da relatividade entre o público do Ensino Médio, por

exemplo. Essa realidade se torna mais discrepante ao se notar que muita coisa tem se

mostrado sobre relatividade na mídia, principalmente em filmes e séries de ficção científica,

explorando temas como “buracos de minhoca” a viagens no tempo.

Embora, temas envolvendo relatividade geral têm cada vez mais divulgação no meio

não-acadêmico, poucos profissionais com formação adequada estão disponíveis para explicar

ou esclarecer conceitos em termos cientificamente corretos. Além disso, pode-se apontar mais

duas dificuldades para o ensino-aprendizagem da Relatividade:

I) Materiais didáticos;

II) Metodologia de ensino;

Sobre o primeiro item, Wolff (2005) comenta que “a falta de material didático

adequado que possibilite um melhor aproveitamento dos mesmos conteúdos em uma sala de

aula”, dessa forma fica evidente que para tratar o mesmo assunto tem-se que buscar outras

formas metodológicas com o intuito de estimular que o aluno possa construir seu próprio

conhecimento e saberes críticos.

Sobre o segundo item, conforme o mesmo autor, constata-se que aos poucos os

livros-texto do ensino médio que abordam o assunto, o fazem de forma muito breve e

superficial e praticamente de maneira enciclopédica, dificultando tanto a elaboração de uma

metodologia didática mais aprofundada pelo professor quanto a construção do conhecimento

pelo aluno. Para a construção dos saberes do aluno, de acordo com Paula (2006, p 38),

busca-se um tratamento histórico epistemológico para esse assunto, em outras palavras, “é

importante considerar a necessidade de que esses experimentos históricos sejam incluídos em

seus respectivos contextos históricos”, servindo de porta de entrada para a formação do

interesse e a motivação dos estudantes. Em concordância com Kiouranis, Souza e Filho

(2010), a partir dessa aproximação histórica epistemológica pode se estimular a imaginação

de cada estudante, utilizando como ferramenta experimentos mentais que por sua vez são

“experimentos realizados apenas com o uso do intelecto”.

14

Experimentos mentais foram as ferramentas pelas quais Einstein explorou situações

que eram experimentalmente impossíveis, mas que por meio de postulados, uma nova teoria

poderia ser construída: a Teoria da Relatividade. Para isso, Einstein tinha duas alternativas

possíveis, ou mantinha a mecânica newtoniana e modificava a Teoria Eletromagnética de

Maxwell ou mantinha esta última e modificava a mecânica clássica. Einstein, estendendo o

conceito de relatividade, preferiu esta última alternativa.

A metodologia de ensino de relatividade construída sobre um esquema histórico

epistemológico consiste em explorar os conceitos da relatividade por meio de experimentos

mentais com o fim de responder a seguinte pergunta: “o que pensava Einstein quando criou a

Teoria da Relatividade?” E a partir disso, explorar de maneiras históricas quais os

experimentos mentais que ele usou, a criação dos postulados e as suas consequências. Para

isso, se propõe nesse trabalho como ferramentas a geometria analítica e softwares plotadores

para o auxílio didático do professor nessa metodologia.

15

1 – O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE NA HISTÓRIA

Em nosso primeiro capítulo, focaremos apenas em descrever a construção histórica

sobre a teoria da relatividade conforme os três grandes nomes da ciência, inicialmente por

Galileu Galilei e a Relatividade do movimento e as transformações galileanas, passando pelas

definições de Espaço e de Tempo na visão de Issac Newton que complementa os capítulos

posteriores, e por último uma breve biografia sobre Albert Einstein.

1.1 – Relatividade Galileana

Galileu Galilei (1564 – 1642) é o fundador da física como ciência da forma que a

conhecemos hoje, ou seja, a ciência que estuda os fenômenos da natureza, utilizando-se da

observação como método para provar suas hipóteses previamente estabelecidas. Segundo

Penteado e Torres (2005, p 183), o melhor caminho para o conhecimento é a experimentação

direta dos fenômenos, rompendo com antigos esquemas aristotélicos que, em sua época,

haviam se convertido em dogmas de fé.

A humanidade sempre buscou compreender melhor os fenômenos da natureza, com

Galileu não foi diferente, seu principal objeto de estudos foi o movimento dos corpos.

Estudando o movimento dos corpos celestes, Galileu chegou a conclusão de que a Terra não é

imóvel em relação aos astros, uma ideia pela qual a Igreja Católica defendia, dessa forma

aderiu ao sistema heliocêntrico. Damasio e Ricci (2009, p 9) afirmam que por defender suas

ideias Galileu foi julgado e sentenciado a prisão domiciliar perpétua, sua pena só não foi a

morte por ter aceitado declarar publicamente que a igreja estava certa e ele errado.

“Galileu levou para além da discussão a respeito do movimento dos corpos celestes,

contribuindo para a mecânica [...]” (CROCH, 2009, p 09). O mesmo autor também confirma

que a relatividade Galileana foi um termo usado por Einstein, devido ao estudo referente ao

movimento dos corpos em relação a um referencial inercial. Penteado e Torres (2005, p 183)

citam ainda que, o primeiro a usar o termo “referencial inercial” foi o próprio Galileu, mas o

que significa referencial inercial?

Referencial inercial é algo que tomamos como referência, um ponto de origem.

Conforme Croch (2009, p 10), referencial é um ponto tomado como origem em um sistema de

coordenadas. O mesmo autor reforça:

16

Referencial inercial é um sistema de referência em que corpos livres (sem forçasaplicadas) não tem o seu estado de movimento alterado, ou seja: corpos livres nãosofrem acelerações quando não há força sendo exercida. Tais sistemas, ou estãoparados (velocidade nula) ou em movimento retilíneo uniforme uns em relação aosoutros (CROCH, 2009, p. 11).

A partir de agora compreendemos melhor o que é um referencial inercial. Um sistema

de referência é algo que um determinado objeto em movimento é estudado e tem sua

velocidade medida, esse determinado objeto pode ter diferentes valores de velocidade se

levarmos em conta diferentes sistemas de referência.

Outra das convicções de Galileu que entrou em choque com o que as pessoasacreditavam na época dizia a respeito à questão das forças necessárias parapromover ou manter o movimento de um corpo. De acordo com Aristóteles, para umcorpo qualquer entrar em movimento, é necessária a existência de uma forçaexercida sobre ele. E, para manter o corpo em movimento, também seria necessárioque lhe aplicasse continuamente uma força. (DAMASIO; RICCI, 2009, p. 09).

Ou seja, segundo Aristóteles para um corpo entrar em movimento é necessário que

haja uma força atuando sobre o mesmo, caso contrário, esse corpo estará em estado de

repouso ou seria levado a esse estado final. De acordo com as ideias de Galileu, um corpo que

estaria em movimento constante, continuaria o mesmo movimento e trajetória por toda a

eternidade até que algo interfira em seu movimento. Damasio e Ricci comentam:

Não é, portanto necessário que haja uma força exercida sobre o corpo para que elemantenha-se em movimento. Para o italiano, o repouso não é o estado “natural” dosobjetos. Para Galileu, não há qualquer diferença física entre um corpo em repouso eoutro idêntico, desde que esteja em movimento uniforme (DAMASIO; RICCI, 2009,p. 09).

De acordo com a ideia acima, o papel da força é a de alterar a velocidade de um

determinado corpo, se de alguma forma esse corpo se encontra em repouso, será necessário a

aplicação de uma força para retirar o mesmo desse estado, caso contrário o objeto se moverá

com velocidade constante, portanto não existe o chamado estado natural dos objetos.

Dessa forma, faremos, então, o nosso primeiro experimento mental, “que foram muito

utilizados por Einstein pois o mesmo era um físico teórico [...]”(CROCH, 2009, p 05). Você

se encontra em repouso ou em movimento? Se você tiver escolhido a primeira opção,

lembre-se de suas aulas na escola, referentes aos movimentos de rotação e de translação da

Terra, levando em consideração esses movimentos, como você pode afirmar que está em

repouso? Se você estiver escolhido a segunda opção, sinta-se à vontade para olhar a parede

17

mais próxima, perceba que a mesma não se aproxima e muito menos se afasta de você,

portanto como você pode afirmar que está em movimento?

Se você não está em repouso e também não está em movimento, qual seria a resposta

correta para a questão acima? As duas, pois de acordo com Damasio e Ricci (2009, p 10),

você se encontra em repouso e em movimento ao mesmo tempo, pois segundo os mesmos

autores, não existe como diferenciar as duas coisas do ponto de vista físico, se hoje sabemos

disso, foi tudo graças a Galileu e a sua coragem para desafiar os dogmas da Igreja Católica e o

senso comum das pessoas na época.

Façamos portanto um outro experimento mental, imaginemos que você esteja em um

veículo se movendo com uma velocidade de 100 km/h em uma estrada, e que ao seu lado

esteja um caronista, de acordo com essa situação, você está em movimento ou em repouso? Se

levarmos em consideração a estrada como o nosso referencial, você se move a uma

velocidade de 100 km/h, portanto, você se encontra em movimento. Mas, se o nosso

referencial for o passageiro ao lado, você não se encontra mais em movimento de 100 km/h,

de acordo com nosso referencial, você está em repouso, logo para essa situação de repouso e

movimento é algo “relativo”, por isso o nome Relatividade, mais o que significa Relatividade

mesmo?

“[...]A descrição de um fenômeno físico é relativo porque depende do referencial

escolhido (relatividade) [...]” (PERES, p. 07), voltemos para o nosso mesmo experimento em

que você se move a 100 km/h, agora o nosso veículo ultrapassa um outro que se move a uma

velocidade de 80 km/h em relação a pista, em relação ao veículo ultrapassado você se

encontra em repouso ou a 100 km/h? Nem uma das duas alternativas, com nosso novo

referencial, estamos viajando a uma velocidade de 20 km/h.

Levemos em consideração uma nova situação para o nosso mesmo experimento,

acabamos de cruzar com um outro veículo que se move em sentido contrário ao nosso com

uma velocidade de 90 km/h, com esse novo referencial, você se encontra em repouso ou a 100

km/h? Novamente nem uma das alternativas, já que com esse novo referencial nos movemos a

uma velocidade de 190 km/h, com esse nosso experimento mental percebemos claramente que

é valida a definição de Relatividade descrita por Peres, logo acima descrita.

Percebemos agora que se cruzarmos com um veículo que venha em um sentido

contrário ao nosso com a mesma velocidade que viajamos, e levando em consideração esse

veículo como nosso referencial, viajaremos a uma velocidade de 200 km/h, ou seja, duas

18

vezes a nossa velocidade original que pela qual está sendo marcada em nosso velocímetro.

Wolff e Mors (2005, p 11), comentam que uma situação parecida com esse nosso experimento

já foi estudada muito antes de Cristo e também de Aristóteles, por um filósofo grego chamado

Zenão, de Eléia (500 – 451 a.C). E conforme os mesmos autores:

Zenão considerava que se dois bastões (A e B) se deslocassem com velocidadesiguais em intensidade, porém de sentidos opostos em relação a um terceiro bastão C,mantido fixo, um observador em A (ou B) mediria a velocidade do bastão em B (ouA) como duas vezes maior do que a medida por C. Zenão concluiu que estemovimento era impossível, passando a chamá-lo de paradoxo dos bastões emmovimento (WOLFF; MORS, 2005, p. 11).

Na figura abaixo, mostraremos um exemplo de como foi realizado o experimento

proposto por Zenão.

Figura 1 – Paradoxo dos bastões em movimento

Fonte: WOLFF; MORS, 2005.

A dificuldade de compreender o movimento dos corpos permaneceu durante muito

tempo, sendo apenas respondida utilizando relações matemáticas e não conclusões filosóficas.

Os autores também confirmam, que a dificuldade em entender o movimento dos corpos

permaneceu até os séculos XVI e XVII com Giordano Bruno (1548 - 1600) e Galileu Galilei

(1564 - 1642) que deram respostas ao paradoxo dos corpos em movimento relativos (Zenão).

Galileu utilizando-se do princípio da relatividade dos corpos em movimentos,

conseguiu explicar a trajetória parabólica dos projéteis, assim, consideremos o seguinte

exemplo:

Um projétil lançado a partir do solo com um certo ângulo de lançamento pode terseu movimento decomposto em dois movimentos independentes: um horizontal eoutro vertical. No lançamento de um projétil verticalmente para cima, sobre uma

19

plataforma em movimento retilíneo e uniforme, um observador que esteja sobre aplataforma em movimento verá a trajetória do projétil como retilínea de ida e volta.Quanto a um observador que esteja parado no solo, onde a plataforma está emmovimento, visualizará a trajetória do projétil como parabólica. Assim, cadaobservador terá uma visão diferente do movimento (WOLFF; MORS, 2005, p. 12).

