uma investigaÇÃo sobre argumentaÇÕes e provas...
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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE ARGUMENTAÇÕES EPROVAS MATEMÁTICAS NAS OLIMPÍADAS DEMATEMÁTICA DA UNEMAT, CAMPUS DE SINOP
JOSY DE BARROS PINTO
SINOP – MT2014
JOSY DE BARROS PINTO
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE ARGUMENTAÇÕES E PROVASMATEMÁTICAS NAS OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA DA UNEMAT,
CAMPUS DE SINOP
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado àBanca Avaliadora do Curso de Matemática, daUniversidade Estadual do Mato Grosso(UNEMAT), como requisito parcial para aconclusão da graduação em Licenciatura Plenaem Matemática.
Orientadora: Prof.ª Ma. Chiara Maria SeidelLuciano Dias.
SINOP – MT2014
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE ARGUMENTAÇÕES E PROVASMATEMÁTICAS NAS OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA DA UNEMAT,
CAMPUS DE SINOP
______________________________________________ Josy de Barros Pinto – Acadêmica
________________________________________________ Prof.ª Ma. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
Orientadora Departamento de Matemática
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
________________________________________________ Prof.ª Ma. Thiélide Verônica da Silva Pavanelli Troian
Membro da Banca UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
_________________________________________________ Prof.ª Ma. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
Presidente da BancaDepartamento de Matemática
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
_________________________________________ Prof. Me. Emivan Ferreira da Silva
Chefe do Departamento de Matemática UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
________________________________________________Prof. ª Ma. Polyanna Possani da Costa
Membro da BancaUNEMAT – Campus Universitário de Sinop
SINOP – MT 2014
Dedico esse trabalho ao meu esposo peloapoio incondicional, por ajudar a mim quandonecessário; também dedico a minha mãe quesempre acreditou em mim.
AGRADECIMENTOS
A Deus, criador e mantenedor de tudo o que há na Terra, por ter-me dado a vida e a
oportunidade de concluir essa graduação;
Ao meu esposo, por estar do meu lado em todos os momentos;
A minha mãe, que me ofereceu a base da educação necessária para chegar até aqui;
A professora-orientadora que teve paciência e me orientou de forma clara e objetiva para que
eu pudesse fazer o melhor.
“Feliz o homem que acha sabedoria, e ohomem que adquire conhecimento; porquemelhor é o lucro que ela dá do que o da prata,e melhor a sua renda do que o ouro maisfino”. (PROVÉRBIO DE SALOMÃO)
PINTO. Josy de Barros, “Uma investigação sobre argumentações e provas matemáticasnas Olimpíadas de Matemática da UNEMAT campus de Sinop”. Orientadora: Prof.ª Ma.Chiara Maria Seidel Luciano Dias 2014. Trabalho de Conclusão de Curso (graduação emmatemática). Faculdade de Ciências Exatas. Universidade do Estado de Mato Grosso,Campus de Sinop, 2014.
RESUMO
Este trabalho objetiva analisar argumentações na resolução de problemas matemáticosoriundas de provas realizadas pela Olimpíada de Matemática da UNEMAT – Campus deSinop, no ano de 2013. Sendo assim, descrevemos alguns aspectos históricos da Matemáticapara que a entendamos como fruto das necessidades humanas em seu caráter utilitário paramais tarde se fortalecer como ciência fundamentada em sequências de argumentos lógicos,ressaltando o método axiomático. Em seguida, utilizamos autores como Nasser (2003) eDante (1998) para fundamentar os tipos de prova em matemática, bem como, a classificaçãode problemas em matemática. A metodologia escolhida é a pesquisa documental para posterioranálise das avaliações qualitativamente. Por fim, analisamos seis problemas distintos eapresentamos nossas análises baseadas nos autores anteriormente citados.
Palavras-chave: Argumentação. Resolução de problemas matemáticos. Olimpíadas deMatemática. Ensino de matemática.
PINTO. Josy de Barros, "An investigation into mathematical arguments and tests inMathematics Olympiads of UNEMAT Sinop campus." Advisor: MMath Chiara MariaSeidel Luciano work Day 2014 Conclusion of Course (graduation mathematics). CollegeExact Sciences. University of State of Mato Grosso, Sinop campus, 2014.
ABSTRACT
This work has the objective analyzing arguments in solving Math problems derived from testscarried by the Math Olympiad UNEMAT - Campus of Sinop, on year 2013. Accordingly, wedescribe some historical aspects of mathematics to we understand as the result of humannecessities on your character utility to later be strengthened as sequences based on logicalarguments science, emphasizing the axiomatic method. Then use authors as Nasser (2003) andDante (1998) to support the types of Math tests, as well as the classification Math problem.The chosen methodology is documentary research for analysis of qualitatively tests. Finally,we analyzed six different Math problems and we present the analyzes based on the previouslycited authors.
Keywords: Argumentation. Solving Math problems. Math Olympiad. Teaching Math.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................10
I – ARGUMENTAÇÕES E PROVAS EM MATEMÁTICA...............................................12
1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS.................................................................................................12
1.2 MATEMÁTICA COMO TEORIA AXIOMÁTICA............................................................17
1.3 ARGUMENTAÇÃO E PROVAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA...............................18
1.3.1 POR QUE SE ESTUDA MATEMÁTICA?.....................................................................20
1.3.2 TIPOS DE PROBLEMA EM MATEMÁTICA…...........................................................22
1.3.2.1 EXERCÍCIOS DE RECONHECIMENTO...................................................................22
1.3.2.2 EXERCÍCIOS DE ALGORITMOS..............................................................................23
1.3.2.3 PROBLEMAS-PADRÃO.............................................................................................23
1.3.2.4 PROBLEMAS-PADRÃO SIMPLES............................................................................24
1.3.2.5 PROBLEMAS-PADRÃO COMPOSTO.......................................................................24
1.3.2.6 PROBLEMAS-PROCESSO OU HEURÍSTICO..........................................................24
1.3.2.7 PROBLEMAS DE APLICAÇÃO.................................................................................24
1.3.2.8 PROBLEMAS DE QUEBRA-CABEÇAS...................................................................25
1.4 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA.............................................................28
1.4.1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PUBLICAS (OBMEP)..................................................................................................................................29
1.4.2 OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA DA UNEMAT........................................................30
II – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...................................................................33
2.1 PROCEDIMENTO PARA COLETA DE DADOS.............................................................34
III – ANÁLISE DOS DADOS.................................................................................................36
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................47
REFERENCIAIS BIBLIOGRÁFICOS................................................................................48
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INTRODUÇÃO
Independente da área na qual atuamos e do nosso grau de conhecimento, quase todos
os dias nos deparamos com situações que envolvem algum conhecimento matemático, ainda
que básico. Todavia, a matemática também não se constitui apenas por contas complicadas ou
até mesmo por temas que são aplicáveis naturalmente ao cotidiano.
A ciência Matemática é constituída por conceitos entrelaçados por meio de
propriedades gerais. Isso significa que aqueles não são objetos estudados separadamente. Ao
contrário, tendo em vista que a Matemática é uma teoria axiomática, podemos perceber que
existe uma sequência histórica e lógica de descobertas que a organizam.
Neste cenário, as demonstrações são métodos importantes em Matemática, pois são
justificativas baseadas em argumentos lógicos com a finalidade de comprovar a veracidade de
um resultado.
Tal ideia deve-se fazer presente também na Matemática enquanto componente
curricular escolar, haja visto que o ambiente educacional deve proporcionar ao aluno um
entendimento geral com relação às ciências. Além disso, dentre os objetivos a serem
trabalhados pela Matemática, enquanto componente curricular escolar destacamos o seguinte:
procurar estimular o aluno ao cuidado e atenção necessários à linguagem formal da ciência
Matemática.
Neste contexto, uma questão investigativa se faz presente: quais as possibilidades (de
caráter cognitivo e didático) de desenvolvimento de demonstrações e argumentações
matemáticas por parte de alunos do Ensino Fundamental e Médio e qual o percentual de rigor
matemático intermediário (no sentido de não ser o mínimo nem o máximo) que pode ser
explorado com tais alunos?
