transversais de triângulos e suas aplicações em triangulações

TRANSVERSAIS DE TRIANGULOS E SUAS APLICACOES EM

TRIANGULACOES

Vicente Helano Feitosa Batista

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pos-graduacao em Engenharia Civil,

COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Doutor

em Engenharia Civil.

Orientadores: Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Fabio Protti

Rio de Janeiro

Dezembro de 2010


TRIANGULACOES


TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE DOUTOR

EM CIENCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

Prof. Fernando Luiz Bastos Ribeiro, D.Sc.

Prof. Fabio Protti, D.Sc.

Prof. Jose Antonio Fontes Santiago, D.Sc.

Prof. Luerbio Faria, D.Sc.

Prof. Guilherme Dias da Fonseca, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

DEZEMBRO DE 2010

Batista, Vicente Helano Feitosa

Transversais de Triangulos e suas Aplicacoes em

Triangulacoes/Vicente Helano Feitosa Batista. – Rio de

Janeiro: UFRJ/COPPE, 2010.

XIV, 79 p.: il.; 29, 7cm.


Fabio Protti

Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Civil, 2010.

Referencias Bibliograficas: p. 71 – 79.

1. Transversal de triangulos. 2. Estrutura de

dados. 3. Triangulacao de Delaunay. 4. Vigilancia

em Terrenos. I. Ribeiro, Fernando Luiz Bastos et al.

II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Civil. III. Tıtulo.

iii

Aos meus queridos pais, Joao e

Maria, e a minha magnıfica

esposa, Ledjane.

iv

Agradecimentos

Meus orientadores, Fernando e Fabio, os quais foram protagonistas da historia de

minha formacao, detem grande parte dos meritos desta tese. Trabalho com o Prof.

Fernando desde o mestrado. Foi ele quem me apresentou ao verdadeiro mundo

interdisciplinar da COPPE. Sao engenheiros fazendo matematica, matematicos fa-

zendo engenharia, quımicos, fısicos, geologos, etc. Encontramos os mais diversos

profissionais atuando em diversas areas da ciencia e tecnologia. Isto me possibilitou

ingressar no lindo campo da geometria computacional. Ao professor Fabio, devo

minha gratidao por ter confiado em mim, pelas frutuosas reunioes e pelas palavras

de incentivo nos momentos certos.

Ao professor Sylvain Pion, que foi meu coordenador durante o perıodo sanduıche

na Franca. Agradeco tambem a Johannes Singler e David L. Millman, pela oportu-

nidade de trabalhar em conjunto sobre algoritmos geometricos paralelos.

A Luerbio e Guilherme, por terem aceitado participar da banca examinadora

desta tese.

A minha esposa, Ledjane, por ser ela, magnıfica; fundamental em minha vida.

Aos meus pais, Joao Batista e Maria Feitosa, que dedicaram suas vidas a

educacao de seus filhos.

A minha irma, Helana, e meu querido e unico sobrinho, Joao Amadeu.

A George, meu grande amigo de doutorado, parceiro em tudo.

Aos meus compadres, Marco e Paula Colbachini, por terem me acolhido em sua

casa durante meus ultimos meses no Rio de Janeiro.

Aos professores Jose Santiago e Robertinho por terem sido meus mestres.

v

A todos os amigos que adquiri ao longo destes ultimos anos na COPPE.

O presente trabalho foi redigido utilizando a classe de documentos coppe, per-

tencente ao projeto CoppeTEX, o qual tenho o prazer de coordenar junto com meu

amigo George e o professor Paulo Laranjeira.

Mesmo com a fe por vezes abalada, como um bom (ou mal) pecador que sou,

sempre tive a companhia de Deus. Entrego minha alma Aquele de onde acredito

que provem todas as coisas.

Esta tese foi realizada com o apoio financeiro do Conselho Nacional de Desen-

volvimento Cientıfico e Tecnologico (CNPq) do Brasil.

vi

Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessarios

para a obtencao do grau de Doutor em Ciencias (D.Sc.)


TRIANGULACOES


Dezembro/2010


Fabio Protti

Programa: Engenharia Civil

O objetivo principal desta tese e obter uma estrutura de dados capaz de represen-

tar triangulacoes bidimensionais, diminuindo a redundancia no armazenamento das

informacoes topologicas, sem causar impactos excessivos na velocidade de acesso as

informacoes subjacentes. Esta estrutura e baseada em vertices, ou seja, as arestas e

faces sao representadas apenas de modo implıcito. Antes de apresentarmos a estru-

tura em si, consideramos o problema de calcular transversais de triangulos mınimos,

tanto por vertice, quanto por aresta. A complexidade computacional das versoes

de decisao associadas a estes problemas e demonstrada para o caso de grafos pla-

nares e maximais planares. Para os transversais por vertice, apresentamos tambem

quatro algoritmos acompanhados de seus resultados experimentais. Demonstramos

ainda dois teoremas sobre a complexidade do problema de vigilancia em terrenos.

Ao final, descrevemos a interface da estrutura implementada e sua utilizacao em

um algoritmo de construcao de triangulacoes de Delaunay. Os resultados demons-

tram que, em media, e possıvel reduzir em 12% o numero de referencias utilizadas,

mantendo sua performance compatıvel com a de estruturas do mesmo tipo.

vii

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

TRIANGLE TRANSVERSALS AND THEIR APPLICATIONS TO

TRIANGULATIONS


December/2010

Advisors: Fernando Luiz Bastos Ribeiro

Fabio Protti

Department: Civil Engineering

The aim of this thesis is to design a data structure for representing planar tri-

angulations decreasing the amount of redundancy of combinatorial data, without

incurring excessive speedowns to the access of the underlying information. This

structure is based on vertices in the sense that edges and faces are only implicitly

represented. Before presenting our structure, we consider the problem of computing

minimum triangle transversals using either vertices or edges. The computational

complexity of the decision versions associated to these problems is demonstrated for

the case of planar and maximal planar graphs. Regarding vertex-transversals, we

present four algorithms along with experimental results. We also prove two theo-

rems on the complexity of the guarding terrains problem. At last, we describe the

interface of our data structure and its application for constructing Delaunay trian-

gulations of planar point sets. Our results show that, on the average, it is possible

to reduce in 12% the number of stored references, while maintaining its performance

similar to the one of a standard vertex-based structure.

viii

Sumario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiv

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Organizacao e resumo da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Preliminares 6

2.1 Elementos de Teoria dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Coloracoes Policromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Emparelhamento Maximal, Maximo e Perfeito . . . . . . . . . 10

2.2 Satisfabilidade e suas variacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Conjunto Transversal de Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Vigilancia em Terrenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Classes de Estruturas de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Estruturas de dados para triangulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.1 Estruturas Baseadas em Face . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.2 Estruturas Baseadas em Aresta . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.3 Estruturas Baseadas em Vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Transversal por Vertice 25

3.1 Complexidade de Transversais por Vertice . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix

3.2 Vigilancia de Terrenos com Guardas-Vertice . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Algoritmos para Transversais por Vertice . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Algoritmo Otimo no Pior Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2 Algoritmo Guloso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.3 Algoritmos Randomizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.4 Uma 3-aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Transversal por Aresta 46

4.1 Complexidade de transversais por aresta . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Vigilancia de Terrenos por Guardas-aresta . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Representacao de triangulacoes bidimensionais 54

5.1 A Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.1 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Construcao da Triangulacao de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Consideracoes Finais 69

Referencias Bibliograficas 71

x

Lista de Figuras

2.1 Polıgono simples no formato de “pente” com 15 vertices. Sao ne-

cessarios 5 guardas (pontos pretos em destaque) para vigiar todo o

seu interior, onde cada guarda e responsavel por um “dente” do “pente”. 15

2.2 Grafo subjacente a um terreno convexo com 7 vertices que precisa de

ao menos 3 guardas para ser vigiado. Um exemplo de conjunto de

guardas mınimo esta indicado pelos vertices preenchidos na cor preta. 16

3.1 Subgrafo Gi correspondente a variavel xi. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Exemplo de grafo construıdo pela reducao apresentada no Teo-

rema 3.1 para uma instancia de 3-Sat2+1 Planar dada por (x1 ∨x2 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x2 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3). . . . . . . . 28

3.3 Subdivisao de uma face hexagonal segundo a reducao apresentada no

Teorema 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 (a) Subdivisao e (b) secao transversal de uma face hexagonal apos a

reducao apresentada no Teorema 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 Ilustracao das distribuicoes de pontos no plano utilizadas para avaliar

os algoritmos de transversais de triangulos por vertice. . . . . . . . . 38

3.6 (a) Tempo de CPU gasto por cada algoritmo para determinar trans-

versais de triangulos e sua (b) razao de vertices selecionados para tri-

angulacoes de pontos distribuıdos uniformemente no interior de um

quadrado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

xi


versais de triangulos e sua (b) razao de vertices selecionados para tri-

angulacoes de pontos distribuıdos uniformemente no interior de um

cırculo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


versais de triangulos e sua (b) razao de vertices selecionados para

triangulacoes de pontos normalmente distribuıdos no interior de um

quadrado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


versais de triangulos e sua (b) razao de vertices selecionados para

triangulacoes de pontos distribuıdos segundo a distribuicao normal

ponderada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 (a) Exemplo de grafo planar G e (b) um transversal de triangulos

por aresta de G de tamanho 2. As arestas mais espessas desenhadas

em vermelho e azul pertencem ao transversal. As regioes hachuradas

representam as faces cobertas por cada uma destas arestas. . . . . . . 47

4.2 (a) Subgrafo Gi associado com a variavel xi. (b) Esquema do grafo

associado resultante a formula de 3-Sat2+1 Planar (x1 ∨ x2 ∨ x4) ∧(x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x2 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3). . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Exemplos de construcoes de triangulacoes para faces consistindo de

(a) 4 vertices e (b) 5 vertices. As areas hachuradas indicam os unicos

triangulos cobertos por arestas com extremidades no ciclo mais externo. 52

5.1 Esquema de representacao de uma triangulacao com 9 vertices, in-

cluindo o vertice infinito, utilizando a estrutura de dados baseada em

transversais de triangulos. Vertices guardas e guardados sao indica-

dos por cırculos e quadrados, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . 56

xii

5.2 Ilustracao das triangulacoes calculadas pela implementacao da estru-

tura proposta para quatro tipos diferentes de distribuicoes de pontos

no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 (a) Tempo de CPU gasto por cada implementacao na construcao de

triangulacoes de Delaunay e (b) numero de referencias representadas

para o conjunto de pontos distribuıdos uniformemente no interior de

um quadrado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



para o conjunto de pontos distribuıdos uniformemente no interior de

um cırculo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66



para o conjunto de pontos normalmente distribuıdos no interior de

um quadrado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67



para o conjunto de pontos distribuıdos segundo a distribuicao normal

ponderada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xiii

Lista de Tabelas

2.1 Numero de referencias utilizadas e custo de acesso a informacoes de

adjacencias em estruturas de dados para a representacao de trian-

gulacoes 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Tempos de CPU em segundos gasto por cada etapa do algoritmo de

2-coloracao policromatica e razao entre o tamanho de um transversal

X e o numero de vertices da triangulacao de diferentes distribuicoes

de pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

xiv

Capıtulo 1

Introducao

Uma triangulacao e um tipo de decomposicao espacial bastante utilizada para repre-

sentar formas geometricas complexas. Esta descreve desde domınios de definicao de

equacoes diferenciais a personagens de filmes de animacao por computador. Devido

a sua flexibilidade, triangulacoes sao normalmente preferidas as malhas poligonais

arbitrarias. Implementacoes atuais de metodos de renderizacao, tais como ray tra-

cing e radiosidade, dao muitas vezes preferencia a triangulacoes devido ao melhor

desempenho alcancado com esta classe de decomposicao.

A representacao computacional de triangulacoes e geralmente dividida em duas

partes: geometria e topologia (ou combinatoria ou conectividade). Os vertices, as

arestas e as faces, bem como suas relacoes de incidencia e adjacencia, pertencem a

parte topologica. A geometria compreende as coordenadas dos vertices.

Muitas vezes, as triangulacoes representam a maior parte da memoria consumida

por uma aplicacao. Nestes casos, o tempo gasto em consultas sobre a triangulacao

propriamente dita torna-se preponderante no custo final da implementacao. Isto tem

sido agravado pelo fato de que a capacidade de armazenamento e aquisicao de dados

avanca mais rapidamente do que a velocidade de processamento dos computadores.

Em arquiteturas baseadas na utilizacao de memorias cache, e primordial reduzir

o numero de acessos a memoria RAM, mantendo os dados manipulados o maior

tempo possıvel dentro dos caches, pois o custo de acesso a RAM e sempre superior

ao custo de acesso a qualquer nıvel de cache. Portanto, quanto menor o volume

1

de dados processado, menor sera a quantidade de acessos a RAM. Sendo assim,

torna-se imprescindıvel desenvolver estruturas de dados cada vez mais eficientes

em termos de espaco. Esta eficiencia tambem deve levar em conta o tempo gasto

em consultas. O problema e que uma reducao no tamanho da representacao vem

geralmente acompanhada de um aumento no custo de sua manipulacao.

Neste sentido, diversos trabalhos tem sido realizados com o intuito de desenvolver

representacoes de triangulacoes mais compactas [1–20]. Ha basicamente dois tipos

de finalidades para a compressao: tratamento em memoria RAM e tratamento em

memoria auxiliar (discos rıgidos, memorias flash, fitas magneticas, etc). Alem disso,

pode-se optar por comprimir os dados geometricos e/ou topologicos.

O foco desta tese esta em metodos de compressao da topologia para manipulacao

em memoria RAM de triangulacoes bidimensionais. Apresentamos uma estrutura

de dados baseada em vertices, a qual emprega o conceito de conjuntos transversais

de triangulos por vertice para a reducao da redundancia no armazenamento da

conectividade. O estudo de conjuntos transversais nos levou ainda a demonstracao

de alguns resultados teoricos sobre a complexidade de problemas de vigilancia em

terrenos associados.

1.1 Motivacao

Recentemente, foi desenvolvida uma estrutura de dados que permitiu a construcao

de uma triangulacao consistindo de 110 milhoes de triangulos, consumindo 4,58 bytes

por face [1]. Apesar da elevada eficiencia desta estrutura, os esforcos dos autores

ficaram concentrados na compressao do tamanho das referencias utilizadas, sem dar

atencao a estrutura combinatoria em si. Como cada vertice armazena referencias

a todos os seus vizinhos, cada aresta e representada quatro vezes, pois existem

duas faces adjacentes a cada aresta. As faces sao implicitamente armazenadas tres

vezes cada, uma devido a cada um de seus vertices. Neste contexto, observamos

que poderıamos aplicar conceitos de conjuntos transversais de triangulos de modo a

aperfeicoar a representacao das informacoes topologicas.

2

1.2 Objetivo

Esta tese tem por objetivo o desenvolvimento de uma estrutura de dados capaz de

representar triangulacoes bidimensionais, reduzindo o espaco em memoria consu-

mido pela informacao de conectividade. Deseja-se que este ganho em memoria nao

implique em uma reducao acentuada na velocidade de acesso aos dados topologicos.

1.3 Organizacao e resumo da tese

O Capıtulo 2 apresenta definicoes e resultados empregados ao longo dos capıtulos

seguintes. Serao abordados, de modo breve, alguns conceitos de teoria dos gra-

fos, logica, complexidade, geometria computacional e teoria da informacao que per-

meiam esta tese. Daremos a definicao do problema de satisfabilidade e algumas de

suas principais variacoes, as quais sao bastante uteis para demonstrar resultados

de complexidade. Introduziremos a definicao de conjuntos transversais, tanto em

sua forma mais geral, quanto para o caso restrito a faces triangulares, e apresen-

taremos resultados encontrados na literatura que nos auxiliaram a desenvolver o

restante deste trabalho. Uma ligeira descricao do problema de vigilancia em terre-

nos sera suficiente para deixar clara sua relacao com conjuntos transversais. Tudo

isto contribuira tambem para estabelecer a terminologia adotada.

O problema de determinar um transversal de triangulos por vertice mınimo para

grafos planares e a essencia do Capıtulo 3. Dois teoremas caracterizando sua com-

plexidade serao apresentados. O primeiro considerando grafos planares arbitrarios

e, o segundo, grafos maximais planares ou triangulacoes. Sera demonstrado que e

NP-completo decidir se um grafo G possui um transversal de triangulos de tama-

nho no maximo k ≥ 0 para qualquer uma destas classes de grafos. Alem disso, se

G for um grafo planar arbitrario, veremos que a NP-dificuldade e mantida mesmo

quando o grau maximo for igual a 5. Estes resultados possibilitarao demonstrar que

o problema de posicionar guardas nos vertices de um terreno poliedrico e tao difıcil

quanto o de calcular um transversal de triangulos do grafo associado a este terreno.

3

Nossa reducao construira um terreno com O(n) faces, ao contrario da construcao

quadratica de COLE e SHARIR [21]. Apresentamos ainda a avaliacao experimen-

tal de quatro algoritmos para calcular transversais de triangulos por vertice: uma

solucao otima no pior caso [22], um guloso, dois algoritmos com escolha aleatoria e

uma 3-aproximacao.

No Capıtulo 4, nos concentraremos em uma variante de transversais denominada

transversais por aresta. O conceito de (F,H)-transversais sera introduzido com o

objetivo de levar-nos a definicao de transversais por aresta. Assim como para o caso

de transversais por vertice, estudaremos a complexidade de problemas associados,

tais como a determinacao de transversais por aresta mınimos e o problema de po-

sicionamento de guardas-aresta em terrenos. No caso de transversais por aresta de

grafos planares, observaremos que mesmo ao reduzir de 7 (devido a BRUGMANN

et al. [23]) para 5 o grau maximo do grafo de entrada, a NP-dificuldade do problema

de decisao associado permanece a mesma. Mais uma vez, nossa reducao para o pro-

blema de guardas-aresta produzira terrenos com um numero linear de faces, o que

representa uma melhoraria em comparacao a construcao de tamanho O(mn) devido

a ZHU [24].

A estrutura de dados proposta para representar triangulacoes bidimensionais sera

apresentada no Capıtulo 5. Descreveremos sua interface e aplicacao em uma imple-

mentacao de um algoritmo de construcao incremental randomizada de triangulacoes

de Delaunay 2D. Seu desempenho, em termos do numero de referencias e tempo de

CPU, sera comparado com o de uma implementacao propria sem compressao da es-

trutura utilizada como base de partida [1] e com o de uma implementacao fornecida

por uma biblioteca de algoritmos geometricos bastante difundida [25]. Mostraremos

como a ideia de conjunto transversal de triangulos pode ser utilizada para reduzir de

6n (valor utilizado pelo esquema de BLANDFORD et al. [1]) para 5n o numero total

de referencias armazenadas. Demonstraremos experimentalmente que esta reducao

implicara em uma implementacao cerca de 18% mais veloz do que o esquema des-

comprimido de BLANDFORD et al. [1].

