unid_4.1 - circuitos com acoplamento magnético

__________________________________________________________________________________UFU – FEELT - Mauro Guimarães

CIRCUITOS COM

1 - Terminologia Circuitos:

• Único ramo de uma rede• Dois ou mais ramos interligados elétrica ou magneticamente• Qualquer laço elétrico completo no qual pode

Circuito Acoplado – quando pode ocorrer troca de energia entre eles

Tipos de acoplamento: • Condutivamente; • Eletromagneticamente• Eletrostaticamente.

2 - Circuitos Acoplados Condutivamente

Para a figura abaixo, dados correntes, tensões e potências.

( )( )

=

+−

−+

2

1

2

1

I

I

ZZZ

ZZZ

MM

MM

&

&

&&

&&&

Na solução acima consideramos a solução do sistema de equações na forma matricial. Se consideramos ijZ& o termo genérico da matriz

coluna, tem-se que: ( )MZZZ &&& += 111 ;

Exemplo 1 - Para a figura acima,

VE o& 01001 ∠= ;

Ω+= 431 jZ& ;

Ω= 10MZ& e

Ω−= 842 jZ& ,

__________________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Unidade 4.1 COM ACOPLAMENTO MAGN

Único ramo de uma rede; Dois ou mais ramos interligados elétrica ou magneticamente; Qualquer laço elétrico completo no qual pode-se aplicar a lei de Kirc

quando pode ocorrer troca de energia entre eles.

Eletromagneticamente;

Circuitos Acoplados Condutivamente

, dados E& , e as impedâncias do circuito ( ZZ &&1,

Considerando-se as correntes de laço as equações:

( )( ) ⇒

=−+

=−+

;0

;

1222

2111

IIZIZ

EIIZIZ

M

M

&&&&&

&&&&&&

⇒

0

E&

( )( ) ( )

( )( ) ( )21

2

2

21

21

1

MM

M

MM

M

ZZZZZ

ZEI

ZZZZZ

ZZEI

&&&&&

&&

&

&&

&&&&&

&&&

&

&&

−++=

∆

∆=

−+++

=∆

∆=

Na solução acima consideramos a solução do sistema de equações na forma matricial. Se o termo genérico da matriz Z& como sendo o elemento de i

MZZ && −=12 ; MZZ && −=21 e Z& =22

acima, com:

__________________________________________________________________________________ Mauro Guimarães 1

MAGN ÉTICO

se aplicar a lei de Kirchhoff das tensões.

MZeZ &&2 ), determinar, as

se as correntes de laço 21 IeI && tem-se

.

;

2

2

M

M

Z

Z

&

&

Na solução acima consideramos a solução do sistema de equações na forma matricial. Se i-ésima linha e da j-ésima

( )MZZ && += 2 .

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________UFU – FEELT - Mauro Guimarães

Obtém-se: • 91,603,1311I °−∠=∆∆= &&&

• 83,2208,822 AI °∠=∆∆= &&&

• ( ) jIII ab&&& 71,449,521 −=−=

• Potência gerada = (IEE

cos1 θ

• Potência consumida = ,133× 3 - Acoplamento Magnético

Para os circuitos indicados acimaφ11 – Fluxo produzido pela bobina 1 que envolve apenas a bobina 1;φ12 – Fluxo produzido pela bobina 1 que envolve a bobina 1 e a bobina 2;φ22 – Produzido pela bobina 2 e que envolve apenas a bobina 2;φ21 – Produzido pela bobina 2 e que envolve as bobinas 1

Observe que:

φ1 = φ11 + φ12 é o fluxo total produzido pela bobina 1φ2 = φ22 + φ21 é o fluxo total produzido pela bobina 2φM = φ12 + φ21 é o fluxo mútuo φT1 = φ11 + φ12 + φ21 = φ1 + φ21 =

φT2 = φ22 + φ21 + φ12 = φ2 + φ12 =

4 - Indutância Mútua (M)

É similar as auto-indutâncias das bobinas 1 e 2, só que no caso das autotemos o efeito de fluxos e correntes nas mesmas bobinas, e no caso da indutância mútua é o efeito do fluxo e corrente produzido em uma bobina afetando uma segunda bobina. Têm

1

111 i

NL

φ= – vinculação de fluxo da bobina 1 por unidade de

2

222 i

NL

φ= – vinculação de fluxo da bobina 2 por unidade de corrente na mesma;

1

12212 i

NMφ

= – vinculação de fluxo na bobina 2, fluxo este produzido na bobina 1, por unidade de

corrente da bobina 1;

2

21121 i

NMφ

= – vinculação de fluxo na bobina 1, fluxo este produzido na bobina 2, por unidade de

corrente da bobina 2 Se a relação do fluxo por corrente não for constante teremos as expressões:

FEELT49050) - Unidade 4.1 – Circuitos com __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

;A°

;A

Ao63,4023,7 −∠= ;

) ( ) wattsIE

5,293.191,6cos03,131001

=××=− o&& θθ

watts2,293.123,71008,8403, 222 =×+×+ .

cima considere os fluxos: Fluxo produzido pela bobina 1 que envolve apenas a bobina 1; Fluxo produzido pela bobina 1 que envolve a bobina 1 e a bobina 2; Produzido pela bobina 2 e que envolve apenas a bobina 2; Produzido pela bobina 2 e que envolve as bobinas 1 e 2.

é o fluxo total produzido pela bobina 1; é o fluxo total produzido pela bobina 2; é o fluxo mútuo – comum às duas bobinas;

21 = φ11 + φM – fluxo total que envolve a bobina 1;12 = φ22 + φM – fluxo total que envolve a bobina 2.

indutâncias das bobinas 1 e 2, só que no caso das autoefeito de fluxos e correntes nas mesmas bobinas, e no caso da indutância mútua é o efeito do

fluxo e corrente produzido em uma bobina afetando uma segunda bobina. Têm

vinculação de fluxo da bobina 1 por unidade de corrente na mesma;


vinculação de fluxo na bobina 2, fluxo este produzido na bobina 1, por unidade de

corrente da bobina 1;


corrente da bobina 2.

fluxo por corrente não for constante teremos as expressões:

com Acoplamento Magnético __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________ 2

watts;

fluxo total que envolve a bobina 1; fluxo total que envolve a bobina 2.

indutâncias das bobinas 1 e 2, só que no caso das auto-indutâncias (L1, L2), efeito de fluxos e correntes nas mesmas bobinas, e no caso da indutância mútua é o efeito do

fluxo e corrente produzido em uma bobina afetando uma segunda bobina. Têm-se as expressões:

corrente na mesma;




CE MECT (FEELT49050) - Unidade 4.1 – Circuitos com Acoplamento Magnético __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________ UFU – FEELT - Mauro Guimarães 3

( )

1

111 id

dNL

φ= ;

( )2

222 id

dNL

φ=

( )1

12212 id

dNM

φ= ;

( )2

21121 id

dNM

φ= .

Observação: Na maioria das aplicações práticas consideramos que a relação φ/i é constante, em outras

palavras, consideramos que a relutância do meio magnético que associa os dois circuitos é constante, e desta forma M12 = M21 = M. A unidade M é evidente, considerando as expressões anteriores, que é Henry (H), a mesma unidade das auto-indutâncias.

