trigonometria

7/16/2019 TRIGONOMETRIA

http://slidepdf.com/reader/full/trigonometria-5633871a521ee 1/56

FMC/2008 1

Capítulo 1 – Conceitos Trigonométricos Básicos 02

Capítulo 2 – Trigonometria na Circunferência: Arcos e Ângulos 03

Capítulo 3 – Razões Trigonométricas na Circunferência 08

Capítulo 4 – Relações Trigonométricas Fundamentais 08

Capítulo 5 – Redução ao Primeiro Quadrante 11

Capítulo 6 – Transformações Trigonométricas 16

Capítulo 7 – As Funções Trigonométricas 20

Capítulo 8 – Equações Trigonométricas 35

ANEXO – Questões de Trigonometria UPE e UFPE (2000-2008) 40

Por F FF Fábio Machado Cavalca ábio Machado Cavalca ábio Machado Cavalca ábio Machado Cavalcanti nti nti nti

NOME: _______________________________________________________

Recife, ___ de __________ de 2008



FMC/2008 2

Capítulo 1 – Conceitos Trigonométricos Básicos

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

b

ctg

a

b

a

csen

=

=

=

α

α

α

cos

c

btg

a

c

a

bsen

=

=

=

β

β

β

cos

Valor da Tangente em Função do Seno e do Cosseno

α

α α

cos

sentg = e

β

β β

cos

sentg =

Razões Trigonométricas de Ângulos Complementares

=

=

⇒°=+

α β

β α

β α

cos

cos

90

sen

e

sen

Razões trigonométricas dos ângulos de 30°, 45° e 60°

α α sen α cos α tg 30°

2

1

2

3

3

3

45°

2

2

2

2

1

60°

2

3 2

1 3

OBS: A partir das idéias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-secossecante, secante e cotangente de x assim:

senx

x1

seccos = ; para 0≠senx

x x

cos

1sec = ; para 0cos ≠ x

senx

xg

coscot = ; para 0≠senx

Quando 0≠senx e 0cos ≠ x , podemos ainda escrever: tgxg 1cot = .



FMC/2008 3

Exemplo 1: Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de60°. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob ângulo de 45°. Qual é aaltura do prédio?

Resp:13

330

−=h m.

Capítulo 2 – Trigonometria na Circunferência: Arcos e ÂngulosComprimento de um Arco de Circunferência

Calcular o comprimento de um arco de circunferência de raio igual a 2 cm, sabendo que oângulo central correspondente ao arco de 60°.

Resp: ℓ = 2,09 cm

OBS: 1) Radiano é um arco de comprimento igual ao raio da circunferência que o contém.2) Um arco de uma volta mede 360°, 400gr ou π 2 rad.3) 180° equivalem a π rad.4) Submúltiplos do grau: 1° = 60’ e 1’ = 60’’.

Exemplo 1: Converter:a) em radianos os arcos de 60° e 150°.

Resp:3

π rad e

6

5π .

b) em graus os arcos de3

π rad e

4

5rad.

Resp: 60° e π

°225

.



FMC/2008 4

Ciclo (ou Circunferência) Trigonométrico

Qualquer circunferência na qual se adota um sentido de percurso para os arcos denomina-

se circunferência orientada. O ponto A usado como referencial é denominado origem dosarcos. Convencionou-se o sentido anti-horário como positivo.

O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, de raio unitário, à qual se associaum sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origemdo sistema de coordenadas cartesianas. O ciclo trigonométrico fica dividido em quatroregiões iguais, denominadas quadrantes, contados sempre no sentido anti-horário, a partirdo ponto A.

Seja x a medida de um arco do ciclo trigonométrico. Para valores de x, tais que°<<° 3600 x

, temos:



FMC/2008 5

Ou ainda, para valores de x em radianos, tais que π 20 << x , temos:

Arcos Trigonométricos

Vamos considerar o arco AM no ciclo trigonométrico abaixo:

A cada arco está associado um ponto Mdo ciclo trigonométrico, que é aextremidade desse arco. Os arcos podemser positivos ou negativos conforme osentido adotado.

• No sentido anti-horário, osarcos são positivos.

• No sentido horário, os arcossão negativos.

Existem arcos de medidas diferentes quetêm a mesma extremidade.

OBS: Arcos côngruos são arcos de mesma origem e mesma extremidade. Se α e β sãodois arcos côngruos então π β α 2⋅=− k , com Z k ∈ .

Exemplo 1: Determine dois arcos côngruos de 150°, sendo um positivo e um negativo.

Resp: 870° e – 210° (por exemplo)

Expressão Geral dos Arcos Trigonométricos

De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos côngruos a um arco de medidaoα

da seguinte maneira:π α α 2⋅+= k o (em radianos)

°⋅+= 360k oα α (em graus)



FMC/2008 6

Em que:

o α é a expressão geral dos arcos côngruos a oα .o °<<° 3600 α .o k é o número de voltas, com Z k ∈ .o O sentido do percurso do arco no ciclo trigonométrico é determinado pelo sinal de

k. Então temos: Sentido anti-horário para k > 0 Sentido horário para k < 0

K > 0

K = 0 1ª Determinação Positiva =α

K = 1 2ª Determinação Positiva =α

K = 2 3ª Determinação Positiva =α ... ... ...

K = n (n + 1)ª Determinação Positiva =α

K < 0

K = - 1 1ª Determinação Negativa =α

K = - 2 2ª Determinação Negativa =α

... ... ...

K = - n nª Determinação Negativa =α

Exemplo 1: Calcular a primeira determinação positiva dos arcos de:a) 1200° Resp: 120°

b) 4

17π rad Resp:

4

π

c) – 1470° Resp: 330°d) 1340°10’ Resp: 260°10’

e)

11

127π −

rad Resp: 11

5π

Exemplo 2: Escrever a expressão geral de todos os arcos côngruos de:a) 60° Resp: °⋅+°= 36060 k α , com Z k ∈

b) 4

5π rad Resp: π

π α k 2

4

5+= , com Z k ∈

c) 3

14π rad Resp: π

π α k 2

3

2+= , com Z k ∈



FMC/2008 7

Exemplo 3: Dado o arco trigonométrico igual a3

22π rad, determinar:

a) a menor determinação; Resp:3

4π

b) a 5ª determinação positiva; Resp:3

28π

c) a 3ª determinação negativa; Resp:3

14π −

Ângulo Formado pelos Ponteiros de um Relógio

A volta completa do mostrador do relógio tem 360°, logo os pontos correspondentesaos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 12 dividem a circunferência em 12 arcos de 30°.

Os deslocamentos dos ponteiros são proporcionais entre si e também são proporcionaisao tempo; em 60 min o ponteiro dos minutos percorre 360° e o das horas 30°.

Exemplo 1: Determinar a medida do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às10h15min.

Resp: 142°30’



FMC/2008 8

Capítulo 3 – Razões Trigonométricas na Circunferência

Considerando a figura abaixo onde o raio da circunferência mede uma unidade de

comprimento. =senx ______

= xcos ______

=tgx ______

=gxcot ______

= xsec ______

= xseccos _____

Capítulo 4 – Relações Trigonométricas Fundamentais

No Capítulo 1, estudamos as razões trigonométricas e algumas relações, tais como:

x

senxtgx

cos= ; para todo π

π k x +≠

2, Z k ∈

senx xgx coscot = ; para todo π k x ≠ , Z k ∈

x x

cos

1sec = ; para todo π

π k x +≠

2, Z k ∈

senx x

1seccos = ; para todo π k x ≠ , Z k ∈

A seguir, vamos estudar outras relações importantes que envolvem as funçõestrigonométricas.

