Uma Abordagem Histórica e Conceitual da Relatividade Restrita

Material Didático

Pedro José Feitosa Alves Júnior

Produto Educacional da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação (Universidade Federal do Vale do São Francisco) no Curso de Mestrado Profissional de Ensino de Física (MNPEF), como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ensino de Física.

Orientador: Prof. Dr. Alessandro Pereira Moisés

Juazeiro-BA Julho de 2016

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Sumário

MANUAL DE APOIO PARA A APLICAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO ..... 12

Primeiro Capítulo: A Relatividade de Galileu ............................................................ 13 Segundo Capítulo: O Eletromagnetismo .................................................................... 14 Terceiro Capítulo: O Eletromagnetismo e a Mecânica Clássica ................................ 15 Quarto Capítulo: A Teoria da Relatividade Restrita .................................................. 16 A elaboração dos mapas conceituais .......................................................................... 18 Considerações Finais .................................................................................................. 20

1.INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 21 2. A RELATIVIDADE DE GALILEU ....................................................................... 22

2.1 A Transformação de Galileu................................................................................. 27 3. O ELETROMAGNETISMO ................................................................................... 28

3.1 Histórico ............................................................................................................... 28 3.1 As Equações de Maxwell ..................................................................................... 32

4. O ELETROMAGNETISMO E A MECÂNICA CLÁSSICA .............................. 34 5. A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA ................................................... 37

5.1 A Transformação de Lorentz ................................................................................ 40 5.2 Dilatação do tempo ............................................................................................... 41 5.3 Contração do comprimento .................................................................................. 42 5.4 Momento Relativístico ......................................................................................... 44 5.5 A equivalência massa-energia .............................................................................. 44

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 47 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 48

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MANUAL DE APOIO PARA A APLICAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO

Esse manual é para você professor (a), que pretende trabalhar a Teoria da Relati-

vidade Restrita no ensino médio. Ele deverá ser utilizado juntamente com o material di-

dático Uma Abordagem Histórica e Conceitual da Relatividade Restrita, um livro sobre

a Relatividade, construído através de uma pesquisa bibliográfica (artigos e outros livros

que tratam desse tema), onde é abordado principalmente os aspectos históricos da Rela-

tividade. Esse material é voltado exclusivamente para alunos de ensino médio e faz parte

da dissertação de Mestrado de Pedro José Feitosa Alves Júnior (Mestrado Nacional Pro-

fissional em Ensino de Física, UNIVASF, 2016). Este material poderá auxiliá-lo durante

suas aulas.

Sugerimos que o material didático seja trabalhado com alunos do terceiro ano do

ensino médio, pois estes já terão os conhecimentos prévios necessários para a abordagem

inicial da Relatividade. Assim, você terá apenas a preocupação de mostrar a parte histó-

rica da evolução do conhecimento.

É aconselhável o uso do Datashow nas aulas, para abordar o conteúdo através de

slides (Power Point), e assim tornar as aulas mais estimulantes. Como sugestão, você

pode utilizar slides fornecidos pela Secretaria de Educação do Governo do Estado do

Pernambuco. Segue abaixo o link de acesso.

https://docs.google.com/presentation/d/1qUGpgDDBE7rXAiMJWbkvGfevGO-xjmoV6GI-

2kc0TSw/edit?usp=sharing

No primeiro encontro, apresente aos alunos a proposta de ensino, mostrando o

cronograma de aulas, detalhando o que vai ser trabalhado em cada aula e de como será

feito a avaliação da aprendizagem. Para facilitar, envie por e-mail o material didático para

cada aluno ou então disponibilize o mesmo para tirarem cópias, para assim ser feita uma

leitura do mesmo antes de iniciar de fato as atividades.

São necessárias aproximadamente 12 horas-aula para o desenvolvimento do ma-

terial. A seguir, descreveremos o que deverá ser trabalhado em cada capítulo do material

didático a ser utilizado, bem como a sugestão do número de aulas para cada tópico.

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Primeiro Capítulo: A Relatividade de Galileu

Inicie o texto mostrando as ideias defendidas por Aristóteles a respeito do movi-

mento dos corpos, destacando seus argumentos sobre a imobilidade da Terra (teoria geo-

cêntrica), que muito contribuiu para o surgimento de uma concepção física baseada na

Relatividade do movimento de Galileu.

Deixe claro para o aluno, o fato de que a teoria aristotélica não passava de um

discurso filosófico, não sendo submetida a nenhuma verificação experimental. Como

exemplo, ilustre a concepção aristotélica, segundo o qual a matéria terrena em movimento

sempre busca o centro do planeta, pois este era seu lugar natural (concepção baseada no

argumento de que o movimento dos objetos era motivado de acordo com a sua composi-

ção: terra, água, ar e fogo), e sua afirmação de que para manter um objeto em movimento,

fazia-se necessária a ação contínua de uma força.

A seguir, apresente as ideias contrárias de Galileu e suas verificações experimen-

tais. Descreva o seu experimento com bolas e planos inclinados para demonstrar que ao

contrário do que pensava Aristóteles, não era necessário a ação de uma força para manter

um objeto em movimento.

Outro experimento que deve ser destacado, é o do navio, onde Galileu argumentou

que uma pedra jogada de cima de um mastro de um navio iria se comportar exatamente

da mesma maneira se o navio estivesse se movendo com velocidade constante em águas

calmas ou se o navio estivesse em repouso, nos dois casos a pedra iria cair em linha reta

e aterrissar na base do mastro. Esse seu experimento invalidava a o argumento aristotélico

da imobilidade da Terra, já que Galileu era defensor do heliocentrismo.

Prossiga descrevendo um pouco a obra de Newton, na qual só a partir dele foi

estabelecido a dinâmica propriamente dita, ao introduzir os conceitos quantitativos de

massa, força e aceleração. A principal ideia é de mostrar que a teoria de Newton repre-

sentou o triunfo de uma concepção física que vinha se formando desde Aristóteles. Enun-

cie também a sua primeira lei do movimento, conhecida como lei da inércia, esta é de

fundamental importância para ilustrar ao aluno o conceito de referencial inercial, que

serve de base para a compreensão da Relatividade Restrita (conhecimento prévio primor-

dial).

Para concluir o capítulo, ilustre o princípio da Relatividade de Galileu, que afirma

que as leis da mecânica são válidas para qualquer referencial inercial e o seu conjunto de

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transformações (transformação de Galileu). Destaque o fato de que Galileu e Newton

consideravam o tempo e o espaço absoluto, independentemente do referencial.

Para este Capítulo são necessárias duas aulas.

Segundo Capítulo: O Eletromagnetismo

Realize um breve resumo histórico sobre a eletricidade e magnetismo, dando ên-

fase aos principais marcos históricos e aos cientistas que, muito contribuíram para o de-

senvolvimento desses dois tópicos.

Dê atenção especial para a teoria de Maxwell, mostre que sua teoria sintetiza do

ponto de vista teórico, os conhecimentos nos ramos do Magnetismo, Eletricidade e Óp-

tica.

Destaque o fato de que todos os fenômenos elétricos e magnéticos podem ser des-

critos apenas em quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell. Comente tam-

bém o fato de que Maxwell demonstrou teoricamente que as suas equações podem ser

combinadas para fornecer uma equação de onda envolvendo campos elétricos e magnéti-

cos, denominada de ondas eletromagnéticas, mas sua comprovação experimental só foi

feita por Hertz. Vale ressaltar, que não é necessário mostrar essas equações aos alunos e

não realizar nenhuma demonstração matemática, pois a intenção é de que o aluno tenha

apenas o conhecimento da evolução dos fatos ocorridos, sem o formalismo matemático

exigido.

Ilustre o fato de que a velocidade de propagação dessas ondas, calculado por

Maxwell, coincidia exatamente com o valor já conhecido da velocidade da luz, e por esse

motivo ele considerou a luz como uma onda eletromagnética.

Para finalizar, ressalte o fato de que depois desse grande triunfo na Física, devido

a teoria de Maxwell, boa parte dos cientistas da época acreditavam que pouco ou nada

restava para ser adicionado a Física.

Esse Capítulo é de fundamental importância para o aluno, para assim poder mos-

tra-los qual foi o ponto de partida para a elaboração da Relatividade Restrita, pois será

visto no próximo Capítulo trabalhado que o principal ponto de partida para a elaboração

dessa teoria, foi exatamente a teoria de Maxwell.

Para esse Capítulo são necessárias duas aulas.

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Terceiro Capítulo: O Eletromagnetismo e a Mecânica Clássica

Como sugestão para trabalhar esse Capítulo e o próximo, utilize os slides

sugeridos. A finalidade é de tentar melhorar o entendimento do aluno, já que a partir desse

tópico, é mostrado ideias que fogem bastante do cotidiano do mesmo.

É nesse tópico que deve ser mostrado o problema que surgiu entre o Eletromag-

netismo e a Mecânica Clássica, onde é importante destacar, que foi exatamente a partir

da incompatibilidade entre a teoria de Maxwell e a Relatividade de Galileu, que brotou a

teoria da Relatividade Restrita de Einstein.

