universidade do estado de mato grosso campus de...

Aula 04 – Teoria das deformações

Eng. Civil Augusto Romanini

Sinop - MT

2017/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

Mecânica dos Sólidos II

Aula 01 – Teoria das Tensões

Aula 05 – Flambagem de Colunas

Aula 06 – Torção Simples/Pura

19/05/2017 2

AULAS

Aula 00 – Apresentação/Revisão

Aula 02 – Critérios de Resistência

Aula 04 – Teoria das Deformações

Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas

Mecânica dos Sólidos II19/05/2017 3

Objetivos

Conceitos

Introdução

Lei de Hooke Generalizada

Estado Plano de Deformação

Rosetas de Deformação


Objetivos

Objetivo Geral: Apresentar a teoria das deformações aplicadas em estruturas civis usuais e afins.

Objetivo Especifico:

• Definir e aplicar o estado plano de deformações em quaisquer direções.

• Mostrar como transformar as componentes de deformação, associados a um sistema de coordenadas particular, em

componentes associadas a um sistema de orientação diferente.


Introdução

Ações Externas Tensões Deformações Deslocamentos

Ações de carregamento

Defeitos de fabricação

Variação de temperatura

Axial

Normal

Cisalhamento

Torção

Combinadas


Conceitos

Ações Externas Tensões Deformações Deslocamentos

Deformação longitudinal Deformação Transversal Deformação Distorcional

Importante: Deformação não é deslocamento, o deslocamento é uma

consequência das deformações.


Conceitos

A partir da Lei de Hooke, criou – se uma

constante que relaciona o a deformação

longitudinal com a transversal, essa constante

é denominada coeficiente de Poisson.

A letra representa o coeficiente de Poisson.

O valor deste coeficiente deve estar entre

𝟎, 𝟎𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟎, 𝟓𝟎


Lei de Hooke Generalizada

As expressões acima constituem a chamada Lei de Hooke Generalizada. Para esta expressão assumimos que os

materiais são homogêneos e isotrópicos - possuem as mesmas propriedades em todas as direções. Assumimos também

que as tensões de cisalhamento não afetam as deformações lineares. Assumimos ainda válido o princípio da

superposição. Para as tensões 1,2 e 3 ou tensões x,y,z.

𝜀𝑥 =1

𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)

𝜀𝑦 =1

𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)

𝜀𝑧 =1

𝐸∙ 𝜎𝑧 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 (3)

𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺(4)

𝛾𝑥𝑧 =𝜏𝑥𝑧

𝐺(5)

𝛾𝑦𝑧 =𝜏𝑦𝑧

𝐺(6)



Assim como o estado plano de tensão , tem – se o estado plano de deformações – EDP. As equações são semelhante

bem como a orientação de suas variáveis. O que é importante lembrar é que em situações de alongamento tem – se o

sinal positivo e na situação de encurtamento tem – se o sinal negativo.



Transformação de deformações

𝜀𝑥′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2+

𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +

𝛾𝑥𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜀𝑦′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2−


2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −

𝛾𝑥𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝛾𝑥𝑦′

2= −


2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +

𝛾𝑥𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃

Deformações Principais

𝜀1,2 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2±


2

2

+𝛾𝑥𝑦

2

2

Planos de Atuação

𝑇𝑔2𝛼1,2 =𝛾𝑥𝑦


𝑇𝑔2𝛼3,4 = −𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦



A deformação normal em um corpo de prova de teste de tração é medida usando-se um extensômetro de resistência elétrica,

que consiste em uma malha de filamentos ou um pedaço de folha de metal acoplado ao corpo-de-prova.

No carregamento geral de um corpo, as deformações normais em um ponto da superfície livre são determinadas em geral

usando-se três extensômetros de resistência elétrica agrupados de acordo com um padrão específico. Esse padrão é

denominado Roseta.

As deformações são medidas no plano das malhas. O corpo não sofre tensões em sua superfície, os extensômetros podem

está sujeitos ao estado plano de tensões, mas não ao estado plano de deformações



𝜀𝑎 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑎 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎

𝜀𝑏 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑏 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏

𝜀𝑐 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐


Circulo de Mohr para EPD

𝜀𝑐 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2

𝑅 =𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

2

2

+𝛾𝑥𝑌2

2


Referências

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.

São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.

Mecânica dos Sólidos II

Obrigado pela atenção.

Perguntas?

19/05/2017 16


Exemplos

Exemplo 01 – Para o EPT abaixo obtenha. O material possui E = 21000 kN/cm² e G = 8100 kN/cm².

EPT𝜎𝑥 = 20,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝜎𝑦 = 10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝜏𝑥𝑦 = 5,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

a) Deformações para o EPT

b) Deformações principais

c) Deformações especificas para um plano a 30º.