1cos22 =+ x xsen ; para todo IR x∈

x xtg22 sec1=+ ; para π

π k x +≠

2, Z k ∈

x xg22 seccos1cot =+ ; para π k x ≠ , Z k ∈

tgxgx

1cot = ; para π

π k x +≠

2e π π k x +≠ , ou seja,

2

π k x ≠ , Z k ∈

OBS: Todas essas relações são também conhecidas como identidades trigonométricas.



FMC/2008 9

Exemplo 1: Sabendo que12

5=tgx e que π

π << x

2, calcular o valor de xcos .

Resp:1312cos −= x

Exemplo 2: (FGV-SP)senx x

x x

−

−

seccos

cossecé equivalente a:

a) x3sec b) xsen

2 c) xtg3 d)

tgx

1e)

xtg21

1

−Resp: C

Exemplo 3: (FGV-SP) Simplificando a expressãotgx xsen

gx x

−

−

2

2 cotcos, obtemos:

a) x2sec b) xsen

2 c) xtg2 d) x

2cos e) xg2cot Resp: E

Exemplo 4: A expressão

xtg

xsen x4

44

1

cos

−

−é equivalente a:

a) senx x +cos b) senx x −cos c) x4cos d) xsen

4 Resp: C

Exemplo 5: Sendo3

2cot =gx , com

2

3π π << x , determine o valor de

x xsen22 cos163 ⋅+⋅ .

Resp: 07

Exemplo 6: Calcule o valor da expressão:( ) ( )°++°+°−°++°+° 89sen...2sen1sen89cos...2cos1cos 222222

Resp: 0

Exemplo 7: (Feeq-CE) Se 3sec = x e π π

22

3<< x , então senx vale:

a) 322 b) 322− c) 223 d) 22− e) nda Resp: A



FMC/2008 10

Exemplo 8: (Fatec-SP) Simplificando a expressão 2secseccoscos

1 222

+−⋅

= x x x

y ,

vamos obter:a) y = x b) y = 2 c) y = 0 d) y = 1 e) y = -1 Resp: D

Exemplo 9: (FGV-SP) Sabe-se que4

1−=senx e

2

3π π << x . Então, a expressão

xtg x x2seccos ⋅⋅ tem valor:

a) -1/15 b) 1/15 c) -1 d) 1 e) 0 Resp: B

Exemplo 10: (FGV-SP) Sabe-se que25

24=sena . Então, o valor de

a

a y

cos1

cos1

+

−= , com

20

π ≤≤ a , é:

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5 d) 5/4 e) 1/2 Resp: A

Exemplo 11: Dado m xsenx =+ cos , determine:

a) xsenx cos⋅ Resp:2

12−m

b) x xsen33 cos+ Resp:

−

2

3 2mm

c) x xsen44 cos+ Resp: 22 m−

d) x xsen66 cos+ Resp:

−−

2

131

2m

e) x xsen x xsen 2244 cos3cos ⋅⋅+− Resp: 1

LEMBRETE!!!( )

( )( )

( )( )( )( )2233

2233

22

222

babababa

babababa

bababa

ab2baba

++−=−

+−+=+

−+=−

−+=+



FMC/2008 11

Capítulo 5 – Redução ao Primeiro Quadrante

As tabelas trigonométricas geralmente trazem os valores do seno, do cosseno e da

tangente de arcos que variam de 0° a 90°. De que maneira poderíamos, por exemplo,calcular sen126°, cos191° ou tg318°? Faremos isso, relacionando arcos do segundo, doterceiro e do quarto quadrantes, com arcos do primeiro quadrante, para então calcularmosos valores das funções trigonométricas. Esse processo geralmente é denominado reduçãoao primeiro quadrante.

Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, como coordenadas de umponto, têm sinais que dependem do quadrante em que se encontram, conforme o diagramaabaixo:

Redução do 2º ao 1º quadrante

O arco AM tem medida x ; O arco 1 AM tem medida x−π ; O ponto A é a origem dos arcos x e

x−π .

A soma das medidas desses arcos é iguala π rad (ou 180°). Por isso, eles sãodenominados arcos suplementares.

( )

( )

( )

( )

( )

( ) x x

x x

gx xg

tgx xtg

x x

senx xsen

seccosseccos

secsec

cotcot

coscos

=−

−=−

−=−

−=−

−=−

=−

π

π

π

π

π

π



FMC/2008 12

Redução do 3° ao 1° quadrante

O arco AM tem medida x ;

O arco 1 AM tem medida x+

π ; O ponto A é a origem dos arcos x e x+π .

Os arcos de medidas x e x+π diferemde π rad (ou 180°). Por isso, eles sãodenominados arcos explementares.

( )

( )

( )( )

( )

( ) x x

x x

gx xgtgx xtg

x x

senx xsen

seccosseccos

secsec

cotcot

coscos

−=+

−=+

=+

=+

−=+

−=+

π

π

π π

π

π

OBS: Alguns autores preferem dizer que o arco 1 AM tem medida x e o arco AM temmedida π − x .

Redução do 4° ao 1° quadrante

Os arcos de medidas x e x−π 2 representados no ciclo somam π 2 rad(ou 360°). Por isso, eles são denominadosarcos replementares.

( )

( )

( )

( )

( )

( ) x x

x x

gx xg

tgx xtg

x x

senx xsen

seccos2seccos

sec2sec

cot2cot

2

cos2cos

2

−=−

=−

−=−

−=−

=−

−=−

π

π

π

π

π

π



FMC/2008 13

OBS: O arco de medida x−π 2 corresponde, no ciclo trigonométrico, ao arco de medida

x− . Então, temos:

( )

( )

( )( )( )

tgx x

senx

x

xsen xtg

x x

senx xsen

−=−

=−

−=−

=−

−=−

coscos

coscos

Redução de

2,

4

π π a

4,0π

Os arcos AM , de medida x , e 1 AM , de

medida x−2

π , são complementares, pois

suas medidas somam2

π rad (ou 90°).

senx x

x xsen

=

−

=

−

2cos

cos2

π

π

Arcos da Forma xk

±2

π

1º CASO: k é par → Retiram-se todas as circunferências completas ( π 2 rad) e a função

trigonométrica não sofre alteração ao ser reduzida para x. Observa-se o sinal da função noquadrante.( ) =+ xsen π 7 Resp: senx− ( ) =− xπ 12sec Resp: xsec

2º CASO: k é ímpar → Retiram-se todas as circunferências completas e a funçãotrigonométrica é trocada pela sua co-função ao ser reduzida para x. Observa-se o sinal dafunção no quadrante.

=

− xtg

2

π Resp: gxcot

=

+ xsen

211π Resp: xcos−



FMC/2008 14

Exemplo 1: Pelo que foi estudado em trigonometria, analise os itens abaixo e conclua.

