UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR (UFPA) INSTITUTO DE TECNOLOGIA (ITEC) PROJETO DE CURSOS DE NIVELAMENTO DA APRENDIZAGEM (PCNA) EM CINCIAS BSICAS PARA ENGENHARIAS

MATERIAL DIDTICO: MATEMTICA ELEMENTAR

Equipe responsvel: Prof. Alexandre Guimares Rodrigues (Coordenao Geral) Prof. Rodrigo Melo e Silva de Oliveira (Orientao) Prof. Alessandra Macedo de Souza (Orientao) Jocy Maciel Lopes (Organizao / Orientao) Monitores: DANIEL LIMA DE LIMA NILTON R. N. MELO RODRIGUES PRICLES CLISIRON PONTES SYMAR SALGADO NETO PONTES PEDRO LUIS IWASAKA NEDER GUSTAVO HUGO RAMOS TAVARES ANDERSON DE FRANCA SILVA

Verso 1.0 - Agosto / 2011

PCNA-MATEMTICA ELEMENTAR

Equipe Responsvel pelo ProjetoAlcebades Negro Macedo (Diretor Adjunto do ITEC) Alexandre Guimares Rodrigues (Elaborao/Coordenao Geral/Orientao na rea de Fsica Elementar/Comisso de Ensino do ITEC) Ana Kludia Perdigo (Elaborao/Coordenao/Comisso de Ensino do ITEC) Jocy Maciel Lopes (Elaborao/Coordenao/Orientao na rea de Matemtica Elementar/Comisso de Ensino do ITEC) Lnio Jos Guerreiro de Faria (Elaborao/Orientao na rea de Qumica Elementar/Comisso de Extenso do ITEC) Maria Emilia de Lima Tostes (Diretora do ITEC) Marlice Cruz Martelli (Elaborao/Coordenao/Orientao na rea de Qumica Elementar/Comisso de Extenso do ITEC) Rodrigo Melo e Silva de Oliveira (Elaborao/Coordenao/Orientao na rea de Matemtica Elementar) Rosana Paula de oliveira Soares (Elaborao/Coordenao/Comisso de Ensino do ITEC)

Equipe responsvel pela Elaborao do Material:Orientao:RODRIGO MELO E SILVA DE OLIVEIRA ALESSANDRA MACEDO DE SOUZA JOCY MACIEL LOPES

Monitores:ANDERSON DE FRANCA SILVA DANIEL LIMA DE LIMA GUSTAVO HUGO RAMOS TAVARES NILTON R. N. MELO RODRIGUE PEDRO LUIS IWASAKA NEDER PRICLES CLISIRON PONTES SYMAR SALGADO NETO PONTE

Colaboradores:Breno Cesar Csar Oliveira Imbiriba (docente NUMA) Miguel Imbiriba (docente ITEC/Diretor da FAESA) Vitor Faanha (docente-ICEN-Fac. Fsica) Laboratrio de Demonstraes (Projeto de Extenso Faculdade de Fsica) Gina Barbosa Calzavara (Comisso de Extenso do ITEC)

Contedo

1 - Conjuntos ...................................................... 2 1.1 CONCEITOS INICIAIS .............................. 2 1.2 REPRESENTAO DE UM CONJUNTO . 2 1.3 CONJUNTO VAZIO .................................. 2 1.4 CONJUNTO UNITRIO ............................ 2 1.5 CONJUNTO UNIVERSO........................... 2 1.6 IGUALDADE DE CONJUNTOS ................ 2 1.7 PAR ORDENADO ..................................... 3 1.8 SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ... 3 1.9 CONJUNTO DAS PARTES....................... 3 1.10 INTERSECO E UNIO ....................... 3 1.11 NMERO DE ELEMENTOS DE A B ... 3 1.12 CONJUNTOS NUMRICOS ................... 3 1.13 INTERVALOS ......................................... 4 1.14 POTENCIAO ...................................... 5 1.15 PRODUTOS NOTVEIS ......................... 5 1.16 RACIONALIZAO DE DENOMINADORES ........................................ 5 1.17 MDULO ................................................ 6 2- Sistemas de coordenadas .............................. 6 2.1 DEFINIO E CLASSIFICAO .............. 6 2.2. SISTEMA UNIDIMENSIONAL DE COORDENADAS OU SISTEMA LINEAR ....... 7 2.3 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES OU PLANO CARTESIANO................................................. 8 2.4 SISTEMA RETANGULAR TRIDIMENSIONAL ....................................... 10 2.5 CLCULO DE REAS ............................ 11 2.6 CLCULO DE VOLUMES ....................... 14 3 - Relaes e funes no plano Cartesiano .... 17 3.1 DEFINIO DE FUNO....................... 17 3.2. RELAO BINRIA .............................. 17 3.3 GRFICOS DE FUNES ELEMENTARES ........................................... 18 3.4 CLASSIFICAES DE FUNES ......... 26 4 - Funes Especiais ...................................... 27 4.1 PROPRIEDADES DE ADIO, MULTIPLICAO E POTENCIAO. .......... 27 4.2 POLINMIOS ......................................... 29 4.3 FUNES POLINOMIAIS ...................... 32 4.4 FUNO EXPONENCIAL....................... 35 4.5 FUNO LOGARTMICA ....................... 36 4.6 MDULO DE FUNES ........................ 37 4.7 MATRIZES .............................................. 39 4.8 Determinantes......................................... 41 4.9 SISTEMAS LINEARES ........................... 41 5 - Trigonometria .............................................. 44 5.1 NGULOS E ARCOS ............................. 44

5.2 RELAES NO TRINGULO RETNGULO ................................................ 46 5.3 RELAES TRIGONOMTRICAS E O CRCULO TRIGONOMTRICO .................... 47 5.4 RELAES TRIGONOMTRICAS INVERSAS E IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS ................................... 49 5.5 RELAES TRIGONOMTRICAS EM UM TRINGULO QUALQUER............................. 51 5.6 FUNES TRIGONOMTRICAS E SEUS GRFICOS ................................................... 52 5.7 FUNES TRIGONOMTRICAS INVERSAS .................................................... 55 5.8 O SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ..................................................... 55 6 - Nmeros complexos .................................... 57 6.1 INTRODUO: A HISTRIA DOS NMEROS COMPLEXOS............................. 57 6.2 DEFINIO ............................................. 57 6.3 OPERAES BSICAS ......................... 57 6.4 CONJUGADO DE UM NMERO COMPLEXO .................................................. 58 6.5 REPRESENTAO TRIGONOMTRICA DE UM NMERO COMPLEXO ..................... 58 6.6 REPRESENTAO EXPONENCIAL DE UM NMERO COMPLEXO ........................... 59 6.7 OPERAES ENVOLVENDO AS FORMAS TRIGONOMTRICA E EXPONENCIAL DO COMPLEXO.................. 59 6.8 POTENCIAO (LEI DE DE MOIVRE) E RADICIAO DE NMEROS COMPLEXOS 60 6.9 PROPRIEDADE CCLICA DAS POTENCIAS DE i .......................................... 60 7 - Vetores ........................................................ 62 7.1 INTRODUO ........................................ 62 7.2 REPRESENTAES .............................. 62 7.3 MDULO DE UM VETOR | | .................. 63 7.4 DECOMPOSIO DE VETORES ........... 63 7.5 ADIO DE VETORES ........................... 64 7.6 SUBTRAO DE VETORES .................. 64 7.7 PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR .......................................................... 64 7.8 PRODUTO ESCALAR DE VETORES ( ): ................................................................. 65 7.9 PRODUTO VETORIAL ............................ 65 7.10 VERSOR (VETOR UNITRIO): ............. 66 7.11 PRODUTO MISTO: ............................... 66

1

1 - ConjuntosTpicos principais Conceitos iniciais; Representao de um conjunto; Conjunto vazio, unitrio e universo; Igualdade de conjuntos; Par ordenado; Subconjuntos de um conjunto; Conjunto das partes; Interseco e unio; Nmero de elementos de a b; Conjuntos numricos; Intervalos; Potenciao; Produtos notveis; Racionalizao de denominadores; Mdulo; 1.1 CONCEITOS INICIAIS 1.1.1 Conjunto: A noo de conjunto relativa a agrupamentos, colees e/ou classes de elementos. 1.1.2 Elemento: Os objetos que constituem os conjuntos so chamados de elementos dos conjuntos. 1.1.3 Pertinncia: Se um elemento constituinte de um conjunto, isto significa que ele pertence ao (pertence). Se o referido elemento no pertence ao conjunto em questo, tal condio indicada por

Exemplos: Ex.1- A = {x | x mpar e 3 < x < 11} o conjunto {5,7,9}. (3 < x < 11 significa que x est compreendido entre 3 e 11; o sinal < l-se: menor). Ex.2- B = {x | x par e 0 < x < 8} o conjunto {2,4,6}. (0 < x < 8 significa que x est compreendido entre 0 e 8). 1.2.3 Por Diagrama: Para visualizao grfica dos conjuntos, usam-se os chamados diagramas de Venn. O diagrama de Venn do conjunto A = {1,2,3} est representado na Figura 1.1:

. . .1 2 3 AFig.1.1 - Digrama de Venn do conjunto A = {1,2,3}. 1.3 CONJUNTO VAZIO Chama-se conjunto vazio aquele que no possui elemento algum e indicado por ou { }. Exemplos: Ex.1- {x | x impar e mltiplo de 2 } = Ex.2- {x | x >0 e x < 0} = 1.4 CONJUNTO UNITRIO Chama-se conjunto unitrio aquele que possui um s elemento. Exemplos: Ex.1- Conjunto S das solues da equao 3 + 1 = 10 dado por S = {3}. Ex.2 - A = {5}. Ex.3 - B= {}. 1.5 CONJUNTO UNIVERSO Consiste de um conjunto que contm todas as entidades relativas a uma dada situao que se quer analisar. Exemplo: Ex.1-Em Teoria dos Nmeros, o universo de estudo (conjunto universo) constitudo por todos os nmeros; 1.6 IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos A e B so iguais quando tm os mesmos elementos e A B (leia: A est contido em B) e B A (leia: B est contido em A). Exemplos Ex.1- {b, c, d, e} = {e, b, d, c}. Ex.2- = .

(no pertence). Exemplo: Ex.1- Sendo P o conjunto dos nmeros pares, escreve-se: 2 P ( 2 pertence a P) e 3 P (3 no pertence a P). Embora os elementos de um conjunto possam ser quaisquer objetos (inclusive outros conjuntos), costume representar os conjuntos com letras maisculas e os elementos com as letras minsculas. Ressalta-se que a relao de pertinncia sempre entre elemento e conjunto. 1.2 REPRESENTAO DE UM CONJUNTO 1.2.1 Por Enumerao: Pode-se representar um conjunto enumerando-se os seus elementos. Exemplos: Ex.1- O conjunto dos nmeros pares positivos menores que 10 : {2,4,6,8}. Ex.2- O conjunto dos nmeros mpares positivos : {1, 3, 5, 7, 9,...}. 1.2.2 Por Propriedades: Quando todos os elementos de um conjunto A, e somente eles, satisfazem a uma certa propriedade, podemos descrever o conjunto A especificando essa propriedade. Para isso, usamos o smbolo | (l-se: tal que).

conjunto. Esta condio indicada pelo smbolo

2

{b, c}

= {a, b, c} = A Da definio de interseco de conjuntos, concluemse as seguintes propriedades, as quais so vlidas para quaisquer conjuntos A e B: Propriedade: qualquer conjunto contm o conjunto vazio. 1.10.2 Unio: Se A e B so dois conjuntos quaisquer, sua unio o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. Indica-se a unio dos conjuntos A e B por A B (l-se: A unio B). A B = {x | x A ou x B} Exemplos: Ex.1- {a, b} {c, d} = {a, b, c, d}. Ex.2- {a, b} {a, b, c, d} = {a, b, c, d}. Ex.3- {a, b, c} {c, d, e} = {a, b, c, d, e}. 1.11 NMERO DE ELEMENTOS DE A B Representamos por n(X) o nmero de elementos de um conjunto finito X qualquer; assim sendo n(A), n(B), n(A B) e n(A B) representam o nmero de elementos dos conjuntos A, B, A B, A B, respectivamente. Utilizando esta notao, podemos enunciar a seguinte propriedade, vlida para todo conjunto A e B: n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). Exemplo: Ex.1- A= {a, b, c} Ex.2- B= {b, c, d, e} Temos: A B= {a, b, c, d, e} A B= {b, c} E, portanto: n(A) + n(B) n(A B) = 3 + 4 2 = 5 = n(A B) 1.12 CONJUNTOS NUMRICOS Os nmeros so classificados da seguinte forma: 1.12.1Conjuntos dos nmeros naturais () O conjunto dos nmeros naturais representado pelo smbolo , esse conjunto formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3,...... . = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. As principais propriedades das operaes dos conjuntos naturais so: Associatividade da Adio para todos, a, b, c a + (b + c) = (a + b) + c Comutativa da Adio para todos a, b a+b=b+a Existncia de Elemento Neutro da Adio para todo a a+0=a Associativa da Multiplicao para todos, a, b, c

pela Figura 2. Se existir pelo menos um elemento de A que no pertence a B, ento A no subconjunto de B, fato

1.9 CONJUNTO DAS PARTES Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A aquele que formado por todos os subconjuntos de A, ou seja:

P (A) = [X1, X2, X3, X4,...na qual Xi so subconjuntos de Exemplos: Ex.1- Se

A = {a}, os elementos de P (A) so e

{a}, isto : P (A) = [, {a}]. Ex.2- Se A = {a, b}, os elementos de , {a}, {b} e {a, b}, isto :

P (A) = [, {a},},{b},{a,b}].1.10 INTERSECO E UNIO 1.10.1 Interseco: Se A e B so dois conjuntos quaisquer, sua interseco o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B.