Neste sentido, apresentamos uma investigação em forma de análise de documentos,
sendo esses, as avaliações das Olimpíadas de Matemática da Universidade do Estado de Mato
Grosso (UNEMAT), do ano de 2013. Foram observadas provas aplicadas aos alunos tanto do
Ensino Médio quanto Fundamental. Com esta abordagem, estudaremos métodos utilizados
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pelos alunos para justificarem ou verificarem resultados em matemática, os quais podem ser
padronizados ou generalizados dentro de uma determinada teoria.
Sendo assim, nosso trabalho se divide em três capítulos.
No primeiro descrevemos fatos importantes da história da matemática, que destacam
sua trajetória enquanto teoria axiomática, para então caracterizarmos os tipos de problemas e
os tipos de provas formais em Matemática.
No segundo, relatamos a metodologia escolhida e a forma como os dados foram
coletados, para enfim, no terceiro capítulo apresentarmos a análise dos dados.
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I – ARGUMENTAÇÕES E PROVAS EM MATEMÁTICA
Neste capítulo serão abordados aspectos históricos da matemática enquanto fruto do
pensamento humano. Como nosso foco principal são as argumentações e provas que
expressam o raciocínio matemático, julgamos pertinente resgatar aspectos da trajetória do
pensamento matemático em seu sentido utilitário e sua transformação para um tratamento
axiomático.
A matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem, da
necessidade de expressar quantidades. Sabemos que o conceito de número se desenvolveu ao
longo dos anos e foi um desenvolvimento lento. Hoje, porém, a matemática nos é apresentada
de maneira mais abstrata e, fundamental para diversas áreas do conhecimento.
1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS
Quando nos referimos à história da matemática, normalmente nos remetemos ao
surgimento dos números, e por mais que tentemos definir esse surgimento não conseguimos
fazê-lo com exatidão.
Associa-se a história dos números à necessidade de contagem, relacionada aproblemas de subsistência, e o exemplo mais freqüente é o de pastores deovelhas que teriam sentido a necessidade de controlar o rebanho por meio daassociação de cada animal a uma pedra. Em seguida, em vez de pedras, teriase tornado mais prático associar marcas escritas na argila, e essas marcasestariam na origem dos números. (ROQUE, 2012, p. 35).
Como se torna complexo estudar e avaliar o conhecimento numérico de povos e tribos
que restringiam a prática numérica somente de forma oral, relaciona-se os primeiros cálculos
matemáticos com o surgimento da escrita que é proveniente da Baixa Mesopotâmia.
Antes do quarto milênio A.C. (antes da Era Comum) uma forma primitiva deescrita estava em uso tanto no vale mesopotâmico como no Nilo. Lá os
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primitivos registros pictográficos, por um processo gradual deconvencionalização, evoluíram para uma ordem linear de símbolos maissimples. Na Mesopotâmia, onde o barro era abundante, marcas em forma decunhas eram feitas com um estilete sobre tabletes moles que depois eramcozidas em fornos ou ao calor do sol. Esse tipo de escrita chama-secuneiforme por causa da forma dos sinais. (BOYER, 2003, p. 07, 08).
A utilização dessa nova forma de escrita se fazia necessário em todas as atividades
realizadas, principalmente no que dizia respeito às práticas agrícolas e comerciais.
Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição deprodutos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. Astábulas de argila cozida mostram que os sumérios antigos estavamfamiliarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas,recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas,escrituras de venda e endossos. Há tabulas que são documentos de empresascomerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. (EVES,1995, p. 60).
Para Roque (2012), a matemática na Grécia adquiriu uma configuração particular,
passando a empregar enunciados geométricos.
No final do século VII a. E. C.(antes da Era Comum), diversas realizaçõestecnológicas podem ter contribuído para o desenvolvimento da Matemática.Alguns termos de geometria já aparecia, por exemplo, na arquitetura. Háescritos técnicos do século VI a. E. C. abordando problemas relacionados àastronomia e ao calendário. (ROQUE, 2012, p. 97).
A resolução de problemas era a base dos estudos matemáticos na Grécia. Euclides (325
a.C – 265 a.C) foi o responsável pela separação entre o conhecimento prático e teórico da
matemática, pois, de acordo com Boyer (2003) “Euclides e Os Elementos são frequentemente
considerados sinônimos; na realidade ele escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo
tópicos variados, desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções
cônicas”. Com exceção de A Esfera de Autólico, os livros de Euclides que sobreviveram são
os mais antigos tratados gregos existentes; no entanto, do que Euclides escreveu mais da
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metade se perdeu inclusive algumas das obras mais importantes, como o tratado sobre as
cônicas.
Durante muitos anos Alexandria se tornou lar dos mais notáveis matemáticos que se
têm registro, entre eles se destaca Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C). Segundo Eves (1995) “Os
trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática e lembram
consideravelmente artigos de revistas especializadas modernas. Além de exibirem grande
originalidade e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem objetiva. Cerca de dez
tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados.
Talvez a mais notável das contribuições feitas à matemática por esses tratados se traduza no
desenvolvimento inicial de alguns dos métodos do cálculo integral. Três dos trabalhos
remanescentes de Arquimedes se dedicam à geometria plana. São eles: “A medida de um
Círculo, A Quadratura da Parábola e Sobre as Espirais.”
Outro personagem que foi singularmente talentoso em todos os ramos do
conhecimento de seu tempo foi Erastóstenes (276 a.C. – 194 a.C) que ficou muito conhecido
pelo chamado “Crivo de Erastóstenes”, no qual enumera uma sequência considerável de
números primos. Segundo Eves (1995) “Distinguiu-se como matemático, astrônomo,
geógrafo, historiador, filósofo, poeta e atleta. Consta que os alunos da Universidade de
Alexandria costumavam chamá-lo de Pentatblus, o que significa campeão em cinco esportes
atléticos. Alguns acreditam que, devido ao seu saber amplo e brilhante, era alçado à condição
de um segundo Platão.
Junto a Euclides e Arquimedes, Apolônio (262 a.C. – 194 a.C.) é considerado um dos
três maiores da matemática no século III A.C. Segundo Eves (1995) “Embora Apolônio fosse
um astrônomo notável e embora ele tivesse escrito sobre múltiplos assuntos matemáticos, sua
fama se deve principalmente a Secções Cônicas, uma obra extraordinária, graças a qual seus
contemporâneos lhe deram o cognome de “O grande Geômetra”. Com cerca de 400
proposições em seus oito livros, Secções Cônicas é um estudo exaustivo dessas curvas que
supera completamente os trabalhos anteriores.
Outro aspecto relevante a ser mencionado é o emprego da linguagem simbólica, pois,
da maneira pela qual a matemática foi se desenvolvendo, os matemáticos se viram obrigados a
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utilizar símbolos a fim de simplificar a notação de sentenças matemáticas relacionadas a
medidas.
A ideia de substituir um número por um símbolo (uma letra, por exemplo) ede indicar as operações por sinais foi um processo longo e demorado. Peloque se saiba, o matemático grego Diofanto, no século III, foi o primeiro atentar criar uma notação algébrica, isto é, o primeiro que buscou expressaroperações entre números por sinais. (SBPC, 2003, p. 28)
A partir daí, toda lei que expressa objetos matemáticos passou a ser descrita por meio
de símbolos, originando assim, a álgebra.
A base das equações já existiam nos trabalhos e, os indianos, mas os procedimentos
algébricos, só obtiveram novas perspectivas com os árabes no século IX, de acordo com
Roque (2012) o termo “álgebra” tem origem em um dos livros Árabes mais importantes da
idade média: Tratado sobre o cálculo de Al-jabr e Al-muqabala, escrito por Al-Khwarizmi. A
palavra Al-jabr, ou Álgebra, em árabe, era utilizada para designar “restauração”, uma das
operações usadas na resolução de equações.