Mas não foi exclusivamente esse acontecimento o principal ponto de partida, co-

mece o tópico falando sobre a confirmação do modelo ondulatório da luz, que foi graças

a teoria de Maxwell, e que essa afirmação, implicou em supor a existência de um meio

hipotético no qual a luz se propagava, denominado de éter. A seguir descreva brevemente,

o famoso experimento de Michelson e Morley.

Alguns alunos podem demonstrar dificuldade em compreender esse experimento,

é sugerido então que acessassem os links nos slides, que trazem vídeos reproduzindo o

experimento. Os links se encontram logo abaixo:

http://www.youtube.com/watch?v=r_EdsNf-ljM

http://www.youtube.com/watch?v=4KFMeKJySwA&feature=related

Ressalte o resultado negativo para essa comprovação e também a tentativa frus-

trada de Lorentz e Fitzgerald de explicar esse resultado inesperado, que foi supor que todo

corpo em movimento no éter sofre, por alguma razão misteriosa, uma contração na dire-

ção de seu movimento. Fale também das equações obtidas por Lorentz, que apresentava

um termo adicional que a diferenciava da Transformação de Galileu, e que essas equações

ficaram conhecidas como a Transformação de Lorentz.

Por último, mencione o fato das equações de Maxwell não serem invariantes em

relação às Transformações de Galileu, ou seja, a Teoria de Maxwell não obedecia ao

Princípio da Relatividade de Galileu, ao contrário da Mecânica Newtoniana, como já

mostrado ao aluno no primeiro Capítulo. Enfatize ao aluno, que foi a partir dessa incom-

patibilidade, que surgiu a necessidade de uma nova teoria que contornasse esse problema,

e que assim foi criada a Teoria da Relatividade Restrita.

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Para esse Capítulo é necessário apenas uma aula.

Quarto Capítulo: A Teoria da Relatividade Restrita

Ilustre nesse último capítulo, a solução encontrada para resolver o impasse entre

as equações de Maxwell e a Mecânica Clássica, e sobre a questão da existência ou não do

éter. Comeces falando das ideias de Poincaré para solucionar o problema, e de que como

seus pensamentos foram influentes para Einstein. O objetivo disso, é mostrar ao aluno

que Einstein não desenvolveu sua teoria de forma independente.

Prossiga falando do artigo publicado por Einstein em 1905, e que nesse artigo ele

postula que o movimento absoluto não podia ser detectado por nenhuma experiência, isto

é, não existe éter. Enuncie ao aluno os seus dois famosos postulados que fundamentam

a teoria da Relatividade Restrita, onde primeiramente ele postula que todas as leis da

Física, tanto as da Mecânica quanto as do Eletromagnetismo, deveriam ser as mesmas em

qualquer referencial inercial, tratando-se, portanto, de uma generalização da Relatividade

de Galileu, sendo assim, Einstein deduziu novas transformações (que serão mostradas

posteriormente), em que espaço e tempo aparecem mesclados de um modo completa-

mente diferente.

Depois mencione seu outro postulado, segundo o qual a velocidade da luz inde-

pende do movimento fonte, e o fato desse postulado, juntamente com o primeiro, levar a

conclusão de que a velocidade da luz é a mesma para todos os referenciais inerciais. Evi-

denciamos, que as implicações desses dois postulados acabariam com a noção de espaço

e tempo absoluto da Mecânica Clássica e dariam lugar a nova concepção que contradiz o

nosso senso comum.

É importante o professor (a) destacar o fato de que as experiências de Michelson

e Morley não tiveram influência na teoria de Einstein, e que ele não pretendia explicar os

resultados negativos dessa experiência. Mostre aos alunos, que sua teoria surgiu de con-

siderações sobre a Eletricidade e Magnetismo, onde no seu artigo, ele menciona um ex-

perimento entre um imã e um fio condutor, que ilustra a lei de Faraday da indução eletro-

magnética.

A seguir, mostre o conjunto de equações obtidas por Einstein, e enfatize o fato de

que essas equações já haviam sido obtidas por Lorentz (transformação de Lorentz), mas

que este, recusava-se a atribuir um significado físico, Einstein considerou-as como plenas

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de significado físico. Destaque que, a condição necessária para que a generalização pro-

posta por Einstein se tornasse verdadeira, foi a modificação das equações da Transforma-

ção de Galileu, para torná-las consistentes com seus postulados.

Nos tópicos seguintes, ilustre as consequências da modificação feita por Einstein

(dilatação do tempo e a contração do comprimento), que é o principal resultado da

Relatividade Restrita. Detalhe isso cuidadosamente ao aluno, mostrando a eles as

equações da dilatação do tempo e da contração do comprimento, e deixe claro que esses

efeitos relativísticos só são observáveis em velocidades próximas a da luz, caso contrário,

a Relatividade de Galileu passa a ser válida.

Os alunos poderão ficar confusos com essa ideia. É sugerido então que sejam

trabalhados os Exemplos 1 e 2 dos slides, que mostram uma aplicação das equações

ilustradas. Os exemplos se encontram abaixo:

Exemplo 1

Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma estação

orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 ∙ 108 m/s. Durante a passagem,

em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que as extremidades

dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as extremidades da plataforma

(1). Determine:

A) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a

nave abandonar toda a plataforma;

B) O comprimento de repouso da nave;

C) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.

Exemplo 2: Paradoxo dos Gêmeos

Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40 anos

de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência espacial

americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é realizada

numa nave que se move a uma velocidade de 2 ∙108 m/s. O tempo gasto na viagem

cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta voltar, a

sua idade será a mesma que a do seu irmão?

Para finalizar o texto, fale sobre o momento relativístico e a equivalência massa-

energia. Mostre que os postulados de Einstein também requerem modificações nos con-

ceitos de massa, momento e energia.

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Mencione o fato de que o momento linear e a energia cinética de uma partícula

assumem uma nova forma sob as Transformações de Lorentz, e então ilustre as novas

expressões obtidas por Einstein para essas duas grandezas.

Mostre também aos alunos o resultado mais significativo da Relatividade Restrita,

que trata da famosa equação de Einstein, essa equação demonstra a equivalência entre

massa e energia, ou seja, massa pode ser convertida em energia e energia pode ser con-

vertida em massa.

Para finalizar a aula, trabalhe o Exemplo 3 dos slides, que se se encontra abaixo:

Exemplo 3

Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2 ∙10-16 Kg tem velocidade de mó-

dulo v = 2,4 ∙ 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse

referencial:

(A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?

(B) A massa dessa partícula?

(C) A massa dessa partícula quando sua massa for 2,9 ∙108 m/s?

É importante ressaltar que, o intuito em mostrar as várias equações presentes no

material didático, não é a de que o aluno se torne um “expert” em Relatividade, mas sim,

que ele tenha apenas o conhecimento do motivo pelo qual foi necessário obtê-las e de que

como foi feita as modificações devidas. O principal objetivo foi mostrar o significado

físico de cada de uma das equações mostradas, sem se preocupar com a aplicação mate-

mática destas.

Para este capítulo são necessárias três aulas.

A elaboração dos mapas conceituais

O mapa conceitual é uma ferramenta de avaliação bastante útil, pois através do

mesmo é possível sondar o tipo de aprendizado que os alunos adquiriram, e ao mesmo

tempo é possível observar as principais deficiências destes, possibilitando ao professor

uma nova chance de corrigir alguns conceitos errados que estes possam ter adquirido ou

mesmo os conceitos que o professor julgara essencial, mas que o aluno não conseguiu

adquirir.

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Como instrumento da avaliação de aprendizagem dos alunos sobre o tema, o pro-

fessor (a) deverá utilizar mapas conceituas. Para isso, é necessário exclusivamente uma

aula para discutir sobre o tema em questão, onde deve ser mostrado a definição dos mapas

conceituais, qual a sua utilidade e como produzi-los.

É interessante o professor fazer uma leitura do artigo Mapas Conceituais e Apren-

dizagem Significativa (MOREIRA, 2012). Para assim se familiarizar melhor com essa

fermenta. O link para acessá-lo, se encontra abaixo:

http://moreira.if.ufrgs.br.

Como sugestão, ilustre para o aluno um exemplo de mapa conceitual sobre leis de

Newton (Figura 1), para assim lhe servir de base.

Na outra aula, peça aos alunos para se dividirem em grupos de cinco, para assim

elaborarem um mapa conceitual sobre o tema ministrado. É sugerido, que os mesmos

pesquisem na internet ou outras fontes viáveis, algo mais sobre a Teoria da Relatividade,

como complemento das aulas, para assim facilitar a elaboração dos mapas conceituais.

É sugerido duas aulas para essa etapa.

Figura 1. Mapa conceitual das leis de Newton (fonte: http://ribas-

fisica.blogspot.com.br/2011/02/vejam-o-mapa-conceitual-do-prof-sidney.htmlextraído em

03/04/16).