Observao: Quando A B = , isto , quando os conjuntos A e B no tm elementos comuns, A e B so denominados conjuntos disjuntos, tal como ilustra a Figura 1.2.

A B

Fig.1.2 - Conjuntos disjuntos (A

A

B = {x | x

Aex

B}.

B = ).

Indica-se a interseco dos conjuntos A e B por A (l-se: A interseco B). Assim:

contido em B) ou por B

A (l-se: B no contem A).

este que se indica por A

por B

A (leia: B contm A). Este fato est ilustrado

esse fato por A

B (leia: A est contido em B) ou

B (l-se: A no est

| Xi A],

A.

P (A) so

B

A

A = A; A

= ; A

B=B

A.

Ex.2- Sendo A = {a, b, c} e B = {a, b, c, d} ento A

1.7 PAR ORDENADO Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x o 1 elemento (primeira coordenada) e y o 2 elemento (segunda coordenada). Exemplos: Ex.1- (2,3) Ex.2- (3,2) 1.8 SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO Se A e B so dois conjuntos, tais que todo elemento de A tambm elemento de B, dizemos que A subconjunto de B ou que A parte de B. Indicamos

Exemplos: Ex.1- Sendo C = {a, b, c} e D = {b, c, d}, ento C D= B

3

a (b c) = (a b) c Comutativa da Multiplicao para todos, a, b ab=ba Existncia de Elemento Neutro da Multiplicao para todo, a a 1 = a Distributiva para todos, a, b, c a (b + c) = a b + a c 1.12.2 Conjunto dos nmeros inteiros () Chama-se conjunto dos nmeros inteiros de smbolo ao seguinte conjunto: Nesse conjunto distinguimos trs subconjuntos notveis: Conjunto dos nmeros inteiros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ......} = Conjunto dos nmeros inteiros no positivos = {0, -1, -2, -3,......} Conjunto dos nmeros inteiros no nulos = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}. 1.12.3 Conjunto dos nmeros racionais () Chama-se de conjuntos dos nmeros racionais () ao conjunto das fraes , em que a e b , para

= 1.12.6 Conjunto dos nmeros complexos () 2 Seja a equao x +1 = 0. As raizes desta equao so x = 1. Porm, 1 no pertence ao conjunto = -1 e, portanto, dos reais. Desta forma, assume-se

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.

os quais adotamos as seguintes definies :

1 = Um nmero complexo um nmero z que pode ser escrito na forma z = x + iy, em que x e y so nmeros reais e i denota a unidade imaginria, x a parte real e y a parte imaginria de z. O conjunto dos nmeros complexos, denotado por , contm o conjunto dos nmeros reais. Exemplos: Ex.1z = 7,99 2,5 i Ex.2z=-i 1.13 INTERVALOS Dados dois intervalos reais a e b, com a < b, definimos: a) Intervalo aberto de extremos a e b o conjunto: ] a, b [ = {x R | a < x < b}

Igualdade

= a.d = b.cAdio + Multiplicao . No conjunto dos racionais destacamos subconjuntos: Conjuntos dos racionais negativos Conjuntos dos racionais positivos Conjuntos dos racionais no nulos Exemplos Ex.11,3 = Ex.20,243 = Ex.33,17 = Ex.4os. .

a

b

b) Intervalo fechado de extremos a e b o conjunto: ] a, b[ = {x R | a x b}

a

b

c) Intervalo semi aberto de extremos a e b so os conjuntos: ] a, b ] = {x R | a < x b}

a

b

[ a, b [ = {x R | a x < b}

a

b

d) Intervalo ilimitado de extremo a e b so os conjuntos: {x R | x a } = [a, +[

1.12.4 Nmeros Irracionais ( ). So todos os nmeros que no so racionais Ex: 2, 3, 1.12.5 Conjunto dos nmeros reais () Chama-se conjunto dos nmeros reais () ao conjunto formado por todos os nmeros racionais e irracionais

a{x R | x > a} =]a, +[

a{x R | x a} = ]- , a]

a

4

{x R | x a} = ]- , a]

a1.14 POTENCIAO 1.14.1 Potncia de expoente natural: Dados um nmero real a e um nmero natural n > 1, chama-se potncia ensima de a, denotada por , o produto

e) Potncia de um quociente: Distribui-se o expoente para o dividendo e o divisor e dividem-se as potncias assim obtidas. ( ) =

f)

Potncia de base fracionria e expoente negativo: inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente. ( ) =

= . . .

Na potncia , o nmero real a chama-se base e o nmero natural n chamado expoente. H dois casos particulares que foram excludos da definio anterior: os casos de expoente n=1 e expoente n=0. Por definio, tem-se = = 1. Exemplos: Ex.13 = 3 .3 = 9 Ex.2123 = 123 Ex.38 = 1 1.14.2 Potncia de expoente negativo: toda potncia que possui expoente negativo. Por definio: 1 = , 0 Exemplos: Ex.12 = 1 2

Ex.2-

1.14.3 Propriedades operatrias das potncias: Para operar com potncias, muito importante conhecer uma srie de propriedades. O domnio dessas propriedades fundamental, principalmente em termos de rapidez de operao. Por definio: a) Produto de potncias de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. . = b) Diviso de potncia de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. =

(2)

=

Exemplos: Ex.15 3+5 8 2 . 2 = 2 = 2 Ex.25 52 3 3 / 3 = 3 =3 Ex.32.3 6 =5 (5) = 5 Ex.44 4 4 ( 3 . 5) = 3 . 5 Ex.54 4 4 ( 3/5 ) = 3 / 5 Ex.6-4 4 4 4 ( 3 / 5) = ( 5 / 3) = 5 / 3 1.15 PRODUTOS NOTVEIS 1.15.1 Quadrado da soma: O quadrado da soma de dois termos igual soma de trs parcelas. O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo; isto : ( + ) = + 2 + 1.15.2 Quadrado da diferena: O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo; isto : 1.15.3 Produto da soma pela diferena: O produto da soma de dois termos pela diferena dos mesmo dois termos igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo: ( ). ( + ) = 1.16 RACIONALIZAO DE DENOMINADORES Quando se escreve uma frao, costuma-se fazer com que seu denominador seja, sempre que possvel, um nmero racional. Existem, portanto, tcnicas para transformar fraes de denominador irracional (como, por exemplo, equivalentes, onde o denominador seja um nmero racional. Essa transformao chama-se racionalizao de denominadores. Exemplos: Ex.11 3 3 = = 3 3 . 3 3 Ex.2

( ) =

2

+

,

,

etc) em outras fraes

c) Potncia de potncia: Conserva-se a base e multiplica- se os expoentes. ( ) = . d) Potncia de um produto: Distribui-se o expoente para os fatores e multiplicam-se as potncias assim obtidas. . ( . ) =

5

5. 2 Ex.39 =

3

=

5. 2 . 2 =

3 . 2

=

3. 2 10 = 9. 8 2 = 5 3 (5 3)

4 Ex.41 =

2 . 2

9. 2

9. 8 2

2.1 DEFINIO E CLASSIFICAO So referenciais pelos quais se estabelece uma correspondncia recproca entre pontos e nmeros reais (). So usados para investigao analtica de propriedades geomtricas, como, por exemplo, a determinao da equao de uma curva geomtrica, bem como para a localizao de objetos a partir de suas coordenadas.

(5 + 3) . (5 3) 5 3 = 2 1.17 MDULO Sendo x , define-se mdulo ou valor absoluto de x, que se indica por | x |, por meio da relao: |x|=x se x 0 | x | = -x se x < 0 Isso significa que: 1. O mdulo de um nmero real no negativo igual ao prprio nmero; 2. O mdulo de um nmero real negativo igual ao oposto desse nmero; Propriedades: A partir da definio possvel verificar as seguintes propriedades: | x | 0, x |x|=0 x=0 | x | . | y | = | xy |, x, y | x | = x, x x | x |, x | x + y | | x | + | y |, x, y | x - y | | x | - | y |, x, y |x|aea>0 -a x a |x|aea>0 x -a ou x a Exemplos: Ex.1| +2 | = +2 Ex.2| -7 | = +7 Ex.3|0|=0 Ex.4|- |=+

(5 + 3 )

1 . (5 3)

Figura 2.1: Sistemas de coordenadas e algumas aplicaes. Coordenadas so medidas (tais como distncias e ngulos) associadas a um referencial qualquer a partir das quais podemos indicar a posio de um objeto. Os mais comuns sistemas de coordenadas podem ser classificados em: 1 Unidimensional: Eixo ou reta real Retangular ou cartesiano Bidimensional: Polar Retangular ou cartesiano Tridimensional: Cilndrico Esfrico Graficamente, podem-se representar sistemas de 3 coordenadas de at trs dimenses ( ). No entanto, matematicamente pode-se operar com sistemas de dimenses ( ). A notao representa o conjunto dos nmeros reais, e representa o nmero de dimenses ou o nmero mnimo de variveis necessrias descrio analtica de um conjunto. A figura 2.2 apresenta alguns sistemas de coordenadas.Unidimensional

y yo

Bidimensional

z zo

Tridimensional

P

0 O

xo P x O xo x x xo O

P yo y

2- Sistemas de coordenadasTpicos principais Definio e classificao; Sistema unidimensional; Sistema bidimensional; Sistema tridimensional; Clculo de reas; Clculo de volumes.

Figura 2.2: Sistemas de coordenadas. Pela figura 2.2, pode-se observar que no sistema 1 unidimensional ( ) a localizao do ponto P depende apenas da coordenada xo, enquanto que nos sistemas bidimensional e tridimensional, a localizao do ponto P depende das coordenadas ( , ) e ( , , ) respectivamente.

6

Para o caso de um sistema de dimenses, o ponto P est associado a uma -upla ordenada ( , , , , ). Apesar de se classificarem de formas diferentes, sistemas de coordenadas com mesmo nmero de dimenses se diferem apenas pela abordagem matemtica. A figura 2.3 mostra a localizao de um 2 ponto no utilizando um sistema de coordenadas retangulares e um sistema de coordenadas polares.y

Neste sistema, um objeto pode mover-se livremente sobre a reta dos nmeros reais, tal como ilustrado pela figura 2.6.

x

x

x

Figura 2.6 Objeto movendo-se em um sistema unidimensional de coordenadas. A figura 2.7 representa de forma bastante simplificada um pisto num cilindro de um motor de combusto interna.

Figura 2.3: Relao entre coordenadas polares e retangulares. Pela figura 2.3 pode-se observar que pode ser localizado tanto por meio de um sistema de coordenadas retangulares ( , ) formando um retngulo com os eixos ordenados ou por meio de um sistema de coordenadas polares onde o ponto localizado por arcos de raio e abertura . 2.2. SISTEMA UNIDIMENSIONAL DE COORDENADAS OU SISTEMA LINEAR O sistema linear de coordenadas uma representao grfica dos nmeros reais como pontos de uma reta denominada reta numrica ou eixo real.

x P(x)P

xReferencial (origem)

Referencial (origem)

0 O

1 A

xo P x

Figura 2.4: Sistema de coordenadas unidimensional. O ponto O tem coordenada 0 (zero) e denominado origem do sistema linear. O ponto correspondente unidade de comprimento, tem coordenada 1. O ponto tem coordenada e sua distncia ao referencial O (origem) o mdulo de vezes o comprimento adotado como unidade de medida na escala do eixo ou reta numrica. A orientao e sentido da reta numrica descrevem a disposio dos nmeros reais de forma crescente de acordo com a orientao convencionada:+2 +1 -2 -1 -2 -1

O

+1 +2

+2 +1

O O-1 -2 -1 -2

O+1 +2

Figura 2.5: Orientao e disposio numrica no sistema unidimensional.