Na idade Média o ano de 1436 foi marcante, pois data o nascimento de um importante
matemático, Johann Muller (1436 – 1476), e nesse mesmo período, segundo Boyer (2003)
“durante a Idade Média os que se destacavam em matemática escreviam em árabe e viviam na
Ásia islâmica, ao passo que durante a nova era que surgia os principais matemáticos
escreviam em latim e viviam na Europa cristã”.
Com as transformações da ciência nos séculos XI adiante, houve maior
desenvolvimento das práticas algébricas, mesmo sendo a geometria o principal foco da
matemática.
No entanto, aos poucos, foi crescendo a consciência de que grande parte doconhecimento geométrico deveria servir a aplicações, desde as maispráticas, como as técnicas para construir mapas, até as mais abstratas, comoa teoria da perspectiva, na pintura, e a astronomia. Datam desse período, porexemplo, os trabalhos de Viéte sobre a arte analítica, que disseminou umnovo modo de resolver problemas geométricos por meio da álgebra.(ROQUE, 2012, p. 281).
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Já a matemática no Renascimento, recebeu muita influência do movimento humanista,
que segundo Roque (2012) as referências às obras matemáticas da Antiguidade eram
encontradas em trabalhos variados durante o século XV, como nos do arquiteto Leon Battista
Alberti (1404 – 1472), que enxergavam o renascimento da matemática como um renascimento
da cultura antiga.
No século XVI, Galileu, jovem estudioso que tinha planos de se graduar em medicina
acabou se tornando professor de matemática por admirar Arquimedes e Euclides e passou a
lecionar nas universidades da época.
Galileu (1564 – 1642) iniciou seus estudos, conforme Roque (2012), em Pisa, ainda no
final do século XVI. Alguns escritos da época já contestavam a teoria aristotélica dos
movimentos naturais, através do estudo de corpos em movimento dentro de um meio fluido.
Galileu argumentava que era preciso conhecer a relação proporcional entre peso por volume
de um corpo e o peso por volume do meio em que esse corpo está imerso. Outros matemáticos
notáveis também se destacavam nesse mesmo século, tais como: René Descartes (1596 –
1650), Pierre de Fermat (1601 – 1665), Torricelli (1608 – 1647), Gilles Persone de Roberval
(1602 – 1675), Girard Desargues (1591 – 1661) e Blaise Pascal (1623 – 1662).
Alguns séculos mais tarde, de acordo com Roque (2012) antes de sua formação como
elemento de conjuntos numéricos, ocorrida no século XIX, o conceito de número passou por
algumas etapas decisivas que implicaram:
– O desenvolvimento da álgebra, quando a resolução de equações fez aparecerem
números indesejáveis, que não possuíam um estatuto definido em matemática;
– A teoria das curvas, nos séculos XVII e XVIII, e a proliferação de métodos infinitos
para resolver problemas do cálculo infinitesimal, como o das quadraturas;
– A algebrização da análise no século XVIII;
– As tentativas de representação geométrica das quantidades negativas e imaginárias
no início do século XIX.
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A história da matemática não acaba com a contribuição desses estudiosos que foram
citados, pelo contrário ela ainda está em formação, ainda há o que descobrir e estudar, ainda
há muito a aprender e ensinar.
Na visão internalista ou retrospectiva da história supõe-se que a matemáticaé um saber cumulativo, ou seja, se constituiu como conjunto deconhecimentos que vão se adicionando, se acumulando, para construir umtodo ordenado e sistemático. Acreditamos, no entanto, que não existe umahistória da matemática definitiva, a qual cada geração de historiadores vaiadicionando uma singela contribuição. Há matemáticas diferentes, emtempos diferentes. Se existisse apenas uma matemática, não haveria lugarpara as múltiplas interpretações que mantêm vivas, e pulsantes, a pesquisaem história da matemática. (ROQUE, 2012, p. 482).
Com isso se nota que a história da matemática é composta de mentes brilhantes e de
estudiosos dedicados a descobrir o inimaginável para as mentes de sua época, e essa iniciativa
de encarar o desconhecido nos traz o que conhecemos hoje como a ciência de grande
notoriedade e importância.
1.2 MATEMÁTICA COMO TEORIA AXIOMÁTICA
Segundo Sant’anna (2003), alguns objetos matemáticos são admitidos de forma
primitiva, ou seja, sem definição. Neste caso, podemos chamá-los de noções ou entes primitivos.
No entanto, um objeto matemático pode ser concebido ao se estabelecer propriedades
que tal objeto deve satisfazer, independentemente de qualquer conceituação anterior. Neste caso,
tais propriedades são chamadas axiomas ou postulados e dizemos que tal objeto foi construído
axiomaticamente.
De acordo com o mesmo autor, a partir do estabelecimento dos entes primitivos e dos
axiomas de uma determinada teoria, a ampliação desta decorre da construção de outros objetos
por meio de definições, de modo que estes são manipulados na teoria a partir das propriedades
satisfeitas pelos entes primitivos e pelos elementos definidos.
Estas propriedades são obtidas através de resultados, os quais, em matemática, recebem
alguns nomes especiais, a saber:
• Proposições: resultados simples que estão dentro de certo contexto;
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• Teoremas: resultados não triviais que abrangem contextos mais gerais, ou dito de outra
forma, teoremas são proposições que possuem notável importância histórica no
desenvolvimento da matemática em geral;
• Corolários: consequências imediatas dos teoremas;
• Lemas: resultados que são utilizados na demonstração de proposições e teoremas.
Com isso, podemos notar que a partir das noções primitivas em uma determinada teoria
matemática, podemos ampliá-la por meio de uma sequencia de proposições. Ainda, para
Sant'anna (2003, p.10), “Esses conceitos primitivos estão relacionados entre si por certos
princípios gerais ou axiomas, que finalmente permitem a dedução de consequências ou teoremas
por meio de uma lógica subjacente à teoria”.
Deste modo, considerando uma teoria matemática consolidada em axiomas, é possível
ampliá-la por meio de uma sequência de proposições, o que estabelece um procedimento
chamado Método Axiomático.
Segundo Sant’Anna (2003), o método axiomático tem um grande poder de síntese e
representa economia de pensamento, além de considerá-lo como um excelente instrumento de
pesquisa.
É claro que resultados em matemática, como em qualquer outra teoria, estão vinculados a
hipóteses bem formuladas, pois a função destas é propor explicações para certos fenômenos ao
mesmo tempo em que orienta a busca de outras informações.
A Matemática tem uma preocupação em estudar todas as teorias logicamente possíveis,
que são repletas de aspectos abstratos. Assim, são formuladas as teorias nessa ciência, ou seja,
observando objetos e fatos matemáticos, procurando relacioná-los a uma teoria já consolidada,
baseando-se na formulação de hipóteses e verificando sua veracidade. Em consequência, obtêm-
se o conhecimento científico em Matemática.
1.3 ARGUMENTAÇÃO E PROVAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
A matemática é uma ciência e como tal tem uma história que relata como foi se
transformando e se aperfeiçoando ao longo dos séculos. Sendo assim, mesmo ao perceber a
matemática enquanto ciência na qual exige rigor em seu desenvolvimento e escrita, sabemos
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que é importante olhar a matemática como uma ciência que está sendo construída diariamente
e que tem auxiliado na solução de problemas científicos e tecnológicos.
Acreditamos que a construção do saber matemático não se dá apenas pela resolução de
problemas, mas também pelas argumentações e demonstrações de teorias que por vezes não
são compreendidas por meio de contextualizações ou aplicações.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), os objetivos para o
aprendizado da matemática no Ensino Fundamental são:
• Resolver situações-problema, conseguindo se utilizar de estratégias que fará com que
chegue aos resultados esperados;
• Desenvolver o raciocínio, a intuição, a indução e a dedução, utilizando conceitos e
procedimentos que a matemática disponibiliza;
• Conseguir se comunicar, sabendo descrever e apresentar resultados precisos, saber
discutir sobre suas hipóteses, fazendo assim relações entre as várias representações
matemáticas;
• Perceber que a álgebra o ajuda a generalizar as propriedades das operações aritméticas,
entender situações-problema e facilitar as possíveis resoluções.