I II0 0

( ) 2

1

30−=°−

sen 1 1 °>° 2cos3cos 2 2 2cos3cos > 3 3 °>° 23 sensen 4 4 23 sensen >

Resp: VFFVF

Exemplo 2: Calcular: ( 74,042cos =° ; 22,013 =°sen ; 97,013cos =° )

a) 6

5π sen Resp:

2

1

b) 4

11cos

π Resp:

22

−

c) 3

2π tg Resp: 3−

d) °222sec Resp: 35,1− e) °193tg Resp: 23,0

f) 6

7π sen Resp:

2

1−

g) 6

11cot

π g Resp: 3−

h) 3

5seccos

π Resp:

3

32−

i) °315sen Resp:2

2−

j)

−

3

π sen Resp:

2

3−

Exemplo 3: (Unicap-PE) Para x = 1.410°, assinale a única alternativa que corresponde ao

valor de xsenx

tgx x y

cos

sec

+

+= .

a) 331+ b) 331− c) 331+− d) 331−− e) 0 Resp: A



FMC/2008 15

Exemplo 4: Simplificando a expressão( )

( ) ( ) xtg xsen x

xtg x xsen

y

−⋅

+⋅+

+⋅

−⋅+

=

π π

π

π π π

42

75cos

2

15

2cos

obtemos,

y igual a:a) -1 b) 1 c) tgx d) gxcot− e) 0 Resp: A

Exemplo 5: Calcule( ) ( )

( ) ( )

−+−−−

−−

−−−

xsen x xtg

xtg x xsen

22cos

22

cos

π π π

π π

π

Resp: -1

Exemplo 6: Dado°

°⋅°=

2205

1110cos2460

tg

sen M , pode-se dizer que:

a) M = -3 b) M = -3/4 c) M = -3/8 d) M = -1/8 e) M = 3/4 Resp: B

Exemplo 7: Simplifique as expressões:

a)

− xsen

2

3π Resp: xcos−

b)

− x

2

3cos

π Resp: senx−

c)

+ xsen

2

3π Resp: xcos−

d)

+ x

2

3cos

π Resp: senx

Exemplo 8: Simplifique( ) ( )

−⋅

+

−⋅−=

xg xtg

x xsen y

2

3cot

2

cos2

π π

π π . Resp: xsenx cos⋅−

Exemplo 9: Simplifique a expressão( ) ( )

( ) ( ) x xg

xtg xsen y

−°⋅+°

+°⋅−°=

270cos270cot

90180Resp: xg

2cot−



FMC/2008 16

Capítulo 6 – Transformações Trigonométricas

Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos

tgbtga

tgbtgabatg

tgbtga

tgbtgabatg

senbsenababa

senbsenababa

asenbbsenabasen

asenbbsenabasen

⋅+

−=−

⋅−

+=+

⋅+⋅=−

⋅−⋅=+

⋅−⋅=−

⋅+⋅=+

1)(

1)(

coscos)cos(

coscos)cos(

coscos)(

coscos)(

Fórmulas de Multiplicação (Arco Duplo)

atg

tgaatg

asena

aa

asenaa

asenaasen

2

2

2

22

1

22

212cos

1cos22cos

cos2cos

cos22

−

=

−=

−=

−=

⋅=

Fórmulas de Multiplicação (Arco Triplo)

Use nas fórmulas de arco duplo,aaa += 23 .

atg

atgtgaatg

asensenaasen

aaa

2

3

3

3

31

33

433

cos3cos43cos

−

−=

−=

−=

Fórmulas de Divisão (Arco Metade)

Se 1cos22cos 2−= x x ⇒

xsen x212cos −= , fazendo a x =2 , temos:

aaatg

aa

aasen

cos1cos1

2

2

cos1

2cos

2

cos1

2

+

−±=

+±=

−±=

Transformações em Produto

q p

q psentgqtgp

q p

q psentgqtgp

q psen

q psenq p

q pq pq p

q pq psensenqsenp

q pq psensenqsenp

coscos

)(

coscos

)(22

2coscos

2cos

2cos2coscos

2cos

22

2cos

22

⋅

−=−

⋅

+=+

−⋅

+−=−

−⋅

+=+

+⋅

−=−

−⋅

+=+

Exemplo 1: Calcule:

a) °15cos Resp:4

26 +

b) °75tg Resp: 32 +

c) °105cos Resp: 4 62−



FMC/2008 17

Exemplo 2: Assinale a alternativa que completa corretamente a igualdade: =⋅

+

xsen

x

22

2cos1

a) tgx2 b) gxcot2 c)2

cot gxd)

2

tgxe) xtg

2 Resp: C

Exemplo 3: Calcule '3022°sen . Resp:2

22 −

Exemplo 4: É dado 5

3=

senx , com 20

π <<

x . Calcule

−

6

π

xsen . Resp: 10

433 −

Exemplo 5: Se2

1=tgx e

4

1=tgy , determine ( ) y xtg + . Resp: 6/7

Exemplo 6: São dados 1=tga e5

4−=senb , com

20

π << a e

2

3π π << b . Calcule

( )ba +cos . Resp:10

2

Exemplo 7: Sabe-se que4π =+ y x e

135senx , com

20 π << x . Calcule seny e ycos .

Resp:26

217;

26

27

Exemplo 8: Se ( ) 1=+ y xtg e 2=+ tgytgx , calcule tgytgx ⋅ . Resp: -1



FMC/2008 18

Exemplo 9: (Faap-SP) Se7

1=tga e

10

1=senb , com

20

π << b , calcule ( )batg 2+ .

Resp: 1Exemplo 10: Sabendo que

5

2cos =− asena , calcule asen2 .

Resp:25

21

Exemplo 11: Calcule x em função do raio R do círculo.

Resp:5

8 R x =

Exemplo 12: Transformar em produto:a) °+°= 1628 sensen y Resp: °⋅°⋅ 6cos222 sen b) x x y 5cos9cos += Resp: x x 2cos7cos2 ⋅⋅

c)

−

+=

x

xsenx y

4cos

cosπ

Resp: 2

d) x

x y

cos

2cos1+= Resp: xcos2 ⋅

e) senx y −= 1 Resp:

+⋅

−⋅

24cos

242

x xsen

π π

f) xsen xsensenx xsen y 4811 +++= Resp:2

3cos

2

7cos64

x x xsen ⋅⋅⋅

g) y x y x

coscos coscos−+ Resp:

+−

2cot y xg

h) ysen xsen22

− Resp: ( ) ( ) y xsen y xsen −⋅+

i) coxsenx − Resp:

−⋅

42

π xsen

j) senx x −cos Resp:

−⋅ xsen

42

π

k) * xsen y 21−= Resp:

+⋅ xsen

42 2 π

l) * senx xsen ⋅− 22 Resp:2

4 2 xsensenx ⋅⋅−



FMC/2008 19

Exemplo 13: (Fuvest-SP) Determine o valor de ( )2'3022cos'3022 °+°sen . Resp:2

22 +

Exemplo 14: Se 7cot =+ gxtgx , calcule xsen221⋅ . Resp: 6

Exemplo 15: Se°

°−

°

°=

20cos

40cos

20

40

sen

sen p , pode-se dizer que o valor de 12

− p é:

Resp: 20

Exemplo 16: Calcule o valor de °⋅°⋅° 160cos80cos40cos . Resp: -1/8

Exemplo 17: Calcule ( ) °⋅°+° 2010cot10 sengtg Resp: 2

Exemplo 18: Simplifique( )

( ) senx xsen

x x

−

−

5

5coscos. Resp: xtg3

Exemplo 19: Simplifique: °−°+° 20cos40cos80cos . Resp: 0

Exemplo 20: Desenvolva: tgx y −= 1 . Resp: x

senx x

cos

cos −

Exemplo 21: (Cefet-PR) Simplificando a expressão x xsen xsen 5cos328 ⋅⋅− , obtém-se:a) x2cos b) senx c) xsen2 d) 1 e) 0 Resp: C



FMC/2008 20

Capítulo 7 – As Funções Trigonométricas

Agora que sabemos como obter valores de senos, cossenos e tangentes para números reais,

podemos defini-los como funções trigonométricas . Essencialmente, é apenas umaformalização maior em torno do que foi visto nos capítulos anteriores, agora sob o pontode vista de funções. Assim, estudaremos neste capítulo a função seno, a função cosseno, afunção tangente e outras decorrentes destas.