Dessa forma, Galileu consegui responder o paradoxo de Zenão, mostrando que a

trajetória de um determinado corpo depende de seu referencial, a qual se observa seu

movimento e sua trajetória. Ainda conforme Wolff e Mors:

Para descrevermos o movimento dos corpos quantitativamente é necessárioadotarmos um referencial, como por exemplo, as paredes da sala de aula, ondepodemos considerar que existam três eixos imaginários que se cruzamortogonalmente. Além do referencial, o observador necessita de um relógio parapoder descrever quantitativamente o movimento (WOLFF; MORS, 2005, p. 13).

Em seus estudos sobre o movimentos dos corpos, Galileu nos mostra que a descrição

do movimentos dos corpos depende do referencial que está sendo estudado, ou seja, um

referencial em movimento ou em repouso em relação a outro referencial. Descrita como a

Relatividade do Movimento.

Na figura 2 e 3 abaixo, mostraremos a trajetória de um corpo em dois referenciais

distintos.

Figura 2 – Trajetória Vertical de um corpo em um referencial S'


20

Figura 3 – Trajetória Parabólica do mesmo corpo em um referencial S


1.1.1 – Transformações galileanas

Consideremos dois referenciais inerciais, o primeiro referencial em repouso em

relação a Terra, chamaremos esse referencial de S, formado pelos eixos Ox ,Oy , Oz , o

segundo referencial em movimento em relação ao primeiro, chamaremos de S', formado pelos

eixos Ox ' ,Oy ' ,Oz ' , paralelos a x, y e z, respectivamente movendo-se com uma

velocidade na direção do eixo x do sistema de coordenadas S, conforme a figura.

Figura 4 – Eixos de coordenadas S e S', respectivamente


21

Consideremos agora para a nossa análise, um ponto P, identificado por quatro

coordenadas, respectivamente, em cada referencial, S (x, y, z e t) e S' (x', y', z' e t'), sabendo

que as três primeiras coordenadas localizam o ponto P no espaço, e a quarta coordenada

identifica o ponto P no momento do evento. Se considerarmos que os referenciais S e S'

coincidem em t=t ' =0 , teremos x= x ' , y= y ' e z= z ' , de acordo com a figura abaixo:

Figura 5 – Eixos de coordenadas S e S', respectivamente, com t=0


Agora, consideremos um momento posterior com t=t ' >0 . Conforme essa nova

situação, o referencial S' terá se movido para a direita em relação ao referencial S, de acordo

com a figura a seguir.

Figura 6 – Eixo de coordenada S' em movimento em relação a S no instante t=t ' >0


22

Podemos organizar os referenciais das duas coordenadas da seguinte maneira, como o

nosso ponto P está se deslocando apenas no eixo x, seu movimento será dado pela equação

x= x ' +v⋅t ( 1 ), como não estamos lidando com os demais eixos, eles ficarão na seguinte

forma, y= y ' ( 2 ), z= z ' ( 3 )e t=t ' ( 4 ). Como estamos fazendo t=t ' , os nossos relógios

estão sincronizados, pois “[…] para Galileu o tempo é absoluto [...]” (CROCH, 2009, p. 14),

“[…] já que se constitui em um axioma da mecânica newtoniana a universalidade do tempo,

isto é, seu caráter absoluto. Em outras palavras, a mensuração do tempo não depende do

estado do observador”. (PENDUZZI, 2009, p. 39). “[…] Além disso, não podemos saber se

um referencial estava parado ou em movimento uniforme, realizando uma experiência

mecânica em seu interior. Com esta afirmação, podemos concluir que as leis da Mecânica são

invariantes (não mudam) perante uma transformação de Galileu” (CROCH, 2009, p. 14 – 15).

As equações ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) e ( 4 ), representam as transformações de Galileu. As

transformações inversas de ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) e ( 4 ), são apresentadas de forma análogas:

x '=x−v⋅t ( 5 ), y ' = y ( 6 ), z '=z ( 7 ) e t '=t .

1.2 – O Espaço e o tempo segundo Newton

Sir Issac Newton é o pai da ciência moderna, nascido em Woolsthorpe, Lincolnshire

na Inglaterra, no dia 25 de dezembro de 1642, no mesmo ano do falecimento de Galileu.

Newton sem dúvida, é uma das mentes mais importantes que contribuiu para o

desenvolvimento da mecânica, da óptica e do cálculo. Nesta fase de nosso estudo, nosso foco

é estabelecer as compreensões referentes ao espaço e ao tempo segundo Newton, antes

mesmo de detalhar a teoria da relatividade nos próximos capítulos.

1.2.1 – O Espaço absoluto

Compreendemos o mundo como um lugar cheio de objetos, se pudéssemos retirar cada

um desse objetos, os carros, prédios, pessoas e até mesmo a própria Terra, os planetas e as

{x ' =x−vt

y ' = yz ' =zt ' =t

⇒{x= x ' +vt

y= y 'z= z 't=t '

23

estrelas, o que sobraria? Para muitos, a resposta para essa pergunta seria o espaço vazio. Para

Newton, o espaço é representado como um palco, sem qualquer interação com os objetos nele

presentes, conforme relata Pinheiros (2008, p. 08), assim, Newton compreendia o espaço

como sendo imutável e estável.

NEWTON (OS PENSADORES, 1996, p. 08), afirma:

O espaço absoluto permanece constantemente igual e imóvel, em virtude de suanatureza, e sem relação alguma com nenhum objeto exterior, o espaço relativo, aocontrário, é uma medida ou uma parte móvel do primeiro, que nossos sentidosassinalam graças à sua situação em relação a outros corpos e que, geralmente, seconfunde com o próprio espaço imóvel [...].

Logo, podemos compreender que a Relatividade estava presente nos conceitos de

Newton, mas suas ideias referentes ao espaço descritas por Pinheiros (2008, p. 08), que tudo

se move em torno desse espaço, sem alterá-lo de nenhuma maneira, pois o centro do sistema

do mundo está em repouso.

1.2.2 – O Tempo absoluto

Frequentemente, costumamos dizer que o tempo voa, que o tempo é dinheiro e que

desperdiçamos tempo. Como um rio, o tempo parece seguir de um ponto a outro

continuamente, sempre do passado para o futuro. Para uma das mentes mais influentes do

século XVII, o tempo flui continuamente independente do meio, assim Newton (OS

PENSADORES, 1996, p. 09), define o tempo:

O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e por sua natureza, fluiuniformemente sem relação com nada externo, por isso mesmo é chamado deduração. O fato de não manter “relação com nada externo” confere ao tempoabsoluto caráter de imutabilidade. Em outras palavras, as coisas mudam, mas nãomuda o tempo [...].

Dessa forma, todo e qualquer evento no espaço, nunca interferirá no fluxo do tempo,

Pinheiros (2008, p. 08) ainda complementa que a duração e a permanência das coisas são

sempre as mesmas, quer os movimentos sejam rápidos ou lentos, ou até mesmo nulos como

Newton acreditava.

24

1.3 – O Éter

Nos estudos referentes aos capítulos anteriores, o princípio da relatividade do

movimento ou princípio da relatividade da mecânica, em que qualquer referencial em

movimento em relação a um referencial inercial é também inercial, conforme os nossos

capítulos (1.1) e (1.1.1). No entanto, ao estendermos esse princípio da relatividade para o

eletromagnetismo, nos deparamos com um problema, a velocidade da luz, conforme

Nussenzveig (1998, p. 176) decorre das leis da Eletrodinâmica que a luz se propaga, no

vácuo, com velocidade c, em um dado referencial inercial, no entanto, a pergunta a se fazer

agora é em que referencial essa dada velocidade é válida?

Em 1862, James Clerk Maxwel (1831 – 1879), matemático britânico fundamenta a

teoria clássica do eletromagnetismo, Riffel (2010, p 11) ressalta que esta concordância, aliada

a propriedade de velocidade da luz levaram a consideração de que a luz era uma onda

eletromagnética. Consultando Seixas (2006, p 52), sob o ponto de vista da teoria mecanicista,

sendo a luz um fenômeno ondulatório, nada mais natural que supor a existência de um meio

mecânico para sua propagação, sendo chamado de éter.

O éter era um meio hipotético, elástico, com características tais que não oferecerianenhuma resistência ao movimento dos planetas - os quais eram muito bem descritospelas leis de Newton - e interagiria somente com ondas eletromagnéticas,proporcionado meios para estas se locomoverem no espaço (RIFFEL, 2010, p. 11).

O texto acima indica a ideia de um sistema de referencial absoluto, ou um referencial

privilegiado. Nussenzveig (1998, p 177) ainda destaca, que se o éter existisse como

referencial privilegiado, deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detectar

um movimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio de relatividade não

seria válido na eletrodinâmica. O mesmo autor ainda comenta que, para manter o princípio da

relatividade também no eletromagnetismo, as equações de Maxwell ou as leis da mecânica

newtoniana deveriam ser abandonadas.

Sendo válida portando, uma das opções abaixo:

(i) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o princípio derelatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial absoluto (oéter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser possível, pormeio de experiências eletromagnéticas, detectar um movimento retilíneo e uniformeem relação ao referencial absoluto do éter.

25

(ii) O princípio de relatividade aplica-se a todas as leis físicas e a mecânicanewtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxewell teriam de sermodificadas, e deveria ser possível observar desvios das leis eletrodinâmica clássica.(iii) O princípio de relatividade aplica – se a todas as leis físicas, e as equações deMaxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a transformações deGalileu não podem ser corretas: deve ser possível observar desvios das leis damecânica newtoniana. (NUSSENZVEIG, 1998, p. 177 – 178).

A solução para esse problema só veio mais tarde, em 1887 com um experimento

proposto pelo professor de física Albert Michelson e o professor de química Edward Morley,

experimento que mais tarde ficou conhecido como Experimento de Michelson – Morley. Com

esse experimento, os dois pretendiam medir o deslocamento da terra através do éter, Brennan

(1997) cita que os físicos pensavam que um objeto que se movesse através desse éter,

certamente encontrava um "vento do éter" soprando na direção oposta.

Para testar essa hipótese, os dois professores proporam um interferômetro que medisse

o deslocamento de um feixe de luz contra e a favor desse “vento de éter”, Brennan (1997)

comenta que o feixe de luz que tivesse de se mover contra a força do vento do éter teria sua

velocidade reduzida em relação à do outro feixe.

Após inúmeras experiências com o uso desse interferômetro, não houve diferença no

tempo que os dois feixes levaram para percorrer as distâncias especificadas, Brennan (1997,

p. 67 – 68) observa que, ou o éter estava se movendo com a Terra, o que era absurdo, ou

simplesmente não existia e se o éter não existisse, seria preciso repensar alguns conceitos de

Newton. Assimov apud Hermann (1997, p 68) qualifica o experimento como, o mais

importante experimento que não deu certo de toda a história da ciência.

Figura 7 – Esquema artístico do interferômetro de Michelson – Morley

Fonte: BRENNAN, 1997.

26

1.4 – Albert Einstein: Sua história conforme Richard P. Brennan

Nascido em Ulm, na Alemanha em 14 de maio de 1879, sendo o primeiro dos dois

filhos de Hermann Einstein e de Pauline, nascida Koch. Einstein crescera em Munique, onde

Hermann e um tio, Jakob Einstein, criaram uma pequena oficina eletromecânica, a família

Einstein apesar de modesta, era muito culta e pacifista, os Einstein gostavam de livros e de

música e se orgulhavam de suas atitudes liberais, não dogmáticas.

No entanto, a maior fonte de dados registrados a respeito da infância de Einstein, foi

de um ensaio bibliográfico escrito por sua irmã em 1924, depois que ele alcançara a fama,

nesse ensaio, a irmã Maria (também conhecida com Maja), relata os temores da mãe, a

respeito da forma incomum da cabeça de Einstein, e de sua lentidão para aprender a falar.

Ela contou a reação da avó ao ver o bebê Einstein pela primeira vez: "Pesadodemais", exclamou. O mesmo ensaio relata os temores despertados na mãe deEinstein pela parte posterior excepcionalmente grande e angular da cabeça do seubebê (a forma incomum do crânio de Einstein tornou-se permanente). A famíliatemeu também que Albert sofresse de alguma deficiência mental por causa de sualentidão em aprender a falar. Ele não falou até os três anos e, segundo Majaescreveu, só adquiriu plena fluência em alemão aos dez anos de idade (BRENNAN,1997, p. 60).