Tendo essa responsabilidade em suas mãos, o professor deve participar ativamente do
desenvolvimento de cada aluno enquanto este estiver resolvendo algum problema,
incentivando-o a continuar mesmo que o problema seja mais complexo. É necessário discutir
em grupos e com o auxílio do professor, a forma que cada um utilizou para encontrar a
resposta, bem como, as dúvidas que surgem no processo de resolução.
Neste contexto, podemos refletir à cerca da necessidade de se desenvolver atividades
que envolvam argumentações e demonstrações matemáticas em sala de aula. Guelli (2004,
p.12) argumenta que as demonstrações representam talvez a melhor oportunidade de redigir
textos em Matemática.
Já em relação à avaliação do nível de conhecimento de cada aluno, acreditamos que se
deve levar em consideração o fato de que os problemas podem ter mais de uma solução e
formas aceitáveis de resolução, de modo que mesmo que o resultado final não seja o
determinado, mas os artifícios utilizados na resolução podem ser considerados.
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Cremos que existem várias maneiras de avaliar, pois o processo de avaliação deve ser
contínuo e diversificado. Neste sentido, as atividades que envolvem argumentações e
demonstrações matemáticas podem contribuir neste processo, juntamente a aplicação de testes
orais ou escritos (individualmente ou não).
1.3.1 POR QUE SE ESTUDA MATEMÁTICA?
Devido aos progressos científicos de nosso século, os conhecimentos obtidos são
muito superiores aos de algumas décadas atrás. Temos acesso a várias informações de maneira
rápida e por essa razão se faz necessário que as escolas e os educadores acompanhem esse
desenvolvimento, para que os estudantes se sintam atraídos e interessados pelos ensinamentos
desenvolvidos na escola.
Em razão dessa realidade os educadores têm uma missão muito importante.
A missão dos educadores é preparar as novas gerações para o mundo em queterão que viver, proporcionando-lhes o ensino necessário para que adquiramas destrezas e habilidades que vão necessitar para seu desempenho, comcomodidade e eficiência, na sociedade que enfrentarão. Por isso como omundo atual é rapidamente mutável, também a escola deve estar emcontínuo estado de alerta para adaptar seu ensino, seja em conteúdos comoem metodologia. (Parra, Saiz, 1996, p. 11).
Com relação ao estudo da matemática é comum os alunos questionarem o porquê de
determinados conceitos ou atividades propostas. Na maioria das vezes isso se dá por não
perceberem a aplicação imediata. De acordo com Parra e Saiz, (1996), Platão expôs boas
razões para prescrever como primordial o ensino do cálculo e da geometria, observando que
“nenhuma arte e nenhum conhecimento podem prescindir da ciência dos números” e que “há
uma diferença absoluta entre a pessoa perita em geometria e a que não o é, e mesmo os que
não são, quando exercitados no cálculo, ainda que disto não surja nenhuma outra vantagem,
obtém ao menos se tornarem mais sutis do que eram antes”. “Platão assinala motivos
transcendentes para ensinar a matemática, como aproximar a alma da verdade” e elevar nossos
olhares às coisas das alturas, fazendo passar das trevas à luz”.
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Não vivemos nos tempos de Platão, porém sua visão é no mínimo inspiradora, no
entanto é preciso ter conhecimento das necessidades atuais.
Na atualidade, os motivos talvez não sejam os transcendentais queassinalava Platão, mas sim as necessidades práticas de poder entender eutilizar com proveito as tecnologias modernas. Devido a isso, pareceunanimemente aceito que o ensino da matemática deve continuar prescritopara todos, tanto nos níveis superiores quanto nos inferiores, para o homemcomum, que sem ser criador necessita de conhecimentos matemáticos parasua atuação no campo do trabalho e para compreender, ainda quesuperficialmente, as bases e possibilidades da moderna tecnologia, semnecessidade de recorrer a crenças e mitos. (Parra e Saiz ,1996, p. 14).
Com relação ao que deve ser ensinado em sala, considerando ser o estudo da
matemática um tema muito amplo é preciso saber o que ensinar, fica a cargo dos professores
selecionar qual a matemática que vai ser útil para os alunos.
Para fazermos a seleção da matemática que deve ser ensinada, temos delevar em conta que a matemática tem um valor formativo, que ajuda aestruturar todo o pensamento e a agilizar o raciocínio dedutivo, porém quetambém é uma ferramenta que serve para a atuação diária e para muitastarefas específicas de quase todas as atividades laborais. (Parra e Saiz, 1996,p. 20 e 21).
De acordo com Golbert, (2002), é importante para o desenvolvimento matemático dos
alunos que eles participem de um processo coletivo em sala de aula por isso é interessante o
trabalho em grupo, pois, após resolver alguma atividade matemática este pode socializar suas
descobertas não apenas com o professor mais também com seus colegas. No início das
resoluções os alunos podem inventar símbolos para representar suas ações, isso deve ser
permitido porque à medida que se familiarizar com os conceitos que talvez ainda nem
conheçam e forem avançando, precisam começar a usar as notações convencionais e vão
reconhecer os símbolos como elementos de um sistema matemático. Os símbolos não apenas
possibilitam a comunicação como também sustentam o pensamento individual.
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Desde as primeiras séries, é preciso ir educando não só na matemáticapropriamente dita, mas também no raciocino lógico e dedutivo, que é a baseda matemática e é imprescindível para ordenar e assimilar toda classe deconhecimento. Significa que precisamos educar o aluno na linguagemadequada para compreender a nomenclatura e funcionamento da tecnologiaatual, assim como na base científica que o sustenta. Parra e Saiz, (1996, p.18).
Diante disso, nos parece fundamental que o aluno apresente competências e
habilidades que lhes permita expressar o pensamento matemático, justificando-o por meio de
uma sequência de cálculos e argumentações organizadamente. É importante que os educadores
saibam diferenciar um problema matemático de um simples exercício e conhecer os tipos de
problema que podem surgir ou mesmo que vão ser aplicados em sala de aula pode auxiliá-los
na prática docente. Pensando nesse contexto citaremos abaixo os tipos de problema bem como
suas classificações.
1.3.2 TIPOS DE PROBLEMA EM MATEMÁTICA
Existem vários tipos de problemas e descreveremos alguns deles baseados nos estudos
de Dante1 (1991).
Luiz Roberto Dante é licenciado em Matemática, professor de 1º e 2º graus, Mestre em
Matemática Pura pela USP, Doutor em Psicologia da Educação Matemática pela PUC – SP,
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática, Conferencista e participante de
congressos em treze países
1.3.2.1 EXERCÍCIOS DE RECONHECIMENTO
1 Luiz Roberto Dante é licenciado em Matemática, professor de 1º e 2º graus, Mestre em Matemática Pura pela
USP, Doutor em Psicologia da Educação Matemática pela PUC – SP, Pesquisador em ensino e aprendizagem da
Matemática, Conferencista e participante de congressos em treze países.
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Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um conceito,
um fato específico uma definição, uma propriedade e etc.
Podemos citar os exercícios abaixo como exemplos de exercícios de reconhecimento:
• Exemplo 1: Dados os números 1, 3, 4, 6, 7, 9, 80 e 123, quais são ímpares?
• Exemplo 2: Qual o maior número natural par, de três algarismos distintos?
• Exemplo 3: Qual a propriedade da adição que está sendo usada quando dizemos que:
(4 + 12) + 9 = 4 + (12 + 9)?
1.3.2.2 EXERCÍCIOS DE ALGORITMOS2
Seu objetivo é treinar as habilidades em executar um algoritmo e reforçar
conhecimentos anteriores. São aqueles que podem ser resolvidos passo a passo, pedem a
execução dos algoritmos da adição, subtração, multiplicação e divisão.