NÃO ESQUEÇA!!! ☺☺☺☺ Função Periódica → Uma função f: A → B é periódica se existir um número p > 0satisfazendo a condição: ( ) ( ) x f p x f =+ , para todo A x∈ . O menor valor de p quesatisfaz a condição acima é chamado período de f.

O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que serepete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará construirmos um carimbo ondeesteja desenhado o tal elemento de curva e ir carimbando. Período é o comprimento docarimbo (medido no eixo dos x).

As funções trigonométricas se caracterizam por apresentarem uma periodicidade.

Função Seno IR IR f →:

( ) senx x f x =→

GRÁFICO

Para construir o gráfico da função seno, vamos construir uma tabela com valores de x da 1ªvolta positiva. O seno, em alguns casos, será usado em valores aproximados.



FMC/2008 21

Veja o gráfico inicialmente para [ ]π 2;0∈ x e depois para IR x∈

Como a função ( ) senx x f = é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínioé IR , a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores queπ 2 . Assim, o gráfico da função IR IR f →: , definida por ( ) senx x f = , é a curva

chamada senóide, que tem o seguinte aspecto.

OBSERVAÇÕES:1º) O domínio de ( ) senx x f = é IR .2º) O conjunto imagem de ( ) senx x f = é o intervalo [ ]1;1− .3º) A função seno não é sobrejetiva, pois [ ] IR≠− 1;1 , isto é, sua imagem não é igual aocontradomínio.4º) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo ( ) x f .5º) A função seno é ímpar, isto é, qualquer que seja ( ) IR f D x =∈ temos

( ) xsensenx −−= .6º) O período da função seno é π 2 e indicamos assim: π 2= p .

SINAL DA FUNÇÃO SENO

Observando o sinal da função seno, vemosque a função é positiva para valores do 1ºe 2º quadrantes e negativa para valoresdo 3º e 4º quadrantes.



FMC/2008 22

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO SENO

1º quadrante: quando x cresce de 0 a2

π , senx cresce de 0 a 1.

2º quadrante: quando x cresce de2π a π , senx decresce de 1 a 0.

3º quadrante: quando x cresce de π a2

3π , senx decresce de 0 a -1.

4º quadrante: quando x cresce de2

3π a π 2 , senx cresce de -1 a 0.

Função Cosseno IR IR f →:

( ) x x f x cos=→

GRÁFICO

Vamos construir o gráfico da função ( ) x x f cos= , inicialmente para [ ]π 2;0∈ x e depoispara IR x∈ . Alguns valores de xcos serão aproximadamente.



FMC/2008 23

Como a função ( ) x x f cos= é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínioé IR , a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que π 2 .Assim, o gráfico da função IR IR f →: definida por ( ) x x f cos= é a curva chamada

cossenóide, que tem o seguinte aspecto:

OBSERVAÇÕES

1º) A cossenóide não é uma nova curva, e sim uma senóide transladada de 2

π

para a direita.

Observe na senóide que se colocarmos o eixo y no ponto de abscissa2

π = x , teremos

exatamente o gráfico acima. Isso faz com que a maioria dos aspectos relevantes da funçãocosseno seja a mesma da função seno.2º) O domínio é o mesmo IR IR f →: tal que ( ) x x f cos= tem IR D = .3º) A imagem é a mesma IR IR f →: tal que ( ) x x f cos= tem [ ]1;1Im −= .4º) O período é o mesmo: a função cosseno é periódica de período π 2= p .5º) A função cosseno também não é nem injetiva nem sobrejetiva.

6º) A função cosseno é par, pois ( ) x x −= coscos , para todo ( ) IR f D x =∈ .

SINAL DA FUNÇÃO COSSENO

Observando o sinal da função( ) x x f cos= , vemos que a função

cosseno é positiva para valores do 1º e 4ºquadrantes e negativa para valores do 2ºe 3º quadrantes.

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO COSSENO


π , xcos decresce de 1 a 0.


π a π , xcos decresce de 0 a -1.

3º quadrante: quando x cresce de π a2

3π , xcos cresce de -1 a 0.


3π a π 2 , xcos cresce de 0 a 1.



FMC/2008 24

Função Tangente

IR IR f →: ( ) tgx x f x =→

GRÁFICO

Vamos construir o gráfico da função ( ) tgx x f = inicialmente no intervalo [ ]π 2;0 .

Note que a medida que x tende aos valores em que tgx não existe

2

3,

2

π π e seus

respectivos arcos côngruos, como2

7,

2

5 π π , etc.

o gráfico da tangente ao infinito

(positivo ou negativo). Essas retas verticais tracejadas nesses valores são chamadas deassíntotas, ou seja, retas cujo ponto de intersecção com o gráfico tende ao infinito.

Como a função ( ) tgx x f = tem o seu domínio

+=∈−= π π

k x IR x IR D2

/ ,

∈ Z k , a

curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que π 2 . Assim, ográfico da função IR D f →: definida por ( ) tgx x f = é a curva chamada tangentóide,

que tem o seguinte aspecto.



FMC/2008 25

OBSERVAÇÕES:

1º) O domínio da função tangente é

+≠∈= π π

k x IR x D2

/ , com

∈ Z k .

2º) A imagem da função tangente é IR=Im .3º) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.4º) A função tangente é função ímpar, isto é, ( ) xtgtgx −−= , para todo ( ) f D x∈ .5º) A função tangente é periódica de período π = p .

SINAL DA FUNÇÃO TANGENTE

Observando o sinal da função tangente,vemos que a função é positiva paravalores do 1º e 3º quadrantes e negativa

para valores do 2º e do 4º quadrantes.

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO TANGENTE


π , tgx cresce de 0 a +∞.


π a π , tgx cresce de -∞ a 0.

3º quadrante: quando x cresce de π a 2

3π

, tgx cresce de 0 a +∞

.


3π a π 2 , tgx cresce de -∞ a 0.

Função Cotangente

( ) { , / π k x IR x f D ≠∈= com } Z k ∈ IR=Im

π = p rad

Função ímpar



FMC/2008 26

Função Cossecante

( ) { , / π k x IR x f D ≠∈= com } Z k ∈

{ 1 / Im −≤∈= y IR y ou }1≥ y π 2= p rad

Função ímpar

Função Secante

+≠∈= π π

k x IR x D

2

/ , com

∈ Z k

{ 1 / Im −≤∈= y IR y ou }1≥ y π 2= p rad

Função par

Generalização

De modo geral, as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:

( ) ( )d cxtrigba x f +⋅+=

Em que a, b, c, d são constantes (b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funçõestrigonométricas estudadas (seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante).

Por exemplo:( ) senx x f ⋅= 3 ( ) x x f 3cos=

( ) x x f cos1+= ( )

−+=

321

π xtg x f

IMPORTANTE!!! ☺☺☺☺

Se ( ) x f é periódica de período p , a função ( ) ( ) xc f xg ⋅= será periódica de período:

c

p p =' .