Aos seis anos de idade, e matriculado em uma escola pública, Albert teve um

desempenho exemplar. Segundo um mito popular, Einstein foi um aluno medíocre em seus

primeiros anos. Na realidade, suas notas eram excelentes e ele estava sistematicamente entre

os primeiros da classe, embora a disciplina rígida e as técnicas de memorização o

aborrecessem. Fora da classe, Einstein se demonstrava uma criança muito quieta, não gostava

de brincar com os colegas, preferindo atividades que exigiam paciência e persistência, uma de

suas distrações favoritas era construir castelos de cartas.

Transferido para uma escola típica secundária alemã, aos dez anos, Luitpold

Gymnasium, onde foi submetido à disciplina severa e formalista usual na época.

Permanecendo até seus quinze anos de idade, recebendo altas notas em matemática e latim,

porém, junto a seus instrutores, nem sempre era benquisto. O professor de grego de Albert

disse certa vez a Hermann Einstein, que o campo profissional que Albert escolhesse não tinha

a menor importância – ele fracassaria em qualquer um.

Aos doze anos de idade e estimulado pelos tios, Jakob Einstein e Casar Koch pelo

interesse pela ciência e matemática, Einstein comprou um livro de Geometria euclidiana, ao

27

qual mais tarde se referiria como o "santo livro de geometria". Fascinado pela precisão e a

clareza da geometria, Einstein aprendeu sozinho antes que ela fosse ensinada em aula.

Prosseguiu estudando cálculo diferencial e integral por conta própria.

“Em 1894, a família de Einstein se mudou para Milão, na Itália, logo que os negócios

da família faliram. Albert continuou em Munique, com o objetivo de concluir a escola

secundária, Brennan (1997, p. 62), ainda afirma que […] Einstein tornou-se indiferente ao

trabalho acadêmico e suas notas começaram a declinar. Finalmente, um de seus professores

pediu-lhe que deixasse a escola. Albert aceitou a sugestão de bom grado e, sem sequer

comunicar a decisão aos pais, abandonou o Gymnasium sem o diploma”.

Retornando para junto de seus pais, logo em seguida, na cidade de Milão na Itália.

Estando a família em dificuldades financeiras, ele sabia que se esperava que ele seguisse o

próprio caminho. Se a carreira de sua escolha era a ciência, havia evidente necessidade de

mais estudos. A evidente falta de um diploma se tornou o seu maior obstáculo para seguir uma

carreira acadêmica. Brennan cita:

Depois de algum tempo, Einstein teve notícia do Instituto Politécnico de Zurique,em que não era necessário diploma para ingressar. Era preciso, contudo, passar porexames de admissão. Em 1895, Einstein foi a Zurique para as provas. Embora tenhase saído bem nas partes de matemática e ciência, não foi aprovado nos exames. [...]Submeteu-se novamente aos exames de ingresso na universidade em 1896 e foidevidamente admitido para um programa de estudos de quatro anos que oqualificaria como professor. (BRENNAN, 1997, p 62).

Agora na Universidade, Einstein renunciou a sua cidadania alemã, tornando-se um

estudante sem nacionalidade. Em seu primeiro ano na faculdade, Albert se aproxima de dois

jovens acadêmicos, Marcel Grossman (1878 – 1936) e Mileva Maric (1875 – 1948), juntos

frequentavam o Kaffehaus de Zurique, local em que os estudantes costumavam passar horas

resolvendo os problemas do mundo. No geral, Albert era um estudante seriamente

comprometido com suas obrigações acadêmicas.

Embora seriamente comprometido com o trabalho, Einstein buscava se dedicar apenas

ao que lhe era de interesse. Conforme relata Crawford (2004, p. 2), Einstein queixava-se

várias vezes dos programas de algumas das disciplinas de física, este comportamento

comprometeu a sua relação com alguns dos seus professores e o prejudicou quando chegou o

momento de procurar uma posição acadêmica.

28

Em 1900, Einstein concluiu os estudos pela Politécnica suíça juntamente a três outros

estudantes, em seguida começou a procurar emprego como professor-assistente na

universidade, mas para a sua surpresa e decepção não foi contratado. De acordo com os

apontamentos de Crawford (2004, p 2), Albert finalmente conseguiu uma colocação como

examinador de 3ª classe na Repartição das Patentes de Berna, em 1902. Agora devidamente

empregado poderia planejar seu casamento, casando-se com Mileva em janeiro de 1903.

Ainda complementando o texto de Brennan, Crawford (2004, p 2) comenta que antes

do casamento, tiveram uma filha, Lieserl, que aparentemente nunca chegou a viver com o

casal. Suspeita-se que tenha sido dada para adoção, mas dela não há nenhum traço, além do

registro de nascimento e de uma carta de Albert para Mileva.

Figura 8 – Mileva Marié (1875 – 1947)

Fonte: RENN, 2004.

Durante o tempo em que esteve ocupado no escritório de patentes de Berna, Einstein

teve muito tempo para refletir os problemas enigmáticos do mundo, em especial a luz. No ano

de 1905, aos 26 anos de idade e extremamente respeitado no escritório de patentes, Einstein

concluiu um artigo que iria lhe valer o Prêmio Nobel, 17 anos mais tarde, terminando outro,

em seguida que lhe asseguraria o doutorado pela Universidade de Zurique, logo após,

29

publicou mais quatro na prestigiosa revista alemã de física Annalen der Physik, o terceiro

desses artigos por sua vez, ficou conhecido como teoria especial da relatividade.

O primeiro artigo propondo a hipótese dos quanta de luz, o segundo sobre omovimento browniano cujas leis contribuíram para o reconhecimento da realidadefísica dos átomos, o terceiro sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento queintroduz a teoria da relatividade restrita e o último sobre uma consequênciaimportante desta teoria, a inércia da energia ou E=m⋅c² , talvez a equação maisfamosa da história da física (CRAWFORD, 2004, p. 02).

Após a publicação da Teoria da Relatividade, Albert esperou ser aclamado pela

comunidade científica, porém tudo o que conseguiu foi o silêncio. Seu artigo foi em geral

ignorado, os poucos especialistas que compreenderam suas ideias ficaram céticos e até mesmo

eles se opuseram a suas conclusões, até que foi possível obter provas de suas teorias. Pois, se

a matemática de Einstein se sustentasse, inúmeras coisas teriam de ser repensadas.

A maior parte da teoria especial da relatividade lhe ocorrerá através de um

experimento de pensamento quando o mesmo tinha 16 anos. Nessa ocasião, ele perguntou a si

mesmo o que veria se corresse atrás de um feixe de luz na velocidade da luz. Conforme a

física clássica newtoniana, veríamos o mesmo em repouso. Refletindo sobre o assunto, Albert

concluiu que essa não poderia ser a resposta certa, que o espaço e o tempo de Newton e as

equações de Maxwell não podiam estar todas corretas. Einstein resolveu esse paradoxo,

concluindo que não se pode viajar a velocidade da luz, e que sua velocidade era constante

para todos os observadores, não importando seu movimento relativo, logo que chegou a esta

conclusão, a teoria da relatividade começou a ganhar forma.

Albert compreendia, que ao criticar o modelo de espaço e tempo absolutos, descritas

nos capítulos anteriores, empunhava grandes mudanças na forma de como o espaço e o tempo

eram compreendidos. Logo, a melhor maneira para compreender os princípios básicos da

relatividade especial é o uso de experimentos de pensamento, que chamaremos nesse trabalho

de experimentos mentais.

Com a deflagração da Primeira Guerra Mundial, Albert assumiu uma postura pacifista,

pois, para o mesmo, nem uma guerra se justificava. Durante esse tempo, Einstein se

concentrou em aperfeiçoar sua teoria, publicando-a em 1916 na revista, Annalen der Physik,

com o título “O fundamento da teoria geral da relatividade”. Nesse artigo publicado em 1916,

Albert postulou que a gravidade não é uma força como dissera Newton, mas sim, uma

curvatura no contínuo espaço – tempo, como consequência da presença de massa.

30

Compreender detalhadamente essas duas teorias será um desafio para os próximos capítulos

deste trabalho.

Figura 9 – Espaço curvo na presença de massa


31

2 – A TEORIA DA RELATIVIDADE

Na primeira metade do nosso segundo capítulo focaremos em discutir os princípios da

relatividade restrita e as consequências de seus postulados, dilatação do tempo, contração do

espaço, ainda descreveremos as transformações de Lorentz e o efeito doppler relativístico,

finalizando nossa primeira metade com a relatividade da simultaneidade. A segunda parte

deste capítulo é reservada para a generalização da relatividade.

2.1 – Teoria da Relatividade Restrita

O artigo publicado em 1905 denominado “Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em

Movimento”, como citamos no capítulo anterior, Einstein inicia sua teoria estabelecendo dois

postulados fundamentais, que vide consulta a Nussenzveig (1998, p 182), o Princípio da

Relatividade Restrita (I), e o Princípio de Constância da Velocidade da Luz (II), que

descreveremos agora:

I) As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais;

II) A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma em todas as direções e em todos os

referenciais inerciais, e é independente do movimento da fonte.

Dessa forma o primeiro postulado presente nessa teoria, já estende o princípio da

relatividade para todas as leis da física e não se restringindo apenas as leis da mecânica e

eliminando a ideia de espaço absoluto e referencial privilegiado, conforme descreve Riffel

(2010, p. 17). Nussenzveig (1998, p 182) também comenta que esses princípios são

incompatíveis com a mecânica newtoniana, e suas modificações foram propostas por Einstein

em 1905, nesse mesmo artigo.

O segundo postulado nos diz que a velocidade da luz possui um limite constante, não

importando se a fonte está em movimento relativo ou não, sua velocidade será sempre a

mesma, Wolff e Mors (2005, p 23) reforçam que nenhuma partícula com massa pode ser

acelerado até atingir a velocidade da luz. A velocidade da luz é o limite superior de velocidade

32

dos corpos. A partir daí, pode-se discutir quais as consequências diretamente relacionadas aos

dois postulados dessa teoria.

2.1.1 – Dilatação do Tempo

Umas das consequências dessa teoria está diretamente relacionada ou segundo

postulado, conhecida como dilatação do tempo. Para compreender melhor essa consequência

utilizaremos um relógio de luz como ferramenta.

Nosso relógio de luz consiste em um tubo, posicionado na base desse tubo existe uma

fonte de luz, e em seu topo um espelho que reflete o feixe de luz diretamente para sua fonte, o

tempo que o feixe de luz leva para ir e voltar para sua origem, é a razão entre a distância

percorrida pelo feixe e sua velocidade, conforme o segundo postulado a velocidade da luz é a

mesma em todos os referenciais, ou seja, 300.000 quilômetros por segundo, ou apenas a

variável c que representa essa velocidade.

A distância que esse feixe percorre para atingir o espelho refletor e retornar para sua

fonte é igual à velocidade do feixe vezes o dobro do tempo desse percurso, que representa a

ida e volta, ou seja, c⋅2⋅t . Para facilitar os próximos cálculos chamaremos a distância c⋅2⋅t

de ct ' . Logo, o tempo do percurso do nosso feixe será dada pela razão entre a distância ct ' e

a velocidade c, ou seja t=ct 'c

, ou para critérios de simplificação t=t ' .

Figura 10 – Relógio de luz

Fonte: BOSCH, 2015.

33

Mostraremos agora que o tempo t=t ' , que acabamos de calcular terá um valor

diferente quando calculado com o nosso relógio em movimento em relação a um observador

em repouso. Imaginemos então que o relógio do nosso experimento, mova-se da esquerda

para a direita com velocidade constante v em relação a um observador que se encontra em

relativo repouso ao nosso relógio, como mostraremos na figura 11.

Figura 11 – Relógio de luz em movimento

Fonte: BOSCH, 2015.

É fácil deduzir que para um observador em relativo repouso ao nosso relógio, o feixe

de luz percorreu uma distância muito maior ( ct >ct ' ), do que para um outro observador

que se mova com o nosso relógio de acordo com Landau e Rumer (1986, p. 79). Isso significa

que o tempo decorrido desse novo evento para um observador em repouso é muito maior,

conforme demonstraremos.

