waga, christina - algebra linear iii

Álgebra Linear III

Prof. Christina Waga Prof. Regina Freitas

Versão 08

i

ÍNDICE MATRIZES

Definição 1Igualdade 2Matrizes Especiais 2Operações com Matrizes 3Classificação de Matrizes Quadradas 9Operações Elementares 11Matriz Equivalente por Linha 11Matriz na Forma Escalonada 11Aplicações de Operações Elementares 12Exercícios 15Respostas 18Apêndice A – Determinante 19

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Definição 24Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24Classificação de Sistemas 25Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28Sistema Homogêneo 37Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38Exercícios 39Respostas 40

ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA

Definição 41Subespaço Vetorial 42Combinação Linear 43Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46Operações com Subespaços Vetoriais 47Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50Exercícios 51Respostas 54Apêndice B – Teoremas 55

ii

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Transformação Linear 58Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 59Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 62Transformação Linear Injetora 64Transformação Linear Sobrejetora 64Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 65Matriz Associada a uma Transformação Linear 66Operações com Transformações Lineares 68Exercícios 69Respostas 73Apêndice C – Teoremas 74

PRODUTO INTERNO

Definição 76Norma de um Vetor 76Distância entre dois Vetores 77Ângulo entre dois Vetores 77Ortogonalidade 77Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um Subespaço. 77Complemento Ortogonal 80Exercícios 81Respostas 83Apêndice D – Teoremas 84 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Definição 86Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 87Multiplicidade de Autovalores 89Diagonalização de Operadores Lineares 90Exercícios 91Respostas 91Apêndice E – Teoremas 92

ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES

Operador Adjunto 93Operador Auto-Adjunto 93Operador Ortogonal 93Operador Normal 93Exercícios 94Apêndice F – Teoremas 95

BIBLIOGRAFIA 96GLOSSÁRIO 97

1

MATRIZES

Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.

=

mnmm

n

n

a...aa............

a...aaa...aa

A

21

22221

11211

Notação: nmijaA ×= )( com njmi ,...,2,1 e ,...,2,1 ==

ija - elemento genérico da matriz A i - índice que representa a linha do elemento ija j - índice que representa a coluna do elemento ija

nm × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.

Representações: ( )=A [ ]=A =A Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 88× .

2) A matriz 32)( ×= ijaA onde jiaij += 2 é 2 3 45 6 7

.

3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:

cidade A cidade B cidade C cidade D

010362704957103603572124427043572063895712446380

Dcidade

C cidade

Bcidade

A cidade

Esta é uma matriz 44 × (quatro por quatro). 4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina

distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans

2570120306001007040258050

IIIloja IIloja Iloja

Esta é uma matriz 43× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas.

2

Igualdade Duas matrizes de mesma ordem nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( são iguais quando ijij ba = para todo

mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Matrizes Especiais 1. Matriz Linha

Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: nijaA ×= 1)(

Exemplo: ( ) 31438 ×−

2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: 1)( ×= mijaA

Exemplo:

13193

×

3. Matriz Nula

Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 0=ija para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= .

Notação: nm×0

Exemplo: 32000

000

×

4. Matriz Quadrada

Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, nm = .

Notação:

== ×

nnnn

n

n

nnij

aaa

aaaaaa

aA

...............

...

...

)(

21

22221

11211

Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde ji = para todo nji ,...,2,1, = . Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1+=+ nji para todo nji ,...,2,1, = . Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA.

nn

n

kkk aaaatrA +++==∑

=

...22111

Exemplo:

−

=

×9110075432

33

A

Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.

18972 =++=trA

3

5. Matriz Diagonal

Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji ≠ para todo nji ,...,2,1, = .

Exemplo:

33300010002

×

6. Matriz Identidade

Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: nI

Exemplo: 22

2 1001

×

=I

7. Matriz Triangular Superior

Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji > para todo nji ,...,2,1, = .

Exemplo:

−−

×2000010076504321

44

8. Matriz Triangular Inferior

Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji < para todo nji ,...,2,1, = .

Exemplo:

−×

037084001

33

Operações com Matrizes 1. Adição

Sejam nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma BAC += tal que nmijcC ×= )( e ijijij bac += para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= .

Exemplos:

1) Sejam

−=

435121

A e

−

−=

55,045,270

B .

Então

−=

++−+−−+

=+95,315,151

545,03455,217201

BA .

4

2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e

transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.

preço custo preço custo compra transporte compra transporte

25812

153

C substância Bsubstância

A substância

539986

C substância Bsubstância

A substância

Fornecedor 1 Fornecedor 2 A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por:

781721239

Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, )()( CBACBA ++=++ .

A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ABBA +=+ .

Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , CBA =+ e DAB =+ . ijijijijijij dabbac =+=+= para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= .

Assim, DC = . Logo, a operação de adição é comutativa.

A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, AAA nmnm =+=+ ×× 00 .

A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem nm × existe uma matriz S de mesma ordem tal que nmASSA ×=+=+ 0 . Sendo nmijaA ×= )( tem-se nmijnmij asS ×× −== )()( . Notação: AS −=

Assim, nmAAAA ×=+−=−+ 0)()( . Além disso, BABA −=−+ )( .

A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, trBtrABAtr +=+ )( .

Dem: Considere as matrizes de ordem n. )()()...()...()(...)()( 11111111 BtrAtrbbaababaBAtr nnnnnnnn +=+++++=++++=+

5

2. Multiplicação por Escalar Sejam nmijaA ×= )( uma matriz e R∈k um escalar, define-se a matriz produto por escalar AkB ⋅= tal que nmijbB ×= )( e ijij akb ⋅= para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos:

1) Sejam 3 e 715301

−=

−−= kA .

Então

−−−

=

−−−−−−

−−=⋅−

21315903

7).3()1).(3()5).(3(3).3(

0).3(1).3()3( A

2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano.

TRIGO CEVADA MILHO ARROZ

REGIÃO I 1200 800 500 700 REGIÃO II 600 300 700 900 REGIÃO III 1000 1100 200 450

Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:

900400220020001800140060012001400100016002400

Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , AkAkAkk ⋅+⋅=⋅+ 2121 )( . E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , )()( 2121 AkkAkk ⋅⋅=⋅⋅ . E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar R∈k ,

BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )( . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCkBAk =⋅=+⋅ )( e GFEBkAk =+=⋅+⋅ .

ijijijijijijijijij gfebkakbakckd =+=⋅+⋅=+⋅=⋅= )( , para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = . Logo, vale a propriedade.

E4. Para toda matriz A de ordem nm × , nmA ×=⋅ 00 . E5. Para toda matriz A de ordem nm × , AA =⋅1 . E6. Para toda matriz quadrada A e para todo trAkAktrk ⋅=⋅∈ )(,R .

6

3. Multiplicação Sejam as matrizes pmijaA ×= )( e npijbB ×= )( , define-se a matriz produto BAC ⋅= tal que

nmijcC ×= )( e ∑=

⋅=p

kkjikij bac

1

, isto é, pjipjijiij bababac ⋅++⋅+⋅= ...2211 para todo mi ,...,2,1= e

para todo nj ,...,2,1= . Exemplos:

1) Sejam

−=

411201

A e

−

=101132

B .

Então

−+−+−+−−+++−+++

=⋅)1.(41).1(0.43).1(1.42).1(

)1.(11.20.13.21.12.2)1.(01.10.03.11.02.1

BA

−−=

532165132

Observe que 333223 )( e )( , )( ××× === ijijij cCbBaA .

2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.

A B C

105034

II alimentoI alimento

Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:

( ) ( ) ( )21530120502355245105034

25 =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

⋅

Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C.

Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens nllppm ××× e , , respectivamente,

)()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ . Dem.: Considere ECDCBA =⋅=⋅⋅ )( e GFACBA =⋅=⋅⋅ )( .

=⋅⋅=⋅= ∑ ∑∑= ==

l

kkj

p

ttkit

l

kkjikij cbacde

1 11

)(

ljpliplijpipijpipi cbabacbabacbaba )...(...)...()...( 112212111111 +++++++++=

ljplipljlijpipjijpipji cbacbacbacbacbacba +++++++++= ............ 11222121111111 )...(...)...( 221112121111 ljpljpjpipljljji cbcbcbacbcbcba ++++++++=

ij

p

ttjit

p

t

l

kkjtkit gfacba =⋅=⋅⋅= ∑∑ ∑

== = 11 1

)( para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= .

Assim, GE = . Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes.

7

M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem

pm × , para toda matriz C de ordem np × e para toda matriz D de ordem ml × , CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )( e BDADBAD ⋅+⋅=+⋅ )( .

M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, AAIIA nn =⋅=⋅ M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, )()( ABtrBAtr ⋅=⋅ . M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo R∈k ,

)()()( BkABAkBAk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, nnnnnn AA ××× =⋅= 000.

Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, ABBA ⋅≠⋅ . Quando ABBA ⋅=⋅ , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 23)( ×= ijbB .

ABDdcCBA ijij ⋅==≠==⋅ ×× 3322 )()( .

2) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 13)( ×= ijbB .

12)( ×==⋅ ijcCBA e a matriz produto AB ⋅ não é definida.

3) Sejam

=

4321

A e

−=

2101

B .

ABBA ⋅=

−−≠

=⋅

10721

8141

4) Sejam

−

=1221

A e

−=

1111

B .

Assim, ABBA ⋅=

−

=⋅3113

.

Logo, as matrizes A e B comutam entre si.

Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. nIA =0

AA =1 AAA ⋅=2

..................................... AAAAA kkk ⋅=⋅= −− 11

Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A.

8

Exemplos:

1) Seja

=

1031

A .

Então

=

⋅

=⋅=

1061

1031

10312 AAA .

2) Sejam o polinômio 112)( 2 −+= xxxf e a matriz

−

=3421

A .

Determinando o valor )(Af : 0122 112112)( xxxxxxf −+=−+=

212012 112112)( IAAAAAAf ⋅−⋅+=⋅−⋅+=

⋅−

−

⋅+

−

−=

1001

113421

217849

)(Af

=

−

−+

−

+

−

−=

0000

110011

6842

17849

A matriz A é uma raiz do polinômio, já que 22)( ×= 0Af .

Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando AA =2 .

Exemplo: A matriz

−−−−

−

455343112

é idempotente. (Verifique!)

4. Transposição Seja a matriz nmijaA ×= )( , define-se a matriz transposta B tal que mnijbB ×= )( e jiij ab = , isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: tAB = Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz A, AA tt =)( . T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ttt BABA +=+ )( .

Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCBA tt ==+ )( e GFEBA tt =+=+ .

ijijijjijijiij gfebacd =+=+== para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = .

T3. Para toda matriz A e para todo escalar R∈k , tt AkAk ⋅=⋅ )( . T4. Para toda matriz A de ordem pm × e para toda matriz B de ordem np × , ttt ABBA ⋅=⋅ )( . T5. Para toda matriz quadrada A, trAAtr t =)( .

9

Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando AAt = .

Exemplo:

−

−

501023134

Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

2. Matriz Anti-simétrica

Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando AAt −= .

Exemplo:

−−

−

071703130

Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários.

3. Matriz Invertível ou Não-singular

Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que nIABBA =⋅=⋅ . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A. Notação: 1−= AB

nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 Exemplos:

1) A matriz

3152

é invertível e sua inversa é

−

−2153

pois:

=

⋅

−

−=

−

−⋅

1001

3152

2153

2153

3152

2) Obtendo a matriz inversa da matriz

−=

0112

A

Considere

=

tyzx

B

Se nIBA =⋅ então

=

−−=

⋅

−100122

0112

zxtzyx

tyzx

Assim,

==−

==−

102

012

ztz

xyx

Desta forma,

−

=2110

B

10

Verifica-se também que nIAB =⋅ .

Então a matriz inversa da matriz A é

−

=−

21101A .

3) A matriz

987654321

não possui inversa.

Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução: AA =−− 11 )( . I2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA .

dem.: nn IAAAIAABBAABBA =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Analogamente, nn IBBBIBBAABBAAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Logo, o produto é invertível.

I3. tt AA )()( 11 −− = .

Semelhança de Matrizes Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ tal que APPB 1−= .

Exemplo: As matrizes

0110

e

−11

01 são semelhantes.

Considere

−=

1112

P e

−

=−

32

31

31

31

1P . Assim,

−⋅

⋅

−

=

− 11

120110

1101

32

31

31

31

.

4. Matriz Ortogonal

Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando tAA =−1 .

Exemplo:

−θθθθ

coscossen

sen

5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é,

AAAA tt ⋅=⋅ .

Exemplo:

−6336

11

Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j.

ji LL ↔

OE2. A multiplicação da linha i por um escalar R∈k não nulo. ii k LL ⋅←

OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com R∈k não nulo. jii k LLL ⋅+←

Exemplo:

514200

L1↔L3 1 52 40 0

L2←12

L2 1 51 20 0

L2←L2+(-1)L1

−

003051

Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A.

Exemplo: A matriz 0 02 41 5

é equivalente a matriz

−

003051

, pois usando somente operações

elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas.

Exemplos:

−1000620050103017

2 0 0 50 0 3 10 0 0 50 0 0 0

1 2 30 0 0

−

0000000004105021

1 0 00 1 00 0 1

12

Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada:

Exemplos:

1)

987654321

122 )4( LLL −+←

−−

987630321

133 )7( LLL −+← 1260

630321

−−−−

233 )2( LLL −+←

−−

000630321

2)

− 310210030200

31 LL ↔

− 310200030210

122 )3( LLL −+←

−

−

310200600210

144 LLL +←

−

500200600210

261

2 )( LL −←

0 1 20 0 10 0 20 0 5

233 )2( LLL −+←

0 1 20 0 10 0 00 0 5

244 )5( LLL −+←

0 1 20 0 10 0 00 0 0

A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: AP Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n.

Passo 1: Construir a matriz ( )nIA | de ordem nn 2× . Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( )nIA | de forma a transformar o

bloco A na matriz identidade nI . Caso seja possível, o bloco nI terá sido transformado na matriz 1−A . Se não for possível transformar A em nI é porque a matriz A não é invertível.

Exemplo: Seja

=

111013221

A . A matriz inversa é

−−−

−=−

512613201

1A .

13

100111010013001221

122 )3( LLL −+←

−−−

100111013650001221

133 )1( LLL −+←

−−−−−−

101110013650001221

32 LL ↔

−−−−−−

013650101110001221

22 )1( LL −←

−−−−

013650101110001221

233 5LLL +←

−−−

512100101110001221

211 )2( LLL −+←

−−−

−

512100101110201001

133 )1( LL −←

−−−

−

512100101110201001

322 )1( LLL −+←

−−−

−

512100613010201001

Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente

por linha a matriz nI . Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz nI , transforma a matriz nI na matriz 1−A .

Exemplo: Considere a matriz

=

3021

A .

A redução da matriz A à matriz identidade é:

−+←

←

1001

L)2(LL1021

L31L

3021

21122

Aplicando em nI a mesma seqüência de operações:

−−+←

←

310321

L)2(LL31001

L31L

1001

21122

Assim, a matriz

−

310321

é a inversa da matriz A.

14

2. Cálculo do Determinante

A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: AA ou det

É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal.

b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de

uma certa linha forem multiplicados por k.

c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo jii k LLL ⋅+← . (Teorema de Jacobi).

d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima.

Exemplos:

1) =

−

162963510

det =

−

162321510

det3 =

−−

162510321

det)3( =

−

−−

5100510321

det)3(

165)55(11)3(5500

510321

det)3( =−⋅⋅⋅−=

−

−−

2) =

−−−

−

3210521130021432

det =

−−−−

−

3210143230025211

det)1( =

−

−−

−

32101101074205211

det)1(

=

−

−−

32107420

110105211

det =

−

−−

820029400110105211

det =

−

−−

−

294008200

110105211

det)1(

=

−

−−

−

294004100

110105211

det)2( 9045111)2(

450004100

110105211

det)2( −=⋅⋅⋅⋅−=

−

−−

−

Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A.

15

3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo.

Exercícios 1) Resolva a equação matricial ,

6718

423

=

−++−

dacdcbba

indicando os valores para a, b, c e d.

2) Considere

−

−=

412540312

A ,

−

−−=

674210538

B ,

−=

993471320

C e 4=k . Verifique se:

a) )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ b) CkBkCBk ⋅−⋅=−⋅ )( c) trBtrABAtr +=+ )( d) trCtrACAtr ⋅=⋅ )(

3) Seja

=

6321

A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que 22×=⋅ 0BA .

