trigonometria e funções trigonométricas
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Resumo de
Trigonometria
Resumo de
Trigonometria
HIPHIPCATCAT
CATCAT
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)
HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²
Exemplo: O perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a:
12cm
5cm
HIP HIP² = 5² + 12²HIP² = 25 + 144
HIP² = 169HIP = 13
5 + 12 +13 = 30cmPerímetro =
HIPHIPC.OC.O
C.AC.A
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
+ = 90º + = 90ºÂngulos:Ângulos:
AgudosAgudos
Sen() = C.O HIP
Sen() = C.O HIP
Cos() = C.A HIP
Cos() = C.A HIP
Tan() = C.O C.A
Tan() = C.O C.A
Relações trigonométricas:Relações trigonométricas:
SOHSOH CAHCAH TOATOA
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos() é igual a:
X
10cm8cm 10² = 8² + x²
100 = 64 + x²36 = x²x = 6
Cos() =
HIPHIPC.OC.O
C.AC.A
HIP
C.A 10
6
5
3
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2
2
1 0
TAN 0 3
3 1 3
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
Arcos NotáveisArcos Notáveis
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retânguloExemplo: Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do prédio é:
h
Sen(30º) =
30º30º
HIPHIP
C.OC.O
C.AC.A
HIP
C.O
12
h
2
1
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2
2
1 0
TAN 0 3
3 1 3
12m60º60º
2h=12 h=6m
Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo
Logo: Logo:
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo é igual a:
2cm
4cm
= 60ºcos() =
HIPHIP
C.OC.O
C.AC.A
HIP
C.A 4
2
2
1
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2
2
1 0
TAN 0 3
3 1 3
1. Introdução
A
BArco AB
O
Ângulo central
Equivalência: rd = 180oEquivalência: rd = 180o
ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.
• Forma geral:
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.
• Forma geral:
2. Arcos côngruos
A
B
x = + 2kx = + 2k
3. Circunferência trigonométrica
O xA’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
4. Seno e Cosseno
O xA’ A
y
B
B’
P
M
N
sen
cos
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen(x) 1
• sinal do seno:
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen(x) 1
• sinal do seno:
O xA’ A
y
B
B’
1
-1
4. Seno e Cosseno
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos(x) 1
• sinal do cosseno:
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos(x) 1
• sinal do cosseno:O x
A’ A
y
B
B’
-1 1
4. Seno e Cosseno
5. Tangente
O xA’ A
y
B
B’
P
t
t // yt // yM
tg
O xA’ A
y
B
B’
5. TangenteSinal
O xA’ A
y
B
B’
1ºQ
P F
F
6. Redução ao 1º quadrante
6. Redução ao 1º quadrante
a) 2o quadrante
• cos ( - x) = - cos x
• tg ( - x) = - tg x
a = ( - x)a = ( - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2• sen ( - x) = sen x
b) 3o quadrante
• sen ( + x) = - sen x
a = ( + x)a = ( + x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2
6. Redução ao 1º quadrante
• cos ( + x) = - cos x
• tg ( + x) = tg x
c) 4o quadrante
• sen (2 - x) = - sen x
a = (2 - x)a = (2 - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2
6. Redução ao 1º quadrante
• cos (2 - x) = cos x
• tg (2 - x) = - tg x
7. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1
II. tg x = xcos
xsen
a) Função seno :
f : IR IR
f(x) = sen x
f : IR IR
f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
8. Funções trigonométricas
a) gráfico :
8. Funções trigonométricas
- -y
x0 32
22
2
-
-
-
a) Função seno :
Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)
Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c
2
8. Funções trigonométricas
b) Função cosseno :
f : IR IR
f(x) = cos x
f : IR IR
f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
8. Funções trigonométricas
b) gráfico :
8. Funções trigonométricas
- -y
x0 32
22
2
-
-
-
b) Função cosseno :
Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)
Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)
• A função y = cos x é par.
• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c
2
8. Funções trigonométricas