universidade de s~ao paulo · 2011. 4. 27. · um produto. chama-se decusto marginal a derivada de...

Introducao Funcoes Marginais Consideracoes Finais Referencias

Universidade de Sao PauloEscola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Aplicacoes de DerivadaTopicos em Microeconomia

Everton Batista da RochaRoseli Aparecida Leandro

LCE0103 - Calculo Diferencial e IntegralDepartamento de Ciencias Exatas/ESALQ/USP

Piracicaba/2011


Sumario

Introducao

Funcoes Marginais

Consideracoes Finais

Referencias


Funcoes Marginais

• Matematica• Calculo Diferencial e Integral• Algebra Linear

• Economia• Microeconomia• Series Temporais• Econometria• Matematica Financeira


Funcoes Marginais

• Em Economia, Administracao, dada uma funcao f (x),costuma-se utilizar o conceito de funcao marginal para avaliaro efeito causado em f (x) por uma pequena variacao de x .

• Chama-se funcao marginal de f (x) a funcao derivada de f (x).Assim, a funcao custo marginal, e a derivada da funcao custo,a funcao receita marginal e a derivada da funcao receita, eassim por diante.

• Objetivo: estudar algumas funcoes marginais e suasinterpretacoes.


Custo Marginal

• Seja C (x) a funcao de custo de producao de x unidades deum produto. Chama-se de custo marginal a derivada de C (x)em relacao a x . O custo marginal sera indicado por Cmg (x).

• Exemplo: Considere a funcao de custoC (x) = 0, 01x3 − 0, 5x2 + 300x + 100.

• O custo marginal e dado porCmg (x) = C

′(x) = 0, 03x2 − x + 300.

• Assim, caso se deseje o custo marginal para x = 10, tem-se,Cmg (10) = 0, 03.(10)2 − 10 + 300 = 293.

• Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma:


Custo MarginalSendo

Cmg (x) = lim∆x→0

∆C

∆x,

tem-se que

Cmg (x) ∼=∆C

∆x(para ∆x pequeno)

Frequentemente, esse ∆x pequeno e suposto como igual a 1.Assim,

Cmg (x) ∼= ∆C = C (x + 1)− C (x).

• Portanto, o custo marginal e aproximadamente igual avariacao do custo, decorrente da producao de uma unidadeadicional a partir de x unidades.

• No exemplo dado, Cmg (10) = 293 representa,aproximadamente, C (11)− C (10), ou seja, o custo daproducao da 11a unidade.


Receita Marginal

• Seja R(x) a funcao receita de vendas de x unidades de umproduto. Chama-se de receita marginal a derivada de R(x) emrelacao a x . A receita marginal sera indicado por Rmg (x).

• Exemplo: Considere a funcao receita R(x) = −2x2 + 1000x .

• A receita marginal e dada por Rmg (x) = R′(x) = −4x + 1000.

• Assim, caso se deseje a receita marginal no ponto x = 50,tem-se, Rmg (50) = −4.(50)2 + 1000 = 800.

• Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma:


Receita MarginalSendo

Rmg (x) = lim∆x→0

∆R

∆x,

tem-se que

Rmg (x) ∼=∆R

∆x(para ∆x pequeno)

Supondo ∆x = 1,

Rmg (x) ∼= ∆R = R(x + 1)− R(x).

• Portanto, a receita marginal e aproximadamente igual avariacao da receita decorrente da venda de uma unidadeadicional, a partir de x unidades.

• No exemplo dado, Rmg (50) = 800 representa,aproximadamente, R(51)− R(50), ou seja, o aumento dareceita decorrente da venda da 51a unidade.


Exercıcios

1. Dada a funcao custo C (x) = 0, 3x3 − 2, 5x2 + 20x + 200,obtenha:

a) o custo marginal Cmg ;b) Cmg (5) e a interpretacao do resultado;c) Cmg (10) e a interpretacao do resultado;

2. Dada a funcao receita R(x) = −4x2 + 500x , obtenha

a) a receita marginal Rmg ;b) Rmg (10) e a interpretacao do resultado;c) Rmg (20) e a interpretacao do resultado;


Propensao Marginal a Consumir e a Poupar

• Chamando de y a renda disponıvel e , C o consumo, tem-seque C e funcao de y , e a funcao C(y) e chamada de funcao deconsumo.