4) Seja

=

1112

A . Resolva a equação matricial 2IXA =⋅ , onde 22)( ×= ijxX .

5) Mostre que, em geral, )()(22 BABABA +⋅−≠− , sendo A e B matrizes quadradas de mesma

ordem.

6) Seja

=

1021

A . Encontre nA .

7) Verifique que a matriz

−18

03 é uma raiz do polinômio 32)( 2 −−= xxxf .

8) Considere

=

1402

A .

a) Indique a matriz 22 2 IAA +⋅−

b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique 313 )( −− = AA .

9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 1 00 0

quanto com a matriz 0 10 0

são múltiplas de 2I .

10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz

− 12

21 .

16

11) Sejam

−

=4321

A e

−

=7605

B . Verifique a igualdade ttt ABBA ⋅=⋅ )( .

12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e CABA ⋅=⋅ então CB = . (Lei do Corte)

13) Sejam

−=

100201312

A e

=

321

B . É possível calcular X, na equação BXA =⋅ ?

14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações,

considerando X a variável. a) CXBA =⋅⋅ b) CXAC t =⋅⋅ c) CBXACXA ⋅⋅⋅=⋅⋅ 2 d) ACXBA ⋅=⋅⋅ −1 e) ABAXA t ⋅⋅=⋅2

15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz )( AAt ⋅ é invertível. A matriz tt AAAA ⋅⋅⋅ −1)( é

simétrica? E idempotente?

16) Mostre que a matriz

−θθθθ

coscossen

sen é uma matriz ortogonal.

17) Determine a, b e c de modo que a matriz

cba2

12

10001

seja ortogonal.

18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2AB ⋅ também é simétrica?

Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o

elemento ija da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.

17

Gelato Delícia Suave

2,02,06,01,05,04,01,01,08,0

SuaveDelíciaGelato

a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o

refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.

24) Verifique se a matriz

−−−

−

372511421

é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.

25) Para que valores de a a matriz

−

a11110121

admite inversa?

26) Dada a matriz

−=

210152031

A . Indique a matriz ( )3| IA e determine 1−A .

27) Dada a matriz

−−

−=−

121210331

1A . Indique a matriz A.

28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz

a21212111

seja invertível.

29) Calcule o determinante das matrizes 1 2 42 3 53 4 6

−−−

e

− 214642103

.

30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que 5det =A , determine:

a) )3det( A⋅ b) tAdet c) )det( A− d) 2det A

31) Encontre todos os valores de a para os quais 030

51det =

+

−a

a.

18

Respostas 1) 1,4,3,5 ==−== dcba 23) a) 0,1 e 0,6 b)

12,020,068,011,031,058,011,015,074,0

3)

∈

−−= *22

R,t,ztztz

B 24)

−−−

−−=−

21

23

25

21

25

271

31116A

4)

−

−=

2111

X 25) 2−≠a

6)

=

1021 n

An 26)

−−−

−=−

1121243611

1A

8) a)1 04 0

b)

− 1

0

2781

27)

−−=

61

65

61

31

32

31

21

21

21

A

10)

∈

−

R,x,yxyyx

28) 1≠a

13) Sim,

−=

304

X 29) 0 e 24, respectivamente.

14) a) CABX ⋅⋅= −− 11 b) tAX )( 1−= c) BX = d) ACABX ⋅⋅⋅= −1 e) tABAX )( 1 ⋅⋅= −

30) a) 53 ⋅n b) 5

c) − contrário caso 5

par for se 5 n

d) 25 15) Sim. Sim. 31) 3 ou 1 −== aa 17) e 2

222 −== cb ou e 2

222 =−= cb

19

Apêndice A - Determinante Permutações Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora AAf →: . Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem !n permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja },{ baA = e as bijeções abaixo:

a a a a

b b b b

A notação usual é:

baba

abba

Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados.

2) Seja }3,2,1{=A .

1 2 32 1 3

,

1 2 31 3 2

e

1 2 33 1 2

são três das seis permutações possíveis em A.

3) Seja },,,{ dcbaA = .

adcbdcba

é uma das 24 permutações possíveis.

Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos: 1) Seja }3,2,1{=A com a ordem numérica usual, isto é, 1 2 3≤ ≤ .

1 2 32 1 3

e

1 2 31 3 2

são permutações ímpares e

1 2 33 1 2

é par.

2) Seja },,,{ dcbaA = com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.

adcbdcba

é uma permutação ímpar.

Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo.

20

O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: nnijaAA ×)det( det

Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A , e as permutações

possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}.

A partir da permutação ímpar 1 2 31 3 2

associa-se o produto “ 322311 aaa− ” , tal que os índices linha

correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por:

312313322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−= Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos ija da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) 6)6det( =

2) 72.07).1(7201

det 21122211 −=−−=−=

− aaaa

3) 312213322113312312332112322311332211

21 00

401252

det aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−−=

−

−

0.0).2(21).1).(2(0.4.50).1.(5

21.4.20.0.2 −−−−++−−−=

3−=

21

Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n,

=

nnnn

n

n

a....aa................a....aaa....aa

A

21

22221

11211

Considere um elemento ija qualquer, com nji ,...,1, = e a submatriz ijA de ordem )1( −n obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz ijA

sinalizado por ji+− )1( é denominado o cofator do elemento ija .

Exemplo: Seja a matriz

−

−

00401252

21

.

O cofator do elemento 23a , isto é, de 4 é : 11).1(21052

det.)1( 32 −=−=

− +

O cofator do elemento 031 =a a31 é: 2020.14025

det.)1( 13 ==

−− +

Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por:

∑=

+ ⋅−⋅=n

jij

jiij AaA

1

det)1(det

A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser:

∑=

+ ⋅−⋅=n

iij

jiij AaA

1

det)1(det

Exemplos:

1)

−=

7201

A fixada a linha 2.

2222

222112

21 det)1(det)1(det AaAaA ++ −+−= 1.)1.(70.)1.(2 43 −−+−= )1.(1.70).1.(2 −+−= 7−=

2)

−

−=

00401252

21

A fixada a linha 1.

1331

131221

121111

11 det)1(det)1(det)1(det AaAaAaA +++ −+−+−=

21001

.1).2(0041

).1.(5021

40.1.2

−−+

−−+=

22

Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: +−+−= ++ ]det.)1.(4det.)1.(0.[1.2det 12

2111

11 AAA +−+−−− ++ ]det.)1.(4det.)1).(1).[(1.(5 12

2111

11 AA ]det.)1.(0det.)1).(1.[(1).2( 12

2111

11 AA ++ −+−−−

]0).1.(021.1).1.[(1).2(]0).1.(40.1).1).[(1.(5]

21).1.(40.1.0.[1.2 −+−−+−+−−+−+=

31421.1).2(0).1.(5)2.(1.2 −=+−=−+−+−=

Propriedades Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e R∈k não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então nnaaaA ...det 2211= .

dem: Considere a matriz

=

nn

n

n

a.................a....aa....aa

A

00..0 222

11211

.

Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes,

11

12112

211111

111

11

1 det)1(...det)1(det)1(det)1(det nn

n

n

ii

ii AaAaAaAaA +++

=

+ −++−+−=−= ∑

∑−

=

+−=

=1

11

1111

333

22322

11 det)1(

... 0 0......................

... 0 ...

detn

ii

ii

nn

n

n

Aaa

a

aaaaa

a

]det)1(...det)1([ 1)1(11

1111

2211 −+−+ −++−= n

nnn AaAaa

∑−

=

+−=

=2

11

112211

444

33433

2211 det)1(

... 0 0......................

... 0 ...

detn

ii

ii

nn

n

n

Aaaa

a

aaaaa

aa

]det)1(...det)1([ 1)2(12

1111

332211 −+−+ −++−= n

nnn AaAaaa

nnaaa ...2211= Corolários:

i) 0det =n0 ii) 1det =nI iii) Se A é uma matriz diagonal então nnaaaA ...det 2211= .

D2. 0det =A , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. 0det =A , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. AkAk n det)det( ⋅=⋅ D5. BABA detdet)det( ⋅=⋅ D6. tAA detdet =

23

D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: a) Li ↔Lj : AB detdet −= b) Li ←k.Li : AkB detdet ⋅=

dem: Considere a matriz

=

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

A

... ........................

... .........................

...

21

21

11211

.

Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes,

∑=

+−=n

jij

jiij AaA

1

det)1(det

Seja a matriz

=

nnnn

inii

n

aaa

kakaka

aaa

B

... ........................

... .........................

...

21

21

11211

obtida pela operação elementar Li ←k.Li.

AkAakAkaBn

jij

jiij

n

jij

jiij detdet)1(det)1)((det

11⋅=−⋅=−= ∑∑

=

+

=

+

c) Li ←Li + k.Lj : AB detdet =

D8. A é uma matriz invertível se e somente se 0det ≠A .

D9. Se A é uma matriz invertível então A

Adet

1det 1 =− .

D10. Se A e B são matrizes semelhantes então BA detdet = . D11. Se A é uma matriz ortogonal então 1det ±=A . Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações.

a) 1 23 4

b)

1 4 72 5 83 6 9

2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace.

a) 1 4 72 5 83 6 9

b)

−1021141311521101

3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis.

a)

x87654321

b)

−−

1111

11

xx

x

24

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Dados os números reais baaa n ,,...,, 21 , com 1≥n , a equação bxaxaxa nn =⋅++⋅+⋅ ...2211 onde

nxxx ,...,, 21 são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis nxxx ,...,, 21 . Os números reais naaa ,...,, 21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx ,...,, 21 , respectivamente, e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações lineares com 1≥n variáveis, e é representado por:

=⋅++⋅+⋅

=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅

mnmnmm

nn

nn

bxa...xaxa............................................bxa...xaxabxa...xaxa

2211

22222121

11212111

.......

Com R∈iij ba , , njmi ,...,1 e ,...,1 == . Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial:

=

⋅

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

a...aa............

a...aaa...aa

......2

1

2

1

21

22221

11211

444 3444 21 { {

C X B Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial

BXC =⋅ . Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.

=

mmnmm

n

n

b...bb

a...aa............

a...aaa...aa

A 2

1

21

22221

11211

25

Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,( 21 nsss que satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s , 2x por 2s , ... e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções.

Exemplo: Dado o sistema

=+=−

242

yxyx

, o par ordenado )0,2( é solução deste sistema. Assim, o

conjunto solução )}0,2{(=S . De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como:

• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) • Determinado (SPD): há uma única solução • Indeterminado (SPI): há infinitas soluções

• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução. Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana. A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução.

Exemplo: Os sistemas

=−=+

422

yxyx

e

=−=+

82222

yxyx

são equivalentes pois ambos possuem o mesmo

conjunto solução )}2,2{( −=S . O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada. 2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares. 3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo:

Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada escalonada )( AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )( CP .

Assim: a) Se nPP CA == , o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se nPP CA <= , o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se CA PP ≠ , o sistema é Impossível (SI).

4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as

demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla.

26

b) Se o sistema for SPI, escolher APn − variáveis livres ou independentes. O número, APn − também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis livres.

c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S .

Exemplo: Seja o sistema

=−+−=+−

=++

25032

1

zyxzyx

zyx com 3 equações e 3 incógnitas.

A matriz ampliada é

−−−

251103121111

.

Após o escalonamento, a matriz escalonada é

−−

2132

31

10010

1111.

E a matriz de coeficientes é:

−

10010

111

31 .

Análise: 3=== nPP CA . Logo, o sistema é possível determinado (SPD).

O sistema equivalente é

−==−=++

21

32

31

1

zzy

zyx

Após as substituições, 21

=y e 1=x .

A solução do sistema é ( ){ }21

21 ,,1 −=S .

Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por }e |),{( RRR 2 ∈∈= yxyx . Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0( , denominado origem. Exemplos:

1) Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis:

=+=+

7321

yxyx

Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana:

Matriz ampliada 1 1 12 3 7

.

Matriz escalonada: 1 1 10 1 5

.

27

Matriz de coeficientes 1 10 1

.

Análise, 2=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD).

Sistema equivalente

==+

51

yyx

Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se 4−=x . Logo a solução do sistema é descrita por )}5,4{(−=S . Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto )5,4(− .

X

Y

2) Dado o sistema:

−=−−=−

44222

yxyx

Matriz ampliada: 1 2 22 4 4

− −− −

.

Matriz escalonada:

−−000221

Matriz de coeficientes:

−0021

.

Análise, 21 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).

Sistema equivalente

=−=−

0022

yyx

A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de y, isto é, 22 −= yx . A solução do sistema é }),,22{(}22|),{( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxS . Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 442 −=− yx é múltipla da equação

22 −=− yx . Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos.

X

Y

28

3) Dado o sistema

−=+=+

32

yxyx

Matriz ampliada

− 311

211 .

Matriz escalonada:

− 500

211.

Matriz de coeficientes

0011

.

Análise, CA PP =≠= 12 : Sistema Impossível.

Sistema equivalente

−==+502

yyx

, isto é,

−==+50

2yx

A solução é ∅=S . Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas.

X

Y

Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro:

Retas Classificação do Sistema Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado

Paralelas Impossível Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por }e ,|),,{( RR RR 3 ∈∈∈= z yxzyx . Geometricamente tem-se o espaço R3, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0,0( , denominado origem.

29

Exemplos:

1) Considere o sistema

=+=+=++

2222

3

zyzy

zyx

Matriz ampliada 1 1 1 30 2 1 20 1 2 2

, matriz escalonada

−− 230022103111

e matriz de coeficientes

− 300210111

.

Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD) .

Sistema equivalente

−=−=+=++

2322

3

zzy

zyx

Sendo 32

=z , fazendo-se as substituições: 32

=y e 35

=x .

A solução do sistema é ( ){ }3

232

35 ,,=S .

Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto ( )3

232

35 ,, .

30

2) Dado o sistema

=−=+=++

122

3

zxzy

zyx

Matriz ampliada

− 110122103111

, matriz escalonada 1 1 1 30 1 2 20 0 0 0


1 1 10 1 20 0 0

.


Sistema equivalente

==+=++

0022

3

zzy

zyx

Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é,

zy 22 −= . A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que zx +=1 . Esta sistema possui grau de liberdade 1.

A solução do sistema é }),,22,1{( R∈−+= zzzzS . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta.

31

3) Seja o sistema

=++−=−−−

=++

624232

32

zyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−−−

624231213121



1 2 10 0 00 0 0

.


Sistema equivalente

==

=++

0000

32

zy

zyx

As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está amarrada pela relação zyx −−= 23 . A solução do sistema é },),,,23{( R∈−−= zyzyzyS . Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano é solução para o sistema.

32

4) Seja o sistema

=++=−−

=−−

169123

234

zyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−−−

1111691232341

, matriz escalonada

−

−−

000010

2341

51

54 e matriz de

coeficientes

−−

00010

341

54 .


Sistema equivalente

=

−=+

=−−

0051

54

234

z

zy

zyx

A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão

assumir valores de acordo as relações 5

4z1−−=y e

5z6 −

=x .

A solução é ( ){ }R∈= −−− zzS zz ,,, 5

415

6 . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma reta.

33

5) Seja o sistema

−=+−=++−=++

40202

10

zyzyx

zyx

Matriz ampliada 1 1 1 102 1 1 200 1 1 40

−−−


−−−


1 1 10 1 10 0 0

.

Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI).

Sistema equivalente

−=−=+

−=++

40040

10

zzy

zyx

A terceira equação é equivalente a 400 −= , o que é impossível. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum.

34

6) Dado o sistema

=++=++=++

302010

zyxzyxzyx

Matriz ampliada 1 1 1 101 1 1 201 1 1 30



1 1 10 0 00 0 0

.


Sistema equivalente

==

=++

200100

10

zy

zyx

As duas últimas equações são impossíveis. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos.

35

7) Dado o sistema:

=−+=+−−=−+

50106223272053

zyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−

−−

5010622327

20531, matriz escalonada

−

−−

9000014238230

20531e matriz de

coeficientes

−

−

00038230

531.


Sistema equivalente

==+−−=−+

90014238232053

zzy

zyx

A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro.

36

8) Seja o sistema

=+−−=−+

=−+

4593210218

1659

zyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−−−

4519321021816519

, matriz escalonada

−

00002000016519

e matriz de

coeficientes

−

000000519

.


Sistema equivalente

==

=−+

00200

1659

zy

yx

A segunda equação não possui solução. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro.

37

Sistema Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero.

=⋅++⋅+⋅

=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅

0.......