Problema 1

Para os circuitos 1 e 2 indicados ao lado, onde: N1 = 50 espiras; N2 = 500 espiras;

1Tφ = 30.000 maxwells;

2Tφ = 27.500 maxwells (1 Maxwell = 10-8 Webber)

I1 = 5A; Pede-se:

a) M = ?

mHi

NMM 5,275

10500.27500

8

1

12212 =××=×==

−φ.

b) L1?

mHi

NL 35

10000.3050

8

1

111 =××=×=

−φ.

5 - Reatância Mútua (XM)

Relembrando-se a lei de Faraday tem-se:

( )

( )dt

dNv

dt

dNe

21112

21112

φ

φ

=

−=

onde

12e é a tensão induzida (elevação) no circuito 1 devido ao fluxo (φ21) produzido no circuito 2 e que

enlaça o circuito 1; e 12v , similarmente, a queda de tensão no circuito 1 provocada pelo fluxo do circuito 2. • Tem-se as equações básicas de tensões:

.

;

212

22

222

121

11

111

edt

dN

dt

dNiR

edt

dN

dt

dNiR

=++

=++

φφ

φφ

• Considerando que a permeabilidade magnética (µ) do meio condutor do fluxo magnético seja constante, tem-se que:



.

;

;

;

122

112122112

1

12212

22

222222

2

222

211

221211221

2

21121

11

111111

1

111

dt

dN

dt

idMNiM

iNM

dt

dN

dt

idLNiL

iNL

dt

dN

dt

idMNiM

iNM

dt

dN

dt

idLNiL

iNL

φφφ

φφφ

φφφ

φφφ

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

Substituindo os valores acima nas equações básicas de tensões tem-se:

.

;

21

122

222

12

211

111

edt

idM

dt

idLiR

edt

idM

dt

idLiR

=++

=++

Considerando tensões e correntes com a forma de onda senoidal e fasorial ( )( )( )( ) ;

;

;

;

222222

111111

222222

111111

θθωθθωϕϕω

ϕϕω

∠=⇒+=

∠=⇒+=

∠=⇒+=

∠=⇒+=

EEtsenEe

EEtsenEe

IItsenIi

IItsenIi

m

m

m

m

&

&

&

&

Substituindo os valores instantâneos nas equações acima, obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).)()(

;)()(

2211

1222

2222

1122

2111

1111

θωϕωϕωϕω

θωϕωϕωϕω

+=+++++

+=+++++

tsenEdt

tsenIdM

dt

tsenIdLtsenIR

tsenEdt

tsenIdM

dt

tsenIdLtsenIR

mmm

m

mmm

m

Substituindo os valores instantâneos pelos fasoriais correspondentes e derivando, obtém-se: ( ) ( )( ) ( ) .coscos

;coscos

2111222222

1222111111

EtIwMtIwLIR

EtIwMtIwLIR

mm

mm

&&

&&

=++++

=++++

ϕωϕωϕωϕω

Considerando que ( ) ααα jsensen =+= o90cos , e que

;90

;90

;90

;90

12

21

2222

1111

MMM

MMM

L

L

XXXjMj

XXXjMj

XXXjLj

XXXjLj

&

&

&

&

o

o

o

o

=∠==

=∠==

=∠==

=∠==

ωωωω

Obtêm-se as equações de tensões na forma fasorial:

.

;

212222

121111

EIXIXIR

EIXIXIR

M

M

&&&&&&

&&&&&&

=++

=++

Problema 2 – Para o circuito abaixo determine o valor da reatância mútua MX& , o valor de tensão '22V& que aparece nos terminais do secundário aberto, e faça um diagrama fasorial para o primário e secundário. Sabendo-se que:

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


Para o primário (circuito 1, indutor)

121111 EIXIXIR M&&&&&& =−+ ; como

o&&

1010

02/50

11

11 =

+∠=

+=

jjXR

EI

Para o secundário (circuito 2, induzido)

'2212222 VIXIXIR M&&&&&& =+−+

oo& 455,29054,7'22 −∠×∠=V

Observe que 1IX M&& é a força eletromotriz

Atenção: Observe que nas equações de tensões desenvolvidas no item

para a queda de tensão do fluxo mútuo e nas equações deste problema usouIsto se justifica já que no primeiro caso os fluxos bobinas φ1 e φ2 e conseqüentemente estes fluxos provocarão quedas de tensões de mesmos sinais, e neste exemplo o circuito 2 é induzido do circuito 1, conseqüentemente de sinal contrário pela lei de Lenz. Com isto ficou claro que para escrever as equações de tensões com segurança e corretamente é necessário conhecer a polaridade instantânea dos fluxos, se tem mesmos sentidos (fluxos aditivos) ou contrários (fluxos subtrativos).

Tem-se, para este problema,

Circuito 1

6 - Coeficiente de Acoplamento Magnético (K

φφ

φφ

=2

21

1

12MK .

Na maioria das aplicações práticas

Lembrando-se que:


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

02,0

90107,37

1

/37737750

;10

2112

111

1

1

=⇒===

Ω∠==⇒=

=⇒=

Ω=

o

&

&

jXHMMM

LjXHL

srdvoltstsene

R

M

L

ω

ω

ω

Para o primário (circuito 1, indutor): ; como 0I 2 =& (circuito 2 aberto) ⇒

o455,2 −∠= ampères.

secundário (circuito 2, induzido):

1'220 IXV M&&& =⇒= já que 0I 2 =& ⇒

o4585,18 ∠= volts.

é a força eletromotriz 2'2E& induzida no secundário.

Observe que nas equações de tensões desenvolvidas no item 2.7 usoupara a queda de tensão do fluxo mútuo e nas equações deste problema usouIsto se justifica já que no primeiro caso os fluxos φ12 e φ21 tinham mesmo sentido dos fluxos das

e conseqüentemente estes fluxos provocarão quedas de tensões de mesmos sinais, e neste exemplo o circuito 2 é induzido do circuito 1, conseqüentemente de sinal contrário pela lei de

e para escrever as equações de tensões com segurança e corretamente é necessário conhecer a polaridade instantânea dos fluxos, se tem mesmos sentidos (fluxos aditivos) ou contrários (fluxos subtrativos).

, para este problema, os diagramas fasoriais:

Circuito 2

Coeficiente de Acoplamento Magnético (KM)

Na maioria das aplicações práticas 2

21

1

12M

2

21

1

12 Kφφ

=φφ

=⇒φφ

=φφ

.


__________________________________________________________________________________ 5

.9054,7

;

;02

501

Ω∠=

Ω

∠=

o

o&

M

voltsEes

ω

.7 usou-se sinal positivo (+) para a queda de tensão do fluxo mútuo e nas equações deste problema usou-se o sinal negativo (-).

mesmo sentido dos fluxos das e conseqüentemente estes fluxos provocarão quedas de tensões de mesmos sinais, e

neste exemplo o circuito 2 é induzido do circuito 1, conseqüentemente de sinal contrário pela lei de e para escrever as equações de tensões com segurança e corretamente

é necessário conhecer a polaridade instantânea dos fluxos, se tem mesmos sentidos (fluxos aditivos)

Circuito 2



.