4

Por fim, o Capıtulo 6 contem conclusoes gerais e referencias a caminhos inexplo-

rados, sugerindo direcoes para pesquisas futuras.

No momento da defesa desta tese, os resultados apresentados no Capıtulo 4

fazem parte dos anais do 25◦ European Workshop of Computational Geometry [26].

Estes resultados foram agrupados com os do Capıtulo 3 para a composicao de um

artigo expandido sobre conjuntos transversais em grafos (maximais) planares, a ser

submetido. Tambem encontra-se em preparacao um artigo referente ao conteudo do

Capıtulo 5.

5

Capıtulo 2

Preliminares

Os fundamentos envolvidos nesta tese pertencem a uma intersecao entre diferentes

areas da engenharia e computacao. Sao abrangidos conceitos de teoria dos grafos,

logica, complexidade, geometria computacional e teoria da informacao. Apresen-

tamos, neste capıtulo, as principais definicoes e teoremas tomados emprestados de

cada uma destas areas, necessarios a obtencao dos resultados contidos nos proximos

capıtulos. Isto servira tambem para estabelecer a notacao adotada.

2.1 Elementos de Teoria dos Grafos

Um grafo G e um par ordenado de conjuntos disjuntos (V (G), E(G)), onde E(G) e

composto por pares nao ordenados de elementos de V (G). Os elementos de V (G)

sao denominados vertices do grafo G, e os elementos de E(G) sao as arestas de G.

Quando nao houver duvidas quanto ao grafo subjacente, escreveremos somente V

e E para denotar os conjuntos de vertices e arestas de G. A menos que seja dito

o contrario, usaremos n e m para denotar a cardinalidade dos conjuntos V e E,

respectivamente.

Um laco e uma aresta cujas extremidades sao identicas. Uma multiaresta e um

conjunto de ao menos duas arestas com extremidades identicas. Um grafo e dito

simples se este nao contem nem lacos nem multiarestas. Caso contrario, este e dito

ser um multigrafo.

6

Nesta tese, nos ocuparemos apenas com grafos simples cujo conjunto de vertices

e finito, o que implica na finitude de E, o qual possui no maximo(

n2

)arestas.

Dados dois vertices u, v ∈ V , diz-se que u e adjacente ou vizinho a v se a aresta

(u, v) pertence a E. Se uma aresta e ∈ E contem como extremidade um vertice v,

entao e e incidente em v. A vizinhanca N(u) de um vertice u e igual ao conjunto de

seus vertices incidentes. O grau de um vertice u e igual ao numero de vertices em sua

vizinhanca. Um vertice cujo grau e igual a zero e denominado isolado. Um grafo e

regular quando todos os seus vertices possuem o mesmo grau. Se um grafo e regular

e o grau de seus vertices for igual a k, este e denominado k-regular. Denota-se por

δ(G) e ∆(G) os graus mınimo e maximo em G, respectivamente.

Um grafo e dito completo se for simples e seus vertices forem dois-a-dois adja-

centes. O grafo completo de n vertices e denotado por Kn. Logo, K2 e uma aresta

e K3 e um triangulo.

Um grafo e bipartido se for possıvel agrupar seus vertices em dois conjuntos de

vertices V1 e V2 tal que cada vertice nao possui vizinhos no conjunto no qual ele

proprio esta contido. Se G for tambem completo, entao G e um grafo bipartido

completo, denotado por Ki,j, onde i = |V1| e j = |V2|.Dados dois grafos G e G′, se V (G′) ⊆ V (G) e E(G′) ⊆ E(G), entao G′ e um

subgrafo de G. Se G′ 6= G, entao G′ e um subgrafo proprio de G. O subgrafo induzido

G[X] de um conjunto X ⊆ V (G) e um par composto por X e o conjunto de todas

as arestas de G entre vertices de X. O subgrafo induzido por um grafo G′ ⊆ G e

igual ao subgrafo induzido pelo conjunto V (G′).

Um caminho em um grafo G e um subgrafo simples cujos vertices podem ser

organizados em uma sequencia linear de tal modo que dois vertices sao adjacentes

em G somente se estes forem consecutivos nesta sequencia, caso contrario estes

devem ser nao adjacentes um ao outro. Os ciclos sao caminhos onde os vertices

podem ser distribuıdos em uma sequencia circular. O tamanho de um caminho ou

ciclo e igual ao seu numero de arestas. Denota-se um caminho (resp., um ciclo) com

n vertices por Pn (resp., Cn). Se G nao possui ciclos, entao G e acıclico.

7

Um grafo G e conexo se quaisquer dois de seus vertices estiverem ligados por um

caminho. Caso contrario, G e desconexo. Se e ∈ E for uma aresta de G tal que o

grafo G − {e} e desconexo, dizemos que e e uma ponte ou uma aresta de corte de

G. Grafos conexos acıclicos sao denominados de arvores.

Dados dois grafos G1 e G2, se existir uma bijecao entre os conjuntos V (G1) e

V (G2), e estes possuırem o mesmo numero de arestas, entao G1 e G2 sao isomorfos.

Um grafo e dito planar se este pode ser desenhado no plano sem a existencia de

cruzamentos entre arestas. As regioes conexas do plano delimitadas por um desenho

de um grafo planar G sao as faces de G. O conjunto de todas as faces de um grafo

G e denotado por F (G) ou F , abreviadamente, desde que esteja claro seu grafo de

definicao. A face mais externa de um grafo e denominada ilimitada ou infinita. Um

grafo maximal planar e aquele ao qual a adicao de apenas uma aresta levara ao

aparecimento de arestas cruzadas.

Diz-se que um grafo planar G′ e um refinamento de um grafo G se o conjunto

de arestas de G estiver contido no conjunto de arestas de G′. Observe que um grafo

maximal planar nao pode ser refinado a menos da criacao de vertices.

Em geometria computacional, uma triangulacao e definida como uma decom-

posicao em triangulos do fecho convexo de um conjunto de pontos. Ja em teoria

dos grafos, o termo triangulacao e utilizado como sinonimo para grafos maximais

planares. De modo a uniformizar o tratamento deste conceito, assumiremos que

nossas triangulacoes estarao sempre equipadas com um vertice fictıcio no infinito,

conectado a todos os vertices pertencentes ao fecho convexo do conjunto de pontos

subjacente. Isto torna a triangulacao homeomorfa a triangulacao da esfera S3 ⊂ R3.

Deste modo, e facil ver que uma triangulacao de n pontos possuira 3n− 6 arestas e

2n− 4 faces, o que tambem vale para grafos maximais planares.

Uma k-coloracao dos vertices de um grafo G e uma funcao f : V → S, onde S

e um conjunto de k cores. Uma coloracao e dita propria se quaisquer dois vertices

adjacentes em G possuırem cores distintas. O numero cromatico χ(G) de um grafo G

e o menor inteiro positivo k tal que exista uma k-coloracao propria de seus vertices.

8

Se um grafo pode ser colorido com k cores, dizemos que ele e k-colorıvel.

Em teoria dos grafos extremal, uma questao bastante estudada e a de obter

limites superiores para o numero de cores necessarias para colorir propriamente di-

ferentes classes de grafos. E facil ver que qualquer grafo pode ser colorido utilizando

∆(G)+1 cores. Entretanto, sabe-se que o calculo do numero cromatico de um grafo,

mesmo sendo este planar, e um problema intratavel computacionalmente.

Teorema 2.1 ([27, 28]). O problema de decidir se um grafo pode ser 3-colorido e

NP-completo, mesmo se o grafo for planar e possuir grau maximo 4.

Para grafos maximais planares, a existencia de uma 3-coloracao dos vertices foi

caracterizada ainda no seculo 19, empregando o conceito de grafos Eulerianos (grafos

onde o grau de qualquer um de seus vertices e par). Com isto, pode-se verificar em

tempo O(n) se uma triangulacao possui uma 3-coloracao propria.

Teorema 2.2 ([29–31]). Uma grafo maximal planar G possui uma 3-coloracao

propria de seus vertices se e somente se G for Euleriano.

No ano de 1977, APPEL et al. [32] apresentaram uma demonstracao auxiliada

por computador que confirmava uma conjectura de que grafos planares sempre po-

dem ser coloridos utilizando ate quatro cores.

Teorema 2.3 (Teorema das Quatro Cores [32]). Todo grafo planar sem lacos e

4-colorıvel.

Este mesmo teorema foi demonstrado mais tarde por ROBERTSON et al. [33],

ainda com o auxılio de um computador, mas reduzindo o tempo total de verificacao.

2.1.1 Coloracoes Policromaticas

Dada uma k-coloracao de um grafo planar G, diz-se que uma face f ∈ F (G) e po-

licromatica se todas as k cores forem utilizadas para colorir os vertices de f . Uma

k-coloracao de um grafo G e denominada de k-coloracao com faces policromaticas,

9

ou simplesmente de coloracao policromatica, se todas as faces de G forem poli-

cromaticas. O numero policromatico p(G) de um grafo G e o maior inteiro positivo

k tal que G admita uma k-coloracao policromatica.

Seja g(G) o tamanho da menor face em um grafo planar G. Fica claro que

p(G) ≤ g(G). Alem disso, p(G) ≥ 2 para todo grafo planar G com g(G) ≥ 3, pois

se p(G) for igual a 1, surgirao faces monocromaticas em G, o que e proibido.

A existencia de ao menos uma 2-coloracao policromatica de um grafo planar

arbitrario e garantida por intermedio do emprego do Teorema das Quatro Cores

[34]. Com efeito, seja G um grafo planar munido de uma 4-coloracao. Seja S =

{V1, V2, V3, V4}, onde |V1| ≤ |V2| ≤ |V3| ≤ |V4|, o particionamento de seu conjunto de

vertices induzido por esta coloracao. Defina um novo particionamento S ′ = {V ′1 , V ′2},onde V ′1 = V1∪V2 e V ′2 = V3∪V4. Observe que, deste modo, nao existirao triangulos

monocromaticos em G. Logo, S ′ e uma 2-coloracao policromatica de G.

Posteriormente, BOSE et al. [22] apresentaram uma demonstracao alternativa

sem empregar o Teorema das Quatro Cores, a qual fornece um algoritmo linear para

o calculo de 2-coloracoes policromaticas.

Dada uma triangulacao arbitraria G, temos que 2 ≤ p(G) ≤ 3. Foi estudando

esta desigualdade para grafos planares quaisquer que ALON et al. [35] obtiveram o

resultado mais geral a seguir.

Teorema 2.4 ([35]). Se G e um grafo planar com g(G) ≥ 3, entao vale o seguinte:

⌊3g − 5

4

⌋≤ p(G) ≤

⌊3g + 1

4

⌋. (2.1)

2.1.2 Emparelhamento Maximal, Maximo e Perfeito

Um emparelhamento M de um grafo G e uma colecao de arestas de G dois-a-dois dis-

juntas. Diz-se que um vertice v esta saturado por um emparelhamento M , se existir

uma aresta e ∈ M que incide em v. Um emparelhamento e dito maximo se, dado

qualquer outro emparelhamento M ′, valer a desigualdade |M | ≥ |M ′|. Se o tamanho

de um emparelhamento M nao puder ser aumentado com a insercao de mais uma

10

aresta, entao M e maximal. Um emparelhamento perfeito de um grafo e qualquer

emparelhamento que sature todos os seus vertices. A existencia de emparelhamen-

tos perfeitos em grafos 3-regulares biconexos foi caracterizada por PETERSEN [36],

ao demonstrar que se existir um grafo 3-regular sem um emparelhamento perfeito,

entao este dever conter ao menos tres pontes.

Teorema 2.5 ([36, 37]). Todo grafo 3-regular biconexo possui um emparelhamento

perfeito.

O primeiro algoritmo polinomial para determinar emparelhamentos maximos

em grafos arbitrarios foi desenvolvido por EDMONDS [38], cuja complexidade e

O(n4). Quinze anos depois, MICALI e VAZIRANI [39] obtiveram um algoritmo

consideravelmente mais rapido, de tempo O(m√n). Posteriormente, surgiram dois

outros algoritmos com esta mesma complexidade [40, 41]. No caso particular de

grafos 3-regulares biconexos, um algoritmo de BIEDL et al. [42] e capaz de calcular

emparelhamentos maximos em tempo O(n log4 n). Se alem de 3-regular, o grafo for

planar, BIEDL et al. [42] tambem demonstrou como obter uma solucao em O(n)

passos.

2.2 Satisfabilidade e suas variacoes

Seja X = {x1, x2, . . . , xn} um conjunto de variaveis Booleanas. A cada variavel xi,

associa-se os literais xi e xi. O literal xi assume valor verdadeiro se e somente se xi

for igual a falso, e vice-versa. Por convencao, assuma que 1 corresponde a verdadeiro

e 0 corresponde a falso. Uma atribuicao de verdade e uma aplicacao de X em {0, 1}.Uma clausula em X e definida como uma disjuncao de literais associados a um

subconjunto de X. Diz-se que uma clausula e satisfatıvel se existe uma atribuicao

de verdade tal que ao menos um de seus literais assume valor verdadeiro. Uma

expressao Booleana ϕ esta na forma normal conjuntiva (FNC) se esta puder ser

escrita como∧m

j=1Cj, onde Cj e uma clausula em X. Portanto, uma expressao ϕ na

FNC e satisfatıvel se todas as suas clausulas sao satisfeitas simultaneamente. Um

11

problema bastante conhecido envolvendo este tipo de expressoes e o seguinte:

Satisfabilidade (Sat)

Entrada: Expressao Booleana ϕ na forma normal conjuntiva.

Questao: A expressao ϕ e satisfatıvel?

O problema Sat e conhecido como o primeiro problema comprovadamente NP-

completo [43]. Sua estrutura simples contribuiu para sua popularizacao nas provas

por construcao de reducoes polinomiais.

Ao buscar caracterizar a fronteira entre P e NP, e comum estudar restricoes de

um problema mais geral. No caso do Sat, pode-se restringir o tamanho das clausulas,

o numero de ocorrencias das variaveis, etc. Por exemplo, COOK [43] observou que o

Sat quando restrito a clausulas de tamanho exatamente 3 permanece NP-completo.

Este problema e mais conhecido como 3-Sat.

Dada uma expressao ϕ na FNC, o seu grafo de incidencia e um grafo bipartido

G[ϕ] := (V,E) com biparticao (Vc, Vv), onde os conjuntos Vc e Vv representam

as variaveis e as clausulas de ϕ, respectivamente. As arestas de G[ϕ] denotam a

relacao de inclusao entre variaveis e clausulas. E surpreendente saber que o 3-Sat

permanece difıcil de resolver ainda que o grafo de suas formulas sejam planares. Isto

foi demonstrado por LICHTENSTEIN [44], resultando no seguinte teorema:

Teorema 2.6 ([44]). O problema 3-Sat Planar e NP-completo.

Seja (k, s)-FNC o conjunto de expressoes Booleanas na forma normal conjuntiva

com clausulas contendo exatamente k literais distintos, os quais ocorrem em ate

s clausulas. Define-se entao o problema (k, s)-Sat como o de decidir se uma dada

expressao (k, s)-FNC e satisfatıvel. TOVEY [45] foi o primeiro a estudar este tipo de

questao. Ele observou que o problema (3, 3)-Sat e trivialmente satisfatıvel, ao passo

que o problema (3, 4)-Sat ja se torna NP-completo. Para demonstrar a trivialidade

do (3, 3)-Sat, Tovey construiu um grafo de incidencia de uma expressao (3, 3)-FNC

e percebeu o seguinte. Se S e um subconjunto de Vc, entao |N(S)| e maior ou igual

ao tamanho de S. Logo, pelo Teorema de HALL [46], existe um emparelhamento

que satura Vc. Para construir uma atribuicao de verdade que satisfaca ϕ, basta

12

associar o valor verdadeiro ao literal correspondente a variavel saturada por este

emparelhamento. Desde que existem algoritmos para determinar emparelhamentos

em grafos bipartidos em tempo linear, o problema (3, 3)-Sat pertence a P.

Considere agora mais uma variacao de problemas de satisfabilidade, o 3-Sat2+1,

onde as clausulas possuem 2 ou 3 literais e as variaveis ocorrem exatamente 3 vezes

(duas positivamente e uma negativamente, ou ao contrario). A seguinte afirmacao

e verdadeira [45]:

Teorema 2.7 ([45]). O problema 3-Sat2+1 e NP-completo.

Com base nos Teoremas 2.6 e 2.7, podemos assumir o seguinte:

Lema 2.1. O problema 3-Sat2+1 Planar e NP-completo.

2.3 Conjunto Transversal de Triangulo

Seja G um grafo arbitrario e H uma famılia de grafos. Um H-subgrafo de G e um

subgrafo induzido de G isomorfo a um elemento de H. Um conjunto X ⊆ V (G) e

um H-transversal de G se todos os H-subgrafos de G forem interceptados por X.

Um transversal X ∈ V e dito independente se ∆(G[X]) = 0. Um emparelhamento

transversal e todo transversal onde ∆(G[X]) ≤ 1. O numero transversal τ(G) de

um grafo G e a cardinalidade mınima de um transversal de G.

O problema de decidir se existe um H-transversal em um grafo G e formulado

da seguinte maneira:

H-Transversal

Entrada: Grafo G, famılia de grafos H e inteiro positivo k.

Questao: Existe um H-transversal de G de tamanho no maximo k?

Em resposta a esta questao, YANNAKAKIS [47] demonstrou o teorema a seguir:

Teorema 2.8 ([47]). H-Transversal e NP-completo.

Considerando uma famılia de grafos H particular, o problema H-Transversal

pode recair em um problema bastante conhecido. Por exemplo, fazendo H = {K2},

13

um H-transversal e equivalente ao Cobertura de Vertices [48]. Quando H =

{K3}, chegamos a formulacao do principal problema estudado nesta tese.

Transversal de Triangulos por Vertice

Entrada: Grafo G e inteiro positivo k.

Questao: Existe um transversal de triangulos por vertice de G com tamanho no

maximo k?

Recentemente, GROSHAUS et al. [49] estudaram transversais de ciclos em grafos

arbitrarios. Eles tambem consideraram transversais de triangulos em grafos com

grau maximo limitado.

Teorema 2.9 ([49]). Transversal de Triangulos por Vertice e NP-completo

para grafos com grau maximo igual a 4.