00

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xa...xaxa............................................

xa...xaxaxa...xaxa

A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, )}0,...,0,0{(=S . No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem. Exemplos:

1) Seja o sistema

=−+=+−=−+

0202

0

zyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−

−

012101120111

, matriz escalonada

−

030000100111


−

300010111

.

Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD).

Sistema equivalente

==

=−+

030

0

zy

zyx

Este sistema só admite solução trivial. Assim, )}0,0,0{(=S .

2) Seja o sistema

=−−=−−=−−

=++

0636032022

0

zyxzyxzyx

zyx

Matriz ampliada

−−−−−−

0636032102120111

, matriz escalonada

000000000100111

34


000000

10111

34

.

38


Sistema equivalente

=

=+

=++

00

034

0

z

zy

zyx

A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas. A solução do sistema é ( ){ }R∈−= zzzzS ,,, 3

431 .

Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com nm = , pode ser representado pela equação matricial BXC =⋅ , sendo C uma matriz quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa 1−C , significa que o sistema é possível e determinado.

BXC =⋅ BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )(

BCXI n ⋅=⋅ −1 BCX ⋅= −1

Como X é uma matriz de ordem 1×n , BC

x

xx

X

n

⋅=

= −12

1

...

Exemplo: Seja o sistema

=−+−=+−

=++

25032

1

zyxzyx

zyx

A equação matricial BXC =⋅ é:

−−−

511312111

.

zyx

= 102

.

A matriz inversa da matriz C é

−−−−=−

103

51

101

101

52

107

52

53

51

1C .

Assim,

−=

⋅

−−−−=

2121

103

51

101

101

52

107

52

53

51 1

201

zyx

.

A solução do sistema é )},,1{( 21

21 −=S .

39

Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana:

1) Resolva o sistema

=+−=+−=+−

76433532

242

zyxzyx

zyx.

2) Indique a solução do sistema

=−+=−−=−−

5232144232

zyxzyxzyx

, o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de

coeficientes.

3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa.

Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana

Modelagem 16 12 8.60 Polimento 8 6 4.60

Pintura 30 15 13.60

Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o.

4) Determine os valores de a de modo que o sistema

=++=++

=−+

23332

1

zayxazyx

zyx seja:

a) SPD b) SPI c) SI

5) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema

=−+=−+=++

164463

22

zbyxzyx

azyx seja SPI e resolva-o para

estes valores. 6) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema

=−−−=++=++

czyxbzyxazyx

43363242

seja possível.

40

7) Escreva a condição para que o sistema

=+−=−+=−+

czyxbzyx

azyx

2167245

28 tenha solução.

8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo

=−+−=++

=++

03032

0

zyxzyx

zyx.

9) Determine o conjunto solução S do sistema

=+−−=−−+−

=+−+=++−

0320

00

tzyxtzyx

tzyxtzyx

10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de

liberdade igual a dois. Resolva-o.

11) Considere o sistema

=−+=−+=−+

35732452

122

zyxzyx

zyx. Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando

a inversão de matrizes.

Respostas 1) Sistema Impossível 6) qualquer e 032 cab =− 2) )}2,,{( 7

97

10 −−=S 7) 023 =+− cba 3) 16,18 == yx 8) )}0,0,0{(=S 4) a) 3 e 2 −≠≠ aa

b) 2=a c) 3−=a

9) }),2,,,2{( R∈−= zzzzzS ou ( ){ }R∈−= tttS tt ,,,, 22

5) 2 e 7

11 == ba 11)

−−−

−=−

111012243

1C e

=

001

X

41

ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar.

uvuvVVV+

→×+a),(

:

vkvkVV⋅

→×⋅a),(

: R

V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas:

EV1. (Associativa) Para quaisquer Vwuv ∈,, , )()( wuvwuv ++=++ . EV2. (Comutativa) Para todo Vuv ∈, , vuuv +=+ . EV3. (Elemento Neutro) Existe Ve∈ tal que para todo Vv∈ , vevve =+=+ .

Notação: Ve 0= EV4. (Elemento Simétrico) Para todo Vv∈ , existe Vv ∈' tal que Vvvvv 0=+=+ '' .

Notação: vv −=' Assim, uvuv −=−+ )(

EV5. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , vkkvkk ⋅=⋅⋅ )()( 2121 . EV6. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , )()()( 2121 vkvkvkk ⋅+⋅=⋅+ . EV7. Para todo R∈k e para quaisquer Vuv ∈, , )()()( ukvkuvk ⋅+⋅=+⋅ . EV8. Para todo Vv∈ , vv =⋅1 .

Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares.

Exemplos : 1) R2 com as operações:

),(),(),( tyzxtzyx ++=+ ),(),( kykxyxk =⋅

É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição V0 é o par ordenado )0,0( .

2) Rn com as operações:

),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ),...,,(),...,,( 2121 nn kxkxkxxxxk =⋅

3) O conjunto das matrizes reais de ordem nm × , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal

que o elemento neutro da adição é a matriz nula. 4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações

abaixo: )()(...)()()( 0011 baxbaxbaxqxp n

nn ++++++=+

01...)( kaxkaxkaxpk nn +++=⋅

onde 01...)( axaxaxp nn +++= e 01...)( bxbxbxq n

n +++= . É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição V0 é o polinômio 00...0 +++ xx n .

42

5) R2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial. )0,(),(),( zxtzyx +=+

),(),( kykxyxk =⋅ Não possui elemento neutro, pois: Seja ),( 21 eeV =0 tal que ),(),(),( 21 yxeeyx =+ . Mas, )0,(),(),( 121 exeeyx +=+ . Assim, )0,(),( 1exyx += . Portanto, para todo 0, =∈ yy R . Logo, não existe elemento neutro.

Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio VS ⊆ com as seguintes propriedades:

Sub1. SV ∈0 . Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ . Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ .

Notação: VS ≤ .

Exemplos: 1) }),0,0,{( R∈= xxS é um subespaço vetorial do R3 com as operações de adição e multiplicação por

escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2ª e 3ª coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço. 1. SV ∈0 ? Sim, S∈)0,0,0( . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ?

Sejam SxvSxu ∈=∈= )0,0,( e )0,0,( 21 . Então Sxxvu ∈+=+ )0,0,( 21 . Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores.

3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? Seja Sxu ∈= )0,0,( 1 . Então Skxuk ∈=⋅ )0,0,( 1 . Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar.

O subespaço S poderia ser descrito ainda por }0 e 0|),,{( ==∈ zyzyx 3R .

2) O conjunto } e 0|),,{( zyxzyxS ≥=∈= 3R não é um subespaço vetorial do R3 com as operações usuais. 1. SV ∈0 ? Sim, )0,0,0( satisfaz as condições zyx ≥= e 0 . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ?

Sejam SrtvSzyu ∈=∈= ),,0( e ),,0( , com rtzy ≥≥ e . Então rztySrztyvu +≥+∈++=+ com ,),,0( .

3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ?

43

Não. (Contra-exemplo) Sejam R∈−∈− 2 e )1,4,0( S .

S∉−=−⋅− )2,8,0()1,4,0()2( , pois 28 ≤− .

3) }1|),,{( +=∈= yxzyxS 3R não é um subespaço do R3, pois S∉)0,0,0( . O fato do vetor V0 pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto }{ V0 , chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais subespaços próprios de V. Combinação Linear Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 . Um vetor Vw∈ está escrito como combinação linear dos vetores

nvvv ,...,, 21 quando nn vkvkvkw ⋅++⋅+⋅= ...2211 onde R∈nkkk ,...,, 21 .

Exemplos: 1) O vetor )1,1( −− é uma combinação linear dos vetores )2,1( e (3,5) , pois:

)5,3()1()2,1(2)1,1( ⋅−+⋅=−−

2) O vetor )3,2,1( não pode ser escrito como combinação linear dos vetores )1,0,0( e )0,0,1( , pois: (*) )3,2,1()1,0,0()0,0,1( 21 =⋅+⋅ kk

)3,2,1(),0,0()0,0,( 21 =+ kk )3,2,1(),0,( 21 =kk

Assim,

===

3201

2

1

k

k

O sistema é impossível. Logo não existem valores reais para 21 e kk que satisfaçam a igualdade (*).

3) Determinando a “lei” que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear de )1,0,0( e )0,0,1( .

),,()1,0,0()0,0,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),0,0()0,0,( 21 zyxkk =+

),,(),0,( 21 zyxkk =

Assim,

===

zkyxk

2

1

0

O sistema é possível quando 0=y e para quaisquer R∈zx, . Assim, }0|),,{( =∈ yzyx 3R é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de

)1,0,0( e )0,0,1( . Geometricamente, trata-se do plano XZ.

44

Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 e ],...,,[ 21 nvvv o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto ],...,,[ 21 nvvv é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores nvvv ,...,, 21 . O conjunto },...,,{ 21 nvvv é o conjunto gerador do subespaço ],...,,[ 21 nvvv .

Exemplos: 1) O vetor 2R∈)2,1( gera o conjunto }),2,{()]2,1[( R∈= xxx .

),()2,1( yxk =⋅ ),()2,( yxkk =

Assim,

=∴==

xyykxk

22

O conjunto de todas as combinações lineares do vetor )2,1( é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, )]2,1[( é uma reta definida pela equação 02 =− xy .

2) }0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( =+−∈= zyxzyx 3R .

),,()1,2,1()0,1,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),2,()0,,( 22211 zyxkkkkk =+

),,(),2,( 22121 zyxkkkkk =++

Assim,

==+=+

zkykk

xkk

2

21

21

2

Matriz ampliada

zyx

102111

e matriz escalonada

+−−

xyzxy

x

001011

.

Para se determinar os vetores que são combinações lineares de )1,2,1( e )0,1,1( é necessário que o sistema seja possível, isto é, 0=+− zyx . Logo, },),,,{(}0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( RR 3 ∈−==+−∈= zyzyzyzyxzyx . Geometricamente, )]1,2,1(),0,1,1[( é um plano no 3R com equação 0=+− zyx .

3) 2R=)]2,4(),3,1[( . ),()2,4()3,1( 21 yxkk =⋅+⋅

),()23,4( 2121 yxkkkk =++

Assim,

=+=+

ykkxkk

21

21

234

Matriz ampliada

yx

2341

e matriz escalonada

−

10310

41yx

x.

Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo, 2R=)]2,4(),3,1[( .

45

4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores )3,1,1( e )1,0,2(),2,1,1( −− . O espaço gerado é o conjunto de vetores 3R∈= ),,( zyxv que possam ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é, ),,()3,1,1()1,0,2()2,1,1( 321 zyxkkk =−⋅+−⋅+⋅ .

Assim, 322

02

321

321

321

=++=++=−−

zkkkykkkxkkk

Matriz ampliada

−−

zyx

312101121

e matriz escalonada

+−

−−−

225000

2110121

zyx

xyx

.

Para que o sistema seja possível é necessário que 025 =+− zyx . Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores 3R∈),,( zyx que são combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é }025|),,{( =+−∈ zyxzyx 3R , que geometricamente representa um plano em R3.

Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes Um conjunto de vetores Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é linearmente independente (LI) quando

Vnn vkvkvk 0=⋅++⋅+⋅ ...2211 se e somente se 0...21 ==== nkkk . Se existir pelo menos um ,,...,1 com ,0 niki =≠ então o conjunto é linearmente dependente (LD). Exemplos: 1) )}2,4(),3,1{( é LI, pois:

)0,0()2,4()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()23,4( 2121 =++ kkkk

Assim,

=+=+

02304

21

21

kkkk

Matriz ampliada

023041

e matriz escalonada 1 4 00 1 0

.

O sistema é possível e determinado com 021 == kk . Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro. Foi visto que o espaço gerado por {(1,3), (4,2)} é R2, ou seja [(1,3), (4,2)] = R2.

2) )}6,2(),3,1{( é LD, pois:

)0,0()6,2()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()63,2( 2121 =++ kkkk

Assim, 06302

21

21

=+=+

kkkk

Matriz ampliada 1 2 03 6 0

e matriz escalonada

1 2 00 0 0

.

46

O sistema é possível e indeterminado, com 21 2kk −= . Então, o conjunto é LD, pois ).3,1(2)6,2( ⋅= Os vetores (1,3) e (2,6) pertencem a uma mesma reta. O espaço gerado pelo conjunto {(1,3), (2,6)} é },3|),{( xyyx =∈ 2R isto é, }.3|),{()]6,2(),3,1[( xyyx =∈= 2R

3) {(2,0,5),(1,2,3),(3,2,8)} é LD, pois: )0,0,0()8,2,3()3,2,1()5,0,2( 321 =⋅+⋅+⋅ kkk

Assim,

=++=+

=++

0835022

032

321

32

321

kkkkk

kkk

Matriz ampliada 2 1 3 00 2 2 05 3 8 0

e matriz escalonada 1

12

32

00 1 1 00 0 0 0

.

Como o sistema é possível e indeterminado, o conjunto é LD. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Seja um conjunto finito .VB ⊆ Diz-se que B é uma base do espaço vetorial V quando B é um conjunto linearmente independente e gera V, isto é, .][ VB = O número de elementos (cardinalidade) de uma base B do espaço vetorial V é denominado dimensão do espaço vetorial V. Se a dimensão de V é igual a n, diz-se que V é um espaço vetorial finito n-dimensional. Em particular, a dimensão do espaço nulo {0V} é zero. Não há base para o espaço nulo. Notação: Vdim Exemplos: 1) Os conjuntos {(1,0), (0,1)} e {(1,3), (4,2)} são bases do R2.

O conjunto {(1,2), (3,5), (2,1)} não é base do R2 , pois apesar de gerar R2 , não é LI. O conjunto {(1,2)} é LI mas não gera o R2 , portanto também não é uma base do R2. Toda base de R2 tem dois vetores de R2 que geram R2 e que são LI. Logo, 2dim =2R .

2) {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3)} é uma base do R3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0)} é LI, mas não gera o R3. Logo, não é base do R3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3),(0,2,4)} gera o R3, mas não é LI. Também não é uma base do R3. Toda base de R3 é formada por três vetores LI de R3 . Logo, 3dim =3R .

Um vetor qualquer 3R∈),,( zyx pode ser escrito como )1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( ⋅+⋅+⋅= zyxzyx Assim, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera o R3, isto é, .)]1,0,0(),0,1,0(),0,0,1[( 3R= Além disso, este conjunto é LI. Logo, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do R3, denominada a base canônica do R3.

47

Espaço Vetorial Base Canônica Dimensão

R {1} 1 R2 {(1,0),(0,1)} 2 R4 {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 4

)(22 R×Mat

1000

,0010

,0100

,0001

4

Polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2

},,1{ 2xx 3

Operações com Subespaços Vetoriais 1. Interseção

Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto interseção de } e |{ , e 212121 SvSvVvSSSS ∈∈∈=∩ , é também um subespaço vetorial de V. (Sub1) 21 SSV ∩∈0 ?

VSSV ≤∈ 11 pois ,0 . VSSV ≤∈ 22 pois ,0 .

Assim, 21 SSV ∩∈0 . (Sub2) Se 2121 e SSuSSv ∩∈∩∈ então 21 SSuv ∩∈+ ?

2121 e SvSvSSv ∈∈∴∩∈

2121 e SuSuSSu ∈∈∴∩∈ Então, 21 e SuvSuv ∈+∈+ . Logo, 21 SSuv ∩∈+ .

(Sub3) Se R∈∩∈ kSSv e 21 então 21 SSvk ∩∈⋅ ? e 2121 SvSvSSv ∈∈∴∩∈

Então, 21 e SvkSvk ∈⋅∈⋅ . Logo, 21 SSvk ∩∈⋅ .

Exemplos: 1) Sejam } com ),0,0,{(1 R∈= xxS e }|),,{(2 zxyzyxS +=∈= 3R .

}),,( e ),,(|),,{( 2121 SzyxSzyxzyxSS ∈∈∈=∩ 3R .

Assim,

+===

zxyzy

00

Logo, )}0,0,0{(21 =∩ SS . Geometricamente, tem-se uma reta e um plano no R3 que se interceptam na origem.

2) Sejam }3|),,{(1 xyzyxS =∈= 3R e }032|),,{(2 =+−∈= zyxzyxS 3R .

}032 e 3|),,{(21 =+−=∈=∩ zyxxyzyxSS 3R .