Figura 2.7: Pisto deslocando-se paralelo ao eixo . Matematicamente, podemos escrever a posio (ponto) do pisto com a medida como ( ). A medida dita coordenada do ponto em relao ao referencial (origem). Nessa correspondncia entre o ponto P e o nmero real x, dizemos que: tem coordenada e representado matematicamente por ( ). P a representao geomtrica, grfica ou analtica do nmero real ; H correspondncia biunvoca entre ponto e nmero real, ou seja, cada nmero real corresponde a um nico ponto sobre o eixo x e cada ponto sobre este eixo corresponde a um nico nmero real. 2.2.1 Comprimento de segmento retilneo orientado Num sistema linear de coordenadas, o comprimento do segmento retilneo orientado , denotado por ( ), determinado por dois pontos dados ( ) e ( ) obtido tanto em grandeza (mdulo) como em sinal, subtraindo-se a coordenada da extremidade da coordenada do ponto inicial . Assim: ( )= (2.1) 2.2.2 Distncia entre dois pontos no sistema linear A distncia entre dois pontos ( ) e ( ) definida como o valor absoluto do comprimento do segmento retilneo

7

)| = | | =| ( (2.2) Exerccio: A figura abaixo representa um sistema linear onde esto destacados alguns pontos. Determine:

y yo P

y Py P(x,y)

Origem A B C D E F G xO xo (I) x O Px (II) xno .

Figura 2.10: Representao do ponto

= projeo ortogonal do ponto = projeo ortogonal do pontoFigura 2.8: sistema unidimensional. Onde uc unidade de comprimento. a) Os pontos A, B, C, D, E, F e G. 17 8 , C(2), D , E(4), F(5) e G(7). R = A(4), B 5 3 b) A distncia entre os pontos: F e E, A e G, B e D. R

no eixo . no eixo .

O ponto O de interseco entre os eixos coordenados denominado origem do sistema. O eixo (eixo ) denominado eixo das abscissas e (eixo ) o eixo das ordenadas. A o eixo orientao positiva dos eixos, assim como no sistema unidimensional depende da conveno adotada. Cada ponto pode ser inequivocamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado ( , ), onde a abscissa de e a sua ordenada. O mdulo da abscissa ( na Fig.2.10) representa a menor distncia que P est do eixo e o mdulo da ordenada ( na Fig.2.10) representa a menor distncia que est do eixo . Para cada ponto distinto no plano cartesiano h um e apenas um par de coordenadas ( , ). Inversamente, qualquer par de coordenadas ( , ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares h uma correspondncia biunvoca entre ponto e par ordenado de nmeros reais. Neste sistema, um objeto pode se mover livremente ao longo de um plano (ou espao bidimensional):y

=| ( =| ( 11 uc

)| = | )| = |

| = |4 5| = 1 uc | = |7 (4)| = |=

2.2.3 Ponto de acumulao e vizinhana na reta real Um nmero chama-se ponto de acumulao do conjunto quando todo intervalo aberto ( , + ), de centro , contm algum ponto diferente de , onde > 0 o raio do intervalo. Simbolicamente pode se expressar por: > 0, / 0 < | | < . Se ponto de acumulao direita do conjunto , ento todo intervalo [ , + ), com > 0, contm algum ponto de diferente de . Analogamente, se ponto de acumulao esquerda do conjunto , ento todo intervalo ( , ], com > 0, contm algum ponto de diferente de :

175=5.8+3.1715=9115 uc

=| (

)| = |

XFigura 2.9: Ponto de acumulao no 2.3 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES OU PLANO CARTESIANO Este sistema formado por dois eixos reais ortogonais entre si. Sua representao grfica um plano denominado plano cartesiano.

Origem ( O )

x

a-

a

a+

Figura 2.11: Objeto se movendo num sistema bidimensional. Os eixos coordenados e dividem o plano em quatro quadrantes, numerados em I, II, III e IV conforme a figura 2.12. De acordo com o quadrante o sinal das coordenadas ( , ) diferente. Como em Matemtica, e so grandezas quaisquer, usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala denominada escala identidade.

8

yy II(-,+) I(+,+)

x III(-,-) IV(+,-)

x

Figura 2.12: Quadrantes no sistema bidimensional. Exerccio: Observando a pea plana abaixo, utilize um sistema de coordenadas cartesianas para determinar as coordenadas dos pontos A, B, C, G, I e M , considerando: a) a origem no ponto A; b) a origem no centro da pea .

Figura 2.14: Par ordenado no plano cartesiano. Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos e , no vazios, denomina-se produto cartesiano de por o conjunto indicado por , formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto e o segundo elemento pertence ao conjunto : = {( , )/ } Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos do conjunto pela quantidade de elementos do conjunto . Exemplo: Dados os conjuntos = {5,6} e = {2,3,4}, determinar o produto cartesiano : - Forma tabular: = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} - Forma grfica: 5

:

Figura 2.13: Pea plana. a) A(0,0); B(0,20); C(20,40); G(80,60); I(120,20); M(60,10). b) A(-60,-40); B(-60,-20); I(60,-20); M(0,-30) C(-40,0); G(20,20);

y (elementos de B)

4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7

x (elementos de A)Figura 2.15: Representao grfica do produto cartesiano . 2.3.2 Distncia entre dois pontos no plano cartesiano A distncia entre dois pontos ( , ) e ( , ) localizados num plano cartesiano obtida a partir da seguinte anlise:

2.3.1 Produto Cartesiano Par ordenado: so dois elementos em uma ordem fixa, (x, y). Exemplo: localizar o ponto (4,3) no plano cartesiano:

R:

9

P1 x1

y1 x2 P2

M

y2

Figura 2.18: Vizinhana de (1,2) com raio = 2.

= ( ) +( ) (2.3) 2.3.3 Bola aberta ou vizinhana no plano cartesiano: ( , ) e > 0 um nmero real. Sejam Chama-se bola aberta ou vizinhana ( , ), de centro em e raio , o conjunto de todos os pontos ( , ) cuja distncia at menor que , isto , so todos os pontos ( , ) que satisfazem | | < . Em smbolos: ( , ) = {( , ) / |( , ) ( , )| < }

Figura 2.16: Distncia entre P1 e P2. tem-se: Na figura 16 para o tringulo | ( )| = | | e | ( )| = | | . Pelo teorema de Pitgoras, vem: | ( )| = | ( )| + | ( )| | ( )| = | | + | | Sabendo-se que | | = e fazendo =| ( tem-se:

)|,

2.3.4 Ponto de acumulao no plano cartesiano: , com no Seja . Um ponto necessariamente pertencente a , dito um ponto de acumulao de se toda bola aberta de centro em contiver pelo menos um ponto , com . Dizer que ( , ) ponto de acumulao de significa dizer que existem pontos de , distintos de ( , ), to prximos de ( , ) quanto se queira.

Exerccio: Verificar se os pontos (-2, -2), (1, 2) e (3, 1) so pontos de acumulao do conjunto = {( , ) / = }. R:

( , ) = {( , ) / (

) +(

) < } (2.3)

Geometricamente, ( , ) no plano o conjunto de todos os pontos internos circunferncia de centro em ( , ) e raio .

Figura 2.19: Pontos de acumulao de . (-2, -2): ponto de acumulao de X. (1, 2): ponto de acumulao de X. (3, 1): no ponto de acumulao de X.

y Po xo

yo

x

2.4 SISTEMA RETANGULAR TRIDIMENSIONAL Este sistema formado por trs eixos reais perpendiculares dois a dois, denotados por , e , que se interceptam em uma origem (ponto O), conforme a figura 2.20.

Figura 2.17: Vizinhana de Po no plano cartesiano. Exemplo: Determinar a vizinhana do ponto (1,2) de raio 2: : ( , ) = {( , ) / |( , ) (1,2)| < 2} Graficamente:

10

z (eixo das cotas)

Exerccio: Observe a figura abaixo e determine as coordenadas dos pontos , , , , , .z

O (origem) y (eixo das ordenadas)x y

x (eixo das abscissas)Figura 2.20: Sistema de coordenadas tridimensional. Os trs planos do : , , geram oitos regies (subespaos) chamadas de octantes:

z

Figura 2.23: Pontos localizados no espao tridimensional. : A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2.4.1 Distncia entre dois pontos no sistema tridimensional A distncia entre dois pontos ( , , ) e ( , , ) localizados num sistema tridimensional pode ser obtida por analogia frmula da distncia entre dois pontos no plano cartesiano adicionando-se como parcela no interior da raiz a distncia com relao coordenada z. Portanto: = ( ) +( ) +( ) (2.4)

Deduza a expresso acima com base na figura 2.24:

x

y

Figura 2.21: Octantes no sistema tridimensional. Os valores reais contidos nos trs eixos esto ordenados de forma crescente conforme indicao das setas dos respectivos eixos. No espao tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de nmeros reais ( , , ) associamos um nico ponto e vice-versa; assim:

z zo

TridimensionalFigura 2.24: Anlise da distncia entre A e B no sistema tridimensional. 2.5 CLCULO DE REAS rea: a medida da superfcie de uma figura. - Retngulo: linha poligonal fechada que apresenta quatro lados e quatro ngulos iguais a 90. No clculo da rea de qualquer retngulo pode-se seguir o raciocnio abaixo: Insere-se um retngulo em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem lado igual a 1 u.c (unidade de comprimento).

P (xo, yo, zo) x x xo O yo y

Figura 2.22: Ponto P no sistema tridimensional. O mdulo de indica a distncia que est do plano coordenado . O mdulo de indica a distncia de ao plano coordenado e o mdulo de representa a distncia de ao plano .

11

l lFigura 2.27: Quadrado de lado . Permetro: contorno de uma figura limitada por segmentos de curvas. O permetro de um retngulo de base e altura dado por: ( = 2( + ) (2.6)

1 u.c 1 u.cFigura 2.25: Malha quadriculada.Verifica-se na figura 25 que h 24 quadrados de lado se igual a 1u.c. na malha e, portanto, pode e-se dizer que esse valor a rea do retngulo. Obs: verifica-se que o nmero total de quadrados se unitrios contidos no retngulo pode ser calculado somando-se todos os quadrados contidos em cada se linha da malha, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 da multiplicao tem- 6 x 4 = 24 -se ou somando-se todos os quadrados contidos em cada se coluna da malha, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 da multiplicao tem tem-se 4 x 6 = 24. Agora adota-se um retngulo com as mesmas se dimenses que o retngulo da figura 25, s que representado de forma diferente.

v

- Tringulo: linha poligo fechada que apresenta poligonal trs lados e trs ngulos internos cuja soma igual a 180. Para se analisar a rea de um tringulo pode o pode-se seguinte raciocnio com base na figura 2.20:

Figura 2.26: Retngulo. A rea dos dois retngulos deve ser igual, uma vez que ambos apresentam as mesmas dimenses. Nota Notase que tal condio satisfeita obtendo obtendo-se o produto das dimenses do retngulo da figura 2.18. A = 6 u.c 4 u.c 2 A = 24 (u.c) = 24 u.a (unidade de rea) Obs: no clculo de reas a unidade dimensional a u.a.(unidade de rea) que obtida atravs do produto de duas u.c.(unidade de comprimento). Portanto uma unidade de rea est relacionada a uma unidade de comprimento ao quadrado. Conclui-se que a rea de qualquer retngulo, se admitindo-se que este possui uma base e uma altura se dada por: = (Comprimento da base) (Comprimento da altura) (2.5) Para o quadrado que um retngulo de lados iguais a , a rea dada por: = .

Figura 2.28: Anlise da rea do tringulo. ( I ) Adota-se um retngulo de base a e altura h; se ( II ) Traa-se uma diagonal ligando dois vrtices do se retngulo. ( III ) Separa-se uma das regies limitada pela se diagonal no interior do retngulo. Teoricamente, a diagonal traada divide o retngulo em duas regies de mesma rea. Portanto, a rea do tringulo dada por: . . = = = (2.7) 2 2 2 Uma outra forma de se calcular a rea de um tringulo pelo Radical de Heron. Para isso necessrio se conhecer os lados do tringulo. r

a c

b

Figura 2.29: Tringulo de lados conhecidos a, b e c. A rea do tringulo pela Frmula de Heron dada por: + + ( )( )( ) = = 2 (2.8) Exerccio: Deduzir a rea para um tringulo eqiltero de lado (u.c.) e altura (u.c.), sabendo que um

12

tringulo eqiltero um tringulo que possui todos os lados iguais.

( II ) e ( III ) As dimenses so conhecidas, portanto so conhecidas tambm a rea do retngulo e do tringulo que somadas daro o valor da rea do trapzio. Portanto a rea do trapzio :

l

h

l

=

l

l/2

Figura 2.30: Tringulo eqiltero de lado . Pode-se determinar a altura pelo teorema de elo Pitgoras: = + 2 = 3 = 4 4 =

Exerccio: proponha uma frmula para o permetro do trapzio representado na figura 2.31. 3 4 - Paralelogramo: linha poligonal fechada com quatro lados, onde os lados opostos so paralelos.