34

(Dilatação do Tempo)

Logo, vide consulta aos textos de Vieira (2009, p. 92), o tempo é relativo a cada

observador. Quanto mais rápido ele se movimenta, mais devagar seu relógio andará quando

comparado ao de outro observador. E esse fenômeno é denominado dilatação temporal. Para

demonstrarmos isso na prática, suponhamos que t é o tempo desse evento para um observador

em repouso e t' é o tempo para um observador em movimento relativo ao primeiro, e

suponhamos ainda que o segundo observador se mova com velocidade de 240.000

quilômetros por segundo, e em seu relógio se passaram 6 segundos, ou seja t '=6 s . Qual

seria o tempo desse mesmo evento para um observador em repouso?

Para resolver esse problema basta substituir os valores descritos acima, na equação

que descreve a dilatação do tempo:

Conforme o calculo, o observador em movimento está com o seu relógio 4 segundos atrasado

em relação ao observador em repouso, ou seja, o tempo é relativo a cada observador. Outra

consequência interessante para a dilatação do tempo é o paradoxo dos gêmeos. Suponhamos

que um observador que chamaremos de O' é irmão gêmeo de um segundo observador que

chamaremos de O'', ambos possuem 20 anos de idade, e suponhamos ainda que O'' embarca

t=t ' γ⇒t=t '

√1−v²c²

⇒t=6

√1−240.000²300.000²

⇒ t=10 s

AB²=BD² +AD²(ct) ²=(ct ' ) ²+(vt ) ²⇒ c²t²=c² (t ' ) ²+v²t²

t²=c² ( t ' ) ²+v²t²

c²=

c² (t ' ) ²c²

+v²t²c²

=(t ' ) ²+v²t²c²

t²−(t ' ) ²=v²c²

t²

t²−(t ' ) ²t²

=v²c²

⇒t²t²

−(t ' ) ²

t²=

v²c²

⇒1−( t ' ) ²

t²=

v²c²

⇒(t ' ) ²

t²=1−

v²c²

⇒t²=(t ' ) ²

1−v²c²

t=√(t ' ) ²

1−v²c²

⇒ t=t '

√1−v²c²

⇒ t=t ' γ

35

em uma nave espacial e viaja a uma velocidade de 240000 quilômetros por segundo durante

10 anos, para facilitar converteremos esses 10 anos em segundos, ou seja, 315360000

segundos.

Quando O'' retorna ele está 10 anos mais velho, ou seja ele está agora com 30 anos de

idade. Agora usando a equação da dilatação do tempo calcularemos quanto tempo se passou

para O' enquanto O'' esteve fora:

Logo O' está agora 16.6 anos mais velho, ou seja, ele possui agora 36.6 anos, enquanto

seu irmão O'' possui apenas 30 anos.

2.1.2 – Contração do Espaço

Como observamos no tópico anterior, quanto mais rápido nos movemos no espaço,

mais devagar nos movemos no tempo. Vejamos agora, qual é a consequência direta desses

postulados para o espaço. Suponhamos os mesmos dois observadores O' e O''. Enquanto o

primeiro se encontra em repouso em relação ao segundo, o segundo percorre uma distância de

2.400.000 quilômetros de comprimento a uma velocidade de 240.000 quilômetros por

segundo, como o tempo é a razão da distância percorrida pela sua velocidade, para o

observador O', O'' leva 10 segundos para percorrer essa distância, mas como calculado no

tópico anterior, O'' está 4 segundos atrasado em relação ao primeiro.

Isso significa que O'', não percorre 2.400.000 quilômetros de comprimento em sua

trajetória como O'' levou 6 segundos para fazer esse percurso, o mesmo percorreu uma

distância de 240.000⋅6 s=1.440.000 quilômetros. Verificando os textos de Landau e Rumer

(1986, p. 93), o comprimento de um objeto que se encontra em movimento relativo a um

observador em repouso, é menor do que quando o mesmo estava em repouso.

Conformo mostrado logo acima, fica evidente que a contração do espaço está

relacionada com o fator γ , sendo este conhecido como fator relativístico ou fator da

t=t ' γ⇒t=t '

√1−v²c²

⇒t=315.360.000

√1−240.000²300.000²

⇒ t=525.600.000 s⇒t=16.66anos

36

dilatação do tempo, pois conforme afirma Penteado e Torres (2005, p. 196), quem se move

mede um intervalo de tempo e um comprimento menor.

Portanto, como a contração do espaço está relacionada a dilatação do tempo,

suponhamos que L' é o comprimento próprio percorrido pelo nosso observador O'', e que o

mesmo comprimento L' seja igual a 2.400.000 quilômetros, e L é o comprimento no qual O''

está se movimentando a uma velocidade de 240.000 quilômetros por segundo. Calcularemos o

comprimento L como a razão entre L' e o parâmetro gama γ .

Portando ,a equação que descreve a contração do espaço é simplesmente:

2.1.3 – Transformações de Lorentz

Antes da publicação da Teoria da Relatividade Restrita, em 1905, Wolff e Mors (2005,

p. 34) citam que dois físicos, George Francis FitzGerald (1851 – 1901) e Hendrik Antoon

Lorentz (1853 – 1923) propuseram a mesma relação de contração do espaço na direção do

deslocamento, mas com significado diferente. Para estes físicos, a contração resulta da

modificação da matéria, ou seja, o éter.

No artigo de 1889, conforme os textos de Wolff e Mors (2005, p. 34), FitzGerald

descreve a influência do éter na estrutura dos materiais, […] parece ser uma suposição não

improvável que as forças moleculares sejam afetadas pelo movimento relativo ao éter e que,

em consequência, o tamanho se altere […]. Logo, a partir da Teoria da Relatividade Restrita,

essa contração do espaço passou a ter um outro significado que de acordo com Wolff e Mors

(2005, p 34), essa contração passou a ser devido à aparência visual dos objetos em movimento

relativo.

L=L'γ ⇒ L=

L'1

√1−v²c²

⇒L=2.400.000

1

√1−240.000²300.000²

⇒L=1.440.000

L=L'γ

37

Lorentz, em um artigo publicado em 1892, conforme Peduzzi (2009, p. 142), apresenta

um conjunto de equações de transformação de sistemas de coordenadas, que mostra o

comprometimento com a física clássica e as transformações de Galileu.

Consideremos agora os mesmos sistemas de referências S e S', e suas respectivas

transformações, como demonstrado na seção 1.1.1 deste trabalho:

Consideremos agora o mesmo ponto P, identificado por quatro coordenadas,

respectivamente, em cada referencial, S (x, y, z e t) e S' (x', y', z' e t'), sabendo que as três

primeiras coordenadas localizam o ponto P no espaço, e a quarta coordenada identifica o

ponto P no momento do evento. Logo, o evento físico que caracteriza o evento P é dado pelas

coordenadas (x, y, z e t) de S em (x', y', z' e t') de S'.

Conforme descreve Riffel (2010, p 23), essas transformações são bem-sucedidas quando nos

referimos a velocidades muito menores que a velocidade da luz (v << c), isto dentro da

mecânica newtoniana. Generalizando as transformações da posição x '=x−vt , quando a

velocidade for muito menor que a velocidade da luz teremos:

x '=γ ' (x−vt)

E sua transformação inversa temos:

x=γ ' ( x ' +vt ' )

Observe que se o coeficiente γ ' →1 para velocidades muito inferiores à da luz, as

transformações de Galileu não sofrem alteração. Agora, utilizando do segundo postulado da

relatividade verificaremos como as coordenadas referentes ao tempo se alteram do referencial

{x ' =x−vt

y ' = yz ' =zt ' =t

⇔ {x=x ' +vt

y= y 'z=z 't=t '

{x ' =x−vt

y ' = yz ' =zt ' =t

38

S para o S'. Consideremos um feixe de luz em um instante t=t ' =0 , localizado na origem

x= x '=0 de nosso sistema de coordenadas, como a velocidade da luz implica no mesmo

valor c tanto para S quanto para S', significa que a luz percorre uma distância em S, e

x '=ct ' em S'. Logo, se substituirmos x e x' nas equações x '=γ ' (x−vt) e

x=γ ' ( x ' +vt ' ) , respectivamente, teremos:

Isolando t' na primeira:

Agora substituindo t' na equação ct= γ ' (c+v ) t' e posteriormente isolando o

coeficiente γ ' :

Notemos que o coeficiente γ ' é igual ao fator da dilatação do tempo γ , ou seja, esse fator

também é conhecido como “fator de Lorentz”:

Como à distância de x = ct, seu tempo equivale a t=xc

substituindo esse tempo na

equação t '=γ(c−v )

ct e efetuando algumas operações algébricas:

x'= γ ' ( x−vt ) ⇒ ct'=γ ' (ct−vt ) ⇒ct'= γ ' ( c−v ) t

x= γ ' ( x'+vt' ) ⇒ ct=γ ' (ct'+vt' )⇒ ct= γ ' (c+v )t'

ct'=γ ' (c−v ) t ⇒t'= γ '(c−v ) t

c

ct= γ ' (c+v ) t'⇒ ct= γ ' (c+v )γ ' (c−v )t

c⇒ c²t= (γ ' ) ² (c+v ) ( c−v ) t ⇒

c²= (γ ' ) ² (c+v ) (c−v ) ⇒c²= (γ ' ) ² (c²−v² )

(γ ' ) ²=c²

(c²−v² )⇒ (γ ' ) ²=

1

(1− v²c² )

⇒γ '=√1

1−v²c²

γ '=1

√1−v²c²

γ '=γ=1

√1−v²c²

39

Teremos encontrado a equação da transformação temporal, vale lembrar que quando

tratamos de velocidades muito inferiores a velocidade da luz, o nosso fator de Lorentz γ ,

tende a 1, isso significa que t' = t , como esperado na transformação de Galileu. Portanto,

reagrupando as transformações das posições e do tempo, teremos então, as transformações de

Lorentz.

2.1.4 – Adição de Velocidades Relativísticas

Na relatividade Galileana, conforme Penteado e Torres (2005, p 199), a velocidade v

de uma pessoa, em relação a S', será a seguinte relação v=V +v ' , onde V é o módulo da

velocidade de S' em relação a S, e v' é o módulo da velocidade da pessoa em S'. Porém, na

adição de velocidade de Einstein, as velocidades possuem a mesma ordem de grandeza da

velocidade da luz, pois caso contrário feriria o segundo postulado.

Conforme Wolff e Mors (2005, p. 38), referindo as velocidades relativísticas

utilizaremos uma outra relação chamada de adição relativística de velocidades:

Portando, para demonstrar como a adição de velocidades Galileana viola com o

segundo postulado, suponhamos que viajamos em uma nave espacial a uma velocidade de

t '=γ(c−v )

ct ⇒ t '=γ

(c−v )

cxc⇒t '=γ

( xc−xv )

c²⇒t ' =γ(

xcc²

−xvc²

)⇒ t ' =γ(xc−

xvc²

)

t '=γ(t−xvc²

)

{x ' =γ( x−vt)

y '= yz '= z

t '=γ(t−xvc²

)

⇔{x=γ(x '+vt ' )

y= y 'z=z '

t=γ(t '+x ' vc²

)

v=V +v '

1+Vv 'c²

⇔v '=V−v

1−Vvc²

40

0.85c, e que disparamos um projétil que se move a uma velocidade de 0.95c, usando a adição

de velocidades clássica:

Como a velocidade de luz é um limite absoluto, a relação entre as velocidades de

Galileu viola completamente com o princípio da relatividade de Einstein. Façamos agora o

mesmo cálculo da velocidade desse projétil usando a adição relativística de velocidades:

Fica-se evidente que na adição de velocidade relativística c + c = c e não 2c, como

ocorre na adição clássica:

2.1.5 – Energia Relativística

Como descrevemos nesse trabalho, a equação mais famosa de Einstein, a inércia da

energia ou apenas E=mc² , Einstein mostrou que uma pequena quantidade de massa pode

ser convertida em energia, e consequentemente, energia pode ser convertida em massa, e de

acordo com nossa revisão em Wolff e Mors (2005, p. 41), que citam que a massa pode ser

considerada uma forma de energia.

Na equação E=mc² , temos o que é conhecido como energia de repouso da massa

m, mas se esta massa, ou seja, esta partícula se encontra em movimento, sua energia cinética

v=V +v ' ⇒ v=0.95c+0.85c⇒ v=1.8c

v=V +v '

1+Vv 'c²

⇒v=(0.95c+0.85c)

1+(0,95c⋅0.85c

c²)

⇒ v=1.8c

1+0.8075c²

c²

⇒ v=1.8c

1+0.8075⇒ v=

1.8c1.8075

v=0.9958c

v=c+c

1+c⋅cc²

⇒ v=2c

1+c²c²

⇒ v=2c

1+1

v=2c2

=c

41

E c , será representada pela subtração entre a energia total dessa partícula E ' =γmc² ,

em que o coeficiente γ é o fator relativístico ou fator de Lorentz, e a energia de repouso é

E .

