Álgebra unidade iii

8/18/2019 Álgebra Unidade III

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Unidade III

5 ESTRUTURA DE GRUPO

Seja G um conjunto munido de uma operação * (tem de ser binária, isto é, uma regra que fazcorresponder, a cada par de elementos do conjunto G, um único elemento desse mesmo conjunto).Diremos que G tem uma estrutura de grupo ou é um grupo em relação à operação *, ou ainda que(G, *) é um grupo se:

I. a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G;

II. existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:

a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;

III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto é: a´ * a = e = a * a´, paratodo a ∈ G.

Caso as condições anteriores sejam satisfeitas, então (G, *) é um grupo. Em outras palavras, se (G, *)satisfaz as três propriedades anteriores e também atende a seguinte propriedade:

• a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer que sejam a, b ∈ G . Então, (G, *) é umgrupo abeliano ou comutativo.

Lembrete

O termo simétrico pode se referir a nomes diferentes, dependendodo tipo operação que utilizamos. Sendo utilizada a adição usual, o

simétrico aditivo de n ∈ G é denotado por –n e conhecido na literaturacomo oposto , mas se utilizamos a multiplicação usual, o simétricomultiplicativo de n ∈ G é denotado por n–1, conhecido na literaturacomo inverso .

São exemplos de grupo abeliano:

Exemplo 1

Grupo aditivo dos números inteiros (Z, +).


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Exemplo 2

Grupo aditivo dos números racionais (Q, +).

Exemplo 3

Grupo aditivo dos números reais (R, +).

Exemplo 4

Grupo aditivo dos números complexos (C, +).

Exemplo 5

Grupo multiplicativo dos números racionais (sem o zero) (Q*, . ).

Exemplo 6

Grupo multiplicativo dos números reais (sem o zero) (R*, . ).

Exemplo 7

Grupo multiplicativo dos números complexos (sem o zero) (C*, . ).

Exemplo 8

Todos os espaços vetoriais para adição.

Exemplo 9

O conjunto das simetrias de um triângulo equilátero.

Exemplo 10

GLn (R), x, isto é, o conjunto das matrizes reais quadradas (n x n) inversíveis com n > 1, para

multiplicação usual de matrizes.

Contraexemplos, ou melhor, não são grupos abelianos:

• o conjunto dos naturais com operação adição usual (N, +);

• o conjunto dos naturais com operação de potenciação, sendo x* y = xy (N, *);

• o conjunto dos reais com operação de multiplicação (R, x);


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• Mn(R), x, isto é, o conjunto das raízes reais quadradas (n x n) para multiplicação usual de matrizes;

• o conjunto dos números inteiros Z. Este e a operação de multiplicação não formam uma estruturade grupo, pois nenhum número inteiro a, exceto 1 e –1, tem inverso em Z.

Voltando aos exemplos de grupos, como ilustração, provaremos que o conjunto dos númeroscomplexos C, munido da operação de adição, forma uma estrutura de grupo abeliano. Inicialmente,devemos lembrar que um número complexo é representado algebricamente por x = a + bi, em que a eb são números reais e i = −1 .

Voltando a abordar os exemplos sobre grupos, verifiquemos se o conjunto dos números complexoscom a operação de adição (C, +) é um grupo abeliano. Para tanto, vamos ver quais as propriedadesválidas para que os complexos sejam tal grupo. Vamos lá:

I. a operação de multiplicação é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejamx, y, z ∈ C.

Para verificar a validade da propriedade associativa, vamos definir três números complexos: x = a +bi; y = c + di; z = e + . Substituindo, temos:

• x * (y * z) = (x * y) * z

• x * (c + di + e + ) = (a + bi + c + di) * z

• a + bi + (c + di + e + ) = (a + bi + c + di) + e +

• a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i

Há, portanto, atendimento à propriedade associativa.

II. Existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:

x * e = x = e * x, para todo x ∈ A;

Então, temos, por um lado:

i)

x * e = x

a + bi + e = a + bi

e = a + bi – (a + bi)


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e = 0

e, por outro lado:

ii)

e * x = x

e + a + bi = a + bi

e = a + bi – (a + bi)

e = 0

Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é o número 0 (zero).

Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é:

x´ * x = e = x * x´, para todo x ∈ C.

Por um lado, temos:

i)

x´ * x = e

x´ + a + bi = 0

x´ = – a – bi + 0

x´ = – a – bi

Por outro lado, temos:

ii)

x * x´ = e

a + bi + x´ = 0

x´ = – a – bi + 0

x´ = – a – bi


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Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é x´ = – a – bi.

A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x para quaisquer que sejam x, y ∈ C.

• x * y = y * x

• a + bi + c + di = c + di + a + bi

• a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i

Portanto, vale a propriedade associativa. Podemos concluir, então, que (C, +) é um grupo abeliano.

Você encontrará, em seus estudos, várias simplificações de notação. Desse modo, ao invés do grupoG com a operação estrela (G*), muitos autores dizem apenas grupo G quando não existe ambiguidadeno que se refere à operação considerada. Geralmente, quando falamos da operação de multiplicação,

substitui‑se x*y por x . y ou ainda xy. Nessa operação, o inverso de cada elemento x será x–1.

O elemento neutro de um grupo G, genericamente falando, é denotado por e . Quando trabalhamoscom a operação aditiva, se temos um grupo abeliano, o elemento neutro é simbolizado por 0 e o inversoé genericamente chamado de elemento simétrico do elemento x e representado por –x.

Apresentaremos agora algumas propriedades básicas de um grupo G, usando a notação damultiplicação entre elementos.

Se x e y são elementos de G, então, o inverso de xy, isto é, (xy)–1 é dado por: (xy)–1 = y–1 x–1. Comoconsequência, temos a propriedade aplicada à multiplicação de matrizes n x n: (AB)–1 = B–1 A–1.

Outra propriedade diz respeito à lei de cancelamento. Se x e y são elementos de um grupo G, então,

xy = xz ⇒ y = z → lei de cancelamento à esquerda

yx = zx ⇒ y = z → lei de cancelamento à direita.

Essa propriedade é importante na multiplicação de matrizes, na qual, geralmente, AB ≠ BA, mas vale

a lei do cancelamento.

Se temos uma expressão do tipo: XA = B, em que X, A e B são matrizes n x n e A admite inversa (A–1), paradeterminarmos a matriz X, usamos a lei do cancelamento à direita, isto é, multiplicamos a expressão XA = Bpor A–1 pela direita, obtendo XAA–1 = BA–1 ⇒ XI = BA–1 ⇒ X = BA–1, em que I é a matriz identidade de ordem n.

A lei geral de associatividade é provada por indução (veja observação a seguir).

Consideremos um conjunto finito de elementos x1, x

2, ..., x

n de um grupo G. Podemos combinar,

usando a operação de multiplicação, de diversas formas diferentes, quaisquer que sejam, e obteremossempre o mesmo resultado.


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Exemplos:

1) Para todo n ∈ N, o conjunto dos múltiplos de n é um subgrupo de (Z, +), ou seja, nZ = {nx / x ∈ Z}.

2) Todos os conjuntos de raízes de índice n > 1 são subgrupos de C – {0}.

3) Sejam H1, H

2, ..., H

n subgrupos de G. Então, H = H

1 ∩ H

2 ∩ ... ∩ H

n é um subgrupo de G.

4) Seja G o conjunto de todas as retas do plano com coeficiente angular não nulo. G = {f: R → R /f(x) = ax + b, a ≠ 0 e a, b ∈ R} é um grupo com a operação composição de funções . TomemosH como sendo o conjunto das retas do plano com coeficiente angular igual a 1, isto é, H = {f : R→ R / f(x) = 1x + b; b ∈ R}. Então, H é subgrupo de G.