2 (2 + ) + = = 2 2 ( + + ) ( + ) = = u. a. (2.10) 2 2 2

+

=

+

3 u. c. 2 A rea dada pelo produto da base pela altura: . . 3 = = u. a. . 2 2 4 Pelo Radical de Heron: + + 3 = = 2 2 =

=

=

( )( )( ) = = 3 3 2 2

3 ( ) 2 = 3 2 2

3 u. a. 4 O permetro de um tringulo de lados a b e c dado a, por: = + + (2.9) - Trapzio: linha poligonal fechada com quatro lados, sendo dois paralelos. Para se deduzir a frmula da rea de um trapzio pode-se seguir o seguinte raciocnio: =h H a b (I) b ( II ) a b ( III ) h

=

3

2

= 3

2

= 3

2

= 3

2

Figura 2.32: Paralelogramo e retngulo de base e altura . De acordo com a figura 32 o paralelogramo de base b e altura h equivalente a um retngulo de mesma dimenso. Portanto sua rea dada por: = . u. a. (2.11) - Hexgono regular: linha poligonal fechada com seis lados iguais. A rea da regio limitada por um hexgono regular o sxtuplo da rea de um tringulo eqiltero, ou seja, um hexgono regular formado por 6 tringulos eqilteros.

Figura 2.33: Hexgono regular. 3 3 3 =6 =6 = u. a. (2.12) 4 2 Exerccio: Determine o permetro do hexgono da figura 2.33. - Crculo: regio no plano limitada por uma circunferncia.

Figura 2.31: Anlise da rea do trapzio. ( I ) Admitir um trapzio constitudo por um retngulo e um tringulo;

13

r

Figura 2.34: Crculo. Dada uma circunferncia de raio r, a rea limitada pela , circunferncia dada por: Dimetro ( ): dobro do raio. = =

(2.13) 4 O permetro de uma circunferncia dado por: =2 (2.14) - Coroas circulares: uma regio limitada por dois crculos concntricos. Se denotarmos po por o raio da circunferncia externa e por o raio da circunferncia interna. A rea da coroa dada pela diferena entre a rea do crculo externo e a rea do crculo interno:

Figura 2.37: elementos de um prisma. O volume de um prisma pode ser calculado seguindo o raciocnio abaixo:

Figura 2.35: Coroa circular. = ( ) 2.6 CLCULO DE VOLUMES

(2.15)

Volume: o espao ocupado por um corpo. - Prisma: um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos.

Triangular

Pentagonal

Quadrangular

Figura 2.38: Prisma. O prisma da figura 38 possui dimenses 422 e est sendo representado por cubos unitrios dispostos lado a lado. O volume total do prisma igual ao volume de ume todos os cubos unitrios contidos no prisma. Logo, o volume do prisma igual a 16 cubos. Observa-se, que a rea da base do prisma igual a 8 se, u.a., e que a altura igual a 2 u.c., portanto o volume do prisma obtido efetuando ido efetuando-se o produto da rea da base pela altura. = (2.16) O produto da dimenso de rea pela dimenso de comprimento origina a dimenso de volume (u.v.). A rea lateral calculada atravs da soma da rea de cada figura que forma o slido geomtrico. -Paraleleppedo: prisma cujas faces so paralelogramos.

Quadrangular

HexagonalFigura 2.39: Paraleleppedo de dimenses a, b e c. O volume calculado por: ) = =( u. v. (2.17) - Cilindro: Um cilindro o objeto tridimensional gerado pela superfcie de revoluo de um retngulo em torno de um de seus lados.

Figura 2.36: Prismas com base diferentes.

O prisma apresenta os seguintes element elementos:

14

e

Rr

h R (I) ( II )

h

= ( ). A rea lateral do cilindro dada por:

Figura 2.40: Cilindro. Para o caso ( I ) em que tem-se um cilindro cheio, seu volume dado por: = . u. v. (2.18) Para o caso ( II ) em que tem-se um cilindro oco, o volume dado por:

(2.19)

Figura 2.41: Cilindro planificado. =2 . +2 u. a. (2.20) - Esfera: um slido limitado por uma superfcie curva de revoluo que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfcie esfrica resultado da revoluo de uma semicircunferncia em torno do dimetro.

C

R

Figura 2.42: Esfera de raio R e centro C. O volume da esfera calculado por: 4 = (2.21) 3 A rea lateral da esfera pode ser calculada atravs da frmula: =4 (2.22) EXERCCIOS PROPOSTOS

- Determinar o valor de m sabendo que o ponto P(2m8, m) pertence ao eixo dos y. - Determinar a distncia entre os pontos abaixo: a) A (-1, 2) ao ponto B (2, 6); b) A (a, a) ao ponto B (6a, 13a); - Determinar o valor de y, para o qual a distncia do ponto A ( 1, 0 ) ao ponto B ( 5, y ) seja 5. - Determinar os pontos pertencentes ao eixo das abcissas que distam 13 unidades do ponto A (-2, 5). - Qual a ordenada do ponto no eixo das ordenadas eqidistante dos pontos A(1, 2) e B (-2, 3) ? Equidistante: que dista igualmente. - Qual a distncia entre os pontos P(0,-1,0) e Q(1,1,0)? - Qual o permetro e a rea do tringulo ABC dados A ( -1, 1 ), B ( 4, 13 ) e C ( -1, 13 )? - Qual ponto do eixo Ox eqidistante dos pontos (0, 1) e (4, 3)? - Sendo A (3, 1) B (4, -4) e C (-2, 2) vrtices de um tringulo, calcule o permetro, a rea e classifique esse tringulo quanto ao tipo de lado (lados iguais: eqiltero, dois lados iguais: issceles, e lados diferentes: escaleno). - A medida da base de um tringulo de 7 cm, visto que a medida da sua altura de 3,5 cm, qual a rea deste tringulo? - Os lados de um tringulo equiltero medem 5 mm. Qual a rea deste tringulo equiltero? - A medida da base de um paralelogramo de 5,2 dm, sendo que a medida da altura de 1,5 dm. Qual a rea deste polgono? - Qual a medida da rea de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base so respectivamente 10 cm e 2 dm? Dado: 1dm = 10cm. - A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfcie desta tampa? - A medida do lado de um quadrado de 20 cm. Qual a sua rea? 2 - A rea de um quadrado igual a 196 cm . Qual a medida do lado deste quadrado? - Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual a rea deste terreno? - A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimenses 30 cm por 15 cm. Qual a rea desta tampa? - A lente de uma lupa tem 10 cm de dimetro. Qual a rea da lente desta lupa? - Um crculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milmetros quadrados ele possui de superfcie? - Qual a rea de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm? - Qual a superfcie de uma coroa circular com r = 17 e R = 34? 2 - Uma pizza circular tem rea de 706,86cm . Qual a rea interna da menor caixa quadrada para transportla?

15

- Se dobrarmos as medidas da base e da altura de um retngulo, em quanto estaremos aumentando a sua rea? - Abaixo esto representadas, na malha quadrangular, as figuras A, B, C e D:

caixa, sero colocados dados, tambm na forma cbica, de 1,2 cm de aresta. A quantidade mxima de dados que podem ser colocados dentro dessa caixa : a) 10.000 b) 1.000 c) 100 d) 10 - Na figura, as duas circunferncias so tangentes, o centro da circunferncia maior um ponto da circunferncia menor e o dimetro da circunferncia maior mede 4cm.

A rea da regio hachurada igual a: 2 2 2 2 2 2 A) cm B) 2 cm C) 2 cm D) cm - Gilberto agricultor e deseja aumentar a rea de sua roa, que tem a forma de um quadrado, em 69%. Se a roa, depois de ampliada, continua tendo a forma de um quadrado, ento a medida do lado do quadrado da roa inicial deve ser aumentada em: A) 18% B) 22% C) 26% D) 30% - Observe o grfico abaixo. Considerando que o eixo X corresponde Linha do Equador e o eixo Y corresponde ao Meridiano de Greenwich, responda as duas questes a seguir:

Sobre essas figuras correto afirmar: a) Os permetros das figuras A e B so iguais. b) Os permetros das figuras A e D so iguais. c) Os permetros das figuras A e C so iguais. d) As reas das figuras A e B no so iguais. e) A rea da figura D o dobro da figura C. - Uma sala retangular tem 3,6 m de comprimento e 4,5 m de largura. Quantas cermicas quadradas de 30 cm de lado so necessrias para revestir o cho dessa sala? a) 120 b) 150 c) 162 d) 180 e) 200

- A figura abaixo mostra a parede de uma sala do almoxarifado de um colgio. Neste desenho, esto destacadas a porta e a janela. O diretor do colgio vai mandar pintar a parede, porm a porta e a janela no sero pintadas. Qual a rea, em metros quadrados, da parede que vai ser pintada?

a) 16,8 b) 16,7 c) 16,6 d) 16,5 e) 16,4 - Ao se fabricar uma caixa, sem tampa, na forma cbica, foram gastos 720 cm2 de papelo. Nessa

Identifique as coordenadas geogrficas correspondentes, respectivamente, aos pontos B e A: a) 30 de Lat. Sul e 45 de Long. Leste; 90 de Lat. Sul e 60 de Long. Leste b) 45 de Lat. Norte e 30 de Long. Oeste; 90 de Lat. Sul e 60 de Long. Leste c) 30 de Lat Norte e 45 de Long. Oeste; 60 de Lat. Sul e 90 de Long. Leste d) 30 de Lat. Sul e 45 de Long. Leste; 60 de Lat. Norte e 90 de Long. Leste

16

- Dados os conjuntos A = {1, 3} e B = {2, 4, 5}, determine os seguintes produtos cartesianos: 2 2 a) A X B b) B X A c) A = A X A d) B 3 - Relaes e funes no plano Cartesiano Tpicos principais Definio de funo Relao binria Grficos de funes elementares Classificaes de funes Operaes com funes 3.1 DEFINIO DE FUNO. Define-se funo como sendo a relao entre conjuntos, a qual estabelecida como uma lei de formao que tem por finalidade estabelecer uma relao matemtica entre os elementos de um grupo com os elementos do outro grupo. Por exemplo, considere o conjunto X formado pelos seguintes elementos (1,2,3,4,5), os quais vo possuir uma relao com o conjunto Y pela lei de formao y=2x-3, onde x e y so elementos de X e Y respectivamente. Essa relao est demonstrada na Fig. 3.1. X 1 2 3 4 5 Lei de Formao y = 2.1-3 y = 2.2-3 y = 2.3-3 y = 2.4-3 y = 2.5-3 Y -1 1 3 5 7

Fig. 3.2b Fig. 3.2 Representaes da funo y = 2x-1 (a) Diagrama de flechas (b) Grfico no plano Cartesiano. 3.2. RELAO BINRIA Considere dois conjuntos X e Y. Uma funo f: XY relaciona cada elemento x pertencente ao conjunto X a um nico elemento y = f(x) em Y, ou seja, existe uma relao binria entre os dois conjuntos. O conjunto X chamado Domnio ( (D), o qual contm todos os elementos x para os quais a f funo deve ser definida, e o conjunto Y o Contradomnio ( (CD), que contm todos os elementos y que podem ser relacionados com os elementos do domnio. Dentro do contradomnio, define-se o conjunto Imagem ( se (Im) como sendo o conjunto de valores que efetivame efetivamente y=f(x) assume (o conjunto imagem , portanto, sempre um subconjunto do contradomnio). Por exemplo, vamos determinar o domnio, o contradomnio e a imagem da funo da Fig. 3.3:

Fig. 3.1 Relaes entre os conjuntos X e Y para a lei de formao y = 2x-3. Aplicada a lei de formao, tm-se agora os pares se ordenados {(1;-1),(2;1),(3;3), (4;5),(5;7)} que podem 1),(2;1),(3;3), ser representados pelo diagrama de flechas da Fig. 3.2a e pelo grfico da Fig. 3.2b.

Fig. 3.3 Domnio, Contradomnio e Imagem da Funo y = f(x) = . Pela definio apresentada, o Domnio da funo o conjunto X, o Contradomnio o conjunto Y e a , Imagem est representada pelos valores em destaque na figura. Matematicamente, Dom = {2;5;9}; Contra dom = {1;2,5;4,5;6;8) ; Im = {1;2,5;4,5}. Vamos ver alguns exemplos: 1) f(x) = 2 4 Como 2 4 s possvel em IR se 2 seja, x 2, ento: D = {x IR / x 2} 2) f(x) = 4 0, ou

Fig. 3.2a

17

Como o termo x + 1 o denominador da funo, ele no pode ser nulo (pois no existe diviso por zero). Portanto x + 1 0, ou seja, x -1. D = {x IR / x -1} Exemplo 1: Calcule o domnio da funo f(x) =

.