Penteado e Torres (2005, p. 202), comentam que a equação E=mc² foi base para

teórica para o desenvolvimento das bombas atômicas usadas na Segunda Guerra Mundial.

2.1.6 – A Relatividade da Simultaneidade

Antes de iniciarmos a explicação a respeito da relatividade da simultaneidade,

lembremos que na relatividade Galileana, conforme estudos feitos por Wolff e Mors (2005, p

25), dois eventos são simultâneos para qualquer observador desde que, em qualquer

referencial inercial, ocorra a simultaneidade, isso pois na relatividade galileana, o tempo

possui caráter absoluto. Como já estudamos, a interpretação de tempo absoluto, foi derrubada

na relatividade restrita, assim, mostraremos que eventos de caráter simultâneo, em um

determinado sistema de referência, não será simultâneo em outro sistema de referência.

Para isso mostraremos um exemplo parecido como o exemplo estudado por Wolff e

Mors. Suponhamos que em um vagão de trem, que chamaremos de referencial S', há uma

lâmpada posicionada bem no ponto médio desse vagão, e que fora desse vagão, há um

observador, que chamaremos de referencial S.

Suponhamos ainda que esse trem se desloca com uma velocidade muito próxima a

velocidade da luz da esquerda para a direita. Para um observador em S', que liga a lâmpada de

dentro desse vagão, sua luz ilumina simultaneamente as duas extremidades desse vagão, mais

para um observador em S, esse mesmo evento ocorre de forma diferente de S', para S a

extremidade da esquerda é iluminada primeiro do que a da direita, pois essa extremidade vai

Ec=E '−E ⇒Ec=γ mc²−mc²

Ec=(γ−1)mc²

42

de encontro com a luz. Logo, conclui Landau e Rumer (1986, p 74), o que em um sistema de

referências ocorreu antes, pode, para outro, ocorrer depois. Vieira (2009, p 89), ainda

complementa, o que foi simultâneo para você, pode não ser simultâneo para outra pessoa em

outro referencial inercial.

Figura 12 – Trem em repouso para S', e me movimento para S

Fonte: BOSCH, 2015.

2.2 – Teoria da Relatividade Geral

Quando pensamos em astronomia, logo vem em nossa mente, estrelas, nebulosas,

radiação cósmica de fundo, pulsares, quasares, lentes gravitacionais, buracos negros e

incontáveis galáxias. Quando refletimos a respeito disso, temos uma tímida noção, do quão

grandioso é o espaço que nos rodeia, e os corpos nele presentes, concluímos instantaneamente

o quão insignificante é esse “Pálido ponto Azul1” que chamamos de lar. Tente espremer em

sua mente uma pequena fração do que é uma galáxia, e você saberá do que estou falando.

No entanto, o que tem de comum nisso tudo? Cada um dos temas de nossa lista

envolve a Teoria da Relatividade Geral de forma crucial. Estrelas colapsantes que terminam

suas vidas em uma explosão que é capaz de abalar o firmamento, ridicularizando “a fúria dos

deuses”, deixando para trás um “caroço”, minúsculo e incrivelmente denso, capaz de

1 Sugestão de leitura “Um Pálido Ponto Azul”, livro do escritor Carl Sagan.

43

aprisionar sua própria luz. Sistemas binários de estrelas de nêutrons agonizantes, pulsando e

girando centenas de vezes por segundo, emitindo ondas gravitacionais.

A relatividade geral, nos proporcionou ferramentas que nos ajudaram a compreender

melhor a imensidão colossal a nossa volta. E é justamente essa teoria que estudaremos nos

próximos tópicos, e nessa etapa traremos uma discussão a respeito do princípio da

equivalência, o comportamento da luz em um campo gravitacional e posteriormente sua

curvatura, finalizando essa etapa com o periélio da órbita de mercúrio. Ressaltamos que não é

nossa intenção apresentar aqui um formalismo matemático, mas mostrar algo sobre este

“Pálido ponto Azul”.

2.2.1 – Princípio da equivalência

Em nossos estudos a respeito da Relatividade Restrita, Einstein apenas estava se

referindo a referenciais inerciais, ou seja, referenciais não acelerados como já explicamos.

Mas, o que são sistemas de referenciais acelerados? Em concordância com Wolff e Mors

(2005, p. 47), em 1907, Einstein propôs o que denominou de princípio da equivalência, o qual

se tornou ponto de partida para uma nova teoria da Gravitação.

Para formular esse princípio, Einstein imaginou o que aconteceria com uma pessoa em

queda livre em um referencial fechado, ou seja, ele fez um experimento puramente mental.

Consultando os textos de Will (1989, p. 36), Einstein concluiu que um corpo em queda, em

um referencial fechado não possuiria peso, ou seja, o anulamento da gravidade. A partir dessa

observação, Einstein conclui, vide texto do mesmo autor, que a vida em um sistema de

referência em queda livre é equivalente a vida sem gravidade, e que um referencial acelerado

no espaço, equivale a vida em um campo gravitacional. Esse exemplo que acabamos de

ilustrar é denominado princípio da equivalência fraco.

A generalização desse princípio, denominado princípio forte, que Nussenzveig (1998,

p. 224) nos ajuda a explicar, que devido à igualdade entre massa inercial mi e massa

gravitacional m g , o campo gravitacional numa pequena região próxima à superfície da

Terra produz a mesma aceleração ( -g ) de queda livre em qualquer corpo material, ou seja:

mi a=−mg g (eixo vertical para cima)

44

Para ajudar a compreender melhor o que isso significa, suponhamos o mesmo

referencial fechado que descrevemos, que chamaremos de S', dentro de S' a um observador

segurando dois objetos dotados de massa, e suponhamos ainda que S' está em queda livre em

direção ao solo, o referencial inercial, após um tempo, o observador terá a mesma aceleração

que S', logo, ele notará a ausência da gravidade, e quando ele soltar os dois objetos, os

mesmos flutuarão na frente dele, observe que nessa ausência de gravidade nesse referencial

fechado S' não há como o observador distinguir se está em queda livre sob ação de um campo

gravitacional ou se está em algum local do universo na ausência de campo gravitacional.

Suponhamos agora, que o mesmo observador, dentro do eferencial fechado S', esteja

agora em algum local do universo na ausência de campo gravitacional, novamente ele notará a

ausência de gravidade, e novamente os dois objetos flutuarão na sua frente. Notamos que

nesses dois exemplos não há como o observador distinguir se está em queda livre sob ação de

um campo gravitacional ou se está em algum local do universo na ausência de campo

gravitacional. Souza (2010, p. 11), conclui, logo um observador em queda livre em um campo

gravitacional, se analisado localmente, poderíamos considerar este observador como um

referencial inercial.

Continuemos com o experimento, suponhamos agora que esse mesmo referencial S',

está em repouso em solo firme em um campo gravitacional, e suponhamos ainda o mesmo

observador isolado em S'. Note agora que dentro de S' o observador sentirá o próprio peso, e

ao soltar os dois objetos com massa, os mesmos irão ao encontro do chão, após sofrer a

aceleração em queda livre (-g).

Analisemos agora uma última situação, suponhamos que o nosso referencial S', esteja

em algum local do universo na ausência de campo gravitacional, mas sendo acelerado

constantemente para cima, nesse caso novamente o observador sentirá o seu peso, e

novamente os objetos irão ao encontro do chão. Recorremos novamente a Souza (2010, p.

12), que conclui que por não terem contato algum com o exterior, o observador não poderá

afirmar se está em repouso em um campo gravitacional ou em algum local do Universo na

ausência de gravidade.

Portanto, Einstein estendeu essas conclusões a todas as leis físicas, que em acordo com

a revisão de Nussenzveig (1998, p 225), formulou o que ficou conhecida com terceiro

postulado da relatividade, O Princípio de Equivalência (III), que descreveremos:

45

III) Num recinto suficientemente pequeno para que o campo gravitacional dentro dele

possa ser tomado como uniforme, em queda livre dentro desse campo, todas as leis físicas são

as mesmas que num referencial não-inercial, na ausência do campo gravitacional.

Figura 13 – Referencial S' em repouso e acelerado verticalmente

Fonte: MEDEIROS; MEDEIROS, 2005.

2.2.2 – O comportamento da luz em um Campo Gravitacional

A consequência imediata a partir do princípio da equivalência, conforme os

apontamentos de Penteado e Torres (2005, p. 203), é o desvio da luz pela gravidade, conforme

esses autores, se dispararmos um feixe de luz dentro de um referencial fechado que sobe com

aceleração uniforme a→

, um observador ali presente ao feixe de luz descreverá um arco de

parábola. Tipler e Llewellyn (2006, p. 65) complementam que a teoria também previa que a

luz se propaga mais devagar e os relógios se atrasam na presença de um campo gravitacional,

efeitos de considerável importância para a astronomia.

46

Figura 14 – Curvatura da luz em um referencial acelerado

Fonte: BOSCH, 2015.

Conforme os textos de Pinheiros (2008, p. 37), a partir do princípio da equivalência

entre o referencial S e S', um raio luminoso que passasse pelo sistema S' acelerado

uniformemente, sofreria uma curvatura.

O ângulo de curvatura causado por um campo gravitacional para um raio luminoso

que tangencia este campo é dado por:

θ=2GMc²d

Sendo que G representa a constante gravitacional universal, M a massa do

corpo celeste, d a distância perpendicular entre a trajetória do raio de luz e o centro do

corpo celeste e c a velocidade da luz. Einstein apud Pinheiros (2008, p. 37) propôs um

experimento que poderia comprovar sua teoria, o qual afirma:

Um raio de luz que passe junto ao Sol sofreria assim uma deflexão de 4.10 -6 = 0,83segundos de arco. A distância angular entre uma estrela e o centro do solapresenta-se acrescida deste valor. Como as estrelas fixas das regiões do céu que sãovizinhas do sol se tornam visíveis quando há eclipses solares, esta consequência dateoria pode confrontar-se com a experiência. Para o planeta Júpiter, o desvio previstoatinge cerca de 1/100 do valor que atrás se indicou. Seria de extrema conveniênciaque os astrônomos se ocupassem da questão que aqui foi esboçada, ainda que ela seapresente insuficientemente fundamentada com os raciocínios anteriores, ou atéinteiramente aventurosa.

47

Figura 15 – Desvio de um raio de luz em um campo gravitacional

Fonte: PINHEIROS, 2008.

O princípio da equivalência para Einstein tinha uma ideia muito profunda, Will (1989,

p. 36) explica que a ideia significava que o espaço – tempo tem de ser curvo na proximidade

de corpos massivos.

2.2.3 – O Periélio da Órbita de Mércurio

Uma das ferramentas matemáticas usada por Einstein para a generalização do

princípio da relatividade foi por sua vez baseada em uma geometria não Euclidiana com base

no universo quadridimensional proposto por Minkowski.

Uma experiência relativamente simples demonstra a necessidade de buscar uma outra

geometria além da Euclidiana para explicar o comportamento do espaço-tempo em um campo

gravitacional. Einstein apud Pinheiros (2008, p. 38) sugere o seguinte experimento mental:

Suporemos invariável a distância entre os corpos, e inexistente qualquer movimentorelativo entre as partes de um mesmo corpo; mas admitiremos que cada uma dasmassas vista por um observador imóvel em relação à outra - apresenta em torno dareta que une as duas massas, um movimento de rotação de velocidade angularconstante (havendo assim um movimento relativo verificável entre as duas massas).Imaginemos agora que, por meio de réguas (em repouso relativo), se fazemmedições sobre as superfícies dos dois corpos (s e s'), chegando-se a conclusão que éesférica a superfície de S' e elipsoidal de revolução a de S'.

48

Com essa afirmação se forem medidas as razões entre as circunferências e o diâmetro

de S, o resultado será igual π para S, conforme a geometria Euclidiana que usa corpos

rígidos.

Porém no caso de S' em rotação, existe uma contração das distâncias que para um

observador estacionário será menor que no referencial em rotação. Pinheiros (2008, p. 38) cita

que esse fenômeno implica que a razão entre a circunferência e o diâmetro que não sofre

contração, será um valor diferente de π . Este é um exemplo forte a favor da escolha de

uma nova geometria para descrição do espaço-tempo e a matéria.

