Unidade III

Capacitância, Dielétricos e Polarização

Grandeza Unidade Símbolo

Capacitância Faraday F

Constante dielétrica

Sem unidade Sem símbolo

Deslocamento Elétrico

Coulomb/metro²

Elementos básicos de qualquer capacitor: dois

condutores isolados entre si. Seja qual for a forma dos condutores, eles

recebem o nome de placas. Quando um capacitor está carregado, as

placas contêm cargas de mesmo valor absoluto (q) e sinais opostos, +q e –q.

As placas são superfícies equipotenciais.

3.1 Capacitância

A carga e a diferença de potencial V de um capacitor são proporcionais:

C é a capacitância do capacitor.

Usando a lei de Gauss, a carga do capacitor é

A diferença de potencial é

Cálculo da capacitância

É o capacitor de superfícies condutoras e

planas e infinitamente extensas.

3.2 Capacitor de placas paralelas

Formado por dois cilindros coaxiais de raios a

e b.

Capacitor cilíndrico

Formado por duas esferas concêntricas de

raios a e b.

Esfera isolada

Capacitor esférico

Na Figura (a), a chave S é fechada para ligar

um capacitor descarregado de capacitância a uma bateria cuja diferença de potencial é . A placa inferior do capacitor tem uma espessura , uma área e é feita de cobre, material no qual a densidade de elétrons de condução é .De que profundidade no interior da placa os elétrons se movem para a superfície da placa quando o capacitor está totalmente descarregado?

ExemploCarregamento de um capacitor de placas

paralelas

A carga total que se acumula na superfície é

Dividindo este resultado por e, obtemos o número de elétrons de condução na superfície

A densidade de elétrons de condução pode ser escrita na forma

Solução

Quando uma diferença de potencial V é

aplicada a vários capacitores ligados em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os capacitores e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores.

Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais

3.3 Associação de capacitoresCapacitores em Paralelo

Quando uma diferença de potencial V é

aplicada a vários capacitores ligados em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual a diferença de potencial aplicada V.

Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial originais

Capacitores em série

(a) Determine a capacitância equivalente da

combinação de capacitores que aparece na Figura (a), à qual é aplicada uma diferença de potencial V. Os valores das capacitâncias são os seguintes:

(b) A diferença de potencial aplicada aos terminais de entrada da Figura (a) é V=12,5 V. Qual é a carga de ?

ExemploCapacitores em paralelo e em série

(a) Como os capacitores 1 e 2 estão em

paralelos, a capacitância vale

O capacitor 12 está em série com o capacitor 3:

Solução

(b) A carga acumulada nos três capacitores é:

A carga acumulada no capacitor 12 é a mesma do capacitor 3. A diferença de potencial entre as placas do capacitor 12 é:

Os capacitores 1 e 2 têm a mesma diferença de potencial que o capacitor equivalente 12. A carga do capacitor 1 é

O capacitor 1, com , é carregado com uma

diferença de potencial por uma bateria de . A bateria é removida e o capacitor ligado, como na Figura, a um capacitor descarregado 2, com . Quando a chave S é fechada, parte da carga de um dos capacitores é transferida para o outro. Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido.

ExemploUm capacitor carregando outro

capacitor

A carga adquirida pelo capacitor 1

Quando a chave S é fechada

A carga total permanece inalterada

A equação de equilíbrio pode ser escrita como

Solução

A energia potencial do capacitor é:

A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associado ao campo elétrico que existe entre as placas.

A densidade de energia de um capacitor é

3.4 Energia armazenada em um campo elétrico

Uma esfera condutora isolada cujo raio R é

6,85 cm possui uma carga . (a) Qual é a energia potencial armazenada no

campo elétrico desse condutor carregado? (b) Qual é a densidade de energia na

superfície da esfera?

ExemploEnergia potencial e densidade de energia

de um campo elétrico

(a) Utilizando a capacitância de uma esfera

isolada

(b) O valor do campo elétrico é

A densidade de energia vale

Solução

Dielétrico é uma material isolante entre as placas do

capacitor. A capacitância é multiplicada pela constante dielétrica (κ). O dielétrico limita a diferença de potencial a um valor

máximo, conhecido como potencial de ruptura. Acima desse valor, nós temos a passagem de cargas de

uma placa para a outra. A rigidez dielétrica corresponde ao valor máximo do campo

elétrico. Em uma região totalmente preenchida por uma material

dielétrico de constante dielétrica κ, a permissividade dielétrica do vácuo deve ser substituída por em todas as equações.

Capacitor com um Dielétrico

Capacitância

Campo elétrico de uma carga pontual

Campo elétrico de um condutor isolado

Um capacitor de placas paralelas cuja

capacitância C é 13,5 pF é carregado por uma bateria até que a diferença de potencial entre as placas. A bateria é desligada e uma barra de porcelana () é introduzida entre as placas.

(a) Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da barra?

(b) Qual é a energia potencial do conjunto capacitor-barra depois que a barra é introduzida?

ExemploTrabalho e energia quando um dielétrico é introduzido em um

capacitor

(a) A energia potencial do capacitor está

relacionada à capacitância e ao potencial V

(b) Como a bateria foi desligada, a carga do capacitor não pode mudar quando o dielétrico é introduzido. Entretanto o potencial pode mudar

Solução

Dielétricos polares. Os dipolos elétricos

tendem a se alinhar com um campo elétrico externo. O alinhamento não é perfeito, e tende a produzir um campo elétrico no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado.

Dielétrico apolares. Mesmos que não possuam um momento dipolar elétrico permanente, as moléculas adquirem um momento dipolar por indução.

Dielétricos :Uma Visão Atômica

A integral de fluxo envolve o produto , que recebe o nome de deslocamento elétrico, .

A carga q é a carga livre. A carga induzida no dielétrico é ignorada.

Mantemos κ no integrando para incluir casos em que a constante dielétrica não é a mesma em todos os pontos da superfície gaussiana.

Dielétrico e a Lei de Gauss

A Figura mostra um capacitor de placas paralelas de área A e

separação d. Uma diferença de potencial é aplicada entre as placas conectando uma bateria entre elas. A bateria é desconectada, e um dielétrico de largura b e constante dielétrica κ é colocado entre as placas conforme a Figura. Considere , , , e .

(a) Qual é a capacitância antes do dielétrico ser inserido? (b) Qual é a carga livre que aparece nas placas? (c) Qual é o campo elétrico na região entre o dielétrico e as

placas? (d) Qual é o campo elétrico no dielétrico? (e) Qual é a diferença de potencial entre as placas após o

dielétrico ser introduzido? (f) Qual é a capacitância com o dielétrico entre as placas do

capacitor?

ExemploDielétrico parcialmente preenchendo o espaço

em um capacitor

(a) A capacitância de um capacitor de placas

paralelas é dada por

(b) Usando a definição de capacitância

Solução

(c ) Aplicando a lei de Gauss

(d) Aplicando a Lei de Gauss

(e) Calculando V através de um caminho que vai da placa de baixo para a placa de cima

(f) Usando a definição de capacitância