trigonometria e funções trigonométricas

Resumo de

Trigonometria

Resumo de

Trigonometria

HIPHIPCATCAT

CATCAT

Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retângulo

PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)

HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²



Exemplo: O perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a:

12cm

5cm

HIP HIP² = 5² + 12²HIP² = 25 + 144

HIP² = 169HIP = 13

5 + 12 +13 = 30cmPerímetro =

HIPHIPC.OC.O

C.AC.A


+ = 90º + = 90ºÂngulos:Ângulos:

AgudosAgudos

Sen() = C.O HIP

Sen() = C.O HIP

Cos() = C.A HIP

Cos() = C.A HIP

Tan() = C.O C.A

Tan() = C.O C.A

Relações trigonométricas:Relações trigonométricas:

SOHSOH CAHCAH TOATOA



Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos() é igual a:

X

10cm8cm 10² = 8² + x²

100 = 64 + x²36 = x²x = 6

Cos() =

HIPHIPC.OC.O

C.AC.A

HIP

C.A 10

6

5

3

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2

2

1 0

TAN 0 3

3 1 3


Arcos NotáveisArcos Notáveis

Parte I – No triângulo retânguloParte I – No triângulo retânguloExemplo: Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do prédio é:

h

Sen(30º) =

30º30º

HIPHIP

C.OC.O

C.AC.A

HIP

C.O

12

h

2

1

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2

2

1 0

TAN 0 3

3 1 3

12m60º60º

2h=12 h=6m


Logo: Logo:

Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo é igual a:

2cm

4cm

= 60ºcos() =

HIPHIP

C.OC.O

C.AC.A

HIP

C.A 4

2

2

1

0º 30º 45º 60º 90º

SEN 0 2

1

2

2

2

3 1

COS 1 2

3

2

2

2

1 0

TAN 0 3

3 1 3

1. Introdução

A

BArco AB

O

Ângulo central

Equivalência: rd = 180oEquivalência: rd = 180o

ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

2. Arcos côngruos

A

B

x = + 2kx = + 2k

3. Circunferência trigonométrica

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

4. Seno e Cosseno

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

sen

cos

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen(x) 1

• sinal do seno:

Seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen(x) 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

4. Seno e Cosseno

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos(x) 1

• sinal do cosseno:

Cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos(x) 1

• sinal do cosseno:O x

A’ A

y

B

B’

-1 1

4. Seno e Cosseno

5. Tangente

O xA’ A

y

B

B’

P

t

t // yt // yM

tg

O xA’ A

y

B

B’

5. TangenteSinal

O xA’ A

y

B

B’

1ºQ

P F

F

6. Redução ao 1º quadrante


a) 2o quadrante

• cos ( - x) = - cos x

• tg ( - x) = - tg x

a = ( - x)a = ( - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• sen ( - x) = sen x

b) 3o quadrante

• sen ( + x) = - sen x

a = ( + x)a = ( + x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2


• cos ( + x) = - cos x

• tg ( + x) = tg x

c) 4o quadrante

• sen (2 - x) = - sen x

a = (2 - x)a = (2 - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2


• cos (2 - x) = cos x

• tg (2 - x) = - tg x

7. Relações fundamentais

I. sen2 x + cos2x = 1

II. tg x = xcos

xsen

a) Função seno :

f : IR IR

f(x) = sen x

f : IR IR

f(x) = sen x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.

x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

8. Funções trigonométricas

a) gráfico :


- -y

x0 32

22

2

-

-

-

a) Função seno :

Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)

Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)

• A função y = sen x é ímpar.

• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos.

• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c

2


b) Função cosseno :

f : IR IR

f(x) = cos x

f : IR IR

f(x) = cos x

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.

x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]


b) gráfico :


- -y

x0 32

22

2

-

-

-

b) Função cosseno :

Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)

Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)

• A função y = cos x é par.

• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos.

• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c

2


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