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Considerações Finais

Apesar das tentativas de diminuir a sua influência, o vestibular é ainda um grande

objetivo dentro das escolas. Embora o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) esteja

cobrando do aluno o conhecimento das leis físicas e o pensamento crítico, este comete

um grande erro em quase não incluir conteúdos de Física Moderna, privilegiando assim,

o ensino da Física Clássica nas escolas. Esse manual propôs a aplicação de um material

didático que teve como o objetivo, inserir um conteúdo específico de Física Moderna

(Relatividade Restrita) no nível médio, afim de auxiliar o professor (a) nas suas aulas.

Nossa perspectiva é de que esse material contribuía efetivamente para o ensino de

Física no Brasil, principalmente na inclusão da Física Moderna no ensino médio. Espera-

mos assim que este material seja de grande valia para o professor (a) da educação básica

do nosso país.

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1.INTRODUÇÃO

Boa parte dos livros didáticos adotados para o ensino médio, apresentam

cientistas famosos como Galileu Galilei, Isaac Newton e Albert Einstein, como grandes

gênios que desenvolveram todas as suas teorias de forma independente. Não existe dúvida

de que esses cientistas foram de fato, grandes gênios, e que foram personagens muito

importantes na história da ciência, no entanto, alguns autores deixam a ideia de que as

descobertas feitas por estes ocorreram a partir apenas de observações, ou por pura

casualidade, sem nenhuma conexão com teorias já previamente existentes. No fantástico

mundo da ciência, não é bem assim que as coisas funcionam, o conhecimento dos

fenômenos da natureza passou e ainda passa por uma constante evolução, onde em cada

nova teoria que surge temos contribuições das teorias anteriores.

No início do século XX a física sofreu uma radical transformação, alguns

conceitos como o de espaço e tempo tiverem que ser reformulados devido aos novos

domínios no qual a Física estava penetrando. A essa “nova” Física, convencionou-se

chamar de Física Moderna e a “antiga” física, de Física Clássica. A Teoria da Relatividade

de Einstein (a Restrita e a Geral) foi uma das teorias responsáveis por esta profunda

modificação sofrida pela Física, e constitui-se em uma ponte muito conveniente para fazer

a ligação entre a Física Clássica e a Física Moderna.

Em 1905, com a formulação da Teoria da Relatividade Restrita, Einstein

surpreendeu o mundo científico ao mostrar que as velhas ideias a respeito do Princípio da

Relatividade precisavam ser melhoradas, partindo apenas de dois postulados

aparentemente simples. A Teoria da Relatividade Geral foi publicada em 1916, este é um

trabalho bem mais maduro, onde Einstein estende a descrição dos fenômenos físicos para

referenciais não inerciais. No entanto, não trataremos desse tópico no presente texto,

limitaremos nosso conteúdo apenas a Relatividade Restrita.

O Princípio da Relatividade é um dos princípios fundamentais da Física Clássica,

e como muitos outros princípios de grande importância para a Física, ele passou por um

processo de evolução e aprimoramento ao longo dos séculos. Este princípio tem, portanto,

uma história. Embora, para muitos, quando se fala de Relatividade, a primeira ideia seja

associar este conceito ao nome de Einstein, é necessário ressaltar que muito antes deste,

o Princípio da Relatividade já havia sido introduzido no estudo da Mecânica. E o mérito

de Einstein consiste, principalmente, em conceder a este princípio uma presença mais

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marcante em toda a Física, uma vez que ele postulou que, não apenas as leis da Mecânica,

mas sim todas as leis Físicas deveriam concordar com um certo Princípio de Relatividade.

Levando em conta esses aspectos, elaboramos um material de apoio (um livro

sobre a Relatividade), construído através de uma pesquisa bibliográfica de artigos e livros,

onde abordamos principalmente os aspectos históricos da Relatividade.

Através desse material, buscaremos mostrar que a gênese dessa teoria começou

muito tempo antes de Einstein. O embrião dessa teoria iniciou-se com Galileu e foi assim

sendo aperfeiçoado ao longo dos anos com o surgimento de novos problemas na Física.

Baseando-se nessas concepções, iremos descrever a evolução das ideias científicas,

enfatizando os caminhos que foram percorridos até elaboração da Teoria da Relatividade.

Faremos uma descrição dos principais fatos que levaram Einstein à elaboração dessa

teoria, sem abusarmos dos artifícios matemáticos, focando-se principalmente nos

acontecimentos que foram o ponto de partida para a elaboração desta.

É duvidoso que um físico de nossos dias deparasse com um trabalho escrito no

estilo em que foi redigido o trabalho por Einstein em 1905. A despeito do fato de que

quase todas as ideias e muitas das fórmulas mostram, pelo menos, distante relação com o

trabalho que vinha sendo executado por outros cientistas como Lorentz e Henri Poincaré.

Não há uma única referência a qualquer deles. A participação de outros físicos na tentativa

de resolver os problemas que haviam surgido após o advento das equações de Maxwell e

que foram o ponto de partida para a criação da Teoria da Relatividade Restrita, será outro

ponto que irá ser destacado no nosso texto.

2. A RELATIVIDADE DE GALILEU

A ideia de que a Terra deveria estar animada de movimentos próprios de

rotação e de translação em torno do Sol teve origem na Grécia antiga, foi Aristarco de

Samos que, inspirado nas concepções pitagóricas, levantou a hipótese de um sistema

heliocêntrico. Esta hipótese parece, contudo, não ter tido aceitação naquela época, sendo

séculos mais tarde, restabelecido pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico. E foi a

hipótese arrojada de Copérnico, afirmando que a Terra se movia em volta do Sol (Figura

2), além de girar em torno de seu próprio eixo, a grande virada científica, que muito

contribuiu para o surgimento de uma concepção física baseada na relatividade do

movimento de Galileu.

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Figura 2. Diagrama feito por Copérnico em 1543 mostra os planetas girando em torno do Sol.

(fonte: http://www.infoescola.com/astronomia/heliocentrismo/ extraído em 04/05/2015)

A problemática envolvida da concepção da imobilidade da Terra, concepção esta

então predominante na época de Copérnico, estava arraigada no pensamento europeu,

pelo menos desde os dias de Aristóteles.

Aristóteles, no tratado Sobre o Céu (De Caelo), discute a questão do movimento

da Terra. Antes dele, várias doutrinas haviam sido propostas, seja defendendo o

movimento da Terra, seja defendendo sua imobilidade. O próprio Aristóteles defende a

imobilidade terrestre, e apresenta, para tanto, argumentos de muitos tipos. Alguns deles

são teóricos e baseiam-se em sua concepção dos movimentos naturais. Um famoso

argumento de Aristóteles foi repetido e ampliado por todos os defensores posteriores da

imobilidade da Terra. É, de fato, um forte argumento: se a Terra se movesse, ao atirarmos

um corpo verticalmente para cima, deveríamos esperar que a Terra saísse de sua posição

inicial, enquanto o corpo estivesse no ar; e que, portanto, quando ele retornasse ao solo,

já não poderia cair no ponto de origem (Figura 3). Somente o desenvolvimento de novas

concepções mecânicas iria, muito depois de Aristóteles, invalidar esse argumento.

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Figura 3. Argumento de Aristóteles para defender a imobilidade terrestre. A pedra não irá cair

exatamente abaixo do qual foi abandonada.

(fonte:http://www.conteudoseducar.com.br/conteudos/arquivos/3172.pdf extraído em

04/05/2015)

A versão inicial da ciência da mecânica, embora incorreta, teve sua origem entre

os gregos e foi sistematizada por Aristóteles. Segundo o pensamento aristotélico, a

matéria terrena em movimento buscava o centro do planeta, pois este era seu objeto

natural. O movimento dos objetos materiais, bem como o das entidades conscientes, era,

nos termos da física aristotélica, disciplinado por motivos e propósitos que variavam de

acordo com a composição do objeto – dependendo, por exemplo, de ele ser “terra” ou

“ar”. Consequentemente, quanto maior massa tivesse um objeto, mais rapidamente

tombaria ele, pois teria uma maior tendência de buscar o centro da Terra. A colocação do

assunto reflete, naturalmente, a observação comum, segundo a qual, ao ar, uma pedra cai

mais rapidamente que uma pena.

Devemos ainda salientar que, segundo Aristóteles, os movimentos dos corpos

terrestres são essencialmente absolutos. Eles são caracterizados por um ponto de partida

e um ponto de chegada, não havendo, portanto, o conceito de trajetória nem tampouco o

de velocidade instantânea. Segundo a sua concepção para que um objeto se mantivesse

em movimento, fazia-se necessária ação continua daquilo que hoje chamaríamos de força.

Essa ideia brotou da experiência comum, da qual decorre que, se pretendemos deslocar

um objeto sobre a superfície da Terra, devemos aplicar uma força para manter o objeto

em movimento.

Aristóteles e os outros filósofos da Grécia antiga não submeteram suas teorias a

uma verificação experimental sistemática. Para eles, os únicos instrumentos que

permitiam o acesso à verdade eram o discurso filosófico e a simples observação da

natureza.

25

Galileu explorou não apenas os céus, mas também o domínio terrestre. Para

estudar ainda mais a gravidade, ele rolava bolas em planos inclinados de forma a diminuir

o efeito da gravidade e assim possibilitar uma observação mais detalhada (Figura 4).

