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Discrete Math - Module #0 - Overview 8/24/2005

(c)2001-2003, Michael P. Frank 1

8/24/2005 Prof.Anselmo Paiva - DEINF/UFMA 1

UFMA-CCET-DEINFEstruturas Discretas e Lógica Matemática

Slides adaptados de Kees Van DemterCurso baseado no Livro: Discrete Mathemathics & Its Applications(5th Edition) Kenneth H. Rosen


Módulo 1:Fundamentos de Lógica

Rosen 5th ed., §§1.1-1.44 aulas




Fundamentos da Lógica

Lógica Matemática é uma ferramenta paratrabalhar com afirmativas compostas, inclui:

l Linguagem formal para expressá-las.l Metodologia para concluir objetivamente

sobre sua verdade ou falsidade.l Fundamento para expressar provas

formais em todos os ramos damatemática.


Fundamentos da Lógica- Roteiro:

l Lógica proposicional (§1.1-1.2):l Definições básicas. (§1.1)l Regras de equivalência ede derivação.

(§1.2)

l Lógica de Predicados (§1.3-1.4)l Predicados.l Expressões de predicados quantificados.l Equivalências e derivações.




Lógica Proposiciona (§1.1)

Lógica Proposicional é a lógica dasafirmativas compostas, construídas a partir de afirativas simples, usando osconectivos Booleanos.

Aplicações na Ciência da Computação:l Projeto de circuitos eletrônicos digitais.l Expressão de condições em

programas.l Consultas a bases de dados e

máquinas de busca.

George Boole(1815-1864)

Chrysippus of Soli(ca. 281 B.C. – 205 B.C.)


Proposições em linguagem natural

Definição: Uma proposição é simplesmente:l Uma afirmativa (i.e., uma sentença declarativa)

l Com algum significado definido (não ambíguo ouinválido)

l Que possui um valor verdade que pode ser true(T) ou false (F) l Nunca pode assumir ambos os valores ou estar

entre os dois!”l Mas, eu posso a priori não saber qual é este valor verdade




Exemplos de Proposições em LN

l “Está chovendo.” (Em uma dada situação.)l “Beijing é a capital da China, e 1 + 2 = 2”Mas as seguintes NÃO são proposições:l “La la la la la.” (sem significado)l “Quem esta aí??” (interrogativa: sem valor

verdade)l “x := x+1” (imperativa: sem valor verdade)l “1 + 2”


Proposições em Lógica Proposicional

l Átomos: p, q, r, …(Correspondem com simples sentenças emLN, e.g.`Eu como salada no almoço’)

l Proposições complexas: construída a partirdos átomos usando operadores: p∧q(Correspondem a sentenças compostas emLN, e.g., “Eu como salada no almoço e carne no jantar.”)




Lógica Matemática

l LM oferece:l definições formalmente precisas para

essas noções e para o significado de proposições compostas.

l Por enquanto: sem definições precisas.Explicações baseadas em exemplos.


l Um operador ou conectivo combina n operandos (expressões) em umaexpressão maior. (E.g., “+” emexpressões numéricas.)l Operadores unários: só um operando (- 3); l Operadores binários: dois operandos (3 × 4).

l Operadores Booleanos operam emproposições ao invés de números.

Operadores / Conectivos




Alguns Operadores Booleanos

?BinárioIFFBicondicional→BinárioIMPLIESImplicação⊕BinárioXOROU-Exclusivo

DisjunçãoConjunçãoNegação

∨BinárioOR∧BinárioAND¬UnárioNOT


Operador de Negação

Operador “¬” (NOT) transforma umaproposição na sua negação

E.g. Se p = “Eu tenho cabelos castanhos.”então ¬p = “Eu não tenho cabelos

castanhos.”Tabela Verdade: p ¬p

T F F T

T := True; F := False“:=” significa “é definido como”

Coluna doOperando

Coluna doResultado




Operador de Conjunção

Operador de conjunção “∧” (AND) combina duas proposições para formar a conjunção lógicas delas.