• Denomina-se propensao marginal a consumir, e indica-se porpCmg a derivada de C em relacao a y . Isto e:

pCmg (y) = C′(y).

• Analogamente, a poupanca S e tambem funcao de y , e assim,a funcao S(y) e chamada de funcao poupanca.

• Denomina-se propensao marginal a poupar, e indica-se porpSmg , a derivada de S em relacao a y , ou seja,

pSmg (y) = S′(y).



• Exemplo: Suponha que a funcao consumo de uma famılia sejaC(y) = 20 + 0, 4y0,75.

• Para a propensao marginal a consumir, tem-se

pCmg (y) = 0, 3y−0,25

• Caso seja de interesse o valor desta propencao para y = 16,tem-se

pCmg (16) = 0, 3.(16)−0,25 = 0, 15.

• A interpretacao e analoga a feita para o custo e a receitamarginal, ou seja, aumentando-se em uma unidade a rendadisponıvel (de 16 para 17), o aumento do consumo seraaproximadamente igual a 0,15.



• Exemplo: Suponha que a funcao consumo de uma famılia sejaC(y) = 20 + 0, 4y0,75.

• Para o obtencao da funcao poupanca, e importante lembrarque,S = y − C, ou seja,

S(y) = y − 20− 0, 4y0,75

• A propensao marginal a poupar e:

pSmg (y) = 1− 0, 3y−0,25

• Caso seja de interesse o valor desta propensao para y = 16,tem-se:

pSmg (16) = 1− 0, 3.(16)−0,25 = 0, 85.

• Portanto, se a renda passar de 16 para 17, o aumento dapoupanca sera aproximadamente 0,85.


Exercıcios

1. Dada a funcao de consumo C = 30 + 0, 4y0,5, obtenha:

a) pCmg (64) e interprete o resultado;

b) pSmg (64) e interprete o resultado;


Produtividade Marginal

• Seja P uma funcao de producao que dependa da quantidade xde um fator variavel, chama-se produtividade marginal dofator a derivada de P em relacao a x .

• Exemplo: Considere a funcao de producao P(x) = 50x0,5 emque P e a quantidade (em toneladas) produzidas por mes deum produto, e x , o trabalho mensal envolvido (medido emhomens-hora).

• A produtividade marginal do trabalho e

P′(x) = 25x−0,5

• Se x = 10000, entao

P′(10000) = 25.(10000)−0,5 = 0, 25

• Assim, se o numero de homens-hora passar de 10000 para10001, o aumento na produtividade mensal sera,aproximadamente, 0,25 toneladas.


Exercıcios

1. A produtividade anual de algodao (em toneladas) de umagricultor e funcao da quantidade x de fertilizante empregada(em toneladas), segundo a relacao P = 100 + 200x − x2.

a) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 50e interprete o resultado.

b) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 75e interprete o resultado.


Elasticidades

• A funcao de demanda relaciona o preco unitario p com aquantidade demandada x .

• Um indicador da sensibilidade da variacao da demanda emrelacao ao preco poderia ser a derivada de x em relacao a p.Todavia, esta derivada depende das unidades de medidasutilizadas. Assim, se a queda de $1, 00 por kg de aboborafizesse o consumidor aumentar em 1kg por mes o consumodesse produto, a relacao cosumo/preco seria 1 se o consumofosse medido em quilogramas, mas seria 1000 se o consumofosse medido em gramas.

• Costuma-se definir um indicador de sensibilidade queindependa das unidades de medida utilizadas. Tal indicador echamado de elasticidade.


Elasticidades

• Suponha que a um preco p0 a quantidade demandada seja x0.Suponha, ainda, que o preco sofra uma variacao ∆p e partirde p0 e, como consequencia, a quantidade demandada sofrauma variacao ∆x , a partir de x0.

• Considere:

• A variacao porcentual no preco:∆p

p0.