Soluo: Observando o denominador da funo f(x), percebe-se que x pode assumir qualquer valor real, excluindo -4. Isso porque caso x = -4, o resultado 4. uma diviso por zero. Assim, o domnio pode ser definido como: D = {x R / x -4} A funo inversa dada por: f(x) = y = f (x) =-1

Soluo: Portanto x 2 Como visto anteriormente: 2 0. Po 0, ou seja, x 2 (condio 1). Alm disso, 3 0, ou seja, x 3. Mas como ele est no denominador, ele no pode ser igual a zero, portanto, x < 3 (condio 2). Resolvendo o sistema formado pelas condies 1 e 2 temos:

x= 4

y+4 =

y=

4

Exerccio Proposto 2: Calcule a funo inversa de f(x) = 50 , . Resposta: f (x) = 10ln(x) - ln 50 ) 3.2.2 Funo Real de Varivel Real Sejam X e Y dois conjuntos no vazios de nmeros reais, uma funo f: XY denominada funo real de varivel real ou funo de uma varivel real a valores reais. Considere as trs funes seguintes da Fig. 3.4 e vamos analisar alguns tipos de relaes que no so consideradas funes.X 1 Y a b c d e-1

Fig. 3.4 Domnio da funo f(x) =

2 3

Portanto, D = {x IR / 2 x < 3}. 3.2.1 Funo Inversa A funo inversa de uma funo f: XY a funo f Y 1 : YX. Ou seja, o que era domnio na funo original . vira imagem na funo inversa, e o que era imagem na funo original vira domnio na funo inversa. Por exemplo, calculemos a inversa da funo: (I) f(x) = x+1 (II) y = x+1 (III) x = y+1 (IV) y = x-1 -1 (V) f (x) = x-1 fcil observar em (III) a mudana das variveis: o il que era x virou y, e vice-versa. Aps fazer essa versa. substituio, s isolar a varivel y para encontrar a funo inversa. Exemplo 2: Dada a funo f(x) = 4x - 2, determine . Soluo: f(0) = 4.0-2 = -2 4.1-2 = 2 = = f(2) = 4.2-2 = 14 2 = -8 . .

(a) Esta no uma funo, pois o elemento 3, pertencente a X, est associado a dois elementos de YX 1 2 3 Y a b c d e

(b) Esta no uma funo, pois o elemento 1, pertencente a X, no est associado a elemento algum de YX 1 2 3 Y a b c d e

f(1) =

(c) Esta uma funo. Discuta com seus colegas o porqu! Fig. 3.4 Anlise de relaes 3.3 GRFICOS DE FUNES ELEMENTARES 3.3.1 Funes Algbricas: 3.3.1a - Funes do 1 Grau Definio: Uma funo de variveis reais a valores reais uma funo do 1 grau, ou funo afim, quando pode ser representada pela forma: f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funes do 1 grau: f(x) = 8x 4 , onde a = 8 e b = -4

Exerccio Proposto 1: Considere a funo f (x) = x + 2x + 1. Calcule o valor da constante b = e

um nmero real a de modo que f (x) = 0. ) Resposta: b = 2 ; a = -1. Exemplo 3: Calcular o domnio e a funo inversa de f(x) = com x IR.

18

f(x) = -3,4x 6,77 , onde a = -3,4 e b = -6,77 f(x) = 6x , onde a = 6 e b = 0 f(x) = , onde a = 0,5 e b = 4 Grfico: O grfico de uma funo polinomial do 1 grau uma reta. Para construir o grfico de uma funo f(x), basta atribuir valores do domnio a varivel , x e, usando a sentena matemtica que define a funo, calcular os correspondentes valores da varivel y. Por exemplo, vamos construir o grfico da funo y = 3x 1. Primeiramente definimos o seu domnio: percebe-se que x pode assumir qualquer valor real, assim D={x IR}. Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig lig-los. Escolhendo aleatoriamente os pontos x1 = 0 e x2 = 1, que pertencem ao domnio, obtemos a tabela:

x=

=

= -0,5

Exemplo 5: Determine o zero da funo f(x) = -x + 1 e trace seu grfico. Soluo:

Fig. 3.7a Pontos da funo f(x) = -x + 1. Grfico da funo f(x) = -x + 1 fcil observar no grfico que o zero da funo 1. x= = =1 Quanto inclinao da reta em relao ao eixo x, a funo dita crescente quando o coeficiente angular a positivo (a > 0), como o grfico d Fig. 3.6b. A da funo decrescente quando o seu coeficiente angular negativo (a < 0), como o grfico da funo 3.7b. Exemplo 6: O grfico da funo g(t) est representado abaixo na Fig. 3.8. Encontre uma expresso para essa funo.

Fig. 3.5 Pontos da funo f(x) = 3x 1. Grfico da funo f(x) = 3x 1. O coeficiente a chamado coeficiente angular da reta e est relacionado inclinao da reta em relao ao eixo x, como veremos mais adiante. A constante b , chamada coeficiente linear da reta. Zeros da funo: Dada uma funo f(x) do 1 grau, o zero ou raiz desta funo um valor de x tal que f(x) = 0. Graficamente, representa o ponto onde a reta da funo intercepta o eixo das abscissas (eixo x). Assim, temos: f(x) = ax + b f(x) = 0 ax + b = 0

Exemplo 4: Determine o zero da funo g(x) = 2x + 1 e trace seu grfico. Soluo: Usando a mesma tcnica da figura 3.5, obtemos:

Fig. 3.6 Pontos da funo g(x) = 2x + 1. Grfico da funo g(x) = 2x + 1 O ponto P, onde a reta intercepta o eixo x, o zero da funo e pode ser calculado a partir da Eq. 1:

Fig. 3.8 Exemplo 6 Soluo: Para o caso onde temos o grfico e queremos obter a expresso da funo, temos que escolher dois de seus pontos. Vamos escolher P1(-1;0) e P2(0;-3,2). A partir da definio de funo: 3,2). y = ax + b, que no caso o mesmo de g(t) = at + b. Deve-se aplicar essa definio em cada um dos plicar pontos escolhidos. Para P1(-1;0), t = -1 e g(t) = 0, assim: 0 = -a + b a = b Para P2(0;-3,2), t = 0 e g(t) = -3,2, assim: b = -3,2 a = -3,2 g(t) = -3,2.t 3,2 Exerccio Proposto 3: A partir do grfico da fun f(x) funo abaixo, determine a expresso para a funo.

19

Resposta: y > 0 {x R / x < -4} ; y = 0 x = -4 ; y < 0 {x R / x > -4} Exerccio proposto 5: O grfico da Fig. 3.10 relaciona io a temperatura em graus Fahrenheit em funo da temperatura em graus Celsius. eratura

Fig. 3.9 Exerccio Proposto 3 Resposta: f(x) = 2x 2 Sinal: Estudar o sinal de qualquer y = f(x) determinar os valores de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo. Para uma funo do primeiro grau, tm-se as seguintes representaes: se

3.10 Grfico F x C

a) Encontre

a expresso que relaciona a temperatura em F em funo da temperatura em C.

b) Determine o valor aproximado da temperatura da (a) (b)escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. Resposta: a) T(F) = 1,8.T(C) + 32 ; b) T(C) = -17,77 3.3.1b - Funes do 2 Grau Definio: Uma funo de variveis reais a valores reais uma funo do 2 grau, ou funo quadrtica, quando pode ser representada pela forma: f(x) = ax + bx + c, onde a,b e c so nmeros reais com a 0. Caso a = 0, a funo se torna do 1 grau. Vejamos alguns exemplos de funes do 2 grau: 2 f(x) = 3x - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2 f(x) = x -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 2 f(x) = -4x , onde a = - 4, b = 0 e c = 0 Grfico e Mximos e Mnimos: O grfico de uma funo do 2 grau uma curva chamada parbola. Por exemplo, vamos construir o grfico da funo f(x) = x. Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. Escolhendo ida, os pontos x1 = -1, x2 = 0 e x3 = 1, obtemos a tabela:

Fig. 3.8 Representaes do sinal de uma funo do 1 grau: a) Funo crescente. b) Funo De Decrescente O ponto P representa o zero da funo. Para o caso de uma funo crescente, no intervalo a esquerda de P os valores de y so negativos; no intervalo a direita de P os valores de y so positivos. O ponto P representa o valor de x para o qual y z zero. Para o caso de uma funo decrescente, deve deve-se considerar o contrrio. Exemplo 7: Estudar o sinal da funo f(x) = 2x 6. Soluo: Como a > 0, a funo crescente. Portanto, deve-se utilizar a representao da Fig. 3.8a. Calcula se Calculase primeiramente o zero da funo crescente com a ero Eq. 1: x= = =3

Fig. 3.9 Estudo do sinal da funo f(x) = 2x - 6 A funo positiva em {x R / x > 3}, negativa em {x R / x < 3} e nula em {x R / x =3}. Exerccio proposto 4: Faa a mesma anlise anterior para f(x) = -7x 28.

Fig. 3.10 Pontos da funo f(x) = x . Grfico da funo f(x) = x

20

O coeficiente a est relacionado concavidade da parbola: - Se a for positivo, a concavidade est voltada para cima, como o grfico da Fig. 3.10b. Neste caso, a funo possui um ponto de mnimo valor para y. - Se a for negativo, a concavidade est voltada para baixo, como o grfico da Fig. 3.12b. Neste caso, a funo possui um ponto de mximo valor para y. Em termos gerais, as coordenadas do ponto mnimo/mximo so:

Fig. 3.11 Pontos da funo f(x) = x + 2x + 1. Grfico da funo f(x) = x + 2x + 1 Para f2(x), o valor de a negativo, portanto o grfico possui concavidade voltada para baixo e a funo possui ponto de mximo. O valor de dado por: = b - 4ac = 3 - 4.(-1).4 = 9 + 16 = 25 Como maior que zero, a funo possui dois zeros e seu grfico intercepta o eixo x em dois pontos:

x1 = P=( x2 = ,

=

.

= -1

) = (1,5 ; 6,25) = .

=4

Zeros da Funo: Por definio, os zeros de uma funo so os pontos onde o seu grfico intercepta o eixo x. Os zeros de uma funo quadrtica podem ser calculados pela frmula de Bhaskara:

Onde b - 4ac denominado (delta). A quantidade de zeros de uma funo do 2 grau depende do valor de . - Quando positivo, h duas razes reais e distintas, portanto o grfico intercepta o eixo x em dois pontos; - Quando zero, h s uma raiz real, portanto o grfico intercepta o eixo x em apenas um ponto; - Quando negativo, no h razes reais. O grfico no intercepta o eixo x. Sendo x1 e x2 as razes da funo do segundo grau, essa funo pode ser representada assim: f(x) = (x x1).(x x2). Exemplo 8: Determine os zeros das funes f1(x) = x + 2x + 1 e f2(x) = -x + 3x + 4 e trace os grficos. Calcule o ponto extremo de cada funo e diga se ele de mximo ou mnimo. Soluo: Para f1(x), o valor de a positivo, portanto o grfico possui concavidade voltada para cima e a funo possui ponto de mnimo. Utilizando a Eq. 3.2, vamos calcular os zeros da funo: = b - 4ac = 2 - 4.1.1 = 4 4 = 0 Como zero, a funo possui apenas um zero e seu grfico intercepta o eixo x em somente um ponto.

(a) (b) Fig. 3.12 (a) Pontos da funo f(x) = -x + 3x + 4, (b) Grfico da funo f(x) = -x + 3x + 4 Existe outra maneira para calcular os zeros de uma funo do segundo grau: a partir da soma S e do produto P das suas razes.

Por exemplo, a funo f(x) = x -7x + 12, S = 7 e P = 12. Portanto, as razes cuja soma 7 e o produto 12, so x1 = 3 e x2 = 4. Pela frmula de Bhaskara:

x1 = x2 =

. . . . . .

= =

=4 =3

Exerccio Proposto 6: Dado o grfico da funo quadrtica abaixo, calcule uma expresso para representar essa funo.

x= (-1;0)

=

.

=

= -1

P=(

,

)=

21

Sinal: O sinal de uma funo do 2 grau pode ser analisado a partir das seguintes representaes: > 0: Duas razes reais e diferentes.

(a)

(b) Fig. 3.14 - Sinal de uma funo quadrtica com determinante nulo, (a) Crescente, (b) Decrescente Assim, a funo quadrtica com determinante nulo crescente positiva para qualquer valor diferente de x1 = x2. Para a funo decrescente, negativa para qualquer valor diferente de x1 = x2. < 0: Razes complexas.

(b)Fig. 3.13 Sinal de uma funo quadrtica com determinante positivo, (a) Crescente, (b) Decrescente Portanto, para uma funo quadrtica com determinante positivo crescente, o valor de y = f(x) positivo nos intervalos a esquerda da menor raiz x1 e a direita da maior raiz x2. Ela negativa somente entre as duas razes. Para a funo decrescente, o valor de f(x) negativo a esquerda de x1 e a direita de x2 e positivo entre as duas razes. Em ambos os casos, a funo nula em x1 e x2. = 0: Duas razes reais e iguais.

