Maria Cristina Conceição dos Santos

UMA PRÁTICA AVALIATIVA EM

MATEMÁTICA

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: Profª. Drª.REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

Janeiro - 2009 – LONDRINA

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ SECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

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Maria Cristina Conceição dos Santos

UMA PRÁTICA AVALIATIVA EM MATEMÁTICA

Produção Didática (Unidade Didática) apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Profª Drª Regina Luzia Corio de Buriasco.

UEL - LONDRINA – 2009

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Introdução

Esta Unidade Didática está sendo proposta com o

intuito de tomar a avaliação como tarefa de aprendizagem. O

processo avaliativo pode tornar-se um meio para o professor obter

informações que direcionem a sua prática pedagógica, bem como

para fornecer aos alunos oportunidades de identificar e superar suas

dificuldades e atuar como construtores da sua aprendizagem.

A estratégia metodológica adotada será a Resolução de

Problemas que oportuniza desenvolver os conteúdos matemáticos de

modo significativo e viabilizar a avaliação formativa, e o instrumento

de avaliação a ser utilizado, em uma 8ª. série do Ensino Fundamental

será a prova em duas fases.

A Resolução de Problemas e as Tarefas de Investigação

Na atualidade, é comum contemplarmos no ambiente

escolar a frustração docente na tentativa de vencer o desinteresse de

grande parte dos alunos.

Com a finalidade de que os conteúdos matemáticos

sejam desenvolvidos para tornarem-se significativos estabelecendo

relações com outras áreas e elaborados de modo a propiciar a futura

utilização em situações do dia a dia as Diretrizes Curriculares do

Estado do Paraná sugerem a utilização de estratégias metodológicas

como: a Resolução de Problemas; a Modelagem Matemática; o uso de

Mídias Tecnológicas; a História da Matemática; a Etnomatemática e

as Tarefas de Investigação (PARANÁ, 2008).

Ciente de que estas estratégias metodológicas se

complementam e que a abordagem dos conteúdos pode transitar por

todas elas, esta proposta de trabalho será conduzida pela Resolução

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de Problemas e as Tarefas de Investigação. Segundo D’Ambrosio

(1993, p.35)

[...] há uma necessidade de os novos professores compreenderem a Matemática como uma disciplina de investigação e resolução de problemas. Além disso, é importante que o professor entenda que a Matemática estudada deve, de alguma forma, ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar ou organizar sua realidade.

No que se refere a estratégia metodológica da

Resolução de Problemas de acordo Schoenfeld (apud PARANÁ, 2008,

p.36) ela torna

[...] as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino de Matemática a modelos clássicos, como a exposição oral e resolução de exercícios. A Resolução de Problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser aprendido pelos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem.

De acordo com Buriasco (2005, p.3),

[...] em aulas por meio da Resolução de Problemas o professor: • deve perceber as implicações das diferentes abordagens realizadas pelos alunos, dar-se conta se podem ser frutíferas ou não, e o que pode perguntar em cada uma delas para enriquecê-las; • precisa saber quando intervir, que sugestões pode dar para ajudar os alunos sem que com isso a solução deixe de ser do aluno; • precisará aceitar que algumas aulas trabalhará sem saber todas as respostas.

Uma das questões mais importantes quando optamos

por ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas segundo

Buriasco (1995a, p.1)

[...] é como apresentar um problema de modo que os alunos: • queiram resolver o problema; • compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução.

Ainda segundo Buriasco (2005, p.4)

aprender a resolver problemas é a razão principal para estudar matemática. Este ponto de vista influencia a

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natureza de todo currículo matemático e tem implicações importantes para a prática em sala de aula.

Nessa perspectiva, a avaliação, de acordo com Onuchic

(2008, p.8)

[...] é construída durante a resolução do problema, integrando-se ao ensino com vistas a acompanhar o crescimento dos alunos, aumentando a aprendizagem e reorientando as práticas em sala de aula, quando necessário.

Contemplar a avaliação como foi descrita é valorizar a

resolução apresentada pelo aluno com o intuito de compreender as

estratégias adotadas para apresentar uma solução.

Quanto as Tarefas de Investigação parte-se do

pressuposto mencionado nas Diretrizes que “investigar significa

procurar conhecer o que não se sabe, objetivo maior de toda ação

pedagógica” (PARANÁ, 2008, p. 41). De acordo com Langdon apud

Pires (2008, p.12),

[...] é caracterizada por ser uma situação aberta cabendo aos alunos a responsabilidade de definir os objetivos, conduzir as experiências, formular e testar hipóteses e comunicar as suas conclusões. Deve ser desenvolvida em três etapas: (1) apresentação da tarefa, (2) atividade independente dos alunos, (3) discussão e reflexão sobre o trabalho realizado.