Galileu reparou que uma bola que rolasse dentro de um plano inclinado côncavo subia

até a mesma altura de onde havia partido. Em um plano inclinado mais gradual, a bola

iria rolar para mais longe horizontalmente antes de atingir a altura inicial. Com base nisso,

Galileu concluiu que a bola iria rolar para sempre em um plano perfeitamente horizontal.

Figura 4. Um desenho de George Gamow (1902-1968) que representa Galileu experimentando

sobre o plano inclinado.

(fonte:http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=9&idSubSecao=&idTexto

=14 extraído em 05/05/2015)

A conclusão de Galileu representa uma mudança muito importante em nosso

entendimento do movimento, pois sugere que este, em si, não precisa de causa ou

explicação. De maneira específica, um objeto movendo-se horizontalmente em linha reta

com velocidade constante vai continuar assim, a menos que uma força externa atue sobre

ele para diminuir a sua velocidade, aumentá-la ou mudar sua direção.

A fonte mais comumente citada como origem do princípio de relatividade de

Galileu é seu livro Diálogo de 1632. Entre outras passagens importantes, encontra-se a

descrição da experiência do navio. Nessa passagem, Galileu descreve várias experiências

que poderiam ser realizadas no interior de um cômodo de um navio e que, esteja ele

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parado ou em movimento, dão o mesmo resultado, não permitindo, portanto, determinar

o estado de movimento do navio.

Galileu argumentou que uma pedra jogada de cima de um mastro de um navio

iria se comportar exatamente da mesma maneira se o navio estivesse se movendo com

velocidade constante em águas calmas ou se o navio estivesse em repouso. Nos dois casos

a pedra iria cair em linha reta e aterrissar na base do mastro. Expressamos essa ideia mais

genericamente como o princípio da relatividade de Galileu (Figura 5).

Figura 5. De acordo com o argumento de Galileu, a pedra cairá exatamente abaixo do ponto

onde foi largada.

(fonte:https://2.bp.blogspot.com/6Tfz84_qtuE/UlvU9rcVL8I/AAAAAAAAAWs/rRFR16NOn7M/s

1600/ExperiGalileu2C.jpg extraído em 06/05/2015)

Para o estabelecimento da dinâmica propriamente dita foi ainda necessária a

perspicácia de Isaac Newton que ao introduzir os conceitos quantitativos de massa, força

e aceleração, muito contribuiu para dar uma base sólida à Física como ciência. A teoria

de Newton representava o triunfo de uma concepção física que vinha se formando desde

Galileu e Descartes. Newton enunciou como primeira lei do movimento: “Todo corpo

persevera em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que

alguma força que atue sobre ele o force a mudar de estado”. Também conhecida como

princípio da inércia.

Galileu e Newton não fazem nenhuma distinção de princípio entre o movimento

retilíneo uniforme e o repouso, vendo este último como mero caso particular de

movimento uniforme com velocidade nula. É impossível idealizar um experimento que

determine se você está em repouso ou movendo-se uniformemente.

Em torno das concepções de Newton e de seus seguidores foi aos poucos se

estabelecendo uma certa estrutura teórica bastante estável, que parecia refletir

satisfatoriamente certos aspectos do mundo real, embora algumas controvérsias de caráter

conceitual permanecessem insolúveis. Neste caso, podemos dizer que muitas questões

27

endereçadas ao futuro. Mas, mesmo na época de Newton, o grande sábio

GottfriedWihelm Leibniz e o filósofo idealista George Berkeley não estavam satisfeitos

com a concepção de espaço e tempo absolutos. Entretanto, de um modo geral, nenhum

deles estavam em condições de oferecer uma alternativa construtiva em substituição às

concepções de Newton. Foi então necessário transcorrer mais de um século para que essas

questões ganhassem atualidade.

2.1 A Transformação de Galileu

Considere um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas xyz, chamado de

referencial S; vamos usar outro sistema x’y’z’, chamado de referencial S’, e que se desloca

com velocidade constante �⃗� em relação ao referencial S (Figura 6).

.

Figura 6. Referenciais S e S’ movendo-se com velocidade relativa v.

(fonte: http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula4/node5.html extraído em 08/05/2015)

Podemos facilmente encontrar uma relação geral entre as coordenadas x, y, z e o

tempo t de um evento no referencial S, e as coordenadas x’, y’, z’ e o tempo t’ do mesmo

evento, observado no referencial S’, que se desloca com velocidade constante em relação

a S. Por conveniência, vamos assumir que as origens dos dois referenciais coincidem num

tempo t = t’= 0. A relação clássica, chamada de Transformação de Galileu, é

𝑥 = 𝑥′ + 𝑣𝑡 ′ 𝑜𝑢 𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎). (1)

𝑦 = 𝑦′ (2)

𝑧 = 𝑧′ (3)

𝑡 = 𝑡′ (4)

28

Através dessas relações podemos ver que Newton e Galileu considerava o tempo

absoluto, independente do referencial, ou seja, o intervalo de tempo de um determinado

evento no referencial S medido por um observador nesse referencial é igual ao intervalo

de tempo medido por um outro observador no referencial S’. Isto está de acordo com o

nosso senso comum, pois se não fosse assim, teríamos que sincronizar os nossos relógios

constantemente.

Através dessas transformações concluímos também, que o comprimento, assim

como o tempo é absoluto, independentemente do referencial em que for medido. Ou seja,

a Mecânica Clássica afirma que os comprimentos e os intervalos de tempos são os

mesmos para ambos os observadores inerciais.

Pensada em função de referenciais, a Relatividade de Galileu afirma que as leis

de movimento (as leis da Mecânica) são válidas em qualquer referencial que se move de

maneira uniforme. O movimento absoluto não tem sentido algum pela perspectiva

galileana e newtoniana, nenhuma experiência física permite demonstrar um movimento

absoluto, só o movimento relativo é experimentalmente demonstrável, tal como o de um

observador em relação ao corpo sobre qual ele efetua uma experiência.

3. O ELETROMAGNETISMO

3.1 Histórico

O estudo da Eletricidade teve seu início com os gregos no século VI a.C. com

uma descoberta feita pelo matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Ele observou que

o âmbar, uma resina amarelada, quando atritado com pele de animais, atraia partículas

leves, como sementes ou fragmentos de palha.

Por mais de vinte séculos, nada foi acrescentado à descoberta de Tales de Mileto.

O primeiro trabalho sobre Eletricidade foi publicado em 1600, escrito pelo médico inglês

William Gilbert. Nesse trabalho, intitulado Sobre os imãs, os corpos magnéticos e o

grande imã terrestre (De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete

Tellure), Gilbert analisou a atração e a repulsão entre corpos seguida atrair ou ser atraídos

por outros corpos. Esse estudioso chamou os corpos com capacidade de atração de

eletrizados e percebeu que a força de atração, nesse caso, apresentava características

diferentes daquela entre um imã e um pedaço de ferro. Gilbert foi, então, o primeiro a

29

diferenciar fenômenos elétricos de fenômenos magnéticos. Ele também propôs um

modelo segundo o qual a Terra se comportava como um grande imã (Figura 7).

Figura 7. A Terra porta-se como se fosse um gigantesco ímã.

(fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Magnetismo extraído em:10/05/2015)

Em 1733 o cientista francês Charles François Du Fay distinguiu entre

eletricidade “vítrea”, obtida por fricção do vidro, e eletricidade “resinosa”, obtida por

fricção do âmbar ou da resina. O tipo de carga que chamou de vítrea foi depois chamado

por Benjamin Franklin de positiva, e a resinosa recebeu o nome de negativa. A

justificativa para esses nomes baseou-se em experimentos realizadas por Franklin, que o

convenceram de que o processo de eletrização não cria cargas: apenas as transfere de um

corpo a outro. Normalmente, um corpo é neutro por ter igual quantidade de carga positiva

e negativa: quando ele transfere carga de um dado sinal a outro corpo, fica carregado com

carga de mesmo valor absoluto e sinal contrário. Essa hipótese de Franklin constitui a

mais antiga formulação de um princípio fundamental da física, a lei de conservação da

carga elétrica.

Franklin propôs uma teoria que considerava a carga elétrica um único fluido

elétrico que podia ser transferido de um corpo para outro: o corpo que perdia esse fluido

ficava com falta de carga elétrica (negativo), e o que recebia, com excesso de carga

elétrica (positivo). Hoje sabemos que os elétrons é que são transferidos, um corpo com

“excesso” de elétrons está eletrizado negativamente e um corpo com “falta” de elétrons

encontra-se eletrizado positivamente.

Em 1729 Stephen Gray descobriu a transmissão de eletricidade e distinguiu entre

isolantes e condutores.

30

Em 1785, Charles Augustin de Coulomb afirmou a existência de uma lei para

atração e a repulsão entre as cargas elétricas. Essa lei tem uma forma matemática análoga

à Lei da Gravitação Universal de Newton, diferindo unicamente pelo fato de dizerem

respeito a forças ora atrativas, ora repulsivas, ao passo que a força de gravitação é sempre

atrativa.