Em termos de algoritmos para calcular um transversal de triangulos em grafos

arbitrarios, GROSHAUS et al. [49] desenvolveram um algoritmo 3-aproximativo.

2.4 Vigilancia em Terrenos

Desde sua formulacao por Victor Klee na decada de 70, o problema da galeria de

arte tem estimulado um numero crescente de pesquisadores, notavelmente do campo

da geometria computacional. A questao original pergunta pelo numero mınimo de

guardas que podem vigiar o interior de uma galeria. Na sua versao padrao, uma gale-

ria e representada por um polıgono simples e os guardas sao posicionados em pontos

fixos pertencentes a este polıgono. CHVATAL [50] foi o primeiro a demonstrar que

bn/3c guardas sao sempre suficientes e algumas vezes necessarios. Utilizando o fato

de que a triangulacao de um polıgono simples e 3-colorıvel, FISK [51] desenvolveu

uma demonstracao mais simples e elegante para o mesmo problema. A Figura 2.1

contem um exemplo de um polıgono simples que requer no mınimo bn/3c guardas.

Varias particularizacoes tambem tem sido estudadas, tais como considerar

polıgonos com buracos e polıgonos ortogonais, ou permitir que os guardas patru-

lhem ao longo de areas de formas das mais variadas. As referencias [52–54] sao

14

Figura 2.1: Polıgono simples no formato de “pente” com 15 vertices. Sao necessarios

5 guardas (pontos pretos em destaque) para vigiar todo o seu interior, onde cada

guarda e responsavel por um “dente” do “pente”.

excelentes coletaneas de resultados sobre este tema. Um caso especial que sera

abordado nesta tese e o seguinte.

Vigilancia de Terreno

Entrada: Terreno poliedrico T e inteiro positivo k.

Questao: E possıvel vigiar o terreno T utilizando no maximo k guardas?

Um terreno poliedrico T pode ser visto como o grafico de uma funcao linear por

partes z = F (x, y), definida sobre o plano xy [21]. Dados dois pontos u e v em T ,

dizemos que u e visıvel a partir de v se o segmento de reta uv nao intercepta T em

nenhum ponto estritamente abaixo da superfıcie do terreno. A regiao de visibilidade

de um ponto u e definida pelo conjunto de pontos em T visıveis a partir de u.

Quando os guardas sao postos em qualquer ponto sobre o terreno, devendo per-

manecer parados no mesmo local durante todo o seu expediente, eles sao denomina-

dos guardas-ponto. Se restringirmos ainda mais os lugares disponıveis para o posici-

onamento dos guardas como sendo estritamente os vertices do grafo subjacente ao

terreno, este tipo de guarda e denominado guarda-vertice. Em outro modelo bastante

conhecido de guarda, o guarda-aresta, ele pode patrulhar ao longo das arestas do

terreno. Estes diferentes tipos de guardas dao origem aos problemas de Vigilancia

de Terreno com Guardas-Ponto, Guardas-Vertice e Guardas-Aresta.

Segundo BOSE et al. [22, 55], para vigiar um terreno com n vertices e necessario e

as vezes suficiente utilizar bn/2c guardas-vertice. Este resultado foi demonstrado por

15

Figura 2.2: Grafo subjacente a um terreno convexo com 7 vertices que precisa de

ao menos 3 guardas para ser vigiado. Um exemplo de conjunto de guardas mınimo

esta indicado pelos vertices preenchidos na cor preta.

meio de uma construcao recursiva de uma famılia de terrenos convexos que apenas

sao cobertos se exatamente bn/2c vertices forem selecionados. O grafo subjacente

ao terreno utilizado como caso base da recursao esta ilustrado na Figura 2.2.

Quando se trata de guardas-aresta, o numero de guardas e obviamente inferior.

EVERETT e RIVERA-CAMPO [56] demonstraram que bn/3c guardas-aresta sao

suficientes para cobrir um terreno poliedrico. O melhor limite inferior de que temos

conhecimento e de b(4n− 4)/13c guardas-aresta, devido a BOSE et al. [55].

As demonstracoes destes limites sobre o numero de guardas foram obtidas, na

verdade, considerando-se a versao discreta do problema de vigilancia em terrenos.

Neste caso, restringe-se a regiao de visibilidade de um guarda as faces nele incidentes.

Realmente, na pior das hipoteses, isto pode acontecer. Basta considerarmos um

terreno convexo com faces planas. Se, alem de convexo, o grafo G subjacente a T

for maximal planar, determinar um conjunto de guardas de cardinalidade mınima

para T e equivalente a calcular um transversal de triangulos por vertice mınimo de

G. Desde que todo terreno pode ser vigiado por no maximo bn/2c guardas [22, 55],

isto tambem deve valer para transversais de triangulos em grafos maximais planares.

Corolario 2.1. Todo grafo maximal planar G possui um transversal de triangulos

por vertice de tamanho no maximo bn/2c.

16

2.5 Classes de Estruturas de Dados

Seja C uma classe de objetos abstratos. Fixado um parametro de tamanho n, su-

ponha que a classe C pode ser particionada em subclasses finitas Cn de objetos

parametrizados por n. A entropia ‖Cn‖ de Cn e igual a quantidade media de bits

necessaria para representar um objeto aleatorio de Cn. Seja p(x) = Pr[x], x ∈ Cn,

uma distribuicao de probabilidades em Cn. A entropia de Cn e dada por:

‖Cn‖ = −∑x∈Cn

p(x) log2 p(x).

Supondo todos os objetos equiprovaveis, tem-se que:

‖Cn‖ = log2 |Cn|.

Com base nisto, uma estrutura de dados pode ser classificada como implıcita, su-

cinta e compacta. Representacoes implıcitas sao aquelas que armazenam exatamente

o numero de bits retornado pela entropia. Uma estrutura de dados e considerada

sucinta se esta consome ‖Cn‖ + o(‖Cn‖) bits. As estruturas compactas sao aquelas

que utilizam O(‖Cn‖) bits. Caso uma estrutura de dados nao se encaixe em nenhuma

destas classes, ela e denominada explıcita.

Seja Tn a classe de triangulacoes com n+ 2 vertices homeomorfas a triangulacao

da esfera tridimensional S3. Diz-se que duas triangulacoes sao equivalentes se estas

forem isomorfas. Neste caso, sabe-se que:

Teorema 2.10 ([57]). O numero de triangulacoes enraizadas, planares e 3-conexas

com n+ 2 vertices e igual a:

|Tn| = 2(4n− 3)!

n!(3n− 1)!.

Aplicando-se a aproximacao de Stirling para o fatorial, conclui-se que ‖Tn‖ vale

aproximadamente 3,24n bits. Isto quer dizer que 3,24n bits e um limite inferior

para o maximo de compressao possıvel a ser obtido por uma estrutura de dados

17

para triangulacoes bidimensionais. Apesar de ser difıcil obter uma implementacao

pratica de uma estrutura ocupando tao pouco espaco, ja existe um esquema teorico

capaz de alcancar tal limite [3].

2.6 Estruturas de dados para triangulacoes

Do ponto de vista teorico, a geometria computacional avancou consideravelmente

nos ultimos 30 anos. Desde o aparecimento da tese de SHAMOS [58] em 1978, gran-

des descobertas foram realizadas e uma quantidade enorme de material bibliografico

foi produzida. Alguns dos problemas mais abordados nesta area sao: calculo do

fecho convexo de pontos, construcao de envelopes de arranjos de hiperplanos, de-

composicao de polıgonos, busca por regiao e construcao triangulacoes de Delaunay.

Este ultimo e bastante conhecido da comunidade de computacao cientıfica por sua

aplicacao em metodos de geracao de malhas. Isto e justificado pelas propriedades

intrınsecas a uma triangulacao de Delaunay, notavelmente, a de maximizar o menor

angulo dos triangulos para o caso planar.

Pode-se afirmar que houve um aumento significativo do numero de imple-

mentacoes de algoritmos geometricos, bons exemplos sao a Computational Geo-

metry Algorithms Library (CGAL) e a C++ Library of Efficient Data Types and

Algorithms (LEDA). Estas duas bibliotecas, juntas, contemplam grande parte dos

problemas classicos de geometria computacional. As representacoes computacionais

para os tipos de dados manipulados, contudo, nao foram exploradas o suficiente. Um

bom exemplo e a representacao de triangulacoes utilizada pela biblioteca CGAL. E

uma estrutura de dados classica, a qual representa explicitamente os vertices e as

faces da triangulacao. Cada vertice armazena uma referencia (ou apontador) a uma

face incidente qualquer, e cada face possui apontadores para suas tres faces vizinhas

por aresta. Isto e interessante do ponto de vista do custo de consultas. Em termos de

memoria, entretanto, boa parte dos dados sao gastos com informacoes redundantes.

Podemos agrupar as estruturas de dados existentes para representacao de tri-

angulacoes segundo o tipo basico adotado: vertice, aresta ou face. Estruturas de

18

dados baseadas em face sao bastante utilizadas na pratica, principalmente, devido a

facilidade de implementacao. As estruturas baseadas em arestas ja foram bastante

estudadas, mas devido seu custo elevado em termos de memoria, estas sao mais

aplicadas na representacao de modelos geometricos com faces de dimensao variavel

do que na representacao de simples triangulacoes. Aparentemente mais simples, a

implementacao de estruturas baseadas em vertices na verdade envolvem um maior

esforco na concepcao dos algoritmos de manipulacao. Somando-se a isto, esta o fato

de que o custo de acesso aos seus dados e normalmente funcao do grau do vertice

em consideracao, ao inves de tempo O(1) fornecido pela maior parte dos esquemas

baseados em aresta ou face.

2.6.1 Estruturas Baseadas em Face

Sopa de triangulos

Em R2, um triangulo e definido por seus tres vertices, onde cada vertice e dado por

um par de pontos no plano. Assim, uma colecao de triangulos pode ser representada

pela uniao disjunta das coordenadas de seus vertices. Com efeito, uma triangulacao

com n vertices requer (6n− 12)× log n bits. Note que aqui nenhuma informacao de

adjacencia e armazenada. Entao, testar se dois vertices u e v sao adjacentes implica

em encontrar ao menos um triangulo da triangulacao contendo a aresta (u, v). Este

algoritmo levaria O(n) passos de tempo.

CGAL

A biblioteca de geometria computacional CGAL contem uma implementacao de

uma representacao baseada em face. Cada vertice guarda uma referencia para uma

de suas faces incidentes. As faces contem, alem de ponteiros para os vertices que

as compoem, tres ponteiros para as faces adjacentes por aresta. As arestas sao

representadas implicitamente por pares compreendendo uma face e um inteiro in-

dicando o vertice oposto a aresta representada. O resultado disto e um total de

13n − 4 ≈ 13n referencias por triangulacao. Em contrapartida, garante-se acesso

19

em O(1) as informacoes de adjacencias de uma face.

Castelli et al

Conceito surgido em 1989 [59], as estruturas sucintas tem despertado a atencao da

comunidade cientıfica devido a sua otimalidade em espaco e o seu compromisso com

o tempo de acesso as informacoes armazenadas. A maioria das estruturas sucintas

propostas e baseada nas construcoes de JACOBSON [59] e MUNRO e RAMAN [60]

para a representacao de arvores binarias, parenteses balanceados e grafos planares.

A ideia basica e particionar o objeto de entrada em blocos, e em diferentes nıveis,

de modo a tornar o acesso e o espaco consumidos assintoticamente otimos. Com

base nisto, e aproveitando a existencia de uma bijecao entre triangulacoes e arvores

[61], ALEARDI et al. [3] desenvolveram um esquema de representacao sucinto que

atinge a entropia para triangulacoes da esfera, ou seja, 3,24 bits por vertice.

Muitos dos resultados de ALEARDI et al. [3] sao de cunho estritamente teorico,

como alertado pelos proprios autores. Recentemente, alguns deles foram avaliados na

pratica por MEBARKI [62]. Na verdade, foram implementadas tres representacoes.

A primeira consiste em empregar rotulos inteiros ao inves de ponteiros em cima da

estrutura padrao utilizada pela CGAL. Os outros dois esquemas avaliados foram

justamente os propostos por ALEARDI et al. [3]. Um deles particiona a trian-

gulacao em estruturas pequenas de tamanho fixo as quais juntas dao origem a um

catalogo. A triangulacao fica representada entao por uma lista de ponteiros para

este catalogo. Isto faz com que o numero de referencias multiplas de triangulos aos

vertices e entre triangulos seja reduzido. O segundo esquema implementado consi-

dera catalogos com tamanhos dependentes do numero de pontos da triangulacao.

Isto visa diminuir o custo global associado com o grafo das sub-triangulacoes. Em

suma, sao criadas O(log n) sub-triangulacoes. Logo, estas sub-triangulacoes podem

utilizar referencias de tamanho O(n/ log n). Apesar dos ganhos em memoria faze-

rem jus aos previstos por ALEARDI et al. [3], a velocidade de processamento nao

foi melhorada em conjuntos de pontos massivos.

20

2.6.2 Estruturas Baseadas em Aresta

As estruturas baseadas em arestas mais conhecidas sao sem duvida a aresta alada

de BAUMGART [63], Doubly-Connected Edge List (DCEL) de PREPARATA e

SHAMOS [64] e a quad-edge de GUIBAS e STOLFI [65], as quais consomem aproxi-

madamente 27n, 18n e 36n referencias, respectivamente. Todas permitem acesso em

tempo O(1) a topologia da triangulacao. No caso da quad-edge, e possıvel realizar

consultas em tempo constante ate mesmo sobre o grafo dual.

Semi-Aresta

A introducao do conceito de semi-arestas deu-se em 1985 por Kevin Weiler para a

representacao de superfıcies poliedricas. Nesta estrutura, cada aresta e dividida em

duas semi-arestas com direcoes opostas, totalizando 6n− 12 semi-arestas por trian-

gulacao. Usualmente, uma implementacao desta estrutura utiliza quatro ponteiros

por semi-aresta para: o vertice de destino (ou de origem), a proxima semi-aresta

no sentido anti-horario pertencente a mesma face, a semi-aresta “gemea” da face

adjacente, e a face adjacente a esquerda. As arestas ordinarias ficam definidas de

modo implıcito por pares de semi-arestas “gemeas” entre si. Conclui-se entao que

sao necessarios n + 8(3n − 6) + (2n − 4) = 27n − 52 ≈ 27n ponteiros. Todas as

operacoes sao realizadas em tempo constante.

Arestas Direcionadas

CAMPAGNA et al. [66] propuseram um esquema denominado arestas direciona-

das. Esta estrutura fornece consultas sobre informacoes de adjacencia em tempo

constante, sendo exclusivamente apropriada para malhas triangulares. Uma carac-

terıstica interessante desta estrutura e a escalabilidade, advinda da capacidade de

gerenciar a relacao custo-benefıcio entre a velocidade de acesso e a quantidade de

memoria requerida. Esse mecanismo pode ser ativado sob demanda, guiado, por

exemplo, pelo tamanho da entrada e dos recursos disponıveis. No mınimo, pode-se

chegar a 13n referencias armazenadas.

21

2.6.3 Estruturas Baseadas em Vertice

Lista e matriz de incidencias

As estruturas de dados mais comuns para representar grafos explicitamente sao a

matriz de incidencias e a lista de incidencias. Uma matriz de incidencia de um grafo

G = (V,E) e uma matriz quadrada de ordem n, onde cada elemento e definido por:

A[i, j] =

1 se (vi, vj) ∈ E,

0 se (vi, vj) 6∈ E.

Cada elemento da matriz indica se um aresta particular pertence ao grafo. Consi-

derando grafos simples, sem a existencia de lacos, os elementos da diagonal principal

sao todos iguais a zero. No caso de grafos nao direcionados, a matriz de incidencias

e sempre simetrica. A representacao de grafos direcionados se da pela introducao de

um sinal negativo. Assim, os elementos das matrizes assumem valores no conjunto

{−1, 0, 1}. Nesta tese, ficaremos limitados aos grafos nao direcionados.

Dada uma matriz de incidencias, consultar a existencia de uma aresta entre dois

vertices requer tempo Θ(1), basta verificar se o valor do elemento correspondente

na matriz e nao nulo. O conjunto de todos os vizinhos de um dado vertice v e

determinado em tempo Θ(n) ao percorrer a linha (ou coluna) correspondente a v.

Observe que mesmo se um vertice possuir poucos vizinhos, e possıvel que tenhamos

que examinar todos os elementos da linha (ou coluna) correspondente.

Uma matriz de incidencias consome O(n2) bits, independente da quantidade de

arestas do grafo. Em se tratando de grafos densos, onde o numero de arestas e Θ(n2),

a matriz de incidencias pode ser considerada viavel. Sendo esta simetrica quando da

representacao de grafos nao direcionados, pode-se armazenar apenas os elementos

acima da diagonal, conduzindo para uma representacao da ordem de n(n−1)/2 bits.

Quando o numero de arestas e muito menor do que n2, no caso de grafos es-

parsos, a lista de incidencias e mais adequada. Em grafos esparsos, muitas vezes a

quantidade de arestas cai para O(n). Isto acontece no caso de malhas empregadas

22

em simulacoes pelo metodo dos elementos finitos, onde a relacao entre o grau de

um vertice e o numero total de vertices tende assintoticamente a zero. CLINE e

RENKA [67] foram um dos primeiros a utilizar uma estrutura baseada em listas de

incidencias para a construcao de triangulacoes de Delaunay.

Vertices estrelados

KALLMANN e THALMANN [68] desenvolveram uma estrutura de dados batizada

de vertices estrelados. Nesta, para cada vertice v armazena-se o grau de v e re-

ferencias aos seus vizinhos. Para cada vizinho v′ de v, armazena-se ainda um inteiro

que indica qual e o vertice vizinho de v′ tal que {v, v′, v′′} e um triangulo da malha.

Portanto, esta estrutura armazena cada aresta duas vezes, resultando em um total

de 7n referencias. As informacoes topologicas sao acessadas em tempo O(deg(v)).

Blandford et al

No esquema de representacao de BLANDFORD et al. [1], cada vertice guarda a

lista de seus vertices adjacentes, de modo analogo ao usado por CLINE e RENKA

[67]. Esta lista e representada por por uma concatenacao dos rotulos dos vertices.

Isto e o que na verdade os permite obter uma estrutura compacta. Ao inves de

armazenar o rotulo de cada vertice adjacente, eles armazenam as diferencas entre

o rotulo do vertice central e os rotulos de seus vertices adjacentes. Para garantir

que o tamanho dos rotulos das diferencas seja bem menor do que o tamanho de um

ponteiro, o grafo e renumerado utilizando um algoritmo baseado em separadores de

grafos. Ao final, sao necessarios 5 bytes por triangulo, o que representa um ganho

de 5 a 10 vezes em relacao as estruturas convencionais. Para triangulacoes com grau

limitado, esta estrutura suporta operacoes de travessia da vizinhanca de uma face,

insercao e remocao de triangulos em tempo constante.

