unifra proposta metodolÓgica para o estudo de prismas e pirÂmides: o computador como uma...

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PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O

ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O

COMPUTADOR COMO UMA COMPUTADOR COMO UMA

FERRAMENTA DE APOIOFERRAMENTA DE APOIO

Aluna – Angélica Menegassi da SilveiraOrientadora – Profª. Drª Eleni Bisognin

Co-Orientadora – Profª. Drª Silvia Maria de Aguiar

Isaia

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISAÁREA DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICAS

Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática

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APRESENTAÇÃONeste CD são apresentadas atividades desenvolvidas com uma turma do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola pública.O conteúdo abordado refere-se à Geometria Espacial destacando o estudo de Prismas e Pirâmides.Para o desenvolvimento das atividades utilizou-se o software Cabri3D.

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Ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo dessa maneira, um estudo mais dinâmico;

Permite que o aluno experimente, construa, interprete, visualize situações relativas ao conteúdo de sala de aula;

Diante do computador os alunos procuram as soluções para os problemas e dessa maneira constroem o próprio conhecimento.

A importância do uso de A importância do uso de Softwares EducacionaisSoftwares Educacionais

UNIFRA As atividades foram desenvolvidas

Com 14 alunos da 3ª série do Ensino Médio;

Alunos que possuem dificuldades na compreensão de conteúdos matemáticos, principalmente nos conteúdos de sólidos geométricos;

No Laboratório de informática da escola equipado com 15 computadores;

No turno inverso ao da aula normal.

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SEQUÊNCIA DAS ATIVIDADES

DESENVOLVIDAS

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ATIVIDADE 1.1

O objetivo dessa atividade é que o aluno reconheça visualmente os seguintes elementos

dos paralelepípedos: forma geométrica das bases, arestas, vértices, ângulos, faces laterais,

diagonais e diagonais das faces.

Introdução aos Estudo de Prismas: Cubo e Paralelepípedo Retângulo

SESSÃO 1SESSÃO 1

UNIFRA1.1 Analise os sólidos S1 e S2 e responda as seguintes

questões:

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(a) Qual é a forma geométrica da base de S1 e S2?(b) Como se classificam esses sólidos quanto a forma geométrica da base?(c) Qual é a forma geométrica das faces laterais de cada um dos sólidos?(d) Quantas faces cada um dos sólidos S1 e S2 possuem? (e) Identifique os vértices de S1 e S2 e determine quantos são.(f) Identifique as arestas laterais e as arestas da base de S1 e S2 e determine quantas são.(g) Quantas arestas cada vértice tem em comum?

ComentárioComentário

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Verifique nas figuras abaixo se:• (h) As arestas laterais de S1 e S2 possuem a mesma medida.

• (i) As medidas dos ângulos formados pelas arestas laterais de cada face de S1 e S2 com o plano da base são iguais.


UNIFRA(j) Desenhe as diagonais de S1 e S2 e determine quantas são.

(k) Verifique a medidas das diagonais. Todas possuem a mesma medida? (l) Desenhe as diagonais das faces de S1 e S2. (m) Verifique se as diagonais possuem a mesma medida.

(n) Construa os pontos médios das arestas AB, BC, CG, HG, EH, AE. Qual é o polígono formado pela união dos pontos dessas arestas? Os polígonos formados são regulares? Justifique.




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ATIVIDADE 1.2

O propósito dessa atividade é que o aluno utilize as noções de paralelismo e

perpendicularismo para identificar as arestas e as faces paralelas e perpendiculares do cubo e do

paralelepípedo.

UNIFRA1.2 Observe o cubo S1 e o paralelepípedo retângulo S2 e responda as seguintes questões:

(a) Identifique as faces de S1 e S2 que são paralelas entre si. Justifique.

(b) Identifique as arestas de S1 e S2 que são paralelas à aresta AD. Justifique.

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UNIFRA(c) Identifique as faces de S1 e S2 que são perpendiculares entre si. Justifique.

(d) Identifique as arestas de S1 e S2 que são perpendiculares à aresta BC. Justifique.

(e) As diagonais de cada face de S1 e S2 são perpendiculares entre si? Justifique.




