Aula 5 | NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA

Trigonometria 2017

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AGRADECIMENTOS

Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da

Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da

Educação – Brasil.

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DOS AUTORES

Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,

realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não

tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.

O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os

devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.

Uma boa leitura!

Trigonometria 2017

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SUMÁRIO

1. Introdução...................................................................................................... 5

2. Ângulos e unidades de medida..................................................................... 5

3. O comprimento de um arco.......................................................................... 5

4. Conversão Grau Radiano....................................................................... 6

5. Arcos côngruos............................................................................................... 6

6. Classificação dos triângulos.......................................................................... 7

7. Círculo Trigonométrico................................................................................ 9

8. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis............................................. 10

9. Lei dos cossenos e dos senos.......................................................................... 10

10. Representação gráfica das funções trigonométricas.................................. 11

11. Exercícios de fixação..................................................................................... 12

12. Referências..................................................................................................... 14

13. Respostas dos exercícios de fixação.............................................................. 14

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1. Introdução

Para compreendermos qual objeto de estudo da trigonometria é fundamental que

possamos perceber o significado da palavra, que se dá pela junção de dois termos, onde

trigono significa triângulo e metria representa medidas. Sendo assim a trigonometria é a

parte da matemática responsável por estudar a relação existente entre os lados e os

ângulos de um triângulo.

2. Ângulos e unidades de medida

Denominamos ângulo () a região do plano limitada por duas semirretas,

denominadas de lados do ângulo, de mesma origem e denominado de vértice do ângulo.

A medida de ângulo pode ser dada em graus (°) ou em radianos (rad), onde (SILVA &

BARRETO FILHO, 2005):

Grau (°) é o arco unitário igual a

da circunferência;

Radiano (rad) é um arco unitário, cujo comprimento é igual ao

comprimento do raio da circunferência que contém o arco.

Figura 1: Representação do ângulo () formado por duas semirretas

3. O comprimento de um arco

Dada uma circunferência de centro , raio (r) e dois pontos p e q pertencentes à

circunferência de comprimento (C), temos que a distância entre os pontos (S) é um

arco de circunferência (IEZZI, 2013).

Figura 2: Representação dos pontos numa circunferência de raio r.

Para esse arco temos as seguintes relações importantes:

Comprimento da circunferência (C)

C = 2r (1)

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Comprimento do arco (S)

S = r (2)

É fácil perceber pela relação do arco que este é proporcional à medida do ângulo

central, tal que quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco e quanto menor o

ângulo menor o comprimento do arco.

4. Conversão Grau Radiano

Em muitas situações se faz necessário à representação de um ângulo expresso

em radianos para graus e vice versa, sendo possível realizar essa adequação por meio de

uma relação de regra de três simples. Se pudermos relacionar os ângulos da seguinte

forma (IEZZI, 2013):

0° 90° 180° 270° 360°

0

2

(3)

Então teremos:

(4)

Onde rad é o ângulo medido em rad e graus é o ângulo medido em graus.

5. Arcos côngruos

Dizemos que dois ou mais arcos são côngruos se as suas extremidades (p e q)

são coincidentes, tal que o resto da divisão entre o ângulo analisado e 2 (ou 360°)

indicará a qual o ângulo equivalente do dividendo.

Exemplo 1 - Considere o ângulo medido igual a 840°, determine o seu menor

arco côngruo.

Solução:

Para determinarmos o menor arco basta realizar a divisão por 360°, tal que:

Logo 840° possui o mesmo valor de seno, cosseno, tangente, cotangente,

secante e cossecante do ângulo de 120° e localizado no segundo quadrante.

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6. Classificação dos triângulos

Os triângulos são figuras geométricas fechada compostas por três lados e três

ângulos, sendo classificados de acordo com as medidas de cada um deles. Dessa forma,

temos a seguintes formas (IEZZI, 2013):

Classificação quanto aos lados

Equilátero – Figura composta por três lados iguais.

Figura 3: Representação do triângulo equilátero, onde a = b = c.

Isósceles – Figura com dois lados iguais e um diferente.

Figura 4: Representação do triângulo isósceles, onde a = b c.

Escaleno – Figura com três lados diferentes.

Figura 5: Representação do triângulo escaleno, onde a b c.

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Classificação quanto aos ângulos

Retângulo – Figura que possui um ângulo reto, onde os lados desse

triângulo são chamados de hipotenusa e catetos. Esse tipo de triângulo

fornece algumas identidades importantes para o estudo de diversas áreas.