48

Assim,

=+−=+−

03203zyx

yx

−

−03120013

→

−

−0910001 3

1

Logo, }),,9,3{(21 R∈=∩ zzzzSS , ou seja, }),1,9,3({21 R∈⋅=∩ zzSS . Geometricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos pontos (0,0,0) e (3,9,1).

2. Soma Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto soma de } e com ,|{ , e 2211212121 SsSsssvVvSSSS ∈∈+=∈=+ , é também um subespaço vetorial de V. Exemplos: 1) Sejam } ),0,0,{(1 R∈= xxS e }|),,{(2 zxyzyxS +=∈= 3R .

} e com ,),,(|),,{( 22112121 SsSssszyxzyxSS ∈∈+=∈=+ 3R . Tem-se que, 21 ),,( e )0,0,( SzzxxSx ∈+∈ , para quaisquer R∈zx, . Mas, 21 )1,1,0()0,1,1( e )0,0,1( SzxSx ∈⋅+⋅∈⋅ , para quaisquer R∈zx, . Assim, {(1,0,0)} é base do subespaço 1S e {(1,1,0),(0,1,1)} é uma base do subespaço 2S . Então, (0,1,1)(1,1,0)(1,0,0)),,( quando ),,( 32121 ⋅+⋅+⋅=+∈ kkkzyxSSzyx .

Assim,

==+=+

zkykkxkk

3

32

21

Sistema possível, logo 3R=+ 21 SS .

2) Sejam }),0,,0,0{( e }0|),,,{( 21 RR 4 ∈==−−∈= zzStyxtzyxS . } e com ,),,,(|),,,{( 22112121 SsSssstzyxtzyxSS ∈∈+=∈=+ 4R .

Tem-se que, 21 )0,,0,0( e ),,,( SzStzyty ∈∈+ , para quaisquer R∈tzy ,, . Mas, 21 )0,1,0,0( e )1,0,0,1()0,1,0,0()0,0,1,1( SzStzy ∈⋅∈⋅+⋅+⋅ , para quaisquer R∈tzy ,, .

(0,0,1,0)(1,0,0,1)(0,0,1,0)(1,1,0,0)),,,( quando ),,,( 432121 ⋅+⋅+⋅+⋅=+∈ kkkktzyxSStzyx

Assim,

==+

==+

tkzkk

ykxkk

3

42

1

31

tzyx

0100101000010101

→

−+−−

xytxy

zx

0000010010100101

Para que o sistema seja possível é necessário que 0=−+ xyt . Então, }0|),,,{(21 =−+∈=+ xyttzyxSS 4R .

49

Seja V um espaço vetorial n-dimensional. Se 21 e SS são subespaços de V então: )dim(dimdim)dim( 212121 SSSSSS ∩−+=+ .

Este resultado é conhecido como Teorema da Dimensão. 3. Soma Direta

Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. A soma de 21 e SS é denominada soma direta quando }{21 VSS 0=∩ . Notação: 21 SS ⊕

Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada Seja V é um espaço vetorial n-dimensional, qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. Ao se escolher uma base para o espaço vetorial V, está-se adotando um sistema referencial no qual pode-se expressar qualquer vetor de V. Considere VvvvA n ⊆= },...,,{ 21 uma base, qualquer vetor Vv∈ pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores da base A,

nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= ...2211

onde R∈nkkk ,...,, 21 são as coordenadas do vetor v em relação a base ordenada A.

Notação: ),...,,( 21 nA kkkv = e na forma matricial

=

n

A

k

kk

v...

][ 2

1

.

Toda vez que a expressão “coordenadas em relação a uma base” é utilizada, uma base ordenada está sendo considerada.

Exemplos: O vetor )2,1(=v pode ser escrito: 1) Considerando a base canônica do R2.

)1,0(2)0,1(1)2,1( ⋅+⋅= ou seja

=

21

][v .

2) Considerando a base )}0,1(),1,1{( −=A .

)0,1()1,1()2,1( 21 −⋅+⋅= kk

Assim,

=+=−

201

21

21

kkkk

Logo, 1 e 2 21 == kk .

Portanto,

=−⋅+⋅=

12

][ e )0,1(1)1,1(2)2,1( Av .

50

Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base Que relação existe entre as coordenadas de um vetor no antigo referencial e em um novo referencial? Uma matriz permitirá a relação entre estes referenciais, as bases do espaço vetorial. Esta matriz é denominada matriz de transição ou matriz mudança de base. O desenvolvimento a seguir considera duas bases do R2, no entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer espaço vetorial V n-dimensional. Sejam },{ e },{ 2121 wwBuuA == bases do R2. Para qualquer 2R∈v , tem-se:

21 ubuav ⋅+⋅= (1)

isto é,

=

ba

v A][ .

Como 21 e uu são vetores do R2, podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B.

⋅+⋅=⋅+⋅=

2221122

2211111

wawauwawau

(2)

Substituindo (2) em (1): )()( 222112221111 wawabwawaav ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=

2222111211 )()( wabaawabaav ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=

Portanto, e 22211211 abaaabaa ⋅+⋅⋅+⋅ são as coordenadas de v em relação à base B.

Assim,

⋅+⋅⋅+⋅

=2221

1211][abaaabaa

v B .

Podendo ser rescrito como, .][ 2221

1211

⋅

=

ba

aaaa

v B

A matriz

2221

1211

aaaa

acima é denotada por ABI ][ sendo denominada a matriz de transição da base A

para a base B. As colunas da matriz A

BI ][ são as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. Obtém-se a equação matricial, .][][][ A

ABB vIv ⋅=

Analogamente, ][][][ BBAA vIv ⋅= para mudança da base B para a base A.

Observe que, .][][][ AABB vIv ⋅=

Como, BBAA vIv ][][][ ⋅= .

Tem-se que, .][][][][ BBA

ABB vIIv ⋅⋅=

Como, .][][ BnB vIv ⋅= Então, .][][ B

AABn III ⋅=

Logo, .)]([][ 1−= BA

AB II

51

Exercícios 1) Verifique se R2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.

a) ),(),(

),(),(),(kykxyxk

tyzxtzyx−−=⋅

−−=+

b) )0,(),(

),(),(),(kxyxk

tyzxtzyx=⋅

++=+

c) )2,2(),(

),(),(),(kykxyxk

tyzxtzyx=⋅

++=+

d) ),(),(

)0,0(),(),(kykxyxk

tzyx=⋅

=+

e) ),(),(

),(),(),(kykxyxk

ytxztzyx=⋅

=+

f) ),(),(

)1,1(),(),(kykxyxk

tyzxtzyx=⋅

++++=+

g) ),(),(

),(),(),(ykxyxk

tyzxtzyx=⋅

++=+

2) Considere o conjunto )(RFun de todas as funções : RR →f . Definem-se duas operações

binárias )()()(: RRR FunFunFun →×+ tal que )()())(( xgxfxgf +=+ e )()(: RRR FunFun →×⋅ tal que )())(( xfkxfk ⋅=⋅ .

Estas operações definem um espaço vetorial? 3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R3.

a) }3|),,{( =∈= zzyxS 3R b) }|),,{( 2 yxzyxS =∈= 3R c) }2|),,{( yxzyxS =∈= 3R d) }0|),,{( >∈= xzyxS 3R e) }|),,{( zxyzyxS +=∈= 3R f) }),,,0{( R∈= yyyS

4) Verifique se o conjunto solução do sistema

=−−=−+

=+−

12042

2

zyxzyx

zyx é um subespaço vetorial de R3.

5) Escreva )2,1( −=u como combinação linear de )3,0( e )2,1( .

6) O vetor )0,1,2(−=v pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)?

7) Escreva 1)( 2 −+= xxxp como combinação linear de 342)( e 2)( 22 −=−= xxrxxxq .

52

8) O conjunto )}1,3(),1,0(),2,1{(− gera o R2? 9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores )2,5,2( e )2,1,0(),0,2,1( −− . 10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.

a) )}5,2,3(),5,3,1(),0,0,1{( b) )}1,0,3(),3,2,1(),1,0,0(),1,2,1{( −− c) )}1,2(),5,3(),2,1{( d) )}2,0,0(),3,1,0(),2,0,1{( − e) )}1,1,1,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,0,0,1{(

11) Mostre que se Vwvu ⊆},,{ é LI então },,{ wvwuvu +++ também é um conjunto LI. 12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also).

( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. ( ) )}1,1,1(),2,1,0(),3,2,1{( −− gera o R3. ( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI. ( ) Se Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI. ( ) Se todo subconjunto próprio de Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LI então },...,,{ 21 nvvv é LI. ( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}. ( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)]. ( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado. ( ) {(3,5),(0,0)} é base do R2. ( ){(2,3),(4,5),(7,9)} gera o R2 então {(2,3),(4,5)}, {(2,3),(7,9)} e {(4,5),(7,9)} são bases do R2. ( ) Se 3R=],,,[ 4321 vvvv então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R3. ( ) Um conjunto com três vetores do R3 é base do R3. ( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R3 não será uma base do R3. ( ) )}3,1,2(),3,2,1{( − é base do R2. ( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. ( ) )},(),3,2{( yx é base do R2 quando )]3,2[(),( ∉yx . ( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto Vvvv n ⊆− },...,,{ 121 LI. Então },,...,,{ 121 vvvv n− é base de V qualquer que seja o vetor Vv∈ . ( ) Se nV =dim então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. ( ) {(0,1,2),(1,0,1)} gera R2 . ( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V. ( ) Se )]4,1,1(),3,1,2(),1,0,1[( −=S então .3dim =S

13) Para que valores de k os vetores )3,2,0,1( e )0,1,2,0(),1,,1,0(),,0,2,1( kkk − geram um espaço

tridimensional ? 14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R3.

a) } e 2|),,{( yzyxzyx ==∈ 3R b) }02|),,{( =−+∈ zyxzyx 3R c) }0 e 0|),,{( =+=∈ zxyzyx 3R

53

15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema

=+++=+++=−−+

0232042022

tzyxtzyxtzyx

.

16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço. 17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a

soma é direta. a) }03|),,{( e }02|),,{( 21 =+∈==+−∈= yxzyxSzyxzyxS 33 RR b) }0|),,{( e }|),,{( 21 =++∈==∈= zyxzyxSyxzyxS 33 RR

19) Sejam }0|),,{(1 =∈= yzyxS 3R e )].1,1,3(),0,2,1[(2 −=S Determine 21 SS ∩ e 21 SS + , indicando

uma base e a dimensão em cada um dos casos. 20) Seja )3,2,1(=v e a base )}6,1,2(),5,7,1(),3,0,1{( −−=A . Indique Av][ . 21) Considere )}1,2,0(),3,2,0(),1,1,1{( −=A uma base para o R3. Encontre as coordenadas de

)2,5,3( −=v em relação a esta base. 22) Seja )}1,0,0(),3,2,0(),1,1,1{( −−=A e )3,0,2()( −=Av . Determine v.

23) Sendo )}0,2(),1,3{( −−=A uma base para o R2 e

=

51

][ Av . Encontre:

a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base )}5,1(),1,2{(=B .

24) Encontre as coordenadas do vetor )(3021

22 R×∈

= Matv em relação à base

−

−

=

0030

,21

00,

0110

,1221

B .

25) Dadas as bases do R3, )}.1,0,1(),1,2,0(),1,0,0{( e )}2,0,0(),0,1,0(),2,0,1{( −−=−= BA

a) Determine ABI ][ .

b) Considere

−=

321

][ Av . Calcule Bv][ .

26) Considere as bases )}.7,3,2(),4,6,2(),0,6,6{( e )}1,6,1(),1,2,3(),3,0,3{( −−−−−−=−−−−= BA a) Achar a matriz mudança de base de B para A.

b) Dado )5,8,5( −−=v , calcule Av][ .

27) Seja

−−

=3021

][ ABI e )}.0,2(),2,1{( −=B Determine a base A.

54

28) Seja 1 20 3

a matriz mudança de base de B para A. Determinar a base A, sabendo que

)}.1,0(),1,1{( −=B

29) Sabendo que },{ e },{ 2121 wwBuuA == são bases do R2 tais que:

−=

01

][ Av , 211 uuw −= e

212 32 uuw ⋅−⋅= , determine Bv][ . 30) Considere )}1,0,0(),0,1,1(),0,1,1{( e )}1,2,0(),3,2,0(),1,1,1{( −=−= BA . Determine as matrizes

mudança de base. Respostas 1) Nenhum é espaço vetorial. 3) a)b)d) Não c)e)f) Sim 4) Não 5) )3,0()()2,1(1)2,1( 3

4 ⋅−+⋅=−

20)

−=

205

][ Av

21) )2,1,3()( −=Av 6) Sim, 5 e 2 21 =−= kk 7) )()()()( 4

321 xrxqxp ⋅+⋅−=

9) 024 =−+ zyx 10) a)d)e) LI b)c) LD

22) )5,2,2( −−=v

23) a)

−

=17

][v b)

−

=14

][ Bv

12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V, F,V,F,F,V,F,V,V,F,V, F,F,F

24)

−−

=

31

111

][ Bv

13) 23 ou 1 −== kk

14) a) base : 1dim e )}1,1,2{( = b) base : 2dim e )}1,0,1(),0,1,2{( =− c) base : 1dim e }1,0,1{( =

25) a)

−−=

0010021

][ 2121

ABI b)

−=

116

][ Bv

15) base : )}1,,0,(),0,0,1,2{( 53

51 −−−

2dim = 26) a)

−−−−−=

121

65

23

45

21

23

917

980

][ BAI b)

−=

212532

][ Av

18) a) }),5,,3{(21 R∈−=∩ yyyySS 3R=+ 21 SS b) }),2,,{(21 R∈−=∩ yyyySS 3R=+ 21 SS Nenhum é soma direta.

27) )}4,8(),2,1{( −−=A 28) )}1,(),1,1{( 3

2−−=A

29)

−=

13

][ Bv

19) }),,0,{( 27

21 R∈=∩ zzzSS base : 1dim e )}2,0,7{( = 3R=+ 21 SS base : 3dim e )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( =

30)

−−−=

131110111

][ ABI e

−−−−=

41

21

41

41

21

41

011][ B

AI

55

Apêndice B – Teoremas 1. O elemento neutro é único.

2. (Lei do Corte ou Lei do Cancelamento) Para quaisquer Vwuv ∈,, , se wvuv +=+ então

wu = .

3. O elemento simétrico é único.

4. Para quaisquer Vuv ∈, , se vuv =+ então Vu 0= . 5. Para quaisquer Vuv ∈, , se Vuv 0=+ então vu −= . 6. Para todo Vv∈ , Vv 0=⋅0 . 7. Para todo R ∈k , VVk 00 =⋅ . 8. Para todo , VvVv 0≠∈ e para todo 0, ≠∈ kk R , Vvk 0≠⋅ .

Corolário8. Para todo Vv∈ e para todo R∈k , se Vvk 0=⋅ então Vvk 0== ou 0 .

9. Para todo Vv∈ , vv −=⋅− )1( . 10. Para todo }0{ para todo e −∈∈ NnVv , vvvvn +++=⋅ ... (soma com n parcelas). 11. Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial.

12. Se Vvvv r ⊆},...,,{ 21 então ],...,,[ 21 rvvv é um subespaço vetorial de V. 13. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vv∈ . Se v é uma combinação linear dos vetores rvvv ,...,, 21 então

],...,,[],,...,,[ 2121 rr vvvvvvv = .

14. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vuuu s ⊆},...,,{ 21 . ],...,,[],...,,[ 2121 sr uuuvvv = se e somente se cada um dos vetores do conjunto },...,,{ 21 rvvv é uma combinação linear dos vetores suuu ,...,, 21 e cada um dos vetores do conjunto },...,,{ 21 suuu é uma combinação linear dos vetores rvvv ,...,, 21 .

15. Seja VvVv 0≠∈ , , }{v é linearmente independente. 16. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se Viv 0= , para algum ri ,...,1= então },...,,{ 21 rvvv é linearmente

dependente. 17. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 rvvv é linearmente dependente se e somente se pelo

menos um destes vetores é combinação linear dos demais.

Corolário17. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vv∈ . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente e },,...,,{ 21 vvvv r é linearmente dependente então v é uma combinação linear dos

vetores rvvv ,...,, 21 .

56

18. Seja VvvvS r ⊆⊂ },...,,{ 21 não vazio. Se S é linearmente dependente então },...,,{ 21 rvvv é

linearmente dependente. 19. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 um conjunto linearmente independente e R∈rr llkk ,...,,,..., 11 . Se

rrrr vlvlvkvk ⋅++⋅=⋅++⋅ ...... 1111 então ii lk = , para todo ri ,...,1= .