5.2 Semigrupo

Um semigrupo é um conjunto S com uma operação binária2, na qual se verificam as seguintespropriedades:

a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * b ∈ S), que é denominadapropriedade de fechamento.

b) Para qualquer a, b, c, ∈ S, temos: (a*b)* c = a* (b*c) = a* b* c, que é denominada propriedadeassociativa.

Exemplo:

O conjunto S = {2n / n ∈ N*}, conjunto dos números pares sem o zero, é um semigrupo comutativoem relação à multiplicação.

Nenhuma outra restrição é colocada com relação a um semigrupo. Sendo assim, não é necessário seter um elemento neutro. Logo, um conjunto que é fechado para uma determinada operação, que possuipropriedade associativa, é um semigrupo, que, com um elemento neutro, será chamado de monoide,como veremos a seguir.

5.3 Monoide

Um monoide é um semigrupo com elemento neutro. Dizemos que M é um monoide comutativo se(M,*) for comutativo.

2

Dado um conjunto B não vazio, uma função *: B × B→

B é chamada de operação binária sobre o conjunto B,definindo, assim, uma estrutura algébrica [B,*].


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Exemplos:

1) as operações de multiplicações sobre os naturais;

2) as operações de multiplicações sobre os inteiros;

3) as operações de multiplicações sobre os racionais;

4) as operações de multiplicações sobre os reais.

Observação

Seja (N*, *), que corresponde ao conjunto dos números naturais semo zero com a operação estrela. Definimos * da seguinte forma: dadosa, b ∈ N, a* b = ab, é definida a propriedade de potenciação sobre osnaturais sem o zero, que não é associativa, nem comutativa, nem possuielemento neutro.

6 ANÉIS E CORPOS

Enunciaremos, a seguir, as propriedades que deverão ser satisfeitas para que um conjunto munidode duas operações (em particular nos restringiremos à adição e à multiplicação) tenha uma estruturade anel. Buscaremos apresentar tais propriedades de forma mais objetiva para favorecer a compreensãodessa estrutura.

Por meio da extensão das propriedades de anel para anel com unidade, anel comutativo e domínio deintegridade, definiremos uma estrutura de corpo, de modo que, a cada nova estrutura, serão satisfeitas,além das propriedades anteriores, mais algumas novas propriedades.

Seja A um conjunto não vazio, no qual estejam definidas duas operações: adição emultiplicação. Chamaremos (A, +, .) de anel se as seguintes propriedades forem verificadas para

quaisquer a, b, c ∈ A:

I. associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;

II. existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição, isto é: a + 0 = a = 0 + a;

III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por -a para a adição, isto é: -a + a = 0 = a+ (-a), para todo a ∈ A;

IV. comutativa da adição: a + b = b + a;


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V. associativa da multiplicação: a.(b.c) = (a.b)c;

VI. distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): a.(b + c) = a.b + a.c;(a + b).c = a.c + b.c.

Se forem satisfeitas as propriedades anteriores, diremos que A, munido das operações de adição emultiplicação, forma uma estrutura de anel, ou simplesmente que (A, +, .) é um anel.

6.1 Anel com identidade

Se um anel satisfizer a propriedade:

• existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1. a, para qualquer a ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anelcom unidade ou anel com identidade.

6.2 Anel comutativo


• a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, –, .) é um anel comutativo.

6.3 Domínio de integridade


• a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel sem divisoresde zero.

Se (A, +, .) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é umdomínio de integridade.

6.4 Corpo

Finalmente, se um domínio de integridade (A, +, .) satisfaz a propriedade:

• para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a. b = b. a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo ou que tem uma estrutura de corpo, pois este possui um elemento inverso com relação àmultiplicação.

Vejamos agora alguns exemplos das estruturas definidas anteriormente.

Exemplo 1

Anel comutativo dos números inteiros (Z, +,. ).


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Exemplo 2

Anel comutativo dos números racionais (Q, +,. ).

Exemplo 3

Anel comutativo dos números reais (R, +, .).