( ) senx x f ⋅= 3 → π π

21

2' ===

c

p p senx

( ) x x f 3cos= → 3

2' cos π

==c

p p x

( )

−+=

321 π xtg x f → 2' π ==c

p p tgx



FMC/2008 27

Exemplo 1: Determine o período das seguintes funções:

a)

−+−=

43

π xsen y Resp: π 2

b) ( ) xsen x f 23= Resp: π

c) ( )

−=

32cot

π xg x f Resp:

2

π

d)

++=

4sec1

π x y Resp: π 2

e)

−=

22seccos

π x y Resp: π

f) xsenx y cos⋅= Resp: π

g) ( ) xsen x xg 44cos −= Resp: π h) ( ) x xh

2cos2= Resp: π

i) xsen y2

= Resp: π

j) ( )

+=

34cos5

π π x x f Resp: 1/2

k) ( ) senx xsen x x x f ⋅−⋅= 2cos2cos Resp:3

2π

Exemplo 2: (Mack-SP) A função real definida por ( ) ( ) x pk x f ⋅⋅= cos , k > 0 e IR p∈ temperíodo π 7 e conjunto imagem [ ]7;7− . Então o produto k.p vale:

Resp: 2

Exemplo 3: (Mack-SP) Se k e p são números naturais não-nulos tais que o conjunto imagemda função ( ) ( )k px pk x f +⋅+= cos2 é [ ]8;2− , então o período de ( ) x f é:

Resp:5

2π

Exemplo 4: (UFES) O período e a imagem da função ( )( )

−⋅−=

π

2cos35

x x f , IR x∈ ,

são, respectivamente:

Resp: 22π e [ ]8;2



FMC/2008 28

Exemplo 5: O menor valor desenx+5

3, para x real é:

a) 1/2 b) 3/4 c) 1/5 d) 1 e) 2/7 Resp: A

Exemplo 6: (U.F.Pelotas-RS) O conjunto imagem da função IR IR f →: , definida por( ) 32 −= senx x f , é o intervalo:

Resp:[ ]1;5 −−

Exemplo 7: (Mack-SP) O domínio da função ( )

+= x x f

2sec

π é:

Resp: ( ) { , / π k x IR x f D ≠∈= com } Z k ∈

Exemplo 8: (U.F.VISCOSA) O domínio da função dada por ( )

−=

32cot

π xg x f é todo

número real x, exceto:

Resp:

∈+≠∈ Z k k

x IR x ;26

/ π π

Exemplo 9: Qual é o domínio das funções reais?

a)

( )xtg x f 3=

Resp:

∈+≠∈

Z k

k

x IR x ;36 /

π π

b) ( )

−=

32

π xtg xg Resp:

∈+≠∈ Z k k

x IR x ;212

5 /

π π

c) ( )

−=

3cot

π xg x f Resp:

∈+≠∈ Z k k x IR x ;3

/ π π

d) ( ) x xg 2sec= Resp:

∈+≠∈ Z k k

x IR x ;24

/ π π

e) ( )

+=

4seccos

π x xh Resp:

∈+−≠∈ Z k k x IR x ;4

/ π π



FMC/2008 29

Análise de Gráficos

As funções do tipo ( ) ( )d cxtrigba x f +⋅+= têm características que podem ser

relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados no iníciodeste capítulo.

A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a > 0, então o gráfico“sobe” a unidades, e, se a < 0, então o gráfico ”desce” │a│. Veja o gráfico das funções

( ) senx x f = e ( ) senx xg += 1 .

A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se b > 1, então o gráfico dilata,se 0 < b < 1, o gráfico comprime. Veja o gráfico das funções ( ) senx x f = e ( ) senx xg 2= .

Se b < 0, o gráfico fica simétrico (em relação ao eixo x) ao original com b > 0. O valor de b é, muitas vezes, chamado de amplitude do gráfico. Observe o gráfico das funções

( ) senx x f = e ( ) senx xg −= .



FMC/2008 30

A constante c altera o período padrão ( trig

p ) da função trig , ou seja, comprime ou dilata o

gráfico padrão na horizontal. Observe o gráfico das funções ( ) xsen x f 2= e

( ) 2

x

sen xg=

, e depois, compare-os com a senóide.

( ) xsen x f 2=

( )2

xsen xg =

A constante d translada o gráfico padrão emc

d unidades horizontal. Se d > 0, o gráfico

transladac

d unidades para a esquerda. E, se d < 0, o gráfico translada

c

d unidades para a

direita. Observe o gráfico das funções ( ) senx x f = e ( )

−=

4

π xsen xg .



FMC/2008 31

Outras Funções Importantes

( ) senx x f =

( ) xsenx x f cos+=

NÃO ESQUEÇA!!!Utilize as transformações trigonométricas (fórmulas de adição, subtração, multiplicação edivisão de arcos) para simplificar algumas funções que apresentem um certo grau decomplexidade na sua lei de formação.Tente descobrir nas funções abaixo qual transformação trigonométrica foi utilizada.

( )

( ) x x f

xsen x f

2cos1

2 2

−=

⋅=

( )

( )

( ) senx xg

xsen xg

x xg

=

=

−=

2

2

2cos1

( )

( )

−⋅−=

−=

4

2

cos

π xsen xh

senx x xh



FMC/2008 32

Exemplo 1: (UF-RS) O gráfico a seguir representa a função real f .

Essa função é dado por:

a)

( ) x x f cos1−=

b) ( ) x x f cos1+= c) ( ) ( )1cos += x x f d) ( ) ( )1cos −= x x f e) ( ) ( )π += x x f cos

Exemplo 2: (Puccamp-SP) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f , de IR IR → , dado por ( ) ( )txk x f cos⋅= .

Nessas condições, calculando-se k – tobtém-se:

a) -3/2b) – 1c) 0d) 3/2e) 5/2

Exemplo 3: (PUC-SP) O gráfico abaixo corresponde a uma das funções de IR IR → aseguir definidas. A qual delas?

a) ( ) 12 += xsen x f b) ( ) senx x f 2= c) ( ) 1cos += x x f d) ( ) xsen x f 22= e) ( ) 1cos2 += x x f

Exemplo 4: (U.F.Santa Maria)

O gráfico ao lado representa a funçãoa) ( ) xsenx A y cos2 +=

b)

+= x xsen

A y

2cos

22

π π

c)

+−=

22cos

π π x A y

d)

−= π

π x Asen y

2

e)

+= 2

3

2cosπ π

x A y



FMC/2008 33

Exemplo 5: (UF-RN) A figura abaixo representa o gráfico da função ( )bxsena y ⋅= , onde

0≠a e b > 0.

Para o menor valor possível de b , osvalores de a e b são, respectivamente:a) -3 e 2b) 3 e 2c) 3 e 1/2d) -3 e 1/2e) nda

Exemplo 6: (Fatec-SP) O gráfico que melhor representa a função f , de IR IR → , definidapor ( ) senx x x f −= cos está na alternativa:

Exemplo 7: (U.F.Santa Maria-RS) A função ( ) senx x f = , IR x∈ , tem como gráfico asenóide que, no intervalo [ ]π 2;0 , está representada na figura abaixo.