E.g. Se p=“Eu comi salad no almoço.”q=“Eu comi salada no jantar”,

then p∧q=“Eu comi salada no almoço a carne

no jantar.”


l A conjunçãop1 ∧ p2 ∧ … ∧ pnde n proposiçõesterá 2n linhasna Tab. Verdade.

l ¬ e ∧ são suficientes para expressarqualquer Tab. Verdade Booleana!

Conjunction Truth Table

p q p∧qF F FF T FT F FT T T




Operador Disjunção

O operador binário de disjunção “∨” (OR) combina duas proposições para formara disjunção lógica das mesmas.

p=“Meu carro tem motor ruim.”q=“Me carro tem pneu ruim.”

p∨q=“Meu carro tem motor ou pneu ruim.”


l Note que p∨q significase p é true, ou q é true, ou ambos são true!

l Por isso é chamadoou inclusivo,porque inclui a possibilidade de ambos serem true.

l “¬” e “∨” juntos são também universais.

Tabela Verdade da Disjunção

p q p∨qF F FF T TT F TT T T

Note adiferençado AND




Expressões Proposicionais

l Use parênteses para agrupar sub-expressões:“I conheci seu amigo e ele é doido oumuito inteligente.” = f ∧ (g ∨ s)l (f ∧ g) ∨ s pode significar algo diferentel f ∧ g ∨ s pode ser ambíguo

l Por convenção, “¬” tem precedênciasobre “∧” e “∨”.l ¬s ∧ f significa (¬s) ∧ f , não ¬ (s ∧ f)


Lógica – Forma concisa para LN

Seja p=“Choveu ontem a noite”, q=“O jardineiro molhou a grama ontem a noite,”r=“O gramado estava molhado esta manhã.”

¬p = r ∧ ¬p = ¬ r ∨ p ∨ q =

“Não choveu ontem a noite.”“O gramado estava molhado estamanhã e não choveu ontem a noite.”

“Ou o gramado não estava molhado hojepela mnahã ou choveu ontem a noite ou o jardineiro molhou o gramado.”




Algumas idéias importantes:

l Distinguir entre diferentes tipos de fórmulas

l Verificar que algumas fórmulas queparecem diferentes podem expressar a mesma informação

l Primeiro: diferente tipos de fórmulas


Tautologias

É uma proposição composta que é sempretrue não importando quais os valoresverdade das proposições atômicas!

Ex. p ∨ ¬p [Qual é a tabela verdade?]




Tautologias

l Quando todas as linhas da tabelaverdade resulta em valor True.

l Exemplo: p ¬p p ∨ ¬p T T TF T T


Contradições

Proposição composta que resultasempre em valor False não importandoos valores verdade das proposiçõesatômicas!

Ex. p ∧ ¬p [Tabela verdade?]




Contradições

l Quando cada linha da tabela verdaderesulta em valor False

l Exemplo: p ¬p p∧¬pT F FF F F


O que sobra?

Todas as outras proposições sãocontingências:

Algumas linhas da tabela verdaderesultam em True e outras em False

Agora: fórmulas que possuem o mesmosignificado




Equivalência de Proposições

l Duas proposições sintaticamentediferentes (i.e., textualmente) podem ser semânticamente idênticas (i.e., possuir o mesmo significado).

l Denominamos isto de: equivalêncialógica.

Notação: … ⇔ …


Equivalência Lógica

l Uma proposição composta p élógicamente equivalente a umaproposição composta q, que escrevemosp⇔q, se e somente se p e q possuem o mesmo valor em todasas linhas de sua tabela verdadein all rows of their truth tables

l As duas proposições expressam a mesma função verdade.




