resumo iii unidade - linear algebra

Resumo de Álgera Linear III unidade

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I. Produto interno:

É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação

“pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois

vetores, v e w, por .

Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja

interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:

Para vetores e :

a) ;

b) ;

c) ;

d)

.

Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o

produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I.

Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é

.

II. Módulo de um vetor:

Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟

dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado

produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos

internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco.

O módulo de um vetor é definido como: (pela propriedade „d‟ do

produto interno, temos a garantia de que ).

III. Ângulo entre dois vetores:

Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em

questão. Sabe-se da Geometria Analítica que:

Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto:

IV. Ortogonalidade de vetores:

Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai

depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno

entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se:


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IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si.

É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas.

Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo.

V. Normalização de vetores:

Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se

trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um.

Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja um vetor

não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é:

.

IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados.

IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e

NORMAL.

VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt):

Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de

vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores

ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto

interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor ,

ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia:

Vetorialmente:

;

E, pela figura: assim como .

O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até

dimensões.

Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal

. A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então:

Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele,

obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do da figura).


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Ex.: Seja uma base, ache uma base ortogonal a partir dela:

Primeira coisa a se fazer é escolher um vetor qualquer de para ser o primeiro vetor da base

ortogonal. Por fim, utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para se obter os demais vetores.

Fazendo :

:

:

Portanto, a base

é uma base ortogonal (VERIFIQUE a

ortogonalidade dois-a-dois vetores (produto interno entre eles igual a zero)).

Obs.: Daí se tira o passo-a-passo para se obter uma base ortogonal:

1) Acha-se uma base qualquer (I unidade);

2) Utiliza-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt;

3) CASO você queria uma base ORTONORMAL, basta normalizar os vetores da base

ortogonal encontrada.

VII. Coordenadas:

Foi visto que para se determinar as coordenadas de um vetor é necessário fazer uma

combinação linear e resolver um sistema (o que pode ser, convenhamos, bastante trabalhoso).

Uma das vantagens de se trabalhar com uma base ortogonal (e mais ainda se for ortonormal) é

que as coordenadas podem ser obtidas de uma forma mais direta.

Seja o vetor com coordenadas, em relação a uma base qualquer ,

, a i-ésima coordenada (é preciso entender que, ao se falar de i-ésima, estamos

falando de algo que é obtido trocando o „i‟ pela ordenação. Por exemplo, a primeira coordenada é


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quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por

diante) é obtida através da „fórmula‟:

E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor em relação ao vetor ‟.

Ex.: Quais as coordenadas do vetor em relação à base

?

A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no

método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico.

Analisando os vetores aos pares:

i) . Os vetores são ortogonais entre si.

ii) . Os vetores são ortogonais.

iii) . Os vetores são ortogonais.

Então a base é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção

das coordenadas.

i) A primeira coordenada:

ii) A segunda coordenada:

iii) A terceira coordenada:

Logo, um vetor qualquer tem coordenadas em relação à base :

IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em

questão é ortogonal (ou ortonormal).

Obs.: Se a base for ortonormal, repare que para qualquer , portanto a

coordenada se resume a .


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VIII. Complemento ortogonal de um subespaço:

Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento

dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores

ortogonais aos vetores do subespaço .

Ou seja:

Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado

por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de .

Resumidamente:

Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence

tanto a quanto a . Portanto .

Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de . Dizemos portanto

que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante

pois nos garante que e, sendo base de e base de ,

podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem

ortogonais/ortonormais, também será).

Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um

subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de :

1) Determinar o subespaço e uma base dele;

2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é

simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a

todos os vetores da base de ;

3) Fazer a condição de .

Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e

, determine:

a) O complemento ortogonal de .

b) Uma base de .

c) Uma base de V.

Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior:

a) Passo-a-passo do complemento ortogonal:

1) já está determinado, falta achar uma base:

O vetor na forma mais geral é

.

Separando as „letras‟:

.