De acordo com D’Ambrosio (1993, p. 38), nas tarefas

de investigação

[...] o professor terá que ter uma flexibilidade ao determinar o conteúdo a ser tratado. Em vez de resolver muitos problemas, os alunos investigarão a fundo poucos problemas e passaram bastante tempo analisando um único problema [...] o ambiente deve incentivar o uso de recursos como livros, material manipulativo, calculadoras, computadores e diversos recursos humanos. Esses recursos devem ser utilizados para enriquecer a exploração e investigação do problema.

Neste sentido Goldenberg(1999) esclarece que os

[...] materiais do aluno podem constituir em conjuntos

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de problemas cuidadosamente organizados de modo a que os alunos possam trabalhar neles produtivamente sem ser necessário dizer-lhes como o devem fazer, e concebidos para ajudar os alunos a desenvolver idéias e métodos matemáticos sem explicações ou exemplos prévios.

De acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do

Paraná,

[...] na investigação matemática o aluno é chamado a agir como um matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas principalmente, porque formula conjecturas a respeito do que está investigando [...] este é exatamente o processo de construção da matemática pelos matemáticos e, portanto, o espírito da atividade matemática genuína esta presente na sala de aula (PARANÁ, 2008, p.41).

Avaliação da aprendizagem nas aulas de matemática

Embora nas últimas décadas várias pesquisas e

projetos educacionais apresentem abordagens metodológicas que

estimulam uma mudança na prática pedagógica e no processo

avaliativo, prevalece, em nossas escolas, uma avaliação que valoriza

a memorização e a reprodução dos conhecimentos desenvolvidos. Na

maioria dos casos ela é efetuada, por meio de provas bimestrais nas

quais o elemento de maior relevância é o resultado, cujo valor se

traduz em uma classificação, estimulante para os poucos que se

destacaram e humilhante para os que não alcançaram o êxito

desejado.

Nesta perspectiva a avaliação torna-se um instrumento

de disciplina e classificação. Segundo Buriasco (2002, p.1),

[...] nas escolas, na maioria das vezes, a avaliação tem sido usada para dar nota ao aluno e como tal, parece ter se transformado em instrumento para disciplinar a turma. É o braço autoritário do professor que mais atinge o aluno. Por conseguinte, a avaliação se desvia de sua função diagnóstica e volta-se, quase que exclusivamente, para a função classificatória, que é incentivada pelo modo de vida de uma sociedade que

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valoriza a competição.

Considerar o resultado não levando em conta todas as

fases que constituíram o processo de construção dos conhecimentos

caracteriza a avaliação do rendimento escolar como uma prática

extremamente punitiva, que não serve para diagnosticar os meios

necessários para alcançar as metas previstas reduzindo-a a simples

obtenção do ‘produto’ final. Para Buriasco (2002, p.2),

[...] atualmente, a grande maioria das escolas possui uma política de avaliação do rendimento escolar tomada como avaliação do ‘produto’ final, que de certa forma, evidencia um resultado sem muita chance de ser modificado, por assim dizer, baseada na dicotomia aprovação/reprovação, e não da aprendizagem, avaliação da aprendizagem tomada aqui como avaliação do processo, um dos meios que subsidia a retomada da própria aprendizagem.

A superação de uma avaliação empobrecida que tem

como meta apenas um resultado expresso por uma nota, em prol de

uma prática avaliativa que contribua para o aperfeiçoamento do

ensino e o sucesso da aprendizagem, exige compreender: o que

significa avaliar?

Para Barlow (2006), avaliar é emitir um julgamento

preciso ou não sobre algo quantificável ou não, depois de ter

efetuado ou não uma medição. Estas palavras revelam as

contradições e a ambigüidade do termo avaliar quando associado aos

diferentes setores das atividades sociais.

Até que ponto medir pode ser vinculado à ação de

avaliar? De acordo com Hadji (1994, p.178), medir

[...] é apreender um objeto físico, ao adotar a dimensão considerada de uma escala numérica [...]. Uma medição traduz-se em números, uma avaliação por meio de palavras. Avaliar é situarmo-nos, de corpo inteiro, na esfera da comunicação ao produzirmos um discurso que dê uma resposta argumentativa a uma questão de valor. Uma primeira regra fundamental para quem avalia é, pois, a de entregar uma mensagem que tenha sentido para aqueles que a recebem.