A Tabela 2.1 contem um resumo das caracterısticas das estruturas de dados

apresentadas nesta secao. Tendo como objetivo a reducao do numero de referencias

utilizando a teoria de conjuntos transversais por vertice, o esquema descomprimido

23

Tabela 2.1: Numero de referencias utilizadas e custo de acesso a informacoes de

adjacencias em estruturas de dados para a representacao de triangulacoes 2D.

Estrutura de dados Numero de referencias Tempo de acesso

Sopa de triangulos 6n− 12 O(n)

Aresta alada 27n− 52 O(1)

DCEL 18n− 36 O(1)

Quad-edge 36n− 72 O(1)

Semi-aresta 27n− 52 O(1)

CGAL 13n− 4 O(1)

Vertices estrelados 7n− 12 O(deg(v))

Lista de incidencias ([1]∗; [67]) 6n− 12 O(deg(v))

∗ Considerando a versao descomprimida.

proposto por BLANDFORD et al. [1] e naturalmente o mais viavel para servir como

base de nossa estrutura. O fato de cada aresta ser representada quatro vezes, mesmo

em sua versao comprimida, torna-o susceptıvel a melhorias.

24

Capıtulo 3

Transversal por Vertice

Como anunciado anteriormente, utilizaremos conjuntos transversais de triangulos

por vertice para a construcao de uma representacao computacional de grafos maxi-

mais planares. Podemos adiantar que quanto menor o tamanho de um transversal,

maior sera a economia em espaco fornecido por nossa representacao. E primordial

entao estudar em detalhes suas propriedades combinatorias e algorıtmicas, de modo

a possibilitar uma maior compreensao das vantagens e limitacoes que seu uso pode

nos trazer.

3.1 Complexidade de Transversais por Vertice

Considere um grafo planar G arbitrario. Note que, qualquer que seja G, existe

ao menos um transversal de triangulos cuja construcao e trivial. Basta selecionar

um unico vertice de cada face triangular pertencente a G, enquanto houver faces

descobertas. No caso de grafos planares onde predominam faces de tamanho maior

do que tres, esta solucao pode ocasionalmente levar a um transversal de tamanho

exatamente igual a τ(G). Em grafos maximais planares, contudo, este algoritmo

raramente nos levara a uma solucao otima.

Ao considerar o emprego na pratica de transversais de triangulos, e preciso saber

se estamos lidando com um problema cuja solucao exata pode ser calculada de modo

eficiente. Caso contrario, precisaremos lancar mao de algoritmos arbitrarios, mas de

25

preferencia com alguma garantia sobre a aproximacao da solucao retornada.

Infelizmente, veremos que calcular transversais mınimos de grafos planares, ou

mesmo decidir se existe um transversal de tamanho k > 0, e uma tarefa difıcil. Mais

precisamente, demonstraremos que o problema Transversal de Triangulos por

Vertice nao e mais facil de ser solucionado do que uma variacao NP-completa do

3-Sat. A seguir, construiremos uma versao plana do dispositivo desenvolvido por

GROSHAUS et al. [49] na demonstracao do Teorema 2.9.

Teorema 3.1. Transversal de Triangulos por Vertice e NP-completo para

grafos planares com grau maximo 5.

Demonstracao. Este problema esta claramente em NP. Para provar sua NP-

dificuldade, uma instancia arbitraria de 3-Sat2+1 Planar sera transformada em

uma instancia de Transversal de Triangulos por Vertice cujo grafo de entrada

e planar.

Seja F uma instancia de 3-Sat2+1 Planar com variaveis x1, x2, . . . , xn e

clausulas C1, C2, . . . , Cm.

Variaveis. Para cada variavel xi, existira um subgrafo Gi emG tal como ilustrado

na Figura 3.1. Um transversal de Gi possui ao menos 3 vertices, devido existirem

tres triangulos disjuntos neste. Observe que se um dos vertices bi ou b′i pertencer a

um transversal juntamente com a′′i , entao serao necessarios outros dois vertices para

cobrir o restante dos triangulos. Note ainda que se ai fizer parte de um transversal no

qual b′′i pertence, sera possıvel troca-lo por bi sem alterar o tamanho do transversal.

Pelo mesmo motivo, e possıvel trocar a′i por b′i. Com isso, sempre serao selecionados

ai, a′i, a′′i ou bi, b

′i, b′′i .

Utilize os vertices bi, b′i e a′′i como conectores entre o subgrafo Gi e as clausulas

de F . Com efeito, se o literal xi (xi) ocorrer duas vezes em F , os vertices bi e b′i

corresponderao a estas ocorrencias e a′′i a ocorrencia de sua negacao xi (xi).

Clausulas. Para cada clausula Cj, j = 1, 2, . . . ,m, constroi-se um triangulo

cujos vertices sao dados pelos seus literais. Quando |Cj| = 2, adiciona-se um vertice

auxiliar. Para completar a reducao, faca k = 3n. A Figura 3.2 ilustra um exemplo

26

ai a′i

a′′i

bi b′i

b′′i

Figura 3.1: Subgrafo Gi correspondente a variavel xi.

desta construcao. Sera demonstrado a seguir que F e satisfatıvel se e somente se G

possui um transversal de triangulos de tamanho igual a 3n.

Suponha que F e satisfatıvel. Seja V ′ o transversal de triangulos a ser cons-

truıdo, inicialmente vazio. Se a variavel xi ocorre com valor verdadeiro em F ,

adicione {bi, b′i, b′′i } a V ′. Caso contrario, adicione {ai, a′i, a′′i }. E facil ver que todos

os triangulos de G estao cobertos e que |V ′| = 3n.

Agora, suponha que V ′ e um transversal de triangulos de G de tamanho igual a

3n. Desde que cada Gi possui 3 triangulos disjuntos e G possui n copias disjuntas

de Gi, V′ e irredutıvel. Como observado inicialmente, um transversal mınimo de Gi

pode ser dado por {ai, a′i, a′′i } ou {bi, b′i, b′′i }. Quando o primeiro subconjunto estiver

em V ′, atribua o valor verdadeiro para o literal de xi com uma unica ocorrencia.

Caso o segundo tenha sido selecionado, atribua o valor verdadeiro ao literal de xi

com duas ocorrencias.

Estudar restricoes de problemas intrataveis e importante para compreendermos

o que ha no limite entre P e NP. Normalmente, busca-se apresentar problemas que

possam ter sua dificuldade reduzida ao considerar diferentes classes para o grafo de

entrada. No caso do Transversal de Triangulos por Vertice, entretanto, foi

visto que sua restricao a grafos maximais planares nao e suficiente para torna-lo um

problema polinomialmente tratavel. O teorema a seguir contem uma demonstracao

deste fato, pela construcao de uma reducao polinomial a partir do Transversal de

Triangulos por Vertice em grafos planares.

27

x1

x1x1

x2

x2x2

x3

x3x3

x4

x4x4

C1

C4

C3

C2

Figura 3.2: Exemplo de grafo construıdo pela reducao apresentada no Teorema 3.1

para uma instancia de 3-Sat2+1 Planar dada por (x1 ∨ x2 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧(x2 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3).

Teorema 3.2. Transversal de Triangulos por Vertice e NP-completo em gra-

fos maximais planares.

Demonstracao. Um certificado para este problema e identico a um certificado para

o Transversal de Triangulos por Vertice ordinario. Logo, ele pertence a NP.

Sem perda de generalidade, a face infinita nao sera considerada na demonstracao.

Dado um grafo planar G, construa um grafo maximal planar G′ da seguinte maneira.

Para cada face nao triangular de G, crie uma aresta entre um par qualquer de

vertices de sua fronteira mais distantes entre si. Insira, nesta ordem, quatro vertices

na aresta nova: a′i, a′′i , b′′i e a′i. Ate este ponto, a face original fora dividida em duas

faces denominadas falsas. Adicione um vertice no centro de cada uma das faces

falsas, conectando-o aos vertices que delimitam o contorno da respectiva face. Pelo

mesmo motivo anterior, estes vertices e as novas faces sao denominados de falsos(as).

Respeitando o sentido anti-horario, denomine estes vertices de ai e bi. Denote por

V ∗ o conjunto de todos os vertices ai e bi, e faca ` = |V ∗|. Vale ressaltar que sempre

serao criados dois triangulos disjuntos por face. A Figura 3.3 contem um exemplo

desta construcao para uma face com 6 vertices.

28

ai

a′′i

a′i

b′i

b′′i

bi

Figura 3.3: Subdivisao de uma face hexagonal segundo a reducao apresentada no

Teorema 3.2.

Deve-se mostrar que existe um transversal de triangulos de tamanho ≤ k para G

se e somente se G′ possui um transversal de triangulos de tamanho ≤ k + 2`, onde

` e igual ao numero de faces nao triangulares de G.

Suponha que G possui um transversal de triangulos X de tamanho menor ou

igual a k. Seja X ′ = X ∪ V ∗. Entao, o conjunto X ′ e um transversal de triangulos

de G′. Para verificar isto, basta observar que todas as faces falsas sao cobertas pelo

conjunto V ∗, ao passo que as faces originais ja estao cobertas por X. Alem disso,

tem-se que |X ′| ≤ |X|+ |V ∗| ≤ k + 2`.

Assuma agora que existe um transversal X ′ de G′ de tamanho ≤ k + 2`. Note

que, para cada face subdividida como explicado inicialmente, um transversal de

triangulos mınimo e dado por {ai, bi}, ou {a′i, b′′i }, ou {a′i, b′′i }, exclusivamente. Com

isso, e sempre criar um transversal de G′ contendo apenas os vertices ai e bi, ou

seja, o conjunto V ∗. Com isso, as faces originais devem estar cobertas somente por

vertices verdadeiros. Logo, X = X ′ \ V ∗ e um transversal de G. Desde que V ∗

possui exatamente 2` vertices, entao |X| ≤ k.

3.2 Vigilancia de Terrenos com Guardas-Vertice

O primeiro resultado obtido sobre a dificuldade do Vigilancia de Terreno com

Guardas-Ponto e devido a COLE e SHARIR [21]. Segundo GHOSH [69], ainda

29

nao se sabe se o Vigilancia de Terreno com Guardas-Vertice ou o Vigilancia

de Terreno com Guardas-Aresta sao NP-difıceis (este ultimo sera abordado no

Capıtulo 4). Os resultados sobre Transversal de Triangulos por Vertice con-

tidos na Secao 3.1 nos possibilitaram responder de forma afirmativa esta questao.

A reducao a ser descrita produzira terrenos com O(n) faces, o que representa uma

melhoria sobre a demonstracao O(mn) de COLE e SHARIR [21].

Teorema 3.3. Vigilancia de Terreno com Guardas-Vertice e NP-difıcil.

Demonstracao. Seja G um grafo planar, e denote por T um terreno poliedrico ar-

bitrario construıdo a partir de G como a seguir. Antes de prosseguir, assumiremos

que e fornecida uma imersao de G no plano utilizando apenas arestas retas.

Para as faces nao triangulares de G, seguiremos a mesma construcao descrita

no Teorema 3.2. Adicionalmente, os vertices falsos sao deslocados para abaixo da

superfıcie como ilustrado na Figura 3.4.

Para completar a reducao, insira um ponto no centroide de cada face triangular

do grafo original G, aplique uma elevacao negativa, e conecte-o aos vertices do

contorno desta face.

Precisamos mostrar que G possui um transversal de triangulos por vertice de

tamanho k, se e somente se a cardinalidade mınima do conjunto de guardas-vertice

do terreno T e k+` vertices, onde ` e o numero de faces nao triangulares presentes em

G. Denote por V ∗ o conjunto de todos os vertices ai ou bi, escolhidos arbitrariamente.

Se X e um transversal mınimo para G de tamanho no maximo k, entao X ′ =

X ∪V ∗ e um conjunto de guardas-vertice de cardinalidade mınima para T . Observe

que o conjunto de guardas-vertice mınimo de cada face nao triangular deve conter

ai ou bi, pois nenhum outro vertice da face e capaz de enxergar toda sua superfıcie.

Desde que todo triangulo de G dara origem a uma depressao, e preciso selecionar

qualquer um dos vertices de cada face triangular de origem. Alem disso, temos que

|X ′| ≤ |X|+ |V ∗| ≤ k + `.

Para demonstrar a volta, basta descartarmos todos os vertices falsos de X ′.

30

ai

bi

b′i

b′′i

a′i

a′′i

(a)

b′′i

a′′i

b′i a′

i

biai

(b)

Figura 3.4: (a) Subdivisao e (b) secao transversal de uma face hexagonal apos a

reducao apresentada no Teorema 3.3.

3.3 Algoritmos para Transversais por Vertice

O Teorema 3.2, infelizmente, comprovou a inexistencia de algoritmos exatos de

tempo polinomial para o Transversal de Triangulos por Vertice em grafos

maximais planares. Como planejamos avalia-los na pratica, precisamos considerar

apenas algoritmos eficientes em tempo, mesmo que isto signifique uma diminuicao da

qualidade das solucoes calculadas. Apresentaremos, a seguir, quatro algoritmos po-

linomiais que possibilitam determinar transversais de cardinalidades mais proximas

do valor otimo de pior caso, que e de bn/2c vertices.

31

3.3.1 Algoritmo Otimo no Pior Caso

BOSE et al. [22] observaram que dada uma 2-coloracao policromatica de uma tri-

angulacao G, o menor conjunto de vertices de mesma cor desta coloracao e um

transversal para G. Alem disso, com base na observacao de que uma 2-coloracao

policromatica de um refinamento de um grafo G tambem e uma 2-coloracao com

faces policromaticas valida para G, os autores demonstraram que esta ideia poderia

ser aplicada para o calculo de transversais de grafos planares arbitrarios.

Uma 2-coloracao policromatica pode ser calculada utilizando um algoritmo de 4-

coloracao para grafos planares, como descrito na Secao 2.1.1. Contudo, o algoritmo

de 4-coloracao mais eficiente ate o presente momento tem custo O(n2) [70]. Um

modo de evitar a utilizacao deste algoritmo de custo quadratico seria recorrer a um

esquema baseado em 5-coloracoes, pois estas podem ser calculadas em tempo linear

para grafos planares [71]. Neste caso, selecionaremos no maximo b3n/5c vertices

para o transversal.

O Teorema de Petersen sobre emparelhamentos perfeitos em grafos 3-regulares

(Teorema 2.5) tambem permite obter um algoritmo de tempo O(n) [22]. O resultado

a seguir revela a relacao entre uma 2-coloracao policromatica de uma triangulacao

planar G e um emparelhamento perfeito de seu grafo dual G∗. Incluımos sua de-

monstracao aqui na tentativa de manter a completude do presente trabalho.

Lema 3.1 ([22]). Sejam dados uma triangulacao G, seu grafo dual G∗, e uma

2-coloracao policromatica de G. Defina MC como o conjunto das faces mono-

cromaticas de G. Entao:

1. O conjunto MC∗ = {e∗ : e ∈MC} e um emparelhamento perfeito em G∗;

2. Existe uma 2-coloracao policromatica de G cujas arestas monocromaticas coin-

cidem com o conjunto {e : e∗ ∈M∗}, onde M∗ e um emparelhamento perfeito

em G∗.

Demonstracao. Se e∗1, e∗2 ∈ MC∗, entao e1, e2 ∈ MC. Como nao existem faces

monocromaticas em G, e1 e e2 nao podem pertencer a um mesmo triangulo de G.

32

Logo, e∗1 e e∗2 nao compartilham vertices em MC∗. Suponha agora que exista um

vertice f ∗ ∈ G∗ que nao e tocado por arestas em MC∗. Entao, f ∈ G nao possui

arestas monocromaticas. Entretanto, e impossıvel colorir triangulos com duas cores

sem o aparecimento de arestas monocromaticas. Logo, MC∗ e um emparelhamento

perfeito.

Seja M∗ um emparelhamento perfeito em G∗ e M o conjunto de arestas de G

que sao duais as arestas em M∗. Defina o grafo G′ como sendo igual a G sem as

arestas pertencentes a M . Assim, todas as faces de G′ formam ciclos de tamanho

4. Portanto, G′ e bipartido e admite uma 2-coloracao. Visto que cada aresta mono-

cromatica em M da origem a dois triangulos em G, esta coloracao induz ainda uma

2-coloracao policromatica de G.

Sabe-se que o grafo dual de uma triangulacaoG e 3-regular e biconexo, assumindo

que existe um vertice fictıcio no infinito conectado a todos os vertices do fecho

convexo de G. O Teorema de Petersen (Teorema 2.5) assegura a existencia de um

emparelhamento perfeito para este grafo. Logo, pelo Lema 3.1, toda triangulacao

possui uma 2-coloracao policromatica. Com base nisto, o algoritmo de BOSE et al.

[22] e dividido nos seguintes passos:

1. Construa o grafo dual G∗ de G.

2. Calcule um emparelhamento perfeito M∗ de G∗.

3. Construa um grafo G′ utilizando o mesmo conjunto de vertices de G, mas

cujas arestas sao apenas aquelas que restarem apos a remocao das arestas de

G duais as saturadas por M∗.

4. Calcule uma 2-coloracao de G′.

5. Retorne os vertices pertencentes ao conjunto de cores de menor cardinalidade.

O passo mais caro deste algoritmo e a determinacao de um emparelhamento

perfeito do grafo dual. Recentemente, foi desenvolvido um algoritmo que calcula

emparelhamentos maximos de grafos planares 3-regulares biconexos em tempo O(n)

33

(ver Secao 2.1.2). Concluımos assim que o algoritmo realiza todas suas operacoes

em tempo linear.

Desde que nenhum vertice do grafo original G e removido e G′ e biconexo, o

numero de vertices selecionados para o transversal sera bn/2c.

3.3.2 Algoritmo Guloso

Dada uma triangulacao G, considere a seguinte heurıstica gulosa. Seja X um con-

junto inicialmente vazio. Enquanto o conjunto F (G) for nao vazio, selecione um

vertice v de V (G)\X cujo numero de faces incidentes ainda nao cobertas por mem-

bros de X e maximal. Adicione v ao conjunto X e remova de G todas as faces

f ∈ F (G) incidentes em v.

Uma face so e removida de F (G) se um de seus vertices for selecionado. Assim,

este algoritmo sempre calcula um transversal valido. Alem disso, veremos experi-

mentalmente que ele sempre retorna transversais cujas cardinalidades sao otimas no

pior caso.