Colocando em „evidência‟:

.

Como

e

são LI, formam uma base de .


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2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada

anteriormente, portanto, seja

um vetor qualquer de :

, logo: .

, logo .

3)

.

b) Passo-a-passo para achar uma base:

O vetor na forma mais geral é

.

Separando as „letras‟:

.

Colocando em „evidência‟:

.

Como

e

são LI, formam uma base de .

c) Como a soma direta de e de resultam em , uma base de é a união das bases de

e .

IX. Operador linear auto-adjunto:

Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma

base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica (como se tivesse um espelho

na diagonal principal), isto é:

A definição é que, sejam vetores e será um auto-operador se, e somente se:

Ex.: Seja , o operador

definido por:

E o produto interno usual, diga se é auto-adjunto.

A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo

de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim,

normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o sem restrições, a base canônica

já é ortonormal.

Agora é achar a matriz da transformação linear:

i) ;


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ii) ;

iii) .

Lembrando que . Então:

que é uma matriz simétrica (números coloridos).

Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é

simétrica, o operador é auto-adjunto.

Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de

autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados

como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais,

bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é

garantia que se pode diagonalizar este operador.

Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto:

1) Determinar uma base ortonormal;

2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base;

3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta.

X. Operador (e matriz) ortogonal:

Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja:

Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja:

Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal:

i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação.

Ou seja:

ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal)

formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo:

Seja uma base ortonormal.

Seja

, se forem tomados os vetores

, eles formam uma base ortonormal

(VERIFIQUE).


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Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as

condições anteriores).

Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal

(utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis:

i) Se você tem a matriz:

a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter

uma através desta primeira);

b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno

usual.

ii) Se você tem a transformação linear definida:

a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja,

se .

Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal:

Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com

relação ao produto escalar.

i) Coluna 1: ;

ii) Coluna 2: ;

iii) Coluna 3: .

Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si:

i) Colunas 1 e 2:

;

ii) Colunas 1 e 3: ;

iii) Colunas 2 e 3: .

Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar,

então a matriz é ortogonal.

IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE

ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL.

Ex².: Seja

com produto interno usual onde . Diga se T é

ortogonal.

Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do

vetor é preservado:


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Como , temos que é um operador ortogonal.

XI. Projeção ortogonal:

A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um

subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de

um em outro).

Para ter uma noção geométrica, imagine o e um subespaço dele, um plano que passa

pela origem .

Na figura a seguir um vetor (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul)

sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais

sentido tentar uma visualização geométrica.

A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo:

Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor

associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um

autovetor associado ao autovalor 1”).

A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de

um vetor de em ) é o vetor nulo:

Seja , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao

autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor

associado ao autovalor 0”);

IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor em um

subespaço :

a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ;


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b) Calcula a projeção pela fórmula:

, onde:

Projeção do vetor sobre o subespaço ;

Base ortogonal (ou ortonormal) de .

Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais

geral no lugar de .

Ex.: Seja , ache

e depois ache .

Aplicando o passo-a-passo:

a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas):

i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ;

ii) “Separando por letras”: (já está separado);

iii) Colocando em evidência:

Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é

único é ortogonal);

iv) Normalizando:

;

v)

é base ortonormal de .

b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso,

e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada,

:

.

c) Substituindo por :

Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido

(repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor .

XII. Reflexão:

Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço

funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo.

A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em (de

vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta.


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A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. .

Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor . A

reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto.

. Então os vetores de são autovetores associados ao autovalor .

IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço :

a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço;

b) Aplicar a “fórmula”: ;

A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado para dar a ideia

geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço).

Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal

(verde projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por

soma vetorial:

Além de:

Substituindo a primeira igualdade na segunda:

IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der

preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a

reflexão de um subespaço em um subespaço :

a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ;

b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ;

c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas;

d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os

coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das

entradas do vetor mais geral);

e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear;

Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar

no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral.

Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P).


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Ex.: Seja , ache

e depois ache .

PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO:

Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é:

Aplicando a fórmula:

Para o vetor específico (4,-2):

PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO:

a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço :

Como a condição já está dada, os vetores de são da forma , então

é base ortogonal de .

b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço :

é base ortogonal de (VERIFIQUE).

c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas:

é base ortogonal de .

d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os

coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das

entradas do vetor mais geral):

O vetor que queremos é o mais geral de , :

Daí tiramos o sistema:

Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor

( ), portanto eles devem ser isolados.Isolando e :


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e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear:

Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide

resumo da 2ª unidade):

Substituindo os valores de e :

Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao

seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ),

portanto:

Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um

subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor

), portanto:

Então temos no fim que:

Para o vetor específico (4,-2):

XIII. Cônicas:

Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação:

E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde

a matriz é:

Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:

Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de

(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto

admite uma base de autovetores ortonormais.


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Rotação:

As cônicas podem ser “desenhadas” no plano . O que chamamos de termo cruzado é o

termo que multiplica ao mesmo tempo e . No caso apresentado, é o termo . O termo cruzado

está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar

esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base

ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte

forma:

Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a

forma canônica da cônica:

Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir e e, assim,

toda a forma canônica.

Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do

plano). Esses dois autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a

mudança de coordenadas de para :

Temos então que:

Obs.: Note que não muda com a mudança de base.

A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores:

Translação:

Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então

recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2).

Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a

origem coincida com o centro da cônica.

IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é:

a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão

a nova base ortonormal);

b) Determinar e ;

c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica.


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Ex.: Considere a cônica .

a) Escreva a equação da cônica na forma matricial.

b) Determine uma base ortonormal de de forma que a equação com novas coordenadas

nesta base não tenha termo misto (cruzado). Escreva esta nova equação explicitamente e

classifique a cônica.

a) Basta determinar as correspondências dos termos, lembrando que:

Temos então que:

Portanto, na forma matricial:

b) A base ortonormal que elimina o termo cruzado é a base de autovetores normalizados:

# Achando os autovalores:

Os autovalores são as raízes do polinômio característico (vide resumo da 2ª unidade):

# Achando os autovetores associados a cada autovalor (vide resumo da 2ª unidade

para entender os passos):

Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é

.

Normalizando para a forma :

Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é

.


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Normalizando para a forma :

A base ortonormal que elimina o termo cruzado é:

# Determinando e :

Lembrar que:

Fazendo as equivalências:

E portanto:

# Determinando a nova forma matricial da cônica:

Lembrar que:


# Determinando a nova forma canônica da cônica:

Lembrar que:


E não há necessidade de fazer translação.

# Classificando a cônica:

Logo, a cônica é uma parábola.

A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão.

A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de

roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos

eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo .


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XIV. Quádricas:

As quádricas são semelhantes às cônicas, mas são superfícies, ou seja, são

tridimensionais. Tudo o que se aplica nas cônicas, aplica-se nas quádricas.

Elas são da forma:

E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto,

onde a matriz é:

Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:

Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de

(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto

admite uma base de autovetores ortonormais.

Rotação:

As quádricas podem ser “desenhadas” no espaço. No caso apresentado, são os termos „d‟,

„e‟, „f‟. Assim como nas cônicas, é preferível eliminar esses termos. Isso é possível se mudarmos

da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a

quádrica eliminando os termos cruzados da seguinte forma:


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Onde , e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a

forma canônica da quádrica:

Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir , e e, assim,

toda a forma canônica.

Serão encontrados três autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do

plano). Esses autovetores serão chamados e . Temos então

que fazer a mudança de coordenadas de para :

Temos então que:

Obs.: Note que não muda com a mudança de base.

A quádrica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores:

Se os três autovalores tiverem o mesmo sinal, ela é uma elipsóide;

Se pelo menos um autovalor tiver sinal diferente dos outros, ela é uma hiperbolóide;

Se pelo menos um autovalor for nulo, ela é uma parabolóide.

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