;;

1

22121

2

21121

2

11212

1

12212

2

222

2

222

1

111

1

111

N

iM

i

NMe

N

iM

iNM

N

iL

iNL

N

iL

iNL

=⇒==⇒=

=⇒==⇒=

φφφφ

φφφφ

Substituindo estes valores na expressão de KM obtém-se:

212121

2

21

2112

2

22

1

11

1

221

2

112

LL

MK

LL

M

LL

M

LL

MM

N

iL

N

iLN

iM

N

iM

K MM =⇒==×=

//×

//

//×

//

=

Exemplo 2 – Para duas bobinas 21 BeB com acoplamento magnético e sabendo-se que:

50N1 = espiras;

500N2 = espiras;

φ1 = 6.000 maxwells/A de i1; φ12 = 5.500 maxwells/A de i1; φ2 = 60.000 maxwells/A de i2; φ21 = 55.000 maxwells/A de i2.

Pede-se L1, L2, M12, M21 e KM.

.917,0000.60

000.55;5,2710000.5550

;917,0000.6

500.5;5,2710500.5500

;30010000.60500

;917,03003

5,27;310000.650

2

218

2

21121

1

128

1

12212

8

2

222

21

8

1

111

====××==

====××==

=××==

=×

===××==

−

−

−

−

φφφφφφ

φ

φ

M

M

M

KmHi

NM

KmHi

NM

mHi

NL

LL

MKmH

iNL

Problema 3 – Dados 000.11 =N espiras; 3382 =N espiras; 805,0K M = e 400.911 =iφ Maxwells. Pede-se: L1, L2 e M.

.9410400.9000.1 8

1

111 mH

iNL =××== −φ

Observe que 1121

12 φφφφ

MM KK =⇒= .

.74,1094

1

805,0

58,251

;58,2510400.9805,0338

2

2

1

2

2

21

8

1

12

1

12212

mHLK

ML

LL

MK

mHi

KNi

NMM

MM

M

=×=⋅

=⇒=

=×××==== −φφ

7 - Sinal de M

Num dado circuito a tensão da indutância mútua M dtdi pode somar-se ou opor-se à tensão da

auto-indutância dtdiL , dependendo dos sentidos dos fluxos envolvidos:

• M(+) se as tensões induzidas (fluxos) tem o mesmo sentido e • M (-) se as tensões induzidas (fluxos) tem sentidos contrários.

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


Ex. Escrever as equações para os circuitos 1 e 2 da figura abaixo:

Marcação de Polaridade (magnética) de Bobinas A marcação deve ser efetuada de modo que ao escrevermos as equações de tensões para corrente i1 na bobina 1 (B1) e para a

• M é (+) se i1 entra na bobinaB2, também, pelo terminal marcado;

• M é (+) se i1 sai na bobinatambém, pelo terminal marcado;

• M é (-) nos casos contrários, ou melhor, se a corrente terminal marcado e, também, se

Processo de Marcação de Polaridades em duas bobinas

uma deflexão no amperímetro de corrente contínua (amperímetro descobrimos por onde a corrente exemplo acima, o terminal 2. Sabemos pela lei de um circuito com características de fluxos subtrativos, já que Observe que este critério de marcação de polaridade sinal de M acima, já que i1 entra pelo ponto e sentidos contrários.

8 - Indutância Mútua entre porções do mesmo circuito


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Ex. Escrever as equações para os circuitos 1 e 2 da figura abaixo:

Circuito 1: 11 LiR +

Circuito 2: 22 iR +

Marcação de Polaridade (magnética) de Bobinas A marcação deve ser efetuada de modo que ao escrevermos as equações de tensões para

para a corrente i2 na bobina 2 (B2) teremos para o sinal de

na bobina B1 pelo terminal marcado e, ao mesmo tempopelo terminal marcado;

na bobina B1 pelo terminal marcado e, ao mesmo tempopelo terminal marcado;

) nos casos contrários, ou melhor, se a corrente i1 entra pelo terminal marcado e , também, se i1 sai pelo terminal marcado e i2 entra pelo terminal marcado

de Polaridades em duas bobinas

Para o circuito de corrente contínua, indicado ao lado, com a chave ch bobina 1 o terminal 1, ou seja, aquele por onde entrará a corrente i1 no momento do fechamento da chave (ch). Ao fechar a chave crescente, circuito RL, e induzirá uma força eletromotriz na bobina 2, e que por sua vez provocará

uma deflexão no amperímetro de corrente contínua (Acc) ligada a seus terminais 22’. tro descobrimos por onde a corrente i2 saiu da bobina 2 e marcamos este terminal. No

exemplo acima, o terminal 2. Sabemos pela lei de Lenz que o circuito acima, nas condições descritas é um circuito com características de fluxos subtrativos, já que i2 é induzida de Observe que este critério de marcação de polaridade de bobinas está em concordância com a

entra pelo ponto e i2 sai pelo ponto ⇒ M (-) ⇒

útua entre porções do mesmo circuito

Tem-se a equação para o circuito acima na forma instantânea:

+++dt

idM

dt

idLiR 2111

( ) ( LLiRR

aditivotL

++++4444 2122121


__________________________________________________________________________________ 7

121

1 edt

idM

dt

idL =− ;

112

2 edt

idM

dt

idL =− .

A marcação deve ser efetuada de modo que ao escrevermos as equações de tensões para a para o sinal de M as regras:

ao mesmo tempo, i2 entra na bobina

ao mesmo tempo, i2 sai na bobina B2,

entra pelo terminal marcado e i2 sai pelo entra pelo terminal marcado.

Para o circuito de corrente contínua, indicado aberta, marcaremos na

bobina 1 o terminal 1, ou seja, aquele por onde no momento do fechamento da

). Ao fechar a chave ch, a corrente i1, será , e induzirá uma força

eletromotriz na bobina 2, e que por sua vez provocará seus terminais 22’. Pela deflexão do

saiu da bobina 2 e marcamos este terminal. No enz que o circuito acima, nas condições descritas é

duzida de i1 onde i1 é crescente. está em concordância com a regra do

fluxos subtrativos ou em

se a equação para o circuito acima na

⇒++dt

idM

dt

idLiR 1222

) edt

idM =44 32 .

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


onde Laditivo é a indutância equivalente para a ligação aditiva (fluxos invertermos o sentido da entrada de corrente em uma das bobinas, teremos então fluxos sentidos contrários (subtrativos) e ter

( ) ( )dt

idMLLiRR

subtrativoL

=−+++44 344 21

22121

Observe que:

Laditivo – Lsubrativo = (L1+L2

Problema 4 – Para a figura acima, com fluxos subtrativos, onde:

;90,9

;0,6

;40,4

;1

22

2

11

1

Ω=⇒=

Ω=Ω=⇒=

Ω=

jXmHL

R

jXmHL

R

&

&

subZ& , I& , 1V& (tensão nos terminais da bobina 1);

fasorial do circuito.