Corolário19. Seja Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 nvvv é uma base de V então todo vetor Vv∈ pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores nvvv ,...,, 21 da base.

20. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente se e somente se

nenhum destes vetores é combinação linear dos demais.

Corolário20a. Seja Vuv ⊆},{ . O conjunto },{ uv é linearmente independente se e somente se um vetor não é múltiplo escalar do outro.

Corolário20b. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 um conjunto linearmente independente e Vv∈ .

Se ],...,,[ 21 rvvvv∉ então },,...,,{ 21 vvvv r é um conjunto linearmente independente.

21. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente então qualquer um de seus

subconjuntos é linearmente independente.

22. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se Vvvv r =],...,,[ 21 então existe uma base A de V tal que },...,,{ 21 rvvvA⊆ .

Corolário22a. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv gera o espaço vetorial V então qualquer

conjunto de vetores de V com mais do que r elementos é linearmente dependente.

Corolário22b. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv gera V então qualquer conjunto de vetores de V linearmente independente tem no máximo r elementos.

23. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente então pode-se estender o

conjunto },...,,{ 21 rvvv a um conjunto B base de V. 24. Sejam nV =dim e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 nvvv é uma base de V se é linearmente

independente ou se gera o espaço vetorial V.

25. Seja },...,,{ 21 nvvv uma base do espaço vetorial V e Vuuu m ⊆},...,,{ 21 . i. Se nm > então o conjunto },...,,{ 21 muuu é linearmente dependente. ii. Se nm < então o conjunto },...,,{ 21 muuu não gera o espaço vetorial V.

26. Todas as bases de um espaço vetorial possuem o mesmo número de vetores. 27. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, ∅≠∩US e ∅≠+US .

28. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, US ∩ é um subespaços vetorial de V.

57

29. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, US + é um subespaço vetorial de V. 30. Seja S é um subespaço vetorial de V tal que }{ VS 0≠ . Então VS dimdim ≤ . 31. Se V é a soma direta dos subespaços vetoriais US e então todo vetor Vv∈ é escrito de maneira

única na forma usv += , com UuSs ∈∈ e . 32. Teorema da Dimensão Se US e são subespaços vetoriais de V então

)dim(dimdim)dim( USUSUS ∩−+=+ .

Corolário32. Seja S é um subespaço vetorial de V. Se VS dimdim = então VS = .

58

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Transformação Linear Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT →: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:

TL1. Para quaisquer Vuv ∈, , )()()( uTvTuvT +=+ . TL2. Para todo Vv∈ e para todo R∈k , )()( vTkvkT ⋅=⋅ .

Exemplos: 1) 22 RR →:T ),(),(),( yxyxTyx −−=a

Verificando os axiomas: TL1. ),(),()),(),(( tzTyxTtzyxT +=+ , para quaisquer 2R∈),(),,( tzyx ?

),())(),((),()),(),(( tyzxtyzxtyzxTtzyxT −−−−=+−+−=++=+ ),(),(),(),(),( tyzxtzyxtzTyxT −−−−=−−+−−=+

Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores. TL2. ),()),(( yxTkyxkT ⋅=⋅ , para todo 2R∈),( yx e para todo R∈k ?

),(),())(),(())(),((),()),(( yxTkyxkykxkkykxkykxTyxkT ⋅=−−⋅=−−=−−==⋅ Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.

Considere )3,1( e )2,1( −== uv .

)2,1()2,1()( −−== TvT )3,1()3,1()( −=−= TuT

)5,0()3,1()2,1()()( −=−+−−=+ uTvT )5,0()5,0())3,1()2,1(()( −==−+=+ TTuvT

)(2)2,1(2)2,1(2)4,2()4,2())2,1(2()2( vTTTTvT ⋅=⋅=−−⋅=−−==⋅=⋅ 2) 33 RR → :T )0,,(),,(),,( yxzyxTzyx =a

T é uma transformação linear (Verifique.) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.

X

Y

(x, y) y

x X

Y

-x

-y T(x, y)=(-x, -y)

T

59

A transformação linear WVT →:0 tal que WvTv 00 =)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT →: . Se os conjuntos V e W são iguais, WV = , então T é denominada um Operador Linear. O operador linear VVIV →: tal que vvIv V =)( a é denominado Operador Identidade. As transformações lineares R→VT : são denominadas Funcionais Lineares. Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 Reflexão em torno do eixo X: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno do eixo Y: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno da origem: ),(),( yxyxT −−= . Reflexão em torno da reta yx = : ),(),( xyyxT = . Reflexão em torno da reta yx −= : ),(),( xyyxT −−= .

X

Z

Y

(x, y, z)

X

Z

Y

T(x, y, z)=(x, y, 0)

T

T(v)

T(u)

T(v+u)

u

v

v+u

Y

X

60

Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: R∈= kkykxyxT com ),(),( . Se 1>k : dilatação. Se 1<k : contração. Se 0<k : troca de sentido. Se 1=k : operador identidade.

Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo X: 0, com ),(),( >∈= kkykxyxT R .

Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração.

Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo Y: 0, com ),(),( >∈= kkkyxyxT R .

Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração.

Cisalhamento na direção do eixo X: R∈+= kykyxyxT com ),(),( . Cisalhamento na direção do eixo Y: R∈+= kykxxyxT com ),(),( .

v

T(v)

v+u

T(v+u)

u

T(u)

X

Y

X

T(u)

T(v)

v+u

u

v

T(v+u)

Y

61

Rotação: πθθθθθ 20 com )cossen,sencos(),( ≤≤+−= yxyxyxT . Propriedades 1. Se WVT →: é uma transformação linear então WVT 00 =)( .

dem.: )()()()( VVVVV TTTT 00000 +=+= . Mas, WVV TT 000 += )()( , pois WT V ∈)(0 e W0 é o elemento neutro em W. Assim, , WVVV TTT 0000 +=+ )()()( . Logo, WVT 00 =)( .

Portanto, se WVT 00 ≠)( então T não é uma transformação linear. No entanto, o fato de WVT 00 =)( não é suficiente para que T seja linear. Por exemplo, 22 RR →:T tal que ),(),( 22 yxyxT = .

)4,1()2,1()2,1( 22 ==T )25,9()5,3()5,3( 22 ==T

)29,10()5,3()2,1( TTT =+ )49,16()7,4()7,4())5,3()2,1(( 22 ===+ TT

Assim, )()()( uTvTuvT +≠+ Embora, )0,0()0,0( =T , T não é uma transformação linear.

2. Seja WVT →: uma transformação linear.

Então )(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 .

Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível

determinar a transformação linear WVT →: .

X

T(u)

T(v)

v+u

uv

T(v+u)

Y

62

Obtendo a Lei de uma Transformação Linear Seja 22 RR →:T um operador linear tal que )5,1()3,2( −=T e )1,2()1,0( =T . Como encontrar a lei que define este operador? Solução:

)}1,0(),3,2{( é base para R2 .(Verifique!) Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores.

)1,0()3,2(),( 21 ⋅+⋅== kkyxv com R∈21 , kk . ),0()3,2( 211 kkk +=

)3,2( 211 kkk += Assim, 211 3 e 2 kkykx +== .

Então, 2

32 e 2 21

xykxk −== .

Logo, )1,0(2

32)3,2(2

),( xyxyx −+= .

Aplicando o operador linear,

−

+= )1,0(2

32)3,2(2

),( xyxTyxT

)1,0(2

32)3,2(2

TxyTx⋅

−+⋅=

)1,2(2

32)5,1(2

⋅−

+−⋅=xyx

−

−+

−=

232,32

25,

2xyxyxx

+

+−= yxyx ,

247

Logo,

+

+−= yxyxyxT ,

247),( .

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor W0 . Notação: })(|{)()( WvTVvTKerTN 0=∈== Imagem de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores de W que são imagem dos vetores do conjunto V. Notação: } algum para ,)(|{)()Im( VvwvTWwVTT ∈=∈==

N(T) Im(T)

0W

V W T

63

Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V. 2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdim TTNV += Exemplo: Seja 32 RR →:T tal que )0,,0(),( yxyxT += .

)}0,0,0(),(|),{()( =∈= yxTyxTN 2R . Então, )0,0,0()0,,0(),( =+= yxyxT . Assim, yxyx −=∴=+ 0 . Portanto, }),,{(}|),{()( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxTN . Uma base é )}1,1{(− e 1)(dim =TN .

Representação gráfica,

}),( para todo ),0,,0(),({)Im( 2R∈+== yxyxyxTT Uma base para o conjunto imagem é 1)Im(dim e )}0,1,0{( =T . Observe que, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R , )112( += .

(0,0,0)Y

Y

X

X

Z

N(T) : x+y=0

Y : Im(T)

Z

X

X

Y

T

R2

64

Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT →: é injetora, se para quaisquer Vuv ∈, , se uv ≠ então

)()( uTvT ≠ . O que é equivalente a, se )()( uTvT = então uv = . Exemplo: 1) A transformação linear 32 RR →:T tal que ),,(),( yxyxyxT += é injetora.

Sejam 2R∈),(),,( tzyx . Se ),,(),,(),(),( tztzyxyxtzTyxT +=+∴= .

Então

+=+==

tzyxtyzx

Logo, ),(),( tzyx = .

2) Seja o operador linear no R3 tal que )0,0,(),,( xzyxT = , que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo X. Considere os vetores )3,1,2( e )4,0,2( − . Assim, )0,0,2()4,0,2()3,1,2( =−= TT . Então, T não é injetora, pois uvuTvT ≠= com )()( .

Teorema: Uma transformação WVT →: é injetora se e somente se }{)( VTN 0= . Assim, basta verificar se }{)( VTN 0= para garantir que uma transformação linear T é injetora. Exemplo: Seja o operador linear em no 2R tal que ),2(),( yxxyxT += é injetora, pois:

)}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 22 RR .

Assim,

=+=

002

yxx

Então, )}0,0{()( =TN . Transformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear WVT →: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é,

WT =)Im( . Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor. Então, 0)(dim =TN . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R . Assim, 2)Im(dim)Im(dim02 =∴+= TT . Logo, 2R=)Im(T .

65

Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT →: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos. Exemplos: 1) 22 RR →:T tal que ),(),( xyyxT −= . 2) VVIV →: tal que vvIV =)( .

3) 4RR →× )(: 22MatT tal que ),,,()( xyzttzyx

T =

.

Uma transformação WVT →: é denominada de transformação invertível quando existir uma transformação VWT →− :1 tal que WITT =−1o e VITT =− o1 . A transformação 1−T é denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis. Teorema: Seja WVT →: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é

invertível. Teorema: Seja WVT →: uma transformação linear invertível. Então a transformação VWT →− :1 é

linear. Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa 1−T Seja o operador linear 22 RR →:T tal que ),2(),( yxyxT −= . O operador linear inverso 1−T será obtido da maneira a seguir:

)}1,0(),0,1{( é uma base para R2. )0,2()0,1( =T e )1,0()1,0( −=T .

Portanto, )0,1()0,2(1 =−T e )1,0()1,0(1 =−−T . Obtendo a lei de 1−T : ),2(),0()0,2()1,0()0,2(),( 212121 kkkkkkyx −=−+=−⋅+⋅= .

Assim,

−==

2

12kykx

Tem-se que, ykxk −== 21 e 2

.

Então, )1,0()()0,2(),( 2 −⋅−+⋅= yyx x . ( ))1,0()()0,2(),( 2

11 −⋅−+⋅= −− yTyxT x )1,0()()0,2( 11

2 −⋅−+⋅= −− TyTx )1,0()()0,1(2 −⋅−+⋅= yx

( )yx −= ,2 Logo, a lei é ( )yyxT x −=− ,),( 2

1 .

v=T-1(w)

T(v)=w V

W

T

T-1

66

Matriz Associada a uma Transformação Linear Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT →: uma transformação linear. Considerando as bases },...,,{ 21 nvvvA = de V e },...,,{ 21 mwwwB = de W e um vetor qualquer Vv∈ , tem-se:

nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= ...2211 com niki ,...,1 para todo , =∈R . Aplicando a transformação linear T,

)...()( 2211 nn vkvkvkTvT ⋅++⋅+⋅= )(...)()()( 2211 nn vTkvTkvTkvT ⋅++⋅+⋅= (1)

Além disso, WvT ∈)( , portanto:

mm wlwlwlvT ⋅++⋅+⋅= ...)( 2211 (2) com mjl j ,...,1 para todo , =∈R . Como niWvT i ,...,1 para todo ,)( =∈ .

⋅++⋅+⋅=

⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=

mmnnnn

mm

mm

wa...wawavT...

wa...wawavTwa...wawavT

2211

22221122

12211111

)(

)()(

(3)

Substituindo (3) em (1), tem-se:

)...(...)..()...()( 112112211111 mmnnnmmmm wawakwawakwawakvT ⋅++⋅⋅++⋅++⋅⋅+⋅++⋅⋅=

mmnnmmnn wakakakwakakakvT ⋅+++++⋅+++= )...(...)...()( 221111122111 (4) Comparando (2) e (4), tem-se:

nn akakakl 11221111 ... +++=

nn akakakl 22222112 ... +++= ................................................

mnnmmm akakakl +++= ...2211 Na forma matricial:

2

1

21

22221

11211

2

1

=

nmnnn

n

n

m k...kk

.

a...aa............

a...aaa...aa

l...ll

ou seja, A

ABB vTvT ].[][)]([ =

A matriz A

BT ][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32 RR →T tal que ),,(),( yxyxyxT += . Sendo A a base canônica do R2 e B a base canônica do R3, tem-se:

)1,0,0(1)0,1,0(0)0,0,1(1)1,0,1()0,1( ⋅+⋅+⋅==T e )1,0,0(1)0,1,0(1)0,0,1(0)1,1,0()1,0( ⋅+⋅+⋅==T .

67

Então,

=

111001

][ ABT .

Por exemplo,

=

32

)]3,2[( A .

Obtém-se, .32

111001

532

)]5,3,2[()]3,2([

⋅

=

== BBT

Sejam as bases não canônicas .)}1,1,0(),1,3,2(),0,2,1{( e )}5,3(),2,1{( −−== BA

Assim, )1,1,0(27)1,3,2()

21()0,2,1(2)3,2,1()2,1( −⋅+−⋅−+⋅==T e

)1,1,0(655)1,3,2()

67()0,2,1(

316)8,5,3()5,3( −⋅+−⋅−+⋅==T .

Então,

−−=

655

27

67

21

3162

][ ABT .

Por exemplo, .11

)]3,2[(

−=A

Obtém-se,

−=

−⋅

−−==

317

323

10

655

27

67

21

316

11

2)]5,3,2[()]3,2([ BBT

As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R2 em relação à base canônica.

AAB vT ].[][ = BvT )]([

Reflexão em torno do eixo X

⋅

− y

x1001

− y

x

Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor

⋅

yx

kk0

0

kykx

Cisalhamento na direção do eixo Y

⋅

yx

k 101

+ ykxx

Rotação

⋅

−yx

sensenθθθθ

coscos

+−

θθθθ

coscos

yxsenysenx

68

Operações com Transformações Lineares 1. Adição

Sejam WVTWVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a adição de 21 com TT como sendo a transformação linear:

:)( 21 WVTT →+ )()())(( 2121 vTvTvTTv +=+a

Matricialmente, A

B2121 ][][][ TTTT AB

AB +=+ , onde A é uma base de V e B uma base de W.

Exemplo: Sejam : 1

33 RR →T tal que ),2,(),,(1 zyxzyxT = e : 233 RR →T tal que

),0,0(),,(2 zzyxT = . A transformação soma é :)( 21

33 RR →+ TT tal que .)2,2,(),,)(( 21 zyxzyxTT =+

Ainda,

=

100020001

][ 1T ,

=

100000000

][ 2T e

=+

200020001

][ 21 TT em relação a base canônica

do R3. 2. Multiplicação por Escalar

Sejam WVT →: uma transformação linear e R∈k um escalar. Define-se a transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo:

:)( WVTk →⋅ )())(( vTkvTkv ⋅=⋅a

Matricialmente, A

BAB TkTk ][][ ⋅=⋅ , onde A é uma base de V e B é uma base de W.

Exemplo: Seja 2k e 031021

][ =

=T .

Então, )3,,2(),( xyyxyxT += e )6,2,42(),)(2( xyyxyxT +=⋅ .