(a)

(a)

(b) Fig. 3.15 - Sinal de uma funo quadrtica com determinante negativo, (a) Crescente, (b) Decrescente Neste caso temos duas razes complexas, e o grfico no intercepta o eixo x. Se a funo for crescente, ela assume sempre valores positivos para qualquer valor de x; se ela for decrescente, assume sempre valores negativos para qualquer valor de x. A funo nunca se torna nula para valores reais de x. Exerccio Proposto 7: Estudar o sinal da funo f(x) = 0,5.x + 1,5.x 2. Encontre as coordenadas do ponto mnimo dessa funo.

22

Resposta: f(x) > 0 para x < -4 e x > 1; f(x) < 0 para -4 < x < 1; f(x) = 0 se x = -4 ou x = 1. As coordenadas do ponto mnimo so (-1,5;-3,125). 3.3.2 Funes Transcendentes Denomina-se funo transcendente quela que no algbrica. Como exemplo mais comum temos a funo exponencial, a funo logartmica e as funes trigonomtricas. 3.3.2a - Funo Exponencial A funo f(x) = , com a 1, denominada funo exponencial de base a. O domnio dessa funo o + conjunto IR (reais) e o contradomnio IR (reais positivos). Para a construo do grfico da funo exponencial, devem-se considerar dois casos: quando a > 1 ou quando 0 < a < 1. Vamos acompanhar nos dois exemplos seguintes a anlise em cada caso: i) y = 2 (nesse caso, a > 1) Atribuindo alguns valores para x e calculando os respectivos valores para y, obtemos a tabela e o grfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4

Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O grfico nunca intercepta o eixo horizontal. Portanto, a funo no tem razes; b) O grfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) Os valores de y so sempre positivos, + portanto o conjunto imagem Im = IR . Exemplo 9: Dado o grfico da funo exponencial abaixo, determine uma expresso para a funo.

Fig. 3.18 Grfico do Exemplo 9 Soluo: Escolhendo o ponto (0,5;3) f(x) = 3= , 3= a=9 Portanto, f(x) = 9 . 3.3,2b Funo Logartmica Sendo a condio = b, com b > 0, a > 0 e a 1, podemos isolar a varivel x da seguinte forma: x = log . O nmero a denominado base do logaritmo; b o logaritmando ou antilogaritmo; x o logaritmo. Exemplos: a) log 32 = 5, pois 2 = 32 b) log 16 = 2, pois 4 = 16 c) log 1 = 0, pois 5 = 1 Assim, em consequncia da definio, temos as seguintes propriedades:

Fig. 3.16 Tabela e grfico da funo y = 2 ii) y = (1/2 (nesse caso, 0 < a < 1) Atribuindo valores para x e calculando os respectivos valores para y, obtemos a tabela e o grfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4

log a a = 1 log a 1 = 0 log a b = log a c b = c

log a a m = m

log a ( x. y ) = log a x + log a y

log a x m = m. log a x

x log a = log a x log a y y

log a x =

log b x log b a

A funo definida por f(x) = log , com a > 0 e a 1, chamada funo logartmica de base a. O domnio + dessa funo o conjunto IR (reais positivos) e o contradomnio IR (reais). Para a construo do grfico da funo logartmica devem-se considerar dois casos: quando a > 1 e quando 0 < a < 1. Vamos acompanhar nos dois exemplos seguintes a anlise em cada caso: i) y = log (nesse caso, a > 1) Fig. 3.17 Tabela e grfico da funo y = (1/2

23

Atribuindo valores para x e calculando os respectivos valores para y, obtemos a tabela e o grfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y -2 -1 0 1 2

se um tringulo retngulo que possui um ngulo igual a . As funes so definidas como:

Fig. 3.18 Tringulo Retngulo sen = = Fig. 3.16 - Tabela e grfico da funo y = log cos = tan = cot = sec csc =

ii) y = log

(nesse caso, 0 < a < 1)

Atribuindo valores para x e calculando os respectivos valores para y, obtemos a tabela e o grfico: x 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0 -1 -2

A definio das funes trigonomtricas pode ser generalizada para um ngulo qualquer atravs do ciclo trigonomtrico (crculo de raio unitrio centrado na origem se um sistema de coordenadas cartesianas).

Fig. 3.17 Tabela e grfico da funo log Nos dois casos, pode-se observar o seguinte: a) O grfico nunca intercepta o eixo y; b) O grfico corta o eixo horizontal em (1,0). Portanto, a raiz da funo x = 1; c) A funo assume todos os valores reais, portanto Im = IR. Exerccio Proposto 8: Se log 123 = 2,09 ento o valor de log 1,23 : a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 Resposta: alternativa b. 3.3.2c Funes trigonomtricas So funes angulares, importantes no estudo dos tringulos e na modelao de fenmenos peridicos (fenmenos que se repetem sem alterao alguma cada vez que ocorre em um tempo determinado, chamado perodo T). A fim de definir as funes trigonomtricas de um ngulo no nulo , considera-

Fig. 3.19 Ciclo Trigonomtrico Aplicando o teorema de Pitgoras, obtemos a relao fundamental entre seno e cosseno: sen + cos = 1 Outras relaes podem ser obtidas como: tan =

sec =

csc =

cot =

Funo Seno: Dado um ngulo x, define-se a funo seno como sendo f(x) = A.sen (x +), onde A a amplitude, a frequncia angular e a fase. O grfico da funo seno uma curva chamada senoide. O Domnio dessa funo IR e a imagem [-A;A], visto que na circunferncia trigonomtrica o raio unitrio e -1 sen x 1, ou seja: Domnio de f(x) = A.sen (x +) : D = IR Imagem de f(x) = A.sen (x +) : Im = [-A;A] Vamos analisar o grfico de uma funo seno com amplitude 1, frequncia angular 1 e fase 0, ou seja, f(x) = sen x.

24

Quando n = -2, t =

.

=

Para que a funo seja mnima, sen (180t + 60) = -1. Isso ocorre em ngulos como -450, -90, 270, 630, etc. Assim: 2t + 60 = -90 + n.360 =.

t=

.

t

Quando n = 2, t = Fig. 3.20 Grfico de f(x) = sen x Percebe-se que o grfico sempre se repete em um intervalo de 2, denominado perodo. Os zeros da funo (pontos onde o grfico intercepta o eixo x) so calculados onde f(x) = sen x = 0, que na circunferncia trigonomtrica representa pontos sobre o eixo x, que representa cada volta de 180 na circunferncia (ngulos de 0, 180, 360, etc. no sentido horrio e 0, -180, -360, etc. no sentido anti-horrio). O mesmo raciocnio pode ser utilizado para se obter os pontos mximos ( ngulos de 90, 450, -270, -630, etc.) e pontos de mnimo (ngulos de 270, 630, -90, 450, etc.). Exemplo 10: Trace o grfico da funo f(t) = 2.sen (180t + 60) e calcule o seu perodo. Soluo: Como a amplitude vale 2, a imagem da funo Im = [-2;2]. Assim, o valor mximo da funo 2 e o valor mnimo -2. Como dito, os zeros da funo so pontos onde o seno zera, ou seja, ngulos de -180, -360, 0, 180, 360, etc. Considerando que 180.t + 60 = , basta obter uma expresso para t. Percebe-se que varia a cada 180, portanto: 180t + 60 = n.180 -1, 0, 1 , 2, ... Quando n = 2, t = Quando n = 1, t = Quando n = 0, t = Quando n = -1, t = Quando n = -2, t =. . . . .

. . . . .

= = = = =

Quando n = 1, t = Quando n = 0, t = Quando n = -1, t = Quando n = -2, t =

t=

.

, onde n = ... , -2,

Fig. 3.21 Grfico de f(t) = 2.sen (180t + 60) O perodo da funo definido como sendo o intervalo de tempo onde a funo se repete sem alterao. Portanto, podemos escolher qualquer intervalo que concorde com essa condio. Por exemplo, se escolhermos o intervalo de t = dado por T = a t = o perodo = 2. Percebe-se que a funo se at= .

= = = = = = = = = =

repete igualmente a cada 2 segundos de tempo, como no intervalo de t = Existe outra forma para calcularmos o perodo da funo sem traar o seu grfico. Isso pode ser obtido se representarmos a frequncia angular e a fase em radianos (rad). Sabendo-se que 180 = rad e 60 = rad, ento a funo pode ser escrita da seguinte forma: f(t) = 2.sen ( t + ). A frequncia angular dada por: =

Para calcular os valores de t onde a funo mxima, ou seja, em 2, utiliza-se o mesmo raciocnio, s que agora o valor de sen (180t + 60) = 1. Os ngulos onde isso ocorre so -630,-270 ,90, 450, etc. Assim varia a cada 360 e, portanto: 180t + 60 = 90 + n.360 t=.

t=

.

T=

=

=2

Quando n = 2, t = Quando n = 1, t = Quando n = 0, t = Quando n = -1, t =

. . . .

= = = =

Funo Cosseno: Denomina-se funo cosseno a funo f(x) = A.sen (x +), onde A a amplitude, a frequncia angular e a fase. Domnio de f(x) = A.cos (x +) : D = IR Imagem de f(x) = A.cos (x +) : Im = [-A;A] Vamos analisar o grfico da funo f(x) = cos (x).

25

Fig. 3.22 Grfico de f(x) = cos (x) Percebe-se que agora no ponto x = 0, a funo assume o valor 1, diferentemente do grfico da Fig. 3.20, onde assume o valor 0. Isso ocorre pelo simples fato de cos 0 = 1 e sen 0 = 0. Costuma-se dizer que as funes seno e cosseno esto defasadas de 90 uma da outra, ou em radianos. Matematicamente: sen () = cos ( - 90) = cos ( ) cos () = sen ( + 90) = sen ( + ) Exerccio Proposto 9: Trace o grfico da funo f(t) = 2.cos (90t + 30) e calcule o seu perodo. Soluo: T = 4. 3.4 CLASSIFICAES DE FUNES 3.4.1 Funo Injetora Observe o grfico da funo f abaixo:

Fig. 3.24 Funo no injetora f Onde x1 x2 f(x1) = f(x2). Dizemos que a funo da Fig. 3.23 injetora, que significa dizer que cada elemento distinto do domnio corresponde a valores diferentes da imagem. Esse conceito pode ser melhor observado nos diagramas abaixo:

(a)

Fig. 3.23 Funo injetora f Valores de x correspondem a valores diferentes de y, ou seja, x1 x2 f(x1) f(x2). possvel perceber que o mesmo no ocorre no grfico abaixo:

(b) Fig. 3.25 Diagrama de flechas de uma funo (a) injetora e (b) no injetora 3.4.2 Funo Sobrejetora Quando estudamos uma funo, trs conjuntos esto relacionados: domnio, contradomnio e imagem. O conjunto imagem sempre um subconjunto do contradomnio. Uma funo dita sobrejetora se o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, como por exemplo, na Fig. 3.2a. Na Fig. 3.3, temos um exemplo de uma funo que no sobrejetora. Se uma funo injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela chamada bijetora.

26

3.4.3 Funo par e funo mpar Vamos construir o grfico da funo f(x) = x - 1 no plano cartesiano.

Por exemplo, ao considerarmos as funes f(x) = 4x e g(x) = x + 5, determinaremos: a) g o f = g(f(x)) = g(4x) = (4x) + 5 = 16x + 5 b) f o g = f(g(x)) = f(x + 5) = 4 . (x + 5) = 4x + 20

4 - Funes EspeciaisTpicos principais Propriedades de Adio, Multiplicao e Potenciao. Polinmios Funes Polinomiais Funo Exponencial Funo Logartmica Mdulo de Funes Matrizes Determinantes Sistemas Lineares 4.1 PROPRIEDADES DE ADIO, MULTIPLICAO E POTENCIAO. Para somar dois nmeros de mesmo sinal, conservase o sinal dos nmeros e somam-se os valores dos dois. Como ilustrado nos seguintes exemplos: 2 + 3 = 5, 10 + 21 = 31, 2 3 = 5 e 10 21 = 31. Para somar dois nmeros de sinais diferentes, conserva-se o sinal do maior nmero e subtrai-se o valor do maior pelo do menor. Como indicado nos seguintes exemplos: 8 3 = 5, 21 14 = 7, 8 + 3 = 5 e 21 + 14 = 7. Exemplo 4.1: Encontre o valor de = 12 5 22 + 37 26. Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: = (12 5) 22 + 37 26 = 7 22 + 37 26 = (7 22) + 37 26 = 15 + 37 26 = (15 + 37) 26 = 22 26, portanto: = 4. Na multiplicao de dois nmeros de mesmo sinal, o resultado um nmero positivo cujo valor igual ao produto dos valores dos nmeros da multiplicao. Como indicado a seguir: 5.12 = 60, 21.3 = 63, (5). (12) = 60 e (21). (3) = 63.