Figura 6: Representação do triângulo retângulo.

O comprimento da hipotenusa e dos catetos, oposto e adjacente aos ângulos

considerados, se relacionam pelo Teorema de Pitágoras descrito pela expressão:

(5)

Esse tipo de triângulo possui um conjunto de relações, denominadas razões

trigonométricas, onde para cada ângulo podem ser obtidas as razões conhecidas como:

seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. No caso do ângulo alfa ()

elas são escritas da seguinte maneira (SILVA & BARRETO FILHO, 2005):

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

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tal que essas relações podem ser escritas de forma equivalente para o ângulo beta ().

Acutângulo – Figura que possui os três ângulos agudos, isto é, os

ângulos possuem medida é menor que 90°;

Figura 7: Representação do triângulo acutângulo, < 90°, < 90° e < 90°.

Obtusângulo – Figura que possui um ângulo obtuso, isto é, um dos

ângulos é maior que 90°.

Figura 8: Representação do triângulo obtusângulo, onde > 90°.

7. Círculo Trigonométrico

Caracteriza-se por ser uma circunferência construída em um sistema de

coordenadas cartesianas, onde os eixos de x e y acabam dividindo o círculo em quatro

partes iguais (ALEJANDRO ey al, 1997).

Figura 9: Representação do círculo trigonométrico.

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Cada uma dessas partes é chamada de quadrantes e que fornecem as funções,

seno, cosseno e tangentes sinais característicos, para certo ângulo considerado, no caso

da figura 9 o ângulo alfa, que são os seguintes (ALEJANDRO ey al, 1997):

1° Quadrante 2° Quadrante 3° Quadrante 4° Quadrante

Seno + + - -

Cosseno + - - +

Tangente + - + -

8. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

São chamados de ângulos notáveis os ângulos que mais aparecem

frequentemente em diversas operações algébricas, que são 30°, 45° e 60°. Tal que:

30° 45° 60°

sen

cos

tan

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9. Lei dos cossenos e dos senos

A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras, com a qual se

relaciona os lados do triângulo e um dos seus ângulos, no caso de não exista um ângulo

reto (ALEJANDRO ey al, 1997).

Figura 10: Representação de um triângulo qualquer.

(12)

No caso da lei dos senos, esta estabelece a relação entra a medida de um lado e o

seno do ângulo oposto a ele.

(13)

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10. Representação gráfica das funções trigonométricas

Algumas funções trigonométricas têm representações gráficas bem descritas e

são fundamentais o seu conhecimento para a resolução e compreensão de muitos

fenômenos existentes na natureza. Confira algumas delas (SHIGUEKIYO, 2008):

Função Seno

Função Cosseno

Função Tangente

Função Secante

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Função Cossecante

Função Cotangente

11. Exercícios de fixação

1. (Cefet – PR) A rua Tenório Quadros

e a avenida Teófilo Silva, ambas

retilíneas, cruzam-se conforme um

ângulo de 30º. O posto de gasolina

Estrela do Sul encontra-se na

Avenida Teófilo Silva a 4 000 m do

citado cruzamento. Portanto,

determine em quilômetros, a

distância entre o posto de gasolina

Estrela do Sul e a Rua Tenório

Quadros?

2. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo,

um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois

de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

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3. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o

plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

A) 6√3 m B) 12 m C) 13,6 m D) 9√3 m E) 18 m.

4. (UNEMAT – 2009) A figura

mostra, em planta, o trecho de um

rio onde se deseja construir uma

ponte AB. De um ponto C, a 100

metros de B, mediu-se o ângulo

= 45º e, do ponto A, mediu-se

o ângulo = 30º.

O comprimento da ponte AB é:

A) B) C)

D) 2 E) 200 m

5. (UNESP – 2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3

graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da

rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista

levou para percorrer completamente a rampa é:

A) 2,5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 30

6. (UEMG – 2011) Observe a tirinha abaixo:

Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja retângulo, de altura igual a 2

metros, e que essa rampa forme um ângulo de 60° com o solo, a distância percorrida

pelo carrinho até o ponto mais alto da rampa foi de:

A)

B)

C)

D) 1 m

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12. Referências

ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa – Matemática. São

Paulo: Klick Editora, 1997.

IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: Trigonometria. 9º ed. São Paulo:

Atual, 2013.

SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna,

2008.

SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo:

FTD, 2005.

13. Resposta dos exercícios de fixação

1. 2,3 km

2. 500 m

3.

4.

5.

6.