UNIFRA(f) Construa os segmentos unindo os vértices: A, C, H e A de S1 e S2 e responda: (i) Qual a medida dos ângulos EÂC, HÂC e EÂH ?

(ii) A afirmação EÂC+ HÂC= EÂH é verdadeira?

(iii) Os segmentos construídos anteriormente são diagonais da face?

(iv) Qual é a forma geométrica da figura formada pela união destes segmentos?

(g) Construa os segmentos unindo os vértices B, G, H e B de S1 e S2 e responda:

(i) Qual dos segmentos construídos é a diagonal do sólido?

(ii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus ângulos?

(iii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus lados?


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ATIVIDADE 1.3

O propósito da Atividade 1.3 é trabalhar o conceito de área de superfície do cubo e do paralelepípedo retângulo.

UNIFRA1.3 Construa a planificação do cubo e do paralelepípedo retângulo para responder as seguintes questões:

(a) Qual é a forma geométrica das faces? Justifique sua resposta. (b) Qual é a medida da área de cada uma das faces? (c) Qual é a medida da superfície do cubo? E do paralelepípedo retângulo?(d) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é duplicada? (e) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é triplicada?(f) Há uma proporcionalidade entre a medida da área da superfície do cubo e a

medida da aresta?

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ComentárioComentário ComentárioComentário

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ATIVIDADE 1.4

O propósito dessa atividade é explorar a noção de volume de um cubo e de um paralelepípedo retângulo e

estabelecer algumas relações entre a medida do volume e a medida das arestas.

UNIFRA1.4 Determinação do volume do cubo e do paralelepípedo retângulo. (a) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos medindo 1cm cúbico e responda:

(i) Quantos cubinhos unitários há no sólido? Qual é o volume de cada cubinho?

(ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique.

(iii) Se as arestas do cubinho medem 2 cm, qual é o volume do cubo?

UNIFRA(b) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos de 1 cm de aresta e responda:

(i) Quantos cubos unitários há no sólido?

(ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique

UNIFRA(c) Analise a construção do paralelepípedo e responda:(i) Qual o volume do paralelepípedo?(ii) Se a medida da aresta da base do paralelepípedo for duplicada e a medida da altura permanecer a mesma, qual é o volume do paralelepípedo? (iii) Se a medida da aresta da base for triplicada e a medida da altura permanecer a mesma, o que acontece com o volume? (iv) Se a medida de todas as arestas duplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo? (v) Se a medida de todas as arestas triplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo?

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Demais Prismas

ATIVIDADE 2.1

Pretende-se nesta atividade verificar se o aluno ao visualizar e identificar os elementos de um sólido é capaz de classificá-lo, verificar a forma geométrica das faces laterais e da base e concluir se é válido o teorema de Euler, simplesmente identificando a

validade de seu resultado.

SESSÃO 2SESSÃO 2

UNIFRA(a) Considere os sólidos geométricos:

(i) Identifique com a cor amarela os vértices dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7.(ii) Identifique com a cor vermelha as arestas laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7.(iii) Identifique com a cor verde as arestas das bases dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7.(iv) Identifique com a cor rosa as faces laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7.

Clique Aqui para Abrir a Construção Apresentada no Cabri3DComentárioComentário

UNIFRA(b) Preencha as lacunas abaixo:

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

(i) Nº de vértices

(ii) Nº de arestas laterais

(iii) Nº de faces laterais

(iv) Nº de arestas das bases

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SESSÃO 2- Demais Prismas

ATIVIDADE 2.2

O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e da superfície total dos

prismas efetuando as planificações.

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(a) Considere os prismas:

(i) Utilizando a cor rosa identifique as forma geométrica das faces laterais de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Justifique sua resposta.

UNIFRAb) Utilizando a cor verde identifique a forma geométrica da base de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7 e preencha as lacunas abaixo:

c) Classifique os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7 de acordo com a forma geométrica da base.

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

Forma Geométrica da Base

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

Classificação de Acordo com a Forma Geométrica da Base


UNIFRAd) Verifique se é verdadeira a igualdade V-A+F=2 para os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7.