Ainda, ][2062042

]2[ TT ⋅=

=⋅

3. Composição

Sejam WUTUVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a composta de 21 com TT como sendo a transformação linear:

:)( 12 WVTT →o ))(())(( 1212 vTTvTTv =oa

Matricialmente, A

BBC

AC TTTT ][][][ 1212 ⋅=o , onde A é uma base de V , B é uma base de U e C é uma

base de W. Exemplo: Sejam os operadores lineares no R2, ),2(),(1 yyxyxT −+= e )3,2(),(2 yxyyxT +−= .

69

)3,7())3(),3()2(2()3,2()),((),)(( 12121 yxyxyxyxyyxyTyxTTyxTT −+−=+−−+−+=+−==o

)42,2())(3)2(),(2(),2()),((),)(( 21212 yxyyyxyyyxTyxTTyxTT −−−=−++−−=−+==o

Com relação a base canônica:

−

=1012

][ 1T e

−

=3120

][ 2T .

Assim,

−

−=

−

⋅

−

=3171

3120

1012

][ 21 TT o e

−−−

=

−

⋅

−

=4220

1012

3120

][ 12 TT o .

Propriedades de Transformações Invertíveis Sejam UWTWVTWVT →→→ : e : ,: 21 transformações lineares invertíveis e 0, ≠∈ kk R . 1. TT =−− 11 )( 2. 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk 3. 1

21

11

12 )( −−− = TTTT oo Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares:

a) ),(),,(),,(

: 2 zyxzyxTzyx

T+=

→

a

23 RR

b) )2,(),,(),,(

: yxzyxTzyx

T=

→a

23 RR

c) }0{, ),,(),(),(

: −∈++=

→R

RR 22

babyaxyxTyxT

a

d) 13),,(),,(

: +−=

→yxzyxTzyx

Ta

RR 3

e) xyxTyx

T=

→

),(),( : a

RR 2

2) Para que valores de R∈k a transformação no R3 tal que )3,,32(),,( zykxzyxT += é linear? 3) Seja )(RnnMat × o espaço vetorial das matrizes quadradas nn × sobre R e )(RnnMatM ×∈ uma

matriz arbitrária qualquer. A transformação )()(: RR nnnn MatMatT ×× → tal que AMMAAT ⋅+⋅=)( é linear?

4) Sejam )2,1( e )1,2( ),0,1( ),1,0( ==== wtuv e 22 RR →:T tal que )2,2(),( yxyxT = , que define

a dilatação de fator 2 na direção do vetor. Represente )( e )( ),( ),( , , , , wTtTuTvTwtuv em um sistema de eixos cartesianos.

70

5) Considere a transformação linear )(: 12 RR 2×→ MatT tal que

⋅

=

yx

yxT3021

),( .

Determine ),( e )4,3( ),1,1( yxTTT − . 6) Encontre a lei que define a transformação linear 22 RR →:T que faz associar

cada vetor ),( yxv = à sua reflexão em torno do eixo Y. Determine )3,2( −−T . Represente no sistema de eixos cartesianos.

7) Seja 23 RR →:T uma transformação linear tal que )5,3()0,1,0( ),4,2()0,0,1( == TT e

)1,1()1,1,1( =T . Indique a lei de T. 8) Seja 23 RR →:T uma transformação linear definida por )3,2()0,1,1( ),2,1()1,1,1( == TT e

)4,3()0,0,1( =T . a) Determine ),,( zyxT . b) Determine 3R∈),,( zyx tal que )2,3(),,( −−=zyxT . c) Determine 3R∈),,( zyx tal que )0,0(),,( =zyxT .

9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:

a) )23,32(),,(),,(

: zyxzyxzyxTzyx

T++++=

→a

23 RR

b) )3,2,(),(),(

: yxyxyxyxTyx

T+−−+=

→a

32 RR

10) Ache uma transformação linear 23 RR →:T cujo núcleo seja gerado pelo vetor )0,1,1( . 11) Determinar um operador linear no R3 cujo conjunto imagem seja gerado por )}2,1,1(),1,1,2{( − . 12) Indique a lei de 1−T para cada uma das transformações lineares:

a) ),(),(),(

: xyyxTyx

T−=

→a

22 RR

b) vvIv

VVI

V

V

=→

)( :a

c) ),,,()(

)( : 22

xyzttzyx

Ttzyx

MatT

=

→×

a

4RR

13) Seja o operador linear T no R3 tal que ),,2(),,( zxyyxzyxT ++= . Mostre que T é um

isomorfismo e indique sua inversa.

71

14) Considere },,{ wuvB = uma base do R3, onde )3,2,1(=v , )3,5,2(=u e )1,0,1(=w .

a) Ache uma fórmula para a transformação linear 23 RR →:T tal que )0,1()( =vT , )0,1()( =uT e )1,0()( =wT .

b) Encontre uma base e a dimensão do )(TN . c) Encontre uma base e a dimensão da )Im(T . d) T é invertível? Justifique sua resposta.

15) Seja 23 RR →:T tal que ),(),,( zxyxzyxT ++= . Indique:

a) ABT ][ considerando A e B bases canônicas.

b) CDT ][ onde )}2,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( −=C e )}5,3(),2,1{(=D .

c) DvT ])([ onde )0,1,1(=v .

16) Sejam S e T operadores lineares no R2 definidas por ),2(),( yyxyxS += e )3,(),( yxyxT = . Determine:

a) TS + b) )4()2( TS ⋅+⋅ c) TS o d) SS o

17) Escolha alguns vetores de R2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.

18) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador T.

19) Seja T a transformação linear determinada pela matriz

− 400402

.

a) Indique a lei da transformação. b) Calcule )1,2(−T .

20) Seja T o operador linear no R3 definido por )3,4,2(),,( xyxzyzyxT −+= .

a) Encontre a matriz de T na base )}0,0,1(),1,0,1(),0,1,1{(=B . b) Encontre BT )]1,0,1([ − utilizando B

BT ][ .

21)Seja T a transformação linear associada a matriz

−

002103201

.

a) Ache uma base para )(TN . b) Ache uma base para )Im(T . c) T é sobrejetora ? E injetora? d) Determine a matriz associada a T em relação a base )}2,1,0(),1,1,0(),0,2,1{( − .

72

22) Seja 32 RR →:T a transformação linear definida por )0,,2(),( xyxyxT −+= .

a) Ache a matriz associada a T relativa as bases )}4,2(),3,1{( −=A e )}0,0,3(),0,2,2(),1,1,1{(=B .

b) Use a matriz para calcular BvT )]([ onde

−=

21

][ Av .

23) Seja T a transformação linear associada a matriz

−

120321

.

a) Qual a lei que define T? b) Determine o núcleo de T e uma base para )(TN . c) Determine a imagem de T e uma base para )Im(T .

24) Seja a transformação linear 23 RR →:T tal que )324,32(),,( zyxzyxzyxT +++−= . a) Considerando A e B as bases canônicas do R3 e do R2 , encontre [ ]A

BT . b) Considerando )}1,0,1(),1,1,0(),0,1,1{(=A uma base do R3 e )}1,1(),1,1{( −=B uma base do R2,

encontre [ ]ABT .

25) Seja a transformação linear 32 RR →:T tal que ),,2(),( yxyyxyxT ++= . Encontre:

a) A matriz de T em relação a base canônica b) A matriz de T em relação as bases )}1,0(),2,1{( −=A e )}3,0,0(),1,2,0(),0,0,1{(=B .

26) Considere

−=

200112

][ ABT onde )}1,1(),0,1{( −=A e )}2,0,0(),1,1,0(),3,2,1{( −=B . Encontre as

coordenadas de BvT )]([ sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R2 são

−21

.

27) Sabendo que a transformação linear 22 RR →:θT , cuja matriz em relação à base canônica é

−θθθθ

cossensencos

, aplicada a um vetor

=

yx

v][ indica a rotação do vetor v de um ângulo θ .

Assim, ][cossensencos

][ vT ⋅

−=

θθθθ

θ .

Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice ),( yxC = de um triângulo retângulo e isósceles em A, onde )3,5( e )1,2( == BA .

28) Seja

−

200010002

a matriz associada a um operador T em relação à base )}1,0,0(),1,1,0(),1,0,1{( − .

Determine a lei de T.

73

Respostas 1) b) Sim 2) 0=k 3) Sim

5)

=

33

)1,1(T e

=−

125

)4,3(T

+=

yyx

yxT3

2),(

16) a) )4,22(),)(( yyxyxTS +=+ b) )14,46(),)(42( yyxyxTS +=⋅+⋅ c) )3,6(),)(( yyxyxTS +=o d) ),4(),)(( yyxyxSS +=o

19) a) )4,4,2(),( yxxyxT −= b) )4,8,4()1,2( −−−=−T

6) ),(),( yxyxT −= e )3,2()3,2( −=−−T 7) )854,432(),,( zyxzyxzyxT −+−+= 8) a) )4,3(),,( zyxzyxzyxT −−−−=

b) }),,6,1{( R∈− zzz }),,,0{( R∈− yyy

20) a)

−−

−=

432333113

][ BT

b)

−=−

531

)]1,0,1([ BT

9) a) }),,2,{()( R∈−= zzzzTN 2R=)Im(T

b) )}0,0{()( =TN }0345|),,{()Im( =++−∈= zyxzyxT 3R

21) a) base )}0,1,0{(:)(TN b) base )}0,1,2(),2,3,1{(:)Im( −T c) Nem injetora nem sobrejetora.

d)

−−=

310

35

320

310

10

421][ AT

12) a) ),(),(1 xyyxT −=− b) VV II =−1

c)

=−

xyzt

tzyxT ),,,(1

22) a)

−=

34

3821 1

00][ A

BT b)

=

0

0)]([ 2

5BvT

14) a) ),zyxT zyxzyx839

217(),,( −−−+=

b) }),0,,{()( 3 R∈= yyTN y base )}0,3,1{(:)(TN 1)(dim =TN c) 2R=)Im(T

base )}1,0(),0,1{(:)Im(T 2)Im(dim =T d) Não, pois T não é injetora.

23) a) )2,3,2(),( yxxyxyxT ++−= b) )}0,0{()( =TN

}0653|),,{()Im( =−+∈= zyxzyxT 3R base )}1,0,2(),2,3,1{(:)Im( −T

24) a)

−=

324312

][ ABT

b) 16

][23

25

27

27

−−−

=ABT

15) a)

=

101011

][ ABT

b)

−−

−=

221652

][ CDT

c)

−=

37

])([ DvT

25) a) 111012

][

=A

BT b)

−=

6121

01

10][ A

BT

26)

=

410

)]([ BvT

27) )4,0(=C ou )2,4( −=C 28) )24,,2(),,( zyxyxzyxT ++−−=

74

Apêndice C – Teoremas Considere WVT →: uma transformação linear. 33. WVT 00 =)( . 34. Para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 ,

)(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ .

Corolário34. Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT →: .

35. Para quaisquer Vuv ∈, , )()( vTvT −=− e )()()( uTvTuvT −=− .

36. Seja S um subespaço vetorial do espaço vetorial V.

Então })( que tal existe |{)( wsTSsWwST =∈∈= é um subespaço vetorial do espaço W. 37. )(TN é um subespaço vetorial de V. 38. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 39. Teorema do Núcleo e da Imagem. )Im(dim)(dimdim TTNV += .

40. T é uma transformação linear injetora se e somente se }{)( VTN 0= . 41. Seja T uma transformação linear injetora e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 um conjunto de vetores linearmente

independente. Então o conjunto WvTvTvT n ⊆)}(),...,(),({ 21 também é linearmente independente.

42. Se T é uma transformação linear injetora e WV dimdim = então T é sobrejetora. 43. T é bijetora se e somente se for invertível. 44. Considere Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . Se Vvvv n =],...,,[ 21 então )Im()](),...,(),([ 21 TvTvTvT n = . Considere WVTT →′ :, e UWRR →′ :, transformações lineares. 45. A transformação composta UVTR →:)( o tal que ))(())(( vTRvTR =o é linear. 46. Sejam T e R bijetoras.

Então i) a transformação inversa VWT →− :1 é linear. ii) TT =−− 11)( iii) 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk iv) 111)( −−− = RTTR oo

75

47. Seja R∈k . Então i) )()()( TRTRTRR ooo ′+=′+

ii) )()()( TRTRTTR ′+=′+ ooo iii) )()()( TkRTRkTRk ⋅=⋅=⋅ ooo

48. Seja },...,,{ 21 nvvv uma base V. Se o vetor iv pode ser associado a um vetor Wwi ∈ , para todo

ni ,...,1= então existe uma única transformação linear WVT →: tal que ii wvT =)( . 49. Seja ),( WVL (ou ),( WVHom ) o conjunto de todas as transformações lineares de V em W e as

seguintes operações:

)()())(( que tal ),( ),(),(),(:

21212121 vTvTvTTTTTTWVLWVLWVL

+=++→×+a

)())(( que tal ),(

),(),(:vTkvTkTkTk

WVLWVL⋅=⋅⋅

→×⋅a

R

Então ],,),,([ ⋅+RWVL é um espaço vetorial.

50. Se nV =dim e mW =dim então nmWVL =),(dim . O conjunto ),( RVL ou ),( RVHom ou *V de todos os funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V.

76

PRODUTO INTERNO Definição Considere V um espaço vetorial real. O produto interno sobre V é uma função

⟩⟨→×⟨⟩

v,uuvVV

),( :

a

R

que satisfaz as seguintes propriedades: PI1. (Positiva Definida) Para todo, 0,, ≥⟩⟨∈ vvVv e Vvvv 0==⟩⟨ se somente e se 0, PI2. (Simétrica) Para quaisquer ⟩⟨=⟩⟨∈ vuuvVuv ,,,, . PI3. (Aditividade) Para quaisquer ⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨∈ wuwvwuvVwuv ,,,,,, . PI4. (Homogeneidade) Para quaisquer Vuv ∈, e para todo ⟩⟨=⟩⟨∈ uvkukvk ,,,R . Exemplos: 1) Produto usual, canônico ou Euclidiano no Rn.

∑=

=⟩⟨n

iiinn yxyyyxxx

12121 ),...,,(),,...,,(

2) 2R:V

ytxztzyx 3),(),,( 21 +=⟩⟨

3) 3R:V

212121222111 52,,,,,( zzyyxxzyxzyx ++=⟩⟨ Norma de um Vetor Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função norma como sendo

R→V: tal que ⟩⟨= vvv , . Assim, ⟩⟨= vvv ,2 . Com esta definição, a norma de vetores depende do produto interno considerado. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Um vetor Vv∈ é denominado vetor unitário quando 1=v .

Seja um vetor Vv∈ , Vv 0≠ . O vetor Vvvv

v∈=⋅

1 é denominado vetor normalizado, e sempre

um vetor unitário, isto é, 1=vv .

77

Distância entre dois Vetores Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função distância

R→×VVd : tal que uvuvd −=),( . Assim, ⟩−−⟨=−= uvuvuvuvd ,),( , e

⟩−−⟨= uvuvuvd ,),( 2 . Ângulo entre dois Vetores Seja V um espaço vetorial munido com um produto interno. O ângulo θ entre dois vetores

Vuv ∈, é tal que uvuv

,cos ⟩⟨

=θ com πθ ≤≤0 .

Ortogonalidade Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Dois vetores Vuv ∈, são denominados vetores ortogonais quando 0, =⟩⟨ uv . Notação: uv⊥ Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e o conjunto VvvA n ⊆= },...,{ 1 . O conjunto A é dito conjunto ortogonal quando 0, =⟩⟨ ji vv , para todo nji ,...,1, = , ji ≠ . Se em um conjunto ortogonal todos os vetores são unitários o conjunto é denomindado conjunto ortonormal. Desta forma, se uma base do espaço vetorial for um conjunto ortogonal, será denominada base ortogonal. Uma base ortogonal formada por vetores unitários é chamada base ortonormal. Exemplo: O conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− é ortogonal em relação ao produto interno usual. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um Subespaço. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt resolve o problema de a partir de uma base qualquer de um espaço vetorial, obter uma base ortogonal. O processo será apresentado para os espaços vetoriais do R2 e R3, e, finalmente, generalizado. • Processo para o espaço R2 Considere },{ 21 vvA = uma base de R2. Sejam 11 vu = e 122 kuvu −= . Assim, 0, 12 =⟩⟨ uu isto é, o vetor 2u , obtido em função de 1v e 2v , é ortogonal ao vetor 1u . Interpretação geométrica:

2v

11 vu =

1ku2u

78

O escalar R∈k é tal que: 0, 12 =⟩⟨ uu 0, 112 =⟩−⟨ ukuv

0,, 1112 =⟩⟨−⟩⟨ ukuuv 0,, 1112 =⟩⟨−⟩⟨ ukuuv

∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 1112 uukuv⟩⟨⟩⟨

=11

12

,,uuuv

k

Logo, },{ 21 uuB = é uma base ortogonal com 11 vu = e 111

122122 ,

, uuuuvvkuvu⟩⟨⟩⟨

−=−= .