Assim como no caso da Eletricidade, pouco era conhecido sobre o Magnetismo

até o século XVIII. Apesar do uso generalizado da bússola, não se sabia, até a época do

descobrimento do Brasil, que a orientação da agulha magnética da bússola, numa posição

privilegiada, era devido ao fato da Terra se comportar como uma grande esfera magnética.

Os gregos já conheciam as propriedades de um minério de ferro encontrado na

região da Magnésia, na Turquia, que era capaz de atrair pedaços de ferro. Posteriormente

esse mineral foi chamado de magnetita. Atualmente sabe-se que o principal constituinte

da magnetita é um óxido de ferro e que esse material tem a propriedade física de atrair

não somente o ferro, mas também o cobalto, o níquel, o manganês e numerosas ligas

desses metais. Contudo, foram os chineses os primeiros a fazerem uso das propriedades

magnéticas que alguns materiais possuíam, utilizando a bússola.

Até o século XVIII, só o Magnetismo foi estudado de maneira sistemática. No

século XI, o sábio chinês Chen Koua fez uma experiência com uma agulha imantada

flutuando sobre um líquido e descreveu a aplicação potencial dessa “bússola” à

navegação. No século XIII, Pierre Pèletrin de Maricourt descobriu que a força atrativa do

imã está concentrada em dois pontos, chamados de “polos”, que se orientam

espontaneamente um para o norte e outro para o sul da esfera terrestre. Em 1600, William

Gilbert publicou uma série de descobertas, destacando-se entre elas a atração dos polos

opostos de dois imãs e a repulsão dos polos idênticos. Ele chegou até a propor a hipótese

de que o imã não exerce uma ação direta à distância e sim emite correntes fechadas

(effluvia) que, ao retornar a ele, arrastam consigo os objetos metálicos.

Os estudos sobre os efeitos do Magnetismo somente foram retomados

fortemente a partir das observações do físico dinamarquês Hans Christian Oersted. Já se

sabia que as bússolas eram perturbadas durante as tempestades quando, por ação dos

raios, sua polarização podia ser invertida. Com a descoberta de Franklin de que a natureza

dos raios de uma tempestade é de origem elétrica, começou-se o estudo da relação entre

Eletricidade e o Magnetismo.

Em 1820 Oersted descobriu que um fio condutor percorrido por uma corrente

elétrica desvia uma agulha imantada situada nas proximidades. Essa descoberta é vista

31

como um marco no surgimento do Eletromagnetismo. Os anos seguintes permitiram o

estabelecimento de um vínculo fundamental entre a Eletricidade e o Magnetismo.

André Marie Ampère descobriu que uma corrente elétrica não só cria um

magnetismo que desvia uma agulha imantada, mas é também por sua vez influenciada

pelo magnetismo.

Foi Ampère, assim, levado a conjeturar – conjetura pouco aceita na época – que

a origem do magnetismo de certos materiais estaria no fato de eles serem percorridos por

correntes elétricas, ele mostrou que dois fios portadores de corrente exercem entre si

interação magnética, de forma semelhante à maneira como duas barras de ferro

magnetizadas veem-se reciprocamente sujeitas a uma força.

Em 1831, uma importante descoberta, que é a indução magnética foi apresentada

pelo físico inglês Michael Faraday, cujo retrato Einstein conservava em seu escritório.

Assim como corrente elétrica produz um campo magnético, um campo magnético

variável também produz corrente elétrica em um condutor. Uma das consequências desta

descoberta foi a possibilidade da construção de máquinas elétricas geradoras de corrente

elétrica.

Faraday era um gênio em física experimental, contudo ele jamais chegou a

dominar as delicadas técnicas matemáticas introduzidas por Ampère no estudo da

eletricidade. A noção de “campo” deve-se a Faraday, ele propôs um modelo de “linhas

de força” que se estendiam em torno de um ímã, emergindo de seu polo norte para

convergir rumo a seu polo sul. A atração e a repulsão entre polos de ímãs diferentes se

explicavam por uma afinidade entre a convergência e a divergência das linhas de força e

um antagonismo das convergências ou das divergências. Faraday batizou de “campo

magnético” esse conjunto de linhas de força e interpretou também a atração e a repulsão

entre cargas elétricas pela ação de um “campo elétrico” composto de linhas de força que

levavam de uma carga positiva a uma carga negativa.

Para completar as descobertas acerca do Eletromagnetismo, um físico russo,

Heinrich F. E. Lenz mostrou que os efeitos das correntes elétricas induzidas por forças

eletromagnéticas sempre se opõem a essas forças. Com outras palavras, corrente elétrica

induzida gera um campo magnético de sentido contrário à variação do que a gerou.

32

3.1 As Equações de Maxwell

O físico escocês James Clerk Maxwell foi um dos maiores cientistas que já

viveu, apontado como tal até mesmo pelo próprio Einstein. Maxwell era um cientista nato,

suas contribuições ao mundo da Física foram imensas, o que o fez um dos maiores físicos

de todos os tempos.

Porém, o que diferenciava Maxwell nesse aspecto da Física, era sua habilidade

em descrever a Física através da Matemática, pois seus conceitos físicos eram

representados por teorias matemáticas precisas, teorias essas que até nos dias atuais

permanecem intocáveis, tamanha a exatidão das mesmas.

Maxwell elaborou diversas teorias no campo da Física, sendo a sua mais famosa

a Teoria do Eletromagnetismo, porém, apesar de seu campo de atuação ser a Física, suas

teorias têm ajudado diversas áreas, principalmente a Matemática. Ele examinou a ideia

de Faraday que tratava da relação entre a Eletricidade e o Magnetismo, interpretados em

termos de campos de força, e começou a buscar uma explicação para essa relação.

Maxwell logo viu que ela era simples: eletricidade e magnetismo são apenas expressões

alternativas dos mesmos fenômenos. A teoria Eletromagnética desenvolvida por ele e

publicada de forma completa em 1873, no seu célebre livro A Treatiseon Electricity and

Magnetism (Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo), sintetiza, do ponto de vista

teórico, os conhecimentos nos ramos do magnetismo, eletricidade e óptica. Uma das

grandes proezas da teoria de Maxwell foi, certamente, incluir a óptica dentro da teoria

Eletromagnética.

Ele formulou o conjunto de equações que levam o seu nome e que constituem

atualmente o ponto de partida para a discussão da Eletricidade e do Magnetismo. Maxwell

demonstrou que todos os fenômenos elétricos e magnéticos poderiam ser descritos em

apenas quatro equações, conhecidas atualmente como Equações de Maxwell.

As equações de Maxwell têm um papel no Eletromagnetismo Clássico análogo

àquele das leis de Newton na Mecânica Clássica. Em princípio, todos os problemas na

Eletricidade e no Magnetismo clássicos podem ser resolvidos usando as leis de Maxwell,

assim como todos os problemas em mecânica clássica podem ser resolvidos usando as

leis de Newton. Por exemplo, Maxwell mostrou que essas equações podem combinadas

para fornecer uma equação de onda para os vetores campo elétrico E e B . Tais ondas

eletromagnéticas são causadas por cargas aceleradas (como as cargas na corrente

33

alternada de uma antena). Essas ondas eletromagnéticas foram produzidas pela primeira

vez em laboratório por Heinrich Hertz em 1887.

As Equações de Maxwell dão uma expressão quantitativa às linhas de força de

Faraday e constituem o ponto de partida para a discussão da Eletricidade e do

Magnetismo. Como vimos, a lei de Faraday afirma que um campo magnético que sofre

variação induz uma corrente elétrica. Um campo é suscetível de variar tanto no espaço

quanto no tempo; em outras palavras, em dado ponto espacial, o campo é suscetível de

sofrer variação no tempo ou, a determinado tempo, poderá o campo apresentar valores

que diferem de ponto para ponto do espaço. As Equações de Maxwell relacionam as

“variações parciais”, isto é, a variação do campo elétrico no espaço, à variação do campo

magnético no tempo. Uma das “conclusões” de Maxwell era a predição de um fenômeno

inteiramente novo – a propagação da radiação eletromagnética no vácuo.

Maxwell foi capaz de prever, de forma puramente matemática, que as ondas

eletromagnéticas existem. Mais ainda, Maxwell obteve um resultado totalmente

inesperado. Usando sua teoria matemática, ele calculou a rapidez com que essas ondas se

propagariam. Para grande espanto, o valor numérico calculado por ele para a velocidade

das ondas eletromagnéticas concordava exatamente com o valor na época já muito bem

conhecido da velocidade da luz, por esse motivo, era natural concluir que a luz nada mais

é do que uma onda eletromagnética.

A confirmação da hipótese de Maxwell foi feita em 1887 pelo físico alemão

Heinrich Rudolf Hertz. Para isso, ele usou um circuito oscilante de pequenas dimensões,

produzindo ondas de pequeno comprimento, chamadas hoje de ondas hertzianas ou ondas

de rádio. Hertz mostrou que essas ondas possuíam todas as propriedades das ondas de

luz, isto é, podiam ser refletidas, refratadas, difratadas, polarizadas. Foi mostrado também

que elas interferiam umas com as outras e também se propagavam com a velocidade

escalar da luz. E por serem sido produzidas por um circuito oscilante, sua origem era

evidentemente eletromagnética.