Conjectura: Esta relação é válida para todos os sólidos?

e) Qual é a medida do ângulo formado pelas arestas laterais com as arestas da base de cada um dos sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7? Justifique sua resposta.

f) Um prisma é regular se suas bases são polígonos regulares e suas faces laterais são perpendiculares às bases. Quais dos prismas analisados são regulares?


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ATIVIDADE 2.3

O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e

total dos prismas S1, S2, S3 e S4 efetuando as planificações.

UNIFRA(a) Considere os prismas abaixo:

Em cada um dos prismas una os vértices da base ao centro da base:(i) Qual é a forma geométrica de cada figura obtida? (ii) Quantas figuras foram obtidas em cada sólido? (iii) Qual é a medida dos lados da figura obtida em cada sólido? (iv) Os lados da figura obtida têm a mesma medida da aresta da base do

prisma?(v) Determine a área da figura obtida de cada prisma.


UNIFRAb) Faça as planificações dos prismas S1,S2, S3 e S4

c) Determine a área das faces laterais dos prismas.

d) Determine a área da superfície total de cada um dos prismas.



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ATIVIDADE 2.4

O propósito dessa atividade é calcular o volume de um prisma.

UNIFRA(a) Observe os prismas S1 e S2

O prisma S1 possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2 e, o prisma S2 (paralelepípedo retângulo), possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2. As bases de S1 e S2 são construídas num mesmo plano.

β

α

UNIFRA

Como a área da base e a altura dos dois prisma são congruentes, podemos afirmar que os dois sólidos possuem o mesmo volume?

Como podemos calcular o volume do prisma pentagonal e do prisma hexagonal?

ComentárioComentário ComentárioComentário


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Pirâmides

ATIVIDADE 3.1

O objetivo dessa atividade é identificar os elementos: arestas, ângulos, faces e apótemas de uma pirâmide bem como deduzir as propriedades

desses elementos.

SESSÃO 3SESSÃO 3

UNIFRANa figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4:

a) Identifique em cada uma das pirâmides:

(i) Vértice da pirâmide com cor amarela;

(ii) Vértices da base com cor azul;

(iii) Arestas laterais com cor vermelha;

(iv) Arestas da base com cor verde.


UNIFRA

b) Preencha as lacunas abaixo:

P1 P2 P3 P4

Nº de vértices

Nº de arestas laterais

Nº de faces laterais

Nº de arestas da base

UNIFRAc)

(i) Meça o comprimento das arestas da base das pirâmides P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo:

(ii) Os polígonos formados pelas arestas da base são regulares?

P1 P2 P3 P4

Medida das arestas da base

UNIFRA(d)Meça o comprimento das arestas laterais de

P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo:

As medidas das arestas laterais de cada pirâmide são iguais?

P1 P2 P3 P4

Medida das arestas laterais

UNIFRA

Em toda pirâmide regular o segmento VO, em destaque na figura abaixo, é a distância do vértice da pirâmide ao centro da base e determina a altura da pirâmide:

UNIFRANa figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4:

(i) Construa o segmento que une o vértice “V” ao centro da base “O” de cada uma das pirâmides.

UNIFRAe) Construa o polígono que une o vértice da pirâmide ao centro da base e ao vértice B de cada uma das pirâmides e classifique o triângulo VOB formado em cada uma das pirâmides.

f) Construa o ponto médio das arestas da base das pirâmides e meça o ângulo formado pelos segmentos que unem o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio da aresta da base.



UNIFRAg) Em toda pirâmide, chama-se apótema ao segmento VM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto médio de uma das arestas da base:

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(i) Represente um apótema em cada uma das pirâmides:

(ii) Qual é a forma geométrica das faces laterais das pirâmides?

(iii) O que o apótema representa para o triângulo que forma a face lateral da pirâmide?

.

UNIFRA(h) Em toda pirâmide regular, chama-se apótema da base o segmento OM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o centro da base e o ponto médio de uma das arestas da base:

Construa o apótema da base de cada uma das pirâmides.

UNIFRA

ATIVIDADE 3.2

O objetivo dessa atividade é classificar as pirâmides considerando a forma geométrica da base e determinar a área da superfície total de

cada pirâmide.