A seguir citaremos alguns problemas que envolvem exercícios de algoritmo:
• Exemplo 1: Calcule o valor de [(4.2) + 8]: 2.
• Exemplo 2: Adicione 137 com o seu sucessor.
• Exemplo 3: Determinar o quociente de divisão 432: 32.
1.3.2.3 PROBLEMAS-PADRÃO
Sua solução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos e não exige nenhuma
estratégia. O objetivo desses problemas é lembrar e fixar os fatos básicos através dos
algoritmos das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente entre
essas operações e seu emprego no dia a dia.
2 Sequência de raciocínios ou operações que oferece a solução de certos problemas.
24
1.3.2.4 PROBLEMAS-PADRÃO SIMPLES
• Exemplo 1: Um carro tem 4 rodas. Quantas rodas têm 12 carros?
• Exemplo 2: Uma hora tem 60 minutos. Quantos minutos têm 8 horas?
1.3.2.5 PROBLEMAS-PADRÃO COMPOSTO
• Exemplo 1: Ana tem 7 anos a mais que o triplo da idade de Sandra. As duas juntas
têm 55 anos. Qual a idade de cada uma?
• Exemplo 2: Um comerciante de frutas comprou 360 laranjas para vender e vai
embalar as frutas em caixas de 12 unidades, guardando-as em pacotes com três
caixas cada um. Quantos pacotes serão utilizados para embalar todas as laranjas?
1.3.2.6 PROBLEMAS-PROCESSO OU HEURÍSTICO
São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado,
em geral não podem ser resolvidos pela aplicação automática de algoritmos. É o tipo de
problema que aguça a curiosidade do aluno e permite que ele desenvolva sua criatividade e
iniciativa.
• Exemplo: Numa reunião de equipes há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão
com todos os outros, quantos apertos de mão terão ao todo?
1.3.2.7 PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
São aqueles que retratam situações reais do cotidiano e que exigem o uso da
matemática para serem resolvidos. Através de conceitos, técnicas e procedimentos
matemáticos procura-se matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas,
gráficos ou fazendo operações. Em geral são problemas que exigem pesquisa e levantamento
de dados.
25
• Exemplo:
Para fazer um relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o valor gasto mensal, por
aluno, que ele tem com o lanche escolar. Vamos ajudá-lo a fazer o calculo?
Podemos levantar alguns questionamentos antes de fazer os cálculos:
a) Quantos alunos lancham por dia? E por mês?
b) Quantos quilos de cada alimento a escola recebe por mês?
χ) Qual o preço atual de cada alimento?
δ) Qual o salário mensal da cozinheira?
Essas e outras perguntas podem ajudar a encontrar a solução para esse problema
específico.
1.3.2.8 PROBLEMAS DE QUEBRA-CABEÇAS
Esse tipo de problema envolve e desafia grande parte dos estudantes, constituem a
chamada matemática recreativa e sua solução muitas vezes depende de sorte ou facilidade em
perceber algum truque que é a chave da solução.
• Exemplo: Preencha os 16 quadrados da figura abaixo com os algarismos de 1 a 16 de
uma forma que a soma nas horizontais, verticais e diagonais seja 34.
Assim reforçando a importância dos tipos de problemas apresentados Dante enfatiza que:
26
Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, quedeverão tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim énecessário formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibamcomo resolver de forma inteligente, seus problemas de comércio, economia,administração, engenharia, medicina, previsão do tempo e outros da vidadiária. E para isso é preciso que a criança tenha, em seu currículo dematemática elementar, a resolução de problemas como parte substancial,para que desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar situações-problema. Dante, (1991, p. 15)
Nasser e Tinoco em sua obra “Argumentações e Provas no ensino da matemática”,
dialogam com diversos estudiosos da educação matemática e nos elucidam a relevância da
utilização da prova ou demonstração matemática, especialmente na educação básica.
Depois que um problema é proposto, discutido e posteriormente resolvido, para
confirmar se a solução está correta é importante tirar a “prova”, ou seja, utilizar alguns
métodos que também devem ser ensinados aos alunos para que o mesmo saiba provar que sua
solução está certa ou ainda validar seu raciocínio.
Conforme Nasser e Tinoco (2003) a prova ou demonstração tem diversas funções. A
mais usada é a de validar um resultado, isto é, comprovar que é verdadeiro, outra função da
prova é a de explicar ou elucidar, isto é, mostrar por que o resultado é verdadeiro. Além dessas
duas alguns pesquisadores como Bell citado Nasser e Tinoco (1976), enfatizam a função da
prova de sistematizar, ou seja, preparar para o domínio do processo dedutivo, descobrir
(descoberta de novos resultados) e comunicar (a transmissão do conhecimento matemático).
Rezende e Nasser também em Nasser e Tinoco (1994) destacam alguns tipos de prova:
• Prova formal: parte dos pressupostos (hipótese) e através do encadeamento do
raciocínio e de resultados já conhecidos ou de teoremas, chega ao resultado que se
quer mostrar que é verdadeiro (tese);
• Prova ingênua: uma argumentação aceitável, que pode ter diversos níveis de rigor,
dependendo da idade e do ano de escolaridade do aluno que a apresenta;
• Justificativa pragmática: quando o aluno testa a veracidade de uma afirmativa baseada
em alguns casos particulares;
27
• Recorrência a uma autoridade: quando o aluno afirma que um resultado é verdadeiro
porque o professor disse ou porque está escrito no livro;
• Exemplo crucial: o aluno desenvolve o raciocínio que poderia ter sido feito no caso
geral através de um exemplo;
• Justificativa gráfica: usa uma figura para mostrar que o resultado é verdadeiro.
No entanto, muito além de conhecermos diferentes métodos de provas e
argumentações em matemática aplicáveis a alunos de ensino fundamental, é de extrema
importância estudarmos os principais componentes para a construção e compreensão destas.
Galbraith apud Nasser e Tinoco (1981) destaca alguns destes componentes:
Entender os casos particulares e conseguir analisá-los;
• Reconhecer a validade de uma generalização;
• Saber interpretar de maneira correta as afirmativas;
• Poder analisar uma prova como meio de expor os detalhes de um argumento.
Também é válido ressaltar que as habilidades citadas acima não são adquiridas de um
dia para o outro, é necessário algum tempo de dedicação e esforço até alcançar o objetivo
principal que é fazer com que os alunos consigam ter uma facilidade maior no momento de
aplicar o processo dedutivo. Porém, isso não depende apenas dos alunos, é essencial que os
professores tenham consciência da importância desse estudo e que essa seja uma prática
normal no decorrer das aulas de matemática. Acreditamos que deste modo conseguiremos
preparar melhor os alunos para a construção do saber matemático.
No entanto, algumas estratégias em sala podem auxiliar no desenvolvimento de
habilidades de argumentação por parte dos alunos, tais como:
• Depois de ouvir a explicação do professor e tentar resolver sozinho um problema, o
aluno se reúne em grupos para discutir soluções;
• Abordar sempre problemas que tragam um desafio, independente da matéria estudada;
• Atividades que ajudam a diferenciar a hipótese da tese de uma afirmativa, tem sido
usada em cursos de formação de professores.
Contudo, Nasser e Tinoco (2003) destacam um fato interessante:
28
Observa-se que nos anos iniciais a criança é mais espontânea e consegue explicar seu
raciocínio oralmente, com naturalidade.
Conforme os anos vão passando, essa espontaneidade diminui e o aluno nãoconsegue justificar suas soluções nem oralmente nem por escrito. Portanto ahabilidade de argumentar deve ser trabalhada desde as primeiras séries, paraque o aluno mais tarde seja capaz de defender um ponto de vista próprio,seja numa conversa informal ou em uma questão matemática. (NASSER eTINOCO, 2003)
Fundamentados nas ideias trabalhadas até aqui acreditamos que se os professores
desenvolverem um trabalho com seus alunos, desde os anos iniciais, de modo a despertar
neles o interesse na construção do saber matemático, aproveitando essa espontaneidade que
eles têm de falar aquilo que pensam sobre os assuntos apresentados, conseguirão fazer com
que no decorrer da vida escolar, enquanto necessitar do estudo da matemática tenha uma
facilidade maior na compreensão da mesma.