Com a comprovação de Hertz, Maxwell colocaria toda a ciência da Óptica sob o

teto do Eletromagnetismo e dessa forma conseguiria unir três ramos do conhecimento

científico da época uma única teoria: Eletricidade, Magnetismo e Óptica.

A teoria ondulatória da luz finalmente encontrou um reforço inesperado nos

trabalhos de Maxwell e assim no final do século XIX, o problema da natureza da luz

parecia estar definitivamente resolvido. Como consequência disso, nessa mesma época

acreditava-se que pouco ou nada restava para ser adicionado ao conhecimento do

34

eletromagnetismo e da mecânica newtoniana. Porém, ainda restavam alguns problemas.

Dentre eles podemos destacar o fato de que a luz é uma onda, necessita de um meio para

se propagar, pois segundo o conhecimento da época, todas as ondas (mecânicas)

necessitavam de um meio para sua propagação.

4. O ELETROMAGNETISMO E A MECÂNICA CLÁSSICA

Através de um sistema de equações, Maxwell conseguiu sintetizar todos os

conhecimentos básicos até então adquiridos no tocante à eletricidade e o magnetismo,

prevendo inclusive a existência de ondas eletromagnéticas se propagando com a

velocidade da luz, demonstrando que a luz era um fenômeno ondulatório eletromagnético.

Este êxito teve como consequência trazer para o âmbito do eletromagnetismo certos

problemas que se acumularam na óptica ao longo do século XIX. Podemos resumir esses

problemas do seguinte modo: a afirmação do modelo ondulatório para a luz, implicou em

supor a existência de um meio material no qual se propagassem as ondas luminosas. Este

hipotético meio recebeu inicialmente o nome de éter luminífero, e em seguida, desde a

identificação da luz como um fenômeno eletromagnético, éter eletromagnético. A

necessidade de um meio no qual as ondas pudessem se propagar era uma consequência

da crença que os cientistas haviam estabelecido em relação à mecânica. Como todas as

ondas mecânicas precisam de um meio para se propagar, também as ondas

eletromagnéticas precisavam de um meio análogo.

No intuito de provar a existência do éter, Albert Michelson e Edward Morley

em 1887 construíram um aparelho, denominado de interferômetro, no qual um feixe

luminoso é divido em dois ao passar por um espelho parcialmente refletor. Os feixes

divididos seguem caminhos diferentes, um paralelo à direção do movimento da Terra em

relação ao Sol, e o outro perpendicular a esta direção, mas se cruzam e nesse cruzamento

os feixes são recombinados. Se esse movimento influenciava de forma diferente as

trajetórias dos dois raios, estes deviam exibir velocidades diversas em relação ao

dispositivo experimental. Michelson e Morley esperavam constatar uma discrepância

entre os tempos de chegada dos dois raios (Figura 8). O resultado da experiência foi

negativo: as velocidades dos dois raios não apresentavam diferença mensurável.

35

Figura 8. Experimento de Michelson e Morley para detectar uma diferença de tempo entre os

tempos de chegada dos raios luminosos.

(fonte:http://adagadeoccam.blogspot.com.br/2012/08/ciencia-elegante-o-experimento-de.html

extraído em 12/05/2015).

Por que razão a experiência de Michelson e Morley não detectava a influência do

movimento da Terra em relação ao éter sobre a velocidade da luz? Segundo BEN-DOV

(1996) Lorentz tinha uma resposta para essa pergunta, resposta que lhe havia sido

sugerida por George Fitzgerald: todo corpo em movimento no éter sofre, por alguma

razão misteriosa, uma contração na direção de seu movimento. A distância entre os

espelhos do dispositivo de Michelson e Morley variava segundo estivessem dispostos em

uma direção paralela ou perpendicular ao movimento da Terra. A luz era efetivamente

influenciada pelo movimento da Terra no éter, mas a distância que ela deveria percorrer,

isto é, a distância entre os dois espelhos, também sofria essa influência. Assim a duração

do trajeto dos raios luminosos – que era a grandeza medida por Michelson e Morley –

permanecia constante. Uma vez que os dois raios cumpriam seus trajetos em tempos

iguais, eles chegavam ao mesmo tempo, como se tivessem percorrido distâncias iguais

em velocidades iguais. Para Poincaré, tal situação era fisicamente inaceitável e exigia que

se encontrasse uma teoria que explicasse definitivamente por que a velocidade da luz não

sofre a influência do movimento do observador em relação ao éter.

Lorentz chegou a um conjunto de equações que ficaram conhecidas como

Transformações de Lorentz (que iremos detalhar na próxima seção) essas equações

relacionam as coordenadas de espaço e tempo de um determinado referencial às

36

coordenadas de espaço e tempo de outro referencial com um termo adicional que a

diferencia da Transformação de Galileu.

Embora a hipótese da contração explicasse com sucesso o resultado negativo do

experimento, estava sujeita à objeção de que foi inventada com o propósito expresso de

explicar a dificuldade e que era artificial demais. Entretanto, em muitos outros

experimentos, para descobrir o movimento no éter, surgiram dificuldades semelhantes.

Na mesma época, mas independentemente de Lorentz, Einstein chegou às mesmas

equações de contração ao abordar o problema sob um ângulo totalmente diferente.

Outro aspecto interessante era que as Equações de Maxwell não eram invariantes

em relação às transformações de Galileu. Newton e Galileu haviam afirmado a

relatividade do movimento retilíneo uniforme: dois observadores animados desse

movimento observam as mesmas leis físicas. Se a Mecânica Newtoniana respeitava esse

princípio de relatividade, o mesmo não acontecia com a teoria Eletromagnética tal como

ela existia no final do século XIX.

Ao passarmos de um referencial inercial para outro, utilizando a Transformação

de Galileu (Seção 2.1), as Equações de Maxwell forneciam resultados diferentes para um

mesmo fenômeno, gerando assim um conflito. As equações de Maxwell não pareciam

obedecer ao princípio da relatividade (já mencionado na seção 2) portanto, em uma nave

espacial em movimento, os fenômenos elétricos e ópticos deveriam ser diferentes

daqueles em uma nave parada. Então, seria possível usar esses fenômenos ópticos para

determinar a velocidade da nave; em particular, seria possível calcular a velocidade

absoluta da nave por meio de medidas ópticas ou elétricas adequadas. O primeiro

pensamento que ocorreu foi que o problema devia estar nas novas equações de Maxwell

para a Eletrodinâmica, que tinham apenas vinte anos na época. Parecia quase óbvio que

essas equações deviam estar erradas, então a coisa a se fazer era mudá-las de modo que,

sob a transformação de Galileu, o Princípio da Relatividade fosse satisfeito. Quando isso

foi tentado, os novos termos que tiveram de ser inseridos nas equações levaram a

previsões de novos fenômenos elétricos que não existiam de forma alguma quando

testados experimentalmente, então essa tentativa teve de ser abandonada. Assim

gradualmente, se tornou evidente que as leis de Maxwell para Eletrodinâmica estavam

corretas e que o problema tinha de ser procurado em outra parte.

37

5. A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

Para Poincaré era necessário que se encontrasse uma teoria que explicasse

definitivamente por que a velocidade da luz não sofre a influência do movimento do

observador em relação ao éter. Ele propôs então que existe uma tal lei da natureza, que

não é possível descobrir o movimento do éter por meio de nenhum experimento; ou seja,

não existe forma alguma para determinar uma velocidade absoluta.

Poincaré fez a seguinte afirmação sobre o Princípio da Relatividade: “De acordo

com o princípio da relatividade, as leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas tanto

para um observador fixo como para um observador que tem um movimento de translação

uniforme em relação ao primeiro, de modo que não temos, nem podemos possivelmente

ter, quaisquer meios de discernir se estamos sendo ou não levados por tal movimento”.

As ideias de Poincaré tiveram forte influência nos pensamentos de Einstein para

ele elaborar a sua famosa Teoria da Relatividade. A obra publicada por Poincaré em 1902,

La science e l’hypothese (A Ciência e a Hipótese) foi de grande importância nos trabalhos

de Einstein, em uma passagem do livro, Poincaré afirmava: “Não existe tempo absoluto;

dizer que duas durações são iguais é uma proposição que, em si, não tem significado e só

pode ser aceita por convenção. Só não intuímos diretamente a igualdade de duas durações

como também não intuímos diretamente a simultaneidade de dois eventos ocorrendo em

lugares diferentes”. Esse conceito prefigurou a hipótese espaço-tempo original de

Einstein. (BRIAN, 1999).

Em 1905, Albert Einstein, publicou cinco grandes artigos, dentre os quais, um

merece destaque. Einstein submeteu aos Annalen der Physik o artigo intitulado “Zür

Electrodynamik bewegter Körper” (Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento),

que inauguraria uma era e fundaria a Teoria da Relatividade Restrita. O trabalho não traz

quaisquer referências – apenas um agradecimento a seu fiel amigo e colega do Escritório

de Patentes, Michelle Besso (ROCHA et al., 2011).