Conjectura 3.1. Dada uma triangulacao arbitraria G, o algoritmo guloso calcula

um transversal de triangulos por vertice de tamanho no maximo igual a bn/2c.

3.3.3 Algoritmos Randomizados

Sabemos que, no pior caso, precisaremos selecionar bn/2c vertices para cobrir to-

das as faces de uma triangulacao [55]. Entao, um algoritmo arbitrario cuja solucao

fique sempre um pouco acima deste limite pode ser considerado uma opcao viavel.

Ainda mais se este for facilmente implementado e reduzir consideravelmente o tempo

de CPU gasto em comparacao com o de seus concorrentes. A seguir, apresentare-

mos algumas heurısticas que calculam transversais empregando decisoes randomicas.

Apesar de nao possuırem garantias teoricas fortes, estes servirao para demonstrar

que nao e difıcil se aproximar do limite de bn/2c.

34

Probabilidade Constante

Seja G uma triangulacao arbitraria. Considere um conjunto X inicialmente vazio

e faca S = σ(F (G)), onde σ e uma permutacao randomica. (i) Enquanto S for

diferente de ∅, selecione uma face f de S; (ii) se um dos vertices de f estiver em

X, descarte f e retorne para o passo (i); (iii) caso contrario, selecione um de seus

vertices com probabilidade 1/3 e adicione-o a X; (iv) faca S = S \ {F} e retorne

para (i).

O valor esperado do grau de um vertice v em uma triangulacao G e E[deg(v)] =

1n

∑u∈V deg(u) = (6n− 12)/n. Assim, um vertice arbitrario de G cobre, em media,

seis arestas pertencentes ao conjunto E(G), sem considerar os vertices previamente

selecionados. Entao o tamanho esperado de um transversal E[k] calculado por este

algoritmo e dado por:

E[k] =3n− 6

E [deg(v)]= n/2.

Probabilidade Variavel

No algoritmo anterior, a escolha randomica era realizada utilizando um sorteio justo,

onde a probabilidade de um vertice ser selecionado nao dependia da estrutura do

grafo em consideracao. Utilizaremos aqui um sorteio com probabilidades diferentes

para cada face. Dada uma face f ∈ F (G), a probabilidade de um vertice v de

f ser escolhido para o transversal e dada por deg(v)/∑

v∈f deg(v). O restante do

algoritmo e exatamente como o de probabilidades constantes.

3.3.4 Uma 3-aproximacao

Um algoritmo k-aproximativo para o problema de transversal de ciclos de tama-

nho k em grafos arbitrarios nos fornecera uma 3-aproximacao para o transversal de

triangulos por vertice.

Teorema 3.4 ([49]). Uma solucao aproximada para o problema de transversal de

triangulos por vertice mınimo de um grafo maximal planar G pode ser calculada em

35

tempo O(n) e o tamanho da solucao e no maximo 3 vezes o valor otimo.

Demonstracao. Sejam dados um grafo maximal planar G e dois conjuntos vazios

quaisquer X e H. (i) Enquanto houver triangulos descobertos em G, (ii) selecione

uma face f ; (iii) coloque os vertices de f em X e, em seguida, mova f para a colecao

H; (iv) remova de E(G) todas as arestas incidentes nos vertices de f .

O conjunto H e claramente um empacotamento de triangulos em G, enquanto X

e um transversal de triangulos. Seja OPT a cardinalidade mınima de um transversal

para G. Entao, OPT ≥ |H|. Alem do mais, |X| = 3|H|. Logo, |X| ≤ 3 OPT.

E possıvel demonstrar ainda que esta aproximacao tambem pode ser obtida por

um algoritmo de 4-coloracao do grafo dual. Para tanto, dada uma triangulacao G,

denote por G∗ seu grafo dual. Como o grafo G∗ e 3-regular, entao existe uma 4-

coloracao propria dos vertices de G∗. Seja {V ∗1 , V ∗2 , V ∗3 , V ∗4 } a particao dos vertices

de G∗ induzida por esta 4-coloracao. Faca X∗ igual ao conjunto de {V ∗1 , V ∗2 , V ∗3 , V ∗4 }com cardinalidade mınima. Claramente, |X∗| ≤ n/4. Dado um conjunto X inicial-

mente vazio, adicione em X os vertices de cada face f ∈ F (G) tal que f ∗ pertenca

a X∗. Logo, |X| ≤ 3|X∗|. Se OPT e a cardinalidade mınima de um transversal de

triangulos de G, entao OPT ≤ |X∗|. Logo, pode-se concluir que |X| ≤ 3|OPT |.Como n/3 ≤ OPT ≤ bn/2c, esta aproximacao nos garante somente que o tama-

nho do transversal e menor ou igual a n, o que e insuficiente. Entretanto, veremos

experimentalmente que este numero e estritamente menor do que n.

3.4 Resultados Experimentais

Os algoritmos apresentados na Secao 3.3 foram implementados em C++, utilizando

a Standard Template Library (STL). Os testes foram realizados em um computador

com processador Intel Core i7 840QM 64-bit (codinome Clarksfield) possuindo 4

nucleos com 1,87 GHz de clock e 4GB de RAM DDR3 de 1333 MHz. Este processa-

dor, pertencente a classe de microarquitetura Nehalem, possui quatro caches L2 de

256 KB e um cache L3 compartilhado de 8 MB. Os executaveis foram criados com

36

o compilador g++, versao 4.4.4, habilitando as opcoes de compilacao -O3, -DNDEBUG

e -frounding-math.

As implementacoes foram avaliadas em triangulacoes de Delaunay de quatro tipos

de distribuicoes de pontos no plano, com tamanhos entre 100 mil e 8 milhoes. Foram

consideradas uma distribuicao uniforme no interior de um quadrado unitario, distri-

buicao uniforme no interior de um cırculo unitario, uma distribuicao normal simples

e uma distribuicao normal ponderada com uma maior concentracao de pontos ao

longo do eixo x. Dada uma distribuicao normal arbitraria, sua forma ponderada e

dada pela seguinte transformacao f(x, y) = (y, b/(x − bx + b)), com b = 0,005. A

Figura 3.5 contem ilustracoes destas distribuicoes.

A biblioteca CGAL 3.7 [25] foi utilizada para auxiliar na construcao de trian-

gulacoes de Delaunay dos conjuntos de pontos sobre as quais os algoritmos foram tes-

tados. Esta biblioteca e desenvolvida utilizando conceitos de programacao generica

de modo tal que todos os seus algoritmos sao parametrizados pelo nucleo geometrico

de base, o qual deve conter definicoes desde a representacao de numeros (inteiros,

ponto flutuante, de precisao arbitraria, etc.) a construcao de objetos e predicados

geometricos. Utilizamos o nucleo Exact predicates inexact constructions -

kernel, pois este possibilita o tratamento de conjuntos de pontos com configuracoes

degeneradas, como e o caso de quatro pontos co-circulares para a triangulacao de

Delaunay, ainda que mantendo um desempenho razoavel. Os tempos de CPU apre-

sentados nesta secao foram obtidos com o auxılio da classe CGAL::Timer.

O desempenho do algoritmo de BOSE et al. [22] foi limitado pelo tempo con-

sumido na determinacao do emparelhamento perfeito do grafo dual a uma trian-

gulacao. Apesar de existir um algoritmo de tempo O(n) capaz de calcular estes

emparelhamentos (ver Secao 2.1.2), na pratica isto se demonstrou bem diferente.

As implementacoes mais difundidas em C++ para determinar emparelhamentos de

cardinalidade maxima fazem parte das bibliotecas Boost [72] e LEDA [73]. Ambas

empregam o algoritmo de EDMONDS [38] (aperfeicoado por GABOW e TARJAN

[41]) para grafos arbitrarios, cuja complexidade e O(nm · α(n,m)), onde α e a

37

(a) Uniforme em quadrado. (b) Uniforme em disco.

(c) Normal. (d) Normal ponderada.

Figura 3.5: Ilustracao das distribuicoes de pontos no plano utilizadas para avaliar

os algoritmos de transversais de triangulos por vertice.

38

inversa da funcao de Ackermann. Neste trabalho, utilizamos a funcao edmonds -

maximum cardinality matching da bibioteca Boost versao 1.41.0. Na Tabela 3.1,

sao apresentados a razao de vertices selecionados para o transversal e o tempo gasto

por cada um de seus passos. O tempo total que o algoritmo gastou em uma trian-

gulacao com 500 mil vertices foi em torno de 25 minutos, o qual e dominado pelo

calculo do emparelhamento. Face ao seu elevado custo, este algoritmo foi avaliado

apenas para conjuntos de pontos com tamanhos entre 100 e 500 mil.

Lembre-se que o numero policromatico p(G) de uma triangulacao so pode assumir

os valores 2 ou 3, onde p(G) = 3 se e somente se G for Euleriana, pois pode-se

demonstrar que uma 3-coloracao policromatica e equivalente a uma 3-coloracao dos

vertices de G. O menor transversal de uma triangulacao arbitraria obtido por um

algoritmo empregando uma 2-coloracao policromatica e entao bn/2c. Isto explica a

tendencia a transversais com bn/2c vertices apresentada na Tabela 3.1

As Figuras 3.6a, 3.7a, 3.8a e 3.9a contem os tempos de processamento gastos

pelos demais algoritmos em cada uma das quatro distribuicoes com tamanhos de

500 mil a 8 milhoes. Como era de se esperar, o algoritmo 3-aproximativo foi o mais

rapido dentre todos, pois este percorre a triangulacao de modo arbitrario e o custo

de sua decisao para selecionar um vertice do transversal e bastante baixo. Alem

disso, cada iteracao deste algoritmo cobre mais faces do que a de qualquer outro.

Observe que mesmo o mais lento destes tres algoritmos e cerca de 600 vezes mais

rapido do que o algoritmo de 2-coloracao policromatica [22].

A implementacao do algoritmo guloso requereu a manutencao de um heap binario

maximo dos vertices cuja chave de ordenacao e dado pelo numero de faces nao co-

bertas incidentes em cada vertice. A cada vertice selecionado para o transversal,

e preciso reduzir em duas unidades o numero de faces cobertas por seus vertices

vizinhos. Um heap possibilita atualizar estes valores em tempo O(log n). Com

isso, a complexidade de nossa implementacao do algoritmo guloso e O(n log n), en-

quanto que o custo dos algoritmos randomizados e da 3-aproximacao e claramente

O(n). Contudo, o desempenho das implementacoes dos algoritmos randomizados

39

foi inferior ao do guloso. Isto e causado pelo padrao de acesso aleatorio as faces da

triangulacao destes algoritmos, o que resulta em mais acessos a memoria RAM. Este

fato esta nitidamente representado nas Figuras 3.6a, 3.7a, 3.8a e 3.9a.

Observe nas Figuras 3.6b, 3.7b, 3.8b e 3.9b que a taxa de vertices no transver-

sal permaneceu estavel em todas as distribuicoes de pontos examinadas para cada

algoritmo.

Conforme apresentado nas Figuras 3.6b, 3.7b, 3.8b e 3.9b, a Conjectura 3.1 e sa-

tisfeita experimentalmente. Na verdade, os transversais determinados pelo algoritmo

guloso contem em torno de 42% dos vertices do grafo. Os transversais calculados

pelos dois algoritmos randomizados ficaram abaixo de 55%, com uma ligeira vanta-

gem de 1% para a versao ponderada. O algoritmo 3-aproximativo obteve os piores

transversais, convergindo para uma taxa em torno de 77%.

40

Tabela 3.1: Tempos de CPU em segundos gasto por cada etapa do algoritmo de

2-coloracao policromatica e razao entre o tamanho de um transversal X e o numero

de vertices da triangulacao de diferentes distribuicoes de pontos.

Distribuicao |X|/nTempo de CPU (segundos)

G∗ M∗ 2-coloracao Total

Uniforme em quadrado

100 K 0.499775 0.216967 63.6993 0.32395 64.2402

200 K 0.499943 0.410937 245.145 0.673898 246.23

300 K 0.499972 0.608907 542.974 0.917861 544.501

400 K 0.499986 0.788881 992.645 1.2878 994.722

500 K 0.499861 1.00585 1564.8 1.58776 1567.39

Uniforme em cırculo

100 K 0.499095 0.208968 63.8453 0.337948 64.3922

200 K 0.499773 0.408937 246.146 0.640903 247.195

300 K 0.499815 0.602908 547.641 0.979851 549.224

400 K 0.499741 0.756885 994.458 1.24381 996.459

500 K 0.499949 0.984851 1566.61 1.65075 1569.25

Normal em quadrado

100 K 0.499985 0.225965 63.6433 0.330949 64.2002

200 K 0.499973 0.410938 245.821 0.643902 246.875

300 K 0.499912 0.59291 544.551 0.932858 546.077

400 K 0.499839 0.769883 996.647 1.22481 998.642

500 K 0.499933 0.975852 1553.52 1.62875 1556.13

Normal ponderada

100 K 0.499875 0.224966 63.8343 0.412937 64.4722

200 K 0.499638 0.451931 250.836 0.811876 252.1

300 K 0.499992 0.628905 559.211 1.19782 561.038

400 K 0.499734 0.815876 1013.14 1.41878 1015.38

500 K 0.499941 1.05084 1580.66 1.78273 1583.49

41

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)

Número de Vértices

3-aproximaçãoguloso

randomizadorandomizado ponderado

(a)

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tam

anho

Rel

ativ

o do

Tra

nsve

rsal




(b)

Figura 3.6: (a) Tempo de CPU gasto por cada algoritmo para determinar trans-

versais de triangulos e sua (b) razao de vertices selecionados para triangulacoes de

pontos distribuıdos uniformemente no interior de um quadrado unitario.

42

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)




(a)

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tam

anho

Rel

ativ

o do

Tra

nsve

rsal




(b)



pontos distribuıdos uniformemente no interior de um cırculo unitario.

43

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)




(a)

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tam

anho

Rel

ativ

o do

Tra

nsve

rsal




(b)



pontos normalmente distribuıdos no interior de um quadrado unitario.

44

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)




(a)

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

500 K 1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tam

anho

Rel

ativ

o do

Tra

nsve

rsal




(b)



pontos distribuıdos segundo a distribuicao normal ponderada.

45

Capıtulo 4

Transversal por Aresta

Motivados pela existencia de uma relacao entre conjuntos transversais de grafos

e problemas de galeria de arte, estudaremos neste capıtulo uma outra variante de

transversal denominada transversal por aresta. Antes de passarmos ao estudo destes

transversais, introduziremos uma definicao generalizada na qual tanto as entidades

que farao parte do transversal quanto aquelas que serao guardadas pelas primeiras

poderao assumir diversos formatos. Definiremos transversais por aresta como sendo

um caso particular desta generalizacao.

Seja G um grafo simples arbitrario. Dada uma famılia H de grafos, um H-

subgrafo de G e um subgrafo induzido de G isomorfo a um elemento de H. Considere

agora uma outra famılia F de grafos, de onde “recrutaremos” nossos guardas. Uma

colecao X de F -subgrafos de G e um (F,H)-transversal de G se todo H-subgrafo

em G e interceptado por membros de X. Quando F e composto por um vertice,

o conjunto X e denominado abreviadamente de H-transversal ou transversal por

vertice. No Capıtulo 3, estudamos H-transversais onde H era constituıdo apenas

por ciclos de tamanho tres, o qual foi convenientemente denominado de transversal

de triangulos.

Define-se entao um transversal por aresta (ou (K2, H)-transversal) de G como

sendo qualquer subconjunto das arestas de G que intercepte todos os H-subgrafos

existentes em G. Estamos interessados em transversais cuja famılia de subgrafos

interceptada H e igual a {K3}, os (K2, K3)-transversais ou transversais de triangulos

46

(a)

(b)

Figura 4.1: (a) Exemplo de grafo planar G e (b) um transversal de triangulos por

aresta de G de tamanho 2. As arestas mais espessas desenhadas em vermelho e azul

pertencem ao transversal. As regioes hachuradas representam as faces cobertas por

cada uma destas arestas.

por aresta. A Figura 4.1 contem um exemplo de transversal de triangulos por aresta

de um grafo maximal planar com 9 vertices. Note que e impossıvel utilizar menos

do que duas arestas para tocar todas as faces do grafo.

O problema de calcular um transversal por aresta de tamanho mınimo e abordado

neste capıtulo. Na verdade, consideramos o problema de decisao associado:

Transversal de Triangulos por Aresta

Entrada: Grafo G e inteiro positivo k.

Questao: Existe um transversal de triangulos por aresta de G com tamanho no

maximo k?

47

Mostraremos que o Transversal de Triangulos por Aresta e NP-completo

em grafos planares e grafos maximais planares. Os resultados contidos neste capıtulo

foram apresentados no European Workshop of Computational Geometry, EuroCG

2010, em Dortmund, sob o tıtulo “On the complexity of the edge guarding problem”

[26].

4.1 Complexidade de transversais por aresta

Primeiramente, mostraremos que o Transversal de Triangulos por Aresta res-

trito a grafos planares e tao difıcil de se resolver quanto a uma instancia de 3-Sat2+1

Planar, o qual e NP-completo pelo Lema 2.1. As demonstracoes a seguir fazem

uso da nocao de independencia entre subgrafos. Dado um grafo arbitrario G, dois

subgrafos G1 e G2 de G sao independentes se estes forem disjuntos por vertice e nao

existir nenhuma aresta em G ligando G1 a G2. Uma colecao de subgrafos de G e

dita independente se seus membros forem dois-a-dois independentes.

Teorema 4.1. Transversal de Triangulos por Aresta e NP-completo para gra-

fos planares de grau maximo igual a 5.

Demonstracao. E facil ver que ele pertence a NP. Para demonstrar sua NP-

dificuldade, considere uma instancia F de 3-Sat2+1 Planar com variaveis x1, x2,

. . . , xn e clausulas C1, C2, . . . , Cm.

Variaveis. Para cada variavel xi, associamos um subgrafo Gi em G, conforme

ilustrado na Figura 4.2a. Note que qualquer transversal de Gi possui ao menos 3

arestas, pois este possui um maximo de tres triangulos independentes. Observe que

caso bi ou b′i pertenca a um transversal acompanhadas de a′′i , entao sera necessario

utilizar uma aresta adicional, e.g., b′i, de modo a cobrir os outros triangulos des-

cobertos. Alem disso, se ai pertence ao mesmo transversal que b′′i , entao sempre

podemos substituir ai por bi sem alterar o tamanho do transversal. O mesmo ocorre

para a′i e b′i. Deste modo, sempre sera possıvel selecionar qualquer um dos conjuntos

{ai, a′i, a′′i } ou {bi, b′i, b′′i }.