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Compreender a avaliação como uma forma de

comunicação é um caminho para aproximar seu conceito da prática

escolar, visto que, ora o aluno, ora o professor são emissores de

mensagens, ora receptores destas que decodificadas de forma

dialógica torna fecundo e promissor o processo de aprendizagem. Isto

porque nestas mensagens estão contidas informações que permitem

ao professor enquanto mediador, tomar decisões e fazer algo para

intervir e melhorar a aprendizagem de cada aluno e do próprio

ensino. Uma ação que exige do avaliador definir: os critérios, os fins

principais, os instrumentos, as funções e posterior estratégia a ser

adotada mediante aplicação de uma avaliação.

No entanto no ambiente escolar predomina um

monólogo em que o professor, a partir da análise das tarefas

realizadas pelos alunos, comunica seus resultados por notas ou

conceitos que ao final de um percurso servirá para aprová-los ou

reprová-los. Para Luckesi (1998) isso é verificação e não avaliação.

Segundo esse autor

[...] o termo verificar provém etimologicamente do latim - verum facere - e significa “fazer verdadeiro”. Contudo, o conceito verificação emerge das determinações da conduta de, intencionalmente, buscar ”ver se algo é isso mesmo...”, “investigar a verdade de alguma coisa. O processo de verificar configura-se pela observação, obtenção, análise e síntese dos dados ou das informações que delimitam o objeto ou ato com o qual se está trabalhando. [...] Por si, a verificação não implica que o sujeito retire dela conseqüências novas e significativas. [...] O termo avaliar também tem sua origem no latim, provindo da composição a-valere, que quer dizer “dar valor a ...”. Porém, o conceito “avaliação” é formulado a partir das determinações da conduta de “atribuir um valor ou qualidade a alguma coisa, ato ou curso de ação...” [...] Isto quer dizer que o ato de avaliar não se encerra na configuração do valor ou qualidade atribuídos ao objeto em questão, exigindo uma tomada de posição favorável ou desfavorável ao objeto de avaliação, com uma conseqüente decisão de ação [...] (LUCKESI, 1998, p.75 e 76).

Enquanto a verificação se limita a coleta e análise de

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informações sem conseqüências posteriores (intervenções para

alterar os resultados), a avaliação ultrapassa essa fronteira e conduz

a uma ação, exige uma decisão: uma tomada de posição que viabiliza

o redirecionamento das propostas planejadas de forma dinâmica.

Neste contexto, resultados alcançados servem de

subsídios para orientar a atividade pedagógica e promover o sucesso

dos alunos e a retomada da própria aprendizagem, para

[...] cumprir a principal função da avaliação é preciso que o professor avalie, não apenas o aluno, mas o desenvolvimento do seu próprio trabalho pedagógico como um todo, e dessa forma utiliza a avaliação para orientar a ambos - professor e aluno - nas suas escolhas escolares (BURIASCO, 2002, p.1).

A concepção da avaliação compreendida como

instrumento também para a aprendizagem, capaz de orientar a

prática pedagógica na medida em que seus resultados fazem parte de

uma coleta de evidências que apontam progressos e rupturas, e

consequentemente torna-se fonte para aperfeiçoamento de todo

processo está presente nos trabalhos de Hadji (1994), Luckesi

(1998), Camargo (1999), Buriasco (2002), Barlow (2006) e

complementam a concepção de avaliação contida nos documentos

oficiais que regulamentam o Ensino Básico tais como: a Lei de

Diretrizes e Bases da Educação n. 9394/96 (BRASIL, 1996), os

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1996), as Diretrizes

Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2007) e a deliberação

007/99 do Conselho Estadual de Educação do Estado do Paraná.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais a

avaliação

[...] é compreendida como um conjunto de atuações que têm a função de alimentar, sustentar e orientar a intervenção pedagógica. Acontece contínua e sistematicamente através da interpretação qualitativa do conhecimento construído pelo aluno (BRASIL, 1996, p.81).

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e, na mesma direção o documento das Diretrizes Curriculares de

Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e para o

Ensino Médio do Paraná – DCE (PARANÁ, 2008a, p.44) aponta que

[...] a avaliação deve se dar ao longo do processo de ensino-aprendizagem, ancorada em encaminhamentos metodológicos que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem a relação do aluno com o conteúdo e a compreensão alcançada por ele.

Tornar válidas estas considerações requer a

intencionalidade em repensar e propor práticas que orientem a

prática educativa, numa amplitude que ultrapasse a sala de aula,

envolvendo pedagogos e profissionais da educação do ambiente

escolar local, municipal e estadual a fim de que seja autêntica a

afirmação da deliberação nº033/87-CEE - PR apud deliberação n.

007/99 do CEE do PR, ao expressar que a

[...] avaliação hoje se aplica não somente ao nível da aprendizagem do aluno, mas também do aperfeiçoamento de ensino e da reformulação do currículo. Apresenta-se, portanto como elemento necessário em diferentes níveis do planejamento, exercendo nesses níveis a função diagnóstica e formativa [...] (PARANÁ, 1987).