Einstein creditou grande parte de sua inspiração às idéias de Ernst Mach e

também de David Hume e afirmou que estudou com fervor e admiração seu tratado sobre

a compreensão (A Treatise of Human Nature) e que era bem possível que sem esses

estudos filosóficos, ele não teria chegado a teoria da relatividade (BRIAN, 1999).

No seu artigo sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, Einstein

postulou que o movimento absoluto não podia ser detectado por nenhuma experiência.

38

Isto é, não existe éter. Sua Teoria da Relatividade Restrita pode ser deduzida a partir de

dois postulados:

As leis da física são iguais em qualquer referencial inercial.

A velocidade da luz é independente do movimento da fonte.

A solução proposta por Einstein destacou-se, contudo pela sua generalidade:

todas as leis da Física, tanto as da Mecânica quanto as do Eletromagnetismo, deveriam

ser as mesmas em qualquer referencial inercial. Ele denominou esta exigência de

“Princípio da Relatividade”. Como a validade irrestrita deste princípio, incluindo os

fenômenos eletromagnéticos, era incompatível com os cálculos para mudança de

referencial, mudou os tais cálculos. Ele alterou a Transformação de Galileu, no qual

espaço e tempo agora aparecem mesclados de um modo completamente novo na história

da ciência.

O segundo postulado trouxe, entre algumas consequências, a de que nenhuma

partícula pode ser deslocar com velocidade superior à da luz.

As implicações dos dois postulados propostos por Einstein, embora cada um

pareça bastante razoável, são bastante surpreendentes e contradizem o nosso senso

comum. A noção de espaço e tempo absoluto na relatividade galileana teve de ser

abandonado para dar lugar a uma nova concepção sobre o conceito de espaço e tempo.

As experiências de Michelson e Morley tiveram, no máximo, uma influência

marginal sobre a Teoria da Relatividade de Einstein, e ele não dependeu dessas

experiências para chegar à relatividade restrita. Ele não pretendeu explicar os resultados

negativos da experiência de Michelson-Morley. Sua teoria surgiu de suas considerações

sobre a Eletricidade e Magnetismo, e da propriedade inusual das ondas eletromagnéticas,

de que elas se propagam no vácuo.

No seu artigo, Einstein menciona um experimento que ilustra a lei de Faraday

da indução eletromagnética. Ele dava uma atenção especial a uma outra experiência, que

lhe parecia revelar uma incoerência fundamental na descrição da realidade física (Figura

9). É por essa experiência que se inicia seu artigo. Ao contrário da experiência de

Michelson e Morley, esta era uma experiência simples, cujos resultados ninguém

contestava.

39

Figura 9. Sempre que existe um movimento relativo entre espira e imã, independente de quem

se mova, surge uma corrente elétrica, chamada de corrente induzida, na espira.

(fonte: http://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/inducao.html extraído

em14/05/2015)

Desloquemos, escreve Einstein, um ímã na vizinhança de um fio condutor

imóvel. Segundo a teoria eletromagnética de Mawxell, a variação de campo magnético

devido ao movimento do imã provoca o aparecimento de um campo elétrico que,

exercendo uma força sobre os elétrons do fio condutor, cria no fio uma corrente elétrica

mensurável. Mantenhamos agora o ímã imóvel e desloquemos o fio de tal modo que seu

movimento relativo em relação ao imã permaneça inalterado. Desta vez, os elétrons em

movimento com o fio sofrem, da parte do campo magnético, uma força que, segundo a

fórmula de Lorentz mencionada no início deste capítulo, os faz se mover no fio, fazendo,

portanto, aparecer nele uma corrente elétrica. O cálculo mostra que essa corrente tem

exatamente o mesmo valor que na primeira situação. A corrente que circula no fio e que

é a única grandeza medida nessa experiência depende, portanto unicamente do

movimento relativo do ímã e do fio, e não de seu movimento absoluto.

Einstein comenta de início a descrição aparentemente assimétrica dos efeitos de

indução eletromagnética entre um imã e um fio condutor, conforme seja o imã ou o fio

que se move, quando só se importa o movimento relativo. Depois diz: “Exemplos desse

tipo, bem como as tentativas malogradas de detectar um movimento da Terra em relação

a um “éter”, sugerem que os fenômenos eletrodinâmicos, da mesma forma que os

mecânicos, não têm quaisquer propriedades compatíveis com a ideia de repouso

absoluto”.

40

5.1 A Transformação de Lorentz

Como vimos na seção anterior, Einstein propôs que todas as leis da Física (não só

as da Mecânica) deveriam ser idênticas para qualquer referencial inercial, e para que essa

generalização se tornasse verdadeira, as equações da Transformação de Galileu (vistas na

seção 2.1) deveriam ser modificadas para torná-las consistentes com os postulados de

Einstein.

Vamos usar novamente um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas xyz com

a origem O, chamado de referencial S, e outro sistema x’y’z’, com a origem O’, chamado

de referencial S’, e que se desloca com velocidade constante �⃗� em relação ao referencial

S (Figura 10).

Figura 10. Referenciais S e S’ movendo-se com velocidade relativa v. Em cada referencial,

existem observadores com réguas e relógios, que são idênticos quando comparados em repouso

(fonte:https://def.fe.up.pt/fisica3/relatividade1/index.html extraído em 01/06/2015).

As transformações galileanas foram então modificadas e assumem agora a

seguinte forma:

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡

√1 − 𝑣²

𝑐²

𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥′ + 𝑣𝑡′

√1 − 𝑣²

𝑐²

(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎). (5)

𝑦′ = 𝑦 (6)

𝑧′ = 𝑧 (7)

𝑡′ = 𝑡 − 𝑣𝑥 𝑐²⁄

√1 − 𝑣²

𝑐²

𝑜𝑢 𝑡 = 𝑡′ + 𝑣𝑥′ 𝑐²⁄

√1 − 𝑣²

𝑐²

(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎). (8)

41

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, que é aproximadamente 3 × 108 m/s. A

transformação descrita por essas equações é chamada de Transformação de Lorentz. As

equações de Maxwell permanecem com a mesma forma quando esta transformação é

aplicada a elas.

É interessante notar que as expressões matemáticas das transformações acima

obtidas por Einstein já haviam sido obtidas por Lorentz, por isso a homenagem. Mas

Lorentz recusava-se a atribuir um significado físico àquelas equações, especialmente à

expressão que fornecia um tempo dependente de cada referencial.

A partir da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein, essas equações passaram

a ter outro significado. Einstein considerou-as como plenas de significado físico porque

decorriam do que considerava um princípio físico mais fundamental, o princípio da

relatividade, ou seja, a invariância das leis físicas em relação aos referenciais inerciais.

5.2 Dilatação do tempo

Suponha dois eventos que ocorrem no referencial 𝑆′(Figura 10) no eixo 𝑥′, um

no ponto 𝑥0′ num tempo 𝑡1

′, e outro no mesmo ponto 𝑥0′ num tempo 𝑡2

′. Podemos

encontrar os tempos 𝑡1e 𝑡2 para os eventos no referencial 𝑆. Usando a equação (8) da

transformação de Lorentz, temos:

𝑡1 = 𝑡1

′ + 𝑣𝑥0′ 𝑐2⁄

√1 − 𝑣²

𝑐²

𝑒 𝑡2 = 𝑡2

′ + 𝑣𝑥0′ 𝑐2⁄

√1 − 𝑣²

𝑐²

Assim

𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡2

′ − 𝑡1′

√1 − 𝑣²

𝑐²

∆𝑡 = ∆𝑡𝑝

√1 − 𝑣²

𝑐²

(9)

42

Onde ∆𝑡𝑝 = 𝑡2′ − 𝑡1

′ é o tempo próprio (intervalo de tempo entre dois eventos

que acontecem no mesmo lugar). O intervalo de tempo ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 medido em qualquer

outro referencial será sempre maior que o tempo próprio ∆𝑡𝑝.

A equação (9) expressa um fenômeno relativístico denominado dilatação do tempo ou

dilatação temporal. As medidas de tempo não são mais absolutas, como Galileu e Newton

consideravam, Einstein concluiu que o intervalo de tempo decorrido entre dois eventos

determinados varia de um observador inercial para outro. Portanto de maneira

frontalmente contrária às nossas concepções intuitivas, não existe um tempo absoluto,

único, medido por todos os observadores.

O intervalo de tempo medido por um observador que se encontra em um

determinado referencial inercial, será sempre maior que o intervalo de tempo medido por

um outro observador que se encontra num referencial inercial em movimento em relação

ao primeiro.

Vale salientar que a dilatação temporal só é perceptível em situações nas quais a

velocidade considerada é muito alta (comparadas com a velocidade da luz). Por isso, esse

fenômeno não ocorre em situações do nosso cotidiano.