Ex. Prove que p∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q).

p q pp∨∨qq ¬¬pp ¬¬qq ¬¬pp ∧∧ ¬¬qq ¬¬((¬¬pp ∧∧ ¬¬qq))F FF TT FT T

Provando Equivalências: Tabelas Verdade

FT

TT

T

T

T

TTT

FF

F

F

FFF

F

TT


1. Considere a conjunção p1 ∧ p2 ∧ p3Quantas linhas existem na sua tabela verdade? 8p1 p2 p3 p1 ∧ p2 ∧ p31 1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

Questões




2. Considere p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pnQuantas linhas tem sua tabelaverdade?

2.2.2. … .2 (n fatores)Então 2n (cresce exponencialmente!)

Questões


3. Explique porque ¬ e ∧ juntos são suficientespara expressar qualquer coisa que possaser expresso pela lógica booleana

l Obviamente se eu adicionar novosconectivos posso escrever novas fórmulas

l Mas estas novas fórmulas serão sempreequivalentes a uma fórmula escrita usandosomente ¬ e ∧(Isto que precisamos demonstrar)

Questões




l Exemplo de escrita de uma disjunção emoutra forma:

p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q) l Se nenhuma da linhas da tabela verdade

tem valor True, então temos umacontradição.l Contradições podem ser escritas com ¬ e ∧

l Suponha que 2 linhas resultam em True.l P=T, Q=T, R=F. Isto é P ∧ Q ∧ ¬Rl P=T, Q=F, R=T. Isto é P ∧ ¬Q ∧ R


l Provamos nossa afirmativa se pudermos expressar a disjunçãodestas duas linhas : (P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R)

l Vimos que disjunção pode expressausando ∧ e ¬:

p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q) l CQD.

Tabela como uma disjunction de T-linhas

Topic #1.0 – Propositional Logic: Operators




Alguns Conectivos Adicionais

l Variação da disjunção

l Condicional

l Biconditional


Operador OU Exclusivo

O operador binário ou exclusivo “⊕” (XOR) combina duas proposicões de modo quesomente terá valor True se uma for True e a outra não.

p = “Vou tirar 10 em EDLM,”q = “Vou reprovar em EDLM,”p ⊕ q = “Eu vou tirar 10 em EDLM ou eu

vou reprovar em EDLM (mas nãoambos!)”




l Note que p⊕q significaque p é true, ou q étrue, mas não ambos!

l Esta operação sechama ou exclusivo,porque exclui apossibilidade de ambos, p e q serem true.

l “¬” e “⊕” juntos não são operadoresuniversais para lógica booleana.

Ou Exclusivo – Tabela Verdade

p q p⊕qF F FF T TT F TT T F

Note adiferençapara OU.


Operador de Implicação

A implicação p → q afirma que p implica q.I.e., Se p é true, então q é true; mas se p

não é true, então q pode ser true oufalse.

E.g., Seja p = “Vc estuda muito.”q = “Vc vai tirar nota boa.”

p → q = “Se vc estuda muito, então vc irátirar nota boa.”

antecedente consequente




Implicação – Tabela Verdade

l p → q é false somente quandop é true as q não é true.

l p → q não requer quep ou q sejam true!

l E.g. “(1=0) → porcos podem voar” is TRUE!

p q p→q F F T F T T T F F T T T


Exemplos de Implicaçõesl “Se esta aula acabar, então o sol nasceu esta

manhã.”l True ou False?

l “Se Terça feira é um dia da semana, então eusou um pinguim.”l True ou False?

l “Se 1+1=6, então Lula é o presidente.”l True ou False?

l “Se a lua e feita de queijo, então sou mais ricoque Bill Gates.”l True ou False?




O que parece errado?

l Considere uma frase como,l “Se eu usar um calção vermelho amanhã, então

Osama bin Laden vai ser capturado!”

l Em lógica, consideremos a frase True mesmoque eu não use um calção vermelho ou Bin Laden seja preso.

l Mas, em linguagem normal se eu dissesseesta frase, todos pensariam que estoumentindo.l Porquê esta discrepância entre lógica e LN?