Exemplo 4

Anel comutativo dos números complexos (C, +, .).

Exemplo 5

Todos os anéis numéricos Z, Q, R e C são anéis de integridade ou domínios de integridade.

Observe que todos os exemplos citados são anéis, anéis com unidade, anéis comutativos e domíniosde integridade.

Exemplo 6

O conjunto Q dos números racionais, com as operaçõesp

q

p

q

pq p q

qq+ =

+‘‘

‘ ‘

‘ e

p

q

p

q+

‘

‘. A igualdade

p

q

p

q pq p q= ↔ =

‘

‘ ‘ ‘ .

O simétrico dep

q é −

p

q.

O zero é0

q, para q ≠ 0; o inverso do número racional

p

q ≠ 0 é

q

p.

Exemplo 7

Tomemos A Ma a

a aa a a a= =

∈

211 12

21 2211 12 21 22( ) / , , , , o conjunto das matrizes (2 x 2) com

termos reais.

Definindo-se para todas asa a

a a

b b

b bA

11 12

21 22

11 12

21 22

∈, , a soma e o produto, respectivamente por:

a a

a a

b b

b b

a b a b

a b11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 12

21 2

+

= + +

+ 11 22 22a b

+


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e

a a

a a

b b

b b

a b a b a b11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 12 11 12

⋅

=

+ + aa ba b a b a b a b

12 22

21 11 22 21 21 12 22 22+ +

,

temos (M2 (R); +, .) o denominado anel das (2 x 2) – matrizes reais.

Exemplo 8

Corpo dos números reais (R, +, .).

Exemplo 9

O corpo Z2 ={0, 1}, formado apenas por dois elementos distintos 0 e 1, com as operações 0 + 1 = 1+ 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0.0 = 0.1 = 1.0 = 0 e 1.1 = 1. Aqui, o simétrico de cada elemento é ele próprio(e o inverso também).

Exemplo 10

No conjunto Q(t), das funções racionais r tp t

q t( ) =

( )( )

, em que p e q são polinômios com coeficientes

racionais, sendo q não identicamente nulo, tem-sep t

q t

p t u t

q t u t

( )

( ) =

( ) ( )

( ) ( )

.

..

As operações em Q(t) são definidas de maneira usual.

Exemplo 11

Para este exemplo, retomaremos o conceito de congruência módulo m. Dizemos que a é congruentea b módulo m, isto é, a ≡ b(mod m), se existir um inteiro k, tal que a = b + km. Note que b equivaleao resto da divisão de a por m. Com esse conceito, podemos definir Z / 〈m〉 como sendo o conjuntoformado pelos restos da divisão de um número inteiro por m. Desse modo, temos Z / 〈4〉 = {0, 1, 2, 3},

visto que o menor resto de uma divisão por 4 é 0 e o maior possível é 3.

O conjunto Z / 〈4〉, com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈4〉, +, .) é um exemplode um anel que não é domínio de integridade, que, por sua vez, não pode ser um corpo. Lembrandoque, para ser domínio de integridade, é preciso satisfazer a condição: a . b = 0 → a = 0 ou b =0, para quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈m〉, para m não primo.Avaliando a tabela multiplicativa, em seguida, você pode ver que 2 • 2 = 0 e, como 2 ≠ 0, Z / 〈4〉 nãoé domínio de integridade.

A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈4〉, nas quais aparecem apenas os restos dasdivisões de qualquer número inteiro por 4.


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Tabela 4 Tabela 5

+ 0 1 2 3 • 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

As operações dos elementos de Z / 〈4〉 são feitas da seguinte maneira:

Adição:

Tomamos como exemplo a operação entre o número 7 e o número 5. O resto da divisão de 7 por 4resulta em 3, que é o que aparece na parte azul da tabela, e o resto da divisão de 5 por 4 resulta em 1,

que também aparece na parte azul da tabela. A soma dos restos resulta em 4, que, dividido por 4, temcomo resultado resto 0. Ao cruzarmos os valores em azul da tabela, 3 com 1, temos, então, resultado 0.Logo, basta operarmos com os restos de dois números para sabermos o resultado do resto da soma, nãosendo necessário somar os dois números em si.