Ao encontro dessa concepção de avaliação, as

Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado

do Paraná (2008) aponta que uma das funções que avaliação exerce

é a de “proporcionar aos alunos novas oportunidades para aprender,

melhorar e refletir sobre o seu próprio trabalho, bem como fornecer

dados sobre as dificuldades de cada aluno” (ABRANTES, apud

PARANÁ, 2008, p. 44).

Segundo as Diretrizes Curriculares da Rede Pública do

Estado do Paraná (2008, p.11)

no final da década de 1980 e início da década de 1990, o Estado do Paraná produziu coletivamente um documento Curricular para sua rede publica de Ensino Fundamental denominado Currículo Básico[...]

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publicado em 1990, portaria o germe da Educação Matemática, cujas idéias começavam a se firmar no Brasil.

Na proposta do Currículo Básico compreende-se que:

[...] aprender Matemática é [...] interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível [...] (PARANÁ, 1990, p.66).

No que se refere a avaliação sugere aos professores:

[...] uma postura que considere os caminhos percorridos pelo aluno, as suas tentativas de solucionar os problemas que lhe são propostos e, a partir do diagnóstico de suas deficiências, procurar ampliar sua visão, o seu saber sobre o conteúdo em estudo (PARANÁ, 1990, p.77).

Esse documento foi elaborado há quase vinte anos,

mas ainda não está de fato adotado no cotidiano escolar paranaense,

e com isso, “a matemática tem sido retratada como algo quase

incompreensível e quase inacessível, e, por isso seu estudo tem se

limitado à mecanização e à memorização e não à compreensão de

conceitos” (BURIASCO, 2004a, p.2) enquanto a avaliação exerce

apenas a sua função classificatória.

É preciso que as aulas de matemática, e elas incluem uma

avaliação, possam “contribuir para que todos os alunos se tornem

matematicamente competentes” (Abrantes, apud SANTOS, 1998,

p.1). Com relação ao processo de avaliação, Buriasco (2004a, p.4)

afirma que ele

[...] deve, pelo menos, evidenciar: • o modo como interpretou sua resolução para dar a resposta (BURIASCO, 2002); • as escolhas feitas pelo aluno, na busca de lidar com a situação; • os conhecimentos matemáticos que utilizou; • se os alunos utilizam a matemática que é

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vista nas aulas; • a forma do aluno se comunicar matematicamente, comprovando sua capacidade em expressar idéias matemáticas, oralmente ou por escrito, presentes no procedimento que utilizou para lidar com a situação proposta.

De acordo com o documento Normas para Avaliação em

Matemática Escolar (NCTM, 1999, p.15)

[...] uma vez que os alunos aprendem Matemática a ser avaliados, as avaliações constituem oportunidades, quer para aprenderem, quer para demonstrarem o que sabem e são capazes de fazer. Para além disso, as avaliações, incluindo as exteriores á sala de aula, orientam o ensino subseqüente contribuindo, deste modo, para melhorar a aprendizagem. Os alunos podem eles próprios usar as avaliações para se tornarem estudantes autônomos. Para tal, as avaliações servem de indicadores da Matemática que é importante que aprendam. Embora a avaliação seja feita de várias finalidades, o seu principal objetivo é promover a aprendizagem dos alunos e informar os professores para a tomada de decisão sobre o ensino (Grifo nosso).

Compreender a avaliação como um meio para

promover a aprendizagem matemática e a autonomia dos alunos

pode indicar aos professores que estratégias serão necessárias para

dar continuidade a sua proposta de trabalho. Buriasco (2004a, p.4)

sugere que em

[...] uma perspectiva de ensino centrada num processo, aceitando a possibilidade de refutar e corrigir os conceitos matemáticos poder-se-ia partir da produção escrita (de alunos ou professores) para explorar a matemática, desenvolvendo, assim, a capacidade critica, relacionando a visão falibilista da Matemática com o processo da avaliação da aprendizagem numa perspectiva diferente para o processo de ensinar e aprender matemática.

Desenvolver a criticidade a partir da produção escrita

de professores e alunos ao se explorar os conhecimentos

matemáticos exige repensarmos nossas práticas avaliativas, que de

acordo com Cury (2002, p.4) devem ser direcionadas

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no sentido de permitir ao professor um aproveitamento dos erros em retomadas dos conteúdos, em discussões sob suas causas, em busca de caminhos para um ensino mais comprometido com as necessidades e potencialidades dos estudantes.

