21

Unidade II - Oscilação

1. Situando a Temática O propósito desta unidade temática é o de introduzir algumas ideias sobre oscilação. Estudaremos o movimento harmônico simples, o oscilador harmônico simples, que pode ser modelado por um sistema acoplado massa-mola, a energia de um oscilador, o pêndulo simples e outros sistemas oscilantes, como por exemplo, o pêndulo físico. Também estudaremos as oscilações amortecidas e forças. A fig. II.1 mostra o gráfico de um sistema oscilante e uma engrenagem oscilante.

2. Problematizando a Temática Um dos assuntos de mais importância na física é aquele que estuda os fenômenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, como o movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, o movimento de rotação de um CD em um computador, o movimento de vai e vem de um pistão em uma engrenagem de um automóvel, a vibração de uma corda em uma guitarra, o movimento vibratório de uma ponte ou edifício, etc. Quando estudamos em detalhes um sistema acoplado mola-massa, as equações matemáticas que se desenvolvem para descrever tal sistema são de grande importância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de todos outros sistemas oscilantes. Dentre muitos problemas ligados a oscilação de um sistema físico, pode ser citado um problema prático que existir na mecânica de automóveis: as forças dos gases da combustão geram torque pulsante na árvore de manivelas e no volante, em regimes de baixas rotações, onde se podem detectar com mais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são transmitidas através da embreagem ao sistema de transmissão do veículo. As engrenagens livres da transmissão recebem essas oscilações, gerando vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando em ruídos em regimes de marcha lenta. A solução desse problema surge através de um sistema de amortecimento de molas e um volante bi-massa. Esse é um exemplo de oscilação ligada à indústria automobilística. Veja a fig. II.2 para ter uma ideia do problema.

fig. II.1. Exemplos de oscilações e osciladores.

22

fig. II.2. Exemplo de um sistema oscilante na indústria automobilística.

3. Movimento Harmônico Simples O movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas é periódico se ele é repetido em intervalos regulares de tempo. Um movimento periódico de vai e vem de um corpo é chamado de oscilação. Existem muitos movimentos dessa natureza como, por exemplo, o movimento de um pistão, de um pêndulo, de uma corda de guitarra, etc. Um movimento é dito movimento harmônico simples (MHS) se a posição como função do tempo tem a forma

)cos( tAx eq. II.1

onde A, e são constantes. A quantidade A e chamada de amplitude do movimento, que é a distância entre o ponto médio (x = 0) e o ponto de retorno ( x = A ou x = -A); é a frequência angular, que está relacionado ao período do movimento, isto é,

2

T eq. II.2

Enquanto que a frequência do movimento,

T1

2

eq. II.3

A unidade de frequência é dada em ciclos por segundo e de frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência usualmente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O argumento do cosseno, )2( t é chamado de fase e é dita fase

constante. Essa constante determina em que tempo a partícula alcança o

23

ponto de deslocamento máximo. Isto é, 0max t ou

maxt . O

que nos mostra que a partícula alcança o ponto de deslocamento máximo em - / , antes de t = 0. Note que )]2/([)cos( tAsentAx , pode ser

representado por uma função seno quando mudamos a fase constante. Por outro lado,

tsenAsentAtAx )(cos)cos()cos( , expressando o

MHS como uma superposição de funções senos e cossenos. Existe uma simples relação geométrica entre o MHS e MCU – movimento circular uniforme. Considere uma partícula movendo-se com uma velocidade angular sobre um círculo de raio A. Se em t = 0 a posição angular dela é , então a posição angular num tempo depois é

t , as coordenadas do ponto do círculo são )cos( tAx e )2/cos()( tAtAseny ,

donde vemos que x e y possuem MHS.

4. O Oscilador Harmônico Simples O Oscilador Harmônico Simples consiste de uma massa acoplada uma mola de massa ideal que obedece a lei de Hooke. fig. II-3. Deslocamento de uma massa ligada a uma mola de acordo com a lei de Hooke. Usando a segunda lei de Newton obtemos a equação de movimento da massa do sistema acoplado massa-mola

kxdt

xdm 2

2

eq. II.4

Podemos resolver essa equação através de equações diferenciais, mas vamos deixar para um curso de mecânica geral esses cálculos. Sabemos que, dadas as condições iniciais de eq. II.4, podemos garantir a existência da solução da equação e, nesse caso, determinar o movimento.