GABARITO: 1-B 2-D 3-A 4-E 5-B 6-E 7-VFF

Se ( ) xsena xg 3⋅=

, onde IRa∈

e0≠a , julgue as afirmações abaixo.I II

O domínio da função g é igual aodomínio da função f, independente dovalor de a.Para todo a, o conjunto imagem dafunção f está contido no conjuntoimagem da função g.O período da função g é maior que operíodo da função f.



FMC/2008 34

Funções Trigonométricas Inversas

Quando estudamos as funções inversas, vimos que uma função admite inversa se, e

somente se, ela é bijetora. As funções trigonométricas não são bijetoras, pois não sãoinjetoras nem sobrejetoras, portanto não admitem inversas. No entanto, para certosintervalos do domínio, essas funções podem ser bijetoras. Nesses casos elas admiteminversa. Portanto, uma função trigonométrica somente admite inversa se restringirmosseu domínio.



FMC/2008 35

Capítulo 8 – Equações Trigonométricas

Equações Trigonométricas são igualdades que envolvem uma ou mais funções

trigonométricas de arcos incógnitos. Resolver uma equação trigonométrica significadeterminar o conjunto de valores dos arcos, para os quais essa equação é verdadeira.

Equações do Tipo asenx =

A equação asenx = terá solução somente se 11 ≤≤− a . Para determinar os valores de xque satisfazem essa equação, vamos nos basear na seguinte propriedade: Se dois arcostêm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.

Seja α = x uma solução da equaçãoasenx = . As outras soluções são todos

os arcos côngruos ao arco α ou α π − ,isto é:

α sensenx =

∈+−=

∈+=

Z k k x

Z k k x

;2

ou

;2

π α π

π α

Exemplo 1: Resolver a equação:23=senx

∈+=+=∈= Z k k xk x IR xS com,23

2ou2

3 / π

π π

π

Exemplo 2: Resolver a equação: 12= xsen

∈+=∈= Z k k x IR xS com,2

/ π π

Exemplo 3: Resolver a equação: senx xsen =2

∈+==∈= Z k k

xk x IR xS com,3

2

3ou2 /

π π π

Exemplo 4: Resolver a equação:2

1

3=

−π

xsen , no intervalo π 20 <≤ x

=6

7;

2

π π S

OBS: Quando não se fizer menção do intervalo a ser considerado, admite-se como tal oconjunto IR.



FMC/2008 36

Equações do Tipo a x =cos

A equação a x =cos tem solução somente 11 ≤≤− a . Vamos então obter todos os valores

de x que satisfazem à equação proposta, a partir da seguinte propriedade: Se dois arcostêm cossenos iguais, então eles são côngruos ou replementares.

Seja α = x uma solução particular daequação a x =cos . As outras soluçõessão todos os arcos côngruos ao arco α ouao arco α − (ou ao arco α π −2 ), isto é:

α coscos = x

∈+−=

∈+=

Z k k x

Z k k x

;2ou

;2

π α

π α

Exemplo 1: Resolver a equação:2

2cos = x

∈+=+±=∈= Z k k xk x IR xS com,24

7ou2

4 / π

π π

π

Exemplo 2: Resolver a equação: x x cos3cos =

∈==∈= Z k k

xk x IR xS com,2

ou / π

π

Exemplo 3: Resolver a equação: 12

cos =

+π

x , no intervalo π 20 ≤≤ x


2ou2

3 / π

π π

π

Equação do Tipo atgx =

A equação atgx = tem solução para todo IRa∈ . Os valores de x tais que

Z k k x ∈+≠ ;2

π π

, que satisfazem essa equação podem ser obtidos a partir da seguinte

propriedade: Se dois arcos têm tangentes iguais, então eles são côngruos ouexplementares.



FMC/2008 37

Seja α = x uma solução particular daequação atgx = . As outras soluções sãotodos os arcos côngruos ao arco α ou aoarco α π + , isto é:

α tgtgx =

∈++=

∈+=

Z k k x

Z k k x

;2

ou

;2

π α π

π α

Podemos resumir as soluções acima naexpressão: π α k x +=

Exemplo 1: Resolver a equação: 3−=tgx

∈+=∈= Z k k x IR xS com,3

2 / π

π

Exemplo 2: Resolver a equação: 222 =⋅ xtg , no intervalo π 20 <≤ x

=8

13;

8

9;

8

5;

8

π π π π S

Exemplo 3: Resolver a equação tgx xtg =3

∈=∈= parnúmeroumsendoecom,

2 / k Z k k x IR xS π

Exemplo 4: Resolver a equação 036

3 =−

−⋅π

xtg

∈+=∈= Z k k x IR xS com,3 / π

π



FMC/2008 38

Resolução de Outros Tipos de Equação Trigonométrica

Exemplo 1: Resolver a equação: 0344 2=−⋅+⋅ senx xsen


5ou2

6 / π

π π

π

Exemplo 2: Resolver a equação: 0222=+ xsen xsen no intervalo [ ]π ;0

= π π π

;4

3;

2;0S

Exemplo 3: Resolver a equação: 06114 24=+⋅−⋅ xsen xsen , no intervalo [ ]π 2;0

=3

5;

3

4;

3

2;

3

π π π π S

Exemplo 4: Resolver a equação: xsenx2cos23 =⋅


5ou2

6 / π

π π

π

Exemplo 5: Resolver a equação: senx x ⋅−= 532cos


5ou2

6 / π

π π

π

Exemplo 6: Resolver a equação: 1seccos2 =−⋅ xsenx , no intervalo [ ]π 2;0

=6

11;

6

7;

2

π π π S

Exemplo 7: Resolver a equação: 1cos3 =+⋅ senx x


11ou22 / π

π π

π



FMC/2008 39

Exemplo 8: Resolver a equação: 03cos5cos =+ x x

∈+=+=∈= Z k k xk x IR xS com,2ou48 / π π π π

Exemplo 9: Resolver a equação: xsen xsen 28 −=

∈+==∈= Z k k

xk

x IR xS com,36

ou5

/ π π π

Exemplo 10: Resolver a equação: 0cos3cos7cos =++ x x x

∈+±=+=∈= Z k k

xk

x IR xS com,26

ou36

/ π π π π

Exemplo 11: Resolver a equação: 0coscos323 22=+⋅⋅+⋅ x xsenx xsen

∈+=∈= Z k k x IR xS com,

65 / π π

Exemplo 12: Resolver a equação: 0cos =+ xsenx , no intervalo [ ]π 3;0

=4

11;

4

7;

4

3 π π π S

Exemplo 13: Sabendo que a = 3b, determine a e b na seguinte equação:4cos2cos22 =⋅⋅−⋅⋅+ asenbbsena

Z k k bk a ∈+=+= com,4

e34

3π

π π

π

Exemplo 14: A soma das raízes da equação 0cos 33=+ xsen x , π 20 ≤≤ x :

a) 0 b) 3

2π c) 2

3π d) 2

5π e) 5

2π Resp: D



FMC/2008 40

1º) (UPE-2008/Mat-II) O professor de Matemática aplicou um problema-desafio para os

alunos: No intervalo aberto ]0, [2π , quantas são as soluções da equação?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )321115110110151 2345

=−+++−+++−+ senxsenxsenxsenxsenx

Os alunos Júnior, Daniela, Eduarda, Rebeca e Dan resolveram e determinaram as

soluções abaixo para o desafio. Qual delas é a CORRETA?

a) Júnior respondeu que o problema não tinha solução.

b) Daniela respondeu que o problema tinha uma única solução.

c) Eduarda respondeu que o problema tinha duas soluções.

d) Rebeca respondeu que o problema tinha três soluções.e) Dan respondeu que o problema tinha 4 e somente 4 soluções.