Ao abordar ‘o erro’ Fiorentini (2006, p. 4) afirma que

[...] o erro escolar, na verdade, resulta de um esforço dos alunos em participar do processo de aprendizagem produzindo e negociando, a partir de seu mundo e de sua cultura, sentidos e significados sobre o que se ensina e aprende na escola. E, nesse sentido, o erro não poderia ser visto como um mal a ser erradicado, mas como parte do processo de aprender e desenvolver-se intelectualmente.

Reconhecer a importância da análise de erros não

significa desconsiderar os acertos, pelo contrário, a análise tanto dos

erros como dos acertos pelo professor é essencial para compreensão

das competências e limitações dos alunos e para promoção da

avaliação da aprendizagem matemática a fim de que aos olhos destes

seja algo promissor.

Ao conduzir a avaliação com este intuito segundo

Buriasco (2004, p.3) a avaliação “...pode ser objeto de

investigação[...], nessa perspectiva é necessário que os professores

tomem ciência e consciência da importância da análise dos recursos e

estratégias utilizados por seus alunos ao fazerem registros em

questões de avaliação da produção didática”.

Neste contexto, de acordo com Esteban apud NAGY-

SILVA, (2005), a

[...] avaliação como prática de investigação pode responder à impossibilidade de reduzir os processos ao que é imediatamente observável. Interroga as respostas, indaga sua configuração, procura encontrar as relações que as constituem. Não se satisfaz com a constatação do erro e do acerto, à resposta dada faz novas perguntas. Sobretudo, como prática de investigação, não nega o erro, tampouco lhe atribui um valor negativo. O erro é considerado um importante elemento na tentativa de compreender a complexidade dos processos e de produzir praticas que incorporem os

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processos em sua complexidade. O erro dá pistas sobre os conhecimentos, práticas, processos, valores, presentes na relação pedagógica, embora frequentemente invisíveis. O erro é portador de conhecimentos, processos, lógicas, formas de vida, silenciados e negados pelo pensamento hegemônico. A avaliação nesta perspectiva, vai desafiando e desfiando o que se mostra para se encontrar o que se oculta (p.31)

Como prática de investigação, a avaliação segundo

Buriasco (2004, p.3),

[...] pode configurar-se pelo reconhecimento dos saberes múltiplos, lógicas, valores que permeiam o conhecimento. Por conseguinte, vai sendo constituída como um processo de questionamento dos resultados apresentados, dos percursos feitos, dos previstos e imprevistos [...].

Considerar em cada uma das fases do processo de

ensino os avanços obtidos e os entraves que precisam ser superados

torna as práticas avaliativas, em matemática, contextos que podem

propiciar a aprendizagem, e, a recuperação de estudos pode ser

compreendida como parte de todo o percurso avaliativo, desenvolvida

de forma integrada à própria avaliação.

Práticas avaliativas e recuperação dos estudos

De acordo com Ponte (1997), as práticas de avaliação

matemática, consideradas como tarefas que favoreçam

aprendizagem, não podem estar vinculadas a um único momento ou

forma de avaliar, do mesmo modo somos injustos quando

consideramos como algo inalterável um primeiro resultado seja

individual ou coletivo.

Para Ponte (1997, p.9),

[...] não basta ter idéias sobre tarefas a propor aos alunos, é preciso enquadrá-las numa perspectiva que integre a avaliação e a aprendizagem e que seja consistente com os principais objetivos e metodologias do currículo [...].

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A escolha de um instrumento avaliativo voltado ao

processo de ensino e aprendizagem deve ocorrer de acordo com o

tipo de informação que se pretende alcançar. Instrumentos de

avaliação com enfoque na análise da produção escrita dos alunos,

viabilizam a realização da recuperação de estudos de forma integrada

às práticas avaliativas, como parte indissociável de todo o processo e

não como tarefa suplementar.

O êxito ou o fracasso escolar são geralmente vinculados

ao resultado das práticas avaliativas adotadas pelos professores, e

aos alunos que não alcançam bons resultados e aos que desejarem é

oferecido um período, de modo particular previsto no projeto Político

Pedagógico de cada escola, para retomada de conteúdos designado

como Recuperação dos Estudos, um assunto que de acordo com

(PARANÁ, 2008b, p.2)” tem sido causa de polêmicas e grandes

discussões nas escolas”.

Carneiro (1998, p.69), afirma que a

[...] questão da recuperação dos alunos reflete um dos espaços críticos de fragilidade da escola básica brasileira. Na verdade, anterior a este problema, está o da dificuldade de a escola oferecer uma educação “adequada às condições individuais do aluno”. Tratar, na escola brasileira, as chamadas diferenças individuais é difícil, seja porque a sala de aula é toda estruturada para mascarar a heterogeneidade dos alunos, seja porque os professores também não foram preparados para trabalhar com o aluno, mas com turmas de alunos. Em decorrência, o provimento de meios para responder, positivamente a alunos que carecem de recuperação torna-se difícil. Resultado: o aluno em recuperação é considerado um incômodo adicional para o professor e para a burocracia da escola [...].