24

Da eq. II.1 calculando-se a primeira e segunda derivadas com relação ao tempo obtemos

xdt

xdm 22

2

eq. II.5

Assim comparando eq. II.4 e eq. II.5 concluímos que o movimento massa-mola é um MHS com uma frequência angular

mk

eq. II.6

Para as condições iniciais, t = 0, teremos, a velocidade 0vv e a posição

0xx , onde cos0 Ax e Asenmkv 0 . Daí e do fato do sistema

massa-mola ser um MHS

)()cos()cos( 00 tmksen

kmvt

mkxt

mkAx eq. II.7

que expressa o movimento em termos das condições iniciais.

5. Energia do Oscilador

A energia cinética de uma massa m em um MHS é: K = 2

21 mv ,

1 2[ ( )]2

1 12 2 2 2 2( ) ( )2 2

K m A sen t

mA sen t kA sen t

eq. II.8

Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da mola, que é conservativa, é

)(cos21)]cos([

21

21 2222 tkAtAkkxU eq. II.9

O valor máximo para K e U é igual a 2

21 kA e o valor mínimo é 0. Quando x

= 0, K é máxima pois a velocidade é máxima nesse ponto, enquanto U = 0. Quando a massa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é máxima, isto para um deslocamento máximo. Como a força é conservativa, E = K + U é uma constante de movimento. Note que podemos ver facilmente

2

21 kAE eq. II.10

25

fig. II. 4. Curva de potencial do MHS como função de x

Note que o deslocamento máximo e velocidade máxima podem ser dados em termos de E

kEAx 2

max e mEv 2

max eq. II.11

Vamos analisar a curva de potencial para um MHS 2

21 kxU

que podemos ver no gráfico ao lado: Note que os valores máximos para os deslocamentos dependem do valor de E mostrado no gráfico como o nível de energia. Aumentando-se a altura do nível de energia a amplitude de oscilação aumenta, visto que a distância entre os pontos de retorno aumenta.

6. Pêndulo Simples O pêndulo simples consiste de uma partícula sustentada por um fio inextensível de massa desprezível. Ele oscila em torno da posição de equilíbrio, como podemos ver na fig. II.5. Como a partícula e o fio estão dispostos como uma unidade rígida, o movimento pode ser considerado como uma rotação em torno de um eixo localizado no ponto de suspensão, então

22 2

2

I mgLsen

dmL mgLsen mLdt

2

2

dtdLgsen

eq. II.11

Para pequenas oscilações do pêndulo, sen (isto pode ser entendido através da série de Taylor para função senf )( sobre o ponto 0 ) a eq. II.11 torna-se,

2

2

dtdLg

eq. II.12

Veja que esta equação tem a mesma forma da eq. II.4 e, dessa forma, é um MHS, isto é,

)cos( tA eq. II.13

fig. II.5. Diagrama de um pêndulo simples.

26

com frequência angular de um pêndulo simples igual a Lg / . Enquanto o período é dado por

gLT /2/2 . Notemos que o período somente depende do

comprimento do fio e da aceleração da gravidade e não da massa da partícula e amplitude de oscilação. A energia de cinética pode ser vista como,

2222 )]([21][

21

21 tAsenmL

dtdIIK

)(21 22 tsenmgLAK eq. II.14

A energia potencial é simplesmente a energia potencial gravitacional,

)cos1()cos( mgLLLmgmghU , mas se é suficiente pequeno, levando em conta uma aproximação através da série de Taylor

para função cos)( f sobre o ponto 0 , 2

211cos , portanto

a energia potencial 2

21 mgLU

)(cos21 22 tmgLAU eq. II.15

Notemos que .21 2 constmgLAUKE . Assim E é uma constante

de movimento.

7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Nós vimos na secção anterior que o pêndulo simples comporta-se como um MHS para pequenas amplitudes de oscilação, próximas à posição de equilíbrio. Muitos outros sistemas físicos comportam-se dessa forma. Isto é, a força efetiva é usualmente proporcional ao deslocamento. Vejamos isto através da série de Taylor para uma F = F(x), onde x é o deslocamento.

...21)0()( 2

02

2

0

xdx

FdxdxdFFxF

xx

eq. II.16

Se o movimento é em três dimensões cada componente da força tem um desenvolvimento de Taylor semelhante nas respectivas direções. Podemos ter x = quando o deslocamento for angular. Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocamento é suficientemente pequeno os termos de ordem superior ou igual a dois podem ser desprezados quando comparados aos de primeira ordem. Assim,

xdxdFxF

x 0

)(

eq. II.17

27

Se tivermos kxxF )( , onde 0

xdxdFk vemos que a lei de

Hooke é uma aproximação geral que descreve forças para pontos próximos ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F com relação a x, que podemos verificar que teremos um equilíbrio estável quando 0k (a força é restauradora), equilíbrio instável quando 0k (a força é repulsiva), enquanto x = 0 teremos um equilíbrio neutro. Um pêndulo físico consiste de um corpo sólido que está suspenso por um eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo tem um movimento de vai e vem. Podemos ver na fig. II.6 o diagrama de um pêndulo físico. A equação de movimento é aquela para um corpo rígido,

2

2

dtdII

, por um lado MgLsen e assim

obtemos a equação de movimento para oscilações suficientemente pequenas,

2

2

dtdIMLg

eq. II.18

A solução dessa equação representa um MHS com frequência

IMgL / .