No próximo capítulo detalharemos os tipos de problemas e as soluções apresentadas.
O material de investigação é oriundo de provas realizadas pela Olimpíada de Matemática da
UNEMAT, Campus de Sinop. Sendo assim, é relevante destacar os pontos principais, bem
como, os objetivos deste concurso, que é realizado como ação extensionista da Universidade
do Estado de Mato Grosso (UNEMAT). Porém para caracterizarmos tal ação, julgamos
pertinente mencionarmos algumas das principais Olimpíadas de Matemática realizadas no
país.
1. 4 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
De modo geral, as Olimpíadas científicas são indicadores muito relevantes para o
mapeamento do ensino de algumas disciplinas.
Em particular esta Olimpíada é uma competição realizada desde 1979 para alunos de
escolas públicas e privadas, tanto do ensino fundamental a partir do 6º ano como para
universidades.
29
A Olimpíada Brasileira de Matemática, (OBM), é promovida pelo Instituto Nacional
de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), em conjunto com a Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM).
Os objetivos da OBM são: descobrir jovens talentosos que tenham facilidade em
compreender e resolver problemas matemáticos e colocá-los em contato com matemáticos
profissionais que possam ajudá-los a ingressar em uma boa instituição de pesquisa e
contribuir assim com sua formação e selecionar alunos que vão representar o Brasil em
olimpíadas internacionais.
A OBM se realiza todos os anos em quatro níveis de acordo com a escolaridade do
aluno:
Nível 1 – Para alunos de 6º e 7º anos;
Nível 2 – Para alunos de 8º e 9º anos;
Nível 3 – Para alunos de qualquer série do ensino médio;
Nível universitário – Para alunos matriculados em curso de graduação que ainda não tenham
concluído o ensino superior, podendo ser estudante de qualquer curso.
Os alunos com as melhores pontuações recebem medalhas de ouro, prata, e bronze
1.4.1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS
(OBMEP)
A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas está completando dez
anos sendo realizada pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada – IMPA. Com o
apoio da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e com recursos do Ministério da
Educação. Tem como objetivos revelar talentos e estimular o estudo da matemática.
30
A prova é dividida em três níveis e feita em duas fases. No ano de 2013, foram
inscritos 18,7 milhões de alunos na competição, com mais de 47 mil escolas de 99,35% dos
municípios brasileiros.
Ao longo dos anos a OBMEP tem realizado alguns projetos, dentre eles, destacamos:
• O Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC), destinado aos seus medalhistas, a
OBMEP ofereceu a cerca de 30 mil alunos a oportunidade de estudar Matemática por
1 ano, com bolsa do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
• O Programa de Iniciação Científica – Mestrado (PICME), para medalhistas que
estejam cursando graduação com bolsas do CNPq (IC) e CAPES (Mestrado).
• O PECI – Preparação Especial para Competições Internacionais – tem preparado
medalhistas de ouro, selecionados pelos seus talentos especiais, para participar de
competições internacionais.
• O programa Clubes de Matemática, o programa proporciona outros modos de estudo
da matemática entre alunos e professores, com atividades interessantes e em ambiente
interativo.
A OBMEP com seus projetos e incentivos tem contribuído para melhorar a situação do
país no Programa internacional de avaliação de alunos, o Brasil ainda ocupa a 57ª posição no
ranking mundial, muitos esforços por parte dos agentes da educação serão necessários para a
mudança desse quadro.
1.4.2 OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA DA UNEMAT
A Olimpíada de Matemática da UNEMAT, campus de Sinop é um projeto de extensão
realizado desde o ano de 2005. Teve início com a necessidade de uma reflexão sobre a
realidade do ensino de matemática do município de Sinop MT. Através desse projeto é
31
possível notar a dificuldade dos alunos para resolver problemas matemáticos.
Em 2012 foi realizada a 8ª edição das Olimpíadas de Matemática da UNEMAT
campus de Sinop. 17.000 estudantes participaram, houve um grande aumento no número de
participantes, pois, foi incluso o 5º ano. Com isso as provas foram divididas em quatro níveis:
nível I (quinto ano), nível II (sexto e sétimo ano do ensino fundamental), nível III (oitavo e
nono ano do ensino fundamental) e nível IV (Ensino Médio); E aplicadas em três fases: a
primeira é uma seleção interna de cada escola, a segunda é a classificação para a terceira e
última fase (a qual determina os medalhistas).
Com a aplicação das provas da olimpíada é possível notar que alguns erros conceituais
na resolução das questões dissertativas se repetem, principalmente nas provas dos alunos das
escolas públicas. Isso levou os organizadores a propor uma pesquisa sobre a identificação de
erros conceituais mais observados nas resoluções dos exercícios, a finalidade da pesquisa é
auxiliar as práticas docentes. No entanto, Quando se observa outros indicadores educacionais
como, por exemplo, o ENEM, (Exame Nacional do Ensino Médio) e Prova Brasil, percebe-se
que a situação local é semelhante à nacional.
De acordo com os resultados das provas de matemática tanto do ENEM, Prova Brasil e
OBM, é possível perceber uma realidade que preocupa. O desempenho cognitivo matemático
dos estudantes das escolas públicas tem-se mostrado abaixo do ideal para seu nível de
escolaridade. Já os alunos das escolas privadas apresentam melhores médias.
Mais uma vez se observa que as desigualdades sociais existentes nos sistemas
econômico, social e cultural de um país convergem para que o conhecimento e as
competências básicas necessárias ao cidadão não sejam desenvolvidas de modo homogêneo a
todos os alunos. Em decorrência disso, os organizadores da Olimpíada acreditam que a
Universidade Estadual de Mato Grosso (UNEMAT), enquanto formadora de professores tem
uma responsabilidade direta na perspectiva da melhoria do ensino da matemática, tanto que
um de seus objetivos trata sobre o desenvolvimento de atividades de formação continuada
para os professores de matemática da rede pública, alternadas com intervenções em sala de
aula: uma das intenções subjacentes à realização da Olimpíada é estimular o estudo de
matemática entre os alunos das escolas públicas.
32
O diferencial da proposta é que as atividades serão desenvolvidas pelo professor em
sala de aula com o auxílio da equipe executora, contribuindo com a interação das escolas
públicas e a universidade e assim, promover a inclusão social.
33
II – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
De acordo com Pádua (1997), “pesquisa é toda atividade voltada para a solução de
problemas; como atividade de busca, indagação, investigação, inquirição da realidade, é a
atividade que vai nos permitir no âmbito da ciência, elaborar um conhecimento, ou um
conjunto de conhecimentos que nos auxilie na compreensão desta realidade e oriente-nos em
nossas ações”. Nesse estudo optamos pela pesquisa qualitativa.
Menga e André (1986) destacam quatro características básicas para explicar a pesquisa
qualitativa:
• Os dados coletados são predominantemente descritivos. O material obtido nessas
pesquisas é rico em descrições de pessoas, situações, acontecimentos; inclui
transcrições de entrevistas e de depoimentos, fotografias, desenhos e extratos de vários
tipos de documentos. O pesquisador deve ficar atento para o maior número possível de
elementos presentes na situação estudada.
• A preocupação com o processo é maior do que com o produto. O interesse do
pesquisador ao estudar um determinado problema é verificar como ele se manifesta
nas atividades, nos procedimentos e nas interações cotidianas.
• Nestes estudos há sempre uma tentativa de capturar a “perspectiva dos participantes”
isto é como os informantes encaram as questões que estão sendo focalizadas. Os
estudos qualitativos permitem ao pesquisador ter uma visão interna das situações.
• A análise dos dados tende a seguir um processo indutivo. Os pesquisadores não se
preocupam em buscar evidências que comprovem hipóteses, definidas antes do início
dos estudos.