48

bi b′i

b′′i

a′′i

ai a′i

(a)

x1 x1

x1x2

x2x2 x3 x3 x4 x4

x4x3

C4

C2

C1

C3

(b)

Figura 4.2: (a) Subgrafo Gi associado com a variavel xi. (b) Esquema do grafo

associado resultante a formula de 3-Sat2+1 Planar (x1 ∨ x2 ∨ x4)∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4)∧(x2 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3).

Os vertices superiores das arestas bi e b′i, e qualquer vertice da aresta a′′i sao

usados como conectores entre Gi e as clausulas de da formula F . Alem disso, se

xi (resp. xi) ocorre duas vezes em F entao as arestas bi e b′i correspondem a estas

ocorrencias e a aresta a′′i a ocorrencia de sua negacao xi (resp. xi).

Clausulas. Para cada clausula Cj, j = 1, 2, . . . ,m, construa um triangulo cu-

jos vertices representam seus literais. Quando a clausula possui apenas dois lite-

rais, simplesmente adicionamos um vertice artificial, desde que isto nao influen-

cia qualquer atribuicao de valores verdade. Para finilizar a reducao, faca k igual

a 3n. A Figura 4.2b contem o grafo resultante da reducao aplicada a formula

49

(x1 ∨ x2 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x2 ∨ x3 ∨ x4) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3). A seguir, sera

mostrado que F e satisfatıvel se e somente se G possui um transversal de triangulos

por aresta de tamanho exatamente igual a 3n.

Primeiro, suponha que F e satisfatıvel. Seja X um conjunto transversal inicial-

mente vazio. Se a variavel xi ocorre duas vezes com valor verdade em F , inserimos

{bi, b′i, b′′i } em X. Caso contrario, tomamos {ai, a′i, a′′i }. E facil ver que todo triangulo

em G e coberto por X e que |X| = 3n.

Agora, suponha que X e um transversal de trangulos por aresta de G de tamanho

3n. Desde que cada subgrafo Gi possui no maximo 3 triangulos independentes

e G possui n copias independentes de Gi, o conjunto X e irredutıvel. O menor

transversal de Gi pode ser ou {ai, a′i, a′′i } ou {bi, b′i, b′′i }. Se o primeiro subconjunto for

selecionado, atribuımos verdade aos literais xi de ocorrencia unica. Caso contrario,

atribuımos verdade aos literais xi com ocorrencia dupla.

Dado um grafo planar G, poderıamos considerar um algoritmo que inicialmente

construısse uma triangulacao G′ de G e determinasse um transversal por aresta X ′ de

G′. Desde que G′ e um refinamento de G, entao toda face de G′ esta contida em uma

face de G. Com efeito, o conjunto X = X ′ seria um transversal de G. Contudo,

demonstraremos a seguir que o calculo de um transversal por aresta mınimo em

grafos maximais planares pode ser considerado uma tarefa computacional tao difıcil

quanto em grafos planares arbitrarios.

Teorema 4.2. Transversal de Triangulos por Aresta e NP-completo para gra-

fos maximais planares.

Demonstracao. Seja G um grafo planar arbitrario. A demonstracao consiste em

transformar G em um grafo maximal planar G′ cujo transversal de triangulos por

aresta fica trivialmente determinado a partir de qualquer transversal para G.

Os triangulos em G sao mantidos intactos, enquando todas as outras faces sao

trianguladas como a seguir. Seja f = (v1, v2, . . . , vs) uma face em G de tamanho

s > 3. Iniciamos pela divisao de f em dois ciclos atraves de um caminho ligando

50

os vertices v1 e vbs/2c+1. Este caminho e composto por 8 arestas, a seber, (v1, u1),

(u1, u2), . . . , (u7, vbs/2c+1). Isto implica na criacao de dois ciclos Cr e Cl contendo

bn/2c+ 8 e n−bn/2c+ 8 vertices cada. No interior do ciclo Cr (resp. Cl), inserimos

os vertices r1 e r2 (resp. l1 e l2), os quais sao posteriormente conectados aos vertices

{v1, v2, . . . , vbs/2c+1} ∪ {u1, u2, u6, u7} e {vbs/2c+1, vbs/2c+2, . . . , v1} ∪ {u2, u3, . . . ,

u6}, respectivamente. A Figura 4.3 ilustra esta construcao para faces de tamanho 4

e 5. Todos os vertices, arestas e faces criados durante este processo sao denominados

falsos. Caso contrario, estas serao denominadas verdadeiras.

Denote por ` o numero de faces nao-triangulares deG, e sejaG′ um grafo maximal

planar resultante do processo de construcao que acabamos de descrever. Dado um

inteiro positivo qualquer k, afirmamos que G possui um transversal de triangulos

por aresta de tamanho no maximo k se e somente se G′ possui um transversal por

aresta cujo tamanho nao excede k + 2`.

Suponha que X e um transversal por aresta para G de tamanho k. Seja X ′ =

X∪E∗, onde E∗ e o conjunto de todas as arestas de tipo (r1, r2) e (l1, l2) (ver Figura

4.3). Afirmamos que X ′ e um transversal por aresta de G′. Primeiro, observe que

todo face falsa possui um vertice em E∗, enquanto as verdadeiras sao tocadas por

elementos de X. Alem disso, vale a seguinte desigualdade: |X ′| ≤ |X|+|E∗| ≤ k+2`.

Podemos agora assumir que existe um transversal por aresta X ′ para G′ de ta-

manho no maximo k + 2`. Obviamente, mesmo se todas as arestas verdade forem

selecionadas, existirao faces por cobrir (ver as areas nao hachuradas indicadas na

Figura 4.3). A observacao chave e que, em qualquer ciscunstancia, podemos sempre

escolher as arestas pertencendo ao conjunto E∗. Deste modo, faces verdade devem

estar cobertas apenas por arestas verdade. Por esta razao X = X ′ \E∗ e um trans-

versal por aresta de G. Desde que E∗ possui exatamente 2` arestas, a desigualdade

|X| ≤ k e valida.

51

v1 v4

v3v2

u1

u2

u3

u4u5

u6

u7

(a)

v2

v1v3

v4 v5

l1

l2

r1

r2

u7u6

u5 u4u3

u2 u1

(b)

Figura 4.3: Exemplos de construcoes de triangulacoes para faces consistindo de (a) 4

vertices e (b) 5 vertices. As areas hachuradas indicam os unicos triangulos cobertos

por arestas com extremidades no ciclo mais externo.

4.2 Vigilancia de Terrenos por Guardas-aresta

Assim como assumido no Capıtulo 3, usaremos o fato de que se um terreno poliedrico

triangulado for convexo, entao a regiao de visibilidade de qualquer vertice fica limi-

tada as suas faces incidentes. Deste modo, o calculo de um conjunto de guardas-

aresta para vigiar um terreno T pode ser reduzido a determinacao de um transversal

de triangulos por aresta da triangulacao subjacente a T .

Baseado na demonstracao para guardas-ponto desenvolvida por COLE e SHA-

RIR [21], ZHU [24] demonstrou que e NP-completo calcular um conjunto de guardas-

aresta mınimo. Entretanto, assim como na demonstracao de origem, esta tambem

requer a construcao de terrenos com O(mn) faces resultantes de uma reducao a par-

tir de instancias de 3-Sat. Com base nos Teoremas 4.1 e 4.2, desenvolvemos uma

reducao polinomial de baixo custo que produz terrenos com uma quantidade linear

de faces.

Teorema 4.3. Vigilancia de Terreno com Guardas-Aresta e NP-difıcil.

Demonstracao. Dado um grafo maximal planar G, construımos um terreno T como

a seguir. Para cada face f em G, insira um ponto p no seu centroide e conecte-o aos

52

vertices do contorno de f . Entao, translade levemente p por h unidades na direcao

do eixo z, com h < 0. Cada face levara ao aparecimento de exatamente uma pequena

depressao no terreno. Por conveniencia, as novas arestas sao rotuladas de falsas e

as antigas, pertencentes ao grafo de entrada, sao denominadas de verdadeiras.

Seja X um transversal de triangulos por aresta qualquer de G de tamanho k > 0.

Entao a colecao X e um transversal de triangulos por aresta de G se, e somente se,

esta for tambem um conjunto de guardas aresta de T de tamanho k.

Desde que toda depressao em T pode ser completamente vista de sua borda,

as arestas em X sao sempre suficientes para cobrir o terreno T inteiro construıdo

anteriormente. Suponha agora que X ′ e um conjunto de guardas-aresta arbitrario

para T calculado por um algoritmo qualquer, por exemplo, um algoritmo do tipo

guloso. Classifique as arestas em X ′ como verdadeiras ou falsas. Note que qualquer

aresta verdadeira em X ′ cobre ao menos o mesmo numero de faces que uma falsa.

Deste modo, e provavel que uma solucao otima para T consista apenas de arestas

verdadeiras. Caso contrario, observe que podemos sempre identifica e substituir

uma aresta falsa em X ′ por qualquer aresta verdadeira incidente. Logo, o conjunto

X = X ′ e um transversal de triangulos por aresta de G.

53

Capıtulo 5

Representacao de triangulacoes

bidimensionais

Ate o presente momento, estivemos concentrados na caracterizacao do problema de

conjuntos transversais de triangulos, tanto por vertice (Capıtulo 3) quanto por aresta

(Capıtulo 4). Apresentamos resultados sobre a dificuldade em calcular conjuntos

transversais mınimos e como isto pode nos auxiliar a provar alguns fatos interessantes

sobre o problema de vigilancia em terrenos poliedricos. Neste capıtulo, mostraremos

que e possıvel servir-se do conceito de conjunto transversal de triangulos por vertice

para obter uma representacao de triangulacoes bidimensionais compacta.

5.1 A Estrutura

Como discutido na Secao 2.6, constatou-se que mesmo representacoes compactas

possuem uma redundancia consideravel no armazenamento da topologia. No caso

de estruturas de dados baseadas em vertices, arestas e faces sao representadas im-

plicitamente multiplas vezes. Considere uma triangulacao G representada por uma

listas de incidencias simples, onde cada vertice guarda referencias para todos os seus

vertices vizinhos. E fato entao que toda face e representada tres vezes, uma contri-

buicao devido a cada um de seus vertices. Para as arestas, a situacao e ainda pior,

pois agora quatro vertices representarao a mesma informacao, suas extremidades e

54

dois vertices das duas faces adjacentes. Buscaremos reduzir esta redundancia por

meio do controle das referencias recıprocas entre vertices adjacentes.

A estrutura proposta e capaz de representar grafos maximais planares, apesar de

nao ser difıcil estende-la para o caso de grafos planares arbitrarios. Para unificar a

representacao das faces, mantem-se um vertice fictıcio, denominado vertice infinito, o

qual supostamente esta conectado a todos os vertices no contorno da triangulacao.

Isto faz com que a face ilimitada do grafo seja subdividida em faces infinitas de

tamanho constante e igual a tres.

Procederemos agora a descricao da estrutura. Para tanto, considere uma tri-

angulacao G arbitraria e um transversal de triangulos por vertice X de G. Faca

X = V \ X. O elementos de X sao denominados guardas, enquanto que os de

X sao os guardados. Um vertice que ainda nao foi inserido em G e denominado

nao-guardado ou descoberto.

Para cada vertice do tipo guarda v ∈ X, armazenamos referencias a todos os

vertices do conjunto N(v). Por outro lado, cada vertice guardado v ∈ X apontara

para todo vertice u ∈ X tal que v ∈ N(u). Como nem sempre existem transversais

independentes, observe que e possıvel existir guardas com referencias recıprocas.

Este fato estara associado a quantidade de redundancia presente em nossa estrutura.

A Figura 5.1 apresenta uma ilustracao da utilizacao de nossa estrutura. Existem

quatro vertices no transversal, incluindo o vertice infinito. A partir da Figura 5.1d,

pode-se concluir que foram poupadas 8 referencias entre vertices guardados.

Em uma triangulacao, o numero de faces compartilhadas entre dois vertices

adjacentes e igual a 2. Esta informacao sera util para o algoritmo de remocao de

faces, ao remover guardas da vizinhanca de vertices guardados. Sendo assim, apenas

os vertices guardados precisam armazenar este valor para cada um de seus guardas.

Teorema 5.1. Uma triangulacao G com n vertices pode ser representada utilizando

no maximo 5n− 10 referencias.

Demonstracao. Seja X um conjunto transversal de triangulos para G e faca X =

V \X. Defina o grau de um vertice guardado v, denotado por deg(v), como sendo o

55

(a) Triangulacao. (b) Vertices guardas e guardados.

∞

∞

∞

(c) Referencias de vertices guardas.

∞ ∞

∞

∞

(d) Referencias de vertices guardados.

Figura 5.1: Esquema de representacao de uma triangulacao com 9 vertices, in-

cluindo o vertice infinito, utilizando a estrutura de dados baseada em transversais

de triangulos. Vertices guardas e guardados sao indicados por cırculos e quadrados,

respectivamente.

numero de guardas adjacentes a v. O numero total de referencias k utilizadas pela

estrutura obedece a seguinte desigualdade:

k =∑v∈X

deg(v) +∑v∈X

deg(v) = 2|E| −∑v∈X

(deg(v)− deg(v)

) ≤ 2|E|. (5.1)

O Corolario 2.1 assegura a existencia de um transversal X de G tal que |X| ≤bn/2c, o qual e calculado pelo algoritmo descrito na Secao 3.3.1. Sejam G∗ o grafo

dual de G e M∗ um emparelhamento perfeito de G∗. A cardinalidade do conjunto

M∗ e |F (G)|/2 = n − 2. Seja G′ o subgrafo de G induzido pela remocao de cada

aresta e ∈ E tal que e∗ ∈ M∗, onde e∗ e a aresta dual a e. Como todo vertice de

G′ possui grau par, entao G′ possui uma 2-coloracao propria. Seja {V1, V2}, com

56

|V1| ≤ |V2|, a particao induzida pela 2-coloracao de G′. Observe que a cada par de

vertices de mesma cor em G′ corresponde uma aresta de G que foi removida. Entao

foram removidas ≤ (n − 2)/2 arestas entre pares de vertices de V1 e ≥ (n − 2)/2

arestas entre pares de vertices de V2. Fazendo X = V1 e X = V2, temos que∑v∈X

(deg(v)− deg(v)

) ≥ n− 2. Logo, k ≥ 2|E| − (n− 2) = 5n− 10.

Observe que se X = V , entao a estrutura e identica a uma lista de adjacencias.

Caso contrario, desde que listas de adjacencias necessitam de aproximadamente

6n referencias, comparativamente, o uso da presente estrutura implicaria em uma

reducao em torno de 16% do espaco em memoria consumido, seja considerando

referencias de tamanho constante ou variavel.

5.1.1 Interface

Observe que os vertices, tanto os guardas quanto os guardados, serao os unicos obje-

tos representados explicitamente. Cada vertice e acessado por um rotulo exclusivo.

Se i e o rotulo de um vertice em V , entao escrevemos vi para denotar este vertice.

Este rotulo pode ser de tamanho fixo (32 ou 64 bits) ou variavel, como por exemplo

codigos gama [74]. O importante e que o custo de acesso a um vertice permaneca

O(1) ou, ao menos, assintoticamente constante. Os vertices armazenam ainda um

campo para identificar seu tipo.

As faces sao representadas implicitamente por triplas de rotulos de vertices.

Sendo assim, uma face f ∈ F (G) e escrita como (a, b, c), onde a, b e c sao rotulos de

vertices em V (G). Usamos fi, i = 0, 1, 2, para denotar os rotulos de seus vertices.

De modo analogo, uma aresta e ∈ E e representada pelo par (a, b), onde a e b

sao os rotulos dos vertices de suas extremidades. Estes rotulos tambem podem ser

representados por e0 e e1.

Basicamente, a interface da nova estrutura e compreendida por tres funcoes:

neighbor(f, i), insert(f) e remove(f). A funcao neighbor(f, i) e utilizada para per-

correr as adjacencias das faces da triangulacao, enquanto que as demais servem para

atualizar a topologia.

57

Os algoritmos de manipulacao sao similares aos de BLANDFORD et al. [1]. Adi-

cionalmente, agora e necessario gerenciar a criacao e destruicao de vertices segundo

o seu tipo, seja ele guarda ou guardado.

Antes de iniciar a descricao dos algoritmos, e conveniente definir as bijecoes

ccw: {0, 1, 2} → {1, 2, 0} e cw: {0, 1, 2} → {2, 0, 1}, as quais denotam permutacoes

no sentido anti-horario e horario, respectivamente. Se f = (a, b, c) pertence a F ,

entao fccw(0) = b, fccw(1) = c e fccw(2) = a. Do mesmo modo, temos que fcw(0) = c,

fcw(1) = a e fcw(2) = b.

O i-esimo Vizinho

Dada uma face f = (a, b, c) em G, dizemos que seu i-esimo vizinho e a face em F

que compartilha a aresta de f oposta ao seu i-esimo vertice. Portanto, o segundo

vizinho de uma face (a, b, c) ∈ F deve ser uma face (a, c, d) ∈ F , onde d e o rotulo

de algum vertice em V . A funcao neighbor(f, i) realiza esta tarefa como a seguir.

Sejam a′ = fi, b′ = fccw(i) e c′ = fcw(i). Se b′ e c′ forem vertices guardados,

percorre-se a lista de vertices vizinhos de cada guarda de b′ (ou c′) ate encontrar a

aresta (c′, b′). Se a aresta (b′, c′) existir em E, entao deve existir um guarda com

rotulo d em X tal que b′ e c′ pertencam a N(vd). Logo, (c′, b′, d) e a face procurada.

Caso b′ seja um vertice guarda, basta percorrer N(vb′) em busca da aresta (c′, a′).

Denotando por d o antecessor de c′ em N(vb′), entao a face procurada e (c′, b′, d).

Se b′ estiver guardado e c′ for um guarda, procuramos em N(vc′) a ocorrencia da

aresta (a′, b′). O terceiro vertice da face procurada sera justamente o sucessor de b′

em N(vc′).

Insercao

A insercao de uma face f = (a, b, c) em F (G) requer atualizar a lista de vertices

adjacentes de cada vertice de f levando em consideracao seu tipo. Para este fim,

esta estrutura fornece a funcao insert(f), cujo algoritmo e o seguinte.

Para cada i ∈ {0, 1, 2}, faca a′ = fi, b′ = fccw(i) e c′ = fcw(i). Se vb′ e vc′ nao forem

58

guardas, entao va′ deve se tornar um guarda e a aresta (b′, c′) deve ser adicionada a

vizinhanca de va′ . Caso contrario, se va′ ja for do tipo guarda, entao basta adicionar

(b′, c′) a sua vizinhanca.