𝐺 =𝐸

2 1 + 𝜇

𝜀𝑥 =1

𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)

𝜀𝑦 =1

𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)

𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺(4)


2+

𝜀𝑥 − 𝜀𝑦2

∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +𝛾𝑥𝑦2

∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜀𝑦′ =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2−


∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −𝛾𝑥𝑦2


𝛾𝑥𝑦′2

= −𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +

𝛾𝑥𝑦2

∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜀1,2 =𝜀𝑥 + 𝜀𝑦

2±


2

+𝛾𝑥𝑦2

2


Exemplos

Exemplo 02 – Os componentes de deformação especifica em

um ponto de um corpo sujeito ao estado plano de

deformações são εx =+435με, εy =-135μe e xy=-642μrad. A

figura mostra a configuração deformada de um elemento

sujeito a essas deformações. Determine as deformações

especificas principais e a deformação especifica por

cisalhamento máxima absoluta para a situação. Mostre

em um desenho (circulo de Mohr) esquemático as

deformações especificas principais e a distorção máxima no

plano das deformações.


Exemplos

Exemplo 03 – Uma viga de testes será instrumentada para que possam ser mensuradas as deformações

geradas pelas combinações impostas pelo carregamento. A viga foi instrumentada com três

extensômetros. Os três extensômetros são denominados A,B,C. No entanto durante o ensaio o

extensômetro A não forneceu leituras devido a um defeito. O ponto instrumentado é considerado crítico e

deseja – se saber as tensões atuantes. São fornecidas os dados na tabela. Utilize E = 20705,00 kN/cm² e

= 0,35.

a) O EPT para a viga

b) O efeito da deformação

Dados da leitura crítica

Extensômetro Deformação Posição com a horizontal

A Desconhecida 0 º

B 15,10 E-5 30º

C 8,20 E-5 90º

𝜀𝑎 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑎 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎

𝜀𝑏 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑏 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏

𝜀𝑐 = 𝜀𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 + 𝜀𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 + 𝛾𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐

𝜀𝑥 =1

𝐸∙ 𝜎𝑥 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (1)

𝜀𝑦 =1

𝐸∙ 𝜎𝑦 − 𝜇 ∙ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 (2)


2+


∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +𝛾𝑥𝑦2



Exemplos

Exemplo 04 – Um tanque de formato cilíndrico tem parede de 6 mm de

espessura e diâmetro interno de 600 mm. O aço utilizado na construção tem

módulo de extensão longitudinal de 20000 kN/cm² e coeficiente de Poisson de

0,30. Você foi contratado para prestar uma consultoria para a empresa que é

responsável pelo tanque para aferir a pressão no tanque. A necessidade da

empresa ocorreu porque os manômetros instalados apresentam leituras

diferentes. A solução encontrada foi instrumentar a parede do tanque com

extensômetros. Por estar começando na sua carreia você só tem um

extensômetros e seus “colegas” de profissão não podem emprestar outros para

você por motivos diversos. Consultando um profissional mais experiente ele lhe

disse apenas uma informação: posicione o extensômetro a 18º com o plano

horizontal. Coletadas as informações constatou – se que a leitura no

extensômetro manteve – se constante no valor de 2,8E-4. Obtenha a informação

solicitada pela empresa. Sugere – se que você utilize as equações abaixo se

necessário. Considere, se necessário, x = 1 e y = 2;

𝜀𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 0,525 ∙𝜎𝑥𝐸

𝑅 = 0,325 ∙𝜎𝑥𝐸


Exemplos

Exemplo 05 – Um tanque de armazenamento cilíndrico é utilizado para

transporta gás sobre pressão. Por questão de segurança do tanque

optou – se construir o tanque com placas de aço com 19 mm de

espessura. O tanque tem diâmetro interno de 610 mm. A empresa que

armazena e transporta os tanques precisa apresentar para as

autoridades as pressões dentro do tanque e as tensões que atuam na

parede do tanque. Os tanques devido ao seu formato e ao tipo de gás

não possuem manômetros, dessa forma a empresa instalou um par de

extensômetro na parede de um tanque e realizou leituras , o

extensômetro posicionado longitudinalmente apresentou leitura de 6,0

E-5, enquanto o outro apresentou leitura de 2,55 E-4,esta situação é a

principal no plano de análise. A empresa sabe que o módulo transversal

do tanque é de 7720 kN/cm² e tem os EPT’s de tração e compressão

apresentados a seguir. Considere, se necessário, x = 1 e y =2;

Apresente as informações solicitadas anteriormente e ainda:

a) Apresente o EPT para a situação;.

b) Verifique com base no critério de Mohr se este material pode ser

utilizado ;

M1 7,00

2,00

4,50

M1 8,00

6,00

4,00


Exercícios Sugeridos

Hibeller 7ed – Capitulo 10 – Pag.371 – Disponível na biblioteca.

10.1, 10.3, 10.4, 10.28, 10.29, 10.48

universidade do estado de mato grosso campus de...

Documents