( ) (

( )[ ] (( )[ ] (6

1

44527

05,40

1222

1111

121

IXXjRV

IXXjRV

Z

EI

XjRRZ

M

M

subtrativo

subtrativo

o

o

&&

&&

&

&&

&

=−+=

+=−+=

=∠∠==

+++=

9 - Indutância Mútua entre ramos em paralelo

∆

∆=

&

&& 1

1I , corrente na bobina 1;


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

é a indutância equivalente para a ligação aditiva (fluxos φ12 e φ21

invertermos o sentido da entrada de corrente em uma das bobinas, teremos então fluxos sentidos contrários (subtrativos) e teremos a equação:

e ; onde Lsubrativo é a indutância equivalente para a li

2+2M) – (L1+L2-2M) = 4M ⇒ 4

aditivoLM

−=

Para a figura acima, com fluxos subtrativos, onde:

.5,40

;/000.1

30,3

eficazesvoltsE

srdw

jXmHM M

==

=⇒= &

Pede-se:

(tensão nos terminais da bobina 1); 2V& (tensão nos terminais da bobina 2) e diagrama

)

)) .071,344509,466

;079,54509,41

;4509,4

;45277722

voltsj

voltsj

Ampère

jXX M

oo

oo

o

o

∠=−∠×+

∠=−∠×+

−∠

Ω∠=+=−

Observe que neste exemplo

fase com .E& Será que este fato ocorrerá, sempre, situações similares ou foi meramente uma particular das impedâncias que provocou tal fato?

útua entre ramos em paralelo

Para o circuito ao lado onde a corrente de laço

abrange a fonte de tensão E& e o ramo

2I& , a fonte de tensão E& e o ramo cd temforma matricial:

( )( )

×

+−

−+

I

I

jXR

X

X

jXR

2

1

22

M

M

11&

&&

&

corrente na bobina 1;


__________________________________________________________________________________ 8

21 no mesmo sentido). Se invertermos o sentido da entrada de corrente em uma das bobinas, teremos então fluxos φ12 e φ21 em

é a indutância equivalente para a ligação subtrativa.

4subtrativoL

.

;3 Ω

(tensão nos terminais da bobina 2) e diagrama

Observe que neste exemplo 1V& e 2V& estão em

este fato ocorrerá, sempre, em situações similares ou foi meramente uma combinação particular das impedâncias que provocou tal fato?

ara o circuito ao lado onde a corrente de laço 1I&

e o ramo ab, e a corrente de laço tem-se as equações já na

=

E

E&

&. Dessa forma

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


∆

∆=

&

&& 2

2I , corrente na bobina 2

21 III &&& += , corrente fornecida Problema 5 – Para a figura acima, com fluxos

;775,0

;3,3

;/377

;050

2

1

Ω=Ω=

=∠=

R

R

srdw

VoltsE o&

a) I,I,I 21

&&& e o diagrama fasorial do circuito.

Observe que o sinal de X&

em vez de MX&− . Resolvendo numericamente tem

33,6123,16

;2,5748,20

;0,13844,4

211

2

2

1

1

III

AI

AI

o

o

o

&&&

&

&&

&

&&

−∠=+=

−∠=∆

∆=

∠=∆

∆=

b) Uma análise sobre o consumo de potência real em cada bobina, bem

ou recebidas pelas mesmas, condutivamente e eletromagneticamente.

Define-se: • Consumo de potência real

• Potência condutiva real –

neste trecho uma corrente

( ) wattsIVP Ivcond θθ −= cos

• Potência eletromagnética real através do fluxo magnético de acoplamento entre duas ou mais bobinas. Neste exemplo, estes fluxos são φφφφ12 e φφφφ21 e designaremos esta potência por

Tem-se para a Bobina 1: • IRPR 6544,43,3 22

111 =×=×=• ( )IVP

IVcond 50cos11111 =−= && θθ

Para a bobina 2, tem-se: • IRPR 48,20775,02

222 ×=×=• ( )IVP

IVcond cos22222 =−= && θθ

Para a fonte de tensão, tem-se: • ( )IEP

IEcondF cos =−××= && θθ


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

corrente na bobina 2 e

fornecida pela fonte de tensão E& .

Para a figura acima, com fluxos φ12 e φ21 aditivos e onde:

0256,0

0108,0

094,0

22

11

=⇒=

=⇒=

=⇒=

XHM

XHL

jXHL

M&

&

&

Pede-se:

l do circuito.

MX& , neste caso, na matriz de impedâncias Z&

. Resolvendo numericamente tem-se:

.

;

A

A

o

b) Uma análise sobre o consumo de potência real em cada bobina, bem como as potências transmitidas ou recebidas pelas mesmas, condutivamente e eletromagneticamente.

Consumo de potência real – potência consumida na parte resistiva da bobina:

se entre dois pontos de um circuito tem uma tensão

te trecho uma corrente III θ∠=& então a potência recebida (+) condutivamente será

watts;

Potência eletromagnética real – é a potência real recebida (+) ou transmitida (através do fluxo magnético de acoplamento entre duas ou mais bobinas. Neste exemplo, estes

e designaremos esta potência por Pmag1 e Pmag2.

watts055,65 ;

( ) watts98,1641380cos44,450 −=−×× o .

watts06,325482 = ;

( ) watts71,5542,570cos48,2050 =+×× o .

( ) watts33,38933,610cos23,1650 =+××= o .


__________________________________________________________________________________ 9

.65,9

;07,4

;4,35

Ω=

Ω=

Ω

j

j

j

é positivo, ou seja, MX&

como as potências transmitidas

potência consumida na parte resistiva da bobina: wattsIRPR2= ;

circuito tem uma tensão vVV θ∠=& e flui

então a potência recebida (+) condutivamente será

cebida (+) ou transmitida (-) por uma bobina através do fluxo magnético de acoplamento entre duas ou mais bobinas. Neste exemplo, estes



Observe que: • wattsPPP condFcondcond 33,38973,38971,55498,16421 =≅=+−=+ ;

• ⇒−= wattsPcond 98,1641 que esta bobina está operando condutivamente como um gerador,

fornecendo potência real para a outra bobina ou para a fonte; • ⇒= wattsPcond 71,5542 que esta bobina está operando condutivamente como uma carga,

recebendo potência; • A bobina 2 recebeu 554,71 watts (Pcond2) e consumiu em sua resistência 325,06 watts (PR2), tendo

portanto um saldo de 554,71 – 325,06 = 229,65 watts. O que ocorreu com esta potência se estamos num regime estacionário? Esta potência deve ter sido transferida para a bobina 1 através do fluxo mútuo. Tem-se então que wattsPM 65,2292 −= .

• A bobina 1 forneceu 164,98 watts (Pcond1) à bobina 2 e consumiu na sua resistência 65,055 watts (PR1), tendo portanto um déficit de 164,98 + 65,055 = 230,035 watts, que é praticamente igual aquele valor (229,65 watts) que sobrou na bobina 2. É claro que este déficit da bobina 1 foi suprido pelo superávit da bobina 2. Concluímos então que wattsPM 035,2301 = .

• Observa-se, então, perfeito equilíbrio de potências reais para as bobinas 1 e 2, ou seja: Bobina 1 0055,65035,23098,164PPP 1R1mag1cond =−+−=−+

Bobina 2 006,32565,22971,554PPP 2R2mag2cond =−−=−+

10 - O Transformador com núcleo de ar

Para o transformador da figura ao lado têm-se as equações:

.0

;

2122

1211

=+−

=−

IZIXjIZ

VIXjIZ

CM

M

&&&&&

&&&& ⇒

( ) ⇒

=

+−

− 01

2

1

2

1 V

I

I

ZZ

X

X

Z

C

M

M

&

&

&

&&

&

&

&

( )( ) ;

221

211

1MC

C

XZZZ

ZZVI

&&&&

&&&

&

&&

−++

=∆

∆= ( ) 2

21

12

2MC

M

XZZZ

XVI

&&&&

&&

&

&&

−+=

∆

∆= ; 2'222 IZVV C

&&&& == .