O vetor 1ku é a projeção ortogonal do vetor 2v no subespaço vetorial gerado pelo vetor 1u .

111

1212][ ,

,1

uuuuvkuvproj u ⟩⟨⟩⟨

==

Exemplo: Ortogonalizando a base )}5,3(),2,1{( pelo processo de Gram-Schmidt.

)2,1(11 == vu

−=−=

⟩⟨⟩⟨

−=⟩⟨⟩⟨

−=51,

52)2,1(

513)5,3()2,1(

)2,1(),2,1()2,1(),5,3()5,3(

,,

111

1222 u

uuuvvu

Assim o conjunto ( ){ }51

52 ,),2,1( é uma base ortogonal do R2.

O vetor ( )5

265

135

131 ,)2,1( ==ku é a projeção ortogonal do vetor )5,3( no subespaço vetorial [ ])2,1( .

• Processo para o espaço R3 Seja },,{ 321 vvvA = uma base do R3.

Sejam os vetores 11 vu = e 111

1222 ,

, uuuuvvu⟩⟨⟩⟨

−= .

O vetor 3u é obtido em função dos vetores 321 e , vvv e ortogonal tanto ao vetor 1u quanto ao vetor

2u . Assim, )( 221133 ukukvu ⋅+⋅−= com 0, 13 =⟩⟨ uu e 0, 23 =⟩⟨ uu . Interpretação geométrica para esta situação:

2u

1u

22uk

11uk

3u

3v

79

O escalar R∈1k é tal que: 0, 13 =⟩⟨ uu 0),( 122113 =⟩+−⟨ uukukv

0, 122113 =⟩−−⟨ uukukv 0,,, 12211113 =⟩⟨−⟩⟨−⟩⟨ uukuukuv

Mas, 0, 1221 =⟩⟨∴⊥ uuuu

∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 11113 uukuv⟩⟨⟩⟨

=11

131 ,

,uuuv

k

O escalar R∈2k é tal que: 0, 23 =⟩⟨ uu 0),( 222113 =⟩+−⟨ uukukv

0, 222113 =⟩−−⟨ uukukv 0,,, 22221123 =⟩⟨−⟩⟨−⟩⟨ uukuukuv

Mas, 0, 2121 =⟩⟨∴⊥ uuuu

∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 22223 uukuv⟩⟨⟩⟨

=22

232 ,

,uuuv

k

Então, 11 vu =

111

1222 ,


−=

222

231

11

133221133 ,

,,,

uuuuv

uuuuv

vukukvu⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

−=−−=

Logo, },,{ 321 uuuB = é uma base ortogonal do R3, com 11 vu = , 111

1222 ,


−= e

222

231

11

133221133 ,

,,,

uuuuv

uuuuv

vukukvu⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

−=−−= .

O vetor 2211 ukuk + é a projeção ortogonal do vetor 3v no subespaço vetorial gerado pelos vetores

21 e uu .

222

231

11

1322113],[ ,

,,,

21u

uuuu

uuuuu

ukukvproj uu ⟩⟨⟩⟨

+⟩⟨⟩⟨

=+=

• Generalização Seja },...,,{ 21 nvvvA = uma base de um espaço vetorial V n-dimensional munido de um produto interno. Considere os vetores:

11 vu =

111

1222 ,


−=

222

231

11

1333 ,

,,,

uuuuv

uuuuv

vu⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

−=

.......................................................................................

111

12

22

21

11

1

,,

...,,

,,

−−−

−

⟩⟨⟩⟨

−−⟩⟨⟩⟨

−⟩⟨⟩⟨

−= nnn

nnnnnn u

uuuv

uuuuv

uuuuv

vu

Então },...,,{ 21 nuuuB = é uma base ortogonal de V.

80

Como Vvvv

v∈=⋅

1 é um unitário, o conjunto

=n

n

uu

uu

uu

C ,...,,2

2

1

1 , obtido da normalização

dos vetores da base ortogonal B, é denominado base ortonormal. Complemento Ortogonal Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e S um subespaço vetorial de V. O complemento ortogonal de S é o conjunto } para todo ,0,|{ SssvVvS ∈=⟩⟨∈=⊥ . Exemplos: 1) }0|),,{( =∈= xzyxS 3R .

Encontrar um vetor ortogonal ao subespaço vetorial S significa encontrar um vetor ortogonal aos vetores de uma base de S. Seja )}1,0,0(),0,1,0{( uma base de S. Assim, )}1,0,0(),,( e )0,1,0(),,(|),,{( ⊥⊥∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R .

∴=⟩⟨=⟩⟨ 0)1,0,0(),,,( e 0)0,1,0(),,,( zyxzyx 0 e 0 == zy .

Então, }0 e 0|),,{( ==∈=⊥ zyzyxS 3R . 2) },),,,3{( R∈−= zyzyzyS .

Uma base para S é )}1,0,1(),0,1,3{( − . }0)1,0,1(),,,( e 0)0,1,3(),,,(|),,{( =⟩−⟨=⟩⟨∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R .

Assim,

=+−=+

003

zxyx

.

}),,3,{( R∈−=⊥ zzzzS .

Observe que, se S é um subespaço vetorial de V, seu complemento ortogonal ⊥S também é subespaço vetorial de V. É importante ainda ressaltar que o único vetor comum a a e ⊥SS é o vetor nulo V0 , Assim,

}{ VSS 0=∩ ⊥ . O subespaço vetorial ⊥+ SS é na verdade o próprio espaço vetorial V. Portanto, VSS =⊕ ⊥ . Pelo Teorema da Dimensão, ⊥⊥ +=⊕= SSSSV dimdim)dim(dim .

81

Exercícios 1) Verifique que funções RRR 22 →×⟨⟩ : definidas abaixo são produtos internos.

a) ytxztzyx 32),(),,( +=⟩⟨ b) ytxztzyx −=⟩⟨ ),(),,( c) xztzyx 4),(),,( =⟩⟨ d) 1),(),,( ++=⟩⟨ ytxztzyx e) tyzxtzyx 222),(),,( +=⟩⟨ f) tyzxtzyx 22),(),,( +=⟩⟨ g) 2222),(),,( tyzxtzyx +=⟩⟨ h) 2211),(),,( lklktzyx −=⟩⟨ onde },{ 21 vvA = é uma base qualquer do espaço vetorial R2,

2211),( vkvkyx ⋅+⋅= e 2211),( vlvltz ⋅+⋅= . i) ytyzxtxztzyx 522),(),,( +−−=⟩⟨

2) Calcule a norma de )2,5,1( − considerando:

a) o produto interno usual no R3.

b) ztyrxwtrwzyx 321),,(),,,( ++=⟩⟨ .

3) Calcule )1,2( em relação ao:

a) produto interno usual. b) ytxztzyx 43),(),,( +=⟩⟨ .

4) Considere o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual. Determine R∈k tal que 41)1,,6( =−k .

5) Mostre que 1=vv para todo Vv∈ .

6) Sejam Vvu ∈, um espaço vetorial euclidiano tais que 3=v e 5=u . Determine R∈k de

modo que 0, =⟩⋅−⋅+⟨ ukvukv . 7) Seja R2 munido do produto interno usual e )5,3( e )2,1( == uv .

a) interprete geometricamente vuuvuv −−+ e , . b) calcule ),( e ),( vuduvd .

8) Seja o espaço vetorial R2 com produto interno usual. Seja que 3=v , 4=u e 52=+ uv . Indique o ângulo entre v e u.

9) Verifique se os vetores )3,2( − e )2,3( são ortogonais em relação aos seguintes produtos internos

no R2: a) ytxztzyx +=⟩⟨ ),(),,( b) ytxztzyx 34),(),,( +=⟩⟨

82

10) Se v e u são vetores ortogonais então 222 uvuv +=+ ? Justifique. (Generalização do Teorema de Pitágoras)

11) Normalize o conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− . 12) Verifique se as bases abaixo são ortogonais no R² e no R³, respectivamente, para o produto

interno usual. a) )}5,3(),2,1{(

b)

−

−

32,

32,

31,

32,

31,

32,

31,

32,

32

13) Encontre um vetor unitário no R3 que seja ortogonal aos vetores )0,1,1( − e )1,1,2( − . 14) Seja V um espaço vetorial euclidiano. Mostre que se Vuv ∈, são ortogonais e tais que

1== uv então 2=− uv . 15) Ortogonalize a base )}1,1,0(),0,2,1(),2,1,1{( − do R3. 16) O conjunto )}1,1,0(),2,0,1{(=A é uma base de um subespaço vetorial do R3. Obtenha uma base

ortogonal B a partir de A. 17) Encontre a projeção ortogonal do vetor )1,1,1( − no subespaço vetorial ][B do exercício

anterior. 18) Seja },),,,3{( R∈−= zyzyzyS um subespaço vetorial do R3. Indique ⊥S , ⊥∩ SS e ⊥+ SS .

19) A partir da base )}5,2(),3,1{( indique duas bases ortonormais do R2. 20) Ortogonalize pelo processo de Gram-Schmidt as seguintes bases do R3.

a) )}1,2,1(),0,1,1(),1,1,1{( − b) )}1,4,0(),2,7,3(),0,0,1{( −

21) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e seja S o subespaço vetorial gerado

pela base ortogonal )}3,0,4(),0,1,0{( −=B . Determine a projeção do vetor )1,1,1( no subespaço S.

22) Seja o espaço vetorial R3 com o produto interno zrytxwrtwzyx 32),,(),,,( ++=⟩⟨ .

Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{( numa base ortogonal.

23) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e )}2,4,2(),,3,2,1{( −−=A .

Determine: a) o subespaço vetorial S gerado pelo conjunto A . b) o subespaço vetorial ⊥S .

24) Considere o subespaço vetorial }0|),,{( =−∈= zxzyxS 3R com o produto interno zrytxwrtwzyx 432),,(),,,( ++=⟩⟨ . Determine ⊥S , uma base e sua dimensão.

83

Respostas 2) a) 30 b)

752

3) a) 5 b) 4 4) 2±=a 6) 5

3±=a

7) 13),(),( == vuduvd 8) )arccos( 24

5−=θ 11) { ( , , ), ( , , ), ( , , )1

525

214

114

314

670

370

5700 − −

13)

−

33,

33,

33

15) { ( , , ), ( , , ), ( , , )11 2 112

32

421

221

121− − − }

16) { ( , , ), ( , , )1 0 2 125

15− }

17)

−−=′ 3

1,31,

31

][ vproj B

18) a) Sim b) {0V} c) R3 19) { })0,,(),,,(),1,1,1( 3

132

21

21

21 −−

20) a) {(1,1,1),(-1,1,0),( 16

16

26, ,− )}

b) {(1,0,0),(0,7,-2),( 0 3053

10553, , )}

21)

−=

253,1,

254

][ vproj B

22) { )0,,(),,,(),1,1,1( 31

32

21

21

21 −− }

23) a) }0|),,{( 3 =++∈= zyxzyxS R b) }),,,{( R∈=⊥ zzzzS 24) }),,0,2{( R∈−=⊥ zzzS base : {(-2, 0, 1)} 1dim =⊥S

84

Apêndice D – Teoremas Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Para quaisquer Vwuv ∈,, e R∈21,, kkk .

Teo51. ⟩⟨=⟩⋅⟨ uvkukv ,, Teo52. ⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨ wvuvwuv ,,, Teo53. ⟩⟨=⟩⟨ uvkkukvk ,, 2121 Teo54. 0, =⟩⟨ Vv 0 Teo55. Se para todo VuVu 0≠∈ , , 0, =⟩⟨ uv então Vv 0= .

Teo56. Se para todo VuVu 0≠∈ , , ⟩⟨=⟩⟨ uwuv ,, então wv = . Teo57. ⟩⟨−⟩⟨=⟩−⟨ wuwvwuv ,,, . Teo58. 0≥v e Vvv 0== se somente e se 0 . Teo59. vkvk ⋅=⋅ . Teo60. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uvuv , ≤⟩⟨ . Corolário60: ⟩⟩⟨⟨≤⟩⟨ uuvvuv ,,, 2 , isto é, 222, vuuv ≤⟩⟨ . Teo61. Desigualdade Triangular: uvuv +≤+ . Teo62. i) 0),( ≥uvd e 0),( =uvd se e somente se uv =

ii) ),(),( vuduvd = iii) ),(),(),( uwdwvduvd +≤

Teo63. vV ⊥0 . Teo64. Se uv ⊥ então vu ⊥ . Teo65. Se uv ⊥ , para todo VuVu 0≠∈ , então Vv 0= . Teo66. Se wv ⊥ e wu ⊥ então wuv ⊥+ . Teo67. Se uv ⊥ então uvk ⊥⋅ . Teo68. (Generalização do Teorema de Pitágoras) Se uv ⊥ então 222 uvuv +=+ . Teo69. Se },...,{ 1 rvv é um conjunto ortogonal de vetores não nulos então },...,{ 1 rvv é um conjunto

linearmente independente.

85

Teo70. Sejam VS ≤ , },...,{ 1 rvv uma base de S e Vv∈ tal que para todo ri ,...,1= , ivv ⊥ então para todo Ss ∈ , sv ⊥ .

Teo71. Sejam },...,{ 1 nvv uma base ortonormal de V e Vv∈ . Então nn vvvvvvv ⋅++⋅= ,..., 11 . Teo72. (Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt)

Sejam Vvv r ⊆},...,{ 1 um conjunto de vetores linearmente independente. Existe um conjunto ortogonal (ortonormal) Vuu r ⊆},...,{ 1 que é uma base do subespaço gerado pelo conjunto

},...,{ 1 rvv . Teo73. ∅≠⊥S . Teo74. VS ≤⊥ . Teo75. SS =⊥⊥ )( Teo76. }{ VSS 0=∩ ⊥ .

Teo77. ⊥⊕= SSV Corolário77: VSS dimdimdim =+ ⊥ Teo78. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e um dado vetor Vu∈ . A

função R→Vfu : tal que >=< vuvf ,)( é um funcional. Teo79. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno. A função *: VVT → tal que

vfvT =)( é uma transformação linear. Teo80. Sejam V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e R→Vf : um funcional.

Então existe um único vetor Vv∈ tal que >=< uvuf ,)( , para todo Vu∈ , isto é, a função *: VVT → tal que vfvT =)( é um isomorfismo.

Corolário80. Se nV =dim então nV =*dim .

86

AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição Seja VVT →: um operador linear. Um vetor VvVv 0≠∈ , , é dito autovetor, vetor próprio ou

vetor característico do operador T, se existir R∈λ tal que vvT ⋅= λ)( .

O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador linear T

associado ao autovetor v.

Exemplos:

1) : 22 RR →T

)8,3(),( yxxyx −a

)2,1( é autovetor de T associado ao autovalor 3=λ , pois )2,1(3)6,3()2,1( ⋅==T .

2) : 33 RR →T

)32,2,(),,( zyzyzyxzyx ++++a

)2,1,1( é autovetor de T associado ao autovalor 4=λ , pois )2,1,1(4)8,4,4()2,1,1( ⋅==T e

)1,1,1( − é autovetor de T associado ao autovalor 1=λ , pois )1,1,1(1)1,1,1()1,1,1( −⋅=−=−T .

Seja v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor λ então Vkv∈ também é um

autovetor de T associado ao autovalorλ , para todo 0, ≠∈ kk R .

Exemplo: Seja o operador linear )8,3(),( yxxyxT −= .

O vetor )2,1(=v é autovetor associado ao autovalor 3=λ .

Como )4,2(3)12,6()4,2())2,1(2( ⋅===⋅ TT , o vetor )4,2( é também autovetor de T associado a

3=λ .

Seja λ é um autovalor do operador linear T. O conjunto })(|{ vvTVvV λλ =∈= de todos os

autovetores associados a λ juntamente com o vetor nulo V0 , é denominado autoespaço

correspondente ao autovalor λ .