Apresentamos, em seguida, outro exemplo, agora buscando o resto da divisão da soma dos números(125 e 87) por 4.

125 → Resto = 1

87 → Resto = 3

Somando os restos:

1 + 3 = 4 → Resto = 0

Logo, a soma dos restos da divisão de 128 e 87 por 4 resulta em um resto igual a 0. Na tabela, podemosver esse resultado, ao cruzar, na parte em azul, o número 3 com o número 1. Se considerarmos 125 + 87 =212, ao dividirmos por 4, obteremos também resto 0, o que ilustra que podemos trabalhar com a soma do

resto de cada número individualmente, em vez de operarmos com o resultado da soma dos números em si.

Multiplicação:

Tomamos como exemplo a operação entre o número 9 e o número 11. Faremos da mesma maneiraque na adição, só que agora considerando o produto entre os restos da divisão desses dois números pelonúmero 4.

9 → Resto = 1

11 → Resto = 3


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Multiplicando os restos: 1 x 3 = 3. Nesse caso, ao dividirmos 3 por 4, obteremos 0 no quociente eresto 3, que é o valor que vemos na tabela, ao cruzarmos, em vermelho, os números 1 e 3. Observe que,se multiplicarmos 9 x 11 = 99, em que 99= 4 x 24 + 3, isto é, o resto também é 3. Isso ilustra também,assim como no caso da adição, que não precisamos trabalhar com os números em si para a realizaçãode tais operações, mas apenas com seus restos.

Exemplo 12

O conjunto Z / 〈5〉 , com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈5〉, +, .) é um exemplo de um anelque, mais do que ser domínio de integridade, é um corpo, pois obedece a condição: a. b = 0 → a = 0 ou b = 0, paraquaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de Z / 〈p〉, para p primo.

A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos dasdivisões de qualquer número inteiro por 5.

Tabela 6 Tabela 7

+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

As operações são efetuadas como no exemplo anterior, com o resto da divisão de cada elemento.O que vemos de diferente nesse último caso, e que se estende para todos os Z / 〈p〉, com p primo, éque, na operação de multiplicação, jamais ocorrerá a . b = 0 sem que tenhamos ou a = 0 ou b = 0. Essapropriedade faz com que o conjunto dos Z / 〈p〉 faça parte das estruturas de corpos.

Exemplo 13

Vejamos agora o corpo dos números complexos. Vamos verificar cada uma das propriedades decorpo para esse conjunto.

A operação * é associativa, isto é: x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam x, y, z ∈ C. Para verificara sua validade, vamos denir três números complexos: x = a + bi; y = c + di; z = e + .

• x * (y * z) = (x * y) * z

• x * (c + di + e + ) = (a + bi + c + di) * z

• a + bi + (c + di + e + ) = (a + bi + c + di) + e +

• a + c + e + (b + d + f)i = a + c + e + (b + d + f)i


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Portanto, satisfaz a propriedade associativa. Existe, em, A o elemento neutro e para a operação *, istoé: x * e = x = e * x, para todo x ∈ C.

Por um lado temos:

i) x * e = x

a + bi + e = a + bi

e = a + bi – (a + bi)

e = 0

Por outro lado, temos:

ii) e * x = x

e + a + bi = a + bi

e = a + bi – (a + bi)

e = 0

Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é número 0.

Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é: x´ * x = e = x * x´ para todo x ∈ C.Por um lado, temos:

x´ * x = e

x´ + a + bi = 0

x´ = – a – bi + 0

x´ = – a – bi

e, por outro lado:

x * x´= e

a + bi + x´ = 0

x´ = – a – bi + 0

x´ = – a – bi


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Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que éx´ = – a – bi.

A operação * é comutativa, isto é: x * y = y * x, quaisquer que sejam x, y ∈ C.