5.3 Contração do comprimento

Considere uma barra em repouso no referencial 𝑆′(Figura 11) onde a extremidade

está fixa em 𝑥2′e a outra extremidade em 𝑥1

′. O comprimento da barra neste referencial

é o seu comprimento próprio 𝐿𝑝 = 𝑥2′ − 𝑥1

′(comprimento de um objeto medido no

referencial no qual o objeto está em repouso). No referencial 𝑆, a barra está se movendo

para a direita com velocidade 𝑣, que é a velocidade do referencial 𝑆′, e seu comprimento

é 𝐿 = 𝑥2 − 𝑥1 onde 𝑥2 é a posição de uma extremidade num tempo 𝑡2 e 𝑥1é a posição da

outra extremidade no mesmo tempo 𝑡1 = 𝑡2.

/

43

Figura 11. No referencial onde o objeto está se movendo numa direção paralela ao seu

comprimento, a medida deste comprimento é menor que o comprimento próprio.

(fonte: https://docs.google.com/presentation/d/1qUGpgDDBE7rXAiMJWbkvGfevGO-

xjmoV6GI-2kc0TSw/edit?usp=sharing extraído em 03/06/2015)

Usando agora a equação (6) da transformação de Lorentz, temos:

𝑥𝟐′ =

𝑥2 − 𝑣𝑡2

√1 − 𝑣²

𝑐²

𝑒 𝑥𝟏′ =

𝑥1 − 𝑣𝑡1

√1 − 𝑣²

𝑐²

Sendo 𝑡1 = 𝑡2, obtemos

𝑥′2 − 𝑥′

1 = 𝑥2 − 𝑥1

√1 − 𝑣2

𝑐2

⇒ 𝐿𝑝 = 𝐿

√1 − 𝑣²

𝑐²

Ou

𝐿 = 𝐿𝑝√1 −

𝑣²

𝑐² (10)

Da mesma maneira, a noção de espaço deixou de ser absoluta. Assim como o

tempo, o comprimento terá valores diferentes para observadores que se encontram em

movimento relativo um em relação ao outro. A contração do comprimento sempre ocorre

na mesma direção do movimento.

44

Podemos observar que quando a velocidade v for muito menor que a velocidade

da luz c (circunstâncias cotidianas), temos que √1 −𝑣²

𝑐²≈ 1 e as equações (9) e (10) ficam

∆𝑡 ≈ ∆𝑡𝑝e 𝐿 ≈ 𝐿𝑝, de acordo com a relatividade de Galileu.

A dilatação do tempo e a contração do comprimento só são mensuráveis quando

o valor de v for próximo ao de c.

5.4 Momento Relativístico

Vimos que os postulados de Einstein requerem modificações importantes nas

medidas de tempo e comprimento, esses postulados também requerem modificações nos

conceitos de massa, momento e energia. Na Mecânica Clássica, o momento linear �⃗� (ou

quantidade de movimento linear) de uma partícula é definido como o produto de sua

massa m pela sua velocidade �⃗�:

�⃗� = 𝑚�⃗� (11)

As leis da Mecânica agora assumem uma nova forma sob as Transformações de

Lorentz, a expressão do momento linear será:

�⃗� = 𝑚0�⃗�

√1 −𝑣2

𝑐2

(12)

Onde a “massa de repouso” 𝑚0 representa a massa de um corpo que não está se

movendo. Esta é a modificação de Einstein das leis de Newton. Uma interpretação dessa

equação é de que a massa de um objeto aumenta com a velocidade.

5.5 A equivalência massa-energia

Ainda no ano de 1905, Einstein publicou um outro artigo intitulado "Ist die

Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhägig?"("A inércia de um corpo

depende do seu conteúdo energético?"), que nos mostra o resultado mais significativo da

Teoria da Relatividade Restrita.

Este trabalho, que é uma extensão das ideias já publicadas, demonstra a

equivalência entre massa e energia, ou seja, massa pode ser convertida em energia e

45

energia pode ser convertida em massa. Este princípio é denominado de princípio da

equivalência massa-energia.

Einstein deduz de maneira bem simples e direta a famosa expressão 𝐸 = 𝑚𝑐2,

mostrando que as duas leis de conservação já conhecidas, a lei da conservação da massa

e a lei da conservação da energia, fundem-se em uma lei mais geral de conservação da

massa-energia.

De maneira análoga ao momento linear, a energia cinética de uma partícula

também assume uma nova forma sob as Transformações de Lorentz. A expressão para a

energia cinética relativística consiste em dois termos. O primeiro termo depende da

velocidade da partícula. O segundo termo, 𝑚0𝑐2, é independente da velocidade. Para se

chegar nessa nova expressão da energia cinética de uma partícula, é necessário o uso do

Cálculo Integral e Diferencial juntamente com o teorema do Trabalho e Energia, mas que

não será demonstrado aqui. O resultado é mostrado logo abaixo:

𝐾 = 𝑚0𝑐2

√1 −𝑣2

𝑐2

− 𝑚0𝑐2 (13)

A quantidade 𝑚0𝑐2 é chamada de energia de repouso 𝐸0 da partícula. A energia

de repouso é o produto da massa e 𝑐2:

𝐸𝑜 = 𝑚0𝑐2 (14)

A energia relativística total 𝐸 é então definida como a soma da energia cinética

com a energia de repouso:

𝐸 = 𝐾 + 𝑚0𝑐2 = 𝑚0𝑐2

√1 − 𝑣2

𝑐2

(15)

A teoria da equivalência entre massa e energia tem sido verificada por

experimentos em que a matéria é aniquilada – convertida totalmente em energia: um

elétron e um pósitron se aproximam em repouso. Quando se aproximam, eles se

46

desintegram, e dois raios gama surgem (Figura 12). Esse experimento fornece uma

determinação direta da energia associada à existência de massa de repouso de uma

partícula.

Figura 12. Um elétron e um pósitron (elétron de carga positiva) quando se aproximam, se

aniquilam e dão origem a dois raios gama.

(fonte: http://astro.if.ufrgs.br/evol/node42a.htm extraído em:05/06/2015)

Podemos verificar também essa equivalência entre massa e energia nas reações

nucleares (Figura 13), onde os núcleos e partículas interagem, ocorrendo conversão de

massa em energia.

Figura 13. Reação nuclear em cadeia por meio da fissão de um átomo de urânio. A fissão

nuclear é a quebra de núcleos grandes, formando núcleos menores e liberando grande

quantidade de energia.

(fonte: http://www.infoescola.com/fisica/fissao-nuclear/ extraído em: 05/06/2015)

Como pôde ser visto, neste último tópico abordamos o tema apenas

conceitualmente, sem ilustrações de expressões matemáticas, que de fato seriam

necessárias para uma total compreensão. Queríamos evitar uma possível “confusão” entre

47

os conceitos de massa e energia, que para uma correta compreensão, é necessária uma

abordagem mais minuciosa. No entanto, acreditamos que este tópico esteja adequado para

o aluno, levando em conta a modalidade de ensino (ensino médio).

Dessa forma não houve necessidade de entrarmos em maiores detalhes,

considerando que nosso principal objetivo foi de abordarmos aspectos históricos da

Relatividade Restrita.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como muitas outras teorias de grande importância para a física, foi visto que a

Teoria da Relatividade passou por um processo de evolução e aprimoramento ao longo

dos séculos. Embora, para muitos, quando se fala de Relatividade, a primeira ideia seja

associar este conceito com o nome do grande cientista Albert Einstein, foi mostrado que

muito antes de Einstein, o postulado da relatividade do movimento retilíneo uniforme já

havia sido introduzido no estudo da mecânica. E o mérito de Einstein consiste,

principalmente, em conceder a este princípio uma presença mais marcante em toda a

física, uma vez que ele postulou que, não apenas as leis da mecânica, mas sim todas as

leis físicas deveriam seriam as mesmas em relação a todos os referenciais inerciais.

Podemos notar que os trabalhos de Lorentz e Fitzgerald foram de grande

utilidade para Einstein e que as ideias do seu ídolo Michael Faraday também tiveram

papel importante.

Como já mencionado, Poincaré já havia enunciado o princípio da relatividade, e

então podemos nos perguntar o motivo pelo qual ele não criou a teoria da relatividade. O

assistente e biógrafo de Einstein, Banesh Hoffman, achou surpreendente que o brilhante

físico francês, Henri Poincaré, “não tenha dado o passo crucial para a teoria da

relatividade (antes de Einstein), pois chegou muito perto. Porém, quando estava para dar

o passo decisivo, seus nervos o traíram e ele se prendeu aos antigos hábitos de pensamento

e às noções familiares de tempo e espaço. Se isso nos parece surpreendente é porque

subestimamos a audácia de Einstein de enunciar o princípio da relatividade como um

axioma e, por acreditar nele, mudar nossa noção de tempo e espaço”. Para Einstein, o que

aconteceu com Poincaré não foi falta de coragem, mas o fato de não ter conseguido

“captar”. Disse ainda que este era “hostil (à teoria da relatividade) e, a despeito de sua

perspicácia, parecia não entender o que estava fazendo” (BRIAN, 1999).

48

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Anexo A

Slides utilizados na aplicação do material didático

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