Exemplo: Considere o operador )8,3(),( yxxyxT −= .

O autoespaço { } { }RR 2 ∈==∈= xxxyxyxTyxV ),2,(),(3),(|),(3 corresponde ao autovalor 3=λ .

87

Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear VVT →: tal que nV =dim .

Por definição, vvT ⋅= λ)( , com VvVv 0≠∈ , e R∈λ .

Considere o operador identidade VVIV →: tal que vvIV =)( .

Assim, )()( vIvT Vλ= .

Então, VV vIvT 0=− )()( λ .

Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, VV vIvT 0=− ))(()( λ .

Pela definição de adição de transformações, VV vIT 0=− ))(( λ .

Então, o vetor VvVv 0≠∈ , , deve pertencer ao núcleo do operador )( VIT λ− , isto é,

)( VITKerv λ−∈ , com Vv 0≠ .

Portanto, o operador linear )( VIT λ− não é injetivo, consequentemente, não é bijetivo, nem

invertível.

O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua matriz

associada, dada uma certa base, ser zero.

A equação 0)]det([ =− nA IT λ , onde nI é a matriz identidade de ordem n, é denominada de

equação característica.

O polinômio )]det([ nA IT λ− é denominado polinômio característico de T, e suas raízes em R são

os autovalores do operador linear T.

Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= e considere a base canônica do R2.

Assim,

−

=1803

][T e

=

=

λλ

λλ0

01001

2I

Então,

−−

−=

−

−

=−λ

λλ

λλ

1803

00

1803

][ 2IT

)1)(3(1803

det)]det([ 2 λλλ

λλ −−−=

−−

−=− IT

−==

∴=−−−∴=−1

30)1)(3(0)]det([

2

12 λ

λλλλIT

Logo, 1 e 3 21 −== λλ são os autovalores do operador linear T.

88

Tendo encontrado os autovalores iλ , com Vi dim1 ≤≤ .

Os autovetores são os vetores VvVv 0≠∈ , tais que VV vIT 0=− ))(( λ .

Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial 1][)]([ ×=⋅− nAnA vIT 0λ ,

onde 1×n0 é a matriz nula de ordem 1×n .

Substituindo cada autovalor iλ encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações

lineares.

Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são

obtidos, e, consequentemente, os autoespaços i

Vλ .

Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= com autovalores 1 e 3 21 −== λλ e a

base canônica do R2.

Para 31 =λ : 122 ][)3]([ ×=⋅− 0vIT

00

1001

31803

∴

=

⋅

−

− y

x∴

=

⋅

−

− 0

03003

1803

yx

=

⋅

− 0

04800

yx

xyyx 2048 =∴=−

}),2,{(3 R∈= xxxV

Para 12 −=λ : 122 ][))1(]([ ×=⋅−− 0vIT

∴

=

⋅

+

− 0

01001

1803

yx

∴

=

⋅

00

0804

yx

=∴==

00804

xxx

}),,0{(1 R∈=− yyV .

89

Multiplicidade de Autovalores Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e R∈iλ , com Vi dim1 ≤≤ , um autovalor

deste operador.

O número de vezes que )( iλλ − aparece como um fator do polinômio característico de T é

denominado de multiplicidade algébrica de iλ , cuja notação é )( iam λ .

A dimensão do autoespaço i

Vλ é denominada a multiplicidade geométrica de iλ , cuja notação é

)( igm λ .

Exemplos: Considerando a base canônica do R3.

1) 33 RR →:T tal que )422,242,224(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++=

=

422242224

][T e

−−

−=−

λλ

λλ

422242224

)(][ 3IT

0)8()2(03236120)]det([ 233 =−−∴=−+−∴=− λλλλλλIT

},),,,{( e 2 21 R∈−−== zyzyzyVλ

}),,,{( e 8 82 R∈== zzzzVλ

O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e seu

autoespaço possui dimensão igual a 2, 2)2( =gm . Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz,

1)8( =am , e )8(1dim 8 gmV == .

2) 33 RR →:T tal que )2,2,3(),,( zyyxzyxT +=

=

210020003

][T e

−−

−=−

λλ

λλ

210020003

)(][ 3IT

0)3()2(0121670))(]det([ 2233 =−−∴=−+−∴=⋅− λλλλλλ IT

}),,0,0{( e 2 21 R∈== zzVλ

}),0,0,{( e 3 32 R∈== xxVλ

O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e

)2(1dim 2 gmV == . O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, 1)3( =am , e )3(1dim 3 gmV == .

90

Diagonalização de Operadores Lineares Dado um operador linear VVT →: , existem representações matriciais de T relativas as bases de V.

Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal.

Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base,

cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal.

Assim, esta base diagonaliza o operador linear T.

Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear.

O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base A de V tal

que AT ][ é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T.

Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n

autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável.

Exemplo: Seja o operador linear 33 RR →:T tal que )2,2,4(),,( zxyxzxzyxT +−+−+= e a

base canônica do R3, então

−−=

102012104

][T .

11 =λ , }),0,,0{(1 R∈= yyV e )0,1,0(1 =v

22 =λ , }),,,2

{(2 R∈−= zzzzV e )2,2,1(2 −=v

33 =λ , }),,,{(3 R∈−= zzzzV e )1,1,1(3 −=v

Sendo )}1,1,1(),2,2,1(),0,1,0{( −−=A uma base de autovetores,

=

300020001

][ AT

Se existem nr < autovalores distintos rλλ ,,1 K e suas multiplicidades algébricas e geométricas

forem iguais, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm λλ = , então o operador linear T é

diagonalizável.

Exemplo: Seja o operador 33 RR →:T tal que ),,(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= e a

base canônica do R3, então

=

111111111

][T .

01 =λ , },),,,{(0 R∈−−= zyzyzyV e )}1,0,1(),0,1,1{(1 −−=A 32 =λ , }),,,{(3 R∈= zzzzV e )}1,1,1{(2 =A

Sendo )}1,1,1(),1,0,1(),0,1,1{(21 −−=∪= AAA uma base de autovetores,

=

300000000

][ AT

91

Exercícios 1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:

a)

=−

3122

][para )1,2( T .

b)

−=−

121232011

][para )3,1,2( T .

2) Os vetores )1,2( e )1,1( − são autovetores de um operador linear 22 RR →:T associados aos

autovalores 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determinar )1,4(T . 3) Determinar o operador linear 22 RR →:T cujos autovalores são 11 =λ e 32 =λ associados

aos autoespaços }),,{(1 R∈−= yyyV e }),,0{(3 R∈= yyV . 4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2.

a) )4,2(),( yxyxyxT +−+= b) ),(),( xyyxT −=

5) Dado o operador linear T no R2 tal que )2,53(),( yyxyxT −−= , encontrar uma base de

autovetores. 6) Verificar se existe uma base de autovetores para:

a) 33 RR →:T tal que )32,2,(),,( zyzyzyxzyxT ++++= b) 33 RR →:T tal que )22,2,(),,( zyxyxxzyxT ++−−= c) 33 RR →:T tal que )34,32,(),,( zyzyxxzyxT +−−+−=

7) Seja 22 RR →:T tal que )2,54(),( yxyxyxT ++= . Encontrar uma base que diagonalize o

operador T. 8) O operador linear 44 RR →:T tal que ),,,(),,,( yxtzyzyxtzyxtzyxT ++++++++=

é diagonalizável? Respostas 1) a) Sim b) Não 2) )32,4(),( yxyxyxT ++= e )11,8()1,4( =T

5) )}0,1(),1,1{( − 6) a) b) Sim c) Não

3) )32,(),( yxxyxT += 4) a) autovalores: 2 e 3 b) não possui autovalores reais

7) )}2,5(),1,1{(−=A e

−=

6001

][ AT

92

Apêndice E – Teoremas Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Teo81. Se VvVv 0≠∈ , é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor R∈λ então

para todo 0, ≠∈ kk R , o vetor kv é também um autovetor de T associado ao autovalorλ .

Teo82. Seja λ um autovalor de T. Então λV é um subespaço vetorial de V. Teo83. Sejam os autovetores v e v′ do operador linear T associados, respectivamente, aos

autovalores λ e λ′ distintos entre si. Então v e v′ são linearmente independentes. Teo84. Sejam rvvv ,...,, 21 autovetores do operador linear T associados a autovalores todos distintos

rλλλ ,...,, 21 . Então os autovetores rvvv ,...,, 21 são linearmente independentes.

Corolário84: Seja um operador linear VVT →: e V um espaço vetorial n-dimensional. Se T possui n autovalores distintos então existe uma base constituída por autovetores.

Teo85. Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n

autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável. Teo86. Se existem nr < autovalores distintos r,..,λλ1 e para qualquer autovalor a multiplicidade

algébrica for igual a sua multiplicidade geométrica, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm λλ = então o operador linear T é diagonalizável.

93

ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES

Operador Adjunto Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno. Seja VVT →: um operador linear, A uma base ortonormal de V e a matriz AT ][ associada ao operador linear T em relação a base A. A matriz t

AT ][ define um novo operador VVT →:* , denominado operador adjunto do operador T. O operador adjunto é tal que para quaisquer Vwv ∈, , )(,),( * wTvwvT = . Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )8,3(),( yxxyxT −= .

O operador 22* : RR →T tal que ),83(),(* yyxyxT −+= é o operador adjunto de T. Operador Auto-Adjunto O operador linear VVT →: é denominado operador auto-adjunto quando para quaisquer Vuv ∈, ,

)(,),( uTvuvT = , isto é, TT =* . Exemplos: 1) 22: RR →T tal que )4,42(),( yxyxyxT −+= 2) 33: RR →T tal que )2,23,(),,( yzyxyxzyxT −−+−−= Operador Ortogonal O operador linear VVT →: é denominado operador ortogonal quando uvuTvT ,)(),( = , isto é,

1* −= TT . Exemplos: 1) 22: RR →T tal que ),(),( xyyxT −= 2) 33: RR →T tal que ),,(),,( 2

222

66

66

36

33

33

33 zyzyxzyxzyxT +−++−++=

Operador Normal O operador linear VVT →: é denominado operador normal quando comuta com seu operador adjunto, isto é, TTTT oo ** = . Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )36,63(),( yxyxyxT +−+= .

O operador adjunto é 22* : RR →T tal que )36,63(),(* yxyxyxT +−= . )45,45()36,63()],([),)(( ** yxyxyxTyxTTyxTT =+−==o

)45,45()36,63()],([),)(( *** yxyxyxTyxTTyxTT =+−+==o

94

Exercícios 1) Classifique os operadores.

a) )52,22(),( yxyxyxT +−−= b) ),cossen,sencos(),,( zyxyxzyxT θθθθ +−= c) )3,,2(),,( zyzyxyxzyxT −+++=

2) Ache valores para x e y tais que

− 01

yx seja ortogonal.

3) Dê exemplo de um operador auto-adjunto não ortogonal e vice-versa. 4) Dê exemplo de um operador normal que não é nem auto-adjunto nem ortogonal.

5) Seja [ ]

−−−=

142454241

T . Verifique que T é diagonalizável sem usar os critérios de

diagonalização. 6) Todo operador auto-adjunto é um operador normal. 7) Todo operador ortogonal é um operador normal.

95

Apêndice F – Teoremas Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno e VVTTT →:,, 21 operadores lineares. Teo 87. i) *

2*

1*

21 )( TTTT +=+ ii) **)( TkTk ⋅=⋅ , para todo R∈k . iii) *

1*

2*

21 )( TTTT oo = iv) TT =** )( v) ⊥= )(Im *TKerT

Teo88. Sejam 1T e 2T operadores auto-adjuntos e R∈k . Então )( 21 TT + e )( 1kT também são

operadores auto-adjuntos. Teo89. T é auto-adjunto se e somente AT ][ é uma matriz simétrica, qualquer que seja a base

ortonormal A. Teoo90. Seja T auto-adjunto e rvv ,...,1 autovetores associados a autovalores distintos rλλ ,...,1 de T.

Então .,,...1, , a ortogonal é jirjivv ji ≠= Teo91. Se T é auto-adjunto então T possui um autovalor real, isto é, possui um autovetor não nulo. Teorema Espectral para Operadores Auto-Adjuntos: Seja T um operador auto-adjunto então T é diagonalizável, isto é, existe uma base ortonormal A de autovetores de V tal que AT ][ é uma matriz diagonal. Teo92. São equivalentes:

i) T é um operador ortogonal. ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. iii) T preserva produto interno, isto é, uvuTvT ,)(),( = , para quaisquer Vv,u∈ .

iv) T preserva norma, isto é, vvT =)( , para todo Vv∈ . Teo93. Seja T um operador ortogonal. Então:

i) T preserva distância. ii) Os únicos autovalores possíveis para T são 1± . iii) Autovetores de T são sempre ortogonais.

Teo94. Seja T um operador normal. Então:

i) )( Tk ⋅ também é um operador normal. ii) )()( * vTvT = , para todo Vv∈ .

iii) Se λ é um autovalor de T então λ é um autovalor de *T . iv) T e *T possuem os mesmos autovetores. v) *KerTKerT = . vi) TKerT Im)( =⊥ .

96

BIBLIOGRAFIA

• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.

• Boldrini, J.L.; et al. Álgebra Linear. Harbra.

• Domingues; Hygino. Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora.

• Hoffman, K; Kunze, R. Álgebra Linear. Editora Polígono.

• Kolman, B. Álgebra Linear. LTC.

• Lay, C.D. Álgebra Linear e suas Aplicações. LTC

• Lima, E.L. Álgebra Linear. IMPA.

• Lipschutz , S. Álgebra Linear. Mc.Graw-Hill.

• Steinbruch, A. Álgebra Linear. Mc.Graw-Hill.

97

GLOSSÁRIO

Autoespaço correspondente a um certo autovalor é o conjunto de todos os autovetores associados a este autovalor. Autovalor associado ao operador linear T é um escalar λ tal que vvT ⋅= λ)( , para algum vetor não nulo v. Autovetor associado a um operador linear é um vetor não nulo v tal que vvT ⋅= λ)( , para algum escalar λ . Base para espaço vetorial V é um conjunto de vetores de V que são linearmente independentes e que geram V. Combinação linear dos vetores nvv ,...,1 é qualquer vetor da forma nn vkvk ⋅++⋅ ...11 onde nkk ,...,1 são escalares. Complemento ortogonal de um subespaço vetorial é o conjunto de vetores ortogonal a qualquer vetor deste subespaço. Dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos que compõem uma base deste espaço. Imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores T(v), sendo v um vetor qualquer do domínio. Isomorfismo entre espaços vetoriais é qualquer transformação linear bijetora. Um conjunto de vetores é denominado linearmente dependente quando algum vetor do conjunto é uma combinação linear dos demais.

Um conjunto de vetores é denominado linearmente independente quando nenhum dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais. Matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada A tal que AAt −= .

Matriz escalonada é qualquer matriz onde o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha a linha e todas as linhas nulas encontram-se na “parte inferior” da matriz. Matriz escalonada reduzida por linha é uma matriz escalonada onde o primeiro elemento não nulo de uma linha é sempre o número 1 e é o único elemento não nulo desta linha. Matriz idempotente é qualquer matriz quadrada A tal que AA =2 .

98

Matriz inversa da matriz quadrada A é a matriz quadrada B tal que IABBA =⋅=⋅ . Uma matriz quadrada é denominada matriz invertível quando possuir inversa. Matriz normal é qualquer matriz quadrada que comuta com sua transposta. Matriz ortogonal é qualquer matriz invertível cuja matriz inversa é igual a sua matriz transposta. Matriz simétrica é qualquer matriz quadrada igual a sua matriz transposta. Multiplicidade algébrica de um autovalor 0λ é o grau do fator )( 0λλ − no polinômio característico. Multiplicidade geométrica de um autovalor λ0 é a dimensão do autoespaço

0λV .

Núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de vetores v tais que WvT 0=)( . Um operador linear T é denominado operador diagonalizável se existir uma base tal que sua representação matricial nesta base seja uma matriz diagonal. Polinômio característico de um operador T é o polinômio em λ obtido da fórmula )det( IT ⋅− λ . Posto de uma matriz escalonada é seu número de linhas não nulas. Sistema homogêneo é um sistema onde todos os termos independentes são nulos. Subespaço gerado por um conjunto de vetores é o subespaço vetorial formado por todas as combinações lineares destes vetores. Subespaço vetorial é qualquer subconjunto de um espaço vetorial que também é um espaço vetorial.

waga, christina - algebra linear iii

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