Do ponto de vista de sua natureza, a pesquisa se enquadra como aplicada, pois
segundo Gil (2006) a pesquisa aplicada objetiva gerar conhecimentos para aplicação prática
dirigidos à solução de problemas específicos. Envolve verdades e interesses locais. Segundo
Marconi e Lakatos (2010) caracterizam-se por seu interesse prático, isto é, que os resultados
sejam aplicados ou utilizados na solução de problemas que ocorrem na realidade.
34
Com a observação das avaliações das Olimpíadas de Matemática da UNEMAT
percebe-se que os alunos têm dificuldades em utilizar argumentos para provar ou demonstrar
suas respostas.
A pesquisa é dita qualitativa, do ponto de vista da forma de abordagem do problema,
pois na visão de Barros (2008), costuma ser descritiva, sendo que as informações coletadas
não podem ou não devem ser quantificáveis, pois através das informações coletadas será
possível analisar quais as possibilidades (de caráter cognitivo e didático) de desenvolvimento
de demonstrações e argumentações matemáticas por parte de alunos do ensino fundamental.
Dentre as abordagens qualitativas trabalharemos com a documental.
Como serão examinadas as avaliações das Olimpíadas de Matemática realizada pela
UNEMAT em 2013, enquadra-se em pesquisa documental, pois segundo Rampazzo (2002),
procura em documentos de fonte primária, a saber, os dados primários provenientes de órgãos
que realizam observações. Esses dados primários podem ser encontrados em arquivos, fontes
estatísticas e fontes não escritas. Ludke e André (apud, Guba e Lincoln, 1981) salientam a
importância da análise documental dizendo que os documentos constituem uma fonte estável
e rica. Persistindo ao longo do tempo, os documentos podem ser consultados várias vezes e
servir de base a diferentes estudos, e isso dá mais estabilidade aos resultados obtidos.
Por ser um estudo baseado em uma pesquisa de um fato já ocorrido, segundo Barros
(2008), se enquadra como ex post facto, pois se aplica quando o pesquisador não pode
controlar ou manipular suas variáveis, porque suas manifestações já ocorreram. São muitas as
vantagens desse tipo de pesquisa, segundo Marconi e Lakatos (2011) “Os indivíduos
pesquisados não podem ser influenciados, pró ou contra, no que diz respeito ao objeto da
investigação; primeiro porque não sabem que estão sendo testados, segundo, sua exposição à
variável experimental ocorreu antes de serem selecionados para amostra”.
2.1 PROCEDIMENTO PARA COLETA DE DADOS
Os dados para esta pesquisa foram coletados após uma análise de várias avaliações da
nona edição das Olimpíadas de matemática da UNEMAT, Campus de Sinop realizada no ano
de 2013. A escolha das provas dependeu das respostas dos alunos, aquelas que apresentavam
algum tipo de argumentação em sua resolução foram selecionadas e serão apresentados no
presente trabalho.
35
Na análise dos dados serão apresentados seis problemas que Dante (1991, p. 54),
classifica como:
• Problemas padrão-composto: aqueles cuja resolução envolve a aplicação direta de um
ou mais algoritmos, o objetivo e recordar e fixar fatos básicos através das quatro
operações.
• Problemas-processo ou heurístico: a solução desse tipo de problema não está contida
no enunciado, geralmente não se traduz diretamente para a linguagem matemática, por
isso exige do aluno um tempo para pensar em uma estratégia para resolvê-los,
• Problema de reconhecimento: que objetiva fazer com que o aluno reconheça,
identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma definição ou uma
propriedade;
• Problema de aplicação: retratam situações reais do dia a dia e que exigem o uso da
matemática para serem resolvidos.
36
III – ANÁLISE DOS DADOS
Nesse capítulo faremos a análise de seis problemas e dezessete exemplos de resoluções
apresentadas por alunos que participaram das Olimpíadas de matemática da UNEMAT em
2013. Os problemas e foram selecionados depois de observadas cerca de duzentas avaliações,
foram escolhidos porque apresentavam algumas argumentações interessantes para nossa
observação
PROBLEMA 1: Nível III
Na lanchonete da Tia Maria são vendidos muitos doces, salgados e sucos deliciosos,
dos quais os preferidos dos clientes são a empadinha e o suco de abacaxi. Em uma manhã, tia
Maria viu que havia vendido 15 unidades (entre empadinhas e suco de abacaxi) totalizando
R$ 40,00. Sabendo que a empadinha custa R$ 3,00 e o valor de cada copo de suco de abacaxi
é R$ 2,00. Quantos copos de suco de abacaxi e quantas empadinhas foram vendidos?
Segundo Dante (1991) esse é um problema–padrão composto. Neste problema espera-
se que o aluno utilize os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades
para construir estratégias de cálculo algébrico.
Vejamos alguns exemplos de resoluções dadas pelos alunos para o problema acima:
37
Na primeira resolução, o aluno como ele mesmo descreveu, resolveu a questão por
tentativa, não utilizou nenhum formalismo ou simbolismo. Fez uma lista da quantidade de
empadinhas e outra da quantidade de suco de abacaxi, descobriu quantas empadinhas e
quantos sucos foram vendidos, respondendo a pergunta feita no enunciado da questão.
No segundo exemplo a aluna trabalhou com equações de 1º grau com duas incógnitas
expressando algebricamente a situação-problema. Descobriu com esse cálculo que (10,5) que
corresponde a solução do problema. Uma visão interessante do problema e correta.
Na terceira resolução o aluno também trabalhou com equações de 1º grau com duas
incógnitas, porém resolveu de outra forma: isolou a incógnita X e assim descobriu X = 15 – y,
depois substituiu na 1ª equação e determinou o valor da incógnita y.
O quarto exemplo de solução para esse problema é semelhante ao segundo. A diferença
é que esse aluno preferiu usar as letras S e E para representar as incógnitas em vez de X e Y.
38
O quinto aluno também chega ao resultado esperado do problema fazendo cálculos
simples de adição e multiplicação. Ele deduziu que fossem 10 empadinhas e 5 sucos e
comprovou o resultado obtido por meio da multiplicação.
PROBLEMA 2: Nível III
Para renovar sua casa, Pedro resolveu pintar de uma cor diferente uma das paredes de
sua sala, que possui 5 metros de largura, 3 metros de altura e uma janela de 1 m². Pedro sabe
que para pintar 2m² é necessário um pote de tinta. Quantos potes ele vai gastar para pintar
toda a parede?
Para Dante (1991), o problema acima também é do tipo padrão- composto e se espera
que o aluno reconheça grandezas como comprimento, massa, capacidade e área, bem como as
unidades mais usadas para medir superfícies. Além de utilizar as quatro operações
fundamentais e organizá-las em expressões numéricas.
• Exemplo 1:
39
De acordo com Nasser e Tinoco (2003), esse aluno utilizou a justificativa gráfica, ou
seja, mostrou através de uma figura por que o resultado é verdadeiro. Fez o cálculo da área
(multiplicação), subtraiu a área da janela e fazendo a divisão da área que vai ser pintada pela
área que se pode pintar com um pote de tinta, descobriu a resposta correta para o problema.
• Exemplo 2:
A solução dada por esse aluno é semelhante ao primeiro a diferença é que esse não
recorreu a uma figura completa da sala ele apenas representou os lados da parede, porém a
ideia foi a mesma.
• Exemplo 3:
Esse estudante resolveu o problema aplicando a regra de três simples, relacionando as
grandezas algebricamente, uma visão diferente das anteriores e igualmente válida, pois
conforme Nasser e Tinoco (2003), dependendo da faixa etária e do nível de raciocínio dos
alunos, o professor deve aceitar, e até mesmo estimular justificativas desse tipo.
40
PROBLEMA 3: Nível IV
De quantos modos podemos escrever 213 como soma de dois números primos?