UNIFRA

Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4:

UNIFRAa) Identifique a forma geométrica da base de

cada uma das pirâmides. Justifique a sua resposta.

P1 P2 P3 P4

Forma geométrica da base

UNIFRAb) Determine a área da base de cada uma das pirâmides.

c) Faça a planificação das pirâmides

d) Determine a área lateral e a área total das pirâmides

UNIFRA

Para o cálculo da área lateral e da área total é necessário efetuar as planificações.

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Atividade 3.3

O propósito desta atividade é calcular o volume de uma pirâmide a partir do volume

de um prisma.

UNIFRA Na figura abaixo encontra-se um prisma triangular decomposto em três pirâmides de diferentes cores.

(a) Verifique se a área das bases do prisma triangular é igual a área das bases das pirâmides de mesma cor. O que você observou?

(b) Como você relaciona o volume das pirâmides com o volume do prisma?


UNIFRA CONSIDERAÇÕES CONSIDERAÇÕES FINAISFINAIS

Verificou-se, que a visualização e o movimento que o recurso computacional proporcionou, fizeram com que os alunos articulassem melhor o raciocínio na resolução dos problemas.

Verificou-se que o uso da ferramenta computacional permitiu aos alunos enfrentar os obstáculos encontrados na resolução de algumas atividades, visto que, o anseio era muito grande em utilizar as ferramentas oferecidas pelo software.

UNIFRADe maneira geral, os alunos envolveram-se na resolução das atividades, aprendendo a trabalhar em grupo com seus colegas, utilizando-se de um software geométrico para a construção, visualização e manipulação das figuras.

Quanto à interação entre as duplas e entre os elementos das duplas, esta aconteceu desde o primeiro momento, pois quando surgia alguma dificuldade em usar os comandos do software, ou uma propriedade que uma das duplas tivesse descoberto, imediatamente comunicavam aos demais e se ajudavam mutuamente.

UNIFRARetomando o objetivo geral dessa investigação, ou seja, verificar se a utilização do programa computacional Cabri 3D contribuiu para a construção de um espaço de ensino e aprendizagem voltado para o entendimento lógico dos sólidos geométricos, prismas e pirâmides, chegou-se a conclusão que ele foi parcialmente atingido.

Esta experiência também propiciou mudanças no comportamento da professora. Para ela sair da zona de conforto foi uma experiência nova, porém o fato de verificar que o modo como a geometria era trabalhada não favorecia a aprendizagem dos alunos, impulsionou-a a caminhar na direção de uma zona de risco e mudar sua prática pedagógica. São muitas as formas de mudar a sala de aula e, o uso de um recurso computacional como o software Cabri3D, de geometria dinâmica para o ensino de geometria, favoreceu positivamente esta mudança.

UNIFRA No entanto, é muito difícil que se consiga desenvolver no aluno a capacidade de raciocinar logicamente, somente com a aplicação de uma sequência didática, num período de tempo de apenas seis encontros.

Para que isto acontecesse seria necessário um trabalho sistemático, tendo início no ensino fundamental e continuando nas demais séries. Entretanto, acredita-se que, a partir dos resultados obtidos, foi possível contribuir com o desenvolvimento do pensamento lógico dos alunos, em alguns aspectos.

UNIFRA

SÃO APRESENTADAS A SEGUIR AS ATIVIDADES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA APICADA AOS ALUNOS PARTICIPANTES DA

PESQUISA CUJOS RESULTADOS AUXILIARAM NA ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES DA

SEQUÊNCIA DIDÁTICA.

UNIFRATESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1

O propósito dessa atividade é verificar se o aluno é capaz de reconhecer e nomear as figuras geométricas e seus elementos por sua aparência, sem necessidade de explicitar as suas propriedades.

UNIFRA TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1

UNIFRA

UNIFRA TESTE DIAGNÓSTICO– Atividade 2TESTE DIAGNÓSTICO– Atividade 2

Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de analisar as figuras geométricas identificando algumas de suas propriedades.

UNIFRA

UNIFRATESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 3TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 3

Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de fazer comparações entre as faces planificadas.

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