Impedância equivalente ( 1eZ& ) vista do lado do primário

Ao aplicar-se a tensão 1V& aos terminais 11’ do transformador com núcleo de ar obtém-se a

corrente 1I& .Designa-se a impedância 111 IVZe&&& = como sendo a impedância equivalente do

transformador para os terminais 11’, ou seja,

( )( )

( )( )C

M

C

MC

Mc

Ce ZZ

XZ

ZZ

XZZZ

XZZZ

ZZV

V

I

VZ

&&

&&

&&

&&&&

&&&

&&&

&

&

&&

+−=

+−+

=

−++

==2

2

12

221

221

21

1

1

11

Fazendo TC ZZZ 22&&& =+ (impedância total do secundário); e *

2TZ& o conjugado de T2Z& ou seja,

T2T2*

T2T2T2T2 jXRZjXRZ −=⇒+= && ; e observando que =⇒= 2MMM XjXX && ( )( ) =MM jXjX

222MM XXj −= , teremos para a expressão da impedância equivalente, *

222

2

11 TT

Me Z

Z

XZZ &&&

+= , ou seja,



1eZ& é a soma da impedância 1Z& (do primário) com o conjugado da impedância total do secundário

( )*T2Z multiplicada pelo escalar

2

T2

M

Z

X

.

Observe que se a impedância total ( )T2Z& do secundário tiver como característica carga reativa

indutiva (como por exemplo, se cZ& for resistência pura, teremos X2 como reativo indutivo) aparecerá

no primário com sinal trocado (conjugado de T2Z ), ou seja, como se fosse capacitor, contrária à reatância X1 do primário.

Nota: Observa-se que as equações de tensões para o primário e para o secundário desenvolvidas acima correspondem aos fluxos subtrativos e que no caso de fluxos aditivos os elementos 2112 ZeZ && da

matriz de impedância Z& alternariam de sinal, ou melhor, MXZZ &&& −== 2112 para acoplamento

subtrativo e M2112 XZZ &&& == para acoplamento aditivo. Observe que esta alteração de sinal não

provocará nenhuma alteração em 1∆∆ && eme , conseqüentemente, a solução para 1I& será a mesma

nos dois casos. Mas por outro lado, o valor de 2∆& inverterá de sinal, provocando o mesmo efeito

em 2I& , ou seja, 2'2 II && −= onde 2I& é a corrente encontrada para o secundário no primeiro caso, e '2I&

para o segundo. Observe também que 1eZ& é idêntica em ambos casos, já que 111 IVZe

&&& = e como 1V& e 1I& não

sofreram nenhuma alteração, 1eZ& , evidentemente, ficará inalterado.

Vamos agora analisar estes resultados imaginando a figura do início desta seção como sendo um transformador físico imutável, ou seja, não conseguiremos alterar nenhuma de suas características sem danificá-lo, sem desmontá-lo. Assim seus terminais 1, 1’, 2 e 2’, bem como, a marcação de polaridades são inalteráveis. Observe que se para a primeira solução (fluxos subtrativos) encontramos a corrente o& 3052 ∠=I A, significa que a corrente que percorre a carga cZ& no sentido 22’ é o fasor

Ao305∠ . Se desejássemos escrever as equações de tensões com acoplamento aditivo, teríamos então

que trabalhar no secundário com a corrente '2I& saindo do terminal 2’ da bobina e entrando no terminal

2 da mesma. Pela discussão anterior, é claro que encontraríamos como solução para o&& 3052

'2 ∠−=−= II = Ao1505 −∠ . É claro que esta corrente percorre a carga cZ& no sentido 2’2, e se

desejássemos a corrente em cZ& no sentido contrário, 22’, seria seu negativo, ou seja, A305 o∠ , que

fasorialmente é a mesma solução de primeiro caso.

Conclusão: A solução para 2I& é idêntica se consideramos o acoplamento positivo ou negativo. Seus valores fasoriais serão iguais em módulo e de sinais contrários, mas também com sentidos contrários na carga, e, por conseguinte, se consideramos a corrente na carga no mesmo sentido, a solução fasorial será idêntica.

Problema 6 - Para o transformador abaixo, sabendo-se que:

.050

;65,90256,0

;07,40108,0

;4,35094,0

;775,0;3,3;/377

22

11

21

voltsE

jXHM

jXHL

jXHL

RRsradw

M

o&

&

&

&

∠=

Ω=⇒=

Ω=⇒=

Ω=⇒=

Ω=Ω==

Pede-se:



a) Com Ω∞=cZ& , terminais do secundário aberto, determine µ,,,, '22,21 SE PPVII &&& (rendimento)

e undárioPsec .

Como o secundário está aberto, 0I 2 =& e as equações de tensões tornam-se:

.secundário no induzida f.e.m.0

;675,84406,1400,11305,04,353,3

050

2'21'22'221

1

1111111

===⇒=+−

−∠=−=+

∠==⇒=−

EIXVVIX

AjjZ

EIEIXIR

MM&&&&&&&

&

&&&&&& o

o

Temos então:

;326,5571,13

;0

;675,84406,1

'22

2

1

VV

AI

AI

o

o

&

&

&

∠=

=

−∠=

.0

%;0

;0

;52,6

sec wattsP

wattsP

wattsP

undário

S

E

====

µ

b) Com Ω= 15,28cZ& (resistor puro) pede-se: µ,,,, '22,21 SE PPVII &&& (rendimento) e undárioPsec .

Resolvendo-se as equações:

.0

;

212222

121111

=+−+

=−+

IZIXIXIR

EIXIXIR

CM

M

&&&&&&&

&&&&&&

na forma matricial [ ] [ ] [ ]VIZ &&& = obtém-se:

;4,209,13

;46,2465,0

;5,79409,1

2'22

2

1

VIZV

AI

AI

co

o

o

&&&

&

&

∠==

∠=

−∠=

( )( )

( ) ( ) .25,6465,015,28775,0

%;5,47100

;08,6cos

;8,12cos

2222sec

2'2222

1

2'22

1

wattsIRRP

PP

wattsIVIZP

wattsIEP

cundário

ES

IVcS

IEE

=×+=×+=

=×=

=−××==

=−××=

µ

θθ

θθ

&&

&&

Observe que a força eletromotriz induzida no secundário é 12'2 IXE M&&& = .

c) similar ao item (a) com 4621,10181,1 jZc −=& Ω, carga na qual ocorre a máxima transferência de

potência da fonte de tensão, pede-se µ,,,, '22,21 SE PPVII &&& (rendimento) e undárioPsec .

Resolvendo-se as equações de tensões na forma matricial [ ] [ ] [ ]VIZ &&& = , obtém-se:

;3255,56649,6

;18,291858,2

2

1

AI

AIo

o

&

&

∠=

−∠=

;8225,49875,11'22 VV °−∠=&

;65,796649,6)0181,1775,0(

%;39,47

;22,45

;42,95

2sec wattsP

wattsP

wattsP

undário

S

E

=×+====

µ

d) similar ao item (a) com 0Zc =& , terminais do secundário em curto circuito, pede-se:

µ,,,, '22,21 SE PPVII &&& (rendimento) e undárioPsec .