Com o uso do cálculo tensorial e um universo quadridimensional, Einstein publicou

em 1916 a teoria da relatividade geral, que prevê novos fenômenos físicos e explicam outros

que a gravitação newtoniana deixa sem respostas.

É o caso do avanço do Periélio de Mercúrio observado no século XIX. Este avanço do

Periélio devia ser causado pela perturbação dos outros planetas. Pinheiros (2008, p. 38), ainda

cita, que mesmo com tais perturbações corrigidas, a mecânica clássica não explicou este

fenômeno.

Figura 16 – Avanço do periélio de Mercúrio

Fonte: PINHEIROS, 2008.

49

Somente com a criação da relatividade geral, a solução para este problema tornou-se

viável. Pinheiros (2008, p. 39) complementa que a equação que descreve o avanço angular do

periélio de Mercúrio e dos demais corpos celestes é dado por:

α=24 a²

T² c² (1−e² )

Nesta fórmula α é o semi – eixo maior, c o valor da velocidade da luz, e é a

excentricidade e T, o tempo de revolução em segundos.

Pinheiros (2008, p. 39), ainda diz que no caso da rotação orbital de Mercúrio, o

cálculo estabelece um valor de 43'' arco de segundo por século em conformidade com os

resultados dos astrônomos como calculou Le Verrier (1811 - 1877).

50

3 – ABORDAGEM DIDÁTICA E A SUA TRANSPOSIÇÃO

Nessa etapa de nossa pesquisa optamos em fazer uma revisão bibliográfica em que

traremos uma discussão a respeito das transposições didáticas voltadas para o ensino de física

moderna, e a análise do conteúdo referente a Teoria da Relatividade em alguns livros

didáticos realizado por pesquisadores que atuam na área.

3.1 – A Atualização do Ensino de Física e a Análise de Livros

O ensino de física nas escolas públicas tem sofrido inúmeras críticas, em relação a sua

abordagem e a sua metodologia de ensino, Karam (2005, p. 13) destaca que a metodologia

clássica da ênfase na memorização e aplicação direta de fórmulas, e sua descontextualização

de seu desenvolvimento têm contribuído fortemente para distanciá – la da preferência dos

estudantes.

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais em relação ao ensino de física

O ensino de Física tem sido realizado frequentemente mediante a apresentação deconceitos, leis e fórmulas, de forma desarticulada, distanciados do mundo vividopelos alunos e professores e não só, mas também por isso, vazio de significados.Privilegia a abstração, desde o primeiro momento, em detrimento de umdesenvolvimento gradual de abstração que, pelo menos, parta da prática e deexemplos concretos (PCNEM apud KARAM, 2005, p. 13).

Outra crítica é feita em virtude da grande ênfase dada à Física Clássica, conforme

verificamos na pesquisa realizada por Karam (2005, p. 13) que comenta que os conteúdos

tratados no Ensino Médio tendem a seguir os clássicos manuais didáticos, iniciando pela

Mecânica, passando pela Física Térmica, Óptica e a Ondulatória e finalizando com

Eletricidade e Magnetismo. Excluindo, portanto, as mudanças ocorridas no pensamento

científico ocorridas no início do século XX.

Logo, a maneira como a Física Clássica vem sendo abordada segundo Karam (2005, p.

14), gera nos mesmos educadores a falsa ideia de que as teorias científicas são constituídas de

verdades absolutas, provenientes de mentes geniais infalíveis. Do mesmo modo os livros

didáticos disponibilizados para os alunos, segue a mesma noção.

51

Por falar em livros, é claro que eles sempre existiram e cabe destacar, entre os atuais,pela ótima qualidade, o Curso de Física, de Alvarenga e Máximo (1997) e o Físicado GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física, 1993). [...] muito do ensinode Física em nossas escolas secundárias está, atualmente, outra vez referenciado porlivros, porém de má qualidade - com muitas cores, figuras e fórmulas - e distorcidopelos programas de vestibular; para ler (MOREIRA apud KARAM, 2005, p. 14).

Verificando Santos apud Rodrigues, Pereira e Teixeira (2010, p. 03), umas das grandes

dificuldades encontradas pelos professores de Física do ensino médio em nosso país, diz

respeito à explicação de fenômenos de Física Moderna em sala de aula, por exemplo a

Relatividade. No entanto, muitas escolas do ensino médio ainda não estão preparadas para a

inserção de conteúdos, como o da Teoria da Relatividade Especial. E mesmo que a escola

esteja consciente da validade de se tratar a Teoria da Relatividade ainda no ensino médio,

esbarra na dificuldade em encontrar mão de obra qualificada (MONTEIRO, 2010, p. 31).

Complementando Monteiro, Rodrigues, Pereira e Teixeira (2010, p 03) destacam que a

situação é agravada pelo fato de que a maioria dos estudantes do ensino médio não

desenvolveram a abstração necessária para entender a descrição matemática de grande parte

dos fenômenos físicos. Portando, é de grande necessidade propor alternativas para a mudança

e melhoramento desse quadro.

Outra linha de trabalho que busca dar suporte ao professor no ensino da relatividadeé apresentado por Caruso & Freitas (2009) com auxílio de tirinhas. Esse recursodidático é relevante porque além de utilizar uma abordagem lúdica e divertida, fazcom que, através da arte, haja uma composição articulada entre“ensino-aprendizagem” e "conhecimento - sociedade [...]” (RODRIGUES;PEREIRA; TEIXEIRA, 2010, p. 04).

Figura 17 – Exemplo de uma das tirinhas de Caruso e Freitas

Fonte: CARUSO; FREITAS, 2009.

52

Dessa forma, para o melhoramento da metodologia de ensino em sala de aula, deve-se

fazer alguns questionamentos, por exemplo, os levantados por Ostermann e Moreira apud

Karam (2005, p. 18 – 19):

I) Quais tópicos devem ser ensinados?

II) Em que nível de profundidade devemos trabalhar?

III) Quais metodologias adotar para alcançar uma aprendizagem significativa?

IV) A introdução dos conceitos de Física Moderna e Contemporânea devem ser

apresentados ao final do curso (após o Eletromagnetismo) como discussão dos limites da

Físcia Clássica ou articulada com os conteúdos clássicos numa reestruturação completa?

V) Que materiais didáticos devem ser produzidos?

Voltamos o nosso foco para a última questão levantada por Ostermann e Moreira

dentro dos estudos de Karam, os materiais didáticos, nesse caso os livros – texto, conforme o

mesmo autor, destaca que na maioria dos casos, temas referentes à física moderna são

apresentados no final do terceiro volume das obras, o que acaba fazendo com que estes não

sejam sequer cogitados nos planos de ensino.

Podemos notar que a maioria dos livros que trazem elementos de Física Moderna eContemporânea tem esses conteúdos separados em seções especiais, em apêndicesou pequenas inserções informativas no decorrer dos capítulos. O fato de essesconteúdos aparecerem como um tópico complementar acaba caracterizando-osdiferentemente do restante do conteúdo, primeiramente pelo fato de ser uma leituracomplementar e, com isso, não ser avaliado pelo professor; por ter uma linguageminformativa e não estar disposto na sequência tradicional; não conter exercíciosoperacionáveis, desvinculando-se do ferramental matemático (REZENDE JR apudKARAM, 2005, p. 20).

Levando em consideração essa preocupação, Rodrigues, Pereira e Teixeira, analisaram

os conteúdos da Teoria da Relatividade presente nos livros didáticos aprovados pelo PNLEM

(2009 – 2011), os pesquisadores utilizaram como critério de investigação a análise de duas

linhas, aspectos do conteúdo e aspectos didáticos.

Essa classificação facilita a avaliação das obras, uma vez que os aspectos doconteúdo se destinam a analisar como o texto apresentado nos livros didáticos serelaciona com o saber de referência, abordando fatores que vão desde a estruturateórica do texto até sua relação com os outros conteúdos na obra. Também foiavaliado neste momento como o conteúdo se apresenta em relação à estrutura dolivro, tais como as concepções Históricas e Epistemológicas envolvidas naconstrução e evolução da teoria, a noção de ciência contida na obra, e se apresentaconflitos conceituais com a teoria de referência (RODRIGUES; PEREIRA;TEIXEIRA, 2010, p. 06).

53

As coleções utilizadas nas pesquisas desses autores foram indicadas pelo catálogo do

PNLEM:

1) FILHO, A. G., & TOSCANO, C. FÍSICA (1º ed., Vol. único). Scipione, 2005.

2) GASPAR, A. Física (1º ed., Vol. único). Ática, 2005.

3) LUZ, A. M., & ÁLVARES, B. A. Física (1º ed., Vols. 1, 2, 3). Scipione, 2005.

4) PENTEADO, P. C., & TORRES, C. M. Físcia - Ciência e Tecnologia (1º ed., Vols. 1, 2

e 3). Moderna, 2005.

5) SAMPAIO, J. L., & CALÇADA, C. S. Física (2º ed., Vol. único). Atual, 2005.

6) SAMPAIO, J. L., & CALÇADA, C. S. Universo da Física (2º ed., Vols. 1, 2, 3).

Saraiva, 2005.

Nos aspectos didáticos investigados pelos autores (2010, p. 07), apenas a coleção de

Filho & Toscano (2005) não aborda a Teoria da Relatividade. Por sua vez nesse estudo, as

coleções (4), (5) e (6), abordam a teoria em um único capítulo em uma unidade dedicada a

Física Moderna. Por esse outro estudo, destaca que a coleção (2), utiliza a estratégia de

abordar apenas alguns tópicos dessa teoria, presentes em um capítulo dedicado a Física

Moderna.

Ao analisar a coleção (3), Rodrigues; Pereira; Teixeira comentam que a teoria é

abordada dentro de duas seções de “Tópicos Especiais”. A avaliação didática completa desse

estudo destacamos na tabela abaixo:

Tabela 01 – Quadro comparativo Forma de Apresentação – Quantidade de Páginas

Coleções Forma de Apresentação Nº Páginas

Filho & Toscano (2005) Não aborda o tema 0

Gaspar (2005) Dentro de uma seção dedicada a Física Moderna 3

Luz & Álvares (2005)Tenta articular a Física Moderna com Física

Clássica apresentando a Teoria da Relatividadedentro de capítulos dedicados a Física Clássica.

10

Penteado & Torres (2005) Capítulo único 24

Sampaio & Calçada(2005) (5)

Capítulo único 12

Sampaio & Calçada(2005) (6)

Capítulo único 16

Fonte: RODRIGUES; PEREIRA; TEIXEIRA, 2010.

54

Na investigação dos aspectos do conteúdo,

[...] todas as coleções analisadas apresentaram problemas como descontextualizaçãohistórica, omissões e distorções, o que vem contribuindo para um entendimentolimitado do processo de construção da ciência. Como por exemplo, na página 391,da obra de Sampaio & Calçada (2005), os autores atribuem a Albert Einstein acriação da Teoria da Relatividade, o que representa uma ausência de informaçãosobre as contribuições de outros cientistas. Pois, uma teoria científica não é criadaapenas por um cientista, é uma construção epistêmica, ao contrário do que o autordeixa implícito, é um trabalho árduo que envolve vários cientistas (RODRIGUES;PEREIRA; TEIXEIRA, 2010, p. 08).

Na discussão dos resultados da pesquisa de Rodrigues, Pereira e Teixeira (2010, p. 10),

a abordagem dos conteúdos referentes a Teoria da Relatividade é uma tendência, se

comparados aos livros da década de 90 que por sua vez não abordavam a teoria, entretendo,

nesse estudo, os autores comentam que é preocupante o fato de todas as coleções analisadas

apresentarem em seu bojo concepções equivocadas e mobilizarem aspectos epistemológicos

de maneira inadequada.

Com relação à forma que a Teoria da Relatividade Restrita é apresentada ao longodas coleções, os textos que especificamente foram formulados em um capítulodedicado exclusivamente à teoria se mostraram mais coesos e apresentaram menosequívocos conceituais. Todavia, é importante se introduzir a Física Modernaexplorando os limites da Física Clássica, a fim de que haja um melhor aprendizado.Nesta perspectiva, se destaca a metodologia utilizada por Luz & Álvares (2005) quetentou inserir alguns tópicos de Relatividade no "corpo" do texto destinado a FísicaClássica. Porém, a qualidade do texto usado deixa a desejar uma vez que, seaproxima mais de um texto destinado a divulgação científica do que ao público deuma Escola de Ensino Básico, não cumprindo assim com o objetivo pedagógico(RODRIGUES; PEREIRA; TEIXEIRA, 2010, p. 08).