Resolvendo esta discrepância

l Em LN, a frase “se p então q” usualmente significaimplicitamente algo como:l “Em todas as possíveis situações, se p então q.”

l Ou seja, “Para p ser true e q false é impossível.”l Ou, “Eu garanto que não há dúvida que se p acontecer então q

acontece.”

l Em lógica isto deve ser expresso como::l “Para todas as possíveis situações s, se p é true na situação s,

então q é true na situação s”l Formalmente: ∀s, P(s) ? Q(s)

l Esta afirmativa é False no nosso exemplo, porque euposso usar um calção vermelho e Bin Laden continuarlivre.l LN e lógica então concordam uma com a outra.




Frases em LN que significa p → q

l “p implica q”l “Se p, então q”l “Se p, q”l “quando p, q”l “sempre que p, q”l “q se p”l “q quando p”l “q sempre que p”

l “p somente se q”l “p é suficiente para q”l “q é necessário para p”l “q segue de p”l “q é implicado por p”


Mas não estamos estudando LN ..

l Provavelmente não existem duas dessas frasecom mesmo significado em LN

l Por exemplo:, `Eu vou a festa se Maria for’pode ser interpretado como uma implicação`Somente vou à festa se Maria for’transformando a frase em uma bicondicional:`Eu vou a festa se e somente se Maria for’




Linguagem da Lógica ProposicionalDefinições Formais

l Átomos: p1, p2, p3, ..

l Fórmulas:l Todos os átomos são fórmulasl Se α é uma fórmula então ¬ α é uma fórmulal Se α e β são fórmulasentão as seguintes também

são fórmulas: (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β) (etc.)

l Exemplos de fórmulas: (p1 ∨ ¬ p2), ¬ ¬ ¬(p9 → p8), (p1∧ (p2 ∨ p3))


Linguagem da Lógica ProposicionalDefinições Formais

l Exemplos de fórmulas: (p1 ∨ ¬ p2), ¬ ¬ ¬(p9 → p8), (p1∧ (p2 ∨ p3))

l Convenção 1: parênteses mais externos sãoomitidos:p1 ∨ ¬ p2, ¬ ¬ ¬(p9 → p8), p1∧ (p2 ∨ p3)

l Convenção 2: associatividade permite omitirmais parênteses, e.g.:p1∧ p2 ∧ p3, p1 ∨ p2 ∨ p3




Implicação Contrapositiva

Seja a implicação p → q:l Sua inversa é: q → p.l Sua contrapositiva: ¬q → ¬ p.

Qual tem mesmo significado da implicação(mesma tabela verdade) de p → q?


Como comprovar isto?

Provando a equivalência p → q suainversa e contrapositiva usando tabelasverdade:p q ¬q ¬p p→q ¬q →¬pF F T T T TF T F T T TT F T F F FT T F F T T




Operador bicondicional

Biconditional p ↔ q afirma que p é true se e somente se (SSS) q é true.

p = “Lula ganhou a última eleição.”q = “Lula será presidente até 2006.”

p ↔ q = “Se, e somente se, Lula ganhou a última eleição, ele será presidente até 2006.”


Bicondicional – Tabela Verdade

l p ↔ q significa que p e qtem mesmo valor verdade.

l A tabela verdade éexatamente a oposta de ⊕!

p ↔ q significa ¬(p ⊕ q)

l p ↔ q não implicaque p e q são true, ou que um deles causa o outro.

p q p ↔ qF F TF T FT F FT T T




Operadores Booleanos - Resumo

l Vimos 1 operador unário e 5 binários:

p q ¬p p∧q p∨q p⊕q p→q p↔qF F T F F F T TF T T F T T T FT F F F T T F FT T F T T F T T


Para pensar:

1. Quantos conectivos distintos podem existir? p connective qT ? TT ? FF ? T F ? F

cada interrogação pode ser T ou F, então2.2.2.2=16 conectivos




Para pensar:

Exemplo de outro conectivop conectivo q compare: p and q T F T TT T F FF T T FF T F F