Resolvendo-se as equações de tensões na forma matricial [ ] [ ] [ ]VIZ &&& = , obtém-se:

;0,4562,7775,0

;832,49616,7

;55,6028,3

2sec

2

1

wattsP

AI

AI

undário =×=

−∠=

−∠=o

o

&

&

%;0

;0

;6,80

===

µwattsP

wattsP

S

E

d) Análise do comportamento do transformador



Vamos efetuar uma análise do comportamento deste transformador para os quatro casos anteriores: (a) Secundário aberto ( )∞=cZ& ; (b) carga Ω= 15,28cZ& ; (c) Carga de máxima transferência

de potência e (d) Secundário em curto-circuito ( )0=cZ& . Para facilitar esta análise vamos resumir os

resultados anteriores na tabela abaixo, aproximados.

Tabela 1 – Transformador com núcleo de ar com acoplamento subtrativo.

Ca-so

cZ&

(Ω) 1E&

(V) '22V&

(V) 1I&

(A) 2I&

(A) EP

(W) SP

(W)

η (%)

secP

(W) (a) ∞ o050∠ o3,56,13 ∠ o7,8441,1 −∠ 0 6,52 0 0 0

(b) 28,15 o050∠ o4,21,13 ∠ o5,7941,1 −∠ o5,247,0 ∠ 12,8 6,08 47,5 6,25

(c) °−∠ 558,1 o050∠ °−∠ 8,499,11 o2,2919,2 −∠ o3,57,6 ∠ 95,4 45,2 47,4 79,7

(d) 0 o050∠ 0 o6,6028,3 −∠ o506,7 −∠ 80,6 0 0 45,0

Considerações sobre as variações dos parâmetros do transformador de núcleo de ar com acoplamento subtrativo do Problema 2.12, ao variar-se sua carga cZ& :

• Tensão de saída do transformador (V22’): Variou muito pouco nos casos (a), (b) e (c), mostrando uma boa regulação do transformador, isto é, pequena variação da tensão de saída, função da carga ZC. Exceção para o caso (d), já que temos os terminais em curto, e evidentemente V22’ = 0;

• Corrente no primário (I 1): Observe aqui alguns fatos interessantes: o primeiro, que a corrente I1 para os dois primeiros casos permaneceu praticamente constante, mesmo com I2 = 0,465 (caso b). Nota-se que a potência adicional transferida para o secundário (6,25 W no caso b) foi equacionada com a mudança de fase entre 1V& e 1I& , de 84,7°°°° para 79,5°°°°. O segundo fato é que para o caso (c) a corrente I1 cresceu pouco mais 55% para um acréscimo de potência de entrada de 645% e, também, a corrente do secundário (I2) tenha crescido da ordem de 1.333%. Novamente, o equacionamento desta situação ocorreu-se com a mudança de fase entre 1V& e 1I& , de 79,5°°°° para

29,2°°°°. Finalmente, no caso (d), secundário em curto, a corrente do primário cresceu 50% e potência de entrada recuou para 84,5% do valor anterior e a corrente do secundário (I2) tenha crescido da ordem de 14 %. Para solucionar esta última situação ocorreu-se mudança de fase entre 1V& e 1I& , de 29,2°°°° para 60,6°°°°;

• Corrente no secundário (I2): Para o caso de máxima transferência de potência (c) esta corrente cresceu na ordem de 14 vezes com relação à corrente da carga Ω= 15,28CZ (caso b). Com

secundário em curto (caso d) ocorreu um acréscimo adicional de 14%, possivelmente provocando um sobreaquecimento no secundário;

• Potência de Entrada (PE):. No caso (a) toda a potência de entrada (6,52 W) foi consumida na resistência do enrolamento primário. Já no caso (b), embora esta potência (12,8 W) tenha praticamente dobrado, este incremento foi, praticamente, devido a potência transferida para a carga ZC (6,08 W) com consumo muito pequeno (0,17 W) no enrolamento do secundário. No caso (c), embora esta potência tenha crescido 7,45 vezes (para 95,4 W), este incremento foi devido à potência consumida no primário (15,7 W - um aumento bastante significativo do caso anterior, 203 vezes mais), bem como, aquela transferida para o secundário (79,7 W). Da potência transferida para o secundário, parte foi consumida na carga ZC (45,2 W) e o restante, no seu enrolamento (34,5 W). Nota-se, neste caso, um consumo bastante significativo nos enrolamentos do transformador. Por último, no caso (d), ocorreu um pequeno decréscimo (15,5%) na potência de entrada, embora, tenham-se ocorrido acréscimos de consumos nos enrolamentos do primário (127%) e do secundário (30,4%), nos alertando para um grave risco de aquecimento dos mesmos.

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


• Rendimento do Transformador (praticamente constante nos casos carga mais de sete vezes maior.

Problema 7 – Resolva o Problema fasoriais do Primário e do Secundário. Tabela 1.

Resp.: a) ;674,174571,13'22 VV o& −∠=b) ;6,177465,0 '222 VAI o && −∠=c)

;45,174665,6 '222 VAI o && −∠=d) ;2,13066,72 AI o& ∠=

OBS.: Os demais resultados dos itens (a), (b), (c) e (d) são os mesmos do Problema 2.12.

Tabela 2 – Transformador com núcleo de ar com acoplamento Ca-so

cZ&

(Ω) 1E&

(V) (a) ∞ o050∠ 6,13(b) 28,15 o050∠ 1,13(c) °−∠ 558,1 o050∠ 11

(d) 0 o050∠ 11 - Circuito acoplado condutivamente equivalente

a) Acoplamento subtrativo – Considere o circuito abaixo, condutivo, como sendo equivalente ao transformador do início desta seção (

matriz impedância com os coeficientes da núcleo de ar, acoplamento subtrativo, obtém

; 1 MPMM XZZXZ &&&&& −== b) Acoplamento aditivo - É evidente que o circuito condutivo acima, assim como a matriz de impedância correspondente é a mesma. Mas por outro lado, os elementos

impedância do transformador inverte seu sinal, ou sejado caso subtrativo. Novamente, igualando termo a termo obtém

; 1PMM XZZXZ &&&&& +=−=


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Rendimento do Transformador (ηηηη): Observe que o rendimento do transformador mantevepraticamente constante nos casos (b) e (c) mesmo com uma potência tra

mais de sete vezes maior.

Problema 6 com acoplamento aditivo. Para o item (fasoriais do Primário e do Secundário. Com os valores calculados, monte a

;

;6,17709,13 Vo−∠=

;18,130875,11 Vo∠=

Os demais resultados dos itens (a), (b), (c) e (d) são os mesmos do Problema 2.12.

Transformador com núcleo de ar com acoplamento aditivo.