• A variacao porcentual na quantidade:∆x

x0• Chama-se de elasticidade da demanda no ponto (x0, p0) o

numero:

e =

∣∣∣∣∣∣∣∣ lim∆p→0

∆x

x0

∆p

p0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =p0

x0

∣∣∣∣∆x

∆p

∣∣∣∣


Elasticidades

• (continuacao)

• O limite dentro do modulo edx

dp(derivada da quantidade em

relacao ao preco). O modulo e introduzido na definicao paraque a elasticidade resulte num numero positivo, uma vez que,

em geral,dx

dp< 0, entretanto alguns autores preferem fazer a

definicao sem uso do modulo.• Assim,

e =p0

x0

∣∣∣∣dxdp∣∣∣∣ ,

em que a derivadadx

dpe calculada no ponto (x0, p0).

• E importante salientar que a elasticidade e uma caracterısticado ponto da curva de demanda e nao da curva em si.


Elasticidades

• Exemplo: Seja a equacao de demanda for dada porx = 500− 10p:

• Tem-se,

dx

dp= −10

• Portanto,

e =p0

x010

• Assim, se p0 = 40, entao x0 = 500− 400 = 100 e

e =40

10010 = 4


Elasticidades

• (continuacao)• Isso significa que, para ∆p pequeno,

4 ∼=

∆x

100∆p

40

.

• Admitindo∆p

40= 1% (como e usual), tem-se

∆x

100∼= −4%(pois ∆x e ∆p tem sinais contrarios)

• Em outras palavras, se o preco for 40 e sofrer um aumentopercentual de 1%, a queda percentual na demanda sera deaproximadamente 4%.

• De modo analogo, ao se admitir um aumento percentual de2%, a queda percentual na demanda sera de aproximadamente8%.


Elasticidades

• Se e > 1, a demanda e dita elastica no ponto considerado.

• Se 0 < e < 1, a demanda e dita inelastica.

• E se e = 1, a demanda tem elasticidade unitaria no pontoconsiderado.


Elasticidades

• Para a funcao de oferta, define-se elasticidade da oferta emrelacao ao preco de modo analogo:

f =

∣∣∣∣∣∣∣∣ lim∆p→0

∆x

x0

∆p

p0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =p0

x0

dx

dp

em quedx

dpe calculada no ponto x = x0 e p = p0 da equacao

da oferta.

• Nesse caso, o modulo foi omitido, poisdx

dp> 0.


Elasticidades

• Exemplo: Seja a equacao de oferta x = 64 + p2.• Entao,

dx

dp= 2p

• Caso seja de interesse a elasticidade para p0 = 6, entao

x0 = 64 + 62 = 100 edx

dp= 12, no ponto em que p0 = 6.

• Assim,

f =6

10012 = 0, 72

• Desse modo, para um acrescimo percentual de 1% no preco (apartir de 6), o acrescimo porcentual na quantidade ofertada (apartir de 100)sera de aproximadamente 0,72%.


Exercıcios

1. Se a equacao de demanda for dada por x =10− p

5, obtenha

a elasticidade da demanda para p = 5 e interprete o resultado.

2. Obtenha a elasticidade da oferta para p = 9, sabendo que aequacao da oferta e dada por x = 20− 0, 05p + p1/2.Interprete o resultado.


Consideracoes Finais

• Aula MAPLE - Derivadas =⇒ 02/05/2011, 10hs-12hs, emsala de aula.

• Prova MAPLE - Derivadas =⇒ 10/05/2011, 14hs-15:30hs(Grupo 1)

• Prova MAPLE - Derivadas =⇒ 10/05/2011,16:15hs-17:45hs (Grupo 2)

• Entrega dos exercıcios propostos: no dia da prova doMAPLE.

• Todos os exercıcios deverao ser entregues feitos a mao e noMAPLE (IMPRESSO).

• O material da aula do dia 02/05/2011 estara disponıvel ate adata da mesma, assim como uma lista de exercıcios, adicionaisa deste texto, que tambem devera ser entregue feita a mao eno MAPLE (IMPRESSO), no dia da prova do MAPLE.


Referencias

Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab; Calculo-Funcoes de uma e varias variaveis. Editora Saraiva, Sao Paulo,2003.

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