• x * y = y * x

• a + bi + c + di = c + di + a + bi

• a + c + (b + d)i = a + c + (b + d)i

Até aqui, mostramos que C é um grupo comutativo em relação à adição.

Associativa da multiplicação: x. (y. z) = (x. y)z:

• x. (y. z) = (x. y)z

• (a + bi) [(c + di)(e + )] = [(a + bi)(c + di)] (e + )

• (a + bi)(ce + c + dei – df)=(ac + adi + bci – bd)(e + )

• ace + ac + adei – adf + bcei – bcf – bde – bd = ace + adei + bcei – bde + ac – adf – bcf – bd

• ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i = ace – adf – bcf – bde + (acf + ade + bce – bdf)i

Portanto, vale a associativa na multiplicação.

Distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): x . (y + z) = x.y + x.z (esquerda):

• (a + bi)(c + di + e + ) = (a + bi)(c + di) + (a + bi)(e + )

• (a + bi)(c + e + di + ) = ac + adi + bci – bd + ae + a + bei – bf

• ac + ae – bd – bf + (ad + af + bc + be)i = ac + ae – bf – bd + (ad + bc + af + be)i

Portanto, vale a distributiva à esquerda.

Vamos, agora, verificar a propriedade distributiva da multiplicação à direita, isto é:

• (x + y). z = x . z + y. z (direita)

• (a + bi + c + di)(e + ) = (a + bi)(e + )+(c + di)(e + )

• ae + bei + ce + dei + a – bf + c – df = ae + a + bei – bf + ce + c + dei ‑ df

• ae + ce – bf – df + (be + de + af + cf)i = ae + ce – bf – df + (af + be + cf + de)i


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Portanto, vale a distributiva à direita.

Mostramos até aqui que (C, +,.) é um anel.

Existe 1 ∈ A, 0≠1, tal que x . 1 = x = 1. x para qualquer x ∈ C:

• (a + bi)1= a + bi = 1 (a + bi)

Portanto, (C, +, .) é um anel com unidade.

x . y = y . x para quaisquer a, b ∈ A:

• (a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)

• ac + adi + bci – bd = ac + cbi + adi – bd

• ac – bd + (ad + bc)i = ac – bd+(ad + cb)i

Portanto, (C, +,.) é um anel comutativo.

x . y = 0 → x = 0 ou y = 0 para quaisquer x, y ∈ C.

0 . (c + di) = 0c + 0di = 0 (a + bi) . 0 = a0 + 0bi = 0.

Essa propriedade é validada imediatamente, já que a e b são números reais.

Portanto, (C, +,.) é um domínio de integridade.

Para qualquer x ∈ C, x ≠ 0, existe x` ∈ C, tal que x . x´ = x´. x = 1.

a bi a b i a b ia bi a bi

a bi

a bi

a bi+( ) +( ) = + =

+ →

+

−−

=

−’ ’ ’ ’

1 1

aa b2 2+

a b ia

a b

b

a bi’ ’+ =

+ −

+2 2 2 2

Mostramos, assim, que (C, +, .) é um corpo, ou seja, o conjunto dos números complexos, munido daadição e da multiplicação, forma uma estrutura de corpo.

Retomando conceitos:

Para termos um corpo, precisamos de um anel (A), conjunto não vazio, em que estejam definidasduas operações (adição e multiplicação) e se verifiquem as propriedades: associativa (para a adição


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e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição), e,além disso, que admita um único elemento neutro (para adição) e simétrico (para multiplicação).Se existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1 . a, para qualquer a ∈ A, temos um anel com unidade.Se tivermos um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, dizemos ter um domínio deintegridade. Finalmente, se dado um domínio de integridade (A, +, .), tal que, para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, e a . b = b . a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo, ou que (A, +, .) tem umaestrutura de corpo, pois possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Anéis

Anéis com identidade

Anéis comutativos com identidade

Domínios de integridade

(n não primo)

CorposQRC, Z / 〈p〉 (p primo)