'22V& (V)

1I& (A)

2I& (A)

o1756 −∠ o7,8441,1 −∠ 0 o1781 −∠ o5,7941,1 −∠ o17847,0 −∠

°∠1309,11 o2,292,2 −∠ o17567,6 −∠

0 o6,603,3 −∠ o13062,7 ∠

Circuito acoplado condutivamente equivalente a um transformador com núcleo de

Considere o circuito abaixo, condutivo, como sendo equivalente ao o início desta seção (2.12), com acoplamento subtrativo, onde 11’

do primário do transformador e 22’ os terminais do secundário. Para este circuito temos as equações já na forma matricial:

( )

++−

−+

( ZZ

Z

Z

ZZ

CS

M

M

MP

&&

&

&

&&

Igualando-se termo a termo, os coeficientes desta

matriz impedância com os coeficientes da matriz anterior, matriz impedância do transformador com núcleo de ar, acoplamento subtrativo, obtém-se:

.; 2 MSM XZZ &&& −=

É evidente que o circuito condutivo acima, assim como a matriz de impedância correspondente é a mesma. Mas por outro lado, os elementos

inverte seu sinal, ou seja, MXZZ &&& == 2112 , em vdo caso subtrativo. Novamente, igualando termo a termo obtém-se:

.; 2 MSM XZZX &&& +=


__________________________________________________________________________________ 14

Observe que o rendimento do transformador manteve-se mesmo com uma potência transferida para a última

Para o item (d) trace os diagramas monte a Tabela 2, similar a

EP (W)

SP

(W)

η (%)

secP

(W) 6,51 0 0 0

12,8 6,08 47,5 6,25

95,4 45,2 47,4 79,7

80,6 0 0 45,0

com núcleo de ar

Considere o circuito abaixo, condutivo, como sendo equivalente ao subtrativo, onde 11’ são os terminais

do primário do transformador e 22’ os terminais do secundário. Para este circuito temos as equações já

=

+ 0)1

2

1 V

I

I

ZM

&

&

&

&.

se termo a termo, os coeficientes desta

impedância do transformador com

É evidente que o circuito condutivo acima, assim como a matriz de impedância correspondente é a mesma. Mas por outro lado, os elementos 2112 ZZ && = da matriz da

, em vez de MXZZ &&& −== 2112

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


Exemplo 3 – Determine as impedâncias

transformador do

( )( 07,4775,0

4,353,3

;65,9

2

1

+=−=

−+=−=

Ω==

jXZZ

jXZZ

jXZ

MS

MP

MM

&&&

&&&

&&

Exemplo 3.(b) – Similar ao Exemplo

Resp.: ;65,9 =Ω−= ZjZ PM&&

Exemplo 4 – Considerando os valores encontrados para

a) Com voltsV o& 0501 ∠= , determine o circuito de Th

b) Usando o circuito equivalente do item anterior, calcule a corrente

Ω= 15,28CZ& .

Observe que c'22

2'22

ZZ

EI

&&

&&

+= ⇒

Para 4647,015,28 2IZC&& =⇒Ω=

Para 617,70 2IZC&& ∠=⇒Ω=

c) Qual seria o valor da impedância

impedância e determine o valor correspondente para

456649,60181,1

4621,10181,12

*'22

PP

jZZ

sZ

C

C=×==

Ω−==

&

&&

Exemplo 4.(b) – Similar ao Exemplo

Resp.: a) 174571,13. −∠=&VThev

b) 15,28 2IZC&& ⇒Ω=

,70 2IZC&& =⇒Ω=

c) 4621,10181,1 jZC −=&


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Determine as impedâncias MSP ZeZZ &&& , do circuito condutivo equivalente ao

do Problema 6.

) .58,5775,065,907

;75,253,365,9

Ω−=−

Ω+=−

jj

jj

Exemplo 3 com acoplamento aditivo. .72,13775,0;05,453,3 Ω+=Ω+= jZj S

&

os valores encontrados para MSP ZeZZ &&& , no Exemplo

etermine o circuito de Thévenin equivalente para os terminais 22’.

⇒+

==MP

MMZZ

VZIZV

&&

&&&&& 1

1'22

5571,132596,15125,13.'22 jVV Thev&& ∠=+==

( ) ∠+=+= 02,880463,7//'22 SMPS ZZZZZ &&&&&

557816,14621,10181,1.'22 ∠=+== && jZZ Thev

Observe que 5571,13.'222'2 VVE Thev&&& ∠===

b) Usando o circuito equivalente do item anterior, calcule a corrente 2I& na car

;456,24647 Ao∠

.823,49 Ao−∠

c) Qual seria o valor da impedância cZ& , para que ocorresse a máxima transferência de potência

e determine o valor correspondente para 2I& e Pconsumida nela.

.225,45

3255,56649,66186,06361,62

watts

jI ∠=+=⇒Ω o&

Exemplo 4 com acoplamento aditivo. 7816,14621,10181,1;6745,174 . =+=o & jZV Thev

;544,1774647,0 Ao−∠=

.177,130617, Ao∠

;6745,1746649,6;4621 2 PAI consumida−∠=Ω o&


__________________________________________________________________________________ 15

do circuito condutivo equivalente ao

xemplo 3, pede-se:

equivalente para os terminais 22’.

;3255,5 Vo

⇒°02

;148,55 Ωo

.326,5 voltso

carga cZ& com Ω= 0CZ& e

, para que ocorresse a máxima transferência de potência nesta

;A

;148,557816 Ω∠ o

.225,45 Wconsumida =

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


12 - Impedância Transferida

a transferência de máxima potência de um gerador de pequena potência para um receptor. Para isto:

Zg&

Em audiofreqüências podemos usar com sucesso variar tensões e associar impedâncias.com núcleo de ar ou núcleo de cerâmica.acoplamento é relativamente alto

maior que o quadrado da resistência total do secundário

com N2 espiras pode aparecer refletido

conforme ilustrado na figura abaixo.

Para transformador com núcleo de ar

Para o transformador com núcleo de ar tem

( 12

2

11

11

T

Me XjR

Z

ZZ

I

VZ +=−==

&

&&

&

&&

Considerando as hipóteses: • ⇒<< TT wLRH 221 : 2TZ

• TLH 22 : está concentrada na Bobina 2

• 13 1: LMKH ⋅=⇒≅

e aplicando-as sobre a relação 2Z

X

=≅+

= 22

2

22

22

2

22

2

1

wX

X

XR

X

Z

X

H

T

M

TT

M

T

M

6444 8444 76

2

1

22

2

11

1

2

22

1

11

22

2

fmm

i

N

fmm

i

N

iN

iN

Z

X

T

M

ℜ×

ℜ×

=⇒ φ

φ


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Uma das principais considerações em circuitos de comunicação é a transferência de máxima potência de um gerador de pequena potência para um receptor. Para isto:

jXRZjXRZ CLg −=⇒+=+ &&

podemos usar com sucesso transformadores com núcleo de ferro para variar tensões e associar impedâncias. Em radiofreqüências são usados geralmente com núcleo de ar ou núcleo de cerâmica. Em transformador com núcleo de ferro

é relativamente alto ( )1≅K e o quadrado da reatância da bobina do secundário é muito

maior que o quadrado da resistência total do secundário, uma resistência CR

refletido nos terminais do primário com N1 espiras como

conforme ilustrado na figura abaixo.

com núcleo de ar, em geral, CR aparece no primário em forma modificada.

com núcleo de ar tem-se que:

) ( ) (2

2

22

1122

2

1

T

TM

TT

M

Z

jXRXjXR

jXR

XX

−++=

++&

22

2TT X≅ ;

concentrada na Bobina 2 ⇒ 0arg ≅acL ⇒ 22

NLL T ==

2L .