Nos documentos oficiais a recuperação de estudos, é

definida segundo a deliberação nº. 007/99 do CEE – PR (PARANÁ,

1999), em seu capítulo 2, artigo 11 como

[...] um dos aspectos da aprendizagem no seu

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desenvolvimento contínuo, pelo qual o aluno, com aproveitamento insuficiente dispõe de condições que lhe possibilitem a apreensão de conteúdos básicos.

Entende-se, deste modo que a recuperação deva

ocorrer durante todo o processo de ensino propiciando a

aprendizagem dos conteúdos considerados básicos nesta ou naquela

determinada série. Embora não se especifique os métodos para o

desenvolvimento dessa proposta, subtende-se que para seu bom

andamento é fundamental a definição de quais são esses conteúdos

básicos por série e disciplina e a previsão de quais estratégias devam

ser adotadas para que as dificuldades e deficiências dos alunos não

sejam apenas superadas, mas sirvam de degraus para o alcance da

aprendizagem.

A observação

De acordo com Santos (2005), esta é uma prática

avaliativa, cuja finalidade consiste em recolher informações. Quando

essa coleta de informações é realizada sem registros escritos ou

sistematizados regularmente ela é considerada subjetiva, mas de

acordo com Leal apud Santos (2005, p.8) isto ocorre porque,

[...] recolher certo tipo de informação, sem registros e de forma pouco sistemática, tem a ver com as dificuldades inerentes a esta tarefa por parte do professor [...].

Uma grande parte da informação que permite ao professor

compreender o modo como seus alunos estão lidando com muitos dos

objetivos mais importantes do currículo é obtida diretamente mediante a

observação do modo como participam nas aulas e se envolvem nas

diferentes tarefas. Por conseguinte, mantendo um registro dos principais

fatos que observa, o professor pode usá-los, em conjunto com dados

resultantes de diversos instrumentos de avaliação, para dar sentido e uma

maior consistência à apreciação que faz periodicamente do trabalho de cada

um de seus alunos (PONTE, BOAVIDA, GRAÇA & ABRANTES, 1997).

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A prova em duas fases

As provas em “duas fases”, segundo artigo publicado

pela SEED para o 5º Encontro do Grupo de Estudos (PARANÁ, 2008,

p.2), foi desenvolvida originalmente na Holanda, pelo projeto Hewet,

com alunos dos últimos anos do secundário. Posteriormente esse

instrumento foi introduzido em Portugal no âmbito do Projeto MAT

789, coordenado por Paulo Abrantes (ABRANTES apud SANTOS 2005,

p.12).

Como o próprio nome indica, consiste na elaboração de

uma prova que será entregue ao aluno para a resolução em dois

momentos: num primeiro momento, de forma individual, o aluno

resolve as questões na sala de aula, sem o auxílio do professor.

Nesta fase do trabalho, de acordo com Cury (2002, p.5), o professor

analisa cada resposta, fazendo comentários na folha do aluno para que este

utilize na segunda fase. Uma ficha para cada estudante,pode ser elaborada

pelo professor, na qual coloca sua avaliação segundo uma escala pré-

definida, que apresenta uma visão geral sobre as habilidades

desenvolvidas.

Em um segundo momento, a partir dos comentários

que o professor deixou registrado por escrito ao avaliar a 1ª fase, e,

dispondo de um prazo maior, o aluno pode refazer a prova,

corrigindo-a individualmente ou em grupo com respostas mais

elaboradas e responder questões abertas complementares que exijam

alguma investigação.

Neste caso, Cury (2002) sugere a utilização de uma

escala analítica, pois serão avaliados itens específicos, como:

qualidade das idéias; desenvolvimento das questões, organização do

trabalho, compreensão do problema; clareza e correção de

linguagem. E entre as vantagens destaca:

[...] ao empregar tal escala, vemos: o envolvimento do aluno em sua própria aprendizagem; a ligação da aprendizagem de sala de aula à que o aluno faz ao

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longo da vida e fora da escola; o respeito às diferentes habilidades e formas de aprender dos alunos; a interpretação das dimensões pedagógica e psicológica, pois valoriza a reflexão e ação do aluno, bem como mostra algo sobre sua forma de ser, pensar e sentir (CURY, 2002, p.5).