O pêndulo de torção é muito parecido com o pêndulo físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por um tipo de mola espiral. Sob a suposição que o deslocamento do pêndulo de torção da posição de equilíbrio seja suficientemente pequeno, o torque é proporcional ao deslocamento angular

eq. II.19

onde é a constante de torção da mola ou fibra, com unidades Nm/rad. A equação de movimento do corpo rígido é

2

2

dtdI

eq. II.20 Que é novamente a equação de um oscilador que possui MHS, cuja frequência é dada por

I/ . Podemos ver exemplos de pêndulos de torção na figura ao lado.

8. Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas Em um oscilador real, digamos um pêndulo, existem forças externas, por exemplo forças de atrito. Se o pêndulo começa a se movimentar com uma amplitude ao longo do tempo essa amplitude diminui.

fig. II.6. Diagrama de um pêndulo físico.

28

A fig. II.8 mostra o deslocamento de um oscilador com atrito. O movimento resultante é chamado de movimento harmônico amortecido. Esse movimento pode ser representado pela função

)cos(_

)2/(0 teAx tmb eq. II.21

quando a força de amortecimento bv é suficientemente pequena e x é solução da

equação diferencial, 2

2

dtxdm

dtdxbkx ,

onde 22_

4// mbmk na eq. II.21.

Quando kmb 2 em _

, teremos um amortecimento crítico, o sistema não oscila mais, retornando para sua posição de equilíbrio sem oscilar.

kmb 2 corresponde a um superamortecimento. O sistema não mais oscila também mas volta para posição de equilíbrio mais devagar do que o caso anterior. Enquanto para kmb 2 o sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente. Essa condição denomina-se de subamortecimento. Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, bem como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as vibrações.

Nas oscilações amortecidas, a força de amortecimento não é conservativa, a energia mecânica não é constante e diminui tendendo a zero ao passar o tempo. Vamos deduzir a taxa de variação da energia. Temos que

dtdxkx

dtdvmv

dtdEkxmvE 22

21

21

como

2

2

dtxdm

dtdxbkx

2bv

dtdE

eq. II.22

Podemos manter constante a amplitude das oscilações amortecidas se fornecemos ao sistema um empurrão no final de cada ciclo. Esta força adicional é chamada de força propulsora. Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é uma oscilação forçada. A frequência da oscilação da massa é igual a

frequência da força propulsora . Veja que ._

O caso mais simples é aquele em que a força propulsora é senoidal, isto é, tsenFtF max)( .

Novamente não vamos resolver a equação diferencial, deixado para outro

fig. II.8. Linha de universo de uma partícula com

movimento harmônico amortecido.

fig. II.9. Exemplos de osciladores amortecidos

29

curso. A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função de é

222

max

)( wbmk

FA

. Quando mk / em 2mk = 0,

maxAA .

Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está próxima da frequência da oscilação natural do sistema, essa amplitude atinge um pico, dizemos que ocorreu o fenômeno da ressonância. A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da aviação e de engenharia este conceito é fundamental. O tratamento matemático da ressonância é deixado para um curso de mecânica geral. Exercícios Resolvidos Exemplo II. 1 Uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico, oscila com uma frequência de MHz7,6 . Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular?

Solução:

O período T é dado por sHz

T 76 105,1

107,611

. Por outro lado

sabemos que )(/2(2 ciclorad 6107,6 ciclos/s) = 7102,4 rad/s.

Exemplo II. 2 Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro da esquerda para direita com uma força de 6 N, este produz um deslocamento de 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o período da oscilação. Solução:

A força restauradora da mola é -6,0 N, assim mNxFk /200

030,06

.

A frequência 20mk rad/s. A frequência angular é

Hzsciclosciclorad

srad 2,3/2,3/2

/202

. O período

ciclosT /31,01

ou simplesmente 0,31 s.

Exemplo II. 3 No exemplo anterior coloque m = 0,50 kg, um deslocamento inicial de 0,015 m e uma velocidade inicial 0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.