22

2

T

MX abaixo, obteremos:

( ) ⇒=≅=≅+ 2

122

2122

2

22

2

22

2

22

32

L

L

L

LL

L

M

L

M

LLw

Mw

HH

C

48476444 8444 76

.22

21

222

2

111

1

N

N

iNi

N

iNi

N

=/⋅⋅

/

/⋅⋅/=


__________________________________________________________________________________ 16

Uma das principais considerações em circuitos de comunicação é a transferência de máxima potência de um gerador de pequena potência

com núcleo de ferro para são usados geralmente transformadores

com núcleo de ferro onde o coeficiente de o quadrado da reatância da bobina do secundário é muito

C colocada no secundário

espiras como CRN

N2

2

1

,

aparece no primário em forma modificada.

)2TjX

2

22

i

N φ;

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


Esta relação, 2

2

1

N

N, é aquela apresentada para transformadores de núcleo de ferro responsável pela

transferência de uma carga no secundário de um transformador para seu primário.Observe que um valor R

que N1 << N2. Note, também, que para as mesmas condições acima, a indutância eficaz nos tedo primário aproxima-se de zero:

2

2

11 −=Z

XXX

T

Me&

Problema 8 – Um gerador fornece

Ω∠= o& 02gZ e será usado para energi

entregue à carga para os três casos

(a) diretamente, isto é, os terminais do gerados diretamente ligados aos terminais da carga

(b) através de um transformador com

(impedância do secundário),

Ω−= 8jXC& . Determinar a potência entregue à carga para os dois casos

(c) através de um transformador com mesmas reatânciasmelhor: Ω= 501 jZ& (impedância do primário),

Ω= 500jXM& .

a) Gerador ligado diretamente

E

Z

Z

&

&

&

b) Gerador ligado à carga através de um transformador

8397,3

010

11 jZXZ

EI

eCg

g

&&

&&

+∠=

++=

CC ZZ && =1 transferida para o primário =

6044,27557,0211 IZP CZC

×=×=


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

, é aquela apresentada para transformadores de núcleo de ferro responsável pela

carga no secundário de um transformador para seu primário.

TR2 do secundário, grande, pode aparecer pequeno no primário desde que para as mesmas condições acima, a indutância eficaz nos te

se de zero:

( )2

112

2

1122

2

⋅/

−=+⋅−=⋅ wLL

LXLLw

L

LXX CT

T

M

Um gerador fornece 10 volts eficazes ( gE& ) em 265,5 Hz e tem uma impedância interna

e será usado para energizar uma carga resistiva Ω= 90CZ&

entregue à carga para os três casos de acoplamento da carga ao gerador:

iretamente, isto é, os terminais do gerados diretamente ligados aos terminais da carga

través de um transformador com Ω+= 5011 jZ& (impedância do primário),

(impedância do secundário), Ω= 26,458jX M& e um capacitor em série com seu primário, onde

Determinar a potência entregue à carga para os dois casos;

através de um transformador com mesmas reatâncias do item (b), ideal e sem o capacitor, ou (impedância do primário), Ω= 000.52 jZ& (impedância do secundário),

Gerador ligado diretamente à carga

;010

;090

;02

voltsE

Z

Z

g

C

g

o

o

o

&

&

&

∠=

Ω∠=

Ω∠=

90

92

10

2IRP

ZZ

EI

CZ

Cg

g

C×==

=+

=

&

&&

&&

carga através de um transformador real e um capacitor em série

( )

0164,88397,1

103967,8000.5100

26,458

;000.5100

90000.510

*211

22

2

22

2

*2

22

+=+=

×=+

=

Ω−=

++=+=

jZKZZ

Z

X

jZ

jZZZ

Te

T

M

T

CT

&&

&&&

;244,06044,20164,0

0Ao

o

−∠=

primário = ;7557,090 Ω=×=⋅ KZK C

.126,560442 watts= (expressão válida para 1CZ resistência pura)


__________________________________________________________________________________ 17

, é aquela apresentada para transformadores de núcleo de ferro responsável pela

carga no secundário de um transformador para seu primário. pode aparecer pequeno no primário desde

que para as mesmas condições acima, a indutância eficaz nos terminais

02 ≅wL .

z e tem uma impedância interna

Ω . Determine a potência

iretamente, isto é, os terminais do gerados diretamente ligados aos terminais da carga;

(impedância do primário), Ω+= 000.5102 jZ&

e um capacitor em série com seu primário, onde

;

, ideal e sem o capacitor, ou (impedância do secundário),

.063,11087,0

;1087,0092

010

2 watts

A

=×

=∠∠

o

o

real e um capacitor em série

;0164

;10

;000.510090

3

Ω

=

Ω+=

− K

j

resistência pura)

CE MECT (FEELT490__________________________________________________________________________________


c) Gerador ligado à carga através de um transformador ideal

01619,08997,2

010

11 jZZ

EI

eg

go

&

&&

+∠=

+=

CC ZZ && =1 transferida para o primário =

4486,38997,0 2211 IZP CZC

×=×=

Como referência o caso (conseguiu transferir uma potência quase cinco vezes maior, carga e o gerador através de um transformador ideal (caso c). 13 - O autotransformador com núcleo de ar

O autotransformador

equipamento onde a tensão de entrada e a tensão de saída compartilham a mesma bobina com a tensão de entrada envolvendo apenas uma parte e a de saída toda ela ou vice-versa, conforme ilustrado na figu

Problema 9 - Escrever as equaçõescircuitos acima em função de Rab

()( 11 dt

dM

dt

idLiR abab −+


__________________________________________________________________________Mauro Guimarães

Gerador ligado à carga através de um transformador ideal

( )

01619,08997,0

109968,9000.590

500

;000.590

9090000.5

*211

322

2

22

2

*2

22

+=+=

=×=+

=

Ω−=

+=+=+=

−

jZKZZ

Z

X

jZ

jZZZ

Te

T

M

T

CT

&&

&&&

;3194,04486,301619

Ao−∠=

transferida para o primário = ;8997,090 Ω=×=⋅ KZK C

.09,102 watts= (expressão válida para 1CZ resistência pura)

Como referência o caso (a), ligação direta Gerador-Carga, observconseguiu transferir uma potência quase cinco vezes maior, para a mesma carga, quando acoplamos a carga e o gerador através de um transformador real (caso b), e quase dez vezes no caso do

r com núcleo de ar

totransformador consiste de um equipamento onde a tensão de entrada e a tensão de saída compartilham a mesma bobina com a tensão de entrada envolvendo apenas uma parte e a de saída toda

versa, conforme ilustrado na figura ao lado.

uações. diferenciais gerais relativas ao equilíbrio de tensões nos dois ab, Lab, Rbc, Lbc, M, R, L, i1 e i2.

)(;

)(2

22

2 LiRdt

idLiRv

dt

ibcbc +++=


__________________________________________________________________________________ 18

;01619

;

;000.5

Ω

=

Ω

K

j

resistência pura)

bservou-se que o gerador mesma carga, quando acoplamos a

e quase dez vezes no caso do

. diferenciais gerais relativas ao equilíbrio de tensões nos dois

.)()( 12 v

dt

idM

dt

id =−



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de

Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 7, p. 256-306.

2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 21, p. 636-662.

3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 13. p. 513-563.

4. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & Sons, 1990. cap 16. p. 411-438.

unid_4.1 - circuitos com acoplamento magnético

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