Quando va′ estiver guardado por algum outro vertice de X, entao, obrigatoria-

mente, um dos vertices associados aos rotulos b′ e c′ deve ser do tipo guarda. Entao,

destes, adicione a vizinhanca de va′ os que forem guardas.

Remocao

A remocao de uma face f = (a, b, c) ∈ F (G) e realizada pela funcao remove(f).

Esta requer que nenhum de seus vertices esteja descoberto, pois isto significaria que

f ainda nao pertence a triangulacao. O algoritmo da remove(f) modificara a lista

de vizinhos de cada vertice de vfi, para i ∈ {0, 1, 2}.

Inicialmente, consideramos todos os vertices guardas de f . Se vfie um guarda,

faca a′ = fi, b′ = fccw(i) e c′ = fcw(i). Entao, remova a aresta (b′, c′) de N(a′).

Neste instante, qualquer vertice ainda nao visitado pela remove(f) devera ser do

tipo guardado. Como comentado anteriormente, cada vertice guardado armazena o

numero de faces compartilhadas com cada um de seus guardas. Entao, ao remover

um guarda, alem de remove-lo de sua vizinhanca, e necessario decrementar este

valor. Somente quando nao houver nenhuma face compartilhada e que um guarda

sera removido de fato.

5.2 Construcao da Triangulacao de Delaunay

O desempenho da estrutura de dados desenvolvida sera avaliado por meio de sua

aplicacao na construcao de triangulacoes de bidimensionais. Dado um conjunto

S de pontos em R2, uma triangulacao de S e uma particao do fecho convexo de

seus pontos em simplexos (faces) com vertices em S. A triangulacao de Delaunay

DT (S) e caracterizada pela propriedade do circuncirculo vazio, a qual afirma que o

circuncirculo de qualquer face de DT (S) nao contem nenhum outro ponto de S em

seu interior. Diz-se que um ponto p esta em conflito com uma face em DT (S) se

59

este pertencer ao circuncirculo desta face. A regiao de conflito do ponto p e definida

como a colecao de todas estas faces. Pode-se demonstrar que esta regiao e sempre

conexa.

Existem diversos algoritmos para a construcao de triangulacoes de Delaunay

em 2D [75–81]. Optamos por implementar um algoritmo de construcao incremen-

tal visto que este possibilitara construir uma triangulacao sem a necessidade de

realocar os vertices guardas e guardados, como sera demonstrado a seguir. Neste

algoritmo, a insercao de um ponto p pode ser dividida em dois passos: localizacao

e atualizacao. O passo de localizacao busca determinar a face f em DT (S) que

contem p utilizando uma caminhada estocastica “com memoria” [82]. Esta cami-

nhada e dita “com memoria” por sempre iniciar de uma face incidente ao vertice

criado anteriormente, e “estocastica” por percorrer as faces usando uma decisao

aleatoria sobre qual direcao tomar baseada em testes de orientacao bidimensionais.

Durante a atualizacao, a regiao de conflito de p e determinada segundo o algoritmo

de Bowyer-Watson, isto e, a propriedade do circuncirculo vazio e verificada para to-

dos os vizinhos de f utilizando uma busca em profundidade. As faces conflitantes sao

removidas, criando uma “cavidade” na triangulacao, e a triangulacao e finalmente

atualizada ao criar novas faces conectando p aos vertices do contorno da cavidade.

Adicionalmente, o passo de atualizacao utilizando a estrutura de dados proposta

requer decidir sobre a criacao de novos guardas. Se nenhum dos vertices perten-

centes ao contorno da cavidade criada for um guarda, entao o vertice induzido pelo

ponto p deve ser um guarda. Alem disso, na atual implementacao, o vertice infinito

e representado apenas implicitamente. Sendo assim, seria impossıvel percorrer di-

retamente sua lista de vertices adjacentes, pois esta lista nao e armazenada. Para

contornar este problema, e necessario manter sempre dois guardas no contorno adja-

centes a cada vertice guardado. Portanto, se o ponto p estiver fora do fecho convexo

da triangulacao de S \ {p}, entao o novo vertice sera do tipo guarda.

Em algoritmos de construcao incremental randomizada, o acesso aleatorio a

memoria RAM pode leva-lo a ter serios problemas de performance. Foi observado

60

que uma implementacao ingenua deste algoritmo pode acarretar em hiperpaginacao

[83]. Isto pode ser remediado com o utilizacao de uma ordem de insercao randomi-

zada enviesada para reduzir a quantidade de aleatoriedade. Basicamente, os pontos

de S sao separados em subconjuntos Si, onde i = 0, 1, . . . , log n. Estes subconjun-

tos sao construıdos na ordem inversa. Cada ponto e atribuıdo a um subconjunto

com probabilidade 1/2. Ao chegar em S0, os pontos restantes sao escolhidos com

probabilidade 1. Foi demonstrado ainda que se os pontos de cada subconjunto Si

forem inseridos segundo uma ordem arbitraria, o custo esperado do algoritmo de

construcao randomizada fica inalterado [83]. A biblioteca CGAL contem uma im-

plementacao de uma ordem enviesada utilizando uma curva de Hilbert para ordenar

os pontos dentro de cada subconjunto Si [84]. Esta implementacao foi recentemente

avaliada tambem em paralelo [85–87]. A partir dos resultados que obtivemos nesta

experiencia, optamos por emprega-la em na presente implementacao.

5.3 Resultados Experimentais

O esquema de representacao baseado em vertices proposto foi implementado em

C++, com o auxılio das bibliotecas STL, Boost e CGAL. Como nao estamos in-

teressados na compressao dos rotulos dos vertices em si, estes foram represen-

tados por numeros inteiros simples de 32 bits (int, em C++). Sendo assim, a

lista de vizinhos de um vertice guarda Guard neighbors range foi implementada

como std::list<Guard vertex label>, com Guard vertex label igual a int. No

caso dos vertices guardados, utilizamos std::list<Guarded vertex label>, onde

Guarded vertex label e como a seguir:

struct Guarded_vertex_label {

char counter : 2;

int label;

};

61

A manipulacao destas listas foi uniformizada com a utilizacao da classe

boost::variant, a qual e uma especie de union capaz de armazenar objetos de

tipos heterogeneos. Basicamente, cada vertice contem uma variavel privada que ar-

mazena a lista de seus vizinhos declarada como do tipo boost::variant< Guard -

neighbors range, Guarded neighbors range >, onde Guarded neighbors range

e definido como std::list<Guarded vertex label>.

Cada vertice tambem carreia consigo uma variavel para identificar o seu tipo.

Para tanto, definiu-se a estrutura:

struct Vertex_type {

char _type : 2;

}

Os vertices foram implementados sob a forma de uma classe denominada

Triangulation ds vertex base 2, cujo conteudo pode ser resumido como abaixo:

class Triangulation_ds_vertex_base_2 {

...

private:

boost::variant< Guard_neighbors_range,

Guarded_neighbors_range > _neighbors;

Vertex_type _type;

Point _p;

};

Os codigos foram compilados utilizando o compilador g++, com as seguintes

opcoes de otimizacao habilitadas: -O3, -DNDEBUG e -frounding-math. Todos os

testes foram realizados em um computador com processador Intel Core i7 840QM

64-bit com 4GB de RAM DDR3 de 1333 MHz. Mais detalhes sobre o aparato

experimental podem ser obtidos na Secao 3.4.

Utilizamos quatro distribuicoes diferentes de pontos no plano com tamanhos

entre 1 e 8 milhoes (ver Secao 3.4 para melhores descricoes sobre estas distribuicoes).

62

A Figura 5.2 ilustra as triangulacoes construıdas pela nossa implementacao para

cada uma destas distribuicoes, com 10 mil vertices.

Faremos comparacoes com uma implementacao do esquema de BLANDFORD

et al. [1], sem considerar a compressao dos rotulos, visto esta ter servido de base

para a implementacao da solucao proposta na presente tese. Para fins de referencia,

usaremos ainda a implementacao de algoritmo de triangulacao de Delaunay fornecida

pela CGAL [88, 89]. Isto possibilitara avaliar o impacto na performance devido ao

nıvel de indirecao introduzido.

As Figuras 5.3a 5.4a 5.5a 5.6a contem os tempos de processamento gastos por

cada uma das tres implementacoes consideradas. As representacoes baseadas em

vertices foram cerca de 10 vezes mais lentas do que a da CGAL. Pode-se observar

ainda que a estrutura baseada em transversais de triangulos foi cerca de 18% mais

rapida do que a implementacao sem compressao de BLANDFORD et al. [1], em

todos os conjuntos de pontos. Isto deve estar relacionado com a diminuicao do

numero de referencias empregadas pela nossa estrutura, como mostram as Figuras

5.3b 5.4b 5.5b 5.6b.

Ainda em termos do numero de referencias, foi possıvel reduzir em media 12%

e 59% em relacao a estrutura descomprimida de BLANDFORD et al. [1] e a do

CGAL, respectivamente.

A taxa de vertices no transversal para a triangulacao final ficou sempre em torno

de 58%. Para todos os conjuntos de pontos, o numero de referencias armazenadas

pelos guardas representa aproximadamente 67.5% do total, enquanto que os 32.5%

restantes sao armazenadas em vertices guardados.

Vale ressaltar que, como descrito anteriormente, a vizinhanca de cada vertice foi

armazenada com o auxılio de listas duplamente encadeadas (std::list). Isto acar-

reta em uma sobrecarga em memoria, pois cada elemento da lista, na verdade, arma-

zena o rotulo de um vertice mais os enderecos do proximo e do anterior. Este onus

foi provavelmente o responsavel pela diferenca acentuada dos tempos de execucao

entre nossa implementacao e a do CGAL.

63

(a) Uniforme em quadrado. (b) Uniforme em disco.

(c) Normal. (d) Normal ponderada.

Figura 5.2: Ilustracao das triangulacoes calculadas pela implementacao da estrutura

proposta para quatro tipos diferentes de distribuicoes de pontos no plano.

64

0

20

40

60

80

100

120

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)

Número de Pontos

PropostaBlandford et al

CGAL

(a)

20 M

40 M

60 M

80 M

100 M

120 M

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Núm

ero

de R

efer

ênci

as

Número de Pontos


CGAL

(b)

Figura 5.3: (a) Tempo de CPU gasto por cada implementacao na construcao de

triangulacoes de Delaunay e (b) numero de referencias representadas para o conjunto

de pontos distribuıdos uniformemente no interior de um quadrado unitario.

65

0

20

40

60

80

100

120

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)

Número de Pontos


CGAL

(a)

20 M

40 M

60 M

80 M

100 M

120 M

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Núm

ero

de R

efer

ênci

as

Número de Pontos


CGAL

(b)



de pontos distribuıdos uniformemente no interior de um cırculo unitario.

66

0

20

40

60

80

100

120

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)

Número de Pontos


CGAL

(a)

20 M

40 M

60 M

80 M

100 M

120 M

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Núm

ero

de R

efer

ênci

as

Número de Pontos


CGAL

(b)



de pontos normalmente distribuıdos no interior de um quadrado unitario.

67

0

20

40

60

80

100

120

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Tem

po d

e C

PU

(se

gund

os)

Número de Pontos


CGAL

(a)

20 M

40 M

60 M

80 M

100 M

120 M

1 M 2 M 4 M 6 M 8 M

Núm

ero

de R

efer

ênci

as

Número de Pontos


CGAL

(b)



de pontos distribuıdos segundo a distribuicao normal ponderada.

68

Capıtulo 6

Consideracoes Finais

Neste trabalho, foram abordadas questoes teoricas sobre conjuntos transversais de

triangulos e suas aplicacoes na engenharia, sob a forma de uma representacao de

triangulacoes bidimensionais. Do ponto de vista teorico, os resultados obtidos de-

monstraram a NP-completude de se calcular conjuntos transversais de cardinalidade

mınima mesmo em grafos maximais planares de grau limitado 5. Estes resultados

promoveram tambem a comprovacao de que o problema de posicionamento de guar-

das em terrenos poliedricos, sejam eles guardas fixos ou moveis, e NP-difıcil. Alem

disso, foi observado que nao e difıcil obter um algoritmo capaz de calcular transver-

sais de triangulos por vertice de tamanho otimo no pior caso, ou um pouco acima

do valor otimo, mas gastando menos tempo.

Em se tratando da representacao de triangulacoes desenvolvida, mesmo com um

conjunto transversal de cardinalidade em media 8% acima do valor otimo de bn/2c,foi possıvel reduzir a quantidade de referencias recıprocas. Esta reducao torna viavel

o emprego desta estrutura em situacoes praticas, desde que aliada a esquemas de

compressao de rotulos mais agressivos, tais como os codigos de diferencas. Neste

caso, a proximidade geometrica entre os pontos, fornecida via uma ordecao espacial

como a associada a uma curva de Hilbert, pode ser utilizada para produzir diferencas

mais compactas entre os rotulos de vertices vizinhos. Isto seria uma alternativa a

metodos baseados em propriedades de separabilidades de grafos [1].

Por fim, seria interessante investigar a possibilidade de realocar vertices guardas

69

e guardados durante a construcao da triangulacao de modo a assegurar o tamanho

do conjunto transversal sempre abaixo de bn/2c. Isto podera ser aplicado na manu-

tencao de triangulacoes de Delaunay cujos vertices movem ao longo do tempo, como

em simulacoes utilizando metodos de elementos finitos com malhas adaptativas.

70

Referencias Bibliograficas

[1] BLANDFORD, D., BLELLOCH, G., CARDOZE, D., et al. “Compact represen-

tations of simplicial meshes in two and three dimensions”, International

Journal of Computational Geometry & Applications, v. 15, n. 1, pp. 3–24,

2005. doi: 10.1142/S0218195905001580.

[2] ROSSIGNAC, J. “Edgebreaker: connectivity compression for triangle meshes”,

Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions on, v. 5, n. 1,

pp. 47 –61, 1999. doi: 10.1109/2945.764870.

[3] ALEARDI, L. C., DEVILLERS, O., SCHAEFFER, G. “Optimal succinct repre-

sentations of planar maps”. In: SCG ’06: Proceedings of the 22nd Annual

Symposium on Computational Geometry, pp. 309–318, New York, NY,

USA, 2006. ACM. doi: 10.1145/1137856.1137902.

[4] ALEARDI, L. C., FUSY, E., LEWINER, T. “Optimal encoding of triangu-

lar and quadrangular meshes with fixed topology”. In: Proceedings of

the 22nd Annual Canadian Conference on Computational Geometry, pp.

95–98, Manitoba, Canada, 2010. Disponıvel em: <http://cccg.ca/

proceedings/2010/paper27.pdf>.

[5] ISENBURG, M., LINDSTROM, P. “Streaming meshes”. In: Visualiza-

tion, 2005. VIS 05. IEEE, pp. 231 – 238, 2005. doi: 10.1109/VI-

SUAL.2005.1532800.

[6] WU, J., KOBBELT, L. “A Stream Algorithm for the Decimation of Massive

Meshes”. In: Graphics Interface, pp. 185–192, 2003.

[7] LINDSTROM, P. “Out-of-core construction and visualization of multireso-

lution surfaces”. In: Proceedings of the 2003 symposium on Interac-

tive 3D graphics, pp. 93–102, New York, NY, USA, 2003. ACM. doi:

10.1145/641480.641500.

[8] KEELER, K., WESTBROOK, J. “Short encodings of planar graphs and maps”,

Discrete Appl. Math., v. 58, n. 3, pp. 239–252, 1995. doi: 10.1016/0166-

218X(93)E0150-W.

71

http://dx.doi.org/10.1142/S0218195905001580

http://dx.doi.org/10.1109/2945.764870

http://dx.doi.org/10.1145/1137856.1137902

http://cccg.ca/proceedings/2010/paper27.pdf

http://cccg.ca/proceedings/2010/paper27.pdf

http://dx.doi.org/10.1109/VISUAL.2005.1532800

http://dx.doi.org/10.1109/VISUAL.2005.1532800

http://dx.doi.org/10.1145/641480.641500

http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(93)E0150-W

http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(93)E0150-W

[9] TURAN, G. “On the succinct representation of graphs”, Discrete Applied Mathe-

matics, v. 8, n. 3, pp. 289 – 294, 1984. doi: 10.1016/0166-218X(84)90126-4.

[10] GUMHOLD, S., STRASSER, W. “Real time compression of triangle mesh

connectivity”. In: Proceedings of the 25th annual conference on Computer

graphics and interactive techniques, pp. 133–140, New York, NY, USA,

1998. ACM. doi: 10.1145/280814.280836.

[11] ALLIEZ, P., DESBRUN, M. “Progressive compression for lossless transmission

of triangle meshes”. In: Proceedings of the 28th annual conference on

Computer graphics and interactive techniques, pp. 195–202, New York,

NY, USA, 2001. ACM. doi: 10.1145/383259.383281.

[12] TOUMA, C., GOTSMAN, C. “Triangle Mesh Compression”. In: Proceedings

of the Graphics Interface 1998 Conference, pp. 26–34, Vancouver, BC,

Canada, 1998.

[13] GANDOIN, P.-M., DEVILLERS, O. “Progressive lossless compression of arbi-

trary simplicial complexes”, ACM Trans. Graph., v. 21, n. 3, pp. 372–379,

July 2002. doi: 10.1145/566654.566591.

[14] POULALHON, D., SCHAEFFER, G. “Optimal Coding and Sampling of

Triangulations”, Algorithmica, v. 46, n. 3, pp. 505–527, 2006. doi:

10.1007/s00453-006-0114-8.

[15] CHOU, P. H., MENG, T. H. “Vertex Data Compression through Vector Quan-

tization”, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics,

v. 8, n. 4, pp. 373–382, 2002. doi: 10.1109/TVCG.2002.1044522.

[16] LEE, E.-S., KO, H.-S. “Vertex Data Compression for Triangular Meshes”.

In: Proceedings of the 8th Pacific Conference on Computer Graphics and

Applications, pp. 225–234, Washington, DC, USA, 2000. IEEE Computer

Society.

[17] DEERING, M. “Geometry compression”. In: Proceedings of the 22nd annual

conference on Computer graphics and interactive techniques, pp. 13–20,

New York, NY, USA, 1995. ACM. doi: 10.1145/218380.218391.