Fig. 3.26 Grfico de f(x) = x - 1 Observe pelo grfico que existe uma simetria em relao ao eixo y. As imagens de x = 1 e x = -1 so iguais (y = 0), assim como as imagens de x = 2 e x = 2 (y = 3). Portanto, conclui-se que para valores simtricos do domnio, a funo assume o mesmo valor. Quando isso ocorre, dizemos que uma funo par. Uma funo f considerada par se f(x) = f(x). Um exemplo clssico de funo par a funo cos(x). Analisaremos agora a funo f(x) = 2x no plano cartesiano.

Fig. 3.27 Grfico de f(x) = 2x possvel observar que agora existe uma simetria em relao ao ponto das origens (0;0). Temos os pontos simtricos (2;0) e (2;0), assim como (0;4) e (0;4). Nesse caso, temos uma funo mpar. Uma funo f considerada mpar quando a relao f(x) = f(x) seguida. Como exemplo, temos a funo sen(x). 3.5 Composio de funes A funo composta deve ser tomada como a determinao de uma terceira funo h atravs da combinao de duas outras f e g. Matematicamente falando, ela representada por g o f ou ento f o g, dependendo de como as funes f e g sero combinadas.

27

Na multiplicao de dois nmeros de sinais diferentes, o resultado um nmero negativo cujo valor igual ao produto dos valores dos nmeros da multiplicao. Como indicado: 4. (7) = 28, 15. (3) = 45, (4). 7 = 28 e (15). 3 = 45. Exemplo 4.2: Encontre o valor de = (3). 2 + 23. (5) + (3). (5). Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: = (6) + (115) + (15) = 6 115 + 15 = (6 115) + 15 = 121 + 15, portanto: = 106. A soma das fraes e , com sendo o numerador da primeira frao e o da segunda, e sendo o denominador da primeira frao e o da segunda; efetuada a partir da relao . + . + = (4.1) . como mostrado nos exemplos: 2 4 2.5 + 3.4 10 + 12 22 + = = = , 3 5 3.5 15 15 3 5 (3).3 + 2.5 9 + 10 1 + = = = , 2 3 2.3 6 6 4 8 4.3 + 7. (8) 12 56 44 = = = 7 3 7.3 21 21 e 6 9 6 9 15 = = . 4 4 4 4 Observe neste ltimo exemplo que quando as duas fraes tm o mesmo denominador, conserva-se o denominador e somam-se os numeradores. O produto das fraes e dado por . . = , (4.2) . como os exemplos a seguir indicam: 5 2 5.2 10 10 . = = = , (3) 4 (3). 4 12 12 10 5 e simplificando por 2: = 12 6 (6) (6) 9 (6). 9 54 .9 = . = = = 27. 2 2 1 2.1 2 Para dividir duas fraes, conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda, ou seja, o quociente das fraes e dado por = . , (4.3)

3 1 (3). 1 3 . = = . 5 2 5 2.5 10 Exemplo 4.3: Encontre o valor de = = . + .

Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: =. .

=

como ilustrado a seguir: =

e

5 7 5.7 35 . = = 3 2 3.2 6

26 9 26.9 234 117 = . = = = . 8 4 8.4 32 16 A potncia igual multiplicao da base por ela mesma vezes. Como exemplificado a seguir: 2 = 2.2 = 4, 2 = 2.2.2 = 4.2 = 8, 3 = 3.3 = 9, 3 = 3.3.3 = 9.3 = 27, e (2) = (2). (2). (2) = 4. (2) = 8. Note que quando o expoente par, o valor da potncia um nmero positivo: 4 = 4.4 = 16, (4) = (4). (4) = 16, 3 = 3.3.3.3 = 9.3.3 = 27.3 = 81 e (3) = (3). (3). (3). (3) = 9. (3). (3) = (27). (3) = 81. Note que quando o expoente mpar, o valor da potncia um nmero cujo sinal igual ao da base : 4 = 4.4.4 = 16.4 = 64, (4) = (4). (4). (4) = 16. (4) = 64, 5 = 5.5.5 = 25.5 = 125 e (5) = (5). (5). (5) = 25. (5) = 125. Exemplo 4.4: Encontre o valor de = (2) . 3 (3) . 2 + 5 . (3). Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: = (8). 3 (9). 4 + (25). (3) = (24) (36) + (75) = 24 36 75 = 60 75, portanto: = 135. No produto de duas potncias de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes: . = , (4.4) como est ilustrado nos exemplos: =2 , 2 .2 = 2 2. 2 = 2 ( ) = 2 =2 , (3) . (3) = (3) = (3)

=

.

+

= =

=

+

=

. .

, portanto:

28

9 .9 = 9 ( ) = 9 =9 . No quociente de duas potncias de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes: e = ,

,

3 =3 , e 5 =5 . 4 =4

como indicado nos exemplos a seguir: 2 =2 =2 , 2 3 =3 =3 , 3 4 =4 ( )=4 =4 4 e 5 =5 ( )=5 = 5. 5 Exemplo 4.5: Encontre o valor o valor de 2. 3 . 2 . 3 = . 3 .2 .2 .3 Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: unemse as potncias de mesma base: (2. 2 ). (3 . 3 ) , = (2 . 2 ). (3 . 3 ) pela propriedade (4.4) no numerador e no denominador: 2 .3 2 .3 = = , 2 .3 2 .3 usa se a propriedade (4.5): = 2 .3 = 2. 3 , portanto: = 2.9 = 18. Na potncia de uma potncia, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes: ( ) = . , (4.6) como est indicado: (2 ) = 2 . = 2 , (3 ) = 3( ). = 3 , e (10 ) = 10( ). = 10 . Em uma potncia de expoente negativo, inverte-se a base e eleva-se ao expoente positivo: = , (4.7) (4)() ( )

(4.5)

Exemplo 4.6: Encontre o valor de = .

. 2

.

Resoluo: Efetua-se a expresso por partes: utilizase (4.7) no numerador e no denominador: utilizando (4.8) no numerador e no denominador: = . 5 . 2 .2 5 = .2 .5 .2 , utilizando (4.5):

=

=

= (4)(

).(

)

= (4)

como ilustrado nos exemplos a seguir: 3 5 = , 5 3 6 4 = , 4 6 1 3 = 3 e 1 100 = . 100 A radiciao de ndice de uma potncia por , = como mostrado nos exemplos:

dada (4.8)

4.2 POLINMIOS Define-se um polinmio ( ) de grau da seguinte forma: ( )= . + . + . + + . , (4.9) + em que os coeficientes , ,, e so nmeros reais. A seguir exemplificam-se alguns polinmios: ( ) = 4. 2 + 5, 5 ( ) = 3 . + 2 e ( )= . Note que ( ) de 4 grau, com coeficientes = = 0; ( ) de 2 grau e ( ) de 3 grau, com coeficientes = = 0. ( )= . + Para somar dois polinmios ( )= . + . + + + . + e . + + . + s somar os termos de mesmo grau, como est indicado a seguir: ( ) + ( ) = ( + ). + + ( + ). (4.10) ( )= . + Para subtrair dois polinmios ( )= . + . + + + . + e . + + . + s subtrair os termos de mesmo grau, como mostrado a seguir: ( ) ( ) = ( ). + + ( ). (4.11) Exemplo 4.7: Calcule ( ) + ( )e ( ) ( ), sendo

2 2 1 . = 5 5 5 2 = . 5 =

5

.

.

5

=

=

=

5

5

=

5

2

, utilizando (4.3):

, utilizando (4.2):

, e de (4.8), tem se que:

29

( ) = 4. 2 + 6. . Resolues: ( ) + ( ) = 3 + (6) . + 5 + (2) + 1 + 4 . + 2. + ( ) + ( ) = 3 6 . + 5 2 + 3. + 2. + ( ) + ( ) = 9. + 3 + 3. + 2. + e ( ) ( ) = 3 (6) . + 5 (2) + 1 4 . + 2. ( ) ( ) = 3 + 6 . + 5 + 2 + (5). + 2. ( ) ( ) = 3. + 7 5. + 2. . Para multiplicar dois polinmios, utiliza-se a propriedade distributiva da multiplicao: ( + ). ( + + ) = ( . ) + ( . ) + ( . ) + ( . ) +( . ) + ( . ). (4.12) Exemplo 4.8: Determine os produtos ( ). ( ) e ( ). ( ), sendo ( ) = 2. 1, ( ) = + 3. , ( ) = + e ( )= . Resolues: ( ). ( ) = (2. 1). ( + 3. ) ( ). ( ) = (2. ). ( ) + (2. ). (3. ) + (1). ( ) + (1). (3. ) ( ). ( ) = 2. (1) . + (2.3). + (1). (1) . + (1). 3 . ( ). ( ) = 2. + 6. + 3. ( ). ( ) = 2. + 7. 3. e ( ). ( ) = ( + ). ( ) ( ). ( ) = ( ). ( ) + ( ). ( ) + ( ). ( ) + ( ). ( ) ( ). ( ) = (1). 1 . + (1). (1) . + (1.1). + 1. (1) . ( ). ( ) = + + ( ). ( ) = 2. + + . O processo de diviso de dois nmeros reais ilustrado na Fig. 4.1, para a diviso 13 4, em que 13 o dividendo e 4 o divisor. e

( ) = 3.

+5

+ 2.

13 4 [13+(-12)](d)

3

13 4 1 3(e) Figura 4.1: Etapas para a diviso de dois nmeros reais: (a) armao do esquema de diviso, (b) inserese o quociente, (c) multiplica-se o quociente pelo divisor e o resultado deste produto vai para baixo do dividendo com o sinal trocado, (d) soma-se o dividendo com o nmero que estava abaixo dele no esquema e (e) soluo da diviso: o nmero da parte inferior direita o quociente, e o da parte inferior esquerda o resto da diviso. Para dividir dois polinmios ( ) e ( ), o processo semelhante ao da diviso de dois nmeros reais. Os termos do quociente ( ) so escolhidos de modo que os termos de maior grau dos dividendos ao longo da operao sejam eliminados. E o resto ( ) o dividendo que tem grau menor que o divisor. A relao entre ( ), ( ), ( ) e ( ) ( ) ( ) ( )= ( )+ . (4.13) ( ) Estes conceitos so ilustrados no exemplo 4.9. Exemplo 4.9: Determine a diviso e ( )= ( ) = + 1. Resolues: Seguindo os mesmo passos da Fig. 4.1, tem-se que: 3 2. ,( ) ( )

Portanto: 13 4 = 3 + .

, sendo:

x 2.x 3 x 2.xx3

x +1x +1

x 2.x2

2

x +1

13 4

(a)

13 4 3(b)13 -(3.4) 4 3

a soma ( 2. ) + ( dividendo), ento: 2

x ( x + 1) 3 x 2.x x + 1 3 2 2 x x x )

x

2

2.

, (o novo

x 2.x

x +1

(c)

x

2

30

x 2.x

2

x +1

x x 2.x2

2

x x +1

[ x.( x + 1)] x x x 2 .xa soma ( 2. ) + ( dividendo), ento:2

2

x +1

x

2

+x

+ )2

x

2

x(o novo

,

x

x +1

xxx +1

x

x

2

x 1x +1

x [(1).( x + 1)]

x

2

x 1

xx +1

x +1

x

2

x 1

x1

x +1

. Como 1 de grau menor que + 1, tem-se que 1 o resto da diviso. Portanto o quociente da diviso 1 e o resto 1. Ento, de (4.13), tem-se que: 1 . ( 2. ) ( + 1) = ( 1) + +1 A fatorao um polinmio da forma dada por =( + . + . + + . ), + . + (4.14) como est ilustrado nos exemplos a seguir: 4= 2 = ( 2). ( + 2), 27 = 3 = ( 3). ( + 3. + 9), +8= (2) = ( + 2). ( 2. + 4). A raiz ou o zero de um polinmio ( ) o valor que torna ( ) = 0. Para um polinmio de 1 ordem da forma ( )= . + , (4.15) tem-se que a raiz dada por 0= . + = . (4.16) e Exemplo 4.10: Encontre a raiz dos polinmios ( ) = 3. 5 e 2 . 4= + 2. 2 + 2. + 2. 2

x

2

x 1

( ) = 6. + 18. Resolues: Primeiramente faz-se ( ) = 0 e calculase o respectivo valor de : 0 = 3. 5 0 + 5 = 3. 5 = 3. , portanto: 5 = . 3 Repete-se o mesmo procedimento para ( ): 0 = 6. + 18 0 18 = 6. 18 = 6. , portanto: 18 = = 3. 6 Para um polinmio de 2 ordem da forma ( )= . + . + , (4.17) e so dadas por tem-se que as razes = , (4.18) 2. em que = 4. . . (4.19) Exemplo 4.11: Calcule as razes dos polinmios ( )= 3. + 2 e ( ) = 8. + 2. + 6. Resolues: Para ( ) tem-se que = 1, = 3 e = 2, ento: = (3) 4.1.2 = 9 8 = 1, logo: (3) 1 3 1 = = , portanto: 2.1 2 3+1 4 = = =2 2 2 e 31 2 = = = 1. 2 2 E como para ( ) tem-se que = 2, = 8 e = 6, ento: = (8) 4.2.6 = 64 48 = 16, logo: (8) 16 8 4 = = , portanto: 2.2 4 8 + 4 12 = = =3 4 4 e 84 4 = = = 1. 4 4 Pode-se escrever um polinmio ( ), dado por (4.9), em funo de suas razes, da seguinte forma: ( ) = . ( ). ( ) ( ). ( ) (4.20) Exemplo 4.12: Escreva os polinmios ( ) = 3. 5, ( ) = 6. + 18, ( )= 3. + 2 e ( ) = 8. + 2. + 6 em funo de suas razes.