30

Solução: O período é o mesmo pois, para um MHS, este somente depende da massa e de k .

A amplitude mv

xA 025,0)( 21

2

202

0

. O ângulo de fase é calculado por

tgxv

0

0 rad93,053 .

Agora teremos )cos( tAx = 0,025cos(20t-0,93); )93,020(50,0)( tsentAsenv ; ).93,020cos(10)cos(2 ttAa Exemplo II. 4 Na oscilação do ex.II.2 coloque x = 0,020 m. Ache a velocidade máxima e mínima atingidas pela massa que oscila. Ache também a aceleração máxima. Calcule a velocidade e a aceleração quando a massa está na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastamento máximo. Qual a energia total, a potencial e a energia cinética nesse ponto? Solução:

Da eq. II.10 podemos expressar 22 xAmkv . A velocidade máxima

acontece quando x = 0 passando a massa da esquerda para direita e assim v = +0,40 m/s. Enquanto a velocidade mínima acontece quando x = 0 passando a massa da direita para esquerda, v = -0,40 m/s.

Temos que xmka . A aceleração máxima se dará para x = -A. Logo a = +8

2/ sm . A aceleração mínima ocorre em x = +A e assim, a = 2/8 sm . Para 2/Ax , smv /35,0 e 4a m/s.

A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto

JkxU 010,021 2 e .030,0

21 2 JmvK

Exemplo II. 5 Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um MHS na horizontal com uma amplitude 1A . No instante em o bloco passa na posição de

equilíbrio, uma massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura. Calcule a nova amplitude e o período do movimento. Solução: Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da energia. Antes da massa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalmente inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão.

Antes da colisão: 1112

11 21

210 A

MkvkAMvE . Enquanto o

momentum linear é .01 Mv

Durante a colisão existe conservação do momentum linear do sistema massa-bloco. A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em

31

x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da colisão. Depois da colisão: O momentum linear é 2)( vmM e pela lei de conservação de

momentum linear 21 )( vmMMv , de onde podemos obter 2v e obtermos,

12

1

22

22 21)(

21 E

mMMv

mMMvmME

. Na verdade podemos dizer

que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como

mMMAAkAE

1222 21

.

O cálculo do período é k

MmT 2 . Veja que a amplitude tornou-se maior e

o período menor. Exemplo II. 6 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. Solução:

A constante da mola é 4105,3028,0

980

xFk . A massa da pessoa é

kggP 100/ . A massa total que oscila é m=1100 Kg. O período

skmT 11,12 . Enquanto a frequência é Hz90,0 .

Exemplo II. 7 Suponha que o corpo de um pêndulo físico seja uma barra de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento oscilatório. Solução: O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo passando em sua extremidade é

2

31 MLI . A distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é L/2. Para este

pêndulo físico,

gL

gL

MgLIT 2

32

322

2/2 . Note que o período desse

pêndulo físico é 32

do período de um pêndulo simples.

32

Exercícios Propostos Exercício II. 1 Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força de uma mola com mNk /105,3 4 . Não existem outras forças agindo na

massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, qual a amplitude e onde a massa estará em t = 0,60 s? Resposta: 1,5 Hz; 0,26 m; -0,16 m. Exercício II. 2 Uma massa m está pendurada vertivalmente acoplada a uma mola de constante k. Encontre a equação de movimento, quando levamos em conta a força da gravidade. Resposta: kmgtAx /)cos( .

Exercício II. 3 Uma molécula de hidrogênio ( 2H ) pode ser considerada um sistema de duas

massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores vibrando em direções opostas. A constante da mola é mN /1013,1 3 e a massa

de cada H é kg271067,1 . Suponha que a energia de vibração da molécula é

J19103,1 . Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. Resposta: m11101,1 e sm /108,8 3 .

Exercício II. 4 Qual é o comprimento do pêndulo em um lugar cuja gravidade 2/81,9 smg ? O

pêndulo tem um período de exatamente 2 s , onde cada balanço leva 1 s. Resposta: 0,994 m.

Exercício II. 5 Um pêndulo físico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa por um cabo com massa desprezível e comprimento L. Levando em conta o tamanho da bola, qual é o período de ‘pequenas’ oscilações desse pêndulo? Resposta:

2( )

2 2 2( )5

g R L

R R L

Exercício II. 6 O haltere da balança de Cavendish consiste de duas massas iguais de 0,025 kg conectadas por uma barra com massa desprezível e de comprimento 0,40 m. Quando o conjunto se movimenta, a balança gira para frente e para trás com um período de 3,8 minutos. Encontre o valor da constante de torção. Resposta: radmN /.1052,1 6 .