Em um outro estudo realizado por Rodrigues e Oliveira (1999, p. 03), foram

analisados três livros em nível universitário:

7) FEYNMAN, Richard Phillips. "The Feynman lectures on phisics mainly mechanics,

radiation, and hear". vol. 1, Estados Unidos da América. Fondo Educativo Interamericano,

S.A., 1971.

8) Mckelvey, John P. & Grotch, Howard. "Física". São Paulo: editora Harper & Row do

Brasil Ltda. 1981.

9) Tipler, Paul A. "Física". Rio de Janeiro: editora Guanabara Dois S.A. 1984.

E conforme esse estudo Rodrigues e Oliveira (1999, p. 04), comentam:

55

Os livros universitários, pelo fato de se destinarem à formação de futuros cientistasou técnicos, introduzem a linguagem científica no tratamento das teorias econteúdos. Os algebrismos e símbolos característicos da linguagem matemática sefaz presente nas demonstrações de fórmulas, na compreensão de dados, nosproblemas e exercícios, bem como na matematização das teorias.

Além de um tratamento matemático mais rigoroso, esse referente estudo (1999, p. 05)

cita que esses livros tratam de conceitos complicados que fogem do cotidiano, um exemplo

destacado pelos autores é a Teoria da Relatividade Restrita. Quando esse estudo avalia a

construção da Relatividade a partir de seus postulados, Rodrigues e Oliveira (1999, p. 05)

ilustram com o exemplo do livro (8), que ao tratar o segundo postulado da Relatividade

Restrita, afirma que "Não existem argumentos que possam ser aprimorados para provar esta

afirmação, ou mesmo para torná-la plausível. Pelo contrário, a intuição nos levaria a acreditar

ser este postulado ridículo".

O Mackelvey, por exemplo, redigiu uma coleção de livros de física composta porquatro volumes, dentre os quais são abordados, nesta sequência, os seguintes temas:Medidas, Unidades e Vetores; Mecânica Newtoniana; Fluidos; Termodinâmica;Eletrostática; Eletromagnetismo; Óptica; Relatividade; Física Nuclear e FísicaQuântica. A perte destinada ao estudo da relatividade ocupa um capítulo de seuquarto volume, o de número 27. O autor divide este capítulo em 09 seções, as quaiscinco são dedicadas à Relatividade Restrita e os quatro restantes à Física Nuclear(RODRIGUES; OLIVEIRA, 1999, p. 05).

O livro desse mesmo autor, conforme este estudo, dedica três dos seus cinco tópicos ao

formalismo matemático das Transformações e Lorentz. Em contrapartida, Tipler dedica uma

de suas dez seções aos conceitos dessa teoria, o restante, ao formalismo matemático. Fica,

portanto, evidente que o tratamento em livros do nível superior é dedicado ao tratamento

matemático, logo, sua abordagem, se levarmos em consideração que o público-alvo são

alunos de nível superior, evidenciando um tratamento mais completo.

Rodrigues e Oliveira (1999, p. 10) conclui que apesar do objetivo do livro didático ser

formativo, o fato desse tema não estar presente, efetivamente, no currículo do ensino médio,

faz com que este tópico seja apresentado apenas como anexo.

56

4 – ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Nessa etapa de nosso trabalho, focamos em elaborar uma sequência didática

metodológica para alunos do 3º ano do ensino médio de uma escola estadual do município de

Sinop – MT, complementando o conteúdo a respeito da Teoria da Relatividade presente nos

livros didáticos. Trabalharemos em duas frentes, na primeira, abordaremos a Relatividade

Restrita com o uso de experimentos mentais, e logo após da aplicação dessa abordagem

filosófica, testaremos os conhecimentos dos alunos com exercícios.

Na segunda frente dessa sequência, usaremos o auxílio de um software para

demonstrar visualmente a curvatura do espaço e suas consequências.

4.1 – Relatividade Restrita com o uso de Experimentos Mentais e Exercícios

Para a elaboração dessa proposta, iniciaremos definindo uma problematização que

alicerçou o desenvolvimento dessa primeira metade de nossa proposta. Apos a definição da

situação-problema, desenvolveremos uma metodologia que resolva da melhor maneira a

problematização deste estudo.

4.1.1 – Problematização

I) Quais tópicos referentes a Relatividade Restrita abordaremos em nossa sequência

didática?

II) De que maneira esses tópicos serão abordados?

4.1.2 – Metodologia da Sequência Didática

Abordaremos em nossa sequência didática quatro tópicos, sendo o primeiro tópico: o

princípio da Relatividade de Galileu, explicaremos a dilatação do tempo e suas

consequências; no segundo tópico dessa abordagem e no terceiro estudaremos com os alunos

a contração do espaço, e para o último tópico escolhido para essa metodologia, trabalharemos

a adição de velocidades relativísticas.

57

Utilizaremos como ferramenta para a abordagem desses tópicos, experimentos

pensados também conhecidos como experimentos mentais, Kiouranis, Souza e Filho (2010, p.

01) define que todo o experimento montado e conduzido apenas no laboratório da mente é um

experimento mental.

Isso significa que os experimentos pensados ou experimentos mentais podem ser de

grande ajuda para o ensino-aprendizagem da teoria da relatividade em uma sala de aula.

Portanto, métodos experimentais (mentais ou reais) são mais adequados na abordagem do

conteúdo a ser ensinado.

Do ponto de vista metodológico e epistemológico todo experimento é umexperimento mental, pela simples razão de que o cientista precisa planejar suaatividade, o que já exige uma intensa elaboração mental de natureza antecipatória. Épreciso pensar na metodologia, no tempo disponível, na minimização dos erros [...].(KIOURANIS; SOUZA; FILHO, 2010, p. 01 – 02).

Nesse mesmo estudo referente aos experimentos mentais realizados por Kiouranis,

Souza e Filho (2010), destacamos que diferente dos experimentos físicos, os experimentos

mentais não se aplicam a uma metodologia prescritiva, capaz de sistematizar nas disciplinas, o

trabalho experimental pensado. Atualmente, o processo de “experimentar em pensamento”

tem merecido um número cada vez maior de estudos.

Wilkes apud Kiouranis, Souza e Filho (2010, p. 03 – 04) destaca algumas dificuldades,

entre elas:

[…] o fato de que se podemos imaginar algo, não significa que este algo sejapossível, o que invalidaria os experimentos mentais. O que uma pessoa consideraintuitivamente certo, outra pode considerar obviamente errado; assim, asexperiências mentais levam-nos muito longe do mundo real.

Portanto Brown apud Kiouranis, Souza e Filho (2010, p 04) valida os experimentos

mentais da seguinte forma, "[…] uma experiência mental é legítima desde que não viole as

leis da natureza […]". O mesmo autor ainda destaca, num experimento ao aparecimento do

erro, não devemos considerá-lo atribuindo a um caráter da falta ou um valor negativo de

deficiência, mas sim, deve ser visto como uma oportunidade privilegiada e inerente a toda

construção intelectual.

Como não é definida uma metodologia para o uso dos experimentos mentais,

estruturaremos nossa metodologia em quatro etapas. A primeira etapa, chamaremos de

58

Cenário, descreveremos o ambiente a ser imaginado e uma situação-problema a ser

experimentada pelos alunos, na segunda etapa, cada aluno resolverá individualmente a

situação-problema e descreverá sua ou suas respostas no papel, essa etapa chamaremos de

Deduções Individuais, na terceira etapa, o professor deverá conduzir o experimento descrito

na primeira etapa e debater as conclusões com os alunos até que eles cheguem a uma resposta

satisfatória para a situação-problema descrita no Cenário, essa etapa chamaremos de Debate

em Conjunto, e por último, na quarta etapa, os alunos descreverão a resposta ou as respostas

da terceira etapa no papel, chamaremos de Resultados do Debate. Reforçaremos as quatro

etapas de nossa metodologia com exercícios simples, diretamente ligados aos experimentos

trabalhados em sala. Logo após, discutiremos os dados obtidos em sala.

Figura 18 – Fluxograma da Metodologia

Fonte: BOSCH, 2015.

4.2 – Relatividade Geral com o uso de um Recurso Digital

Para essa etapa da metodologia, utilizaremos como ferramenta didática um software de

modelagem matemática, wxmaxima2, para demonstrar visualmente a curvatura do contínuo

2 Em anexo informações sobre o software.

59

espaço-tempo na presença de massa. A função que descreve essa curvatura é uma adaptação

unidimensional da atração gravitacional de uma distribuição esfericamente simétrica de

massa, presente em Nussenzveig (2002).

f (x )={x²M2R³

−3M2R

, se∣x∣<R

−M∣x∣

, se∣x∣⩾R

A função descrita acima demonstra a curvatura do contínuo espaço-tempo em duas

dimensões, para generalizar em três dimensões basta apenas atribuir mais uma variável na

f (x ) .

g ( x , y)={( x²+ y² )²M

2R³−

3M2R

, se∣x²+ y²∣< R

−M∣x²+ y²∣

, se∣x²+ y²∣⩾R

A ideia é plotar o espaço curvo de um objeto de raio R arbitrário, e massa M , em duas

dimensões, e em três dimensões com uma densidade d arbitrária que aumentará conforme

o raio diminuir sem alterar a massa desse objeto. Na imagem a seguir, mostraremos a área de

trabalho do wxmaxima.

Figura 19 – Área de trabalho do wxmaxima

Fonte: BOSCH, 2015.

60

Atribuímos 200, para a densidade, e 2 para o raio, a massa desse objeto de raio 2 e

densidade 200, é 6702, a variável a é justamente a variável que diminuirá o raio do objeto

e aumentar a densidade, sem alterar a massa.

Ao plotar um objeto de raio 0, consequentemente a massa desse objeto também será 0,

ou seja, não existe objeto no espaço, logo não haverá curvatura no contínuo espaço-tempo.

Figura 20 – Espaço na ausência de massa

Fonte: BOSCH, 2015.

Logo, após mostrar o espaço na ausência de massa, atribuiremos um raio arbitrário

para o nosso objeto, nesse casso 2, como descrito anteriormente, esse objeto possui massa

igual a 6702, a deformação do espaço causada por esse objeto será ilustrada na próxima

figura.

Figura 21 – Espaço na presença de massa

Fonte: BOSCH, 2015.

61

A partir desse ponto estudaremos com os alunos, o aumento da densidade d , e

consequentemente, a diminuição do raio R desse objeto de massa 6702, para questionar

em sala de aula: Que tipo de fenômeno um objeto muito denso é capaz de fazer no tecido do

contínuo espaço-tempo? A ideia é diminuir esse objeto aos poucos para que os alunos possam

visualizar esse fenômeno.

Figura 22 – Espaço na presença de um objeto muito denso.

Fonte: BOSCH, 2015.

Ao final da aula, ao atingir uma densidade muito grande, mostraremos para os alunos a

consequência direta desse fenômeno na natureza, o buraco negro.

62

Figura 23 – Espaço na presença de dois objetos e um muito denso


Figura 24 – Espaço em 2D com um objeto muito denso formando um buraco negro

Fonte: BOSCH, 2015.

63

5 – APRESENTAÇÃO DOS DADOS

Apos a aplicação das duas metodologias, apresentaremos os dados colhidos por um

questionário que teve como objetivo, avaliar o aprendizado dos alunos que participaram das

aulas, com o uso de experimentos mentais e com o uso do wxmaxima como ferramenta de

ensino.

Durante a fase em que utilizamos os experimentos mentais para apresentar a

relatividade galileana e a relatividade restrita, a turma de 26 alunos se mostrou bastante

empolgada com a aula, questionando e participando ativamente dos debates descritos na

metodologia. Na etapa que estudamos os conceitos da relatividade galileana, 58% dos alunos

compreenderam de imediato as ideias e conceitos, 31% dos alunos tiveram um pouco de

dificuldade com os conceitos ou não compreenderam corretamente as ideias trabalhadas. Já

11% do restante da turma tiveram grandes dificuldades.

Figura 25 – Resultados da etapa relatividade galileana

Fonte: BOSCH, 2015.

Durantes os experimentos mentais sobre a relatividade restrita, novamente um grande

número de alunos compreenderam sem grandes dificuldades que a luz se propaga com uma

velocidade c e que essa velocidade é finita e constante, e uma pequena parte compreenderam

64

parcialmente essa característica, quando questionado se a luz se propaga instantaneamente.

Um único aluno não compreendeu diretamente essa característica.

Figura 26 – Resultados sobre a propagação da luz

Fonte: BOSCH, 2015.