No que se refere às competências matemáticas que são

desenvolvidas com este instrumento Santos (2005, p.13), salienta

que

[...] em particular, refira-se o desenvolvimento de capacidades como a comunicação, a interpretação, a reflexão, a exploração de idéias matemáticas e a resolução de problemas, a auto-confiança do aluno na sua relação da Matemática, o sentido de responsabilidade, a perseverança e o empenho nas tarefas.

Segundo Buriasco (2002, p.1), para o sucesso deste

instrumento

[...] é preciso que tanto o professor como os alunos tenham consciência de que a segunda fase não é um truque para obrigar os alunos a corrigir os erros, mas sim uma parte essencial e insubstituível do processo.

O Relatório

Um relatório consiste na reunião das descrições e

análises de uma determinada tarefa, elaborado de forma detalhada,

por meio de uma produção escrita, incluindo a organização,

interpretação dos dados e considerações finais. É um instrumento

versátil que pode ser utilizado a qualquer momento no decorrer do

processo de ensino e aprendizagem, uma vez que, de acordo com as

(Paraná, 2008b), viabiliza a reflexão do aluno sobre qualquer

atividade desenvolvida e a reconstrução de seus conhecimentos. De

acordo com (PONTE, 1997, p.17), “os produtos gerados pelos alunos

correspondem, simultaneamente e de um modo integrado, a

oportunidades de aprendizagem e avaliação” (PONTE, 1997, p.17).

Segundo Kilpatrick

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[...] quando se pede a um aluno um relatório de uma resolução de um problema matemático, ele envolve-se numa atividade parecida com a de escrever uma composição. O aluno precisa planejar de que maneira o argumento deverá ser organizado, aquilo que o leitor precisa saber e como é que as idéias se relacionam [...] Com o relatório escrito pode-se ver se a resolução envolve apenas procedimentos mecanizados ou algum nível de compreensão mais profundo (apud PONTE, BOAVIDA, GRAÇA & ABRANTES, 1997).

Da mesma forma que utilizar uma variedade de

instrumentos não é garantia de melhoria educacional ou de

aprendizagem, o sucesso de um determinado instrumento avaliativo

por mais qualidades ou desafios que apresente dependerá das

estratégias adotadas em sua aplicação, segundo Buriasco (2004b, p.

3)

[...] é preciso um cuidado especial para que a avaliação contínua dos alunos, auto-avaliação, a avaliação com portfolio, a avaliação dos pares, não se transformem em dossiês utilizados para classificar, rotular e até excluir alunos.

Proposta

Neste item apresenta-se uma prova em três fases que

dará início a intervenção pedagógica. Os alunos, de uma turma de 8ª

série, terão uma aula geminada para resolvê-la. Em um primeiro

momento a prova será resolvida individualmente e sem o auxílio da

professora. No segundo momento, os alunos formarão grupos com

três integrantes. Cada grupo receberá uma das questões da prova,

com perguntas elaboradas pela professora a partir da análise da

resolução das provas na 1ª fase. Pretende-se que as questões

favoreçam a reflexão a respeito das estratégias mais empregadas

pelos alunos. Com o auxílio da professora e consulta à material de

apoio (cadernos e livros) eles deverão resolver as questões

propostas.

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Considerando que as salas de aula do Ensino

Fundamental geralmente têm mais de 30 alunos, pode-se estimar

que hajam em torno de dez grupos na sala, cada um respondendo

uma questão. Quando todos concluírem suas tarefas, cada grupo fará

a exposição da resolução da questão justificando-a por meio dos

conceitos utilizados. Para finalizar cada aluno deverá entregar um

relatório sobre a exposição das outras equipes.

No terceiro momento, os alunos ainda nos mesmos

grupos, farão a correção das provas que fizeram no 1º. momento,

agora contendo também os comentários e indicações da professora.

Para essa correção, deve utilizar o relatório que fizeram na 2ª. fase.

A proposta de uma prova em três fases

A seguir apresenta-se cada questão da prova. Não

serão destacadas as possíveis perguntas que a professora poderá

fazer na segunda fase, porque elas serão elaboradas a partir da

análise da produção dos alunos na primeira fase da prova.

Questão 1

Casa de Fazenda1

Figura 1: Casa de Fazenda

1 Retirado de http://www.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf

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Você pode ver aqui a fotografia de uma casa de

fazenda com o telhado em forma de pirâmide.

Abaixo está o modelo matemático do telhado da casa

preparado por um estudante e ao qual foram acrescentadas as

medidas.