Nomes: NAND, Sheffer stroke


Para pensar:

Notações Alternativas

Name: not and or xor implies iffPropositional logic: ¬ ∧ ∨ ⊕ → ↔Boolean algebra: p pq + ⊕C/C++/Java (wordwise): ! && || != ==C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^Logic gates:




Para pensar:

2. Qual a diferença entre ↔ e ⇔ ?l A ⇔ B l que não existe valor verdade que possa

ser atribuido a A e B de modoa tornar A ↔B false

l So pode ser usado de maneira apropriadap∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q).

l A ↔ B l A e B tem o mesmo valor verdade


Tautologias de novo

l Introduzimos a noção de tautologiausando o exemplo p ∨ ¬p

l Agora conhecemos mais operadores, podemos construir mais tautologias, e.g.,(p∨q) ↔ ¬(¬p ∧ ¬q)(p→q) ↔ (¬q → ¬ p)




Quais proposições são Tautologias?

1. p→ (q → p)2. p→ (¬p → p)3. (q → p) → (p → q) 4. (q → p) ∨ (p → q)5. (p → (q → r)) → (q → (p → r))

Prove usando tabelas verdades.


Quais proposições são Tautologias?

1. p→ (q → p) Tautologia2. p→ (¬p → p) Tautologia3. (q → p) → (p → q) Contingência4. (q → p) ∨ (p → q) Tautologia5. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) Tautologia

1,2,4,5 são conhecidos como“`paradoxos’ da implicação material”, porque contrastam com a LN




Leis de Equivalência

l Similar às identidades aritméticas emálgebra,mas usadas para equivalênciasde proposições.

l Fornecem um padrão que pode ser usado para simplificar proposiçõescomplicadase encontrar semelhançasentre elas.


Leis de Equivalência - Exemplos

l Identidade: p∧T ⇔ p p∨F ⇔ pl Dominação: p∨T ⇔ T p∧F ⇔ Fl Idempotência: p∨p ⇔ p p∧p ⇔ pl Dupla negação: ¬¬p ⇔ pl Comutatividade: p∨q ⇔ q∨p p∧q ⇔ q∧pl Associatividade: (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)

(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)




Mais Leis de Equivalência

l Distributivas: p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)

l De Morgan:¬(p∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q¬(p∨q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

l Tautologia/contradição trivial:p ∨ ¬p ⇔ T p ∧ ¬p ⇔ F Augustus

De Morgan(1806-1871)


Definindo Operadores via Equivalências

Usando equivalências, podemos definiroperadores em termos de outrosoperadores.

l Ou Exclusivo: p⊕q ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)p⊕q ⇔ (p∧¬q)∨(q∧¬p)

l Implicação: p→q ⇔ ¬p ∨ ql Bicondicional: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p)

p↔q ⇔ ¬(p⊕q)




Problema Exemplo

l Verifique usando derivação simbólica(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r.

(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) [Expande defn. de →]⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∨ (p ⊕ r) [Expande defn. of ⊕]⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))

[Le DeMorgan’s]⇔ (¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))

continua


Problema Exemplo….

(¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) ⇔ [∨ comutas]⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) [∨ é associativa]⇔ q ∨ (¬p ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))) [distr. ∨ sobre ∧]⇔ q ∨ (((¬p ∨ (p ∨ r)) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))[assoc.] ⇔ q ∨ (((¬p ∨ p) ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))[taut. trivial] ⇔ q ∨ ((T ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))[dominação] ⇔ q ∨ (T ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))[identidade] ⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)) ⇔

continua




Problema Exemplo….

q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r))[DeMorgan’s] ⇔ q ∨ (¬p ∨ (¬p ∨ ¬r))[Assoc.] ⇔ q ∨ ((¬p ∨ ¬p) ∨ ¬r)[Idempot.] ⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬r)[Assoc.] ⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ¬r [Commut.] ⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r Q.E.D. (quod erat demonstrandum)C.Q.D.

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