Quando testamos a compreensão dos alunos sobre o segundo postulado da relatividade

restrita, todos responderam corretamente, porém quando questionamos se a velocidade da luz

tem limite, um grande número de alunos não compreenderam bem as ideias.

Figura 27 – Resultados sobre o limite da velocidade de luz

Fonte: BOSCH, 2015.

65

Durante a aula com experimentos mentais, foi trabalhado um relacionado com o

tempo, a essência desse experimento muda o conceito de tempo absoluto. E ao questionar se o

tempo é absoluto ou não, mais da metade dos alunos compreenderam e debateram as ideias,

mas novamente um grande número de alunos tiveram grandes dificuldades para chegar a essa

conclusão.

Figura 28 – Resultados sobre o tempo absoluto

Fonte: BOSCH, 2015.

Na fase em que se utilizou o auxílio do wxmaxima, como ferramenta para a aula sobre

a relatividade geral, os alunos se mostraram interessados e a todo momento questionaram,

demonstrando a tamanha curiosidade e o interesse dos envolvidos. Ao avaliar a compreensão

sobre o que a massa faz com o espaço, tivemos o segundo melhor resultado da avaliação,

mostrando que os recursos tecnológicos são uma grande ferramenta para o

ensino-aprendizagem.

66

Figura 29 – Resultados sobre o que a massa faz com o espaço

Fonte: BOSCH, 2015.

Ainda estudando as consequências da massa sobre o espaço, ao concentrarmos muita

massa em um pequeno espaço, questionamos, o que aconteceria quando há muita massa em

pouco espaço? Um grande número de alunos compreenderam de imediato o fenômeno, e um

pequeno grupo de alunos apresentaram grandes dificuldades para a compreensão do

fenômeno.

Figura 30 – Resultados sobre o que muita massa faz em pouco espaço

Fonte: BOSCH, 2015.

A última pergunta que avaliou a relatividade geral com o auxílio do software, se

referia a deflexão da luz em um campo gravitacional, essa questão mostra que um grande

67

número de alunos não compreendeu corretamente essa consequência, que a luz sofre um

desvio ao passar por um espaço curvo.

Figura 31 – Resultados sobre a deflexão da luz em um campo gravitacional

Fonte: BOSCH, 2015.

68

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados, de uma forma geral, mostram que com pouca fundamentação

matemática e com um bom estudo dirigido, pode-se ter bons resultados no ensino de

relatividade no ensino médio, usando como base da metologia, experimentos mentais.

Durante a metodologia, não foram usadas equações matemáticas durante as aulas.

Mesmo com as dificuldades encontradas durante o processo, os resultados atestam que há um

caminho a percorrer no aperfeiçoamento do ensino de Física, e que a matematização não é tão

necessária para compreensão de conceitos físicos, pelo menos os mais básicos. Não obstante,

levando-se em conta a deficiência do aprendizado em matemática de estudantes do ensino

médio em escolas locais, pode-se fazer os seguintes apontamentos:

1. Há um certo interesse pelo assunto da Física Moderna pelos estudantes,

principalmente pela Relatividade, como consta nos resultados destes estudos;

2. Conceitos relacionados a relatividade Galileana (ou mesmo Einsteniana), como o de

referencial inercial, podem ser bem trabalhados no ensino médio, e a deficiência no

aprendizado desse item podem prejudicar o aprendizado da Relatividade. Para melhor

elucidação desta questão, são necessários estudos técnicos especializados, o que está

longe do escopo deste trabalho;

3. Há uma facilidade de entender o segundo postulado da relatividade restrita, mas não

suas consequências; disto pode-se citar a compreensão da existência de um limite

superior para a velocidade dos corpos e a propagação da luz com a mesma velocidade

em todos referenciais inerciais, por exemplo;

4. Há situações em que a matematização de determinados conceitos torna-se necessária,

como no caso da explicação de que corpos com a mesma massa e densidades variadas

podem produzir no espaço-tempo a sua volta, neste caso o não entendimento do

conceito de densidade pode ter prejudicado a aprendizagem;

5. A relação entre o princípio da equivalência e a curvatura da trajetória da luz também

não foi bem entendida por alguns alunos, o que mostra que a metodologia precisa ser

aperfeiçoada;

Mas de uma forma geral, uma metodologia como esta, associada a uma matematização

adequada, quando necessária, pode ser usada, por exemplo, em um curso de mecânica no

ensino médio totalmente reformulada, partindo da noção de referencial inercial, explorando a

69

relatividade de Galileu, depois passando para a relatividade restrita de Einstein, e por fim, a

Relatividade Geral. Num curso como este, pode-se explorar tanto aspectos básicos da

mecânica, como, por exemplo, a igualdade das massas inercial e gravitacional, como aspectos

avançados da astronomia e cosmologia. Uma abordagem semelhante a essa supracitada,

encontra-se em um livro didático do ensino médio, cujo título é FÍSICA EM CONTEXTOS

(PIETROCOLA et al., 2010) em que os autores abordam o ensino de Física de forma histórico

contextual, explorando o conteúdo desde Arquimedes até a cosmologia moderna.

A ausência de matematização na aplicação desta metologia, antes de ser uma

desvantagem, mostrou-se muito adequada para o ensino da relatividade, pois apoia-se na ideia

da construção do conhecimento usando experimentos mentais, mas sob a forma de estudo

dirigido. Por outro lado, não significa que a matemática não pode ser utilizada, até porque,

mesmo na apresentação dos gráficos, há um modelo matemático que pode ser explorado em

turmas com melhor formação em matemática e/ou alunos do curso superior. Neste último

caso, a matematização é recomendada para explorar aspectos mais interessantes, como

aqueles relacionados a astronomia/astrofísica.

Por fim, este estudo vem mostrar que conceitos abstratos como aqueles relacionados a

Relatividade, como espaço e tempo podem ser explorados no ensino da Física para o ensino

médio. E mostra que a matematização como vício metodológico na construção dos conceitos

da Física precisa ser revisto.

70

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74

APÊNDICE QUESTIONÁRIOS

75

APÊNDICE – A

RELATIVIDADE GALILEANA

Aluno:______________________________________________________ Data: ___/___/___

Turma: _____________________________________________________________________

Cenário 1:

Você está dentro de uma sala de aula, nesse momento você se encontra em repouso ou

em movimento?

Deduções Individuais:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:

Resultados do Debate:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 2:

Imaginemos que você esteja em um veículo se movendo com uma velocidade de 100

km/h em uma estrada, e que ao seu lado esteja um caronista. Nesse caso você está em

movimento ou em repouso?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 3: Acabamos de cruzar com um outro veículo que se move em sentido contrário ao

nosso com uma velocidade de 90 km/h, com esse novo referencial, você se encontra em

repouso ou a 100 km/h?


76

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 4:

A descrição de um fenômeno físico é relativa, por quê?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 5: Você está em um skate se movendo em linha reta arremessando uma bola para

cima e aparando-a depois. E na calçada está um amigo que observa seu movimento. Qual a

trajetória da bola para você no skate, e qual a trajetória da bola para seu amigo?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

77

RELATIVIDADE RESTRITA

Postulados:

I) As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais;

II) A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma em todas as direções e em todos os

referenciais inerciais, e é independente do movimento da fonte.

Cenário 1: Sempre podemos acelerar ou retardar artificialmente, o movimento de um corpo.

a) Um projétil é disparado por uma arma com uma velocidade ao passar por uma caixa

contendo areia, o que podemos dizer a respeito da velocidade desse projétil?

b) Ao disparar um feixe de luz que atravessa uma lâmina de vidro. Qual será sua

velocidade?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 2: Você está se movendo em um carro com uma velocidade de 180 km/h. Após um

tempo, você liga a lanterna desse carro. Qual a velocidade desse feixe?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 3: Estamos em um trem que tem 1 200 000 quilômetros de comprimento, e

suponhamos que uma lâmpada seja acesa no meio do trem, e suponhamos ainda, que as portas

78

do primeiro e do último vagão se abrem no instante em que a luz as alcance. O que verão as

pessoas no trem, e as pessoas na plataforma da estação?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 4:

Você está em um veículo que viaja a uma velocidade de 240 000 km/s, após 6

segundos você desacelera e desce para falar com um amigo e se espanta que o seu relógio está

4 segundos atrasado? O que houve? E por quê?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Cenário 5: A uma velocidade de 240 000 km/s leva-se 10 segundos para percorrer 2 400 000

quilômetros de comprimento, porém como o relógio do motorista está 4 segundos atrasado, o

veículo percorreu 1 440 000 quilômetros. Por que o veículo percorreu um espaço menor?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Debate em Conjunto:


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

79

APÊNDICE – B

QUESTÕES AVALIATIVAS

Aluno:______________________________________________________ Data: ___/___/___

Turma: _____________________________________________________________________

I) O que você entendeu sobre a relatividade do movimento?

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II) A luz se propaga instantaneamente?

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III) A velocidade da luz pode variar?

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IV) A velocidade tem limite?

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80

V) O tempo é absoluto?

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VI) O que a massa faz com o espaço?

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VII) O que acontece quando há muita massa em pouco espaço?

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VIII) O que acontece quando a luz passa por um objeto com muita massa?

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IX) Como você avalia as nossas aulas? E o que devemos melhorar?

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81

ANEXOS INFORMAÇÕES DOS PROGRAMAS

82

ANEXO – A

MAXIMA, UM SISTEMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL

Maxima é um sistema para a manipulação de expressões simbólicas e numéricas,

incluindo diferenciação, integração, séries de Taylor, transformadas de Laplace, equações de

diferenciação, ordinárias, sistemas de equações lineares, polinômios, conjuntos, listas,

vetores, matrizes e tensores. Maxima produz resultados numéricos de alta precisão usando

frações exatas, inteiros de precisão arbitrária e números de ponto flutuante de precisão

variável. Maxima pode plotar funções de dados em duas e três dimensões.

O código fonte do Maxima pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo

Windows, Linux e MacOS X. O código fonte para todos os sistemas e binários

pré-compilados para Windows e Linux estão disponíveis no gerenciador de arquivos

SourceForge.

Maxima é um descendente do Macsyma, o sistema de álgebra computacional lendário

desenvolvido no final dos anos 1960, no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. É o único

sistema baseado em que o esforço ainda disponível ao público e com uma comunidade de

usuários ativos, graças à sua natureza de código aberto. Macsyma foi revolucionário no seu

dia, e muitos sistemas posteriores, como o bordo e o Mathematica, foram inspirados por ela.

O ramo Maxima de Macsyma foi mantida por William Schelter de 1982 até que ele

faleceu em 2001. Em 1998, ele obteve permissão para liberar o código fonte sob a GNU

General Public License (GPL). Foi seu esforço e habilidade que fizeram a sobrevivência do

Maxima possível, e estamos muito gratos a ele para o voluntariado de seu tempo e

conhecimento especializado para manter o código Macsyma DOE original e bem viva. Desde

sua morte, um grupo de usuários e desenvolvedores se formou para trazer o Maxima a um

público mais amplo.

Maxima é atualizado com muita frequência, para corrigir bugs e melhorar o código e

documentação. Congratulamo-nos com sugestões e contribuições da comunidade de usuários

do Maxima. A discussão é conduzida na mailing list Maxima.

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?depth=1&hl=pt-BR&prev=search&rurl=translate.google.com.br&sl=en&u=http://maxima.sourceforge.net/maximalist.html&usg=ALkJrhin1Dj1nhtzjyjsR-YU_wJpl5oFDg

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?depth=1&hl=pt-BR&prev=search&rurl=translate.google.com.br&sl=en&u=http://www.utexas.edu/faculty/council/2004-2005/memorials/schelter/schelter.html&usg=ALkJrhiz9VNAfdVEChYHgHIu6dSDrwJR-A

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?depth=1&hl=pt-BR&prev=search&rurl=translate.google.com.br&sl=en&u=http://www.mit.edu/&usg=ALkJrhiyVPH1y3gZ0FSlJ5mYaR6VBGI2MA

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?depth=1&hl=pt-BR&prev=search&rurl=translate.google.com.br&sl=en&u=http://sourceforge.net/projects/maxima/files/&usg=ALkJrhhX1V5Up6fIzWSeC2eRWPEC---O3Q

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?depth=1&hl=pt-BR&prev=search&rurl=translate.google.com.br&sl=en&u=http://sourceforge.net/projects/maxima/files/&usg=ALkJrhhX1V5Up6fIzWSeC2eRWPEC---O3Q

universidade do estado de mato grosso rolph...

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