Figura 2: telhado da casa

O chão do sótão, denominado ABCD no modelo, é um

quadrado. As vigas que suportam o teto são as laterais do bloco

(prisma retangular) EFGHKLMN. E está no meio de AT, F está no

meio de BT, G está no meio de CT e H está no meio de DT . Todas as

laterais da pirâmide, no modelo, têm o comprimento de 12 m.

a) Calcule a área total do chão do sótão ABCD.

b) Calcule o comprimento de EF, uma das horizontais do bloco.

c) Determine a área da superfície de um painel triangular. Explique

como você encontrou sua resposta.

É importante destacar que por meio deste problema o

professor terá a oportunidade de explorar: o cálculo da área do

quadrado, o cálculo da área do triângulo, o ponto médio, a

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classificação dos triângulos, a altura de um triângulo eqüilátero, o

teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos.

Questão 2

Corrida de Cavalos2

� A pista está representada no diagrama abaixo. Os

cavalos são números de 2 a 12, totalizando onze cavalos prontos

para iniciar a corrida.

� Cada jogador escolhe apenas um cavalo para

apostar, marcando um dos números: 2, 3, ...,12.

� Dois dados são jogados e a partir da soma dos

números tirados, marca-se uma cruz no diagrama.

� Depois de sucessivos lançamentos, o cavalo

ganhador cruza a linha de chegada e termina-se o jogo.

CHEGADA

2 Notas de aula da disciplina Prática e Metodologia do Ensino de Matemática II: Estágio Supervisionado

do 4º Ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina UEL – 2008.

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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

LARGADA

Figura 14 :Representação da Pista da Corrida de Cavalos

a) De acordo com as regras desse jogo, todos os cavalos têm a

mesma chance de vencer a corrida? Justifique sua resposta.

b) Compare a probabilidade do vencedor em relação aos demais.

c) Neste jogo, o que mudaria acrescentar cavalos para completar a

numeração de 1 a 15. Justifique.

Com este problema é possível desenvolver os

conteúdos de Probabilidade e Porcentagem.

Questão 3

Sucessões com fósforos3

As duas sucessões que se seguem (que você pode

construir usando palitos) podem ser traduzidas matematicamente

usando sucessões.

Figura 1: Construção com Fósforos 1

3 Pires, 2008, p.34.

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Figura 2: Construção com Fósforos 2

Construa sucessões com fósforos para as figuras (I) e

(II). Investigue e defina matematicamente nestas construções:

• quais seriam os dois próximos valores para a figura (I)?

• é possível estabelecer o resultado sem desenhar as figuras? De

que modo? Demonstre!

• Faça o mesmo para a figura (II).

• Crie outras figuras e investigue-as.

Questão 4

Suco de Frutas4

Uma indústria X, uma das líderes no setor de sucos naturais, vai

lançar um suco de frutas e precisa decidir qual o tipo de embalagem

a ser usada. O fabricante de embalagens ofereceu duas opções: uma

com forma de prisma de base quadrada (simplesmente um bloco

retangular) ou uma com forma cilíndrica.

Figura 1: Embalagem Cilíndrica

Figura 2: Embalagem em forma de prisma

O departamento de propaganda da indústria X fez

algumas pesquisas estatísticas, concluindo que as embalagens que

4 Imenes, 2002.

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mais agradam o público têm altura aproximadamente igual ao dobro

da largura máxima da base.

Sabendo dessa preferência, a indústria X encarregou

um grupo de profissionais (desta equipe) para estudar o custo das

embalagens e informar quanto por cento a menos se gasta quando

se usa a embalagem mais econômica. Vocês podem querer saber o

volume ou as dimensões exatas das embalagens. Nada disso foi

informado, porque ainda se está em fase de estudos. Estimem os

custos com os dados disponíveis.

A resolução desta questão contribui para envolver os

alunos em uma situação que exige: testar hipóteses, discutir idéias e

comprovar os resultados matemáticos na prática. Quanto ao

professor como mediador de todo o processo, poderá explorar alguns

conteúdos: área de figuras planas (do círculo, do quadrado e do

retângulo), valor de π , volume do prisma de base quadrada e do

cilindro, medidas de capacidade, conversão de medidas,

porcentagem, entre outros.

7.Considerações Finais

Adotar uma prova em três fases como instrumento de

avaliação é favorecer que os alunos superem suas dificuldades por

meio da:

• pesquisa com utilização de recursos de apoio;

• ajuda dos colegas;

• orientação do professor que com questionamentos

conduz e estimula os alunos na busca da solução

desejada.

Ela também pode promover o desenvolvimento de

atitudes e habilidades que envolvem: a argumentação oral e escrita

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de idéias e conceitos matemáticos, o companheirismo e a autonomia

para refletir e regular a aprendizagem, de modo que a avaliação seja

considerada um momento em que a análise dos erros e acertos

torna-se promotora de uma aprendizagem matemática mais efetiva.

8. Referências

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