Conforme Dante (1991), esse problema é um exercício de reconhecimento e o que o
aluno necessita, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) é conhecer os
significados dos números naturais em diferentes contextos e estabelecer relações entre
números naturais, tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de”. Esse problema é de nível IV,
que corresponde ao Ensino Médio
• Exemplo 1:
Essa questão foi resolvida por tentativas, nota-se que o estudante realizou vários
cálculos usando adição. Além disso para ressaltar percebe-se que ele citou o número nove
como se fosse um número primo. Nasser e Tinoco (2003) classificam essa resolução como
Exemplo crucial, o aluno desenvolve através de um exemplo o raciocínio que poderia ter sido
feito no caso geral.
• Exemplo 2:
41
Nesse exemplo o aluno não expõe as resoluções que o fizeram chegar a conclusão que
descreveu, mas percebe-se que demonstrou segurança na escrita recorreu ao conhecimento
obtido talvez em séries anteriores sobre números pares, ímpares e primos. Nasser e Tinoco
(2003) classificam esse tipo de prova como: prova ingênua isto é uma argumentação aceitável
que pode ter diversos níveis de rigor dependendo da idade e do ano da escolaridade do aluno.
PROBLEMA 4: Nível IV
Evandro, Paulinho e Luís, são casados com Regiane, Valéria e Efigênia, mas não
sabemos quem é casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina,
mas também não sabemos quem faz o que. Com base nas dicas abaixo, determine o nome de
cada esposa e a profissão de cada um.
I O médico é casado com Efigênia
II Luís é advogado
III Valéria não é casada com Luís
IV Paulinho não é médico
Segundo Dante (1991) o referido problema é classificado como problema- processo ou
heurístico, o que se espera do estudante conforme PCNs de Matemática é que saiba distinguir
e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos e selecionar estratégias de resolução de problemas.
• Exemplo 1:
42
Como esse é um problema de lógica não se recorre a cálculos, mas sim a raciocínio
dedutivo como mencionado acima. O aluno organizou as informações em uma espécie de
tabela e considerando as possibilidades chegou ao resultado esperado. Esse tipo de resposta
para Nasser e Tinoco (2003) pode ser caracterizada como justificativa gráfica.
• Exemplo 2:
O aluno do exemplo dois também recorreu a uma tabela para organizar os dados,
porém não foi o mesmo raciocínio do primeiro, pois, em sua tabela ele expõe os resultados e
abaixo descreve o que desejava expressar, ou seja, a resposta final.
• Exemplo 3:
43
Essa resolução se assemelha as demais, a diferença é que foi utilizado pelo aluno algo
como um sistema de cruzamento de dados, dessa forma ele conseguiu ligar a profissão ao
profissional e a esposa.
PROBLEMA 5: Nível IV
Jéssica é uma garota estudiosa e gosta muito de matemática. Com o objetivo de fazer a
prova do ENEM 2013, durante este ano ela destinou x dias apenas para resolver problemas de
matemática. Sua colega Luana perguntou-lhe: quantos dias deste ano você estudou
matemática? Jéssica respondeu-lhe:
I Um sexto do total de dias ocorreu antes de conhecer meu colega Fumagali;
II Após conhecer o Fumagali, fiquei x/10 dias consecutivos estudando matemática;
Em seguida foram 15 dias destinados apenas a estudar física e os demais dias (até asvésperas do ENEM), todos os dias eu estudei matemática o que equivale a 198 dias.
Segundo Dante (1991), esse é um problema de aplicação, exige do aluno um
conhecimento básico sobre frações e operações algébricas usando frações. Vejamos as
soluções abaixo;
• Exemplo 1:
44
É perceptível que o estudante interpretou adequadamente o que se propôs, organizou
as informações e facilmente desenvolveu a equação que surgiu, demonstrou conhecimento
tanto de operações com frações como de equações algébricas.
• Exemplo 2:
O estudante que resolveu a atividade acima também organizou as informações contidas
no enunciado e começou a desenvolver a resolução, porém em dois momentos se perdeu no
cálculo, quanto fez o mínimo múltiplo comum (m.m.c), errou o cálculo de 30 dividido por
45
dez, multiplicado por X, que seria igual a 3 ele colocou 6 e depois errou na divisão de 5940
por 22. Ele raciocinou corretamente apenas não conseguiu chegar ao resultado esperado. Se
ele tivesse tirado a “prova” para validar o resultado teria percebido o erro e poderia facilmente
corrigi-lo, assim teria mais chance de acertar a resposta da questão.
PROBLEMA 6: Nível IV
Um professor de matemática deseja distribuir 11 envelopes lacrados contendo 1, 2, 3,
…11 chocolates, respectivamente, que ele pretende distribuir entre Eduardo, Ítalo e Pedro, de
modo que cada um destes receba a mesma quantidade de chocolates. Como o professor pode
fazer a distribuição? Dê duas possibilidades. E se em vez de 11 fossem 10 envelopes contendo
1,2,3…10 chocolates respectivamente?
Para Dante, esse é um problema de aplicação, pois, o aluno precisa de conhecimentos
prévios sobre Progressão Aritmética, é um problema de nível IV. Vejamos os exemplos a
seguir.
• Exemplo 1:
46
O estudante não descreveu como chegou à conclusão de que a soma da progressão
daria 66, porém podemos deduzir que ele sabia que se tratava de uma progressão aritmética
afinal conseguiu dar as duas possibilidades pedidas no exemplo e concluiu ser impossível
fazer a distribuição caso houvesse dez pacotes.
• Exemplo 2:
O aluno que resolveu o problema acima tinha conhecimento sobre Progressão
Aritmética, tanto que em seu texto explicativo ele mencionou se tratar de uma P.A. Fez as
devidas distribuições dando as possibilidades exigidas no enunciado do problema e concluiu
que havia ainda outras maneiras de distribuir. Para sua solução estar completa faltou apenas
demonstrar que com dez envelopes não seria possível fazer as distribuições.
Essa pesquisa traz como principal indicador a necessidade de se investir no uso de
provas e argumentações como alternativa metodológica no ensino de matemática.
47
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No decorrer dos estudos realizados para essa pesquisa, com a leitura de vários
materiais sobre o assunto, percebemos que existem problemas característicos e que podem ser
classificados, além disso, também é possível compreender e classificar os tipos de provas e
argumentações apresentadas pelos alunos.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, um dos objetivos do ensino da
matemática é desenvolver o raciocínio, a intuição, a indução e a dedução, utilizando conceitos
e procedimentos que a matemática disponibiliza, acreditamos que essas habilidades são
essenciais para que os estudantes possam desenvolver o saber matemático.
A escolha das avaliações para análise se deu após a observação de cerca de 200 provas
de várias escolas e de níveis diferentes. Ao observar tal material tivemos dificuldades para
encontrar dentre as provas, as que pudessem ser mencionados na pesquisa, pois a grande
maioria não apresentava nenhuma argumentação, quando muito apareciam os cálculos sem
qualquer justificativa de como se havia chegado ao resultado.
Acreditamos que isso acontece porque de fato os alunos apresentam dificuldades em
fazer demonstrações e provas, na maioria das vezes são preparados apenas para saber
reproduzir os cálculos de forma mecânica desde que não exija muito raciocínio. Por isso
quando o problema se apresenta de maneira diferente muitas vezes contextualizada, não são
capazes de interpretá-lo e solucionar.
Enquanto professora considero que identificar os tipos de problema em cada fase dos
estudos, bem como os tipos de prova existentes, auxiliará a prática em sala de aula, pois
permite avaliar em que fase se encontram os alunos e que tipo de problema vai chamar a
atenção deles, de maneira a despertar a curiosidade e o desejo de encontrar as soluções. À
medida que as resoluções surgirem, será possível através das correções, analisar como os
alunos demonstraram suas respostas, em que nível estão e o que pode ser exigido deles para
que desenvolvam suas habilidades.
Em sentido mais amplo, acreditamos que essa pesquisa pode contribuir na realização
das próximas edições das Olimpíadas de Matemática da UNEMAT campus de Sinop, pois as
observações feitas e descritas no trabalho ajudam a percebermos qual a situação do ensino da
matemática em Sinop.
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REFERENCIAIS BIBLIOGRÁFICOS
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