[18] BAJAJ, C. L., PASCUCCI, V., ZHUANG, G. “Single Resolution Compression

of Arbitrary Triangular Meshes with Properties”. In: Proceedings of the

Conference on Data Compression, pp. 247–256, Washington, DC, USA,

1999. IEEE Computer Society.

72

http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90126-4

http://dx.doi.org/10.1145/280814.280836

http://dx.doi.org/10.1145/383259.383281

http://dx.doi.org/10.1145/566654.566591

http://dx.doi.org/10.1007/s00453-006-0114-8

http://dx.doi.org/10.1109/TVCG.2002.1044522

http://dx.doi.org/10.1145/218380.218391

[19] TAUBIN, G., ROSSIGNAC, J. “Geometric compression through topologi-

cal surgery”, ACM Trans. Graph., v. 17, n. 2, pp. 84–115, 1998. doi:

10.1145/274363.274365.

[20] CHOW, M. M. “Optimized geometry compression for real-time rendering”. In:

Proceedings of the 8th conference on Visualization ’97, pp. 347–354, Los

Alamitos, CA, USA, 1997. IEEE Computer Society Press.

[21] COLE, R., SHARIR, M. “Visibility Problems for Polyhedral Terrains”, Journal

of Symbolic Computation, v. 7, n. 1, pp. 11 – 30, 1989. doi: 10.1016/S0747-

7171(89)80003-3.

[22] BOSE, P., KIRKPATRICK, D., LI, Z. “Worst-case-optimal Algorithms for

Guarding Planar Graphs and Polyhedral Surfaces”, Computational Ge-

ometry: Theory and Applications, v. 26, pp. 209–219, 2003. doi:

10.1016/S0925-7721(03)00027-0.

[23] BRUGMANN, D., KOMUSIEWICZ, C., MOSER, H. “On Generating Triangle-

Free Graphs”, Electronic Notes in Discrete Mathematics, v. 32, pp. 51 –

58, 2009. doi: 10.1016/j.endm.2009.02.008.

[24] ZHU, B. Computational geometry in two and a half dimensions. Tese de Dou-

torado, McGill University, Montreal, Canada, 1994.

[25] “Cgal: Computational Geometry Algorithms Library”. Disponıvel em:

<http://www.cgal.org/>.

[26] BATISTA, V. H. F., RIBEIRO, F. L. B., PROTTI, F. “On the complexity of the

edge guarding problem”. In: Proceedings of the 26th European Workshop

on Computational Geometry (EuroCG’10), Dortmund, Germany, March

2010.

[27] KARP, R. “Reducibility among combinatorial problems”. In: Miller, R., That-

cher, J. (Eds.), Complexity of Computer Computations, Plenum Press, pp.

85–103, New York, NY, 1972.

[28] STOCKMEYER, L. “Planar 3-colorability is polynomial complete”, SIGACT

News, v. 5, pp. 19–25, July 1973. doi: 10.1145/1008293.1008294.

[29] KEMPE, A. B. “On the Geographical Problem of the Four Colours”, American

Journal of Mathematics, v. 2, n. 3, pp. 193–200, 1879.

[30] HEAWOOD, P. J. “On the four-color map theorem”, Quarterly J. Pure &

Applied Math, v. 29, pp. 270–285, 1898.

73

http://dx.doi.org/10.1145/274363.274365

http://dx.doi.org/10.1016/S0747-7171(89)80003-3

http://dx.doi.org/10.1016/S0747-7171(89)80003-3

http://dx.doi.org/10.1016/S0925-7721(03)00027-0

http://dx.doi.org/10.1016/j.endm.2009.02.008

http://www.cgal.org/

http://dx.doi.org/10.1145/1008293.1008294

[31] STEINBERG, R. “The State of the Three Color Problem”. In: John Gimbel,

J. W. K., Quintas, L. V. (Eds.), Quo Vadis, Graph Theory? - A Source

Book for Challenges and Directions, v. 55, Annals of Discrete Mathema-

tics, Elsevier, pp. 211 – 248, Amsterdam, NL, 1993. doi: 10.1016/S0167-

5060(08)70391-1.

[32] APPEL, K., HAKEN, W., KOCH, J. “Every planar map is four colorable. II:

Reducibility.” Ill. J. Math., v. 21, pp. 491–567, 1977.

[33] ROBERTSON, N., SANDERS, D., SEYMOUR, P., et al. “The Four-Colour

Theorem”, Journal of Combinatorial Theory, Series B, v. 70, n. 1, pp. 2

– 44, 1997. doi: 10.1006/jctb.1997.1750.

[34] MOHAR, B., SKREKOVSKI, R. “The Grotzsch Theorem for the hypergraph

of maximal cliques”, Electron. J. Combin, v. 6, pp. 26–13, 1999.

[35] ALON, N., BERKE, R., BUCHIN, K., et al. “Polychromatic Colorings of Plane

Graphs”, Discrete and Computational Geometry, v. 42, n. 3, pp. 421–442,

2009. doi: 10.1007/s00454-009-9171-5.

[36] PETERSEN, J. “Die Theorie der regularen graphs”, Acta Mathematica, v. 15,

pp. 193–220, 1891. doi: 10.1007/BF02392606.

[37] BONDY, J. A., MURTY, U. S. R. Graph Theory. N. 244, Graduate Texts in

Mathematics. Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2008.

[38] EDMONDS, J. “Paths, Trees, and Flowers”, Canad. J. Math., v. 17, pp. 449–

467, 1965.

[39] MICALI, S., VAZIRANI, V. V. “An O(√|v|·|E|) algorithm for finding maxi-

mum matching in general graphs”. In: Proceedings of the Annual IEEE

Symposium on Foundations of Computer Science, pp. 17–27, Los Alami-

tos, CA, USA, 1980. doi: 10.1109/SFCS.1980.12.

[40] BLUM, N. “A New Approach to Maximum Matching in General Graphs”.

In: Proceedings of the 17th International Colloquium on Automata, Lan-

guages and Programming (ICALP ’90), pp. 586–597, London, UK, 1990.

Springer-Verlag.

[41] GABOW, H. N., TARJAN, R. E. “Faster scaling algorithms for general graph

matching problems”, J. ACM, v. 38, pp. 815–853, October 1991. doi:

10.1145/115234.115366.

74

http://dx.doi.org/10.1016/S0167-5060(08)70391-1

http://dx.doi.org/10.1016/S0167-5060(08)70391-1

http://dx.doi.org/10.1006/jctb.1997.1750

http://dx.doi.org/10.1007/s00454-009-9171-5

http://dx.doi.org/10.1007/BF02392606

http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1980.12

http://dx.doi.org/10.1145/115234.115366

[42] BIEDL, T. C., BOSE, P., DEMAINE, E. D., et al. “Efficient Algorithms for

Petersen’s Matching Theorem”, Journal of Algorithms, v. 38, pp. 110–134,

2001.

[43] COOK, S. A. “The complexity of theorem-proving procedures”. In: STOC

’71: Proceedings of the third annual ACM symposium on Theory of

computing, pp. 151–158, New York, NY, USA, 1971. ACM. doi:

10.1145/800157.805047.

[44] LICHTENSTEIN, D. “Planar Formulae and Their Uses”, SIAM Journal on

Computing, v. 11, n. 2, 1982. doi: 10.1137/0211025.

[45] TOVEY, C. “A simplified NP-complete satisfiability problem”, Discrete Ap-

plied Mathematics, v. 8, n. 1, pp. 85–89, 1984. doi: 10.1016/0166-

218X(84)90081-7.

[46] HALL, P. “On Representatives of Subsets”, Journal of the London Mathema-

tical Society, v. 10, pp. 26–30, 1935. doi: 10.1112/jlms/s1-10.37.26.

[47] YANNAKAKIS, M. “Node-and edge-deletion NP-complete problems”. In:

STOC ’78: Proceedings of the tenth annual ACM symposium on The-

ory of computing, pp. 253–264, New York, NY, USA, 1978. ACM. doi:

10.1145/800133.804355.

[48] GAREY, M. R., JOHNSON, D. S. Computers and Intractability: A Guide to

the Theory of NP-Completeness. New York, NY, USA, W. H. Freeman &

Co., 1979.

[49] GROSHAUS, M., HELL, P., KLEIN, S., et al. “Cycle transversals in bounded

degree graphs”, Electronic Notes in Discrete Mathematics, v. 35, pp. 189

– 195, 2009.

[50] CHVATAL, V. “A combinatorial theorem in plane geometry”, J. Comb. Theory

Ser. B, v. 18, pp. 39–41, 1975. doi: 10.1016/0095-8956(75)90061-1.

[51] FISK, S. “A short proof of Chvatal’s watchman theorem”, J. Combin. Theory

Ser. B, v. 24, pp. 374, 1978. doi: 10.1016/0095-8956(78)90059-X.

[52] O’ROURKE, J. Art gallery theorems and algorithms. New York, NY, USA,

Oxford University Press, Inc., 1987.

[53] SHERMER, T. “Recent results in art galleries”, Proceedings of the IEEE, v. 80,

n. 9, pp. 1384 –1399, 1992. doi: 10.1109/5.163407.

75

http://dx.doi.org/10.1145/800157.805047

http://dx.doi.org/10.1137/0211025

http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90081-7

http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90081-7

http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s1-10.37.26

http://dx.doi.org/10.1145/800133.804355

http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(75)90061-1

http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90059-X

http://dx.doi.org/10.1109/5.163407

[54] URRUTIA, J. “Art Gallery and Illumination Problems”. In: Sack, J.-R., Urru-

tia, J. (Eds.), Handbook of Computational Geometry, North-Holland, pp.

973 – 1027, Amsterdam, 2000. doi: 10.1016/B978-044482537-7/50023-1.

[55] BOSE, P., SHERMER, T., TOUSSAINT, G., et al. “Guarding Polyhedral Ter-

rains”, Computational Geometry: Theory and Applications, v. 7, pp. 173–

185, 1997. doi: 10.1016/0925-7721(95)00034-8.

[56] EVERETT, H., RIVERA-CAMPO, E. “Edge guarding polyhedral terrains”,

Computational Geometry, v. 7, n. 3, pp. 201–203, 1997.

[57] TUTTE, W. “A Census of Planar Triangulations”, Canadian Journal of Mathe-

matics, v. 14, pp. 21–38, 1962.

[58] SHAMOS, M. I. Computational Geometry. Tese de Doutorado, Yale University,

1978.

[59] JACOBSON, G. “Space-efficient static trees and graphs”. In: Proceedings of

the 30th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pp.

549–554, Research Triangle Park, 1989. doi: 10.1109/SFCS.1989.63533.

[60] MUNRO, J. I., RAMAN, V. “Succinct Representation of Balanced Parentheses

and Static Trees”, SIAM J. Comput., v. 31, n. 3, pp. 762–776, 2001. ISSN:

0097-5397. doi: 10.1137/S0097539799364092.

[61] POULALHON, D., SCHAEFFER, G. “Optimal Coding and Sampling of

Triangulations”, Algorithmica, v. 46, n. 3, pp. 505–527, 2006. doi:

10.1007/s00453-006-0114-8.

[62] MEBARKI, A. Implantation de structures de donnees compactes pour les trian-

gulations. Tese de Doutorado, Universite de Nice-Sophia Antipolis, 2008.

[63] BAUMGART, B. G. Winged edge polyhedron representation. Research report,

Stanford University, Stanford, CA, USA, 1972.

[64] PREPARATA, F. P., SHAMOS, M. I. Computational Geometry: An Introduc-

tion. New York, NY, USA, Springer-Verlag, 1985.

[65] GUIBAS, L., STOLFI, J. “Primitives for the manipulation of general subdivi-

sions and the computation of Voronoi”, ACM Trans. Graph., v. 4, n. 2,

pp. 74–123, 1985. doi: 10.1145/282918.282923.

[66] CAMPAGNA, S., KOBBELT, L., SEIDEL, H.-P. “Directed Edges – A Scalable

Representation for Triangle Meshes”, Journal of Graphics Tools, v. 3, n. 4,

pp. 1–12, 1998.

76

http://dx.doi.org/10.1016/B978-044482537-7/50023-1

http://dx.doi.org/10.1016/0925-7721(95)00034-8

http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1989.63533

http://dx.doi.org/10.1137/S0097539799364092

http://dx.doi.org/10.1007/s00453-006-0114-8

http://dx.doi.org/10.1145/282918.282923

[67] CLINE, A., RENKA, R. “A storage-efficient method for construction of a

Thiessen triangulation.” Rocky Mt. J. Math., v. 14, pp. 119–139, 1984.

doi: 10.1216/RMJ-1984-14-1-119.

[68] KALLMANN, M., THALMANN, D. “Star-vertices: a compact representation

for planar meshes with adjacency information”, Journal of Graphics Tools,

v. 6, n. 1, pp. 7–18, 2001.

[69] GHOSH, S. “Approximation Algorithms for Art Gallery Problems in Polygons

and Terrains”. In: Proceedings of the Workshop on Algorithms and Com-

putation (WALCOM 2010), v. 5942, pp. 21–34, 2010. doi: 10.1007/978-

3-642-11440-3 3.

[70] ROBERTSON, N., SANDERS, D. P., SEYMOUR, P., et al. “Efficiently four-

coloring planar graphs”. In: STOC ’96: Proceedings of the Twenty-eighth

Annual ACM Symposium on Theory of computing, pp. 571–575, New

York, NY, USA, 1996. ACM Press. doi: 10.1145/237814.238005.

[71] CHIBA, N., NISHIZEKI, T., SAITO, N. “A linear 5-coloring algorithm of

planar graphs”, Journal of Algorithms, v. 2, n. 4, pp. 317 – 327, 1981.

doi: 10.1016/0196-6774(81)90031-6.

[72] “Boost C++ Libraries”. Disponıvel em: <http://www.boost.org/>.

[73] “LEDA: Library of Efficient Data types and Algorithms”. Disponıvel em:

<http://www.algorithmic-solutions.info/>.

[74] ELIAS, P. “Universal codeword sets and representations of the integers”, IEEE

Transactions on Information Theory, v. 21, n. 2, pp. 194 – 203, 1975. doi:

10.1109/TIT.1975.1055349.

[75] LAWSON, C. L. “Software for C1 Surface Interpolation”. In: Mathematical

Software III, pp. 161–194. Academic Press, 1977.

[76] BOWYER, A. “Computing Dirichlet Tessellations”, The Computer Journal,

v. 24, n. 2, pp. 162–166, 1981.

[77] WATSON, D. F. “Computing the n–Dimensional Delaunay Tessellation with

Application to Voronoı Polytopes”, The Computer Journal, v. 24, n. 2,

pp. 167–172, 1981.

[78] FORTUNE, S. “A sweepline algorithm for Voronoi diagrams”, Algorithmica,

v. 2, pp. 153–174, 1987. doi: 10.1007/BF01840357.

77

http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-1984-14-1-119

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-11440-3_3

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-11440-3_3

http://dx.doi.org/10.1145/237814.238005

http://dx.doi.org/10.1016/0196-6774(81)90031-6

http://www.boost.org/

http://www.algorithmic-solutions.info/

http://dx.doi.org/10.1109/TIT.1975.1055349

http://dx.doi.org/10.1007/BF01840357

[79] GUIBAS, L., STOLFI, J. “Primitives for the manipulation of general subdivi-

sions and the computation of Voronoi”, ACM Trans. Graph., v. 4, n. 2,

pp. 74–123, 1985. doi: 10.1145/282918.282923.

[80] DWYER, R. “A faster divide-and-conquer algorithm for constructing delau-

nay triangulations”, Algorithmica, v. 2, n. 1, pp. 137–151, 1987. doi:

10.1007/BF01840356.

[81] LEE, D. T., SCHACHTER, B. J. “Two algorithms for constructing a Delaunay

triangulation”, International Journal of Parallel Programming, v. 9, n. 3,

pp. 219–242, 1980. doi: 10.1007/BF00977785.

[82] DEVILLERS, O., PION, S., TEILLAUD, M. “Walking in a Triangulation”,

International Journal of Foundations of Computer Science, v. 13, n. 2,

pp. 181–199, 2002.

[83] AMENTA, N., CHOI, S., ROTE, G. “Incremental constructions con BRIO”.

In: Proceedings of the nineteenth annual symposium on Computational

geometry, SCG ’03, pp. 211–219, New York, NY, USA, 2003. ACM. doi:

10.1145/777792.777824.

[84] DELAGE, C. “Spatial Sorting”. In: CGAL User and Reference Ma-

nual, 3.7 ed., CGAL Editorial Board, 2010. Disponıvel em:

<http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/

packages.html#Pkg:SpatialSorting>.

[85] BATISTA, V. H. F., MILLMAN, D. L., PION, S., et al. Parallel Geometric

Algorithms for Multi-Core Computers. Research Report RR-6749, INRIA,

2008. Disponıvel em: <http://hal.inria.fr/inria-00343804/PDF/

RR-6749.pdf>.

[86] BATISTA, V. H. F., MILLMAN, D. L., PION, S., et al. “Parallel geometric

algorithms for multi-core computers”. In: Proceedings of the 25th annual

symposium on Computational geometry (SoCG ’09), pp. 217–226, New

York, NY, USA, 2009. ACM. doi: 10.1145/1542362.1542404.

[87] BATISTA, V. H. F., MILLMAN, D. L., PION, S., et al. “Parallel geometric

algorithms for multi-core computers”, Computational Geometry, v. 43,

n. 8, pp. 663 – 677, 2010. doi: 10.1016/j.comgeo.2010.04.008. Special Issue

on the 25th Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG ’09).

[88] YVINEC, M. “2D Triangulations”. In: CGAL User and Refe-

rence Manual, 3.7 ed., CGAL Editorial Board, 2010. Dis-

78

http://dx.doi.org/10.1145/282918.282923

http://dx.doi.org/10.1007/BF01840356

http://dx.doi.org/10.1007/BF00977785

http://dx.doi.org/10.1145/777792.777824

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:SpatialSorting

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:SpatialSorting

http://hal.inria.fr/inria-00343804/PDF/RR-6749.pdf

http://hal.inria.fr/inria-00343804/PDF/RR-6749.pdf

http://dx.doi.org/10.1145/1542362.1542404

http://dx.doi.org/10.1016/j.comgeo.2010.04.008

ponıvel em: <http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_

manual/packages.html#Pkg:Triangulation2>.

[89] PION, S., YVINEC, M. “2D Triangulation Data Structure”. In: CGAL

User and Reference Manual, 3.7 ed., CGAL Editorial Board, 2010.

Disponıvel em: <http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_

manual/packages.html#Pkg:TDS2>.

79

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:Triangulation2

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:Triangulation2

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:TDS2

http://www.cgal.org/Manual/3.7/doc_html/cgal_manual/packages.html#Pkg:TDS2

transversais de triângulos e suas aplicações em triangulações

Documents