M, (Z)

Z / 〈n〉

Z

Figura 20

Nessa representação, temos bem clara a divisão das estruturas, vemos os corpos fazendo parte dodomínio de integridade. Podemos ver que fazem parte dos corpos os conjuntos dos números reais,racionais e complexos, mas também faz parte o Z 〈p〉 com p primo, pois, como vimos, esse conjuntocorresponde ao resto da divisão de dados números por p . Contudo, como vimos no exemplo de Z / 〈5〉,que é primo, ao efetuarmos a operação de multiplicação de dois elementos desse conjunto, tal quea . b = 0, isso só ocorre quando a = 0 ou b = 0, o que situa esse conjunto na estrutura domíniosde integridade . Finalmente, o que o enquadra nos corpos é o fato de que, nesse conjunto, existemelementos a e b, tal que ab = ba = 1, ou seja, o elemento possui um inverso.

O domínio de integridade faz parte dos anéis comutativos com identidade, e vemos inserido nessaestrutura o conjunto dos números inteiros Z, o qual obedece a condição de que a . b = 0 só ocorrequando a = 0 ou b = 0. Entretanto, o fato de não haver dois elementos no conjunto dos númerosinteiros, tal que ab = ba = 1 (pois para satisfazer essa relação, b teria de ser o inverso de a, e o inversode um número inteiro não é um número inteiro) faz com que os números inteiros não estejam inseridosna estrutura de um corpo.

Os anéis comutativos com identidade fazem parte dos anéis com identidade, diferenciando-se pelo

fato de, nessa estrutura, a operação de multiplicação obedecer a condição de comutação (ab = ba).


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ÁLGEBRA

Temos na figura, nessa estrutura, o conjunto Z / 〈n〉 para n não primo, pois, como vimos em Z / 〈4〉, essecaso não obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre quando a = 0 ou b = 0, pois para a = 2 e b = 2,obtivemos um resultado 0.

Os anéis com identidade fazem parte dos anéis, diferenciando-se apenas no fato de que, nessaestrutura, o conjunto deve ter um termo neutro. Vemos, nessa estrutura, o conjunto formado pormatrizes quadradas (ordem n), no qual sabemos que o termo neutro de uma matriz quadrada é amatriz identidade. Contudo, as matrizes não se encaixam nos anéis comutativos com identidade, pois amultiplicação destas não obedece a lei de comutação.

Por fim, temos os anéis, que devem ter definidas as operações de adição e multiplicação com aspropriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (damultiplicação em relação à adição), mas não precisa necessariamente satisfazer as condições das outrasestruturas. Um exemplo de anéis que não se encaixam nas outras estruturas são matrizes retangulares,

em que não há um termo neutro para multiplicação, isto é, não conseguimos construir uma matrizidentidade se a matriz não for quadrada.

Resumo

Nesta unidade estudamos e retomamos os principais conceitos deestruturas algébricas de grupos, corpos e anéis.

Quanto às principais características de um grupo, vimos que umconjunto G é um grupo, em relação a uma operação * ou (G*), se:

1) a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquerque sejam a, b, c ∈ G;

2) existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:

a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;

3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, istoé: a´ * a = e = a * a´, para todo a ∈ G.

Se, além disso, a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquerque sejam a, b ∈ G, então (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo.

Lembrando de que conceito de subgrupo, dado H, H ≠ ∅, um subconjuntode G, H será subgrupo se, e somente se:

a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H; isto é,para todo x, y ∈ H, temos xy ∈ H;


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b) o elemento neutro pertencer a H;

c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, paratodo x ∈ H, temos x–1 ∈ H.

Lembremos ainda do conceito de semigrupo: um conjunto S com umaoperação binária, em que se verificam as seguintes propriedades:

a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a *b ∈ S), que é denominada propriedade de fechamento.

b) Para qualquer a, b, c ∈ S, temos: (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c, queé denominada propriedade associativa.