2º) (UPE-2008/Mat-II) Analise as proposições abaixo e conclua.

I II

0 0( ) x

xsen cos1

2

1

22

−=

1 1 Se 2π k a ≠ , k inteiro e ( )

−⋅

+⋅=

atga

atgsena y

2cos

π π , então y = 2

2 2 0170cos170 >°+°sen

3 3Se

2

1cos =+ xsenx , então ( )

4

32 = xsen

4 4Se

6

5

6

π π << x , então

2

1>senx



FMC/2008 41

3º) (UPE-2007/Mat-I) O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica definida

por:

a) ( ) ( ) xsen x f 2=

b) ( ) ( ) x x f 2cos1+=

c) ( ) ( ) xsen x f 23−=

d) ( ) ( ) x x f 2cos3−=

e) ( ) xsenx x f cos1 ⋅+=

4º) (UPE-2007/Mat-I) Pelo que foi estudado em trigonometria, analise os itens abaixo e

conclua.

I II

0 0 O período da função real definida por ( ) xsen x x f 22cos −= é 1.

1 1Se

2

π k a ≠ , k inteiro e

( )

−⋅

+⋅=

atga

atgsena y

2cos

π

π , então y = 2

2 2 0170cos170 >°+°sen

3 3Se

2

1cos =+ xsenx , então ( )

4

32 = xsen

4 4Se

6

5

6

π π << x , então

2

1>senx



FMC/2008 42

5º) (UPE-2006/Mat-I) Considere as funções definidas por ( ) senx x f = e ( ) x xg cos= .

Então:

I II

0 0 ( ) ( ) ( ) x f xg x f 2=⋅

1 1 ( ) ( ) xg x f ⋅ é uma função ímpar.

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xg y f yg x f y x f ⋅+⋅=+

3 3 ( ) xg 2 é periódica de período π

4 4 ( ) ( ) ( ) y x f y f x f +=+

6º) (UPE-2006/Mat-II/modificada) Considere A e B matrizes quadradas de ordem n edet(a) = determinate da matriz A. Então:

I II

2 2se

=

θ θ

θ θ

cos

cos

sen

sen A , então ( ) ( )θ 2cosdet = A .

7º) (UPE-2005/Mat-I) Com base na trigonometria, analise as afirmações.

I II0 0 Se x x cossec = , então 02

= xsen .

1 1 Se 1=tgx , então 2sec = x .

2 2Se senx x =seccos , então

2

π π += k x , onde k é um número inteiro.

3 31=tgx , então

4

π π += k x , onde k é um número inteiro.

4 4 ( ) x xsen cos=+

π , IR x∈∀

8º) (UPE-2005/Mat-II) Sabendo que5

4=senx e que

20

π << x , analise as afirmações

abaixo.

I II

0 0

3

4=tgx



FMC/2008 43

1 1 ( ) 1log 8,0 =senx

2 2( )

25

242 = xsen

3 3 xtg x 22 1seccos +=

4 4

x x

seccos

1sec =

9º) (UPE-2004/Mat-I) As raízes da equação 0232=+− x x são α tg e β tg . Pode-se

afirmar que ( ) β α +tg é igual a:

a) 3.

b) 2.

c) -2.

d) -3.

e) 0.

10º) (UPE-2004/Mat-I) Seja f a função real de variável real definida por ( ) ( ) x x f 3cos= .

Então:

I II

0 0O período da função f é

3

2π .

1 1 A imagem de f é [-1;1].

2 20

2=

π f

3 3 Se ( ) 0> x f , então 0> x .

4 4 ( ) x f é uma função ímpar.

11º) (UPE-2004/Mat-II) Uma das raízes da equação 03 23=+−− m x x x é k, onde

yk

=6

π , sendo y raiz da equação trigonométrica 0232

=+− seny ysen , no intervalo

[0; π 2 ]. A soma dos quadrados das outras raízes da equação é igual a:

a) 5.

b) 4.



FMC/2008 44

c) 3.

d) 2.

e) 1.

12º) (UPE-2004/Mat-II) f é a função real de variável real definida por

( ) ( ) x x f 3cos23 ⋅+= . Analise as afirmativas.

I II

0 0 A imagem de f é [-3;3].

1 1O período de f é igual a

3

2π .

2 2 No intervalo ]0; π 2 [ , a equação f(x) = 0 apresenta três soluções.3 3 ( ) 0> x f para todo x real.

4 4 ( ) 0< x f se x pertence ao segundo e ao terceiro quadrantes.

13º) (UPE-2003) Os pontos do círculo trigonométrico que são soluções da equação

1seccos2 =−⋅ x x são vértices de um polígono. A área desse polígono é igual a:

a) 3 unidades de área.

b) 2 unidades de área.

c) 4

33unidades de área.

d) 4

2unidades de área.

e) 2

1unidades de área.

14º) (UPE-2003) Se a é um ângulo tal que2

0π

<< a e

...1 32++++= asenasensenaS , então S é igual a:

a) ( )tgaaa +⋅ secsec .

b) a2sec .

c) sena+1 .

d)

sena−

1 .e) ( )asen 2 .



FMC/2008 45

15º) (UPE-2002)

I II

0 0 Se ];0[ π ∈ x , a equação ( ) 03 = xsen tem 3 soluções.

1 1 Se32

=tgx e 0sec < x , então133cos = x .

2 2 A equação 0cos =− xsenx tem 4 soluções no intervalo ]2;0[ π .

3 3 A equação xsenx ln= não tem solução no conjunto dos números reais.

4 4 Se ( ) IR f →π 2;0: , definida por ( ) ( )senxe x f ln

= , então, ( ) 1= x f tem duas

soluções.

16º) (UPE-2001) Seja IR f →]2;0[: π , definida por ( ) senx x f = . Então, a alternativa

incorreta é:

a) ( ) ( ) x f x f −=+π .

b) ( ) ( ) x f x f −=−π .

c) ( ) ( )π π +−=+ x f x f 2 .

d)

−=

+

44

π π x f x f só se

4

π = x .

e) ( ) ( ) x f x f −=−

17º) (UPE-2001)

I II

0 0A equação

4

5cos = x tem duas soluções no intervalo ]2;0[ π .

1 1 Se 0>senx , então 20 π << x .

2 2 O período da função ( ) ( )2cos xsenx x f += é π

3 3 Se x pertence ao terceiro quadrante e 2=tgx , então 5sec −= x .

4 4A imagem da função ( ) xsenx x f cos⋅= é igual a

−

2

1;

2

1.



FMC/2008 46

18º) (UPE-2000) Uma função( )

→

→

x f x

IR IR f : é linear se

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⋅=⋅

+=+

x f a xa f

y f x f y x f

quaisquer que sejam x, y em IR e a uma constante real. Considerem-se as funções

indicadas a seguir, com domínio, o conjunto dos números reais IR. Podemos afirmarque é linear:

a) ( ) ( )52 += xsen x f

b) ( ) 52 += x x f

c) ( ) 13+= x x f

d) ( ) ( ) ( )22 11 −−+= x x x f

e)

( )

x

x f 3=

19º) (UPE-2000) Leia, analise e responda.