31

Resolues: Para ento:

Pode-se representar a razo . . + . +

.( ) 5 ( ) = 3. ; 3 Para ( ) tem-se que =6e = 3, ento: ( ) = .( ) ( ) = 6. (3) = 6. ( + 3); Para ( ) tem-se que = 1, =2e = 1, ento: ( ) = . ( ). ( ) ( ) = ( 2). ( 1); e para ( ) tem-se que = 2, =3e = 1, ento: ( ) = . ( ). ( ) ( ) = 2. ( 3). ( 1) ( )= ( ) ( )( ) ( )

( ) tem-se que

=3 e

= , e

= ( 2).

dada por

. (4.23) ( ) As constantes , com = 1, 2, , so calculadas por ( ) = ( ). , com ( ) = na expresso resultante. (4.24) Exemplo 4.13: Represente as fraes( ) ( )

++ . + . = + . + . + + . + . (4.21) a qual pode ser escrita em funo das razes de ( ) como sendo ( ) ( ) . + . + . ++ . + . = . ( ). ( ). ( ) ( ) (4.22) na forma de fraes parciais: ( ) = + + ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

.

( ) , com = : ( ) ( 1) ( 1) = ( 4). = com = 4: ( 2). ( 4) ( 2) 41 3 = = . 42 2 Ento: ( ) = + ( ) ( 2) ( 4) 1 1 3 1 = . + . . 2 ( 2) 2 ( 4) Por (4.18) e (4.19) tem-se que as razes de ( ) so =2e = 3, e como = 1, pode-se escrever a =( ). razo( ) ( )

( 1) ( 1) = com ( 2). ( 4) ( 4) 21 1 1 = = = ; 2 4 2 2

= 2:

da seguinte forma:

e

fraes parciais, sendo ( ) = 1, ( )= 6. + 8, ( ) = 2. + 3 e ( ) = + 5. 6. Resolues: Por (4.18) e (4.19) tem-se que as razes de ( ) so =2 e = 4, e como = 1, pode-se escrever a razo ( ) = + = + , ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 4) para determinar as constantes e , tem-se: ( ) = ( ). , com = : ( ) ( ) 1 = , ento: ( ) ( 2). ( 4) da seguinte forma:( ) ( )

( )

( )

em

( ) = + = + , ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 3) e , tem-se: para determinar as constantes ( ) = ( ). , com = : ( ) (2. + 3) (2. + 3) = ( 2). = com = 2: ( 2). ( 3) ( 3) 2.2 + 3 4 + 3 7 = = = = 7; 23 1 1 e ( ) = ( ). , com = : ( ) (2. + 3) (2. + 3) = ( 3). = com = 3: ( 2). ( 3) ( 2) 2.3 + 3 6 + 3 9 = = = = 9. 32 1 1 Ento: ( ) 1 1 = + = (7). + 9. . ( ) ( 2) ( 3) ( 2) ( 3) 4.3 FUNES POLINOMIAIS Tendo-se uma varivel dependente definida por um polinmio de , tem-se que uma funo polinomial. O grau da funo determinado pelo grau do polinmio ( ). 4.3.1 Funo do Grau Definindo-se a varivel y como = ( )= . + , (4.25) tem-se que y uma funo do 1 grau. Para tal funo, tm-se que: O coeficiente determina se uma funo crescente ou decrescente. Portanto, tem-se que: se > 0, crescente; e se < 0, uma funo decrescente. O coeficiente o valor que assume

( ) 2. + 3 = , ento: ( ) ( 2). ( 3)

32

que torna = 0. Um ponto representado no plano cartesiano por um par de coordenadas ( , ). E para plotar o grfico de , o qual uma reta, basta conhecer o valor da raiz e de . Tais conceitos esto ilustrados na Fig. 4.2. quando o valor de

= 0, enquanto que a raiz

=

y

(0,b) (-b/a,0)

.x

.

Figura 4.2: Grfico de = ( ) = . + : (a) com > 0 e > 0, (b) com > 0 e < 0, (c) com < 0 e > 0 e (d) < 0 e < 0. Para determinar a funo y a partir de seu grfico, necessrio conhecer dois pontos desta reta e utilizlos para a formao de um sistema linear, a fim de calcular os termos e . Este conceito ser abordado na seo 4.9. Exemplo 4.14: Plote o grfico das funes = 2. + 4, = 2. 4, = 4. + 12 e = 8. 8. Resolues: Como a funo = 2. + 4 tem = 2 e = 4, tem-se o seu grfico como ilustrado na Fig. 4.3.

(a)

y

(-b/a,0)

.

x

.(0,b)(b)

Figura 4.3: Grfico da funo = 2. + 4. Como a funo = 2. 4 tem = 2 e = 4, temse o seu grfico como ilustrado na Fig. 4.4.

y

.(0,b).(-b/a,0)xFigura 4.4: Grfico da funo = 2. 4. Como a funo = 4. + 12 tem = 3 e = 12, tem-se o seu grfico como ilustrado na Fig. 4.5.

(c)y

(-b/a,0)

.

. (0,b)

x

(d)

Figura 4.5: Grfico da funo = 4. + 12. E como a funo = 8. 8 tem = 1 e = 8, tem-se o seu grfico como ilustrado na Fig. 4.6.

33

y

(x1,0)Figura 4.6: Grfico da funo = 8. 8. 4.3.2 Funo do Grau Definindo-se a varivel como (4.26) = ( )= . + . + , tem-se que uma funo do 2 grau. Para tal funo, tm-se que: O grfico de uma parbola, a qual ser cncava para cima se > 0, e cncava para baixo se < 0. Isto ilustrado na Fig. 4.7.

.

. (x ,y )v v

(x2,0)

.

x

(a)

y

y

(x1=x2,0)

.

x

(b)

x

y

(a)

(xv,yv) x

.

y

x

(b) Figura 4.7: Grfico de uma funo = ( ) = . + . + : (a) se > 0 e (b) se < 0. Sendo = 4. . , tm-se que a funo : tm duas razes reais e distintas e se > 0; tm duas razes reais e iguais e se = 0; e que y no possui razes reais se < 0. Isto ilustrado na Fig. 4.8.

(c) Figura 4.8: Grfico de uma funo = ( ) = . + . + : (a) se > 0, (b) se = 0 e (c) se < 0. O vrtice da parbola dado pelo ponto ( , ) em que as coordenadas e so dadas por = (4.27) e =

. (4.28) 4. importante notar que se a parbola for cncava para cima, corresponde ao seu ponto de mnimo e corresponde ao seu valor mnimo; enquanto que se a parbola for cncava para baixo, corresponde ao seu ponto de mximo e corresponde ao seu valor mximo. Exemplo 4.15: Plote o grfico das funes 3. . =

34

e

2 1 + . . 3 2 Resolues: Como a funo = 3. grfico como est ilustrado na Fig. 4.9. e =0 e = 3, = = , =

= 3. =

9. + 6, + 9. 20

= 0, tem-se o seu tem razes

Figura 4.12: Grfico da funo

=

+ . .

como est ilustrado na Fig. 4.10. e

Figura 4.9: Grfico da funo = 3. . Como a funo = 3. 9. + 6 tem razes =1e = 2, = , = = 6, tem-se o seu grfico

Figura 4.10: Grfico da funo = 3. 9. + 6 =4 Como a funo = + 9. 20 tem razes grfico como est ilustrado na Fig. 4.11. e e = 5, = , =

= 20, tem-se o seu

4.4 FUNO EXPONENCIAL Definindo-se a varivel y como = ( )= , (4.29) tem-se que y uma funo exponencial. Para tal funo, tm-se que: O domnio D(f) da funo y ( ) = , para e 1, e a sua imagem Im(f) Im(f)= (y ser nula somente em menos infinito, se y for uma funo crescente; e ser nula somente em mais infinito, se y for decrescente; a funo y crescente se > 1, e decrescente se 0 < < 1. Tais conceitos esto ilustrados no exemplo 4.17. Exemplo 4.16: Plote o grfico das seguintes funes: =2 , 1 = , 2 = e = . Resolues: Como a funo = 2 tem base 2 > 0, tem-se que uma funo crescente, a qual est ilustrada na Fig. 4.13.

E como a funo e = 2,

Figura 4.11: Grfico da funo = , = = e

grfico como est ilustrado na Fig. 4.12.

+ .

= , tem-se o seu

=

tem razes

+ 9. 20.

=1

encontra entre 0 e 1, tem-se que uma funo decrescente, a qual est ilustrada na Fig. 4.14. Como a funo tem base

Figura 4.13: Grfico da funo =

=2 .

, a qual se

35

O log

log 1 = 3 = 1 3 = 3 = 0 definido somente para .

Como a funo = tem base > 1, tem-se que uma funo crescente, a qual est ilustrada na Fig. 4.15.

Figura 4.14: Grfico da funo y =

.

Figura 4.15: Grfico da funo = . E como a funo = tem base 0 < < 1, temse que uma funo decrescente, a qual est ilustrada na Fig. 4.16.

4.5.1 Tipos Particulares de Logaritmos A notao para o logaritmo decimal, cuja base igual a 10, log , (4.31) como indicado nos exemplos a seguir: log 100 = 10 = 100 10 = 10 = 2, log 1000 = 10 = 1000 10 = 10 = 3, 1 1 log = 10 = 10 = 10 = 1 10 10 e 1 1 log = 10 = 10 = 10 10000 10000 = 4. A notao para o logaritmo natural, cuja base o nmero de Euler = 2,7182 , (4.32) ln , (4.33) como est ilustrado nos exemplos a seguir: = = 1, ln = = =3 ln = e 1 1 ln = = = = 4. = log 9 + log Exemplo 4.17: Encontre o valor de log 100 + ln ln + log 1000 log + log 10 + log 100 .

4.5 FUNO LOGARTMICA Define-se o logaritmo de na base (log = ), de modo que a base elevada ao logaritmo igual ao logaritmando , como indicado: log = = . (4.30) Isto ilustrado nos seguintes exemplos: log 4 = 2 = 4 2 = 2 = 2, log 27 = 3 = 27 3 = 3 = 3, 1 1 1 log = 3 = 3 = 3 =3 81 81 3 = 4, 1 1 1 = 2 = 2 = 2 =2 log 32 32 2 = 5 e

Figura 4.16: Grfico da funo

=

.

4.5.2 Propriedades de Logaritmos O logaritmo de um produto dado por (4.34) log ( . ) = log + log , como ilustrado a seguir: log 16 = log 2.8 = log 2 + log 8 = 1 + 3 = 4, log 243 = log 9.27 = log 9 + log 27 = 2 + 3 = 5, log (16.64) = log 16 + log 64 = 2 + 3 = 5 e log (1024.512) = log 1024 + log 512 = 10 + 9 = 19. O logaritmo de um quociente dado por como ilustrado nos exemplos a seguir: 1 log = log 1 log 16 = 0 4 = 4, 16 27 = log 27 log 81 = 3 4 = 1, log 81 log = log log , (4.35)

Resoluo: (3) + log 10 log 4 2 + log 2 = + log 10 2 + 1 + log 10 (3) + 3 (2) 1 2 2 + (1) = + = + , portanto: 2 2+1+2 2 5 1.5 + 2.2 5 + 4 9 = = = . 2.5 10 10

36

25 log = log 25 log 625 = 2 4 = 2. 625 O logaritmo de uma potncia dado por log = . log , (4.36) como os exemplos a seguir mostram: log 25 = log 5 = 2. log 5 = 2.1 = 2, 1 log = log 5 = (3). log 5 = (3). 1 = 3, 125 log 1024 = log 4 = 5. log 4 = 5.1 = 5, log 0,0001 = log 10 = (4). log 10 = (4). 1 = 4 e log 0,001 = log 10 = (3). log 10 = (3). 1 = 3. Para uma potncia cujo expoente um logaritmo, temse = , (4.37) como indicado nos exemplos a seguir: 2 = 4, e 4 =2. .

log

1024 = log 1024 log 256 = 10 8 = 2 256

= = = . Exemplo 4.18: Encontre o valor de . log 2.8 + log 125.5 + = . log 1000 + ln Resoluo: (log 2 + log 8) + ( log 125 + log 5) + = log 10 + 5. ln (1 + 3) + (3 + 1) + = 3. log 10 + 5.1 8+ 4+4+ = = , portanto: 3.