Dentro da classificação de semigrupos, vale lembrarmos ainda domonoide, que é um semigrupo com elemento neutro.

Relembremos, agora, as principais características e propriedadesde um anel. Seja A um conjunto não vazio no qual estejam definidasduas operações: adição e multiplicação. Chamaremos (A, +, .) a umanel se as seguintes propriedades forem verificadas para quaisquera, b, c ∈ A:

1) associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;

2) existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição +, isto é: a + 0 = a =0 + a;

3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por – a para aadição, isto é: – a + a = 0 = a + (– a), para todo a ∈ A;

4) comutativa da adição: a + b = b + a;

5) associativa da multiplicação: a . (b.c) = (a.b) . c;

6) distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita):a . (b + c) = a . b + a . c; (a + b) . c = a . c + b . c.

Teremos um anel com identidade se, além das propriedades de umanel, ainda for satisfeita a propriedade: existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a. 1 =a = 1. a, para qualquer a ∈ A.

Será um anel comutativo se, além das anteriores, ainda satisfizer apropriedade: a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A.


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Será um domínio de integridade se, além de tudo, ainda satisfizer estapropriedade: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A.

Teremos um corpo se um domínio de integridade satisfizer a propriedade:para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a . b = b . a = 1.

Exercícios

Questão 1. As afirmações a seguir são de estrutura de grupo, anéis e corpos.

I. O subconjunto H = { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z5, +).

II. O subconjunto H = { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z6, +).

III. 3Z = {3x ; x ∈ Z} é subanel do anel (Z, +, • ).

IV. O anel ( Z7,+,

• ) não é um anel de integridade.

Assinale a alternativa com os itens incorretos:

A) I.

B) II.

C) I e III.

D) II e IV.

E) III e IV.

Resposta correta: alternativa D.

Análise das afirmativas

I – Afirmativa correta.

Justificativa: o subconjunto H = { , , }0 2 4 não é um subgrupo do grupo (Z5,+), pois, por exemplo,

2 4 1+ = ∉H (resto da divisão por 5).

II – Afirmativa incorreta.

Justificativa: o subconjunto H = { , , }0 2 4 é um subgrupo do grupo (Z6

,+), pois a soma de quaisquerdois dos elementos de H é também um elemento de H.


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0 0 0

0 2 2 0 2

0 4 4 0 4

2 2 4

+ = ∈

+ = + = ∈

+ = + = ∈

+ = ∈

H

H

H

H2 4 4 2 0+ = + = ∈H (resto da divisão por 6).

4 4 2+ = ∈H (resto da divisão por 6).

III – Afirmativa correta.

Justificativa: 3Z = {3x ; x ∈ Z} é um subanel do anel (Z, +, • ), pois ∀ 3x, 3y ∈ 3Z, tem-se:

• 3x + (–3y) = 3x – 3y = 0 ∈ 3Z (–3y é o simétrico aditivo de 3y).

• 3x . (3y) = 3 . 3 . x . y = 3 . (3xy), e como “3xy” é um número inteiro, 3 . (3xy) ∈ 3Z.

IV – Afirmativa incorreta.

Justificativa: o anel ( Z7,+,

• ) é um anel de integridade, pois a adição é associativa, é comutativa,

admite elemento neutro, e todo elemento de 7 tem simétrico aditivo. A multiplicação é associativa, écomutativa, admite elemento neutro e é distributiva em relação à adição. Se x ⨂ y = 0

A, então, ou

x = 0A ou y = 0

A.

Questão 2. (ENADE 2005, Matemática) A respeito da solução de equações em estruturas algébricas,assinale a opção incorreta.

A) Em um grupo (G, •) , a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G .

B) Em um anel (A, +, •) , a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.

C) Em um anel (A, +, •) , a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.

D) Em um corpo (K, +, •) , a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a ≠ 0 .

E) Em um corpo (K, +, •) , a equação a•X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes aK, a ≠ 0 .

Resolução desta questão na plataforma.

Álgebra unidade iii

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