I II

0 0 Quando t varia no intervalo fechado ]2;0[ π , o ponto ( )sent t P 2;cos2 descreve

uma circunferência de centro na origem de raio 2.

1 1 Quando t varia no intervalo ]2;0[ π , o ponto ( )sent t Q 2;cos4 descreve uma

elipse de centro na origem, de eixo maior 8 e eixo menor 4.2 2

Para2

0π

<< t , se tem ∞<<∞− tgt .

3 3Para

22

π π ≤≤− t , se tem 11 ≤≤− sent .

4 4 No intervalo π 20 ≤≤ t , a equação 1cos =− t sent tem 4 raízes.

20º) (UFPE-2003/1ª Fase) Sabendo-se que 0cos2cos3 22=+⋅− x xsenx xsen temos

que os possíveis valores para tg x são:

a) 0 e -1

b) 0 e 1

c) 1 e 2

d) -1 e -2e) -2 e 0



FMC/2008 47

1º) C

2º) VFFFV

3º) C

4º) FFFFV

5º) FVVVF

6º) V

7º) VFVVF

8º) VVVFF

9º) D

10º) VVVFF

11º) D

12º) FVFVF

13º) C

14º) A

15º) VFFFF

16º) D

17º) FFVVV

18º) D

19º) VVFVF

20º) C



FMC/2008 48

21º) (UFPE-2008/2ª Fase) Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante

t, medido em segundos, seja dada por

( ) ( )t t P π 2cos1896 += , 0≥t

Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações.

I II

0 0 O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114.

1 1 O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é 78.

2 2 A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, ( ) ( )t Pt P =+1 ,

para todo ≥t 0.

3 3 Quando t = 1/3 de segundo, temos P(1/3) = 105.

4 4 O gráfico de P(t) para 40 ≤≤ t é:

0 1 2 3 4

80

85

90

95

100

105

110

22º) (UFPE-2006/2ª Fase/Mat-2) A temperatura em uma sala, ao longo do dia, é dada,

em °C, pela função

( ) ( )[ ] 3112 / 13cos6 +−= t t T π

onde t é o número de horas após zero hora. Nestas condições, analise as afirmações

abaixo.

I II

0 0 A temperatura na sala às cinco horas da tarde é de 34°C.

1 1 A temperatura da sala é máxima às 13h.

2 2 O menor valor da temperatura da sala é 31°C.



FMC/2008 49

3 3 O gráfico da temperatura T (em°C), em termos do número de horas t após zero

hora, é

4 4 A temperatura da sala é mínima às três horas da manhã.

23º) (UFPE-2006/2ª Fase/Mat-3) Os valores de y para os quais existe t satisfazendo a

equação ysent 682 −=− formam um intervalo. Calcule o comprimento c deste

intervalo e indique 6c.

24º) (UFPE-2006/2ª Fase/Mat-3) Analise as identidades abaixo:

I II

0 0( ) 22cos

22=+

x xsen 1 1 x xsen xsen

424 cos21 +=+

2 2 xtg

x

xsen 22

12cos1

+=+

3 3 xsenxtgxsenx sec=+⋅

4 4

xg

xg xsen

2

22

cot1

cot1

+=−



FMC/2008 50

25º) (UFPE-2005/2ª Fase/Mat-3) Sejam ( ) senx x f = e ( ) 2 / x xg = . Associe cada

função abaixo ao gráfico que melhor a representa. Para cada associação feita, calcule ik,

onde i é o número entre parênteses à direita da função, e k é o número entre parênteses à

direita do gráfico associado. Indique a soma dos três números assim obtidos. (O símbolodenota composição de funções e . o produto).



FMC/2008 51

26º) (UFPE-2005/2ª Fase/Mat-3) Seja n1 o número de raízes da função xsen no

intervalo [0,10], e seja n2 o número de raízes da função ( )2 xsen no intervalo [0,10].

Indique 21 nn + .

As informações seguintes referem-se às duas próximas questões.

O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços

produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000 + x, é dado, em bilhões de

dólares, por

( ) ( )6 / cos205,0500 x x xP π ++=

onde x é um inteiro não negativo.

27º) (UFPE-2004/2ª Fase/Mat-1) Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do

país em 2004 e assinale a soma de seus dígitos.

28º) (UFPE-2004/2ª Fase/Mat-1) Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do

mesmo valor, ou seja, ( ) ( ) xP xP −+12 é constante. Determine esta constante (em

bilhões de dólares).



FMC/2008 52

29º) (UFPE-2004/2ª Fase/Mat-3) Quantas soluções a equação

2...42

642

=+++xsen xsen

xsen

Cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica,

de primeiro termo sen²x e razão2

2 xsen

, admite, no intervalo ]20,0[ π ?

30º) (UFPE-2001/2ª Fase/Mat-2) As cidades A, B e C estão situadas numa região plana

e a distância entre A e B é 4 km, a distância entre A e C é 10 km e o ângulo BÂC mede

60°. Pretende-se construir uma escola num ponto da região plana situado à mesma

distância d km de A, B e C. Indique 3d².

31º) (UFPE-2001/2ª Fase/Mat-3) Seja x a medida em radianos de um ângulosatisfazendo 2 / 0 π << x , como indicado na ilustração abaixo:



FMC/2008 53

Considerando as áreas das diferentes regiões da figura, analise as informações

seguintes:

I II

0 0 tgx xsenx << 1 1

22

cos1cos1 x

x

xsen x <

+=−

2 21cos <<

x

senx x

3 311 2

<<− x

senx x

4 4 1010<tgx para todo x satisfazendo 2 / 0 π << x

32º) (UFPE-2000/2ª Fase/Mat-2) Analise as afirmações abaixo sobre a figura seguinte:

I II

0 0 A área do triângulo ABC é ( )φ θ +⋅⋅⋅ sencb2 / 1 .

1 1 A área do triângulo ABH é θ senhc ⋅⋅⋅2 / 1 .

2 2 ( ) φ θ φ θ senhcsenhbsencb ⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅ .

3 3 ( ) φ θ φ θ senbhsenchsen⋅+⋅=+

/ / .4 4 ( ) φ θ θ φ φ θ sensensen ⋅+⋅=+ coscos .



FMC/2008 54

33º) (UFPE) Qual o valor de asen2120 ⋅ , onde a é um ângulo tal que

( ) xsenx xasen cos2 +=+⋅ , para todo x real?

34º) (UFPE) Seja θ um ângulo tal que:

10

334

6

+=

+π

θ sen

10

334

6cos

+=

−π

θ

Existem números naturais p e q, cujo máximo divisor comum é igual a 1, tais que:

θ θ senq

p+= cos

Quanto vale p.q?



FMC/2008 55

21º) VVVFF

22º) VVFFF

23º) 02

24º) FVFFV25º) 75

26º) 34

27º) 15

28º) 06

29º) 20

30º) 76

31º) VVVVF

32º) VVFFV

33º) 60

34º) 35



Referências Bibliográficas

BUCCHI, Paulo. Curso prático de Matemática. 1 ed. São Paulo: Moderna, 1998.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto & Aplicações – Ensino Médio 2.3 ed. São Paulo: Editora Ática, 2005.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar 3 – Trigonometria. 8 ed.São Paulo: Atual, 2004.

trigonometria

Documents

circunferncia trigonomtrico

determinao positiva

circunferncia orientada

determinao negativa

origem dos arcos

equaes trigonomtricas

transformaes trigonomtricas

valores de x